1. 不確実性の下での論理と
「双条件付確率」の導入
高橋 達二
2013年6月27日(木) 3限
情報デザインセミナーI

2. 高橋の研究
高橋の研究室
内部観測研究室
研究内容
人間と機械の違いを考え（哲学）、実験して（心理学）、明らか
にし（理学）、役立てる（工学）
機械学習・人工知能
生物とくに人間にインスパイアされた強化学習
情報工学
メタヒューリスティクス
認知心理学
人間の思考と推論
とくに条件文「∼ならばー」にフォーカス

3. 内部観測とは？
科学は普通どこかで神様の視点を温存する（客観性、極
限、…）
完全な客観、極限の果てでは生命や認知は理解しづらい
∵ 極限において生命は死に、認知は止まるか人間でなくな
る（神になる？）
それに対して
不確実な世界における人間・生物の局所的視点と行動を導
入する
かつ、神の似姿としての（不完全な神としての）人間でな
く、等身大の人間・生物をモデリングし、理解する
人間の情報学

4. 高橋の最近の研究
思考における自己言及の矛盾と創発（自己との二人称における対
話）
Takahashi & Gunji, 2008, 2012; Takahashi 2011
不確実性の下での意思決定と学習における、人間 (生物一般) の不合
理性・対称性推論の「合理性」
科研費 25730150
Takahashi, 2013; Takahashi et al., 2010, 2011; Kohno & Takahashi,
2012, in prep.; Oyo & Takahashi, in prep.
不確実性の下での論理学
学振日仏CHORUSプロジェクト, 電大総研 Q13K-03
Takahashi 2013; Takahashi et al., 2011, 2012; Sawa, Yokokawa &
Takahashi, submitted; Yokokawa & Takahashi 2012; Takahashi &
Yokokawa, submitted; Baratgin, Over, Politzer, & Takahashi, in
preparation

5. 高橋の最近の研究
思考における自己言及の矛盾と創発（自己との二人称における対
話）
Takahashi & Gunji, 2008, 2012; Takahashi 2011
不確実性の下での意思決定と学習における、人間 (生物一般) の不合
理性・対称性推論の「合理性」
科研費 25730150
Takahashi, 2013; Takahashi et al., 2010, 2011; Kohno & Takahashi,
2012, in prep.; Oyo & Takahashi, in prep.
不確実性の下での論理学
学振日仏CHORUSプロジェクト, 電大総研 Q13K-03
Takahashi 2013; Takahashi et al., 2011, 2012; Sawa, Yokokawa &
Takahashi, submitted; Yokokawa & Takahashi 2012; Takahashi &
Yokokawa, submitted; Baratgin, Over, Politzer, & Takahashi, in
preparation

6. 形式論理と人間の論理
違い：
世界も認識も不確実
行動・意思決定・介入が重要
法則、ルール、因果関係の表現に条件文が重
要
条件文が形式論理と人間の論理で、とても違
う ← ここにフォーカス

7. 条件文の重要性 (哲学)
因果関係の表現などで良く使われる
「原因ならば結果」 (予測) や「結果ならば原因」
(診断) など因果関係のほぼ唯一の表現形式
全ての言語に備わっている形式
時間の経過
静的な言語に埋め込まれた運動
状態（モノ）の概念に還元できない、本質的に過
程的（コト）な表現
能力、機能の表現は条件文的になる

8. 不確実性の下での論理学：内容
論理学と人間の直感や日常言語との関係
「∼でない」「かつ」「または」はOK
「ならば」は合わない
「ならば」に関する心理学実験の結果
欠陥条件文
真と偽だけでなく、「関係ない」「どちらでも良い」「分からない」という三つ目の真理値
人間の欠陥条件文はほんとうに欠陥があるのか？
推論心理学の旧パラダイム： 欠陥条件文
推論心理学の新パラダイム： 条件付事象
de Finetti の条件付事象
実験についてと、Cognitive Science 論文
双条件付事象
条件付事象も事象である：再帰的論理操作
因果帰納パターンの解明；統計学における意味
まとめ

9. 謝辞協力者
横川純貴（M2）
大用庫智（D2）
澤宏司（日本女子大付属校）
上浦基（RD）
David Over (Durham University, UK)
Jean Baratgin (Université Paris 8, France)
Guy Politzer (Jean Nicod Institut, France)
Angelo Gilio (Universita de Roma, Italy)
服部雅史（立命館大学）
研究助成
東京電機大学研究課題 Q13K-03
科研費 若手B 25730150
Jean David

10. 目次
古典論理学
問題：「ならば」がヘン
不確実性を認める三値論理
「ならば」の適切な取り扱い
確率論理と け
発展：双条件付確率の導入
まとめ

11. 古典論理学とその問題

12. 古典論理学
論理回路など、コンピュータの基礎
コンピュータの論理、0/1の論理

13. 論理結合子
T=真, F=偽
A かつ BA かつ BA かつ B
A AND B B=T B=F
A=T T F
A=F F F
A または BA または BA または B
A OR B B=T B=F
A=T T T
A=F T F
NOT A
A=T F
A=F T

14. 古典論理における条件文
論理学における従来の条件文の扱い
「A ならば B」を「Aでない、またはBである」とする
数学における条件文
「A ならば B」であれば、A は B の十分条件、 B は A の必要条件
実質含意 material implication (IMP) と呼ばれる
「A IMP B」 「(NOT A) OR B」
A IMP B B=T B=F
A=T T F
A=F T T

15. 古典論理における条件文
論理学の初学者が最初につまずき、いつまでも納
得いかないところ： 直感・日常言語と合わない
しかしそれをもって人間が論理的でないとか言う
のはおかしい
論理学の初学者は本当に非論理的なのか？
A IMP B B=T B=F
A=T T F
A=F T T

16. 実質含意のパラドックス
実質含意的に言えば、
前件が偽なら無条件に条件文が正しい
後件が真でも無条件に条件文が正しい
とすると、
前件が偽だから「人間が存在しなけれ
ば、かえるは哺乳類である」が真になる
後件が真だから「明日宝くじが当たれ
ば、1+1=2である」も真になる
そんなバカバカしい条件文が正しくなっ
てしまう
A IMP B B=T B=F
A=T T F
A=F T T

17. 人間の条件文の理解と使用
前件が真で後件も真ならば、条件文は正しい
前件が真で後件が偽ならば、条件文は正しくない
前件が偽ならば、条件文は正しくも正しくなくも
ない
Wason 1966, ...
If A then B B=T B=F
A=T T F
A=F I I
I: irrevelant 無関係

18. 「欠陥条件文 defective conditional」
条件文は、正しくも正しくなくもない場合が
ある
前提が成立しない（前件が偽である）場合
真理値表に穴、キズがある（TでもFでもない
値が出てくる）
If A then B B=T B=F
A=T T F
A=F I I
I: irrevelant 無関係

19. 不確実性を認める
三値論理

20. 欠陥条件文からの一般化：三値論理
「無関係」を「分からない」「どちらでも良
い」といった意味もあるとして、「不確実」
という意味で一般的に考えて、真と偽につづ
く三つ目の真理値として認めてやる
→ 三値論理
If A then B B=T B=F
A=T T F
A=F I I
I: irrevelant 無関係

21. 三値論理
T, F, U (uncertain) の三つの値を認める論理学
B
A AND BA AND B T U F
T T U F
A U U U F
F F F F
B
A OR BA OR B T U F
T T T T
A U T U U
F T U F
NOT ANOT A
T F
A U U
F T
B
IF A THEN BIF A THEN B T U F
T T U F
A U U U U
F U U U

22. 「不確実 (U)」 の解釈
F<U<T という順序を考えてやれば、以下の真理値表は自然
AND は MIN, OR は MAX, NOT は 上下逆転
F=0, T=1, U=0.5 (または 0<U<1) と考えると確率論と整合的
NOT(X) は 1–X と定義できる
B
A AND BA AND B T U F
T T U F
A U U U F
F F F F
B
A OR BA OR B T U F
T T T T
A U T U U
F T U F
NOT ANOT A
T F
A U U
F T
B
IF A THEN BIF A THEN B T U F
T T U F
A U U U U
F U U U
T
U
F
柏崎先生の
5/30の定義
と一致
これは？

23. 三値論理と確率論
イタリアの de Finetti (1937) が主観確率の理
論を構築する際に作っていた三値論理と一致
主観確率と けの密接な関係
けで考えると非常に直観的
不確実性の下での行動は全て けと呼べる
B
IF A THEN BIF A THEN B T U F
T T U F
A U U U U
F U U U
B
B|AB|A T U F
T T U F
A U U U U
F U U U

24. de Finetti による条件文の理解
条件文を条件付 け conditional bet で考える
太郎が「もしオバマが再選されれば、アメリ
カの景気は良くなる」
これを聞いた花子が、「そうじゃない」と反論
じゃあ けようか、という流れは想像しやすい
ある人の主観的確率が確率論の公理を遵守し
ているかは けの勝ち負けの言葉で明確に表
現できる (The Dutch book argument)

25. 条件付 け (de Finetti)
太郎：「オバマ再選→アメリカ景気向上」に ける
花子：「太郎は正しくない」＝に ける
前提が成立したら、あとは結論と一致
オバマが再選されて景気が向上したら、太郎の勝ち
オバマが再選されたが景気向上しなければ、太郎の負け＝花
子の勝ち
オバマが再選されたが景気向上したかどうか分からないな
ら、 けは未決着
オバマが再選されたか分からなければ、 けは未決着
オバマが再選されなければ、 けは不成立
けの前提が成立しなければ、 けは不成立

26. 条件付 けの真理値表
太郎：「(O)オバマ再選→(A)アメリカ景気向上」
花子：太郎は正しくない：O→Aの否定が正しい (O→¬A)
太郎側から見て
O=T, A=T なら (O→A)=T
O=T, A=F なら (O→A)=F
O=T, A=U なら (O→A)=U
O=U なら (O→A)=U
O=F でも (O→A)=U
B
IF A THEN BIF A THEN B T U F
T T U F
A U U U U
F U U U

27. de Finetti による条件文の確率論への導入
「AならばB」が真か偽だけでなく、不確実 (恐らく;
多分; もしかしたら) でもありうると考える → 確率
「AならばB」の正しさ： Aが起こったときBがどの
くらい起こりやすいかの度合い
「AならばB」の確率は条件付確率 P(B|A)
複文である条件文も一種の文である
事象の複合体である「B|A」も一種の事象と認める
条件付事象 conditional event
P(If A then B) = P(B|A) =
P(A B)
P(A)

28. 条件文＝条件付事象の心理学的サポート
P(If A then B)=P(B|A) という方程式は The Equation と呼ばれて
きた (e.g., Edgington (1995))。
この等式の実験的な正しさは多くの研究で示されている
e.g., Evans et al., 2007; Politzer et al., 2010, Baratgin et al., in
press
このモデリングは真理値表で考えると欠陥条件文と完全に対応
A=T, B=T の場合は確率の分子と分母両方に入る
A=T, B=F の場合は確率の分母にのみ入る
A=F の場合は確率を考えるとき無視する B|A B=T B=F
A=T T F
A=F I I

29. 三値論理的の心理学的サポート
Jean Baratgin, Guy Politzer, David Over, 高橋ら
が行っている
事象それ自体が不確実（まだ分からない、未
知、不明）であることも考える
B|A B=T B=F
A=T T F
A=F I I

30. Baratgin, 日本心理学会 2012
Results for the four binary connectives (first stage)
A⋁C T U F
T T T
U
F T F
disjunction
table
A C T U F
T T F
U
F F T
biconditional
table
C|A T U F
T T F
U
F U U
conditional
table
A⊃C T U F
T T F
U
F T T
implication
table
A⋀C T U F
T T F
U
F F F
conjunction
table
conditional
undetermined
biconditional
conditional
conjunction
implication
disjunction
disjunction
undetermined
disjunction
undetermined
conjunction
conjunction
undetermined
biconditional
conditional
conjunction
implication
implication
18
Baratgin, 日本心理学会 2012

31. 発展：
双条件付確率の導入

32. 条件文も文である
文(命題) A, B について
A AND B, A OR B, NOT A, NOT B
は可能。では、条件文も文なので
(A→B) AND (C→D), (A→B) OR (C→D),
NOT (A→B),
(A→B) → (C→D)
といった文も文として使える？

33. 条件文の複合の具体例
「晴れたら散歩に行く」の否定
「晴れたら散歩に行かない」になる
後件が条件文
「マッチをすったら、濡れてなければ火がつく」
A→(B→C)
前件も後件も条件文
「君がやればこれが出来るなら、僕もやればあれ
が出来る」
(A→B) → (C→D)

34. 条件文を文として扱う
NOT (A→B) = A→(NOT B)
これは OK
(A→B) AND (C→D), (A→B) OR (C→D),
(A→B) → (C→D)
整合的な扱いが理論的に難しい
"triviality result" (Lewis, 1976)
最近ようやく大体解決
Kauffman, 2009; Gilio & Sanfilippo 2013

35. 最も単純な複合条件文
(A→B) AND (C→D), (A→B) OR (C→D), (A→B)
→ (C→D)
の中で、(A→B) AND (B→A) が一番単純・基本
的
「AならばB」だし、「BならばA」である
AとBは同値、同じようなこと
双条件文
「AならばB」かつ「BならばA」
数学では A if and only if B (A iff B と略記)

36. 双条件文と双条件付事象
「「AならばB」かつ「BならばA」」
＝「(AまたはB)ならば(AかつB)」
AならばBを B|A と書くとき、 (B|A)かつ(A|B) を B||A と書く
これは高橋の因果帰納のモデルである pARIs と一致
pARIs: proportion of assumed-to-be rare instances
Takahashi et al., 2011, submitted
David Over がパリのワークショップで pARIs と双条件付事
象の確率の同一性を指摘 → 共同研究へ
B||A := (A ! B) ^ (B ! A) = A ^ B|A _ B
B||A B=T B=F
A=T T F
A=F F I

37. 双条件文の確率＝双条件付確率
条件文の確率は条件付確率
双条件文の確率は双条件付確率
P(A ! B ^ C ! D)
=
P(ABCD) + P(D|C)P(AB ¯C) + P(B|A)P(CD ¯A)
P(A _ C)
P(B||A) := P(A ! B ^ B ! A)
=
P(A ^ B)
P(A _ B)
=
P(ABAB) + P(B|A)P(AB ¯A) + P(A|B)P(BA ¯B)
P(A _ B)
McGee, 1989; Kauffman, 2009; Gilio & Sanfilippo, in press, 2013

38. 「双条件付確率 biconditional probability」
双条件付事象の確率 P(B||A) を双条件付確率と呼ぶことを提唱
Takahashi 2013; Yokokawa & Takahashi 2012; Takahashi & Yokokawa,
submitted; Baratgin, Over, Politzer, & Takahashi, in preparation
心理学的に半世紀 であった「defective biconditional」パターンを説明
統計学 (生態学, 情報工学) でよく用いられる Jaccard index と一致 (確率
論理的な意味を付与)
心理学的には類似性の指標と一致 Tversky index of similarity
Tversky (1977) (See also: Gregson, 1975; Sjöberg, 1972)
他にも別経路での妥当な導出が可能
probable equivalence, or the probabilistic indentity of two sets A and B,
P(A=B) by Kosko (2004)
P(B||A) =
P(A ^ B)
P(A _ B)

39. Exp. 3: 3x3 de Finetti table task w/ biconditional
de Finetti pattern
is modal in the
micro classification.
The same
percentage of A&C
and C||A for C3.1.
For C3.2., C||A was
modal.
ColorColorColor
yellow U purple
Shape
rectangle
Shape UShape
arrow
conditional Ss
C3.1 C||A if rectangle then yellow, and if yellow then rectangle. 44
C3.2 A||C if purple then arrow, and if arrow then purple. 31
Result of exp 3
C||S
S||C
0 0.25 0.50 0.75 1.00
A C A&C C|A A|C
C||A A⊃C A C other

40. other
7%
A C
12%
C|A
5%
A|C
7%
A&C
35%
C||A
35%
C3.1 C||A micro classification
"near" means only one value is different from deFinetti pattern.
other
A C near
A C deFinetti
C|A deFinetti
A|C other
A|C near
A|C deFinetti
A&C other
A&C nearA&C Porte
A&C deFinetti
C||A other
C||A near
C||A deFinetti
C||A A&C
A|C C|A
A C other
C||A deFinetti
C||A near
C||A other
A&C deFinetti
A&C Porte
A&C near
A&C other
A|C deFinetti
A|C near
A|C other
C|A deFinetti
A C deFinetti
A C near
other

41. C3.2 A||C micro classification
"near" means only one value is different from deFinetti pattern.
A C near deFinetti
A C deFinetti
C|A near deFinetti
C|A deFinetti
A|C other
A&C otherA&C near deFinetti
A&C deFinetti
C||A other
C||A near deFinetti
C||A deFinetti
C||A A&C
A|C C|A
A C other
C||A deFinetti
C||A near deFinetti
C||A other
A&C deFinetti
A&C Porte
A&C near deFinetti
A&C other
A|C deFinetti
A|C near deFinetti
A|C other
C|A deFinetti
C|A near deFinetti
A C deFinetti
A C near deFinetti
other

42. ★ The data (input) is co-occurrence of the target
effect (E) and a candidate cause (C).
★ Normative: Power PC (Cheng, 1997)
★ Descriptive: H (Dual Factor Heuristics)
(Hattori & Oaksford 2007)
Framework and models of
causal induction
E ¬E
C a b
¬C c d
∆P = P(E|C) − P(E|¬C) =
(a + b)(c + d)
PowerPC =
∆P
1 − P(E|¬C)
PowerPC =
∆P
1 − P(E|¬C)
PowerPC =
∆P
1 − P(E|¬C)
=
ad − bc
(a + b)d
PowerPC =
∆P
1 − P(E|¬C)
=
ad − bc
(a + b)d
H = P(E|C)P(C|E) =
a
(a + b)(a + c)
(a + b)(c + d)
∆P = P(E|C) − P(E|¬C) =
ad − bc
(a + b)(c + d)
PowerPC =
∆P
1 − P(E|¬C)
PowerPC =
∆P
1 − P(E|¬C)
PowerPC =
∆P
1 − P(E|¬C)
=
ad − bc
(a + b)d
∆P ad − bc
∆P = P(E|C) − P(E|¬C)
∆P = P(E|C) − P(E|¬C)
∆P = P(E|C) − P(E|¬C) =
ad − bc
(a + b)(c + d)
∆P = P(E|C) − P(E|¬C) =
ad − bc
(a + b)(c + d)

43. The pARIs rule
★ C and E are both assumed to be rare (P(C) and
P(E) low)
★ pARIs = proportion of assumed-to-be rare
instances (a, b, and c).
C E
b ca
dU
pARIs = P(C iff E) = P(C and E | C or E)P(C and E | C or E)P(C and E | C or E)
=
P(C and E)
=
a
=
P(C or E)
=
a+b+c

44. Meta-analysis
★ Fit with experiments (the same as Hattori & Oaksford, 2007)
★ pARIs fits the data set with the lowest correlation r < 0.89,
the highest average correlation in almost all the data, and the
smallest average error.
experiment model pARIs DFH PowerPC ∆P Phi P(E|C) P(C|E) pCI
AS95 0.94 0.95 0.95 0.88 0.89 0.91 0.76 0.87
BCC03: exp1 0.98 0.97 0.89 0.92 0.91 0.82 0.51 0.92
BCC03: exp3 0.99 0.99 0.98 0.93 0.93 0.95 0.88 0.93
H03 0.99 0.98 -0.09 0.01 0.70 -0.01 0.98 0.40
H06 0.97 0.96 0.74 0.71 0.71 0.89 0.58 0.70
LS00 0.93 0.95 0.86 0.83 0.84 0.58 0.34 0.83
W03.2 0.90 0.85 0.44 0.29 0.55 0.47 0.18 0.77
W03.6 0.93 0.90 0.46 0.46 0.46 0.77 0.56 0.54
average r 0.95 0.94 0.65 0.63 0.75 0.67 0.60 0.75
average error 11.97 18.48 33.39 24.30 27.18 27.78 24.75 29.93
Values other than in error row are correlation coefficient r.
best next best bad otherwise

45. Data-fit of pARIs and PowerPC
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
20
40
60
80
100
Model prediction
Humanrating
AS95
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
20
40
60
80
100
Model prediction
Humanrating
BCC03exp1generative
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
20
40
60
80
100
Model prediction
Humanrating
BCC03exp3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
20
40
60
80
100
Model prediction
Humanrating
H03
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
20
40
60
80
100
Model prediction
Humanrating
H06
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
20
40
60
80
100
Model prediction
Humanrating
LS00exp123
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
20
40
60
80
100
Model prediction
Humanrating
W03JEPexp2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
20
40
60
80
100
Model prediction
Humanrating
W03JEPexp6

46. -1.75
0
1.75
3.50
5.25
7.00
0.94 0.95 0.95 0.88 0.89 0.91 0.76 0.87
0.98 0.97 0.89 0.92 0.91 0.82
0.51
0.92
0.99 0.99 0.98 0.93 0.93 0.95
0.88
0.93
0.99 0.98
-0.09
0.01
0.70
-0.01
0.98
0.40
0.97 0.96
0.74 0.71
0.71
0.89
0.58 0.70
0.93 0.95
0.86 0.83
0.84
0.58 0.34
0.83
0.90 0.85
0.44 0.29
0.55
0.47 0.18
0.77
pARIs DFH PowerPC ΔP Phi P(E|C) P(C|E) pCI
Cor
AS95 BCC03exp1 BCC03exp3 H03 H06 LS00 W03.2
0
75
150
225
300
correlation
error

47. まとめ

48. まとめ
条件文のモデリングに関する論理学の直感との不一致は、
不確実性の導入によって解消
条件付事象と条件付確率
さらに条件文の連言として双条件文を考え
双条件付事象の確率としての双条件付確率の概念を提唱
双条件付確率は
演繹推論（真理値表タスク、確率的真理値表タスク）だけで
なく、帰納推論（因果帰納）も含む広範な心理学的なデータ
を説明可能
→ 推論の統合的理論へ
心理学や、統計学・情報工学で頻出する指標の意味も与える