En aquest powerpoint trobareu un resum de l'unitat de derivada d'una funció impatida en el primer de batxillerat, orientat a classes de suport extra-lectiu.
4. DERIVADA D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT
La derivada de la funció f(x) en un punt d'abscissa a, es
denota amb f ’(a), i és el valor d’aquest límit, si existeix i es
finit.
4
5. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA D’UNA
DERIVADA
Geomètricament, la derivada f ‘(a) és el pendent de la
recta tangent a la gràfica de la funció en el punt P(a, f(a)).
5
f(x)
f(b)-f(a)
b-a
b
a
f(b)
f(a)
Pendent de la recta tangent
Y
X
6. 6
Equació de la recta tangent en el punt P(a, f(a)) és:
Equació de la recta normal en el punt P(a, f(a)) és la
recta perpendicular a la recta tangent.
X
Y
a
f(a)
Recta tangent
X
Y
f(a)
Recta normal
7. FUNCIÓ DERIVADA
La funció derivada d’una funció f(x), és una funció f ‘(x)
que associa a cada punt x la derivada de f(x) en aquest punt.
La funció derivada és una funció, la derivada d’una funció
és un nombre real.
7
8. OPERACIONS AMB DERIVADES
1. La derivada de la suma de funcions
2. La derivada del producte d’un nombre per una
funció
8
9. 9
3. La derivada del producte de funcions
4. Derivada del quocient de funcions
10. DERIVADA DE FUNCIONS ELEMENTALS
1. La derivada de la funció constant.
2. La derivada de la funció identitat.
3. La derivada de la funció potencial.
10
11. 11
4. La derivada de la funció logarítmica.
5. La derivada de la funció exponencial.
13. REGLA DE LA CADENA
La derivada de la funció f composta amb g s’obté
utilitzant la regla de la cadena
13
14. DERIVADES SUCCESSIVES
La derivada segona, f’’(x), s’obté al derivar la primera
derivada.
La derivada tercera, f’’’(x), s’obté al derivar la segona
derivada.
La derivada enèsima, fn(x), s’obté al derivar la penúltima
derivada.
14
15. CREIXENT I DERIVADA
Una funció és creixent en un punt x=a quan la derivada en
aquest punt és positiva (tangent positiva).
Una funció és decreixent en un punt x=a quan la derivada
en aquest punt és negativa (tangent negativa).
15
17. CÒNCAVITAT I CONVEXITAT
17
Si f’(a)=0, la funció té un màxim o un mínim (no té
pendent).
f‘(x)=0
Y
X
f‘(x)=0
f‘(x)=0
18. 18
Una funció té un mínim (còncava) en un punt x=a si:
Una funció té un màxim (convexa) en un punt x=a si:
f’(a)=0 i f’’(a)>0
f’(a)=0 i f’’(a)<0
19. APLICACIONS DE LES DERIVADES
Representació de funcions
1. Estudi del domini d’una funció
2. Trobar les asímptotes d’una funció
3. Identificar els talls de f(x) amb els eixos.
4. Càlcul de f’(x) i identificació del domini.
5. Resoldre f’(x)=0
6. Establir els intervals de creixement i decreixement.
19
20. 20
Problemes d’optimització
Optimitzar és un procés per aconseguir que una magnitud
sigui el més gran possible, o el més petit possible, subjecta a
unes condicions.
Trobar el màxim o mínim d’una funció