1. Slovní úlohy
o společné práci − 2
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

2. Jak při řešení slovních úloh postupovat?
1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát).
2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec
nic, jako neznámou.
3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři
všechny ostatní údaje z textu.
4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu
úlohy a na jejím základě sestav rovnici
a vyřeš ji.
5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané
výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy.
6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

3. Slovní úloha o společné práci
Úlohy o společné práci jsou si velice podobné a počítají se
v podstatě pořád stejně. Takže:
• Pracovat mohou dvě, tři, ale i více těles, osob najednou.
• Práci začnou i ukončí většinou naráz (stejná doba společné práce,
stejný čas).
• Můžeme však počítat i příklady, kdy tělesa, osoby nepracují naráz, ale
jeden začne a druhý se k němu přidá, či naopak začnou společně a
jeden skončí dříve (pak doba, čas společné práce stejný není).
• Celá společná práce se rovná jedné (ať pracují 2, 3, 4 nebo i více
jedinců, to, na čem společně „makají“, je vždy rovno 1).
• Při výpočtech vycházíme vždy z toho, jakou část e
m
společné práce udělá každé těleso, každá osoba jď
za časovou jednotku (hodinu, den, minutu…)
po t ích
• Celá společná práce je tvořena součtem částí to za tn .
společné práce, vykonaných jednotlivými tělesy, si ká ré ch
k
osobami, které se na společné práci podílejí.
Tak u on de
• Někdy nemusí pracovat společně, ale mohou k kla
pracovat proti sobě, např. jednou rourou voda na pří
přitéká, druhou odtéká. Pak není společná práce
tvořena součtem, ale rozdílem.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

4. Slovní úloha o společné práci
Úlohy o společné práci jsou si velice podobné a počítají se
v podstatě pořád stejně. Takže:
• Pracovat mohou dvě, tři, ale i více těles, osob najednou.
• Práci začnou i ukončí většinou naráz (stejná doba společné práce,
stejný čas).
• Můžeme však počítat i příklady, kdy tělesa, osoby nepracují naráz, ale
jeden začne a druhý se k němu přidá, či naopak začnou společně a
jeden skončí dříve (pak doba, čas společné práce stejný není).
• Celá společná práce se rovná jedné (ať pracují 2, 3, 4 nebo i více
jedinců, to, na čem společně „makají“, je vždy rovno 1).
• Při výpočtech vycházíme vždy z toho, jakou část e
m
společné práce udělá každé těleso, každá osoba jď
za časovou jednotku (hodinu, den,tento
Právě na minutu…). po t ích
• Celá společná práce jetyp příkladů
tvořena součtem částí to za tn .
společné práce, vykonaných jednotlivými tělesy, si ká ré ch
k
ak u on de
o společné
osobami, které se na společné práci podílejí.
• Někdy nemusí pracovat práci se teďmohou
společně, ale
T k kla
podíváme.
pracovat proti sobě, např. jednou rourou voda na pří
přitéká, druhou odtéká. Pak není společná práce
tvořena součtem, ale rozdílem.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

5. Slovní úloha o společné práci
Ukázka zadání takové úlohy:
Prvním přítokem se bazén naplní
za 20 hodin, druhým za 30 hodin.
Za jak dlouho se bazén naplní,
jestliže se nejdříve na 5 hodin
otevře jen první přítok a teprve
potom i přítok druhý?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

6. Slovní úloha o společné práci
1. přítokem by se bazén naplnil za 20 Jako neznámou x
2. přítokem by se bazén
hodin, což znamená, že za 1 hodinu by zvolímeza 30 hodin,
naplnil veličinu, o které
První přítok byl
se naplnila 1/20 bazénu, za 2 hodiny pak víme znamená, že
což nejméně, a tou je
2/20otevřen o 5 se bazén nejdříve plnil
atd. Protože hodin
dříve, tzn. po dobu
5 hodin jen tímto přítokem a pak teprve za 1 doba společné práce,
hodinu by se naplnila
oběma5 hodin delší,
o společně, je i doba plnění tímto 1/30 bazénu, zakdy byly
tzn. doba, 2 hodiny
přítokem o 5 hodin.
tj. (x + 5) hodin delší než doba pakotevřeny obaxpřítoky
2/30 atd. Za hodin
společná, tzn. (x + 5) hodin společně. Mimochodem
společné práce se tedy
a naplněná část bazénu za tuto dobu − jde o x/30 bazénu.
naplní dobu, po kterou
je tedy (x + 5)/20. byl otevřen druhý přítok.
x +5 x
+ = 1
20 30
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin.
Za jak dlouho se bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře
jen první přítok a teprve potom i přítok druhý?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

7. Příklad:
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom
i přítok druhý?
Tak ještě jednou a pomaleji.
1. přítok :
celý bazén ... za 20 hodin
1
za 1hodinu ... bazénu
20
2
za 2 hodiny ... bazénu
20
za 5 hodin samostatného
x +5
a x hodin společného plnění ... bazénu
20
+
2. přítok :
celý bazén ... za 30 hodin 1 celý bazén
1
za 1hodinu ... bazénu
30
x
za x hodin společné práce ... bazénu
30
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

8. Příklad:
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom
i přítok druhý?
1. přítok :
za 5 hodin samostatného plnění
a x hodin společné práce ...
x +5
bazénu
20
2. přítok :
za x hodin společné práce ...
x
bazénu
30
x +5 x
+ =1
20 30
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

9. Příklad:
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom
i přítok druhý?
1. přítok :
za 5 hodin samostatného plnění
a x hodin společné práce ...
x +5
Čas navíc, bazénu Doba
po který pracuje 20 společné
2. přítok :
samostatně před práce Jedna celá
společným časem společná
za x hodin společné práce ... práce.
x
bazénu
30
x +5 x
Doba
práce + =1 Doba
20 30
práce
prvního druhého
Typická rovnice slovních úloh o společné práci
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

10. Příklad:
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom
i přítok druhý?
1. přítok :
za 5 hodin samostatné x +5
a x hodin společné práce ... 20 bazénu
2. přítok :
x
za x hodin společné práce ... bazénu
30
x +5 x
+ = 1 / ⋅ 60 Společně se bude bazén
oběma přítoky plnit 9 hodin.
20 30
3( x + 5 ) + 2 x = 60
Otázka se však neptá
na dobu společného plnění,
ale na dobu, za kterou se
3 x + 15 + 2 x = 60 Zbavíme se
bazén naplní. Proto musíme
zlomků v úvahu i prvních
vzít
5 x = 60 − 15 5 hodin plnění, kdy se plnilo
vynásobením
celé jen prvním přítokem. Bazén
rovnice
5 x = 45 společným naplnil za 9 a 5,
se tedy
tj. 14 hodin.
x = 45 : 5 jmenovatelem
x = 9h
Bazén se naplní za 14 hodin.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

11. Příklad:
Vodní nádrž se vypustí větším stavidlem za 10 hodin, menším za 12 hodin.
Nádrž vypouštěli tak, že první čtyři hodiny otevřeli jen větší stavidlo, teprve
pak otevřeli také stavidlo menší. Urči dobu, jakou trvalo vypouštění
nádrže.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

12. Příklad:
Vodní nádrž se vypustí větším stavidlem za 10 hodin, menším za 12 hodin.
Nádrž vypouštěli tak, že první čtyři hodiny otevřeli jen větší stavidlo, teprve
pak otevřeli také stavidlo menší. Urči dobu, jakou trvalo vypouštění
nádrže.
Menší stavidlo :
x
za x hodin práce spolu ... nádrže
12
Větší stavidlo :
x+4
za 4 hodiny samostatné a x hodin společné práce ... nádrže
10
x x +4
+ =1 / ⋅ 60
12 10 Opět pozor na to, že jsme
5 x + 6( x + 4 ) = 60
vypočítali dobu společného
vypouštění. Vodní nádrž se
však nejdříve 4 hodiny
5 x + 6 x + 24 = 60 vypouštěla jen větším
stavidlem a teprve potom
11x = 60 − 24 oběma stavidly společně.
Celková doba vypouštění je
x = 36__: 11 tedy
3,27 + 4 = 7,27 hodiny.
.
x = 3,27 h
Vypouštění nádrže trvalo přibližně 7,27 hodiny.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

13. Příklad:
Závod A je schopen splnit zakázku za 12 dní, závod B splní tutéž zakázku
za 18 dní. Za kolik dní bude zakázka splněna, jestliže první dva dny na ní
pracuje jen závod A, zbývající dny pak oba závody?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

14. Příklad:
Závod A je schopen splnit zakázku za 12 dní, závod B splní tutéž zakázku
za 18 dní. Za kolik dní bude zakázka splněna, jestliže první dva dny na ní
pracuje jen závod A, zbývající dny pak oba závody?
Závod B :
x
za x dní společné práce ... zakázky
18
Závod A :
x +2
za 2 hodiny samostatné a x hodin společné práce ... zakázky
12
x x +2
+ =1 / ⋅ 36 Pozor na to, že jsme
18 12
2 x + 3( x + 2 ) = 36
vypočítali dobu společné
práce na zakázce. Dva dny
však na ni pracoval jen
2 x + 3 x + 6 = 36 závod A, teprve potom oba
závody společně. Celková
5 x = 36 − 6 doba plnění celé zakázky je
tedy 6 + 2 = 8 dní.
x = 30 : 5
x = 6 dní
Zakázka bude splněna za 8 dní.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.