ส่วนหนึ่งของเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์

1. ภาคตัดกรวย
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน
ภาคตัดกรวยนี้ถูกตั้งเป็นหัวข้อศึกษาตั้งแต่สมัย 200 ปีก่อนคริสต์ศักราชโดย อพอลโลเนียสแห่ง
เพอร์กา ผู้ซึ่งศึกษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติหลายประการของภาคตัดกรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกนาไปใช้ประโยชน์หลายแบบได้แก่ในปี พ.ศ.2133
(ค.ศ.1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพาราโบลา, ในพ.ศ.2152 (ค.ศ.1609) โยฮันส์
เคปเลอร์ พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็นรูปวงรี เป็นต้น
เนื้อหา
[ซ่อน]
 1 ชนิดของภาคตัดกรวย
o 1.1 ภาคตัดกรวยจากทางเดินของจุด
o 1.2 ความเยื้อง (Eccentricity)
 2 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิตวิเคราะห์
 3 เซมิเลตัสเรกตัม และ ระบบพิกัดเชิงขั้ว
 4 คุณสมบัติทั่วไป
 5 การประยุกต์ใช้งาน
 6 อ้างอิง
 7 แหล่งข้อมูลอื่น
ชนิดของภาคตัดกรวย[แก้]
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบให้ได้เส้นโค้งปิด (เป็นวง) วงกลมนั้นถือเป็นกรณีพิเศษของวงรี
โดยแนวของระนาบในการตัดนั้นตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัดกรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรือเรียก เส้นกาเนิดกรวย (generator
line) จะได้เส้นโค้งเรียกว่า พาราโบลา หากระนาบไม่อยู่ในแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิดไม่เป็นวง
จะเรียกเส้นโค้งนี้ว่า ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้ว่าในกรณีนี้ระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่งบน และครึ่งล่างได้เป็นเส้นโค้งที่ขาดจากกันสองเส้น

2. ในกรณีที่เรียกว่า "ภาคตัดกรวยลดรูป" (degenerate conic) ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย และได้ผลของการตัดเป็น จุด เส้นตรง หรือ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณีเหล่านี้ไม่ได้ถูกรวมไว้ในภาคตัดกรวย
ภาคตัดกรวยจากทางเดินของจุด[แก้]
แต่ละประเภทของภาคตัดกรวยนั้นสามารถนิยามโดยการใช้เส้นทางเดินของจุด โดยทุก ๆจุด P บนเส้นทางเดิน จะต้องเป็นไปตามคุณสมบัติเฉพาะดังนี้
 วงกลม : ระยะ(P,C)= r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่เรียกว่า รัศมี
 พาราโบลา : ระยะ(P,F)=ระยะ(P,L)โดยที่ F คือจุดตายตัวเรียกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง กาหนดตายตัวและไม่ผ่านจุดโฟกัส
เรียกว่า ไดเรกทริกซ์
 วงรี : ระยะ(P,A) +ระยะ(P,B) = d โดยที่A, B เป็นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกันเรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า
ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่านศูนย์กลางหลัก
 ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B)= d โดยที่ A, B เป็นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกันเรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็นค่าคงที่ที่มีค่าน้อยกว่า
ระยะ(A,B)
ความเยื้อง(Eccentricity)[แก้]
ค่าความเยื้องหรือ ค่าความเบี่ยงเบนจากศูนย์กลาง(eccentricity) ของภาคตัดกรวยเป็นค่าบ่งชี้ถึงความเบี้ยวหรือ เบี่ยงเบนไปจากความกลม
โดยเมื่อความเยื้องมีค่าลดลงรูปร่างของภาคตัดกรวยที่ได้จะมีรูปร่างเข้าใกล้ทรงกลมมากขึ้น
ถ้าเส้นตรง คือไดเรกทริกซ์และ คือ จุดโฟกัสค่าความเยื้อง หาได้จาก
โดยที่
 คือ ระยะทางจากจุด ใดๆบนภาคตัดกรวย ไปยังจุดโฟกัส

3.  คือ ระยะทางจากจุด ใดๆบนภาคตัดกรวย ไปตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์
รูปร่างของภาคตัดกรวยที่ได้ขึ้นกับค่า โดย
 เป็นรูปวงรี
 เป็นรูปพาราโบลา
 เป็นรูปไฮเพอร์โบลา
ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิตวิเคราะห์[แก้]
รู ปแสดงการตัดกรวยด้วยระนาดในแนวต่าง ๆ
บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน กราฟของสมการสองตัวแปรกาลังสอง (quadratic equation) จะเป็นรูปภาคตัดกรวยเสมอ
หากเราพิจารณาสมการที่อยู่ในรูป
แล้ว:
 ถ้า h2
= ab แล้วจะได้สมการของรูป พาราโบลา
 ถ้า h2
< ab และ a b และ/หรือ h 0 แล้วจะได้สมการของรูป วงรี
 ถ้า h2
> ab แล้วจะได้สมการของรูป ไฮเพอร์โบลา
 ถ้า h2
< ab and a = b and h = 0 แล้ว จะได้สมการของรูป วงกลม
 ถ้า a + b =0 แล้วจะได้สมการของรูป ไฮเพอร์โบลามุมฉาก
เซมิเลตัสเรกตัม และ ระบบพิกัดเชิงขั้ว[แก้]

4. เซไมลาตัสเรกตัมของวงรี
เซมิเลตัสเรกตัม ของภาคตัดกรวยปกติเขียนแทนด้วย l คือ ระยะทางจากจุดโฟกัสหนึ่ง ไปยังภาคตัดกรวยโดยวัดตั้งฉากกับแกนหลัก
(major axis) มีความสัมพันธ์กับ a และ b โดย หรือ
ในระบบพิกัดเชิงขั้วนั้น ภาคตัดกรวยที่มีจุดโฟกัสหนึ่งอยู่ที่จุดออริจินและอีกจุดหนึ่ง(หากมี)บนแกน x ด้านบวก
จะกาหนดโดยสมการต่อไปนี้
.
คุณสมบัติทั่วไป[แก้]
ภาคตัดกรวยนั้นมีรูปร่างที่มนสม่าเสมอ ไม่มีจุดเปลี่ยนโค้ง (inflection point)
ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่มีความสาคัญต่อการใช้งานหลายประเภท เช่น
การใช้งานเกี่ยวกับแอโรไดนามิกส์ ซึ่งพื้นผิวนั้นจาเป็นต้องออกแบบเพื่อให้ของไหล ไหลผ่านอย่างสม่าเสมอ (laminar flow)
เพื่อป้องกันการเกิดการไหลทะลัก (turbulence)
การประยุกต์ใช้งาน[แก้]
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน
ตามกฎของนิวตัน นั้นจะมีรูปร่างเป็นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล(center of mass) ร่วมของทั้งสองวัตถุนั้นอยู่นิ่ง
หากทั้งสองนั้นถูกดึงดูดอยู่ด้วยกันทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็นรูปวงรี หากวัตถุทั้งสองวิ่งออกจากกันทางเดินจะเป็นรูปพาราโบลาหรือ
ไฮเปอร์โบลาดู ปัญหาหลายวัตถุ
ในเรขาคณิตเชิงภาพฉาย (projective geometry) นั้น ภาพฉายบนระนาบ
ของภาคตัดกรวยแต่ละชนิดนั้นจะเหมือนกันขึ้นอยู่กับลักษณะการฉาย หรือที่เรียกว่า การแปลงเชิงภาพฉาย (projective
transformation)
สาหรับการประยุกต์ใช้งานเฉพาะของภาคตัดกรวยแต่ละชนิดนั้นดูที่บทความ วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา