Lezione 2 alberi e differenze finite

Giovanni Della Lunga
Università degli Studi di Bologna

Alberi Binomiali, Trinomiali e
Differenze Finite
Applicazioni al Pricing di Prodotti Derivati

Perchè i metodi numerici
Alberi Binomiali
Alberi Trinomiali
Volatilità Implicita e Smile
Prezzi di Arrow-Debreu e Probabilità Implicite
Alberi Binomiali Impliciti
Alberi Trinomiali Impliciti
Alberi per tassi di interesse
Il modello di Hull & White
Richiami di Analisi Numerica: Sistemi Lineari
Equazioni Differenziali a Derivate Parziali
Metodi alle Differenze Finite

Perché preoccuparsi dei metodi
numerici?


Esistono soluzioni analitiche al problema del
pricing di derivati?




Il modello di Black & Scholes offre una soluzione
in forma chiusa al problema del pricing di
un’opzione europea?

Cosa significa esattamente soluzione in
forma chiusa o analitica?

numerici?
− rt

C = SN (d1 ) − Ee N (d 2 )


Se per metodo in forma chiusa si intende una formula
risolutiva priva di errore numerico, allora in pratica nel
problema del pricing di prodotti derivati non esistono
soluzioni in forma chiusa!

numerici?


Ogni metodo numerico comporta uno o più tipi di errore!



E’ necessario conoscerne


L’origine



La propagazione



La mancata considerazione di questi aspetti può condurre a risultati
del tutto privi di senso



Questi aspetti sono particolarmente importanti nel settore della
risoluzione numerica delle equazioni differenziali a derivate parziali in
cui, come vedremo, vengono utilizzati metodi iterativi.

Analisi degli Errori


Un computer è in grado di rappresentare soltanto un numero finito di cifre



Un numero reale può essere approssimato



Errore di arrotondamento



Il risultato prodotto da un algoritmo differisce, in generale, dal risultato
esatto cioè da quel risultato che si otterrebbe lavorando con un numero
infinito di cifre.



Senza un’idea, più precisamente una maggiorazione, della differenza dei
due risultati, il risultato numerico può essere del tutto illusorio. Infatti esso
può dipendere dal numero di cifre utilizzate e/o dall’ordine in cui vengono
effettuale le operazioni.





Un esempio estremo con Excel:
calcolo del grafico della funzione (x-1)6 in un intorno di zero

6E-14
6E-14

5E-14
5E-14

4E-14
4E-14

3E-14
3E-14

2E-14
2E-14

1E-14
1E-14

0

0
0.992
0.992

-1E-14
-1E-14

0.994
0.994

0.996
0.996

0.998
0.998

1

1

1.002
1.002

1.004
1.004

1.006
1.006

1.008
1.008



Sorgenti di Errore



Semplificazioni introdotte nel modello
Errori nei dati





Errori di arrotondamento




Sistematici
Casuali
Sono gli errori introdotti nella rappresentazione dei numeri sul
calcolatore

Errori di troncamento


Sono gli errori che vengono introdotti quando un procedimento
infinito viene approssimato mediante un procedimento finito
(es. calcolo di una derivata)



Dato un problema matematico possiamo distinguere, per quanto riguarda la
propagazione degli errori,


il comportamento del problema e



il comportamento di un particolare algoritmo utilizzato per risolvere il
problema



Nel primo caso si è interessati a vedere come eventuali perturbazioni sui
dati del problema si trasmettono sui risultati



Per caratterizzare un problema rispetto a questo tipo di comportamento si
usa comunemente il termine condizionamento.



Un problema è ben condizionato (o mal condizionato) a seconda che le
perturbazioni sui dati non influenzino (o influenzino) eccessivamente i
risultati



Nel caso di un algoritmo, per indicare il suo
comportamento rispetto alla propagazione degli
errori è più usuale il termine di stabilità.



Si dirà quindi che un algoritmo è stabile (instabile)
se la successione delle operazioni non amplifica
(amplifica)
eccessivamente
gli
errori
di
arrotondamento.



Tecniche di controllo degli errori




Backward analysis
Aritmetica dell’intervallo
Perturbazioni sperimentali


L’idea è semplice (anche se talvolta può essere
eccessivamente costosa): si esegue il calcolo più volte
a partire da diversi dati perturbati e usando precisioni
diverse.

Il modello Binomiale


In ogni periodo assumiamo che il prezzo del
sottostante possa muoversi in due sole direzioni
(Modello Binomiale);



Backward induction: partendo dalla data di
scadenza del contratto derivato in cui si conosce il
valore dell’opzione si risale verso la radice
dell’albero calcolando ad ogni nodo la probabilità
risk adjusted;

Sd
fd
S
f





Sia S il valore del sottostante e f il valore
dell’opzione scritta su di esso.
Formiamo un portafoglio con una posizione
lunga in ∆ unità del sottostante e una corta in
un’opzione call.

Il valore del portafoglio nei due stati del
mondo sarà pari a

Su
fu



Determiniamo il valore di ∆ che rende uguali
questi due valori

S 0 u∆ − f u
S 0 d∆ − f d

fu − f d
S0 u∆ − f u = S0 d∆ − f d ⇒ ∆ =
S0 u − S0 d





Il portafoglio è quindi privo di rischio per cui, al fine di evitare
possibilità di arbitraggio, il suo rendimento deve eguagliare il tasso
di rendimento risk-free.
Questo implica che il valore scontato del portafoglio in uno dei due
stati del mondo futuri deve eguagliare il valore attuale oggi, ovvero

S0 ∆ − f = ( S0 u∆ − f u ) e − rT ⇒ f = S0 ∆ − ( S0 u∆ − f u ) e − rT
sostituendo ∆...
sostituendo ∆...

f =e

− rT

[ pf u + (1 − p) f d ]

dove

e rT − d
p=
u−d

Il modello Binomiale: Un Esempio Numerico
Su = 5.630

Opzione CALL su ENEL

fu = 0.630

Data Valutazione

8/11/2003

Consegna

19/11/2003

S = 5.414

Strike

= 5.00

f = 0.432

S

= 5.414

Var% giornaliera

= 1.18%

tasso risk free

~ 1%

Sd = 5.2
fd = 0.2

Variazione a scadenza stimata al 4%
∆t = 11/365 ~ 0.03

e rT − d e0.01⋅0.03 − 0.96 0.04
p=
=
≈
= 1/ 2
u−d
0.08
0.08

f =e

− rT

0.630 + 0.2
[ pf u + (1 − p) f d ] ≈
= 0.415
2

Estensione a più periodi
πH

1-π H

π

Y(HH)

Y(HL)

Y(H)

Y(0)

πL
1-π

Y(LH)

1-π L

Y(LL)

Y(L)

Bushy trees/Recombining trees


Dopo n periodi (steps) l’albero presenta 2n nodi (stati). Un albero
solo dopo 100 steps genera
1.267.650.600.228.230.000.000.000.000.000 nodi



Poiché questo tipo di albero pone problemi computazionali
rilevanti, spesso si assume che sentieri con lo stesso numero di
aumenti e diminuzioni del prezzo, sebbene in sequenza diversa,
portino allo stesso nodo (lattice, recombining tree, reticolo,…)



Dopo 100 steps un recombining tree ha 101 nodi

Recombining trees


Sostituendo un albero a cespuglio con un albero
“ricombinante” rinunciamo alle informazioni sui singoli sentieri
che portano allo stesso nodo



L’informazione può essere rilevante per
 valutare opzioni con pay-off path-dependent
 modelli della dinamica del tasso di interesse



Alcuni programmi di ricerca sono dedicati a metodologie per
ridurre la crescita dei bushy-trees

Estensione a più periodi
πH
π

Y(HH)

Y(H)
1-π H

Y(0)

Y(HL)≡ Y(LH)

πL
1-π

Y(L)
1-π L

Y(LL)

Come costruire un albero binomiale

Generalizzazione a più livelli


Riprendiamo la definizione di
probabilità risk-neutral



Poniamo



Inoltre ricordiamo che

Y (t )
− Y ( L)
P (t , T )
π* =
Y ( H ) − Y ( L)

Y (t ) = S
Y ( H ) = Su
Y ( L) = Sd

P (t , T ) = e

− r (T −t )

Generalizzazione a più livelli


Possiamo quindi scrivere



r∆t

e −d
π* =
u−d

Come determiniamo i fattori u e d?


In funzione della volatilità del sottostante

u=e


σ ∆t

1
d=
u

La scelta d = 1/u garantisce che l’albero sia ricombinante
(infatti con questa posizione si ha (Su)d = S)

Generalizzazione a più Livelli
ST
2
2  ST
r=
− 1 ⇒ σ (r ) = σ 
S
S0
 0
 ST
σ (r ) = Eπ 
S
 0
2

 ST
Eπ 
S
 0
 ST
Eπ 
S
 0

2

   ST
 −  Eπ 

S
   0


 = πu + (1 − π )d


2


 = πu 2 + (1 − π )d 2







2


 = σ 2 ∆t



La scelta di u e d si
giustifica ricordando che
la
volatilità
del
rendimento dell’azione,
nel nostro modello deve
essere pari a σ2∆t

Generalizzazione a più Livelli
σ 2 (r ) = πu 2 + (1 − π )d 2 − π 2u 2 − (1 − π ) 2 d 2 − 2π (1 − π )ud =
πu 2 (1 − π ) + π (1 − π )d 2 − 2π (1 − π )ud =
π (1 − π )(u 2 + d 2 − 2ud ) = π (1 − π )(u − d ) 2 =
 u − e r∆t 
(u − d ) 2 = (e r∆t − d )(u − e r∆t ) =


u−d 

= e r∆t (u + d ) − ud − e 2 r∆t
e r∆t − d
u−d

Sostituendo ud = 1 e sviluppando al primo ordine otteniamo...

e r∆t (u + d ) − ud − e 2 r∆t ≈ (1 + r∆t )(u + d ) − 1 − 1 − 2r∆t = (1 + r∆t )(u + d − 2)

Generazione a più Livelli




Verifichiamo che la posizione

u = eσ

∆t

,

d = e −σ

porta al risultato desiderato.
Sviluppando al primo ordine in ∆t abbiamo infatti

1 2
1 2
u = 1 + σ ∆t + σ ∆t , d = 1 − σ ∆t + σ ∆t
2
2
da cui (trattenendo solo i termini al primo ordine)

(1 + r∆t )(u + d − 2) =
1
1


(1 + r∆t ) 1 + σ ∆t + σ 2 ∆t + 1 − σ ∆t + σ 2 ∆t − 2  = σ 2 ∆t
2
2



∆t

Generazione dei valori per il sottostante
125.5
120.8
116.3
112
107.9
103.9
100

112
107.9

103.9
100

96.29

116.3

107.9
103.9

100
96.29

92.72

s(0, 0) = PrezzoSottostante
For n = 1 To NumeroSteps
For j = n To 1 Step -1
s(j, n) = u * s(j - 1, n - 1)
Next j
s(0, n) = d * s(0, n - 1)
Next n

100
96.29

92.72
89.28

92.72
89.28

85.97

85.97
82.78
79.71

Per ogni livello tutti i nodi tranne
l’ultimo derivano dal corrispondente
nodo precedente moltiplicato per il
coefficiente u. L’ultimo nodo deriva
dal precedente moltiplicato per d.

Generazione dei valori per l’opzione
For j = 0 To NumeroSteps
V(j, NumeroSteps) = Payoff(s(j, NumeroSteps), Strike, FlagCall)
Next j
For n = NumeroSteps To 1 Step -1
For j = 0 To n - 1
V(j, n - 1) = (p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) * FattoreSconto
21.12
Next j
120.8
16.8
Next n
116.3

12.86
112
9.482
107.9
6.766
103.9
4.691
100

5.975
103.9

2.53
96.29

8.013
107.9
5.054
103.9

3.073
100
1.821
96.29

1.058
92.72

16.48
116.3

12.33
112
8.763
107.9

3.941
100

25.62
125.5

1.968
100
1.006
96.29

0.514
92.72
0.263
89.28

0
92.72
0
89.28

0
85.97

0
85.97
0
82.78
0
79.71

Opzioni Americane






Fino a questo momento abbiamo considerato solo opzioni di
tipo europeo cioè opzioni esercitabili soltanto alla scadenza;
Le opzioni di tipo americano, cioè quelle esercitabili entro la
scadenza, sono facilmente valutabili nell’approccio binomiale;
Ad ogni step è necessario valutare qual’è il maggior valore fra




il valore dell’opzione calcolato come valore atteso futuro
(continuation value)
il valore che deriva dall’esercizio immediato dell’opzione (payoff)

For n = NumeroSteps To 1 Step -1
For j = 0 To n - 1
V(j, n - 1) = Application.Max((p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) _
* FattoreSconto, Payoff(s(j, n - 1), Strike, FlagCall))
Next j
Next n

Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale
Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale

Alberi Binomiali in più dimensioni








E’ relativamente semplice costruire un albero in tre
dimensioni per rappresentare i movimenti di due
variabili non correlate;
Dapprima si costruisce separatamente un albero a
due dimensioni per ciascuna delle due variabili;
quindi si combinano i due alberi in un solo albero a
tre dimensioni.
Le probabilità relative ai rami del nuovo albero sono
pari al prodotto delle probabilità dei corrispondenti
rami degli alberi a due dimensioni.



Si supponga ad esempio che le variabili siano date dai prezzi
S1 ed S2.



Ciascuna di queste due variabili può essere rappresentata in
due dimensioni da un albero binomiale CCR;
supponiamo che p1 sia la probabilità che S1 aumenti e 1-p1 la
probabilità che diminuisca, analogamente con p2 e S2;





nell’albero a tre dimensioni ci saranno quindi quattro rami che
vengono generati da ciascun nodo con le seguenti probabilità


p1p2

S1 aumenta, S2 aumenta



p1(1-p2)

S1 aumenta, S2 diminuisce



(1-p1)p2

S1 diminuisce, S2 aumenta



(1-p1)(1-p2)

S1 diminuisce, S2 diminuisce







Il caso più interessante è naturalmente quello in cui le variabili
siano correlate;
Rubinstein ha suggerito un modo di costruire un albero a tre
dimensioni disponendo i nodi secondo un approccio
binomiale;
Dal nodo (S1, S2) si può passare ad uno dei seguenti nodi
con probabilità 0.25 (albero con probabilità uguali lungo i
rami, tipo JR):

( S1u1 ; S 2 A)
( S1u1 ; S 2 B )

( S1 d 1 ; S 2 C )
( S1 d 1 ; S 2 D )

u1 = e

2
( r − q1 −σ 1 / 2 ) ∆t +σ 1 ∆t

d1 = e
A=e
B=e
C =e

2
( r − q1 −σ 1 / 2 ) ∆t −σ 1 ∆t

2
( r − q2 −σ 2 / 2 ) ∆t +σ 2 ∆t  ρ + 1− ρ 2 




2
( r − q2 −σ 2 / 2 ) ∆t +σ 2 ∆t  ρ − 1− ρ 2 




2
( r − q2 −σ 2 / 2 ) ∆t −σ 2 ∆t  ρ − 1− ρ 2 





D=e

2
( r − q2 −σ 2 / 2 ) ∆t −σ 2 ∆t  ρ + 1− ρ 2 





Deriva dalla “Cholesky
Decomposition”

Opzioni con due sottostanti: Alcuni Esempi


Spread Options









max(0,max(Q1S1,Q2S2)-X)
max(0,X-max(Q1S1,Q2S2))

call
put

max(0,min(Q1S1,Q2S2)-X)
max(0,X-min(Q1S1,Q2S2))

Dual Strike Options





call
put

Opzione sul minimo




max(0, Q1S1-Q2S2-X)
max(0,X+Q2S2-Q1S1)

Opzione sul massimo




call
put



call
put

max(0,(Q1S1-X1),(Q2S2-X2))
max(0,(X1-Q1S1),(X2-Q2S2))

Reverse Dual Strike Options



call
put

max(0,(Q1S1-X1),(X2-Q2S2))
max(0,(X1-Q1S1),(Q2S2-X2))

Portfolio Options





call
put

max(0, (Q1S1+Q2S2)-X)
max(0,X-(Q1S1+Q2S2))

Exchange Options


max(0,Q2S2-Q1S1)

Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

Un Albero Binomiale Tridimensionale
Un Albero Binomiale Tridimensionale

Alberi Binomiali e Barriere












Se, per valutare un’opzione con barriera, si usa un albero binomiale
standard la convergenza è lenta;
per ottenere un risultato accurato è necessario usare un numero
elevato di intervalli;
la ragione di questa lenta convergenza è che la barriera ipotizzata
dall’albero è diversa da quella effettiva.
Definiamo barriera interna la barriera formata dai nodi
immediatamente all’interno della barriera effettiva e barriera esterna
la barriera formata dai nodi immediatamente all’esterno della
barriera;
i calcoli standard assumono implicitamente che la barriera esterna
coincida con la barriera effettiva;
Il problema può essere affrontato cercando di posizionare
accuratamente i nodi nulle barriere.

Alberi Binomiali e Barriere



Una possibile soluzione è la seguente;
Supponiamo di voler porre esattamente m livelli (per ogni intervallo
n) fra la barriera H e il valore iniziale S del prezzo; avremo

H = Su m , u = eσ

∆t

⇒ H = Se mσ

⇓
 H
ln S
 

2

m 2σ 2T

2 2
 = m σ ∆t =
n

⇓

n=

m 2σ 2T
  H 
ln S 
  

2

∆t

Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

Come Inserire una Barriera in un Albero Binomiale
Come Inserire una Barriera in un Albero Binomiale

Alberi Trinomiali


In alternativa agli alberi binomiali, si possono
usare gli alberi trinomiali

Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

Un Esempio di Albero Trinomiale
Un Esempio di Albero Trinomiale

Informazione implicita






I mercati delle opzioni trasmettono informazioni sulla
distribuzione, aggiustata per il rischio, del sottostante.
Nel modello di Black & Scholes, tutta l’informazione
necessaria è rappresentata dalla volatilità dei
rendimenti σ.
Estrarre il valore di volatilità che nel modello di Black e
Scholes produce il valore del prezzo di un’opzione
osservato sul mercato significa calcolare il valore della
volatilità implicita.

La volatilità implicita


Smile


Spesso sulla stessa azione sono quotate più
opzioni con prezzi di esercizio e scadenza diversi;


Se il modello di Black & Scholes fose corretto le opzioni
avrebbero prezzi differenti ma un identico valore per la
volatilità implicita;



σ infatti è funzione dell’attività sottostante e non del prezzo di
esercizio o del tempo;

Tuttavia è stato osservato che la volatilità implicita
per contratti con identica vita residua varia in
funzione del prezzo di esercizio!
20.00%
20.00%
19.80%
19.80%
19.60%
19.60%
19.40%
19.40%
19.20%
19.20%
19.00%
19.00%
18.80%
18.80%
18.60%
18.60%
18.40%
18.40%
18.20%
18.20%
18.00%
18.00%
85.000
85.000

90.000
90.000

95.000
95.000

100.000
100.000

105.000
105.000

110.000
110.000

115.000
115.000



Smile


Di norma le opzioni “out” e “in” the money hanno un valore di
volatilità implicita maggiore di quelle at-the-money.



L’effetto, noto come volatility smile è accentuto per i contratti con
scadenza breve ed è quasi inesistente per quelli di lunga durata;



l’effetto smile contrasta con la teoria e rivela che il modello non è
corretto;



il fatto che, dopo il crash del 1987, l’effetto sia più evidente ha
indotto alcuni studiosi a formulare l’ipotesi che il vero processo
diffusivo dei prezzi sia a salti e non continuo.

Volatilità implicita





Dato il prezzo di mercato di un’opzione, Invertendo l’equazione di
Black & Scholes possiamo ricavare la volatilità implicita nella
quotazione.
La volatilità implicita deve essere calcolata numericamente.
Brenner Subrahmanian (accurata at-the-money)

((

))

call Y , , t ;Y( tt) eeδ( TT−−t) , , T
t;Y ( ) δ ( t ) T
σ T − tt ≅ 2π call Y
σ T − ≅ 2π
Y ( tt) )
Y(


Corrado Miller (accurata at-the-money ± 10%)


−δ ( ( − t )
(
22π
π
YYt( )t )−−ee −δTT −)tK

K+
σ TT−− t ≅≅
t
call −
σ
+
−−δTT −)t ) call −
δ ( ( −t
22
(
YYt( )t )++ee
K
K



2

((

) ) 
22

−δ ( T − t ) )  2
−δ ( T − t ) )

(
(
K
K
 − YYt( )t )−−ee −δ ( T −tK  − YYt( )t )−−ee −δ ( T −tK
call
 call −
 −
22
ππ



Nell’esempio in VBA utilizzeremo l’algoritmo di Newton-Raphson





Volatilità implicita


L’algoritmo di Newton-Raphson



Data una funzione f(x) il problema consiste nel determinare il
valore di x* tale che f(x*) = 0.



L’idea geometrica che sta alla base del metodo è la seguente.
 Partendo da una stima iniziale x della soluzione si genera una
0
successione di valori {xk} approssimando, per ogni k, la curva y
= f(x) con la tangente nel punto (xk, f(xk)) e calcolando xk+1 come
l’intersezione della tangente con l’asse delle x.

L’algoritmo di Newton-Raphson


All’equazione f(x) = 0 si sostituisce così
l’equazione della retta tangente

f ( xk ) + ( x − xk ) f ' ( xk ) = 0

x k +1

f ( xk )
= xk −
f ' ( xk )

START
START
Input X0,
InputEPS,
X0,
EPS,
MAX_ITER
MAX_ITER

Calcola f(X0)
Calcola f(X0)

Calcola f’(X0)
Calcola f’(X0)

Calcola
Calcola
X = X0 – f(X0)/f’(X0)
X = X0 – f(X0)/f’(X0)

Poni X0 = X
Poni X0 = X

Incrementa di un’unità
Incrementa di un’unità
il Numero Iterazioni
il Numero Iterazioni

Diagrammi di Flusso

L’algoritmo di
Newton-Raphson

E’ vera almeno una delle
E’ vera almeno una delle
seguenti affermazioni:
seguenti affermazioni:
1) |X – X0| < EPS
1) |X – Iterazioni >
2) Numero X0| < EPS
2) MAX_ITER Iterazioni >
Numero
MAX_ITER

?
?
SI
SI
END
END

NO
NO

Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

Calcolo della volatilità implicita nel prezzo di opzioni Call
Calcolo della volatilità implicita nel prezzo di opzioni Call

Volatilità Implicita


Il metodo della secante










L’efficienza del metodo di Newton-Raphson dipende dalla
volatilità iniziale scelta;
una procedura meno sensibile al valore iniziale di σ è il metodo
della secante;
il primo passo da compiere è di scegliere due valori per σ, uno
basso e uno alto.
Il valore basso σb stima C(σb) minore di C, il valore alto σa stima
C(σa) maggiore di C.
La volatilità implicita risulta dalla seguente interpolazione lineare:

[ C − C ( σ b ) ]( σ a − σ b )
σ1 = σb +
C (σ a ) − C (σ b )

Volatilità Implicita


Il metodo della secante


se il valore di C(σ) ottenuto inserendo nel modello di Black & Scholes è
inferiore al prezzo di mercato C, la nuova stima di σ è ottenuta
sostituendo σb con il valore della volatilità interpolata

[ C − C ( σ 1 ) ]( σ a − σ 1 )
σ2 = σ1 +
C (σ a ) − C (σ 1 )






Se il valore di C(σ) ottenuto inserendo σ1 nel modello è superiore al
prezzo di mercato per la nuova stima di σ si sostituisce a σa il valore della
volatilità interpolata.
Quando C(σ) coincide con C il processo iterativo termina è si è trovata
la volatilità implicita.
Il metodo è in generale preferito a quello di Newton-Raphson perché non
richiede la stima di Vega ad ogni iterazione.

“Butterflay Spread” e prezzi di Arrow-Debreu








E' noto che i mercati dei contratti derivati hanno un forte
contenuto informativo.
Le quotazioni di un future o di un opzione su un titolo
rischioso
riassumono
la
valutazione
del
mercato
sull'evoluzione di quel titolo.
Possiamo quindi utilizzare i prezzi dei contratti derivati per
estrarre uno schema binomiale di evoluzione del prezzo del
titolo rischioso.
Questo tema è al centro dell'attenzione della letteratura
finanziaria sulle opzioni dei nostri giorni, ed ha dato vita ad un
filone di tecniche note come alberi binomiali impliciti, che
generalizzano l'idea di probabilità implicita proposta da
Breeden e Litzenberger alla fine degli anni 70.

I titoli di Arrow-Debreu





Supponiamo di disporre di un titolo che garantisce un pay-off unitario se e
solo se si verifica un preciso stato di natura.
Tale prodotto finanziario è noto come titolo di Arrow-Debreu.
Il pay-off dei due titoli di Arrow-Debreu del modello binomiale sono
descritti nella seguente tabella.

Prezzo dello stato H
Prezzo dello stato H
Prezzo dello stato L
Prezzo dello stato L
Titolo risk-free
Titolo risk-free
Portafoglio immunizzato
Portafoglio immunizzato

Titoli di Arrow-Debreu
Titoli di Arrow-Debreu
T
T
Stato H
Stato H
1
ϕH(t)
1
ϕH(t)
0
ϕL(t)
0
ϕL(t)
P(t,T)
1
P(t,T)
1
1
ϕH(t)+ ϕL(t)
1
ϕH(t)+ ϕL(t)

T
T
Stato L
Stato L
0
0
1
1
1
1
1
1

I titoli di Arrow-Debreu






Possiamo anche utilizzare i prezzi di Arrow-Debreu per fornire una
definizione alternativa del requisito di esclusione delle possibilità di
arbitraggio.
Nella tabella precedente notiamo infatti che il portafoglio immunizzato può
essere costruito semplicemente acquistando i titoli di Arrow-Debreu
corrispondenti a tutti gli stati di natura.
Il requisito di esclusione delle possibilità di arbitraggio richiede quindi che

φ H + φ L = P( t , T )



Come Sappiamo, in un modello binomiale il valore al tempo 0
di un generico contratto derivato di tipo europeo, descritto da
una funzione di pay-off con possibilità di esercizio al tempo n
è ottenuto, sulla base del principio di non-arbitraggio,
attraverso la formula
1
prezzo del contratto =
(1 + R f ) n



n

∑ probabilità (nodo j) × payoff (nodo j)
j= 0

Si noti che la probabilità che compare nella formula è la
probabilità che il nodo i-esimo dell’n-esimo livello sia
raggiunto e non la classica probabilità di transizione tra due
nodi dell’albero che compare nelle precedenti formule di
pricing.



Naturalmente le due probabilità sono
strettamente collegate...

π1

π2

p = π 1 ⋅π 2





Il prezzo di un titolo di Arrow-Debreu individua il valore
scontato della probabilità associata al nodo nel quale il titolo
paga un'unità.
Infatti ricordando la definizione di titolo di Arrow-Debreu di
scadenza n e nodo i ...
AD
i ,n

P


1 sul nodo i allo step n
=
altrimenti
0

... segue che
AD
i ,n

P

1
=
Prob (nodo i) ⋅ 1
n
(1 + R f )



Ritornando alla notazione matematica possiamo scrivere che il
prezzo di mercato di un contratto derivato con data di esercizio n e
payoff descritto dalla funzione g(.) è dato da

g ( y,0 ) = ∑ φ j ( n ) g ( y j ( n ) )
n

j =0



dove φj(n) denota il prezzo del titolo di Arrow-Debreu che paga
un’unità di valore nel nodo j al tempo n e yj(n) rappresenta il valore
del titolo rischioso su tale nodo.



Se fossimo in grado di osservare e operare su titoli di Arrow-Debreu
potremmo valutare e replicare qualsiasi contratto derivato.



Assumete di avere un albero binomiale in cui il valore del titolo
rischioso su ogni nodo differisce di una quantità h rispetto al nodo
adiacente...


... e di calcolare il valore di 1/h
unità di un butterfly spread
centrato sul valore yi(n).



Il payoff corrispondente, PBS,
sarà descritto dalla funzione

1 se i = j
1
PBS ( y, n; yi ( n ) ) = 
h
0 se i ≠ j


per i, j = 0, 1…n.



Abbiamo così costruito un titolo di Arrow-Debreu!



Con questa tecnica, suggerita per la prima volta da Breeden e
Litzenberger (1978), siamo in grado di estrarre dai valori delle
opzioni quotate sul mercato la probabilità implicita assegnata
al nodo i dell'albero al tempo n.



Più precisamente,

Pimp ( i, n ) = (1 + R f )


n

1
PBS ( y, n; yi ( n ) )
h

Inoltre, l'insieme dei butterfly spread con data di esercizio al tempo n può essere
usato come base per la determinazione, in coerenza con il principio di non
arbitraggio, di tutti i contratti di tipo europeo con stessa data di esercizio.

Probabilità implicite


Valore di un call spread verticale
C(Mib30,t;T,40000-h)- C(Mib30,t;T,40000)



Dividiamo per h e prendiamo il limite per h che tende a zero per
ottenere
- dC(C(Mib30,t;T,K)/dK = Prob(Mib30 > 40000)
Prob(.) è la probabilità aggiustata per il rischio



Nello stesso modo possiamo costruire una butterfly prendendo la
differenza tra due spread verticali
d2C(C(Mib30,t;T,K)/dK2 = f(Mib30 = 40000)
f è la densità aggiustata per il rischio

Bull spread: Mib30 - 40000
50000
50000

40000
40000

30000
30000

20000
20000

10000
10000

0

0
0

-10000
-10000

-20000
-20000

-30000
-30000

-40000
-40000

0

10000
10000

20000
20000

30000
30000

40000
40000

50000
50000

60000
60000

70000
70000

80000
80000

Calcolo della densità implicita: gli step


Analisi dei prezzi di mercato delle opzioni



Calcolo dei prezzi degli spread verticali



Calcolo dei prezzi delle butterfly



Dividiamo il valore delle butterfly per il loro pay-off (h)



Dividiamo il valore così ottenuto per il fattore di sconto

Data
Data
esercizio
esercizio

Prezzo strike
Prezzo strike

Prezzo opzione
Prezzo opzione

Spread verticale
Spread verticale

Butterfly
Butterfly
spread
spread

ArrowArrowDebreu
Debreu

APR.
APR.
APR.
APR.

35000
35000
36000
36000

2624
2624
1786
1786

APR.
APR.
APR.
APR.

37000
37000
38000
38000

1440
1440
911
911

1184
1184
875
875

342
342
307
307

17.10%
17.10%
15.35%
15.35%

APR.
APR.
APR.
APR.

39000
39000
40000
40000

598
598
343
343

842
842
568
568

422
422
334
334

21.10%
21.10%
16.70%
16.70%

APR.
APR.
APR.
APR.

41000
41000
42000
42000

178
178
109
109

420
420
234
234

I prezzi di Arrow Debreu impliciti nelle opzioni: un esempio sul MIB30 (Fonte: Il Sole24Ore 11/03/1999)
I prezzi di Arrow Debreu impliciti nelle opzioni: un esempio sul MIB30 (Fonte: Il Sole24Ore 11/03/1999)



Abbiamo così descritto una tecnica per estrarre dai prezzi
delle opzioni informazione sulle probabilità da assegnare ai
nodi dell'albero.



Il passo successivo è ovviamente il tentativo di costruire
l'intero albero a partire dalle informazioni contenute nei prezzi
di mercato, dando così una descrizione completa della
dinamica del prezzo in essi implicita.



La ricerca più recente nel campo degli alberi binomiali è stata
indirizzata in questa direzione ed ha dato vita ad un filone di
letteratura noto come: alberi impliciti (implied trees).

Alberi Binomiali Impliciti


Due tecniche opposte


Rubinstein (backward induction)





Stima della probabilità implicita a un temp T >t
Ricostruzione della dinamica del titolo da T a t

Derman & Kani (forward induction)



Osservazione del valore di opzioni al tempo t
Costruzione della dinamica del titolo da t a T

Il metodo di Rubinstein


Questo metodo rappresenta un primo tentativo di riprodurre la dinamica,
aggiustata per il rischio, del prezzo di un titolo, a partire dai prezzi di mercato di
contratti derivati.



Assumiamo di osservare un insieme di opzioni con data di esercizio nel periodo n e
diversi prezzi d'esercizio.



Utilizzando l'approccio di Breeden e Litzenberger sopra descritto sappiamo che sulla
base di queste informazioni siamo in grado di estrarre i prezzi dei titoli di ArrowDebreu.



Partendo da questa informazione vogliamo ricostruire la dinamica del prezzo.



Un algoritmo che è in grado di produrre questo risultato è stato proposto da Mark
Rubinstein (1994).



Il metodo di Rubinstein sfrutta le proprietà dei prezzi di Arrow-Debreu e della misura
di probabilità aggiustata per il rischio. Un'importante assunzione che è necessaria
allo sviluppo del modello è che sia noto il legame tra le probabilità attribuite a
ciascun nodo e le probabilità dei vari sentieri che conducono a quel nodo.





Nel modello originale proposto da Rubinstein si ipotizza che ai
sentieri che portano allo stesso nodo sia attribuita la stessa
probabilità.
Esplicitamente:

prob. nodo (j, n) =
n.sentieri che portano a (j, n) ⋅ prob. dei sentieri
n
=   p j ( n)
 j
 


dove pj (n) è la probabilità assegnata a ciascun sentiero che
porta al nodo j al tempo n.

Il metodo di Rubinstein: due livelli








Analizziamo prima l'algoritmo proposto da Rubinstein in un
semplice modello con n = 2.
Quello che assumiamo di conoscere è l'insieme dei valori del
titolo rischioso al tempo 2 e le rispettive probabilità aggiustate
per il rischio associate ad ogni sentiero (cioè yi(2) e pi(2), i = 0,
1, 2).
Richiamiamo l’attenzione sull’ipotesi di equiprobabilità dei
sentieri che portano allo stesso nodo, che ci consente di
scrivere p1(2) = π (1- π H ) = (1- π)π L.
Vogliamo ricavare:




i) i due possibili valori del titolo rischioso al tempo 1 (cioè yi(1), i =
0,1);
ii) la probabilità di un aumento o una diminuzione tra t = 0 e t = 1
e tra t = 1 e t = 2.


y0 (2)

p0 (2) = ππ H

y0 (1)

πH

π
y0 (0 )

y1 (2)

y1 (1)

πL

p1 (2) = π (1 − π H )
= (1 − π )π L

p2 (2) = (1 − π )(1 − π L )

y2 (2)

t =0

t =1

t=2



L'algoritmo proposto da Rubinstein è molto semplice
e consiste di quattro fasi.


Fase 1: determinazione del tasso non rischioso. E' ottenuta
direttamente utilizzando le proprietà della misura
aggiustata per il rischio. In particolare



Fase 2:






determiniamo le probabilità dei sentieri che portano ai due nodi al tempo
t = 1, cioè p0 (1) = π e p1(1) =1 - π.
Poiché le probabilità attribuite ai sentieri sono probabilità composte di
sequenze di aumenti e diminuzioni del prezzo otteniamo che, prendendo
ad esempio p0(2) = ππ H e p1(2) = π (1 - π H ),

Fase 3:




in ciascun nodo raggiungibile al tempo t = 1 calcoliamo le probabilità di
un aumento del prezzo, cioè π H e π L.
Utilizzando p0(2) = ππ H ed il calcolo di p0(1) = π ricavato nella fase 2
otteniamo (e π L in modo analogo)



Fase 4:


calcoliamo i possibili valori del titolo rischioso al tempo 1, cioè
y0(1) e y1(1).



Sfruttiamo ancora una volta le proprietà della misura aggiustata
per il rischio per ottenere



e ricaviamo y1(1) in maniera analoga.



Si noti che a questo punto dell'algoritmo i termini che compaiono
a destra nell'equazione sono noti.

Il metodo di Rubinstein: caso generale




L'estensione ad un numero generico di periodi e di nodi è soltanto
una questione di notazione.
Nella fase 1 avremo infatti

(1 + R )
f

n

y j ( n)
n
= ∑   p j ( n)
 j
y 0 ( 0)
j =0  
n

Il coefficiente binomiale rappresenta il numero dei possibili sentieri
che portano al nodo j in n mosse;


Si noti che in questo modo abbiamo utilizzato l'ipotesi di
equiprobabilità dei sentieri che portano allo stesso nodo.



Nelle fasi 2 e 3 avremo ancora

p j ( n − 1) = p j ( n ) + p j +1 ( n )
πj =


p j ( n)

p j ( n − 1)

e infine

[

1
y j ( n − 1) =
π j y j ( n ) + (1 − π j ) y j +1 ( n )
1+ Rf

]



A questo punto conosciamo i valori del titolo rischioso e le
rispettive probabilità (yj (n – 1) e pj (n – 1)) e siamo in grado di
ripetere l'algoritmo dalla fase 2 alla fase 4 per ricavare la
stessa informazione riferita al tempo n - 2, e così via fino a
raggiungere la radice dell'albero.



Come abbiamo visto, il metodo di Rubinstein utilizza una
strategia di backward induction, che partendo da una certa
data futura ricostruisce l'albero procedendo all'indietro, fino
alla radice.



Subito dopo l’esempio discuteremo invece di una metodologia
che sfrutta una strategia di segno opposto (forward induction).

Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

Calcolo di un Albero Binomiale Implicito con il metodo di
Calcolo di un Albero Binomiale Implicito con il metodo di
Rubinstein
Rubinstein

Il metodo di Derman e Kani






Una metodologia alternativa a quella sopra descritta
è stata proposta da Emmanuel Derman e Iraq Kani
di Goldman & Sachs.
Come anticipato poco sopra, l'idea è di partire dalla
radice dell'albero e procedere in avanti, utilizzando i
prezzi di opzioni osservate sul mercato su scadenze
diverse.
Come nelcaso precedente, è utile sviluppare in
prima battuta l'analisi su un modello di due periodi,
ed estenderla poi su un orizzonte arbitrario.

Il Metodo di Derman e Kani: due livelli


Vediamo innanzitutto di definire lo sviluppo dell'albero subito dopo la
radice, al tempo t = 1.



Le incognite sono tre:



valore del titolo rischioso nel nodo zero del primo livello y1(1)





valore del titolo rischioso nel nodo zero del primo livello y0(1)
la probabilità aggiustata per il rischio, di un aumento o diminuzione del
prezzo, π.

Assumiamo invece di osservare:


il valore del titolo rischioso al tempo 0, y(0)



il tasso d'interesse non rischioso Rf



il prezzo di mercato di un'opzione call, con data di esercizio al tempo t =
1 e prezzo di esercizio pari al valore corrente del titolo rischioso, y(0)
(un'opzione at-the-money).

Il metodo di Derman e Kani: due livelli
y0 (2)
call(.;y (0),1) = y0(1) – y(0)

y0 (1)

πH

π

call(.;y 0(1),2) = y0(2) – y0(1)

y1 (2) = y (0)

y0 (0 )

y1 (1)

πL
put(.;y1(1),2) = y1(1) - y2(2)

y2 (2)

t =0

t =1

t=2





Il problema è di sfruttare le variabili osservate e le proprietà
della misura aggiustata per il rischio per definire un sistema di
equazioni che consenta di ricavare le tre incognite: y0(1), y1(1)
e π.
Una prima proprietà della misura di probabilità aggiustata per
il rischio consente di esprimere il prezzo forward del titolo
rischioso, definito come F0(0) ≡ (1 + Rf)y0(0), usando la
proprietà di martingala

F0 ( 0 ) = πy 0 (1) + (1 − π ) y1 (1)



Possiamo poi utilizzare l'equazione di valutazione dell'opzione
call, della quale osserviamo il prezzo sul mercato, per
ottenere una seconda equazione del modello

π
C=
[ y 0 (1) − y 0 ( 0) ]
1+ Rf


dove abbiamo assunto il caso non degenere
y0(1) > y(0) > y1(1)
(l'opzione viene esercitata solo su uno dei due nodi).






La chiusura del modello richiede l'introduzione di una terza equazione.
Derman e Kani propongono di sfruttare questo grado di libertà per definire la
traiettoria della parte centrale dell'albero, con la scelta di una centering condition.
In particolare propongono di sviluppare la parte centrale dell'albero intorno al valore
corrente y(0) del titolo rischioso, in parallelo con il modello binomiale a volatilità
costante

y ( 0 ) = y 0 (1) y1 (1)
2



che segue immediatamente da

y0 ( 1) = y0 ( 0 ) u , y1 ( 1) = y0 ( 0 ) d con ud = 1


Utilizzando la centering condition nelle equazioni del prezzo forward e dell'opzione
otteniamo la probabilità aggiustata per il rischio ed il valore del titolo rischioso sui due
nodi.



Procediamo avanti nell'albero, cercando di determinarne i
valori rilevanti al tempo 2.



Le incognite adesso sono cinque:





i valori del titolo rischioso sui tre nodi (y0(2) e y1(2) e y2(2));
le probabilità di un aumento del prezzo a partire da ciascuno dei
due nodi raggiungibili al tempo 1, cioè πH e πL.

Assumiamo di osservare:





tutte le variabili dell'albero fino al tempo 1;
il prezzo di mercato di un'opzione call con data di esercizio al
tempo 2 e prezzo di esercizio pari a y0(1);
il prezzo di mercato di un'opzione put con data di esercizio al
tempo 2 e prezzo di esercizio pari a y1(1).



A questo punto possiamo seguire una strategia analoga alla precedente e
definire due equazioni per i prezzi forward

(1 + R ) y (1) ≡ F (1) = π y ( 2) + (1 − π ) y ( 2)
f

0

0

u

0

H

1

(1 + R ) y (1) ≡ F (1) = π y ( 2) + (1 − π ) y ( 2)
f



1

1

d

1

L

2

Per quanto riguarda l'opzione call, avremo

Call ( .; y 0 (1) ,2 ) =

ππ H

(1 + R )
f

2

φ 0 (1)π H
[ y 0 ( 2) − y 0 (1) ] =
[ y 0 ( 2) − y 0 (1) ]
1+ Rf

φ0(1) è valore corrente di un titolo Arrow-Debreu che paga un’unità di valore in corrispondenza
dello stato y0(1) e dove ancora una volta poniamo y0(2) > y0(1) > y1(2)







Analogamente, per l'opzione put abbiamo:

dove φ1(1) è un prezzo di Arrow-Debreu e assumiamo ancora y1(2) > y1(1) >
y1(2). Abbiamo ancora una volta un grado di libertà da utilizzare, con quattro
equazioni a fronte di cinque incognite.
Ancora una volta, il modello è chiuso definendo la centering condition, che
in questo caso impone al prezzo del titolo di ritornare al valore corrente:










Passiamo adesso ad analizzare l'algoritmo per un arbitrario nodo i al tempo
n - 1.
Al tempo n - 1 assumiamo di conoscere, per averli già calcolati con il nostro
meccanismo di forward induction, gli n valori del titolo rischioso ed i rispettivi
prezzi di Arrow-Debreu.
Vogliamo calcolare i valori delle variabili al tempo n, su n + 1 nodi.
Consideriamo il generico nodo i e assumiamo di osservare al tempo 0 il
valore di un'opzione call con data di esercizio al tempo n e prezzo di
esercizio pari a yi(n - 1).
Scriviamo l'equazione di valutazione dell'opzione nel modo seguente

φiπ i
[ yi ( n ) − yi ( n − 1) ] +
Call =
1+ Rf
1
1+ Rf

∑ φ [π ( y ( n ) − y ( n − 1) ) + (1 − π )( y ( n ) − y ( n − 1) )]
i −1

j =0

j

j

j

i

j

j +1

i

Il modello di Derman e Kani: n livelli

Il modello di Derman e Kani (generalizzazione)
Il modello di Derman e Kani (generalizzazione)



Utilizzando la definizione di prezzo forward e le proprietà della
misura aggiustata per il rischio:



Il nuovo termine S è calcolabile a partire dall'informazione disponibile al tempo n - 1.
L'equazione di valutazione dell'opzione può quindi essere scritta in forma più succinta

(1 + R )C = φ π [ y ( n ) − y ( n − 1) ] + Σ
f

i

i

i

i



D'altronde, la proprietà della probabilità aggiustata per il rischio implica



Sostituendo nell'equazione di valutazione dell'opzione e riordinando i termini
otteniamo



cosicché il valore yi (n) è ottenuto in funzione di variabili note al tempo n - 1 e del
valore yi + 1 (n).









Possiamo notare la struttura ricursiva dell'algoritmo, e il fatto che è
necessario definire un grado di libertà ulteriore per l'inizializzazione.
Tale grado di libertà consente l'introduzione della centering
condition, che ricordiamo essere

dove osserviamo che la numerazione dei nodi include 0, cosicché al
tempo n abbiamo n + 1 nodi.
Così, ponendo ad esempio i + 1 = n/2 nel caso in cui n sia pari,
siamo in grado di inizializzare l'algoritmo e calcolare y i (n)
utilizzando un'opzione call con prezzo di esercizio yi (n - 1).









Utilizzando poi il valore yi(n) così ottenuto, insieme al prezzo di un'opzione
con prezzo di esercizio pari a yi - 1(n - 1) siamo in grado di calcolare yi - 1(n), e
così via fino all'ultimo nodo della parte superiore dell'albero.
I nodi della parte inferiore verranno invece ricavati in maniera speculare
utilizzando opzioni put.
Infine, le probabilità di un aumento del prezzo in ogni nodo verranno
calcolate utilizzando l'equazione dei prezzi forward. I prezzi di Arrow-Debreu
al tempo n saranno calcolati come

A questo punto, disponiamo dei prezzi del titolo rischioso e dei titoli di
Arrow-Debreu per ogni nodo al tempo n e possiamo continuare il calcolo per
definire la struttura dell'albero al tempo n + 1, n + 2 e così via.

Derman, Kani & Chriss





Gli
alberi
trinomiali
impliciti
rappresentano
una
generalizzazione del caso binomiale implicito;
anche in questo caso l’albero viene “distorto” in modo da
incorporare una volatilità locale dipendente dal tempo e dal
sottostante (smile e struttura a termine di volatilità)











Nel determinare i parametri di un albero binomiale implicito, si
hanno un uguale numero di equazioni e di incognite;
l’albero che si viene così a determinare è unico;
Questa caratteristica di unicità talvolta può essere
svantaggiosa in quanto non permette di aggiustare i valori per
calibrare situazioni in cui la volatilità cambia molto al variare
del tempo e del livello del sottostante;
Per questo talora è preferibile ricorrere ad alberi trinomiali
impliciti;
questo tipo di alberi possiedono un numero di parametri
naturalmente più elevato e permettono di fissare in maniera
arbitraria i prezzi dei nodi (price state);




Nel caso di un albero
trinomiale, al termine di
ogni
step
dobbiamo
determinare
cinque
incognite




la probabilità p
la probabilità q
il prezzo Su



il prezzo Sm



il prezzo Sd




Per l’assenza di arbitraggio abbiamo

pSu + qS d + (1 − p − q) S m = F0


... e per ottenere nel continuo la volatilità desiderata deve
essere

p( Su − F0 ) + q( S d − F0 ) + (1 − p − q)( S m − F0 ) = F02σ 2 ∆t + O (∆t )
2



2

2

Abbiamo quindi due vincoli e cinque incognite, per cui in ogni
nodo restano tre parametri liberi che possiamo fissare a
piacere










Possiamo utilizzare questa libertà per scegliere in maniera
adeguata l’albero dei prezzi (price state);
La scelta deve essere fatta in modo da garantire che le
probabilità di transizione restino comunque confinate
all’interno dell’intervallo [0, 1];
Una volta fissati i prezzi (ad esempio tramite la procedura
utilizzata per generare un albero trinomiale standard)
possiamo utilizzare i dati delle opzioni e dei forward in nostro
possesso per calcolare i valori della probabilità di transizione;
Le formule che si ottengono sono simili al caso
precedentemente visto a proposito dell’albero implicito
binomiale;




Forward Price



pi Si + 2 + (1 − pi − qi ) Si +1 = Fi

Option Price

[

]

C ( K , t n +1 ) = e − r∆t ∑ λ j − 2 p j − 2 + λ j −1 (1 − p j −1 − q j −1 ) + λ j q j max ( S j − K ,0 )
j



ponendo K = Si+1 e riordinando otteniamo

e r∆t C ( Si +1 , t n +1 ) = λi pi ( Si + 2 − Si +1 ) +

2n

∑ λ (F

j =i +1

j

j

− S i +1 )




Nella precedente equazione l’unica incognita è la probabilità
di transizione in quanto i prezzi sono fissati a priori e i valori
delle opzioni e del forward sono noti; possiamo pertanto
scrivere
r∆t

e C ( S i +1 , t n +1 ) −
pi =
(eq. forward price)

2n

∑ λ (F

j =i +1

j

j

− S i +1 )

λi ( S i + 2 − Si +1 )

Fi − pi ( Si + 2 − Si +1 ) − Si +1
qi =
S i − S i +1




Utilizzando i prezzi di opzioni put possiamo calcolare le
probabilità per i nodi del livello centrale e di quelli ad esso
sottostanti
i −1

qi =

e r∆t P ( Si +1 , t n +1 ) − ∑ λ j ( Si +1 − F j )

(eq. forward price)

j =0

λi ( Si +1 − S i )

Fi + qi ( Si +1 − Si ) − Si +1
pi =
S i + 2 − S i +1




Una situazione che genera probabilità negative

Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA








L’albero per i tassi di interesse è una rappresentazione in
tempo discreto del processo stocastico per il tasso a breve
così come l’albero per i prezzi di un’azione è una
rappresentazione in tempo discreto del processo seguito dal
prezzo di un’azione;
Se l’intervallo di tempo usato è ∆t, i tassi di interesse riportati
sull’albero sono i tassi composti continuamente relativi ad un
periodo di ampiezza pari a ∆t.
L’assunzione che si fa di solito quando si costruisce un albero
è che il tasso relativo al periodo ∆t segua lo stesso processo
stocastico del tasso istantaneo nel corrispondente modello in
tempo continuo.



Una delle principali differenze fra gli alberi per i tassi di interesse e
gli alberi per i prezzi di un’azione sta nel modo in cui si effettua
l’attualizzazione:


nell’albero per i prezzi di un’azione si assume di solito che il tasso di
attualizzazione sia lo stesso ad ogni nodo...



... nell’albero per i tassi di interesse il tasso di attualizazione cambia da
nodo a nodo.



Per i tassi di interesse, spesso risulta conveniente usare un albero
trinomiale piuttosto che binomiale;



il principale vantaggio di un albero trinomiale è che esso offre un
ulteriore grado di libertà facilitando la rappresentazione di proprietà
del processo seguito dal tasso di interesse come la mean reversion.

Il modello ad alberi di Hull e White


Hull e White hanno proposto una procedura a due stadi per
costruire alberi trinomiali relativi ad un ampio insieme di modelli
ad un fattore.



Vediamo come si applica questa procedura al modello dinamico
di Hull e White per il tasso istantaneo di interesse.



H&W hanno dimostrato in una serie di lavori che la procedura
può essere generalizzata in modo relativamente semplice ad
un’ampia categoria di modelli stocastici per la dinamica di r .

Il modello ad alberi di Hull e White


Ramificazioni non standard




Hull e White hanno proposto
delle modifiche al metodo di
ramificazione standard di un
albero trinomiale;
le ramificazioni non standard
(riportate in figura) si rivelano utili
per incorporare il fenomeno della
mean reversion quando i tassi di
interesse sono molto alti o,
rispettivamente, molto bassi.

Primo stadio


Ricordiamo che la dinamica del tasso di interesse istantaneo nel
modello di Hull e White è descritta da un processo stocastico del
tipo

dr = [θ (t ) − ar ] dt + σdz



dove a e σ sono delle costanti
come vedremo la funzione Theta viene scelta in modo da calibrare
il modello sulla struttura a termine iniziale.

Primo stadio




il primo passo della procedura prevede di
implementare un albero che tenga conto del
fenomeno della mean reversion
A tale scopo si considera la variabile ausiliaria r* la
cui dinamica è descritta dall’equazione

dr ∗ = −ar ∗ dt + σdz

Primo stadio



Si tratta di un processo simmetrico attorno a r* = 0 ;
se consideriamo l’incremento

r ∗ (t + ∆t ) − r ∗ (t )


questo ha una distribuzione normale;
inoltre se si ignorano termini di ordine superiore a ∆t, il valore atteso
dell’incremento è pari a

− ar ∗ (t )∆t


e la sua varianza risulta

σ 2 ∆t

Primo stadio


Nell’albero la spaziatura fra i tassi di interesse viene
scelta uguale a

∆r = σ 3∆t




secondo H&W questo valore risulta ottimale dal
punto di vista della minimizzazione degli errori
Nel modello vi è l’assunzione implicita che il tasso
istantantaneo si riferisca in realtà all’istante ∆t che
comunque si suppone piccolo.

Primo stadio







Nel corso del primo stadio l’obiettivo è quello di costruire un
albero i cui nodi siano equispaziati sia rispetto a r* che rispetto a
t;
al fine di implementare la mean reversion occorrerà scegliere
per ciascun nodo quale sia il metodo di ramificazione appropriato
per proseguire la costruzione dell’albero;
Questa scelta determinerà la forma complessiva dell’albero;
Infine dovremo calcolare le probabilità corrispondenti ad ogni
ramificazione;

Primo stadio




La scelta del modello di ramificazione è determinata in base
alla condizione che in ciascun nodo tutte e tre le probabilità
di transizione devono risultare definite positive;
Nella maggior parte dei casi risulta valida la ramificazione
simmetrica...

Primo stadio


Quando a > 0 è necessario
passare alla ramificazione orientata
verso il basso per un valore di j
sufficientemente elevato;



analogamente, per valori di j
sufficientemente
bassi,
è
necessario
utilizzare
la
ramificazione orientata verso l’alto

Primo stadio




Sia jmax il valore di j in corrispondenza del quale si passa dalla
ramificazione simmetrica a quella orientata verso il basso e jmin il
valore per il quale deve avvenire il cambiamento con la
ramificazione orientata verso l’alto;
Hull e White hanno mostrato che per ottenere probabilità sempre
positive è sufficiente scegliere

jmax

0.184
= min int >
,
a∆t

jmin = − jmax

Primo Stadio


Siano pu , pm e pd le probabilità connesse con i rami
superiore, intermedio e inferiore che vengono
generati dal nodo;



Le probabilità vengono scelte in modo coerente con il
valore atteso e la varianza della variazione di r*
nell’intervallo ∆t ;



Inoltre la somma delle tre probabilità deve essere 1;

Primo stadio


Se al nodo (i, j) il metodo di ramificazione è quello simmetrico, le tre
condizioni si traducono nelle seguenti equazioni:

pu ∆r − pd ∆r = −aj∆r∆t
pu ∆r + pd ∆r = σ ∆t + a j ∆r ∆t
2

2

pu + pm + pd = 1

2

2

2

2

2

Primo stadio


Ricordando che

∆r = 3σ ∆t
2

1 a j ∆t − aj∆t
pu = +
6
2
2
pm = − a 2 j 2 ∆t 2
3
1 a 2 j 2 ∆t 2 + aj∆t
pd = +
6
2
2

2

2

2

Primo stadio

1 a j ∆t + aj∆t
pu = +
6
2
1
pm = − − a 2 j 2 ∆t 2 − 2 aj∆t
3
7 a 2 j 2 ∆t 2 + 3aj∆t
pd = +
6
2
2

2

2

Primo stadio

7 a j ∆t − 3aj∆t
pu = +
6
2
1
pm = − − a 2 j 2 ∆t 2 + 2 aj∆t
3
1 a 2 j 2 ∆t 2 − aj∆t
pd = +
6
2
2

2

2

Secondo Stadio






Il secondo stadio nella costruzione dell’albero consiste nel
convertire l’albero per r* nell’albero per r;
ciò si ottiene spostando i nodi nell’albero di r* in modo da
assicurare la coerenza con la term structure iniziale
Questo significa che una volta calibrato l’albero, i prezzi
degli zero coupon che maturano ad ogni periodo dell’albero
devono coincidere con i prezzi implici nella struttura per
scadenza dei tassi correntemente osservata sul mercato.

Secondo Stadio
α (t ) = r (t ) − r ∗ (t )



Definiamo la funzione



E’ facile verificare che la dinamica seguita da questa funzione è
descritta da

dα = [θ (t ) − aα (t )] dt


di fatto calibrare il modello significa, come avevamo accennato
all’inizio, scegliere un’opportuna funzione Theta in grado di rendere
coerente l’albero dei tassi con la struttura a termine iniziale.

Secondo Stadio






Indichiamo con αi la differenza fra il valore di r e r* al
tempo i∆t ;
sia poi Qi,j il valore attuale di un titolo che paga 1 unità
di valore se viene raggiunto il nodo (i,j) e zero
altrimenti (prezzo di Arrow-Debreu);
le αi e le Qi,j vengono calcolate iterativamente tramite
un processo di induzione forward .

Secondo stadio


da un punto di vista generale, supponiamo che le Qi,j siano state determinate
fino al livello m ;



il passo successivo consiste quindi nel determinare αm in modo che l’albero
valuti correttamente un titolo a sconto con scadenza al tempo (m+1)∆t ;



Il tasso di interesse al nodo (m, j) è pari a j∆r + αm per cui il prezzo di un titolo
a sconto con scadenza al tempo (m+1)∆t è pari a

Pm +1 =

nm

Qm , j e −(α m + j∆r ) ∆t
∑

j = − nm

dove nm è il numero di nodi al tempo m∆t su ciascuno dei due lati rispetto al
nodo centrale.

Secondo stadio


La soluzione di questa equazione è

 nm

 ∑ Qm , j e − j∆r∆t  − ln ( Pm +1 )
ln

 j = − nm

αm =
∆t


una volta determinato αm, possiamo calcolare le Qi,j per i = m+1,
infatti se indichiamo con q(k,j) la probabilità di passare dal nodo
(m,k) al nodo (m+1,j) possiamo scrivere

Qm +1, j = ∑ Qm ,k q (k , j )e − (α m + k∆r ) ∆t
k

Sistemi Lineari


La risoluzione di un sistema lineare ha un ruolo basilare nell’analisi
numerica


Es. la discretizzazione di un’equazione differenziale porta alla soluzione di
un sistema lineare



Per questo scaturisce la necessità di avere a disposizione algoritmi
efficienti e per i quali siano note le proprietà di stabilità



Anche nell’ambito di una stessa categoria di problemi, quali ad esempio
quelli derivanti dalla risoluzione di equazioni differenziali, il tipo di
sistema può variare a seconda del metodo di discretizzazione utilizzato.

Sistemi Lineari


I metodi per la risoluzione dei sistemi lineari vengono,
usualmente, divisi in due raggruppamenti


Metodi Diretti: sono i metodi che in assenza di errori di
arrotondamento danno la soluzione in un numero finito di
operazioni. Si tratta sostanzialmente dei metodi che utilizzano
l’idea dell’eliminazione di Gauss.



Metodi Iterativi: la soluzione è ottenuta come limite di una
successione di soluzioni di problemi lineari più semplici.
Diversamente dal caso precedente, la matrice dei coefficienti
non viene modificata durante il calcolo e quindi è più agevole
sfruttarne la sparsità.

Sistemi Lineari: Metodi Diretti


L’idea centrale dei metodi diretti è l’idea dell’eliminazione



L’idea consiste nel ricavare (eliminare) da una fissata equazione
una particolare incognita e nella sua sostituzione nelle equazioni
rimanenti



La sostituzione diminuisce la dimensione del problema



Iterando il procedimento si riduce il problema originario ad un
problema ad una sola dimensione in una sola incognita



Determinata tale incognita le altre componenti della soluzione
sono successivamente ottenute mediante una procedura di
sostituzione all’indietro.

Sistemi Lineari: Sistemi Triangolari

Si tratta di un caso particolarmente importante perché








la forma triangolare è il risultato finale dell’applicazione del metodo di
eliminazione a sistemi generali
La soluzione è estremamente semplice

La matrice dei coefficienti è una matrice triangolare superiore o
inferiore cioè rispettivamente della forma:

 u11 u12  u1n 


 0 u 22  u 2 n 
U =
    


0  0 u 
nn 


 l11

 l21
L =


l
 n1

0
l22

ln 2

0

  
 0

 lnn 



Sistemi Lineari: Sistemi Triangolari

Ly = b



Forward substitution



Backward substitution

Ux = y

b1

 y1 = l
11


N

1
y =
bi − ∑ lij y j 
i

lii 
j =1


yN

 xN = u
NN


N

1 
x =
 yi − ∑ uij x j 
i

uii 
j =i



Sistemi Lineari: Decomposizione LU


Supponiamo di dover risolvere un generico sistema del tipo

Ax = b


Se riusciamo a trovare due matrici, una triangolare inferiore L ed
una triangolare superiore U tali che

A = LU


Il nostro problema si riconduce alla risoluzione di due sistemi
triangolari

Ly = b Ux = y

Sistemi Lineari: Matrici Sparse












In numerosi casi la matrice che descrive il sistema ha numerosi elementi
nulli.
Quale sia la percentuale di elementi necessaria per far ritenere una
matrice sparsa dipende naturalmente dal contesto.
Comunemente una matrice è ritenuta sparsa se il numero di elementi
diversi da zero è dello stesso ordine di grandezza del numero di righe (e di
colonne!) della matrice stessa: O(n).
La presenza di sparsità in una matrice rappresenta a priori un vantaggio
dal momento che memorizzando solo gli elementi diversi da zero si
possono ottenere notevoli vantaggi in termini di occupazione di memoria e
di tempo di calcolo.
Tuttavia l’applicazione dei metodi diretti porta ad una modifica della
matrice del sistema che tipicamente riduce o annulla la sparsità della
matrice iniziale (fill-in).
Un’interessante alternativa ai metodi diretti, quando la matrice è sparsa e
di grandi dimensioni è fornita dai metodi iterativi e dai metodi tipo
gradiente. In essi, a differenza dei metodi diretti, la matrice di partenza
non viene modificata e quindi per essi non esiste il problema del fill-in.

Sistemi Lineari: Studio dell’Errore


Norme


Norma di un Vettore
Nel caso particolare di un vettore a valori reali con n dimensioni si definisce
come norma p, con p compreso fra 1 e infinito, la quantità

x


Casi particolari:



p

1/ p


p
=  ∑ xi 
 i =1

n

p = 2 Norma Euclidea
p = ∞ Norma del Massimo (o di Chebichev)

x

∞

= max xi
1≤i ≤ n



Norme


Norma di una Matrice

AB ≤ A B


La norma è “indotta” dalla norma dei vettori

A = sup
x≠0

Ax
x



Norma del massimo


La norma di matrice indotta dalla norma del
massimo è la seguente
n

A ∞ = max ∑ aij
i

j =1

Cioè la massima delle somme dei moduli delle
righe



Matrici Convergenti


Per studiare la convergenza di procedure iterative è spesso necessario, come
vedremo in seguito, stabilire quando per una matrice A si ha la convergenza a
zero delle successive potenze, cioè quando

lim A = 0
m

m →∞


In questo caso si dice che la matrice è convergente. Una condizione sufficiente
affinché una matrice risulti convergente è che per una norma si abbia

lim A

m →∞

m

= 0 ⇒ A <1

Sistemi Lineari:Condizionamento




Si tratta di studiare come varia la soluzione di un sistema lineare al variare dei
dati, cioè della matrice A e del termine noto b
Iniziamo dal caso in cui venga modificato solo il termine noto…

Ax = b

A( x + ∆x) = b + ∆b
Sottraend
Sottraend
oo

−1

A(∆x) = ∆b ⇒ ∆x = A ∆b

Sistemi Lineari:Condizionamento
∆x = A−1∆b ≤ A−1 ∆b
A
1
b = Ax ≤ A x ⇒
≤
x
b

∆x
x

≤ A A

−1

∆b
b

Sistemi Lineari: Condizionamento


Nel caso di variazione di A si ottiene…

Ax = b

( A + ∆A) ( x + ∆x) = b

Numero di Condizionamento del
Problema

∆x
x + ∆x

≤ A A

−1

∆A
A

Sistemi Lineari: Condizionamento


Una matrice è detta ben condizionata
relativamente alla risoluzione di un sistema
lineare se il numero di condizionamento non è
“troppo grande” (questo naturalmente dipende dal
contesto);



Si può dimostrare che il numero di
condizionamento da una misura di quanto vicina
sia una matrice all’essere singolare.

Sistemi Lineari: Metodi Iterativi







Rispetto ai metodi diretti hanno il vantaggio di preservare la
struttura della matrice preservandone quindi l’eventuale
sparsità
In generale sono di più facile implementazione
Poiché tuttavia la soluzione è ottenuta come limite di una
successione per essere una valida alternativa possono aver
bisogno di opportune tecniche di accelerazione
Introducono in ogni caso un errore dovuto all’approssimazione
(studio della convergenza)



Metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, Rilassamento


L’idea comune ai differenti metodi è la seguente. Data una stima iniziale x(0)
del sistema lineare

Ax = b
si costruisce una successione di vettori {x(k)} risolvendo successivamente
dei sistemi lineari semplici.

A=M −N

det( M ) ≠ 0

Ax = b ⇒ Mx = Nx + b
⇓
Mx

( k +1)

= Nx

(k )

+b



La matrice

−1

−1

−1

B = M N = M ( M − A) = I − M A
è detta matrice di iterazione;




essa individua un particolare metodo ed il suo studio è fondamentale
per stabilire la convergenza e la rapidità di convergenza del
corrispondente metodo;
E’ utile considerare la seguente decomposizione di A

A= D

−E

−F

triangolare triangolare
diagonale inferiore superiore



Metodo di Jacobi

M = D,
xi( k +1)


N = E+ F
1
=
aii

BJ = D −1 ( E + F ) = I − D −1 A

i −1
n


(k )
(k )
 bi − ∑ aij x j − ∑ aij x j 


j =1
j =i +1



L’implementazione del metodo richiede due vettori xold, xnew; alla fine di ogni
ciclo si pone xnew = xold. Le componenti del vettore xnew sono costruite a
partire dal vettore xold in maniera indipendente; l’algoritmo è quindi in forma
parallela.



Metodo di Gauss-Seidel

M = D − E, N = F
xi( k +1)


1
=
aii

(

BJ = ( D − E ) F = I − D E
−1

−1

)

−1

D −1 F

i −1
n


( k +1)
(k )


j =1
j =i +1



A differenza del metodo di Jacobi, per l’implementazione del metodo di GaussSeidel è sufficiente un solo vettore; le componenti del vettore iterato, infatti,
sono utilizzate non appena vengono calcolate.



Metodo di Rilassamento




Con l’obiettivo di accelerare la convergenza si possono modificare i metodi precedenti
scegliendo di aggiornare il vettore al passo k + 1 con una opportuna media pesata del
valore al passo k-esimo e del nuovo valore calcolato;
Ad esempio il metodo di Gauss-Siedel può essere così modificato; una voltà calcolata
la quantità

1
yi =
aii


i −1
n


( k +1)
(k )


j =1
j =i +1



Si assume come nuovo valore la combinazione lineare

( k +1)
i

x

= ωy + (1 − ω ) x

(k )
i



Studio della convergenza
Considerando la decomposizione generale ed indicando con x* la soluzione del sistema Ax = b, possiamo
scrivere:

x* = Bx * + M −1b
x ( k +1) = Bx ( k ) + M −1b
da cui, ponendo

e( k ) = x * − x (k )
Si ha la seguente relazione ricorrente sull’errore

e ( k +1) = Be ( k )
che, per applicazione successiva, può essere scritta come

e ( k +1) = B k e ( 0)



Il metodo iterativo definito dalla matrice di iterazione
B converge se e solo se

B <1
Da questo risultato discende che il metodo di
rilassamento converge solo per

0<ω < 2

PDE: Definizioni e Classificazione


L’equazione di Black & Scholes




Dinamica del sottostante descritta da un’equazione
differenziale stocastica
Utilizzo del principio di non arbitraggio

∂f 1 2 2 ∂ f
∂f
+ σ S
+ rS
− rf = 0
2
∂t 2
∂S
∂S
2





Per trovare delle specifiche soluzioni è
necessario aggiungere opportune condizioni
al contorno
L’equazione
ha
alcune
caratteristiche
distintive




È del secondo ordine
È lineare
È un’equazione parabolica





L’ordine di un’equazione differenziale è l’ordine più alto fra
quelli delle derivate presenti all’interno dell’equazione
La forma generica di un’equazione differenziale lineare del
secondo ordine è la seguente (dove φ è una funzione di x e y):

∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
a 2 +b
+c 2 +d
+e
+ fφ + g = 0
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
2

2

2






Per semplicità ci occuperemo solo di equazioni differenziali lineari;
Sebbene in finanza la maggior parte dei modelli di pricing si basi
su PDE lineari, è interessante notare che si possono ottenere
equazioni non lineari semplicemente eliminando alcune delle
semplificazioni implicite nel modello di Black e Scholes;
Ad esempio introducendo i costi di transazione, l’equazione di
Black & Scholes diventa… (Wilmott, Derivatives, Cap. 21)



La classificazione delle equazioni differenziali
del secondo ordine dipende dal segno assunto
dall’espressione

∆ = b − 4ac
2



Se ∆ > 0 l’equazione è iperbolica



Se ∆ = 0 l’equazione è parabolica



Se ∆ < 0 l’equazione è ellittica


∂φ ∂φ
+ 2 =0
2
∂x ∂y
2



Equazione Ellittica




Equazione di Laplace

Equazione Iperbolica


Equazione delle Onde

2

∂φ 1 ∂φ
− 2 2 =0
2
∂t v ∂x
2

2



Equazione Parabolica


Equazione della diffusione del calore

∂φ
∂φ
=k 2
∂t
∂x
2



Perché è così interessante per la finanza?



Perché l’equazione di Black & Scholes è un’equazione
parabolica, anzi con un opportuno cambio di variabile si
può dimostrare che è esattamente uguale all’equazione
della propagazione del calore!



Per integrare l’equazione
occorre aggiungere una




condizione iniziale

φ ( x,0) = u ( x)

0≤ x≤1

e delle


condizioni al contorno

φ (0, t ) = φ (1, t ) = u0

t>0

Nei problemi finanziari la condizione iniziale è usualmente sostituita da
Nei problemi finanziari la condizione iniziale è usualmente sostituita da
una condizione terminale. Ad esempio ilil payoff di un’opzione è
una condizione terminale. Ad esempio
payoff
di un’opzione è
conosciuto solo alla scadenza.
conosciuto solo alla scadenza.



Limiti del dominio di integrazione


Da un punto di vista computazionale, il dominio di integrazione
deve essere comunque limitato sia nel tempo che nell’altra
variabile (es. valore del sottostante)



Le condizioni al contorno


sono molto semplici per le opzioni europee plain vanilla;



per le opzioni con barriera di solito possono addirittura semplificare il
problema;



per altri tipi di opzione esotiche le condizioni al contorno possono a
loro volta richiedere particolari tecniche numeriche per la loro
espressione;



il caso delle opzioni americane è invece più complesso: siamo in
presenza di un cosiddetto free boundary.



La forma dell’equazione e l’insieme delle condizioni iniziali e al
contorno determinano se un dato problema è ben posto;



Un problema è ben posto se


Esiste una soluzione;



La soluzione è unica (almeno all’interno di una famiglia di
soluzioni di interesse);



La soluzione non risente della dipendenza sensibile dai dati del
problema (cioè una “piccola” perturbazione nei dati deve
risultare in una “piccola” perturbazione nella soluzione)

L’idea di base




L’idea di base dei metodi alle differenze finite è
intuitiva e pericolosa allo stesso tempo!
Si tratta di approssimare le derivate parziali con
quozienti di differenze finite

∂C
∂S

∆C
∆S

Approssimazione discreta

della derivata del primo ordine

• Forward Approximation

f ′( x) =

f ( x + h) − f ( x )
+ O ( h)
h

•Backward Approximation

f ′( x) =

f ( x ) − f ( x − h)
+ O ( h)
h

•Central Approximation

f ( x + h) − f ( x − h)
f ′( x) =
+ O(h 2 )
2h


della derivata del primo ordine


della derivata del secondo ordine


Dallo sviluppo in serie di Taylor possiamo
ottenere un’approssimazione valida fino a termini
del secondo ordine

f ( x + h) − 2 f ( x ) + f ( x − h)
f ′′( x) =
+ O(h 2 )
h2

Schemi di discretizzazione




In generale applicheremo i nostri schemi di discretizzazione a
funzioni di due variabili
È naturale pertanto definire una griglia di punti della forma

(iδx, jδy )


I valori della funzione sulla griglia formano pertanto una matrice

φ ( x, y ) → φij = φ (iδx, jδy )



Nei casi che andremo a studiare le variabili saranno S
(valore del sottostante) e t (tempo alla scadenza del
contratto)

S = iδS



0≤i≤ I

Poiché non disponiamo di una condizione iniziale bensì di
una condizione finale, è conveniente scegliere

t = T − jδt

0≤ j≤ J



Osservazione 1
 Poiché il dominio della soluzione all’equazione di Black e
Scholes nel continuo è 0 ≤ S < ∞, IδS rappresenta la nostra
approssimazione dell’infinito;
 In pratica questo limite superiore non necessità di essere
eccessivamente grande, è sufficiente prendere un valore pari a
tre o quattro volte il prezzo di esercizio;
 Per le opzioni con barriera il problema talora si semplifica in
quanto non è necessario trovare soluzioni per tutti i valori di S;
ad esempio per un’opzione up-and-out non è necessario
generare punti della griglia corrispondenti a valori di S che
superano la barriera.



Osservazione 2




Notate che il tempo “scorre” al contrario,
all’aumentare di j , t diminuisce;
Il valore della funzione sulla griglia sarà pertanto
indicato come

f ij = f (iδS , T − jδt )



A seconda del tipo di equazione e dell’approsimazione utilizzata per
calcolare le derivate, otterremo un insieme di equazioni algebriche;



La definizione delle condizioni al contorno merita particolare attenzione;



In ogni caso ci aspetteremo che facendo tendere a zero gli incrementi
δx e δy la soluzione del set di equazioni algebriche converga alla
soluzione della PDE…

… ma questo non è assolutamente
garantito!



Utilizziamo come esempio l’equazione di Black &
Scholes


Approssimazione di θ

f i , j − f i , j +1
∂f
≈
∂t
δt



Approssimazione di ∆

f i +1, j − f i −1, j
∂f
≈
∂S
2δS



Approssimazione di Γ

f i +1, j − 2 f i , j + f i −1, j
∂ f
≈
2
2
∂S
δS
2

Condizioni al contorno


Condizioni finali e payoff


Alla scadenza il valore dell’opzione è pari al payoff da cui
ricaviamo la condizione:

f ( S , T ) → f i , 0 = Payoff (iδS )


Il payoff è una funzione nota di S, ad esempio per una call
porremo:

f i , 0 = max(iδS − K ,0)





Dobbiamo specificare il valore assunto dalla funzione f per
S = 0 e S = IδS;



La specifica delle condizioni al contorno dipende dal tipo di
opzione;



Vediamo alcuni esempi…



Call Option


Se il sottostante è nullo anche il valore dell’opzione è zero

f 0, j = 0


Per grandi valori del sottostante il valore dell’opzione tende
asintoticamente a

S − Ke

− r (T − t )

f I , j = IδS − Ke

− rjδt



Put Option


Per S = 0 abbiamo la condizione

f 0, j = Ke


− rjδt

Mentre per grandi valori del sottostante la put
diventa priva di valore, ovvero

fI, j = 0



Ulteriori condizioni

∂f 1 2 2 ∂ 2 f
∂f
+ σ S
+ rS
− rf = 0
2
∂t 2
∂S
∂S
∂f (0, t )
S =0⇒
− rf (0, t ) = 0
∂t
f 0, j − f 0, j +1

δt

− rf 0, j = 0 ⇒ f 0, j (1 − rδt ) = f 0, j +1



Ulteriori condizioni: se il payoff è lineare in S per grandi valori di
S

∂f 1 2 2 ∂ 2 f
∂f
+ σ S
+ rS
− rf = 0
2
∂t 2
∂S
∂S
∂ 2 f (S , t )
S →∞⇒
→0
2
∂S

f I , j = 2 f I −1, j − f I − 2, j



Opzioni con Barriere


Es. up-and-out Call




V(Sb, t) = 0

Volendo inserire questa condizione nella
griglia di valutazione, l’ideale sarebbe avere il
valore della barriera lungo una linea della
griglia stessa, cioè Sb/δS dovrebbe essere un
numero intero.



Opzioni con
Barriere
Spesso non è possibile
verificare questa
condizione, al fine di
mantenere basso
l’errore, in questi casi è
conveniente
considerare il punto che
si trova oltre la barriera
ed effettuare
un’interpolazione.



Es. Condizione sulla Barriera
 Supponiamo quindi di avere una barriera che possiamo esprimere
nella forma

f ( S B , t ) = φ (t )


Ad esempio per un opzione di tipo “out” il valore di φ sarà 0 mentre
per un’opzione di tipo “in” dovrà essere uguale al valore dell’opzione
che entra in esercizio alla barriera.



Es. Condizione sulla Barriera


Se indichiamo quindi con fI-1,j un punto situato subito prima della barriera e con fI,j il
punto della griglia subito oltre la barriera stessa, possiamo porre come
condizione al contorno

[

1
f I , j = φ − (1 − α ) f I −1, j
α
dove
Sb − ( I − 1)δS
α=
δS


]

In questo modo la retta che unisce i due punti assume esattamente valore φ
sulla barriera.

Metodo Esplicito
∂f
∂ f
∂f
+ a ( S , t ) 2 + b( S , t )
+ c( S , t ) f = 0
∂t
∂S
∂S
2

f i , j − f i , j +1

 f i +1, j − 2 f i , j + f i −1, j 
+
+ ai , j 
2


δt
δS


 f i +1, j − f i −1, j 

 + ci , j f i , j = O(δt , δS 2 )
bi , j 

2δS



Metodo Esplicito


Riscriviamo l’equazione alle differenze finite ponendo il termine j + 1 a
sinistra del segno di uguale

f i , j +1 = Ai , j f i −1, j + (1 + Bi , j ) f i , j + Ci , j f i +1, j
1
Ai , j = c1ai , j + c2bi , j
2
Bi , j = −2c1ai , j + δtci , j
Ci , j

1
= c1ai , j − c2bi , j
2

δt
δt
c1 = 2 , c2 =
δS
δS

Metodo Esplicito


Nei casi che prenderemo in considerazione, i coefficienti A, B e C
non dipendono dal tempo e quindi non contengono l’indice j;



Esplicitando la dipendenza dai parametri
differenziale, possiamo quindi scrivere

(

)

dell’equazione

(

1 22
Ai = σ i − ri δt
2

)

Bi = − σ i + r δt

(

)

1 22
Ci = σ i + ri δt
2

2 2

Metodo Esplicito


Il metodo alle differenze finite esplicito è equivalente al
calcolo con alberi trinomiali

E’ calcolato a partire dai
valori
dell’opzione
in
questi punti

Il valore dell’opzione
questo punto

in

Metodo Esplicito








L’equazione appena scritta vale solo per i punti
interni alla griglia;
Abbiamo pertanto I – 1 equazioni per I + 1
incognite;
Le ulteriori due equazioni provengono dalle
condizioni al contorno per i = 0 e i = I;
Se conosciamo fi,j per ogni i allora possiamo
ricavare il valore di fi,j+1;

Metodo Esplicito


Poiché conosciamo il valore di fi,0 che è pari al valore
del payoff, possiamo calcolare step by step tutti i
valori nella griglia corrispondenti agli istanti
precedenti fino al valore attuale.

Dal momento che il valore della funzione al
passo temporale j + 1 è una funzione
esplicita del valore agli step precedenti, il
metodo appena descritto viene detto metodo
alle differenze finite esplicito.

Esempio 1
Esempio 1
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

Calcolo del Prezzo di una Call Europea
Calcolo del Prezzo di una Call Europea

Metodo Esplicito

Esempio 1 – Call Europea
'
' loop di calcolo
'
For j = 0 To NumTStep - 1
For i = 1 To NumSStep - 1
A = 0.5 * dt * i * (Volatility * Volatility * i - RiskFreeRate)
B = -(Volatility * Volatility * i * i + RiskFreeRate) * dt
C = 0.5 * dt * i * (Volatility * Volatility * i + RiskFreeRate)
f(i, j + 1) = A * f(i - 1, j) + (1 + B) * f(i, j) + C * f(i + 1, j)
Next i
'
' condizioni al contorno per S = 0 e per S "molto grande"
'
If TipoOpzione = 0 Then ' call option
f(0, j + 1) = 0
f(NumSStep, j + 1) = NumSStep * dS - Strike * Exp(-RiskFreeRate * (j + 1) *
dt)
ElseIf TipoOpzione = 1 Then ' put option
f(0, j + 1) = Strike * Exp(-RiskFreeRate * (j + 1) * dt)
f(NumSStep, j + 1) = 0
End If
Next j

Metodo Esplicito

Problemi di convergenza
f i , j +1 = Ai , j f i −1, j + (1 + Bi , j ) f i , j + Ci , j f i +1, j










f1, j +1  1 + B1
C1
0
 
f 2, j +1   A2 1 + B2
C2
f 3, j +1  =  0
A3
1 + B3
 
   


f n −1, j +1   0
0
0
 

0



0 
C3 
 
0





0 
0 

 

1 + Bn −1 
0

f1, j 

f 2, j 
f 3, j  + c.c.

 
f n −1, j 


Metodo Esplicito





Affinché il sistema converga è necessario che la norma
della matrice sia minore di 1
Da questo si ricavano due limiti importanti sulla
dimensione degli step

δS
δt ≤ 2 2
σ S
2
σ S
δS ≤
r
2

Metodo Esplicito



Significato finanziario dei limiti
sugli intervalli
 Vediamo quale relazione
intercorre fra il metodo esplicito e
gli alberi trinomiali
 Ripristiniamo il normale
“scorrere” del tempo ed
approssimiamo le derivate
rispetto ad S al tempo t con i
valori stimati al tempo t + ∆t

Metodo Esplicito



Applicando questa approssimazione si giunge alla seguente espressione
che rappresenta un’altra forma del metodo alle differenze esplicito

ˆ
ˆ
ˆ
f i , j = Ai f i −1, j +1 + Bi f i , j +1 + Ci f i +1, j +1

(

)

1 22
σ i − ri δt
1 − σ 2i 2δt
ˆ
Ai = 2
Bi =
1 + rδt
1 + rδt
1 22
σ i + ri δt
Ci = 2
1 + rδt

(

(

)

)

Metodo Esplicito

ˆ
Ai
ˆ
Bi
ˆ
Ci

(

)

1 22
σ i − ri δt
1
2
=
=
πd
1 + rδt
1 + rδt
1 − σ 2i 2δt
1
=
=
π0
1 + rδt
1 + rδt
1 22
σ i + ri δt
1
2
=
=
πu
1 + rδt
1 + rδt

(

)

(

)

πd +π0 +πu =1

Metodo Esplicito



Possiamo interpretare queste quantità come
probabilità risk-neutral ;

E ( ∆S ) = −δSπ d + 0π 0 + δSπ u = riδSδt = rSδt


Infatti l’incremento di valore nell’intervallo di
tempo avviene al tasso privo di rischio!

Metodo Esplicito



Le condizioni di stabilità del metodo esplicito si traducono
quindi nella richiesta che tali probabilità siano sempre non
negative!

σ S
π d ≥ 0 ⇒ σ iδS − rδS ≥ 0 ⇒ δS ≤
r
2
δS
2 2
2
2
π 0 ≥ 0 ⇒ σ i δS δt ≤ δS ⇒ δt ≤ 2 2
σ S
π u ≥ 0 ∀ δS , δt
2

2

Esempio 2
Esempio 2
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

Calcolo del Prezzo di un’Opzione Parigina
Calcolo del Prezzo di un’Opzione Parigina

Metodo Esplicito

Esempio 2 – Parigina

Metodo Esplicito

Esempio 2 – Parigina




Introduciamo una nuova variabile di stato che rappresenta il tempo
in cui il valore dell’asset si trova oltre la barriera τ
In questo caso la barriera divide la regione di integrazione in due
parti, nella prima il prezzo dell’asset si trova fuori dalla regione di
attivazione e quindi l’equazione differenziale che descrive il
comportamento dinamico dell’opzione è la stessa; nella seconda
entra in gioco la variabile τ e l’equazione diventa

∂f ∂f 1 2 2 ∂ f
∂f
+
+ σ S
+ rS
− rf = 0
2
∂t ∂τ 2
∂S
∂S
2

Metodo Implicito
∂f
∂2 f
∂f
+ a ( S , t ) 2 + b( S , t )
+ c( S , t ) f = 0
∂t
∂S
∂S

f i , j − f i , j +1

 f i +1, j +1 − 2 f i , j +1 + f i −1, j +1 
+
+ ai , j +1 
2


δt
δS


 f i +1, j +1 − f i −1, j +1 
2
 + ci , j +1 f i , j +1 = O (δt , δS )
bi , j +1 


2δS



Metodo Implicito

Sono calcolati a partire
dai valori dell’opzione in
questo punto

I valori dell’opzione
questi punti

in

Metodo Implicito


Riscriviamo l’equazione alle differenze finite ponendo il termine i, j a
sinistra del segno di uguale

f i , j = Ai , j +1 f i −1, j +1 + (1 + Bi , j +1 ) f i , j +1 + Ci , j +1 f i +1, j +1
1
Ai , j +1 = −c1ai , j +1 − c2bi , j +1
2
Bi , j +1 = 2c1ai , j +1 − δtci , j +1
1
Ci , j +1 = −c1ai , j +1 + c2bi , j +1
2

δt
δt
c1 = 2 , c2 =
δS
δS

Metodo Implicito


Contrariamente alle apparenze il metodo implicito presenta
caratteristiche completamente diverse dal metodo esplicito
 Il metodo non soffre delle problematiche legate allo step lungo la
direzione temporale; lo step lungo S può essere piccolo e lo step
lungo t
più grande senza per questo creare problemi di
convergenza;
 La soluzione dell’equazione alle differenze finite non è più
immediata; occorre risolvere un sistema di equazioni algebriche;
 Allo stesso costo computazione è comunque possibile trovare
un’approssimazione ancora migliore…

Metodo di Crank-Nicolson


Il metodo di
Crank-Nicolson
può
essere
pensato come
una sorta di
media dei due
metodi visti fino
a
questo
momento,
di
fatto
esso
utilizza i valori
in sei punti
come mostrato
in figura



Lo schema di discretizzazione è il seguente

f i , j − f i , j +1

δt

 f i +1, j +1 − 2 f i , j +1 + f i −1, j +1  1  f i +1, j − 2 f i , j + f i −1, j
1
 + ai , j 
+ ai , j +1 
2

 2 
2
δS
δS 2




 f i +1, j +1 − f i −1, j +1  1  f i +1, j − f i −1, j
1
 + bi , j 
+ bi , j +1 

 2 
2
2δS
2δS














1
1
+ ci , j +1 f i , j +1 + ci , j f i , j = O(δt 2 , δS 2 )
2
2


Questo schema risulta corretto fino al secondo ordine in entrambe le
variabili!



Lo schema può essere riscritto nella seguente forma

− Ai , j +1 f i −1, j +1 + (1 − Bi , j +1 ) f i , j +1 − Ci , j +1 f i +1, j +1 =
= Ai , j f i −1, j + (1 − Bi , j ) f i , j + Ci , j f i +1, j




Dove i valori dei coefficienti vengono dedotti come al solito dai
coefficienti dell’equazione differenziale nel continuo.
Il metodo è stabile come il metodo implicito (possono essere utilizzati
valori qualunque per gli step) e risulta più preciso.



L’espressione appena vista può essere posta in forma matriciale
C1
0


 
 A1 (1 + B1 )


0
A2
(1 + B2 ) 


 

0
0



0
0 




 (1 + BI − 2 )
CI −2
0 





0
AI −1
(1 + BI −1 ) C I −1 


 − A1

 0
 0

 
 







=

f I −1, j +1 
f I , j +1 

(1 − B1 )
− C1
0


  f 0, j 


f1, j 
− A2
(1 − B2 ) 


 
0



0
0   




 (1 − BI − 2 ) − C I −2
0  f I −1, j 




0
− AI −1
(1 − BI −1 ) − C I −1  f I , j 

f 0, j +1
f1, j +1


Le due matrici hanno I-1 righe e I+1 colonne, si tratta quindi di un sistema di
I-1 equazioni in I+1 incognite.



Le due equazioni aggiuntive vengono fornite dalle condizioni al contorno.



Utilizzando anche le condizioni al contorno possiamo riformulare il problema
in termini di un sistema di equazioni con matrici quadrate del tipo

M


j +1
L
j +1

v

+ rj = M v j
j
R

r è un vettore noto che dipende dalle condizioni al contorno e/o iniziali

(Per una rassegna completa della forma da attribuire alle condizioni al contorno si veda Wilmott Derivatives.)



Es. Condizione al contorno per f0,j
C1
0


  f 0, j +1 
 A1 (1 + B1 )



A2
(1 + B2 ) 


  f1, j +1 
0
0
0



0
0    =





 (1 + BI − 2 )
CI −2
0  f I −1, j +1 






0
AI −1
(1 + BI −1 ) C I −1  f I , j +1 


C1
0
0 
0  f1, j +1   A1 f 0, j +1 
1 + B1
 



C2
0 
0  f 2, j +1   0 
 A2 1 + B2
 0
A3
1 + B3 C3 
0  f 3, j +1  +  0 
 





 
      
 


 0
0
0
0  1 + Bn −1  f I −1, j +1   0 







Le matrici M che compaiono nella risoluzione dello
schema di Crank-Nicolson sono matrici tri-diagonali;



Possiamo utilizzare i vari metodi di risoluzione discussi
predentemente



LU Decomposition
Metodi Iterativi



Decomposizione LU






Per problemi in cui la matrice M non dipende dal tempo, tale
approccio è sicuramente conveniente in quanto la
decomposizione viene effettuata una sola volta;
Nei casi frequenti in cui si abbia dipendenza dal tempo,
tuttavia, tale processo va ripetuto ad ogni step temporale
rallentando significativamente il processo di calcolo;
Inoltre tale metodo non si presta ad essere facilmente
modificabile per trattare l’eventualità di esercizio anticipato.



Metodi Iterativi






I metodi iterativi sono, in generale, più facili da
programmare della decomposizione LU;
Inoltre sono facilmente estendibili al caso di opzioni
americane o altri derivati con esercizio anticipato;
Di contro possono essere più lenti della
decomposizione LU nel caso di derivati di tipo
Europeo



Metodi Iterativi


Esercizio Europeo

ω
n +1
n
vi = vi +
M ii


i −1
N


n +1
n
 qi − ∑ M ij v j − ∑ M ij v j 


j =1
j =1



Esercizio Americano

 n ω
n +1
vi = max vi +
M ii



i −1
N



n +1
n
 qi − ∑ M ij v j − ∑ M ij v j , Payoff 


j =1
j =1





Esempio 3
Esempio 3
Programmazione
Programmazione
VBA
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