1. www.Toancapba.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ( BẢNG A )
Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)
Ngày thi: 06/10/2011
Câu 1: ( 5,0 điểm )
a. Giải phương trình sau: 4 x 2 x 1 1 5 x 4 x 2 2 x 3 x 4 với x R .
b. Giải phương trình: 2sin 2 x 3 sin 2 x 1 3 cos x 3 sin x .
Câu 2: ( 5,0 điểm )
a. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh AB 2 . Trong mặt phẳng chứa
tam giác ABC lấy điểm M thỏa MA2 MB 2 MC 2 . Tìm quỹ tích của điểm
M.
b. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc
bằng 600 , BM 6, CN 9 . Tính độ dài trung tuyến còn lại của tam giác
ABC.
Câu 3: ( 4,0 điểm )
Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 3un 2 2 với mọi n 1 .
a. Xác định số hạng tổng quát của dãy số un .
b. Tính tổng S u12 u22 u32 ... u2011 .
2
Câu 4: ( 3,0 điểm )
Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện a 2 b 2 c 2 1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M a b c a b c 6abc
3
Câu 5: ( 3,0 điểm )
x 3 y 2 x 2 2 xy 2m 3
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2
x 3x y m
với x, y là các số thực.
………………. Hết ……………….
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:…………
www.Toancapba.net 1
2. www.Toancapba.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)
Môn: TOÁN ( BẢNG A ). Ngày thi: 06/10/2011
ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang )
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định.
Câu Đáp án Thang điểm
1 a. ( 3,0 điểm )
(5,0 điểm)
3
Đặt t x 2 x 1, t . Khi đó phương trình trở thành:
2
0,5
4t t 4 7t 2 5 t 4 6t 2 9 t 2 4t 4 0
0,5
2
t 2 3 t 2 0 t 2 t 1 t 2 t 5 0 (*)
2
t 2 t 1 0 0,5
(*) 2
t t 5 0
3 1 5
Với t thì t 2 t 1 0 có một nghiệm là t 0,5
2 2
3 1 21
Với t thì t 2 t 5 0 có một nghiệm là t
2 2
2
1 5 1 5
Khi t thì x 2 x 1
2 2x 2x 1 5 0
2
0,5
2
1 3 2 5 1 3 2 5
x hoặc x .
2 2
Khi
2
1 21 1 21
t thì x 2 x 1
2 x 2 x 9 21 0
2
2 2 0,5
1 19 2 21 1 19 2 21
x hoặc x .
2 2
b. ( 2,0 điểm )
Phương trình đã cho được viết lại:
3sin 2 x 2 3 sin x cos x cos 2 x 3 3 sin x cos x 0,5
2
3 sin x cos x 3 3 sin x cos x 0
0,5
3 sin x cos x 0 hoặc 3 sin x cos x 3 0,5
www.Toancapba.net 2
3. www.Toancapba.net
1
3 sin x cos x 0 tan x x k , k Z
3 6
0,5
3 sin x cos x 3 phương trình vô nghiệm.
2 a. (2,0 điểm )
(5,0 điểm) Chọn hệ trục tọa độ Bxy vuông góc sao cho tia Bx qua A và tia
By qua C. Ta có: B 0;0 , A 2;0 , C 0; 2 . Giả sử M x; y . 0,5
MA MB MC
2 2 2
2 x y 2 x2 y 2 x2 2 y
2 2
0,5
x y 4x 4 y 0 .
2 2
Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm 0,5
I 2; 2 , bán kính R 2 2 .
Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm I 2; 2 , bán kính 0,5
R2 2.
b. ( 3,0 điểm )
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Xét trường hợp: BGC 1200
Ta có: BC 2 GB 2 GC 2 2GB.GC.cos120 0 76
AC 2 0,5
MC 2 GM 2 GC 2 2GM .GC.cos 60 0 28
4
Vậy AC2 = 112
AB 2 2
NB 2 GB 2 GN 2 2GB.GN .cos 60 0 13 Vậy AB = 52 0,5
4
Vậy độ dài trung tuyến còn lại :
AC 2 AB 2 BC 2
2
ma 63 ma 3 7 0,5
2 4
Xét trường hợp: BGC 600
Ta có : BC 2 GB2 GC 2 2GB.GC.cos600 28
0,5
AC 2
MC GM GC 2GM .GC .cos120
2 2 2
52 0
4
Vậy AC2 = 208
AB 2
NB 2 GB 2 GN 2 2GB.GN .cos120 0 37
4
Vậy AB2 = 148
0,5
www.Toancapba.net 3
4. www.Toancapba.net
Vậy độ dài trung tuyến còn lại : 0,5
AC 2 AB 2 BC 2
2
ma 171 ma 171
2 4
Câu Đáp án Thang điểm
3 a. 2,0 điểm
(4,0 điểm)
Dễ thấy un 0, n N *
0,5
Từ un 1 3un 2 un 1 3un 2 .
2 2 2
Đặt vn un thì có: vn 1 3vn 2 vn 1 1 3 vn 1 .
2
0,5
Đặt xn vn 1 thì ta có:
0,5
xn 1 3 xn . Từ đây suy ra xn là cấp số nhân với x1 2 , công bội
là 3.
Nên: xn 2.3n 1 vn 2.3n 1 1 un 2.3n 1 1 .
0,5
b. 2,0 điểm
S 2.30 2.31 2.32 ... 2.32010 2011 0,5
2 30 31 32 ... 32010 2011 0,5
2 32011 1
2011 0,5
3 1
32011 2012 0,5
Chứng minh được: a b c 3 a 2 b 2 c 2 3 0,5
2
4
(3,0 điểm) Suy ra: a b c 3 và a b c 3 a b c
3
0,5
abc 8 3
3 0,5 + 0,5
M 2 a b c 6abc 2 3 6
3 3
8 3 0,5
Vậy GTLN của M là
3
1 0,5
Giá trị này đạt được khi a b c .
3
5 x 2 2 x x y 2m 3
(3,0 điểm) Viết lại hệ: 0,5
x 2x x y m
2
www.Toancapba.net 4
5. www.Toancapba.net
Đặt u x 2 2 x, v x y . Dễ có: u 1 .
0,5
u.v 2m 3
Hệ trở thành:
u v m
u2 3
Suy ra: u m u 2m 3 u 2 3 m u 2 m 0,5
u2
u2 3
Xét hàm f u với u 1 .
u2
u 2 4u 3
f / u 0, u 1 0,5
u 2
2
Bảng biến thiên:
u 1
f /
u +
f u
0,5
2
Kết luận : m 2 . 0,5
www.Toancapba.net 5
6. www.Toancapba.net
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
GIA LAI LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2011-2012
............ Môn thi : Toán - Bảng A
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 02/12/2011
.......................................
Câu 1. (3 điểm) Chứng minh rằng mọi dãy số dương (an ) thỏa mãn a2 = an + 1 (n ∈ N∗ ) đều
n+1
có chứa số hạng vô tỉ.
Câu 2. (3 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực :
√ x3 + 2x2 − 3x + 1
x2 − x + 1 = .
x2 + 2
Câu 3. (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
a 4 b c 3
4
+ + 4
≤√ .
4a + b + c 4b + c + a 4c + a + b 4
6
Câu 4. (3 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn :
f(xf(y) + x) = xy + 2f(x) − 1, ∀x, y ∈ R.
Câu 5. (4 điểm) Cho dãy số (xn ) được xác định như sau : x1 = 24, x2 = 60 và
xn−1
xn+1 = xn + (n = 2, 3, . . .).
n(n + 1)(n + 2)
Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn.
Câu 6. (4 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R, OC là một bán kính vuông góc
với AB và I là trung điểm OC, M là điểm di động trên (O). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt các
tiếp tuyến tại A, B của (O) lần lượt tại D và E; AE cắt BD tại N. Xác định vị trí điểm M trên
(O) để tam giác NIA có diện tích lớn nhất.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . HẾT. . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
• Giám thị không giải thích gì thêm.
www.Toancapba.net 6
11. www.Toancapba.net
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)
2480
Theo nguyên lý quy nạp suy ra xn < , ∀n = 1, 2, 3, . . . Vậy dãy số đã cho tăng và bị chặn trên
39
nên có giới hạn hữu hạn.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)
Câu 6 (4 điểm). Chọn hệ trục toạ độ Oxy (như hình vẽ), ta có
A(R; 0), B(−R; 0). Theo tính chất tiếp tuyến của đường tròn, ta có
BE = ME, AD = MD.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5điểm)
NE BE ME
Ngoài ra: BE//AD suy ra = = . Do đó MN//BE//AD.
NA AD MD
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)
Suy ra MN⊥AB. Cho MN ∩ AB = H. Ta có
MN DM HN AN DM
MN//EB ⇒ = ; HN//BE ⇒ = = .
BE DE BE AE DE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)
1
Suy ra HM = 2HN. Từ đó, phép co F về trục Ox với hệ số co k = biến M thành N.
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)
Do đó khi M di động trên (O) thì N di động trên elip (E) có trục lớn là AB.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)
Dễ dàng thấy rằng (E) qua I và F (∆MAC) = ∆NAI.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)
Khi đó với phép co F với hệ số co k, ta có S∆N AI = |k|.S∆M AC (bổ đề sau). Do đó S∆N AI đạt giá
trị lớn nhất khi và chỉ khi S∆M AC đạt giá trị lớn nhất, điều này xảy ra khi M là điểm giữa của
cung BC với CC là đường kính của đường tròn (O).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)
Bổ đề. Cho ∆ABC có A(x1; y1 ), B(x2; y2 ), C(x3; y3 ). Gọi A , B , C lần lượt là ảnh của A, B,
C qua phép co F về trục Ox với hệ số co k. Ta có A (x1 ; ky1), B (x2; ky2), C (x3; ky3 ). Ta có
1 1 − −
→ →
SABC = AB.AC. sin A = (AB.AC)2 − (AB.AC)2
2 2
1
= |(x2 − x1)(y2 − y1 ) − (x3 − x1)(y3 − y1)| .
2
Từ đó
1
SA B C = |(x2 − x1)(ky2 − ky1 ) − (x3 − x1 )(ky3 − ky1)|
2
1
= |k| |(x2 − x1 )(y2 − y1 ) − (x3 − x1)(y3 − y1)| = | k |SABC .
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)
Lưu ý. Nếu học sinh làm theo cách khác, đúng thì vẫn cho điểm tối đa với các bước tương ứng.
www.Toancapba.net 11
12. www.Toancapba.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
ĐẮK LẮK NĂM HỌC 2011 -2012
MÔN: TOÁN 12 – THPT
Thời gian: 180 phút (không kể phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 10/11/2011
Đề thi có 01 trang
Bài 1. (4,0 điểm).
1
Cho hàm số y = x 3 x 2 có đồ thị là (C).
2
Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị
4x 2 + 3
(C) tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số: g(x) = 4 .
x +1
Bài 2. (5,0 điểm).
Giải các phương trình sau trên tập số thực R:
1/ cosx + 3(sin2x + sinx) - 4cos2x.cosx - 2cos2 x + 2 0 .
2/ x 4 2x 3 + x 2(x 2 x) = 0 .
Bài 3. (5,0 điểm).
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB = AC = a (a là
một số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’=2a. Hình chiếu vuông
góc H của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C.
1/ Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối
chóp B.ACA’.
2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ có thể tích lớn nhất.
3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng
cách giữa AB và A’C.
Bài 4. (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4); C(5;–1) và
đường thẳng : 2x – 3y + 12 = 0. Tìm điểm M sao cho: MA + MB + MC nhỏ nhất.
Bài 5(3 điểm).
(m + 2010)!
Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011. Chứng minh rằng là
m!2011!
một số nguyên.
---------------------- HẾT ----------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh……………………............……………… Số báo danh………....
www.Toancapba.net 12
13. www.Toancapba.net
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 1012
TỈNH ĐẮK LẮK MÔN: TOÁN 12 – THPT
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
(gồm 4 trang)
A. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
Bài(ý) Nội dung đáp án Biểu
điểm
Bài 1 4x 2 + 3
* Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: g(x) =
(4 đ) x 4 +1
4t + 3
- Đặt t = x2, với t 0 ta có hàm số g(t) = 2 ;
t +1
4t 2 6t + 4 1
- g'(t) = ; g’(t) = 0 t = 2; t = ; 0,75
(t +1)
2 2
2
- Ta lại có: tlim g (t ) 0 ; tlim g (t ) 0 , bảng biến thiên của hàm số:
t –2 0 1
2
g’(t) – 0 + + 0 –
4 0,5
g(t) 0 3 0
–1
2
- Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là g (x) = 4, đạt được khi x
2 0,75
* Tìm các điểm thuộc đồ thị (C)
- Ta có: y’ = 3x2 – x , giả sử điểm M0(x0, f(x0)) (C), thì hệ số góc tiếp tuyến
2
của (C) tại M0 là f’(x0)= 3x 0 x 0 0,5
2 4 3
- Vậy: 3x 0 x 0 = 4 suy ra x0 = –1; x0 = , tung độ tương ứng f(–1) = – ;
3 2
4 40
f( ) = 1,0
3 27
3 4 40
+ Có hai điểm thỏa mãn giải thiết (–1;– ); ( ; ) 0,5
2 3 27
Bài 2 Phương trình
(5 đ) cosx + 2cos2x + 3 .sinx(2cosx + 1) – 4cos2x.cosx – 2(2cos2 x – 1 ) = 0.
cosx(2cosx + 1)+ 3 .sinx(2cosx + 1)–2.cos2x(2cosx + 1) = 0
1/
(2cosx + 1)(cosx + 3 .sinx –2.cos2x) = 0
(2,5 1,0
2
đ) Nếu: 1/ 2cosx + 1 = 0 x k 2 , k Z
3 0,5
www.Toancapba.net 13
14. www.Toancapba.net
2/ cosx + 3 .sinx –2.cos2x = 0
1 3 k 2
cos x sin x cos 2 x cos( x ) cos 2 x x k 2 ; x ;k Z ,
2 2 3 3 9 3
- Nghiệm của pt là: 0,5
2 k 2
x k 2 , k Z ; x k 2 ; x ;k Z
3 3 9 3
0,5
2/ - Phương trình x 4 2x 3 + x 2 ( x 2 x) 2(x 2 x) = 0
(2,5
đ) (x 2 x) 2 ( x 2 x) 2(x 2 x) = 0 1,0
2
- Đặt t = x x , với t 0 ta có phương trình:
t4 – t2 – 2 t = 0; suy ra t = 0; t = 2 0,75
- Với t = 0 thì x = 0; x = 1
- Với t = 2 thì x = –1; x = 2
Tóm lại phương trình có 4 nghiệm phân biệt: 1;0;1; 2 0,75
B B’
Bài 3
J
(5 đ)
C C’
H
A A’
Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, VB.ACA’ là
thể tích khối chóp B.ACA’,
1/
- Ta có V = h.SABC (h là chiều cao của khối lăng trụ ABC.A’B’C’).
1
(1, 0 - Ta có VB.ACA’ = h.SABC.
3
đ)
- Vậy V= 3.VB.ACA’ hay VA’.BCC’B’ = 2.VB.ACA’
1,0
- Ta có V= 3.VB.ACA’
www.Toancapba.net 14
15. www.Toancapba.net
Vậy V lớn nhất khi VB.ACA’ lớn nhất,
2/ 1 a2 2 2 2 2 2
- Ta có: VB. ACA S ACA ' .BH hay VB. ACA
BH , mà BH = AB – AH = a – AH
(2 đ) '
3
'
3 0,5
a
– vậy BH lớn nhất khi AH nhỏ nhất tức là AH A’C CH
5
1,5
3/ - Trong mp(AHB) kẻ HJ AB, suy ra HJ là đường vuông góc chung của AB
(2 đ) và A’C. 0,5
2
1 1 1 4a
- Trong ta giác vuông AHB ta H ta có: 2
2
2
, ta có: HA2 ;
HJ HA HB 5
a2 2a
HB 2 ; suy ra: HJ
5 5 1,5
4 4
- Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có tọa độ của G là G( ; )
Bài 4 3 3 0,5
(3 đ) - Khi đó: MA + MB + MC = 3MG , G và cố định (G không nằm trên ),
- Vậy MA + MB + MC nhỏ nhất khi 3MG nhỏ nhất, tức MG nhỏ nhất hay 0,5
MG vuông góc với . Do đó M là giao điểm của và đường thẳng d qua G
và vuông góc với .
- Một véc tơ chỉ phương của là u (3; 2) đó cũng là 1 vec tơ pháp tuyến 0,5
của d, vậy phương trình của d là:
4
3x + 2y – = 0,
3
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: 0,5
20
2 x 3 y 12 0 x 13
20 116
4 M ( ; )
3x 2 y 3 0
y 116 13 39
39
1,0
y
4
M
1---- A
-6 -2 O 1 5 x
-1 G
www.Toancapba.net 15
16. www.Toancapba.net
-4
Ta có:
Bài 5 (m 2010)! 2011 (m 2011)! 2011
Cm+2010
2010
. = 2011
.Cm 2011
( 3 đ) m !2010! m 2011 m !2011! m 2011 1,0
Suy ra: (m+ 2011)Cm+2010 = 2011.Cm 2011 , tức là: (m+ 2011)Cm+2010 chia hết cho
2010 2011 2010
2011 (do Cm+2010 ; Cm 2011 là các số tự nhiên)
2010 2011
Vì: 2011 là số nguyên tố và 0 < m < 2011 nên ƯCLN(m, 2011) = 1, từ đó: 1,0
ƯCLN(m + 2011, 2011)= 1
(m + 2010)!
Vậy Cm+2010 2011 hay
2010
là số nguyên.
m!2011!
1,0
B. HƯỚNG DẪN CHẤM
1/ Điểm của bài làm theo thang điểm 20, là tổng điểm của thành phần và không
làm tròn số.
2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó.
----------------Hết------------------
www.Toancapba.net 16
17. www.Toancapba.net
Họ tên TS: .............................................................. Số BD: .......................... Chữ ký GT 1: ........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NINH THUẬN NĂM HỌC 2011 – 2012
Khóa ngày: 17 / 11 / 2011
(Đề thi chính thức)
Môn thi: TOÁN Cấp: THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
(Không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
(Đề thi có 01 trang)
Bài 1 (5,0 điểm).
Tìm m để phương trình x m 2 x 3 có nghiệm.
Bài 2 (4,0 điểm).
Có bao nhiêu số nguyên dương gồm 6 chữ số mà tích các chữ số của số
này bằng 3500 ?
Bài 3 (5,0 điểm).
Cho góc vuông xOy và điểm A (A ≠ O) cố định trên đường phân giác
Om của góc ấy. Một đường tròn ( ) thay đổi luôn đi qua hai điểm A, O cố
định và cắt Ox tại M, cắt Oy tại N.
a) Chứng minh rằng khi đường tròn ( ) thay đổi thì tổng OM + ON có
giá trị không đổi.
b) Tìm tập hợp các điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MN khi đường
tròn ( ) thay đổi.
Bài 4 (3,0 điểm).
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a + 3b + 4c = 1. Chứng
minh rằng: 2 2a 1 3 2b 1 4 2 c 1 10 .
Bài 5 (3,0 điểm).
Tìm tất cả các số f: thỏa mãn các điều kiện:
i) f(1) = 2011,
ii) f(x2 – y) = xf(x) – f(y), với mọi x, y .
--------- HẾT ---------
www.Toancapba.net 17
26. www.Toancapba.net
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TP HÀ NỘI NĂM 2011-2012
Khoá ngày 18/10/2011
*************
Bài I: (5 điểm)
1. Giải phương trình:
2. Giải hệ phương trình:
Bài II: (4 điểm)
Cho với Chứng minh rằng:
1. khi
2. khi
Bài III (4 điểm)
1. Cho dãy số (u_n) xác định bởi: và với mọi
Tìm
2. Cho dãy số (v_n) xác định bởi: và với mọi
Chứng minh rằng:
Bài IV: (5 điểm)
1. Cho hình chóp đáy là hình thang vuông với các góc vuông tại và Gọi là
trung điểm cạnh
Tính thể tích hình chóp và diện tích tam giác biết rằng
và
2. trong mặt phẳng cho hình thang có vuông góc với hai cạnh đáy và Cạnh
cố định, cạnh thay đổi và có độ dài bằng tổng độ dài hai cạnh đáy. Gọi là điểm thuộc
cạnh CD sao cho
Xác định vị trí điểm trong mặt phẳng để tổng diện tích của hai tam giác và là
nhỏ nhất.
Bài V: (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho là đồ thị hàm số
và là các điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị
Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng không vượt quá
----------Hết---------
www.Toancapba.net 26
28. www.Toancapba.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
ĐỒNG THÁP
-----------------------------------------------------------------------------
NĂM HỌC 2011 - 2012
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 05 trang)
I. Hướng dẫn chung
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như
hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn
chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
II. Đáp án và thang điểm
Câu Đáp án Điểm
Câu 1 1 3đ
Giải phương trình: x 2 2 x x 3x 1.
x
Điều kiện: 1 x 0, x 1
Chia hai vế của phương trình cho x, ta được:
1 1 1 1
x2 x 3 x 2 x 3 0
x x x x
1 t 1
Đặt t x , (t 0) . Ta có: t 2 2t 3 0 t 1
x t 2
1 1 5
1 x2 x 1 0 x
Với t 1 x (thỏa mãn)
x 2
1 5
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x .
2
Câu 2 Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x 1, y 1 và 3( x y ) 4 xy. Tìm giá trị lớn 3đ
1 1
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x3 y 3 3 2 2 .
x y
Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si, ta có:
9
4 xy 3( x y ) 6 xy xy
4
Do điều kiện x 1, y 1 nên:
( x 1)( y 1) 0 xy 1 x y
4
xy 1 xy xy 3
3
1 1
Ta có: P x3 y 3 3 2 2
x y
2
2 1 1 6
( x y ) ( x y ) 3xy 3
x y xy
4 16 2 2 16 6
xy x y 3xy
3 9 3 xy
64 3 3 6 16
x y 4 x2 y 2
27 xy 3
9
Đặt t xy , với t ;3
4
64 6 16
P t 3 4t 2
27 t 3
www.Toancapba.net 28
Trang 1
29. www.Toancapba.net
64 3 6 16 9
Xét hàm số f (t ) t 4t 2 , t ;3
27 t 3 4
64 2 6 8t 3 (8t 9) 54 9
Ta có: f '(t ) t 8t 2 2
0, t ;3
9 t 9t 4
9
f (t ) là hàm số tăng trên ;3
4
9 113 94
f f (t ) f (3) hay f (t )
4 12 3
9
113 xy 4
3
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của P bằng . Khi đó x y
12 x y 2
3( x y ) 4 xy
x 1
xy 3
Giá trị lớn nhất của P bằng
94
. Khi đó ( x 1)( y 1) 0 y 3 .
3 x 3
3( x y ) 4 xy
y 1
Câu 3 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x x 2 y .
2 2 2đ
Ta có: x 2 x 2 y 2 4 y 2 (4 x 2 4 x 1) 7 (2 y )2 (2 x 1)2 7
(2 y 2 x 1)(2 y 2 x 1) 7 7 1 1 7 (7) (1) (1) (7)
2 y 2 x 1 7 x 1
2 y 2 x 1 1 y 2
2 y 2 x 1 1 x 2
2 y 2 x 1 7 y 2
2 y 2 x 1 7 x 2
2 y 2 x 1 1 y 2
2 y 2 x 1 1 x 1
2 y 2 x 1 7 y 2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên: ( x; y ) (1;2), (1; 2), (2;2), (2; 2).
Câu 4 Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c và c b. Hai điểm M , N tương ứng di 3đ
động trên hai cạnh AB, AC sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích
bằng nhau. Xác định vị trí của M và N để MN có độ dài nhỏ nhất.
Từ giả thuyết, ta có:
1 1 1 1 1
S AMN S ABC AM . AN sin A . bc sin A AM . AN bc
2 2 2 2 2
Đặt AN xb, AM yc với x, y 1
1 1 1
AM .AN bc xybc bc xy
2 2 2
www.Toancapba.net 29
Trang 2
30. www.Toancapba.net
Theo định lý hàm số Cosin, ta có:
MN 2 AM 2 AN 2 2 AM . AN cos A
Câu 5 Cho dãy số (un ) xác định bởi: 3đ
u1 3
u 2 2 (n 1, n )
un 1 n
2un 3
Hãy xác định công thức tổng quát của un theo n.
2
u2 2
Ta có: u n 1 n u n 1 2
u n 2
2u n 3 2 un 2 1
Đặt x n u n 2 , n 1, n x1 u1 2 1
x2n 1 1 2
Khi đó: x n 1 2
2x n 1 x n 1 x n x n
1 1
Đặt tiếp y n , n 1, n y1 1
xn x1
2 2
Khi đó: y n 1 y n 2y n y n 1 1 y n 1
Tiếp tục đặt v n y n 1, n 1, n v1 y1 1 2
2 n n n 1
Khi đó: v n 1 v n vn 1 ... v1 22 v n 22
2 2 2
n 1, n
Từ đó ta tìm được:
n 1 1 1
y n 22 1 x n n 1 un n 1 2
22 1 22 1
n 1
2.22 1
Vậy công thức tổng quát của dãy số (u n ) là: u n n1 n 1, n .
22 1
Câu 6 Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông OABC có đỉnh A(3; 4) và điểm B 3đ
có hoành độ âm.
a) Tìm tọa độ các đỉnh B và C của hình vuông OABC.
b) Gọi E và F theo thứ tự là các giao điểm của đường tròn (C ) ngoại tiếp OABC
với trục hoành và trục tung ( E và F khác gốc tọa độ O ). Tìm tọa độ điểm M trên
(C ) sao cho tam giác MEF có diện tích lớn nhất.
www.Toancapba.net 30
Trang 3
31. www.Toancapba.net
a)
Giả sử B( x0 ; y0 ) , ( x0 0)
Tứ giác OABC là hình vuông OAB vuông cân tại A
x0 7
AB.OA 0
3( x0 3) 4( y0 4) 0
y0 1
2 2
AB OA
( x0 3) ( y0 4) 25
x 1
0
y0 7
Do điều kiện x0 0 nên tọa độ điểm B là: B(1;7)
1 7
Điểm C đối xứng với A qua trung điểm I ; của OB nên ta có:
2 2
xC 3 1
2 2
x 4
C C (4;3)
yC 4 7 yC 3
2
2
b)
Phương trình đường tròn (C ) ngoại tiếp OABC :
2 2
1 7 25
x y
2 2 2
Tọa độ giao điểm E và F của (C ) với trục hoành và trục tung là:
E (1;0), F (0;7)
Dễ thấy EF là đường kính của (C ) nên tam giác MEF vuông tại M
1 ME 2 MF 2 EF 2 25
S MEF ME.MF
2 4 4 2
25
Vậy S MEF đạt giá trị lớn nhất bằng .
2
( xM 1)2 yM 25
2
2 2
Khi đó MEF vuông cân 1 7 25
xM yM
2 2 2
M (3;3) hoặc M (4; 4).
Cách khác:
Phương trình đường thẳng EF : 7 x y 7 0
1
Ta có: S MEF EF .d ( M , EF )
2
www.Toancapba.net 31
Trang 4
32. www.Toancapba.net
Như vậy S MEF lớn nhất d ( M , EF ) lớn nhất
1 7
7 xM yM
7 x yM 7 2 2
Mà d ( M , EF ) M
5 2 5 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
2 2
1 7 1 7
7 xM yM 5 2. xM yM 25
2 2 2 2
1 7
xM 2 yM 2
5 2
Vậy d ( M , EF ) lớn nhất bằng . Khi đó: 7 1
2 2 2
1 7 25
xM yM
2 2 2
M (3;3) hoặc M (4; 4).
Câu 7 1 1 1 1 3đ
Với mọi n nguyên và n 3, tính tổng sau đây: P 3 3 3 ... 3 .
C3 C4 C5 Cn
1 3!(k 3)! 3! 3! 1 1
Ta có:
Ck3
k! k (k 1)(k 2) 2 (k 1)(k 2) k (k 1)
Thay k bằng 3, 4,5,..., n , ta được:
1 3! 1 1
3
C3 2 1.2 2.3
1 3! 1 1
3
C4 2 2.3 3.4
1 3! 1 1
3
C5 2 3.4 4.5
................................
1 3! 1 1
Cn 2 (n 1)(n 2) n(n 1)
3
Cộng các đẳng thức trên, ta có:
1 1 1 1 3! 1 1 3(n 1)( n 2)
3 3 ... 3
3
C3 C4 C5 Cn 2 1.2 n(n 1)
2n(n 1)
3(n 1)(n 2)
Vậy P .
2n(n 1)
------------------------------Hết-------------------------------
www.Toancapba.net 32
Trang 5
36. www.Toancapba.net
Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012
Môn: TOÁN
VÒNG 1
Câu I
Giải hệ phương trình sau:
xy+1 = (y + 1)x
√
−4x2 + 18x − 20 + 2x2 −9x+6 √
2x2 −9x+8
= y + 1.
Câu II
Cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối tia AB
lấy điểm M . Cát tuyến qua B cắt (O1 ) và (O2 ) lần lượt tại C và D (B nằm
giữa C và D). Đường thẳng M C cắt (O1 ) tại P khác C. Đường thẳng M D
cắt (O2 ) TẠI Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD,
E là giao điểm của P B và AC, F là giao điểm của QB và AD. Chứng minh
M O vuông góc với EF .
Câu III
Cho a; b; c > 0. Chứng minh:
1 1 1 3
+ + ≥ .
a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) 1 + abc
Câu IV
Cho đa thức P (x) = x2012 − mx2010 + m(m = 0). Giả sử P (x) có 2012 nghiệm
√
thực. Chứng minh có ít nhất một nghiệm thỏa | x0 |≤ 2.
Câu V
Cho các số nguyên x, y thỏa mãn x2 −2xy+y 2 −5x+7y và x2 −3xy+2y 2 +x−y
đều chia hết cho 17. Chứng minh xy − 12x + 15y chia hết cho 17.
1
www.Toancapba.net 36
37. www.Toancapba.net
Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012
Môn: TOÁN
VÒNG 2
Câu I
Tìm tất cả các hàm f (x) : R → R thỏa: f (f (x) + y) = f (x2 − y) + 4yf (x)
với mọi x, y ∈ R.
Câu II
Cho a; b; c > 0. Chứng minh:
ab2 bc2 ca2 a+b+c
+ 2 + 2 ≤ .
a2 + 2b2 + c2 b + 2c2 + a2 c + 2a2 + b2 4
Câu III
Cho ABC nội tiếp (O). Trên AC và AB lần lượt lấy 2 điểm P và Q. Gọi
M, N, J lần lượt là trung điểm BP, CQ, P Q. Cho (M N J) cắt P Q tại R.
Chứng minh OR ⊥ P Q.
Câu IV
Cho dãy (un ) được định bởi:
u = 4
1 5
u2
u =
n+1
n
4 −8u2 +8
un n
∀n ∈ N∗ .
Tìm công thức tổng quát của dãy un .
Câu V
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b thỏa mãn (ab)2 − 4(a + b) là một bình
phương của 1 số nguyên.
2
www.Toancapba.net 37
38. www.Toancapba.net
SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
THÁI NGUYÊN LỚP 12 THPT – NĂM HỌC 2011 - 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút – không kể thời gian giao đề
Bài 1: (4 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
x
f x 2cos 6 sin x trêm đoạn 0; .
2
b) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
5 10
sin A sin B 6 sin C
4
Bài 2: (4 điểm)
Cho đường tròn (O, R) và hai điểm P, Q cố định. P nằm ngoài (O), còn Q là điểm nằm trong (O). Dây
cung di động AB của (O) luôn qua Q. PA, PB lần lượt giao lần thứ hai với (O) tại C và D.
Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua 1 điểm cố định.
Bài 3: (4 điểm)
Giải hệ phương trình
5
8 x y 4 xy
2 2
2
13
x y
1
2x 1
x y
Bài 4: (4 điểm)
a) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số gồm có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các
chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0 và 1 không đứng cạnh nhau?
b) Tính tổng: S 2Cn 2 2.2Cn 23.3Cn ... 2 n.nCn
1 2 3 n
Bài 5: (4 điểm)
sin 2011x
Giải phương trình: cos2011x
----------------- Hết--------------------
Họ và tên thí sinh: SBD:
www.Toancapba.net 38
39. www.Toancapba.net
ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2011 – 2012
Bài 1: (4 điểm)
x
a) Đặt sin
2
t t 0;1 ta có hàm số f t 2 1 t 2 1 6t
6 5 10
Khảo sát hàm số trên đoạn 0;1 ta được min f x f 0; max f x f arcsin
4 4
C AB C
b) Ta có sin A sin B 6 sin C 2cos cos 6 sin C 2cos 6 sin C
2 2 2
C C C 1 C 3 5 10
10 cos 2 sin 2 10 cos 2 cos . Đẳng thức khi A = B,…
2 2 2 2 2 2 4
Bài 2: (4 điểm)
Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua I PQ CD điểm cố định.
Bài 3: (4 điểm)
2 2 5
5 x y 3 x y x y 2 13
Hệ phương trình viết thành
a x y
Đặt và đặt
1 b x y
x yx y 1
x y
1 5u 2 3b 2 23
a u , u 2 Ta được hệ Ta tìm được u 2 b 1 a 1 .
a u b 1
Từ đó hệ có nghiệm duy nhất x, y 0,1
Bài 4: (4 điểm)
a) Số có dạng ab01cd với giao hoán các chữ số theo giả thiết là 2P5 P4 số.
Vậy số các chữ số phải tìm là ( P6 P5 ) 2 P5 P4 số.
n
b) Xét khai triển 1 x 1 và đạo hàm hai vế của nó, ta có được
n 1 2 n
n 2 x 1
1 x 1 x Cn 2 1 x Cn ... n. 1 x Cn , từ đó có S 2n.3n 1
2 n
Bài 5: (4 điểm)
sin 2011 x
Từ 1, cos2011x 1 và k Z ; Q ta được nghiệm duy nhất x 0 .
----------------- Hết--------------------
PTDT NT.
www.Toancapba.net 39
41. www.Toancapba.net
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
AN GIANG Năm học 2011 – 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : TOÁN (vòng 1)
Lớp : 12
Thời gian làm bài : 180 phút
SBD : ………… PHÒNG :…… (Không kể thời gian phát đề)
…………
Bài 1: (3,0điểm)
Cho hàm số (m là tham số)
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Bài 2: (3,0điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Bài 3: (3,0điểm)
Giải phương trình
Bài 4: (3,0điểm) Giải hệ phương trình
Bài 5:(2,0điểm) Tính giới hạn
Bài 6: (2,0điểm)
Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có điểm , điểm B
nằm trên trục hoành, điểm C nằm trên đường thẳng và góc .
Tìm tọa độ điểm D.
Bài 7: (4,0 điểm)
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a; góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy
bằng ; góc hợp bởi hai mặt phẳng chứa hai mặt bên bên kề nhau bằng 2.
a) Tính thể tích khối chóp theo a và . (2,0điểm)
b) Chứng minh rằng . (2,0điểm)
---Hết---
www.Toancapba.net 41
