JOI模擬本戦問題5の解説です

1. カードの取り合い
maroon

2. 問題概要
• 二人の人が、相手のカードを何枚か取る、という操作を交互
に行う
• 初期状態と、カードをとる枚数を変化させるクエリが来る
• それぞれのクエリ後について、最終的な状態を求める

3. 小課題1
• 愚直にシミュレートします

4. 考察
• 初期状態で、場にあるカードの枚数の合計をSとする
• カードをとる操作において、JOI君のカードの枚数xは、
x=min(x+Ai,S) または x=max(x-Ai,0)
という変化をする

5. 考察
• i が奇数の時 Bi=Ai、偶数の時Bi=-Ai とおくと、カードをとる
操作における、JOI君のカードの枚数xの変化は、
x=min(max(x+Bi,0),S) となる。

6. 小課題2
• ※この小課題は満点解法とは関係ありません

7. 小課題2
• 初期状態が変化しないので、当然Sも変化しない
• すると、x=min(max(x+Bi,0),S)という関数は、O(1)でマージす
ることができる。
• よってSegmentTreeにこれを乗せると、O(QlogN)で解ける

8. 小課題3
• Sが変化するので、x=min(max(x+Bi,0),S)のマージが大変
• Sによらない性質を考える

9. 小課題3
• まず簡単のために、x=x+Bi として、その変化を折れ線グラ
フにしてみる

10. 小課題3
• x=min(max(x+Bi,0),S)は、この折れ線の上下に壁がついて、
その壁を超えることができなくなったものだとみなせる

11. 小課題3
• abs(Bi)≧abs(B{i+1})≦abs(B{i+2})なるiが存在するとき、
Bi=Bi+B{i+1}+B{i+2}として、B{i+1},B{i+2}を削除してよい

12. 小課題3
• この操作を繰り返すと最終的には、abs(Bi)がある地点まで単
調増加し、その後単調減少する、という風になる

13. 小課題3
• この折れ線の通る最高地点をTop,最低地点をBottomとする
• abs(Bi)が最大の線分は、TopとBottomを結んでいる

14. 小課題3
• ある初期状態から始めて、折れ線が一度も壁にぶつからない
場合、最終状態は自明に求められる

15. 小課題3
• ある初期状態から始めて、折れ線が壁にぶつかる場合、Top
かBottomの少なくとも一方に必ずぶつかる

16. 小課題3
• よって、TopかBottomにぶつかった後だけ考えればよく、
ここではabs(Bi)が単調減少している
• abs(Bi)≧Sを満たしているところでは、必ず壁にぶつかる
• 逆に、abs(Bi)<Sを満たすところでは、abs(Bi)の単調性から、
必ず壁にぶつからない

17. 小課題3
• よって、abs(Bi)<Sとなる最小のiを求めればよい
• abs(Bi)の単調性から、これは二分探索で求められる
• 一つの初期状態につきO(logN)で求められるので、
全体でO(QlogN)

18. 小課題4
• 全部変化するのでもっと大変
• でも小課題3がわかれば簡単

19. 小課題4
• クエリをsqrt(Q)個ごとにバケットに分ける。
• 一つのバケットの処理がO(N+Q)でできたらうれしい

20. 小課題4
• あるバケット内で、カードを取る枚数が変化するものは精々
sqrt(Q)個なので、これについては愚直に処理してよい
• 残った、カードを取る枚数が変化しない部分を高速に処理し
たい

21. 小課題4
• カードを取る枚数が変化しない部分は、小課題3と同じよう
に処理する
• カードを取る枚数が変化しない部分はsqrt(Q)個、初期状態が
sqrt(Q)個なので、合計でO(N+QlogN)でできそう

22. 小課題4
• logを落としたい・・・落としたくない？
• logは二分探索でついてくるが、あらかじめ初期状態の方をS
でソートしておくと、ソート列をマージする要領で、二分探
索のlogが落ちる
• 一つのバケットがO(N+Q)で処理できたので、
全体でO((N+Q)sqrt(Q))