d

1. Tema 6
Lugar Geométrico de las Raíces
(LGR)
José Matas
2018

2. Tema 6. LGR
TCEE UPC
 Dona l’evolució/situació dels pols en llaç tancat d’un sistema
realimentat
 El LGR es dibuixa a partir dels pols i ceros de la funció de
transferència el llaç obert GLA(s).
 L’evolució es fa en funció d’un paràmetre variable. Generalment
el guany (kp).
 Considerem l'equació característica

3.  Aquesta equació implica dos condicions
 Condició d’ angle
 Condició de mòdul
TCEE UPC
Tema 6. LGR
 El LGR son tots el punts del pla de Laplace que compleixen la
condició d’angle i la condició de mòdul per diferents valors de kp.
 180(2+1) representa qualsevol múltiple impar de 180º

4. TCEE UPC
Tema 6. LGR
 (1) Identificar els pols i ceros en llaç obert.
- zi son el ceros, pi son el pols.
 (2) Punts d’inici i final
 El LGR parteix dels pols en llaç obert i acaba en el ceros en llaç obert o
bé en el infinit.
 Per exemple: una planta amb dos pols i un cero: un pol anirà a
parar/cancel·lar-se amb el cero de la planta i l’altre pol anirà cap a
infinit. Llavors es diu que aquest pol va a parar a un cero a -.

5. TCEE UPC
 (3) LGR en l’eix real.
 Un punt de l’eix real pertany al LGR si el número de pols i
ceros a la seva dreta és impar.
Tema 6. LGR
 (4) Asímptotes, comportament quan |s|, kp 
 Al ser punts molt llunyans la contribució angular per part de
pols i ceros es la mateixa.
- n és el num de pols del denominador.
- m és el num de ceros del numerador

6. TCEE UPC
 (4) Asímptotes
Tema 6. LGR
 (4) Asímptotes. Punt de intersecció amb l’eix real

7. TCEE UPC
 (5) Punts de ruptura
 Corresponen a arrels múltiples, reals o complexo-conjugats.
 Poden ser de dispersió (kmax) o de confluència (kmin).
Tema 6. LGR

8. TCEE UPC
Tema 6. LGR
 (5) Punts de ruptura
 Corresponen a arrels múltiples, reals o complexo-conjugats.
 Poden ser de dispersió (kmax) o de confluència (kmin).

9. TCEE UPC
 (5) Punts de ruptura
Tema 6. LGR

10. TCEE UPC
 (6) Punts de creuament per l’eix imaginari
Tema 6. LGR
Polinomi auxiliar

11. TCEE UPC
 (7) Angles d’arrancada i de sortida
 Partim de punts molt propers al punt d'interès.
 Tos els angles de la resta de pols i ceros és conegut,
excepte el del propi pol o cero que s'està estudiant.
Tema 6. LGR

12. TCEE UPC
Tema 6. LGR
 Ex. Pols en llaç obert
 LGR en l’eix real
 Asímptotes, n=4 (nº pols), m=1 (nº ceros)

13. TCEE UPC
Tema 6. LGR
 Asímptotes, Intersecció per l’eix real
 Punts de ruptura: No hi ha branques al eix real entre pols o ceros.
 Angles d’arrancada i sortida: Hi ha dos pols complex conjugats

14. TCEE UPC
 Creuament amb l’eix jw
Tema 6. LGR

15. TCEE UPC
Tema 6. LGR

16. Tema 6. LGR
TCEE UPC
 Ex. Pols en llaç obert
 LGR en l’eix real
 Asímptotes, n=2 (nº pols), m=1 (nº ceros)
Només l’eix real

17. Tema 6. LGR
TCEE UPC
 Punts de ruptura
 Angles d’arrancada i sortida

18. Tema 6. LGR
TCEE UPC
 Creuament amb l’eix jw: Apart de l’eix real no hi ha asímptotes. No
hi ha creuament.

19. Tema 6. LGR
TCEE UPC
 Efectes de l’adició de pols

20. Tema 6. LGR
TCEE UPC
 Efectes de l’adició d’un cero

21. Tema 6. LGR
 Efectes del moviment de pols i ceros
TCEE UPC

22. Tema 6. LGR
TCEE UPC
 Ex.
 Dissenyar k i b per obtenir essp=10% i un damping factor=0.702
 Dibuixar el LGR amb k i b obtingudes.
 Sol: GLA

23. Tema 6. LGR
 Ex.
TCEE UPC
 LGR (k=29.25 i b=0.207)
Arrels

24. Tema 6. LGR
TCEE UPC
 LGR en l’eix real
 No hi ha asímptotes.
 Punts de ruptura
 Angle d’arribada a l’eix real: 180º
 Angle de sortida del pols:

25. Tema 6. LGR
TCEE UPC