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1. Ch10 Structural Equation
Models with Latent
Variable

2.  本章目標：
本章進一步考量測量模式中，因素(潛伏變
數)間彼此相依之關係

3. 前言
 結構方程式模型(Structural Equation Model, SEM)是探
討變數間的關係，並對顯性變數與潛在變數之因果模式做
假設之檢定。
 潛在變數（ Latent Variable ）
－意指在量測模式中無法直接觀察之因子
 SEM又稱為共變異數結構模型（Covariance Structure
Models）、LISREL Models
 SEM的軟體程式：
 LISREL (Joreskog and Sorbom, 1993), AMOS (Arbuckle, 1994),
EQS (Bentler, 1993), PROC CALIS in SAS, RAMONA (Browne
and Mels, 1998), and others.

4. 10.1 Potential Applications
 SEM適用之情況：
－通常用來檢定無法直接觀察之潛在變
數間的相依關係
 如果所有變數都是可觀察而且可無誤差的衡量，則
使用回歸分析就足以分析變數間的相依關係
 使用多重衡量(multiple measures)方式以獲取潛
在變數與顯性變數間之關係，而非對個別潛在變數
以單一指標做衡量

5.  Table 10.1 (Page 354, Bagozzi, Baumgartnet, and
Yi(1992) 的研究)
－行動導向的消費者（action-oriented subjects）
之共變異數矩陣, n=85
 Figure 10.1 為態度、意向及行為關係之路徑圖(path
diagram, 表示結構方程式)

6. 衡量
 態度(使用折價券在超市購物的態度)
 使用三個7點語意差異尺度
 Pleasant or unpleasant
 Good or bad
 Favorable or unfavorable
 意向(使用折價券的意向)
 1題為關於下週使用折價券的可能性的7點尺度
 Likely-or-unlikely
 1題為11點no chance-or-certain的機率尺度
 行為
 下一周真正使用折價券數量的平方根(1題)

7.  Figure 10.1 考慮因素間的
直接關係（attitude→behavior）與
間接關係（attitude→intention→behavior）
 由Figure 10.1 可得知此三變數間的關係皆顯
著（∵t值＞2）
 Bagozzi(1994)證明當不將衡量誤差納入模型時，
估計路徑係數將會較不一致且低估，若使用SEM
則可解決此問題

8. 10.2 SEM-Latent Variable：How It Works
 結構方程式包含兩種分析：
Analysis of interdependence
 連接可觀察測量X和Y 與潛伏變數的測量方程式組
（measurement equations）
Analysis of dependence
 描述不可觀察之潛伏因子間的相依關係的結構方程式組
（structural equations）

9. 例子：銷售人員之工作滿意
 工作滿意（η）為內生變數
自尊（ξ）為外生變數 (不受模型內其他變數影
響)
 工作滿意（η）、自尊（ξ）皆為潛在變數
 利用顯性變數（X1，X2）量測潛在變數（ξ）
顯性變數（Y1，Y2）量測潛在變數（η）
 分下列三種情況分別討論：
1.Latent Variables
2.Structure Equations
3.Structure Equations with Latent Variable

10. 1.Latent Variable
1 1 1
2 2 2
x
x
x
X
X
  
  
 
 
  
(10.1)
X= (10.2)
1 1 1
2 2 2
y
y
y
Y
Y
  
  
 
 
 
(10.3)
Y=H E (10.4)

11.  若η與ξ之間無關，則無法估計此模型之參
數(underidentified)
 一個衡量模型參數要能估計，需要至少3個潛
在變數的衡量尺度
 故第二情況（ SEM ）介紹將η與ξ做連結，
以使模型中之參數可被估計
1.Latent Variable

12. 2.Structure Equations
1 11 1
2 11 21 1 2
(10.5)
(10.6)
  
   
     
 
 
  

13.  結構方程式描述內生潛在變數（η）與外
生潛在變數（ξ）之間的相依關係
 ξ無法完全解釋η中的所有變異性
 ζ為每一組外生變數與內生變數間關係的路
徑之誤差項
2.Structure Equations

14. 3.Structure Equations with Latent Variable
1 1 1
2 2 2
x
x
X
X
  
  
 
  (10.1)
1 1 1
2 2 2
y
y
Y
Y
  
  
 
  (10.3)
    (10.5)

15.  結合衡量模式（情況1）與結構模式（情況2）
形成單一結構方程式模型－潛在變數
 共有9個參數要估計，有10個方程式
Measurement equations：
Structural equations：
 1
2
x
x
x



  
    
   

  
  
   
x
2
δ11
δ 2
δ22
y
2
y1 ε11
y ε 2
y2 ε22
X=ξΛ +Δ
θ 0
, Θ = , = 1
0 θ
Y=ηΛ +E
λ θ 0
Λ = , Θ =
λ 0 θ
3.Structure Equations with Latent Variable
 η=ξγ+ζ Ψ= ψ

16.  共有9個參數要估計，有10個方程式，自由度為1
 ξ的測量模型有尺度不定的問題，解決之道：
將潛在變數之變異數定為1，或
設定其中一個λ係數為1
通常採用第一種做法
 η的測量模型也有尺度不定的問題，但因為
cov(η)是模型中其他參數的函數，故採第二種
做法，設定λy1=1
3.Structure Equations with Latent Variable

17. 故t值=3.3，在顯著水準=0.01下，
顯示η和ξ間具有顯著關係
λ的標準解皆＞0.7，顯
示η和ξ被可靠的衡量
∴適合度高

18. 10.2.2 Mechanics
(10.18)
( ) ( )
= (10.19)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
YY YX
XY XX
y y
S S
S
S S
E Y Y E Y X
E X Y E X X
E Y Y E H E H E
 
  
 
  
   
         

y= var( ) (10.21)
var( ) cov( , )
= (10.22)
cov( , ) var( )
var( ) cov( , )
cov( , ) var( )
y
y y y x
x y x x
H
H H
H
H H
H




   
        
          
 
    


-1 1
-1 -1
1 1 1
1
(10.23)
var(H)=E B ( ) ( )
=B ( + )B (10.24)
( )
Z Z B
B B B
B


  

      
  
     
  
  

1 1 1
y
1
(10.25)
( )
= (10.26)y y x
x y x x
B B B
B


  

            
 
         


19. 10.3 Sample Problem
 資料：
Lattin & Roerts （1999）調查潛在顧客採用新套
裝軟體(Stateflow®)的意願 (創新擴散的研究)
 目的：
利用潛在顧客個人層次之資訊來預測何種類型的使
用者會採用新軟體，及何時採用
 VALUE：Value of innovation（ξ1）---外生變數
LEU：Leading edge usage （ξ2） ---外生變數
ADOPT：Early Adoption（η） ---內生變數
 VALUE、 LEU 分別影響ADOPT，且為正向影響

20. 變數解釋
 用來量測ADOPT的顯性變數：
Y1：假設今天新軟體Stateflow®上市，在下
個月你願意採用此軟體的可能性為
何?(0~100)
Y2：假使你知道(只)有10％的Simulink®使
用者在未來6個月會採用新軟體
Stateflow®，則你在同樣期間內會採
用此軟體的可能性為何?(0~100)

21.  用來量測VALUE的顯性變數：
X1：新軟體會增強我處理複雜模擬問題的能力
X2：新軟體在處理我的應用領域的問題是適當的
X3：新軟體增加我處理離散型邏輯系統的能力
 用來量測LEU的顯性變數：
X4：我們能很快利用新技術的機會
X5：我們願意承擔採用新軟體的風險
X6：在發現及規劃問題解時，我們領先於其他人
變數解釋（續）

22. F10.6 Path Diagram

23.  
1 1 2 2     

  
 
1 1
2 2 2
1 11 1 1
2 21 1 2
3 31 1 3
4 42 2 4
5 52 2 5
6 62 2 6
12
21
1.0
1
1
y
x
x
x
x
x
x
Y
Y
X
X
X
X
X
X
 
  
  
  
  
  
  
  


 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
Measurement equations Structural equations

24. 模型解釋
 19個參數估計值
1. λx1～λx6
2. var(δ1)～var(δ6)
3. ψ12
4. γ1、γ2
5. λy2
6. var(ε1)、var(ε2)
7. (即var(ζ))
 共變異數的觀察值共有36個【1/2(p+q)(p+q+1)】
 自由度17【36-19】


25.  Title : SEM for Modeling The Adoption Of Innovation
 Observed Variables Y1 Y2 X1 X2 X3 X4 X5 X6
 Correlation Matrix=
 1.000
 0.599 1.000
 0.478 0.571 1.000
 0.464 0.580 0.763 1.000
 0.360 0.481 0.628 0.720 1.000
 0.263 0.110 0.187 0.208 0.122 1.000
 0.248 0.156 0.124 0.139 0.051 0.437 1.000
 0.222 0.104 0.155 0.191 0.054 0.542 0.421 1.000
 Sample Size=188
 Latent Variables VALUE LEU ADOPT
 Relationships:
 Y1=ADOPT
 Y2=ADOPT
 X1=VALUE
 X2=VALUE
 X3=VALUE
 X4=LEU
 X5=LEU
 X6=LEU
 ADOPT=VALUE LEU
 SET the correlation of VALUE and LEU free
 SET the correlation of Y1 and ADOPT to 1
 SET the error variance of ADOPT free
 Path Diagram
 LISREL OUTPUT SS MR PC VA
Title:標題
指標變數
相關矩陣
樣本量
潛伏變數
指標變數與潛伏變數的關係
繪製路徑圖
輸出指令
SE: 標準誤
TV: t檢定
RS: 常態化殘差與Q圖
MI: 修飾指標
定義潛伏變數之間的關係
解決尺度不確定性
估計ADOPT的殘差變異數

26. Parameter estimates

27. Standardized solutions

28. T-values of estimated parameters

29. 因為P值大於0.2所以無
法拒絕H0
GFI、AGFI皆大於建議門檻
值，故配適度佳

31. 未出現在路徑圖上
係數估計值雖不高，但仍具顯著性。
有領先使用特質的使用者未必都覺得
可此套裝軟體對其有幫助

32. 另一種寫法
 TI SEM for Modeling The Adoption Of Innovation
 DA NI=10 NO=188 NG=1 MA=KM
 LA
 y1 y2 x1 x2 x3 x4 x5 x6
 SE
 1 2 3 4 5 6 7 8 /
 KM =
 1.000
 0.599 1.000
 0.478 0.571 1.000
 0.464 0.580 0.763 1.000
 0.360 0.481 0.628 0.720 1.000
 0.263 0.110 0.187 0.208 0.122 1.000
 0.248 0.156 0.124 0.139 0.051 0.437 1.000
 0.222 0.104 0.155 0.191 0.054 0.542 0.421 1.000/
 MO NX=6 NY=2 NK=2 NE=1 LY=FU,FR LX=FU,FR GA=FU,FR PH=SY,FR PS=DI,FR TE=DI,FR TD=DI,FR
 LE adopt
 LK value leu
 PA GA
 1 1
 PA LY
 0
 1
 PA LX
 1 0
 1 0
 1 0
 0 1
 0 1
 0 1
 PA PH
 0
 1 0
 PA PS
 1
 PA TE
 1 1
 PA TD
 1 1 1 1 1 1
 VALUE 1.0 LY(1,1) PH(1,1) PH(2,2)
 PD
 OU ALL

33. 10.4 Questions Regarding The
Application of Structural
Equations－Latent Variable
 模型診斷（Model Diagnostics）：
－Failure to Converge
－Infeasible Estimates
－Pattern of Residuals
－Modification Indices

34. 1.Failure to Converge
 在SEM－Latent Variable中，每個可觀察的共變
異數被模型化為模型參數的高度非線性組合
 在使目標函數最大化前(get stuck)，便停止尋找
係數估計值，可能會使得此模型之係數估計值及標
準差將會不正確
 有時可使用另一組起始參數解，以解決此問題
 Failure to Converge也有可能是因為模型設定不
當但所產生

35. 2.Infeasible Estimates
 Infeasible Estimates
－例如：Negative Variances
 若在搜尋過程中產生負的變異數估計值，可能因為模型
設定不當
 有時亦可使用另一組起始參數解，以解決此問題
 在此種情況下，不適合藉由固定參數值為〝正〞來解決
此問題

36. 3.Pattern of Residuals
 Pattern of
Residuals 可指
出模型的潛在問
題
 可藉由繪製正規
化殘差的機率圖
加以觀察

37. 4.Modification Indices
 Modification Indices 為模型適合度差且被拒絕時改善之依
據
 Modification Indices ：
某一未被估計之模型參數對目標函數的一階導數（first
derivative），即若估計此參數，目標函數的改善值
 Free one parameter at a time, rerun the model, and
then recalculate the modification indices.
一階導數為目標函數之斜率（反映〝目標函數所
改善之值〞對〝每單位參數值變動〞之關係）

38.  當對某一參數值作檢驗時，應固定其他參
數值
 檢驗方式：對個別參數值依序檢驗，並重
新計算 Modification Indices
 上述方法近似〝逐步迴歸法〞（Stepwise
Regression Methods）
4.Modification Indices（續）

39. 交互效果之檢定
（ Testing for Interactions ）
 某些情況下自變數對因變數的直接效果不顯著，但
與其他自變數的交互作用對因變數的影響可能顯著；
如前例中，Value對early adoption影響顯著，
leading-edge usage對adoption影響不顯著，若進一
步考慮Value與leading-edge usage的交互作用，則其
有可能對early adoption影響顯著
 當交互作用中，其變數之一為質性，則可使用多重
組群分析（multiple group analysis）來檢定交
互效果的顯著性

40. 假設 LEU為質性變數

41. Low LEU
High LEU
Value of innovation
Adoptionintention
Interaction effect between leading-edge usage and
value of innovation on adoption intention

42. Testing for Interactions Across Groups
 系統性的檢測模型所有參數跨組的無差異性：
因素負荷
衡量誤差變異數
結構方程式係數
結構關係的誤差變異數

43.  例子：用Leading edge usage將users分成兩群組
Testing for Interactions Across Groups

44. 1.設定兩群組之參數值完全不同
模型I：配適度為highly
acceptable

45. 2.設定獨立潛在變數(value)的因素負荷
和誤差變異數跨組的無差異性
模型II：配適度為highly acceptable

46. 3.設定相依潛在變數(ADOPT)的因素負荷
和誤差變異數跨組的無差異性
模型III： ADOPT的因素負荷和誤差變異
數在兩群組有顯著差異

47. 4.設定VALUE對ADOPT的結構方程式係數
跨組的無差異性
模型IV：此模型配適度雖可接受，但卻比模型II的配適度差(與模
型II有顯著差異,χ2(1)=8.1, p < 0.01 )，故拒絕此模型

48. 假設 LEU為量性變數

49.  Kenny & Judd (1984)提出在模型中增加一潛在變數
ξ3= ξ1 Xξ2 ，以表示ξ1 與ξ2的交互作用
Testing for Interactions Between
Latent Variables

50. Testing for Interactions Between
Latent Variables
 Lattin, Carroll and Green(2003)的策略：
 步驟如下：
1.建立並估計一個驗證性因素模型，此模型允許所有潛在
變數有相關(不考慮相依關係)；這個模型的model fit要
好
2.利用驗證性因素模型計算因素分數(即每一潛伏變數的值)
3.建立兩潛伏自變數的乘積，作為交互項；使用迴歸分析，
分析潛伏自變數及其交互項對潛伏因變數的回歸關係
 1
^
RXs

51. LEU
ξ2
X4 X5 X6
δ4 δ5 δ6
λ42 λ52 λ62
Value ξ1
X1 X2 X3
δ1 δ2 δ3
λ11 λ21 λ31
Adopt
ξ3
Y1 Y2
δ7 δ8
λ73 λ83
φ12 φ23
φ13

52. 交互效果顯著

53. Model Validation
 SEM- Latent Variable的目的就是驗證模
式
 然而當建模者偏離純驗證的目的時，某種
形式的驗證是必要的(用holdout sample)

54. 另一個例子

56. 程式
 TITLE "STRUCTURAL MODEL WITH UNOBSERVABLE CONSTRUCTS"
 DA NI=9 NO=200 MA=CM
 CM=
 4.000
 3.240 4.000
 3.240 3.240 4.000
 1.814 1.814 1.814 4.000
 1.814 1.814 1.814 3.240 4.000
 1.814 1.814 1.814 3.240 3.240 4.000
 2.304 2.304 2.304 1.498 1.498 1.498 4.000
 2.304 2.304 2.304 1.498 1.498 1.498 2.560 4.000
 2.304 2.304 2.304 1.498 1.498 1.498 2.560 2.560 4.000/
 MO NY=6 NX=3 NE=2 NK=1 BE=FU GA=FU PSI=FU,DI
 PA LX
 0
 1
 1
 PA LY
 0 0
 1 0
 1 0
 0 0
 0 1
 0 1
 PA BE
 0 0
 1 0
 PA GA
 1
 1
 PA TD
 1 1 1
 PA TE
 1 1 1 1 1 1
 PA PHI
 1
 PA PSI
 1 1
 ST .5 ALL
 VA 1.0 LX(1,1) LY(1,1) LY(4,2)
 PD
 OU SE TV RS EF SS SC TO

59. End of Lecture