あるTweetから調べたmin suffixの話

1. あるtweetから調べた
min suffixの話
uwi
競技プログラマーミートアップ #0

2. 自己紹介
uwi (うゐ)
twitter : @uwitenpen
所属 : teamLab
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3. あるtweet
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4. あるtweet
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具体的にどうやるの？

5. 例
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w = “aabaab”
w[0,0]=”a”の辞書順最小の接尾辞(min suffix)は”a”
w[0,1]=”aa” -> “a”
w[0,2]=”aab” -> “aab”
w[0,3]=”aaba” -> “a”
w[0,4]=”aabaa” -> “a”
w[0,5]=”aabaab” -> “aab”
上記を求める。

6. Suffix Array?
6
3
0
4
1
5
2
aab
aabaab
ab
abaab
b
baab

7. Suffix Array?
7
3
0
4
1
5
2
aab
aabaab
ab
abaab
b
baab
[0,4]からはじまる
wの最小のsuffixは3(aab)だが、
w[0,4]の最小のsuffixは4(a[b])
Suffix Arrayでの最小値をそのま
ま答えに出来るわけではない。

8. Suffix Array?
8
3
0
4
1
5
2
aab
aabaab
ab
abaab
b
baab
[0,4]からはじまる
wの最小のsuffixは3(aab)だが、
w[0,4]の最小のsuffixは4(a[b])
Suffix Arrayでの最小値をそのま
ま答えに出来るわけではない。
未知のアルゴリズムの予感！！

9. Lyndon Factorization
文字列をLyndon Wordに分割(一意)する。
Lyndon Wordとは、全suffixのうち自分自身が辞書順最小と
なるもの。
daadaadaa → d|aad|aad|a|a
(d≧aad≧aad≧a≧a), (aad≦ad,d)
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10. Lyndon Factorization
時間計算量O(n)で可能。
Lyndon Factorizationのコードは探せばすぐに
みつかる(Wikipediaにもある)。
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11. min suffix
wそのもののmin suffixは、Lyndon Factorization
の最後のfactorになる。
したがって、すべてのprefixについての
Lyndon Factorizationがあれば
すべてのmin suffixが求められそう。
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12. そんなに自明ではない件
a
a|a
aab
aab|a
aab|a|a
aab|aab
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w=”aabaab”
仕切りが現れたり
消えたりする

13. Lyndon Wordは先頭の文字以上の文字しか持っていないの
で、そのprefixのfactorizationは通常の文字列のより簡単な
形にできる。
UV | ... | UV | U
まず全体がLyndon Wordの場合は自明にそれ自体がmin
suffix. そうでない場合は、Uをさらにfactorizeする。
でもUが半分以下の長さとはいえ、全体でO(n)にはならないんじ
ゃ・・
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14. w’=UV | ... | UV | U を満たすU,Vを探すには、
ある位置xで、xからはじまるsuffixがw’のprefixになってい
ればよい(xは最初の|の直後の位置になる)。
これはZ algorithmをw’にかけておくと各xについてO(1)で
調べることができる。
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15. Z algorithm
各iについて、wのi文字目以降とwとの共通prefixの長さを格
納した配列をO(n)でつくるアルゴリズム。
w=”aabaab”
z_w=[6,1,0,3,1,0]
i=4では”ab”と”aabaab”の共通prefixは”a”なのでz_w[4]=1.
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16. 各Lyndon Word Lについて、Z algorithmを適用し、
任意のy≦|L|について、
1≦x≦yかつz[x]+x≧y を満たす最小のxを見つければ良い。
x=yのときはL[0,y)はfactorizeされないのでL[0]の位置が答
え。
x<yのときはU=L[0,y%x)になる。すこし横着して(L[0,y-x)
のときの答え)+xになる。
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17. 例のO(n)のアルゴリズム
wのLyndon Factorizationを求める。
各Lyndon Word Lについて
Z algorithmでz[]を求める。
reach:=0,argmax:=-1
y=1→|L|-1
reach>=yなら求めるxはargmaxで、そうでなければyである。x=yのと
きはL[0]の位置が答え。x<yのときは(L[0,y-x)のときの答え)+xになる。
z[y]+y > reachならreach:=z[y]+y, argmax:=yとする。
y=0のはL[0]の位置が答え。
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18. 例
w=”aabaab”
LyndonFactorization(w)=aab|aab
z_“aab”=[3,1,0]
minsuffixlen=[1,1,3,1,1,3]
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19. 他の問題
・実はmax suffixのほうが簡単。これもO(n).
・全体に対するmin rotationもO(n)で求められる。
・任意の連続部分文字列に対するmin suffixは、Suffix Array
を使って前処理O(nlog n), クエリO(1)でできるらしい。
・任意の連続部分文字列に対するmax suffixは前処理O(n),
クエリO(1)でできるらしい。
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20. 参考文献
・Duval, Jean-Pierre (1983), "Factorizing words over an ordered alphabet", Journal of Algorithms 4 (4)
・Apostolico, A., and Crochemore, M., Optimal canonization of all substrings of a string, Information
and Computation 95, 1 (1991): 76--95.
・Maxim A. Babenko, Pawel Gawrychowski, Tomasz Kociumaka, Tatiana A. Starikovskaya:
Computing Minimal and Maximal Suffixes of a Substring Revisited. CPM 2014: 30--39
・https://twitter.com/climpet/status/598440489935769601
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