Teoremy sinusov i_kosinusov

1. Геометрия, 9 класс
Колесова Ж. В., учитель математики
МОУ «СОШ п. Бурасы Новобурасского района
Саратовской области»

2. ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

3. S - ?
В
А С
8
6
30
S = 12
о

4. В
D
С
120
А
BD = 6, AC = 10 S - ? S = 15 3

5. А
B C
D
6
4
60
о
S - ? S = 12 3

6. В
D
С
135
А
AC = 12 S - ? S = 36 2
о

7. В
D
С
120
А
BD = 10, ВC = 5 CD - ? CD = 5
о
3

8. А
B C
D
8
4
60
о
ВН - ? ВК - ?
Н
К
ВН = 2 ВК = 4 33

9. А
В
С
Н
4
6
60
о
ВС = 2 7 АН - ? АН = 7
36

10. ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Стороны треугольника
пропорциональны
синусам
противоположных углов

11. Дано: АВС
Доказать:
А
В
С
∆
B
AC
A
BC
C
АВ
sinsinsin
==

12. Доказательство:
S ABC = (1)
S ABC = (2)
S ABC = (3)
А
В
С
∆ BBCAB sin
2
1
⋅⋅
∆ СBCAС sin
2
1
⋅⋅
∆ AACAB sin
2
1
⋅⋅

13. Приравняем равенства (1) и (2), получим
=
Сократим на , получим
=
BBCAB sin
2
1
⋅⋅ СBCAС sin
2
1
⋅⋅
BC
2
1
BAВ sin⋅ СAС sin ⇒
B
AC
C
АВ
sinsin
=

14. Приравняем равенства (2) и (3), получим
=
Сократим на , получим
=
ААCAB sin
2
1
⋅⋅ СBCAС sin
2
1
⋅⋅
АC
2
1
АAВ sin⋅ СВС sin ⇒
А
ВC
C
АВ
sinsin
=

15. Объединив равенства
B
AC
C
АВ
sinsin
=
А
ВC
C
АВ
sinsin
=И
получим
B
AC
A
BC
C
АВ
sinsinsin
==
ЧТД

16. Теорема косинусов
Квадрат стороны
треугольника равен сумме
квадратов двух других
сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на
косинус угла между ними.

17. Дано: АВС
Доказать:
a = b + c –2bc*cosA
∆

18. А
С
В
(bcosA; bsinA)
у
х(с; 0)

19. Доказательство:
Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС =
а, АС = b. Введем систему координат с
началом в точке А. Тогда В (с; 0),
С (bcosA; bsinA).
Найдем расстояние ВС:
ВС = а = (bcosA – c) + b sin A = b cos A +
b sin A - 2bc cosA + c = b + c - 2bc cosA
22 22 2 2
22 2 22
2
ЧТД