Stanford Local 2007 - Jogger

1. Stanford Local 2007 <JOGGER> 풀이
https://algospot.com/judge/problem/read/JOGGER
http://ai.stanford.edu/~chuongdo/acm/2007/

2. 문제설명
리프의 개수가 N(≤50)인 루트없는 트리가 주어지면,
각 리프 사이의 경로 중에서,
거리*R+내부 노드 개수*T의 최댓값을 구하는 문제.

3. 문제설명
리프의 개수가 N(≤50)인 루트없는 트리가 주어지면,
각 리프 사이의 경로 중에서,
거리*R+내부 노드 개수*T의 최댓값을 구하는 문제.
O(N²)을 돌려도 충분한 쉬운 문제라 생각하고 input을 보면..

4. 문제설명
9 1 5
0 8 22 16 16 13 24 14 11
8 0 20 14 14 11 22 12 9
22 20 0 12 12 11 22 12 23
16 14 12 0 4 5 16 6 17
16 14 12 4 0 5 16 6 17
13 11 11 5 5 0 13 3 14
24 22 22 16 16 13 0 14 25
14 12 12 6 6 3 14 0 15
11 9 23 17 17 14 25 15 0
0
??????
=

5. 문제설명
9 1 5
0 8 22 16 16 13 24 14 11
8 0 20 14 14 11 22 12 9
22 20 0 12 12 11 22 12 23
16 14 12 0 4 5 16 6 17
16 14 12 4 0 5 16 6 17
13 11 11 5 5 0 13 3 14
24 22 22 16 16 13 0 14 25
14 12 12 6 6 3 14 0 15
11 9 23 17 17 14 25 15 0
0
리프의 개수가 주어지고, 리프끼리 거리가 주어짐.
트리 구조는 알아서 알아내라는 소리-_-;;
=

6. 중요한 가정들
1. 내부 노드의 degree는 3 이상이다.
2. 각 경로의 거리는 1 이상이다.
이걸 기초로, 각 리프 사이의 경로 속에
숨어 있는 내부 노드의 개수를 알아내야!

7. Claim
리프 A, B사이의 내부 노드 개수는
A, B가 아닌 리프 L에 대해서
가능한 AL-BL값의 개수와 같다.

8. Proof
A P₁ BP₂ P₃
리프 A, B의 경로를 생각해 본다.

9. Proof
A P₁ BP₂ P₃
C
P₄
E
GF H
D
리프 A, B의 경로를 생각해 본다. 다른 리프들은 P부터 제각각 뻗어나간다.

10. P₁ P₃
C
P₄
E
F H
D
Proof
리프 A, B의 경로를 생각해 본다. 다른 리프들은 P부터 제각각 뻗어나간다.
어떤 리프 L에 대해서 AL=AP+PL, BL=BP+PL이다. 즉 AL-BL=AP-BP이다.
A BP₂
G
AG=AP₂+P₂G
BG=BP₂+P₂G
∴ AG-BG=AP₂-BP₂

11. Proof
어떤 노드 L에 대해서 AL-BL은 AB경로상에 뻗어간 점 P에 종속된다.
결국, 하나의 P에 대해서 AL-BL값은 모두 같다.
A P₁ BP₂ P₃
C
P₄
E
GF H
D

12. Proof
여기까지 떠올려도 코딩은 충분하지만, 증명할 게 남아있다.
1) 리프들만 순회해도 AB사이에 모든 P가 발견될까?
2) P₁, P₂, P₃…에 대해서 AP-BP가 유일할까?

13. Proof
여기까지 떠올려도 코딩은 충분하지만, 증명할 게 남아있다.
1) 리프들만 순회해도 AB사이에 모든 P가 발견될까?
2) P₁, P₂, P₃…에 대해서 AP-BP가 유일할까?
AB사이 노드 P는 내부노드이므로,
가정 (1)에 따라 degree가 3 이상이다.
즉 P에서 뻗어나가는 경로는 PA와 PB말고도 최소 하나는 존재한다.
이 경로를 따라 나오는 리프에서 P는 무조건 발견된다. 증명 끝!

14. Proof
여기까지 떠올려도 코딩은 충분하지만, 증명할 게 남아있다.
1) 리프들만 순회해도 AB사이에 모든 P가 발견될까?
2) P₁, P₂, P₃…에 대해서 AP-BP가 유일할까?
A P₁ BP₂ P₃
P₁과 P₂에서 AP-BP가 같다고 가정해본다.
AP₁-P₁B=AP₂-P₂B면, AP₁+P₂B=AP₂+P₁B이다.
이는 AB-P₁P₂=AB+P₁P₂이란 얘기다.
즉 P₁P₂=0이고 가정 (2)에 모순된다. 귀류법 증명 끝!

15. Conclusion
여기까지 증명이 되면 내부노드의 개수가 O(NlgN)에 계산이 되고
모든 리프를 순회해도 O(N³lgN)으로 넉넉하다.
20줄 코딩으로 AC가 가능함. 좋은 문제!