1. Types And Programming Languages Ch.6
Nameless Representation of Terms
姜
本位田研
January 24, 2012
姜 (本位田研) TAPL6 January 24, 2012 1 / 12

2. 5 章での問題
変数名が衝突す る と
暗黙にに変数名を 変更す る 必要がある
↓
変数名の変更が不要なも のを 作る
↓
de Bruijn terms を 導入し て みよ う
姜 (本位田研) TAPL6 January 24, 2012 2 / 12

3. 5 章での問題
変数名が衝突す る と
暗黙にに変数名を 変更す る 必要がある
↓
変数名の変更が不要なも のを 作る
↓
de Bruijn terms を 導入し て みよ う
姜 (本位田研) TAPL6 January 24, 2012 2 / 12

4. 5 章での問題
変数名が衝突す る と
暗黙にに変数名を 変更す る 必要がある
↓
変数名の変更が不要なも のを 作る
↓
de Bruijn terms を 導入し て みよ う
姜 (本位田研) TAPL6 January 24, 2012 2 / 12

5. Term
de Bruijn terms
Informal definition
Replacing named variables by natural numbers, where
the number k stands for “the variable bound by the k’th
enclosing λ.”
Example
λx.x は λ.0,
λx.λy. x (y x) は λ.λ. 1 (0 1) と し て 表現でき る
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6. Term
6.1.1
f ix = λf. (λx. f (λy. (x x) y)) (λx. f (λy. (x x) y))
は
f ix = λ.(λ. 1 (λ. (1 1) 0)) (λ. 1 (λ. (1 1) 0))
と し て 表現さ れる .
f oo = (λx. (λx. x)) (λx. x)
は
f oo = (λ. (λ. 0)) (λ. 0)
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7. Term
Definition:Terms
各 term がいく つ自由変数を も つか, を 常に追いながら
term を 定義する
Terms
Let T be the smallest family of sets {T0 , T1 , T2 , . . . } st.
1 k ∈ Tn whenever 0 ≤ k < n;
2 if t1 ∈ Tn and n > 0, then λ.t1 ∈ Tn−1 ;
3 if t1 ∈ Tn and t2 ∈ Tn then (t1 t2 ) ∈ Tn
Tn を n-terms と 呼ぶ
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8. Term
naming context
Γ=x �→ 4
y �→ 3
z �→ 2
a �→ 1
b �→ 0
こ の Γ が naming context で ,
x (y z) は 4 (3 2) Γ = xn , xn−1 . . . x0 と し て
λw. y w は λ. 4 0 表現でき , こ こ では
λw.λa.λx は λ.λ.6 Γ = x, y, z, a, b
姜
.
である(本位田研) TAPL6 January 24, 2012 6 / 12

9. Shift
シ フ ト と 代入
([k �→ s]t) を 考え る . k が代入によ っ て コ ン テク ス ト から 除去さ
れ, そ の分シ フ ト す る 必要がある .
[1 �→ s](λ.2) であれば , 1 が除去さ れて 2 は 1 に繰り 下げら れる .
し かし , 除去さ れる 番号によ っ て は , 繰り 下げる べき も のと そ う で
ないも のがある だろ う .
シ フ ト 演算子
↑d (k)
c
c を 起点に d 分だけ k を 繰り 下げる
k が c よ り 大き け れば d だけ 繰り 下げる
姜 (本位田研) TAPL6 January 24, 2012 7 / 12

10. Shift
Shifting
Definition:Shifting
k (if k < c)
↑d
c (k) =
k + d (if k ≥ c)
�
↑d (λ.t1 ) = λ. ↑d (t1 )
c c+1
↑d (t1 t2 ) = ↑d (t1 ) ↑d (t2 )
c c c
ま た , ↑d は ↑d を あら わす
0
姜 (本位田研) TAPL6 January 24, 2012 8 / 12

11. Shift
計算例
↑2 (λ.λ. 1 (0 2))) = (λ. ↑2 λ. 1 (0 2)))
1
= (λ.λ. (↑2 (1 (0 2))))
2
= (λ.λ. (↑2 1 ↑2 (0 2)))
2 2
= (λ.λ. 1 (↑2 0 ↑2 2))
2 2
= (λ.λ. 1 (0 4))
↑2 (λ. 0 1 (λ. 0 1 2)) = λ. ↑2 (0 1 (λ. 0 1 2))
1
= λ. (↑2 (0 1) ↑2 (λ. 0 1 2))
1 1
= λ.(↑2 0 ↑2 1) (λ. ↑2 (0 1 2))
1 1 2
= λ.(0 3) (λ.(↑2 (0 1) ↑2 2))
2 2
= λ.(0 3) (λ.(↑2 0 ↑2 1) 4)
2 2
= λ.(0 3) (λ. 0 1 4)
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12. Shift
代入
Definition: Substitution
s (if k = j)
[j �→ s]k =
k (otherwise)
�
[j �→ s](λ.t1 ) = λ.[j + 1 �→↑1 (s)]t1
[j �→ s](t1 t2 ) = ([j �→ s]t1 [j �→ s]t2 )
姜 (本位田研) TAPL6 January 24, 2012 10 / 12

13. Shift
代入の計算例
nameless form に変換し て 代入し たも のが, 代入し て
nameless form に変換し たも のと 等し いこ と を 確認せよ
Γ = a, b
[b �→ a](b (λx.λy.b)) = a (λx.λy.a)
[0 �→ 1](0 (λ.λ.2)) = [0 �→ 1]0 [0 �→ 1](λ.λ.2)
= 1 (λ.[1 �→↑1 1](λ. 2))
= 1 (λ.[1 �→ 2](λ. 2))
= 1 (λ.λ. [2 �→↑1 2]2)
= 1 (λ.λ.[2 �→ 3]2)
= 1 (λ.λ.3)
姜 (本位田研) TAPL6 January 24, 2012 11 / 12

14. Evaluation
Evaluation
P72,5-3 と ほぼ同様で , 違いは E-AppAbs
Definition:E-AppAbs
(λ.t12 ) v2 →↑−1 ([0 �→↑1 (v2 )]t12 )
Example
(λ.1 0 2) (λ.0) → ↑−1 ([0 �→↑1 (λ.0)](1 0 2))
→ ↑−1 ([0 �→ (λ. ↑1 0)](1 0 2))
1
→ ↑−1 ([0 �→ (λ.0)](1 0 2))
→ ↑−1 (1 (λ.0) 2)
→ ↑−1 (1 (λ.0)) ↑−1 2
→ ↑−1 1 ↑−1 (λ.0) 1
→ 0 (λ. ↑−1 0) 1
1
→ 0 (λ.0) 1
姜 (本位田研) TAPL6 January 24, 2012 12 / 12