Phương pháp tính giới hạn dãy số

www.VNMATH.com
Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133

CHƯƠNG 4. GIỚI HẠN

Bài1. Giới hạn của dãy số
Phương pháp giải bài tập:
Dạng 1: Tìm giới hạn của một dãy:
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa để tìm giới hạn của một dãy
lim un 0 khi và chỉ khi |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý,
n

kể từ số hạng nào đó trở đi.
lim vn a lim vn a 0
n n

lim un khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ
n

ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
lim un lim ( un )
n n

BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Cho dãy (un) thoả mãn un n với mọi n. Chứng minh rằng lim un
n
Giải:
lim n vì vaäy n lôùn hôn moät soá döông baát kì keå töø moät soá haïng
naøo ñoù trôû ñi. maët khaùc u n n neân un lôùn hôn moät soá döông baát kì keå
töø moät soá haïng naøo ñoù.
Vaäy lim un
n

2n 1
Bài 2. Cho dãy số (un) có un . Tìm lim un .
n n

Giải:
2n 1 1
Ta bieán ñoåi: un 2 .
n n
1
Vaäy lim un 2 vì lim un 0
n n n
n 1
Bài 3. Biết dãy số (un) thoã mãn un với mọi n. Chứng minh rằng lim un 0
n2 n

Giải Đặt
n 1 n 1
vn .Ta coù lim vn lim 2 0. Do ñoù, vn coù theå nhoû hôn moät soá döông
n2 n
tuøy yù keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. (1)
Maët khaùc, theo giaû thieát ta coù un vn vn (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra un coù theå nhoû hôn moät soá döông tuøy yù keå töø moät soá haïng
naøo ñoù trôû ñi, nghóa laø lim un 0

Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 1

www.VNMATH.com

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Biết dãy số (un) thoã mãn un n2 với mọi n. Chứng minh rằng lim un
n

Giải:
Vì lim n2 neân n 2 coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi
Maët khaùc, theo giaû thieát un n2 vôùi moïi n, neân un cuõng coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy
yù, keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy lim un
Bài 2. Cho biết lim un và vn un với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn vn.
n

Hướng dẫn:
lim un lim ( un ) vn un lim ( vn )
n n n

Vaäy lim vn
n

Bài 3. Cho dãy số (un) hội tụ, dãy (vn) không hội tụ. Có kết luận gì về sự hội tụ của dãy
un vn .
Hướng dẫn: Kết luận dãy un vn không hội tụ
Thật vậy:
Xeùt daõy un vn , giaû söû noù hoäi tuï nghóa laø lim un vn a vaø lim un b.
n n

Khi ñoù lim un lim vn a
n n

Vaäy lim vn a lim un
n n

Vì lim un b lim vn a b
n n

Vaäy (vn ) laø hoäi tuï, ñieàu naøy khoâng ñuùng.
Vaäy daõy un vn khoâng hoäi tuï.
3n 2
Bài 4. Cho dãy (un) xác định bởi: un
n 1
1
a) Tìm số n sao cho un 3
1000
b) Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy (un) đều nằm trong
khoảng (2,999;3,001).
Hướng dẫn:
1 1
a) un 3 n 999
n 1 1000
1 1 1
b) Khi n 999 un 3 3 un 3 2,999 un 3,001
1000 1000 1000

Bài 5. Biết rằng dãy số (un) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (vn) với vn=|un|
cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không?
Hướng dẫn:


www.VNMATH.com

Vì (un ) coù giôùi haïn laø 0 neân un coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø soá haïng
naøo ñoù trôû ñi.
Maët khaùc, vn un un . Do ñoù, vn cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå
töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (un ) coù theå nhoe hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá
haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (v n ) cuõng coù giôùi haïn laø 0.
(Chöùng minh töông töï, ta coù chieàu ngöôïc laïi cuõng ñuùng).
n
Bài 6. Vì sao dãy (un ) với un 1 không thể có giới hạn là 0 khi n ?
Hướng dẫn:
Vì un ( 1)n 1, neân un khoâng theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïng
naøo ñoù trôû ñi. Chaúng haïn, un khoâng theå nhoû hôn 0,5 vôùi moïi n.
Do ñoù, daõy soá (u n ) khoâng theå coù giôùi haïn laø 0.
Bài 7. Cho biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, còn dãy (vn) không có giới hạn hữu
hạn. Dãy un vn có thể có giới hạn hữu hạn không?
Hướng dẫn: Xem nội dung lời giải bài 3.
Bài 8.
a) Cho hai dãy (un) và (vn). Biết
lim un vaø vn un vôùi moïi n. Coù keát luaän gì veà giôùi haïn cuûa daõy (vn ) khi n + ?
n

b) Tìm lim vn vôùi vn n!
n

1
Bài 9. Biết un 2 . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (un)?
3n
Bài 10. Dùng định nghĩa giới hạn cảu dãy số. Chứng minh:
3n 2 n2 2
a) lim 3 b) lim
n n 1 n n 1
sin n
c) lim 0 d ) lim 3 1 n3
n n n


www.VNMATH.com

Phương pháp 2: Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các
bài toán tìm giới hạn dãy.
1. Các giới hạn đặc biệt:
C C
lim 0; lim 0; lim C C; lim n
n n n
n n n

C
lim n k , k N * ; lim 0; k N*
n n nk
lim q n 0, q 1 ; lim q n , q 1
n n

A A
lim 0 lim vn ; lim lim vn 0
n vn n n vn n

2. Định lý về giới hạn hữu hạn:
Giaû söû lim un a vaø lim vn b. Khi ñoù:
n n

1. lim un vn a b
n

2. lim un .vn a.b
n

un a
3. lim ,b 0
n vn b
4. lim un a (vôùi un 0 vôùi moïi n N* )
n

3. Định lý về giới hạn
un
1.Neáu lim un a vaø lim vn thì lim 0
n n n vn
un
2.Neáu lim un a 0, lim vn 0 vaø vn 0, n *
thì lim
n n n vn
3.Neáu lim un vaø lim vn a 0 thì lim un vn
n n n

Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n
thì chia tử và mẫu cho nk với k là mũ cao nhất.
Nếu biểu thức chứa căn thức ( dạng A B ; 3 A 3 B ) cần nhân
một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.

BÀI TẬP MẪU:
3n3 5n2 1
Bài 1. Tính lim .
n 2n3 6n 2 4n 5
Giải:


www.VNMATH.com

5 1
3
3n3 5n 2 1 n n3 3
lim 3 lim
n 2n 6n2 4n 5 n 6 4 5 2
2
n n2 n3
2n2 1 5n
Bài 2. Tính lim .
n 1 3n2
Giải:
1 1 5
2
2n 1 5n
2
n n2 n 0
lim lim 0
n 1 3n2 n 1 3
3
n2

Bài 3. Tính lim n2 7 n2 5
n

Giải
n 2
7 n2 5 2
lim n2 7 n2 5 lim lim 0
n n
n 2
7 n 2
5 n
n 2
7 n 2
5
Bài 4. Tính lim n 2 3n n2
n

Giải:
3n 3 3
lim n2 3n n2 lim lim
n n
n 2
3n n 2 n
3 2
1 1
n
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
4n2 n 1 n2 n 1 2
a) lim b) lim c) lim n 2
n 3 2n2 n 2n3 5 n n 1
a0 n m a1n m 1
... am 1n am
Toång quaùt: Tính giôùi haïn: lim
n b0 n p
b1n p 1
... bp 1n bp
Tính giôùi haïn sau:
3 2
2n 4 n2 1 2 3n n 1
d) lim e) lim
n
2n 1 3 n n2 2 n 1 4n5
Đáp số:
27
a) 2 b) 0 c) d) 1 e)
4
Bài 1.1 Tính: lim n2 n n 1
n

1 1
Giải: Tính: lim n2 n n 1 lim ( n) 1
n n n n2


www.VNMATH.com

Bài 2. Tính các giới hạn:
2n 4 n 2 7 3n2 1 n2 1 3n2 14 n
a) lim b) lim c) lim
n 2n 2 n 3 n n n 1 2n 2
3
2n3 n
d ) lim
n n 2
Đáp số:
2
a) b) 3 1 c) 0 d) 3 2
2
Bài 3. Tình giới hạn sau:
3n 1 2n 1
3n 2 4.3n 7n 1
a) lim n b) lim c) lim
n 3 2n n 1 2n n 2.5n 7n
n
2 3n 5n 1
d ) lim e) lim
n
2
n 1
3n 1 n 5n 1
Đáp số:
1
a) 3 b) c) 7 d) e)1
3
Bài 4. Tính các giới hạn sau:
3
a) lim n 1 n b) lim n 2 3n n 2 c) lim n3 2n 2 n
n n n

4n2 1 2n 1
d ) lim n 2
n n e) lim f ) lim n n2 1 n2 2
n n
n2 2n n n

3 1
g) lim n n3 n 2 h) lim
n n
n2 2 n2 4

Đáp số:
7 2 1 3
a) 0 b) c) d) e)1 f) g)3 h)
2 3 2 2
Bài 5.Tính các giới hạn sau:
n 1 2 3 ... n 1 2 3 ... n
a) lim b) lim
n n2 n 1 n n2
1 1 1 1 1 a a2 ... a n
c) lim ... d ) lim vôùi a 1, b 1
n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1 b b2 ... b n
n 1 3 ... 2n 1
e) lim
n 2n2 n 1
1 1 1 1
f ) lim ...
n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1) n 2


www.VNMATH.com

2 2 2
g) lim 1 1 ... 1
n 2.3 3.4 n 1 n 2
1 1 1 1
h) lim ...
n 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1)
2.12 3.22 ... n 1 n2
i) lim
n n4
1 1 1
k ) lim ...
n
2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1
1 3 5 2n 1
l* ) lim ...
n 2 2 2
2 3
2n
Hướng dẫn và đáp số:
1 n
n n
n 1 2 3 ... n 2 n n2 n 1
a) lim lim lim
n n2 n 1 n n 2
n 1 n
n2 n 1 2 2
1
b)
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
c) Ta coù: 1 ; ; ;...;
1.2 2 2.3 2 3 3.4 3 4 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1
Suy ra: lim ... lim 1 1
n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n n 1
1
1 b
d) S lim 1 a
n 1 1 a
1 b
1 2n 1 n
n
n 1 3 ... 2n 1 2 1
e) S lim lim
n 2n 2 n 1 n 2n 2
n 1 2
1 1 1 1
Söû duïng:
k k 1 k 2 2 k k 1 k 1 k 2

1 1 1 1 1 1
f) Vaäy: ...
1.2.3 2.3.4 n. n 1 n 2 2 2 n 1 n 2

1 1 1 1 1 1 1 1
Vaäy lim ... lim
n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1) n 2 n 2 2 n 1 n 2 4

2 k 1 k 2
g) Ta thaáy: 1
k k 1 k k 1


www.VNMATH.com

2 2 2 2
Vaäy: 1 1 ... 1 ... 1
2.3 3.4 k. k 1 n. n 1

1.4 2.5 k 1 k 2 n 1 n 2 1 n 3
. ... ...
2.3 3.4 k k 1 n n 1 3 n 1

2 2 2 1
Vaäy lim 1 1 ... 1
n 2.3 3.4 n 1 n 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
h) Sn ... 1 ...
1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2 3 3 5 2n 1 2n 1
1 1 1
1 neân lim Sn
2 2n 1 n 2
i) Ta coù: Sn 2.12 3.22 ... n 1 n2 1 1 12 2 1 2 2 ... n 1 n2
2
n n 1 n n 1 2n 1
Sn 13 23 ... n3 12 22 .... n2
2 6
2
Sn n2 n 1 n n 1 2n 1 1
lim lim
n n 4 n 4n 4
6n 4
4

1 n 1 n n n 1 1 1
k ) Ta coù: 2
n 1 n n n 1 n 1 n n2 n 1 n n 1
1 1 1
Sn ...
2 1 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1
1 1 1 1 1 1
1 ... 1 lim Sn 1
2 2 3 n n 1 n 1 n

1 3 5 2n 1
l) Ta coù: Sn ...
2 2 2 23 2n
1 1 3 1 5 3 2n 1 2n 3 2n 1
Sn S ...
2 n 2 22 22 23 23 2n 2n 2n 1
1 1
1 1 1 1 2n 1 1 2n 1 2n 1 1 1 1
2 2n 1
... n 1
2 2 22 2 2n 1 2 1 2n 1 2 2n 2 2n 1
1
2
1 1 1 2n 1 1 2n 1
Suy ra: S 1 n2 Sn 3 n 3
2 n 2 2 2 n 1
2 2n 2n
n n 2 2 n
Maët khaùc: . Maø lim 0 lim n 0
2n 1 1
n
n 1 n n 1 n 2
Vaäy lim Sn 3
n


www.VNMATH.com

Phương pháp 3. Dùng nguyên lí kẹp.
Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn). Nếu
un vn wn vôùi moïi n
Và lim un lim wn L (L ) thì lim vn L

BÀI TẬP MẪU:

1 2 n
Tính lim .... .
n n 2
1 n 2
2 n 2
n
Giải:
Ta thấy:
1 2 n 1 2 ... n 1
.... 2
n 1 n 2
2 2
n n n2 n 2
1 2 n 1 2 n n n 1
Vaø .... ...
n2 1 n2 2 n2 n n2 1 n2 1 n2 1 2 n2 1

1 1 2 n n n 1
Vaäy ....
2 n2 1 n2 2 n2 n 2 n2 1
n n 1 1
Maø lim
n
2 n2 1 2

1 2 n 1
Vaäy lim ....
n n2 1 n2 2 n2 n 2

Bài 1. Tính giới hạn của các giới hạn sau:
n
1 1 3sin n 4cosn n sin n
a) lim b) lim c) lim
n 2 3n n n+1 n 3n+4
n
sin 2n cos2n 1 3n 2
d ) lim e) lim
n 3n+1 n cosn+5n 2
1 1 1
f ) lim ...
n
n 2
1 n 2
2 n2 n
Đáp số:
1 3
a) 0 b) 0 c) d )0 e) f )1
3 5

Bài 2. Cho 2 dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu lim vn 0 vaø u vn với mọi n
thì lim un 0


www.VNMATH.com

Hướng dẫn:
lim vn 0 vn coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù
trôû ñi. (1)
Vì un vn vaø vn vn vôùi moïi n, neân un vn vôùi moïi n (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra un cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng
naøo ñoù trôû ñi, nghóa laø lim un 0
Áp dụng: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:
1 ( 1)n 2 n( 1)n
a) un b) un c) un
n! 2n 1 2n 2 11
d ) un (0,99)n cos n e) un 5n cos n

Đáp số:
a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e)

DẠNG 2: Chứng minh một dãy số có giới hạn:
Phương pháp:
1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:
Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.
Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn.
2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị
chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên
của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm)
và số M.
3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương
pháp sau:
* Phương pháp 1:
Đặt lim un a
n

Từ lim un 1
lim f (un ) ta được một phương trình theo ẩn a.
n n

Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là
một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình có
nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần tìm. còn
nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính
chất của dãy số để loại nghiệm.
Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
Phương pháp 2:
Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán./
Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy
nạp toán học.
Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó.


www.VNMATH.com

BÀI TẬP MẪU:
u1 2
Bài 1. Chứng minh dãy (un) bởi công thức truy hồi .
un 1 2 un vôùi n 1
Chứng minh dãy có giới hạn, tìm giới hạn đó.
Giải:
Ta có: u1 2 vaø un 1 2 un , un 0 vôùi n N
Ta chứng minh : un 2 vôùi n N (1)
Vôùi n=1, ta coù u1 2 2 thì (1) ñuùng
Giaû söû baát baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi n=k thì uk 2.
Vaäy un 2, n N
Chứng minh dãy (un) tăng:
Xeùt un 1
un 2 un un un un 2 0
2
1 un 2
Maø 0 un 2 neân un 1
un . Vaäy (u n ) laø daõy taêng (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra (un ) coù giôùi haïn.
Đặt lim un a thì 0 a 2
n

un 1
2 un lim un 1
lim 2 un
n n

a 2 a a2 a 2 0 a 1hoaëc a=2
Ta có: Vì un 0 neân lim un a 0.Vaäy lim un =2
n n

Löu y: Trong lôøi giaûi treân, ta ñaõ aùp duïng tính chaát sau:
ù
" Neáu lim un a thì lim un 1 a "
n n

u1 2
Bài 2. Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi 1.
un 1 2
un
Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Giải:
Ta có :
1 2 3 4 n
u1 ; u2 ; u3 ; u4 .Töø ñoù ta döï ñoaùn: un (1)
2 3 4 5 n 1
Chöùng minh döï ñoaùn treân baèng quy naïp:
1 1
Vôùi n=1, ta coù: u1 (ñuùng)
1 1 2
k
Giaû söû ñaúng thöùc (1) ñuùng vôùi n=k (k 1), nghóa laø uk .
k 1


www.VNMATH.com

1 1 k 1
Khi ñoù ta coù uk ,nghóa laø ñaúng thöùc (1)
1
2 uk k k 2
2
k 1
cuõng ñuùng vôùi n=k+1.
n
Vaäy un , n *
.
n 1
n
Töø ñoù ta coù lim u n lim 1
n 1

Bài 1. Chứng minh dãy (un) với un 2 2 ... 2 2 là dãy hội tụ.
n daáu caên

Phương pháp: Xét dãy (un) tăng (hoặc giảm), xét (un) bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới)
Chú ý: Để tìm giới hạn của dãy cho bởi công thức truy hồi ta dùng các phương pháp.
1. Tìm công thức tổng quát ( dựa vào phương pháp đã được nêu ở phần kiến thức
dãy số).
Tính giới hạn un.
2. Tìm lim un 1 lim f un . Giải phương trình tìm lim un a Tìm giới hạn.
n n n

u1 0
Bài 2. Cho dãy truy hồi un 1 3 . Tìm giới hạn của dãy.
un (n 2)
4
u1 0
1
3 1
u2 1
4 4
2
15 1
u2 1
16 4
.
.
.
n 1
1
un 1
4
n 1
1
baèng phöông phaùp quy naïp chöùng minh un 1
4
n 1
1
Vaäy lim 1 1
n 4


www.VNMATH.com

u1 2
Bài 3. Cho dãy truy hồi un 1 1 . Chứng minh dãy (un) có giới hạn, tìm giới
un (n 2)
2
hạn đó.
Cách 1:
2n 1 1
Döï ñoaùn un
2n 1
2n 1 1
lim un lim n 1
n n 2 1
Cách 2:
Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới.
lim un a, tìm a
n

a 1
Giả sử lim un lim un 1
a a 1
n n 2
lim un 1
n

Bài 4.
u1 2
a) Cho dãy truy hồi un 1 . Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm
un 1 (n 1)
2
giới hạn đó.
0 un 1
b) Cho dãy (un) xác định bởi: 1 . Chứng minh dãy (un)
un 1 1 un (n 1)
4
có giới hạn và tìm giới hạn đó.
b) * Chöùng minh (u n ) laø daõy taêng vaø bò chaën treân
Ta coù: 0 un 1, n N
AÙp duïng baát ñaúng thöùc coái:
1
un 1
1 un 2 un 1
1 un 2
1 un 1 un , n N *
4
Vaäy (un ) laø daõy taêng vaø bò chaën treân thì (un ) thì daõy coù giôùi haïn
* Ñaët lim un a, a 0
n
2
1 1 1 1 1
Ta coù: un 1
1 un lim un 1
1 un a 1 a a 0 a
4 n 4 4 2 2
1
Vaäy lim un
n 2


www.VNMATH.com

1 2
Bài 5. Cho dãy (un) xác định bởi un 1
u vaø u1 0
2 n un
a) Chứng minh rằng un 2 vôùi moïi n 2
b) Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
1 2
a) Ta coù: u1 0, un 1
u un 0, n N *
2 n un
AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si:
1 2 2
un 1
u un . 2 , n 1, n
2 n un un
Suy ra un 2, n 2, n N
b) Ta coù: u n 2, n 2, n N neân un laø daõy bò chaën döôùi
1 2 1 u2
Xeùt un 1
un u un 1 n 0, n 2, n N neân un 1
un , n N *
2 n un un 2
* Ñaët lim un a, a 2.Ta coù:
n

1 2 1 2 1 2 a 2
un 1
u lim un 1
lim u a a a2 2
2 n un n n 2 n un 2 a a 2
Vaäy lim un 2
n

Bài 6. Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức un cos n. n *
. Chứng minh
dãy không có giới hạn.
Hướng dẫn:
Giaû söû lim un lim cos n a lim cos n 2 a lim cos n 2 cos n 0
n n n n

2 lim sin n 1 sin1 0 lim sin n 1 0 lim sin n 0
n n n

maët khaùc: sin n 1 sin ncos1 cos n sin1,Suy ra lim cos n 0
n

Suy ra : lim cos2 n sin 2 n 0, voâ lyù
n

Vaäy daõy soá (un ) vôùi un cos n khoâng coù giôùi haïn.
Bài 7. Chứng minh các dãy sau hội tụ:
1 1 1
a) n
1 ... 2 ; n N
2 3
2 2
n
1 1 1
b) n
1 2 ... n ; n N
2 3 3
n
Hướng dẫn:
a) Ta thấy


www.VNMATH.com

1 1 1
Daõy n
1 ... 2 laø daõy taêng, ta chæ caàn chöùng minh daõy bò chaën.
2232
n
1 1 1 1 1 1 1
1 2 ... 2 1 ... 2 2
2 3 2
n 1.2 2.3 (n 1)n n
Vaäy daõy hoäi tuï.
b)
1 1 1
Daõy n
1 ... n laø daõy taêng, ta chæ caàn chöùng minh daõy bò chaën.
2 3
2 3
n
1 1 1 1 1 1
n
1 2 ... n 1 2 ... 2 2
2 3 3
n 2 3 2
n
Vaäy daõy bò chaën treân neân hoäi tuï.

Dạng 4: Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm
giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số.
Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là
|q|<1.
Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un)
u1
S u1 u2 ... un ...
1 q
Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10
a1 a2 a3 an
X N , a1a2 a3 ...an ... N ... ...
10 102 103 10 n

BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Viết số thập phân m=0,030303...( chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ.
Giải:
3
3 3 3 100 3 1 100
m 3 ... 3 3 3
100 10000 100 n 1 99 33 33
1
100
1 1
Bài 2. Tính tổng S 2 2 1 ...
2 2
Giải:
1 2 1 1
Xét dãy: 2,- 2 ,1, ,... là cấp số nhân q 2
;q 1
2 2 2 2

2 2 2
Vậy S 4 2 2
1 2 1
1
2
Bài 1. Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số.
34,1212... (chu kỳ 12).


www.VNMATH.com

1134
Đáp số:
33
Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
1 1 1 2 1 1 1
a) S 1 ... n 1 ... b) S ...
4 16 4 2 1 2 2 2
Hướng dẫn :
1 4 2 2
a) q ;S b) q ;S 4 3 2
4 3 2
Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S=3 và công bội
n 1
2 2 4 2
q . Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1; ; ;...
3 3 9 3
1
Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S=6. Tính hai số hạng đầu u1 u2 4
2
Hướng dẫn:
u1
S 6 u1 6 1 q
1 q 1
1 q
1 u1 1 q 4 2
u1 u1q 4 2
2
n 13
Bài 5. Giải phương trình sau: 2 x 1 x 2 x3 x4 x 5 ... 1 x n ... với
6
x 1
n
Hướng dẫn: Dãy số x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ,..., 1 x n ... là một cấp số nhân với công bội
1 7
q x . ĐS: x ;x
2 9
Bài 6.
2 3 n 1
a) Tính tổng S 1 0,9 0,9 0,9 .... 0,9 ...

b) Cho 0 . Tính tổng S 1 tan tan 2
... tan3
4
c) Viết số thập phân vô hạn tiần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ
a = 0,272727...... b = 0,999999999...........
d) Cho dãy bn sin sin 2 sin 3 ... sin n với k . Tìm giới hạn
2
dãy bn.
Hướng dẫn:
1
a) S 10
1 0,9
1
b) S
1 tan
c)


www.VNMATH.com

2 7 2 7
a 0 ...
10 102 103 10 4
2 2 2 7 7
... ... ....
10 10 3
10 2n 1
102 10 4
1 1
3
2 10 7 10
1 1 11
1 1
10 2
10 2

9 1
b . 1
10 1 1
10
sin
d) lim bn
1 sin
n soá haïng

a aa ... aaa...a
Bài 9. Tính lim
n 10 n
Hướng dẫn:
Ta có:
n soá haïng n soá haïng
10 1 100 1 10 n 1
a aa ... aaa..a a 1 11 ... 111..1 a ...
9 9 9

10 10 n 1 9n
a
81
n soá haïng

a aa ... aaa..a 10a 10 n 1 9n 10a
Vaäy lim
n 10n 81 10n 81


Phương pháp tính giới hạn dãy số

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Phương pháp tính giới hạn dãy số

Similar to Phương pháp tính giới hạn dãy số (6)

More from Thế Giới Tinh Hoa

More from Thế Giới Tinh Hoa (20)

Phương pháp tính giới hạn dãy số