第一宇宙速度，第二宇宙速度を数値的に求めてみる．やり方がわりとアホ．

1. シミュレーション工学
地球における宇宙速度の計算
AE1-8 小田 悠介

2. 宇宙速度
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第1宇宙速度
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天体に墜落しないで
周回軌道に乗る（楕円運動）ための速度
●
第2宇宙速度
●
天体の重力を振り切って
外宇宙へ行く（双曲線運動）ための速度
●
地球では・・・
●
この速度を数値的に求めてみる．

3. 支配方程式
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次の条件を仮定すると，単純な2質点の運動で表せる．
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地球は完全な球である
●
地球の密度は同心球分布である
●
m≪M
●
このとき，物体の座標pについて

4. 支配方程式の変形
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式を使いやすくするために，
2階微分を1階微分に変形する．
というベクトルを用いて，

5. Runge-Kutta法
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微分方程式の数値解法
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現在の値から予測値を用いて次の値を計算
●
割と精度が良い
●
dx/dt = f(x)のとき，
4次Runge-Kutta法は
→→→

6. 宇宙速度の算出
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Runge-Kutta法によるシミュレーション結果から二分探索
によって宇宙速度を算出する．
●
二分探索で使用する条件・・・
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第1宇宙速度:
– 未満: 軌道が地球に食い込む
– 以上: 物体が半周する
●
第2宇宙速度:
– 未満: 元の地点に帰ってくる
– 以上: 無限遠に飛んでゆく
●
実際には無限遠の判定が難しいので，
地球半径の1000倍まで行ったところで打ち切る．

7. 実験結果(1)
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シミュレーション環境・・・MATLAB 7.12.0上で検証
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定数
– 万有引力定数 G = 6.674×10-11 m3s-2/kg
– 地球質量 M = 5.972×1024 kg
– 地球半径 （赤道半径） R = 6.378×106 m
●
初期条件
– x=0
– y = R+1（赤道の1m上空）
– vy = 0
● vxを適当な値にして，地球に対して水平に打ち出す．

8. 実験結果(1)
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シミュレーションによる物体の軌道

9. 実験結果(2)
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二分探索による宇宙速度の算出
第2宇宙速度 第1宇宙速度

10. 実験結果(2)
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最終的に得られた値:
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第1宇宙速度: 7.9052 ～ 7.9053 [km/s]
– 解析解: 7.905 [km/s]
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第2宇宙速度: 11.1755 ～ 11.1770 [km/s]
– 解析解: 11.18 [km/s]
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4桁程度の範囲では，解析解と数値解がよく一致する．
（もう少し詳しく計算してみると，第2宇宙速度に0.03％程度の定常誤差が出る）
（探索条件に打ち切りを使っているため？）

11. まとめ
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地球の第1宇宙速度，第2宇宙速度を数値的に求める方法を
考案，プログラムを組んで実験した．
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解析解との比較の結果，4桁程度の範囲でよく一致してい
た．
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第2宇宙速度の探索に問題があるので，よりよい方法を検
討する必要がある．