Uploaded bytarek1961moussa
7,754 views

W1ac+cours

Embed presentation

Downloaded 66 times
‫ ﺑﺴﻢ ﺍﷲ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ ﺍﻟﺮﺣﻴﻢ‬ ‫ ﻭﺍﻟﺼﻼﺓ ﻭﺍﻟﺴﻼﻡ ﻋﻠﻰ ﺃﺷﺮﻑ ﺍﻟﻤﺨﻠﻮﻗﻴﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺳﻴﺪ ﺍﻟﻤﺮﺳﻠﻴﻦ ﻭﻋﻠﻰ ﺁﻟﻪ ﻭﺻﺤﺒﻪ ﺃﺟﻤﻌﻴﻦ‬ ‫ ﺃﻣﺎ ﺑﻌﺪ ٬ ﻳﺴﺮﻧﻲ ﺃﻥ ﺃﻗﺪﻡ ﻟﻜﻢ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺿﻊ ﻭﻫﻮ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺟﻤﻴﻊ ﺩﺭﻭﺱ‬ ‫ ﻭﻟﻰ ﺛﺎﻧﻮﻱ ﺇﻋﺪﺍﺩﻱ ﻣﺠﻤﻌﺔ ﻓﻲ ﻛﺘﺎﺏ ﻭﺍﺣﺪ ﻣﻔﻬﺮﺱ‬ ‫ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻷ‬ ‫ ﺟﻤﻌﺖ ﻣﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬ ‫ ‪www.anissmaths.ift.cx‬‬ ‫ ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟ  ﻬﺪﻱ ﻋﻨﻴﺲ‬ ‫ ﻤ‬ ‫ ﻟﺘﺼﻔﺢ ﺃﻱ ﺩﺭﺱ ﺃﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻋﻨﻮﺍﻧﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻬﺮﺱ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ‬ ‫ ﻭﻟﻠﺮﺟﻮﻉ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻔﻬﺮﺱ  ﺇﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ‪R‬‬ ‫ ﺗﺠﻤﻴﻊ ﻭﺗﺮﺗﻴﺐ ﻭﻓﻬﺮﺳﺖ‬ ‫‪ALMOHANNAD‬‬
‫ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭ ﺃﺟــﺰﺍﺅﻩ‬ ‫ ﺴﺮﻳﺔ  +  ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ‬ ‫ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜ‬ ‫ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ‬ ‫ ﻭﺍﺳــﻂ ﻗﻄﻌﺔ  +  ﺍﻟﻤﺘﻔﺎﻭﺗﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ  ﻭ  ﺗﻘﺪﻳﻢ‬ ‫ ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ ﺧــﺎﺻﺔ  +  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ ﻃﺮﺡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ  ﻭ  ﺟﻤﻊ‬ ‫ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ  ﻭ  ﺿﺮﺏ‬ ‫ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻋﺎﺕ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ  ﻭ  ﺍﻟﻤﻨﺼﻔﺎﺕ‬ ‫ ﺍﻟـﻘــــﻮﻯ‬ ‫ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺮﻛــﺰﻱ‬ ‫ ﺍﻟﺘﻌﻤﻴــﻞ  ﻭ  ﺍﻟﻨﺸــﺮ‬ ‫ ﻣﺘــﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿــﻼﻉ‬ ‫ ﺍﻟﻤـﻌــﺎﺩﻻﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺴــﺎﺋﻞ‬ ‫ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴــﺎﺕ ﺍﻟﺨــﺎﺻﺔ‬ ‫ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻭ ﻗــﺎﻃﻊ‬ ‫ ﺍﻟـﺘـﻨــــﺎﺳﺒﻴــﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﻌﻠــﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘــﻮﻯ  +  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴــﻢ ﺍﻟﻤــﺪﺭﺝ‬ ‫ ﺍﻟـــــﺪﺍﺋــﺮﺓ‬ ‫ ﺍﻷﺳﻄــﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟﻘــﺎﺋﻤﺔ  ﻭ  ﺍﻟﻤﻮﺷــﻮﺭ ﺍﻟﻘــﺎﺋﻢ‬ ‫ ﺍﻟﺤﺠــﻮﻡ  ﻭ  ﺍﻟﻤﺴــﺎﺣﺎﺕ  ﻭ  ﺍﻟﻤﺤﻴـﻄــﺎﺕ‬ ‫ﺍﻹﺣﺼــــﺎء‬
‫ ﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍ‬ ‫ 1( – ﺣﺴﺎﺏ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺑﺪﻭﻥ ﺃﻗﻮﺍﺱ :‬ ‫ ( ­ ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺗﻌﺒﻴﺮ ﺟﺒﺮﻱ ﻣﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻣﻦ ﻋﻤﻠﻴﺘﻲ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻭ ﺍﻟﻄﺮﺡ‬ ‫ ﻓﻘﻂ ﺃﻭ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻭ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻓﻘﻂ ﻭ ﺑﺪﻭﻥ ﺃﻗﻮﺍﺱ , ﻧﻨﺠﺰ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻣﻦ‬ ‫ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻦ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 5,1 – 9 – 7,3 + 5,0 + 5,3 – 11 + 5,2 = ‪A‬‬ ‫ 5,1 – 9 – 7,3 + 5,0 + 5,3 – 5,31 =‬ ‫ 5,1 – 9 – 7,3 + 5,0 + 5,3 – 01 =‬ ‫ 5,1 – 9 – 7,3 + 5,0 + 5,7 =‬ ‫ 5,1 – 9 – 7,3 + 8 =‬ ‫ 5,1 – 9 – 7,11 =‬ ‫ 5,1 – 7,2 =‬ ‫ 2,1 =‬ ‫ ( ­ ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺗﻌﺒﻴﺮ ﺟﺒﺮﻱ ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ‬ ‫ ﻭﺑﺪﻭﻥ ﺃﻗﻮﺍﺱ ‘ ﻧﻨﺠﺰ ﻋﻤﻠﻴﺘﻲ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻭ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻗﺒﻞ‬ ‫ ﻋﻤﻠﻴﺘﻲ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻭ ﺍﻟﻄﺮﺡ ﺛﻢ ﻧﻄﺒﻖ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ 1 .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 5,1 – 4 : 6,8 + 11 – 2 ‪B = 22 – 2,5 + 7 x‬‬ ‫ 5,1 – 51,2 + 11 – 41 + 5,2 – 22 =‬ ‫ 5,1 – 51,2 + 11 – 41 + 5,02 =‬ ‫ 5,1 – 51,2 + 11 – 5,43 =‬ ‫ 5,1 – 51,2 + 11 – 5,32 =‬ ‫ 5,1 – 51,2 + 5,21 =‬ ‫ 5,1 – 56,41 =‬ ‫ 51,31 =‬
‫ 2( – ﺣﺴﺎﺏ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺑﺄﻗــﻮﺍﺱ :‬ ‫ ( ­ ﻗﺎﻋﺪﺓ 3 :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ ﻌﺒﻴﺮ ﺟﺒﺮﻱ ﻣﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺑﺄﻗﻮﺍﺱ‬‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺗ‬ ‫ ﻧﺤﺴﺐ ﺃﻭﻻ ﻣﺎ ﺑﻴﻦ ﻗﻮﺳﻴﻦ ﺛﻢ ﻧﻨﺠﺰ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻷﺧﺮﻯ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 2,3 – ) 4 – 8,5 ( ‪C = 3,5 + [ 14 – ( 1,5 + 3 ) ] x 2 – 0,5  x‬‬ ‫ 2,3 – 8,1  ‪= 3,5 + [ 14 – 4,5 ] x 2 – 0,5  x‬‬ ‫ 2,3 – 8,1 ‪= 3,5 + 9,5 x 2 – 0,5 x‬‬ ‫ 2,3 – 9,0  – 91 + 5,3  =‬ ‫ 2,3 – 9,0 – 5,22 =‬ ‫ 2,3 – 4,12 =‬ ‫ 2,81 =‬ ‫ 3( – ﺗﻮﺯﻳﻌﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻭ ﺍﻟﻄﺮﺡ :‬ ‫ (  ­ ﻗﺎﻋﺪﺓ 4 :‬ ‫ ﺩ‬ ‫ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪  k‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ .‬ ‫ ‪k x ( a + b ) = a x k + b x k    ;     k x ( a – b ) =  a x k – b x k‬‬ ‫‪( a + b ) x k = a x k + b x k    ;    ( a – b ) x k = a x k – b x k‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ) 5,5 – 11 ( ‪D = 2,5 x ( 4 + 7,2 )                  E = 3 x‬‬ ‫ 5,5 ‪= 2,5 x 4 + 2,5 x 7,2                 = 3 x 11 – 3 x‬‬ ‫ ,61 – 33 =                                 81 + 01 =‬ ‫ 71 =                                         82 =‬ ‫ 5,1 ‪F = ( 6,5 + 1 ) x 5                     G = ( 13 – 9,2 ) x‬‬ ‫ 2,9 ‪= 5 x 6,5 + 5 x 1                        = 1,5 x 13 – 1,5 x‬‬ ‫ 8,31 – 5,91  =                                 5 + 5,23 =‬ ‫ 5,73 =‬ ‫ 7,5  =‬
‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴــﻢ ﻭ ﺃﺟــﺰﺍﺅﻩ‬ ‫ ‪ – I‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ­  ﺍﻟﻨﻘــﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ .‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻭﺩ‬ ‫ , ﻭ ﻫﻮ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ *  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻤﺜﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻭ ﻗﺪ ﺭﻣﺰﻧﺎ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ : )‪. (D‬‬ ‫ )‪(D‬‬ ‫ 2( – ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ :‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺣﻴـــﺪ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﺮﻣﺰﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ :  )‪. (AB‬‬ ‫ * ﻣﻼﺣــﻈـﺔ ﻫﺎﻣــﺔ :‬ ‫ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺗﻤﺮ ﻋــﺪﺓ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‬
‫ 3( – ﺍﻟﻨﻘﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﻧﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻂ  ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﻭ ‪  D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ .‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻂ ‪ E‬ﻭ ‪ F‬ﻭ ‪ G‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ .‬ ‫ ‪ _ II‬ﺍﻷﻭﺿﺎﻉ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ :‬ ‫ 1( – ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺎ ﻳﺸﺘﺮﻛﺎﻥ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ )‪ (D‬ﻭ )‪ (L‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ .‬ ‫ 2(  ﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﻄﺒﻘﺎﻥ :‬ ‫ ﺍﻟﻤ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﻨﻄﺒﻘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺎ ﻳﺸﺘﺮﻛﺎﻥ ﻓﻲ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ )‪ (L‬ﻭ )‪ (K‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﻨﻄﺒﻘﺎﻥ .‬
‫ 3( – ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻗﻄﻌﺎ :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺎ ﻻ ﻳﺸﺘﺮﻛﺎﻥ ﻓﻲ ﺃﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ )‪ (D‬ﻭ )‪ (L‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻗﻄﻌﺎ ﻭ ﻧﻜـــﺘﺐ :  )‪(D) // (L‬‬ ‫ ﻭ ﻧﻘﺮﺃ  : )‪  (D‬ﻳﻮﺍﺯﻱ  )‪  (L‬ﻭ  )‪  (L‬ﻳﻮﺍﺯﻱ  .‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪ _ III‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺎ ﻳﺤﺪﺩﺍﻥ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪  (D‬ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )‪  ( R‬ﻭ ﻧﻜــﺘﺐ : )‪( R )  ^  (D‬‬ ‫ ﻭ ﻧﻘﺮﺃ  : )‪  (D‬ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ) ‪  ( R‬ﺃﻭ  ) ‪  ( R‬ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ  )‪(D‬‬ ‫ 2( – ﺧـﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺣﻴــﺪ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻨﻘﻴﻢ ﻣﻌﻠﻮﻡ‬ ‫ ‪  _ IV‬ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ :‬ ‫ 1( – ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﺟﺰء ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺍﻟﻤﻠﻮﻥ ﺑﺎﻷﺣﻤﺮ ﻳﺴﻤﻰ : ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺃﺻﻠﻪ ‪ A‬ﻭ ﻳﻤﺮ ﻣﻦ ‪. B‬‬ ‫ ﻭ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ  :  )‪. [AB‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ :  (D‬ﺣــﺎﻣﻞ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. [AB‬‬
‫ 2( – ﻧﺼﻔﺎ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻼﻥ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻧﺼﻔﺎ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺎ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻭ ﻛﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ‬ ‫ ﺍﻷﺻﻞ ﻭ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺤــﺎﻣﻞ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﻧﺼﻔﻲ ﺍﻟﻤﺘﻘﻴﻢ  )‪  [AB‬ﻭ )‪  [AC‬ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺮﺃﺱ ‪  A‬ﻭ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺤﺎﻣﻞ )‪. (D‬‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ  )‪  [AB‬ﻭ  )‪  [AC‬ﻧﺼﻔﺎ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ .‬ ‫ 3( – ﺍﻟﻤﺴﻘﻂ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﻘﻂ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ )‪  (D‬ﻫﻲ ‪  H‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ  )‪(D‬‬ ‫ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ  ‪. H‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ EH‬ﺗﺴﻤﻰ  : ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪  E‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )‪(D‬‬ ‫ ‪ _ V‬ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ :‬ ‫ 1( – ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺸﻜﻞ  : ﻗـﻄــﻌـﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴـﻤﻴــﺔ .  ﻭ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ  :  ]‪. [AB‬‬ ‫ ‪  A‬ﻭ  ‪  B‬ﻳﺴﻤﻴﺎﻥ  : ﻃﺮﻓﻲ  ﻄﻌﺔ  ]‪. [AB‬‬ ‫ ﺍﻟﻘ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )‪  (AB‬ﻳﺴﻤﻰ  ﺣﺎﻣﻞ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ  ]‪[AB‬‬ ‫ 2( – ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﻫﻮ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﻭ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ ﻋﻦ ﻃﺮﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﻄﻌــﺔ .‬
‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌــﺔ  ]‪. [AB‬‬ ‫ ﻭ  ‪MA  =  MB‬‬ ‫ * ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :  ‪ M‬ﻣﻨﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [AB‬ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  : ]‪M  Π [AB‬‬ ‫ 3( – ﺍﻟﻘﻄﻌﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ﻗﻄﻌﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻄـــﻮﻝ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ  ]‪  [AB‬ﻭ ]‪  [CD‬ﻗﻄﻌﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ  ,  ﻭ ﻧﻜــﺘﺐ  : ‪AB = CD‬‬
‫ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ  ﻭ  ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ‬ ‫ 1( – ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ  ﻟﻌﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ :‬ ‫ *  ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ .‬ ‫ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻛﺘﺎﺑﺎﺕ ﻛﺴﺮﻳﺔ ﺍﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ ﻭ ﺫﻟﻚ ﺑﻀﺮﺏ ﺃﻭ‬ ‫ ﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻱ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻐﻴﺮ ﺍﻟﻤﻨﻌﺪﻡ .‬ ‫ ﻗﺴﻤﺔ ﺣﺪﻱ ﻫﺬﺍ ﺍﻟ‬ ‫ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ m‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﺑﺤﻴﺚ : ‪  m  a‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ .‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ :‬ ‫ ‪a ´ m  a‬‬ ‫ ‪a : m  a‬‬ ‫ ;;‬ ‫=‬ ‫ =‬ ‫ ‪b ´ m  b‬‬ ‫ ‪b : m  b‬‬ ‫ 6  2 : 21 21‬ ‫ 51  3 ´ 5 5‬ ‫ =  ;;‬ ‫=‬ ‫ =‬ ‫=‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 7  2 : 41  41‬ ‫ 72  3 ´ 9  9‬ ‫ 2( – ﺟﻌﻞ ﻣﻘﺎﻡ ﻋﺸﺮﻱ ﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ﻛﺴﺮﻳﺔ ﻋﺪﺩﺍ ﺻﺤﻴﺤﺎ :‬ ‫ *  ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ﻟﺠﻌﻞ ﻣﻘﺎﻡ ﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ ﻋﺪﺩﺍ ﺻﺤﻴﺤﺎ , ﻧﻀﺮﺏ ﺣﺪﻱ ﻫﺬﺍ‬ ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻱ ﻓﻲ :  ﺃﻭ 001  0001 ﺃﻭ .......‬ ‫ ﺃﻭ‬ ‫ 01‬ ‫31‬ ‫ 00031  0001 ´ 31‬ ‫7‬ ‫ 007  001´ 7‬ ‫ 011  01  11 11‬ ‫´‬ ‫ =‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫ =‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫ =‬ ‫=‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 2101  0001 ´ 210 1  210 1‬ ‫ ,‬ ‫ ,‬ ‫ 2  001´ 20 0  20 0‬ ‫ ,‬ ‫ ,‬ ‫ 53  01´ 5 3  5 3‬ ‫ ,‬ ‫ ,‬ ‫ 3( – ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ :‬ ‫ *  ﻗﺎﻋﺪﺓ 3 :‬ ‫ , ﻓﺈﻥ ﺃﻛﺒﺮﻫﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﻟﻪ ﺃﻛﺒﺮ ﺑﺴﻂ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ  ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‬
‫ 71 15‬ ‫ 17 31‬ ‫7‬ ‫ 3‬ ‫ >  15‬ ‫ ﻷﻥ‬ ‫ >‬ ‫ ;;‬ ‫ ﻷﻥ  17  <  31‬ ‫ <‬ ‫ ;;‬ ‫ ﻷﻥ  3  >  7‬ ‫ >‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 2  2‬ ‫ 9  9‬ ‫ 11  11‬ ‫ 71‬ ‫ 4( –  ﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺒﺴﻂ :‬ ‫ ﻣﻘﺎ‬ ‫ *  ﻗﺎﻋﺪﺓ 4 :‬ ‫ , ﻓﺈﻥ ﺃﻛﺒﺮﻫﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﻟﻪ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻘﺎﻡ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ  ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺒﺴﻂ‬ ‫ 71 71‬ ‫ 7 7‬ ‫ 3 3‬ ‫ ﻷﻥ  22  <  9‬ ‫ >‬ ‫ ﻷﻥ  31  >  14  ;;‬ ‫ >‬ ‫ ﻷﻥ  13  <  11  ;;‬ ‫ >‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 22  9‬ ‫ 31  14‬ ‫ 13  11‬ ‫ 5( –  ﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻣﻘﺎﻡ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟﻤﻘﺎﻡ ﺍﻵﺧﺮ :‬ ‫ ﻣﻘﺎ‬ ‫ *  ﻗﺎﻋﺪﺓ 4 :‬ ‫ ﻟﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻣﻘﺎﻡ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟﻤﻘﺎﻡ ﺍﻵﺧﺮ , ﻧﻮﺣﺪ‬ ‫ ﻣﻘﺎﻣﻴﻬﻤﺎ ﺛﻢ ﻧﻄﺒﻖ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ  3‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 7‬ ‫ 5‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻟﻨﻘﺎﺭﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ  :‬ ‫ 4‬ ‫ 61‬ ‫ 82  4 ´ 7 7‬ ‫ 5‬ ‫ 5‬ ‫ =‬ ‫=‬ ‫ ﻭ‬ ‫ =‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬ ‫ 61  4 ´ 4  4‬ ‫ 61  61‬ ‫ 82 5‬ ‫ ﻷﻥ  82  <  5‬ ‫ <‬ ‫ ﻭﺑﻤﺎ ﺃﻥ‬ ‫ 61  61‬ ‫ 7 5‬ ‫ <‬ ‫ ﻓﺈﻥ‬ ‫ 4  61‬ ‫ 6( –  ﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ ﻭ 1 :‬ ‫ ﻣﻘﺎ‬ ‫ 5 :‬ ‫ *  ﻗﺎﻋﺪﺓ‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ 1 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺑﺴﻄﻪ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﻣﻘﺎﻣﻪ , ﻭ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ 1 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺑﺴﻄﻪ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﻣﻘﺎﻣﻪ .‬ ‫5‬ ‫17‬ ‫ ﻷﻥ  3  <  5‬ ‫ 1 <‬ ‫ ;;‬ ‫ 25  >  17‬ ‫ ﻷﻥ‬ ‫ 1 >‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 73‬ ‫ 25‬
‫ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﺴــﺮﻳﺔ‬ ‫ 1( –  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ  :‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ﻘﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ .‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻧﻀﺮﺏ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻭ ﺍﻟﻤ‬ ‫ ‪a c  a ´ c‬‬ ‫ ‪c‬‬ ‫ ‪a‬‬ ‫=  ´‬ ‫ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻛﺴﺮﻳﺎﻥ :‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ‪b  d  b ´ d‬‬ ‫ ‪d‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ 54  3 ´ 51  3  51  3‬ ‫31‬ ‫ 711  9 ´ 31‬ ‫ 77  7 ´ 11  7 11‬ ‫= ´ =  ´ 5,1‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫= 9 ´‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫=  ´‬ ‫=‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 07  7 ´ 01  7  01  7‬ ‫ 22‬ ‫ 22  1 ´ 22‬ ‫ 01  2 ´ 5  2  5‬ ‫ ﺎﻡ  :‬ ‫ 2( –  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭ ﻓﺮﻕ  ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻘ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ﻭ ﻓﺮﻕ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ :  ﻧﺤﺘﻔﻆ ﺑﻨﻔﺲ‬‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃ‬ ‫ .‬ ‫ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﺛﻢ ﻧﺤﺴﺐ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﻭ ﻓﺮﻕ ﺍﻟﺒﺴﻄﻴﻦ‬ ‫ ‪a c  a - c‬‬ ‫ ‪a c  a + c‬‬ ‫ ‪c  a‬‬ ‫=  -‬ ‫=  +  ﻭ  ‪(  > c‬‬ ‫ )  ‪a‬‬ ‫ ﻭ  ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻛﺴﺮﻳﺎﻥ  :‬ ‫ ‪b  b‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ ‪b  b‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ 8  91 - 72  91 72‬ ‫ 81  7 + 11  7 11‬ ‫=  -‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫=  +‬ ‫=‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 9  9‬ ‫ 9‬ ‫ 9‬ ‫ 5  5‬ ‫ 5‬ ‫ 5‬ ‫ 3( – ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭ ﻓﺮﻕ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻣﻘﺎﻡ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻣﻘﺎﻡ ﺍﻵﺧﺮ :‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 3 :‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﻭ ﻓﺮﻕ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻣﻘﺎﻡ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟﻤﻘﺎﻡ‬ ‫ ﺍﻵﺧﺮ , ﻧﻮﺣﺪ ﻣﻘﺎﻣﻴﻬﻤﺎ ﺛﻢ ﻧﻄﺒﻖ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ 2 .‬ ‫ 23  7 - 93  7  93  7 31‬ ‫ 62  11 + 51  11  51  11 5‬ ‫-‬ ‫=‬ ‫-‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫=  +‬ ‫+‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 3‬ ‫ 9‬ ‫ 9‬ ‫ 9‬ ‫ 9‬ ‫ 9‬ ‫ 12  12  12  7‬ ‫ 12‬ ‫ 12‬
‫ ﺣﺎﻻﺕ ﺧـــﺎﺻﺔ :‬ ‫8‬ ‫ 83  2 - 04  2  04  1‬ ‫ 93  12 + 81  12  81  7 9‬ ‫=  -‬ ‫-‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫=  +‬ ‫+‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ 02  02  01  4‬ ‫ 02‬ ‫ 02‬ ‫ 42  42  8  21‬ ‫ 42‬ ‫ 42‬ ‫ 93  33  27  3 21‬ ‫ 59  53 + 06  53  06  5 51‬ ‫=  -‬ ‫-‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫=  +‬ ‫+‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ 66  66  66  6  11‬ ‫ 82  82  4  7‬ ‫ 82‬ ‫ 82‬ ‫ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﻬﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ 7  1‬ ‫ 1  31  7  5‬ ‫+ +  ,1 = ‪B‬‬ ‫ 5‬ ‫ ;;‬ ‫+ 11 = ‪A‬‬ ‫+ + +‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﻴﻦ  ‪  A‬ﻭ ‪ B‬ﺑﺄﺑﺴﻂ ﻃﺮﻳﻘﺔ  :‬ ‫ 02  5‬ ‫ 9  6  3  6‬ ‫ 7  1‬ ‫ 1 7  31 5‬ ‫+ +  ,1 = ‪B‬‬ ‫ 5‬ ‫) +  ( + ) +  ( + 11 = ‪A‬‬ ‫ 02  5‬ ‫ 6  6‬ ‫ 9  3‬ ‫ 7  1  51‬ ‫ 1  12  31 + 5‬ ‫= ‪B‬‬ ‫+ +‬ ‫+ 11 = ‪A‬‬ ‫ ) +  ( +‬ ‫ 6‬ ‫ 9  9‬ ‫ 02  5  02‬ ‫ 22  81‬ ‫ 1  7  51‬ ‫+ + 11 = ‪A‬‬ ‫+ ) +  ( = ‪B‬‬ ‫ 9  6‬ ‫ 5  02  02‬ ‫ 22‬ ‫ 1  22‬ ‫+ 3 + 11 = ‪A‬‬ ‫= ‪B‬‬ ‫+‬ ‫ 9‬ ‫ 5  02‬ ‫ 22‬ ‫+ 41 = ‪A‬‬ ‫ 1  11‬ ‫ 9‬ ‫+ = ‪B‬‬ ‫ 5  01‬ ‫ 22  621‬ ‫= ‪A‬‬ ‫+‬ ‫ 2  11‬ ‫ 9‬ ‫ 9‬ ‫+ = ‪B‬‬ ‫ 841‬ ‫ 01  01‬ ‫= ‪A‬‬ ‫ 31‬ ‫ 9‬ ‫= ‪B‬‬ ‫ 01‬
‫ ﺍﻟﻤﺘﻔﺎﻭﺗﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ  ﻭ  ﻭﺍﺳــﻂ ﻗﻄﻌﺔ‬ ‫ 1( – ﺍﻟﻤﺘﻔﺎﻭﺗﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ :‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ 1 :‬ ‫ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﺛﻼﺙ ﻧﻘﻂ ﻣﺨﺘﻠﻔــﺔ‬ ‫ ­ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ C‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ  ]‪  [AB‬ﻓﺈﻥ  :  ‪AB = AC  +  BC‬‬ ‫ ­ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ C‬ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ  ]‪  [AB‬ﻓﺈﻥ  :  ‪AB < AC + BC‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪AB = AC + BC‬‬ ‫ ‪  AB < AC + BC‬ﻭ ﻛﺬﻟﻚ  :  ‪  AC < AB + BC‬ﻭ ‪BC < AB + AC‬‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :‬ ‫ ﻲ ﻣﺜﻠﺚ ﻃﻮﻝ ﺃﻱ ﺿﻠﻊ ﻣﻦ ﺃﺿﻼﻋﻪ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻃﻮﻟﻲ‬ ‫ ﻓ‬ ‫ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﺍﻵﺧــــﺮﻳﻦ .‬ ‫ ﺗﻄﺒﻴﻖ :‬ ‫ ﻫﻞ ﻳﻤﻜﻦ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﺑﺤﻴﺚ  :  ‪  AB = 7cm‬ﻭ  ‪  AC = 17cm‬ﻭ  ‪  BC = 5 cm‬؟‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :  21 =  7  +  5  ﻭ   ﺃﻥ  21  >  71  ﺃﻱ  ﺃﻥ  ‪AC  >  AB  +  BC‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ  ‪. ABC‬‬ ‫ 2( – ﻭﺍﺳـــﻂ ﻗـﻄــﻌــﺔ :‬ ‫ * ﺗﻌــﺮﻳﻒ :‬ ‫ﻭﺍﺳﻂ ﻗﻄﻌﺔ ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌــﺔ ﻭ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﻬﺎ‬
‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻟﻨﺮﺳﻢ ﻗﻄﻌﺔ ]‪ [AB‬ﻗﻄﻌﺔ  ﻭ  )‪  (D‬ﻭﺍﺳﻄﻬﺎ‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ 2 :‬ ‫ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﺍﻟﻰ ﻭﺍﺳﻂ ﻗﻄﻌﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ‬ ‫ * ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧــﺮ :‬ ‫ ]‪ [AB‬ﻗﻄﻌﺔ ﻭ )∆( ﻭﺍﺳﻄﻬﺎ   ﻭ  ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺍﻣﺴﺘﻮﻯ  .‬ ‫ )‪  M Î (D‬ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  ‪MA = MB‬‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ 3 :‬ ‫ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﻓﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻭﺍﺳﻂ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫ * ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧــﺮ :‬ ‫ ]‪ [AB‬ﻗﻄﻌﺔ ﻭ )∆( ﻭﺍﺳﻄﻬﺎ   ﻭ  ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺍﻣﺴﺘﻮﻯ  .‬ ‫ ‪  MA = MB‬ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  )‪M Î (D‬‬
‫ 3( – ﻭﺍﺳﻄﺎﺕ ﻣﺜﻠﺚ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 2 :‬ ‫ ﻭﺍﺳﻂ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﻮ ﻭﺍﺳﻂ ﻛﻞ ﺿـــﻠﻊ ﻣﻦ ﺃﺿــــﻼﻋــﻪ‬ ‫ ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻭ  ‪  (D‬ﻭﺍﺳﻂ ﺍﻟﻀﻠﻊ  ]‪. [BC‬‬ ‫)‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ‪  (D‬ﻭﺍﺳﻂ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ABC‬‬ ‫)‬ ‫ ﺧﺎﺻﻴﺔ 4 :‬ ‫ *‬ ‫ ﻭﺍﺳﻄﺎﺕ ﻣﺜﻠﺚ ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ ﻣﺜﺎﻝ :‬
‫ ﺗﻘﺪﻳﻢ ﻭ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ ‪ _I‬ﺗ ﻘ  ﺪﻳﻢ .‬ ‫ ـ  ـــ‬ ‫ 1( – ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 1 :‬ ‫ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻣﺜﻞ : 0  ;  1  ; 2  ,  41  ;  41,3  ;  11  ;  5,2  ﺗﺴﻤﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩﺍ ﻋﺸﺮﺑﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ  .‬ ‫ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻣﺜﻞ : 0 ; 2­ ; 1­ ; 44,0­ ; 21 ­ ; 5,2 ­ ﺗﺴﻤﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩﺍ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ .‬ ‫ ­  ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻣﻮﺟﺐ ﻭ ﺳﺎﻟﺐ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺣﺪ .‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ ﺒﻴﺔ :‬ ‫ 2( – ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 2 :‬ ‫ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺭﻫﺎﻣﺔ  :  ­ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻣﺜﻞ  :  0 ; 1 ; 8  , 2 ­ ; 41 ; 1­ ; 5 ; 15­ ; 11 .... ﺗﺴﻤﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩﺍ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ .‬ ‫ ­ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ .‬ ‫ ­ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻣﺜﻞ  :  21,41  ﺃﻭ 5,2 ­  ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﻭ ﻟﻴﺲ ﺑﻌﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ .‬ ‫ 3( – ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺪﺭﺝ :‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻭ ‪  O‬ﻭ  ‪  I‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﻣﻦ )‪ . (D‬ﻟﻨﺪﺭﺝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺍﻟﻘﻄﻌ ﺔ  ]‪[OI‬‬ ‫ ) ﺃﻇﺮ ﺍﻟﺸﻜــﻞ ﺃﺳﻔﻠﻪ ( .‬ ‫ )‪(D‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪O  I‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ,     ,     ,          ,‬ ‫ ,          ,     ,     ,          ,          ,          ,          ,          ,          ,          ,‬ ‫ 0‬ ‫ 1‬ ‫ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ‬ ‫ ­  ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﻌﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﻳﺴﻤﻰ ﺃﻓﺼﻮﻝ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ .‬ ‫ ­  ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﺗﺴﻤﻰ ﺃﺻﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺪﺭﺝ )‪. (D‬‬ ‫ ­  ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [OI‬ﻳﺴﻤﻰ ﻭﺣــﺪﺓ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺞ .‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ  4 ­‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ 3‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ  0‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ F‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ  5,3 ­‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ B‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ 5,3‬ ‫ ‪ I‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ 1‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ 4( –  ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 3 :‬ ‫ ﺪﺭﺟﺎ ﺃﺻﻠﻪ ‪ O‬ﻭ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ )‪ (D‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪. a‬‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪  (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻣ‬ ‫ ﻣﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ a‬ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻫﻮ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪. [OM‬‬
‫ 5( – ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 4 :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻭ ﺇﺷﺎﺭﺗﺎﻫﻤﺎ‬ ‫ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ .‬ ‫ 11  ﻭ  11 ­  ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼﻥ  ;;  2,1  ﻭ  2,1 ­  ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼﻥ‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 3  ﻭ  3 ­ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼﻥ‬ ‫ 23,0  ﻭ  23,0 ­  ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼﻥ  ;;‬ ‫ ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0  ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0‬ ‫ ‪  _ II‬ﻟﻤﻘ  ﺎﺭﻧــﺔ :‬ ‫ ﺍ  ـــــ‬ ‫ 1( – ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻣﻮﺟﺐ   ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﺳﺎﻟﺐ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻡ‬ ‫ ;;      7,41 ­ > 22‬ ‫ 0  < 21,33 ­  ;;      0   >  44,52   ;;   5,1  <  54,0 ­‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 2( – ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﺳﺎﻟﺒﻴﻦ :‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﺳﺎﻟﺒﺎﻳﻦ ﻓﺈﻥ ﺃﻛﺒﺮﻫﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻷﻗﺮﺏ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺮ‬ ‫ ;;     1 ­  <  5,2 ­‬ ‫ 3522 ­  >  0      ;;     63 ­  >  1,0 ­‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﻫﻮ ﺃﻛﺒﺮ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻭ ﺃﺻﻐﺮ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ  :‬ ‫ﻭ  £  .‬ ‫ 3( – ﺍﻟﺮﻣﺰﺍﻥ :  ³‬ ‫ ﻭ 33  ³  33‬ ‫ﺍﻟﺮﻣﺰ  ³  ﻳﻘﺮﺃ  :  ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﺃﻭ ﻳﺴﺎﻭﻱ  ﻭ ﻳﺴﺘﻌﻤﻞ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺘﻴﻦ ﻣﺜﻞ  :  32 ³ 3,11‬ ‫ ﺴﺎﻭﻱ ﻭ ﻳﺴﺘﻌﻤﻞ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺘﻴﻦ ﻣﺜﻞ  : 5,1  5,73 ­ £  ﻭ 6,7 –  6,7 ­ £‬ ‫ﺍﻟﺮﻣﺰ  £ ﻳﻘﺮﺃ  : ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﺃﻭ ﻳ‬ ‫ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ  :‬ ‫ ﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻋﺪﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ  ﻧﺮﺗﺐ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ  ﺛﻢ  ﻧﺮﺗﺐ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ  ﺛﻢ   ﻧﺮﺗﺐ ﺍﻟﻜﻞ‬ ‫ ﻣﺜﺎﻝ  :‬ ‫ ﻟﻨﺮﺗﺐ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ :  6,41 ­  ;;  11  ;;  55,8 ­  ;;  9,5  ;;  6 ­  ;;  5,1 ­  ;;   52   ;;   0‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :  0  <  5,1 ­  <  6 ­  <  55,8 ­  <  6,41 ­  ﻭ  52  <  11  <  9,5  <  0‬ ‫ 52  <  11  <  9,5  <  0  <  5,1 ­  <  6 ­  <  55,8 ­  <  6,41 ­‬ ‫ ﺇﺫﻥ‬
‫ ﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ  /  ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫ ﻣﺠ‬ ‫ ‪  _I‬ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ .‬ ‫ 1( – ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ  :  ﺗﻌﺎﺭﻳﻒ ﻭ ﻣﻔﺮﺩﺍﺕ :‬ ‫ ‪  T‬ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺟﺎﻧﺒﻪ ﻳﺴﻤﻰ :  ﺯﺍﻭﻳﺔ .‬ ‫ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ  :  ‪A  ˆ B‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ  ‪ O‬ﺗﺴﻤﻰ ﺭﺃﺱ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ .‬ ‫ ﻧﺼﻔﺎ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )‪  [OA‬ﻭ  )‪ [OB‬ﻳﺴﻤﻴﺎﻥ  : ﺿﻠﻌﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ .‬ ‫ ‪ T‬ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺧﺎﺻﺔ  :‬ ‫ ±  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻨﻌﺪﻣﺔ :‬ ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻨﻌﺪﻣﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ °0 .‬ ‫ ±  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ :‬ ‫ ﺎ ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ °0  ﻭ  °09 .‬ ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬ‬ ‫ ±  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ :‬ ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ  °09 .‬
‫ ±  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ :‬ ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ °09  ﻭ  °081  .‬ ‫ ±  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ :‬ ‫ ﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ °081‬ ‫ ﺍﻟﺰ‬ ‫ ±  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻠﻴــﺌﺔ :‬ ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻠﻴﺌﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳــﻬﺎ °063 .‬ ‫ ‪ T‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ .‬ ‫ ‪ T‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺤﺎﺫﻳﺘﺎﻥ :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺤﺎﺫﻳﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  :‬ ‫ ­  ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺮﺃﺱ .‬ ‫ ­  ﻟﻬﻤﺎ ﺿﻠﻊ ﻣﺸﺘﺮﻙ .‬ ‫ ­  ﻭ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻙ .‬ ‫ ­‬ ‫ ‪ T‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻣﺘﺎﻥ :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ °09‬ ‫ ‪ T‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎﻥ :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ °081‬ ‫ 2( –  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ :‬ ‫ *  ﺧﺎﺻﻴﺔ 1 :‬ ‫ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ ﻳﺴﺎﻭﻱ °081‬ ‫ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ‬
‫ 3( –  ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ ﺧـــﺎﺻﺔ :‬ ‫ ± ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 1 :‬ ‫ ﻛﻞ ﻣﺜﻠﺚ ﻟﻪ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻳﺴﻤﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻟﻪ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ : ‪ ABC‬ﻣﺜﺎﺙ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻲ ‪. A‬‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ 2 :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﺯﺍﻭﻳﺔ ﻓﺈﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻩ ﺍﻟﺤﺎﺩﺗﻴﻦ ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﻴﻦ‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ 3 :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻤﺜﻠﺚ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﺎﻥ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ± ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 2 :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻪ ﺿﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎﻥ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺭﺃﺳﻪ ‪A‬‬
‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ  :‬ ‫ 4‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴ  ﻴﻦ ﻓﺈﻥ ﺯﺍﻭﺗﻲ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ‬ ‫ ﺎﻗ‬ ‫ ˆ ˆ‬ ‫ ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :  ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺭﺃﺳﻪ ‪  A‬ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  :  ‪B = C‬‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ  :‬ ‫ 5‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻤﺜﻠﺚ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﻠﻴﺴﺘﺎﻥ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‬ ‫ ˆ ˆ‬ ‫ ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :  ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺤﻴﺚ  ‪  B = C‬ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  :  ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺭﺃﺳﻪ ‪. A‬‬ ‫ ± ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 3 :‬ ‫ ﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻟﻪ ﺿﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎﻥ ﻭ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﺘﺴ‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ﻦ ﻭ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻲ ‪.  A‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :  ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴ‬ ‫ ‪A                         B‬‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ  :‬ ‫ 6‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻭ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﺈﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﻲ‬ ‫ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﻣﺘﻘﺎ ﻳﺴﺘﺎﻥ ﻭ ﻗﻴﺎﺳﻬﻤﺎ °54‬ ‫ ˆ‬ ‫ ˆ‬ ‫°‬ ‫ 54 = ‪ABC = ACB‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ : ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ ‪  A‬ﺇﺫﻥ :‬
‫ ± ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 4 :‬ ‫ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻫﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﺟﻤﻴﻊ ﺃﺿﻼﻋﻪ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :  ‪  ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ .‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ  :‬ ‫ 7‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻓﺈﻥ ﺟﻤﻴﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎﻩ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ‬ ‫ ﻭ ﻗﻴﺎﺱ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ  °06‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ  :‬ ‫ 8‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬
‫ ﺟﻤﻊ ﻭ ﻃﺮﺡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ 1( –  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ :‬ ‫ (  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻧﺤﺘﻔﻆ ﺑﺎﻹﺷﺎﺭﺓ ﺛﻢ ﻧﺠﻤﻊ‬ ‫ ﻣﺴﺎﻓﺘﻴﻬﻤﺎ ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ .‬ ‫ ;;     9,32  =  5,1  +  4,22‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :  5,21 ­ = ) 7  +  5,5( –  = ) 7 –(  +  5,5 –‬ ‫ ;;      51,071  =  51,85  +  211‬ ‫ 522,175 –  = ) 75 + 522,,415 ( –  =  ) 75 –(  +  522,415 –‬ ‫ (  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ  ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻧﺄﺧﺬ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺑﻌﺪ‬ ‫ ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﺛﻢ ﻧﺤﺴﺐ ﻓﺮﻕ ﻣﺴﺎﻓﺘﻴﻬﻤﺎ ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ .‬ ‫ 62,31 –  = ) 41,21 – 4,52( –  = ) 4,52 –(  +  41,21‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 98,12 = ) 11,41 – 63 ( + = 63 + 11,41 –‬ ‫ 5,97  = ) 5,54 – 521 ( +  = ) 5,54 –(  + 521‬ ‫ 51,02 –  = ) 5,11 – 56,13 ( –  = 5,11 + 56,13 –‬ ‫ ﺎﺑﻠﻴﻦ :‬ ‫ (  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻘ‬ ‫ ﺝ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 3 :‬ ‫ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻳﻜﻮ ﺩﺍﺋﻤﺎ ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ ) ﺃﻱ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺻﻔﺮ ( .‬ ‫ 0 = ) ‪  a + ( ­ a‬ﻭ  0 = ‪­ a + a‬‬ ‫ ‪ a‬ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ .‬ ‫ ;;        0 = ) 88,521 –( + 88,521‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :  0 = 7633  +  7633 –‬ ‫ 0 = ) 85211 –( + 85211       ;;       0 = 7,953 + 7,953 –‬ ‫ 2( –  ﻓﺮﻕ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ :‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 4 :‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻓﺮﻕ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻧﻀﻴﻒ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ .‬ ‫ ‪  a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ : ) ‪a – b = a + ( ­ b‬‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :  57,9 = ) 5,11 – 52,12 ( + = ) 5,11  –( + 52,12 = 5,11 – 52,12‬ ‫ 55,52 = 21 + 55,31 = ) 21 ­ ( – 55,31‬ ‫ 05 ­ = ) 61 + 43(  –  = ) 61 –( + 43 –  = 61 – 43 –‬ ‫ 41,54 ­ = ) 02 – 41,56 ( –  = 02 + 41,56 –  = ) 02  –( – 41,56 –‬
‫ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ‬ ‫ 1(  ﻹﺯﺍﻟﺔ ﺍﻷﻗﻮﺍﺱ ﺍﻟﻤﺴﺒﻮﻗﺔ ﺑﻌﻼﻣﺔ  +   : ﻧﺰﻳﻞ ﻋﻼﻣﺔ  +  ﻭ  ﻧﺤﺪﻑ ﺍﻷﻗﻮﺍﻕ ﺑﺪﻭﻥ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺑﺪﺍﺧﻠﻬﺎ‬ ‫ .‬ ‫ ﻹﺯﺍﻟﺔ ﺍﻷﻗﻮﺍﺱ ﺍﻟﻤﺴﺒﻮﻗﺔ ﺑﻌﻼﻣﺔ  –  : ﻧﺰﻳﻞ ﻋﻼﻣﺔ  –  ﻭ ﻧﺤﺪﻑ ﺍﻷﻗﻤﺎﺱ ﻣﻊ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺑﺪﺍﺧﻠﻬﺎ .‬ ‫ )2 + 11 – 45 ( + )5,1 – 33 + 5,2  –( + 11 = ‪A‬‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 2 + 11 – 45 + 5,1 – 33 + 5,2 – 11 =‬ ‫ ) 66,42 + 5,1 – 25 ( – ) 1+ 85 – 44,21 + 55  –( – 6,2 = ‪B‬‬ ‫ 66,42  –  5,1 +  25  –  1  –  85 +  44,21 – 55 + 6,2  =‬ ‫ 2(  ﺣﺴﺎﺏ ﺗﻌﺒﻴﺮ ﺟﺒﺮﻱ ﻳﺤﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﺃﻗﻮﺍﺱ ﻭ ﻣﻌﻘﻮﻓﺎﺕ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺃﻋﻼﻩ .‬ ‫ 1( –  ﻧﺰﻳﻞ ﺍﻷﻗﻮﺍﺱ ﻭ ﺍﻟﻤﻌﻘﻮﻓﺎﺕ ﺑﺪﺃ ﺑﺎﻷﻗﻮﺍﺱ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ ﻣﻊ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺃﻋﻼﻩ .‬ ‫ 2( –  ﻧﺠﻤﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺛﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ 7 – ) 5,2 + 41 –( – ) 1+ 5,11 –( + 5,2 = ‪A‬‬ ‫ *  ﻠﺔ :‬ ‫ ﺃﻣﺜ‬ ‫ 7 – 5,2 – 41 + 1 + 5,11 – 5,2 =‬ ‫ 7 – 5,11 – 41 + 1 + 5,2 – 5,2 =‬ ‫ 5,71 – 51 + 0 =‬ ‫ ) 51 – 5,71 ( – =‬ ‫ 5,2 – =‬ ‫ ) 3 + 5,5–( – 22 + ] 1 – ) 7 – 5,3 ( + 5,11 –[ – ) 1 – 5,3 ( = ‪B‬‬ ‫ 3 – 5,5 + 22 + ] 1 – 7 – 5,3 + 5,11–[ – 1 – 5,3 =‬ ‫ 3 – 5,5 + 22 + 1 – 7 – 5,3 – 5,11 + 1 – 5,3 =‬ ‫ 3 – 7 – 5,5 + 22 + 5,11 + 1 – 1 + 5,3 – 5,3 =‬ ‫ 01 – 93 + 0 + 0 =‬ ‫ 01 – 93 =‬ ‫92 =‬
‫ ﺿﺮﺏ ﻭ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ 1( –  ﺿﺮﺏ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ :‬ ‫ (  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ 5,0 = ) 01–(  ‪– 21  x (–5 ) = 105           ;;         0,05  x‬‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 0 =  ) 621–(  ‪–125,89  x  0 =  0          ;;      0  x‬‬ ‫ (  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫ ;;       15– = ) 2–(  ‪25,5  x‬‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :  575– = 05  ‪–11,5  x‬‬ ‫ ;;       011– = ) 5–(  ‪22  x‬‬ ‫ 057 =  01  ‪–75  x‬‬ ‫ (  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ  ﻓﻲ  :  1  ﻭ  1 ­  :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 3 :‬ ‫ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻳﻜﻮ ﺩﺍﺋﻤﺎ ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ ) ﺃﻱ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺻﻔﺮ ( .‬ ‫ ‪ a‬ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ .  ‪  a + ( ­ 1 ) =  ­ a‬ﻭ  ‪­ 1 + a = ­ a‬‬ ‫ 0 = ) ‪  a + ( ­ a‬ﻭ  ﻭ  ‪1 x a = a‬‬ ‫ ‪­ a + a = 0  a x 1 = a‬‬ ‫ ‪ a‬ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ .‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :  7633   =  1 ‪1  x  (– 125,88 ) =  –125,88        ;;       3367 x‬‬ ‫ 35211–  =   85211    ‪– 359,7  x  (–1 ) = 359,7       ;;  – 1   x‬‬ ‫ (  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ :‬ ‫ ﺩ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 4 :‬ ‫ ﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻳﻜﻮﻥ  :‬‫ ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸ‬ ‫ .‬ ‫ ­­  ﻣﻮﺟﺒﺎ  :  ﺇﺫﺍ ﻋﺪﺩ ﻋﻮﺍﻣﻠﻪ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﺯﻭﺟﻴﺎ‬ ‫ ­­ ﺳﺎﻟﺒﺎ  :  ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﻋﻮﺍﻣﻠﻪ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻓﺮﺩﻳﺎ .‬ ‫ ) 5–( ‪A = –5 x  1,3  x  (–7 )  x   (–25 )  x  1  x‬‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 7,1 ‪B = 11 x (–25,4 ) x 14 x (–1 ) x (–0,5 ) x‬‬ ‫ * ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺠﺪﺍء ‪ A‬ﻋﺪﺩ ﻋﻮﺍﻣﻠﻪ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻫﻮ 4 ﻭ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﺯﻭﺟﻲ , ﺇﺫﻥ ‪ A‬ﻋﺪﺩ ﻣﻮﺟﺐ .‬ ‫ * ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺠﺪﺍء ‪ B‬ﻋﺪﺩ ﻋﻮﺍﻣﻠﻪ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻫﻮ 3 ﻭ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻓﺮﺩﻱ , ﺇﺫﻥ ‪ B‬ﻋﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ .‬
‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 5 :‬ ‫ ﻻ ﻳﺘﻐﻴﺮ ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻏﻴﺮﻧﺎ ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ ﻋﻮﺍﻣﻠﻪ  ﺃﻭ ﻋﻮﺿﻨﺎ ﺑﻌﻀﺎ ﻣﻨﻬﺎ ﺑﺠﺪﺍﺋﻬﺎ .‬ ‫ ) 5,1–( ‪A = (–2 ) x 5,5 x 50 x‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ) ) 5,1–( ‪= (  –2 x 50 )  x  ( 5,5 x‬‬ ‫ ) 52,8–( ‪= –100 x‬‬ ‫ 528 =‬ ‫ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ‬ ‫ ­­ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻧﺤﺪﺩ ﺃﻭﻻ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺠﺪﺍء ﺛﻢ ﻧﻄﺒﻖ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ  4 .‬ ‫ ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 5,6 ‪A = (–7,5 ) x 25 x –4 ) x‬‬ ‫ ) 5,6 ‪=  + ( 7,5 x 25 x 4 x‬‬ ‫ ) 5,6 ‪=  + ( ( 25 x 5 ) x ( 7,5 x‬‬ ‫ 57,84 ‪= 100 x‬‬ ‫ 5784 =‬ ‫ 5,7 ‪B = –6 x 5 x (–1,5 ) x (–1 ) x‬‬ ‫ ) 5,7 ‪= – ( 6 x 5 x 1 x‬‬ ‫ ) 5,7 ‪= – ( (6 x 5 x 1 )  x  ( 1,5 x‬‬ ‫ ) 52,11  ‪= – ( 30 x‬‬ ‫ 5,733– =‬ ‫ 2( –  ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ :‬ ‫ (  ﺧﺎﺭﺝ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 6 :‬ ‫ ﺧﺎﺭﺝ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ ;;           51,26   = ) 31 –(  :  59,708 –‬ ‫ 011 =  1,7  :  187‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ (  ﺧﺎﺭﺝ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 7 :‬ ‫ﺧﺎﺭﺝ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫ ;;           51,26 – = ) 31–(  :  59,708‬ ‫ 011 –  =  1,7  :  187 –‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬
‫ ‪- a a‬‬ ‫ ‪- a a‬‬ ‫ ‪a‬‬ ‫=‬ ‫ ﻭ‬ ‫=‬ ‫-=‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ  :‬ ‫ ‪- b  b‬‬ ‫ ‪b  - b  b‬‬ ‫ (  ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﻘﺮﺏ ﻭ ﺍﻟﺘﺄﻃﻴﺮ :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ 1( – ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﻣﻮﺟﺒﺎ :‬ ‫ 22‬ ‫ 22‬ ‫ 7‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 7‬ ‫ 01‬ ‫ 41,3‬ ‫ 03‬ ‫ 02‬ ‫ 22‬ ‫ ﺇﻟﻰ  1  ﻧﺘﻔﺮﻳﻂ ﻫﻲ  :  3 .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 22‬ ‫ ﺇﻟﻰ  1  ﺑﺈﻓﺮﺍﻁ ﻫﻲ  : 4 .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 22‬ ‫ 22‬ ‫ <  3‬ ‫ ﺇﻟﻰ 1  ﻫﻮ  :  4  <‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺗﺄﻃﻴﺮ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 7‬ ‫ 22‬ ‫ ﺇﻟﻰ  1,0  ﻧﺘﻔﺮﻳﻂ ﻫﻲ  :  1,3 .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 22‬ ‫ ﺇﻟﻰ  1,0  ﺑﺈﻓﺮﺍﻁ ﻫﻲ  : 2,3  .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 22‬ ‫ 22‬ ‫ <  1,3‬ ‫ 2,3  <‬ ‫ ﺇﻟﻰ 1,0  ﻫﻮ  :‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺗﺄﻃﻴﺮ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 7‬ ‫ 2( – ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺳﺎﻟﺒﺎ :‬ ‫22‬ ‫ -‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :  ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ‬ ‫ 7‬ ‫22‬ ‫ -  ﺇﻟﻰ  1  ﻧﺘﻔﺮﻳﻂ ﻫﻲ  :  4 ­ .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫22‬ ‫ -  ﺇﻟﻰ  1  ﺑﺈﻓﺮﺍﻁ ﻫﻲ  :  3 ­  .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫22‬ ‫22‬ ‫ -  ﺇﻟﻰ 1  ﻫﻮ  :  3 ­  <  -  <  4 ­‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺗﺄﻃﻴﺮ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 7‬ ‫22‬ ‫ -  ﺇﻟﻰ  1,0  ﻧﺘﻔﺮﻳﻂ ﻫﻲ  :  2,3 ­  .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫22‬ ‫ -  ﺇﻟﻰ  1,0  ﺑﺈﻓﺮﺍﻁ ﻫﻲ  : 1,3 ­  .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫22‬ ‫22‬ ‫ -  ﺇﻟﻰ 1,0  ﻫﻮ  :  1,3 ­  <  -  < 2,3 ­‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺗﺄﻃﻴﺮ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 7‬
‫ ﺍﻟﻤﻨﺼﻔــﺎﺕ ﻭ ﺍﻻﺭﺗﻔــﺎﻋــﺎﺕ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ 1( –  ﺍﻟﻤﻨﺼﻔﺎﺕ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ :‬ ‫ (  ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ :‬‫ ﺃ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 1 :‬ ‫ ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻫﻮ ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺃﺻﻠﻪ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ , ﻳﻮﺟﺪ ﺑﺪﺍﺧﻠﻬﺎ ﻭ ﻳﻘﺴﻤﻬﺎ ﺇﻟﻰ‬ ‫ ﻴﻦ‬‫ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :  ﻧﻌﺘﺒﺮ  ‪  A  ˆ B‬ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻭ  )‪ [OM‬ﻣﻨﺼﻔﻬﺎ .‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ (  ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰﺓ ﻟﻤﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ * ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷــﺮﺓ :‬ ‫ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺗﺒﻌﺪ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﺿﻠﻌﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ﺎ  : ‪EK = EL‬‬ ‫ ﺳﻴﻜﻮﻥ ﻟﺪﻳﻨ‬ ‫ * ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ :‬ ‫ ﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﻨﺼﻒ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺒﻌﺪ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﺿﻠﻌﻲ ﺯﺍﻭﻳ‬ ‫ * ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰﺓ :‬ ‫ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﺿﻠﻌﻴﻬﺎ‬ ‫ (  ﻣﻨﺼﻔﺎﺕ ﻣﺜﻠﺚ  :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 2 :‬ ‫ ﻣﻨﺼﻒ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﻮ ﻣﻨﺼﻒ ﺇﺣﺪﻯ ﺯﻭﺍﻳﺎﻩ‬
‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :  ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺛﻼﺙ ﻣﻨﺼﻔﺎﺕ .‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴـــﺔ :‬ ‫ ﻣﻨﺼﻔﺎﺕ ﻣﺜﻠﺚ ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ  ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺎﻃﺔ ﺑﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :  ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻣﺮﻛﺰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺤﺎﻃﺔ ﺑﻤﺜﻠﺚ ﻳﻜﻔﻲ ﺭﺳﻢ ﻣﻨﺼﻔﻴﻦ ﻓﻘﻂ ﻣﻦ ﻣﻨﺼﻔﺎﺕ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ .‬ ‫ 2( –  ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻋﺎﺕ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ :‬ ‫ (  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 3 :‬ ‫ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﻣﻦ ﺃﺣﺪ ﺭﺅﻭﺱ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻭ‬ ‫ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻞ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﺮﺃﺱ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :  ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻭ  )‪ (AH‬ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻤﻮﺍﻓﻖ ﻟﻠﻀﻠﻊ ]‪. [BC‬‬
‫ ·  ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻ‬ ‫ ﺔ :‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :  ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺛﻼﺙ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﺎﺕ .‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﺎﺕ ﻣﺜﻠﺚ ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫ ﺗﻌﺎﻣــﺪ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 02‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :  ﻟﺮﺳﻢ  ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻌﺎﻣـــﺪ ﻣﺜﻠﺚ  ﻳﻜﻔﻲ ﺭﺳﻢ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻴﻦ ﻓﻘﻂ ﻣﻦ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﺎﺕ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ .‬
‫ ﺍﻟـﻘــــــــــــــــﻮﻯ‬ ‫ 1( –  ﻗﻮﺓ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ :‬ ‫ (  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺠﺪﺍء ﺍﻵﺗﻲ :  5,2  ‪A = 2,5 x  2,5  x  2,5  x  2,5  x‬‬ ‫ ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍﺍﻟﺠﺪﺍء ﻣﻦ ﺧﻤﺴﺔ ﻋﻮﺍﻣﻞ ﻣﺴﺎﻭﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ 5,2 .‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺇﺫﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺠﺪﺍء :  ﺍﻟﻘﻮﺓ ﺍﻟﺨﺎﻣﺴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ 5,2 .‬ ‫ 5‬ ‫ ..‬ ‫ ﺘﺐ  :  )5,2(  ﻭ ﻧﻘــﺮﺃ  :  ﺇﺛﻨﺎﻥ ﺃﺱ  ﺧﻤﺴــﺔ‬ ‫ ﻭ ﻧﻜ‬ ‫ 5‬ ‫ 5‬ ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ  5,2  ﻳﺴﻤﻰ  :  ﺃﺳﺎﺱ ﺍﻟﻘﻮﺓ  )5,2(  ﻭ  ﺍﻟﻌﺪﺩ 5 ﻳﺴﻤﻰ  : ﺃﺱ ﺍﻟﻘﻮﺓ  )5,2(  .‬ ‫ (  ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ .‬ ‫ ‪ a‬ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﺃ  ﺒﺮ ﻣﻦ 1 ﻭ ‪ n‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻡ‬ ‫ ﻛ‬ ‫‪a n  = a ´ a ´ a ´ a ´ a ´ ...... ´ a‬‬ ‫44442 4441‬‫4‬ ‫ 3‬ ‫ )  ‪  n‬ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ‬ ‫ (‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻫﺎﻣﺔ  :‬ ‫ 0‬ ‫ 0‬ ‫ 1‬ ‫ ﺓ  0 ﻻ ﻣﻌﻨﻰ ﻟﻬﺎ .‬ ‫ ﺍﻟﻘﻮ‬ ‫ ,‬ ‫ ,  1 =  ‪( 0 ¹ a  )  a‬‬ ‫ ‪a  = a‬‬ ‫ ﻣﻔــــﺮﺩﺍﺕ :‬ ‫ ‪n‬‬ ‫ ·  ﻧﺴﻤﻲ ‪ a‬ﺃﺳــﺎﺱ ﺍﻟﻘﻮﺓ  ‪. a‬‬ ‫ ‪n‬‬ ‫ ·  ﻧﺴﻤﻲ ‪ n‬ﺃﺱ ﺍﻟﻘﻮﺓ  ‪. a‬‬ ‫ (  ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻗـــﻮﺓ ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ ﺳـــﺎﻟﺐ  :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ * ﺧــﺎﺻﻴﺔ 1 :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﻗــﻮﺓ ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ ﺳﺎﻟﺐ :‬ ‫ ·  ﻣﻮﺟﺒﺔ  :  ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺃﺳﻬﺎ ﻋﺪﺩﺍ ﺯﻭﺟﻴﺎ .‬ ‫ ·  ﺳﺎﻟﺒﺔ  :  ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺃﺳﻬﺎ ﻋﺪﺩﺍ ﻓﺮﺩﻳﺎ .‬ ‫ 61‬ ‫ )11 ­ (  ﻋﺪﺩ ﻣﻮﺟﺐ , ﻷﻥ ﺃﺳﻬﺎ ﻫﻮ 61 ﻭﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﺯﻭﺟﻲ .‬ ‫ ­  ﺍﻟﻘﻮﺓ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 12‬ ‫ ­  ﺍﻟﻘﻮﺓ  )9,5 ­ (  ﻋﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ , ﻷﻥ ﺃﺳﻬﺎ ﻫﻮ 12 ﻭ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻓﺮﺩﻱ .‬ ‫ 8‬ ‫ 8‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :  ­ ﺍﻟﻘﻮﺓ  )5 ­ (  ﺗﺨﺘﻠﻒ ﻋﻦ ﺍﻟﻘﻮﺓ  5 ­  ﻷﻥ  :‬ ‫ 8‬ ‫ ) 5 ­ ( ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ ﻫﻮ  ) 5 ­ (  ﻭﺣﺴﺐ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ 1 ﻓﻬﻲ ﻣﻮﺟﺒﺔ .‬ ‫ 8‬ ‫ 5 ­  ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ  ﻫﻮ  5  ﻭ ﻫﻲ  ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻻﺗﺨﻀﻊ ﻟﻠﺨﺎﺻﻴﺔ 1 .‬
‫ 2( –  ﺧـﺼـــﺎﺋـــﺺ ﺍﻟﻘــﻮﻯ :‬ ‫ ‪  a‬ﻭ  ‪  b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴــﻦ .‬ ‫ ‪  m‬ﻭ ‪  n‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﺻﺤﻴﺤﺎﻥ ﻃﺒﻴﻴﻌﻴﺎﻥ .‬ ‫ ‪a m ´ a n = a m + n‬‬ ‫ ‪m - n‬‬ ‫‪a m  = æ a ö‬‬ ‫ ) ‪(m > n‬‬ ‫÷ ‪ç‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n  è a ø‬‬ ‫ ‪n‬‬ ‫ ) (‬ ‫ ‪a m  = a m ´n‬‬ ‫ ‪m‬‬ ‫ )  ´‪a m ´ b m  = ( a‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ ‪m‬‬ ‫‪a m  = æ a ö‬‬ ‫÷ ‪ç‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪m  è b  ø‬‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠــﺔ  :‬ ‫ 62 ‪a  ´ a  = a  + 14 = a‬‬ ‫ 21  41 21‬ ‫ 42 ‪a 5 ´ a  ´ a 7 ´ a = a 5 + 11 + 7 + 1 = a‬‬ ‫ 11‬ ‫ 32 ‪a 23 ´ b 23 = (a ´ b‬‬ ‫ )‬ ‫ 72 = 51 - 24 = 24 ‪a‬‬ ‫ 51‬ ‫ ‪a‬‬ ‫ ‪a‬‬ ‫ ‪a‬‬ ‫ 54 ‪(a 9 ) 5 = a 9 ´ 5 = a‬‬ ‫ 11‪a  = æ a ö‬‬ ‫ 11‬ ‫÷ ‪ç‬‬ ‫÷ ‪11  ç‬‬ ‫‪a  è b ø‬‬ ‫ 3( –  ﻗــــﻮﻯ ﺍﻟـﻌـــﺪﺩ 01 :‬ ‫ * ﺧــﺎﺻﻴﺔ 2 :‬ ‫ ‪ n‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻡ :‬ ‫ 0.............0000001 = ‪10 n‬‬ ‫ 3442441‬ ‫ )  ‪  n‬ﻣﻦ ﺍﻷﺻﻔﺎﺭ (‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠــﺔ  :‬ ‫ 5‬ ‫ 000001 =  01‬ ‫ 11‬ ‫ 000000000001 =  01‬ ‫ 22‬ ‫ 00000000000000000000001 =  01‬
‫ ﺍﻟﺘﻤــﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤــﺮﻛــﺰﻱ‬ ‫ 1( – ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ :‬ ‫ ( ­  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪  A‬ﻭ ‪ O‬ﻧﻘﻄﺘﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ .‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ '‪ A‬ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮﻥ ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]'‪. [AA‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ '‪ A‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ . O‬ﻭ ﻧﻘﻮﻝ ﻛﺬﻟﻚ  :  '‪  A‬ﻲ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺘﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻱ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﺮﻛﺰﻩ ‪. o‬‬ ‫ ﻫ‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ‪ A‬ﻫﻲ ﻛﺬﻟﻚ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ '‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ . O‬ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :  ‪ A‬ﻭ '‪ A‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﺎﻥ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ( ­ ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ‪  A‬ﻭ '‪  A‬ﻄﺘﻴﻦ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]'‪[AA‬‬ ‫ ﻧﻘ‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻫﻲ ‪ O‬ﻧﻔﺴﻬﺎ .‬ ‫ 2( – ﺍﻟﺤﻔﺎﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ :‬ ‫ ( ­  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎﻥ ﺑﺤﻴﺚ ‪ AB = 4 cm‬ﻭ ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (AB‬‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ '‪ A‬ﻭ '‪ B‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺘﻲ  ‪  A‬ﻭ  ‪ B‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ  '‪ A'B‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﻤﺴﻄﺮﺓ .‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  ‪  . A'B' = 4 cm‬ﺇﺫﻥ  :  '‪. AB  =  A'B‬‬ ‫ ( ­ ﺧﺎﺻﻴــﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻱ ﻳﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬
‫ 3( – ﻣﻤﺎﺛﻼﺕ ﺑﻌﺾ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ :‬ ‫ ( ­ ﻣﻤﺎﺛﻼﺕ ﻧﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ·  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﻧﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻭ ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (AC‬‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻂ '‪ A‬ﻭ '‪ B‬ﻭ '‪ C‬ﻣﻤﺎﺛﻼﺕ ﺍﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪O‬‬ ‫ ﺣﻆ ﺃﻥ '‪ A‬ﻭ '‪ B‬ﻭ '‪ C‬ﻫﻲ ﻛﺬﻟﻚ ﻧﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ .‬ ‫ ﻧﻼ‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻱ ﻳﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﺍﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ ( ­ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ·  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭ ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻴﻪ .‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ )'‪ (D‬ﻣﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻫﺬﺍ ﺳﻨﺄﺧﺬ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﺗﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ )‪(D‬‬ ‫ ﺛﻢ ﻧﻨﺸﺊ ﻣﻤﺎﺛﻠﺘﻴﻬﻤﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )'‪ (D‬ﻳﻮﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (D‬‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ :‬ ‫ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮﺍﺯﻳﻪ‬ ‫ ( ­ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ ·  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ )‪ [AB‬ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭ ‪ I‬ﻧﻘﻄﺔ ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(AB‬‬ ‫ .‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )'‪ [A'B‬ﻣﻤﺎﺛﻞ )‪ [AB‬ﺑﺎﻟﻨﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪I‬‬ ‫ .‬ ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻫﺬﺍ ﺳﻨﻨﺸﺊ  '‪ A‬ﻭ '‪ B‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺘﻲ ‪ A‬ﻭ ‪  B‬ﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ‬ ‫ ﻋ‬ ‫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. I‬‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ :‬ ‫ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ [AB‬ﺑﺎﻟﻨﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻫﻮ ﻧﺼﻒ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )'‪ [A'B‬ﺑﺤﻴﺚ '‪ B'  A‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺘﻲ  ‪ B  A‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ( ­ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﻗﻄﻌﺔ :‬ ‫ ﺩ‬ ‫ ·  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ]‪ [AB‬ﻗﻄﻌﺔ ﻭ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (AB‬‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]'‪ [A'B‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [AB‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. M‬‬
‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻫﺬﺍ ﺳﻨﻨﺸﺊ '‪ B'  A‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺘﻲ ‪ B  A‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ  .‬ ‫ ‪M‬‬ ‫ ( ﻭ ﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ ﺳﻴﻜﻮﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ  '‪ )  AB = A'B‬ﺍﻟﺤﻔﺎﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻄﻌﺘﻴﻦ ]‪ [A'"B']  [AB‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ .‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ :‬ ‫ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﻗﻄﻌﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻫﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﺗﻘﺎﻳﺴﻬﺎ‬ ‫ ( ­ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺯﺍﻭﻳﺔ :‬‫ ﻩ‬ ‫ ·  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪  A  ˆ B‬ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻭ ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ .‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ  ' ‪  A O  B‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ  ‪  A  ˆ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ' ˆ  '‬ ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻫﺬﺍ ﺳﻨﻨﺸﺊ '‪ B'  O'  A‬ﻣﻤﺎﺛﻼﺕ ‪ B  O  A‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ‬ ‫ ﻭ  ﻭ‬ ‫ ﻭ  ﻭ‬ ‫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ' ‪A  ˆ B  =  A O  B‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ' ˆ  '‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ  ﺗﻘﺎﻳﺴﻬﺎ‬ ‫ ( ­ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺩﺍﺋﺮﺓ :‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ·  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ )‪ (C‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪  r‬ﻭ ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ .‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )'‪ (C‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ )‪  (C‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻫﺬﺍ ﺳﻨﺄﺧﺬ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )‪(C‬‬ ‫ ﺛﻢ ﻧﻨﺸﺊ '‪ A'  O‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ . E‬ﻭ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ '‪ O‬ﻭ ﺗﻤﺮ ﻣﻦ '‪ A‬ﻫﻲ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ )‪ (C‬ﺑﺎﻟﻨﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ﻟﻨﺒﻴﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ  ‪. r‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬ ‫ '‪ O‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ O‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ '‪ A‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ :‬ ‫ '‪ ) OA = O'A‬ﺍﻟﺤﻔﺎﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ( .‬ ‫ ﻭ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ  :‬ ‫ ‪  OA = r‬ﻓﺈﻥ  ‪O'A' = r‬‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ )‪ (C')  (C‬ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪. r‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﻬﺎ ‪  r‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﻫﻲ‬ ‫ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋ‬ ‫ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ '‪ O‬ﻣﻤﺎﺛﻞ ‪ O‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r‬‬ ‫ ﻣﻮﻗﻊ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺑﺎﻟﺜﺎﻧﻮﻱ ﺍﻹﻋﺪﺍﺩﻱ ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻤﻬﺪﻱ ﻋﻨﻴﺲ / ﺃﺳﺘﺎﺫ ﺑﺎﻟ‬ ‫‪_ww‬‬
‫ ·  ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ :‬ ‫ ﻟﺮﺳﻢ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻧﺮﺳﻢ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺬﻩ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺛﻢ ﻧﺤﺘﻔﻆ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ .‬ ‫ ( ­ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺷﻜﻞ :‬ ‫ ﺯ‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﻧﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺷﻜﻞ ‪ F‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻫﻮ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ F‬ﻧﻔﺴﻪ .‬ ‫ ·  ﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻣ‬ ‫ 2( – ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻗﻄﻌﺔ :‬ ‫ 1( – ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ :‬ ‫ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻫﻮ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ                                                      ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻗﻄﻌﺔ ﻫﻮ ﻣﻨﺘﺼﻔﻬﺎ‬
‫ﺍﻟـﻨـﺸــــــــــــﺮ ﻭ ﺍﻟـﺘﻌـﻤﻴـــــــــــــــﻞ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻨﺸﺮ :‬ ‫ 1( –  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩ ﻓﻲ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩ ﻓﻲ ﻓﺮﻕ :‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ 1 :‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺛﻢ ﻧﻘﺎﺭﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ  : ) 3,7 + 5,5( ‪  A = 2 x‬ﻭ  3,7 ‪B = 2 x 5,5  +  2 x‬‬ ‫ 3,7 ‪B = 2 x 5,5  +  2 x‬‬ ‫ ) 3,7 + 5,5 ( ‪A = 2 x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬ ‫ 8,21 ‪= 11 + 14,6                          = 2 x‬‬ ‫ 6,52 =‬ ‫ 6,52 =‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :  ‪  A = B‬ﺃﻱ ﺃﻥ  :    3,7 ‪2 x ( 5,5 + 7,3 )   =   2 x 5,5  +  2x‬‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻧﻨﺎ ﻗﺪ ﻧﺸﺮﻧﺎ ﺍﻟﺠﺪﺍء  ) 3,7  +  5,5 ( ‪2 x‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ 2 :‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺛﻢ ﻧﻘﺎﺭﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ  :  ) 5,7 ­  3 ( ‪  C = 6,5 x‬ﻭ 5,7 ‪D = 6,5 x 3  ­  6,5 x‬‬ ‫ 5,7 ‪D = 6,5 x 3  ­  6,5 x‬‬ ‫ ) 5,7 – 3 ( ‪C = 6,5 x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬ ‫ 57,84  ­  5,91 =‬ ‫ ) 5,4 ­ ( ‪= 6,5 x‬‬ ‫ 52,92 ­ =‬ ‫ 52,92 ­ =‬ ‫ 5,7 ‪6,5 x ( 3  ­  7,5 )  =  6,5 x 3  ­  6,5 x‬‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :  ‪  C = D‬ﺃﻱ  ﺃﻥ :‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ‪  a‬ﻭ ‪  x‬ﻭ ‪ y‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ .‬ ‫‪a ( x - y ) = a.x‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫‪a ( x + y ) = a.x‬‬ ‫+‬ ‫ ‪a.y‬‬ ‫ ‪- a.y‬‬ ‫ ﺍﻟﻨﺸﺮ ﻫﻮ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺟﺪﺍء ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﻭ ﻓﺮﻕ .‬ ‫ ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ :‬ ‫ * ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ :‬ ‫ ‪  n  c  b  a‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ .‬ ‫ ﻭ  ﻭ  ﻭ‬ ‫ ‪n ( a + b – c ) = na  +  nb  ­  nc‬‬
‫ * ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻉ  :  ‪a  +  a  +  a  +  a  +  a  +........+  a‬‬ ‫ ‪ A‬ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ .‬ ‫ ‪a  +  a  +  a  +  a  +........+a  =  n.a‬‬ ‫ ‪ n‬ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 51 =  3 ‪3  +  3  +  3  +  3  +  3  +  3  =   6 x‬‬ ‫ ) 5 ­ (  ‪( ­ 5 )  +  ( ­ 5 )  +  ( ­ 5 )  +  ( ­ 5 )  =  4  x‬‬ ‫ */  ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ 1 :‬ ‫ ‪ a‬ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ .‬ ‫ ﺑﺴﻂ ﻣﺎﻳﻠﻲ  :‬ ‫ ‪A = 3a  +  25a   ;;  B = 3,5a  +  2a  +  a‬‬ ‫ ‪C = 7a  ­  3,5a   ;;  D = ­ 11,5a  ­  2,5a  ­  a   ;;  E = 21a – 3,5a + 5,5a‬‬ ‫ ﺍﻟﺤﻞ :‬ ‫ ‪A = 3a  +  25a  =  28a‬‬ ‫ ;;‬ ‫ ‪B = 3,5a   +  2a  +  a  =  6,5a‬‬ ‫ ‪C = 7a  ­  3,5a  =  3,5a‬‬ ‫ ;;‬ ‫ ‪D = ­ 11,5a  ­  2,5a  ­  a  =  ­ 15a‬‬ ‫ ‪E = 21a  ­  3,5a  +  5,5a  =  21a  +  5,5a  ­  3,5a  =  26,5a  ­  3,5a  =  23a‬‬ ‫ */  ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ 2  :‬ ‫ ‪  b‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ .‬ ‫ ﺑﺴﻂ ﻣﺎﻳﻠﻲ :‬ ‫ 11  ­  ‪A = 2a  +  3b  ­  5,5a  +  7b              ;;            B = a  +  b  ­  11b  +  0,5a‬‬ ‫ ﺍﻟﺤﻞ :‬ ‫ ‪A = 2a  +  3b  ­  5,5a  +  7b‬‬ ‫ 11  ­  ‪B = a  +  b  ­  11b  +  0,5a‬‬ ‫ ‪= 2a  ­  5,5a  +  3b  +  7b‬‬ ‫ 11  ­  ‪= a  +  0,5a  +  b  ­  11b‬‬ ‫ ‪= ­ 3,5a  +  10b‬‬ ‫ 11  ­  ‪= 1,5a  ­  10b‬‬ ‫ 2( –  ﺍء ﻣﺠﻤــﻮﻋﻴــﻦ :‬ ‫ ﺟﺪ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ‪  a‬ﻭ ‪  y  x  b‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ :‬ ‫ ﻭ  ﻭ‬ ‫‪( a  +  b ) ( x  +  y )  =  ax  +  ay  +  bx  +  by‬‬ ‫ ) ‪( a  +  b ) ( x  +  y ) = a ( x  +  y )  +  b ( x  +  y‬‬ ‫ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ :‬ ‫ ) ‪= ( ax  +  ay )  +  ( bx  +  by‬‬ ‫ ‪= ax  +  ay  +  bx  + by‬‬
‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ) 6  +  ‪A = ( 2  +  x ) ( x‬‬ ‫ ) ‪B = ( ­ 3  +  x ) ( 1  ­  x‬‬ ‫ ) 6  +  ‪= 2 ( x  +  6 )  +  x ( x‬‬ ‫ ) ‪= ­ 3 ( 1  ­  x )  +  x ( 1  ­  x‬‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ) ‪= ( 2x  +  12 )  +  ( x  +  6x‬‬ ‫ )  ‪= ­ ( 3  ­  3x )  +  ( x  ­  x‬‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ‪= 2x  +  12  +  x  +  6x‬‬ ‫ ‪= ­ 3  +  3x  +  x  ­  x‬‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 21  +  ‪= 2x  +  6x  +  x‬‬ ‫ 3  ­  ‪= 3x  +  x  ­  x‬‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 21  +  ‪= 8x  +  x‬‬ ‫ 3  ­  ‪= 4x  ­  x‬‬ ‫ ) 5 ­  ‪C = ( ­ 2x  ­  3 ) ( ­ x‬‬ ‫ ) 5  ­  ‪= ­ 2x ( ­ x  ­  5 )  ­  3 ( ­ x‬‬ ‫ 2‬ ‫ ) 51  ­  ‪= ­ ( 2x  ­  10x )  ­  ( ­ 3x‬‬ ‫ 2‬ ‫ 51  +  ‪= ­ 2x  +  10x  + 3x‬‬ ‫ 2‬ ‫ 51  +  ‪= ­ 2x  +  13x‬‬ ‫ ‪ _ II‬ﺍﻟﺘﻌﻤﻴــﻞ :‬ ‫ 1( –  ﺗﻌﺮﻳــﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﺘﻌﻤﻴﻞ ﻫﻮ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﻭ ﻓﺮﻕ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺟــﺪﺍء‬ ‫ ·  ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣــﺔ :  ﻗﺒﻞ ﺃﻥ ﻧﻌﻤﻞ ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺍﻟﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻙ‬ ‫ 2( –  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 2‬ ‫ ‪A = 6a  +  ax‬‬ ‫ ;;‬ ‫ ‪B = a  +  3a‬‬ ‫ ;;‬ ‫ ‪C = 2ax  ­  4ay‬‬ ‫ ) ‪= a ( 6  +  x‬‬ ‫ ) ‪= a ( a  +  3 )                     = 2a ( x  ­  2y‬‬ ‫ 3‬ ‫ 2‬ ‫ ) ‪D = 5x  +  10x  ­  20x  ;;  E = 2abx  +  6aby  ­  2ab  ;;  F = 2x ( 1  +  x )  +  7 ( 1  + x‬‬ ‫ 2‬ ‫ ) 7  +  ‪= 5x ( x  +  2x ­  4 )               = 2ab ( x  +  3y  ­  1 )                = ( 1  +  x ) ( 2x‬‬ ‫ ‪ _ III‬ﺍﻟﻨﺸﺮ ﻭ ﺍﻟﺘﻌﻤﻴﻞ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﻟﻬﺎﻣﺔ :‬ ‫ 1( –  ﺧﺎﺻﻴﺔ :  ) ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﻟﻬﺎﻣﺔ (‬ ‫ ‪  a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ :‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ‪( a  +  b )  =  a  +  2ab  +  b‬‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ‪( a  ­  b )  =  a  ­  2ab  +  b‬‬ ‫ 2‬ ‫2‬ ‫ ‪( a  ­  b ) ( a  +  b )  =   a  ­  b‬‬
: ‫ 2( –  ﺗﻄﺒﻴـﻘـــــﺎﺕ‬ : ‫ ( ­ ﻟﻨﻨﺸﺮ ﺛﻢ ﻧﺒﺴﻂ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ‬ ‫ ﺃ‬ 2  2  2  ( a  +  3 )  ;;    ( x  +  y )  ;;    ( 2x  +  1 )  2  2  2  ( x  ­  5 )  ;;    ( 2  ­  y )  ;;    ( 3x  ­  7 )  ( x  ­  2 ) ( x  +  2 )  ;;    ( 6x  +  1 ) ( 6x  ­  1 )  2  2  2  2  2  2  ( a  +  3 )  = a  +  2 . a . 3  +  3  ;;      ( x  +  y )  =  x  +  2 . x . y  +  y  2  2  2  = a  +  6a  +  9                                            = x  +  2xy  +  y  2  2  2  2  2  2  ( 2x  +  1 )  = ( 2x )  +  2 . 2x . 1  +  1  ;;      ( x  ­  5 )  = x  ­  2 . x . 5  +  5  2  2  = 4x  +  4x  +  1  = x  ­  10x  +  25  2  2  2  2  2  2  ( 2  ­  y )  = 2  ­  2 . 2 . y  +  y  ;;      ( 3x  ­  7 )  = ( 3x )  ­  2 . 3x . 7  +  7  2  2  = 4  ­  4y  +  y  = 9x  ­  42x  +  49  2  2  2  2  ( x  ­  2 ) (  x  +  2 ) = x  ­  2  ;;       ( 6x  +  1 ) ( 6x  ­  1 ) = ( 6x )  ­  1  2  2  =  x  ­  4                                                      = 36x  ­  1  :  ‫ ( ­ ﻟﻨﻌﻤﻞ  ﻣﺎ ﻳﻠﻲ‬ ‫ ﺏ‬ 2  2  2  A = x  +  4x  +  1      ;;      B = 25x  +  30x  +  9      ;;      C = 49  ­  28x  +  4x  2  2  2  D = 9x  ­  30x  +  25      ;;      E = 4  ­  x  ;;     F = 81x  ­  121  2  2  2  A = x  +  4x  +  1      ;;      B = 25x  +  30x  +  9  ;;          C = 49  ­  28x  +  4x  2  2  2  2  2  2  = x  +  2 . x . 2  +  2  = ( 5x )  +  2 . 5x . 3  +  3  = 7  ­  2 . 7 . 2x  +  ( 2x )  2  2  2  = ( x  +  2 )  = ( 5x  +  3 )  = ( 7  ­  2x )  2  2  2  D = 9x  ­  30x  +  25  ;;       E = 4  ­  x  ;;  F = 81x  ­  121  2  2  2  2  2  2  = ( 3x )  ­  2 . 3x . 5  +  5  = 2  ­  x  = ( 9x )  ­  11  2  = ( 3x  ­  5 )  = ( 2  ­  x ) ( 2  +  x )            = ( 9x  ­  11 ) ( 9x  +  11 ) 
‫ ﻣﺘـــﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿــــــﻼﻉ‬ ‫ ‪ _ I‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ :‬ ‫ 1( – ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ )1‪ (D‬ﻭ )2‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ .‬ ‫ )1‪ (L‬ﻭ )2‪ (L‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻳﻘﻄﻌﺎﻥ )1‪ (D‬ﻭ )2‪ (D‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﻓﻲ  :  ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﻭ ‪. D‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ  ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ ‫ 2( –  ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻫﻮ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﺣﺎﻣﻼ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ‬ ‫ ‪ _ II‬ﺧﺼﺎﺋــﺺ :‬ ‫ 1( –  ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻴﻦ :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻗﻄﺮﺍﻩ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻓﻲ ‪. O‬‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻴﻦ ]‪  [AC‬ﻭ ]‪. [BD‬‬ ‫ ﻧﻘــﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻓﺈﻥ ﻟﻘﻄﺮﻳﻪ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :  ﻧﺴﻤﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﻱ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ  ﻣﺮﻛﺰﻩ .‬
‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﻨﺘﺼﻒ ‪ O‬ﻭ ﺣﺎﻣﻼﻫﻤﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ :‬ ‫ ‪  A‬ﻭ ‪  B‬ﻭ ‪  C‬ﻭ ‪ D‬ﻧﻘﻂ ﺑﺤﻴﺚ ]‪  [AC‬ﻭ ]‪ [BD‬ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤ‬ ‫ ﻟﻨﺒﺮﻫﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ .‬ ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻫﺬﺍ ﺳﻨﺒﺮﻫﻦ ﺃﻥ )‪ (AB‬ﻳﻮﺍﺯﻱ )‪ (CD‬ﻭ ﺃﻥ )‪ (AD‬ﻳﻮﺍﺯﻱ )‪:  (BC‬‬ ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪  [AC‬ﻭ ]‪  [BD‬ﺇﺫﻥ :‬ ‫ ‪  A‬ﻭ ‪  C‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ‪  B‬ﻭ ‪  D‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘ‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪  (AB‬ﻭ )‪ (CD‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻭ ﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪  (AD‬ﻭ )‪. (BC‬‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻓﺈﻥ  )‪  (CD) // (AB‬ﻭ )‪(BC) // (AD‬‬ ‫ ﻭ ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ  ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ )  ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ( ﻣﺮﻛﺰﻩ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ﻧﻘــﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻗﻄﺮﺍﻩ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻨﺘﺼﻒ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ ‫ * ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ :‬ ‫ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻭ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪. [AC‬‬ ‫ 1( – ﺃﻧﺸﺊ ‪ D‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. I‬‬ ‫ 2( – ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ  ‪  ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿــﻼﻉ .‬ ‫ ﺍﻟﺤــــﻞ :‬ ‫ 1( – ﺍﻟﺸﻜـــــﻞ :‬ ‫ 2( – ﻟﻨﺜﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿـــﻼﻉ :‬ ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ  :‬ ‫ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ  ]‪(1) .  [AC‬‬ ‫ ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ D‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ  ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. I‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ : ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪(2)  . [BD‬‬ ‫ ﻉ  )  ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﺮﻳﻦ ( .‬ ‫ ﻣﻦ  )1(  ﻭ  )2(  ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿـــﻼ  .‬
‫ 2( –  ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺔ :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻣﺮﻛﺰﻩ ‪. O‬‬ ‫ ﻟﻨﺒﻴﻦ  :  ‪  AB = CD‬ﻭ ‪AD = BC‬‬ ‫ ﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ  ‪. ABCD‬‬ ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ‪  O‬ﻣﺮﻛﺰ ﻣ‬ ‫ ﺇﺫﻥ  ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻦ ]‪. [BD]  [AC‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ  :  ‪  A‬ﻭ ‪ C‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪  O‬ﻭ ﻛﺬﻟﻚ ‪  B‬ﻭ ‪. D‬‬ ‫ ( .‬ ‫ ﻭ ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ  ﻓﺈﻥ  :  ‪  AB = CD‬ﻭ  ‪ )  AD = BC‬ﺣﺴﺐ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺤﻔﺎﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫ ﻧﻘــﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻓﺈﻥ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎﻥ‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  ﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎﻥ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ ‫ 3( –  ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺔ :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻣﺮﻛﺰﻩ ‪. O‬‬‫ ‪ABCD‬‬ ‫ ﻟﻨﺒﻴﻦ ﺃﻥ  ‪  A ˆ C  =  A ˆ C‬ﻭ ﺃﻥ  ‪. B ˆ C  =  B  ˆ D‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪D‬‬
‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻣﺮﻛﺰﻩ ‪. O‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  ‪  O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻦ ]‪  [AC‬ﻭ ]‪. [BD‬‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻓﺈﻥ  :  ‪  A‬ﻭ ‪ C‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪  O‬ﻭ ﻛﺬﻟﻚ  ‪  B‬ﻭ ‪. D‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ  ‪  A ˆ C‬ﻭ  ‪  A ˆ C‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﺎﻥ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪  O‬ﻭ ﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ  ‪  B ˆ D‬ﻭ  ‪B  ˆ D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪ˆ D‬‬ ‫ ˆ‬ ‫ ˆ‬ ‫ ‪ˆ C‬‬ ‫ ﻭ ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ  :  ‪  A B C = A D‬ﻭ  ‪B C  = B A D‬‬ ‫ ﻧﻘــﻮﻝ ﺇﺫﻥ :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻓﺈﻥ ﻛﻞ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ‬ ‫ ﻴﺔ :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴ‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﻛﻞ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﺎﺗﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ ‫ 4( –  ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿـــﻼﻉ :‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ  ﻭ ‪ H‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻂ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (CD‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ‪  AH‬ﺍﺭﺗﺘﻔﺎﻉ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ  ‪. ABCD‬‬ ‫ 5( –  ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺇﺿــﺎﻓﻴﺔ :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺿﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼﻥ ﻭ ﺣﺎﻣﻼﻫﻤﺎ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿـــﻼﻉ‬
‫ ﺍﻟـﻤــﻌــــﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺎﻥ :‬ ‫ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴ‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺑﻤﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺘﻴﻦ  :‬ ‫ ‪  a  +  x   =  b‬ﻭ ‪(a ¹ 0)  ax  =  b‬‬ ‫ 2( – ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 5 ­  =  ‪11  +  x  =  22    ;;  ­5  +  x  =  10    ;;    x  ­  2  =  ­ 8    ;;    6  ­  x =  2,6    ;;  ­ 1  ­  x‬‬ ‫ 41  =  ‪3x  =  12    ;;  ­ 7x  =  21  ;;  ­ 4x  =  ­ 16    ;;    5x  =  0   ;;    2,5x  =  ­  1   ;;  ­7x‬‬ ‫ ‪ _ II‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻝ ‪. x‬‬ ‫ 2( – ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  ‪: a  +  x  =  b‬‬ ‫ ( ­ ﻗﺎﻋــﺪﺓ :‬ ‫ ﺍ‬ ‫ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ  ‪  a  +  x  =  b‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  ‪x  =  b  ­  a‬‬ ‫ ( ­ ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  11 = ‪  6  +  x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :  5 = 6  ­  11 =  ‪.  x‬‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  0 = ‪ ­ 2  +  x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :   2  =  2 +  0 = ) 2 ­  (  ­  0  =  ‪. x‬‬ ‫ ﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :  4 ­  =  5,2 ­  5,1 ­  =  ‪. x‬‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  5,1 ­ =  ‪ 2,5  ­  x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪ‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  1  =  ‪  5  ­  x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :  4  =  5  +  1 ­  =  ‪. x‬‬ ‫ 2( – ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪: (a ¹ 0 )  ax   =   b‬‬ ‫ ( ­ ﻗﺎﻋــﺪﺓ :‬ ‫ ﺍ‬ ‫‪x  =  b/a‬‬ ‫ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ‪  (a ¹ 0)  ax  =  b‬ﻫﻮ ﺍﻟ‬ ‫ ﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ‬
‫ ( ­ ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫5‬ ‫ =  ‪. x‬‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  5 =  ‪ 2x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :  5 2 =‬ ‫ ,‬ ‫ 2‬ ‫3‬ ‫ =  ‪. x‬‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  3  =  ‪ ­ 5x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :  6 0- =‬ ‫ ,‬ ‫ 5 -‬ ‫0‬ ‫ =  ‪.  = 0  x‬‬ ‫ ­­  ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  0  =  ‪ ­ 7x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :‬ ‫ 7 -‬ ‫ ‪ _ II‬ﺧﺼﺎﺋﺺ :‬ ‫ 1( – ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ .‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﺃﺿﻔﻨﺎ ﺃﻭ ﻃﺮﺣﻨﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻓﻲ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻻ ﺗﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :  ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ k‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ .  ‪  a  =  b‬ﻳﻌﻨﻲ  :  ‪  a + k = b + k‬ﻭ  ‪a – k = b – k‬‬ ‫ ﺪﺓ 2 :‬ ‫ 2( – ﺍﻟﻘﺎﻋ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺿﺮﺑﻨﺎ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺃﻭ ﻗﺴﻤﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻐﻴﺮ ﺍﻟﻤﻨﻌﺪﻡ ﻃﺮﻓﻲ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻻ ﺗﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :  ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ k‬ﻭ '‪  (k '¹ 0  k‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ .‬ ‫ )‬ ‫ ‪  a  =  b‬ﻳﻌﻨﻲ  :  ‪  a  x  k  =  b  x  k‬ﻭ  '‪a  :  k'  = b :  k‬‬ ‫ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ :‬ ‫ ﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻻﺗﺤﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻝ  ‪  x‬ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺤﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ‬ ‫ 1 ­  ﻧﺰﻳﻞ ﺍ‬ ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻝ  ‪  x‬ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻟﻸﻳﻤﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .‬ ‫ 2 ­ ﻋﻨﺪ ﺇﺯﺍﻟﺔ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﻃﺮﻑ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻧﻀﻴﻒ ﻣﻘﺎﺑﻠﻪ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻵﺧﺮ .‬ ‫ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ :‬ ‫ ¤  ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  7 ­  =  ‪. 5  +  x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :  5 – 7 ­ =  ‪x‬‬ ‫ 21 ­ =‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  21 – .‬ ‫ ¤  ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  2  =  ‪. 5x‬‬ ‫2‬ ‫ =  ‪= 0 4  x‬‬ ‫ ,‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫ 5‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  4,0 .‬
‫ ¤  ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  1  ­  ‪. 3x  +  5  =  x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  5  ­  1­  =  ‪3x  ­  x‬‬ ‫ 6 ­  =  ‪2x‬‬ ‫6 -‬ ‫ =  ‪= -3  x‬‬ ‫ 2‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ 3 -  .‬ ‫ ¤  ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  5  ­  ‪. 2( x  +  1)  =  x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  1  ­  ‪2x  +  2  =  x‬‬ ‫ 2 ­  1 ­  =  ‪2x  ­  x‬‬ ‫ 3 ­  =  ‪x‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ 3 -  .‬ ‫ 2 + ‪2 x‬‬ ‫ 1 - ‪x‬‬ ‫ .‬ ‫= ‪+ x‬‬ ‫ ¤  ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ 4‬ ‫ 2‬ ‫+‬ ‫=‬ ‫ ) (‬ ‫ 1 - ‪2 x + 2  4 x  2  x‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫ 4‬ ‫ 4‬ ‫ 4‬ ‫ ) (‬ ‫ 1 - ‪2 x + 2 + 4 x = 2  x‬‬ ‫ 2 - ‪2 x + 2 + 4 x = 2 x‬‬ ‫ 2 - 2- = ‪2 x + 4 x - 2 x‬‬ ‫ 4- = ‪4 x‬‬ ‫4-‬ ‫ = ‪x‬‬ ‫ 4‬ ‫1- = ‪x‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ 1 -  .‬ ‫ ﺣﺎﻻﺕ ﺧﺎﺻﺔ  :‬ ‫ )0 ¹ ‪(b‬‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪0x  =  b‬‬ ‫ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺣﻼ‬ ‫ )0 ¹ ‪(a‬‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0  =  ‪ax‬‬ ‫ ﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ 0‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻌﺎﺩﻟﺔ  0  =  ‪0x‬‬ ‫ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺣﻞ ﻟﻬﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬
‫ ‪ _ II‬ﺣﻞ ﻣﺴــﺎﺋﻞ :‬ ‫ 1( –  ﻗﺎﻋﺪﺓ  :‬ ‫ ﻟﺤﻞ ﻣﺴﺄﻟﺔ ﻧﺘﺒﻊ ﺍﻟﻤﺮﺍﺣﻞ ﺍﻵﺗﻴ ﺔ‬ ‫ :‬ ‫ ﺭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻝ .‬ ‫ 1 – ﺍﺧﺘﻴﺎ‬ ‫ .‬ ‫ 2 – ﺻﻴﺎﻏﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ .‬ ‫ 3 – ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ – ﺍﻟﺨﻼﺻﺔ.‬ ‫ 2( –  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ . ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ﺍﻹﺭﺙ ﻳﺮﺟﻊ ﺇﻟﻰ ﺃﻭﻻﺩﻩ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ :‬ ‫ ﺗﻮﻓﻲ ﺭﺟﻞ ﻭ ﺗﺮﻙ ﻣﺎﻻ ﻗﺪﺭﻩ 00006 ﺩﺭﻫﻤﺎ‬ ‫ ﺇﺑﻦ ﻭ ﺛﻼﺙ ﺑﻨﺎﺕ ﻭ ﺃﻥ ﻟﻠﺬﻛﺮ ﺣﻆ ﺍﻷﻧﺜﻴﻴﻦ ,  ﻓﻜﻴﻒ ﺳﻴﻘﺴﻢ ﻫﺬﺍ ﺍﻹﺭﺙ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ ؟‬ ‫ ﺤــﻞ :‬ ‫ ﺍﻟ‬ ‫ 1( – ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻝ :‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ  ‪  x‬ﺣﻆ  ﺑﻨﺖ  .‬ ‫ 2( – ﺻﻴﺎﻏﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :‬ ‫ ﻮﻟﺪ ﻫﻮ  ‪.  2 x‬‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﻆ ﺑﻨﺖ  ﻫﻮ  ‪  x‬ﻓﺈﻧﻪ ﺣﻆ  ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﻫﻮ  3  ﻭ ﺣﻆ ﺍﻟ‬ ‫ ‪x‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ  :  00006 =  ‪.  3 x + 2 x‬‬ ‫ 3( – ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  00006 = ‪5 x‬‬ ‫00006‬ ‫ = ‪x‬‬ ‫ 5‬ ‫00021 = ‪x‬‬ ‫ ﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  00021 .‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌ‬ ‫ 4( – ﺣﻞ ﺍﻟﺨﻼﺻﺔ :‬ ‫ .‬ ‫ ﺣﻆ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻫﻮ  00021 ﺩﺭﻫﻤﺎ ﻟﻜﻞ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬ ‫ ﺣﻆ ﺍﻟﻮﻟﺪ  ﻫﻮ  00042 ﺩﺭﻫﻤﺎ .‬
‫ ﺍﻟــﺮﺑﺎﻋﻴــــــــــــﺎﺕ ﺍﻟـﺨـﺎﺻــــــــــــــﺔ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﻫﻮ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻟﻪ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ 2( – ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪  ABCD‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ .‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ 1( – ﺟﻤﻴﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﻗﺎﺋﻤﺔ .‬ ‫ 2( – ﻟﻠﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﺑﻌﺪﻳﻦ ﻫﻤﺎ :  ﺍﻟﻄﻮﻝ  ﻭ  ﺍﻟﻌﺮﺽ .‬ ‫ 3( – ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﻟﻪ ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎﺕ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ .‬ ‫ 3( – ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻦ  :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺴﺘﻄﻴﻼ ﻓﺈﻥ ﻟﻘﻄﺮﻳﻪ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻄﻮﻝ‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  :‬ ‫ ‪AC  =  BD‬‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻗﻄﺮﺍﻩ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻄﻮﻝ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺴﺘﻄﻴﻼ‬ ‫ 4( – ﻣﺤﺎﻭﺭ ﻭﻣﺮﻛﺰ  ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ  :‬ ‫ ﻟﻠﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﻣﺤﻮﺭﺍ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻫﻤﺎ ﻭﺍﺳﻄﺎ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻭ ﻟﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻭﺍﺣﺪ ﻫﻮ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﻳﻪ‬
‫ ‪ _ II‬ﺍﻟﻤﻌﻴـﻦ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﻌﻴﻦ ﻫﻮ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻟﻪ ﺿﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎﻥ‬ ‫ 2( – ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﻌﻴﻦ .‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ *‬ ‫ 1( – ﺟﻤﻴﻊ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ .‬ ‫ 2( – ﺍﻟﻤﻌﻴﻦ ﻟﻪ ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎﺕ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ .‬ ‫ 3( – ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻦ  :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﻌﻴﻨﺎ ﻓﺈﻥ ﺣﺎﻣﻼ ﻗﻄﺮﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻗﻄﺮﺍﻩ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻌﻴﻨﺎ‬ ‫ 4( – ﻣﺤﺎﻭﺭ ﻭﻣﺮﻛﺰ  ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﻌﻴﻦ  :‬ ‫ ﻟﻠﻤﻌﻴﻦ ﻣﺤﻮﺭﺍ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻫﻤﺎ ﻭﺍﺳﻄﺎ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻭ ﻟﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻭﺍﺣﺪ ﻫﻮ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﻳﻪ‬
‫ ‪ _ II‬ﺍﻟﻤﺮﺑــﻊ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ ﻫﻮ ﻣﻌﻴﻦ ﻟﻪ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ 2( – ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﺮﺑﻊ .‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ *‬ ‫ ﺑﻊ ﻗﺎﺋﻤﺔ .‬ ‫ 1( – ﺟﻤﻴﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ 2( – ﺟﻤﻴﻊ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ .‬ ‫ 3( – ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ ﻟﻪ ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎﺕ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ .‬ ‫ 4( – ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻃﻮﻟﻪ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻋﺮﺿﻪ .‬ ‫ 3( – ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻦ  :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺮﺑﻌﺎ ﻓﺈﻥ ﻟﻘﻄﺮﻳﻪ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻄﻮﻝ‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﻌﻴﻨﺎ ﻗﻄﺮﺍﻩ ﻣﻘﺎﻳﺴﺎﻥ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺮﺑﻌﺎ‬ ‫ 4( – ﻣﺤﺎﻭﺭ ﻭﻣﺮﻛﺰ  ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ  :‬ ‫ ﻟﻠﻤﺮﺑﻊ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﻣﺤﺎﻭﺭ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻫﻲ ﻭﺍﺳﻄﺎ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻭ ﺣﺎﻣﻼ ﻗﻄﺮﻳﻪ ﻭ ﻟﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻭﺍﺣﺪ ﻫﻮ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﻳﻪ‬
‫ ـﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻣـﺘـــــﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻭ ﻗــــــــــﺎﻃﻊ‬ ‫ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤـﻜـ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺗﺬﻛﻴــﺮ :‬ ‫ 1( – ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻣﺘﺎﻥ ﻭﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎﻥ :‬ ‫ ¤ ﺗﻜﻮﻥ  ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﻬﻤﺎ °09 .‬ ‫ ﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﻬﻤﺎ °081 .‬‫ ¤ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤ‬ ‫ 2( – ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺤﺎﺫﻳﺘﺎﻥ :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺤﺎﺫﻳﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  :‬ ‫ ¤ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺮﺃﺱ .‬ ‫ .‬ ‫ ¤ ﻟﻬﻤﺎ ﺿﻠﻊ ﻣﺸﺘﺮﻙ‬ ‫ ¤ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻙ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪  A  ˆ B‬ﻭ  ‪  B  ˆ C‬ﺯﺍﻭﻳﺘﻨﺎ ﻣﺘﺤﺎﺫﻳﺘﺎﻥ‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‪ _ II‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﺑﺎﻟﺮﺃﺱ :‬ ‫ )2‪(D‬‬ ‫ 1( – ﻣﺜﺎﻝ  :‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ )1‪(D‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ  ‪  A  ˆ C‬ﻭ  ‪:  B  ˆ D‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﺑﺎﻟﺮﺃﺱ‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﻭ ﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ  :  ‪  A  ˆ D‬ﻭ  ‪ˆ C‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪C‬‬
‫ 2( – ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﺑﺎﻟﺮﺃﺱ ﺗﻜﻮﻧﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﻴﻦ‬ ‫ ‪ _ III‬ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻭﻗﺎﻃﻊ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺎﺭﻳﻒ :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ )1‪ (D2)  (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻭ )‪ (L‬ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﻓﻲ ‪. B  A‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ )‪(L‬‬ ‫ )1‪(D‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ  ‪  E ˆ B‬ﻭ  ‪:  A ˆ F‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺒﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ‬ ‫ )2‪(D‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎﻥ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ )‪(L‬‬ ‫ )1‪ (D2)  (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻭ )‪ (L‬ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﻓﻲ ‪. B  A‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ )1‪(D‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ  ‪  E ˆ B‬ﻭ  ‪:  F ˆ C‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻥ‬‫ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎ‬ ‫ )2‪(D‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ 2( – ﺧﺼــﺎﺋــﺺ :‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ )1‪ (D2)  (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻭ )‪ (L‬ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﻓﻲ ‪. B  A‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ )‪(L‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ )1‪(D‬‬ ‫ )2‪(D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ ‪B‬‬
‫ ‪E ˆ B  = F ˆ A‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﻧﻼﺣــﻆ ﺃﻥ  :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻓﺈﻧﻬﻤﺎ ﻳﺤﺪﺩﺍﻥ ﻣﻊ ﻛﻞ  ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺒﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻭ  ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ [CD‬ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪. [CD‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻟﻨﺒﻴﻦ ﺃﻥ  :  ‪.  B ˆ D =  A ˆ M‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (CD)  (AB‬ﻭ ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ )‪. (AD‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :  ‪  A ˆ M‬ﻭ  ‪  B ˆ D‬ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺒﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ .‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ﻭ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ , ﺇﺫﻥ :‬ ‫ ‪M‬‬ ‫ )‪ )  (CD) // (AB‬ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ( .‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻓﺈﻥ  :  ‪B ˆ D = A ˆ M‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺗﻴﻦ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ )1‪ (D2)  (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻭ )‪ (L‬ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﻓﻲ ‪. B  A‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ )‪(L‬‬ ‫ )1‪(D‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :  ‪E ˆ B =  F ˆ G‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ )2‪(D‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪G‬‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻓﺈﻧﻬﻤﺎ ﻳﺤﺪﺩﺍﻥ ﻣﻊ ﻛﻞ  ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﺯﺍ‬ ‫ ﻤﺮ ﻣﻦ ‪ A‬ﻭ ﻳﻮﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (BC‬‬ ‫ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻭ )‪ (AF‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻭ ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ )‪ [BA‬ﺧﺎﺭﺝ  ]‪. [AB‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ  ‪. E ˆ F‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﺘﻘﻴﻤﻴﻦ  )‪ (BC‬ﻭ )‪ (AF‬ﻭ ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ )‪. (EB‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :  ‪  E ˆ F‬ﻭ  ‪  A ˆ C‬ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎﻥ .‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻭ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ  )‪ (BC) // (AF‬ﻓﺈﻥ  :  =  ‪.  A ˆ C  E ˆ F‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ , ﺇﺫﻥ  :  °06  =  ‪.  A ˆ C‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﻭﻧﻌﻠﻢ ﺃ‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻓﺈﻥ  :  °06  =  ‪. E ˆ F‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪B‬‬
‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ ﻭ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺗﻴﻦ :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﺣﺪﺩ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﻊ ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﺒﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ‬ ‫ ﺃﻭ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ ﻓﺈﻧﻬﻤﺎ ﻳﻜﻮﻧﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ‬ ‫ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺭﺃﺳﻪ ‪ A‬ﺑﺤﻴﺚ  08 =  ‪.  B ˆ C‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫°‬ ‫ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ )‪ [AE‬ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺤﻴﺚ  ‪  C ˆ B‬ﻭ  ‪ B ˆ E‬ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺤﺎﺫﻳﺘﺎﻥ ﻭ  05 =  ‪. BAE‬‬ ‫°‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻟﻨﺒﻴﻦ ﺃﻥ )‪. (AE) // (BC‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺭﺃﺳﻪ ‪. A‬‬ ‫ 08 -  081‬ ‫°‬ ‫°‬ ‫=  ‪A ˆ C  =  A  ˆ B‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ :  05 =‬ ‫°‬ ‫ 2‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (BC)  (EA‬ﻭ ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ )‪. (AB‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :  ‪  B ˆ E‬ﻭ  ‪  A ˆ C‬ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺒﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ .‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ  05 =  ‪ .  B ˆ E‬ﻭ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ  05 =  ‪  A ˆ C‬ﻓﺈﻥ :‬ ‫ ‪B‬‬ ‫°‬ ‫ ‪A‬‬ ‫°‬ ‫ ‪.  B ˆ E  =  A ˆ C‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻓﺈﻥ  :  )‪(BC) // (AE‬‬ ‫ ‪ _ IV‬ﺧﺎﺻﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻮﺍﺯﻱ ﻭ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﺪ :‬ ‫ 1( – ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻓﺈﻥ ﻛﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻋﻤﻮﺩﻳﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺧﺮ‬ ‫ )1‪(D2) //  (D‬‬ ‫ :  )‪(D2)  ┴  (L‬‬ ‫ ﻓﺈﻥ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ   ﻭ‬ ‫ * ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :‬ ‫ )‪(D1)  ┴  (L‬‬
‫ 2( – ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻓﺈﻥ ﻛﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻮﺍﺯﻳﺎ ﻟﻶﺧﺮ .‬ ‫ )1‪(D2)  ┴  (D‬‬ ‫ :  )‪(D2)  //  (L‬‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ   ﻭ                                 ﻓﺈﻥ‬ ‫ * ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :‬ ‫ )‪(D1)  ┴  (L‬‬
‫ ﺍﻟﺘـﻨــﺎﺳﺒﻴـــــــــــــــــﺔ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ :‬ ‫ 1( – ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ :‬ ‫ ( ­ ﻣﺜﺎﻝ 1 :‬‫ ﺃ‬ ‫ 7‬ ‫ 4‬ ‫ 4,5‬ ‫ 11‬ ‫ 5,2‬ ‫ ﻻﺣﻆ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ  :‬ ‫ 3  ‪X‬‬ ‫ 12‬ ‫ 21‬ ‫ 2,61‬ ‫ 33‬ ‫ 5,7‬ ‫ .‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻧﻨﺎ ﺿﺮﺑﻨﺎ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻷﻭﻝ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ 3 ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ 3  :  ﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ .‬ ‫ ﻣ‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ‪  n‬ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﻳﺤﻘﻖ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ .‬ ‫ 12  21  2 61  33  ,7‬ ‫ 5‬ ‫ ,‬ ‫=  =‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ ‪  n‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻷﻭﻝ . ﻭ ﻧﻜﺘﺐ  :  3 =‬ ‫ 7  4  4 5  11  5 2‬ ‫ ,‬ ‫ ,‬ ‫ ( ­ ﻣﺜﺎﻝ 2 :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ 4‬ ‫ 5,5‬ ‫ 5,7‬ ‫ 6‬ ‫ 5‬ ‫ ﻻﺣﻆ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ  :‬ ‫ ?‬ ‫ 61‬ ‫ 11‬ ‫ 03‬ ‫ 21‬ ‫ 01‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻧﻨﺎ ﻟﻢ ﻧﻀﺮﺏ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻷﻭﻝ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ .‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ‪  n‬ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﻻﻳﺤﻘﻖ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ .‬ ‫ 61 03‬ ‫ 11  21 01‬ ‫ ﻭ  4 =  =‬ ‫=  =‬ ‫ ‪  n‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻷﻭﻝ . ﻭ ﻧﻜﺘﺐ  :  2 =‬ ‫ 4  5 7‬ ‫ ,‬ ‫ 5 5  6  5‬ ‫ ,‬ ‫ 2( – ﻣﺒﻴﺎﻥ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ :‬ ‫ ( ­ ﻣﺜﺎﻝ 1 :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﻻﺣﻆ ﺍﻟﻤﺒﻴﺎﻥ ﺍﻵﺗﻲ  :‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺟﻤﻴﻊ ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻊ ﺃﺻﻞ ﺍﻟﻤﻌﻠﻢ .‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ¤  ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺒﻴﺎﻥ ﻳﺤﻘﻖ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ .‬
‫ ( ­ ﻣﺜﺎﻝ 2 :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﻻﺣﻆ ﺍﻟﻤﺒﻴﺎﻥ ﺍﻵﺗﻲ  :‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺣﺠﻤﻴﻊ ﻧﻘﻄﻪ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻊ ﺃﺻﻞ ﺍﻟﻤﻌﻠﻢ .‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ¤  ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺒﻴﺎﻥ ﻻ ﻳﺤﻘﻖ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ .‬ ‫ 3( – ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺐ :‬ ‫ ( ­ ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪c‬‬ ‫ ‪a‬‬ ‫ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ x‬ﺑﺎﻟﺠﺪﻭﻝ ﺟﺎﻧﺒﻪ ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺐ‬ ‫ ‪x‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ ﻊ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ .‬ ‫ ( ­ ﻣﺜﺎﻝ 1 :  ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺍﺑ‬ ‫ ﺏ‬ ‫ 52  5,41‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺍﻵﺗﻲ  :‬ ‫ ‪x‬‬ ‫ 5‬ ‫5‬ ‫ .‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻫﻮ  :  2 0 =‬ ‫ ,‬ ‫ 52‬ ‫ 9,2  =  ‪x‬‬ ‫ ﺃﻱ‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  2,0  ‪x  = 14,5  x‬‬ ‫ ﺐ .‬ ‫ ( ­ ﻣﺜﺎﻝ 2 :  ﺇﺗﻤﺎﻡ ﺟــﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳ‬ ‫ ﺝ‬ ‫ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻷﻭﻝ  .‬ ‫ 2‬ ‫ 7‬ ‫ ‪y‬‬ ‫ 11‬ ‫ ‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ 19‬ ‫ 742‬ ‫ ‪z‬‬ ‫ 889‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ  :  ‪  x‬ﻭ ‪  y‬ﻭ ‪  z‬ﻭ ‪.  t‬‬ ‫19‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ  ﻫﻮ  :  31 =  .‬ ‫ 7‬ ‫ ;;                    62  =  31  ‪x  =  2  x‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  91  =  31  :  742  =  ‪y‬‬ ‫ 67   =  31  :  889  =  ‪z  =  11  x  13  =  143              ;;               t‬‬
‫ ‪ _ II‬ﺳﻠﻢ ﺍﻟﺘﺼﻤﻴﻤﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﺨﺮﺍﺋﻂ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳــﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﺴﻠﻢ ﻫﻮ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﺎﺕ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ  ﻟﺸﻴﺊ ﻭ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﺎﺕ‬ ‫ ـﻢ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ  :  ‪e‬‬ ‫ ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺃﻭ ﺧﺮﻳﻄﺔ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﺸﻴﺊ . ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻠﺴﻠــ‬ ‫ ﻠﻰ ﺍﻟﺘﺼﻤﻴﻢ‬ ‫ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻋ‬ ‫ =  ‪e‬‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣــﺔ  :‬ ‫ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﺮﻳﻄﺔ )‪y  125  (cm‬‬ ‫ 2( – ﻣﺜــﺎﻝ :‬ ‫ ﺮ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ  :‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒ‬ ‫ ‪75  x‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ )‪(km‬‬ ‫ 1‬ ‫ .‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ  ‪  x‬ﻭ ‪  y‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﻠــﻢ ﻫﻮ  :‬ ‫ 000052‬ ‫ 1‬ ‫ . ﻭ ﻫﺬﺍ ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  ‪ 1 cm‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﺮﻳﻄﺔ ﻳﻤﺜﻞ  ‪ 250000 cm‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ .‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻫﻮ  :‬ ‫ 000052‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﺮﻳﻄﺔ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﺎﺕ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ .‬ ‫ 1‬ ‫ : 521  =  ‪x‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ 000052‬ ‫ 000052  ‪  x  =  125  x‬ﺃﻱ  ‪x  =  31250000 cm  =  312,5  km‬‬ ‫ 1‬ ‫ ‪y  =  30 cm‬‬ ‫ ﺃﻱ‬ ‫ ‪y  =  7500000  x‬‬ ‫ 000052‬ ‫ ‪ _ III‬ﺍﻟﺤﺮﻛﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻈﻤﺔ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳــﻒ :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﺟﺴﻢ ﻓﻲ ﺣﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ‬ ‫ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﻤﺪﺩ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﻮﺍﻓﻘﺔ ﻟﻬﺎ .‬ ‫ 2( – ﻣﺜــﺎﻝ 1 :‬ ‫ ﻲ ﺗﺴﺘﻐﺮﻗﻬﺎ ﺳﻴﺎﺭﺓ ﻟﻘﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺎﺕ .‬ ‫ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ ﻳﺒﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘ‬ ‫ 6‬ ‫ 5‬ ‫ ﺍﻟﻤﺪﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ  )‪(h‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ  )‪480 400  (km‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫084‬ ‫004‬ ‫ 08 =‬ ‫ ﻭ‬ ‫ 08 =‬ ‫ 6‬ ‫ 5‬ ‫ 084 004‬ ‫ =‬ ‫ 08 =‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :‬ ‫ 5‬ ‫ 6‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :  ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻓﻲ ﺣﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ .‬
‫ 3( – ﻣﺜــﺎﻝ 2 :‬ ‫ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ ﻳﺒﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻳﺴﺘﻐﺮﻗﻬﺎ ﻗﻄﺎﺭ ﻟﻘﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺎﺕ .‬ ‫ 7‬ ‫ 6‬ ‫ 5‬ ‫ ﺍﻟﻤﺪﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ  )‪(h‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ‬ ‫077‬ ‫ 055  63‬ ‫ )‪(km‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫077‬ ‫063‬ ‫055‬ ‫ 011 =‬ ‫ ﻭ‬ ‫ 06 =‬ ‫ ﻭ‬ ‫ 011 =‬ ‫ 7‬ ‫ 6‬ ‫ 5‬ ‫063‬ ‫ 077 055‬ ‫ 06 =‬ ‫ ﻭ‬ ‫ =‬ ‫ 011 =‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :‬ ‫ 6‬ ‫ 5‬ ‫ 7‬ ‫ 063  077 055‬ ‫ =‬ ‫¹‬ ‫ ﺃﻱ ﺃﻥ  :‬ ‫ 5‬ ‫ 7‬ ‫ 6‬ ‫ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﻄﺎﺭ ﻟﻴﺲ ﻓﻲ ﺣﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ .‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬
‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴــﻢ ﺍﻟﻤــﺪﺭﺝ ﻭ ﺍﻟﻤـﻌــﻠﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﻤـﺴـﺘـــﻮﻯ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘـﻴﻢ ﺍﻟـﻤــﺪﺭﺝ :‬ ‫ :‬ ‫ 1( – ﺗﺬﻛﻴــﺮ‬ ‫ .‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ )‪ (D‬ﻣﺪﺭﺝ , ﺑﺤﻴﺚ ]‪ [OI‬ﻫﻲ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺞ‬ ‫ ­  ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﺃﻓﺼــﻮﻝ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻭ ﺍﻟﻌﺪﺩ 1 ﺃﻓﺼــﻮﻝ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. I‬‬ ‫ ­  ﺃﻓﺼــﻮﻝ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ 4 . ﻭ ﻧﻜﺘﺐ  :  )4(‪  A‬ﺃﻭ  4 =  ‪. xA‬‬ ‫ 3 ­ = ‪. xB‬‬ ‫ ­  ﻓﺼــﻮﻝ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ B‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ 3 – . ﻭ ﻧﻜﺘﺐ  :  )3 ­ (‪  B‬ﺃﻭ‬ ‫ ﺃ‬ ‫ :‬ ‫ 2( – ﺍﻷﻓﺼﻮﻝ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻧﻄﺮﺡ ﻣﻦ ﺍﻷﻓﺼﻮﻝ ﺍﻟﻜﺒﻴﺮ ﺍﻷﻓﺼﻮﻝ ﺍﻟﺼﻐﻴﺮ‬ ‫ *  :‬ ‫ ﻣﺜﺎﻝ‬ ‫ )2( ‪ C(­ 1,5)  B(­ 5)  A‬ﻧﻘﻂ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺪﺭﺝ .‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ  ‪  AB‬ﻭ ‪ BC‬ﻭ ‪. AC‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬ ‫ ‪AC = xA  ­  xC‬‬ ‫ ‪BC = xC  ­  xB‬‬ ‫ ‪AB = xA  ­  xB‬‬ ‫ )5,1 ­(  ­  2 =‬ ‫ )5 ­(  ­  5,1 ­ =‬ ‫ =‬ ‫ 5,1  +  2 =‬ ‫ 5  +  5,1 ­ =‬ ‫ 5  +  2 =‬ ‫ 5,3  =‬ ‫ 5,3  =‬ ‫ 7  =‬ ‫ :‬ ‫ 3( –  ﺃﻓﺼﻮﻝ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻭﻗﻄﻌﺔ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ﺃﻓﺼﻮﻝ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﻫﻮ ﻧﺼﻒ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﻓﺼﻮﻟﻲ ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ .‬ ‫ ) 5 ­ (‪  A‬ﻭ ) 4 (‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﺎﻥ ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺪﺭﺝ‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺃﻓﺼﻮﻝ ‪ E‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪. [AB‬‬
‫ = ‪x A + x B  x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ 2‬ ‫ 1 -  4 + 5 -‬ ‫ =‬ ‫=‬ ‫ 5 0- =‬ ‫ ,‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  )5,0 ­ (‪E‬‬ ‫ ‪ _ II‬ﺍﻟﻤﻌﻠﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ :‬ ‫ :‬ ‫ 1( – ﺇﻧﺸﺎء ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ (D‬ﻭ )‪ (Δ‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺪﺭﺟﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ  ]‪  [OJ]  [OI‬ﻭ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  ‪  OI  =  OJ‬ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻣﻨﺴﻮﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﻌــﻠﻢ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻭ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ .‬ ‫ * ﻣﻔــﺮﺩﺍﺕ :‬ ‫ ﻮﺭ ﺍﻷﻓﺎﺻﻴﻞ .‬ ‫ ­­ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪  :  (OI‬ﻣﺤــ‬ ‫ ­­ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪  :  (OJ‬ﻣﺤــﻮﺭ ﺍﻷﺭﺍﺗﻴﺐ .‬ ‫ ­­ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻤﻌﻠﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺑﺎﻟﺮﻣــﺰ  :  ) ‪. ( O ; I ; J‬‬ ‫ :‬ ‫ 2( – ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺘﺎ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ  ‪ M‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﻌﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ  ‪  xM‬ﻭ  ‪yM‬‬ ‫ ﻳﺴﻤﻴﺎﻥ  ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺘﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ  ‪ . M‬ﻭ ﻧﻜﺘﺐ  :  )  ‪. M( xM ; yM‬‬
‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻣﻨﺴﻮﺑﺎ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻭ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ  ) ‪. (O ; I ; J‬‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻂ  :‬ ‫ ) 2 ; 1 ­ (‪  A‬ﻭ ) 2 ­ ; 3 (‪  B‬ﻭ  ) 4 ; 5,0 (‪  C‬ﻭ ) 3 ­ ; 0 (‪  D‬ﻭ ) 0 ; 2 (‪  E‬ﻭ ) 5 ­ ; 5 ­ (‪F‬‬ ‫ :‬ ‫ 3( – ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺘﺎ ﻣﻨﺘﺼﻒ  ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ]‪ [AB‬ﻗﻄﻌﺔ ﻭ ‪ E‬ﻣﻨﺘﺼﻔﻬﺎ .‬ ‫ ‪y A  + y B‬‬ ‫+‬ ‫= ‪y E‬‬ ‫ ‪  x E =  x A  x B‬ﻭ‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ) 5­ ; 2 (‪  A‬ﻭ  ) 6 ­ ; 4 ­ (‪  B‬ﻧﻘﻄﺘﺎﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻣﻨﺴﻮﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ .‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺜﻲ ‪ E‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪. [AB‬‬ ‫ 11 -  6  ( + 5 -  ‪y A  + y B‬‬ ‫ ) -‬ ‫ 1- =  2 - =  4  ( + 2 =  ‪x A  + x B‬‬ ‫ ) -‬ ‫ = ‪y E‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ 5 5- =‬ ‫ ,‬ ‫ ﻭ‬ ‫ = ‪x E‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  ) 5,5 ­ ; 1 ­ (‪E‬‬
‫ ﺍﻟــﺪﺍﺋـــــــــــــــــــــــﺮﺓ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ :‬ ‫ 1( – ﻣﺜــﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ ( C‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭﺷﻌﺎﻋﻬﺎ  ‪. 2 cm‬‬ ‫ ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻭ ‪ D  C  B‬ﻧﻘﻂ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪. ( C‬‬ ‫ ﻭ  ﻭ‬ ‫ ‪  OA = 2 cm‬ﻭ ‪ OB = 2 cm‬ﻭ ‪ OC = 2 cm‬ﻭ ‪. OD = 2 cm‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫ ﻧﻞ ﺍﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻂ  ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﻭ ‪  D‬ﺗﺒﻌﺪ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ 2 cm‬ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰ ‪. O‬‬ ‫ 2( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬ﻫﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ ﻣﺴﺎﻓﺘﻬﺎ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰ ‪ O‬ﻫﻲ ‪. r‬‬ ‫ 3( – ﻣﻔﺮﺩﺍﺕ :‬ ‫ ﻭﺗﺮ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻫﻮ ﻗﻄﻌﺔ ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ ﻳﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ * ﺍﻟﻮﺗﺮ :‬ ‫ ) ‪ ( C‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ [AB] . r‬ﻭ ]‪ [EF‬ﻗﻄﻌﺘﺎﻥ ﻃﺮﻓﻴﻬﻤﺎ ﻳﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ .‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﻛﻼ ﻣﻦ ]‪ [AB‬ﻭ ]‪  [EF‬ﻭﺗﺮ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪. ( C‬‬ ‫ﻗﻄﺮ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻫﻮ ﻭﺗﺮ ﻳﻤﺮ ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ :‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻄﺮ‬ ‫ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺃﻋﻼﻩ ﻧﺴﻤﻲ ]‪  [EF‬ﻗﻄﺮ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪. ( C‬‬
‫ 3( – ﺧـﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ) ‪ ( C‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬ﻭ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ .‬ ‫ ﻓﺈﻥ  ‪OM = r‬‬ ‫ ¤ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  ) ‪M Π(C‬‬ ‫ ﻓﺈﻥ  ) ‪M Π(C‬‬ ‫ ¤ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  ‪OM = r‬‬ ‫ ‪ _ I‬ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ :‬ ‫ 1( – ﻣﺜــﺎﻝ :‬ ‫ ) ‪ ( C‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪.  r‬‬ ‫ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪ ( C‬ﻭ )‪ (L‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ )‪ (OA‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. A‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )‪  (L‬ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪ ( C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ 2( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻣﻤﺎﺱ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ‪ M‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮﺩﻱ‬ ‫ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻞ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ  ‪. M‬‬ ‫ 3( – ﺧـﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ) ‪ ( C‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ M . r‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ  ﻭ )‪  (L‬ﺘﻘﻴﻢ .‬ ‫ ﻣﺴ‬ ‫ ) ‪M Π(C‬‬ ‫ ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  ) ‪ ( L‬ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪ ( C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. M‬‬ ‫‪OM‬‬ ‫ ‪(  ) ^ ( L‬‬ ‫ )‬ ‫ ) ‪M Π(C‬‬ ‫ ) ‪ ( L‬ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪ ( C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪  . M‬ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ‬ ‫‪OM‬‬ ‫ ‪(  ) ^ ( L‬‬ ‫ )‬ ‫ :  ﻧﺮﻣﺰ ﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪  ( C‬ﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ  :  )‪C (O ; r‬‬ ‫ ﻣ‬ ‫ * ﺗﺮﻣﻴــﺰ‬
‫ ﺍﻟـﻤــﻮﺷــﻮﺭ ﺍﻟﻘــﺎﺋﻢ ﻭ ﺍﻷﺳـﻄـــﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟـﻘــــــﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﻫﻮ ﻣﺠﺴﻢ ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻣﻦ :‬ ‫ 1( – ﻭﺟﻬﻴﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻗﺎﺑﻠﻴﻦ ﻟﻠﺘﻄﺎﺑﻖ ﻫﻤﺎ : ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻥ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ .‬ ‫ 2( – ﺃﺣﺮﻑ ﺟﺎﻧﺒﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ ﻫﻲ  : ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ .‬ ‫ 3( – ﺃﻭﺟﻪ ﺟﺎﻧﺒﻴﺔ ﻭ ﻫﻲ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ : ﻣﺴﺘﻄﻴﻼﺕ .‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ 1( – ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻭﺟﻪ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻋﺪﺩ ﺃﺿﻼﻉ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ .‬ ‫ ﻞ ﻣﺜﻠﺚ ﺃﻭ ﻣﺮﺑﻊ ﺃﻭ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﺃﻭ ﻣﻀﻠﻊ ﺭﺑﺎﻋﻲ‬ ‫ 2( – ﻗﺎﻋﺪﺗﺎ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺇﻣﺎ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﺷﻜ‬ ‫ ﺃﻭ ﻣﻀﻠﻊ ﺧﻤﺎﺳﻲ ..........‬ ‫ 2( – ﺃﻣﺜﻠــﺔ :‬ ‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﺜﻠﺚ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ­­ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺗﺎﻥ ﻫﻤﺎ : ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﻥ ‪ ABC‬ﻭ ‪. DEF‬‬ ‫ ­­ ﺍﻷﺣﺮﻑ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ]‪. [CF]  [BE]  [AD‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­­ ﺍﻷﻭﺟﻪ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ :  ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ‪ADFC‬‬ ‫ ﻭ ‪ ADEB‬ﻭ ‪. BEFC‬‬ ‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ­­ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺗﺎﻥ ﻫﻤﺎ : ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼﻥ ‪ ABCD‬ﻭ ‪. EFGH‬‬ ‫ ­ ﺍﻷﺣﺮﻑ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ]‪[DH]  [CG]  [BF]  [AE‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­‬ ‫ .‬ ‫ ­­ ﺍﻷﻭﺟﻪ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ‪DCGH  AEHD‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ‪. ABFE  BCGF‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ : ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ .‬ ‫ ﻧﺴﻤ‬
‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﺮﺑﻊ :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ ­­ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺗﺎﻥ ﻫﻤﺎ : ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺎﻥ ‪. EFGH  ABCD‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­ ﺍﻷﺣﺮﻑ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ]‪[DH]  [CG]  [BF]  [AE‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­‬ ‫ . ­­  ﻷﻭﺟﻪ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺎﺕ ‪DCGH  AEHD‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﺍ‬ ‫ ‪. ABFE  BCGF‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ : ﻣـﻜـﻌـــﺐ .‬ ‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﻀﻠﻊ ﺧﻤﺎﺳﻲ :‬ ‫ ﺩ‬ ‫ ­­ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺗﺎﻥ ﻫﻤﺎ : ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺎﻥ ‪. FGHMN  ABCDE‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­ ﺍﻷﺣﺮﻑ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ]‪[CH]  [BG]  [AF‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­‬ ‫ ]‪.  [DM]  [EN‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­­ ﺍﻷﻭﺟﻪ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ‪DMNE  AENF‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ‪ DCHM  BCGF‬ﻭ ‪. BCHG‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ‪ _ II‬ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ :‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ­­  ﺎﻋﺪﺗﺎﻥ ﻫﻤﺎ  : ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﺎﻥ‬ ‫ ﺍﻟﻘ‬ ‫ ﺍﻟﻠﺘﺎﻥ‬ ‫ ﻣﺮﻛﺰﻫﻤﺎ ‪  A‬ﻭ  ‪. B‬‬ ‫ ­­ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻫﻮ  :  ‪. AB‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪ _ III‬ﻧﺸﺮ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﻭ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ  :‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ﻢ :‬ ‫ 1( – ﻧﺸﺮ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋ‬ ‫‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﺜﻠﺚ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬
‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A  E‬‬ ‫ ‪F  B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D  H‬‬ ‫ ‪G  C‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﺮﺑﻊ :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪H‬‬ ‫ ‪G‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ 2( – ﻧﺸﺮ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ :‬ ‫ ‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ ‪B‬‬
‫ ﺍﻟﻤﺤﻴـﻄـــــــــﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤـﺴــــــــﺎﺣـﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﺤﺠــــــــﻮﻡ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻤﺤﻴﻄﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺤﻴﻂ‬ ‫ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ :‬ ‫ ‪BC ´ AH‬‬ ‫ = ‪S‬‬ ‫ ‪P =  AB + AC + BC‬‬ ‫ 2‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪H‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ :‬ ‫2‬ ‫ ‪p = 4 ´ AB‬‬ ‫ ‪S  =  AB‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ :‬ ‫ ‪S =  AB ´ BC‬‬ ‫ ) ‪P = 2  AB + BC‬‬ ‫ (‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﻌﻴﻦ :‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪AC ´ BD‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫ ‪P  = 4 AB‬‬ ‫ 2‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬
‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺤﻴﻂ‬ ‫ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ : ‫ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ A  S =  AB ´ AH  P = 2  AB + BC )  (  D  B  H  C  : ‫ ﺷﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺮﻑ‬ ( AB  = CD  ´ AH  )  A  B  S =  p =  AB  = BC  = CD = DA  2  D  H  C  : ‫ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ O  r 2  S = π x r  P = 2π x r 
‫ ‪ _ II‬ﺍﻟﻤﺤﻴﻄﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎء :‬ ‫ ﺍﻟﺤﺠــﻢ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ‬ ‫ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ :‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪V=AB.AD.AE‬‬ ‫ ‪ST=SL+2AB.AD‬‬ ‫ )‪SL=2(AB.AE+AD.AE‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪H‬‬ ‫ ‪G‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﻜﻌﺐ :‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ 3‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ‪V= AB‬‬ ‫ ‪ST=  6AB‬‬ ‫ ‪SL= 4AB‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪H‬‬ ‫ ‪G‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ :‬ ‫ ‪V = SB  x AE‬‬ ‫ ‪ST  = SL  + 2SB‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪SL= P x AE‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪ = P‬ﻣﺤﻴﻂ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪H‬‬ ‫ ‪ = SB‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫ ‪G‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ :‬ ‫ ‪r‬‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ‪V = πr  .h‬‬ ‫ ‪ST = SL  + 2πr‬‬ ‫ ‪SL  = 2π . r.h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ ‪B‬‬
‫ ﺍﻹﺣــﺼــــــــــــــــــﺎء‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ :‬ ‫ 1( – ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ‪x‬‬ ‫ ´ ‪n‬‬ ‫ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ  % ‪ x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ n‬ﻫﻮ ﺣﺴﺎﺏ  :‬ ‫ 001‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ 1 :‬ ‫ ﺑﻘﺴﻢ ﻳﺤﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ 04 ﺗﻠﻤﻴﺬﺍ ﻳﻮﺟﺪ  %06 ﻣﻦ ﺍﻹﻧﺎﺙ .‬ ‫ .‬ ‫ ﻟﻨﺤﺪﺩ ﻋﺪﺩ ﺍﻹﻧﺎﺙ ﻭ ﺍﻟﺬﻛﻮﺭ‬ ‫ 0042  06‬ ‫ ´ 04  ﻭ ﻣﻨﻪ  ﻓﺈﻥ  :  61 = 42 – 04‬ ‫=‬ ‫ 42 =‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫ 001  001‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻹﻧﺎﺙ ﻫﻮ  :  42  ﻭ    ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺬﻛﻮﺭ ﻫﻮ  :  61‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ 2 :‬ ‫ ﺏ ﺛﻤﻨﻪ  ‪  24 DH‬ﺇﺫﺍ ﻛﻨﺎ ﺳﻨﺴﺘﻔﻴﺪ ﻣﻦ ﺗﺨﻔﻴﺾ ﻗﺪﺭﻩ  % 01 ؟‬‫ ﻛﻢ ﺳﻨﺪﻓﻊ ﻟﺸﺮﺍء ﻛﺘﺎ‬ ‫ ­­  ﻟﻨﺤﺪﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ  :‬ ‫ 042  01‬ ‫ ´ 42‬ ‫=‬ ‫ 4 2 =‬ ‫ ,‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫ 001  001‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ ﻫﻲ  :  ‪. 2,4 DH‬‬ ‫ ­­  ﻣﺎ ﺳﻨﺪﻓﻌﻪ ﻟﺸﺮﺍء ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ  :‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :  6,12  =  4,2  –  42‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺳﻨﺪﻓﻊ ﻟﺸﺮﺍء ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ  :  ‪. 21,6 DH‬‬ ‫ 2( – ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ b‬ﻳﺸﻜﻞ  % ‪ x‬ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ a‬ﻓﺈﻥ 001 ´  = ‪x‬‬ ‫ ‪a‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ 1 :‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ﻣﻨﺰﻝ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ  ‪ . 90 m‬ﺑﻪ ﺣﺠﺮﺓ ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ  ‪.  20 m‬‬ ‫ ﻟﻨﺤﺪﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻤﺜﻠﻬﺨﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺤﺠﺮﺓ ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻨﺰﻝ .‬ ‫ 02‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :  22 22 = 001 ´  = ‪x‬‬ ‫ ,‬ ‫ 09‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺤﺠﺮﺓ ﺗﻤﺜﻞ  % 22,22 ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻨﺰﻝ .‬
‫ * ﻣﺜﺎﻝ 2 :‬ ‫ ‪ 125 kg‬ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻤﺢ ﺗﻌﻄﻲ ‪ 93,75 kg‬ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻗﻴﻖ .‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻳﻌﻄﻴﻬﺎ ﺍﻟﻘﻤﺢ ﻣﻦ ﻛﺜﻠﺔ ﺍﻟﺪﻗﻴﻖ .‬ ‫ 57 39‬ ‫ ,‬ ‫ = ‪x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :  57 = 001 ´‬ ‫ 521‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻳﻌﻄﻴﻬﺎ ﺍﻟﻘﻤﺢ ﻣﻦ ﻛﺘﻠﺔ ﺍﻟﺪﻗﻴﻖ ﻫﻲ  :  % 57 .‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻹﺣﺼــﺎء :‬ ‫ :‬‫ 1( –  ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭ ﺗﻨﻈﻴﻤﻬﺎ‬ ‫ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺗﺘﻌﻠﻖ ﺑﻨﻘﻂ ﻓﺮﺽ ﻣﺤﺮﻭﺱ ﻓﻲ ﻣﺎﺩﺓ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ .‬ ‫ 6   31   4   11   6   01   9   7   01   9‬ ‫ 7   41   11   5   31   5   41   8   21‬ ‫ 01   21   01   8   6   01   11   8   01‬ ‫ 9   21   7   41   11   4   8   21   6‬ ‫ :‬ ‫ 2( –  ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻲ‬ ‫ 9  8  7  6  5  4‬ ‫ 01‬ ‫ 11‬ ‫ 21‬ ‫ 31‬ ‫ 41‬ ‫ (‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻂ ) ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ‬ ‫ 3  5  3  4  1  2‬ ‫ 6‬ ‫ 4‬ ‫ 4‬ ‫ 2‬ ‫ 3‬ ‫ (‬ ‫ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﻼﻣﻴﺬ ) ﺍﻟﺤﺼﻴﺺ‬ ‫ :‬ ‫ * ﻣﻔــﺮﺩﺍﺕ‬ ‫ ‪  n‬ﺍﻟﺴﺎﻛﻨﺔ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺔ  :  ﻫﻲ ﺍﻷﺷﺨﺎﺹ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﺃﺟﺮﻳﺖ ﻋﻠﻴﻬﻢ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻹﺣﺼــﺎء . ) ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤ‬ ‫ ﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﻛﻨﺔ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﻫﻢ‬ ‫ ﺍﻟﺘﻼﻣﻴﺬ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﻗﺎﻣﻮﺍ ﺑﻺﻧﺠﺎﺯ ﺍﻟﻔﺮﺽ ﺍﻟﻤﺤﺮﻭﺱ ( .‬ ‫ ‪  n‬ﺍﻟـﻤﻴــﺰﺓ :  ﻫﻲ ﻻﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻤﺪﺭﻭﺳﺔ .  ) ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ ﻫﻲ ﻧﻘﻂ ﺍﻟﻔﺮﺽ ﺍﻟﻤﺤﺮﻭﺱ ( .‬ ‫ ‪  n‬ﺍﻟﺤﺼﻴﺺ  :  ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﻼﻣﻴﺬ ﻟﻜﻞ ﻣﻴﺰﺓ . )  ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ : ﺣﺼﻴﺺ ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ 21 ﻫﻮ  4 . ﺣﺼﻴﺺ ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ 5 ﻫﻮ 1 ( .‬ ‫ ‪  n‬ﺍﻟﺤﺼﻴﺺ ﺍﻹﺟﻤﺎﻟﻲ : ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺷﺨﺎﺹ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﺃﺟﺮﻳﺖ ﻋﻠﻴﻬﻢ ﻋﻤﻠﻴﺔﺍﻹﺣﺼﺎء ) ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺤﺼﺒﻴﺺ ﺍﻹﺟﻤﺎﻟﻲ ﻫﻮ‬ ‫ .‬ ‫ 73(‬ ‫ 2( –  ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ :‬ ‫ ﺺ ) ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﻼﻣﻴﺬ (‬ ‫ ﺍﻟﺤﺼﻴ‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﺑﺎﻟﻘﻀﺒﺎﻥ :‬‫ ﺃ‬ ‫ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ‬ ‫ﻳﺔ‬ ‫ﺑﺔ‬ ‫ﻳﺔ‬ ‫ ﺃﺳﺘﺎﺫ ﺜﺎﻧﻮﻳﺔ‬ ‫ﻸﺳ ﺎﺫ‬ ‫ﺜﺎﻧﻮ‬ ‫ ﻣﻮﻗ‬
‫ ) ﺍﻟﻨﻘﻂ (‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﺍﻟﻘﻄﺎﻋﻲ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ * ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻭﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ :‬ ‫ 7 < ‪D :11 £ n £ 14  C : 9 £ n < 11  B : 7 £ n < 9  A : 4 £ n‬‬ ‫ 4‬ ‫ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬ ‫ 31‬ ‫ 9‬ ‫ 8‬ ‫ 7‬ ‫ 73‬ ‫ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﻼﻣﻴﺬ‬ ‫ % 43‬ ‫ % 42‬ ‫ % 22‬ ‫ % 91‬ ‫ % 001‬ ‫ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ‬ ‫ °621‬ ‫ °88‬ ‫ °87‬ ‫ °86‬ ‫ °063‬ ‫ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬ ‫ * ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﺍﻟﻘﻄﺎﻋﻲ  :‬ ‫ 3( –  ﺍﻟـﺘـــﺮﺩﺩ :‬ ‫ ( ­ ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ﺗﺮﺩﺩ ﻣﻴﺰﺓ ﻫﻮ ﺧﺎﺭﺝ ﺣﺼﻴﺼﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺼﻴﺺ ﺍﻹﺟﻤﺎﻟﻲ‬ ‫ ( ­ ﻣـﺜــﺎﻝ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺃﻋﻼﻩ :‬ ‫3‬ ‫ 18 0 =‬ ‫ ,‬ ‫ ﺗﺮﺩﺩ ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ  41  ﻫﻮ  :‬ ‫ 73‬ ‫6‬ ‫ 861 0 =‬ ‫ ,‬ ‫ :‬ ‫ ﺗﺮﺩﺩ ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ  01  ﻫﻮ‬ ‫ 73‬

More Related Content

PDF
27810843
byrachid__015
 
PDF
P209 222 ma-lesson8 rnc
bymaysam jazmawy
 
PDF
أشهر المنحنيات والمجسمات
byYassin Balja
 
PDF
اساليب الانتقال بين_المشاهد_و_اللقطات
bymarianamaya
 
PDF
3 accom
bytarek1961moussa
 
PDF
Ami229
bybades12
 
PDF
12 الحساب المثلثي – الجزء الثاني
byAHMED ENNAJI
 
PPT
إسلاميات 2
bytarek1961moussa
 
27810843
byrachid__015
 
P209 222 ma-lesson8 rnc
bymaysam jazmawy
 
أشهر المنحنيات والمجسمات
byYassin Balja
 
اساليب الانتقال بين_المشاهد_و_اللقطات
bymarianamaya
 
3 accom
bytarek1961moussa
 
Ami229
bybades12
 
12 الحساب المثلثي – الجزء الثاني
byAHMED ENNAJI
 
إسلاميات 2
bytarek1961moussa
 

More from tarek1961moussa

PDF
ficall
bytarek1961moussa
 
PDF
Al7 ma19tepa0009 sequence-03
bytarek1961moussa
 
PDF
Al7 ma27tepa0009 sequence-02
bytarek1961moussa
 
PDF
الإحتمالات
bytarek1961moussa
 
PDF
Al7 ma19tepa0009 sequence-04
bytarek1961moussa
 
PDF
Serie3
bytarek1961moussa
 
PPT
ما شاء الله
bytarek1961moussa
 
PDF
Serie1
bytarek1961moussa
 
PDF
Serie2
bytarek1961moussa
 
PDF
Al7 ma17tepa0009 sequence-01
bytarek1961moussa
 
PPT
أعمال منجية من النار
bytarek1961moussa
 
PDF
السِّيرَةُ النَّبَوِيَّةُ لِابْنِ هِشَامٍ 0- 2499
bytarek1961moussa
 
PPT
أذكار المسلم
bytarek1961moussa
 
PPT
الدليل المختصر في سيرة خير البشر
bytarek1961moussa
 
PPT
50حديث
bytarek1961moussa
 
ficall
bytarek1961moussa
 
Al7 ma19tepa0009 sequence-03
bytarek1961moussa
 
Al7 ma27tepa0009 sequence-02
bytarek1961moussa
 
الإحتمالات
bytarek1961moussa
 
Al7 ma19tepa0009 sequence-04
bytarek1961moussa
 
Serie3
bytarek1961moussa
 
ما شاء الله
bytarek1961moussa
 
Serie1
bytarek1961moussa
 
Serie2
bytarek1961moussa
 
Al7 ma17tepa0009 sequence-01
bytarek1961moussa
 
أعمال منجية من النار
bytarek1961moussa
 
السِّيرَةُ النَّبَوِيَّةُ لِابْنِ هِشَامٍ 0- 2499
bytarek1961moussa
 
أذكار المسلم
bytarek1961moussa
 
الدليل المختصر في سيرة خير البشر
bytarek1961moussa
 
50حديث
bytarek1961moussa
 

W1ac+cours

  • 1.
    ‫ ﺑﺴﻢ ﺍﷲ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ ﺍﻟﺮﺣﻴﻢ‬ ‫ ﻭﺍﻟﺼﻼﺓ ﻭﺍﻟﺴﻼﻡ ﻋﻠﻰ ﺃﺷﺮﻑ ﺍﻟﻤﺨﻠﻮﻗﻴﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺳﻴﺪ ﺍﻟﻤﺮﺳﻠﻴﻦ ﻭﻋﻠﻰ ﺁﻟﻪ ﻭﺻﺤﺒﻪ ﺃﺟﻤﻌﻴﻦ‬ ‫ ﺃﻣﺎ ﺑﻌﺪ ٬ ﻳﺴﺮﻧﻲ ﺃﻥ ﺃﻗﺪﻡ ﻟﻜﻢ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺿﻊ ﻭﻫﻮ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺟﻤﻴﻊ ﺩﺭﻭﺱ‬ ‫ ﻭﻟﻰ ﺛﺎﻧﻮﻱ ﺇﻋﺪﺍﺩﻱ ﻣﺠﻤﻌﺔ ﻓﻲ ﻛﺘﺎﺏ ﻭﺍﺣﺪ ﻣﻔﻬﺮﺱ‬ ‫ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻷ‬ ‫ ﺟﻤﻌﺖ ﻣﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬ ‫ ‪www.anissmaths.ift.cx‬‬ ‫ ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟ  ﻬﺪﻱ ﻋﻨﻴﺲ‬ ‫ ﻤ‬ ‫ ﻟﺘﺼﻔﺢ ﺃﻱ ﺩﺭﺱ ﺃﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻋﻨﻮﺍﻧﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻬﺮﺱ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ‬ ‫ ﻭﻟﻠﺮﺟﻮﻉ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻔﻬﺮﺱ  ﺇﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ‪R‬‬ ‫ ﺗﺠﻤﻴﻊ ﻭﺗﺮﺗﻴﺐ ﻭﻓﻬﺮﺳﺖ‬ ‫‪ALMOHANNAD‬‬
  • 2.
    ‫ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭ ﺃﺟــﺰﺍﺅﻩ‬ ‫ ﺴﺮﻳﺔ  +  ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ‬ ‫ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜ‬ ‫ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ‬ ‫ ﻭﺍﺳــﻂ ﻗﻄﻌﺔ  +  ﺍﻟﻤﺘﻔﺎﻭﺗﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ  ﻭ  ﺗﻘﺪﻳﻢ‬ ‫ ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ ﺧــﺎﺻﺔ  +  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ ﻃﺮﺡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ  ﻭ  ﺟﻤﻊ‬ ‫ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ  ﻭ  ﺿﺮﺏ‬ ‫ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻋﺎﺕ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ  ﻭ  ﺍﻟﻤﻨﺼﻔﺎﺕ‬ ‫ ﺍﻟـﻘــــﻮﻯ‬ ‫ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺮﻛــﺰﻱ‬ ‫ ﺍﻟﺘﻌﻤﻴــﻞ  ﻭ  ﺍﻟﻨﺸــﺮ‬ ‫ ﻣﺘــﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿــﻼﻉ‬ ‫ ﺍﻟﻤـﻌــﺎﺩﻻﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺴــﺎﺋﻞ‬ ‫ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴــﺎﺕ ﺍﻟﺨــﺎﺻﺔ‬ ‫ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻭ ﻗــﺎﻃﻊ‬ ‫ ﺍﻟـﺘـﻨــــﺎﺳﺒﻴــﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﻌﻠــﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘــﻮﻯ  +  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴــﻢ ﺍﻟﻤــﺪﺭﺝ‬ ‫ ﺍﻟـــــﺪﺍﺋــﺮﺓ‬ ‫ ﺍﻷﺳﻄــﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟﻘــﺎﺋﻤﺔ  ﻭ  ﺍﻟﻤﻮﺷــﻮﺭ ﺍﻟﻘــﺎﺋﻢ‬ ‫ ﺍﻟﺤﺠــﻮﻡ  ﻭ  ﺍﻟﻤﺴــﺎﺣﺎﺕ  ﻭ  ﺍﻟﻤﺤﻴـﻄــﺎﺕ‬ ‫ﺍﻹﺣﺼــــﺎء‬
  • 3.
    ‫ ﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍ‬ ‫ 1( – ﺣﺴﺎﺏ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺑﺪﻭﻥ ﺃﻗﻮﺍﺱ :‬ ‫ ( ­ ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺗﻌﺒﻴﺮ ﺟﺒﺮﻱ ﻣﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻣﻦ ﻋﻤﻠﻴﺘﻲ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻭ ﺍﻟﻄﺮﺡ‬ ‫ ﻓﻘﻂ ﺃﻭ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻭ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻓﻘﻂ ﻭ ﺑﺪﻭﻥ ﺃﻗﻮﺍﺱ , ﻧﻨﺠﺰ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻣﻦ‬ ‫ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻦ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 5,1 – 9 – 7,3 + 5,0 + 5,3 – 11 + 5,2 = ‪A‬‬ ‫ 5,1 – 9 – 7,3 + 5,0 + 5,3 – 5,31 =‬ ‫ 5,1 – 9 – 7,3 + 5,0 + 5,3 – 01 =‬ ‫ 5,1 – 9 – 7,3 + 5,0 + 5,7 =‬ ‫ 5,1 – 9 – 7,3 + 8 =‬ ‫ 5,1 – 9 – 7,11 =‬ ‫ 5,1 – 7,2 =‬ ‫ 2,1 =‬ ‫ ( ­ ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺗﻌﺒﻴﺮ ﺟﺒﺮﻱ ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ‬ ‫ ﻭﺑﺪﻭﻥ ﺃﻗﻮﺍﺱ ‘ ﻧﻨﺠﺰ ﻋﻤﻠﻴﺘﻲ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻭ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻗﺒﻞ‬ ‫ ﻋﻤﻠﻴﺘﻲ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻭ ﺍﻟﻄﺮﺡ ﺛﻢ ﻧﻄﺒﻖ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ 1 .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 5,1 – 4 : 6,8 + 11 – 2 ‪B = 22 – 2,5 + 7 x‬‬ ‫ 5,1 – 51,2 + 11 – 41 + 5,2 – 22 =‬ ‫ 5,1 – 51,2 + 11 – 41 + 5,02 =‬ ‫ 5,1 – 51,2 + 11 – 5,43 =‬ ‫ 5,1 – 51,2 + 11 – 5,32 =‬ ‫ 5,1 – 51,2 + 5,21 =‬ ‫ 5,1 – 56,41 =‬ ‫ 51,31 =‬
  • 4.
    ‫ 2( – ﺣﺴﺎﺏ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺑﺄﻗــﻮﺍﺱ :‬ ‫ ( ­ ﻗﺎﻋﺪﺓ 3 :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ ﻌﺒﻴﺮ ﺟﺒﺮﻱ ﻣﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺑﺄﻗﻮﺍﺱ‬‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺗ‬ ‫ ﻧﺤﺴﺐ ﺃﻭﻻ ﻣﺎ ﺑﻴﻦ ﻗﻮﺳﻴﻦ ﺛﻢ ﻧﻨﺠﺰ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻷﺧﺮﻯ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 2,3 – ) 4 – 8,5 ( ‪C = 3,5 + [ 14 – ( 1,5 + 3 ) ] x 2 – 0,5  x‬‬ ‫ 2,3 – 8,1  ‪= 3,5 + [ 14 – 4,5 ] x 2 – 0,5  x‬‬ ‫ 2,3 – 8,1 ‪= 3,5 + 9,5 x 2 – 0,5 x‬‬ ‫ 2,3 – 9,0  – 91 + 5,3  =‬ ‫ 2,3 – 9,0 – 5,22 =‬ ‫ 2,3 – 4,12 =‬ ‫ 2,81 =‬ ‫ 3( – ﺗﻮﺯﻳﻌﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻭ ﺍﻟﻄﺮﺡ :‬ ‫ (  ­ ﻗﺎﻋﺪﺓ 4 :‬ ‫ ﺩ‬ ‫ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪  k‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ .‬ ‫ ‪k x ( a + b ) = a x k + b x k    ;     k x ( a – b ) =  a x k – b x k‬‬ ‫‪( a + b ) x k = a x k + b x k    ;    ( a – b ) x k = a x k – b x k‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ) 5,5 – 11 ( ‪D = 2,5 x ( 4 + 7,2 )                  E = 3 x‬‬ ‫ 5,5 ‪= 2,5 x 4 + 2,5 x 7,2                 = 3 x 11 – 3 x‬‬ ‫ ,61 – 33 =                                 81 + 01 =‬ ‫ 71 =                                         82 =‬ ‫ 5,1 ‪F = ( 6,5 + 1 ) x 5                     G = ( 13 – 9,2 ) x‬‬ ‫ 2,9 ‪= 5 x 6,5 + 5 x 1                        = 1,5 x 13 – 1,5 x‬‬ ‫ 8,31 – 5,91  =                                 5 + 5,23 =‬ ‫ 5,73 =‬ ‫ 7,5  =‬
  • 5.
    ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴــﻢ ﻭ ﺃﺟــﺰﺍﺅﻩ‬ ‫ ‪ – I‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ­  ﺍﻟﻨﻘــﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ .‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻭﺩ‬ ‫ , ﻭ ﻫﻮ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ *  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻤﺜﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻭ ﻗﺪ ﺭﻣﺰﻧﺎ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ : )‪. (D‬‬ ‫ )‪(D‬‬ ‫ 2( – ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ :‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺣﻴـــﺪ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﺮﻣﺰﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ :  )‪. (AB‬‬ ‫ * ﻣﻼﺣــﻈـﺔ ﻫﺎﻣــﺔ :‬ ‫ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺗﻤﺮ ﻋــﺪﺓ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‬
  • 6.
    ‫ 3( – ﺍﻟﻨﻘﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﻧﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻂ  ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﻭ ‪  D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ .‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻂ ‪ E‬ﻭ ‪ F‬ﻭ ‪ G‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ .‬ ‫ ‪ _ II‬ﺍﻷﻭﺿﺎﻉ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ :‬ ‫ 1( – ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺎ ﻳﺸﺘﺮﻛﺎﻥ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ )‪ (D‬ﻭ )‪ (L‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ .‬ ‫ 2(  ﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﻄﺒﻘﺎﻥ :‬ ‫ ﺍﻟﻤ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﻨﻄﺒﻘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺎ ﻳﺸﺘﺮﻛﺎﻥ ﻓﻲ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ )‪ (L‬ﻭ )‪ (K‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﻨﻄﺒﻘﺎﻥ .‬
  • 7.
    ‫ 3( – ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻗﻄﻌﺎ :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺎ ﻻ ﻳﺸﺘﺮﻛﺎﻥ ﻓﻲ ﺃﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ )‪ (D‬ﻭ )‪ (L‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻗﻄﻌﺎ ﻭ ﻧﻜـــﺘﺐ :  )‪(D) // (L‬‬ ‫ ﻭ ﻧﻘﺮﺃ  : )‪  (D‬ﻳﻮﺍﺯﻱ  )‪  (L‬ﻭ  )‪  (L‬ﻳﻮﺍﺯﻱ  .‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪ _ III‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺎ ﻳﺤﺪﺩﺍﻥ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪  (D‬ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )‪  ( R‬ﻭ ﻧﻜــﺘﺐ : )‪( R )  ^  (D‬‬ ‫ ﻭ ﻧﻘﺮﺃ  : )‪  (D‬ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ) ‪  ( R‬ﺃﻭ  ) ‪  ( R‬ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ  )‪(D‬‬ ‫ 2( – ﺧـﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺣﻴــﺪ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻨﻘﻴﻢ ﻣﻌﻠﻮﻡ‬ ‫ ‪  _ IV‬ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ :‬ ‫ 1( – ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﺟﺰء ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺍﻟﻤﻠﻮﻥ ﺑﺎﻷﺣﻤﺮ ﻳﺴﻤﻰ : ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺃﺻﻠﻪ ‪ A‬ﻭ ﻳﻤﺮ ﻣﻦ ‪. B‬‬ ‫ ﻭ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ  :  )‪. [AB‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ :  (D‬ﺣــﺎﻣﻞ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. [AB‬‬
  • 8.
    ‫ 2( – ﻧﺼﻔﺎ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻼﻥ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻧﺼﻔﺎ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺎ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻭ ﻛﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ‬ ‫ ﺍﻷﺻﻞ ﻭ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺤــﺎﻣﻞ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﻧﺼﻔﻲ ﺍﻟﻤﺘﻘﻴﻢ  )‪  [AB‬ﻭ )‪  [AC‬ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺮﺃﺱ ‪  A‬ﻭ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺤﺎﻣﻞ )‪. (D‬‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ  )‪  [AB‬ﻭ  )‪  [AC‬ﻧﺼﻔﺎ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ .‬ ‫ 3( – ﺍﻟﻤﺴﻘﻂ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﻘﻂ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ )‪  (D‬ﻫﻲ ‪  H‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ  )‪(D‬‬ ‫ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ  ‪. H‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ EH‬ﺗﺴﻤﻰ  : ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪  E‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )‪(D‬‬ ‫ ‪ _ V‬ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ :‬ ‫ 1( – ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺸﻜﻞ  : ﻗـﻄــﻌـﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴـﻤﻴــﺔ .  ﻭ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ  :  ]‪. [AB‬‬ ‫ ‪  A‬ﻭ  ‪  B‬ﻳﺴﻤﻴﺎﻥ  : ﻃﺮﻓﻲ  ﻄﻌﺔ  ]‪. [AB‬‬ ‫ ﺍﻟﻘ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )‪  (AB‬ﻳﺴﻤﻰ  ﺣﺎﻣﻞ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ  ]‪[AB‬‬ ‫ 2( – ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﻫﻮ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﻭ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ ﻋﻦ ﻃﺮﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﻄﻌــﺔ .‬
  • 9.
    ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌــﺔ  ]‪. [AB‬‬ ‫ ﻭ  ‪MA  =  MB‬‬ ‫ * ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :  ‪ M‬ﻣﻨﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [AB‬ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  : ]‪M  Π [AB‬‬ ‫ 3( – ﺍﻟﻘﻄﻌﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ﻗﻄﻌﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻄـــﻮﻝ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ  ]‪  [AB‬ﻭ ]‪  [CD‬ﻗﻄﻌﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ  ,  ﻭ ﻧﻜــﺘﺐ  : ‪AB = CD‬‬
  • 10.
    ‫ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ  ﻭ  ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ‬ ‫ 1( – ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ  ﻟﻌﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ :‬ ‫ *  ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ .‬ ‫ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻛﺘﺎﺑﺎﺕ ﻛﺴﺮﻳﺔ ﺍﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ ﻭ ﺫﻟﻚ ﺑﻀﺮﺏ ﺃﻭ‬ ‫ ﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻱ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻐﻴﺮ ﺍﻟﻤﻨﻌﺪﻡ .‬ ‫ ﻗﺴﻤﺔ ﺣﺪﻱ ﻫﺬﺍ ﺍﻟ‬ ‫ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ m‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﺑﺤﻴﺚ : ‪  m  a‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ .‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ :‬ ‫ ‪a ´ m  a‬‬ ‫ ‪a : m  a‬‬ ‫ ;;‬ ‫=‬ ‫ =‬ ‫ ‪b ´ m  b‬‬ ‫ ‪b : m  b‬‬ ‫ 6  2 : 21 21‬ ‫ 51  3 ´ 5 5‬ ‫ =  ;;‬ ‫=‬ ‫ =‬ ‫=‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 7  2 : 41  41‬ ‫ 72  3 ´ 9  9‬ ‫ 2( – ﺟﻌﻞ ﻣﻘﺎﻡ ﻋﺸﺮﻱ ﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ﻛﺴﺮﻳﺔ ﻋﺪﺩﺍ ﺻﺤﻴﺤﺎ :‬ ‫ *  ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ﻟﺠﻌﻞ ﻣﻘﺎﻡ ﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ ﻋﺪﺩﺍ ﺻﺤﻴﺤﺎ , ﻧﻀﺮﺏ ﺣﺪﻱ ﻫﺬﺍ‬ ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻱ ﻓﻲ :  ﺃﻭ 001  0001 ﺃﻭ .......‬ ‫ ﺃﻭ‬ ‫ 01‬ ‫31‬ ‫ 00031  0001 ´ 31‬ ‫7‬ ‫ 007  001´ 7‬ ‫ 011  01  11 11‬ ‫´‬ ‫ =‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫ =‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫ =‬ ‫=‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 2101  0001 ´ 210 1  210 1‬ ‫ ,‬ ‫ ,‬ ‫ 2  001´ 20 0  20 0‬ ‫ ,‬ ‫ ,‬ ‫ 53  01´ 5 3  5 3‬ ‫ ,‬ ‫ ,‬ ‫ 3( – ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ :‬ ‫ *  ﻗﺎﻋﺪﺓ 3 :‬ ‫ , ﻓﺈﻥ ﺃﻛﺒﺮﻫﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﻟﻪ ﺃﻛﺒﺮ ﺑﺴﻂ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ  ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‬
  • 11.
    ‫ 71 15‬ ‫ 17 31‬ ‫7‬ ‫ 3‬ ‫ >  15‬ ‫ ﻷﻥ‬ ‫ >‬ ‫ ;;‬ ‫ ﻷﻥ  17  <  31‬ ‫ <‬ ‫ ;;‬ ‫ ﻷﻥ  3  >  7‬ ‫ >‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 2  2‬ ‫ 9  9‬ ‫ 11  11‬ ‫ 71‬ ‫ 4( –  ﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺒﺴﻂ :‬ ‫ ﻣﻘﺎ‬ ‫ *  ﻗﺎﻋﺪﺓ 4 :‬ ‫ , ﻓﺈﻥ ﺃﻛﺒﺮﻫﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﻟﻪ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻘﺎﻡ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ  ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺒﺴﻂ‬ ‫ 71 71‬ ‫ 7 7‬ ‫ 3 3‬ ‫ ﻷﻥ  22  <  9‬ ‫ >‬ ‫ ﻷﻥ  31  >  14  ;;‬ ‫ >‬ ‫ ﻷﻥ  13  <  11  ;;‬ ‫ >‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 22  9‬ ‫ 31  14‬ ‫ 13  11‬ ‫ 5( –  ﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻣﻘﺎﻡ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟﻤﻘﺎﻡ ﺍﻵﺧﺮ :‬ ‫ ﻣﻘﺎ‬ ‫ *  ﻗﺎﻋﺪﺓ 4 :‬ ‫ ﻟﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻣﻘﺎﻡ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟﻤﻘﺎﻡ ﺍﻵﺧﺮ , ﻧﻮﺣﺪ‬ ‫ ﻣﻘﺎﻣﻴﻬﻤﺎ ﺛﻢ ﻧﻄﺒﻖ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ  3‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 7‬ ‫ 5‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻟﻨﻘﺎﺭﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ  :‬ ‫ 4‬ ‫ 61‬ ‫ 82  4 ´ 7 7‬ ‫ 5‬ ‫ 5‬ ‫ =‬ ‫=‬ ‫ ﻭ‬ ‫ =‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬ ‫ 61  4 ´ 4  4‬ ‫ 61  61‬ ‫ 82 5‬ ‫ ﻷﻥ  82  <  5‬ ‫ <‬ ‫ ﻭﺑﻤﺎ ﺃﻥ‬ ‫ 61  61‬ ‫ 7 5‬ ‫ <‬ ‫ ﻓﺈﻥ‬ ‫ 4  61‬ ‫ 6( –  ﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ ﻭ 1 :‬ ‫ ﻣﻘﺎ‬ ‫ 5 :‬ ‫ *  ﻗﺎﻋﺪﺓ‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ 1 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺑﺴﻄﻪ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﻣﻘﺎﻣﻪ , ﻭ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ 1 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺑﺴﻄﻪ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﻣﻘﺎﻣﻪ .‬ ‫5‬ ‫17‬ ‫ ﻷﻥ  3  <  5‬ ‫ 1 <‬ ‫ ;;‬ ‫ 25  >  17‬ ‫ ﻷﻥ‬ ‫ 1 >‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 73‬ ‫ 25‬
  • 12.
    ‫ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﺴــﺮﻳﺔ‬ ‫ 1( –  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ  :‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ﻘﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ .‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻧﻀﺮﺏ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻭ ﺍﻟﻤ‬ ‫ ‪a c  a ´ c‬‬ ‫ ‪c‬‬ ‫ ‪a‬‬ ‫=  ´‬ ‫ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻛﺴﺮﻳﺎﻥ :‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ‪b  d  b ´ d‬‬ ‫ ‪d‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ 54  3 ´ 51  3  51  3‬ ‫31‬ ‫ 711  9 ´ 31‬ ‫ 77  7 ´ 11  7 11‬ ‫= ´ =  ´ 5,1‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫= 9 ´‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫=  ´‬ ‫=‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 07  7 ´ 01  7  01  7‬ ‫ 22‬ ‫ 22  1 ´ 22‬ ‫ 01  2 ´ 5  2  5‬ ‫ ﺎﻡ  :‬ ‫ 2( –  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭ ﻓﺮﻕ  ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻘ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ﻭ ﻓﺮﻕ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ :  ﻧﺤﺘﻔﻆ ﺑﻨﻔﺲ‬‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃ‬ ‫ .‬ ‫ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﺛﻢ ﻧﺤﺴﺐ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﻭ ﻓﺮﻕ ﺍﻟﺒﺴﻄﻴﻦ‬ ‫ ‪a c  a - c‬‬ ‫ ‪a c  a + c‬‬ ‫ ‪c  a‬‬ ‫=  -‬ ‫=  +  ﻭ  ‪(  > c‬‬ ‫ )  ‪a‬‬ ‫ ﻭ  ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻛﺴﺮﻳﺎﻥ  :‬ ‫ ‪b  b‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ ‪b  b‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ 8  91 - 72  91 72‬ ‫ 81  7 + 11  7 11‬ ‫=  -‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫=  +‬ ‫=‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 9  9‬ ‫ 9‬ ‫ 9‬ ‫ 5  5‬ ‫ 5‬ ‫ 5‬ ‫ 3( – ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭ ﻓﺮﻕ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻣﻘﺎﻡ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻣﻘﺎﻡ ﺍﻵﺧﺮ :‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 3 :‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﻭ ﻓﺮﻕ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻛﺴﺮﻳﻴﻦ ﻣﻘﺎﻡ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟﻤﻘﺎﻡ‬ ‫ ﺍﻵﺧﺮ , ﻧﻮﺣﺪ ﻣﻘﺎﻣﻴﻬﻤﺎ ﺛﻢ ﻧﻄﺒﻖ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ 2 .‬ ‫ 23  7 - 93  7  93  7 31‬ ‫ 62  11 + 51  11  51  11 5‬ ‫-‬ ‫=‬ ‫-‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫=  +‬ ‫+‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 3‬ ‫ 9‬ ‫ 9‬ ‫ 9‬ ‫ 9‬ ‫ 9‬ ‫ 12  12  12  7‬ ‫ 12‬ ‫ 12‬
  • 13.
    ‫ ﺣﺎﻻﺕ ﺧـــﺎﺻﺔ :‬ ‫8‬ ‫ 83  2 - 04  2  04  1‬ ‫ 93  12 + 81  12  81  7 9‬ ‫=  -‬ ‫-‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫=  +‬ ‫+‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ 02  02  01  4‬ ‫ 02‬ ‫ 02‬ ‫ 42  42  8  21‬ ‫ 42‬ ‫ 42‬ ‫ 93  33  27  3 21‬ ‫ 59  53 + 06  53  06  5 51‬ ‫=  -‬ ‫-‬ ‫=‬ ‫ ;;‬ ‫=  +‬ ‫+‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ 66  66  66  6  11‬ ‫ 82  82  4  7‬ ‫ 82‬ ‫ 82‬ ‫ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﻬﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ 7  1‬ ‫ 1  31  7  5‬ ‫+ +  ,1 = ‪B‬‬ ‫ 5‬ ‫ ;;‬ ‫+ 11 = ‪A‬‬ ‫+ + +‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﻴﻦ  ‪  A‬ﻭ ‪ B‬ﺑﺄﺑﺴﻂ ﻃﺮﻳﻘﺔ  :‬ ‫ 02  5‬ ‫ 9  6  3  6‬ ‫ 7  1‬ ‫ 1 7  31 5‬ ‫+ +  ,1 = ‪B‬‬ ‫ 5‬ ‫) +  ( + ) +  ( + 11 = ‪A‬‬ ‫ 02  5‬ ‫ 6  6‬ ‫ 9  3‬ ‫ 7  1  51‬ ‫ 1  12  31 + 5‬ ‫= ‪B‬‬ ‫+ +‬ ‫+ 11 = ‪A‬‬ ‫ ) +  ( +‬ ‫ 6‬ ‫ 9  9‬ ‫ 02  5  02‬ ‫ 22  81‬ ‫ 1  7  51‬ ‫+ + 11 = ‪A‬‬ ‫+ ) +  ( = ‪B‬‬ ‫ 9  6‬ ‫ 5  02  02‬ ‫ 22‬ ‫ 1  22‬ ‫+ 3 + 11 = ‪A‬‬ ‫= ‪B‬‬ ‫+‬ ‫ 9‬ ‫ 5  02‬ ‫ 22‬ ‫+ 41 = ‪A‬‬ ‫ 1  11‬ ‫ 9‬ ‫+ = ‪B‬‬ ‫ 5  01‬ ‫ 22  621‬ ‫= ‪A‬‬ ‫+‬ ‫ 2  11‬ ‫ 9‬ ‫ 9‬ ‫+ = ‪B‬‬ ‫ 841‬ ‫ 01  01‬ ‫= ‪A‬‬ ‫ 31‬ ‫ 9‬ ‫= ‪B‬‬ ‫ 01‬
  • 14.
    ‫ ﺍﻟﻤﺘﻔﺎﻭﺗﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ  ﻭ  ﻭﺍﺳــﻂ ﻗﻄﻌﺔ‬ ‫ 1( – ﺍﻟﻤﺘﻔﺎﻭﺗﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ :‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ 1 :‬ ‫ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﺛﻼﺙ ﻧﻘﻂ ﻣﺨﺘﻠﻔــﺔ‬ ‫ ­ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ C‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ  ]‪  [AB‬ﻓﺈﻥ  :  ‪AB = AC  +  BC‬‬ ‫ ­ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ C‬ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ  ]‪  [AB‬ﻓﺈﻥ  :  ‪AB < AC + BC‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪AB = AC + BC‬‬ ‫ ‪  AB < AC + BC‬ﻭ ﻛﺬﻟﻚ  :  ‪  AC < AB + BC‬ﻭ ‪BC < AB + AC‬‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :‬ ‫ ﻲ ﻣﺜﻠﺚ ﻃﻮﻝ ﺃﻱ ﺿﻠﻊ ﻣﻦ ﺃﺿﻼﻋﻪ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻃﻮﻟﻲ‬ ‫ ﻓ‬ ‫ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﺍﻵﺧــــﺮﻳﻦ .‬ ‫ ﺗﻄﺒﻴﻖ :‬ ‫ ﻫﻞ ﻳﻤﻜﻦ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﺑﺤﻴﺚ  :  ‪  AB = 7cm‬ﻭ  ‪  AC = 17cm‬ﻭ  ‪  BC = 5 cm‬؟‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :  21 =  7  +  5  ﻭ   ﺃﻥ  21  >  71  ﺃﻱ  ﺃﻥ  ‪AC  >  AB  +  BC‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ  ‪. ABC‬‬ ‫ 2( – ﻭﺍﺳـــﻂ ﻗـﻄــﻌــﺔ :‬ ‫ * ﺗﻌــﺮﻳﻒ :‬ ‫ﻭﺍﺳﻂ ﻗﻄﻌﺔ ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌــﺔ ﻭ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﻬﺎ‬
  • 15.
    ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻟﻨﺮﺳﻢ ﻗﻄﻌﺔ ]‪ [AB‬ﻗﻄﻌﺔ  ﻭ  )‪  (D‬ﻭﺍﺳﻄﻬﺎ‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ 2 :‬ ‫ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﺍﻟﻰ ﻭﺍﺳﻂ ﻗﻄﻌﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ‬ ‫ * ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧــﺮ :‬ ‫ ]‪ [AB‬ﻗﻄﻌﺔ ﻭ )∆( ﻭﺍﺳﻄﻬﺎ   ﻭ  ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺍﻣﺴﺘﻮﻯ  .‬ ‫ )‪  M Î (D‬ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  ‪MA = MB‬‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ 3 :‬ ‫ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﻓﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻭﺍﺳﻂ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫ * ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧــﺮ :‬ ‫ ]‪ [AB‬ﻗﻄﻌﺔ ﻭ )∆( ﻭﺍﺳﻄﻬﺎ   ﻭ  ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺍﻣﺴﺘﻮﻯ  .‬ ‫ ‪  MA = MB‬ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  )‪M Î (D‬‬
  • 16.
    ‫ 3( – ﻭﺍﺳﻄﺎﺕ ﻣﺜﻠﺚ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 2 :‬ ‫ ﻭﺍﺳﻂ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﻮ ﻭﺍﺳﻂ ﻛﻞ ﺿـــﻠﻊ ﻣﻦ ﺃﺿــــﻼﻋــﻪ‬ ‫ ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻭ  ‪  (D‬ﻭﺍﺳﻂ ﺍﻟﻀﻠﻊ  ]‪. [BC‬‬ ‫)‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ‪  (D‬ﻭﺍﺳﻂ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ABC‬‬ ‫)‬ ‫ ﺧﺎﺻﻴﺔ 4 :‬ ‫ *‬ ‫ ﻭﺍﺳﻄﺎﺕ ﻣﺜﻠﺚ ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ ﻣﺜﺎﻝ :‬
  • 17.
    ‫ ﺗﻘﺪﻳﻢ ﻭ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ ‪ _I‬ﺗ ﻘ  ﺪﻳﻢ .‬ ‫ ـ  ـــ‬ ‫ 1( – ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 1 :‬ ‫ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻣﺜﻞ : 0  ;  1  ; 2  ,  41  ;  41,3  ;  11  ;  5,2  ﺗﺴﻤﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩﺍ ﻋﺸﺮﺑﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ  .‬ ‫ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻣﺜﻞ : 0 ; 2­ ; 1­ ; 44,0­ ; 21 ­ ; 5,2 ­ ﺗﺴﻤﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩﺍ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ .‬ ‫ ­  ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻣﻮﺟﺐ ﻭ ﺳﺎﻟﺐ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺣﺪ .‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ ﺒﻴﺔ :‬ ‫ 2( – ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 2 :‬ ‫ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺭﻫﺎﻣﺔ  :  ­ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻣﺜﻞ  :  0 ; 1 ; 8  , 2 ­ ; 41 ; 1­ ; 5 ; 15­ ; 11 .... ﺗﺴﻤﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩﺍ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ .‬ ‫ ­ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ .‬ ‫ ­ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻣﺜﻞ  :  21,41  ﺃﻭ 5,2 ­  ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﻭ ﻟﻴﺲ ﺑﻌﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ .‬ ‫ 3( – ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺪﺭﺝ :‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻭ ‪  O‬ﻭ  ‪  I‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﻣﻦ )‪ . (D‬ﻟﻨﺪﺭﺝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺍﻟﻘﻄﻌ ﺔ  ]‪[OI‬‬ ‫ ) ﺃﻇﺮ ﺍﻟﺸﻜــﻞ ﺃﺳﻔﻠﻪ ( .‬ ‫ )‪(D‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪O  I‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ,     ,     ,          ,‬ ‫ ,          ,     ,     ,          ,          ,          ,          ,          ,          ,          ,‬ ‫ 0‬ ‫ 1‬ ‫ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ‬ ‫ ­  ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﻌﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﻳﺴﻤﻰ ﺃﻓﺼﻮﻝ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ .‬ ‫ ­  ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﺗﺴﻤﻰ ﺃﺻﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺪﺭﺝ )‪. (D‬‬ ‫ ­  ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [OI‬ﻳﺴﻤﻰ ﻭﺣــﺪﺓ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺞ .‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ  4 ­‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ 3‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ  0‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ F‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ  5,3 ­‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ B‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ 5,3‬ ‫ ‪ I‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ 1‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ 4( –  ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 3 :‬ ‫ ﺪﺭﺟﺎ ﺃﺻﻠﻪ ‪ O‬ﻭ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ )‪ (D‬ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪. a‬‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪  (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻣ‬ ‫ ﻣﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ a‬ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻫﻮ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪. [OM‬‬
  • 18.
    ‫ 5( – ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 4 :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻭ ﺇﺷﺎﺭﺗﺎﻫﻤﺎ‬ ‫ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ .‬ ‫ 11  ﻭ  11 ­  ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼﻥ  ;;  2,1  ﻭ  2,1 ­  ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼﻥ‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 3  ﻭ  3 ­ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼﻥ‬ ‫ 23,0  ﻭ  23,0 ­  ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼﻥ  ;;‬ ‫ ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0  ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0‬ ‫ ‪  _ II‬ﻟﻤﻘ  ﺎﺭﻧــﺔ :‬ ‫ ﺍ  ـــــ‬ ‫ 1( – ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻣﻮﺟﺐ   ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﺳﺎﻟﺐ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻡ‬ ‫ ;;      7,41 ­ > 22‬ ‫ 0  < 21,33 ­  ;;      0   >  44,52   ;;   5,1  <  54,0 ­‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 2( – ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﺳﺎﻟﺒﻴﻦ :‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﺳﺎﻟﺒﺎﻳﻦ ﻓﺈﻥ ﺃﻛﺒﺮﻫﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻷﻗﺮﺏ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺮ‬ ‫ ;;     1 ­  <  5,2 ­‬ ‫ 3522 ­  >  0      ;;     63 ­  >  1,0 ­‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﻫﻮ ﺃﻛﺒﺮ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻭ ﺃﺻﻐﺮ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ  :‬ ‫ﻭ  £  .‬ ‫ 3( – ﺍﻟﺮﻣﺰﺍﻥ :  ³‬ ‫ ﻭ 33  ³  33‬ ‫ﺍﻟﺮﻣﺰ  ³  ﻳﻘﺮﺃ  :  ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﺃﻭ ﻳﺴﺎﻭﻱ  ﻭ ﻳﺴﺘﻌﻤﻞ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺘﻴﻦ ﻣﺜﻞ  :  32 ³ 3,11‬ ‫ ﺴﺎﻭﻱ ﻭ ﻳﺴﺘﻌﻤﻞ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺘﻴﻦ ﻣﺜﻞ  : 5,1  5,73 ­ £  ﻭ 6,7 –  6,7 ­ £‬ ‫ﺍﻟﺮﻣﺰ  £ ﻳﻘﺮﺃ  : ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﺃﻭ ﻳ‬ ‫ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ  :‬ ‫ ﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻋﺪﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ  ﻧﺮﺗﺐ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ  ﺛﻢ  ﻧﺮﺗﺐ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ  ﺛﻢ   ﻧﺮﺗﺐ ﺍﻟﻜﻞ‬ ‫ ﻣﺜﺎﻝ  :‬ ‫ ﻟﻨﺮﺗﺐ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ :  6,41 ­  ;;  11  ;;  55,8 ­  ;;  9,5  ;;  6 ­  ;;  5,1 ­  ;;   52   ;;   0‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :  0  <  5,1 ­  <  6 ­  <  55,8 ­  <  6,41 ­  ﻭ  52  <  11  <  9,5  <  0‬ ‫ 52  <  11  <  9,5  <  0  <  5,1 ­  <  6 ­  <  55,8 ­  <  6,41 ­‬ ‫ ﺇﺫﻥ‬
  • 19.
    ‫ ﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ  /  ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫ ﻣﺠ‬ ‫ ‪  _I‬ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ .‬ ‫ 1( – ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ  :  ﺗﻌﺎﺭﻳﻒ ﻭ ﻣﻔﺮﺩﺍﺕ :‬ ‫ ‪  T‬ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺟﺎﻧﺒﻪ ﻳﺴﻤﻰ :  ﺯﺍﻭﻳﺔ .‬ ‫ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ  :  ‪A  ˆ B‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ  ‪ O‬ﺗﺴﻤﻰ ﺭﺃﺱ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ .‬ ‫ ﻧﺼﻔﺎ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )‪  [OA‬ﻭ  )‪ [OB‬ﻳﺴﻤﻴﺎﻥ  : ﺿﻠﻌﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ .‬ ‫ ‪ T‬ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺧﺎﺻﺔ  :‬ ‫ ±  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻨﻌﺪﻣﺔ :‬ ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻨﻌﺪﻣﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ °0 .‬ ‫ ±  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ :‬ ‫ ﺎ ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ °0  ﻭ  °09 .‬ ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬ‬ ‫ ±  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ :‬ ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ  °09 .‬
  • 20.
    ‫ ±  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ :‬ ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ °09  ﻭ °081  .‬ ‫ ±  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ :‬ ‫ ﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ °081‬ ‫ ﺍﻟﺰ‬ ‫ ±  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻠﻴــﺌﺔ :‬ ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻠﻴﺌﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳــﻬﺎ °063 .‬ ‫ ‪ T‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ .‬ ‫ ‪ T‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺤﺎﺫﻳﺘﺎﻥ :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺤﺎﺫﻳﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  :‬ ‫ ­  ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺮﺃﺱ .‬ ‫ ­  ﻟﻬﻤﺎ ﺿﻠﻊ ﻣﺸﺘﺮﻙ .‬ ‫ ­  ﻭ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻙ .‬ ‫ ­‬ ‫ ‪ T‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻣﺘﺎﻥ :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ °09‬ ‫ ‪ T‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎﻥ :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ °081‬ ‫ 2( –  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ :‬ ‫ *  ﺧﺎﺻﻴﺔ 1 :‬ ‫ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ ﻳﺴﺎﻭﻱ °081‬ ‫ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ‬
  • 21.
    ‫ 3( –  ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ ﺧـــﺎﺻﺔ :‬ ‫ ± ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 1 :‬ ‫ ﻛﻞ ﻣﺜﻠﺚ ﻟﻪ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻳﺴﻤﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻟﻪ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ : ‪ ABC‬ﻣﺜﺎﺙ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻲ ‪. A‬‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ 2 :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﺯﺍﻭﻳﺔ ﻓﺈﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻩ ﺍﻟﺤﺎﺩﺗﻴﻦ ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﻴﻦ‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ 3 :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻤﺜﻠﺚ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﺎﻥ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ± ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 2 :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻪ ﺿﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎﻥ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺭﺃﺳﻪ ‪A‬‬
  • 22.
    ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ  :‬ ‫ 4‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴ  ﻴﻦ ﻓﺈﻥ ﺯﺍﻭﺗﻲ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ‬ ‫ ﺎﻗ‬ ‫ ˆ ˆ‬ ‫ ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :  ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺭﺃﺳﻪ ‪  A‬ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  :  ‪B = C‬‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ  :‬ ‫ 5‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻤﺜﻠﺚ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﻠﻴﺴﺘﺎﻥ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‬ ‫ ˆ ˆ‬ ‫ ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :  ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺤﻴﺚ  ‪  B = C‬ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  :  ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺭﺃﺳﻪ ‪. A‬‬ ‫ ± ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 3 :‬ ‫ ﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻟﻪ ﺿﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎﻥ ﻭ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﺘﺴ‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ﻦ ﻭ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻲ ‪.  A‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :  ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴ‬ ‫ ‪A                         B‬‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ  :‬ ‫ 6‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻭ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﺈﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﻲ‬ ‫ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﻣﺘﻘﺎ ﻳﺴﺘﺎﻥ ﻭ ﻗﻴﺎﺳﻬﻤﺎ °54‬ ‫ ˆ‬ ‫ ˆ‬ ‫°‬ ‫ 54 = ‪ABC = ACB‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ : ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ ‪  A‬ﺇﺫﻥ :‬
  • 23.
    ‫ ± ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ :‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 4 :‬ ‫ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻫﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﺟﻤﻴﻊ ﺃﺿﻼﻋﻪ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :  ‪  ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ .‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ  :‬ ‫ 7‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻓﺈﻥ ﺟﻤﻴﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎﻩ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ‬ ‫ ﻭ ﻗﻴﺎﺱ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ  °06‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ  :‬ ‫ 8‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬
  • 24.
    ‫ ﺟﻤﻊ ﻭ ﻃﺮﺡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ 1( –  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ :‬ ‫ (  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻧﺤﺘﻔﻆ ﺑﺎﻹﺷﺎﺭﺓ ﺛﻢ ﻧﺠﻤﻊ‬ ‫ ﻣﺴﺎﻓﺘﻴﻬﻤﺎ ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ .‬ ‫ ;;     9,32  =  5,1  +  4,22‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :  5,21 ­ = ) 7  +  5,5( –  = ) 7 –(  +  5,5 –‬ ‫ ;;      51,071  =  51,85  +  211‬ ‫ 522,175 –  = ) 75 + 522,,415 ( –  =  ) 75 –(  +  522,415 –‬ ‫ (  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ  ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻧﺄﺧﺬ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺑﻌﺪ‬ ‫ ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﺛﻢ ﻧﺤﺴﺐ ﻓﺮﻕ ﻣﺴﺎﻓﺘﻴﻬﻤﺎ ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ .‬ ‫ 62,31 –  = ) 41,21 – 4,52( –  = ) 4,52 –(  +  41,21‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 98,12 = ) 11,41 – 63 ( + = 63 + 11,41 –‬ ‫ 5,97  = ) 5,54 – 521 ( +  = ) 5,54 –(  + 521‬ ‫ 51,02 –  = ) 5,11 – 56,13 ( –  = 5,11 + 56,13 –‬ ‫ ﺎﺑﻠﻴﻦ :‬ ‫ (  ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻘ‬ ‫ ﺝ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 3 :‬ ‫ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻳﻜﻮ ﺩﺍﺋﻤﺎ ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ ) ﺃﻱ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺻﻔﺮ ( .‬ ‫ 0 = ) ‪  a + ( ­ a‬ﻭ  0 = ‪­ a + a‬‬ ‫ ‪ a‬ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ .‬ ‫ ;;        0 = ) 88,521 –( + 88,521‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :  0 = 7633  +  7633 –‬ ‫ 0 = ) 85211 –( + 85211       ;;       0 = 7,953 + 7,953 –‬ ‫ 2( –  ﻓﺮﻕ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ :‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 4 :‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻓﺮﻕ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻧﻀﻴﻒ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ .‬ ‫ ‪  a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ : ) ‪a – b = a + ( ­ b‬‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :  57,9 = ) 5,11 – 52,12 ( + = ) 5,11  –( + 52,12 = 5,11 – 52,12‬ ‫ 55,52 = 21 + 55,31 = ) 21 ­ ( – 55,31‬ ‫ 05 ­ = ) 61 + 43(  –  = ) 61 –( + 43 –  = 61 – 43 –‬ ‫ 41,54 ­ = ) 02 – 41,56 ( –  = 02 + 41,56 –  = ) 02  –( – 41,56 –‬
  • 25.
    ‫ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ‬ ‫ 1(  ﻹﺯﺍﻟﺔ ﺍﻷﻗﻮﺍﺱ ﺍﻟﻤﺴﺒﻮﻗﺔ ﺑﻌﻼﻣﺔ +   : ﻧﺰﻳﻞ ﻋﻼﻣﺔ  +  ﻭ  ﻧﺤﺪﻑ ﺍﻷﻗﻮﺍﻕ ﺑﺪﻭﻥ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺑﺪﺍﺧﻠﻬﺎ‬ ‫ .‬ ‫ ﻹﺯﺍﻟﺔ ﺍﻷﻗﻮﺍﺱ ﺍﻟﻤﺴﺒﻮﻗﺔ ﺑﻌﻼﻣﺔ  –  : ﻧﺰﻳﻞ ﻋﻼﻣﺔ  –  ﻭ ﻧﺤﺪﻑ ﺍﻷﻗﻤﺎﺱ ﻣﻊ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺑﺪﺍﺧﻠﻬﺎ .‬ ‫ )2 + 11 – 45 ( + )5,1 – 33 + 5,2  –( + 11 = ‪A‬‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 2 + 11 – 45 + 5,1 – 33 + 5,2 – 11 =‬ ‫ ) 66,42 + 5,1 – 25 ( – ) 1+ 85 – 44,21 + 55  –( – 6,2 = ‪B‬‬ ‫ 66,42  –  5,1 +  25  –  1  –  85 +  44,21 – 55 + 6,2  =‬ ‫ 2(  ﺣﺴﺎﺏ ﺗﻌﺒﻴﺮ ﺟﺒﺮﻱ ﻳﺤﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﺃﻗﻮﺍﺱ ﻭ ﻣﻌﻘﻮﻓﺎﺕ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺃﻋﻼﻩ .‬ ‫ 1( –  ﻧﺰﻳﻞ ﺍﻷﻗﻮﺍﺱ ﻭ ﺍﻟﻤﻌﻘﻮﻓﺎﺕ ﺑﺪﺃ ﺑﺎﻷﻗﻮﺍﺱ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ ﻣﻊ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺃﻋﻼﻩ .‬ ‫ 2( –  ﻧﺠﻤﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺛﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ 7 – ) 5,2 + 41 –( – ) 1+ 5,11 –( + 5,2 = ‪A‬‬ ‫ *  ﻠﺔ :‬ ‫ ﺃﻣﺜ‬ ‫ 7 – 5,2 – 41 + 1 + 5,11 – 5,2 =‬ ‫ 7 – 5,11 – 41 + 1 + 5,2 – 5,2 =‬ ‫ 5,71 – 51 + 0 =‬ ‫ ) 51 – 5,71 ( – =‬ ‫ 5,2 – =‬ ‫ ) 3 + 5,5–( – 22 + ] 1 – ) 7 – 5,3 ( + 5,11 –[ – ) 1 – 5,3 ( = ‪B‬‬ ‫ 3 – 5,5 + 22 + ] 1 – 7 – 5,3 + 5,11–[ – 1 – 5,3 =‬ ‫ 3 – 5,5 + 22 + 1 – 7 – 5,3 – 5,11 + 1 – 5,3 =‬ ‫ 3 – 7 – 5,5 + 22 + 5,11 + 1 – 1 + 5,3 – 5,3 =‬ ‫ 01 – 93 + 0 + 0 =‬ ‫ 01 – 93 =‬ ‫92 =‬
  • 26.
    ‫ ﺿﺮﺏ ﻭ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ 1( –  ﺿﺮﺏ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ :‬ ‫ (  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ 5,0 = ) 01–(  ‪– 21  x (–5 ) = 105           ;;         0,05  x‬‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 0 =  ) 621–(  ‪–125,89  x  0 =  0          ;;      0  x‬‬ ‫ (  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫ ;;       15– = ) 2–(  ‪25,5  x‬‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :  575– = 05  ‪–11,5  x‬‬ ‫ ;;       011– = ) 5–(  ‪22  x‬‬ ‫ 057 =  01  ‪–75  x‬‬ ‫ (  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ  ﻓﻲ  :  1  ﻭ  1 ­  :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 3 :‬ ‫ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻳﻜﻮ ﺩﺍﺋﻤﺎ ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ ) ﺃﻱ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺻﻔﺮ ( .‬ ‫ ‪ a‬ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ .  ‪  a + ( ­ 1 ) =  ­ a‬ﻭ  ‪­ 1 + a = ­ a‬‬ ‫ 0 = ) ‪  a + ( ­ a‬ﻭ  ﻭ  ‪1 x a = a‬‬ ‫ ‪­ a + a = 0  a x 1 = a‬‬ ‫ ‪ a‬ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ .‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :  7633   =  1 ‪1  x  (– 125,88 ) =  –125,88        ;;       3367 x‬‬ ‫ 35211–  =   85211    ‪– 359,7  x  (–1 ) = 359,7       ;;  – 1   x‬‬ ‫ (  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ :‬ ‫ ﺩ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 4 :‬ ‫ ﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻳﻜﻮﻥ  :‬‫ ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸ‬ ‫ .‬ ‫ ­­  ﻣﻮﺟﺒﺎ  :  ﺇﺫﺍ ﻋﺪﺩ ﻋﻮﺍﻣﻠﻪ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﺯﻭﺟﻴﺎ‬ ‫ ­­ ﺳﺎﻟﺒﺎ  :  ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﻋﻮﺍﻣﻠﻪ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻓﺮﺩﻳﺎ .‬ ‫ ) 5–( ‪A = –5 x  1,3  x  (–7 )  x   (–25 )  x  1  x‬‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 7,1 ‪B = 11 x (–25,4 ) x 14 x (–1 ) x (–0,5 ) x‬‬ ‫ * ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺠﺪﺍء ‪ A‬ﻋﺪﺩ ﻋﻮﺍﻣﻠﻪ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻫﻮ 4 ﻭ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﺯﻭﺟﻲ , ﺇﺫﻥ ‪ A‬ﻋﺪﺩ ﻣﻮﺟﺐ .‬ ‫ * ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺠﺪﺍء ‪ B‬ﻋﺪﺩ ﻋﻮﺍﻣﻠﻪ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻫﻮ 3 ﻭ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻓﺮﺩﻱ , ﺇﺫﻥ ‪ B‬ﻋﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ .‬
  • 27.
    ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 5 :‬ ‫ ﻻ ﻳﺘﻐﻴﺮ ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻏﻴﺮﻧﺎ ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ ﻋﻮﺍﻣﻠﻪ  ﺃﻭ ﻋﻮﺿﻨﺎ ﺑﻌﻀﺎ ﻣﻨﻬﺎ ﺑﺠﺪﺍﺋﻬﺎ .‬ ‫ ) 5,1–( ‪A = (–2 ) x 5,5 x 50 x‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ) ) 5,1–( ‪= (  –2 x 50 )  x  ( 5,5 x‬‬ ‫ ) 52,8–( ‪= –100 x‬‬ ‫ 528 =‬ ‫ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ‬ ‫ ­­ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻧﺤﺪﺩ ﺃﻭﻻ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺠﺪﺍء ﺛﻢ ﻧﻄﺒﻖ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ  4 .‬ ‫ ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 5,6 ‪A = (–7,5 ) x 25 x –4 ) x‬‬ ‫ ) 5,6 ‪=  + ( 7,5 x 25 x 4 x‬‬ ‫ ) 5,6 ‪=  + ( ( 25 x 5 ) x ( 7,5 x‬‬ ‫ 57,84 ‪= 100 x‬‬ ‫ 5784 =‬ ‫ 5,7 ‪B = –6 x 5 x (–1,5 ) x (–1 ) x‬‬ ‫ ) 5,7 ‪= – ( 6 x 5 x 1 x‬‬ ‫ ) 5,7 ‪= – ( (6 x 5 x 1 )  x  ( 1,5 x‬‬ ‫ ) 52,11  ‪= – ( 30 x‬‬ ‫ 5,733– =‬ ‫ 2( –  ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ :‬ ‫ (  ﺧﺎﺭﺝ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 6 :‬ ‫ ﺧﺎﺭﺝ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ ;;           51,26   = ) 31 –(  :  59,708 –‬ ‫ 011 =  1,7  :  187‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ (  ﺧﺎﺭﺝ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 7 :‬ ‫ﺧﺎﺭﺝ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫ ;;           51,26 – = ) 31–(  :  59,708‬ ‫ 011 –  =  1,7  :  187 –‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬
  • 28.
    ‫ ‪- a a‬‬ ‫ ‪- a a‬‬ ‫ ‪a‬‬ ‫=‬ ‫ ﻭ‬ ‫=‬ ‫-=‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ  :‬ ‫ ‪- b  b‬‬ ‫ ‪b  - b  b‬‬ ‫ (  ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﻘﺮﺏ ﻭ ﺍﻟﺘﺄﻃﻴﺮ :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ 1( – ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﻣﻮﺟﺒﺎ :‬ ‫ 22‬ ‫ 22‬ ‫ 7‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 7‬ ‫ 01‬ ‫ 41,3‬ ‫ 03‬ ‫ 02‬ ‫ 22‬ ‫ ﺇﻟﻰ  1  ﻧﺘﻔﺮﻳﻂ ﻫﻲ  :  3 .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 22‬ ‫ ﺇﻟﻰ  1  ﺑﺈﻓﺮﺍﻁ ﻫﻲ  : 4 .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 22‬ ‫ 22‬ ‫ <  3‬ ‫ ﺇﻟﻰ 1  ﻫﻮ  :  4  <‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺗﺄﻃﻴﺮ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 7‬ ‫ 22‬ ‫ ﺇﻟﻰ  1,0  ﻧﺘﻔﺮﻳﻂ ﻫﻲ  :  1,3 .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 22‬ ‫ ﺇﻟﻰ  1,0  ﺑﺈﻓﺮﺍﻁ ﻫﻲ  : 2,3  .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 22‬ ‫ 22‬ ‫ <  1,3‬ ‫ 2,3  <‬ ‫ ﺇﻟﻰ 1,0  ﻫﻮ  :‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺗﺄﻃﻴﺮ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 7‬ ‫ 2( – ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺳﺎﻟﺒﺎ :‬ ‫22‬ ‫ -‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :  ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ‬ ‫ 7‬ ‫22‬ ‫ -  ﺇﻟﻰ  1  ﻧﺘﻔﺮﻳﻂ ﻫﻲ  :  4 ­ .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫22‬ ‫ -  ﺇﻟﻰ  1  ﺑﺈﻓﺮﺍﻁ ﻫﻲ  :  3 ­  .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫22‬ ‫22‬ ‫ -  ﺇﻟﻰ 1  ﻫﻮ  :  3 ­  <  -  <  4 ­‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺗﺄﻃﻴﺮ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 7‬ ‫22‬ ‫ -  ﺇﻟﻰ  1,0  ﻧﺘﻔﺮﻳﻂ ﻫﻲ  :  2,3 ­  .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫22‬ ‫ -  ﺇﻟﻰ  1,0  ﺑﺈﻓﺮﺍﻁ ﻫﻲ  : 1,3 ­  .‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫22‬ ‫22‬ ‫ -  ﺇﻟﻰ 1,0  ﻫﻮ  :  1,3 ­  <  -  < 2,3 ­‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺗﺄﻃﻴﺮ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ 7‬ ‫ 7‬
  • 29.
    ‫ ﺍﻟﻤﻨﺼﻔــﺎﺕ ﻭ ﺍﻻﺭﺗﻔــﺎﻋــﺎﺕ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ 1( –  ﺍﻟﻤﻨﺼﻔﺎﺕ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ :‬ ‫ (  ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ :‬‫ ﺃ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 1 :‬ ‫ ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻫﻮ ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺃﺻﻠﻪ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ , ﻳﻮﺟﺪ ﺑﺪﺍﺧﻠﻬﺎ ﻭ ﻳﻘﺴﻤﻬﺎ ﺇﻟﻰ‬ ‫ ﻴﻦ‬‫ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :  ﻧﻌﺘﺒﺮ  ‪  A  ˆ B‬ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻭ  )‪ [OM‬ﻣﻨﺼﻔﻬﺎ .‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ (  ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰﺓ ﻟﻤﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ * ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷــﺮﺓ :‬ ‫ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺗﺒﻌﺪ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﺿﻠﻌﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ﺎ  : ‪EK = EL‬‬ ‫ ﺳﻴﻜﻮﻥ ﻟﺪﻳﻨ‬ ‫ * ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ :‬ ‫ ﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﻨﺼﻒ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺒﻌﺪ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﺿﻠﻌﻲ ﺯﺍﻭﻳ‬ ‫ * ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰﺓ :‬ ‫ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﺿﻠﻌﻴﻬﺎ‬ ‫ (  ﻣﻨﺼﻔﺎﺕ ﻣﺜﻠﺚ  :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 2 :‬ ‫ ﻣﻨﺼﻒ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﻮ ﻣﻨﺼﻒ ﺇﺣﺪﻯ ﺯﻭﺍﻳﺎﻩ‬
  • 30.
    ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :  ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺛﻼﺙ ﻣﻨﺼﻔﺎﺕ .‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴـــﺔ :‬ ‫ ﻣﻨﺼﻔﺎﺕ ﻣﺜﻠﺚ ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ  ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺎﻃﺔ ﺑﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :  ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻣﺮﻛﺰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺤﺎﻃﺔ ﺑﻤﺜﻠﺚ ﻳﻜﻔﻲ ﺭﺳﻢ ﻣﻨﺼﻔﻴﻦ ﻓﻘﻂ ﻣﻦ ﻣﻨﺼﻔﺎﺕ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ .‬ ‫ 2( –  ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻋﺎﺕ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ :‬ ‫ (  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ 3 :‬ ‫ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﻣﻦ ﺃﺣﺪ ﺭﺅﻭﺱ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻭ‬ ‫ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻞ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﺮﺃﺱ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :  ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻭ  )‪ (AH‬ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻤﻮﺍﻓﻖ ﻟﻠﻀﻠﻊ ]‪. [BC‬‬
  • 31.
    ‫ ·  ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻ‬ ‫ ﺔ :‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :  ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺛﻼﺙ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﺎﺕ .‬ ‫ * ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﺎﺕ ﻣﺜﻠﺚ ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫ ﺗﻌﺎﻣــﺪ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 02‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :  ﻟﺮﺳﻢ  ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻌﺎﻣـــﺪ ﻣﺜﻠﺚ  ﻳﻜﻔﻲ ﺭﺳﻢ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻴﻦ ﻓﻘﻂ ﻣﻦ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﺎﺕ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ .‬
  • 32.
    ‫ ﺍﻟـﻘــــــــــــــــﻮﻯ‬ ‫ 1( –  ﻗﻮﺓ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ :‬ ‫ (  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺠﺪﺍء ﺍﻵﺗﻲ :  5,2  ‪A = 2,5 x  2,5  x  2,5  x  2,5  x‬‬ ‫ ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍﺍﻟﺠﺪﺍء ﻣﻦ ﺧﻤﺴﺔ ﻋﻮﺍﻣﻞ ﻣﺴﺎﻭﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ 5,2 .‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺇﺫﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺠﺪﺍء :  ﺍﻟﻘﻮﺓ ﺍﻟﺨﺎﻣﺴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ 5,2 .‬ ‫ 5‬ ‫ ..‬ ‫ ﺘﺐ  :  )5,2(  ﻭ ﻧﻘــﺮﺃ  :  ﺇﺛﻨﺎﻥ ﺃﺱ  ﺧﻤﺴــﺔ‬ ‫ ﻭ ﻧﻜ‬ ‫ 5‬ ‫ 5‬ ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ  5,2  ﻳﺴﻤﻰ  :  ﺃﺳﺎﺱ ﺍﻟﻘﻮﺓ  )5,2(  ﻭ  ﺍﻟﻌﺪﺩ 5 ﻳﺴﻤﻰ  : ﺃﺱ ﺍﻟﻘﻮﺓ  )5,2(  .‬ ‫ (  ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ .‬ ‫ ‪ a‬ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ ﺃ  ﺒﺮ ﻣﻦ 1 ﻭ ‪ n‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻡ‬ ‫ ﻛ‬ ‫‪a n  = a ´ a ´ a ´ a ´ a ´ ...... ´ a‬‬ ‫44442 4441‬‫4‬ ‫ 3‬ ‫ )  ‪  n‬ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ‬ ‫ (‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻫﺎﻣﺔ  :‬ ‫ 0‬ ‫ 0‬ ‫ 1‬ ‫ ﺓ  0 ﻻ ﻣﻌﻨﻰ ﻟﻬﺎ .‬ ‫ ﺍﻟﻘﻮ‬ ‫ ,‬ ‫ ,  1 =  ‪( 0 ¹ a  )  a‬‬ ‫ ‪a  = a‬‬ ‫ ﻣﻔــــﺮﺩﺍﺕ :‬ ‫ ‪n‬‬ ‫ ·  ﻧﺴﻤﻲ ‪ a‬ﺃﺳــﺎﺱ ﺍﻟﻘﻮﺓ  ‪. a‬‬ ‫ ‪n‬‬ ‫ ·  ﻧﺴﻤﻲ ‪ n‬ﺃﺱ ﺍﻟﻘﻮﺓ  ‪. a‬‬ ‫ (  ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻗـــﻮﺓ ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ ﺳـــﺎﻟﺐ  :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ * ﺧــﺎﺻﻴﺔ 1 :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﻗــﻮﺓ ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ ﺳﺎﻟﺐ :‬ ‫ ·  ﻣﻮﺟﺒﺔ  :  ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺃﺳﻬﺎ ﻋﺪﺩﺍ ﺯﻭﺟﻴﺎ .‬ ‫ ·  ﺳﺎﻟﺒﺔ  :  ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺃﺳﻬﺎ ﻋﺪﺩﺍ ﻓﺮﺩﻳﺎ .‬ ‫ 61‬ ‫ )11 ­ (  ﻋﺪﺩ ﻣﻮﺟﺐ , ﻷﻥ ﺃﺳﻬﺎ ﻫﻮ 61 ﻭﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﺯﻭﺟﻲ .‬ ‫ ­  ﺍﻟﻘﻮﺓ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 12‬ ‫ ­  ﺍﻟﻘﻮﺓ  )9,5 ­ (  ﻋﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ , ﻷﻥ ﺃﺳﻬﺎ ﻫﻮ 12 ﻭ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻓﺮﺩﻱ .‬ ‫ 8‬ ‫ 8‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :  ­ ﺍﻟﻘﻮﺓ  )5 ­ (  ﺗﺨﺘﻠﻒ ﻋﻦ ﺍﻟﻘﻮﺓ  5 ­  ﻷﻥ  :‬ ‫ 8‬ ‫ ) 5 ­ ( ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ ﻫﻮ  ) 5 ­ (  ﻭﺣﺴﺐ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ 1 ﻓﻬﻲ ﻣﻮﺟﺒﺔ .‬ ‫ 8‬ ‫ 5 ­  ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ  ﻫﻮ  5  ﻭ ﻫﻲ  ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻻﺗﺨﻀﻊ ﻟﻠﺨﺎﺻﻴﺔ 1 .‬
  • 33.
    ‫ 2( –  ﺧـﺼـــﺎﺋـــﺺ ﺍﻟﻘــﻮﻯ :‬ ‫ ‪  a‬ﻭ  ‪  b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴــﻦ .‬ ‫ ‪  m‬ﻭ ‪  n‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﺻﺤﻴﺤﺎﻥ ﻃﺒﻴﻴﻌﻴﺎﻥ .‬ ‫ ‪a m ´ a n = a m + n‬‬ ‫ ‪m - n‬‬ ‫‪a m  = æ a ö‬‬ ‫ ) ‪(m > n‬‬ ‫÷ ‪ç‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n  è a ø‬‬ ‫ ‪n‬‬ ‫ ) (‬ ‫ ‪a m  = a m ´n‬‬ ‫ ‪m‬‬ ‫ )  ´‪a m ´ b m  = ( a‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ ‪m‬‬ ‫‪a m  = æ a ö‬‬ ‫÷ ‪ç‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪m  è b  ø‬‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠــﺔ  :‬ ‫ 62 ‪a  ´ a  = a  + 14 = a‬‬ ‫ 21  41 21‬ ‫ 42 ‪a 5 ´ a  ´ a 7 ´ a = a 5 + 11 + 7 + 1 = a‬‬ ‫ 11‬ ‫ 32 ‪a 23 ´ b 23 = (a ´ b‬‬ ‫ )‬ ‫ 72 = 51 - 24 = 24 ‪a‬‬ ‫ 51‬ ‫ ‪a‬‬ ‫ ‪a‬‬ ‫ ‪a‬‬ ‫ 54 ‪(a 9 ) 5 = a 9 ´ 5 = a‬‬ ‫ 11‪a  = æ a ö‬‬ ‫ 11‬ ‫÷ ‪ç‬‬ ‫÷ ‪11  ç‬‬ ‫‪a  è b ø‬‬ ‫ 3( –  ﻗــــﻮﻯ ﺍﻟـﻌـــﺪﺩ 01 :‬ ‫ * ﺧــﺎﺻﻴﺔ 2 :‬ ‫ ‪ n‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻡ :‬ ‫ 0.............0000001 = ‪10 n‬‬ ‫ 3442441‬ ‫ )  ‪  n‬ﻣﻦ ﺍﻷﺻﻔﺎﺭ (‬ ‫ * ﺃﻣﺜﻠــﺔ  :‬ ‫ 5‬ ‫ 000001 =  01‬ ‫ 11‬ ‫ 000000000001 =  01‬ ‫ 22‬ ‫ 00000000000000000000001 =  01‬
  • 34.
    ‫ ﺍﻟﺘﻤــﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤــﺮﻛــﺰﻱ‬ ‫ 1( – ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ :‬ ‫ ( ­  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪  A‬ﻭ ‪ O‬ﻧﻘﻄﺘﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ .‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ '‪ A‬ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮﻥ ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]'‪. [AA‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ '‪ A‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ . O‬ﻭ ﻧﻘﻮﻝ ﻛﺬﻟﻚ  :  '‪  A‬ﻲ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺘﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻱ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﺮﻛﺰﻩ ‪. o‬‬ ‫ ﻫ‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ‪ A‬ﻫﻲ ﻛﺬﻟﻚ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ '‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ . O‬ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :  ‪ A‬ﻭ '‪ A‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﺎﻥ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ( ­ ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ‪  A‬ﻭ '‪  A‬ﻄﺘﻴﻦ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]'‪[AA‬‬ ‫ ﻧﻘ‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻫﻲ ‪ O‬ﻧﻔﺴﻬﺎ .‬ ‫ 2( – ﺍﻟﺤﻔﺎﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ :‬ ‫ ( ­  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎﻥ ﺑﺤﻴﺚ ‪ AB = 4 cm‬ﻭ ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (AB‬‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ '‪ A‬ﻭ '‪ B‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺘﻲ  ‪  A‬ﻭ  ‪ B‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ  '‪ A'B‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﻤﺴﻄﺮﺓ .‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  ‪  . A'B' = 4 cm‬ﺇﺫﻥ  :  '‪. AB  =  A'B‬‬ ‫ ( ­ ﺧﺎﺻﻴــﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻱ ﻳﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬
  • 35.
    ‫ 3( – ﻣﻤﺎﺛﻼﺕ ﺑﻌﺾ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ :‬ ‫ ( ­ ﻣﻤﺎﺛﻼﺕ ﻧﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ·  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﻧﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻭ ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (AC‬‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻂ '‪ A‬ﻭ '‪ B‬ﻭ '‪ C‬ﻣﻤﺎﺛﻼﺕ ﺍﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪O‬‬ ‫ ﺣﻆ ﺃﻥ '‪ A‬ﻭ '‪ B‬ﻭ '‪ C‬ﻫﻲ ﻛﺬﻟﻚ ﻧﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ .‬ ‫ ﻧﻼ‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻱ ﻳﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﺍﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ ( ­ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ·  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭ ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻴﻪ .‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ )'‪ (D‬ﻣﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻫﺬﺍ ﺳﻨﺄﺧﺬ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﺗﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ )‪(D‬‬ ‫ ﺛﻢ ﻧﻨﺸﺊ ﻣﻤﺎﺛﻠﺘﻴﻬﻤﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )'‪ (D‬ﻳﻮﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (D‬‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ :‬ ‫ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮﺍﺯﻳﻪ‬ ‫ ( ­ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ ·  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ )‪ [AB‬ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭ ‪ I‬ﻧﻘﻄﺔ ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(AB‬‬ ‫ .‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )'‪ [A'B‬ﻣﻤﺎﺛﻞ )‪ [AB‬ﺑﺎﻟﻨﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪I‬‬ ‫ .‬ ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻫﺬﺍ ﺳﻨﻨﺸﺊ  '‪ A‬ﻭ '‪ B‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺘﻲ ‪ A‬ﻭ ‪  B‬ﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ‬ ‫ ﻋ‬ ‫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. I‬‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ :‬ ‫ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ [AB‬ﺑﺎﻟﻨﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻫﻮ ﻧﺼﻒ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )'‪ [A'B‬ﺑﺤﻴﺚ '‪ B'  A‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺘﻲ  ‪ B  A‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ( ­ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﻗﻄﻌﺔ :‬ ‫ ﺩ‬ ‫ ·  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ]‪ [AB‬ﻗﻄﻌﺔ ﻭ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (AB‬‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]'‪ [A'B‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [AB‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. M‬‬
  • 36.
    ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻫﺬﺍ ﺳﻨﻨﺸﺊ '‪ B'  A‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺘﻲ ‪ B  A‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ  .‬ ‫ ‪M‬‬ ‫ ( ﻭ ﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ ﺳﻴﻜﻮﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ  '‪ )  AB = A'B‬ﺍﻟﺤﻔﺎﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻄﻌﺘﻴﻦ ]‪ [A'"B']  [AB‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ .‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ :‬ ‫ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﻗﻄﻌﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻫﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﺗﻘﺎﻳﺴﻬﺎ‬ ‫ ( ­ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺯﺍﻭﻳﺔ :‬‫ ﻩ‬ ‫ ·  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪  A  ˆ B‬ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻭ ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ .‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ  ' ‪  A O  B‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ  ‪  A  ˆ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ' ˆ  '‬ ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻫﺬﺍ ﺳﻨﻨﺸﺊ '‪ B'  O'  A‬ﻣﻤﺎﺛﻼﺕ ‪ B  O  A‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ‬ ‫ ﻭ  ﻭ‬ ‫ ﻭ  ﻭ‬ ‫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ' ‪A  ˆ B  =  A O  B‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ' ˆ  '‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ  ﺗﻘﺎﻳﺴﻬﺎ‬ ‫ ( ­ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺩﺍﺋﺮﺓ :‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ·  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ )‪ (C‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪  r‬ﻭ ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ .‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )'‪ (C‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ )‪  (C‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻫﺬﺍ ﺳﻨﺄﺧﺬ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )‪(C‬‬ ‫ ﺛﻢ ﻧﻨﺸﺊ '‪ A'  O‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ . E‬ﻭ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ '‪ O‬ﻭ ﺗﻤﺮ ﻣﻦ '‪ A‬ﻫﻲ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ )‪ (C‬ﺑﺎﻟﻨﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ﻟﻨﺒﻴﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ  ‪. r‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬ ‫ '‪ O‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ O‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ '‪ A‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ :‬ ‫ '‪ ) OA = O'A‬ﺍﻟﺤﻔﺎﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ( .‬ ‫ ﻭ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ  :‬ ‫ ‪  OA = r‬ﻓﺈﻥ  ‪O'A' = r‬‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ )‪ (C')  (C‬ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪. r‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﻬﺎ ‪  r‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﻫﻲ‬ ‫ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋ‬ ‫ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ '‪ O‬ﻣﻤﺎﺛﻞ ‪ O‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r‬‬ ‫ ﻣﻮﻗﻊ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺑﺎﻟﺜﺎﻧﻮﻱ ﺍﻹﻋﺪﺍﺩﻱ ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻤﻬﺪﻱ ﻋﻨﻴﺲ / ﺃﺳﺘﺎﺫ ﺑﺎﻟ‬ ‫‪_ww‬‬
  • 37.
    ‫ ·  ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ :‬ ‫ ﻟﺮﺳﻢ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻧﺮﺳﻢ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺬﻩ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺛﻢ ﻧﺤﺘﻔﻆ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ .‬ ‫ ( ­ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺷﻜﻞ :‬ ‫ ﺯ‬ ‫ ·  ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﻧﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺷﻜﻞ ‪ F‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻫﻮ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ F‬ﻧﻔﺴﻪ .‬ ‫ ·  ﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻣ‬ ‫ 2( – ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻗﻄﻌﺔ :‬ ‫ 1( – ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ :‬ ‫ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻫﻮ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ                                                      ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻗﻄﻌﺔ ﻫﻮ ﻣﻨﺘﺼﻔﻬﺎ‬
  • 38.
    ‫ﺍﻟـﻨـﺸــــــــــــﺮ ﻭ ﺍﻟـﺘﻌـﻤﻴـــــــــــــــﻞ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻨﺸﺮ :‬ ‫ 1( –  ﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩ ﻓﻲ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺟﺪﺍء ﻋﺪﺩ ﻓﻲ ﻓﺮﻕ :‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ 1 :‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺛﻢ ﻧﻘﺎﺭﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ  : ) 3,7 + 5,5( ‪  A = 2 x‬ﻭ  3,7 ‪B = 2 x 5,5  +  2 x‬‬ ‫ 3,7 ‪B = 2 x 5,5  +  2 x‬‬ ‫ ) 3,7 + 5,5 ( ‪A = 2 x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬ ‫ 8,21 ‪= 11 + 14,6                          = 2 x‬‬ ‫ 6,52 =‬ ‫ 6,52 =‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :  ‪  A = B‬ﺃﻱ ﺃﻥ  :    3,7 ‪2 x ( 5,5 + 7,3 )   =   2 x 5,5  +  2x‬‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻧﻨﺎ ﻗﺪ ﻧﺸﺮﻧﺎ ﺍﻟﺠﺪﺍء  ) 3,7  +  5,5 ( ‪2 x‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ 2 :‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺛﻢ ﻧﻘﺎﺭﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ  :  ) 5,7 ­  3 ( ‪  C = 6,5 x‬ﻭ 5,7 ‪D = 6,5 x 3  ­  6,5 x‬‬ ‫ 5,7 ‪D = 6,5 x 3  ­  6,5 x‬‬ ‫ ) 5,7 – 3 ( ‪C = 6,5 x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬ ‫ 57,84  ­  5,91 =‬ ‫ ) 5,4 ­ ( ‪= 6,5 x‬‬ ‫ 52,92 ­ =‬ ‫ 52,92 ­ =‬ ‫ 5,7 ‪6,5 x ( 3  ­  7,5 )  =  6,5 x 3  ­  6,5 x‬‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :  ‪  C = D‬ﺃﻱ  ﺃﻥ :‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ‪  a‬ﻭ ‪  x‬ﻭ ‪ y‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ .‬ ‫‪a ( x - y ) = a.x‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫‪a ( x + y ) = a.x‬‬ ‫+‬ ‫ ‪a.y‬‬ ‫ ‪- a.y‬‬ ‫ ﺍﻟﻨﺸﺮ ﻫﻮ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺟﺪﺍء ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﻭ ﻓﺮﻕ .‬ ‫ ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ :‬ ‫ * ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ :‬ ‫ ‪  n  c  b  a‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ .‬ ‫ ﻭ  ﻭ  ﻭ‬ ‫ ‪n ( a + b – c ) = na  +  nb  ­  nc‬‬
  • 39.
    ‫ * ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻉ  :  ‪a  +  a  +  a  +  a  +  a  +........+  a‬‬ ‫ ‪ A‬ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ .‬ ‫ ‪a  +  a  +  a  +  a  +........+a  =  n.a‬‬ ‫ ‪ n‬ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 51 =  3 ‪3  +  3  +  3  +  3  +  3  +  3  =   6 x‬‬ ‫ ) 5 ­ (  ‪( ­ 5 )  +  ( ­ 5 )  +  ( ­ 5 )  +  ( ­ 5 )  =  4  x‬‬ ‫ */  ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ 1 :‬ ‫ ‪ a‬ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﺴﺒﻲ .‬ ‫ ﺑﺴﻂ ﻣﺎﻳﻠﻲ  :‬ ‫ ‪A = 3a  +  25a   ;;  B = 3,5a  +  2a  +  a‬‬ ‫ ‪C = 7a  ­  3,5a   ;;  D = ­ 11,5a  ­  2,5a  ­  a   ;;  E = 21a – 3,5a + 5,5a‬‬ ‫ ﺍﻟﺤﻞ :‬ ‫ ‪A = 3a  +  25a  =  28a‬‬ ‫ ;;‬ ‫ ‪B = 3,5a   +  2a  +  a  =  6,5a‬‬ ‫ ‪C = 7a  ­  3,5a  =  3,5a‬‬ ‫ ;;‬ ‫ ‪D = ­ 11,5a  ­  2,5a  ­  a  =  ­ 15a‬‬ ‫ ‪E = 21a  ­  3,5a  +  5,5a  =  21a  +  5,5a  ­  3,5a  =  26,5a  ­  3,5a  =  23a‬‬ ‫ */  ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ 2  :‬ ‫ ‪  b‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ .‬ ‫ ﺑﺴﻂ ﻣﺎﻳﻠﻲ :‬ ‫ 11  ­  ‪A = 2a  +  3b  ­  5,5a  +  7b              ;;            B = a  +  b  ­  11b  +  0,5a‬‬ ‫ ﺍﻟﺤﻞ :‬ ‫ ‪A = 2a  +  3b  ­  5,5a  +  7b‬‬ ‫ 11  ­  ‪B = a  +  b  ­  11b  +  0,5a‬‬ ‫ ‪= 2a  ­  5,5a  +  3b  +  7b‬‬ ‫ 11  ­  ‪= a  +  0,5a  +  b  ­  11b‬‬ ‫ ‪= ­ 3,5a  +  10b‬‬ ‫ 11  ­  ‪= 1,5a  ­  10b‬‬ ‫ 2( –  ﺍء ﻣﺠﻤــﻮﻋﻴــﻦ :‬ ‫ ﺟﺪ‬ ‫ * ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ‪  a‬ﻭ ‪  y  x  b‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ :‬ ‫ ﻭ  ﻭ‬ ‫‪( a  +  b ) ( x  +  y )  =  ax  +  ay  +  bx  +  by‬‬ ‫ ) ‪( a  +  b ) ( x  +  y ) = a ( x  +  y )  +  b ( x  +  y‬‬ ‫ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ :‬ ‫ ) ‪= ( ax  +  ay )  +  ( bx  +  by‬‬ ‫ ‪= ax  +  ay  +  bx  + by‬‬
  • 40.
    ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ) 6  +  ‪A = ( 2  +  x ) ( x‬‬ ‫ ) ‪B = ( ­ 3  +  x ) ( 1  ­  x‬‬ ‫ ) 6  +  ‪= 2 ( x  +  6 )  +  x ( x‬‬ ‫ ) ‪= ­ 3 ( 1  ­  x )  +  x ( 1  ­  x‬‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ) ‪= ( 2x  +  12 )  +  ( x  +  6x‬‬ ‫ )  ‪= ­ ( 3  ­  3x )  +  ( x  ­  x‬‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ‪= 2x  +  12  +  x  +  6x‬‬ ‫ ‪= ­ 3  +  3x  +  x  ­  x‬‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 21  +  ‪= 2x  +  6x  +  x‬‬ ‫ 3  ­  ‪= 3x  +  x  ­  x‬‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 21  +  ‪= 8x  +  x‬‬ ‫ 3  ­  ‪= 4x  ­  x‬‬ ‫ ) 5 ­  ‪C = ( ­ 2x  ­  3 ) ( ­ x‬‬ ‫ ) 5  ­  ‪= ­ 2x ( ­ x  ­  5 )  ­  3 ( ­ x‬‬ ‫ 2‬ ‫ ) 51  ­  ‪= ­ ( 2x  ­  10x )  ­  ( ­ 3x‬‬ ‫ 2‬ ‫ 51  +  ‪= ­ 2x  +  10x  + 3x‬‬ ‫ 2‬ ‫ 51  +  ‪= ­ 2x  +  13x‬‬ ‫ ‪ _ II‬ﺍﻟﺘﻌﻤﻴــﻞ :‬ ‫ 1( –  ﺗﻌﺮﻳــﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﺘﻌﻤﻴﻞ ﻫﻮ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﻭ ﻓﺮﻕ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺟــﺪﺍء‬ ‫ ·  ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣــﺔ :  ﻗﺒﻞ ﺃﻥ ﻧﻌﻤﻞ ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺍﻟﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻙ‬ ‫ 2( –  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ 2‬ ‫ ‪A = 6a  +  ax‬‬ ‫ ;;‬ ‫ ‪B = a  +  3a‬‬ ‫ ;;‬ ‫ ‪C = 2ax  ­  4ay‬‬ ‫ ) ‪= a ( 6  +  x‬‬ ‫ ) ‪= a ( a  +  3 )                     = 2a ( x  ­  2y‬‬ ‫ 3‬ ‫ 2‬ ‫ ) ‪D = 5x  +  10x  ­  20x  ;;  E = 2abx  +  6aby  ­  2ab  ;;  F = 2x ( 1  +  x )  +  7 ( 1  + x‬‬ ‫ 2‬ ‫ ) 7  +  ‪= 5x ( x  +  2x ­  4 )               = 2ab ( x  +  3y  ­  1 )                = ( 1  +  x ) ( 2x‬‬ ‫ ‪ _ III‬ﺍﻟﻨﺸﺮ ﻭ ﺍﻟﺘﻌﻤﻴﻞ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﻟﻬﺎﻣﺔ :‬ ‫ 1( –  ﺧﺎﺻﻴﺔ :  ) ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﻟﻬﺎﻣﺔ (‬ ‫ ‪  a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ :‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ‪( a  +  b )  =  a  +  2ab  +  b‬‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ‪( a  ­  b )  =  a  ­  2ab  +  b‬‬ ‫ 2‬ ‫2‬ ‫ ‪( a  ­  b ) ( a  +  b )  =   a  ­  b‬‬
  • 41.
    : ‫ 2( –  ﺗﻄﺒﻴـﻘـــــﺎﺕ‬ : ‫ ( ­ ﻟﻨﻨﺸﺮ ﺛﻢ ﻧﺒﺴﻂ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ‬ ‫ ﺃ‬ 2  2  2  ( a  +  3 )  ;;    ( x  +  y )  ;;    ( 2x  +  1 )  2  2  2  ( x  ­  5 )  ;;    ( 2  ­  y )  ;;    ( 3x  ­  7 )  ( x  ­  2 ) ( x  +  2 )  ;;    ( 6x  +  1 ) ( 6x  ­  1 )  2  2  2  2  2  2  ( a  +  3 )  = a  +  2 . a . 3  +  3  ;;      ( x  +  y )  =  x  +  2 . x . y  +  y  2  2  2  = a  +  6a  +  9                                            = x  +  2xy  +  y  2  2  2  2  2  2  ( 2x  +  1 )  = ( 2x )  +  2 . 2x . 1  +  1  ;;      ( x  ­  5 )  = x  ­  2 . x . 5  +  5  2  2  = 4x  +  4x  +  1  = x  ­  10x  +  25  2  2  2  2  2  2  ( 2  ­  y )  = 2  ­  2 . 2 . y  +  y  ;;      ( 3x  ­  7 )  = ( 3x )  ­  2 . 3x . 7  +  7  2  2  = 4  ­  4y  +  y  = 9x  ­  42x  +  49  2  2  2  2  ( x  ­  2 ) (  x  +  2 ) = x  ­  2  ;;       ( 6x  +  1 ) ( 6x  ­  1 ) = ( 6x )  ­  1  2  2  =  x  ­  4                                                      = 36x  ­  1  :  ‫ ( ­ ﻟﻨﻌﻤﻞ  ﻣﺎ ﻳﻠﻲ‬ ‫ ﺏ‬ 2  2  2  A = x  +  4x  +  1      ;;      B = 25x  +  30x  +  9      ;;      C = 49  ­  28x  +  4x  2  2  2  D = 9x  ­  30x  +  25      ;;      E = 4  ­  x  ;;     F = 81x  ­  121  2  2  2  A = x  +  4x  +  1      ;;      B = 25x  +  30x  +  9  ;;          C = 49  ­  28x  +  4x  2  2  2  2  2  2  = x  +  2 . x . 2  +  2  = ( 5x )  +  2 . 5x . 3  +  3  = 7  ­  2 . 7 . 2x  +  ( 2x )  2  2  2  = ( x  +  2 )  = ( 5x  +  3 )  = ( 7  ­  2x )  2  2  2  D = 9x  ­  30x  +  25  ;;       E = 4  ­  x  ;;  F = 81x  ­  121  2  2  2  2  2  2  = ( 3x )  ­  2 . 3x . 5  +  5  = 2  ­  x  = ( 9x )  ­  11  2  = ( 3x  ­  5 )  = ( 2  ­  x ) ( 2  +  x )            = ( 9x  ­  11 ) ( 9x  +  11 ) 
  • 42.
    ‫ ﻣﺘـــﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿــــــﻼﻉ‬ ‫ ‪ _ I‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ :‬ ‫ 1( – ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ )1‪ (D‬ﻭ )2‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ .‬ ‫ )1‪ (L‬ﻭ )2‪ (L‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻳﻘﻄﻌﺎﻥ )1‪ (D‬ﻭ )2‪ (D‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﻓﻲ  :  ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﻭ ‪. D‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ  ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ ‫ 2( –  ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻫﻮ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﺣﺎﻣﻼ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ‬ ‫ ‪ _ II‬ﺧﺼﺎﺋــﺺ :‬ ‫ 1( –  ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻴﻦ :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻗﻄﺮﺍﻩ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻓﻲ ‪. O‬‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻴﻦ ]‪  [AC‬ﻭ ]‪. [BD‬‬ ‫ ﻧﻘــﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻓﺈﻥ ﻟﻘﻄﺮﻳﻪ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :  ﻧﺴﻤﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﻱ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ  ﻣﺮﻛﺰﻩ .‬
  • 43.
    ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﻨﺘﺼﻒ ‪ O‬ﻭ ﺣﺎﻣﻼﻫﻤﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ :‬ ‫ ‪  A‬ﻭ ‪  B‬ﻭ ‪  C‬ﻭ ‪ D‬ﻧﻘﻂ ﺑﺤﻴﺚ ]‪  [AC‬ﻭ ]‪ [BD‬ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤ‬ ‫ ﻟﻨﺒﺮﻫﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ .‬ ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻫﺬﺍ ﺳﻨﺒﺮﻫﻦ ﺃﻥ )‪ (AB‬ﻳﻮﺍﺯﻱ )‪ (CD‬ﻭ ﺃﻥ )‪ (AD‬ﻳﻮﺍﺯﻱ )‪:  (BC‬‬ ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪  [AC‬ﻭ ]‪  [BD‬ﺇﺫﻥ :‬ ‫ ‪  A‬ﻭ ‪  C‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ‪  B‬ﻭ ‪  D‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘ‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪  (AB‬ﻭ )‪ (CD‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻭ ﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪  (AD‬ﻭ )‪. (BC‬‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻓﺈﻥ  )‪  (CD) // (AB‬ﻭ )‪(BC) // (AD‬‬ ‫ ﻭ ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ  ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ )  ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ( ﻣﺮﻛﺰﻩ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ﻧﻘــﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻗﻄﺮﺍﻩ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻨﺘﺼﻒ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ ‫ * ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ :‬ ‫ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻭ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪. [AC‬‬ ‫ 1( – ﺃﻧﺸﺊ ‪ D‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. I‬‬ ‫ 2( – ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ  ‪  ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿــﻼﻉ .‬ ‫ ﺍﻟﺤــــﻞ :‬ ‫ 1( – ﺍﻟﺸﻜـــــﻞ :‬ ‫ 2( – ﻟﻨﺜﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿـــﻼﻉ :‬ ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ  :‬ ‫ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ  ]‪(1) .  [AC‬‬ ‫ ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ D‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ  ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪. I‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ : ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪(2)  . [BD‬‬ ‫ ﻉ  )  ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﺮﻳﻦ ( .‬ ‫ ﻣﻦ  )1(  ﻭ  )2(  ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿـــﻼ  .‬
  • 44.
    ‫ 2( –  ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺔ :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻣﺮﻛﺰﻩ ‪. O‬‬ ‫ ﻟﻨﺒﻴﻦ  :  ‪  AB = CD‬ﻭ ‪AD = BC‬‬ ‫ ﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ  ‪. ABCD‬‬ ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ‪  O‬ﻣﺮﻛﺰ ﻣ‬ ‫ ﺇﺫﻥ  ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻦ ]‪. [BD]  [AC‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ  :  ‪  A‬ﻭ ‪ C‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪  O‬ﻭ ﻛﺬﻟﻚ ‪  B‬ﻭ ‪. D‬‬ ‫ ( .‬ ‫ ﻭ ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ  ﻓﺈﻥ  :  ‪  AB = CD‬ﻭ  ‪ )  AD = BC‬ﺣﺴﺐ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺤﻔﺎﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫ ﻧﻘــﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻓﺈﻥ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎﻥ‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  ﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎﻥ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ ‫ 3( –  ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺔ :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻣﺮﻛﺰﻩ ‪. O‬‬‫ ‪ABCD‬‬ ‫ ﻟﻨﺒﻴﻦ ﺃﻥ  ‪  A ˆ C  =  A ˆ C‬ﻭ ﺃﻥ  ‪. B ˆ C  =  B  ˆ D‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪D‬‬
  • 45.
    ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻣﺮﻛﺰﻩ ‪. O‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  ‪  O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻦ ]‪  [AC‬ﻭ ]‪. [BD‬‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻓﺈﻥ  :  ‪  A‬ﻭ ‪ C‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪  O‬ﻭ ﻛﺬﻟﻚ  ‪  B‬ﻭ ‪. D‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ  ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ  ‪  A ˆ C‬ﻭ  ‪  A ˆ C‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﺎﻥ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪  O‬ﻭ ﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ  ‪  B ˆ D‬ﻭ  ‪B  ˆ D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪ˆ D‬‬ ‫ ˆ‬ ‫ ˆ‬ ‫ ‪ˆ C‬‬ ‫ ﻭ ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ  :  ‪  A B C = A D‬ﻭ  ‪B C  = B A D‬‬ ‫ ﻧﻘــﻮﻝ ﺇﺫﻥ :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻓﺈﻥ ﻛﻞ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ‬ ‫ ﻴﺔ :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴ‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﻛﻞ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﺎﺗﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ ‫ 4( –  ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿـــﻼﻉ :‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ  ﻭ ‪ H‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻂ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (CD‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ‪  AH‬ﺍﺭﺗﺘﻔﺎﻉ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ  ‪. ABCD‬‬ ‫ 5( –  ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺇﺿــﺎﻓﻴﺔ :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺿﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼﻥ ﻭ ﺣﺎﻣﻼﻫﻤﺎ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿـــﻼﻉ‬
  • 46.
    ‫ ﺍﻟـﻤــﻌــــﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺎﻥ :‬ ‫ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻋﺸﺮﻳﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴ‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺑﻤﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺘﻴﻦ  :‬ ‫ ‪  a  +  x   =  b‬ﻭ ‪(a ¹ 0)  ax  =  b‬‬ ‫ 2( – ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ 5 ­  =  ‪11  +  x  =  22    ;;  ­5  +  x  =  10    ;;    x  ­  2  =  ­ 8    ;;    6  ­  x =  2,6    ;;  ­ 1  ­  x‬‬ ‫ 41  =  ‪3x  =  12    ;;  ­ 7x  =  21  ;;  ­ 4x  =  ­ 16    ;;    5x  =  0   ;;    2,5x  =  ­  1   ;;  ­7x‬‬ ‫ ‪ _ II‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻝ ‪. x‬‬ ‫ 2( – ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  ‪: a  +  x  =  b‬‬ ‫ ( ­ ﻗﺎﻋــﺪﺓ :‬ ‫ ﺍ‬ ‫ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ  ‪  a  +  x  =  b‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  ‪x  =  b  ­  a‬‬ ‫ ( ­ ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  11 = ‪  6  +  x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :  5 = 6  ­  11 =  ‪.  x‬‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  0 = ‪ ­ 2  +  x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :   2  =  2 +  0 = ) 2 ­  (  ­  0  =  ‪. x‬‬ ‫ ﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :  4 ­  =  5,2 ­  5,1 ­  =  ‪. x‬‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  5,1 ­ =  ‪ 2,5  ­  x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪ‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  1  =  ‪  5  ­  x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :  4  =  5  +  1 ­  =  ‪. x‬‬ ‫ 2( – ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪: (a ¹ 0 )  ax   =   b‬‬ ‫ ( ­ ﻗﺎﻋــﺪﺓ :‬ ‫ ﺍ‬ ‫‪x  =  b/a‬‬ ‫ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ‪  (a ¹ 0)  ax  =  b‬ﻫﻮ ﺍﻟ‬ ‫ ﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ‬
  • 47.
    ‫ ( ­ ﺃﻣﺜﻠﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫5‬ ‫ =  ‪. x‬‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  5 =  ‪ 2x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :  5 2 =‬ ‫ ,‬ ‫ 2‬ ‫3‬ ‫ =  ‪. x‬‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  3  =  ‪ ­ 5x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :  6 0- =‬ ‫ ,‬ ‫ 5 -‬ ‫0‬ ‫ =  ‪.  = 0  x‬‬ ‫ ­­  ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  :  0  =  ‪ ­ 7x‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  :‬ ‫ 7 -‬ ‫ ‪ _ II‬ﺧﺼﺎﺋﺺ :‬ ‫ 1( – ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ .‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﺃﺿﻔﻨﺎ ﺃﻭ ﻃﺮﺣﻨﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻓﻲ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻻ ﺗﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :  ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ k‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ .  ‪  a  =  b‬ﻳﻌﻨﻲ  :  ‪  a + k = b + k‬ﻭ  ‪a – k = b – k‬‬ ‫ ﺪﺓ 2 :‬ ‫ 2( – ﺍﻟﻘﺎﻋ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺿﺮﺑﻨﺎ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺃﻭ ﻗﺴﻤﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻐﻴﺮ ﺍﻟﻤﻨﻌﺪﻡ ﻃﺮﻓﻲ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻻ ﺗﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :  ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ k‬ﻭ '‪  (k '¹ 0  k‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ .‬ ‫ )‬ ‫ ‪  a  =  b‬ﻳﻌﻨﻲ  :  ‪  a  x  k  =  b  x  k‬ﻭ  '‪a  :  k'  = b :  k‬‬ ‫ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ :‬ ‫ ﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻻﺗﺤﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻝ  ‪  x‬ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺤﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ‬ ‫ 1 ­  ﻧﺰﻳﻞ ﺍ‬ ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻝ  ‪  x‬ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻟﻸﻳﻤﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .‬ ‫ 2 ­ ﻋﻨﺪ ﺇﺯﺍﻟﺔ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﻃﺮﻑ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻧﻀﻴﻒ ﻣﻘﺎﺑﻠﻪ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻵﺧﺮ .‬ ‫ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ :‬ ‫ ¤  ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  7 ­  =  ‪. 5  +  x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :  5 – 7 ­ =  ‪x‬‬ ‫ 21 ­ =‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  21 – .‬ ‫ ¤  ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  2  =  ‪. 5x‬‬ ‫2‬ ‫ =  ‪= 0 4  x‬‬ ‫ ,‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫ 5‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  4,0 .‬
  • 48.
    ‫ ¤  ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  1 ­  ‪. 3x  +  5  =  x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  5  ­  1­  =  ‪3x  ­  x‬‬ ‫ 6 ­  =  ‪2x‬‬ ‫6 -‬ ‫ =  ‪= -3  x‬‬ ‫ 2‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ 3 -  .‬ ‫ ¤  ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  5  ­  ‪. 2( x  +  1)  =  x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  1  ­  ‪2x  +  2  =  x‬‬ ‫ 2 ­  1 ­  =  ‪2x  ­  x‬‬ ‫ 3 ­  =  ‪x‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ 3 -  .‬ ‫ 2 + ‪2 x‬‬ ‫ 1 - ‪x‬‬ ‫ .‬ ‫= ‪+ x‬‬ ‫ ¤  ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ 4‬ ‫ 2‬ ‫+‬ ‫=‬ ‫ ) (‬ ‫ 1 - ‪2 x + 2  4 x  2  x‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫ 4‬ ‫ 4‬ ‫ 4‬ ‫ ) (‬ ‫ 1 - ‪2 x + 2 + 4 x = 2  x‬‬ ‫ 2 - ‪2 x + 2 + 4 x = 2 x‬‬ ‫ 2 - 2- = ‪2 x + 4 x - 2 x‬‬ ‫ 4- = ‪4 x‬‬ ‫4-‬ ‫ = ‪x‬‬ ‫ 4‬ ‫1- = ‪x‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ 1 -  .‬ ‫ ﺣﺎﻻﺕ ﺧﺎﺻﺔ  :‬ ‫ )0 ¹ ‪(b‬‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪0x  =  b‬‬ ‫ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺣﻼ‬ ‫ )0 ¹ ‪(a‬‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0  =  ‪ax‬‬ ‫ ﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ 0‬ ‫ ­­ ﺣﻞ ﺍﻟﻌﺎﺩﻟﺔ  0  =  ‪0x‬‬ ‫ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺸﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺣﻞ ﻟﻬﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬
  • 49.
    ‫ ‪ _ II‬ﺣﻞ ﻣﺴــﺎﺋﻞ :‬ ‫ 1( –  ﻗﺎﻋﺪﺓ  :‬ ‫ ﻟﺤﻞ ﻣﺴﺄﻟﺔ ﻧﺘﺒﻊ ﺍﻟﻤﺮﺍﺣﻞ ﺍﻵﺗﻴ ﺔ‬ ‫ :‬ ‫ ﺭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻝ .‬ ‫ 1 – ﺍﺧﺘﻴﺎ‬ ‫ .‬ ‫ 2 – ﺻﻴﺎﻏﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ .‬ ‫ 3 – ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ – ﺍﻟﺨﻼﺻﺔ.‬ ‫ 2( –  ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ . ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ﺍﻹﺭﺙ ﻳﺮﺟﻊ ﺇﻟﻰ ﺃﻭﻻﺩﻩ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ :‬ ‫ ﺗﻮﻓﻲ ﺭﺟﻞ ﻭ ﺗﺮﻙ ﻣﺎﻻ ﻗﺪﺭﻩ 00006 ﺩﺭﻫﻤﺎ‬ ‫ ﺇﺑﻦ ﻭ ﺛﻼﺙ ﺑﻨﺎﺕ ﻭ ﺃﻥ ﻟﻠﺬﻛﺮ ﺣﻆ ﺍﻷﻧﺜﻴﻴﻦ ,  ﻓﻜﻴﻒ ﺳﻴﻘﺴﻢ ﻫﺬﺍ ﺍﻹﺭﺙ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ ؟‬ ‫ ﺤــﻞ :‬ ‫ ﺍﻟ‬ ‫ 1( – ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻝ :‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ  ‪  x‬ﺣﻆ  ﺑﻨﺖ  .‬ ‫ 2( – ﺻﻴﺎﻏﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :‬ ‫ ﻮﻟﺪ ﻫﻮ  ‪.  2 x‬‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﻆ ﺑﻨﺖ  ﻫﻮ  ‪  x‬ﻓﺈﻧﻪ ﺣﻆ  ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﻫﻮ  3  ﻭ ﺣﻆ ﺍﻟ‬ ‫ ‪x‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ  :  00006 =  ‪.  3 x + 2 x‬‬ ‫ 3( – ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  00006 = ‪5 x‬‬ ‫00006‬ ‫ = ‪x‬‬ ‫ 5‬ ‫00021 = ‪x‬‬ ‫ ﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ  00021 .‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌ‬ ‫ 4( – ﺣﻞ ﺍﻟﺨﻼﺻﺔ :‬ ‫ .‬ ‫ ﺣﻆ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻫﻮ  00021 ﺩﺭﻫﻤﺎ ﻟﻜﻞ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬ ‫ ﺣﻆ ﺍﻟﻮﻟﺪ  ﻫﻮ  00042 ﺩﺭﻫﻤﺎ .‬
  • 50.
    ‫ ﺍﻟــﺮﺑﺎﻋﻴــــــــــــﺎﺕ ﺍﻟـﺨـﺎﺻــــــــــــــﺔ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﻫﻮ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻟﻪ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ 2( – ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪  ABCD‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ .‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ 1( – ﺟﻤﻴﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﻗﺎﺋﻤﺔ .‬ ‫ 2( – ﻟﻠﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﺑﻌﺪﻳﻦ ﻫﻤﺎ :  ﺍﻟﻄﻮﻝ  ﻭ  ﺍﻟﻌﺮﺽ .‬ ‫ 3( – ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﻟﻪ ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎﺕ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ .‬ ‫ 3( – ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻦ  :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺴﺘﻄﻴﻼ ﻓﺈﻥ ﻟﻘﻄﺮﻳﻪ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻄﻮﻝ‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  :‬ ‫ ‪AC  =  BD‬‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻗﻄﺮﺍﻩ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻄﻮﻝ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺴﺘﻄﻴﻼ‬ ‫ 4( – ﻣﺤﺎﻭﺭ ﻭﻣﺮﻛﺰ  ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ  :‬ ‫ ﻟﻠﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﻣﺤﻮﺭﺍ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻫﻤﺎ ﻭﺍﺳﻄﺎ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻭ ﻟﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻭﺍﺣﺪ ﻫﻮ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﻳﻪ‬
  • 51.
    ‫ ‪ _ II‬ﺍﻟﻤﻌﻴـﻦ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﻌﻴﻦ ﻫﻮ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻟﻪ ﺿﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎﻥ‬ ‫ 2( – ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﻌﻴﻦ .‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ *‬ ‫ 1( – ﺟﻤﻴﻊ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ .‬ ‫ 2( – ﺍﻟﻤﻌﻴﻦ ﻟﻪ ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎﺕ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ .‬ ‫ 3( – ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻦ  :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﻌﻴﻨﺎ ﻓﺈﻥ ﺣﺎﻣﻼ ﻗﻄﺮﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻗﻄﺮﺍﻩ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻌﻴﻨﺎ‬ ‫ 4( – ﻣﺤﺎﻭﺭ ﻭﻣﺮﻛﺰ  ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﻌﻴﻦ  :‬ ‫ ﻟﻠﻤﻌﻴﻦ ﻣﺤﻮﺭﺍ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻫﻤﺎ ﻭﺍﺳﻄﺎ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻭ ﻟﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻭﺍﺣﺪ ﻫﻮ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﻳﻪ‬
  • 52.
    ‫ ‪ _ II‬ﺍﻟﻤﺮﺑــﻊ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ ﻫﻮ ﻣﻌﻴﻦ ﻟﻪ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ 2( – ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﺮﺑﻊ .‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ *‬ ‫ ﺑﻊ ﻗﺎﺋﻤﺔ .‬ ‫ 1( – ﺟﻤﻴﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ 2( – ﺟﻤﻴﻊ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ .‬ ‫ 3( – ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ ﻟﻪ ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎﺕ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ .‬ ‫ 4( – ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻃﻮﻟﻪ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻋﺮﺿﻪ .‬ ‫ 3( – ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﻦ  :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﺮﺑﻌﺎ ﻓﺈﻥ ﻟﻘﻄﺮﻳﻪ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻄﻮﻝ‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻣﻌﻴﻨﺎ ﻗﻄﺮﺍﻩ ﻣﻘﺎﻳﺴﺎﻥ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺮﺑﻌﺎ‬ ‫ 4( – ﻣﺤﺎﻭﺭ ﻭﻣﺮﻛﺰ  ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ  :‬ ‫ ﻟﻠﻤﺮﺑﻊ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﻣﺤﺎﻭﺭ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻫﻲ ﻭﺍﺳﻄﺎ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻭ ﺣﺎﻣﻼ ﻗﻄﺮﻳﻪ ﻭ ﻟﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻭﺍﺣﺪ ﻫﻮ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﻳﻪ‬
  • 53.
    ‫ ـﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻣـﺘـــــﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻭ ﻗــــــــــﺎﻃﻊ‬ ‫ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤـﻜـ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺗﺬﻛﻴــﺮ :‬ ‫ 1( – ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻣﺘﺎﻥ ﻭﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎﻥ :‬ ‫ ¤ ﺗﻜﻮﻥ  ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﻬﻤﺎ °09 .‬ ‫ ﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﻬﻤﺎ °081 .‬‫ ¤ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤ‬ ‫ 2( – ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺤﺎﺫﻳﺘﺎﻥ :‬ ‫ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺤﺎﺫﻳﺘﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  :‬ ‫ ¤ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺮﺃﺱ .‬ ‫ .‬ ‫ ¤ ﻟﻬﻤﺎ ﺿﻠﻊ ﻣﺸﺘﺮﻙ‬ ‫ ¤ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻙ .‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪  A  ˆ B‬ﻭ  ‪  B  ˆ C‬ﺯﺍﻭﻳﺘﻨﺎ ﻣﺘﺤﺎﺫﻳﺘﺎﻥ‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‪ _ II‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﺑﺎﻟﺮﺃﺱ :‬ ‫ )2‪(D‬‬ ‫ 1( – ﻣﺜﺎﻝ  :‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ )1‪(D‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ  ‪  A  ˆ C‬ﻭ  ‪:  B  ˆ D‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﺑﺎﻟﺮﺃﺱ‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﻭ ﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ  :  ‪  A  ˆ D‬ﻭ  ‪ˆ C‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪O‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪C‬‬
  • 54.
    ‫ 2( – ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﺑﺎﻟﺮﺃﺱ ﺗﻜﻮﻧﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﻴﻦ‬ ‫ ‪ _ III‬ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻭﻗﺎﻃﻊ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺎﺭﻳﻒ :‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ )1‪ (D2)  (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻭ )‪ (L‬ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﻓﻲ ‪. B  A‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ )‪(L‬‬ ‫ )1‪(D‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ  ‪  E ˆ B‬ﻭ  ‪:  A ˆ F‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺒﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ‬ ‫ )2‪(D‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎﻥ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ )‪(L‬‬ ‫ )1‪ (D2)  (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻭ )‪ (L‬ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﻓﻲ ‪. B  A‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ )1‪(D‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ  ‪  E ˆ B‬ﻭ  ‪:  F ˆ C‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻥ‬‫ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎ‬ ‫ )2‪(D‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ 2( – ﺧﺼــﺎﺋــﺺ :‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ )1‪ (D2)  (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻭ )‪ (L‬ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﻓﻲ ‪. B  A‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ )‪(L‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ )1‪(D‬‬ ‫ )2‪(D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ ‪B‬‬
  • 55.
    ‫ ‪E ˆ B  = F ˆ A‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﻧﻼﺣــﻆ ﺃﻥ  :‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻓﺈﻧﻬﻤﺎ ﻳﺤﺪﺩﺍﻥ ﻣﻊ ﻛﻞ  ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺒﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ‬ ‫ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻭ  ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ [CD‬ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪. [CD‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻟﻨﺒﻴﻦ ﺃﻥ  :  ‪.  B ˆ D =  A ˆ M‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (CD)  (AB‬ﻭ ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ )‪. (AD‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :  ‪  A ˆ M‬ﻭ  ‪  B ˆ D‬ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺒﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ .‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ﻭ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ , ﺇﺫﻥ :‬ ‫ ‪M‬‬ ‫ )‪ )  (CD) // (AB‬ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ( .‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻓﺈﻥ  :  ‪B ˆ D = A ˆ M‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺗﻴﻦ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ )1‪ (D2)  (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻭ )‪ (L‬ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﻓﻲ ‪. B  A‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ )‪(L‬‬ ‫ )1‪(D‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :  ‪E ˆ B =  F ˆ G‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ )2‪(D‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪G‬‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻓﺈﻧﻬﻤﺎ ﻳﺤﺪﺩﺍﻥ ﻣﻊ ﻛﻞ  ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﺯﺍ‬ ‫ ﻤﺮ ﻣﻦ ‪ A‬ﻭ ﻳﻮﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (BC‬‬ ‫ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻭ )‪ (AF‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻭ ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ )‪ [BA‬ﺧﺎﺭﺝ  ]‪. [AB‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ  ‪. E ˆ F‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﺘﻘﻴﻤﻴﻦ  )‪ (BC‬ﻭ )‪ (AF‬ﻭ ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ )‪. (EB‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :  ‪  E ˆ F‬ﻭ  ‪  A ˆ C‬ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎﻥ .‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻭ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ  )‪ (BC) // (AF‬ﻓﺈﻥ  :  =  ‪.  A ˆ C  E ˆ F‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ , ﺇﺫﻥ  :  °06  =  ‪.  A ˆ C‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﻭﻧﻌﻠﻢ ﺃ‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻓﺈﻥ  :  °06  =  ‪. E ˆ F‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪B‬‬
  • 56.
    ‫ ( ­ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ ﻭ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺗﻴﻦ :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﺣﺪﺩ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﻊ ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﺒﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ‬ ‫ ﺃﻭ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎﻥ ﻓﺈﻧﻬﻤﺎ ﻳﻜﻮﻧﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ‬ ‫ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺭﺃﺳﻪ ‪ A‬ﺑﺤﻴﺚ  08 =  ‪.  B ˆ C‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫°‬ ‫ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ )‪ [AE‬ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺤﻴﺚ  ‪  C ˆ B‬ﻭ  ‪ B ˆ E‬ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺤﺎﺫﻳﺘﺎﻥ ﻭ  05 =  ‪. BAE‬‬ ‫°‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﻟﻨﺒﻴﻦ ﺃﻥ )‪. (AE) // (BC‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺭﺃﺳﻪ ‪. A‬‬ ‫ 08 -  081‬ ‫°‬ ‫°‬ ‫=  ‪A ˆ C  =  A  ˆ B‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ :  05 =‬ ‫°‬ ‫ 2‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (BC)  (EA‬ﻭ ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ )‪. (AB‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :  ‪  B ˆ E‬ﻭ  ‪  A ˆ C‬ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺒﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺩﺍﺧﻠﻴﺎ .‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ  05 =  ‪ .  B ˆ E‬ﻭ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ  05 =  ‪  A ˆ C‬ﻓﺈﻥ :‬ ‫ ‪B‬‬ ‫°‬ ‫ ‪A‬‬ ‫°‬ ‫ ‪.  B ˆ E  =  A ˆ C‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻓﺈﻥ  :  )‪(BC) // (AE‬‬ ‫ ‪ _ IV‬ﺧﺎﺻﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻮﺍﺯﻱ ﻭ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﺪ :‬ ‫ 1( – ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻓﺈﻥ ﻛﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻋﻤﻮﺩﻳﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺧﺮ‬ ‫ )1‪(D2) //  (D‬‬ ‫ :  )‪(D2)  ┴  (L‬‬ ‫ ﻓﺈﻥ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ   ﻭ‬ ‫ * ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :‬ ‫ )‪(D1)  ┴  (L‬‬
  • 57.
    ‫ 2( – ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻓﺈﻥ ﻛﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻮﺍﺯﻳﺎ ﻟﻶﺧﺮ .‬ ‫ )1‪(D2)  ┴  (D‬‬ ‫ :  )‪(D2)  //  (L‬‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ   ﻭ                                 ﻓﺈﻥ‬ ‫ * ﺑﺘﻌﺒﻴﺮ ﺁﺧﺮ  :‬ ‫ )‪(D1)  ┴  (L‬‬
  • 58.
    ‫ ﺍﻟﺘـﻨــﺎﺳﺒﻴـــــــــــــــــﺔ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ :‬ ‫ 1( – ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ :‬ ‫ ( ­ ﻣﺜﺎﻝ 1 :‬‫ ﺃ‬ ‫ 7‬ ‫ 4‬ ‫ 4,5‬ ‫ 11‬ ‫ 5,2‬ ‫ ﻻﺣﻆ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ  :‬ ‫ 3  ‪X‬‬ ‫ 12‬ ‫ 21‬ ‫ 2,61‬ ‫ 33‬ ‫ 5,7‬ ‫ .‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻧﻨﺎ ﺿﺮﺑﻨﺎ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻷﻭﻝ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ 3 ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ 3  :  ﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ .‬ ‫ ﻣ‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ‪  n‬ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﻳﺤﻘﻖ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ .‬ ‫ 12  21  2 61  33  ,7‬ ‫ 5‬ ‫ ,‬ ‫=  =‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ ‪  n‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻷﻭﻝ . ﻭ ﻧﻜﺘﺐ  :  3 =‬ ‫ 7  4  4 5  11  5 2‬ ‫ ,‬ ‫ ,‬ ‫ ( ­ ﻣﺜﺎﻝ 2 :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ 4‬ ‫ 5,5‬ ‫ 5,7‬ ‫ 6‬ ‫ 5‬ ‫ ﻻﺣﻆ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ  :‬ ‫ ?‬ ‫ 61‬ ‫ 11‬ ‫ 03‬ ‫ 21‬ ‫ 01‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻧﻨﺎ ﻟﻢ ﻧﻀﺮﺏ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻷﻭﻝ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ .‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ‪  n‬ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﻻﻳﺤﻘﻖ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ .‬ ‫ 61 03‬ ‫ 11  21 01‬ ‫ ﻭ  4 =  =‬ ‫=  =‬ ‫ ‪  n‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻷﻭﻝ . ﻭ ﻧﻜﺘﺐ  :  2 =‬ ‫ 4  5 7‬ ‫ ,‬ ‫ 5 5  6  5‬ ‫ ,‬ ‫ 2( – ﻣﺒﻴﺎﻥ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ :‬ ‫ ( ­ ﻣﺜﺎﻝ 1 :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ﻻﺣﻆ ﺍﻟﻤﺒﻴﺎﻥ ﺍﻵﺗﻲ  :‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺟﻤﻴﻊ ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻊ ﺃﺻﻞ ﺍﻟﻤﻌﻠﻢ .‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ¤  ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺒﻴﺎﻥ ﻳﺤﻘﻖ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ .‬
  • 59.
    ‫ ( ­ ﻣﺜﺎﻝ 2 :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﻻﺣﻆ ﺍﻟﻤﺒﻴﺎﻥ ﺍﻵﺗﻲ  :‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺣﺠﻤﻴﻊ ﻧﻘﻄﻪ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻊ ﺃﺻﻞ ﺍﻟﻤﻌﻠﻢ .‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ ¤  ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺒﻴﺎﻥ ﻻ ﻳﺤﻘﻖ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ .‬ ‫ 3( – ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺐ :‬ ‫ ( ­ ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪c‬‬ ‫ ‪a‬‬ ‫ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ x‬ﺑﺎﻟﺠﺪﻭﻝ ﺟﺎﻧﺒﻪ ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺐ‬ ‫ ‪x‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ ﻊ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ .‬ ‫ ( ­ ﻣﺜﺎﻝ 1 :  ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺍﺑ‬ ‫ ﺏ‬ ‫ 52  5,41‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺍﻵﺗﻲ  :‬ ‫ ‪x‬‬ ‫ 5‬ ‫5‬ ‫ .‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻫﻮ  :  2 0 =‬ ‫ ,‬ ‫ 52‬ ‫ 9,2  =  ‪x‬‬ ‫ ﺃﻱ‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  2,0  ‪x  = 14,5  x‬‬ ‫ ﺐ .‬ ‫ ( ­ ﻣﺜﺎﻝ 2 :  ﺇﺗﻤﺎﻡ ﺟــﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳ‬ ‫ ﺝ‬ ‫ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﻄﺮ ﺍﻷﻭﻝ  .‬ ‫ 2‬ ‫ 7‬ ‫ ‪y‬‬ ‫ 11‬ ‫ ‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ 19‬ ‫ 742‬ ‫ ‪z‬‬ ‫ 889‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ  :  ‪  x‬ﻭ ‪  y‬ﻭ ‪  z‬ﻭ ‪.  t‬‬ ‫19‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ  ﻫﻮ  :  31 =  .‬ ‫ 7‬ ‫ ;;                    62  =  31  ‪x  =  2  x‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  91  =  31  :  742  =  ‪y‬‬ ‫ 67   =  31  :  889  =  ‪z  =  11  x  13  =  143              ;;               t‬‬
  • 60.
    ‫ ‪ _ II‬ﺳﻠﻢ ﺍﻟﺘﺼﻤﻴﻤﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﺨﺮﺍﺋﻂ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳــﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﺴﻠﻢ ﻫﻮ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﺎﺕ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ  ﻟﺸﻴﺊ ﻭ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﺎﺕ‬ ‫ ـﻢ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ  :  ‪e‬‬ ‫ ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺃﻭ ﺧﺮﻳﻄﺔ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﺸﻴﺊ . ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻠﺴﻠــ‬ ‫ ﻠﻰ ﺍﻟﺘﺼﻤﻴﻢ‬ ‫ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻋ‬ ‫ =  ‪e‬‬ ‫ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣــﺔ  :‬ ‫ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﺮﻳﻄﺔ )‪y  125  (cm‬‬ ‫ 2( – ﻣﺜــﺎﻝ :‬ ‫ ﺮ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ  :‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒ‬ ‫ ‪75  x‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ )‪(km‬‬ ‫ 1‬ ‫ .‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ  ‪  x‬ﻭ ‪  y‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﻠــﻢ ﻫﻮ  :‬ ‫ 000052‬ ‫ 1‬ ‫ . ﻭ ﻫﺬﺍ ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  ‪ 1 cm‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﺮﻳﻄﺔ ﻳﻤﺜﻞ  ‪ 250000 cm‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ .‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻫﻮ  :‬ ‫ 000052‬ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﺮﻳﻄﺔ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﺎﺕ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ .‬ ‫ 1‬ ‫ : 521  =  ‪x‬‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :‬ ‫ 000052‬ ‫ 000052  ‪  x  =  125  x‬ﺃﻱ  ‪x  =  31250000 cm  =  312,5  km‬‬ ‫ 1‬ ‫ ‪y  =  30 cm‬‬ ‫ ﺃﻱ‬ ‫ ‪y  =  7500000  x‬‬ ‫ 000052‬ ‫ ‪ _ III‬ﺍﻟﺤﺮﻛﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻈﻤﺔ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳــﻒ :‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﺟﺴﻢ ﻓﻲ ﺣﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ‬ ‫ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﻤﺪﺩ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﻮﺍﻓﻘﺔ ﻟﻬﺎ .‬ ‫ 2( – ﻣﺜــﺎﻝ 1 :‬ ‫ ﻲ ﺗﺴﺘﻐﺮﻗﻬﺎ ﺳﻴﺎﺭﺓ ﻟﻘﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺎﺕ .‬ ‫ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ ﻳﺒﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘ‬ ‫ 6‬ ‫ 5‬ ‫ ﺍﻟﻤﺪﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ  )‪(h‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ  )‪480 400  (km‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫084‬ ‫004‬ ‫ 08 =‬ ‫ ﻭ‬ ‫ 08 =‬ ‫ 6‬ ‫ 5‬ ‫ 084 004‬ ‫ =‬ ‫ 08 =‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :‬ ‫ 5‬ ‫ 6‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :  ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻓﻲ ﺣﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ .‬
  • 61.
    ‫ 3( – ﻣﺜــﺎﻝ 2 :‬ ‫ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻲ ﻳﺒﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻳﺴﺘﻐﺮﻗﻬﺎ ﻗﻄﺎﺭ ﻟﻘﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺎﺕ .‬ ‫ 7‬ ‫ 6‬ ‫ 5‬ ‫ ﺍﻟﻤﺪﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ  )‪(h‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ‬ ‫077‬ ‫ 055  63‬ ‫ )‪(km‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫077‬ ‫063‬ ‫055‬ ‫ 011 =‬ ‫ ﻭ‬ ‫ 06 =‬ ‫ ﻭ‬ ‫ 011 =‬ ‫ 7‬ ‫ 6‬ ‫ 5‬ ‫063‬ ‫ 077 055‬ ‫ 06 =‬ ‫ ﻭ‬ ‫ =‬ ‫ 011 =‬ ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ  :‬ ‫ 6‬ ‫ 5‬ ‫ 7‬ ‫ 063  077 055‬ ‫ =‬ ‫¹‬ ‫ ﺃﻱ ﺃﻥ  :‬ ‫ 5‬ ‫ 7‬ ‫ 6‬ ‫ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﻄﺎﺭ ﻟﻴﺲ ﻓﻲ ﺣﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ .‬ ‫ ﻧﻘﻮﻝ ﺇﺫﻥ  :‬
  • 62.
    ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴــﻢ ﺍﻟﻤــﺪﺭﺝ ﻭ ﺍﻟﻤـﻌــﻠﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﻤـﺴـﺘـــﻮﻯ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘـﻴﻢ ﺍﻟـﻤــﺪﺭﺝ :‬ ‫ :‬ ‫ 1( – ﺗﺬﻛﻴــﺮ‬ ‫ .‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ )‪ (D‬ﻣﺪﺭﺝ , ﺑﺤﻴﺚ ]‪ [OI‬ﻫﻲ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺞ‬ ‫ ­  ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﺃﻓﺼــﻮﻝ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻭ ﺍﻟﻌﺪﺩ 1 ﺃﻓﺼــﻮﻝ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. I‬‬ ‫ ­  ﺃﻓﺼــﻮﻝ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ 4 . ﻭ ﻧﻜﺘﺐ  :  )4(‪  A‬ﺃﻭ  4 =  ‪. xA‬‬ ‫ 3 ­ = ‪. xB‬‬ ‫ ­  ﻓﺼــﻮﻝ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ B‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ 3 – . ﻭ ﻧﻜﺘﺐ  :  )3 ­ (‪  B‬ﺃﻭ‬ ‫ ﺃ‬ ‫ :‬ ‫ 2( – ﺍﻷﻓﺼﻮﻝ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻧﻄﺮﺡ ﻣﻦ ﺍﻷﻓﺼﻮﻝ ﺍﻟﻜﺒﻴﺮ ﺍﻷﻓﺼﻮﻝ ﺍﻟﺼﻐﻴﺮ‬ ‫ *  :‬ ‫ ﻣﺜﺎﻝ‬ ‫ )2( ‪ C(­ 1,5)  B(­ 5)  A‬ﻧﻘﻂ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺪﺭﺝ .‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ  ‪  AB‬ﻭ ‪ BC‬ﻭ ‪. AC‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬ ‫ ‪AC = xA  ­  xC‬‬ ‫ ‪BC = xC  ­  xB‬‬ ‫ ‪AB = xA  ­  xB‬‬ ‫ )5,1 ­(  ­  2 =‬ ‫ )5 ­(  ­  5,1 ­ =‬ ‫ =‬ ‫ 5,1  +  2 =‬ ‫ 5  +  5,1 ­ =‬ ‫ 5  +  2 =‬ ‫ 5,3  =‬ ‫ 5,3  =‬ ‫ 7  =‬ ‫ :‬ ‫ 3( –  ﺃﻓﺼﻮﻝ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻭﻗﻄﻌﺔ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ﺃﻓﺼﻮﻝ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﻫﻮ ﻧﺼﻒ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﻓﺼﻮﻟﻲ ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ .‬ ‫ ) 5 ­ (‪  A‬ﻭ ) 4 (‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﺎﻥ ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺪﺭﺝ‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺃﻓﺼﻮﻝ ‪ E‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪. [AB‬‬
  • 63.
    ‫ = ‪x A + x B x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ 2‬ ‫ 1 -  4 + 5 -‬ ‫ =‬ ‫=‬ ‫ 5 0- =‬ ‫ ,‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  )5,0 ­ (‪E‬‬ ‫ ‪ _ II‬ﺍﻟﻤﻌﻠﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ :‬ ‫ :‬ ‫ 1( – ﺇﻧﺸﺎء ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ (D‬ﻭ )‪ (Δ‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺪﺭﺟﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻟﻲ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ  ]‪  [OJ]  [OI‬ﻭ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  ‪  OI  =  OJ‬ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻣﻨﺴﻮﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﻌــﻠﻢ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻭ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ .‬ ‫ * ﻣﻔــﺮﺩﺍﺕ :‬ ‫ ﻮﺭ ﺍﻷﻓﺎﺻﻴﻞ .‬ ‫ ­­ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪  :  (OI‬ﻣﺤــ‬ ‫ ­­ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪  :  (OJ‬ﻣﺤــﻮﺭ ﺍﻷﺭﺍﺗﻴﺐ .‬ ‫ ­­ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻤﻌﻠﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺑﺎﻟﺮﻣــﺰ  :  ) ‪. ( O ; I ; J‬‬ ‫ :‬ ‫ 2( – ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺘﺎ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ  ‪ M‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﻌﺪﺩﻳﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ  ‪  xM‬ﻭ  ‪yM‬‬ ‫ ﻳﺴﻤﻴﺎﻥ  ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺘﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ  ‪ . M‬ﻭ ﻧﻜﺘﺐ  :  )  ‪. M( xM ; yM‬‬
  • 64.
    ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻣﻨﺴﻮﺑﺎ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻭ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ  ) ‪. (O ; I ; J‬‬ ‫ ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻂ  :‬ ‫ ) 2 ; 1 ­ (‪  A‬ﻭ ) 2 ­ ; 3 (‪  B‬ﻭ  ) 4 ; 5,0 (‪  C‬ﻭ ) 3 ­ ; 0 (‪  D‬ﻭ ) 0 ; 2 (‪  E‬ﻭ ) 5 ­ ; 5 ­ (‪F‬‬ ‫ :‬ ‫ 3( – ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺘﺎ ﻣﻨﺘﺼﻒ  ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ * ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ]‪ [AB‬ﻗﻄﻌﺔ ﻭ ‪ E‬ﻣﻨﺘﺼﻔﻬﺎ .‬ ‫ ‪y A  + y B‬‬ ‫+‬ ‫= ‪y E‬‬ ‫ ‪  x E =  x A  x B‬ﻭ‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ) 5­ ; 2 (‪  A‬ﻭ  ) 6 ­ ; 4 ­ (‪  B‬ﻧﻘﻄﺘﺎﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻣﻨﺴﻮﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ .‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺜﻲ ‪ E‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪. [AB‬‬ ‫ 11 -  6  ( + 5 -  ‪y A  + y B‬‬ ‫ ) -‬ ‫ 1- =  2 - =  4  ( + 2 =  ‪x A  + x B‬‬ ‫ ) -‬ ‫ = ‪y E‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ 5 5- =‬ ‫ ,‬ ‫ ﻭ‬ ‫ = ‪x E‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  ) 5,5 ­ ; 1 ­ (‪E‬‬
  • 65.
    ‫ ﺍﻟــﺪﺍﺋـــــــــــــــــــــــﺮﺓ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ :‬ ‫ 1( – ﻣﺜــﺎﻝ :‬ ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ ( C‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭﺷﻌﺎﻋﻬﺎ  ‪. 2 cm‬‬ ‫ ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻭ ‪ D  C  B‬ﻧﻘﻂ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪. ( C‬‬ ‫ ﻭ  ﻭ‬ ‫ ‪  OA = 2 cm‬ﻭ ‪ OB = 2 cm‬ﻭ ‪ OC = 2 cm‬ﻭ ‪. OD = 2 cm‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫ ﻧﻞ ﺍﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻂ  ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﻭ ‪  D‬ﺗﺒﻌﺪ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ 2 cm‬ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰ ‪. O‬‬ ‫ 2( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬ﻫﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ ﻣﺴﺎﻓﺘﻬﺎ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰ ‪ O‬ﻫﻲ ‪. r‬‬ ‫ 3( – ﻣﻔﺮﺩﺍﺕ :‬ ‫ ﻭﺗﺮ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻫﻮ ﻗﻄﻌﺔ ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ ﻳﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ * ﺍﻟﻮﺗﺮ :‬ ‫ ) ‪ ( C‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ [AB] . r‬ﻭ ]‪ [EF‬ﻗﻄﻌﺘﺎﻥ ﻃﺮﻓﻴﻬﻤﺎ ﻳﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ .‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﻛﻼ ﻣﻦ ]‪ [AB‬ﻭ ]‪  [EF‬ﻭﺗﺮ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪. ( C‬‬ ‫ﻗﻄﺮ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻫﻮ ﻭﺗﺮ ﻳﻤﺮ ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ :‬ ‫ * ﺍﻟﻘﻄﺮ‬ ‫ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺃﻋﻼﻩ ﻧﺴﻤﻲ ]‪  [EF‬ﻗﻄﺮ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪. ( C‬‬
  • 66.
    ‫ 3( – ﺧـﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ) ‪ ( C‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬ﻭ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ .‬ ‫ ﻓﺈﻥ  ‪OM = r‬‬ ‫ ¤ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  ) ‪M Π(C‬‬ ‫ ﻓﺈﻥ  ) ‪M Π(C‬‬ ‫ ¤ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  ‪OM = r‬‬ ‫ ‪ _ I‬ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ :‬ ‫ 1( – ﻣﺜــﺎﻝ :‬ ‫ ) ‪ ( C‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪.  r‬‬ ‫ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪ ( C‬ﻭ )‪ (L‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻋﻠﻰ )‪ (OA‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. A‬‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )‪  (L‬ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪ ( C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ 2( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﻣﻤﺎﺱ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ‪ M‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮﺩﻱ‬ ‫ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻞ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ  ‪. M‬‬ ‫ 3( – ﺧـﺎﺻﻴﺔ :‬ ‫ ) ‪ ( C‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ M . r‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ  ﻭ )‪  (L‬ﺘﻘﻴﻢ .‬ ‫ ﻣﺴ‬ ‫ ) ‪M Π(C‬‬ ‫ ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ  ) ‪ ( L‬ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪ ( C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. M‬‬ ‫‪OM‬‬ ‫ ‪(  ) ^ ( L‬‬ ‫ )‬ ‫ ) ‪M Π(C‬‬ ‫ ) ‪ ( L‬ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪ ( C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪  . M‬ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ‬ ‫‪OM‬‬ ‫ ‪(  ) ^ ( L‬‬ ‫ )‬ ‫ :  ﻧﺮﻣﺰ ﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪  ( C‬ﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ  :  )‪C (O ; r‬‬ ‫ ﻣ‬ ‫ * ﺗﺮﻣﻴــﺰ‬
  • 67.
    ‫ ﺍﻟـﻤــﻮﺷــﻮﺭ ﺍﻟﻘــﺎﺋﻢ ﻭ ﺍﻷﺳـﻄـــﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟـﻘــــــﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ :‬ ‫ 1( – ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﻫﻮ ﻣﺠﺴﻢ ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻣﻦ :‬ ‫ 1( – ﻭﺟﻬﻴﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻗﺎﺑﻠﻴﻦ ﻟﻠﺘﻄﺎﺑﻖ ﻫﻤﺎ : ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻥ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ .‬ ‫ 2( – ﺃﺣﺮﻑ ﺟﺎﻧﺒﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ ﻫﻲ  : ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ .‬ ‫ 3( – ﺃﻭﺟﻪ ﺟﺎﻧﺒﻴﺔ ﻭ ﻫﻲ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ : ﻣﺴﺘﻄﻴﻼﺕ .‬ ‫ * ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻫﺎﻣﺔ :‬ ‫ 1( – ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻭﺟﻪ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻋﺪﺩ ﺃﺿﻼﻉ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ .‬ ‫ ﻞ ﻣﺜﻠﺚ ﺃﻭ ﻣﺮﺑﻊ ﺃﻭ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﺃﻭ ﻣﻀﻠﻊ ﺭﺑﺎﻋﻲ‬ ‫ 2( – ﻗﺎﻋﺪﺗﺎ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺇﻣﺎ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﺷﻜ‬ ‫ ﺃﻭ ﻣﻀﻠﻊ ﺧﻤﺎﺳﻲ ..........‬ ‫ 2( – ﺃﻣﺜﻠــﺔ :‬ ‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﺜﻠﺚ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ­­ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺗﺎﻥ ﻫﻤﺎ : ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﻥ ‪ ABC‬ﻭ ‪. DEF‬‬ ‫ ­­ ﺍﻷﺣﺮﻑ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ]‪. [CF]  [BE]  [AD‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­­ ﺍﻷﻭﺟﻪ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ :  ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ‪ADFC‬‬ ‫ ﻭ ‪ ADEB‬ﻭ ‪. BEFC‬‬ ‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ­­ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺗﺎﻥ ﻫﻤﺎ : ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼﻥ ‪ ABCD‬ﻭ ‪. EFGH‬‬ ‫ ­ ﺍﻷﺣﺮﻑ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ]‪[DH]  [CG]  [BF]  [AE‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­‬ ‫ .‬ ‫ ­­ ﺍﻷﻭﺟﻪ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ‪DCGH  AEHD‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ‪. ABFE  BCGF‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ : ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ .‬ ‫ ﻧﺴﻤ‬
  • 68.
    ‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﺮﺑﻊ :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ ­­ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺗﺎﻥ ﻫﻤﺎ : ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺎﻥ ‪. EFGH  ABCD‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­ ﺍﻷﺣﺮﻑ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ]‪[DH]  [CG]  [BF]  [AE‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­‬ ‫ . ­­  ﻷﻭﺟﻪ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺎﺕ ‪DCGH  AEHD‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﺍ‬ ‫ ‪. ABFE  BCGF‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻧﺴﻤﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ : ﻣـﻜـﻌـــﺐ .‬ ‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﻀﻠﻊ ﺧﻤﺎﺳﻲ :‬ ‫ ﺩ‬ ‫ ­­ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺗﺎﻥ ﻫﻤﺎ : ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺎﻥ ‪. FGHMN  ABCDE‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­ ﺍﻷﺣﺮﻑ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ]‪[CH]  [BG]  [AF‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­‬ ‫ ]‪.  [DM]  [EN‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ­­ ﺍﻷﻭﺟﻪ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻫﻲ : ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ‪DMNE  AENF‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ‪ DCHM  BCGF‬ﻭ ‪. BCHG‬‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ﻭ‬ ‫ ‪ _ II‬ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ :‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫ ­­  ﺎﻋﺪﺗﺎﻥ ﻫﻤﺎ  : ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﺎﻥ‬ ‫ ﺍﻟﻘ‬ ‫ ﺍﻟﻠﺘﺎﻥ‬ ‫ ﻣﺮﻛﺰﻫﻤﺎ ‪  A‬ﻭ  ‪. B‬‬ ‫ ­­ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻫﻮ  :  ‪. AB‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪ _ III‬ﻧﺸﺮ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﻭ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ  :‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ﻢ :‬ ‫ 1( – ﻧﺸﺮ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋ‬ ‫‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﺜﻠﺚ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D‬‬
  • 69.
    ‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A  E‬‬ ‫ ‪F  B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪D  H‬‬ ‫ ‪G  C‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ( ­ ﻣﻮﺷﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎﻩ ﻣﺮﺑﻊ :‬ ‫ ﺝ‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪H‬‬ ‫ ‪G‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ 2( – ﻧﺸﺮ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ :‬ ‫ ‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ ‪B‬‬
  • 70.
    ‫ ﺍﻟﻤﺤﻴـﻄـــــــــﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤـﺴــــــــﺎﺣـﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﺤﺠــــــــﻮﻡ‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻤﺤﻴﻄﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺤﻴﻂ‬ ‫ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ :‬ ‫ ‪BC ´ AH‬‬ ‫ = ‪S‬‬ ‫ ‪P =  AB + AC + BC‬‬ ‫ 2‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪H‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ :‬ ‫2‬ ‫ ‪p = 4 ´ AB‬‬ ‫ ‪S  =  AB‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ :‬ ‫ ‪S =  AB ´ BC‬‬ ‫ ) ‪P = 2  AB + BC‬‬ ‫ (‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﻌﻴﻦ :‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪AC ´ BD‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫ ‪P  = 4 AB‬‬ ‫ 2‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬
  • 71.
    ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺤﻴﻂ‬ ‫ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ : ‫ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ A  S =  AB ´ AH  P = 2  AB + BC )  (  D  B  H  C  : ‫ ﺷﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺮﻑ‬ ( AB  = CD  ´ AH  )  A  B  S =  p =  AB  = BC  = CD = DA  2  D  H  C  : ‫ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ O  r 2  S = π x r  P = 2π x r 
  • 72.
    ‫ ‪ _ II‬ﺍﻟﻤﺤﻴﻄﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎء :‬ ‫ ﺍﻟﺤﺠــﻢ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ‬ ‫ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ :‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪V=AB.AD.AE‬‬ ‫ ‪ST=SL+2AB.AD‬‬ ‫ )‪SL=2(AB.AE+AD.AE‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪H‬‬ ‫ ‪G‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﻜﻌﺐ :‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ 3‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ‪V= AB‬‬ ‫ ‪ST=  6AB‬‬ ‫ ‪SL= 4AB‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪H‬‬ ‫ ‪G‬‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﻮﺷﻮﺭ‬ ‫ ‪B‬‬ ‫ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ :‬ ‫ ‪V = SB  x AE‬‬ ‫ ‪ST  = SL  + 2SB‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ ‪SL= P x AE‬‬ ‫ ‪D‬‬ ‫ ‪ = P‬ﻣﺤﻴﻂ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ‪F‬‬ ‫ ‪H‬‬ ‫ ‪ = SB‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫ ‪G‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ‬ ‫ ‪A‬‬ ‫ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ :‬ ‫ ‪r‬‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ‪V = πr  .h‬‬ ‫ ‪ST = SL  + 2πr‬‬ ‫ ‪SL  = 2π . r.h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ ‪B‬‬
  • 73.
    ‫ ﺍﻹﺣــﺼــــــــــــــــــﺎء‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ :‬ ‫ 1( – ﻗﺎﻋﺪﺓ 1 :‬ ‫ ‪x‬‬ ‫ ´ ‪n‬‬ ‫ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ  % ‪ x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ n‬ﻫﻮ ﺣﺴﺎﺏ  :‬ ‫ 001‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ 1 :‬ ‫ ﺑﻘﺴﻢ ﻳﺤﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ 04 ﺗﻠﻤﻴﺬﺍ ﻳﻮﺟﺪ  %06 ﻣﻦ ﺍﻹﻧﺎﺙ .‬ ‫ .‬ ‫ ﻟﻨﺤﺪﺩ ﻋﺪﺩ ﺍﻹﻧﺎﺙ ﻭ ﺍﻟﺬﻛﻮﺭ‬ ‫ 0042  06‬ ‫ ´ 04  ﻭ ﻣﻨﻪ  ﻓﺈﻥ  :  61 = 42 – 04‬ ‫=‬ ‫ 42 =‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫ 001  001‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻹﻧﺎﺙ ﻫﻮ  :  42  ﻭ    ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺬﻛﻮﺭ ﻫﻮ  :  61‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ 2 :‬ ‫ ﺏ ﺛﻤﻨﻪ  ‪  24 DH‬ﺇﺫﺍ ﻛﻨﺎ ﺳﻨﺴﺘﻔﻴﺪ ﻣﻦ ﺗﺨﻔﻴﺾ ﻗﺪﺭﻩ  % 01 ؟‬‫ ﻛﻢ ﺳﻨﺪﻓﻊ ﻟﺸﺮﺍء ﻛﺘﺎ‬ ‫ ­­  ﻟﻨﺤﺪﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ  :‬ ‫ 042  01‬ ‫ ´ 42‬ ‫=‬ ‫ 4 2 =‬ ‫ ,‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :‬ ‫ 001  001‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ ﻫﻲ  :  ‪. 2,4 DH‬‬ ‫ ­­  ﻣﺎ ﺳﻨﺪﻓﻌﻪ ﻟﺸﺮﺍء ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ  :‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :  6,12  =  4,2  –  42‬ ‫ ﺇﺫﻥ ﺳﻨﺪﻓﻊ ﻟﺸﺮﺍء ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ  :  ‪. 21,6 DH‬‬ ‫ 2( – ﻗﺎﻋﺪﺓ 2 :‬ ‫ ‪b‬‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ b‬ﻳﺸﻜﻞ  % ‪ x‬ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ a‬ﻓﺈﻥ 001 ´  = ‪x‬‬ ‫ ‪a‬‬ ‫ * ﻣﺜﺎﻝ 1 :‬ ‫ 2‬ ‫ 2‬ ‫ ﻣﻨﺰﻝ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ  ‪ . 90 m‬ﺑﻪ ﺣﺠﺮﺓ ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ  ‪.  20 m‬‬ ‫ ﻟﻨﺤﺪﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻤﺜﻠﻬﺨﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺤﺠﺮﺓ ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻨﺰﻝ .‬ ‫ 02‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :  22 22 = 001 ´  = ‪x‬‬ ‫ ,‬ ‫ 09‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺤﺠﺮﺓ ﺗﻤﺜﻞ  % 22,22 ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻨﺰﻝ .‬
  • 74.
    ‫ * ﻣﺜﺎﻝ 2 :‬ ‫ ‪ 125 kg‬ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻤﺢ ﺗﻌﻄﻲ ‪ 93,75 kg‬ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻗﻴﻖ .‬ ‫ ﻟﻨﺤﺴﺐ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻳﻌﻄﻴﻬﺎ ﺍﻟﻘﻤﺢ ﻣﻦ ﻛﺜﻠﺔ ﺍﻟﺪﻗﻴﻖ .‬ ‫ 57 39‬ ‫ ,‬ ‫ = ‪x‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  :  57 = 001 ´‬ ‫ 521‬ ‫ ﺇﺫﻥ  :  ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻳﻌﻄﻴﻬﺎ ﺍﻟﻘﻤﺢ ﻣﻦ ﻛﺘﻠﺔ ﺍﻟﺪﻗﻴﻖ ﻫﻲ  :  % 57 .‬ ‫ ‪ _ I‬ﺍﻹﺣﺼــﺎء :‬ ‫ :‬‫ 1( –  ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭ ﺗﻨﻈﻴﻤﻬﺎ‬ ‫ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺗﺘﻌﻠﻖ ﺑﻨﻘﻂ ﻓﺮﺽ ﻣﺤﺮﻭﺱ ﻓﻲ ﻣﺎﺩﺓ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ .‬ ‫ 6   31   4   11   6   01   9   7   01   9‬ ‫ 7   41   11   5   31   5   41   8   21‬ ‫ 01   21   01   8   6   01   11   8   01‬ ‫ 9   21   7   41   11   4   8   21   6‬ ‫ :‬ ‫ 2( –  ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻲ‬ ‫ 9  8  7  6  5  4‬ ‫ 01‬ ‫ 11‬ ‫ 21‬ ‫ 31‬ ‫ 41‬ ‫ (‬ ‫ ﺍﻟﻨﻘﻂ ) ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ‬ ‫ 3  5  3  4  1  2‬ ‫ 6‬ ‫ 4‬ ‫ 4‬ ‫ 2‬ ‫ 3‬ ‫ (‬ ‫ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﻼﻣﻴﺬ ) ﺍﻟﺤﺼﻴﺺ‬ ‫ :‬ ‫ * ﻣﻔــﺮﺩﺍﺕ‬ ‫ ‪  n‬ﺍﻟﺴﺎﻛﻨﺔ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺔ  :  ﻫﻲ ﺍﻷﺷﺨﺎﺹ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﺃﺟﺮﻳﺖ ﻋﻠﻴﻬﻢ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻹﺣﺼــﺎء . ) ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤ‬ ‫ ﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﻛﻨﺔ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﻫﻢ‬ ‫ ﺍﻟﺘﻼﻣﻴﺬ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﻗﺎﻣﻮﺍ ﺑﻺﻧﺠﺎﺯ ﺍﻟﻔﺮﺽ ﺍﻟﻤﺤﺮﻭﺱ ( .‬ ‫ ‪  n‬ﺍﻟـﻤﻴــﺰﺓ :  ﻫﻲ ﻻﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻤﺪﺭﻭﺳﺔ .  ) ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ ﻫﻲ ﻧﻘﻂ ﺍﻟﻔﺮﺽ ﺍﻟﻤﺤﺮﻭﺱ ( .‬ ‫ ‪  n‬ﺍﻟﺤﺼﻴﺺ  :  ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﻼﻣﻴﺬ ﻟﻜﻞ ﻣﻴﺰﺓ . )  ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ : ﺣﺼﻴﺺ ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ 21 ﻫﻮ  4 . ﺣﺼﻴﺺ ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ 5 ﻫﻮ 1 ( .‬ ‫ ‪  n‬ﺍﻟﺤﺼﻴﺺ ﺍﻹﺟﻤﺎﻟﻲ : ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺷﺨﺎﺹ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﺃﺟﺮﻳﺖ ﻋﻠﻴﻬﻢ ﻋﻤﻠﻴﺔﺍﻹﺣﺼﺎء ) ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺤﺼﺒﻴﺺ ﺍﻹﺟﻤﺎﻟﻲ ﻫﻮ‬ ‫ .‬ ‫ 73(‬ ‫ 2( –  ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ :‬ ‫ ﺺ ) ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﻼﻣﻴﺬ (‬ ‫ ﺍﻟﺤﺼﻴ‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﺑﺎﻟﻘﻀﺒﺎﻥ :‬‫ ﺃ‬ ‫ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ‬ ‫ﻳﺔ‬ ‫ﺑﺔ‬ ‫ﻳﺔ‬ ‫ ﺃﺳﺘﺎﺫ ﺜﺎﻧﻮﻳﺔ‬ ‫ﻸﺳ ﺎﺫ‬ ‫ﺜﺎﻧﻮ‬ ‫ ﻣﻮﻗ‬
  • 75.
    ‫ ) ﺍﻟﻨﻘﻂ (‬ ‫ ( ­ ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﺍﻟﻘﻄﺎﻋﻲ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ * ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻭﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ :‬ ‫ 7 < ‪D :11 £ n £ 14  C : 9 £ n < 11  B : 7 £ n < 9  A : 4 £ n‬‬ ‫ 4‬ ‫ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬ ‫ 31‬ ‫ 9‬ ‫ 8‬ ‫ 7‬ ‫ 73‬ ‫ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﻼﻣﻴﺬ‬ ‫ % 43‬ ‫ % 42‬ ‫ % 22‬ ‫ % 91‬ ‫ % 001‬ ‫ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺌﻮﻳﺔ‬ ‫ °621‬ ‫ °88‬ ‫ °87‬ ‫ °86‬ ‫ °063‬ ‫ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬ ‫ * ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﺍﻟﻘﻄﺎﻋﻲ  :‬ ‫ 3( –  ﺍﻟـﺘـــﺮﺩﺩ :‬ ‫ ( ­ ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬ ‫ ﺃ‬ ‫ﺗﺮﺩﺩ ﻣﻴﺰﺓ ﻫﻮ ﺧﺎﺭﺝ ﺣﺼﻴﺼﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺼﻴﺺ ﺍﻹﺟﻤﺎﻟﻲ‬ ‫ ( ­ ﻣـﺜــﺎﻝ :‬ ‫ ﺏ‬ ‫ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺃﻋﻼﻩ :‬ ‫3‬ ‫ 18 0 =‬ ‫ ,‬ ‫ ﺗﺮﺩﺩ ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ  41  ﻫﻮ  :‬ ‫ 73‬ ‫6‬ ‫ 861 0 =‬ ‫ ,‬ ‫ :‬ ‫ ﺗﺮﺩﺩ ﺍﻟﻤﻴﺰﺓ  01  ﻫﻮ‬ ‫ 73‬