الگوریتم شاخه و هزینه ترکیبی از متد تولید ستون و راهبرد شاخه و حد است که برای بهینه سازی عدد صحیح و گسسته در صنایع کاربرد دارد.

1. Branch & Price
‫قیمت‬ ‫و‬ ‫شاخه‬ ‫الگوریتم‬
1
REZA HAMOULEH
School of industrial engineering
Iran University of Science and Technology
2016

2. ‫مقدمه‬:‫ترکیبی‬ ‫سازی‬‫بهینه‬ 2
‫یا‬ ‫ترکیبی‬ ‫سازی‬ ‫بهینه‬Combinatorial optimization‫مسائلی‬ ‫برای‬ ‫سازی‬ ‫بهینه‬ ‫به‬ ‫که‬ ‫هستند‬ ‫هایی‬‫روش‬
‫ممکن‬ ‫های‬‫پاسخ‬ ‫مجموعه‬ ‫که‬ ‫پردازند‬‫می‬(‫حاالت‬ ‫فضای‬)‫باشد‬ ‫گسسته‬ ‫تواند‬‫می‬ ‫یا‬ ‫است‬ ‫گسسته‬ ‫ها‬‫آن‬ ‫در‬(‫توابع‬ ‫بهینه‬ ‫نقطه‬
‫با‬‫گسسته‬ ‫متغیرهایی‬.)‫کامل‬ ‫جستجوی‬ ‫مسائل‬ ‫گونه‬‫این‬ ‫در‬ ‫معموال‬(‫فراگیر‬)‫ندارد‬ ‫عملیاتی‬ ‫امکان‬.
‫معروف‬ ‫مسائل‬:‫گرد‬‫دوره‬ ‫فروشنده‬(traveling salesman problem)‫کمینه‬ ‫پوشای‬ ‫درخت‬ ‫و‬
(minimum spanning tree problem)
‫ترکیبی‬ ‫سازی‬ ‫بهینه‬ ‫مشهور‬ ‫های‬‫الگوریتم‬:‫پو‬ ‫درخت‬ ‫های‬‫الگوریتم‬ ،‫پویا‬ ‫ریزی‬‫برنامه‬ ،‫حریصانه‬‫و‬ ‫شاخه‬ ،‫کمینه‬ ‫شای‬
‫حد‬ ‫و‬ ‫شاخه‬ ‫و‬ ‫برش‬.

3. ‫مقدمه‬:‫صحیح‬ ‫عدد‬ ‫ریزی‬‫برنامه‬
-‫صحیح‬ ‫عدد‬ ‫ریزی‬‫برنامه‬ ‫مسائل‬(Integer Programming)‫مسائلی‬ ،‫صحیح‬ ‫عدد‬ ‫خطی‬ ‫سازی‬ ‫بهینه‬ ‫یا‬
‫دارد‬ ‫وجود‬ ‫صحیح‬ ‫عدد‬ ‫متغیرهای‬ ‫ها‬‫آن‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫تفاوت‬ ‫این‬ ‫با‬ ‫هستند‬ ‫خطی‬ ‫ریزی‬‫برنامه‬ ‫با‬ ‫مشابه‬.
-Integer Programing‫مسئله‬ ‫یک‬ ‫گرد‬‫دوره‬ ‫فروشنده‬ ‫و‬ ‫ها‬‫گراف‬ ‫آمیزی‬ ‫رنگ‬ ‫مانند‬NP-Hard‫است‬.
-‫الگوریتم‬Branch and Bound‫است‬ ‫مسائل‬ ‫این‬ ‫حل‬ ‫برای‬ ‫مطرح‬ ‫های‬‫الگوریتم‬ ‫از‬ ‫یکی‬.
3

4. ‫حد‬ ‫و‬ ‫شاخه‬
-‫گیرد‬‫می‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫گسسته‬ ‫حالت‬ ‫فضای‬ ‫یک‬ ‫الگوریتم‬ ‫این‬->S
-‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫مسئله‬ ‫الگوریتم‬ ‫این‬«‫درخت‬»‫حالت‬ ‫فضای‬ ‫کل‬ ‫ریشه‬ ‫که‬ ‫گیرد‬‫می‬ ‫نظر‬ ‫در‬(‫تمامی‬
‫ها‬‫جواب‬)‫هر‬ ‫و‬‫فرزند‬‫است‬ ‫ها‬‫جواب‬ ‫از‬ ‫ای‬‫مجموعه‬ ‫زیر‬ ‫آن‬.‫مرحله‬ ‫هر‬ ‫در‬B‫دهنده‬‫نشان‬‫جواب‬ ‫بهترین‬
‫شده‬ ‫یافته‬‫است‬.
-‫عددی‬ ،‫گره‬ ‫هر‬ ‫در‬(‫حدی‬)‫هست‬ ‫امیدبخش‬ ‫گره‬ ‫آن‬ ‫آیا‬ ‫که‬ ‫شود‬ ‫تعیین‬ ‫تا‬ ‫کند‬ ‫می‬ ‫محاسبه‬ ‫را‬‫خیر‬ ‫یا‬.
-‫درخت‬‫جواب‬ ‫تولید‬ ‫توانایی‬ ‫شاخه‬ ‫زیر‬ ‫که‬ ‫درصورتی‬ ،‫شود‬‫می‬ ‫پیمایش‬ ‫عرضی‬ ‫صورت‬ ‫به‬‫برای‬ ‫تر‬‫بهینه‬
‫پیمایش‬ ‫از‬ ،‫باشد‬ ‫نداشته‬ ‫را‬ ‫مسئله‬‫کل‬‫نظر‬ ‫صرف‬ ‫شاخه‬ ‫زیر‬‫شود‬‫می‬(‫شاخه‬ ‫آن‬‫هرس‬‫ش‬‫می‬‫ود‬).
4

5. ‫حد‬ ‫و‬ ‫شاخه‬ ‫مثال‬ 5
𝒑𝒊
𝒘𝒊
𝒘𝒊𝒑𝒊i
$202$401
$65$302
$510$503
$25$104
totweight = weight + 𝒋=𝒊+𝟏
𝒌−𝟏
𝒘𝒋
bound = profit + 𝒋=𝒊+𝟏
𝒌−𝟏
𝒑𝒋 + (W - totweight) x
𝒑 𝒌
𝒘 𝒌

6. ‫حد‬ ‫و‬ ‫شاخه‬ ‫مثال‬ 6
𝒑𝒊
𝒘𝒊
𝒘𝒊𝒑𝒊i
$202$401
$65$302
$510$503
$25$104
$0
0
$115
$40
2
$115
$0
0
$82
$70
7
$115
$40
2
$98
$30
5
$82
$0
0
$60
$120
17
$0
$70
7
$80
$80
12
$80
$70
7
$70
$100
17
$0
$90
12
$90
$90
12
$98
$40
2
$50
$80
15
$82
$30
5
$40
𝒊𝒕𝒆𝒎 𝟏
𝒊𝒕𝒆𝒎 𝟐
𝒊𝒕𝒆𝒎 𝟑
𝒊𝒕𝒆𝒎 𝟒
X
XXXX
X X X X
(0,0)
(1,1) (1,2)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
$90
12
$98
W = 16
Maxprofit = $0
W = 16
Maxprofit = $40
W = 16
Maxprofit = $70
W = 16
Maxprofit = $90

7. ‫ستون‬ ‫تولید‬ ‫روش‬
-‫متدی‬‫قدیمی‬(1962)‫خطی‬ ‫ریزی‬ ‫برنامه‬ ‫در‬ ‫بزرگ‬ ‫مسائل‬ ‫حل‬ ‫برای‬.
-‫ب‬ ‫آنقدر‬ ‫خطی‬ ‫ریزی‬‫برنامه‬ ‫مسائل‬ ‫از‬ ‫بسیاری‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫این‬ ‫ستون‬ ‫تولید‬ ‫روش‬ ‫برای‬ ‫اصلی‬ ‫ایده‬‫که‬ ‫هستند‬ ‫زرگ‬
‫نباشد‬ ‫ممکن‬ ‫زمانی‬ ‫نظر‬ ‫از‬ ‫متغیرها‬ ‫تمامی‬ ‫صریح‬ ‫بررسی‬.
-‫صورت‬ ‫به‬ ‫مسئله‬ ‫متد‬ ‫این‬ ‫در‬restricted master problem‫شود‬‫می‬ ‫فرموله‬ ‫محدود‬ ‫اصلی‬ ‫مسئله‬ ‫یا‬
(RMP)
-‫یک‬ ‫در‬RMP‫نیاز‬ ‫صورت‬ ‫در‬ ‫متغیرها‬ ‫دیگر‬ ‫و‬ ‫آوریم‬‫می‬ ‫را‬ ‫ممکن‬ ‫متغیرهای‬ ‫کمترین‬‫شوند‬‫می‬ ‫اضافه‬ ‫مسئله‬ ‫به‬
(‫سیمپلکس‬ ‫روش‬ ‫مشابه‬.)‫متغیرها‬ ‫کردن‬ ‫اضافه‬ ‫برای‬«‫ها‬‫مسئله‬ ‫زیر‬»‫شوند‬‫می‬ ‫ایجاد‬.
-‫مسئله‬cutting stock‫ستون‬ ‫تولید‬ ‫مدلسازی‬ ‫برای‬ ‫مثالی‬ ،‫است‬ ‫پشتی‬ ‫کوله‬ ‫مشابه‬ ‫ای‬‫مسئله‬ ‫که‬‫است‬.
7

8. ‫ستون‬ ‫تولید‬ ‫روش‬
-‫ب‬ ‫را‬ ‫مسئله‬ ،‫ستون‬ ‫تولید‬ ‫رویکرد‬‫ا‬‫ر‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫مسئله‬ ‫سپس‬ ‫و‬ ‫کند‬‫می‬ ‫آغاز‬ ‫ها‬‫ستون‬ ‫از‬ ‫ای‬‫زیرمجموعه‬‫حل‬ ‫سازی‬ ‫بهینه‬ ‫وش‬
‫کند‬‫می‬.‫اساس‬ ‫بر‬ ‫حل‬ ‫از‬ ‫پس‬«‫شده‬ ‫کاسته‬ ‫هزینه‬»‫ستونی‬ ،‫فعلی‬«‫خوب‬»‫اضافه‬ ‫ها‬‫ستون‬ ‫مجموعه‬ ‫به‬‫کند‬‫می‬.
-‫دهد‬ ‫بهبود‬ ‫را‬ ‫مسئله‬ ‫نتواند‬ ‫خوبی‬ ‫ستون‬ ‫هیچ‬ ‫دیگر‬ ‫که‬ ‫یابد‬‫می‬ ‫ادامه‬ ‫جایی‬ ‫تا‬ ‫روند‬ ‫این‬.
-‫اصلی‬ ‫مسئله‬
‫مسئله‬
-‫فرعی‬ ‫مسئله‬->‫بهبو‬ ‫را‬ ‫اصلی‬ ‫مسئله‬ ‫هدف‬ ‫تابع‬ ‫که‬ ‫دارد‬ ‫را‬ ‫ستونی‬ ‫یافتن‬ ‫وظیفه‬ ‫مسئله‬ ‫این‬‫دهد‬‫می‬ ‫د‬.
8

9. ‫ستون‬ ‫تولید‬ ‫روش‬
-‫گست‬ ‫را‬ ‫هدف‬ ‫تابع‬ ‫که‬ ‫دانیم‬‫می‬ ‫مسئله‬ ‫زیر‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫متناظر‬ ‫را‬ ‫ستون‬ ‫هر‬ ،‫رویکرد‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫حقیقت‬ ‫در‬‫مثال‬ ‫برای‬ ،‫دهد‬‫می‬ ‫رش‬
‫زیر‬ ‫مسئله‬ ‫در‬ ‫ی‬‫مسئله‬ ‫برای‬:
- A steel company wants to cut the steel rods of width 218cm. The customers
want 44 pieces of width 81 cm., 3 pieces of width 70 cm. and 48 pieces of
width 68 cm.
9

10. ‫ستون‬ ‫تولید‬ ‫روش‬ 10

11. ‫ستون‬ ‫تولید‬ ‫روش‬ 11

12. ‫تعاریف‬ ‫و‬ ‫مفاهیم‬
-‫است‬ ‫دقیق‬ ‫سازی‬‫بهینه‬ ‫روش‬ ‫یک‬ ‫قیمت‬ ‫و‬ ‫شاخه‬.
‫شاخه‬‫حد‬ ‫و‬
-‫الگوریتم‬‫قیمت‬ ‫و‬ ‫شاخه‬‫ستون‬ ‫تولید‬ ‫روش‬ ‫و‬ ،‫حد‬ ‫و‬ ‫شاخه‬ ‫راهبرد‬ ‫از‬ ‫ترکیبی‬ ‫توان‬‫می‬ ‫را‬‫دانست‬.
-‫صحیح‬ ‫عدد‬ ‫ریزی‬‫برنامه‬ ‫مسائل‬ ‫حل‬ ‫برای‬ ‫قیمت‬ ‫و‬ ‫شاخه‬ ‫الگوریتم‬IP‫بزرگ‬ ‫های‬‫مقیاس‬ ‫در‬(‫باالی‬ ‫تعداد‬
‫متغیرها‬)‫رود‬‫می‬ ‫کار‬ ‫به‬.
12
‫و‬ ‫تکمیل‬
‫گسترش‬
‫برش‬ ‫و‬ ‫شاخه‬Branch and Cut
‫قیمت‬ ‫و‬ ‫شاخه‬Branch and Price

13. ‫قیمت‬ ‫و‬ ‫شاخه‬ 13
1-‫کمک‬ ‫با‬ ‫سپس‬ ‫کنیم‬‫می‬ ‫فرموله‬ ‫را‬ ‫مسئله‬ ‫ابتدا‬ ‫در‬‫تجز‬ ‫روش‬‫دانزیک‬ ‫یه‬
‫ولف‬‫شکل‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫آن‬‫یک‬MP‫کنیم‬‫می‬ ‫فرموله‬ ‫مجددا‬.
2-‫نمایی‬ ‫تعداد‬ ‫دلیل‬ ‫به‬ ‫قبل‬ ‫مرحله‬ ‫طریق‬ ‫از‬ ‫شده‬ ‫تولید‬ ‫مسئله‬‫ها‬‫ستون‬
‫س‬ ‫یک‬ ‫تنها‬ ‫گرفتن‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫با‬ ‫پس‬ ،‫شود‬ ‫حل‬ ‫مستقیما‬ ‫تواند‬‫نمی‬‫به‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫تون‬
RMP‫کنیم‬‫می‬ ‫تبدیل‬.
3-RMP‫طریق‬ ‫از‬Relaxation‫یک‬ ‫و‬ ‫صفر‬ ‫صحیح‬ ‫مسئله‬ ‫یک‬ ‫از‬‫به‬
‫حل‬ ‫آن‬ ‫های‬‫مسئله‬ ‫زیر‬ ‫و‬ ‫شده‬ ‫تبدیل‬ ‫خطی‬ ‫ریزی‬‫برنامه‬ ‫مسئله‬ ‫یک‬‫شوند‬‫می‬.

14. ‫قیمت‬ ‫و‬ ‫شاخه‬ 14
-‫یک‬ ،‫مسئله‬ ‫زیر‬ ‫هر‬ ‫الگوریتم‬ ‫این‬ ‫در‬«‫گذاری‬ ‫قیمت‬ ‫مسئله‬»‫یا‬
Pricing Problem‫است‬.
-‫مسئل‬ ‫به‬ ‫جدید‬ ‫های‬‫ستون‬ ‫کردن‬ ‫وارد‬ ‫برای‬ ‫گذاری‬ ‫قیمت‬ ‫مسائل‬‫حل‬ ‫اصلی‬ ‫ه‬
‫شوند‬‫می‬.
-‫بی‬ ‫با‬ ‫ستونی‬ ‫حتما‬ ‫نیست‬ ‫نیازی‬ ‫چون‬ ،‫مسائل‬ ‫زیر‬ ‫حل‬ ‫برای‬‫کاهش‬ ‫شترین‬
‫جستج‬ ‫های‬‫الگوریتم‬ ‫از‬ ‫توان‬‫می‬ ،‫باشیم‬ ‫داشته‬ ‫را‬ ‫منفی‬ ‫هزینه‬‫یا‬ ‫محلی‬ ‫وی‬
‫کرد‬ ‫استفاده‬ ‫هیورستیک‬.

15. ‫مسئله‬GAP‫طریق‬ ‫از‬Branch & Price 15
-‫یا‬ ‫یافته‬ ‫تعمیم‬ ‫تخصیص‬ ‫مسئله‬GAP‫ص‬ ‫صحیح‬ ‫ریزی‬‫برنامه‬ ‫حوزه‬ ‫در‬ ‫کاربردی‬ ‫بسیار‬ ‫مسئله‬ ‫یک‬‫و‬ ‫فر‬
‫است‬ ‫یک‬.
-‫مسئله‬GAP‫و‬ ‫ترکیبی‬ ‫سازی‬‫بهینه‬ ‫از‬ ‫ای‬‫مسئله‬NP-Hard‫است‬.
‫خواهیم‬‫می‬n‫به‬ ‫را‬ ‫وظیفه‬m‫یه‬ ‫باید‬ ،‫دهیم‬ ‫تخصیص‬ ‫ماشین‬
‫شده‬ ‫ماکزیمم‬ ‫وظیفه‬ ‫هر‬ ‫سود‬ ‫که‬ ‫دهیم‬ ‫انجام‬ ‫را‬ ‫کار‬ ‫این‬ ‫شکلی‬(‫مینمم‬
‫ها‬‫هزینه‬ ‫کردن‬)‫یک‬ ‫به‬ ‫دقیقا‬ ‫وظیفه‬ ‫هر‬ ‫که‬ ‫شکلی‬ ‫به‬ ،‫و‬ ‫شود‬ ‫داده‬ ‫ماشین‬
‫بگیرد‬ ‫وظیفه‬ ‫خود‬ ‫ظرفیت‬ ‫اندازه‬ ‫به‬ ‫ماشین‬ ‫هر‬.

16. ‫مراحل‬‫حل‬GAP 16

17. ‫حل‬ ‫مراحل‬GAP 17

18. ‫برای‬ ‫مطرح‬ ‫مسائل‬ ‫دیگر‬Branch and Price
-‫ها‬‫گراف‬ ‫آمیزی‬ ‫رنگ‬
-‫خودروها‬ ‫مسیریابی‬ ‫مسئله‬
18