More Related Content
Similar to To 5o aitema_tou_eukleide_ph_ilaites-_khasiotes
Similar to To 5o aitema_tou_eukleide_ph_ilaites-_khasiotes (7)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
To 5o aitema_tou_eukleide_ph_ilaites-_khasiotes
- 1. Το 5ο αίτημα του Ευκλείδη Ομάδα Νικόλας Χασιώτης-Μιχάλης Φιλαϊτης Χαχόλος Α2 Λυκείου ΠΣΠΘ 2020-2021
- 2. Το 5ο αίτημα ( Αίτημα V) Αρχαίο θεώρημα Δική σας μετάφραση Μετάφραση βιβλίου γεωμετρίας Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας Και εάν σε δύο ευθείες Εάν μια ευθεία που τέμνει δύο ευθείες εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τέμνεται (άλλη) τέμνεται μια αευθεία τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, μικρότερες από δύο ορθές, μικρότερες από δύο ορθές, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον αν αυτές οι ευθείες επεκτείνονται στο άπειρο τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επ' άπειρον συμπίπτειν, θα τμηθούν, συναντώνται ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες προς τα μέρη που βρίσκονται οι γωνίες οι οποίες είναι μκρότερες από δύο ορθές στο μέρος που οι σχηματιζόμενες γωνίες είναι μικρότερες από δύο ορθές
- 4. Το 5ο αίτημα ισοδυναμεί με διάφορες προτάσεις που αφορούν τις παράλληλες ευθείες • Οι γωνίες σε ένα τρίγωνο έχουν άθροισμα δύο ορθές γωνίες. Δηλαδή 180 μοίρες. • Στο επίπεδο, από ένα σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος.
- 5. Αξίωμα παραλληλίας • Έστω α τυχούσα ευθεία και Α σημείο εκτός αυτής. Τότε στο επίπεδο που ορίζεται από την ευθεία α και το σημείο Α υπάρχει όχι περισσότερες από μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και δεν τέμνει την ευθεία α. • Σε ένα επίπεδο δοθέντων μιας ευθείας και ενός σημείου εκτός αυτής, μπορώ να κατασκευάσω το πολύ μια ευθεία παράλληλη προς τη δοθείσα που θα περνάει απ' το δοθέν σημείο • Το αξίωμα αυτό σε σχέση με τα άλλα έμοιαζε λιγότερο προφανές για τους αρχαίους. Επειδή μάλιστα ενδιαφέρονταν να φτιάξουν ένα αυστηρά θεμελιωμένο σύστημα σκέφτονταν ότι ίσως θα πρέπει το αξίωμα αυτό να αποδειχθεί και να μην θεωρηθεί ως δεδομένο. Σήμερα γνωρίζουμε ότι μια τέτοια απόδειξη είναι μαθηματικά αδύνατη. • Ο Ευκλείδης παρ'όλα αυτά οργάνωσε τα Στοιχεία του έτσι ώστε οι 28 πρώτες προτάσεις να είναι αυτές που δε χρειάζονται το αξίωμα της παραλληλίας για να αποδειχθούν.
- 6. • Πρέπει να αναφερθεί ότι ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιούσε συχνά το συγκεκριμένο αίτημα και αυτό γιατί δεν ήταν σίγουρος για την εγκυρότητα του. • Συγκεκριμένα ήταν επιφυλακτικός ως προς την αναφορά του στο άπειρο
- 7. • Η αδυναμία του Ευκλείδη να αποδείξει το συγκεκριμένο αξίωμα οδήγησε πολλούς μεταγενέστερους μαθηματικούς στο να προσπαθήσουν να το μετατρέψουν σε θεώρημα. • Ο Saccheri (1667-1733) για παράδειγμα εντόπισε ότι το πέμπτο αίτημα συνδέεται με το δεύτερο. (Αν μία ευθεία μπορεί να επεκταθεί επάπειρο, τότε το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δε μπορεί να ξεπερνά τις δύο ορθές.)
- 8. • Τον 19ο αιώνα άλλοι μαθηματικοί προσπάθησαν να δείξουν ότι το 5ο αξίωμα εξαρτάται από τα προηγούμενα 4. • Αντί για αυτό όμως ανακάλυψαν άθελα τους μια πολύ διαφορετική γεωμετρία που ονομάστηκε μη ευκλείδια.
- 9. Μη ευκλείδεια γεωμετρία • Η βασική διαφορά με την ευκλείδια γεωμετρία είναι η φύση των παράλληλων ευθειών. • Το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη, το αξίωμα των παραλλήλων δηλώνει ότι, σε ένα επίπεδο 2 διαστάσεων, για κάθε ευθεία ε και σημείο A, εκτός της ε, υπάρχει ακριβώς μια ευθεία διερχόμενη από το A που δεν τέμνει την ε. • Αντίθετα, στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν άπειρες το πλήθος ευθείες διερχόμενες από το A που δεν τέμνουν την ε, ενώ στην ελλειπτική γεωμετρία, κάθε ευθεία διερχόμενη του A τέμνει την ε.
- 10. Θεωρούμε 2 ευθείες επ' αόριστόν επεκταμένες σε ένα δισδιάστατο επίπεδο που είναι και οι 2 κάθετες σε μία 3η ευθεία. • Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία οι ευθείες διατηρούν σταθερή απόσταση η μία από την άλλη ακόμα και αν επεκταθούν στο άπειρο, και είναι γνωστές ως παράλληλες. • Στην υπερβολική γεωμετρία καμπυλώνουν απομακρυνόμενες η μία από την άλλη, αυξάνοντας την μεταξύ τους απόσταση καθώς η μία απομακρύνεται από τα σημεία τομής με την κοινή κάθετη. • Στην ελλειπτική γεωμετρία καμπυλώνουν η μία προς την άλλη και τέμνονται.
- 11. Βιβλιογραφία • Αιχμάλωτος των μαθηματικών, Γκόλστάιν Ρεμπέκα, Τραυλός • Ιστορία των Μαθηματικών, Χαρά Χαραλάμπους, ΑΠΘ, https://opencourses.auth.gr/modules/document/file.php/OCRS249/Παρο υσιάσεις%20Μαθήματος/Ενότητα%2002.6%20Το%20πέμπτο%20αίτημα% 20και%20οι%20μη%20Ευκλείδειες%20γεωμετρίες%2C%20το%20πρόγραμ μα%20του%20Hilbert..pdf • Ευκλείδια Γεωμετρία, Βικιπαίδεια, https://el.wikipedia.org/wiki/Ευκλείδεια_γεωμετρία
- 12. Ευχαριστούμε για την προσοχή σας!