1. Slovní úlohy
o společné práci − 3
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

2. Jak při řešení slovních úloh postupovat?
1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát).
2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec
nic, jako neznámou.
3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři
všechny ostatní údaje z textu.
4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu
úlohy a na jejím základě sestav rovnici
a vyřeš ji.
5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané
výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy.
6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

3. Slovní úloha o společné práci
Úlohy o společné práci jsou si velice podobné a počítají se
v podstatě pořád stejně. Takže:
• Pracovat mohou dvě, tři, ale i více těles, osob najednou.
• Práci začnou i ukončí většinou naráz (stejná doba společné práce,
stejný čas).
• Můžeme však počítat i příklady, kdy tělesa, osoby nepracují naráz,
ale jeden začne a druhý se k němu přidá, či naopak začnou společně
a jeden skončí dříve (pak doba, čas společné práce stejný není).
• Celá společná práce se rovná jedné (ať pracují 2, 3, 4 nebo i více
jedinců, to, na čem společně „makají“, je vždy rovno 1).
• Při výpočtech vycházíme vždy z toho, jakou část e
m
společné práce udělá každé těleso, každá osoba jď
za časovou jednotku (hodinu, den, minutu…).
po t ích
• Celá společná práce je tvořena součtem částí to za tn .
společné práce, vykonaných jednotlivými tělesy, si ká ré ch
k
osobami, které se na společné práci podílejí.
Tak u on de
• Někdy nemusí pracovat společně, ale mohou k kla
pracovat proti sobě, např. jednou rourou voda na pří
přitéká, druhou odtéká. Pak není společná práce
tvořena součtem, ale rozdílem.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

4. Slovní úloha o společné práci A my se nyní
Úlohy o společné práci jsou si velice podobné a počítají právě na to,
zaměříme se
jak vypočítat onu
v podstatě pořád stejně. Takže: část, jinými slovy
• Pracovat mohou dvě, tři, ale i více těles, osob najednou. to, za jak dlouho
na
by společnou práci
• Práci začnou i ukončí většinou naráz (stejná doba společné práce,
vykonalo každé
stejný čas). těleso, každá osoba
• Můžeme však počítat i příklady, kdy tělesa, osoby nepracují sama.naráz,
ale jeden začne a druhý se k němu přidá, či naopak začnou společně
a jeden skončí dříve (pak doba, čas společné práce stejný není).
• Celá společná práce se rovná jedné (ať pracují 2, 3, 4 nebo i více
jedinců, to, na čem společně „makají“, je vždy rovno 1).
• Při výpočtech vycházíme vždy z toho, jakou část e
m
společné práce udělá každé těleso, každá osoba jď
za časovou jednotku (hodinu, den, minutu…).
po t ích
• Celá společná práce je tvořena součtem částí to za tn .
společné práce, vykonaných jednotlivými tělesy, si ká ré ch
k
osobami, které se na společné práci podílejí.
Tak u on de
• Někdy nemusí pracovat společně, ale mohou k kla
pracovat proti sobě, např. jednou rourou voda na pří
přitéká, druhou odtéká. Pak není společná práce
tvořena součtem, ale rozdílem.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

5. Slovní úloha o společné práci
Ukázka zadání takové úlohy:
Dvěma přítoky otevřenými současně
se bazén naplní za 12 hodin. Jen
větším přítokem by se bazén naplnil
za 20 hodin. Za jak dlouho by se
bazén naplnil, pokud by se plnil jen
přítokem menším?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

6. Slovní úloha o společné práci
Větším přítokem by se bazén Menším přítokem by se
naplnil za 20 hodin, což bazén naplnil za x hodin,
znamená, že za 1 hodinu by se což znamená, že
naplnila 1/20 bazénu, za 2 za 1 hodinu by se naplnila
hodiny pak 2/20 atd. Protože se 1/x bazénu, za 2 hodiny pak
bazén oběma přítoky společně 2/x atd. Za 12 hodin
naplní za 12 hodin, naplní se společné práce se tedy
tedy za tu dobu společné práce naplní 12/x bazénu.
12/20 bazénu.
12 12
+ = 1
20 x
Dvěma přítoky otevřenými současně se bazén naplní za 12 hodin. Jen
větším přítokem by se bazén naplnil za 20 hodin. Za jak dlouho by se
bazén naplnil, pokud by se plnil jen přítokem menším?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

7. Příklad:
Dvěma přítoky otevřenými současně se bazén naplní za 12 hodin. Jen
větším přítokem by se bazén naplnil za 20 hodin. Za jak dlouho by se
bazén naplnil, pokud by se plnil jen přítokem menším?
Větší přítok : Tak ještě jednou a pomaleji.
celý bazén ... za 20 hodin
1
za 1hodinu ... bazénu
20
2
za 2 hodiny ... bazénu
20
za 12 hodin společného plnění ...
12
bazénu
20
+
Menší přítok :
celý bazén ... za x hodin 1 celý bazén
1
za 1hodinu ... bazénu
x
12
za 12 hodin společné práce ... bazénu
x
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

8. Příklad:
Dvěma přítoky otevřenými současně se bazén naplní za 12 hodin. Jen
větším přítokem by se bazén naplnil za 20 hodin. Za jak dlouho by se
bazén naplnil, pokud by se plnil jen přítokem menším?
Větší přítok :
za 12 hodin společné práce ...
12
bazénu
20
Menší přítok :
za 12 hodin společné práce ...
12
bazénu
x
12 12
+ =1
20 x
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

9. Příklad:
Dvěma přítoky otevřenými současně se bazén naplní za 12 hodin. Jen
větším přítokem by se bazén naplnil za 20 hodin. Za jak dlouho by se
bazén naplnil, pokud by se plnil jen přítokem menším?
Větší přítok :
za 12 hodin společné práce ...
12
bazénu
20 Doba
Menší přítok :
společné
za 12 hodin společné práce ... práce Jedna celá
společná
12 práce
bazénu
x
12 12
Doba
práce + =1 Doba
20 x
práce
prvního druhého
Typická rovnice slovních úloh o společné práci
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

10. Příklad:
Dvěma přítoky otevřenými současně se bazén naplní za 12 hodin. Jen
větším přítokem by se bazén naplnil za 20 hodin. Za jak dlouho by se
bazén naplnil, pokud by se plnil jen přítokem menším?
Větší přítok : 12
za 12 hodin společné práce ... bazénu
20
Menší přítok :
12
za 12 hodin společné práce ... bazénu
x
12 12
+ = 1 / ⋅ 20 x
20 x
12 x + 12 ⋅ 20 = 20 x
240 = 20 x − 12 x Zbavíme se
240 = 8 x zlomků
vynásobením
240 : 8 = x celé rovnice
30 = x společným
jmenovatelem
x = 30 h
Bazén se naplnil menším přítokem za 30 hodin.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

11. Příklad:
Dělník a učeň vykonají společně práci za 6 hodin. Dělník ji sám
vykoná za 10 hodin. Za kolik hodin by ji vykonal učeň?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

12. Příklad:
Dělník a učeň vykonají společně práci za 6 hodin. Dělník ji sám
vykoná za 10 hodin. Za kolik hodin by ji vykonal učeň?
Dělník :
6
za 6 hodin společné práce ... celé práce
10
Učeň : 6
za 6 hodin společné práce ... celé práce
x
6 6
+ =1 / ⋅ 10 x
10 x
6 x + 6 ⋅ 10 = 10 x
60 = 10 x − 6 x
60 = 4 x
60 : 4 = x
x = 15 h
Učeň by práci vykonal sám za 15 hodin.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

13. Příklad:
Dělník A by sám provedl výkop za 7 hodin, dělník B sám
za 6 hodin. Protože výkop má být hotov za 2 hodiny, byl přibrán
dělník C. Za kolik hodin by výkop provedl sám dělník C?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

14. Příklad:
Dělník A by sám provedl výkop za 7 hodin, dělník B sám
za 6 hodin. Protože výkop má být hotov za 2 hodiny, byl přibrán
dělník C. Za kolik hodin by výkop provedl sám dělník C?
Dělník A :
2
za 2 hodiny společné práce ... výkopu
7
Dělník B : 2
za 2 hodiny společné práce ... výkopu
6
Dělník C :
2
za 2 hodiny společné práce ... výkopu
x
2 2 2
+ + = 1 / ⋅ 42 x Dělník C by
7 6 x výkop
2 ⋅ 6 x + 2 ⋅ 7 x + 2 ⋅ 42 = 42 x provedl sám
12 x + 14 x + 84 = 42 x za 5 hodin
a 15 minut.
84 = 42 x − 26 x
84 : 16 = x
x = 5,25 h = 5 h 15 min
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.