Traitement des données massives (INF442, A1)

1. ÁÆ ¾ ÌÖ Ø Ñ ÒØ × ÓÒÒ × Å ×× Ú ×
½ Ä Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ÓÒÒ × Ò ÀÈ
Ö Ò Æ Ð× Ò
Ò Ð× Ò Ð ÜºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö
¾¼½¿
ÚÖ Ð ¾¼½

2. Å ×× ÓÒ ´ ѵÔÓ×× Ð ÆÓÒ¸ Ñ Ñ ×ÙÖ ÐÓ × ¹ µ

3. ÇÖ Ò × Ø ÓÒ Ù ÓÙÖ×
ÁÆ ¾

4. Ç Ø × Ù ÓÙÖ× ÁÆ ¾
ÕÙ Ö Ö Ð Ö ×ÓÒÒ Ñ ÒØ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ð ÙÐ
Ô Ö ÐÐ Ð ×ÙÖ Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù ´ÁÆ ¿½ ÑÙÐØ ¹ Ð× ×ÙÖ Ñ ÑÓ Ö
Ô ÖØ µ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ·· Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð³ ÒØ Ö ÅÈÁ ´Å ×× È ×× Ò
ÁÒØ Ö µ¸ Ø × × ÖÚ Ö ³ÙÒ ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò ×
→ ½ Ñ Ò × ÓÖ Ò × × Ò ÐÙ×Ø Ö× Ò× Ð × × ÐÐ × Ò ÓÖÑ Ø Õ٠׺ºº
½¼¼¼· ÙÖ׸ ¾º · ÌÓ Ê Å
Ë Ñ Ð Ö × Ö Ú Ð ÑÓÒ Ù ÀÈ » Ø
¿ È ÁÆ Ç
Ô Ö ÓÙÖ× ÀÈ À È Ö ÓÖÑ Ò ÓÑÔÙØ Ò
Ô Ö ÓÙÖ× Ë Ò × ÓÒÒ ×
È ÅÓÓ Ð Ù ÓÙÖ×
ØØÔ× »»ÑÓÓ Ð ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö» ÒÖÓл Ò ÜºÔ Ô ¿¾
Ð ÔÓÙÖ Ð³ Ò× Ö ÔØ ÓÒ ÁÆ ¾¹ ¾¼½¿

5. ÁÆ ¾ ÙÒ Ô Ö Ù Ù ÓÒØ ÒÙ × ÓÙÖ×»Ì ×
ÍÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð Ö Ò ÐÓ ×
Ò ÐÝ× ÓÒÒ × ´ Ú Ð ÀÈ µ
Ö Ö ÜÔÐÓÖ ØÓ Ö ´ ÐÙ×Ø Ö Ò µ
ÔÔÖ ÒØ ×× ×ÙÔ ÖÚ × ´ Ð ×× Ø ÓÒµ
Ð Ö Ð Ò Ö ´Ñ ØÖ ×µ
Ö Ô ×
Ú ÐÙ Ø ÓÒ × Ö ×ÙÐØ Ø× ´× Ò × ÓÒÒ ×µ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ·· ´ Ú Ð ËØ Ò Ö Ì ÑÔÐ Ø Ä Ö ÖÝ ËÌÄ Ø
ÓÓ×Ø ÔÓÙÖ Ð × Ñ ØÖ ×» Ö Ô ×µ
È Ö ÐÐ Ð × Ø ÓÒ × ÔÖÓ Ö ÑÑ × Ú Ð Å ×× È ×× Ò ÁÒØ Ö
´ÅÈÁµ
¿ ÔÖ Ñ Ö× ÓÙÖ× Ø Ì × Ö × Ú ÒØ Ò Ö ÒÓØÖ ÖÝØ Ñ ÖÓ × Ö
´ØÖ Ú Ð Ô Ö×ÓÒÒ Ðµ

6. ÁÆ ¾ Ñ Ò ×ØÖ Ø ÓÒ
ÓÒØ Ø Ò Ð× Ò Ð ÜºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö
ÔÖ Ü Ù ×Ù Ø × ÓÙÖÖ Ð× ÁÆ ¾
ÖÓÙÐ Ñ ÒØ
ÐÓ × ½ ¿¼ ÓÙÖ× ×Ù Ú ¾ Ì × · ØÖ Ú Ð Ô Ö×ÓÒÒ Ð
ÓÒØÖ Ð Å Ò ´ Ÿ ¾ µ¸ ÓÒØÖ Ð Ð ×× ÒØ ´ ¸ Ö Ø ¿ µ
ÆÓØ Ø ÓÒ Ù ÓÙÖ×
ÆÓØ Ð ×× ÒØ ∈ [¼, ¾¼] ´ Ü Ñ Ò Ö Ø¸ ÔÖ ÚÙ Ð ½¼ Ù Ò ¾¼½ µ
ÆÓØ Ð ØØ Ö Ð ∈ {A, ..., E}¸ ÔÓÙÖ Ð Ú Ð Ø ÓÒ ´ ¸ ¸ µ
× Ò× ÈÖÓ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ´ÈÁµ Ì ∈ [−½, ½]
¾ + Å
¿
+ Ì
Ú ÈÁ
¾ + Ñ Ü( Å, ÈÁ)
¿
+ Ì

7. Ð Ø ÓÒ × Ð Ù × ¾¼½¿ Ö ÑÔÐ Ö
Ð Ù ÓÙÖ×
Ð Ù × × ÖÓÙÔ ×
ÖÓÙÔ ÆÓÑ Ù Ð Ù
½
¾
¿
½¼
½½
½¾

8. Ä ÈÖÓ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ´ÈÁµ
Ä ¿ È ÁÆ Ç ´≥ ¿ ÓÙÖ× ÁÆ Ç ¾ µ
È ÁÆ Ç Ð ÙØ ÚÓ Ö Ø ÙÒ ÈÖÓ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ò ¾ ´ÓÙ ÑÓ Ðµ
ŠȹÁÆ Ç ´È Ö ÓÙÖ× ÁÑ ¹Î × ÓÒ¹ ÔÔÖ ÒØ ×× ¸ ÇÔØ Ñ × Ø ÓÒ¸ Ë Ò
× ÓÒÒ ×¸ Ð ÙÐ À ÙØ È Ö ÓÖÑ Ò µ ÈÁ Ò ¾ ÁÆ Ç ÓÙ Å È
È Å Ì ÁÆ Ç ÈÁ Ô × Ó Ð ØÓ Ö Ñ × Ö ÓÑÑ Ò
ÖÓÙÐ Ñ ÒØ × ÈÁ× Ò ÁÆ ¾
ÒÚ ÖÓÒ ¼¼ Ð Ò × Ó ´ÄÇ ×¸ Ð Ò Ó Ó ×¸ ··µ
Ò Ò Ñ
Ö ÔÔÓÖØ Ô ×
×ÓÙØ Ò Ò ´ Ú ÑÓ µ ½ Ñ Òº ´ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒµ · ½¼ Ñ Òº ´ÕÙ ×Ø ÓÒ×µ
Ê ÔÔ Ð ÓÑÔØ ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ò× Ð ÒÓØ Ð ØØ Ö Ð × Ò× Ô Ò Ð × Ö
¾ + Ñ Ü(ÈÅ, ÈÁ)
¿
+ Ì
Ú Ì ∈ [−½, ½]

9. Ä ÈÁ Ò ÁÆ ¾
Ö ×ÔÓÒ× Ð × ÈÁ× Ð Ù ³ Ñ ÖÓ× Ó
Ñ ÖÓ× Ó Ð ÜºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö
¿ Ó Ü ´ÓÖ Ö ÔÖ Ö Ò µ Ö Ù ÔÐÙ× Ø Ö ÔÓÙÖ Ð ¾¼ ÚÖ Ð ¾¼½
ÈÁ Ú Ð ÔÓÙÖ ÓÖ Ù ÔÐÙ× Ø Ö Ð ¾¿ ÚÖ Ð ¾¼½
Ø Ö Ñ × Ù ÔÖÓ Ø ×ÓÙ× ÅÓÓ Ð ≤ ¾¾ Ñ ¾¼½
ËÓÙØ Ò Ò ÈÁ ÒØÖ Ð ½ Ö Ù Ò Ø Ð ½¾ Ù Ò ¾¼½
Ä × ×Ù Ø× Ú Ð ÙÖ× ÙÐØ × ´¶ Ð ¸ ¶¶ ÑÓÝ Ò¸ ¶¶¶ Ð µ
¾¹½ ¶ Ä Ò Ö Ö ÝÓÒ ´ Ñ ×ÝÒØ × µ ˺ Ê ÓÒ
¾¹¾ ¶ È Ê Ò ´Ñ ØÖ ×µ Ⱥĺ ÈÓ Ö ÓÒ
¾¹¿ ¶¶ ËÈ ×× ××Ñ ÒØ ÈÖÓØ Ò ËØÖÙ ØÙÖ ÈÖ Ø ÓÒ º À Ð ÓÙ
² Ⱥ ×× Ò Ø
¾¹ ¶¶ Ö Ô × ² Ö Ö × Ö ÓÙÚÖ ÒØ× ´ÑÓ×Ø Ú Ø Ð µ ˺ ÌÓÙ Ð Ò
¾¹ ¶¶¶ Ø Ø ÙÖ Î ÓÐ ÂÓÒ × ´Ú × ÓÒµ º¹ º ÓÖ ×
¾¹ ¶¶¶ Ê ÔÐ Ñ ÒØ × ÔÖÓØ Ò × ´ ÓÐÓ µ Ⱥ ×× Ò Ø
¾¹ ÈÖÓ Ø Ù Ó Ü¸ ×Ù Ø Ö Ö Ø Ú Ð Ö
¾¹ ÈÖÓ Ø Ù Ó Ü Ò ·· ´× Ò× ÅÈÁµ Ð Ñ ÒØ ÔÓ×× Ð º

10. ÓÒØ ÒÙ × ÓÙÖ×
Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð × ´//µ Ò ·· Ú Ð³ ÒØ Ö ÅÈÁ ´ Ò µ
Ë Ò ×
Ø Ì
½ ¼ »¼ Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ô Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ ×
¾ ½ »¼ Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ö Ö ÕÙ Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ö Ö ÕÙ
¿ ¾¾»¼ Ð ×× Ø ÓÒ Ø Ø ÙÖ ÔÓÙÖÖ Ð×
¼ »¼ Ð Ö Ð Ò Ö Ö Ñ ÒØ À ÐÐ
½¿»¼ ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ
¾¼»¼ ØÓÔÓÐÓ ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ ÓÒØÖ Ð Ñ Ò ··»ÅÈÁ
¾ »¼ ÓÖÑ Ð ×Ñ Å ÔÊ Ù ÅʹÅÈÁ ÔÓÙÖ Ð ÓÐÓ
¼¿»¼ Ö Ô × Ø Ø ÓÒ ³ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ×
Ü Ñ Ò Ò Ð Ö Ø ¿ ½¼ Ù Ò ¾¼½
ËÓÙØ Ò Ò ÈÁ ÒØÖ Ð ½ Ö Ù Ò Ø Ð ½¾ Ù Ò ¾¼½ º

11. ÈÐ Ò
ÍÒ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ù À È Ö ÓÖÑ Ò ÓÑÔÙØ Ò ´ÀÈ µ
Ä Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ´ ÐÙ×Ø Ö Ò µ ² ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ
Â Ú ··
→ Ñ Ñ ÒØÓ ·· ×ÔÓÒ Ð ×ÙÖ ÑÓÓ Ð ´ Ð Ö µ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ú ÅÈÁ ´×ÓÙ× » ··µ

13. Ä ÀÈ
Ð ÙÐ À ÙØ È Ö ÓÖÑ Ò
À È Ö ÓÖÑ Ò
ÓÑÔÙØ Ò

14. ÉÙ³ ×ع ÕÙ Ð Ð ÙÐ À ÙØ È Ö ÓÖÑ Ò ´ÀÈ µ
Ë Ò × × ×ÙÔ Ö¹ÓÖ Ò Ø ÙÖ× ´ ÌÇÈ ¼¼ ¸ ØØÔ »»ÛÛÛºØÓÔ ¼¼ºÓÖ »µ
ÌÓÔ ½ Æ Ø ÓÒ Ð ËÙÔ Ö ÓÑÔÙØ Ö ÒØ Ö Ù Ò Þ ÓÙ¸ Ò Ì Ò ¹¾
´Å Ð ÝÏ Ý¹¾µ
¿, ½¾ Å ÐÐ ÓÒ× ÙÖ׸ , È Ø ÓÔ× ´½¼½ ¸ È ÐÓÔ×µ¸ ½ , Å Ï ØØ׸
½ ÅÏ ½¼¼ e» ∼ ½ Åe» Ò
Ö Ò ÀÈ Ú ÐÙ Ð × Ô Ö ÓÖÑ Ò × Ò Å ÐÓÔ׻ϸ
ØØÔ »»ÛÛÛº Ö Ò ¼¼ºÓÖ »
Ä ÀÈ ÓÑ Ò Ò ÐÙ ÒØ Ô Ö Ñ × ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ð ¸
Ð Ò × ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ¸ ÓÙØ Ð× ÐÓ Ð׸ ×Ý×Ø Ñ × Ò ÓÖÑ Ø Õ٠׸ Ú
× × ÓÒ Ö Ò × × ´ Å»Á ËÙÔ Ö ÓÑÔÙØ Ò µ¸ Ø º

15. Ò Ö Ò ¸ ÌÓØ Ð È Ò Ë Á Á ¾º¿ È ÐÓÔ× ´Ô Ø × Ð µ

16. Ù ÓÙÖ ³ Ù Ð Ô Ø × Ð ¸ Ø Ñ Ò Ð³ Ü × Ð
ÐÓ ÄÇÈË ½¼¿
Ñ ÄÇÈË ½¼
ÄÇÈË ½¼
Ø Ö ÄÇÈË ½¼½¾
Ô Ø ÄÇÈË ´È ÄÇÈ˸ Ô Ø × Ð µ ½¼½
Ü ÄÇÈË ´ ÄÇÈ˸ Ü × Ð µ ½¼½
Þ ØØ ÄÇÈË ½¼¾½
ÝÓØØ ÄÇÈË ½¼¾
ººº ººº
ÓÓ ÓÐ ÄÇÈË ½¼½¼¼
ºººÑ × Ù×× ÔÓÙÖ Ð × ËÙÔ Ö¹ÇÖ Ò Ø ÙÖ× Ð Ñ ÑÓ Ö ´Ó Ø Ø×» ÝØ ×µ¸ Ð Ò
Ô ×× ÒØ Ù Ö × Ù¸ Ø º
Ä ÙØÙÖ Ü ÐÓÔ× ´½¼½ Ú Ö× ¾¼½ ¹¾¼¾¼µ¸ Þ Ø ÐÓÔ× ´½¼¾½µ Ú Ö× ¾¼¿¼

17. ÈÓÙÖÕÙÓ Ð ÀÈ ØÖ ÔÐÙ×
ÐÐ Ö ÔÐÙ× Ú Ø Ø ØÖ ÔÐÙ× ÔÖ × ´→ Ð Ñ Ø Óµ
Ê ×ÓÙ Ö ÔÐÙ× ÖÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ´→ × ÑÙÐ Ø ÓÒ¸ → Ø µ
ÓÒÓÑ × Ö Ð³ Ò Ö ü Ñ Ñ ÔÙ ×× Ò ÄÇÈË ÙØ Ð × ¸ ÔÐÙ×
ÔÖÓ ×× ÙÖ× Ð ÒØ× ÕÙ ÓÒ×ÓÑÑ ÒØ ÑÓ Ò×
Ë ÑÔÐ Ö × ØÖ Ø Ñ ÒØ× ÓÒÒ × ÖØ Ò× Ð ÓÖ Ø Ñ × ×ÓÒØ
ÒØÖ Ò× ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð ×
Ú Ó» Ñ ÐØÖ × ÓÖ Ô Ü Ð»ÚÓÜ Ð¸ ÈÍ ² È ÈÍ
Ç Ø Ò Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ø Ð ÔÐÙ× Ö Ô Ñ ÒØ ÔÓ×× Ð Ò Ò ÐÙ ÒØ Ð Ó Ø
Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð × ÔÐÙ× Ð × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÕÙ³ÙÒ
Ó × ÕÙ ÒØ Ð ÓÔØ Ñ × ÔÐÙ× Ð Ú ÐÓÔÔ Ö ´Ô Ö × Ò Ò ÙÖ×µº
ÚÓ Ö Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ · Ü ÙØ Ö Ø
Ð ÓÖ Ø Ñ

18. Ä ÀÈ Ò ÕÙ ÐÕÙ × Ñ ×

19. ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò × ´ ÐÙ×Ø Ö× Ò × ÐÐ × Ñ Ò ×µ
m´emoire
locale
processeur
m´emoire
locale
processeur
m´emoire
locale
processeur
m´emoire
locale
processeur
m´emoire
locale
processeur
m´emoire
locale
processeur
r´eseau
d’interconnexion
´echange de messages
avec MPI

20. ÌÓÔÓÐÓ × Ö × ÙÜ ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ Ò× ÙÒ ÐÙ×Ø Ö
ÌÓÔÓÐÓ ´Ô Ý× ÕÙ »Ú ÖØÙ ÐÐ µ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð × Ò × Ð ÓÖ Ø Ñ ×
Ô Ö ÐРР׺
ÓÑÑ ÒØ Ö ÙÒ Ù× ÓÒ ´ ÖÓ ×ص ³ÙÒ Ò Ù ØÓÙ× Ð × Ò Ù ×

21. ÚÓÐÙØ ÓÒ × ÔÖÓ ×× ÙÖ×
Ä Ñ Ø Ø ÓÒ× × ÙØ × Ö ÕÙ Ò × ´ Ö ÕÙ Ò Ý × Ð Ò µ ÔÙ × ¾¼¼ º
ÇÖ Ò Ø ÙÖ× ÑÙÐØ ¹ÔÖÓ ×× ÙÖ× ´Ð Ñ Ø Ù×× ÙØÓÙÖ ¿¾ ÔÖÓ ×× ÙÖ×µ
r´eseau
ordinateur
(CPU)
carte m`ere carte m`ere
CPU CPU
CPU CPU
cœur
un seul socketsocket socket
socketsocket
4 ordinateurs interconnect´es par un r´eseau une carte m`ere avec 4 processeurs un processeur quad-cœur
ordinateur
(CPU)
ordinateur
(CPU)
ordinateur
(CPU)
cœur
cœurcœur
ÈÓÙÖ Ô ×× Ö Ð³ ÐÐ ¸ Ò× Ð Ð ÙÐ ÙØ Ô Ö ÓÖÑ Ò ¸ Ð ÙØ ÙØ Ð × Ö ÙÒ
ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò × º

22. ÐÙ×Ø Ö ÑÓ ÖÒ ´ ÐÙ×Ø Öµ Ñ Ò × Ø ÖÓ Ò ×
r´eseau
d’interconnexion
(topologie)
nœud
Central Processing Unit
m´emoire
nœud
CPU CPU
CPUCPU
m´emoire
ordinateur simple
ordinateur quad processeurs
ordinateur moderne:
CPU multicœurs avec plusieurs cartes GPUs
node
cœur
m´emoire
GPU
GPU
C
P
U
Grappe d’ordinateurs
(computer cluster)
cœur
cœur cœur

23. Ö Ø ÓÖ ÕÙ Ð Ö ÒØ Ð ÔÖ Ø ÕÙ Ñ × ÙØ Ð ººº
Ì ´ Ó µ ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ü ÙØ Ö ÕÙ ÓÒÒ Ð Ù ÙÒ ÓÙ ÔÐÙ× ÙÖ×
ÔÖÓ ××Ù×
ÇÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ×Ø ÓÒÒ Ö × Ö ××ÓÙÖ × ÕÙ Ó × Ø Ð³ Ø Ø ÓÒ ×
Ø × ´ Ó ×µ ÙÜ Ö ××ÓÙÖ × Ù ÐÙ×Ø Ö ´ Ò × ÐÐ × Ò Ó¸ ËÄÍÊŵ
Ö Ø ÓÖ ÕÙ ÔÓÙÖ ÓÙÖ× ÐÓÖ×ÕÙ³ÓÒ Ò ÐÝ× ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö ÐÐ Ð
ÙÒ ÔÖÓ ××Ù× P ØÓÙÖÒ ×ÙÖ ×ÓÒ ÔÖÓÔÖ ÔÖÓ ×× ÙÖ ´ÙÒ ÈÍ ÑÓÒÓ¹ ÙÖµ
³ÙÒ Ñ Ò ÕÙ ÓÒ×Ø ØÙ ÙÒ Ò Ù Ù ÐÙ×Ø Ö
Ò ÔÖ Ø ÕÙ ÐÙ×Ø Ö Ø ÖÓ Ò Ñ Ò × ´ÑÙÐØ ¹ ÙÖ׸ Ú È͵º
ÈÐÙ× ÙÖ× ÔÖÓ ××Ù× Ô ÙÚ ÒØ × Ö ØÖÓÙÚ Ö Ñ ÔÔ × Ô Ö Ð³ÓÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ×ÙÖ Ð
Ñ Ñ ÔÖÓ ×× ÙÖ ´ÔÓØ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ×ÙÖ Ð Ñ Ñ ÙÖµ

24. ÀÈ Ô Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ø Ö ÒÙÐ Ö Ø
Ö ÒÙÐ Ö Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ × Ð ÙÐ× ´ Ö Ò× Ð ÙÐ× ÐÓ Ùܵ ×ÙÖ Ð ×
ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ´ ÒØ Ö¹ÔÖÓ ××Ù×µº Ö ÕÙ Ò × ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ´ÓÙ
×ÝÒ ÖÓÒ × Ø ÓÒµ ÒØÖ Ð × ÔÖÓ ××Ù׺
Ö Ò Ò ´Ô Ø Ø Ö Ò¸ Ò ¹ Ö Ò µ ÔÐ Ò Ô Ø Ø × Ø ×¸ ÓÒÒ ×
×ÓÙÚ ÒØ ØÖ Ò× Ö × ÒØÖ Ð × ÔÖÓ ××Ù× ÔÖ × Ô Ø Ø× Ð ÙÐ׺
ÖÓ× Ö Ò ´ Ó Ö× ¹ Ö Ò µ Ð × ÓÒÒ × Ò ×ÓÒØ Ô × Ò × ×ÓÙÚ ÒØ
Ø ÔÖ × × ÖÓ× Ð ÙÐ׺
Ñ ÖÖ × Ò ÐÝ Ô Ö ÐÐ Ð × ÜØÖ Ñ ¸ ØÖ × Ô Ù ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ
´ ÇÁÆ ×ÙÖ ÁÒØ ÖÒ Øµº
È Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ø ÓÒ ÙÖÖ Ò
È Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ø × Ü ÙØ × Ð ØØ Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ñ Ø ÑÔ׸
ÓÒ ÙÖÖ Ò Ù ÑÓ Ò× ÙÜ Ø × ÕÙ ÔÖÓ Ö ×× ÒØ ÓÒ Ó ÒØ Ñ ÒØ Ò× Ð
Ø ÑÔ׺ È × Ò ×× Ö Ñ ÒØ Ò Ñ Ñ Ø ÑÔ× ´Ø Ñ ¹×Ð Ò ×ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ
È͸ ÑÙÐØ ¹Ø ×ÙÖ ÙÒ ÙÖµ

25. ÉÙ ÐÕÙ × Ù×× × × ×ÙÖ Ð × ×Ý×Ø Ñ × ×ØÖ Ù ×
ÇÒ Ô Ò× ×ÓÙÚ ÒØ ØÓÖØ ÕÙ
Ð Ö × Ù ×Ø Ð
Ð Ø ÑÔ× Ð Ø Ò ×Ø ÒÙÐ
Ð Ò Ô ×× ÒØ ×Ø Ò Ò
Ð Ö × Ù ×Ø × Ö
Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ö × Ù Ò Ò Ô ×
Ð Ý ÙÒ Ø ÙÒ × ÙÐ Ñ Ò ×ØÖ Ø ÙÖ Ö × Ù
Ð Ó Ø ØÖ Ò×ÔÓÖØ ×Ø ÒÙÐ
Ð Ö × Ù ×Ø ÓÑÓ Ò

26. Ä Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ´ ÐÙ×Ø Ö Ò µ
Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ö Ð × ÓÒÒ ×
Ò ÖÓÙÔ × ÓÑÓ Ò × ´Ð ×
Ñ ×µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¾

27. ÐÙ×Ø Ö Ò Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ù Ð
ÌÖÓÙÚ Ö Ð × Ð Ü × Ñ × ³Ó Ø× Ð ×Ø × ´ ÖÓÙÔ ¸ ÐÙ×Ø Öµ
ËÐÓ Ò Ø Ð Ë Ý ËÙÖÚ Ý¸ ØØÔ »»ÛÛÛº× ×׺ÓÖ »¸ ¿Å· Ó Ø× Ð ×Ø ×
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¾

28. Ò× Ð × Ø׸ ÓÒ ÙÒ ×ÓÙÔ ³ ØØÖ ÙØ× Ô Ö ÓÒÒ ººº
 ٠n = ÓÒÒ × ×ÙÖ Ð × Ú Ò׸ d = ½½ ØØÖ ÙØ×
ØØÖ ÙØ× ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú ×» ÒÙÑ Ö ÕÙ × ¸ ÕÙ Ð Ø Ø Ú × Ø ÓÖ ÐÐ × ¸ ÓÖ Ò Ð ×
´ ܺ A > B > Cµ
Ü ØÝ ÚÓÐ Ø Ð ØÝ ØÖ Ö × Ù Ð ×Ù Ö ÐÓÖ × Ö ×ÙÐ ÙÖ
ÓÜ ØÓØ Ð ×ÙÐ ÙÖ ÓÜ Ò× ØÝ ÔÀ ×ÙÐÔ Ø × Ð Ó ÓÐ ÕÙ Ð ØÝ
¼º¾ ¼º¿ ¾¼º ¼º¼ ½ ¼ ½º¼¼½ ¿ ¼º º
º¿ ¼º¿ ¼º¿ ½º ¼º¼ ½ ½¿¾ ¼º ¿º¿ ¼º º
ººº
½ ¹ Ü ØÝ
¾ ¹ ÚÓÐ Ø Ð ØÝ
¿ ¹ ØÖ
¹ Ö × Ù Ð ×Ù Ö
¹ ÐÓÖ ×
¹ Ö ×ÙÐ ÙÖ ÓÜ
¹ ØÓØ Ð ×ÙÐ ÙÖ ÓÜ
¹ Ò× ØÝ
¹ ÔÀ
½¼ ¹ ×ÙÐÔ Ø ×
½½ ¹ Ð Ó ÓÐ
ÇÒ Ú ÙØ ÖÓÙÔ Ö Ð × Ú Ò× Ô Ö Ö ×× Ñ Ð Ò × ´Ô Ö ÕÙ Ð Ø ¸ Ñ Ñ ÖÓÙÔ
Ñ Ñ ÕÙ Ð Ø µ
ØØÔ× »» Ö Ú º ׺٠º Ù»Ñл Ø × Ø×»Ï Ò ·ÉÙ Ð ØÝ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¾

29. Ê Ö ÜÔÐÓÖ ØÓ Ö Ä Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ´ ÐÙ×Ø Ö Ò µ
È ÖØ Ø ÓÒÒ Ö Ð × ÓÒÒ ×
X = {x½, ..., xn}¸ n ÓÒÒ × ¸ ÙÒ ÓÑÔÓÖØ ÒØ d ØØÖ ÙØ×
xi = (x
(½)
i , ..., x
(j)
i , ..., x
(d)
i )º X ÒÙ ÔÓ ÒØ× Rd º
È ÖØ Ø ÓÒÒ X Ò k ∈ N ÖÓÙÔ × × Ó ÒØ× ÐÙ×Ø Ö×
X = G½ ∪ G¾ ∪ ... ∪ Gk, Gi ∩ Gj = ∅ ∀i = j
Ô ÖÑ Ø Ø ÓÖ × Ö Ð × ÓÒÒ × Ò ÓÒÒ ÒØ ÙÒ × Ò× × Ñ ÒØ ÕÙ ÙÜ
ÖÓÙÔ × ÓÑÓ Ò × → ³ ×Ø Ð³ ÔÔÖ ÒØ ×× ÒÓÒ¹×ÙÔ ÖÚ × º
ÈÓÙÖ ÕÙ ÖÓÙÔ Gi ¸ ÓÒ Ô ÙØ Ò Ö ÙÒ ÒØÖ ci ¸ ÔÔ Ð ÔÖÓØÓØÝÔ
ÓÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÒØ Ù ÐÙ×Ø Ö ´×ÓÙ×¹ Ð ×× ³ Ð ÓÖ Ø Ñ × ÔÔ Ð ÒØ Ö¹ ×
ÐÙ×Ø Ö Ò µ
ººº Ñ × Ð ÐÙ×Ø Ö Ò »Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ × ÖØ Ù×× ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø ³ ÙØÖ ×
Ð ÓÖ Ø Ñ ×ººº
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¾

30. È ÖØ Ø ÓÒÒ Ö Ð × ÓÒÒ × Ð ÐÙ×Ø Ö Ò
ÈÖÓ Ð Ñ Ú ¿ ØÝÔ × Ö Ò ÙÖ×
n Ð ÒÓÑ Ö ÓÒÒ ×
d Ð Ñ Ò× ÓÒ × ÓÒÒ × ØØÖ ÙØ×
X ×Ø Ú ×Ù Ð × ÓÑÑ ÙÒ ÒÙ ÔÓ ÒØ× Ò× Rd
ØØÖ ÙØ× ÒÙÑ Ö Õ٠׸ Ø ÓÖ ÐÐ × ÓÙ ÓÖ Ò Ð × ´× Ñ ¹ Ø ÓÖ ÐÐ ×µ
k Ð ÒÓÑ Ö ÐÙ×Ø Ö× ´k ≤ n Ú ×ÓÙÚ ÒØ k << nµ
×ÓÙÚ ÒØ Ò ÓÒÒÙ ÔÖ ÓÖ
Ò Ö Ð Ñ Òظ ÓÒ n >> d ´n ØÖ × Ö Ò Ú ÒØ dµ Ø k << n ´k ØÖ × Ô Ø Ø
Ú ÒØ n¸ Ò Ð Ð µ Ò ÓÒÒÙ¸ Ñ × ÓÒ Ô ÙØ Ù×× ÚÓ Ö d >> n Ø k = Θ(n)
ÆÓØ Ø ÓÒ a >> b × a > b Ø a
b = ÓÒ×Ø ÒØ
ÜÔn >> n¾ >> n >> ÐÓ n
n½+ >> n ÐÓ a
n ∀ > ¼, a ∈ N
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿¼

31. ÎÓØÖ Ì ½ ³ Ù ÓÙÖ ³ Ù ÌÖÓÙÚ Ö × ×Ô × Ú Ø Ð × ººº
ÍÒ´ µ ÓÐÐ Ù ÔÓÙÖ Ñ Ò Ð ×× Ö ÙÒ × Ô ÓØÓ× n ÙÖ× ³ Ö ×
´ × ÓÒÒ ×¸ µ Ò ×ÓÙ×¹ Ñ ÐÐ × × Ñ Ð Ð ×
ÇÒ ÜØÖ Ø ÔÓÙÖ ÕÙ Ô ÓØÓ Pi ÙÒ ØØÖ ÙØ xi ∈ R ´ ØÙÖ ÜØÖ Ø ÓÒµ
´½µ ÐÓÒ Ù ÙÖ × Ô Ð Ò Ñ¸ ´¾µ Ð Ö ÙÖ × Ô Ð Ò Ñ¸ ´¿µ ÐÓÒ Ù ÙÖ
Ô Ø Ð Ò Ñ¸ ´ µ Ð Ö ÙÖ Ô Ø Ð Ò Ñ
ººº
º¿¸¿º ¸½º ¸¼º¾
º¼¸¿º¿¸½º ¸¼º¾
º¼¸¿º¾¸ º ¸½º
º ¸¿º¾¸ º ¸½º ¸
ººº
ÓÑ Ò Ñ ÐÐ × ´→ ØÖÓÙÚ Ö kµ
Ð ×× Ö ÕÙ Ô ÓØÓ Pi Ò× ÙÒ × ×ÓÙ×¹ Ñ ÐÐ × ´ Ò× ×ÓÒ ÐÙ×Ø Öµ
Ì ¾ Ö ÐÙ×Ø Ö Ò ×ÙÖ ÔÐÙ× ÙÖ× Ñ Ò × Ò Ô Ö ÐÐ Ð
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿½

32. ÓÑÑ Ò ÓÒ× Ú Ð × × ÑÔÐ k = ½ ÐÙ×Ø Ö
ÓÑÑ ÒØ ØÖÓÙÚ Ö Ð ÒØÖ ÔÖÓØÓØÝÔ Ù ÐÙ×Ø Ö
ÍÒ Ö Ø Ö ×Ø Ñ Ò Ñ × Ö Ð Ú Ö Ò Ù ÐÙ×Ø Ö¸ × ×Ô Ö× ÓÒ
v(X, c½) =
n
i=½
xi − c½
¾
Ú p − q ¾ = d
j=½(p(j) − q(j))¾¸ Ð ×Ø Ò Ù Ð ÒÒ Ù ÖÖ
p − q ¾ = p − q, p − q Ó x, y = d
j=½ x(j)y(j) ÔÖÓ Ù Ø × Ð Ö
ÈÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö Ð ÒØÖ c½¸ ÓÒ Ú ÙØ Ñ Ò Ñ × Ö
Ñ Òc½
v(X, c½) = Ñ Òc½
n
i=½
xi − c½
¾
Å Ò Ñ × Ö v(X, c½) ≡ Ñ Ò Ñ × Ö ½
n v(G½, c½) ´ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ¸ → Ú Ö Ò µº
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿¾

33. ÒØÖ Ø Ú Ö Ò ³ÙÒ ÐÙ×Ø Ö
ÈÓ×ÓÒ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØ
Î Ö Ò Ù ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò Ñ × v½(X, c)
Ñ Òc
v½(X, c) =
n
i=½
xi − c ¾
ÒØÖ Ù ÐÙ×Ø Ö
c½ = Ö Ñ Òc
v(X, c) = Ö Ñ Òc
n
i=½
xi − c ¾
, v½(X) = v½(X, c½)
Ö Ñ Ò Ö ÒÚÓ Ð³ Ö ÙÑ ÒØ ÕÙ ÓÒÒ Ð Ù Ù Ñ Ò ÑÙѺ Ò × ³ Ð Ø ¸
ÓÒ Ö ÒÚÓ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø ×Ù Ú ÒØ ÙÒ ÓÖ Ö ÓÒÒ º
È Ö Ü ÑÔÐ ¸ ÔÓÙÖ ÙÒ Ø Ð Ù
t[¼] = −¿, t[½] = , t[¾] = − , t[¿] = ½¼, t[ ] = − , t[ ] = ½¾º ÓÖ Ö ≤ ×ÙÖ Ð ×
Ò Ü × ÒØ Ö×
Ñ Ò
i
t[i] = − , Ö Ñ Ò
i
t[i] = ¾
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿¿

34. Ê ÔÔ Ð ×ÙÖ Ð³ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÓÒÚ Ü
ÍÒ ÓÒ Ø ÓÒ f ∈ C¾ ×Ø
×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÓÒÚ Ü ×× º ÔÓÙÖ
x = y¸ ∀α ∈ (¼, ½)
f (αx+(½−α)y) < αf (x)+(½−α)f (y)
ÕÙ Ú Ð ÒØ f (x) > ¼ ´x ∈ Rµ
Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ ÕÙ x∗ ××
∃!x∗, f (x∗) = ¼ ´Ô ÙØ Ò Ô ×
Ü ×Ø Ö ÓÑÑ ÔÓÙÖ ex µ
Ò ÐÝ× ÑÙÐØ Ú Ö Ú Ø ÙÖ
Â Ó Ò ∇xf (x) = ∂f (x)
∂xi i
Ø
Ñ ØÖ À ×× ÒÒ
∇¾
x f (x) = ∂¾f (x)
∂xi ∂xj i,j
¼
x y
(x, f(x))
(y, f(y))
αx + (1 − α)y
f(αx + (1 − α)y)
αf(x) + (1 − α)f(y)
z = f(x)
f(x)
f(y)
x∗
f(x∗
)
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿

35. ÒØÖ Ñ ×× ¸ ÒØÖ Ö Ú Ø ÓÙ ÒØÖÓ
ÅÓÒØÖÓÒ× ÕÙ c½ = ½
n
n
i=½ xi = ¯x¸ ×Ø Ð ÒØÖ Ñ ×× ÔÔ Ð Ù××
ÒØÖÓ º ÇÒ
Ñ Òc½
n
i=½
xi − c½, xi − c½ =
n
i=½
( xi , xi − ¾ xi , c½ + c½, c½ )
n
i=½ xi , xi ×Ø ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ º Å Ò Ñ × Ø ÓÒ ÓÒÚ Ü → Ñ ØØÓÒ× Þ ÖÓ Ð ×
Ö Ú × Ô ÖØ ÐÐ × e(c½) = n
i=½(−¾ xi , c½ + c½, c½ )º
∇c½e½(c½) =
n
i=½
(−¾xi + ¾c½) = ¼ ⇒ c½ =
½
n
n
i=½
xi
c½ ×Ø ÙÒ ÕÙ Ö Ð × Ö Ú × Ô ÖØ ÐÐ × × ÓÒ × ∇¾
c½e½(c½) = (¾, ¾, ..., ¾)
×ÓÒØ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø Ú × e(c½) ×Ø ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÓÒÚ Ü º
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿

36. ÁÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒ Ô Ø Ø Ø Ö Ò Ú Ö Ò × ´ ×Ô Ö× ÓÒ×µ
È Ø Ø Ø Ö Ò Ú Ö Ò ´ ×Ô Ö× ÓÒµ ³ÙÒ ÐÙ×Ø Ö ÙØÓÙÖ ×ÓÒ ÒØÖ
v½(G½) =
½
n
n
i=½
xi −
½
n
n
l=½
xl
¾
v½(G½) =
½
n
n
i=½
xi
¾
− ¯x ¾
, ¯x =
½
n
n
i=½
xi
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿

37. Ä ÐÙ×Ø Ö Ò Ô Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ × ÓÖ × k¹ÑÓÝ ÒÒ ×
ÇÒ Ö ØÖÓÙÚ Ö Ð × k ÖÓÙÔ × Ú Ð × k ÒØÖ × c½, ..., ck ´ÔÖÓØÓØÝÔ ×µ
ÕÙ Ñ Ò Ñ × Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø
ek(X; c½, ..., ck ) = ek (X; C) =
n
i=½
Ñ Ò
j∈{½,...,k}
xi − cj
¾
³ ×Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ
ek(X; C) =
k
j=½ x∈Gj
x − cj
¾
Ú
Gj = {xi ∈ X : xi − cj ≤ xi − cl , ∀l ∈ {½, ..., k}}
Æ Ò × ³ Ð Ø × ×Ø Ò ×¸ ÓÒ Ø ×Ù Ú ÒØ Ð³ÓÖ Ö
Ð Ü Ó Ö Ô ÕÙ × ÐÙ×Ø Ö× Ò Ö ×Ô Ø Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ º
→ ÇÒ Ú ÙØ Ñ Ò Ñ × Ö Ð ×ÓÑÑ ÔÓÒ Ö × Ú Ö Ò × × ÐÙ×Ø Ö× ´×ÓÑÑ
× ×Ô Ö× ÓÒ×µº
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿

38. ÌÖ Ø Ð Ø Ù ÐÙ×Ø Ö Ò Ô Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ ×
Ð ÙÐ Ö ÙÒ ÐÙ×Ø Ö Ò ½¹ÑÓÝ ÒÒ Ó Ø O(dn) ´Ø ÑÔ× Ð Ò Ö µ ÒØÖ
Ñ ××
Å Ò Ñ × Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ×Ø Æȹ ÙÖ ÕÙ Ò d > ½
Ø k > ½º ¹ ¹ ¸ ÓÒ Ò ÓÒÒ Ø Ô × ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð
ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ø ÑÔ× O(n¾k) ÕÙ Ò d = ½ ´½ ØØÖ ÙØ» ÓÒÒ µ Ô Ö
ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ
→ ÇÒ Ú ÓÒ Ö Ö × ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÔÓÙÖ Ö ×ÓÙ Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÕÙ Ò
k > ½ Ø d > ½º
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿

39. À ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÔÓÙÖ Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ ×
ÙÜ ØÝÔ × ³ ÙÖ ×Ø ÕÙ ×
ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÐÓ Ð × ÓÒ Ö Ð × k ÒØÖ × × ÖÓÙÔ × × Ò×
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð × ÒØÖ ×
ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÐÓ Ð × ÓÒ Ô ÖØ ³ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒÒ × k ÒØÖ ×¸
Ø ÓÒ Ñ Ð ÓÖ ÐÓ Ð Ñ ÒØ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ
Ò ÔÖ Ø ÕÙ ÓÒ Ø ×Ø ÔÐÙ× ÙÖ× ÙÖ ×Ø ÕÙ × Ø ÓÒ Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ø ÕÙ ÓÒÒ Ð
ÔÐÙ× Ð Ó Ø × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ´= ÔÓÒ Ö × Ú Ö Ò × × ÐÙ×Ø Ö×µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿

40. À ÙÖ ×Ø ÕÙ Ò Ø Ð × Ø ÓÒ Ð ØÓ Ö
ÁÒ Ø Ð × Ø ÓÒ Ó × Ö Ð × Ö Ò × ´ ÒØÖ × Ò Ø Ùܵ
Ó × Ö Ð × k Ö Ò × ×Ø Ò Ø × ´× ×µ Ð ØÓ Ö Ñ ÒØ Ò× X ´Ñ Ø Ó
Ø ÓÖ Ý¸ ÒØÖ × Ò Ø ÙÜ Ð Ñ ÒØ× Xµ
Ó × Ö Ð ØÓ Ö Ñ ÒØ Ð × Ö Ò × Ò× ÙÒ Ó Ø Ò ÐÓ ÒØ ÕÙ ÓÒØ ÒØ
Ð × ÓÒÒ × ´ ÔÖ × Ô ÖØ Ø ÓÒ¸ ÖØ Ò× ÐÙ×Ø Ö× Ô ÙÚ ÒØ × Ö ØÖÓÙÚ Ö Ú µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¼

41. À ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ ´½ µ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ö Ø
ü Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ G½, ..., Gk ´ Ú c½, ..., ck µ¸ ÓÒ Ñ Ð ÓÖ
Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ Ú × ÙÜ Ø Ô ×
ÐÐÓ Ø ÓÒ × ÓÒÒ × ÙÜ ÖÓÙÔ ×º
ÈÓÙÖ ØÓÙØ xi ∈ X¸ ×Ó Ø li = Ö Ñ Òl∈[k] xi − cl
¾¸ Ø ÓÖÑÓÒ× Ð ×
ÖÓÙÔ × Gj = {xi : li = j} Ö Ò Ð Ø nj = |Gj |º
Å × ÓÙÖ × ÒØÖ × × ÖÓÙÔ ×º
ÈÓÙÖ ØÓÙØ j ∈ [k] = {½, ..., k}¸ Ð ÙÐ Ö Ð ÒØÖ Ñ ××
cj = ½
nj x∈Gj
xº
Ê Ô Ø Ö × ÙÜ Ø Ô × Ù×ÕÙ³ ÓÒÚ Ö Ò º
[k] = {½, ..., k}
ÆÓØÓÒ× D(xi , C = {c½, ..., ck }) = Ñ Òc∈C xi − c
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ½

42. ÐÐÓ Ø ÓÒ × ÓÒÒ × ÙÜ ÖÓÙÔ × Ô ÖØ Ø ÓÒ ÎÓÖÓÒÓ
c1
c2
c3c4
c5
c6
p|lC(p) = 1
q|lC(q) = 3
Vj = {x ∈ Rd
: x − cj ≤ x − cl ∀l ∈ {½, ..., n}}.
lC (x) = Ö Ñ Ò
j∈[k]
x − cj
¾
Æ ×Ø Ò Ù ÖÖ ¸ ÓÙ Ô ×¸ ÓÒÒ Ð Ñ Ñ Ö Ñ Ò
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¾

43. Ä × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÄÐÓÝ ÓÒÚ Ö ÓÒ
ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ³ Ø Ô ×º
Ó Ø(X, C) =
n
i=½
xi − cl(i)
¾
=
n
i=½
D¾
(xi , C) =
k
j=½
v(Gj , cj )
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ ´ ÓÒ Ø ÓÒ l ÓÒÒ µ Ø ÖÑ Ò Ô ÖØ Ö k
ÒØÖ ×º
Ñ × ÓÙÖ × ÒØÖ × cj → cj ´ ÒØÖ × Ø ÒØ ÓÒÒ Ð × Ð Ð× Ü ×µ
v(Gj , cj ) ≤ v(Gj , cj ) Ø ÓÒ
Ó Ø(X = G, C ) = k
j=½ v(Gj , cj ) ≤ k
j=½ v(Gj , cj ) = Ó Ø(X = G, C)
ÐÐÓ Ø ÓÒ × ÔÓ ÒØ× Ù ÔÐÙ× ÔÖÓ ÒØÖ ´Ñ ÐÐ ÙÖ×
Ð Ð×µ D(xi , C ) = xi − cl (i)
¾ ≤ xi − cl(i)
¾ Ø ÓÒ
Ó Ø(G , C ) ≤ Ó Ø(G, C )
¼ ≤ Ó Ø(G , C ) ≤ Ó Ø(G, C ) ≤ Ó Ø(G, C)
ÇÒ Ò Ö Ô Ø Ñ × ÙÜ Ó × Ð Ñ Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø Ó Ø(G, C) ≥ ¼ ÒÓÑ Ö
Ò ³ Ø Ö Ø ÓÒ× Ò S(n, k) ´ËØ ÖÐ Ò × ÓÒ ×Ô µºÖ Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¿

44. ij ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ Ð × ÔÓ ÒØ× Ò Ø ÙÜ
n = ½ ÔÓ ÒØ× ´•µ Ø k = ¾ Ö Ò × ´ ÒØÖ × Ò Ø Ùܸ ×µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹

45. ij ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ
Ø Ø ÓÒ × ÔÓ ÒØ× ÙÜ ÒØÖ × ´ Ø Ô ½µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹

46. ij ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ
ÒÓÙÚ ÙÜ ÒØÖ × ÒØÖÓ × × ÖÓÙÔ × ´ Ø Ô ½µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹

47. ij ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ
Ø Ø ÓÒ × ÔÓ ÒØ× ÙÜ ÒØÖ × ´ Ø Ô ¾µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹

48. ij ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ
ÒÓÙÚ ÙÜ ÒØÖ × ÒØÖÓ × × ÖÓÙÔ × ´ Ø Ô ¾µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹

49. ij ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ
ÓÒÚ Ö Ò Ð × ÔÓ ÒØ× ×ÓÒØ ÐÐÓÙ × ÙÜ Ñ Ñ × ÖÓÙÔ × ´ Ø Ô ¿µ ÕÙ ÐÓÖ×
Ð ÔÖ ÒØ Ø Ö Ø ÓÒ
Ø Ô ¾ Ø Ô ¿
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹

50. ÑÓ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¼

51. Ð ÓÖ Ø Ñ ÄÐÓÝ Ð × × ÐÙ×Ø Ö× Ú ×
ÇÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö × ÐÙ×Ø Ö× ÕÙ Ú ÒÒ ÒØ Ú × ´ × Ö Ö × Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ñ ×
Ô ÙØ ÖÖ Ú Ö µº Ò× ×¸ ÓÒ Ô ÙØ Ô ÖØ ÐÐ Ñ ÒØ Ö Ó × Ö ÙÒ ÓÙ ×
ÒÓÙÚ ÐÐ × Ö Ò ×¸ Ø Ð ×ÓÑÑ × Ú Ö Ò × × ÐÙ×Ø Ö× ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒÙ Ö
´Ô ÖØ Ð Ö × Ò µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ½

52. ÍÒ ÒÓÑ Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ò Ñ ÐÓ ÙÜ
Ä ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø × k¹ÑÓÝ ÒÒ × Ô ÙØ ÚÓ Ö ÙÒ ÒÓÑ Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð
Ñ Ò Ñ ÐÓ Ùܺ
Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ð ¼.¿ ´ µ Ø ´ µ
Ñ Ò Ñ ÐÓ ÙÜ ∼ ¼. ½ ´ µ Ø ´ µ
ÇÒ Ö ÔÐ ÕÙ ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð Ò Ô ÕÙ Ø× Ò Ð × ÐÓ Ò ÒØ ØÖ × ÐÓ Ò× Ð × ÙÒ× ×
ÙØÖ ×
´k = n
⇒ ¾k Ñ Ò Ñ ÐÓ Ùܵ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¾

53. Ð ÓÖ Ø Ñ ÄÐÓÝ
ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ñ Ö ØÖ × Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÒ Ö Ø Ö ÔÓÙÖ ×ØÓÔÔ Ö
Ð × Ø Ö Ø ÓÒ× ÐÓÖ×ÕÙ Ð ÖÓ ×× Ò Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ×× ×ÓÙ× ÙÒ
× Ù Ð ÓÒÒ È Ö Ü ÑÔÐ ¸
Ó Ø(X, Ct) − Ó Ø(X, Ct+½) ≤
´ÓÙ × Ù Ð Ö Ð Ø Ò ÔÓÙÖ ÒØ µº
ÓÑÔÐ Ü Ø ÄÐÓÝ O(dn) Ò Ñ ÑÓ Ö Ø O(dns) Ó s ÒÓÑ Ö
³ Ø Ö Ø ÓÒ׺
Ò Ø ÓÖ ¸ г ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ô ÙØ ÓÙ Ð Ö ÙÒ ÒÓÑ Ö
ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ Ó × ´Ð Ò Ö Ò ½ µº ººº Ø ×ÓÙÚ ÒÓÒ× ÒÓÙ× ÕÙ
Ñ Ò Ñ × Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ×ÓÒØ Æȹ ÙÖ× ÔÓÙÖ k, d > ½º
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¿

54. k¹ÑÓÝ ÒÒ × Ð Ó Ü Ù ÒÓÑ Ö ÐÙ×Ø Ö× k
ÍÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ × ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÓÑ Ö ÐÙ×Ø Ö× k
ÈÓÙÖ Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð k¸ ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÓÒ k¹ÑÓÝ ÒÒ ÓÔØ Ñ Ð ek (X)
´ Ú ÐÙ Ö ÑÔ Ö ÕÙ Ñ ÒØ Ú Ð³ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ ×ÙÖ ÔÐÙ× ÙÖ×
Ò Ø Ð × Ø ÓÒ×µ
ek(X) ÖÓ Ø ÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ Ù×ÕÙ³ en(X) = ¼ ´ÙÒ ÔÓ ÒØ Ô Ö ÐÙ×Ø Ö¸
Ú Ö Ò ÒÙÐÐ µ
Å Ø Ó Ù ÓÙ ÓÒ ×× Ò Ð ÓÒ Ø ÓÒ (k, ek (X)) Ø ÓÒ Ó × Ø k Ù
Ò Ú Ù Ù ÓÙ ´ Ð ÓÛ¸ ÒØÖ Ð Ö × Ø Ð³ Ú ÒعÔÐ Ø ÔÐ Ø Ùµº
k
2 3 4 5 6 7 8 9 10
fonctiondecoˆutdesk-moyennesek(X)
avant-brasbras
coude
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹

55. Ä × Ð Ñ Ø Ø ÓÒ× Ð Ø Ò ÕÙ × k¹ÑÓÝ ÒÒ ×
È ÖÑ Ø ØÖÓÙÚ Ö × ÐÙ×Ø Ö× ÕÙ ×ÓÒØ Ð Ò Ö Ñ ÒØ ÙÜ ÙÜ × Ô Ö Ð ×
´ÔÖÓÔÖ Ø ÎÓÖÓÒÓ ¸ × Ô Ö Ø ÙÖ ÝÔ ÖÔÐ Ò × Ø ÙÖµº
È Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ò Ô ÖÑ Ø Ô × Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ù ÓÒÒ ×
ÈÓÙÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ¸ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ×ÓÐÙ Ô Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÒÓÝ Ù ´ º Ð ¿ µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹

56. Î Ö Ø Ø ÖÖ Ò
Ë Ò× Ú Ö Ø Ø ÖÖ Ò¸ ÙÒ Ò ÐÝ× ×Ù Ø Ú × ÐÙ×Ø Ö× Ô ÖÑ Ø Ñ ØØÖ
Ò Ú Ð ÙÖ Ø ÐÐ ÓÙ Ø ÐÐ Ø Ò ÕÙ ÐÙ×Ø Ö Ò º
Å × ÕÙ Ò d > ¿ ÓÑÑ ÒØ Ú ×Ù Ð × Ö
ÄÓÖ×Õ٠гÓÒ ×ÔÓ× Ú Ö Ø × Ø ÖÖ Ò× Ô Ö × ÙÜ ÓÒÒ × ÓÒØ ÓÒ
ÓÒÒ Ø Ð³ ÔÔ ÖØ Ò Ò ÙÜ ÐÙ×Ø Ö× ´ ³ ×ع ¹ Ö Ð Ð ×× ÔÓÙÖ ÕÙ
ÓÒÒ µ¸ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÙÐ Ö Ú Ö× Ò Ü × ÕÙ ÑÓÒØÖ ÒØ Ð ÓÒ ÓÖ Ò Ù
Ö ×ÙÐØ Ø Ú ÐÙ Ø ÕÙ Ø ´×ÙÔÔÓ× ÓÔØ Ñ Ðµ Ò ÐÝ× Ó Ø Ú º
ÆÓØ Þ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ð³ Ø ÕÙ ØØ ÙÜ Ô ÖØ Ø ÓÒ× ÔÙ ×ÕÙ Ð ×
ÐÙ×Ø Ö× Ò ×ÓÒØ Ô × ÓÖ Ñ ÒØ ÒÙÑ ÖÓØ × Ú Ð × Ñ Ñ × ÒÙÑ ÖÓ× Ð
Ü ×Ø k! Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ׺
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹

57. ij Ò Ü Ê Ò × Ñ Ð Ö Ø ÒØÖ ÙÜ ÐÙ×Ø Ö Ò ×
Å ×ÙÖ × Ñ Ð Ö Ø ÒØÖ ÙÜ ÐÙ×Ø Ö Ò × G = Gi Ø G Gi ´ ×ÓÒ׸ ÐÙ
Ó Ø ÒÙ Ô Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × Ø ÙÒ Ù ÓÒÒ × ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ø ÕÙ Ø µº
ÓÑÔ Ö ØÓÙØ × Ð × n
¾ = n(n−½)
¾ Ô Ö × (xi , xj ) ÔÓ ÒØ× Ø ÓÑÔØ ÙÜ ÕÙ ×
ØÖÓÙÚ ÒØ Ò× Ð × Ñ Ñ × ÐÙ×Ø Ö× ´aµ ÙÜ ÕÙ × ØÖÓÙÚ ÒØ Ò× × ÐÙ×Ø Ö×
Ö ÒØ× ´bµº
R(G, G ) =
a + b
n
¾
, ¼ ≤ R ≤ ½
a #{(i, j) : l(xi ) = l(xj) ∧ l (xi ) = l (xj )}
b #{(i, j) : l(xi ) = l(xj ) ∧ l (xi ) = l (xj )}
ÓÒ Ø ÓÒ½ ∧ ÓÒ Ø ÓÒ¾ ÚÖ ×× º ÓÒ Ø ÓÒ ½ Ø ¾ ×ÓÒØ ÚÖ ×
ÇÒ Ú Ø Ö ÒÙÑ ÖÓØ Ö Ð × k ÖÓÙÔ × ´k! Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ×µº
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹

58. Î Ö× Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × Ò
Ô Ö ÐÐ Ð
´½µ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ··
´¾µ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ú ÅÈÁ
→ ¾ k¹ÑÓÝ ÒÒ × //
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹

59. Ä Ð Ò ÓÖ ÒØ Ó Ø ´Çǵ ··
Ö Ô Ö ÖÒ ËØÖÓÙ×ØÖÙÔ Ò ½ ¿
ÇÖ ÒØ Ó Ø Ú ØÝÔ ×Ø Ø ÕÙ º ü Ò Ù Ò Â Ú Ø Ö Ú
Ó ÓÑÔ Ð Ö Ô
ÇÒ Ö ×Ó ¹Ñ Ñ Ð Ñ ÑÓ Ö Ô × Ö Ñ ×× Ñ ØØ ´ Ö
ÓÐÐ ØÓÖ¸ µº ØØ ÒØ ÓÒ ÙÜ ÖÖ ÙÖ× ÐÓÖ× Ð³ Ü ÙØ ÓÒ ´×Ý×Ø Ñ Ö × ¸
× Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÐص
Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÓ ÒØ ÙÖ× ´ µ Ô ÖÑ × ´=Â Ú Ô ×× Ô Ö Ú Ð ÙÖ ÓÙ
Ô Ö Ö Ö Ò ÔÓÙÖ Ð × Ó Ø×µ
ÜØ Ò× ÓÒ× × Ö× º º ÔÔ º ÜÜ º ·· º º º ÔÔ º ÜÜ º ··
ÍØ Ð × Þ ·· ´ ÆÍ ÓÑÔ Ð Ö ÓÐÐ Ø ÓÒµ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÆÍ

60. Ä × ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ò ··
Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÙÖ×
ÒØ ¶ ÔØÖ ÒØ Ö¸ ¶ÔØÖ½¸ ¶ÔØÖ¾ »¶ ÔÓ ÒØ ÙÖ ÒØ Ö ¶»
Ö ¶ ÔØÖ Ö Ø Ö
ÓÙ Ð ¶ ÔØÖ Ö Ð
ÇÔ Ö Ø ÙÖ Ö Ö Ò ´ Ö ×× µ ²
ÒØ Ú Ö ½
ÒØ ¶ÔØÖ Ú Ö¾ »» ÔÓ ÒØ ÙÖ ×ÙÖ ÙÒ Ú Ö Ð ØÝÔ ÒØ Ö
ÔØÖ Ú Ö¾ ²Ú Ö½ »» Ú Ö¾ ÔÓ ÒØ ×ÙÖ Ú Ö½
ÇÔ Ö Ø ÙÖ Ö Ö Ò Ñ ÒØ ¶
»¶ ÔÖ Ò Ð³ ÒØ Ö ÓÒØ ÒÙ Ò× Ð × Ñ ÑÓ Ö ¶»
Ö Ö Ò Ô Ö ÔØÖ Ú Ö¾ ¶»
ÒØ Ú Ö¿ ´¶ÔØÖ Ú Ö¾µ

61. 1*
& &
*
var1
ptr var2
1*
& &
*
var1
ptr var2
ptr val2=&var1
M´emoire

62. 1*
& &
*
var1
ptr var2
var3
1
var3=(*ptr var2)

63. ÓÑÔ Ð Ö Ø Ü ÙØ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ··
Ò ÐÙ Ó×ØÖ Ñ
Ù× Ò Ò Ñ ×Ô ×Ø »» ÔÓÙÖ Ð × ÒØÖ ×»ËÓÖØ ×
ÒØ Ñ Ò ´µ
ß
ÒØ Ú Ö½ ¾
ÒØ ∗ ÔØÖ Ú Ö¾
ÔØÖ Ú Ö¾ ²Ú Ö½ »» ÔØÖ Ú Ö¾ ÔÓ ÒØ ×ÙÖ Ú Ö½
ÓÙØ Ú Ð ÙÖ ÔØÖ Ú Ö¾ ÔØÖ Ú Ö¾ Ò Ð
ÒØ Ú Ö¿ ´∗ÔØÖ Ú Ö¾ µ
ÓÙØ Ú Ð ÙÖ Ú Ö¿ Ú Ö¿ Ò Ð
Ö ØÙÖÒ ¼ »» Ò × Ò× Ð ÑÓ Ò Ö ÔÖÓ Ð Ñ ¹ µ
ÓÒ×ÓÐ ·· ÔÖÓ Ö ÑÑ º ÔÔ ¹Ó ÑÓÒÔÖÓ Ö ÑÑ º Ü
ÓÒ×ÓÐ ÑÓÒÔÖÓ Ö ÑÑ º Ü

64. Ä ÓÒ Ø ÓÒ ×Û Ô ×ÙÖ Ð ØÝÔ ÒØ Ö Ò ··
Ê ÔÔ Ð ×ÙÖ Ð Ñ ÑÓ Ö Ô Ð ´ÔÓÙÖ ÑÔ Ð Ö Ð × ÔÔ Ð× ÓÒ Ø ÓÒµ Ø Ø × ´ÔÓÙÖ
Ð Ñ ÑÓ Ö ÐÓ Ð Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ Ü ÙØ ÔÖÓ ××Ù×µ
Ú Ó ×Û Ô ´ Ò Ø ¸ Ò Ø µ
ß Ò Ø
»» Ô ×× Ô Ö Ö Ö Ò ´ ÓÖ Ñ ÒØ Ò Ø Ð × ×µ
Ú Ó ÓÓ ×Û Ô ´ Ò Ø² ¸ Ò Ø² µ
ß Ò Ø
»» Ö ÙÑ ÒØ× ÔÓ ÒØ ÙÖ× ´Ô ÙØ ØÖ ÆÍÄÄ ÓÙ ¼µ
Ú Ó ÓÓ ×Û ÔÔØÖ ´ Ò Ø ∗ ÔØÖ ¸ Ò Ø ∗ ÔØÖ µ
ß Ò Ø ´∗ÔØÖ µ ´∗ ÔØÖ µ ´∗ÔØÖ µ ´ ∗ ÔØÖ µ
º º º
Ò Ø ¸ ½¼
×Û Ô ´ ¸ µ »» Ô ×× Ô Ö Ú Ð ÙÖ
Ó Ù Ø Ò Ð »» ½¼
ÓÓ ×Û Ô ´ ¸ µ »»Ô ×× Ô Ö Ö Ö Ò
Ó Ù Ø Ò Ð »»½¼
½¼
ÓÓ ×Û ÔÔØÖ ´² ¸² µ »»Ô ×× Ô Ö ÔÓ ÒØ ÙÖ
Ó Ù Ø Ò Ð »»½¼

65. badswap(a,b)
pile d’ex´ecutiontas
a=5
b=10
badswap(5,10)
a=5
b=10
c=5
a=10
b=5
badswap
main
main
void badswap(int a, int b)
{int c=a; a=b;b=c;}
a=5
b=10 main
ruban m´emoire

66. goodswap(&a,&b)
pile d’ex´ecutiontas
a=5 &a=Ox1
b=10 (&b=Ox2)
goodswap(a,b)
a=10
b=5
c=5
goodswap
main
main
void goodswap(int& a, int& b)
{int c=a; a=b;b=c;}
main
Ox1 Ox2
5 10
Passage
par
r´ef´erence
&a=Ox1
&b=Ox2
a=10
b=5

67. goodswapptr(ptr_a=Ox1,ptr_b=Ox2)
a=5 &a=Ox1
b=10 (&b=Ox2)
goodswapptr(ptr_a, ptr_b)
a=5
b=10
c=(*ptr_a) =(*Ox1)=5
(*ptr_a)=(*Ox2)=10
(*ptr_b)=(*Ox2)=c=5
goodswapptr
main
main
void goodswapptr(int* ptr_a, int* ptr_b)
{int c=(*ptr_a); (*ptr_a)=(*ptr_b);(*ptr_b)=c;}
Passage
par
pointeur
ptr_a=Ox1
ptr_b=Ox2
Ox1 Ox2
5 10
Ox1 Ox2
5 10
goodswapptr(ptr_a, ptr_b)
a=10
b=5
c= =5
(*ptr_a)=(*ptr_b)=10
(*ptr_b)=c=5
goodswapptr
main
ptr_a=Ox1
ptr_b=Ox2
Ox1 Ox2
510

68. Ò ·· Ô ×× Ô Ö Ö Ö Ò × Ø Ô Ö ÔÓ ÒØ ÙÖ×
Ò » ··¸ ÓÒ Ô ×× Ð × Ö ÙÑ ÒØ× ÙÜ ÔÖÓ ÙÖ × Ô Ö Ö ÓÔ ´Ú Ð ÙÖ ÓÙ
Ö ×× Ñ ÑÓ Ö µ
Ò Ð Ù Ó × Ø Ö Ñ
Ù × Ò Ò Ñ ×Ô × Ø
Ú Ó Ò Ö Î Ð Ù Ö ´ Ò Ø Ü µ ß Ü·· »∗ ¸ ³ × Ø ¿ ∗»
Ú Ó Ò Ö È Ó Ò Ø Ù Ö ´ Ò Ø ∗ ÔÜ µ ß ´∗ ÔÜ µ··
Ú Ó Ò Ö Ê Ö Ò ´ Ò Ø ² Ü µ ß Ü··
Ò Ø Ñ Ò ´ Ò Ø Ö ¸ Ö ∗ Ö Ú µ ß
Ò Ø Ü ¾
Ò Ö Î Ð Ù Ö ´ Ü µ
Ó Ù Ø Ü Ü Ò Ð »» ¾
Ò Ö È Ó Ò Ø Ù Ö ´²Ü µ
Ó Ù Ø Ü Ü Ò Ð »» ¿
Ò Ö Ê Ö Ò ´ Ü µ
Ó Ù Ø Ü Ü Ò Ð »»
Ö Ø Ù Ö Ò ¼
È ×× Ô Ö ÔÓ ÒØ ÙÖ Ú Ø Ð Ö ÓÔ × ÖÓ× Ö ÙÑ ÒØ× ´Ó Ø×µ¸ Ø
Ô ÖÑ Ø Ô ×× Ö ÆÍÄĺ È ×× Ô Ö Ö Ö Ò Ð × ´ØÓÙ ÓÙÖ× Ò Ø Ð × µ¸ Ô ×
³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ × Ö Ö Ò ×

69. Ä × Ø Ð ÙÜ Ò ··
Ä × Ò × ÓÑÑ Ò ÒØ ¼ ÓÑÑ ÔÓÙÖ Â Ú º
ÒØ ÒÓÑ Ö ÈÖ Ñ Ö× ß ¾¸ ¿¸ ¸
ÒØ Þ ¾ ß »» Ú Ð ÙÖ× Ò Ø Ð × × Þ ÖÓ
ÒØ Ñ ØÖ ¿ »» ¿ Ð Ò × ÓÐÓÒÒ ×
ÚÓ ÔÖÓ ÙÖ ´ ÒØ Ø Ð Ù µ ß
ÔÖ ×¸ ÓÒ Ú ÖÖ Ð Ð ×× Ú ØÓÖ Ð ËØ Ò Ö Ì ÑÔÐ Ø Ä Ö Öݸ ËÌĺºº

70. ÐÐÓ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ Ò ··
ÇÒ Ó Ø Ö Ö Ð³ ×Ô Ñ ÑÓ Ö ×Ó ¹Ñ Ñ Ò ··¸ Ø Ð ÙØ ÓÒ
Ð Ö Ö Ð Ñ ÑÓ Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ò Ð³ÙØ Ð × ÔÐÙ× º
ÒØ Ø Ð Ð ¾¼½
ÒØ ∗ Ø
Ø Ò Û ÒØ Ø Ð Ð »» ÐÐÓ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ
»» ººº ÙØ Ð × Þ Ø Ð Ù ÔÙ × Ð Ö Þ Ð
Ð Ø Ø »» ÓÒ Ð Ö Ð³ ×Ô

71. ÐÐÓ Ø ÓÒ × Ø Ð ÙÜ ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò× ÓÒÒ Ð×
Ò ÐÙ Ó×ØÖ Ñ
Ù× Ò Ò Ñ ×Ô ×Ø
ÒØ Ñ Ò´ ÒØ Ö ¸ Ö ∗ Ö Ú µ
ß
ÓÙ Ð ∗∗ Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö
ÒØ ¸ ¸ Ñ Ò× ÓÒ ¾¼
»» Ø Ð Ù ¾ Ø Ð Ù ÔØÖ ×ÙÖ × Ø Ð ÙÜ ½
Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö Ò Û ÓÙ Ð ∗ Ñ Ò× ÓÒ
ÓÖ ´ ¼ Ñ Ò× ÓÒ ··µ
Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö Ò Û ÓÙ Ð Ñ Ò× ÓÒ
ÓÖ ´ ¼ Ñ Ò× ÓÒ ··µ
ÓÖ ´ ¼ ··µ
´ µ Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö ½
Ð× Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö ¼

72. int d=2015;
double **T=new double*[d];
for(i=0;i<d;i++)
T[i]=new double[d];
T
T[0]
T[d-1]
T[1]
T[0][0]
T[1][0] T[1][1]
T[d − 1][0] T[d − 1][1] T[d − 1][d − 1]
pointeur sur un double* (type double**)
T[i] pointeur sur un double (type double*)

73. Ä Ö Ö Ð Ñ ÑÓ Ö × Ø Ð ÙÜ ´ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò× ÓÒÒ Ð×µ
Ò ÐÙ Ó×ØÖ Ñ
Ù× Ò Ò Ñ ×Ô ×Ø
ÒØ Ñ Ò´ ÒØ Ö ¸ Ö ∗ Ö Ú µ
ß
ÓÙ Ð ∗∗ Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö
ÒØ ¸ ¸ Ñ Ò× ÓÒ ¾¼
º º º
ÓÖ ´ ¼ Ñ Ò× ÓÒ ··µß
ÓÖ ´ ¼ ··µ
ß ÓÙØ Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö
ÓÙØ Ò Ð
º º º

74. Ç Ø× Ø Ñ Ø Ó × Ò ··
ØØ ÒØ ÓÒ¸ Ð ÙØ Ñ ØØÖ ÙÒ ÔÖ × Ð Ð Ö Ø ÓÒ Ð ××
Ð ×× Ó Ø
ß ÔÙ Ð
ÓÙ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð »» Ñ Ò× ÓÒ Ð Ö ÙÖ
ÓÙ Ð Ú ÖØ Ð »∗ Ñ Ò × Ó Ò Ù Ø Ù Ö ∗»
»» ¹ Ð ÔÓ ÒØ Ú Ö ÙÐ
ÒØ Ñ Ò´ µ
ß Ó Ø ½¸ ¾
ÓÙ Ð ×ÙÖ ¼º¼
½º ÓÖ ÞÓÒØ Ð º¼ ½º Ú ÖØ Ð º¼
×ÙÖ ½º ÓÖ ÞÓÒØ Ð ∗ ½º Ú ÖØ Ð
ÓÙØ ËÙÖ Ð Ó Ø ½ ×ÙÖ
Ò Ð
Ö ØÙÖÒ ¼

75. Ç Ø× ÓÒ×ØÖÙ Ø ÙÖ´×µ Ø ×ØÖÙ Ø ÙÖ ˜ Ò ··
Ð ×× ÓÒÒ
ß ÔÙ Ð
ÒØ
ÓÙ Ð ∗ ØØÖ ÙØ
»» ÓÒ×ØÖÙ Ø ÙÖ× ´ÔÐÙ× ÙÖ× ÔÓ×× Ð ×µ
ÓÒÒ ´µß ¿ ØØÖ ÙØ Ò Û ÓÙ Ð
ÓÒÒ ´ ÒØ µß ØØÖ ÙØ Ò Û ÓÙ Ð
»» ×ØÖÙ Ø ÙÖ ÙÒ × ÙÐ
ÓÒÒ ´µ ß Ð Ø ØØÖ ÙØ ÓÙØ ×ØÖÙ Ø ÙÖ
ÔÔ Ð Ò Ð
ÒØ Ñ Ò´µ
ß ÒØ Ñ ¼¼ ÓÒÒ ∗Ü Ò Û ÓÒÒ ´ ѵ Ð Ø Ü
Ö ØÙÖÒ ¼

76. Ä Ò Ö Ø Ò ·· Ð × Ø ÑÔÐ Ø ×
Ø ÑÔÐ Ø Ð ×× Ì ÚÓ ×Û Ô ´ ̲ ¸ ̲ µ
ßÌ ´ µ
ÆÓØ Þ ÕÙ Ð Ð ×× Ì Ó Ø ÚÓ Ö ÙÒ ÓÒ×ØÖÙ Ø ÙÖ T(Tobject)º
ÁÐ Ù Ö ×ÙÖ Ö Ö Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ =

77. ·· Ä ×ÙÖ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÙÖ× ´ÓÚ ÖÐÓ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ×µ
ÁÐ ×Ø ÔÖ Ø ÕÙ Ö Ò Ö ÖØ Ò× ÓÔ Ö Ø ÙÖ× ´ ÓÑÑ ·¸ »¸ ¸ Ø ºµ Ò Ð ×
×ÙÖ Ö ÒØ º È Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ö Ò Ö Ð³ Ð Ø ÔÓÙÖ ÙÒ Ó Ø Ò Ö ÓÔ ÒØ ØÓÙ×
Ð × ÒÖ ×ØÖ Ñ ÒØ× ´ ÑÔ×µº
È ÖØ Ø ÓÒ ²È ÖØ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ´ ÓÒ×Ø È ÖØ Ø ÓÒ ²Ôµ
ß
Ø ×− Ô º
Ø ×− Ô º
Ø ×− Ò Ô ºÒ
ÓÖ ´ ÒØ ¼ Ø ×− ··µß
Ø ×− ÑÙ º ÓÔ ´Ô ºÑÙ µ
Ø ×− Ô º
Ö ØÙÖÒ ∗ Ø ×
Ø × ×Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ ÙÖº ÈÓÙÖ Ö ÙÜ ÑÔ× ³ÙÒ Ó Ø ÔÓ ÒØ Ö
ÔØÖ Ó ¹ ÑÔ

78. Ð ×× Ú ØÓÖ Ð ËÌÄ Ø Ð ÙÜ ÜØ Ò× Ð ×
ËÌÄ ËØ Ò Ö Ì ÑÔÐ Ø Ä Ö ÖÝ ´ ÓÖÑ Ð ×Ñ ÙØ Ñ ÒØ Ò Ö ÕÙ ¸
ÓÒØ Ò Ö¸ Ø Ö ØÓÖ¸ ºººµ ÓÒØ Ò Ö ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ö Ö × Ø Ð ÙÜ Ø ÐÐ
ÝÒ Ñ ÕÙ × Ñ Òغ
Ò ÐÙ Ú ØÓÖ
× Þ Ø × Þ ¾
»» ÔÐ ÔÓÙÖ ¾ ÒØ Ö׸ Ò Ø Ð × Ø ÓÒ ¼
×Ø Ú ØÓÖ ÒØ ÖÖ Ý ´ × Þ µ
»» ÓÒ Ô ÙØ Ö ÓÙØ Ö ÝÒ Ñ ÕÙ Ñ ÒØ × Ð Ñ ÒØ×
ÓÖ ´ ÒØ ¼ ¾∗ × Þ ·· µ
ß ÖÖ Ý
»» Ô × ×Ó Ò Ð Ø
ØØÔ »»ÛÛÛº ÔÐÙ×ÔÐÙ׺ ÓÑ»Ö Ö Ò »Ú ØÓÖ»Ú ØÓÖ»
ØØÔ »»ÛÛÛº ÔÐÙ×ÔÐÙ׺ ÓÑ»Ö Ö Ò » ×ØÖ Ò »× Þ Ø»

79. Ä ÑÓØ Ð ÓÒ×Ø Ò× Ð × Ñ Ø Ó ×
ÓÒ×Ø Ò ÕÙ Õ٠гÓÒ Ò Ô ÙØ Ô × Ò Ö Ð × Ú Ö Ð × Ð³Ó Ø Ø ×
ÚÓ ÓÓ ´µ
ß
ÓÙÒØ Ö·· »» Ñ Ö
×Ø ÓÙØ ÓÓ ×Ø Ò Ð
ÚÓ ÓÓ ´µ ÓÒ×Ø
ß»» Ð Ò ÓÑÔ Ð Ö Ô × Ö ÓÒ Ú ÙØ Ò Ö ÓÙÒØ Ö
ÓÙÒØ Ö··
×Ø ÓÙØ ÓÓ ÓÒ×Ø ×Ø Ò Ð

80. ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÅÈÁ
Å ××
È ×× Ò
ÁÒØ Ö

81. Å ×× È ×× Ò ÁÒØ Ö ´ÅÈÁµ
Ä × ÔÖÓ ××Ù× ÓÑÑÙÒ ÕÙ ÒØ ÒØÖ ÙÜ Ö × Ñ ×× × ´ ÓÒØ Ò ÒØ Ð ×
ÓÒÒ ×µ
ÔÔÐ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÁÒØ Ö ´ ÈÁµ
Ò Ø Ð ×ÝÒØ Ü ´ Ø × Ñ ÒØ ÕÙ µ ³ÙÒ Ð ÓØ ÕÙ ÖÓÙØ Ò ×
×Ø Ò Ö × × ÔÓÙÖ Ö Ö × ÔÖÓ Ö ÑÑ × ÙØ Ð × ÒØ × Ò ×
Ñ ×× ×º Æ Ô Ò Ô × Ù Ð Ò ×ÓÙ×¹ ÒØ ÓÑÑ Ð ¸ ··¸
Â Ú ¸ ÓÖØÖ Ò¸ ÈÝØ ÓÒ¸ Ø º ´ÔÐÙ× ÙÖ× Ò Ò × Ð³ ÈÁ ×ÓÒØ ×ÔÓÒ Ð ×µ
ÒÚ ÖÓÒÒ Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù ½ ½ ´ÛÓÖ × ÓÔµ¸ ÅÈÁ¹Á
´½ ¾µ¸ ÅÈÁ¹¾¸ ÅÈÁ¹¿ ´¾¼¼ µ
ÈÐÙ× ÙÖ× ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ× ×ÔÓÒ Ð × ÅÈÁ
ÇÒ ÙØ Ð × ÇÔ ÒÅÈÁ ´ ØØÔ »»ÛÛÛºÓÔ Ò¹ÑÔ ºÓÖ »µ Ò × ÐÐ × Ñ Ò ×
Ú ··º

82. ÈÖÓ Ö ÑÑ ÅÈÁ ´ Ò Ò Ò µ ÕÙ ×Ù × º ÔÔ
Ò ÐÙ ÑÔ º
ÒØ Ñ Ò´ ÒØ Ö ¸ Ö∗∗ Ö Ú µ
ß
ÒØ ¸ Ô ¸ Ò Ñ Ð Ò
Ö ÔÖÓ ××ÓÖ Ò Ñ ÅÈÁ Å ÈÊÇ ËËÇÊ Æ Å
ÅÈÁ ÁÒ Ø´ ² Ö ¸ ² Ö Ú µ »» Ò Ø Ð × ÅÈÁ
ÅÈÁ ÓÑÑ × Þ ´ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ ¸²Ôµ »» ÒÓÑ Ö ÔÖÓ ××Ù×
ÅÈÁ ÓÑÑ Ö Ò ´ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ ¸² µ »» Ö Ò Ù ÔÖÓ ××Ù×
ÅÈÁ Ø ÔÖÓ ××ÓÖ Ò Ñ ´ÔÖÓ ××ÓÖ Ò Ñ ¸ ²Ò Ñ Ð Òµ »»
ÒÓÑ Ù ÔÖÓ ×× ÙÖ
Ô Ö Ò Ø ´ ÈÖÓ ×× ÙÖ ±× Á ± Ò ¸ ÔÖÓ ××ÓÖ Ò Ñ ¸ µ
ÅÈÁ Ò Ð Þ ´ µ »» ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÅÈÁ
Ö ØÙÖÒ ¼

83. ÓÑÔ Ð Ö Ø Ü ÙØ Ö ×ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÅÈÁ
Ä ÓÑÔ Ð Ø ÓÒ × Ø Ô Ö
ÑÔ ·· ÕÙ ×Ù × º ÔÔ ¹Ó ÕÙ ×Ù ×
´× гÓÔØ ÓÒ ¹Ó Ò³ ×Ø Ô × Ñ × ¸ Ö Ø Ò× ÙÒ Ö ºÓÙص
Ü ÙØ ÓÒ ×ÙÖ × Ñ Ò ÐÓ Ð Ñ ÒØ ´ ÓÐÐ Ò µ
ÓÐÐ Ò ÅÈÁ ° ÑÔ ÖÙÒ ¹ÒÔ ÕÙ ×Ù ×
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÓÐÐ Ò ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÓÐÐ Ò ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¼
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÓÐÐ Ò ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÓÐÐ Ò ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾

84. Ü ÙØ Ö ×ÙÖ ÔÐÙ× ÙÖ× Ñ Ò ×
Ö Ò ½ ° ÑÔ ÖÙÒ ¹ÒÔ ¹ Ó×Ø Ò Ð Ø ÖÖ ¸ ÙØÖ ÕÙ ×Ù ×
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÙØÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÙØÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò Ð Ø ÖÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò Ð Ø ÖÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¼
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò Ð Ø ÖÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
⇒ ÑÔ ÖÙÒ ×Ø ÙÒ Ð × ÔÓÙÖ ÓÖØ ÖÙÒ
½ Ñ Ò × Ò× Ð × × ÐР׸ ÓÖ Ò × × Ò ÐÙ×Ø Ö× Ñ Ò × ´¿ × ¼ + ½ µ
½¼¼¼· ÙÖ× Ø ¾º · ÌÓ Ñ ÑÓ Ö Ú Ú ´Ê ŵ

85. ÍØ Ð × Ö Ð³ÓÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ËÄÍÊÅ ×ÙÖ Ð × ÐÙ×Ø Ö×
¿ ÐÙ×Ø Ö× ¼ Ò Ù × Ø ÙÒ ÐÙ×Ø Ö ½ Ò Ù ×
× Ò Ó ÚÓ Ö × Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ× ×ÙÖ Ð ÐÙ×Ø Ö Ð ÕÙ ÐÐ ÚÓØÖ Ñ Ò ÔÔ ÖØ ÒØ
Ö Ò ¾ ½ ° × Ò Ó
È ÊÌÁÌÁÇÆ Î ÁÄ ÌÁÅ ÄÁÅÁÌ ÆÇ Ë ËÌ Ì ÆÇ ÄÁËÌ
Ù ¶ ÙÔ ½ ¼¼ ½ Ð ÐÐ Ñ Ò ¸
Ò Ð Ø ÖÖ ¸ ÙØÖ ¸ Ð ÕÙ ¸ ×Ô Ò ¸ ÒÐ Ò ¸
Ö Ò ¸ ÖÓ ÒÐ Ò ¸ ÓÐÐ Ò ¸ ÓÒ Ö ¸ ÖÐ Ò ¸ ×Ð Ò
¸Ð ØÙ Ò ¸Ñ ÐØ ¸ÑÓÒ Ó ¸ÔÓÐÓ Ò ¸ÔÓÖØÙ Ð ¸ÖÓÙÑ Ò ¸
×Ù

86. ÍØ Ð × Ö Ð³ÓÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ËÄÍÊÅ ×ÙÖ Ð × ÐÙ×Ø Ö×
¹ × ¹ º½° ×× ××ÓÒÒ
Ä ×Ø ÐÓ Ò Ö Å Ö ¾¼ ½ ¾ ¾¼½ ÖÓÑ Ð Òº
ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö
××ÓÒÒ ½ ° × Ò Ó
È ÊÌÁÌÁÇÆ Î ÁÄ ÌÁÅ ÄÁÅÁÌ ÆÇ Ë ËÌ Ì ÆÇ ÄÁËÌ
Ëƾ ¶ ÙÔ ½ ¼¼ ¼ Ð Ð ØØ ¸ Ò
¸ ÐÐ Ö ¸ Ò Ó × ¸ Ò Ù ÐÐ ¸ Ö ÒÒ × ¸ Ö Ù ¸ Ö Ù ¸
Ù ÖÓ ¸ ÖÓ Ø ¸ ÖÑÓÖ ¸ ÖÖ Ð Ø ¸ Ö ÒØ ¸ Ö ¸
Ö Ù× ¸ ÓÖ Ó Ò ¸ ÓÙ × ¸ ××ÓÒÒ ¸ Ò ×Ø Ö ¸ Ö ÓÒ ¸
ÖÓÒ ¸ ÝÑÒÓØ ¸ Ò Ö ¸ ÙÖ ¸Ð Ö ¸Ð Ò × ¸Ð Ù ¸
ÐÓ Ö ¸ÐÓØØ ¸Ñ Ò ¸Ñ ÖÒ ¸Ñ Ý ÒÒ ¸ÑÓÖ Ò ¸ÑÓ× ÐÐ
¸ÑÙÐ Ø ¸ÑÙÖ Ò ¸Ô Ö Ò ¸Ö ¸Ö ÕÙ Ò ¸ÖÓÙ Ø ¸
ÖÓÙ×× ØØ ¸× ÓÒ ¸× ÙÑÓÒ ¸× ÐÙÖ ¸×ÓÐ ¸×ÓÑÑ ¸Ø ÓÒ ¸
ØÖÙ Ø ¸Ú Ò ¸ÚÓ× ×

87. ××ÓÒÒ ½ ° × ÐÐÓ ¹¹ÒØ × × ¿¾ ¹¹ÒØ × × ¹Ô Ö ¹ÒÓ
×
× ÐÐÓ Ö ÒØ Ó ÐÐÓ Ø ÓÒ
××ÓÒÒ ½ ° × Ø Ö Ô ËÄÍÊÅ
ËÄÍÊÅ ÂÇ Á
ËÄÍÊÅ ÂÇ ÈÍË È Ê ÆÇ ³ ´Ü µ³
ËÄÍÊÅ ÂÇ Á
ËÄÍÊÅ ÂÇ ÆÇ ÄÁËÌ Ò ¸ ÐÐ Ö ¸ Ö ÒÒ × ¸ ÖÑÓÖ
ËÄÍÊÅ ÂÇ ÆÍÅ ÆÇ Ë
ËÄÍÊÅ ÂÇ È ÊÌÁÌÁÇÆ Ëƾ
ËÄÍÊÅ ÆÆÇ Ë
ËÄÍÊÅ ÆÇ ÄÁËÌ Ò ¸ ÐÐ Ö ¸ Ö ÒÒ × ¸ ÖÑÓÖ
ËÄÍÊÅ ÆÇ ÄÁ Ë Ë ³´ÒÙÐе³
ËÄÍÊÅ ÆÈÊÇ Ë ¿¾
ËÄÍÊÅ ÆÌ ËÃË ¿¾
ËÄÍÊÅ ÆÌ ËÃË È Ê ÆÇ
ËÄÍÊÅ ËÍ ÅÁÌ ÁÊ »Ù× Ö×»ÔÖÓ ×» Ò Ó»Ò Ð× Ò» ½
ËÄÍÊÅ ËÍ ÅÁÌ ÀÇËÌ ××ÓÒÒ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö
ËÄÍÊÅ Ì ËÃË È Ê ÆÇ ³ ´Ü µ³

88. ××ÓÒÒ ½ ° ÑÔ ÖÙÒ ÕÙ ×Ù ×
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿¼
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½¼
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¼
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾¼
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾¿
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½¿
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾

89. Æ Ô × ÓÙ Ð Ö ÖÑ Ö Ð × ÔÓÙÖ Ö Ò Ö Ð × Ö ××ÓÙÖ × ËÄÍÊÅ
××ÓÒÒ ½ ° Ü Ø
Ü Ø
× ÐÐÓ Ê Ð ÒÕÙ × Ò Ó ÐÐÓ Ø ÓÒ

90. ÅÈÁ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÐÓ Ð × Ø Ð ÙÐ× ÓÐÐ ÓÖ Ø ×
Ä Ù× ÓÒ º ÖÓ ×Ø´Ñ× ¸P¼µ ÔÖÓ ××Ù× P¼ ÒÚÓ
ØÓÙ× Ð × ÙØÖ × ÔÖÓ ××Ù× Ð Ñ ×× Ñ× º
ÍÒ Ð ÙÐ ÐÓ Ð ÓÐÐ ÓÖ Ø ´ Ú ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ×µ Ô Ö Ö Ù Ø ÓÒ º
ÐÐÊ Ù ´ÚÐÓ Ð¸Ú ÐÓ Ð¸ÓÔ Ö Ø ÓÒµ Ð × ÔÖÓ ××Ù× Ö ÒØ Ð × ÓÒÒ ×
ÐÓ Ð × Ú ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ´ ÓÙ Ñ Ü Ô Ö Ü ÑÔÐ µ¸ Ø Ð Ö ×ÙÐØ Ø ×Ø
Ö ØÓÙÖÒ ØÓÙ× Ð × ÔÖÓ ××Ù×
Ú ÐÓ Ð =
p
ÚÐÓ Ð[p]

91. Ð ÙÐ ÐÓ Ð ÓÐÐ ÓÖ Ø
ÓÑÔÐ Ü Ø ³ÙÒ Ð ÙÐ ÐÓ Ð ÓÐÐ ÓÖ Ø Ô Ò Ð ØÓÔÓÐÓ Ù
Ö × Ù ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ Ù ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò ×º
ËÓÙÚ Òظ Ð Ö Ú ÒØ ÙÒ Ö Ö Ö Ù Ø ÓÒ Ú Ó Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ÕÙ
(+ ½ ¾ ¿ ) = (+ (+ ½ ¾) (+ ¿ )) = (+ ¿ ) = (½¼)
1 2 43
73
10
+ +
+
( )+
+( )
×ÝÒØ Ü ³ ÔÔ Ð ÐÐÊ Ù ´×ÓÙÖ ¸ ×Ø Ò Ø ÓÒ¸ÓÔ Ö Ø ÓÒµ

92. Ð ÙÐ π Ô Ö ÙÒ Ñ Ø Ó ÅÓÒØ ¹ ÖÐÓ
πr¾
r¾
=
π
≈
nc
n
, πn =
nc
n
Ð Ñn→∞
πn = π.

93. Ð ÙÐ π Ô Ö ÙÒ Ñ Ø Ó ÅÓÒØ ¹ ÖÐÓ
Ò Ø Ö Ù Ö ¼
»» Ò Ö Ø ÙÖ Ð ØÓ Ö Ö ÒØ × ÒÓÒ Ð × ÔÖÓ º Ð × Ñ Ñ ×
× Ö Ò ´ ÑÓ µ
Ó Ö ´ ¼ Ò ··µ ß
Ü ´ Ó Ù Ð µ Ö Ò ´ µ »Ê Æ Å Ý ´ Ó Ù Ð µ Ö Ò ´ µ »Ê Æ Å
»» ÓÑÔØ Ð × ÔÓ ÒØ× ÕÙ ØÓÑ ÒØ Ò× Ð ÕÙ Ö ÒØ Ù ×ÕÙ
´ Ü ∗Ü·Ý ∗Ý ½º¼µ Ò Ø Ö Ù Ö ··
Ô Ô Ö Ó Ü Ô º ¼ ∗ Ò Ø Ö Ù Ö »´ Ó Ù Ð µ ´ Ò µ
Ô Ö Ò Ø ´ Ô Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ð Ô Ö Ó º ± Ú ± Ô Ó Ò Ø × ± Ö Ö Ù Ö
± Ò ¸ ÑÓ ¸ Ò ¸ Ô Ô Ö Ó Ü Ô ¸ × ´ Ô Ô Ö Ó Ü Ô −Å ÈÁµ µ
»» Å ÒØ Ò ÒØ ÓÒ ÙÑÙÐ ØÓÙ× Ð × Ö ×ÙÐØ Ø× Ú ÙÒ Ö Ù Ø ÓÒ
ÅÈÁ Ê Ù ´² Ò Ø Ö Ù Ö ¸² Ø Ó Ø Ð Á Ò Ø Ö Ù Ö ¸ ½ ¸ ÅÈÁ ÁÆÌ ¸ ÅÈÁ ËÍŸ ¼ ¸
ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ µ
´ ÑÓ ¼µß Ô Ô Ö Ó Ü Ô º ¼ ∗ Ø Ó Ø Ð Á Ò Ø Ö Ù Ö »´ Ó Ù Ð µ ´ Ò Ô Ö Ó × ∗Ò µ
Ô Ö Ò Ø ´ Ù Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ô Ô Ô Ö Ó Ú ± Ô Ó Ò Ø × ± Ò ¸ Ò∗
Ò Ô Ö Ó × ¸ Ô Ô Ö Ó Ü Ô µ
Ô Ö Ò Ø ´ Ö Ö Ù Ö ³ Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò ± Ò ¸ × ´ Ô Ô Ö Ó Ü Ô −Å ÈÁµ µ

94. ÑÔ ÖÙÒ ¹ÒÔ ½¾ ¹ Ó×Ø Ø ÓÒ ¸ ÙÖ ¸ × Ñ Ô ÅÓÒØ ÖÐÓ ¾ º Ü
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ¾ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¿ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¼¼½ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ¾½ ¾ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ½½ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¿¾ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¿ ½¼ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¾¿ ¿¿ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¿ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º ¿¿ ¼ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ¿ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¿ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º ¼ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ¾º¿ ¾ ½ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ¼ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¼ ¾ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ½¼ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º ¿ ½ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ½ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¼ ¾ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¾ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º ¼ ¿ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º¼ ¿ ¼ ¹¼
ÙÑÙÐ Ø ÓÒ Ô ÔÔÖÓ Ú ½¾¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼
ÖÖ ÙÖ ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ º¾½ ¹¼

95. Ê ×ÙÑ ½
Ä ÀÈ × ÖØ ØÖ ÔÐÙ× ÔÐÙ× Ú Ø ¸ ÔÐÙ× ÖÓ×× × × ÑÙÐ Ø ÓÒ׸ ÔÐÙ×
Ö Ò × ÓÒÒ ×¸ Ø º
Ä Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ö Ö Ò× Ð × ÓÒÒ × × Ñ × × ÐÙ×Ø Ö× ÕÙ
Ö ÔÖ × ÒØ ÒØ × Ø ÓÖ ×» Ð ×× × ÓÒÒ ×
Ê ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ÕÙ Ñ Ò Ñ × Ð ×ÓÑÑ × Ú Ö Ò × × ÐÙ×Ø Ö× Ð ×
k¹ÑÓÝ ÒÒ ×
ÌÖÓÙÚ Ö Ð Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ð ÔÓÙÖ Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ×Ø Æȹ ÙÖ
À ÙÖ ×Ø ÕÙ Ø Ö Ø Ú ÄÐÓÝ ØÖÓÙÚ ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ð Ò O(dnks)
¾ Ö ××ÓÒ× ÔÓÙÖ Ð Ô Ö ÐÐ Ð × Ø ÓÒ × k¹ÑÓÝ ÒÒ ×ººº
ÈÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ò Ó × Ð Ö Ð × Ô ØÖ × ½¸ ¾ Ø Ù ÔÓÐÝ ÓÔ

96. Ö Ò Æ Ð× Ò ºÌÖÓÑ ÒÓ× ÓÔ ½¹