はい

1. 組合せゲームの基本
@pazzle1230

2. 発表の内容
•後の人の発表を理解するための基礎知識
•何も思いつかず逃げた内容みたいなところがある
•時間足りなかったから適当だからはい
•基本的定義あたりから徹夜で書いてるのでやばい
•一応理解してもらえなかったら後の人の発表が厳しくなりそう
→みなさんなら説明が疎くても理解余裕だから大丈夫！

3. 組合せゲームの基本定理
•ある二人が行うゲーム𝐺は、先手必勝もしくは後手必勝となりその
両方とはならない
•ゲーム𝐺とは、あるゲームにおける局面を指す
•この基本定理から、ゲームの局面には四つの可能性があり、その可能性に
よって次の四つの帰結類に類別する
•ある帰結類に類別される局面は、その帰結類から𝒩局面や𝒫局面などと呼ぶ

4. 帰結類 名称 定義
𝒩 ファジー 先手番の対局者が必ず勝つ。
𝒫 零 後手番の対局者が必ず勝つ。
ℒ 正 どちらが先手番でも左が必ず勝つ。
ℛ 負 どちらが先手番でも右が必ず勝つ。
ドミナリングでのそれぞれの帰結類の例
𝒫局面𝒩局面 ℒ局面 ℛ局面

5. • ゲーム（の局面）𝐺を、その局面におけるそれぞれの対局者の選択肢によっ
て𝐺 = 𝒢 𝐿
𝒢 𝑅
と定義し、 𝒢 𝐿
と 𝒢 𝑅
はそれぞれ左と右の選択肢の集合
• 集合 𝒢 𝐿 と 𝒢 𝑅 の要素を、それぞれGの左選択肢、右選択肢という
• 要素の代表を𝐺 𝐿および𝐺 𝑅で表す
• 例えばドミナリングの局面は次のようになり、対称性を考慮し簡略化してそ
の下のように表記する
= , , ,
, ,=

6. 帰結類の確定
•ゲーム𝐺の帰結類は次の表に従ってそのゲームの選択肢の帰結類から決まる
• 左はℒか𝒫の局面に遷移できれば勝ち
• ℛか𝒩にしか遷移できなければ負け
• 右は左の場合のℒとℛを交換して判定する
ある GR ∈ ℛ ∪ 𝒫 すべての G 𝑹
∈ ℒ ∪ 𝒩
ある GL
∈ ℒ ∪ 𝒫 𝒩 ℒ
すべての GL ∈ ℛ ∪ 𝒩 ℛ 𝒫

7. 帰結類の確定
•ゲーム木の葉は 𝒢 𝐿 = 𝒢 𝑅 = ∅なので「すべての GL ∈ ℛ ∪ 𝒩」と
「すべての G 𝑹∈ ℒ ∪ 𝒩」が成り立つ
• 𝒫局面！！！
• 打つ手がないということなのでそれはそう
•ということは葉から決めていけば求められそう！
•そこで右のゲームのゲーム木を用意します

8. 無
無 無 無 無

9. 𝒫 𝒫𝒫
𝒫
𝒫
𝒫𝒫𝒫

10. 𝒫 𝒫𝒫
𝒫
𝒫
𝒫𝒫𝒫ℛ ℒ
ℛ
ℛ ℒ
𝒩

11. 𝒫 𝒫𝒫
𝒫
𝒫
𝒫𝒫𝒫ℛ ℒ
ℛ
ℛ ℒ
𝒩𝒩 𝒩 ℒ

12. 𝒫 𝒫𝒫
𝒫
𝒫
𝒫𝒫𝒫ℛ ℒ
ℛ
ℛ ℒ
𝒩𝒩 𝒩 ℒ
𝒩

13. 𝒫 𝒫𝒫
𝒫
𝒫
𝒫𝒫𝒫ℛ ℒ
ℛ
ℛ ℒ
𝒩𝒩 𝒩 ℒ
𝒩
先手必勝！

14. 不偏ゲーム
•ゲームの全局面で双方が同じ選択肢をもつゲーム
• ドミナリングは置く方向が縦と横という違いがあるため非不偏ゲーム
• 組合せゲーム理論といえばNim！←不偏ゲーム
•不偏ゲームGは𝒩または𝒫に属する
• 𝐺がℒに属するとしたら、左は先手番で勝つことができるが同じ方法で右も勝てる

15. 不偏ゲーム
定理
•有限な不偏ゲームの全局面が次の二つの性質を満たす互いに排他的な集合
AとBに分割できるならば、Aは𝒫局面、Bは𝒩局面の集合となる
• Aに属する局面のすべての選択肢はBに属する
• Bに属する局面はどれもAに属する選択肢を少なくとも１つもつ
• 𝒫局面からは𝒩局面しか選べず、𝒩局面には𝒫局面にする選択肢があることを示し
ています
• 後の人の発表で使われます

16. 局面の直和
•ゲームによってはいくつかの独立した局面から構成されている
•ここで、直和を考える
•直和とは、二つ以上のゲームの局面を並べて得られる局面のこと
•対局者はすきな一つの直和成分に対して手を打つことが出来る
= +

17. 局面の価値
•どちらの対局者にとって有利かをわかりやすくするため、左に有利なときは+、
右に有利な時は−で評価する
•左にとって次の局面の価値はこのようになる
+1手 -2手-1手+2手+1手 -1手

18. 局面の比較
•任意のゲームGで、Z ∈ 𝒫を後手必勝の任意のゲームとしたときGとG + Zの帰
結類は等しくなる
• ゲームGが𝒩に属すとすると、先手番のプレイヤーは普通にプレイする
• 後手がZに手を打ったら先手もZに手を打つ（このとき先手はZにおいて後手）
• 先手はG, Zともに勝つため帰結類は変わらない
• 𝒫に属していたとしても後手において同様に行う
•GとG + Zで帰結類は変わっていない
→ Zは和で帰結類に影響してない…？
→ Zは0！！！！！

19. 局面の比較
任意の後手必勝ゲームだけが値0を持つ

20. 基本的定義
1. ゲーム𝐺は 𝒢 𝐿 𝒢 𝑅 と定義する
2. G + H = 𝒢 𝐿 + 𝐻, 𝐺 + ℋ 𝐿 𝒢 𝑅 + 𝐻, 𝐺 + ℋ 𝑅
3. −𝐺 = −𝒢 𝑅
−𝒢 𝐿
4. 𝐺 = 𝐻 ⟺ ∀𝑋 𝐺 + 𝑋は𝐻 + 𝑋と同じ帰結類に属する
5. 𝐺 ≥ 𝐻 ⟺ ∀𝑋 𝐻 + 𝑋において左が勝つとき、𝐺 + 𝑋において左が勝つ
𝐺 = 𝐻の定義は「𝐺は𝐻と同じ」を意味しない
𝐺と𝐻が同一のゲーム木をもつならば同型といい𝐺 ≅ 𝐻と表記する

21. ゲームの誕生日
•ゲーム𝐺 = 𝒢 𝐿
𝒢 𝑅
の誕生日を、𝒢 𝐿
∪ 𝒢 𝑅
に含まれるゲームの誕生日の最大
値に1を加えたものと再帰的に定義する
• 𝒢 𝐿
= 𝒢 𝑅
= øの場合0とする
• 誕生日がnより大きくないゲームをn日目までに生まれたゲームと言う

22. ゲームの誕生日
•ゲーム0 = }は0日目までに生まれた唯一のゲーム
•先程の再帰的定義より1日目までに生まれたゲームを列挙できる
0 = }
1 = 0 }
−1 = 0}
∗ = 0 0

23. 基本的定義
•任意のゲームGに対してG + 0 = 𝐺が成り立つ
• 𝐺 + 0 = 𝒢 𝐿
𝒢 𝑅
+ } = 𝒢 𝐿
+ 0, 𝐺 + ø 𝒢 𝑅
+ 0, 𝐺 + ø
• ここで、0のゲームに対して手を打つことは出来ないので 𝐺 + øは存在しない
• 帰納法より𝒢 𝐿 + 0 = 𝒢 𝐿および𝒢 𝑅 + 0 = 𝒢 𝑅が成り立つので 𝒢 𝐿 𝒢 𝑅 = 𝐺とまとまる
•直和は交換法則と結合法則を満たす。証明は帰納法でできる
• 𝐺 + 𝐻 = 𝐻 + 𝐺
• 𝐺 + 𝐻 + 𝐽 = 𝐺 + (𝐻 + 𝐽)

24. 基本的定義
•−𝐺 = −𝒢 𝑅
−𝒢 𝐿
は、対局者の役割の交換に対応する
• 集合に対する符号の反転は、その集合すべての要素の符号を反転した集合
• −𝒢 𝑅 = −𝐺 𝑅 (𝐺 𝑅 ∈ 𝒢 𝑅)となる
• ドミナリングなら左が横に置き、右が縦に置くようになる
•符号の反転を用いてゲームの差を𝐺 − 𝐻 = 𝐺 + −𝐻 と定義できる

25. 基本的定義
•任意のゲーム𝐺に対して𝐺 − 𝐺 = 0が成り立つ
• 先手がどちらかの局面に手を打ったとき、後手はもう一方の対応する手を打つこと
ができるため、物真似戦略で後手番の勝ちとなる
•ゲーム𝐺, 𝐻および𝐽に対して、𝐺 + 𝐽 = 𝐻 + 𝐽が成り立つとき、そしてその時に
限り𝐺 = 𝐻が成り立つ
•𝐺 − 𝐻 = 0のとき、またその時に限り𝐺 = 𝐻で𝐺 − 𝐻は𝒫配置となる
𝐺 −𝐺
+

26. 基本的定義
•二つのゲーム𝐺と𝐻比べるには、𝐺 − 𝐻の帰結類を調べれば良い
•𝐺 − 𝐻が𝒩局面であれば𝐺 ≥ 𝐻でも𝐺 ≤ 𝐻でもないので比較不能
• 𝐺||𝐻と表記する
𝐺 > 0 ⇔ 𝐺 は左の勝ち 𝐺 > 𝐻 ⇔ 𝐺 − 𝐻は左の勝ち
𝐺 = 0 ⇔ 𝐺 は後手番の勝ち 𝐺 = 𝐻 ⇔ 𝐺 − 𝐻は後手番の勝ち
𝐺 < 0 ⇔ 𝐺 は右の勝ち 𝐺 > 𝐻 ⇔ 𝐺 − 𝐻は右の勝ち
𝐺||0 ⇔ 𝐺 は先手番の勝ち 𝐺||𝐻 ⇔ 𝐺 − 𝐻は先手番の勝ち

27. 基本的定義
問題：四角に、<. >, = のどれが入るでしょう（||はない）
0
>
>

28. ゲームの標準形
•まったく異なるゲーム木を持つ二つのゲームが等しくなることがある
•右の方が見た感じ小さく、このように全てのゲーム𝐺に「最小」のゲームがあり
この最小のゲームを標準形と言う
•あるゲーム𝐺と𝐻の標準形が一致するかを調べることで等しいか判定できる
•ある局面から標準形を求めるのは次の二つの方法でできる
=

29. 劣位な選択肢
ゲーム
𝐺 = 𝐴, 𝐵, 𝐶, … 𝐻, 𝐼, 𝐽, … }
において𝐵 ≥ 𝐴ならば
𝐺′
= 𝐵, 𝐶, … 𝐻, 𝐼, 𝐽, … }
に対して𝐺 = 𝐺′になる
同様に右選択肢でも𝐼 ≥ 𝐻ならば𝐼を取り除くことが出来る
左にとって、𝐵は𝐴より優位な選択肢, 𝐴は𝐵より劣位な選択肢という
右にとっては𝐻が𝐼よりも優位、𝐼は𝐻よりも劣位になる
そして劣位な選択肢は取り除くことが出来る

30. 打ち消し可能な選択肢
•𝐺の左選択肢𝐴は、右にとって𝐺より悪くならない、つまり𝐴 𝑅
≤ 𝐺となる
右選択肢𝐴 𝑅がある時打ち消し可能という
•右は、左が𝐴を選んだら𝐴 𝑅
を選ぶという制約を行なっても問題ない
•そのとき、左は直接𝐴 𝑅の左選択肢を選ぶと考えることが出来る
𝐺 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, … | 𝐻, 𝐼, 𝐽, … }
𝐴 𝑅 = 𝑊, 𝑋, 𝑌, … … }
𝐺′ = 𝑊, 𝑋, 𝑌, 𝐵, 𝐶, … 𝐻, 𝐼, 𝐽, … }
このとき𝐺 = 𝐺′が成り立つ
この置き換えの処理を短絡という

31. ゲームに対応する数
•前にやったようにゲームには数を対応させることが出来る
•縦に2n個マスが並んだ局面は左はn手打て、右は1手も打てないためnとなる
•逆に、横に2n個だと左は1手も打てず、右はn手打てるため-nが妥当
+1 -2-1+2+1 -1

32. ゲームに対応する数
•左が自由にn手打てるゲームの値は、自然にnと定義できる
•右が自由にn手打てるゲームは-n
0 = }
𝑛 = 𝑛 − 1 }
•このように定義できる
•また符号の反転の定義から次も成り立つ
−𝑛 = −ø − (𝑛 − 1)}
= 1 − 𝑛}

33. ゲームに対応する数
•「n」がnを値とするゲームを表すことにすると「n+1」は「n」と「1」の和に等しい
𝑛 − 1 } + 0 | = 𝑛 − 1 + 1, 𝑛 − 1 + 1 }
= 𝑛, 𝑛 }
= 𝑛 }
= 𝑛 + 1
•「n-1」についても「n」と「1」の差に等しいことが𝐺 − 𝐻 = 0で証明できる
•ゲーム𝐴, 𝐵, 𝐶の値を𝑎, 𝑏, 𝑐と表すと他にも以下が成り立つことが証明できる
• 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ≥ 0 ⇔ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 0
• 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 𝑐
• 𝐴 ≥ 𝐵 ⇔ 𝑎 ≥ 𝑏

34. ゲームに対応する数
•これらでゲームと整数の対応付けがよさそうであると示せる
•以降は整数が出てきたときにその整数を値とするゲームかただの整数かを
区別しなくても良い
•例としてハッケンブッシュというゲームで考えてみる
• 地面から辺が生えているので、左は黒い辺、右は白い辺を取り除ける
• 地面と連結でなくなった辺を消す
• 操作できなくなった方の負け

35. ゲームに対応する数
とても簡単な局面なので値を求めてみましょう

36. ゲームに対応する数
とても簡単な局面なので値を求めてみましょう
3

37. ゲームに対応する数
とても簡単な局面なので値を求めてみましょう
3 -3

38. ゲームに対応する数
とても簡単な局面なので値を求めてみましょう
3 -3 -2

39. ゲームに対応する数
とても簡単な局面なので値を求めてみましょう
3 -3 -2 3

40. ゲームに対応する数
3 -3 -2 3
和は1となり1は0より大きい

41. ゲームに対応する数
3 -3 -2 3
和は1となり1は0より大きい → 左必勝！

42. おしまい
徹夜明けなので本当に厳しい
後の人の発表を楽しんでください