tegshitgel bodoh arguud

1. Агентство образования администрации Красноярского края Математика: Неравенства. Модуль №3 для 10 класса. Учебно-методическая
Красноярский государственный университет часть./ Сост.: С.Г.Мысливец, профессор кафедры высшей математики,
Заочная естественно-научная школа при КрасГУ
КрасГУ. – Красноярск, 2006 — 54 c.
ISBN 5-7638-0702-2
МАТЕМАТИКА Печатается по решению Дирекции
НЕРАВЕНСТВА Краевого государственного учреждения дополнительного образования
Заочная естественно-научная школа
при Красноярском государственном университете
Модуль № 3 для 10 класса
Учебно-методическая часть
© Красноярский
государственный
ISBN 5-7638-0702-2 университет, 2006
Красноярск 2006
2

2. Программа модуля ВВЕДЕНИЕ
1. Определение числовых неравенств. Свойства числовых неравенств. Неравенства — одна из важнейших тем в школьном курсе математики.
2. Определение неравенств с одной неизвестной. Равносильные Очень многие задачи связаны с решением неравенств. В этом пособии мы
преобразования неравенств. рассмотрим подробно решение алгебраических неравенств и неравенств,
3. Линейные и квадратные неравенства. сводящихся к их решению: неравенств с модулем, иррациональных
4. Рациональные неравенства. Метод интервалов. неравенств, систем неравенств и неравенств с параметром.
5. Иррациональные неравенства. Поскольку мы часто будем использовать свойства числовых
6. Неравенства с модулем. неравенств, то сформулируем их.
7. Неравенства с параметром. Определение 0.1 Числовое неравенство — это неравенство,
8. Системы неравенств. связывающее числовые и буквенные выражения, верное при всех допустимых
9. Доказательство неравенств. или при специально подобранных значениях входящих в него букв.
ПРИМЕР 0.1. Числовое неравенство a 2 + b 2 ≥ 2ab верно при любых
действительных значениях а и b. А числовое неравенство a ≥ 0 верно при
a ≥ 0.
Наиболее часто встречающийся способ доказательства неравенств
основан на определениях понятий "больше" и "меньше" и заключается в
выяснении знака разности между левой и правой частями неравенства. А
именно:
если a − b > 0 , то a > b ; если a − b ≥ 0 , то a ≥ b ;
если a − b < 0 , то a < b ; если a − b ≤ 0 , то a ≤ b ;
если a − b = 0 , то a = b .
Основные свойства числовых неравенств
1. Если a > b , то b < a .
2. Если a > b и b > c , то a > c .
3. Если a > b и c ∈ R , то a + c > b + c .
4. Если a > b и с > 0, то ас > bс.
5. Если a > b и с < 0, то ас < bс.
6. Если a > b и с >d, то a + c > b + d
7. Если a > b и с >d > 0, то ас> bd.
3 4

3. 8. Если а > b > 0, то ап > bп, n ∈ N . называется пересечение областей определения функций у = f(x) и у = g(x), т е
п п
9. Если а > 0, b > 0 и а > b , n ∈ N , то а > b. множество всех числовых значений переменной х, при которых
1 1 одновременно определены (имеют смысл) и левая, и правая части,
10. Если а > b > 0, то < .
a b неравенства.
Любое число х из ОДЗ неравенства называется допустимым
Аналогичные свойства можно рассмотреть и для других знаков значением для данного неравенства.
неравенств. На основании свойства 3 члены неравенства можно переносить ПРИМЕР 1.1. Например, областью допустимых значений неравенства
из одной части в другую с противоположными знаками, сохраняя знак (ОДЗ)
неравенства.
x − 1 < 8 − 2x
Свойство 6 означает, что неравенства одинакового смысла можно
является отрезок [1,4], гак как этот отрезок есть пересечение области
почленно складывать.
определения D1 = {x ∈ [1,+∞]} функции y = x − 1 стоящей в левой части
Свойство 7 означает, что неравенства одинакового смысла с
положительными членами можно почленно умножать. неравенства и области определения D2 = {x ∈ [−∞,4]} функции y = 8 − 2 x ,
стоящей в правой части неравенства.
1 Неравенства и системы неравенств с одной переменной Ясно, что число х может быть решением неравенства только тогда,
Неравенства с одной переменной имеют вид: когда оно принадлежит ОДЗ неравенства. Отсюда вытекает очевидный
f(x) > g(х); f(x) < g (х); f(x) ≥ g(х); f(x) ≤ g(х), вывод: решения неравенства следует искать только в области допустимых
где f(x) и g(х) — некоторые функции переменного х. значений неравенства.
Определение 1.1 Решением неравенства называется значение
переменной, при которой данное неравенство становится верным числовым 1.1 Равносильность неравенств
неравенством. При решении неравенств важнейшим понятием является понятие
Совокупность всех решений неравенства называется множеством равносильности неравенств.
решений неравенства. Определение 1.3 Два неравенства
Основной метод решения неравенств есть его упрощение с помощью f1(x) > g1(х) и f2(x) > g2(х)
так называемых равносильных преобразований на некотором множестве М В называются равносильными (эквивалентными), если любое решение
результате исходное неравенство оказывается равносильным некоторой первого неравенства является решением второго неравенства, а любое
системе простейших неравенств на множестве М, каждое из которых может решение второго неравенства — решением первого. При этом пишут
быть решено непосредственно f1(x) > g1(х) ⇔ f2(x) > g2(х).
Определение 1.2 Областью допустимых значений (ОДЗ) Если оба неравенства не имеют решений, то по определению они также
неравенства f(x) > g(x) ила неравенств (f(x) < g (х); f(x) ≥ g(х); f(x) ≤ g(х)), считаются равносильными.
5 6

4. 4 4. Неравенства f(x) > g(х) и f(x)+a > g(x)+a равносильны для любого
ПРИМЕР 1.2. Неравенства х2 > 4 и 1 + > 0 равносильны, так как
x+2 числа а.
множества решений каждого из этих неравенств есть множество 5. Если функция h(x) положительна при всех значениях x из ОДЗ
x ∉ ( −∞,−2) ∪ ( 2,+∞) . неравенства f(x) > g(х), то неравенство f(x) > g(х) и неравенство
ПРИМЕР 1.3. Неравенства х – 2 > 0 и х (х–2) > 0 не являются h(x)f(x) > h(x)g(x) равносильны. Если функция h(x) отрицательна при
равносильными, так как значение х = –1 является решением второго всех значениях х из ОДЗ неравенства f(x) > g(x), то неравенство
неравенства, но не является решением первого. f(x) > g(х) и неравенство h(x)f(x) < h(x)g(x) равносильны.
Равносильные неравенства могут иметь различные области 6. Если а — положительное число, то неравенство f(x) > g(x)
допустимых значений. равносильно неравенству а f(x) > а g(x), а если а — отрицательное
ПРИМЕР 1.4. Например, неравенство х > 1 равносильно неравенству число, то неравенство f(x) > g(x) равносильно неравенству
x > 1 , однако ОДЗ первого неравенства является множество всех а f(x) < а g(x).
действительных чисел, а ОДЗ второго неравенства — множество f ( x)
7. Неравенства > 0 и f(x)g(x) > 0 равносильны.
неотрицательных чисел. g ( x)
Определение 1.4 Два неравенства называются равносильными на 8. Пусть функции f(x) и g(x) неотрицательны на множестве М. Тогда на
множестве М, если совпадают множества их решений, принадлежащих этом множестве неравенства
этому множеству М. f ( x) > g ( x) и ( f ( x))n > (g ( x) ) n (n ∈ N )
Два неравенства могут быть неравносильными, но могут быть равносильны.
равносильными на некотором множестве. 9. Неравенства
2
ПРИМЕР 1.5. Например, неравенства х > 1 и х > 1 равносильны на 2 n +1 f ( x) > 2 n+1 g ( x) и f ( x) > g ( x) (n ∈ N )
множестве положительных чисел, но не являются равносильными на
равносильны.
множестве всех действительных чисел.
10. Неравенства
Из всего сказанного выше следует, что при решении неравенств очень
f 2 n ( x) > g 2 n ( x) и f ( x) > g ( x) n ∈ N
важно знать правила перехода от одного неравенства к равносильному ему
равносильны
другому неравенству.
ПРИМЕР 1.6. Являются ли неравенства
1.2 Утверждения о равносильности неравенств
x−3
1. Неравенства f(x) > g{x) и g(x) < f(x) равносильны. <2 и 2 x 2 − 11x + 15 > 0
x 2 − 5x + 6
2. Неравенства f(x) > g(x) и f(x) – g(x) > 0 равносильны.
равносильными?
3. Неравенства f(x) > g(x) и f(x) + h(x) > g(x) + h(x) равносильны, если
РЕШЕНИЕ. ОДЗ первого неравенства есть множество {x ∈ R : x ≠ 2, x ≠ 3} .
функция h(x) определена на ОДЗ неравенства f(x) > g(x)
7 8

5. На этом множестве неравенство и, значит, состоит из всех чисел отрезка [2,4].
1 Решением второго из данных неравенства являются все числа из
<2
x−2 промежутка (–∞,3).
равносильно первому и имеет решения Таким образом, данные неравенства не являются равносильными на
5 5 множестве действительных чисел. Однако на ОДЗ первого неравенства они
x ∈ (−∞, ) ∪ ( ,3) ∪ (3,+∞) .
2 2
являются равносильными.
2 5
Уравнение 2 x − 11x + 15 > 0 имеет два корня: х1 = 3 и х2 = . Приведенные примеры показывают, что понятие равносильности
2
неравенств на некотором множестве одно из самых важных в теме
Следовательно, множество решений второго неравенства есть множество
неравенства.
5
x ∈ ( −∞, ) ∪ (3,+∞) .
2
Таким образом, данные неравенства не являются равносильными. 1.3 Системы неравенств
Разобранный пример показывает, что при ранении неравенства нельзя обе Часто приходится решать не одно неравенство, а несколько. При этом
части умножать на знаменатель без выяснения знака принимаемых им важно различать две задачи.
значений. Так, в данном примере мы имеем 1) решить систему неравенств;
x−3 ( x − 3) − 2( x 2 − 5 x + 6) 2) найти решения совокупности систем неравенств.
<2⇔ <0⇔
2
x − 5x + 6 x 2 − 5x + 6 Определение 1.5 Если, дано т неравенств
x − 3 − 2 x 2 + 10 x − 12 − 2 x 2 + 11x − 15 ⎧ f1 ( x) > g1 ( x ),
⇔ 2
<0⇔ <0⇔ ⎪
x − 5x + 6 x 2 − 5x + 6 ⎨....................
2 x 2 − 11x + 15 ⎪ f ( x ) > g ( x),
⇔ > 0. ⎩ m m
x 2 − 5x + 6
то говорят, что задана система неравенств.
Однако, умножив обе части последнего неравенства на выражение
Одной из задач, где возникает необходимость решения системы
х2 – 5х + 6, мы получим неравенство 2х2 – 11х + 15 > 0, не равносильное
неравенств, является задача нахождения ОДЗ уравнений или неравенств.
исходному.
Определение 1.6 Множество Q называют областью допустимых
ПРИМЕР 1.7. Являются ли неравенства
значений ОДЗ системы неравенств, если это множество является
x−2< 4−x И x−2<4− x
пересечением ОДЗ всех неравенств системы.
равносильными?
ПРИМЕР 1.8. Найти ОДЗ системы неравенств
РЕШЕНИЕ. Область допустимых значений первого неравенства
⎧ 16 − x 2 > 5,
определяется системой ⎪
⎪
⎨ x + 5 > 3,
⎧ x − 2 ≥ 0, ⎪
⎨ ⎪ 3 − x > 2.
⎩
⎩4 − x ≥ 0
9 10

6. РЕШЕНИЕ. Первое неравенство системы имеет ОДЗ отрезок Даже при решении одного неравенства часто приходится переходить к
М1 = {х ∈ [–4,4]}, второе неравенство — множество М2 = {х ∈ [– 5, +∞)}, а решению равносильной совокупности систем неравенств.
третье — множество М3 = {х ∈ (–∞, 3]}. Поэтому ОДЗ данной системы будет ПРИМЕР 1.9. Например, являются равносильными неравенство
пересечение этих трех множеств или множество Q — М1 ∩ М2 ∩ М3 = {х ∈ ( x − 2)( x − 3)
>0
[–4,3]}. ( x + 1)( x − 4)
Определение 1.7 Все числа а, принадлежащие ОДЗ системы и совокупность систем неравенств
неравенств (а ∈ Q), называются решениями этой системы, если эти числа ⎧( x − 2)( x − 3) > 0, ⎧( x − 2)( x − 3) < 0,
⎨ ⎨
являются решением каждого из неравенств этой системы. ⎩( x + 1)( x − 4) > 0, ⎩( x + 1)( x − 4) < 0.
Решить систему неравенств — это значит найти множество всех ее ПРИМЕР 1.10. Также являются равносильными неравенство
решений. Для этого находим решение каждого неравенства, т.е. находим f ( x) > g ( x)
множество решений каждого неравенства на ОДЗ этой системы, а затем и совокупность систем неравенств
находим множество, являющееся пересечением всех этих множеств.
⎧ f ( x) > 0,
Полученное множество и будет множеством всех решений системы ⎧ f ( x) ≥ 0, ⎧ f ( x) > 0, ⎪
⎨ ⎨ ⎨ g ( x) > 0,
неравенств. Если это множество окажется пустым, то говорят, что система ⎩ g ( x) < 0, ⎩ g ( x) = 0, ⎪ 2
⎩ f ( x) > g ( x).
неравенств не имеет решений.
В дальнейшем мы часто будем переходить от решения неравенства к
Если задано несколько систем неравенств, то говорят, что задана
нахождению решения равносильной совокупности систем неравенств.
совокупность систем неравенств
КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 1.1. Какое множество называется областью
⎧ f1 ( x) > g1 ( x), ⎧ f k ( x) > g k ( x), допустимых значений неравенства?
⎪ ⎪
⎨.................... …, ⎨.................... КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 1.2. Какое множество называется множеством
⎪h ( x) > s ( x), ⎪h ( x) > s ( x).
⎩ 1 1 ⎩ k k
решений неравенства?
Определение 1.8 Множеством решений совокупности систем
КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 1.3. Когда неравенства называются
неравенств является множество чисел а, каждое из которых является
равносильными?
решением хотя бы одной из систем неравенств.
КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 1.4. Какое множество называется множеством
Найти решение совокупности систем неравенств (или совокупности
решений системы неравенств?
неравенств) это значит найти решение каждой системы (каждого
КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 1.5. Когда неравенство называется
неравенства), а затем взять объединение всех полученных решений.
равносильными системе неравенств?
Определение 1.9 Неравенство f(x) > g(x) равносильно на множестве М
КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 1.6. Когда неравенство называется
совокупности систем неравенств, если множество решений неравенства
равносильными совокупности систем неравенств?
f(x) > g(x) на М совпадает с множеством решений на М совокупности
систем неравенств.
11 12

7. 2 Алгебраические неравенства РЕШЕНИЕ. Перенесем все в левую часть неравенства и приведем к
2.1 Линейные неравенства общему знаменателю:
Определение 2.1 Линейными неравенствами называются 12 x − 4 − 10 x − 10 − 20 + 5 x
< 0. .
неравенства вида 20
ах + b> 0, ах + b < 0, (строгие неравенства) а ≠ 0 Приведем подобные слагаемые в числителе и умножим обе части
и неравенства на 20, получим
ах + b ≥ 0, ах + b ≤ 0, (нестрогие неравенства) а ≠ 0. 34
7 x − 34 < 0, x< .
7
Эти неравенства при а > 0 сводятся к неравенствам вида
Тогда решением этого неравенства будет множество
b b b b
x>− , x<− , x≥− , x≤− ,
a a a a ⎛ 34 ⎞
⎜ − ∞, ⎟ .
решениями которых будут множества ⎝ 7⎠
⎛ b ⎞ ⎛ b⎞ ⎡ b ⎞ ⎛ b⎤ ⎛ 34 ⎞
⎜ − ,+∞ ⎟, ⎜ − ∞,− ⎟, ⎢− ,+∞ ⎟, ⎜ − ∞,− ⎥. ОТВЕТ. ⎜ − ∞, ⎟ .
⎝ a ⎠ ⎝ a⎠ ⎣ a ⎠ ⎝ a⎦ ⎝ 7⎠
При а < 0 эти неравенства сводятся к неравенствам вида
b b b b 2.2 Квадратные неравенства
x<− , x>− , x≤− , x≥− ,
a a a a Определение 2.2 Квадратными (строгими и нестрогими)
решениями которых будут множества называются неравенства вида
⎛ b⎞ ⎛ b ⎞ ⎛ b⎤ ⎡ b ⎞ ax 2 + bx + c > 0 , ax 2 + bx + c < 0 ,
⎜ − ∞,− ⎟, ⎜ − ,+∞ ⎟, ⎜ − ∞,− ⎥, ⎢− a ,+∞ ⎟.
⎝ a⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a⎦ ⎣ ⎠ ax 2 + bx + c ≥ 0 , ax 2 + bx + c ≤ 0 ,
ПРИМЕР 2.1. Решить неравенство где а, b, с — некоторые действительные числа и а ≠ 0.
2 x + 3 < 5 x − 4. Квадратное неравенство
РЕШЕНИЕ. Перенесем выражение из левой части неравенство в правую,
ax 2 + bx + c > 0 (1)
7
получим 5 x − 2 x − 4 − 3 > 0 или 3x – 7 > 0, отсюда x > . Тогда решением в зависимости от значений своих коэффициентов а, b и с имеет решения:
3
при а > 0 и D = b 2 − 4ac ≥ 0
⎛7 ⎞
этого неравенства будет множество ⎜ ,+∞ ⎟ .
⎝3 ⎠ ⎛ −b− D ⎞ ⎛−b+ D ⎞
⎜ − ∞, ⎟∪⎜ ,+∞ ⎟ ;
⎜ 2a ⎟ ⎜ 2a ⎟
⎛7 ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ОТВЕТ. ⎜ ,+∞ ⎟ .
⎝3 ⎠ при а > 0 и D < 0
ПРИМЕР 2.2. Решить неравенство x — любое действительное число;
3x − 1 x + 1 x при а < 0 и D ≥ 0
− <1− .
5 2 4
13 14

8. ⎛−b+ D −b− D ⎞
⎜ , ⎟
⎜ 2a 2a ⎟
⎝ ⎠
при а < 0 и D < О
решений нет.
Решение неравенства ax 2 + bx + c < 0 сводится к решению
рассмотренного неравенства, если обе части неравенства (1) умножить
на (–1).
Аналогично решаются и нестрогие неравенства. Например, решение
неравенства ax 2 + bx + c ≥ 0 при а > 0 и D > 0 имеет вид
⎛ − b − D ⎤ ⎡− b + D ⎞
⎜ − ∞, ⎥∪⎢ ,+∞ ⎟ .
⎜ 2a ⎦ ⎣ 2a ⎟
⎝ ⎠ Рис. 1. ax 2 + bx + c > 0
Геометрическая интерпретация неравенства (1) сводится к Для остальных случаев квадратного неравенства проводится
следующему. Первому случаю (а > 0 и D ≥ 0) соответствует парабола, аналогичное исследование расположения параболы.
пересекающая ось ОХ в двух или одной точке и ветви которой направлены ПРИМЕР 2.3. Решить неравенство
вверх. Поэтому решение имеет данный вид. x2 – 4 > 0.
Во втором случае (а > 0, D < 0) парабола, ветви которой направлены РЕШЕНИЕ. Найдем корни уравнения x2 – 4 = 0, получим х1 = – 2 и х2 = 2.
вверх, расположена выше оси ОХ, поэтому решением является любое Графиком левой части неравенства является парабола, ветви которой
действительное число. направлены вверх, которая пересекает ось ОХ в двух точках. Следовательно,
В третьем случае (а < 0, D ≥ 0) парабола, ветви которой направлены решением исходного неравенства будет множество значений х, лежащих
вниз, пересекает ось ОХ в двух или одной точке и решением будет интервал левее корня х1 и правее корня х2:
между этими точками пересечения. (–∞, –2) ∪ ∩(2,+∞).
В последнем случае (а < 0, D < 0) парабола, ветви которой направлены ОТВЕТ. х ∉ (–∞, –2) ∪ ∩(2,+∞).
вниз, не пересекает ось ОХ, поэтому решением будет пустое множество. Нa ПРИМЕР 2.4. Найти область определения функции
рис. 1 показаны все выше перечисленные случаи расположения параболы
y = 6 + x − x2 .
РЕШЕНИЕ. ОДЗ данной функции определяется неравенством
6 + х – х2 ≥ 0.
Найдем корни левой части неравенства 6 + х – х2 = 0, очевидно, что
х1 = – 2 и х2 = 3. Графиком функции у = 6 + х – х2 является парабола, ветви
которой направлены вниз. Поэтому ОДЗ исходной функции будет множество
15 16

9. значений х, заключенных на отрезке между найденными корнями: 3.1 Метод интервалов
[–2,3]. Рассмотрим неравенство вида
ОТВЕТ. [–2,3]. Pn ( x)
> 0.
Qm ( x )
3 Рациональные неравенства Отметим, что если умножить обе части этого неравенства на Q2m(x),
Определение 3.1 Неравенства вида которое больше нуля в ОДЗ исходного неравенства, то по свойствам
Pn ( x) Pn ( x) неравенств мы получим равносильное неравенство
Pn ( x) > 0, Pn ( x) < 0, > 0, < 0,
Qm ( x) Qm ( x) Pn ( x) ⋅ Qm ( x) > 0 . (2)
где Рп(x), Qm(x) — многочлены, соответственно степеней п и т, т.е. 1. Рассмотрим неравенство (2). Найдем критические точки
n n −1
Pn ( x) = an x + an−1 x + ... + a1 x + a0 , числителя и знаменателя и разложим их на множители. Тогда
Qm ( x) = bm x m + bm−1 x m−1 + ... + b1 x + b0 Pn ( x) = (c1 x − x1 ) k1 ⋅ (c2 x − x2 ) k 2 L (cl x − xl ) k l P( x) ,
называются рациональными неравенствами. Qm ( x) = (cl +1 x − xl +1 ) kl +1 L(cl + s x − xl + s ) kl + s Q ( x) ,
ПРИМЕР 3.1. Например, неравенства вида где многочлены Р(х) и Q(x) действительных корней не имеют и либо
3 2
x + 2x − 4x положительны, либо отрицательны при всех x ∈ R . Будем в дальнейшем для
> 0, x 4 + 2x3 − 5x 2 < 0
x+5 определенности считать, что они положительны (если это не так, то можно
будут рациональными неравенствами. обе части неравенства домножить на (–1), изменив при этом знак
Определение 3.2 Корни многочленов Рп(х) и Qm(x) называются неравенства). Все найденные критические точки рациональной функции
критическими точками рациональной функции необходимо будет исключить из решения неравенства, которое мы в
P ( x) дальнейшем получим (так как при этих значениях х левая часть исходного
y= n .
Qm ( x )
неравенства равна нулю или не существует).
Рациональные неравенства в большинстве случаев решаются методом 2. От исходного неравенства (2) перейдем к равносильному
интервалов. Этот метод основан на одном важном свойстве рациональных неравенству, сократив его на многочлены Р(х) и Q(x), положительные для
функций: любого х, и, умножив на знаменатель в квадрате, получим
в интервале между двумя соседними критическими точками
(c1 x − x1 ) k1 ⋅ (c2 x − x2 ) k2 L(cl + s x − xl + s ) kl + s > 0. . (3)
рациональная функция принимает либо только положительные, либо
3. Найдем в неравенстве (3) множители, у которых показатели степени
только отрицательные значения, т.е., как говорят, сохраняет знак.
четные. Поскольку эти множители строго больше нуля вне критических
Это свойство является следствием непрерывности рациональной
значений, то, сократив на них, мы получим равносильное неравенство.
функции в ее области определения.
4. У оставшихся множителей с нечетными показателями степеней
сделаем эти степени равными 1, что приведет аналогично пункту 2 к
17 18

10. равносильному неравенству. Таким образом, если исходное неравенство
содержит произведение сомножителей в степенях, то все сомножители в
четных степенях можно исключить (причем это можно делать только после
выполнения пункта 1). Сомножители, показатель степени которых нечетное Рис. 2
число, заменить на соответствующие им сомножители в первой степени. ПРИМЕР 3.2. Решить неравенство:
5. Преобразуем полученное неравенство так, чтобы везде в скобках на (4 − 2 x)3 x5 (3 x + 9) 2 ( x − 4)( x 2 + 4)
> 0. (6)
первом месте стоял член, содержащий переменную х. x 2 (2 x + 4)(2 x + 8)3 ( x − 3) 4
6. В последнем полученном неравенстве из каждого сомножителя РЕШЕНИЕ. 1. Найдем критические точки левой части неравенства (т.е.
вынесем за знак скобок числовые множители при переменном х так, чтобы точки, где числитель и знаменатель обращается в ноль):
коэффициент при нем стал равным 1. x1 = 2, x2 = 0, x3 = −3, x4 = 4, x5 = −2, x6 = −4, x7 = 3.
7.Разделим обе части неравенства на полученное вынесенное число, Все эти значения переменной х необходимо будет исключить из решения
если оно положительно, то не меняя знак неравенства, если оно неравенства, которое мы получим в дальнейшем.
отрицательно, то сменив знак неравенства на противоположный. В итоге мы 2. Умножим обе части неравенства (6) на знаменатель в квадрате,
получим неравенство вида получим равносильное неравенство
( x − d1 )( x − d 2 )L( x − d t ) > 0 (4) ( 4 − 2 x) 3 x 5 (3 x + 9) 2 ( x − 4)( x 2 + 4) x 2 (2 x + 4)(2 x + 8) 3 ( x − 3) 4 > 0. (7)
или 3. В левую часть неравенства (7) входят множители
( x − d1 )( x − d 2 )L( x − d t ) < 0 , (5) (3x + 9) 2 , ( x 2 + 4), x 2 , ( x − 3) 4 ,
где d1, d2, .., dt — некоторые действительные числа. которые всегда положительны в ОДЗ нашего неравенства. Следовательно,
8. Отметим на координатной прямой значения х, при которых левая если мы сократим исходное неравенство на положительное выражение, то
часть неравенств (4) и (5) обращается в нуль. Это значения d1, d2, .., dt.. Вся получим равносильное ему неравенство
координатная прямая разбилась на промежутки, в которых левая часть
( 4 − 2 x) 3 x 5 ( x − 4)(2 x + 4)(2 x + 8) 3 > 0. (8)
неравенства при переходе через критическую точку dt будет обязательно
4. В полученном неравенстве (8) показатели степеней сделаем равными
менять знак. Поскольку на самом правом промежутке левая часть
единице, что приведет нас опять к равносильному неравенству
неравенства положительна, то поставив на нем знак " + ", остальные знаки
( 4 − 2 x ) x( x − 4)(2 x + 4)(2 x + 8) > 0.
чередуем согласно волнообразной кривой, проведенной через критические
5. Преобразуем последнее неравенство так, чтобы везде в скобках на
точки.
первом месте стоял член, содержащий переменную х:
9. На координатной прямой исключаем критические точки,
( −2 x + 4) x( x − 4)(2 x + 4)(2 x + 8) > 0.
найденные в первом пункте.
6. Наконец, вынесем из каждого сомножителя за знак скобок
10. Для ответа выбираем промежутки, в которых выполняется
числовые множители при переменном х, получим
неравенство (4) или неравенство (5).
19 20

11. − 8( x − 2) x( x − 4)( x + 2)( x + 4) > 0. РЕШЕНИЕ
7. Разделим обе части этого неравенства на отрицательное число 1. Перенесем 1 из правой части в левую и приведем к общему
(–8), при этом сменим знак неравенства на противоположный: знаменателю:
( x − 2) x( x − 4)( x + 2)( x + 4) < 0. . (9) 2 x 2 − 10 − x 2 + 1
< 0.
8. Отметим на координатной прямой значения х, при которых левая x2 − 1
Приведем подобные члены и разложим числитель и знаменатель на
часть неравенства (9) обращается в нуль. Это значения
множители:
–4, –2, 0, 2, 4.
Проведем через отмеченные точки волнообразную линию начиная x2 − 9 ( x − 3)( x + 3)
< 0, < 0.
x2 − 1 ( x − 1)( x + 1)
справа сверху, как показано на рис. 3. Вся координатная прямая разбилась на
2. Найдем критические точки левой части (точки, где числитель и
6 промежутков. Самый правый из них (4,+∞) всегда будет положительный,
знаменатель обращаются в ноль):
отметим его знаком " + ". Далее знаки в промежутках чередуются. Эту
х = 3, х = –3, х = 1, х = –1.
иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где кривая проходит
3. Поскольку все множители в неравенстве в первой степени, то на
выше координатной прямой (знак " + "), выполняется неравенство
координатной прямой отметим эти точки. Прямая разобьется на 6
( x − 2) x ( x − 4)( x + 2)( x + 4) > 0 ,
промежутков, самый правый из них будет иметь знак " + ", а в остальных
на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой (знак " –"), имеем
знак чередуется (рис. 4).
( x − 2) x( x − 4)( x + 2)( x + 4) < 0.
9. Исключим на прямой еще две критические точки несходного
неравенства (6) х = –3, х = 3, не вошедшие в пункт 8. Рис. 4
4. Выберем те промежутки на координатной прямой, в которых левая
часть неравенства отрицательна, получим множество
Рис. 3 (–3,–1) U (1,3).
10. Таким образом, окончательное решение неравенства (6) есть ОТВЕТ. (–3,–1) и (1,3).
объединение промежутков ПРИМЕР 3.4. Решить двойное неравенство
( −∞,−4) ∪ (−2,0) ∪ (2,3) ∪ (3,4) . 0< х2 +3х <4.
ОТВЕТ. ( −∞,−4) ∪ (−2,0) ∪ (2,3) ∪ (3,4) . РЕШЕНИЕ. Решить двойное неравенство — это значит решить
соответствующую систему неравенств, т.е. решить каждое неравенство
отдельно и найти пересечение решений. В данном случае система имеет вид
ПРИМЕР 3.3. Решить неравенство
⎧ x 2 + 3 x > 0,
⎪
2 x 2 − 10 ⎨ 2
> 1. ⎪ x + 3 x < 4.
x2 − 1 ⎩
21 22

12. 1. Решим первое неравенство х(х + 3) > 0 методом интервалов (рис. 5). 3. Далее решаем методом интервалов соответствующее строгое
Получим решение x ∈ (−∞,−1) ∪ (0,+∞) . неравенство.
2. Решим второе неравенство (х + 4)(х – 1) < 0, корни левой части 4. В ответе берем объединение решения, полученного при решении
которого равны x1 = – 4 и x2 = 1 (рис. 5). Получим решение x ∈ (−4,1) . строгого неравенства и точек, найденных в пункте 2.
ПРИМЕР 3.5. Решить неравенство
x 2 (2 x − 10)( x − 1) 3
≤ 0.
( x + 4) 5 ( 2 x − 6) 4
РЕШЕНИЕ. 1. Найдем критические точки
x1 = 0, x2 = 5, x3 = 1, x4 = −4, x5 = 3 .
2. Точки, в которых числитель обращается в ноль:
x1 = 0, x2 = 5, x3 = 1, надо будет включить в ответ. А точки, в которых
Рис. 5
3. Если взять пересечение полученных множеств (рис. 6), то мы знаменатель обращается в ноль: x4 = −4, x5 = 3 , наоборот, исключить из
получим следующий ответ: ответа.
( −4,−3) ∪ (0,1) . 3. Теперь будем решать строгое неравенство.
x 2 (2 x − 10)( x − 1) 3
< 0.
( x + 4) 5 ( 2 x − 6) 4
Сократим неравенство на сомножители, у которых четные степени. У
Рис. 6 оставшихся сомножителей сделаем степени равными 1. Вынесем из каждого
ОТВЕТ. ( −4,−3) ∪ (0,1) . сомножителя числовой коэффициент при переменном х и сократим их.
Рассмотрим решение нестрогих неравенств Наконец, умножим на знаменатель в квадрате, получим неравенство
Pn ( x) Pn ( x) ( x − 5)( x − 1)( x + 4) < 0 .
≥ 0, ≤ 0.
Qm ( x ) Qm ( x)
4. Найдем нули левой части: х = 5, х = 1, х = –4. Отметим эти точки на
1. Найдем критические точки левой части неравенства, т.е. точки, в координатной прямой, получим 4 промежутка. Самому правому промежутку
которых числитель и знаменатель равны нулю. соответствует знак "+", а далее они чередуются (рис. 7).
2. Выберем из найденных критических точек те, в которых числитель 5. На этой же координатной прямой исключим точку х5 = 3 и включим
равен нулю, а знаменатель нет (если числитель и знаменатель обращаются в точки х1 = 0, х2 = 5, х3 = 1.
ноль в одинаковой точке, то мы ее не берем). Выбранные точки обязательно
должны войти в ответ, так как они отвечают случаю, когда исходное
неравенство равно нулю.
Рис. 7
23 24

13. 6. В результате мы получим множество решения рациональных неравенств?
( −∞,−4) ∪ [1,3) ∪ (3,5] ∪ {0} .
ОТВЕТ. ( −∞,−4) ∪ [1,3) ∪ (3,5] ∪ {0} . 3.2 Системы рациональных неравенств
ПРИМЕР 3.6. Найти область определения функции Рассмотрим способ решения систем рациональных неравенств на
примере.
2x + 1
y= .
2
25 x + 20 x + 4 ПРИМЕР 3.7. Решить систему неравенств
РЕШЕНИЕ. Область определения данной функции задается нестрогим ⎧ ( x − 3) 2
⎪ ≥ 0,
неравенством ⎨ ( x − 3)( x + 1) .
⎪( x − 4)( x + 4) ≤ 0.
2x + 1 ⎩
≥ 0.
25 x 2 + 20 x + 4 РЕШЕНИЕ. 1. Решаем методом интервалов первое неравенство.
Разложим знаменатель на множители Поскольку знаменатель обращается в ноль в точках 3 и –1, то мы их
2x + 1 исключим из координатной прямой (рис. 8). Первое неравенство имеет
≥ 0.
(5 x + 2) 2 решение (–∞, –1).
1 1 2. Решаем второе неравенство. На координатной прямой отметим точки
Найдем критические точки: x1 = − , x2 = − . Значение х1 надо будет
2 5 –4 и 4, в которых множители равны нулю и включим их в ответ (рис. 8).
включить в ответ, а значение х2 — исключить. Решаем теперь строгое Тогда второе неравенство имеет решение [–4,4].
неравенство 2х + 1 > 0, поскольку знаменатель в ОДЗ всегда положителен.
1 ⎛ 1 ⎞
Получим x > − . Из полученного множества ⎜ − ,+∞ ⎟ исключим точку
2 ⎝ 2 ⎠
1 1
x = − , а точку x = − включим. Тогда областью определения исходной
5 2
функции будет множество
Рис. 8.
⎡1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎢ 2 ,− 5 ⎟ ∪ ⎜ − 5 ,+∞ ⎟ .
⎣ ⎠ ⎝ ⎠
3. Найдем пересечение этих множеств (рис. 9) [–4, –1) U (3,4].
⎡1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
ОТВЕТ. ⎢ ,− ⎟ ∪ ⎜ − ,+∞ ⎟ .
⎣2 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
Рис. 9
КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 3.1. Как решаются линейные неравенства?
ОТВЕТ. [–4,–1) и (3,4].
КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 3.2. Как решаются квадратные неравенства?
В дальнейшем, при решении иррациональных уравнений, мы еще
КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 3.3. Какие неравенства называются
будем решать системы неравенств.
рациональными?
КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 3.4. В чем заключается метод интервалов
25 26

14. 4 Неравенства, содержащие знак модуля ПРИМЕР 4.2. Решить неравенство
Рассмотрим решение неравенства вида |2х – 4| < 6.
f ( x) > a , РЕШЕНИЕ. 1. Решим первое неравенство 2х – 4 < 6 или 2х < 10, х < 5.
где а ≥ 0 — действительное число. Это неравенство равносильно Решением первого неравенства будет множество (–∞, 5).
совокупности двух неравенств 2. Решим второе неравенство 2х – 4 > –6 или 2х > –2, х > –1. Решением
f(x) > а, или f(x) < –а. второго неравенства будет множество (–1, +∞)
Решая каждое неравенство отдельно, затем мы должны взять 3. Решением исходного неравенства будет пересечение этих множеств
объединение решений этих неравенств. (–∞,5)∩(–1,+ ∞) = (–1,5).
ПРИМЕР 4.1. Решить неравенство ОТВЕТ. (–1,5).
|3 x + 4| > 5. Нестрогие неравенства такого вида f ( x) ≥ a и f ( x) ≤ a решаются
1 аналогично строгим неравенствам.
РЕШЕНИЕ. 1. Решаем первое неравенство 3x + 4 > 5 или 3x > 1, x > .
3 Неравенства более сложного вида, которые содержат несколько
⎛1 ⎞ выражений под знаком модуля, решаются методом интервалов. Область
Поэтому решением первого неравенства будет интервал ⎜ ,+∞ ⎟ .
⎝3 ⎠ допустимых значений неравенства следует разбить на промежутки, на
2. Решаем второе неравенство 3x + 4 < –5 или 3x < –9, х <–3. Решением каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.
второго неравенства будет интервал (– ∞, –3). На каждом таком множестве нужно решать свое неравенство, полученное
3. Решением исходного неравенства будет объединение этих множеств после раскрытия знаков модуля, и найденные решения объединить в
⎛1 ⎞ множество решений исходного неравенства.
(– ∞, –3)U ⎜ ,+∞ ⎟ .
⎝3 ⎠
ПРИМЕР 4.3. Решить неравенство
⎛1 ⎞
ОТВЕТ(– ∞, –3)U ⎜ ,+∞ ⎟ . x2 − 2 + x < 0 . (10)
⎝ 3 ⎠
Рассмотрим решение неравенств вида РЕШЕНИЕ. 1. Рассмотрим промежутки знакопостоянства функции
f ( x) > a , у = х2 – 2. Она неотрицательна на множестве D1 = (–∞, – 2 ] U [ 2 , +∞) и
где а > 0 — действительное число. Это неравенство равносильно системе отрицательна на множестве D2 = (– 2 , 2 ).
двух неравенств 2. Решим неравенство х2 – 2 + х < 0 на первом множестве D1 (мы
⎧ f ( x ) < a, раскрыли модуль со знаком " + "). Корнями левой части неравенства
⎨ .
⎩ f ( x) > −a. являются х1 = –2 и х2 = 1, а решением неравенства — интервал (–2,1). Тогда
Решая каждое неравенство отдельно, затем мы должны будем взять решением исходного неравенства будет пересечение найденного интервала с
пересечение решений этих неравенств. первым множеством D1 (рис. 10), т.е. полуинтервал (–2,– 2 ].
27 28

15. Рис. 10
2
3. Решим неравенство –х + 2 + х < 0 на втором множестве D2 (здесь
знак модуля мы раскрыли со знаком "–" Корнями левой части неравенства
х2 – х – 2 > 0 являются х1 = –1 и х2 = 2, поэтому решением неравенства будет
множество (–∞, –1) U (2, +∞). Решением исходного неравенства будет
пересечение найденного решения второго неравенства со вторым
множеством D2 (рис. 11), т.е. интервал (– 2 , –1). Рис. 12
Решение неравенств, содержащих знак модуля, иногда можно
значительно сократить, используя равенство |х|2 = х 2.
ПРИМЕР 4.4. Решить неравенство
Рис. 11 x −1
> 1.
4. Решением исходного неравенства будет объединение найденных x+2
решений (–2,– 2 ] и (– 2 , –1).= (–2,–1). РЕШЕНИЕ. Исходное неравенство при всех х ≠ –2 эквивалентно
ОТВЕТ. (–2,–1). неравенству
В отличие от уравнений неравенства не допускают непосредственной |х – 1| > |х + 2|.
проверки. Однако в большинство случаев можно убедиться в правильности Поскольку обе части неравенства неотрицательны, то, возведя его в
полученных результатов графическим способом. Действительно, запишем квадрат, после приведения подобных членов получим неравенство
неравенство (10) в виде 6 х < –3,
x2 − 2 < −x . т.е. х < –1/2.
Учитывая ОДЗ исходного неравенства, определяемое условием х ≠ –2,
Построим графики функций у1 = |х2 — 2| и у2 = –х, входящие в левую и
окончательно получаем, что наше неравенство выполняется при всех х ∈(–
и правую части рассматриваемого неравенства, и найдем те значения
∞,–2)U(–2, –1/2). Геометрическая интерпретация решения этого неравенства
аргумента, при которых у1 < у2. На рис. 12 заштрихованная область оси
показана на рис. 13.
абсцисс содержит искомые значения х.
ОТВЕТ. (–∞,–2)U(–2, –1/2).
29 30

16. Решим более сложное неравенство.
ПРИМЕР 4.6. Решить неравенство
|2х + 4| + |х – 5| – |6 – 2х| > х + 1.
РЕШЕНИЕ. 1. Найдем значения х, при которых функции, стоящие под
знаком модуля, обращаются в ноль. Это точки х = –2, х = 5, х = 3, причем
функция у = 2х + 4 до точки х = –2 принимает знак " –", а после — знак "+ ",
функция у = х – 5 до точки х = 5 принимает знак " –", а после — знак " + ",
Рис. 13
функция у = 6 – 2х до точки х = 3 принимает знак " + ", а после знак " – ".
ПРИМЕР 4.5. Решить неравенство
Разобьем координатную прямую на промежутки
2
x − 4x + 3 ≤ x − 1 . (–∞, –2) U [ –2, 3] U (3,5] U (5, +∞).
РЕШЕНИЕ. Как и в предыдущем примере, возведем обе части Па каждом промежутке будем раскрывать модули с тем знаком,
неравенства в квадрат: который принимает на нем функция, стоящая под знаком модуля.
( x 2 − 4 x + 3) 2 ≤ ( x − 1) 2 . 2. На первом промежутке (–∞, –2) получим
− (2 x + 4) − ( x − 5) − (6 − 2 x) > x + 1 .
Применим формулу разности квадратов и разложим на множители
полученные выражения: Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то мы получим
неравенство
( x 2 − 4 x + 3 − x + 1)( x 2 − 4 x + 3 + x − 1) ≤ 0,
х < –3.
( x 2 − 5 x + 4)( x 2 − 3 x + 2) ≤ 0,
Тогда, взяв пересечение полученного множества с промежутком, на
( x − 1) 2 ( x − 4)( x − 2) ≤ 0.
котором мы решали неравенство, мы получим ответ
Применим метод интервалов для решения этого неравенства.
(–∞, –3).
Расставим критические точки х = 1, х = 2, х = 4 на прямой (рис.14), причем
3. Па промежутке [–2,3] получим
первая точка знака неравенства не меняет, поскольку множитель (х –1)2 в
2 x + 4 − ( x − 5) − (6 − 2 x) > x + 1 или х > –1.
четной степени, а две другие точки знак меняют. Правый знак неравенства
положительный Выбираем отрезок [2,4], на котором выполняется Тогда, взяв пересечение полученного множества с промежутком [–2,3],
неравенство, к ответу добавляем точку 1, в которой выполняется равенство. мы получим ответ
ОТВЕТ. {1}U[2,4]. (–1,3].
4. На промежутке х ∈ (3,5] получим
2 x + 4 − ( x − 5) + (6 − 2 x) > x + 1 или х < 7.
В пересечении с нашим промежутком получим ответ
Рис. 14 (3,5].
31 32