Vlakke meetkunde 2 les 7

1. VLAKKE MEETKUNDE 2
studiejaar 1, periode 2, week 7

2. UITWERKINGEN VOORBEELD 4
Bespreken voorbeeld 4, les 6

3. Voorbeeld 4

4. HUISWERK
Bespreken uit §5.4, § 5.5 en tussentoets oefening 22, T-4a t/m c en T-5a

5. Huiswerk §5.5 opdracht 22
Gegeveniseencirkelc(M,r)eneenlijnldiecnietsnijdt.Tekendeconflictlijn.
De conflictlijn van een cirkel en een lijn die elkaar niet snijden is een
parabool.
Maar hoe construeer je die?
Het middelpuntpunt M ligt r verder van lijn l, dan de rand van de cirkel.
Dus daarom verplaatsen we lijn l ook r verder van de cirkel af. Zo ontstaat
lijn n.
Nu kunnen we de parabool construeren van het middelpunt M en lijn n.
Deze is dus gelijk aan de conflictlijn van de cirkel c en de lijn l.

6. Huiswerk §5.5 opdracht 22
Stappenplanconflictlijncirkel(M,r)enlijnl:
•Teken door M een loodlijn op l.
•Gebruik deze loodlijn om l evenwijdig te vershuiven met een afstand
van r (van de cirkel af). De dan ontstane lijn noemen we lijn n.
•Kies een punt A op de richtlijn n.
•Teken de loodlijn op n in A.
•Teken de lijn MA en de middelloodlijn van MA.
•Het snijpunt van de loodlijn en de middelloodlijn is een punt P van de
parabool.
•Herhaal deze handeling 5 keer en schets de parabool door de punten.

7. Huiswerk §5.5 opdracht 22

8. Huiswerk §5.5 opdracht 22

9. Huiswerk tussentoets
opdracht t-4a
GegevenishetpuntPendebrandpuntenF1,F2 vaneenellips.LijnPF1 snijdt
cirkel(P,|PF2|)indepuntenVenW.DeliggingvanpuntViszo,datcirkel(F1,
|VF1|)eenrichtcirkelisvandeellips.
TekendepuntenVenW.
Indeopdrachtwordtaangegevenhoejederichtcirkelvandeellipskuntvinden.
Ditisslechtséénmethode.
Wevoerendestappenhierbovenuit:
•Teken PF1.
•Tekencirkel(P,|PF2|)
•Tekenderichtcirkel(F1,|VF1|)
(Letop,dithoefdenietvoordevraag.)

10. Construeernogdriepuntenvandeellipsenschetsdeellips.
Devraagisconstrueerendusmoetdatnetjesmeteenstappenplan:
1. Kies een punt op de
richtcirkel: R1, R2 en R3.
2. Teken de straal vanuit het
punt op de richtcirkel: F1Rn.
3. Teken de middelloodlijn van
het punt op de richtcirkel en
het punt binnen de cirkel dus
van de lijnen: PRn.
4. Het snijpunt van de getekende
straal en de middelloodlijn is een
punt op de ellips: E1 t/m E3.
Huiswerk tussentoets
opdracht t-4b

11. Huiswerk tussentoets
opdracht t-4b

12. Huiswerk tussentoets
opdracht t-4c
Cirkel(F2,|WF1|)isderichtcirkelvandehyperbooltakdiebijbrandpuntF1
hoort.LaatziendatPopdehyperbooltakligt.
AlsPopdehyperbooltakligtdanmoetgelden|d(P,F1)-d(P,F2)|=k
d(P,F1)-d(P,F2)=
d(P,W)-d(W,F1)-d(P,F2)
Maarergeldtook:d(P,W)= d(P,F2)
Dus:
d(P,W)-d(W,F1)-d(P,F2)=-d(W,F1)=k.

13. Huiswerk tussentoets
opdracht t-5a
Gegevenzijntweeniet-snijdendecirkelsc1(M1,r1)enc2(M2,r2).Bewijsdatde
conflictlijnééntakvandehyperboolis.
StelpuntPligtopdeconflictlijnvandetweecirkels,dangeldt:
d(P,c1)=d(P,c2)
Ergeldtdanook:
d(P,M1)-r1 =d(P,M2)-r2
Endus:
d(P,M1)-d(P,M2)=r1 -r2=k.

14. DE SCHADUW
6-1kegelsneden

15. Lang geleden vroeg ik jullie om in de pauze jezelf te laten inspireren
door de schaduwen van de lampen.
Een gewone lamp projecteert een cirkel op de grond, maar wat is de
schaduw van de lamp op de muur?
Welke mogelijkheden voor schaduwen zijn er eigenlijk bij een gewone
lamp?
Schaduw van de lamp

17. Een kegel bestaat officieel uit 2 op elkaar staande kegels. Deze kegel
kunnen we doorsnijden op verschillende plaatsen. Zo ontstaan alle
mogelijke kegelsneden:
Kegelsneden

18. Een lamp zal dus, afhankelijk van zijn positie en hoek aan de muur, een
schaduw hebben die als vorm een lijn of hyperbool is op de muur.
Een schaduw in de vorm van een cirkel, ellips, twee snijdende lijnen of
een punt komen we op de muur niet tegen als de lamp ook aan de muur
is bevestigd (waarom niet?).
Schaduw van de lamp

19. In het vorige huiswerk hebben jullie bij de constructie van de hyperbool
gezien dat je de punten op de cirkel juist moet kiezen, anders kun je
geen conflictpunt tekenen:
Asymptoten

20. Vanaf een zeker moment is er geen snijpunt meer tussen de verlengde
straal van de cirkel en de middelloodlijn van A en P1.
Dit is het geval vanaf het moment dat deze twee lijnen evenwijdig lopen.
Op het moment dat de twee lijnen evenwijdig lopen heb je dus een
snijpunt in het oneindige.
De middelloodlijn die in dat geval ontstaat is je asymptoot en zal de
hyperbool in het oneindige raken/snijden.
Asymptoten

21. Voor de constructie van de asymptoten gaan we dus deze
middelloodlijnen construeren en dat doen we als volgt:
•Bepaal het midden S van het lijnstuk dat loopt vanaf het middelpunt M
van de cirkel tot het punt P buiten de cirkel.
•Teken de cirkel (S, SP)
•De twee snijpunten U en V van de twee cirkels zijn de punten waarbij
de asymptoot hoort.
•Construeer nu de middelloodlijn van de lijnstukken UP en VP.
Asymptoten construeren

22. Gegeven is de cirkel met middelpunt M en een punt P buiten de cirkel.
Teken de conflictlijn en de bijbehorende asymptoten van deze
conflictlijn.
•Bepaal het midden S van het
lijnstuk dat loopt vanaf het
middelpunt M van de cirkel tot
het punt P buiten de cirkel.
•Teken de cirkel (S, SP)
•De twee snijpunten U en V
van de twee cirkels zijn de
punten waarbij de asymptoot hoort.
•Construeer nu de middelloodlijn
van de lijnstukken UP en VP.
Voorbeeld 1

23. Voorbeeld 1

24. HET LAATSTE DAT JE ZAL RAKEN
6-2 Raaklijneigenschappen

25. We hebben geleerd hoe we met bepaalde gegevens een parabool, ellips
of hyperbool kunnen construeren.
We doen dit door gebruik te maken van loodlijnen (of (verlengde)
stralen) en middelloodlijnen.
Hiermee construeren we punten van de kegelsneden. Maar wat is de
raaklijn in deze punten?
Raaklijnen
2

26. De raaklijn van een parabool vindt je al wanneer je
een punt aan de parabool aan het construeren
bent.
De raaklijn aan een punt R op de parabool is
namelijk gelijk aan de middelloodlijn van het
lijnstuk FV, waarbij F het brandpunt is en V het
voetpunt op de richtlijn.
In punt R geldt dat de hoek van FR met de parabool gelijk is aan de
hoek van de raaklijn met het lijnstuk FR en gelijk is met de hoek tussen
de raaklijn en lijnstuk RV.
De raaklijn van een parabool

27. De raaklijn van een ellips kun je met of zonder
de richtcirkel construeren.
Wanneer je de richtcirkel (F1, |F1P|)
hebt (getekend), dan vindt je de raaklijn door
R door de middelloodlijn van F2P te tekenen.
Dit is dan direct de raaklijn. Deze lijn teken je
ook bij het construeren van de ellips.
Wanneer je de richtcirkel niet hebt, dan vindt
je de raaklijn door R door eerst de bissectrice van hoek F1RF2 te
tekenen. Daarna teken je loodlijn op de bissectrice door R. Dit is de
raaklijn.
De raaklijn van een ellips
2

28. Gegeven is de ellips met de brandpunten F₁ en F₂ en het punt R op de
ellips. Teken de richtcirkel, waarna je vervolgens de raaklijn aan de
ellips in punt R construeert. (Let op construeren is nummeren en uitleg
geven!)
Voorbeeld 2

29. Voorbeeld 2

30. Voorbeeld 2
1. Teken de lijn door de brandpunten.
2. Pas de afstand BF2 om zo krijg je D.
3. Teken de cirkel (F1, F1D).
4. Teken de lijn F1R. Het snijpunt met
de richtcirkel is P.
5. Teken de middelloodlijn van F2P.
1
2
3
45

31. De raaklijn van een hyperbool kun je met
of zonder de richtcirkel construeren.
Wanneer je de richtcirkel (F2, |F2P|)
hebt (getekend), dan vindt je de raaklijn door
R door de middelloodlijn van F1P te tekenen.
Dit is dan direct de raaklijn. Deze lijn teken je
ook bij het construeren van de hyperbool.
Wanneer je de richtcirkel niet hebt, dan vindt
je de raaklijn door R door de bissectrice van hoek F1RF2 te tekenen. Dit
is direct de raaklijn.
De raaklijn van een hyperbool

32. Gegeven is de hyperbooltak met de brandpunten F₁ en F₂ en het punt
P op de hyperbool. Construeer de raaklijn door het punt P aan de
hyperbool, zonder eerst de richtcirkel te tekenen. (Let op construeren
is nummeren en uitleg geven!)
Voorbeeld 3

33. Dit is de bissectrice van de hoek F1PF2.
Dus de constructie bestaat uit 1 stap:
construeer de bissectrice van hoek F1PF2.
Voorbeeld 3

34. Huiswerk
Maken:
§6-1 opdrachten 2, 4 t/m 6.
§6-2 opdrachten 7 t/m 12.