1. O documento apresenta uma série de exercícios de matemática envolvendo números inteiros e expressões algébricas. 2. Os exercícios incluem equações de primeiro grau com uma ou mais incógnitas para serem resolvidas. 3. As respostas finais são números inteiros que representam os valores das incógnitas nas equações propostas.

1. 17
NÚMEROS INTEIROS
x x 02 x x
01 x  = 34  = 25 x  3x = 52
2 5 2 3 03 4x = 52
10x  5x  2x = 340 3x  2x = 150 x = 13
17x = 340 5x = 150
x = 20 x = 30
04 2x  5 = 27 05 x 06 2x  x = 3x − 4
3x  = 60 2
2x = 27 − 5 3
4x  x = 6x = −8
2x = 22 9x  x = 180
4x − x − 6x = −8
x = 11 10x = 180
−x = −8
x = 18
x=8
x 08 x
07 x = 12 2x − 8 =  13 09 2x  5 = 3x − 19
3 4
3x  x = 36 2x − 3x = −19 − 5
8x − 32 = x  52 −x = −24
4x = 36 8x − x = 52  32
x=9 x = 24
7x = 84 x = 12
7x  3 3x 2x
10 x  x  x  x = 46 11 − 4 = 15 12 − =x −1
2 2 3
2 3 12
7x  3 − 8 = 30 9x − 4x = 6x − 6
12x  6x  4x  x = 552
7x = 30 − 3  8 9x − 4x − 6x = −6
23x = 552
7x = 35 −x = −6
x = 24
x=5 x=6
x x x
[  ]
13 14 x x  = 24
x 4 5 5 45 315
 = 35  ÷ 7 = 24
4 6 9 9 7x  x = 7.560
x x 1 8x = 7.560
 . = 35
4
x

4 6
x
= 35
x 1
. 
5 9
x 1
5 9[  ]
. ÷ 7 = 24
x = 945
4 24
6x  x = 840
7x = 840 x = 120
x
45

x
45  
÷ 7 = 24
15 x 2x 3x Subtende-se na questão:
2x     40 = 200
2 5 10 “...aumentada de 1/2, AUMENTADA
20x  5x  4x  3x  400 = 2.000 dos 2/5 DELA, AUMENTADA dos
32x = 1.600 3/10 dela...”
x = 50
17 [2x − 2 . 2 − 2] . 2 = 68
4x − 4 − 2 . 2 = 68 8x = 80
8x − 8 − 4 = 68 x = 10
8x = 68  12

2. 18 {[2x − 80 . 2 − 80 ] . 2 − 80} = 0
[4x − 160 − 80 . 2 − 80] = 0
8x − 320 − 160 − 80 = 0
8x = 320  160  80
8x = 560
x = 70
19 a  b = 70 2a  2b  2c = 280 90  b = 140
a c = 90 a  b  c = 140 b = 140 − 90
b  c = 120 b = 50
20 a  b = 200 2a  2b  2c = 624 a  216 = 312
a  c = 208 a  b  c = 312 a = 312 − 216
b  c = 216 a = 96
21 R D=9 2R  2D  2J = 34 12  D = 17
D J = 13 R  D  J = 17 D = 17 − 12
J  R = 12 D=5
22 a  b = 50 2a  2b  2c = 180 50  c = 90
a  c = 60 a  b  c = 90 c = 90 − 50
b  c = 70 c = 40
a  100  a = 900
23 a  b = 200  c 2a  2b  2c = 900  c  b  a 2a = 900 − 100
a  c = 600  b a  b  c = 900 2a = 800
b  c = 100  a a = 400
4  b  b = 12
24 ac=4b 2a  2b  2c = 12  a  b  c 2b = 12 − 4
bc=6a a  b  c = 12 2b = 8
ab=2c b=4
b = 4.000
25 a  b  c = 60 2a  2b  2c = 28
ab=7 a  b  c = 14 caixas vazias
a  c = 10
b  c = 11 60 − 14 = 46
26 a  b  c = 8,5 a  12,5 = 14,5
3a  3b  3c  3d = 43,5 a = 14,5 − 12,5
b  c  d = 12,5
a  b  c  d = 14,5 a = 2
a  b  d = 10,5
a  c  d = 12 a = 2.000
27 a  b  c = 73 68  c = 88
3a  3b  3c  3d = 264
b  c  d = 60 c = 88 − 68
a  b  c  d = 88
a  b  d = 68 c = 20
a  c  d = 63

3. 28 x  x  1 = 45 29 x  x  1  x  2 = 102
2x = 44 3x = 99
x = 22 x = 33
x  2 = 35
30 x  x  1 = 17[ x  1 − x ] x  x  2 = 106
31
2x  1 = 17 2x = 104
2x = 16 x = 52
x = 8 x  1 = 9
x  x  2  x  4 = 366 33 x  x  2 = 11[ x  2 − x ]
32
3x = 360 2x  2 = 22
x = 120 2x = 20
x = 10
x  2 = 12
x  x  2 = 65[ x  2 − x] 35 x  x  2  x  4 = 33
34
2x  2 = 130 3x  6 = 33
2x = 128 3x = 27
x = 64 x=9
x  2 = 66
x  x  6 = 76 37 x  x  2   x  3 = 95
36
2x = 70 3x = 90
x = 35 x = 30
x  4 = 39 x  3 = 33
5x  5 x  1  5 x  2 = 195 39 7x  7  x  1  7  x  2 = 273
38
5x  5x  5  5x  10 = 195 7x  7x  7  7x  14 = 273
15x = 180 21x = 252
x = 12 x = 12
5  x  1 = 65 7x = 84 7  x  1 = 91
7 x  2 = 98
40 ??? 2 20 − y  4y = 58
40 − 2y  4y = 58
41 x  y = 20 ⇒ x = 20 − y 2y = 18
2x  4y = 58 y = 9 coelhos
20 − 9 = 11 galinhas
2 58 − y   4y = 178
116 − 2y  4y = 178
x  y = 58 ⇒ x = 58 − y
42 2y = 62
2x  4y = 178
y = 31  coelhos
58 − 31 = 27  cisnes
2 39 − y   4y = 104
78 − 2y  4y = 104
x  y = 39 ⇒ x = 39 − y
43 2y = 26
2x  4y = 104
y = 13 cabritos
39 − 13 = 26 marrecos

4. 885 − y   3y = 320
680 − 8y  3y = 320
x  y = 85 ⇒ x = 85 − y
44 −5y = −360
8x  3y = 320
5y = 360
y = 72 3 rodas
85 − 72 = 13 8 rodas
4 39 − y  6y = 190
156 − 4y  6y = 190
x  y = 39 ⇒ x = 39 − y
45 2y = 34
4x  6y = 190
y = 17 6 rodas
39 − 17 = 22 4 rodas
335 − y  4y = 125
105 − 3y  4y = 125
x  y = 35 ⇒ x = 35 − y
46 y = 20 quadrados
3x  4y = 125
39 − 20 = 19 triângulos
3 40 − y  5y = 156
x  y = 40 ⇒ x = 40 − y 120 − 3y  5y = 156
47 3x  5y = 156 2y = 36
y = 18  pentágonos
40 − 18 = 22  triângulos
2 48 − y  4y = 130
96 − 2y  4y = 130
x  y = 48 ⇒ x = 48 − y
48 2y = 34
2x  4y = 130
y = 17  coelhos
48 − 17 = 31 galinhas
2 135 − y   4y = 352
x  y = 135 ⇒ x = 135 − y 270 − 2y  4y = 352
49 2x  4y = 352 2y = 82
y = 41  porcos
135 − 41 = 94 galinhas
3x  8x  518 − 3x = 74
11x  90 − 15x = 74
x  2 x   y = 18 ⇒ y = 18 − 3x
50 −4x = −16
3x  4 2 x   5y = 74
4x = 16
x = 4 triângulos
2x = 8 quadrados
520 − y  − 3y = 36
100 − 5y − 3y = 36
x  y = 20 ⇒ x = 20 − y −8y = −64
51 5x − 3y = 36 8y = 64
y = 8 erros
20 − 8 = 12  acertos

5. 530 − y − 3y = 110
150y − 5y − 3y = 110
x  y = 30 ⇒ x = 30 − y
52 −8y = −40
5x − 3y = 110
8y = 40
y = 5 erros
30 − 5 = 25 acertos
4 32 − y − 2y = 86
128 − 4y − 2y = 86
x  y = 32 ⇒ x = 32 − y −6y = −42
53 4x − 2y = 86 6y = 42
y = 7 erros
32 − 7 = 25 acertos
10 24 − y  − 6y = 0
240 − 10y − 6y = 0
x  y = 24 ⇒ x = 24 − y
54 −16y = −240
10x − 6y = 0
16y = 240
y = 15 erros
24 − 15 = 9 acertos
10 24 − y  − 6y = −32
240 − 10y − 6y = −32
x  y = 24 ⇒ x = 24 − y
55 −16y = −272
10x − 6y = −32
16y = 272
y = 17 erros
24 − 17 = 7 acertos
630 − y  − 4y = 60
180 − 6y − 4y = 60
x  y = 30 ⇒ x = 30 − y −10y = −120
56 6x − 4y = 60 10y = 120
y = 12 erros
30 − 12 = 18 acertos 
57 x 4 2
= ⇒ 3 x  4 = 2 y  4 ⇒ 3x  12 = 2y  8 ⇒ 3x − 2y = −4
y 4 3
x −1 1
= ⇒ 2 x − 1 = 1 y − 1 ⇒ 2x − 2 = y − 1 ⇒ 2x − y = 1
y −1 2
3x − 2y = −4 3x − 2y = −4 3x − 2y = −4 3 . 6 − 2y = −4
2x − y = 1 . −2 −4x  2y = −2  −4x  2y = −2 18 − 2y = −4
−x  0 = −6 −2y = −22
x= 6 2y = 22
x 6 y = 11
=
y 11

6. 58 x −3 1
= ⇒ 4 x − 3 = 1 y − 3 ⇒ 4x − 12 = y − 3 ⇒ 4x − y = 9
y −3 4
x 5 1
= ⇒ 2 x  5 = 1 y  5 ⇒ 2x  10 = y  5 ⇒ 2x − y = −5
y 5 2
4x − y = 9 4x − y = 9 4x − y = 9 4 .7−y=9
2x − y = −5 . −1 −2x  y = 5  −2x  y = 5 28 − y = 9
2x  0 = 14 −y = −19
x 7 x= 7 y = 19
=
y 19
59 x8
= 2 ⇒ x  8 = 2y ⇒ x − 2y = −8
y
x
= 3 ⇒ x = 3 y − 5 ⇒ x = 3y − 15 ⇒ x − 3y = −15
y −5
x − 2y = −8 x − 2y = −8 x − 2y = −8 x − 2 . 7 = −8
x − 3y = −15 . −1 −x  3y = 15  −x  3y = 15 x − 14 = −8
0 y=7 x=6
x 6 y =7
=
y 7
60 x 1
= ⇒ 2x = 1[x  5  7] ⇒ 2x = x  5  7 ⇒ x = 12
 x  5  7 2
x 12
=
x5 17
61 x  y = 34
x1
= 4 ⇒ x  1 = 4y ⇒ x = 4y − 1
y
4y − 1  y = 34
x=4 . 7−1 x 27
5y = 35 =
x = 27 y 7
y=7
“Se dividirmos as idades de A POR B...”
62
A1 1
= ⇒ 2 A  1 = 1B  1 ⇒ 2A  2 = B  1 ⇒ 2A − B = −1
B1 2
A−1 1
= ⇒ 3 A − 1 = 1 B − 1 ⇒ 3A − 3 = B − 1 ⇒ 3A − B = 2
B−1 3
2A − B = −1 2A − B = −1 2A − B = −1
3A − B = 2 . −1 −3A  B = −2  −3A  B = −2
−A  0 = −3
2 . 3 − B = −1 A =3
6 − B = −1
−B = −1 − 6
B=7

7. 63 5x 5 5x 10
=2. ⇒ = ⇒ 13 5  x = 1013  y ⇒
13  y 13 13  y 13
65  13x = 130  10y ⇒ 13x − 10y = 65
5  x   13  y  = 46 ⇒ x  y  18 = 46 ⇒ x  y = 28
13x − 10y = 65 13x − 10y = 65 13x − 10y = 65
 x  y = 28 . 10 10x  10y = 280  10x  10y = 280
23x  0 = 345
10 . 15  10y = 280 x = 15
150  10y = 280
10y = 130
y = 13
64 x1 18 x1 3
= ⇒ = ⇒ 5x  1 = 3y ⇒ 5x − 3y = −5
y 30 y 5
1 5 1 1
x 1= ⇒ x 1= ⇒ 2 x  1 = 1 y  1 ⇒ 2x − y = −1
y 10 y 2
5x − 3y = −5 5x − 3y = −5 5x − 3y = −5
2x − y = −1 . −3 −6x  3y = 3  −6x  3y = 3
−x  0 = −2
5 . 2 − 3y = −5 x =2
10 − 3y = −5 x 2
−3y = −15 =
y 5
3y = 15
y=5
64 x1 18 x1 3
= ⇒ = ⇒ 5x  1 = 3y ⇒ 5x − 3y = −5
y 30 y 5
1 5 1 1
x 1= ⇒ x 1= ⇒ 2 x  1 = 1 y  1 ⇒ 2x − y = −1
y 10 y 2
5x − 3y = −5 5x − 3y = −5 5x − 3y = −5
2x − y = −1 . −3 −6x  3y = 3  −6x  3y = 3
−x  0 = −2
5 . 2 − 3y = −5 x =2
10 − 3y = −5 x 2
−3y = −15 =
y 5
3y = 15
y=5
65 xy=6
10x  y − 36 = 10y  x ⇒ 9x − 9y = 36 ⇒ x − y = 4
 x  y = 6 5y=6
 x − y = 4 y=6 −5 10 . 5  1 = 51
2x  0 = 10 y=1
x =5

8. 66 x  y = 15
10x  y − 9 = 10y  x ⇒ 9x − 9y = 9 ⇒ x − y = 1
 x  y = 15 8  y = 15
 x − y = 1 y = 15 − 8 10 . 8  7 = 87
2x  0 = 16 y=7
x =8
67 x  y = 10
10x  y  54 = 10y  x ⇒ 9x − 9y = −54 ⇒ x − y = −6
 x  y = 10 2  y = 10
 x − y = −6 y = 10 − 2 10 . 2  8 = 28
2x  0 = 4 y=8
x =2
68 xy=7
10x  y − 27 = 10y  x ⇒ 9x − 9y = 27 ⇒ x − y = 3
 x  y = 7 5y=7
 x − y = 3 y=7 −5 10 . 5  7 = 52
2x  0 = 10 y=2
x =5
69 xy=7
2 10y  x  2 = 10x  y ⇒ 20y  2x  2 = 10x  y ⇒ −8x  19y = −2
 x  y = 7 . 8 8x  8y = 56 8x  8y = 56
−8x  19y = −2 −8x  19y = −2  −8x  19y = −2
0  27y = 54
x2=7 y=2
x=7−2
10 . 2  5 = 25
x=5
70 x  y = 15
23 230y  23x
. 10y  x = 10x  y ⇒ = 10x  y ⇒
32 32
230y  23x = 3210x  y  ⇒ 230y  23x = 320x  32y ⇒ −297x  198y = 0 ⇒
−99x  66y = 0 ⇒ −33x  22y = 0 ⇒ −3x  2y = 0
 x  y = 15 . 3 3x  3y = 45 3x  3y = 45
−3x  2y = 0 −3x  2y = 0  −3x  2y = 0
0  5y = 45
x  9 = 15 y=9
x = 15 − 9 10 . 9  6 = 96
x=6

9. 71 y − x = 3 ⇒ −x  y = 3
4 40y  4x
. 10y  x  = 10x  y ⇒ = 10x  y ⇒ 40y  4x = 7 10x  y ⇒
7 7
40y  4x = 70x  7y ⇒ −66x  33y = 0 ⇒ −6x  3y = 0 ⇒ −2x  y = 0
−x  y = 3 . −1 x − y = −3 x − y = −3
−2x  y = 0 −2x  y = 0  −2x  y = 0
−x  0 = −3
−3  y = 3 x=3
y=33 10 . 6  3 = 63
y=6
72 5x − 2y = 7
10x  y  36 = 10y  x ⇒ 9x − 9y = −36 ⇒ x − y = −4
5x − 2y = 7 5x − 2y = 7 5x − 2y = 7
x − y = −4 . −2 −2x  2y = 8  −2x  2y = 8
3x  0 = 15
5 . 5 − 2y = 7 x=5
25 − 2y = 7
10 . 5  9 = 59
−2x = −18
x=9
73 10x  y  10y  x = 187 ⇒ 11x  11y = 187 ⇒ x  y = 17
10x  y
= 1  9 ⇒ 10x  y = 110y  x  9 ⇒ 9x − 9y = 9 ⇒ x − y = 1
10y  x
x  y = 17 x  y = 17 9−y=1
x−y=1  x − y = 1 −y = 1 − 9 10 . 9  8 = 98
2x  0 = 18 −y = −8
x=9 y=8
74 10x  y
= 12 ⇒ 10x  y = 12y − x ⇒ 22x − 11y = 0
y−x
10y  x  9
= 8 ⇒ 10y  x  9 = 8 x  y  = −7x  2y = −9
xy
22x − 112x  = 0 ⇒ 22x − 22x = 0 ⇒ 0 = 0
−7x  22x  = −9 ⇒ −7x  4x = −9 ⇒ −3x = −9 ⇒ x = 3
x=3
10 . 3  6 = 36
2x = 6

10. 75 x  y  5 = 12 ⇒ x  y = 7
100x  10y  5 − 54 = 5 . 100  10x  y ⇒ 100x  10y − 49 = 549  10x  y ⇒
90x  9y = 451 ⇒ 10x  y = 61
x  y = 7 . −1 −x − y = −7 −x − y = −7
10x  y = 61 10x  y = 61  10x  y = 61
9x  0 = 54
6y=7 x=6
y=7 −6
y=1 100 . 6  10 . 1  5 = 615
76 x  9  y = 21 ⇒ x  y = 12
100 x  1  9 . 10  y  1 = 100y  9 . 10  x − 497 ⇒
100x  100  90  y  1 = 100y  90  x − 497 ⇒ 99x − 99y = −369 ⇒
x − y = −4
x  y = 12 x  y = 12 4  y = 12
x − y = −4  x − y = −4 y = 12 − 4 100 . 4  10 . 9  8 = 498
2x  0 = 8 y=8
x=4
77 x  y  2x = 18 ⇒ 3x  y = 18
100x  10y  2x  297 = 2x . 100  10y  x ⇒ −99x = −297 ⇒ x = 3
3 . 3  y = 18
9  y = 18 100 . 3  10 . 9  2 . 3 = 396
y = 18 − 9
y=9
78 x  y  z  w = 13
z  w = y ⇒ x  y  y =13 ⇒ x  2y = 13
y
xw = ⇒ 2 x  w = y ⇒ 2x  2w = y
2
1.000w  100z  10y  x − 1.000x  100y  10z  w = 819
1.000w  100z  10y  x − 1.000x − 100y − 10z − w = 819
−999x − 90y  90z  999w = 819
−111x − 10y  10z  111w = 91
−111x  111w  10−y  z = 91
−111x  111w − 10w = 91
−111x  101w = 91
formular uma equação que tenha as variáveis x e w:

11. 13 − x 2x  2w = y
x  2y = 13 ⇒ 2y = 13 − x ⇒ y = 13 − x
2 2x  2w =
2
2 2x  2w = 13 − x
4x  4w  x =
5x  4w = 13
−111x  101w = 91 . 5 −555x  505w = 455
5x  4w = 13 . 111 555x  444w = 1.443
−555x  505w = 455 5x  4 . 2 = 13 2 .12. 2=y
 555x  444w = 1.443 5x = 13 − 8 y=24
0  949w = 1.898 x=1 y=6
w =2
1  6  z  2 = 13
z = 13 − 9 1000 . 1  100 . 6  10 . 4  2 = 1.642
z=4
79 x  y  z  w = 14
w
z=
2
y= z x ⇒ x= y−z
1.000x  100y  10z  w  4.905 = 1.000w  100z  10y  x
1.000x  100y  10z  w − 1.000w − 100z − 10y − x = −4.905
999x  90y − 90z − 999w = −4.905
111x  10y − 10z − 111w = −545
111 x − w  10 y − z  = −545
111x − 111w  10x = −545
121x − 111w = −545
formular uma equação que tenha as variáveis x e w:
x  y  z  w = 14
w
y=zx ⇒ y= x
w w 2
x x  w = 14
2 2
2x  w  2x  w  2w = 28 w
z=
4x  4w = 28 2
xw=7

12. 121x − 111w = −545 121x − 111w = −545
x  w = 7 . −121 −121x  −121w = −847
121x − 111w = −545 6 x6=7 y=31
z=
 −121x − 121w = −847 2 x=1 y=4
0 − 232w = −1.392 z=3
w =6
1000 . 1  100 . 4  10 . 3  6 = 1.436
80 1938 − 1900  10x  y  = 10x  y
1938−1900 − 10x − y − 10x − y = 0
−20x − 2y = −38
20x  2y = 38 x=1
10x  y = 19 y=9
1838 − 1800  10x  y  = 10x  y Supõe-se que a avó tenha nascido em 18...
1938−1800 − 10x − y − 10x − y = 0
−20x − 2y = −138
20x  2y = 138 x=6
10x  y = 69 y=9
81 o segundo número é o triplo do primeiro: 1abcde = abcde1
5 4 3 2 5 4 3 2
3 1 . 10  10 a  10 b  10 c  10d  e = 10 a  10 b  10 c  10 d  10 e  1 ⇒
3. 105  3. 10 4 a  3. 103 b  3.10 2 c  3. 10d  3e = 10 5 a  104 b  103 c  10 2 d  10 e  1 ⇒
5 5 4 4 3 3 2 2
3. 10 − 1 = 10 a − 3. 10 a   10 b − 3. 10 b  10 c − 3. 10 c  10 d − 3. 10d  10 e − 3e ⇒
5 4 3 2
3. 10 − 1 = 7. 10 a  7. 10 b  7.10 c  70d  7e ⇒
5 4 3 2
3. 10 − 1 = 7 10 a  10 b  10 c  10d  e ⇒
5
veja que para abcde1 falta 10
logo, para 1abcde falta também 105
5
3.10 − 1 4 3 2
= 10 a  10 b  10 c  10d  e ⇒
7
5
3. 10 − 1 5 299.999 5
 10 ⇒  10 ⇒ 42857  100.000 ⇒ 142.857
7 7
105 a − 3 .104 a  = 100.000 − 30.000 = 70.000 = 7 .104 a
4 3 3
10 b − 3.10 b = 10.000 − 3.000 = 7.000 = 7 .10 b
3 2 2
10 c − 3 .10 c = 1.000 − 300 = 700 = 7 .10 c
102 d − 3 .10d  = 100 − 30 = 70 = 7 .10d
10 e − 3 e  = 10 − 3 = 7 = 7e

13. 82 Como em uma P.A.: a2 − a1 = a3 − a1
a 1 = 10x  y
10y  x − 10x  y  = 100x  y  − 10y  x ⇒
a 2 = 10y  x
9y − 9x = 99x − 9y ⇒
a 3 = 100x  y
108x − 18y = 0 ⇒
6x − y = 0
x < 2. Se x fosse maior que ou igual a dois, seria preciso que y
fosse um número de dois algarismos para satisfazer a equação.
Então x = 1
6. 1−y=0 a 1 = 10  6 = 16
−y = −6 a 2 = 60  1 = 61
y=6 a 3 = 100  6 = 106
83 5x  30 = 7x  4 84 15x  30 = 20x  20 85 8x  4 = 10x − 2
5x − 7x = 4 − 30 15x − 20x = 20 − 30 8x − 10x = −2 − 4
−2x = −26 −5x = −10 −2x = −6
x = 13 x=2 x = 3 caixas
8 . 3  4 = 28 laranjas
86 9x  14 = 10x − 4 87 8x  4 = 10x − 4
9x − 10x = −4 − 14 8x − 10x = −4 − 4
−x = −18 −2x = −8
x = 18 caixas 2x = 8
9 . 18  4 = 166 laranjas x = 4 cestos
8 . 4  4 = 36 abacates 
88 12x  10 = 15x − 8 89 2x  14 = 4 x − 5
12x − 15x = −8 − 10 2x  14 = 4x − 20
−3x = −18 2x − 4x = −20 − 14
3x = 18 −2x = −34
x = 6 caixas 2x = 34
12 . 6  10 = 82  pêssegos x = 17 alunos
2 . 17  14 = 48 lápis
90 42 − 2 = 40  bancos 91 2x  2 = 3x − 2 . 3
40 . 3  2 = 122  passageiros 2x − 3x = −6 − 2
−x = −8
x = 8  bancos
2 . 8  2 = 18 passageiros
92 35  2x = 3x − 5 . 3 93 2x  13 = 3x − 3 . 3
2x − 3x = −15 − 35 2x − 3x = −9 − 13
−7x = −50 −x = −22
x = 50  bancos x = 22 caixas
35  2 . 50 = 135  passageiros 2 . 22  13 = 57 pacotes

14. 94 4x − 2 . 4 = 2x  2 95 1x  18 = 3x − 6
4x − 2x = 2  8 x − 3x = −6 − 18
2x = 10 −2x = −24
x = 5 galhos 2x = 24
4 . 5 − 2 . 4 = 12 pássaros  x = 12 gaiolas 
12  18 = 30 pássaros 
96 8x  4 = 9x − 2 97 5x = 7x − 4 . 6
8x − 9x = −2 − 4 5x − 7x = −24
−x = −6 −2x = −24
x = 6  bancos 2x = 24
8 . 6  4 = 52 alunos x = 12 crianças 
5 . 12 = 60  bombons
98 5x = 2 x  31  1
[   ]
99 x
5x − 2x = 62  1 x− 1
3x = 63
x = 21 crianças
 x
2 
1 
2
2
2 =x
[ ]
21 . 5 = 105  bolas x2
x − 
x2 2
 2 =x
2 2
x2
2
 
2x − x − 2 1
2
. 2 =x
2 
x2 2x − x − 2
 2=x
2 4
2x  4  2x − x − 2  8 = 4x
2x  2x − x − 4x = −4  2 − 8
−x = = −10
x = 10
100
1º freguês:
x  10
2
2º freguês:
x−

x  10
2 
3 ⇒
x−
x − 10
2
3 ⇒
2x − x − 10
2
3 ⇒
2 2 2
2x − x − 10 1 2x − x − 10 2x − x − 10  12 x2
. 3 ⇒ 3 ⇒ ⇒
2 2 4 4 4

15. 3º freguês:
x− x  10
2  −
x2
4 
1 ⇒
x−
x − 10
2
−
x−2
4
1 ⇒
2 2
4x − 2x − 20 − x − 2
4 x − 22 1 x − 22 x − 22  8
1 ⇒ . 1 ⇒ 1 ⇒ ⇒
2 4 2 8 8
x − 14
8
x  10 x2 x − 14
  = x ⇒ 4x  40  2x  4  x − 14 = 8x ⇒
2 4 8
4x  2x  x − 8x = −40 − 4  14 ⇒ −x = −30 ⇒ x = 30
101 100x = 150 x − 10 102 100x  4.200 = 120 x − 15
100x − 150x = −1500 100x  4.200 = 120x − 1.800
−50x = −1500 100x − 120x = −1.800 − 4.200
50x = 1500 −20x = −6.000
x = 30 20x = 6.000
x = 300
103 150x − 1.380 = 60x  690 104 130x  800 = 190x − 160
150x − 60x = 690  1.380 130x − 190x = 160 − 800
90x = 2.070 −60 = −960
x = 23 60 = 960
x = 16 entradas 
130 . 16  800 = 2.880 dinheiro
105 2x
x−y=
9
x  y = 3.840 ⇒ x = 3.840 − y
2 3.840 − y 
3.840 − y − y =
9
3.840 . 9 − 9y − 9y = 2 3.840 − y 
3.840 . 9 − 18y = 2 . 3.840 − 2y
−16y = 2 . 3.840 − 3.840 . 9
16y = 3.840 . 7
3.840 . 7
y= ⇒ y = 240 . 7 ⇒ y = 1.680 o que devo
16
x = 3.840 − 1.680 ⇒ x = 2.160 o que me devem
106 351 − x = x
12
351 − x = 12x
13x = 351
x = 27

16. 107 x − y = 6.289 108 x  y = 59
x x
= 23  41 ⇒ x = 23y  41 = 8  y −1 ⇒ x = 8y  y − 1 ⇒
y y
x = 9y − 1
23y  41 − y = 6.289
22y = 6.248 9y − 1  y = 59
y = 284 10y = 60
x = 23 . 284  41 y=6
x = 6.573 x=9 .6−1
x = 53
109 x − y = 84 ⇒ x = 84  y 110 x . y  10 = x  1 .  y  1
x  1 .  y  1 = xy  379 xy  10 = xy  x  y  1
xy  x  y  1 − xy = 379 xy − xy − x − y = −10  1
x  y = 378 −x − y = −9
xy=9
84  y  y = 378
2y = 294
y = 147
x = 84  147 ⇒ x = 231
109 x − y = 84 ⇒ x = 84  y 110 x . y  10 = x  1 .  y  1
x  1 .  y  1 = xy  379 xy  10 = xy  x  y  1
xy  x  y  1 − xy = 379 xy − xy − x − y = −10  1
x  y = 378 −x − y = −9
xy=9
84  y  y = 378
2y = 294
y = 147
x = 84  147 ⇒ x = 231
111 x−y=4 ⇒ x=4y 112 x  5 = 5x
5x  3y = 84 5x = 5  x
5x − x = 5
5  4  y  3y = 84 4x = 5
20  5y  3y = 84 5
x=
8y = 64 4
y=8
x = 4  8 ⇒ x = 12
113 2y  y  2y  y  = 6
6y = 6
y=1
2y = 2
2y  y = 3
213

17. 114 x  y = 325 ⇒ x = 325 − y 115 x  y = 14 ⇒ x = 14 − y
y x
x  = 180  y =5
2 4
y 14 − y
325 − y  = 180 y=5
2 4
650 − 2y  y = 360 14 − y  4y = 20
−y = −290 3y = 6
y = 290  peso da água  y = 2 vaso 
x = 325 − 290 x = 12 água 
x = 35 copo vazio
116 12x = 9x  9 . 200 117 100x  100y = 3.000
12x − 9x = 1.800 3.000
3x = 1.800 150x = 3.000 ⇒ x = ⇒ x = 20
150
x = 600
100 . 20  100y = 3.000
12 .600 = 7.200 100y = 3.000 − 2.000
100y = 1.000
y = 10
118 x  y = 50 ⇒ x = 50 − y 119 2 x − 1 = y  1
x−5=y5 x1=y−1 ⇒ x=y−2
50 − y − 5 = y  5 2 y − 2 − 1 = y  1
−y − y = 5 − 50  5 2y − 4 − 2 = y  1
−2y = −40 2y − y = 1  4  2
2y = 40 y=7
y = 20
x = 50 − 20 ⇒ x = 30
120 x  y = 32 ⇒ x = 32 − y 121 4 29 − x = 31  x
x y −4x − x = 31 − 116
 = 6 ⇒ 5x  6y = 180
6 5 −5x = 85
5x = 85
5 32 − y   6y = 180 x = 17 1.700
160 − 5y  6y = 180
y = 20
x = 32 − 20 ⇒ x = 12
122 350x  31.500 = 4 350x  6.300 123 x − y = 5.000 ⇒ x = 5.000  y
350x  31.500 = 1.400x  25.200 5 . 200  x = 2 5 . 200  y 
350x − 1.400x = 25.200 − 31.500
−1.050x = −6.300 1.000  5.000  y = 2.000  2y
1.050x = 6.300 y − 2y = 2.000 − 6.000
x=6 y = 4.000
x = 5.000  4.000
x = 9.000

18. 124 8.100 5.700 125 5x  7y = 222 ⇒ x = 222 − 7y
=
x  40 x 5
8.100x = 5.700 x  40 3x  5y = 150
8.100x − 5.700x = 228.000
2.400x = 228.000
x = 95 operários
5.700
3 
222 − 7y
5  5y = 150
= 60 salário 666 − 21y
95  5y = 150
5
666 − 21y  25y = 750
4y = 84
y = 21
222 − 7 . 21 222 − 147
x= ⇒ x=
5 5
75
x= ⇒ x = 15
5
126 1.400  4x 3x  50 127 1.200  x x − 400
= =
12 4 10 6
4 1.400  4x = 12 3x  50 6 1.200  x = 10 x − 400
5.600  16x = 36x  600 7.200  6x = 10x − 4.000
−20x = −5.000 −4x = −11.200
20x = 5.000 4x = 11.200
x = 250 x = 2.800
128 2.400  x x − 400 129 700  5.000x 6.000x  3.000
= =
12 4 15 45
4 2.400  x = 12  x − 400 700  5.000x 6.000x  3.000
=
9.600  4x = 12x − 4.800 1 3
−8x = −14.400 3 700  5.000x = 1 6.000x  3.000
8x = 14.400 2.100  15.000x = 6.000x  3.000
x = 1.800 9.000x = 900
x = 0,1  tijolo
700  5.000 . 0,1
= 80 dia de serviço
15
130 135 − x = 2 85 − x 131 x  y = 23 ⇒ x = 23 − y
135 − x = 170 − 2x x−5=y2 ⇒ x=y7
−x  2x = 170 − 135 23 − y = y  7
x = 35 −y − y = 7 − 23
−2y = −16
y = 8 caixa 
x = 23 − 8 ⇒ x = 15  cesto
132 x  y = 1.800 ⇒ x = 1.800 − y
x − 500 = 4  y − 300
5y = 2.500
1.800 − y − 500 = 4y − 1.200 y = 500 mais novo
−y − 4y = −1.200 − 1.800 x = 1.800 − 500
−5y = 2.500 x = 1.300  mais velho

19. 133 4 x − 4  = y  4 ⇒ y = 4x − 20 134 80x = 50 x  3
4  y − 2 = x  2 ⇒ x = 4y − 10 80x = 50x  150
80x − 50x = 150
x = 4 4x − 20 − 10 30x = 150
x = 16x − 80 − 10 x = 5  prateleiras
−15x = −90 80 . 5 = 400 livros
x = 6 esquerda 
y = 4 . 6 − 20 ⇒ y = 4 direita
135 x = y  15 136 x  24 = 80  y
x 80 − y = x
x  = y  28 ⇒ 3x = 2y  56
2
80 − y  24 = 80  y
3  y  15 = 2y  56 −y − y = 80 − 80 − 24
3y  45 = 2y  56 −2y = −24
3y − 2y = 56 − 45 y = 12 o quanto passou de 80
y = 11  João x = 80 − 12
x = 11  15 ⇒ x = 26  Pedro x = 68  número primitivo
137 x − y  5 = 3 y  5 ⇒ x − y − 5 = 3y  15 ⇒ x = 4y  20
x − y − 8 = 4  y − 8 ⇒ x − y  8 = 4y − 32 ⇒ x = 5y − 40
5y − 40 = 4y  20
5y − 4y = 20  40
y = 60 bolas retiradas 
x = 4 . 60  20 ⇒ x = 260  bolas da caixa
138 x − 5 = y  5 ⇒ x = y  10
5  y − 5 = x  5 ⇒ 5y − 25 = x  5 ⇒ 5y = x  30
5y = y  10  30
4y = 40
y=1
x = 10  10 ⇒ x = 20
139 x  1.000 = 2y
y  1.000 = 3x ⇒ y = 3x − 1.000
x 1.000 = 2 3x − 1.000
x 1.000 = 6x − 2.000
−5x = −3.000
x= 600  primeiro
y= 3 . 600 − 1.000 ⇒ y = 800 segundo

20. 140 3x  2y = 2x  3y  2 ⇒ 3x − 2x = 3y − 2y  2 ⇒ x = y  2
4x  2y = x  3y  2  10 ⇒ 4x − x = 3y − 2y  12 ⇒ 3x = y  12
3  y  2 = y  12
3y  6 = y  12
3y − y = 12 − 6
2y = 6 x=32
y = 3 $ 0,10 x = 5 $ 0,50
141 25 x  150  = 30 x − 70
25x  3.750 = 30x − 2.100
−5x = −5.850
x = 1.170  total de postes
25 . 1.170  150 = 33.000 estrada
142 5x  4y = 44 ⇒ x = 44 − 4y x=
44 − 4 . 6
5 5
4x  5y = 46 44 . 24
x=
5
4 
44 − 4y
5  5y = 46 x=
20
5
176 − 16y x=4
 5y = 46
5
176 − 16y  25y = 230 x  y = 10
9y = 54
y=6
143 note que “outros tantos” 144
significa “o mesmo número” x x
xx   4 = 80
x x 3 5
x  x    1 = 100
2 4 15x  15x  5x  3x  60 = 1.200
4x  4x  2x  x  4 = 400 38x = 1.140
11x = 396 x = 30
x = 36
145 x 146 3x  2x  x = 60
x  2x  3x = 65
2 6x = 60
2x  x  4x  6x = 130 x = 10  mais novo
13x = 130 2x = 20 segundo
x = 10 3x = 30  mais velho
147 x  30  x  20  x = 80 146 3x  x  4 3x  x = 400
3x = 30 4x  12x  4x = 400
x = 10 20x = 400
x = 20
10  30  10  20 = 70
3 . 20  20 = 80

21. 149 2x  x  3  2x  x = 120 150 2x  x  2x  x = 6.240
3x  6x  3x = 120 6x = 6.240
12x = 120 x = 1.040  Augusto
x = 10 2x = 2.080 José
151 primeira parte 9 y 36
y=9 9  x=9
y 2 2
terceira parte x=9
2 2y = 18  18  y x = 9  18
segunda parte y=9x y = 36 segunda parte x = 27 terceira parte
9  36  27 = 72
152 4x  7  x  4x  7  x − 3 = 161
4x  7  x  5x  4 = 161
10x = 150
x = 15 4 . 15  7 = 67
153 x  y  z  w = 60
yzw x  2x = 60 y  3y = 60
x= ⇒ 2x = y  z  w
2 3x = 60 4y = 60
xzw x = 20 y = 15
y= ⇒ 3y = x  z  w
3
xyw z  4z = 60 20  15  12  w = 60
z= ⇒ 4z = x  y  w 5z = 60 w = 60 − 47
4
z = 12 w = 13
154  x  2 . 50 = x . 150 155 x  y = 450 ⇒ x = 450 − y
50x  100 = 150x x y
x− =y ⇒ 12x − 2x = 12y  3y ⇒
−100x = 100 6 4
x = 1 m /s 3y
10x = 15y ⇒ 2x = 3y ⇒ x =
1 . 150 = 150  prédio 2
3y
= 450 − y ⇒ 3y = 900 − 2y
2
5y = 900 ⇒ y = 180  José
x = 450 − 180 ⇒ x = 270 Pedro
180
= 45
4
156 x  y  z = 550
y = x  30 ⇒ x  30 = y ⇒ x = y − 30
y = z − 40 ⇒ z − 40 = y ⇒ z = y  40 x = 180 − 30
x = 150
y − 30  y  y  40 = 550
3y = 540 z = 180  40
y = 180 z = 220

22. 157 x  y  z  w = 770
y = 50  x ⇒ 50  x = y ⇒ x = y − 50
y = z − 70 ⇒ z − 70 = y ⇒ z = y  70
z = w − 80 ⇒ y  70 = w − 80 ⇒ y = w − 150 ⇒ w − 150 = y ⇒ w = y  150
y − 50  y  y  70   y  150 = 770
4y  170 = 770
4y = 600
y = 150
158 x  y  z  w = 157
y =5 x ⇒ 5 x= y ⇒ x =y −5
y=z−7 ⇒ z−7=y ⇒ z=y7
z = w − 8 ⇒ y  7 = w − 8 ⇒ y = w − 15 ⇒ w − 15 = y ⇒ w = y  15
y − 5  y   y  7  y  15 = 157
4y  17 = 157
4y = 140
y = 35 z = 35  7 ⇒ z = 42 $ 42.000
159 2 5x  5x = 450 160 A  B  C  D = 219
15x = 450
x = 30 A = B − 27 ⇒ A = C − 34 − 27 ⇒ A = C − 61
B = C − 34
1 5x  = 150 D = C  47
C − 61  C − 34  C  C  47 = 219
4C = 267 ⇒ C = 66,75
B = 66,75 − 34 ⇒ B = 32,75 $ 32.750
161 x = 360 − x 162 x  360 − x = x 163 x
30 − x
= 2x
3 2 3 2
3x = 360 − x 3x  720 − 2x = 6x 2x  30 − x = 4x
4x = 360 −5x = −720 −3x = −30
x = 90 x = 144 x = 10
164 x = 2 7 − x  165 x = 24 − x 166 x=
24 − x
5 3 2
5x = 14 3x = 24 − x 2x = 24 − x
7x = 14 4x = 24 3x = 24
x=2 x=6 x=8
165 24 − x 4 . 60 = 240 168 2x 2 24 − x
x= =
4 5x = 240 5 3
4x = 24 − x x = 48min 6x = 240 − 10x
5x = 24 16x = 240
x = 4h  resta 4 4h e 48min x = 15

23. 169 x = 12 − x 170 12 − x
=x
2 3
2x = 12 − x 12 − x = 3x
3x = 12 4x = 12
x = 4h da tarde 16h  x = 3h da tarde 15h
171 x = 3 12 − x 4 . 60 = 240 12 − x
=x
5 8x = 240 3
5x = 36 − 3x x = 30min 12 − x = 3x
8x = 36 4x = 12
x = 4h  resta 4 4h e 30min  da tarde  x = 3h da tarde 15h
16h e 30min
172 x = 6 12 − x  5 173 divide-se a extensão da estrada 300
x = 72 − 6x  5 pela soma das velocidades: = 2h
150
7x = 77
x = 11 da noite 23h 
174 180 = 3h 175 480 = 4h 176 600 177 350 = 5h
= 4h
60 120 150 70
178 210 = 3h 179 50 . 3 = 150 o quanto o trem já percorreu 
70 80 − 50 = 30 a diferença da velocidade do trem e do carro
350
= 5h
70
180 50 . 2 = 100 181 20 . 3 = 60 182 50 . 2 = 100
70 − 50 = 20 25 − 20 = 2 60 − 50 = 10
100 60 100
= 5h = 12h = 10h
20 5 10
7  10 = 17h
60km/ em 10h = 600km
183 180 = 30h 184 540 = 3h 185 30 . 2 = 60
6 180 200 − 60 = 140
5 . 30 = 150km 70 . 3 = 210km 140
= 2h
60  10
30 . 2  2 = 120km

24. 186 240 = 3h 187 70 . 2 = 140
80 740 − 140 = 600
30 . 3 = 90km 600
= 4h
70  80
8  4 = 12h
70 . 2  4 = 420km de A
80 . 4 = 320km de B
188 60 − 12 = 48
eles se encontrarão no km 48
A ⇒  x − 4 . y = 48 ⇒ xy − 4y = 48 ⇒ xy − 4y = 48
B ⇒ 60 − xy − 60 = 48 ⇒ 60 − xy  60 = 48 ⇒ −xy = −72
xy − 4y = 48 A ⇒  x − 4 . 6 = 48
 −xy = −72 6x − 24 = 48
0 − 4y = −24 6x = 72
4y = 24 x = 12  velocidade de B
y = 6h x − 4 = 8 velocidade de A
189 300
= 2h se encontrarão
150
80 . 2 = 160km de B
160
= 4h
40
2  4 = 6h
8h  6h = 14h
190 temos as seguintes grandezas:
2 1
x = velocidade = 40min = 20min
3 3
y = distância
z = tempo total
20 y 2 20  y 1 20  y
z=  z− = z =
x x1 3 x1 3 x
substituindo o ''z'' nas outras equações:
20 y 2 20  y 20 2 20  y y 20 2 20
 − = ⇒ − = − ⇒ − =
x x1 3 x1 x 3 x1 x1 x 3 x1
20 y 1 20  y y 1 20  y 20 y 1 y
  = ⇒  = − ⇒  =
x x1 3 x x1 3 x x x1 3 x

25. Reorganizando:
20 2 20 2 20 20 2 20 20
− = ⇒ − = − ⇒ = −
x 3 x1 3 x 1 x 3 x x1
y 1 y 1 y y
 = ⇒ = −
x1 3 x 3 x x1
Simplificando (tire o fator comum):
2
3
= 20 .
1
x
−  1
x 1  Note que a primeira é o dobro da segunda:
1 2 2 . y = 20
2 . =
3 3 y = 10
1
3
=y .
1
x 
−
1
x1  y = distância
Logo, a distância percorrida foi 20 + 10 = 30km
191 49  x = 3 15  x  192 32  x = 3 4  x 193 3 11  x = 35  x
49  x = 45  3x 32  x = 12  3x 33  3x = 35  x
x − 3x = 45 − 49 x − 3x = 12 − 32 3x − x = 35 − 33
−2x = −4 −2x = −20 2x = 2
x=2 x = 10 x=1
194 2 x − 6 = 12  x 195 31 − x = 4 13 − x  196 35 − x = 5 15 − x
2x − 12 = 12  x 31 − x = 52 − 4x 35 − x = 75 − 5x
2x − x = 12  12 −x  4x = 52 − 31 −x  5x = 75 − 35
x = 24 3x = 21 4x = 40
x=7 x = 10
197 42 − x = 4 15 − x 198 55  x = 9  x  11  x  13  x
42 − x = 60 − 4x x − 3x = 33 − 55
−x  4x = 60 − 42 −2x = −22
3x = 18 x = 11
x=6
199 48 − x = 30 − x  20 − x  6 − x 200 53 − x = 15 − x  24 − x  22 − x
−x  3x = 56 − 48 −x  3x = 61 − 53
2x = 8 2x = 8
x=4 x=4
201 53 − x = 33 − x  32 − x  31 − x  29 − x
−x  4x = 125 − 53
3x = 72
x = 24

26. 202 x  y = 21 ⇒ x = 21 − y 203 x  y = 96 ⇒ x = 96 − y
3y = x  3 x − 22 = y  22
3y = 21 − y  3 96 − y − 22 = y  22
4y = 24 −y − y = 22  22 − 96
y=6 −2y = −52 ⇒ y = 26
x = 21 − 6 ⇒ x = 15 x = 96 − 26 ⇒ x = 70
204 x  y = 120 ⇒ x = 120 − y 205 x − y = 24 ⇒ x = 24  y
x − 10 = y  10 x  5 = 3  y  5
120 − y − 10 = y  10 24  y  5 = 3y  15
−y − y = 10  10 − 120 y − 3y = 15 − 29
−2y = −100 ⇒ y = 50 −2y = −14 ⇒ y = 7
x = 24  7 ⇒ x = 31
206 x  y = 78 ⇒ x = 78 − y 207 x − 7 = 7 y − 7 ⇒ x − 7 = 7y − 49 ⇒
x − 9 = 3 y − 9 x = 7y − 42
x  3 = 3 y  3 ⇒ x  3 = 3y  9 ⇒
78 − y − 9 = 3y − 27 x = 3y  6
−y − 3y = −27  9 − 78
−4y = −96 ⇒ y = 24 7y − 42 = 3y  6
x = 78 − 24 ⇒ x = 54 7y − 3y = 6  42
4y = 48 ⇒ y = 12
208 x − 7 = 3 y − 7 ⇒ x − 7 = 3y − 21 ⇒ x = 3y − 14
x  7 = 2  y  7 ⇒ x  7 = 2y  14 ⇒ x = 2y  7
3y − 14 = 2y  7
3y − 2y = 7  14
y = 21
209 x = 2y
x − 10 = 3 y − 10 ⇒ x − 10 = 3y − 30 ⇒ x = 3y − 20
2y = 3y − 20
2y − 3y = −20 ⇒ y = 20
x = 2 . 20 ⇒ x = 40
210 x − 18 = 2 y − 18 ⇒ x − 18 = 2y − 36 ⇒ x = 2y − 18
5 5y  45
x  9 =  y  9 ⇒ x  9 = ⇒ 4x  36 = 5y  45 ⇒ 4x = 5y  9
4 4
4 2y − 18 = 5y  9
8y − 72 = 5y  9
3y = 81 ⇒ y = 27
x = 2 . 27 − 18 ⇒ x = 54 − 18 ⇒ x = 36

27. 211 x = 5y
x  5 = 3  y  5 ⇒ x  5 = 3y  15 ⇒ x = 3y  10
5y = 3y  10
2y − 10
y=5
212 x − 10 = 3 x  10 ⇒ x − 10 = 3x  30 ⇒ 213 x  20 = 2 x − 20 ⇒
5 5 x  20 = 2x − 40 ⇒
5x − 50 = 3x  30 ⇒ 2x = 80 ⇒ x = 40 x − 2x = −40 − 20 ⇒
x = 60
214 x = y  30
3y = x  50
3y = y  30  50
2y = 80 y = 40
x = 40  30 ⇒ x = 70
215 2 x
= ⇒ 2y = 3x
3 y
x − 10 1
= ⇒ 4x − 40 = y − 10 ⇒ y = 4x − 30
y − 10 4
2 4x − 30 = 3x
8x − 60 = 3x
5x = 60 ⇒ x = 12
2y = 3 . 12 ⇒ 2y = 36 ⇒ y = 18
216 x  x  5  x  10  x  15  2x = x  x  5  x  10  x  15  x  20
x − x  x  5 − x  5  x  10 − x  10  x  15 − x − 15  2x = x  20
2x = x  20
x = 20
20  20  5  20  10  20  15  2 . 20 = 150
217 x = y  30
x = 3 y − 2 ⇒ x = 3y − 6 note que se o filho nascesse dois anos
depois ele seria atualmente mais novo.
y  30 = 3y − 6
−2y = −36
y = 18
218 x  2   x − 4 = 30
2x = 32
x = 16
x − 4 = 12

28. 219 xy 3x xy 12x
= ⇒ = 3x ⇒ xy = 12x ⇒ y = ⇒ y = 12
20 5 4 x
2
4xy 5y
= y 2 ⇒ 4xy = 5y 2 ⇒ 4x = ⇒ 4x = 5y
5 y
4x = 5 . 12 ⇒ 4x = 60 ⇒ x = 15
220
Passado Presente Futuro Relacionando o presente com o passado
2x − y = y − x
Eu y 2x A 3x = 2y
Tu x y 2x 2y
x=
3
Relacionando o futuro com o presente
A − 2x = 2x − y 2 2x − 5 y = 2 . 10 − 5 Eu: 2 . 10 = 20
x=
5 = 2x − y 3 y = 20 − 5 Tu: 15
−y = 5 − 2x 3x = 4x − 10 y = 15
y = 2x − 5 −x = −10
x = 10
221
Passado Presente Futuro Relacionando o presente com o passado
4x − y = y − x
Eu y 4x A 5x = 2y
Tu x y 4x 2y
x=
5
Relacionando o futuro com o presente
A − 4x = 4x − y 2 4x − 9 y=4. 6−9 Eu: 4 . 6 = 24
x=
9 = 4x − y 5 y = 24 − 9 Tu: 15
−y = 9 − 4x 5x = 8x − 18 y = 15
y = 4x − 9 −3x = −18
x =6
222
Passado Presente Futuro Relacionando o presente com o passado
3x − y = y − x
Eu y 3x A 4x = 2y
Tu x y 3x 2y y
x= ⇒ x=
4 2
Relacionando o futuro com o presente
A − 4x = 3x − y 3x − 20 y = 3 . 20 − 20 Eu: 3 . 20 = 60
x=
20 = 3x − y 2 y = 60 − 20 Tu: 40
−y = 20 − 3x 2x = 3x − 20 y = 40
y = 3x − 20 −x = −20
x = 20

29. 223
Passado Presente Futuro Relacionando o presente com o passado
3x − y = y − x
Eu y 3x A 4x = 2y
Tu x y 3x 2y y
x= ⇒ x=
4 2
Relacionando o futuro com o presente
A − 4x = 3x − y 3x − 10 y = 3 . 10 − 10 Eu: 3 . 10 = 30
x=
10 = 3x − y 2 y = 30 − 10 Tu: 20
−y = 10 − 3x 2x = 3x − 10 y = 20
y = 3x − 10 −x = −10
x = 10
224
Passado Presente Futuro Relacionando o presente com o passado
2x − y = y − x
Eu y 2x A 3x = 2y
Tu x y 2x 2y
x=
3
Substituindo o x:
Passado Presente Futuro Relacionando o futuro com o presente
Eu 2y 4y 5y 4y 4y
A− = −y
3 3 3 3 3
3A − 4y = 4y − 3y
Tu x y 4y 3A = 5y
3 5y
A=
3
A soma das idades:
5y 4y
A  2x = 54 ⇒  = 54 2 . 18 Eu: 2 . 12 = 24
3 3 x=
5y  4y = 162 3 Tu: 18
9y = 162 x=2.6
y = 18 x = 12
225
Pulos Equivalência Pulos Convertidos
Cão 4 3 8
Raposa 5 6 5
Convertendo os pulos de cão em de raposa:
Quando o cão dá 8 pulos (de raposa) a
cão raposa 3x = 6 . 4
raposa dá 5, então o cão tira 3 pulo da
3 6 24
x= raposa
4 x 3
x=8 8−5=3

30. Regra de três:
A cada 4 pulos (de cão) o cão tira 3 pulos da raposa. Então para se tirar 60 pulos será necessário
dar x pulos:
3x = 60 . 4
cão raposa 60 . 4
x=
4 3 3
x 60 x = 20 . 4
x = 80
226
Pulos Equivalência Pulos Convertidos
Cão 4 6 6
Lebre 5 9 5
Convertendo os pulos de cão em de lebre:
Quando o cão dá 6 pulos (de raposa) a
cão lebre 6x = 9 . 4 raposa dá 5, então o cão tira 1 pulo da
6 9 36 raposa
x=
4 x 6 6−5=1
x=6
Regra de três:
A cada 4 pulos (de cão) o cão tira 1 pulos da lebre. Então para se tirar 50 pulos será necessário
dar x pulos:
cão lebre x = 50 . 4
4 1 x = 200
x 50
227
Saltos Equivalência Saltos Convertidos
Cão 6 3 14
Raposa 9 7 9
Convertendo os saltos de cão em de raposa:
Quando o cão dá 14 saltos (de raposa)
cão raposa 3x = 6 . 7 a raposa dá 9, então o cão tira 5 saltos
3 7 42 da raposa
x=
6 x 3
x = 14 14 − 9 = 5
Regra de três:
A cada 6 saltos (de cão) o cão tira 5 saltos da raposa. Então para se tirar 60 saltos será necessário
dar x saltos:

31. cão raposa 5x = 60 . 6
6 5 60 . 6
x=
x 60 5
x = 12 . 6
x = 72
228
Pulos Equivalência Pulos Convertidos
Cão 3 6 5
Raposa 4 10 4
Convertendo os pulos de cão em de raposa:
Quando o cão dá 5 pulos (de raposa) a
cão raposa 6x = 3 . 10 raposa dá 4, então o cão tira 1 pulo da
6 10 30 raposa
x=
3 x 6
5−4=1
x=5
Regra de três:
A cada 3 pulos (de cão) o cão tira 1 pulos da raposa. Então para se tirar 63 pulos será necessário
dar x pulos:
cão raposa 3x = 63 . 3
3 1 x = 189
x 63
229
Pulos Equivalência Pulos Convertidos
Cão 11 5 17,6
Lebre 14 8 14
Convertendo os pulos de cão em de lebre:
Quando o cão dá 17,6 pulos (de lebre) a
cão lebre 5x = 11 . 8 lebre dá 14, então o cão tira 3,6 pulos
5 8 88
x= da lebre
11 x 5
17,6 − 14 = 3,6
x = 17,6
Regra de três:
A cada 11 pulos (de cão) o cão tira 3,6 pulos da lebre. Então para se tirar 63 pulos será
necessário dar x pulos:
3,6 x = 63 . 11
63 . 11
cão lebre x=
3,6
11 3,6
x = 17,5 . 11
x 63
x = 192,5

32. 230 231 232 233
12 12 12 12
11 1 11 1 11 1 11 1
10 2 10 10 2 10 2
2
9 3 9 9 3 9 3
3
8 4 8 4 8 4 8 4
7 5 7 5 7 5 7 5
6 6 6 6
4 . 30º = 120º 3 . 30º = 90º 6 . 30º = 180º 4 . 30º = 120º
234 12
11 12
1 11 1
10 2 10 2
9 3 9 x 3 Quando o ponteiro grande percorre
8 4 8 4 360º, o pequeno percorre 30º
7 5 7 5
6 6
apenas o ponteiro pequeno: apenas o ponteiro grande:
0º 4 . 30º = 120º
Regra de três:
O ponteiro grande andou 120º, quanto percorrerá o ponteiro pequeno?
grande pequeno 360x = 30 . 120
360 30 30 . 120
x=
120 x 360 120º − 10º = 110º
30
x=
3
x = 10
235 12
11 12
1 11 1
10 2 10 2
9 3 9
x
3 Quando o ponteiro grande percorre
8 4 8 4 360º, o pequeno percorre 30º
7 5 7 5
6 6
apenas o ponteiro pequeno: apenas o ponteiro grande:
1 . 30º = 30º 6 . 30º = 180º
Regra de três:
O ponteiro grande andou 180º, quanto percorrerá o ponteiro pequeno?
360x = 30 . 180
grande pequeno 30 . 180
380 30 x=
360
180 x 180º − 30º  15º = 135º
30
x=
2
x = 15

33. 236 12
11 12
1 11 1
10 2 10 2
9 3 9 x 3 Quando o ponteiro grande percorre
8 4 8 4 360º, o pequeno percorre 30º
7 5 7 5
6 6
apenas o ponteiro pequeno: apenas o ponteiro grande:
2 . 30º = 60º 4 . 30º = 120º
Regra de três:
O ponteiro grande andou 120º, quanto percorrerá o ponteiro pequeno?
360x = 30 . 120
grande pequeno 30 . 120
380 30 x=
360
120 x 120º − 60º  10º = 50º
30
x=
3
x = 10
237 12
11 12
1 11 1
10 2 10 2
9 3 9 3 Quando o ponteiro grande percorre
x
8 4 8 4 360º, o pequeno percorre 30º
7 5 7 5
6 6
apenas o ponteiro pequeno: apenas o ponteiro grande:
4 . 30º = 120º 4 . 30º = 120º
Regra de três:
O ponteiro grande andou 120º, quanto percorrerá o ponteiro pequeno?
360x = 30 . 120
grande pequeno 30 . 120
380 30 x=
360
120 x 120º  10º = 130º
30
x=
3
x = 10
238
A primeira superposição ocorre depois de 1h, nela vemos que:
12
11 1
10 2 O ponteiro grande percorreu 1h + 5min + xseg
9 3
8 4
O ponteiro pequeno percorreu apenas 5min + xseg
7 5
6

34. Formulando uma equação:
grande pequeno
60  5  x = 5  x
65  x = 5  x
65  x = 12 5  x  A velocidade do ponteiro grande é 12 vezes a do pequeno
65  x = 60  12x
11x = 5
5 Então, para a primeira superposição temos:
x= 1h 5min 5/11seg
11
A superposição dos ponteiros::
Entre 12 e 1 hora - não há
Entre 1 e 2 horas - 1h 5min 5/11seg
Entre 2 e 3 horas - 2 (1h 5min 5/11seg) = 2h 10min 10/11seg
...
Voltando ao problema:
Entre 4 e 5 horas:
4 (1h 5min 5/11seg) =
4h 20min 20/11seg =
4h 21min 9/11seg
239 240 241
Entre 2 e 3 horas: Entre 6 e 7 horas: Entre 7 e 8 horas:
2 (1h 5min 5/11seg) = 6 (1h 5min 5/11seg) = 7 (1h 5min 5/11seg) =
2h 10min 10/11seg 6h 30min 30/11seg = 7h 35min 35/11seg =
6h 32min 8/11seg 7h 38min 2/11seg
242
Entre 19 e 20 horas:
7 (1h 5min 5/11seg) =
7h 35min 35/11seg =
7h 38min 2/11seg = 19h 38min 2/11seg
243 120
xy = 120 ⇒ x =
y
x − 2  . y  2 = 120 ⇒ xy  2x − 2y − 4 = 120 ⇒ xy  2x − 2y = 124
x = meninos
y = cota 120 120
. y2. − 2y = 124
y y
240
120  − 2y = 124
y
2
120y  240 − 2y = 124y
2
−2y − 4y  240 = 0
2y 2  4y − 240 = 0
y 2  2y − 120 = 0

35. −2 ±  2 2 − 4 . 1 . −120
y= −2 − 22 −2  22
2 .1 y' = y'' =
−2 ±  4  480 2 2
y= −24 20
2 y' = y '' =
2 2
−2 ±  484
y= y ' = −12 y ' ' = 10
2
−2 ± 22
y=
2
120
x=
10
x = 12
244
x  y  z  w = 450 y − 20 = x  20 ⇒ y = x  40
w x  20
x  20 = y − 20 = 2z = 2z = x  20 ⇒ z =
2 2
w
= x  20 ⇒ w = 2x  40
x  x  40  
x  20
2 
  2x  40 = 450
2
x  20
4x  80  = 450
2 y = 80  40 ⇒ y = 120
8x  160  x  20 = 900 80  20
z= ⇒ z = 50
9x  180 = 900 2
9x = 720 w = 2 . 80  40 ⇒ w = 200
x = 80
245
2x = y − 15
5  x − 45 = y − 15 ⇒ y = 5x − 210
2x = 5x − 210 − 15 2 . 75 = y − 15
−3x = −225 y − 15 = 150
x = 75 y = 165
246
x = partidas perdidas pelo pai 3 100 − 6x  4y  = 100 − 4y  6x
y = partidas perdidas pelo filho 300 − 18x  12y  4y − 6x = 100
−24x  16y = −200
x  y = 20 24x − 16y = 200
x = 20 − y
24 20 − y  − 16y = 200 x = 20 − 7 O pai ganhou 7 partidas
480 − 24y − 16y = 200 x = 13
O filho ganhou 13
−40y = −280
y=7