同好会用の発表資料

1. 数学同好会
菰田

2. 目次
• 私と数理論理
• 圏論から論理学へ
• 写像の連続性と位相
• 古典論理
• 一階述語論理
• 構文論
• 奇妙な命題
• 直観主義論理
• ラッセルのパラドックス
• 構成主義と形式主義
• 直観主義論理の構文論
• 古典論理と直観論理
• 成り立つものと成り立たないもの
• グリベンコの埋め込み定理
• ゲーデル変換
• 意味論的定義
• 他分野との関係
• ハイティング代数と層と圏論
• 意味論と証明論
• カリーハワード同型対応

3. 目次
• 私と数理論理
• 圏論から論理学へ
• 写像の連続性と位相
• 古典論理
• 一階述語論理
• 構文論
• 奇妙な命題
• 直観主義論理
• ラッセルのパラドックス
• 構成主義と形式主義
• 直観主義論理の構文論
• 古典論理と直観論理
• 成り立つものと成り立たないもの
• グリベンコの埋め込み定理
• ゲーデル変換
• 意味論的定義
• 他分野との関係
• ハイティング代数と層と圏論
• 意味論と証明論
• カリーハワード同型対応

4. 写像の「連続性」
• 位相空間上の連続写像とは
「任意の開集合の逆像が開集合である写像」
↑ ↑
？？？？
𝑋 𝑌
𝑓 𝐵𝑓−1
𝐵∀𝐵 𝐵 ∈ 𝑂 𝑌 ⇒ 𝑓−1
𝐵 ∈ 𝑂 𝑋

5. 写像の「連続性」
• そもそも「逆像」って？
• 順像
𝑓 𝐴 = 𝑦 ∈ 𝑌|∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑓 𝑥 = 𝑦
• 逆像
𝑓−1 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑋|𝑓 𝑥 ∈ 𝐵
定義の「非対称性」が「逆像を使う理由」に関係している？
𝑋 𝑌
𝑓 𝐵𝑓−1 𝐵
𝑓 𝑓 𝐴𝐴

6. 写像の「連続性」
• 定義を近づけてみる
• 順像
𝑓 𝐴 = 𝑦 ∈ 𝑌|∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑓 𝑥 = 𝑦
=
?
𝑦 ∈ 𝑌|∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 = 𝒇−𝟏 𝒚
• 逆像
𝑓−1 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑋|𝑓 𝑥 ∈ 𝐵
= 𝑥 ∈ 𝑋|∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑋 𝑌
𝑓 𝐵𝑓−1 𝐵
𝑓 𝑓 𝐴𝐴
一般には未定義(一意でない)
「写像の非対称性」 + ∃「 の消去可能性」が
「連続写像の定義に逆像を使う事の本質」？

7. 逆像が「素直」に見える例
順像 逆像
∪ 𝑓 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑓 𝐴 ∪ 𝑓 𝐵 𝑓−1
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑓−1
𝐴 ∪ 𝑓−1
𝐵
∩ 𝒇 𝑨 ∩ 𝑩 ⊂ 𝒇 𝑨 ∩ 𝒇 𝑩 𝑓−1
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑓−1
𝐴 ∩ 𝑓−1
𝐵
• この「非線形性」の根本的な原因は以下の論理式
∃𝑥 𝑃 𝑥 ∨ 𝑄 𝑋 ⇔ ∃𝑥𝑃 𝑋 ∨ ∃𝑥𝑄 𝑥
∃𝑥 𝑃 𝑥 ∧ 𝑄 𝑋 ⇒ ∃𝑥𝑃 𝑋 ∧ ∃𝑥𝑄 𝑥
• 「位相空間を理解するには数理論理の知識が必要だ」
→ 数理論理の道へ

8. (補足) 実際に確認
• 𝑏 ∈ 𝑓 𝐴 ∩ 𝐵
⇔ 𝑏 ∈ 𝑦 ∈ 𝑌|∃𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 𝑓 𝑥 = 𝑦
⇔ 𝑏 ∈ 𝑦 ∈ 𝑌|∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ∧ 𝑓 𝑥 = 𝑦
⇒ 𝒃 ∈ 𝒚 ∈ 𝒀|∃𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒇 𝒙 = 𝒚 ∧ ∃𝒙 𝒙 ∈ 𝑩 ∧ 𝒇 𝒙 = 𝒚
⇔ 𝑏 ∈ 𝑦 ∈ 𝑌|∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑦 ∈ 𝑌|∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 𝑥 = 𝑦
⇔ 𝑏 ∈ 𝑓 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝑓 𝐵
⇔ 𝑓 𝐴 ∩ 𝑓 𝐵
• 𝑎 ∈ 𝑓−1 𝐴 ∩ 𝐵
⇔ 𝑎 ∈ 𝑥 ∈ 𝑋|𝑓 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵
⇔ 𝑎 ∈ 𝑥 ∈ 𝑋|𝑓 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 𝑥 ∈ 𝐵
⇔ 𝑎 ∈ 𝑥 ∈ 𝑋|𝑓 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝑥 ∈ 𝑋|𝑓 𝑥 ∈ 𝐵
⇔ 𝑎 ∈ 𝑓−1
𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝑓−1
𝐵
⇔ 𝑎 ∈ 𝑓−1
𝐴 ∩ 𝑓−1
𝐵

9. 数学と論理
•「数学を使って論理を調べる」
•「論理を使って数学を調べる」

10. 数学と論理
• 「数学を使って論理を調べる」
= 数理論理学
• 構文論，意味論
• 完全性定理
• 「論理を使って数学を調べる」
= 数学基礎論
• 公理的集合論，自然数論
• 不完全性定理

11. 数理論理学
• 構文論
• 用意した論理式から推論規則を用いて目的の論理式を導出する
• 「論理式がどんな意味(=真偽)を表すか」には関与しない
• 論理式の組 Γ から論理式 𝐴 が導出できるとき，
「前提 Γ から 𝐴 が証明できる」といい， 𝜞 ⊢ 𝑨 と書く
• 意味論
• 論理式を意味空間（ブール代数など）に射影し，真偽を与える
• 論理の解釈 = 命題定数集合(=言語)上の真偽値関数 𝐹 ∶ 𝐿 → ℬ
• 論理式の組 Γ を全て真に射影する任意の解釈 𝐹 が 𝐴 を真に射影する時
「前提 Γ から 𝐴 が帰結される(=正しい)」といい， 𝜞 ⊨ 𝑨 と書く

12. 完全性定理
• 健全性
• Γ ⊢ 𝐴 ⇒ Γ ⊨ 𝐴 「証明できる」ならば「正しい」
• 完全性
• Γ ⊨ 𝐴 ⇒ Γ ⊢ 𝐴 「正しい」ならば「証明できる」
• 完全性定理
• 一階述語論理に於いて，以下が成り立つこと
Γ ⊨ 𝐴 ⇔ Γ ⊢ 𝐴 「正しい」と「証明できる」が一致する

13. (補足) 不完全性定理
• 第一不完全性定理
• ペアノの公理を持つ任意の公理系において，完全性が成り立たない
Γ ⊨ 𝐴 ⇏ Γ ⊢ 𝐴 ∃Γ, 𝐴 Γ ⊨ 𝐴 ∧ ￢ Γ ⊢ 𝐴
• 「正しい」のに「証明できない」命題が存在する
• 第二不完全性定理
• ペアノの公理を持つ任意の公理系は，無矛盾性を証明できない
• 矛盾する公理系は任意の命題を証明できる
• 「この命題は証明できない」の証明可能性と無矛盾性が同値

14. 一階述語論理の構文論
• 論理式から推論規則によって変換を繰り返し，結論を導出する
• 導出の最初の論理式は公理を用いる
• 公理，推論規則の構成によっていくつかの流派がある
• ヒルベルト系
• 公理 : たくさん 推論規則 : 1つのみ (モーダスポネンス)
• シークエント計算系 LK
• 公理 : 1つのみ(反射公理) 推論規則 : たくさん
• ゲンツェン系 NK
• 公理 : 1つのみ(排中律) 推論規則 : たくさん

15. シークエント計算系 LK
• Γ ⊢ Δ (Γ を前提とすると Δ が証明できる) という形を変形する
• 反射公理
𝐴 ⊢ 𝐴 𝐴 は任意の論理式
• 推論規則の例
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐶
𝐴 ⊢ 𝐵 → 𝐶
→ 右 ,
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐶
𝐴 ⊢ ¬𝐵, 𝐶
¬右
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐶, 𝐷
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐶, 𝐷 ∨ 𝐸
∨ 右 ,
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐶, 𝐷 𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐶, 𝐸
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐶, 𝐷 ∧ 𝐸
∧ 右
𝑃 𝑡/𝑥 , 𝐵 ⊢ 𝐶, 𝐷
∀𝑥𝑃 𝑥 , 𝐵 ⊢ 𝐶, 𝐷
∀左 ,
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐶, 𝑃 𝑡/𝑥
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐶, ∃𝑥𝑃 𝑥
∃右

16. シークエント計算系 LK
• シークエント計算の例
ドモルガンの法則(の一部) ¬ 𝐴 ∨ 𝐵 → ¬𝐴 ∧ ¬𝐵
𝐴 ⊢ 𝐴
𝐴 ⊢ 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 右
¬ 𝐴 ∨ 𝐵 , 𝐴 ⊢
¬左
¬ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊢ ¬𝐴
¬右
𝐵 ⊢ 𝐵
𝐵 ⊢ 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 右
¬ 𝐴 ∨ 𝐵 , 𝐵 ⊢
¬左
¬ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊢ ¬𝐵
¬右
¬ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊢ ¬𝐴 ∧ ¬𝐵
⊢ ¬ 𝐴 ∨ 𝐵 → ¬𝐴 ∧ ¬𝐵
→ 右
∧ 右

17. シークエント計算系 LK
• シークエント計算の例
ドモルガンの法則(の一部) ¬ 𝐴 ∧ 𝐵 → ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
𝐴 ⊢ 𝐴
⊢ 𝐴, ¬𝐴 ¬右
⊢ 𝐴, ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
∨ 右
𝐵 ⊢ 𝐵
⊢ 𝐵, ¬𝐵 ¬右
⊢ 𝐵, ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
∨ 右
⊢ 𝐴 ∧ 𝐵 , ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
¬ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊢ ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
⊢ ¬ 𝐴 ∧ 𝐵 → ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
→ 右
¬左
∧ 右

18. シークエント計算系 LK
• シークエント計算の例
排中律の証明
𝐴 ⊢ 𝐴
⊢ 𝐴, ¬𝐴
⊢ 𝐴 ∨ ¬𝐴, ¬𝐴
⊢ 𝐴 ∨ ¬𝐴, 𝐴 ∨ ¬𝐴
⊢ 𝐴 ∨ ¬𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛右
∨ 右
∨ 右
¬右

19. 集合論のアノマリー
• ラッセルのパラドックス
• ラッセル集合 𝑅 = 𝑥 | 𝑥 ∉ 𝑥
• 𝑅 ∊ 𝑅 ⇔ 𝑅 ∉ 𝑅 が成立し，矛盾が生じる
• これは集合論が悪いのか？論理学が悪いのか？

20. アノマリーの解決策
• 集合論に制限を加える (トップダウン派)
「集合論が自由すぎるのが原因」
• 「クラス」の導入
• ZFC 公理系
• ノイマンの公理
• 論理学(もしくは数学)を作り直す(ボトムアップ派)
「具体的に構成できるもののみを許容しよう」
• 有限の立場
• 直観主義

21. 直観主義
• ブラウアー
「数学はそもそも人間の直観によってできている」
「形式的な論理化なんてナンセンス」
→直観主義
↓
そうは言っても論理化しないとな…
→直観主義論理 (直観主義に基づく論理)
• ゲンツェン : 直観主義論理の構文論 LJ, NJ
• ハイティング : 直観主義論理の意味論 ハイティング代数
• ビショップ : 直観主義的解析学

22. 直観主義論理の構文論 LJ
• 「Γ ⊢ Δ という形の Δ は高々一つの論理式」という制約を加える
• 反射公理
𝐴 ⊢ 𝐴 𝐴 は任意の論理式
• 推論規則の例
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐶
𝐴 ⊢ 𝐵 → 𝐶
→ 右 ,
𝐴, 𝐵 ⊢
𝐴 ⊢ ¬𝐵
¬右
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐷
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐷 ∨ 𝐸
∨ 右 ,
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐷 𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐸
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝐶, 𝐷 ∧ 𝐸
∧ 右
𝑃 𝑡/𝑥 , 𝐵 ⊢ 𝐶
∀𝑥𝑃 𝑥 , 𝐵 ⊢ 𝐶
∀左 ,
𝐴, 𝐵 ⊢ 𝑃 𝑡/𝑥
𝐴, 𝐵 ⊢ ∃𝑥𝑃 𝑥
∃右

23. 直観主義論理の構文論 LJ
• LK でやった証明の再確認
ドモルガンの法則(の一部) ¬ 𝐴 ∨ 𝐵 → ¬𝐴 ∧ ¬𝐵 は OK
𝐴 ⊢ 𝐴
𝐴 ⊢ 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 右
¬ 𝐴 ∨ 𝐵 , 𝐴 ⊢
¬左
¬ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊢ ¬𝐴
¬右
𝐵 ⊢ 𝐵
𝐵 ⊢ 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 右
¬ 𝐴 ∨ 𝐵 , 𝐵 ⊢
¬左
¬ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊢ ¬𝐵
¬右
¬ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊢ ¬𝐴 ∧ ¬𝐵
⊢ ¬ 𝐴 ∨ 𝐵 → ¬𝐴 ∧ ¬𝐵
→ 右
∧ 右

24. 直観主義論理の構文論 LJ
• LK でやった証明の再確認
ドモルガンの法則(の一部) ¬ 𝐴 ∧ 𝐵 → ¬𝐴 ∨ ¬𝐵 は NG
𝐴 ⊢ 𝐴
⊢ 𝑨, ¬𝑨 ¬右
⊢ 𝑨, ¬𝑨 ∨ ¬𝑩
∨ 右
𝐵 ⊢ 𝐵
⊢ 𝑩, ¬𝑩 ¬右
⊢ 𝑩, ¬𝑨 ∨ ¬𝑩
∨ 右
⊢ 𝑨 ∧ 𝑩 , ¬𝑨 ∨ ¬𝑩
¬ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊢ ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
⊢ ¬ 𝐴 ∧ 𝐵 → ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
→ 右
¬左
∧ 右

25. 直観主義論理の構文論 LJ
• LK でやった証明の再確認
直観主義論理では 排中律は NG
𝐴 ⊢ 𝐴
⊢ 𝑨, ¬𝑨
⊢ 𝑨 ∨ ¬𝑨, ¬𝑨
⊢ 𝑨 ∨ ¬𝑨, 𝑨 ∨ ¬𝑨
⊢ 𝐴 ∨ ¬𝐴
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛右
∨ 右
∨ 右
¬右

26. 古典論理と直観論理
• 古典論理でしか成り立たないもの
• 「𝑎 𝑏
が有理数になるような無理数の組 𝑎, 𝑏 が存在する」
• 二重否定の除去 (=背理法)
• 酒場の定理
• 素数の数は無限である(実無限性)
• 直観論理でも成り立つもの
• 素数の数は有限でない(可能無限性)
• 直観論理でしか成り立たないもの
• 「 𝑃 でないことはない」という表現 (様相演算)

27. 古典論理の埋め込み
• グリベンコの埋め込み定理
• 古典命題論理は直観論理に単射をもつ
• ゲーデル変換
• 古典述語論理を直観論理と同値の様相論理に射影できる

28. グリベンコの埋め込み定理
• 古典論理の命題 𝑃 は直観論理の命題 𝑃∗
に変換できる
• 𝐴∗ = ¬¬𝐴 𝐴 はリテラル
• 𝐴 ∧ 𝐵 ∗
= 𝐴∗
∧ 𝐵∗
• 𝐴 ∨ 𝐵 ∗
= ¬ ¬𝐴∗
∧ ¬𝐵∗
• 𝐴 → 𝐵 ∗
= 𝐴∗
→ 𝐵∗
• ¬ 𝐴 ∧ 𝐵 → ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
∗
= ¬ 𝐴 ∧ 𝐵 ∗
→ ¬𝐴 ∨ ¬𝐵 ∗
= ¬ 𝐴∗
∧ 𝐵∗
→ ¬ ¬¬𝐴∗
∧ ¬¬𝐵∗
= ¬ ¬¬𝐴 ∧ ¬¬𝐵 → ¬ ¬¬¬¬𝐴 ∧ ¬¬¬¬𝐵
= ¬ ¬¬𝑨 ∧ ¬¬𝑩 → ¬ ¬¬𝑨 ∧ ¬¬𝑩

29. 古典論理の埋め込み
• グリベンコの埋め込み定理
• 古典命題論理は直観論理に単射をもつ
• ゲーデル変換
• 古典述語論理を直観論理と同値の様相論理に射影できる
↓
• ×「直観論理は古典論理から排中律禁止という制限」
○「古典論理は直観論理の中の排中律が成り立つ部分集合」
↓
• 直観主義論理の方が高い表現力を持つ

30. まとめ
• どんな定義も，理解するには数理論理力が不可欠
• 論理的表現では「正しい」と「証明できる」がデリケート
• 集合論のアノマリーを解消する為，根本的に数学の考え方を
変えてできたのが直観主義論理
• 直観主義論理は古典論理よりも表現力が高い

31. 話せてないこと
• 写像の連続性の考察
• 順像，逆像の定義の非対称性がどこに起因するのか
• 数理論理の意味論について
• 圏論との関係
• ブール代数→ハイティング代数→束論→層→圏論
• 高階論理→型付きラムダ計算→トポス→圏論
• 計算論との関係

32. 参考
• 数理論理
• 「情報科学における論理」 小野寛晰
• 「知の教科書 論理の哲学」 飯田隆
• 「学んでみよう！記号論理」 高崎金久
• 数学基礎論
• 「数学基礎論の世界 ロジックの雑記帳から」 竹内外史
• 「数学基礎論 –ゲーデルの不完全性定理-」 隈部正博
• 圏論
• 「圏論の基礎」 S.Mac Lane
• 「層・圏・トポス」 竹内外史
• 「圏論による論理学 高階論理とトポス」 清水義夫
• 集合と位相
• 「マグロウヒル大学演習 一般位相」 S. Lipschutz
• 「集合と位相」 斎藤毅
• 「初めての集合と位相」 太田春外