微分可能問題 鍋島政孝

1. 以下の問に答えよ
(1)R上で定義された関数f(x)がR上で𝐶1
級であることの定義を述べよ。
(2)関数g(x)= x 5/3は𝑅上𝐶1級であることを示せ。
(3)(2)の関数g(x)はR上で𝐶2
級ではないことを示せ。
(4)R上の実数値関数h(x)で、𝐶30級ではあるが𝐶31級ではないものの例を具体的に構成せよ。
参考文献 https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/index15.html

2. 以下の問に答えよ
(1)R上で定義された関数f(x)がR上で𝐶1級であることの定義を述べよ。
(2)関数g(x)= x 5/3
は𝑅上𝐶1
級であることを示せ。
(3)(2)の関数g(x)はR上で𝐶2級ではないことを示せ。
(4)R上の実数値関数h(x)で、𝐶30
級ではあるが𝐶31
級ではないものの例を具体的に構成せよ。
参考文献 https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/index15.html
(1) f(x)が微分可能(つまり全ての点xに対してある値f’(x)が存在して全てのεに対してあるhが存在し
h<δならば|f’(x)-(f(x)-f(x+h))/h|<ε)であり、f’(x)が連続であることである。
(2)
g(x)＝
𝑥5/3
−𝑥 5/3 𝑔′ 𝑥 =
𝑥
5
3
−𝑥
5
3
lim
x→+0
(g x − g 0 )/x＝lim
x→+0
𝑥5/3/x= lim
x→+0
𝑥2/3=0
lim
x→−0
(g x − g 0 )/x＝ lim
x→−0
(−𝑥)5/3/x= lim
x→−0
(−1)5/3 𝑥2/3=0 よってg’(x)はR上で微分可能
(3)
x>0の時
g”(x)=10𝑥−1/3
/9
x<0の時
G”(x)=10(−𝑥)−1/3
/9
X=0の時
lim
x→+0
(g′ x − g′ 0 )/x= lim
x→+0
(5𝑥
2
3/3 − 0)/x== lim
x→+0
5𝑥−1/3
/3=＋∞
lim
x→−0
(g′ x − g′ 0 )/x= lim
x→−0
(−5(−𝑥)
2
3/3 − 0)/x== lim
x→−0
5𝑥−1/3
/3=-∞よって𝐶2
級ではない
(4) h(x)= 𝑥 92/3