Downloaded 39 times
![(3.15)
Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôçò áðïìáêñýíóåùò x, óõíáñôÞóåé ôïõ ÷ñüíïõ
t, ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ b (b1 < b2 < b3 < b4 ) ðñïêýðôïõí ìå ôç âïÞèåéá
ôçò (3.13) êáé åßíáé áõôÝò ôïõ ó÷Þìáôïò 3.13.
Aðü ôéò ó÷Ýóåéò (3.13) åîÜãïíôáé ôá åîÞò óõìðåñÜóìáôá.
á) Ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò ìåéþíåôáé åêèåôéêÜ ìå ôï
÷ñüíï . Ôï ðüóï ãñÞãïñá ìåéþíåôáé åîáñôÜ-
ôáé áðü ôç óôáèåñÜ b. Ãéá ìåãáëýôåñåò ôéìÝò ôçò b ç
áðüóâåóç ãßíåôáé ôá÷ýôåñá.
â) Ç ðåñßïäïò
åîáñôÜôáé áðü ôç óôáèåñÜ b êáé ìÜëéóôá, üóï ìåãáëýôåñç
åßíáé ç óôáèåñÜ b, ôüóï ìåãáëýôåñç åßíáé ç ðåñßïäïò.
Áõóôçñþò ìáèçìáôéêÜ ç x(t) äåí åßíáé ðåñéïäéêÞ
óõíÜñôçóç [x (t + T) ≠ x (t) ãåíéêÜ], üìùò èåùñïýìå üôé ç
ðåñéïäéêüôçôá ðñïêýðôåé áðü ôïí áñìïíéêü üñï
cos (ù~t + ö) êáé üôé ôï ðëÜôïò áðëþò ìåéþíåôáé ìå ôï
÷ñüíï. Ç êßíçóç ïíïìÜæåôáé øåõäïðåñéïäéêÞ êáé ôï Ô′
ïíïìÜæåôáé øåõäïðåñßïäïò. ÁõôÜ Ý÷ïõí íüçìá, áí ç
áðüóâåóç äåí åßíáé ðïëý ìåãÜëç.
ã) Áí Ý÷ïõìå
ôüôå ç ù~ äåí Ý÷åé ðñáãìáôéêÝò ôéìÝò êáé ç êßíçóç, üðùò
áðïäåéêíýåôáé, åßíáé ìç ðåñéïäéêÞ. Ó'áõôÞ ôç ðåñßðôùóç,
áí ôï óþìá áöåèåß áðü ìéá áñ÷éêÞ áðïìÜêñõíóç,
âáèìéáßá öèÜíåé óôçí éóïññïðßá ÷ùñßò íá ôçí
ðñïóðåñÜóåé (áí äåí Ý÷åé áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá) Þ èá ôçí
ðñïóðåñÜóåé ôï ðïëý ìéá ìüíï öïñÜ (áí Ý÷åé êáôÜëëçëç
áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá).
ÐáñÜäåéãìá 3-3
Ãéá ìéá óöáßñá, áêôßíáò R ≈ ð cm, ï óõíôåëåóôÞò
áðüóâåóçò b, ãéá ôçí êéíçóÞ ôçò óå íåñü èåñìïêñáóßáò
20 ï
C, åßíáé
Âõèßæïõìå åî ïëïêëÞñïõ óå íåñü ìéá óõìðáãÞ óöáßñá áðü áëïõìßíéï
áêôßíáò ð cm, ç ïðïßá ôáõôü÷ñïíá åßíáé êñåìáóìÝíç áðü ôçí Üêñç
åëáôçñßïõ óôáèåñÜò . ÅêôñÝðïõìå áðü ôçí èÝóç éóïññïðßáòk = 36
N
m
b = ×
⋅−
6 0 10 4
,
N s
m
ù
b
m
2
2
2
4
<
′ =
′
=
−
T
ù
ù
b
m
2 2
4
2
2
2
ð ð
a A et
ë t
= −
e j
A A et
ë t
= −
ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 11
Ó×ÇÌÁ 3.13
ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò x(t) ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ óõíôåëåóôÞ
áðüóâåóçò b (b1 < b2 < b3 < b4).](https://image.slidesharecdn.com/random-160918144836/85/slide-27-320.jpg)
![ÄçëáäÞ Ý÷ïõìå
x = (A1 − A2 ) cos ùt áí Á1 > Á2 Þ
x = (A2 − A1 ) cos (ùt + ð) áí Á1<Á2
Ó÷Þìáôá 3.25á êáé 3.25â
ÐáñÜäåéãìá 3-6
¸íá óùìÜôéï åêôåëåß óõã÷ñüíùò ôéò ôáëáíôþóåéò x1 = 3 cos 3 t êáé
(x1 , x2 óå m, t óå s). ÐïéÜ åßíáé ç óõíéóôáìÝíç êßíçóç.
ÁðÜíôçóç
Åßíáé
x = x1 + x2 = A cos (ùt + è)
üðïõ
Þ
(ó÷Þìá 3.26)
Åðßóçò
¢ñá
ÅðïìÝíùò åßíáé
[x óå m, t óå s]
ÐáñÜäåéãìá 3-7
¸íá óþìá åêôåëåß óõã÷ñüíùò ôéò ôáëáíôþóåéò x1 = 5 cos 100t êáé
[S.I.]. Íá âñåßôå ôç óõíéóôáìÝíç êßíçóç ôïõ óþìáôïò.x t2 5 100= −
F
HG I
KJsin
ð
6
x t= +
F
HG I
KJ3 2 cos 3
ð
4
è =
ð
4
tanè
Á
Á
= = =2
1
3
3
1
A = 3 2
A A A A A Á Á= + + = +1
2
2
2
1 2 1
2
2
2
2 cos
ð
2
x t2 3= +
F
HG I
KJcos 3
ð
2
ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 25
Ó×ÇÌÁ 3.25á Ó×ÇÌÁ 3.25â
Óýíèåóç ôáëáíôþóåùí ìå äéáöïñÜ öÜóçò ð.
Ó×ÇÌÁ 3.26](https://image.slidesharecdn.com/random-160918144836/85/slide-41-320.jpg)
![ÁðÜíôçóç
Åßíáé
Þ
[x2 óå m, t óå s]
¢ñá ïé äýï ôáëáíôþóåéò Ý÷ïõí äéáöïñÜ öÜóçò ìå ôï Á1 íá
ðñïçãåßôáé. ÅðïìÝíùò åßíáé Á1 = 5 m, Á2 = 5 m êáé . ¢ñá
(äåò Ó÷. 3.27)
ÅðåéäÞ ôï ðáñáëëçëüãñáìï åßíáé ñüìâïò Ý÷ïõìå . Óõíåðþò
â) Óýíèåóç ôáëáíôþóåùí äéáöïñåôéêÞò óõ÷íüôçôáò
ÅíäéáöÝñïí ðáñïõóéÜæåé ç ðåñßðôùóç óýíèåóçò äýï ôáëáíôþóåùí êáôÜ
ôçí ïðïßá ôá äýï ðëÜôç åßíáé ßóá äçë. Á1 = Á2 = Á êáé ïé óõ÷íüôçôåò f1
êáé f2 äéáöÝñïõí åëÜ÷éóôá. ÄçëáäÞ f1 ≈ f2 üìùò f1 ≠ f2. Ôüôå Ý÷ïõìå
x = x1 + x2 = A cos ù1 t + A cos ù2 t = A (cos ù1 t + cos ù2 t) Þ
Þ
(3.34)
üðïõ ç êõêëéêÞ óõ÷íüôçôá
(ù1 > ù2 )
ëÝãåôáé óõ÷íüôçôá äéáìüñöùóçò êáé ç óõ÷íüôçôá
åßíáé ç óõ÷íüôçôá ôçò ôáëÜíôùóçò.
Ç ðïóüôçôá Át = 2A cosùmod t ëÝãåôáé äéáìïñöùìÝíï ðëÜôïò. Ç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ôïõ x(t), óõíáñôÞóåé ôïõ t, ðñáãìáôïðïéåßôáé áí êÜíïõìå
îå÷ùñéóôÜ ôá ãñáöÞìáôá ôïõ At êáé ôïõ cos ùav t êáé óôç óõíÝ÷åéá
ó÷åäéÜóïõìå ôï ãéíüìåíü ôïõò.
ù
ù ù
ù ùav =
+
≈ ≈1 2
1 2
2
ù
ù ù
mod =
−1 2
2
x A ù t ù t= 2 cos cosmod av
x A
ù ù t ù ù t
=
− +
2
2 2
1 2 1 2
cos cos
b g b g
x t= −
F
HG I
KJ5cos 100
ð
3
è =
ð
3
A A A A A ö= + + = + + × × +
F
HG I
KJ =1
2
2
2
1 2
2 2
2 5 5 2 5 5
1
2
5cos m m
ö =
2ð
3
2ð
3
rad
x t2 5
2
= −
F
HG I
KJcos 100
ð
3
x t t2 5 5 100
6
= −
F
HG I
KJ = − −
F
HG I
KJsin 100
ð
6
cos
ð ð
2
26 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ
Ó×ÇÌÁ 3.27](https://image.slidesharecdn.com/random-160918144836/85/slide-42-320.jpg)
![AðÜíôçóç
Ç óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ åßíáé
y = y1 + y2
¼ìùò
Þ
¢ñá
Þ
Þ
[y, x óå cm, t óå s]
Óõíåðþò, ç óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ åßíáé êýìá ðëÜôïõò êáé
ïäåýåé ðñïò ôç èåôéêÞ öïñÜ ôïõ Üîïíá x.
ÓÔÁÓÉÌÁ ÊÕÌÁÔÁ
Éäéáßôåñï åíäéáöÝñïí ðáñïõóéÜæåé ôï öáéíüìåíï ôçò åðáëëçëßáò äýï
áñìïíéêþí ïäåýïíôùí êõìÜôùí ðïõ äéáäßäïíôáé óå áíôßèåôåò êáôåõèýíóåéò.
Áðü ôç óõìâïëÞ áõôþí ôùí êõìÜôùí ðñïêýðôåé óõíéóôÜìåíï êýìá ðïõ
ëÝãåôáé óôÜóéìï êýìá. ÊáôÜ ôçí áíÜëõóÞ ìáò, õðïèÝôïõìå üôé äåí õðÜñ÷ïõí
áðþëåéåò åíÝñãåéáò.
ÓÔÁÓÉÌÁ ÊÕÌÁÔÁ ÓÅ ×ÏÑÄÇ
Áò õðïèÝóïõìå üôé ìéá ÷ïñäÞ åßíáé áêëüíçôá óôåñåùìÝíç óôï Ýíá Üêñï
ôçò (x = 0) êáé åðåêôåßíåôáé äåîéÜ ôçò èÝóçò áõôÞò ìÝ÷ñé ôï Üðåéñï, üðùò
óôï ó÷Þìá 3.61. Áí Ýíá áñìïíéêü êýìá äéáäßäåôáé ðñïò ôá áñéóôåñÜ, ç
äéáôáñá÷Þ ôïõ åßíáé
y1 = A0 sin(ùt + kx)
5 3 cm 8,66 cm≈
y x t= − +
F
HG I
KJ5 3 4 2
6
sin
ð
y x t= − +
F
HG I
KJ10 4 2
6
cos
ð
6
sin
ð
y x t x t= − + − +
F
HG I
KJ5 4 2 5 4 2
3
sin sin
ð
b g
y x t2 5 4 2
3
= − +
F
HG I
KJsin
ð
y t x t x2 5 2 4 5
2
2 4
6
= − +
F
HG I
KJ = − + −
L
NM O
QPcos
ð
6
sin
ð ð
KYMATA 61
Ó×ÇÌÁ 3.61
Áñìïíéêü êýìá äéáäéäüìåíï ðñïò ôá áñéóôåñÜ ðñïóðßðôåé óôï áêëüíçôï Üêñï
Ôï áíáêëþìåíï åñìïíéêü êýìá äéáäßäåôáé ðñïò ôá äåîéÜ](https://image.slidesharecdn.com/random-160918144836/85/slide-77-320.jpg)
![Ôï áíáêëþìåíï, óôç èÝóç x = 0, êýìá äéáäßäåôáé ðñïò ôá äåîéÜ êáé üðùò
Ý÷ïõìå äåé, åßíáé
y2 = −Á0 sin(ùt − kx)
Ç óõíéóôáìÝíç äéáôáñá÷Þ (åðáëëçëßá) åßíáé
y = y1 + y2 = A0 [sin(ùt + kx) − sin(ùt − kx)]
Ìå ôç âïÞèåéá ôçò ôñéãùíïìåôñéêÞò ôáõôüôçôáò
Ý÷ïõìå
(3.48)
Ôï áðïôÝëåóìá äåí åßíáé ìéá ïäåýïõóá äéáôáñá÷Þ, Üñá äåí åßíáé êýìá ìå
ôç óõíÞèç Ýííïéá. ÏíïìÜæåôáé, êáôá÷ñçóôéêþò, óôÜóéìï êýìá. Åßíáé áñìïíéêÞ
ôáëÜíôùóç ìå äéáöïñåôéêü ðëÜôïò óå êÜèå óçìåßï, ôï ïðïßï äßíåôáé áðü ôç
ó÷Ýóç
Á(x) = 2 A0 ⏐sinkx⏐ (3.49)
Ôá óçìåßá xê ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé
sin kxê = ±1 Þ Þ
(3.50)
üðïõ n = 0, 1, 2, ...
åêôåëïýí ôáëáíôþóåéò ìå ìÝãéóôï ðëÜôïò 2Á0 êáé ïíïìÜæïíôáé êïéëßåò Þ
áíôéäåóìïß.
Ôá óçìåßá xä , ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé
sin kxä = 0 Þ kxä = nð Þ
(3.51)
üðïõ n = 0, 1, 2, ...
åêôåëïýí ôáëáíôþóåéò ìå ðëÜôïò ìçäÝí, åßíáé äçëáäÞ
äéáñêþò áêßíçôá êáé Ý÷ïõìå äåóìïýò (Ó÷. 3.62). Ôá
óçìåßá áñéóôåñÜ êáé äåîéÜ áðü ôïõò åíäéÜìåóïõò
äåóìïýò êéíïýíôáé ìå áíôßèåôåò öÜóåéò.
Áí ìéá ÷ïñäÞ, ç ïðïßá åßíáé áêëüíçôá óôåñåùìÝíç
êáé óôá äýï Üêñá ôçò x = 0, x = L äéáôáñá÷èåß êáé
áöåèåß åëåýèåñç íá ôáëáíôþíåôáé, ôüôå ðáñÜãïíôáé ó'
áõôÞ óôÜóéìá êýìáôá (Ó÷. 3.63 - 64). Óôçí ðåñßðôùóç
áõôÞ, åêôüò áðü ôç óõíèÞêç y = 0 óôç èÝóç x = 0,
Ý÷ïõìå êáé ôç óõíèÞêç y = 0 óôç èÝóç x = L. Áðü ôç
ó÷Ýóç (3.48) ðñïêýðôåé,
2A0 sinkLcos ùt = 0 Þ sin kL = 0 Þ kL=nð
x n
ë
ä =
2
x n
ë ë
ê = +
2 4
k x nê = +ð
ð
2
y = 2 A0 sin kx cos ùt
sin sin sin cosá â
á â á â
− =
− +
2
2 2
62 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ
Ó×ÇÌÁ 3.62
Óôá óçìåßá á2, â2, ã2,... ç ôáëÜíôùóç ãßíåôáé ìå ìÝãéóôï ðëÜôïò êáé Ý÷ïõìå
êïéëßåò. Óôá óçìåßá á1, â1, ã1,... ç ôáëÜíôùóç Ý÷åé äéáñêþò ðëÜôïò ìçäÝí êáé
Ý÷ïõìå äåóìïýò.](https://image.slidesharecdn.com/random-160918144836/85/slide-78-320.jpg)
![¼ìïéá êáé ðñÝðåé
Þ
êÜíïíôáò ôçí ßäéá äéáäéêáóßá âñßóêïõìå
á = 1, â = 0, ã = 2
¢ñá
H áêñéâÞò ôéìÞ åßíáé
(4.25)
Ãéá äéÜöïñåò ãåùìåôñéêÝò ìïñöÝò áðïäåéêíýåôáé üôé ï C2 äßíåôáé áðü ôç
ó÷Ýóç
(4.26)
üðïõ Cáí åßíáé ï óõíôåëåóôÞò áíôßóôáóçò, ï ïðïßïò åîáñôÜôáé áðü ôï ó÷Þìá
ôïõ óþìáôïò êáé êõñßùò áðü áõôü ôïõ ðßóù ìÝñïõò ôïõ, ìéêñáßíïíôáò áñêåôÜ
üôáí ôï óþìá Ý÷åé áåñïäõíáìéêÞ (é÷èõþäç) ìïñöÞ. Óôï ó÷Þìá 4.26 äßíåôáé
Ýíá ìÝôñï óýãêñéóçò ôïõ Cáí ãéá äéÜöïñá ãåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá.
Á: ç ìåôùðéêÞ åðéöÜíåéá ôïõ óþìáôïò, äçëáäÞ ç ìÝãéóôç äéáôïìÞ ôïõ
óþìáôïò, ç ïðïßá åßíáé êÜèåôç óôçí ôá÷ýôçôÜ ôïõ.
ñ: ç ðõêíüôçôá ôïõ ñåõóôïý.
ÐáñáôÞñçóç: ¼ôáí êéíåßôáé ôï ñåõóôü êáé ôï óþìá åßíáé áêßíçôï, ç
ôá÷ýôçôá õ óôïõò ðñïçãïýìåíïõò ôýðïõò åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ ñåõóôïý. Áí
êéíïýíôáé êáé ôï óþìá êáé ôï ñåõóôü, ôüôå ç ôá÷ýôçôá åßíáé ç ó÷åôéêÞ ôïõò
ôá÷ýôçôá. Åðßóçò, ç ñïÞ ãýñù áðü ôï óþìá, óôçí ðåñßðôùóç ôïõ íüìïõ ôïõ
Stokes, ðñÝðåé íá åßíáé óôñùôÞ.
ÐáñÜäåéãìá 4-4
Óöáéñéêü óþìá áêôßíáò R = 10 cm êáé ìÜæáò m = 2,0 kg áöÞíåôáé íá ðÝóåé
áðü áñêåôü ýøïò. Íá õðïëïãéóôåß ç ïñéáêÞ ôá÷ýôçôá ðïõ áðïêôÜ ôï óþìá.
Èåùñåßóôå óõíåéóöïñÜ óôçí äýíáìç áíôßóôáóçò ìüíï áðü ôïí üñï C2õ2
.
ÁðÜíôçóç
Êáèþò ôï óþìá ðÝöôåé, áóêïýíôáé ó’ áõôü ôï âÜñïò êáé ç áíôßóôáóç ôïõ
áÝñá. Áñ÷éêÜ ôï âÜñïò åßíáé ìåãáëýôåñï êáé ôï óþìá åðéôá÷ýíåôáé. Ç
áýîçóç ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ óþìáôïò óõíåðÜãåôáé áýîçóç êáé ôçò áíôßóôáóçò
ôïõ áÝñá. Ç ôá÷ýôçôá áðïêôÜ ôçí ïñéáêÞ ôçò ôéìÞ üôáí ïé äõíÜìåéò ãßíïõí
ßóåò êáôÜ ìÝôñï, äçëáäÞ
Fáí = mg Þ
Þ Üñá
Þ õïñ = 43 ms-1
õïñ
1
m s= ×
×
×
−2
0 1
2 0 9 8
3 14 1 3,
, ,
, ,
õ
R
m g
ïñ
ð
=
2
ñ
ð
4
ïñ
2
ñ R õ m g2
=
C C Á2
2
2
= áí
ñ
C R2
2
=
ð
4
ñ
C R2
2
∝ ñ
ñ
á â ã 2
ç R õ F=[ ] [ ]C õ F2
2
=
C ç R2 ∝ ñ á â ã
110 MHXANIKH
Ó×ÇÌÁ 4.26
Óýãêñéóç óõíôåëåóôþí áíôßóôáóçò ãéá
äéÜöïñá ãåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá.
Ó×ÇÌÁ 4.27](https://image.slidesharecdn.com/random-160918144836/85/slide-126-320.jpg)
![ÏÉ ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÔÏÕ ÃÁËÉËÁÉÏÕ
~Åíá öõóéêü ãåãïíüò åßíáé êÜôé ðïõ óõìâáßíåé (ð.÷. ìéá Ýêñçîç, ôï Üíáìá
åíüò ìéêñïóêïðéêïý ëáìðôÞñá, ç óýãêñïõóç äýï óùìáôéäßùí, ôï ðÝñáóìá
åíüò ðáëìïý öùôüò áðü êáèïñéóìÝíï óçìåßï ê.ëð.). Ãéá íá ðåñéãñÜøïõìå
Ýíá ôÝôïéï öõóéêü ãåãïíüò ïñßæïõìå Ýíá áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò
(Ïxyz) ùò ðñïò ôï ïðïßï éó÷ýïõí ïé íüìïé ôïõ Íåýôùíá. ÊÜèå ãåãïíüò
óõìâáßíåé óå êÜðïéá èÝóç (x, y, z) êáé êÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t. Öáíôáæüìáóôå
üôé óôï óýóôçìá áíáöïñÜò âñßóêåôáé êÜðïéïò ðáñáôçñçôÞò, ï ïðïßïò
ðñïóäéïñßæåé ôï ãåãïíüò ùò ðñïò áõôü ôï óýóôçìá (Ó÷. 4.103).
Áò åîåôÜóïõìå ôé ãßíåôáé üôáí Ý÷ïõìå äéáöïñåôéêÜ áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá
áíáöïñÜò (ìå ó÷åôéêÞ êßíçóç ìåôáîý ôïõò). ÈÝëïõìå íá äïýìå, ðþò
ìåôáó÷çìáôßæïíôáé ïé óõíôåôáãìÝíåò êáé ï ÷ñüíïò åíüò ãåãïíüôïò, üôáí
ðáñáôçñåßôáé áðü äõï äéáöïñåôéêÜ áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. Ôï Ýíá
óýóôçìá åßíáé ôï Ê êáé ôï Üëëï ôï Ê~. Ãéá åõêïëßá, äéáëÝãïõìå ôïõò Üîïíåò
Ýôóé, þóôå ïé Üîïíåò Ïx êáé Ï~x~ íá âñßóêïíôáé êáôÜ ìÞêïò ôçò åõèåßáò ôçò
ó÷åôéêÞò êßíçóçò (âëÝðå Ó÷. 4.104) êáé ïé Üîïíåò Ïy êáé Ï~y~ íá åßíáé
ðáñÜëëçëïé ìåôáîý ôïõò üðùò êáé ï Oz ìå ôïí Ï~z~. Èá õðïèÝóïõìå áêüìá
üôé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t~ = t = 0, ïé áñ÷Ýò ôùí áîüíùí ôùí Ê, Ê~ óõìðßðôïõí
Ýôóé þóôå, áí u åßíáé ç óôáèåñÞ (ó÷åôéêÞ) ôá÷ýôçôá ôïõ Ê~ ùò ðñïò ôï Ê, íá
éó÷ýåé (ÏÏ~) =
→
ut. Áí äéáëÝîïõìå ôéò ßäéåò êëßìáêåò ãéá ôá ìÞêç, óôá äõï
óõóôÞìáôá áíáöïñÜò, èá Ý÷ïõìå, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá (4.104), ôéò åðïìÝíåò
åîéóþóåéò ìåôáó÷çìáôéóìïý, ðïõ óõíäÝïõí ôéò óõíôåôáãìÝíåò (x~, y~, z~, t~) ìå
ôéò óõíôåôáãìÝíåò (x, y, z, t).
(4.73)
Ïé ó÷Ýóåéò áõôÝò åßíáé ãíùóôÝò ùò ìåôáó÷çìáôéóìïß ôïõ Ãáëéëáßïõ. Óýìöùíá
ìå ôçí ðáñáäï÷Þ ôçò êëáóéêÞò ìç÷áíéêÞò, ï ÷ñüíïò åßíáé ï ßäéïò ãéá üëá ôá
óõóôÞìáôá, ïðüôå éó÷ýåé t = t~. Ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß ôïõ Ãáëéëáßïõ äåß÷íïõí
ðþò ìåôáó÷çìáôßæïíôáé ïé èÝóåéò êáé ïé ÷ñüíïé ãåãïíüôùí, áðü áäñáíåéáêü
óå áäñáíåéáêü óýóôçìá.
ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÓ ÔÁ×ÕÔÇÔÁÓ ÊÁÉ ÏÑÌÇÓ
Áò õðïèÝóïõìå üôé Ýíá êéíçôü êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá
→
õ (õx , õy , õz ) ùò ðñïò
ôï óýóôçìá Ê. Ôï óýóôçìá Ê~ êéíåßôáé ùò ðñïò ôï Ê ìå ôá÷ýôçôá
→
u (u, 0,
0). Ç ôá÷ýôçôá
→
õ´ ôïõ êéíçôïý ùò ðñïò ôï Ê~ èá âñåèåß ìå ÷ñÞóç ôùí
ìåôáó÷çìáôéóìþí Ãáëéëáßïõ. Öáíôáæüìáóôå üôé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t ôï êéíçôü
åßíáé óôç èÝóç (x, y, z) êáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t + Ät óôç èÝóç (x + Äx, y + Äy,
z + Äz). Áðü ôï óýóôçìá Ê~ (ï áíôßóôïé÷ïò ðáñáôçñçôÞò) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ
t~ = t èá âëÝðåé ôï êéíçôü óôç èÝóç (x~ = x − ut, y~ = y, z~ = z) êáé ôç ÷ñïíéêÞ
óôéãìÞ t~ + Ät~ = t + Ät óôç èÝóç [x~ + Äx~ = x + Äx − u (t + Ät),
y~ + Äy~ = y + Äy, z~ + Äz~ = z + Äz].
Ðñïöáíþò Äx~ = Äx − uÄt
Äy~ = Äy
Äz~ = Äz
Ät~ = Ät
Üñá
äçëáäÞ õ~x = õx − u
Ä
Ä
Ä
Ä
′
′
= −
x
t
x
t
u
x´ = x − ut, y´ = y, z´ = z, t´ = t
ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 189
Ó×ÇÌÁ 4.103
Óýóôçìá áíáöïñÜò ìå ñïëüú ãéá ìÝôñçóç
ôïõ ÷ñüíïõ.
Ó×ÇÌÁ 4.104
¸íá öõóéêü ãåãïíüò óõìâáßíåé óå Ýíá
óçìåßï P. Ôï ãåãïíüò áõôü ðáñáôçñåßôáé
áðü äýï ðáñáôçñçôÝò ðïõ âñßóêïíôáé óôá
áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá Ê, Ê′. Ôï óýóôçìá
Ê′ êéíåßôáé ùò ðñïò ôï Ê ìå ôá÷ýôçôá
→
u.](https://image.slidesharecdn.com/random-160918144836/85/slide-205-320.jpg)
![â) Áí âñßóêåôáé óôçí ðåñéï÷Þ Ðt x
Þ ìÝóù ôùí (4.96) êáé (4.97) Ý÷ïõìå
(4.99)
Áí óõã÷ùíåýóïõìå ôéò ó÷Ýóåéò (4.98) êáé (4.99) ðáßñíïõìå ôç ãåíéêÞ ó÷Ýóç
(4.100)
ÓõìðåñáóìáôéêÜ, ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôç óõ÷íüôçôá f ~, ðïõ áíôéëáìâÜíåôáé
ðáñáôçñçôÞò Þ äÝêôçò (Ä), ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá
→
uÄ, ó÷åôéêÜ ìå ðçãÞ,
ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá
→
uÐ , áñêåß íá õðïëïãßóïõìå ôéò ó÷åôéêÝò ôá÷ýôçôåò
ðáñáôçñçôÞ êáé Þ÷ïõ êáé ðçãÞò êáé Þ÷ïõ, üðùò öáßíåôáé óôç ó÷Ýóç (4.100).
ÐñÝðåé íá óçìåéþóïõìå üôé õðÜñ÷åé êáé ç ðåñßðôùóç ôçò êßíçóçò ôïõ ìÝóïõ
óôï ïðïßï äéáäßäåôáé ôï êýìá (ð÷. áÝñáò), ôüôå ìðïñïýìå íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå
áíôß ôçò ôá÷ýôçôáò
→
õ ôïõ êýìáôïò ùò ðñïò ôï áêßíçôï ìÝóï, ôçí áíôßóôïé÷ç
áðüëõôç ôá÷ýôçôá ôïõ êýìáôïò: õ′ = õ ± õìÝóï [(+) üôáí ç
→
õ êáé ç
→
õìÝóï åßíáé
ïìüññïðåò êáé (−) üôáí ç
→
õ êáé ç
→
õìÝóï åßíáé áíôßññïðåò]. Ìðïñïýìå íá
åñãáóôïýìå êáé ìå Üëëï ôñüðï, íá ðÜìå óôï óýóôçìá çñåìßáò ôïõ ìÝóïõ, ïðüôå
èá Ýðñåðå íá ìåôáó÷çìáôéóôïýí êáôÜëëçëá ïé ôá÷ýôçôåò ðçãÞò êáé äÝêôç.
ÅÉÄÉÊÅÓ ÐÅÑÉÐÔÙÓÅÉÓ
Á. ~Ïôáí ç ðçãÞ åßíáé áêßíçôç êáé êéíåßôáé ï ðáñáôçñçôÞò ìå ôá÷ýôçôá
→
uÄ, ðëçóéÜæïíôáò ôçí ðçãÞ Þ áðïìáêñõíüìåíïò áðü áõôÞí, áíôéëáìâÜíåôáé
óõ÷íüôçôåò
Þ
áíôßóôïé÷á (4.101)
Ðñïöáíþò ôï ìÞêïò êýìáôïò ë ðáñáìÝíåé áìåôÜâëçôï êáé óôéò äýï
ðåñéðôþóåéò ðïõ ç ðçãÞ åßíáé áêßíçôç.
Ó÷üëéá: 1) Áí uÄ > õ, áðü ôçí (4.101) Ý÷ïõìå f ~~< 0, ãåãïíüò ðïõ óçìáßíåé
üôé ôá ç÷çôéêÜ êýìáôá äå öôÜíïõí óôïí ðáñáôçñçôÞ.
2) Áðü ôéò ðáñáðÜíù ó÷Ýóåéò ðáñáôçñïýìå üôé, üôáí ï ðáñáôçñçôÞò
ðëçóéÜæåé ôçí áêßíçôç ðçãÞ, áíôéëáìâÜíåôáé Þ÷ï ìåãáëýôåñçò óõ÷íüôçôáò
(ïîýôåñï), åíþ üôáí áðïìáêñýíåôáé áðü ôçí ðçãÞ, áíôéëáìâÜíåôáé Þ÷ï
ìéêñüôåñçò óõ÷íüôçôáò (âáñýôåñï).
Â. ~Ïôáí ï ðáñáôçñçôÞò åßíáé áêßíçôïò êáé êéíåßôáé ç ðçãÞ, ìå ôá÷ýôçôá
→
uÐ, ðëçóéÜæïíôÜò ôïí Þ áðïìáêñõíüìåíç áðü áõôüí, áíôéëáìâÜíåôáé
óõ÷íüôçôåò:
′′ =
−
f f
õ u
õ
Ä
′ =
+
f f
õ u
õ
Ä
′ =
±
±
f
õ u
õ u
fÄ
Ð
′′ =
±
−
f
õ u
õ u
fÄ
Ð
′′ =
′′
f
õ
ë
óx
ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 203](https://image.slidesharecdn.com/random-160918144836/85/slide-219-320.jpg)
![ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 211
(ã) óõìâáßíïõí ðÜíôá äýï êñïýóåéò áíåîÜñôçôá
ó÷Ýóåùò ìáæþí
(ä) óõìâáßíïõí ðÜíôá ôñåéò êñïýóåéò áíåîÜñôçôá
ó÷Ýóåùò ìáæþí
(å) èá óõìâïýí äýï êñïýóåéò ìüíï áí m = M
8
Óôçí åëáóôéêÞ ìåôùðéêÞ êñïýóç äýï ïìïãåíþí
óöáéñþí ìå ìÜæåò m1 êáé m2 üðïõ m2 åßíáé áñ÷éêÜ
áêßíçôç êáé ç m1 êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ
õ1 = 10 m/s
(á) ôç ìåãáëýôåñç ìåôáâïëÞ óôçí ïñìÞ ôçò óöáßñáò
m1 ôçí Ý÷ïõìå óôçí ðåñßðôùóç ðïõ m1 = m2
(â) áíåîÜñôçôá ó÷Ýóçò ìáæþí Ý÷ïõìå:
(ã) ç ôá÷ýôçôá ôçò m1 ìåôÜ ôçí êñïýóç ðáßñíåé
ôéìÝò óôï äéÜóôçìá [−20, +10] m/s
(ä) ç ìåãáëýôåñç ôéìÞ ðïõ ìðïñåß íá ðÜñåé ç
ôá÷ýôçôá ôçò óöáßñáò m2 ìåôÜ ôçí êñïýóç åßíáé
10 m/s
9
Äýï óöáßñåò ôçò ßäéáò ìÜæáò êéíïýíôáé ÷ùñßò ôñéâÝò
ðÜíù óôçí ßäéá åõèåßá ïñéæüíôéïõ åðéðÝäïõ. Áí
3,0 s ðñéí ôçí êñïýóç ôïõò áðÝ÷ïõí 0,45 m, åíþ
3,0 s ìåôÜ ôçí êñïýóç ôïõò áðÝ÷ïõí 0,36 m
(á) Ç êñïýóç ôùí äýï óöáéñþí åßíáé ôåëåßùò
åëáóôéêÞ
(â) Ç êñïýóç ôùí äýï óöáéñþí åßíáé áíåëáóôéêÞ
(ã) Ç êñïýóç ôùí äýï óöáéñþí åßíáé ôåëåßùò
áíåëáóôéêÞ (ðëáóôéêÞ).
10
ÊáôÜ ôçí ðëáóôéêÞ êñïýóç äýï óùìÜôùí
(á) Ç oëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôùí óùìÜôùí
ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ.
(â) Ç ïëéêÞ ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá ôùí óùìÜôùí
ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ.
(ã) Ç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá êáé ç ïñìÞ ôùí
óùìÜôùí åëáôôþíåôáé.
(ä) Ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí
óùìÜôùí åëáôôþíåôáé.
11
Ìéá âüìâá ìéêñïý âÜñïõò åêôïîåýåôáé êáôáêüñõöá
ðñïò ôá ðÜíù. Ôç óôéãìÞ ðïõ öôÜíåé óôï ìÝãéóôï
ýøïò äéáóðÜôáé óå ðÝíôå êïììÜôéá
(á) ç óõíïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôùí êïììáôéþí
åßíáé ìåãáëýôåñç ôçò áñ÷éêÞò
(â) ôï Üèñïéóìá ôùí ìÝôñùí ôùí ïñìþí ôùí
êïììáôéþí åßíáé ìçäÝí
(ã) ç ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò êáôÜ ôçí
Ýêñçîç äéáôçñåßôáé óôáèåñÞ
(ä) ç ïëéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò áõîÞèçêå
12
Äýï ìéêñÝò óöáßñåò ßóùí ìáæþí óõãêñïýïíôáé
ðëáóôéêÜ ìå ôá÷ýôçôåò ßóùí ìÝôñùí. Áí ôï
óõóóùìÜôùìÜ ôïõò Ý÷åé ôá÷ýôçôá ßóç êáôÜ ìÝôñï ìå
ôï ìéóü ôçò áñ÷éêÞò ôá÷ýôçôáò ôùí óöáéñþí, ôüôå ç
ìåôáîý ôùí áñ÷éêþí ôá÷õôÞôùí ãùíßá åßíáé:
(á) 60ï
(â) 120ï
(ã) 90ï
(ä) 180ï
(å) 0ï
13
Ãéá êñïýóç ìåôáîý äýï óöáéñþí, íá áíôéóôïé÷ßóåôå
ôá óôïé÷åßá ôçò áñéóôåñÞò óôÞëçò ìå áõôÜ ôçò äåîéÜò:
(Á) åëáóôéêÞ êñïýóç (á) 0 < e < 1
(Â) ðëáóôéêÞ êñïýóç (â) e = 0
(Ã) ÁíåëáóôéêÞ êñïýóç (ã) e > 1
(ä) e = 1
14
Ná áíôéóôïé÷ßóåôå ôá óôïé÷åßá ôçò áñéóôåñÞò óôÞëçò,
ðïõ áíáöÝñïíôáé óôéò áñ÷éêÝò óõíèÞêåò ìåôùðéêþí
åëáóôéêþí êñïýóåùí, äýï ïìïãåíþí åëáóôéêþí
óöáéñþí ìáæþí m1 êáé m2 êáé ôá÷õôÞôùí õ1 êáé õ2
áíôßóôïé÷á, ìå áõôÜ ôçò äåîéÜò óôÞëçò, ðïõ åßíáé ïé
ôá÷ýôçôåò ôùí óöáéñþí ìåôÜ ôçí êñïýóç.
(Á) m1 = m2 êáé õ2 = 0 (á) õ′1 = 0 õ′2 = õ1
(Â) m1 >> m2 êáé õ1 = 0 (â) õ′1 ≈ õ1 õ′2 ≈ 2õ1
(Ã) m1 >> m2 êáé õ2 = 0 (ã) õ′1 ≈ õ2 õ′2 ≈ 0
(Ä) m1 << m2 êáé õ1 = 0 (ä) õ′1 ≈ 0 õ′2 ≈ −õ2
(å) õ′1 ≈ −õ1 õ′2 ≈ 0
15
Ïé êáëýôåñïé åðéâñáäõíôÝò íåôñïíßùí åßíáé:
(á) ðõñÞíåò ïîõãüíïõ (16
8Ï)
(â) ðõñÞíåò Üíèñáêá (12
6C)
(ã) ðõñÞíåò õäñïãüíïõ (1
1Ç)
(ä) ðõñÞíåò äåõôåñïíßïõ (2
1 Ç)
16
Óå ìéá ìïíïäéÜóôáôç åëáóôéêÞ êñïýóç ìåôáîý ìéáò
ïìïãåíïýò óöáßñáò, ìÜæáò m1 êáé ìéáò ïìïãåíïýò
ÄP ÄP1 2
→ →
= −](https://image.slidesharecdn.com/random-160918144836/85/slide-227-320.jpg)
![212 MHXANIKH
óöáßñáò, ìÜæáò m2 , ðïõ áñ÷éêÜ çñåìåß, áíôéóôïé÷ßóôå
ôá óôïé÷åßá ôçò áñéóôåñÜò óôÞëçò, ðïõ áíáöÝñïíôáé
óôç ó÷Ýóç ìåôáîý ôùí ìáæþí, ìå ôá óôïé÷åßá ôçò
äåîéÜò óôÞëçò
(Á) 3m1 = m2 (á) Ç ìÜæá m2 áíáðçäÜ ìå ôç
ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá
(Â) m1 = m2 (â) Ç ìÜæá m2 áíáðçäÜ ìå ôç
ìåãáëýôåñç ïñìÞ
(Ã) m1 >> m2 (ã) Ç ìÜæá m2 áíáðçäÜ ìå ôç
ìåãáëýôåñç êéíçôéêÞ
åíÝñãåéá
(Ä) m1 << m2
17
Óöáßñá ìÜæáò m óõãêñïýåôáé åëáóôéêÜ êáé ðëÜãéá
ìå Üëëç üìïéá áêßíçôç óöáßñá. Áí ìåôÜ ôçí êñïýóç
ïé óöáßñåò öèÜíïõí ôáõôü÷ñïíá óôá óçìåßá à êáé
Ä, ôüôå ç ãùíßá ö åßíáé:
(á) 30ï
(â) 45ï
(ã) 60ï
[Ôï äÜðåäï åßíáé ÷ùñßò ôñéâÝò].
18
Óöáßñá ìÜæáò m êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ êáé
óõãêñïýåôáé åëáóôéêÜ êáé ðëÜãéá ìå Üëëç áêßíçôç
óöáßñá ìÜæáò 2 m. ÌåôÜ ôçí êñïýóç ç óöáßñá
ìÜæáò m êéíåßôáé óå äéåýèõíóç êÜèåôç ôçò áñ÷éêÞò.
Ç ãùíßá ðïõ ó÷çìáôßæåé ç äéåýèõíóç ôçò ôá÷ýôçôáò
→
õ′2 , ôçò óöáßñáò 2 m, ìåôÜ ôçí êñïýóç åßíáé:
(á) 30ï
(â) 45ï
(ã) 60ï
(ä) 90ï
19
Äýï ôåëåßùò üìïéåò ïìïãåíåßò óöáßñåò ìÜæáò m ç
êÜèå ìßá, êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôåò ßóùí ìÝôñùí
êÜèåôåò ìåôáîý ôïõò. Áí ç êñïýóç åßíáé åëáóôéêÞ
(á) Ç óöáßñá 1 ìÝíåé, ìåôÜ ôçí êñïýóç áêßíçôç,
åíþ ç óöáßñá 2 êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ
õ√
−
2 êáé óå äéåýèõíóç ðïõ ó÷çìáôßæåé ãùíßá
45ï
ìå ôç äéÜêåíôñï.
(â) Ç óöáßñá 2 ìÝíåé, ìåôÜ ôçí êñïýóç, áêßíçôç,
åíþ ç óöáßñá 1 êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ
õ áíôßèåôá ìå ôçí áñ÷éêÞ äéåýèõíóç êßíçóÞò
ôçò.
(ã) Ïé óöáßñåò, ìåôÜ ôçí êñïýóç, êéíïýíôáé ìå
ôá÷ýôçôåò áíôßèåôåò, ðÜíù óôç äéåýèõíóç ôçò
äéáêÝíôñïõ ôïõò.
20
Äýï óöáßñåò Á êáé  ìå äéáöïñåôéêÝò êáé Üãíùóôåò
ìÜæåò óõãêñïýïíôáé ëïîÜ. Ç óöáßñá Á áñ÷éêÜ çñåìåß,
åíþ ç  Ý÷åé ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ õ. ÌåôÜ ôçí êñïýóç,
ç ôá÷ýôçôá ôçò  õðïäéðëáóéÜæåôáé êáé êéíåßôáé
êÜèåôá ðñïò ôçí áñ÷éêÞ äéåýèõíóç.
(1) Ç óöáßñá Á ìåôÜ ôçí êñïýóç êéíåßôáé Ýôóé þóôå,
ç äéåýèõíóç ôçò ôá÷ýôçôÜò ôçò íá ó÷çìáôßæåé, óå
ó÷Ýóç ìå ôçí áñ÷éêÞ äéåýèõíóç êßíçóçò ôçò Â
ãùíßá
(á) 30o
(â) 60ï
(ã) 27ï
(ä) 45ï
(2) Ç ôá÷ýôçôá ôçò óöáßñáò Á ìåôÜ ôçí êñïýóç
åßíáé:
(á) õ√
−
2 /2
(â) Äåí åßíáé äõíáôü íá õðïëïãéóôåß ìå ôá äåäïìÝíá
áõôÜ
(ã) õ√
−
3/3
(ä) õ√
−
3
21
¸íá åëáöñý âáãüíé çñåìåß ðÜíù óå ëåßï äÜðåäï.
ÊÜðïéá óôéãìÞ ôï êáíüíé, ðïõ åßíáé óôåñåùìÝíï
óôï âáãüíé åêðõñóïêñïôåß. Ôï âáãüíé èá êéíåßôáé
óõíå÷þò ðÜíù óôï äÜðåäï ìåôÜ ôçí
åêðõñóïêñüôçóç üôáí:](https://image.slidesharecdn.com/random-160918144836/85/slide-228-320.jpg)
![ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 271
ÅñãáóôÞñéá ÖõóéêÞò Óùìáôéäßùí Õøçëþí Åíåñãåéþí. Áí Ýíá óùìáôßäéï,
ðïõ Ý÷åé ïñéóìÝíï ìÝóï ÷ñüíï æùÞò, üôáí åßíáé ó÷åäüí áêßíçôï,
åðéôá÷õíèåß þóôå íá áðïêôÞóåé ôá÷ýôçôá óõãêñßóéìç ìå áõôÞ ôïõ öùôüò,
ôüôå ï ÷ñüíïò æùÞò ôïõ öáßíåôáé ðïëý ìåãáëýôåñïò. Óå áõôü ïöåßëåôáé
ôï ãåãïíüò üôé, ìéüíéá ðïõ ðáñÜãïíôáé áðü áëëçëåðéäñÜóåéò óùìáôéäßùí
(ðïõ ðñïÝñ÷ïíôáé áðü ôï äéÜóôçìá) ìå ìüñéá ôïõ áÝñá óôá áíþôáôá
óôñþìáôá ôçò áôìüóöáéñáò êáé Ý÷ïõí ìÝóï ÷ñüíï æùÞò (üôáí åßíáé
áêßíçôá, ÷ñüíïò çñåìßáò) ðåñßðïõ 2 ìéêñïäåõôåñüëåðôá, ìðïñïýí êáé
öôÜíïõí ìÝ÷ñé ôçí åðéöÜíåéá ôçò ãçò ãéáôß üôáí ðáñá÷èïýí Ý÷ïõí
ìåãÜëåò ôá÷ýôçôåò êáé Ýôóé ï ÷ñüíïò æùÞò ôïõò öáßíåôáé ðïëý
ìåãáëýôåñïò. ÁõôÜ ðñïêáëïýí âñáäåßåò ìåôáëÜîåéò óå Ýìâéá üíôá êáé
ìðïñïýìå íá éó÷õñéóôïýìå üôé ôï áíèñþðéíï åßäïò èá åß÷å, ßóùò,
åîåëé÷èåß áëëéþôéêá áí äåí ßó÷õå ç ÅéäéêÞ Ó÷åôéêüôçôá. Áîßæåé íá
ðïýìå üôé ï ÁúíóôÜéí äçìïóßåõóå óôï ßäéï ðåñéïäéêü (Ánnalen der
Physik) óôï ßäéï ôåý÷ïò [4] 17 (1905) óôéò óåëßäåò 891, 549 êáé 132,
áíôßóôïé÷á, ôñßá êïñõöáßá Üñèñá. Ôï ðñþôï Þôáí ãéá ôçí ÅéäéêÞ
Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò, ôï äåýôåñï Þôáí ãéá ôçí åîÞãçóç ôçò êßíçóçò
Brown (ó÷åôßæåôáé ìå ôçí áôïìéêÞ äïìÞ ôçò ýëçò) êáé ôï ôñßôï Þôáí ãéá
ôçí åñìçíåßá ôïõ öùôïçëåêôñéêïý öáéíïìÝíïõ ðïõ ó÷åôßæåôáé ìå ôéò
âÜóåéò ôçò êâáíôéêÞò öõóéêÞò. Ï ÁúíóôÜéí ðÞñå ôï Nobel áñãüôåñá
(1921) ãéá ôï öùôïçëåêôñéêü öáéíüìåíï. Ç ÅéäéêÞ Ó÷åôéêüôçôá Þôáí
ðïëý ñéæïóðáóôéêÞ ãéá íá ãßíåé áðïäåêôÞ ðáãêïóìßùò áðü ôçí
åðéóôçìïíéêÞ êïéíüôçôá ôüóï ãñÞãïñá!
Ç ÃåíéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò Þñèå áñãüôåñá (1916). Ç èåùñßá
ôïõ Íåýôùíá ãéá ôç âáñýôçôá öáßíïíôáí ìç éêáíïðïéçôéêÞ áêüìç êáé
óôïí ßäéï ôïí Íåýôùíá. Ç âáñõôéêÞ áëëçëåðßäñáóç äéáäßäïíôáí áêáñéáßá.
Åðßóçò ÷ñåéÜæïíôáí åéäéêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò êáé ãéá ôçí êëáóéêÞ
ìç÷áíéêÞ (üðùò áñãüôåñá êáé ãéá ôçí åéäéêÞ ó÷åôéêüôçôá). Ï ÁúíóôÜéí
èåþñçóå üôé Ýðñåðå ïé íüìïé ôçò öýóçò íá ìðïñïýí íá ãñáöïýí, Ýôóé
ðïõ íá éó÷ýïõí ãéá êÜèå óýóôçìá áíáöïñÜò, ü÷é ìüíï ãéá áäñáíåéáêÜ
óõóôÞìáôá. Ç ãíþóç ôçò éóüôçôáò áäñáíïýò êáé âáñõôéêÞò ìÜæáò êáé
Üëëá äåäïìÝíá, ïäÞãçóáí óôç ÃåíéêÞ Ó÷åôéêüôçôá ðïõ åßíáé áêüìç ðéï
äõóêïëïíüçôç áðü ôçí ÅéäéêÞ Ó÷åôéêüôçôá. Ï ÷ùñï÷ñüíïò
ðáñáìïñöþíåôáé (êáìðõëþíåôáé) áðü ôçí ýðáñîç ìáæþí. ÕðÞñîáí
ðïëëÝò ðñïâëÝøåéò ôçò èåùñßáò ðïõ Üñãçóáí íá åðáëçèåõôïýí, äéüôé ïé
áðïêëßóåéò ðïõ ðñïÝâëåðå áðü ôéò ìÝ÷ñé ôüôå èåùñßåò Þôáí ðïëý ìéêñÝò.
×ñåéÜóôçêå ç áíÜðôõîç ôçò ôå÷íïëïãßáò ãéá íá ãßíïõí áêñéâÞ ðåéñÜìáôá
ðïõ åðéâåâáßùóáí ðïëëÝò ðñïâëÝøåéò. ÁíáöÝñïõìå üôé ï Ãáëéëáßïò
ðáñáôÞñçóå ðñþôïò üôé ç áäñáíÞò êáé âáñõôéêÞ ìÜæá ðñÝðåé íá åßíáé
ßäéåò, áöïý ç ðåñßïäïò ôïõ åêêñåìïýò äåí åîáñôÜôáé áðü ôç ìÜæá ôïõ.
¢ëëá ðåéñÜìáôá ðïõ Ýäåéîáí ôçí éóïäõíáìßá ôùí ìáæþí áõôþí Þôáí
ôïõ R. von ÅÖtvÖs, (ðåéñÜìáôá óôï äéÜóôçìá, 1890-1920), ìå áêñßâåéá
1:3 × 108
. Áñãüôåñá ïé P. G. Roll, R. Krotkov, êáé R.Ç. Dicke Ýöôáóáí
óå áêñßâåéá 1:1011
.
Ç ðñþôç ðåôõ÷çìÝíç ðáñáôÞñçóç ôçò åñõèñÞò ìåôáôüðéóçò ðïõ
ðñïâëÝðåé ç ÃåíéêÞ Ó÷åôéêüôçôá, Ýãéíå ôï 1960 áðü ôïõò Pound êáé
Rebka. Áðü ôï 1801 ðñéí ç êõìáôéêÞ èåùñßá ôùí Young & Fresnel](https://image.slidesharecdn.com/random-160918144836/85/slide-287-320.jpg)
![ôïõ óôáèìïý, áðü ôç óôéãìÞ ðïõ åìöáíßóôçêå ôï
ìðñïóôÜ ìÝñïò ôïõ äéáóôçìüðëïéïõ ìÝ÷ñé íá
ðåñÜóåé üëï ôï äéáóôçìüðëïéï;
3
¸íáò ðáñáôçñçôÞò óå óýóôçìá áíáöïñÜò Ê,
âëÝðåé ìéá Ýíôïíç ëÜìøç öùôüò 1200 m ìáêñõÜ
áðü ôç èÝóç ôïõ êáé ìéá áóèåíÞ ëÜìøç öùôüò
720 m ðéï êïíôÜ, óôçí ßäéá åõèåßá ìå ôçí Ýíôïíç
ëÜìøç. Ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ìåôáîý ôùí äýï
ëÜìøåùí, üðùò ìåôñéÝôáé áðü áõôüí, åßíáé 5 × 10−
6
s ìå ðñþôç ôçí Ýíôïíç ëÜìøç.
(á) ÐïéÜ ç ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá åíüò Üëëïõ
ðáñáôçñçôÞ, óå óýóôçìá Ê′, ðïõ êáôáãñÜöåé ôéò
äýï ëÜìøåéò íá óõìâáßíïõí óôçí ßäéá èÝóç;
(â) ÐïéÜ ëÜìøç óõìâáßíåé ðñþôç óôï óýóôçìá Ê′;
(ã) Ðïéü ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ìåôáîý ôùí äýï
ëÜìøåùí êáôáãñÜöåé ï Ê′;
4
¸íáò ðáñáôçñçôÞò, óå óýóôçìá K, êáôáãñÜöåé Ýíá
ãåãïíüò ìå ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôïõ ÷ùñü÷ñïíïõ
x = 100 km êáé t = 100 × 10− 6
s. ÐïéÝò ïé
÷ùñï÷ñïíéêÝò óõíôåôáãìÝíåò áõôïý ôïõ ãåãïíüôïò,
üðùò êáôáãñÜöïíôáé áðü ðáñáôçñçôÞ óå óýóôçìá
Ê′, ðïõ êéíåßôáé êáôÜ ìÞêïò ôïõ Üîïíá x ìå ôá÷ýôçôá
0,950 c ó÷åôéêÜ ìå ôï óýóôçìá Ê (êáôÜ ôá ãíùóôÜ).
ÕðïèÝóôå üôé ôçí t′ = t = 0 åßíáé x′ = x = 0.
5
Áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò Ê′ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá
õ = 0,60 c óå ó÷Ýóç ìå Üëëï óýóôçìá Ê. ÕðïèÝóôå üôé
ôç t′ = t = 0, x′ = x = 0, äýï ãåãïíüôá êáôáãñÜöïíôáé
óôï Ê. Ôï ãåãïíüò 1 óõìâáßíåé ôçí t = 0 óôç èÝóç
x = 0 êáé ôï ãåãïíüò 2 óôç èÝóç x = 3 km ôçí
t = 4 × 10−6
s. ÐïéÝò ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò êáôáãñÜöåé ï
ðáñáôçñçôÞò ôïõ óõóôÞìáôïò Ê′ ãéá ôá ßäéá ãåãïíüôá;
6
Äýï áôïìéêÜ ñïëüãéá êáéóßïõ Ý÷ïõí óõã÷ñïíéóôåß
áðïëýôùò. Ôï Ýíá ðáñáìÝíåé óôç Ãç, åíþ ôï Üëëï
ôïðïèåôåßôáé óå Ýíá õðåñç÷çôéêü áåñïðëÜíï, ðïõ
ôáîéäåýåé ìå ìÝóç ôá÷ýôçôá 1440 km/h êáé ìåôÜ áðü
ôáîßäé 5,00 ùñþí (óýìöùíá ìå ôï ãÞéíï ñïëüé)
åðéóôñÝöåé.
(á) Ðüóï èá äéáöÝñïõí ïé åíäåßîåéò ôùí äýï ñïëïãéþí;
(â) Ðïéü ñïëüé èá äåß÷íåé ôç ìéêñüôåñç äéÜñêåéá
ðôÞóçò;
[ÅðåéäÞ õ/c << 1 ÷ñçóéìïðïéÞóôå ôïí ðñïóåããéóôéêü
ôýðï (1+x)n
≈ 1+nx]
7
To 1961 o êïóìïíáýôçò G.S. Titov äéÝãñáöå êýêëïõò
ãýñù áðü ôç Ãç åðß 25,00 þñåò ìå ôá÷ýôçôá 7,8 km/s.
(á) Ðüóïò Þôáí ï óõíôåëåóôÞò äéáóôïëÞò ÷ñüíïõ
ôïõ ñïëïãéïý ôïõ ùò ðñïò ôá ñïëüãéá ôçò Ãçò;
(â) Ðüóá äåõôåñüëåðôá Ýìåéíå ðßóù ôï ñïëüé ôïõ,
êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò äéáäñïìÞò;
8
Ôï öùò ãéá íá öèÜóåé óôç ãç áðï ôá ðéï ìáêñõíÜ
Üóôñá ôïõ ãáëáîßá ìáò èÝëåé 105
Ýôç öùôüò. Èá
ìðïñïýóå Ýíáò Üíèñùðïò ðïõ îåêéíÜ áðü ôç Ãç óå
çëéêßá 15 åôþí íá öèÜóåé åêåß üôáí ãßíåé 65 åôþí;
(Äßíåôáé üôé: (1+x)n
≈ 1+nx)
9
~Åíá äéáóôçìéêü ü÷çìá êáôåõèýíåôáé ðñïò ôç ÓåëÞíç
ìå ôá÷ýôçôá 0,8c (ùò ðñïò ôç Ãç).
(á) Ðüóï äéáñêåß ôï ôáîßäé Ãç - ÓåëÞíç óýìöùíá ìå
ðáñáôçñçôÞ ôçò ãçò;
(â) ÐïéÜ ç áðüóôáóç Ãçò - ÓåëÞíçò óýìöùíá ìå
ôïí ðéëüôï ôïõ ï÷Þìáôïò;
(ã) Ðüóï äéáñêåß ôï ôáîßäé ãéá ôïí ðéëüôï;
Äßäåôáé áðüóôáóç Ãçò - ÓåëÞíçò 3,84 × 108
m.
10
Äéáóôçìüðëïéï (ðáñÜëëçëï óôïí Üîïíá x′) åíüò
óõóôÞìáôïò Ê′, êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ′x = 0,1 c ùò
ðñïò ôï Ê′ êáé Ý÷åé óå áõôü ìÞêïò L′ = 110 m. Áí
ôï óýóôçìá Ê′ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá ux ùò ðñïò Üëëï
óýóôçìá Ê (êáôÜ ôá ãíùóôÜ) ùò ðñïò ôï ïðïßï ôï
äéáóôçìüðëïéï Ý÷åé ìÞêïò L = 100 m, íá õðïëïãßóåôå
(á) ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ äéáóôçìüðëïéïõ ùò ðñïò ôï Ê
(â) ôçí ôá÷ýôçôá u
(ã) ôï ìÞêïò ôïõ äéáóôçìüðëïéïõ óôï óýóôçìá, óôï
ïðïßï åßíáé áêßíçôï
11
Ôá ðéüíéá (ð) ðáñÜãïíôáé êáôÜ ôïí âïìâáñäéóìü
êáôÜëëçëùí óôü÷ùí ìå õøçëÞò åíÝñãåéáò ðñùôüíéá
êáé åãêáôáëåßðïõí ôï óôü÷ï ìå ôá÷ýôçôá 0,991 c. Aí
ï ÷ñüíïò çìßóåéáò æùÞò ôùí ðéïíßùí óôï óýóôçìÜ
ôïõò åßíáé 1,77 × 10- 8
s. Íá âñåèåß óå ðüóç áðüóôáóç
áðü ôï óôü÷ï ï áñéèìüò áõôþí Ý÷åé ðÝóåé óôï ìéóü
ôïõ áñ÷éêïý.
12
¸íá ì - ìåóüíéï ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ = 0,99 c
óôï óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ äéÜíõóå áðüóôáóç
3,0 km áðü ôç óôéãìÞ ôçò ãÝííçóÞò ôïõ ìÝ÷ñé íá
äéáóôðáóôåß. Íá õðïëïãéóôåß
280 MHXANIKH](https://image.slidesharecdn.com/random-160918144836/85/slide-296-320.jpg)
Uploaded byDimitris Kontoudakis
Φυσική Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου (Δρης)
Φυσική Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου (Δρης)
![[Φυσική Α' Γυμνασίου] Τελικό Διαγώνισμα Προσομοίωσης Νο1](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/1-160429114348-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Φυσική Α' Γυμνασίου] Τελικό Διαγώνισμα Προσομοίωσης Νο2](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/2-160429114353-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Φυσική Γ´ Γυμνασίου] Φυλλάδιο για το Ηλεκτρικό Ρεύμα](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/02-161214022842-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Φυσική Προσανατολισμού Β´ Λυκείου] Καμπυλόγραμμες Κινήσεις](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/01-170203100144-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Φυσική Β´ Γυμνασίου] Σύνοψη θεωρίας κεφ. 1 & 2](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/1-2-161021041804-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Φυσική Γ´ Γυμνασίου] Σύνοψη θεωρίας - Ηλεκτρική δύναμη & Φορτίο](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/1-161025101757-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Φυσική Προσανατολισμού Γ´ Λυκείου] Συλλογή διαγωνισμάτων ΨΕΒ (pdf)](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/random-170513023008-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Φυσική Α´ Λυκείου] Τελικό Διαγώνισμα 2017](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/random-170510083620-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Φυσική Β´ Γυμνασίου] Φυλλάδιο για τις Δυνάμεις](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/3-161207024409-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Φυσική Β´ Γυμνασίου] Φυλλάδιο για την Πίεση](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/04-170331045034-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Φυσική Α´ Λυκείου] Φυλλάδιο για την Ευθύγραμμη Κίνηση](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/1-161123063132-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Φυσική Α´ Λυκείου] Φυλλάδιο για τη Δυναμική σε 1 διάσταση](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/021-170418084241-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Φυσική Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου (Δρης)
- 1. ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ÅÈÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓÊÁÉ ÈÑÇÓÊÅÕÌÁÔÙÍ Ð Á É Ä Á Ã Ù Ã É Ê Ï É Í Ó Ô É Ô Ï Õ Ô Ï ÏÑÃÁÍÉÓÌÏÓ ÅÊÄÏÓÅÙÓ ÄÉÄÁÊÔÉÊÙÍ ÂÉÂËÉÙÍ Á È Ç Í Á ôçò ô Ëõêåßïõ
- 3.
- 4. ii Ôï âéâëßï áõôüïëïêëçñþèçêå ôï Ýôïò 2000 óôá ðëáßóéá ôçò éäÝáò ðåñß ðïëëáðëïý âéâëßïõ. Åßíáé ôï Ýíá åê ôùí ôñéþí åãêñéèÝíôùí ãéá ôç ÖõóéêÞ ÈåôéêÞò êáé Ôå÷íïëïãéêÞò Êáôåýèõíóçò. Ôï ìÝñïò ðïõ áöïñÜ óôç ÖõóéêÞ Â Ëõêåßïõ ôõðþèçêå êáé ìïéñÜóôçêå óôá Ó÷ïëåßá. Óôç óõíÝ÷åéá Üëëáîå ç Üðïøç ðåñß ðïëëáðëïý âéâëßïõ, ôï èÝìá ðÞãå óôéò ÅëëçíéêÝò ÊáëÝíäåò. Ôï ìÝñïò ðïõ áöïñÜ óôç à Ëõêåßïõ äåí åêôõðþèçêå ðïôÝ áðü ôïí Ïñãáíéóìü Åêäüóåùò Äéäáêôéêþí Âéâëßùí. Åäþ êáé êáéñü ðïëëïß óõíÜäåëöïé áðü ôç ÌÝóç åêðáßäåõóç ìáò æçôïýóáí íá ôïõò äþóïìå (êõñßùò) ôï âéâëßï ôçò à Ëõêåßïõ óå êÜðïéá ìïñöÞ. ¸ôóé áðïöáóßóáìå íá êÜíïìå ìåñéêÝò äéïñèþóåéò êáé íá Ý÷ïìå êáé ôïõò äõï ôüìïõò óå çëåêôïíéêÞ ìïñöÞ. Äõóôõ÷þò äåí Ý÷ïìå ôá áñ÷éêÜ ó÷Þìáôá êáé Ýôóé ç åìöÜíéóç ôïõ âéâëßïõ äåí åßíáé áõôÞ ðïõ èá Ýðñåðå. Ïé äéïñèþóåéò êáèþò êáé ôï ôå÷íéêü ìÝñïò ôïõ åã÷åéñÞìáôïò Ýãéíáí áðü ôïí óõíôïíéóôÞ ôçò ïìÜäáò óõããñáöÞò ê. ÅììáíïõÞë Äñç. Ï åê ôùí óõããñáöÝùí ê. ÁèáíÜóéïò ÂåëÝíôæáò ðñüôåéíå ðïëëÝò áðü ôéò äéïñèþóåéò. ÁèÞíá, ÌÜñôçò ôïõ 2008
- 5. ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ÅÈÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓÊÁÉ ÈÑÇÓÊÅÕÌÁÔÙÍ ÐÁÉÄÁÃÙÃÉÊÏ ÉÍÓÔÉÔÏÕÔÏ ÖõóéêÞÖõóéêÞ Ã~ ËõêåßïõÃ~ Ëõêåßïõ ÈåôéêÞò - Ôå÷íïëïãéêÞò Êáôåýèõíóçò ÁíäñáêÜêïò Êùí/íïò ÂåëÝíôæáò ÁèáíÜóéïò ÃÜôóéïò ÉùÜííçò ÄéáìáíôÞò Íéêüëáïò Äñçò ÅììáíïõÞë Êñßêïò Êùí/íïò ÐéåññÜêïò Íéêüëáïò ÏÑÃÁÍÉÓÌÏÓ ÅÊÄÏÓÅÙÓ ÄÉÄÁÊÔÉÊÙÍ ÂÉÂËÉÙÍ ÁÈÇÍÁ iii ôçò
- 6. Óõããñáöåßò: ÁíäñáêÜêïò Êùíóôáíôßíïò Öõóéêüò,êáèçã. äåõôåñïâÜèìéáò éäéùôéêÞò åêðáßäåõóçò ÂåëÝíôæáò ÁèáíÜóéïò Öõóéêüò, êáèçã. äåõôåñïâÜèìéáò äçìüóéáò åêðáßäåõóçò ÃÜôóéïò ÉùÜííçò Öõóéêüò, êáèçã. äåõôåñïâÜèìéáò äçìüóéáò åêðáßäåõóçò ÄéáìáíôÞò Íéêüëáïò Öõóéêüò, êáèçã. äåõôåñïâÜèìéáò äçìüóéáò åêðáßäåõóçò Äñçò ÅììáíïõÞë ÊáèçãçôÞò Åèíéêïý Ìåôóüâåéïõ Ðïëõôå÷íåßïõ Êñßêïò Êùíóôáíôßíïò Äñ öõóéêüò, ó÷ïëéêüò óýìâïõëïò ÐéåññÜêïò Íéêüëáïò Öõóéêüò, êáèçã. äåõôåñïâÜèìéáò éäéùôéêÞò åêðáßäåõóçò ÓõíôïíéóôÞò ïìÜäáò óõããñáöÞò: Äñçò Åìì. Êáëëéôå÷íéêÞ åðéìÝëåéá: ÈÜíïò Êùôóüðïõëïò ÇëåêôñïíéêÞ óåëéäïðïßçóç, ìáêÝôåò, ó÷Þìáôá, ãñáöÞìáôá, öéëì, ìïíôÜæ: ÅñãáóôÞñé Ãñáöéêþí Ôå÷íþí ÈÜíïõ Êùôóüðïõëïõ Óôï åîþöõëëï: Óôçí áñéóôåñÞ åéêüíá öáßíåôáé ôï ðñþôï ôñáíæßóôïñ ðïõ Ýöôéáîáí ïé John Bardeen, William Shockley êáé Walter Brattain, 1947. Óôç äåîéÜ åéêüíá öáßíåôáé äéÜôáîç ëÝéæåñ ãéá Ýñåõíá ðïõ ó÷åôßæåôáé ìå ôç äõíáôüôçôá êáôáóêåõÞò êâáíôéêþí õðïëïãéóôþí. iv Åõ÷áñéóôßåò Åõ÷áñéóôïýìå ôçí ÏìÜäá Åñãáóßáò ðïõ Ýöôéáîå ôï Ðñüãñáììá Óðïõäþí ãéá ôç ÖõóéêÞ, óôï ïðïßï âáóßóôçêå ç óõããñáöÞ ôïõ ðáñüíôïò âéâëßïõ. Ôçí ÅðéôñïðÞ áðïôåëïýóáí ïé ×ñ. ÑáãéáäÜêïò (ðñüåäñïò), Äçìïóè. ÈÜíïò, Ãñ. ÊáñáãéÜííçò, É. Êáñáíßêáò, Áíäñ. Êþôôçò, Áéê. ÍôáúëéÜíç, Áéê. ÍôõìÝíïõ. Åõ÷áñéóôïýìå ôçí ÅðéôñïðÞ Áîéïëüãçóçò ãéá ôçí ðïëý êáëÞ êáé ëåðôïìåñåéáêÞ äïõëåéÜ ðïõ Ýêáíå êáé ôéò óçìáíôéêÝò õðïäåßîåéò ôçò, ïé ïðïßåò âïÞèçóáí óôç âåëôßùóç áõôïý ôïõ ðïíÞìáôïò. Ôçí ÅðéôñïðÞ áðïôåëïýóáí ïé Íéê. Áíôùíßïõ (ðñüåäñïò), Èùì. Åõèõìéüðïõëïò, Éùáí. ÁñíáïõôÜêçò, Éùáí. Êáñáíßêáò, Ãåùñã. Ðñßíôæáò, Éùáí. ÖùôÜêçò, Áéê. Êïôñüæïõ. Åõ÷áñéóôïýìå ôïí Áíáðë. ÊáèçãçôÞ ôïõ Å. Ì. Ðïëõôå÷íåßïõ Èåì. ÑáóóéÜ ãéá ôá óôïé÷åßá ðïõ ìáò Ýäùóå ãéá ôïí Êùí. ÊáñáèåïäùñÞ, ôïí Áíôéðñýôáíç ôïõ Å.Ì.Ðïëõôå÷íåßïõ ÊáèçãçôÞ Åõóôñ. ÃáëáíÞ ãéá ôçí öùôïãñáößá ôïõ ÊáñáèåïäùñÞ, ôïí Äñ Äéïí. Ìáñßíï ãéá ôç öùôïãñáößá ôïõ Äçì. ×üíäñïõ, ôçí ôÝùò ÅðéìåëÞôñéá ôïõ Å.Ì.Ðïëõôå÷íåßïõ Öõóéêü êõñßá Ê. ÐáðáðÝôñïõ ãéá ôç öùôïãñáößá ôïõ Á÷. ÐáðáðÝôñïõ. Åõ÷áñéóôïýìå ôç Ä.Å.Ç. , ôçí COSMOTE, ôçí Å.Ì.Õ. êáé ôçí General. Electric ãéá ôï öùôïãñáöéêü õëéêü ðïõ ìáò äéÝèåóáí
- 7. ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ ÊÅÖÁËÁÉÏÊÅÖÁËÁÉÏ 33 ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ 3.13.1 ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÅéóáãùãÞ .................................................................................................................................... 3 Éäáíéêü êýêëùìá LC .................................................................................................................. 3 Ìáèçìáôéêü ÓõìðëÞñùìá .................................................................................................... 4 ÐïóïôéêÞ ÌåëÝôç ................................................................................................................. 5 Ç Áñ÷Þ ôçò ÄéáôÞñçóçò ôçò ÅíÝñãåéáò ............................................................................... 7 Öèßíïõóåò Ìç÷áíéêÝò Ôáëáíôþóåéò ......................................................................................... 9 ÅîáíáãêáóìÝíåò Ìç÷áíéêÝò Ôáëáíôþóåéò - Óõíôïíéóìüò ....................................................... 13 Óõíôïíéóìüò .......................................................................................................................... 14 Öèßíïõóåò ÇëåêôñéêÝò Ôáëáíôþóåéò ......................................................................................... 16 ÐïóïôéêÞ ÌåëÝôç ................................................................................................................. 16 ÅîáíáãêáóìÝíåò ÇëåêôñéêÝò Ôáëáíôþóåéò .............................................................................. 19 ÐïóïôéêÞ ÌåëÝôç ................................................................................................................. 19 Óõíôïíéóìüò .......................................................................................................................... 20 ÅíåñãåéáêÞ Áíôéóôïé÷ßá ....................................................................................................... 21 ÅöáñìïãÝò Óõíôïíéóìïý ...................................................................................................... 22 ÐåñéãñáöÞ åíüò áñìïíéêïý ìåãÝèïõò ìå ôçí ÷ñÞóç ðåñéóôñåöüìåíïõ äéáíýóìáôïò ...... 23 Óýíèåóç Áðëþí Áñìïíéêþí Ôáëáíôþóåùí .............................................................................. 24 Óýíèåóç Ðïëëþí Áñìïíéêþí Ôáëáíôþóåùí ìå ðïëëáðëÜóéåò óõ÷íüôçôåò. ÁíÜëõóç Fourier ................................................................................................................................... 28 Áíáêåöáëáßùóç .......................................................................................................................... 33 Äñáóôçñéüôçôåò ........................................................................................................................... 34 ÅñùôÞóåéò ................................................................................................................................... 36 ÁóêÞóåéò - ÐñïâëÞìáôá ............................................................................................................. 43 3.23.2 ÊÕÌÁÔÁ ÅéóáãùãÞ .................................................................................................................................... 47 ÁñìïíéêÜ Êýìáôá ....................................................................................................................... 47 ÉóïöáóéêÝò ÅðéöÜíåéåò - ÌÝôùðá Êýìáôïò ............................................................................. 49 v
- 8. Áñ÷Þ ôïõ Huygens...................................................................................................................... 50 ÁíÜêëáóç êáé ÄéÜèëáóç ÊõìÜôùí ............................................................................................ 51 ÁíÜêëáóç êáé ÄéÜèëáóç Êýìáôïò äéáäéäüìåíïõ óå ×ïñäÞ ìå ÁóõíÝ÷åéá ...................... 51 ÁíÜêëáóç êáé ÄéÜèëáóç åíüò ÅðéðÝäïõ Êýìáôïò ............................................................. 52 Íüìïò ÁíÜêëáóçò ................................................................................................................ 55 Íüìïò ÄéÜèëáóçò ................................................................................................................. 56 Ôï Öáéíüìåíï ôçò ÏëéêÞò ÁíÜêëáóçò ................................................................................ 57 Ðåñßèëáóç ............................................................................................................................. 58 Åðáëëçëßá êáé ÓõìâïëÞ ÊõìÜôùí ............................................................................................. 58 Åðáëëçëßá Åðßðåäùí Áñìïíéêþí ÊõìÜôùí óå ìéá ÄéÜóôáóç ........................................... 59 ÓôÜóéìá Êýìáôá ......................................................................................................................... 61 ÓôÜóéìá Êýìáôá óå ×ïñäÞ .................................................................................................. 61 ÓôÜóéìá Êýìáôá óå ÁÝñéåò ÓôÞëåò ..................................................................................... 65 ÓõìâïëÞ ................................................................................................................................. 66 Ôï Ðåßñáìá ôïõ Young ........................................................................................................ 67 Ðñïóäéïñéóìüò ôçò ÈÝóçò ôùí Êñïóóþí ÓõìâïëÞò ........................................................... 68 ÐáñáãùãÞ Çëåêôñïìáãíçôéêþí ÊõìÜôùí ................................................................................ 70 Áêôéíïâïëßá .......................................................................................................................... 72 Áêôéíïâïëïýìåíç ÅíÝñãåéá Çëåêôñéêïý Äéðüëïõ ............................................................. 73 ËÞøç Çëåêôñïìáãíçôéêþí ÊõìÜôùí ................................................................................... 74 Çëåêôñïìáãíçôéêü ÖÜóìá ......................................................................................................... 75 ÄéÜäïóç ÑáäéïêõìÜôùí .............................................................................................................. 76 Ôçëåðéêïéíùíßåò êáé Ñáäéïêýìáôá ...................................................................................... 78 Áíáêåöáëáßùóç .......................................................................................................................... 79 Äñáóôçñéüôçôåò ........................................................................................................................... 81 ÅñùôÞóåéò ................................................................................................................................... 83 ÁóêÞóåéò - ÐñïâëÞìáôá ............................................................................................................. 88 ÊÅÖÁËÁÉÏÊÅÖÁËÁÉÏ 44 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ 4.14.1 ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ ÅéóáãùãÞ .................................................................................................................................... 95 ÄéÜöïñåò ¸ííïéåò ...................................................................................................................... 95 vi
- 9. ÄéáôÞñçóç ôçò ¾ëçòêáé Åîßóùóç ÓõíÝ÷åéáò .......................................................................... 97 Íüìïò ôçò ÓõíÝ÷åéáò ............................................................................................................ 97 Íüìïò ôïõ Bernoulli ................................................................................................................... 99 Èåþñçìá ôïõ Torricelli ........................................................................................................ 102 ÐñáêôéêÝò ÅöáñìïãÝò ôïõ Íüìïõ ôïõ Bernoulli ..................................................................... 104 Éîþäåò .......................................................................................................................................... 107 ÄõíÜìåéò ÔñéâÞò óå Óþìáôá Êéíïýìåíá ìÝóá óå ÑåõóôÜ ....................................................... 109 ÄõíáìéêÞ ¢íùóç ......................................................................................................................... 111 Áíáêåöáëáßùóç .......................................................................................................................... 112 Äñáóôçñéüôçôåò ........................................................................................................................... 112 ÅñùôÞóåéò ................................................................................................................................... 114 ÁóêÞóåéò - ÐñïâëÞìáôá ............................................................................................................. 118 4.24.2 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ ÅéóáãùãÞ .................................................................................................................................... 121 Óôåñåü Óþìá - ÊÝíôñï ÌÜæáò ................................................................................................... 122 Óôåñåü Óþìá ......................................................................................................................... 122 ÊÝíôñï ÌÜæáò ....................................................................................................................... 122 ÃùíéáêÞ Ôá÷ýôçôá êáé ÅðéôÜ÷õíóç Óôåñåïý Óþìáôïò ðïõ ÓôñÝöåôáé Ãýñù áðü Óôáèåñü ¢îïíá .......................................................................................................................................... 124 ÐåñéóôñïöÞ ìå ÓôáèåñÞ ÃùíéáêÞ ÅðéôÜ÷õíóç ................................................................... 126 ÊéíçôéêÞ ÅíÝñãåéá ëüãù ÐåñéóôñïöÞò - ÑïðÞ ÁäñÜíåéáò ...................................................... 127 Õðïëïãéóìüò ÑïðÞò ÁäñÜíåéáò - Èåþñçìá ÐáñÜëëçëùí Áîüíùí (Þ Èåþñçìá Steiner) ..... 129 Áðüäåéîç ôïõ ÈåùñÞìáôïò ôïõ Steiner ............................................................................... 131 ÊéíçôéêÞ ÅíÝñãåéá Óôåñåïý Óþìáôïò (ÃåíéêÞ Ðåñßðôùóç) ðïõ Åêôåëåß Óýíèåôç Êßíçóç ... 133 ÑïðÞ Äýíáìçò ............................................................................................................................. 136 ÑïðÞ Äýíáìçò ùò ðñïò Óçìåßï ............................................................................................ 136 ÑïðÞ Äýíáìçò ùò ðñïò ¢îïíá ............................................................................................. 136 Èåìåëéþäçò Íüìïò ôçò ÐåñéóôñïöéêÞò Êßíçóçò Óôåñåïý Þ Íüìïò ôïõ Íåýôùíá ãéá ôçí ÐåñéóôñïöÞ Óôåñåïý .................................................................................................................. 139 ÌÝèïäïò ÌåëÝôçò ôïõ Óôåñåïý Óþìáôïò ........................................................................... 140 Éóïññïðßá Óôåñåïý Óþìáôïò - ÊÝíôñï ÂÜñïõò ........................................................................ 142 vii
- 10. ÊÝíôñï ÂÜñïõò .....................................................................................................................143 ¸ñãï óôçí ÐåñéóôñïöéêÞ Êßíçóç ............................................................................................. 146 Ç ÓôñïöïñìÞ êáé ç ÄéáôÞñçóÞ ôçò ........................................................................................... 147 ÓôñïöïñìÞ Õëéêïý Óçìåßïõ ................................................................................................. 147 ÓôñïöïñìÞ Óôåñåïý Óþìáôïò ðåñß ¢îïíá .......................................................................... 148 Ç Áñ÷Þ ôçò ÄéáôÞñçóçò ôçò ÓôñïöïñìÞò ........................................................................... 149 Ìáèçìáôéêü ÓõìðëÞñùìá: Ãåíßêåõóç ôïõ Íüìïõ ôïõ Íåýôùíá ....................................... 159 Áíáêåöáëáßùóç .......................................................................................................................... 157 Äñáóôçñéüôçôåò ........................................................................................................................... 158 ÅñùôÞóåéò ................................................................................................................................... 159 ÁóêÞóåéò - ÐñïâëÞìáôá ............................................................................................................. 163 4.34.3 ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ ÅéóáãùãÞ .................................................................................................................................... 171 ÅëáóôéêÞ êáé ìç ÅëáóôéêÞ Êñïýóç äýï ÓùìÜôùí ................................................................... 173 ÅöáñìïãÝò Êñïýóåùí óôç ìéá ÄéÜóôáóç ........................................................................... 175 ÅðéâñÜäõíóç Íåôñïíßïõ ...................................................................................................... 176 Êñïýóåéò êáé ÄéáôÞñçóç ôçò ÅíÝñãåéáò ................................................................................... 179 ÅöáñìïãÞ Êñïýóåùí óå äýï ÄéáóôÜóåéò ................................................................................. 182 ÁäñáíåéáêÜ ÓõóôÞìáôá ÁíáöïñÜò ........................................................................................... 184 Ìç ÁäñáíåéáêÜ ÓõóôÞìáôá ÁíáöïñÜò .................................................................................... 185 Åõèýãñáììç Êßíçóç ìå ÓôáèåñÞ ÄéáíõóìáôéêÞ ÅðéôÜ÷õíóç ............................................ 186 ÏìáëÞ ÊõêëéêÞ Êßíçóç ........................................................................................................ 187 ÅöáñìïãÝò ............................................................................................................................ 188 Ïé Ìåôáó÷çìáôéóìïß ôïõ Ãáëéëáßïõ .................................................................................... 189 Ìåôáó÷çìáôéóìüò Ôá÷ýôçôáò êáé ÏñìÞò ............................................................................ 189 Ìåôáó÷çìáôéóìüò ÅíÝñãåéáò ............................................................................................... 192 Ç Êßíçóç ôïõ ÊÝíôñïõ ÌÜæáò, ÊÌ , åíüò ÓõóôÞìáôïò ÓùìÜôùí ..................................... 193 Óýóôçìá ÁíáöïñÜò ÊÝíôñïõ ÌÜæáò ................................................................................... 194 ÊéíçôéêÞ ÅíÝñãåéá ÓõóôÞìáôïò Óùìáôßùí .......................................................................... 195 ÅöáñìïãÞ ãéá ôçí Ðåñßðôùóç äõï Óùìáôßùí ðïõ áëëçëåðéäñïýí ìåôáîý ôïõò - ÁíçãìÝíç ÌÜæá .................................................................................................................... 196 viii
- 11. Öáéíüìåíï Doppler ....................................................................................................................201 ÅöáñìïãÝò ôïõ öáéíïìÝíïõ Doppler .................................................................................. 205 Áíáêåöáëáßùóç .......................................................................................................................... 207 Äñáóôçñéüôçôåò ........................................................................................................................... 208 ÅñùôÞóåéò ................................................................................................................................... 210 ÁóêÞóåéò - ÐñïâëÞìáôá ............................................................................................................. 216 4.44.4 EIÄÉÊÇ ÈÅÙÑÉÁ ÔÇÓ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ ÅéóáãùãÞ .................................................................................................................................... 225 ÁäñáíåéáêÜ ÓõóôÞìáôá ÁíáöïñÜò êáé ç Ôá÷ýôçôá ôïõ Öùôüò .............................................. 226 Áñ÷Þ ôçò Íåõôþíéáò Ó÷åôéêüôçôáò ...................................................................................... 226 Ôï Ðåßñáìá ôùí Michelson - Morley .................................................................................... 229 ÌáèçìáôéêÞ ÁíÜëõóç ôïõ ÐåéñÜìáôïò Michelson - Morley .............................................. 231 Ãåãïíüò óôïí ÔåôñáäéÜóôáôï ×ùñü÷ñïíï .......................................................................... 233 Ç Ó÷åôéêüôçôá ôïõ Ôáõôü÷ñïíïõ ......................................................................................... 234 Ïé Ìåôáó÷çìáôéóìïß ôïõ Lorentz ........................................................................................ 236 Ó÷åôéêéóôéêïß Ìåôáó÷çìáôéóìïß Ôá÷õôÞôùí ....................................................................... 237 ÅöáñìïãÞ: Ôï Ôáõôü÷ñïíï .................................................................................................. 238 Ó÷åôéêéóôéêÞ ÏñìÞ - Ó÷åôéêéóôéêÞ ÅíÝñãåéá ...................................................................... 242 Ìåôáó÷çìáôéóìüò ÌÞêïõò ........................................................................................................ 245 Ìåôáó÷çìáôéóìüò ×ñïíéêïý ÄéáóôÞìáôïò ......................................................................... 247 Ìåôáó÷çìáôéóìüò Ó÷åôéêéóôéêÞò ÏñìÞò êáé Ó÷åôéêéóôéêÞò ÅíÝñãåéáò ............................ 249 Ìåôáó÷çìáôéóìüò Çëåêôñéêïý êáé Ìáãíçôéêïý Ðåäßïõ ................................................... 255 ÅðáëÞèåõóç ôçò ÄéáóôïëÞò ôïõ ×ñüíïõ êáé ÓõóôïëÞò ôïõ ÌÞêïõò ................................. 258 Ôï Öáéíüìåíï ôùí Äéäýìùí ................................................................................................. 260 Ï Ãýñïò ôïõ Êüóìïõ ìå ÁôïìéêÜ Ñïëüãéá .......................................................................... 262 Óôïé÷åßá ÃåíéêÞò Èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò ............................................................................ 263 Ôñßá Åßäç ÌÜæáò .................................................................................................................. 263 Åëåýèåñç Ðôþóç ................................................................................................................... 263 ÁäñáíåéáêÝò ÄõíÜìåéò êáé ÄõíÜìåéò Âáñýôçôáò ............................................................... 264 ÃåíéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò ........................................................................................ 266 ÉóôïñéêÜ ................................................................................................................................ 270 ix
- 12. Áíáêåöáëáßùóç .......................................................................................................................... 273 Äñáóôçñéüôçôåò........................................................................................................................... 274 ÅñùôÞóåéò ................................................................................................................................... 275 ÁóêÞóåéò - ÐñïâëÞìáôá ............................................................................................................. 279 4.54.5 ÓÔÏÉ×ÅÉÁ ÊÂÁÍÔÏÌÇ×ÁÍÉÊÇÓ ÅéóáãùãÞ .................................................................................................................................... 285 Áêôéíïâïëßá ÌÝëáíïò Óþìáôïò ................................................................................................ 285 Öùôïçëåêôñéêü Öáéíüìåíï ........................................................................................................ 288 Öùôïçëåêôñéêü Öáéíüìåíï - ÐåéñáìáôéêÜ ÄåäïìÝíá ....................................................... 288 Ç Õðüèåóç Öùôïíßùí ôïõ Einstein ..................................................................................... 291 Êõìáôïóùìáôéäéáêüò Äõúóìüò ôïõ Öùôüò - ÅíÝñãåéá êáé ÏñìÞ ôïõ Öùôïíßïõ .................... 292 Ôï Öáéíüìåíï Compton ............................................................................................................. 295 ÁôïìéêÜ ÖÜóìáôá - ÓõíèÞêåò Bohr (¸íèåôï) ................................................................... 298 ÕëéêÜ Êýìáôá De Broglie .......................................................................................................... 299 Ç ÊõìáôïóõíÜñôçóç Ø êáé ç Ðõêíüôçôá Ðéèáíüôçôáò ........................................................... 301 Åîßóùóç Schrödinger .................................................................................................................. 302 ¸ííïéá ôïõ Ðçãáäéïý Äõíáìéêïý ............................................................................................. 302 Óùìáôßäéï óå ÐçãÜäé Äõíáìéêïý óå ¢ðåéñï ÂÜèïò ................................................................ 303 Óùìáôßäéï óå ÐçãÜäé Äõíáìéêïý ÐåðåñáóìÝíïõ ÂÜèïõò ....................................................... 306 Êâáíôéêü Öáéíüìåíï ÓÞñáããáò ................................................................................................ 308 Ïñèïãþíéï ÖñÜãìá Äõíáìéêïý ........................................................................................... 308 ÅöáñìïãÝò ôïõ ÖáéíïìÝíïõ ÓÞñáããáò ............................................................................... 309 Áñ÷Þ Áâåâáéüôçôáò .................................................................................................................... 310 Ðéèáíüôçôåò (¸íèåôï) ......................................................................................................... 314 Çìéáãùãïß (¸íèåôï) ............................................................................................................ 315 ×ñïíéêü ôçò ÁíáêÜëõøçò ôçò Êâáíôïìç÷áíéêÞò ................................................................ 319 Áíáêåöáëáßùóç .......................................................................................................................... 324 Äñáóôçñéüôçôåò ........................................................................................................................... 325 ÅñùôÞóåéò ................................................................................................................................... 326 ÁóêÞóåéò - ÐñïâëÞìáôá ............................................................................................................. 332 x
- 13. Ð Ñ ÏË Ï Ã Ï Ó Ç ÏìÜäá ÓõããñáöÞò áõôïý ôïõ âéâëßïõ ÖõóéêÞò ðñïóðÜèçóå íá áíôáðïêñéèåß, üóï Þôáí äõíáôü, óôï Ðñüãñáììá ãéá ôç ÖõóéêÞ ðïõ åêðïíÞèçêå áðü ôï Ðáéäáãùãéêü Éíóôéôïýôï. ~Åíá åýëïãï åñþôçìá ðïõ ôßèåôáé åßíáé: ãéáôß ðñÝðåé íá ìáèáßíïõí ïé ìáèçôÝò ÖõóéêÞ; Ç áðÜíôçóç ðïõ äßíåôáé åßíáé: Ç ÖõóéêÞ ÅðéóôÞìç ìáò âïçèÜ íá êáôáíïÞóïõìå ôïí êüóìï ãýñù ìáò. Áêüìç, ç ÖõóéêÞ ÅðéóôÞìç áíôéðñïóùðåýåé Ýíá ôñüðï ïñãÜíùóçò ôçò ãíþóçò ðïõ óõíåéóöÝñåé óçìáíôéêÜ óôçí ðïëéôéóìéêÞ êáé ðíåõìáôéêÞ áíÜðôõîç ôçò êïéíùíßáò. Ç ÖõóéêÞ ÅðéóôÞìç êáé ç Ôå÷íïëïãßá óõíåéóöÝñïõí óôçí ðáñáãùãÞ áãáèþí. ÐñÝðåé, åðïìÝíùò, ôá ó÷ïëåßá íá ðáñÝ÷ïõí ôéò âáóéêÝò åðéóôçìïíéêÝò êáé ôå÷íïëïãéêÝò éäÝåò, þóôå íá ìðïñÝóïõí ïé ìáèçôÝò íá êáôáíïÞóïõí ôéò ó÷Ýóåéò ìåôáîý åðéóôÞìçò êáé ôå÷íïëïãßáò. Ç äéäáóêáëßá ôçò ÖõóéêÞò ÅðéóôÞìçò ðñÝðåé íá óõíäÝåôáé óôåíÜ ìå ôéò åöáñìïãÝò ôçò óôçí êáèçìåñéíÞ æùÞ êáé óôç Âéïìç÷áíßá. Ç ÅðéóôÞìç êáé ç Ôå÷íïëïãßá åßíáé óôåíÜ óõíäåäåìÝíåò êáé ç êáôáíüçóç ôùí åðéóôçìïíéêþí åííïéþí ìðïñåß íá ãßíåôáé êáé ìå ôç ìåëÝôç ôùí ôå÷íïëïãéêþí ôïõò åöáñìïãþí. Ç êáôáíüçóç ôçò ó÷Ýóçò ÅðéóôÞìçò êáé Ôå÷íïëïãßáò ðñÝðåé íá åßíáé óôïõò óôü÷ïõò ôïõ ðñïãñÜììáôïò ÖõóéêÞò êáé, ãåíéêüôåñá, ôùí Öõóéêþí Åðéóôçìþí. Ôï âéâëßï áõôü ðåñéÝ÷åé ôá óõãêåêñéìÝíá êåöÜëáéá ôçò ÖõóéêÞò êáé ìå ôçí åéäéêÞ äéÜôáîç ðïõ ðñïôåßíåé ôï Ðáéäáãùãéêü Éíóôéôïýôï. Ôï êÜèå êåöÜëáéï ðåñéëáìâÜíåé åéóáãùãÞ, êýñéï êïñìü, ðáñáäåßãìáôá ëõìÝíùí ðñïâëçìÜôùí, áíáêåöáëáßùóç, äñáóôçñéüôçôåò, ðñïâëÞìáôá. ÐåñéëáìâÜíïíôáé åðßóçò äéÜöïñá Ýíèåôá ãéá åìðëïõôéóìü ôùí ãíþóåùí ôùí ìáèçôþí ó÷åôéêÜ ìå ôçí éóôïñßá ôïõ èÝìáôïò Þ ìå ðéï ðñï÷ùñçìÝíåò ãíþóåéò Þ ìå ôçí ó÷åôéêÞ ôå÷íïëïãßá. Ôï ðñüãñáììá áõôü ôçò ÖõóéêÞò ðåñéÝ÷åé êáé åñãáóôçñéáêü ïäçãü. ~Åãéíå ðñïóðÜèåéá, þóôå ïé äñáóôçñéüôçôåò ðïõ áöïñïýí óå ðåéñÜìáôá áëëÜ êáé ôá ðåéñÜìáôá, ãåíéêþò, íá ìðïñïýí íá ãßíïõí ìå, üóï ôï äõíáôü, áðëÜ ìÝóá êáé ÷ùñßò ìåãÜëá Ýîïäá. ~Å÷ïõí ðñïóôåèåß ðáñáñôÞìáôá ðïõ ó÷åôßæïíôáé ìå ôéò ìïíÜäåò ôïõ Äéåèíïýò ÓõóôÞìáôïò, óôáèåñÝò, óöÜëìáôá, ê.ô.ë þóôå íá Ý÷åé ï äéäÜóêùí êáé ï ìáèçôÞò Ýíá óçìåßï áíáöïñÜò óôá áíùôÝñù èÝìáôá. ÐñÝðåé íá ôïíßóïõìå üôé ãßíåôáé êÜðïéá ðñïóðÜèåéá ìåñéêÝò öïñÝò, áêüìç êáé ìå åðéëïãÞ êáôÜëëçëùí ðáñáäåéãìÜôùí êáé ðñïâëçìÜôùí, íá âëÝðåé ï ìáèçôÞò ôç ó÷Ýóç ôçò ÖõóéêÞò ìå ôçí Ôå÷íïëïãßá êáé ôïí ãýñù êüóìï. Ðáñ’ üëåò ôéò äõóêïëßåò ðïõ ðáñïõóéÜæåé ôï åã÷åßñçìá, ðñÝðåé íá ãßíïíôáé ðåéñÜìáôá áðü ôïõò äéäÜóêïíôåò êáé ôïõò ìáèçôÝò. ~Åôóé ïé ìáèçôÝò áðïêôïýí “äåîéüôçôåò” ìå ôá üñãáíá, áëëÜ êáé êáôáíïïýí ôïõò íüìïõò ôçò Öýóçò êáé ôçí Ôå÷íïëïãßá êáëýôåñá. Ãåíéêþò, ôá ðåéñÜìáôá, áëëÜ êáé ç áíáöïñÜ óå åöáñìïãÝò Þ ôéò åðéðôþóåéò ôùí âáóéêþí íüìùí ôçò ÖõóéêÞò (ð.÷. Êâáíôïìç÷áíéêÞò, Ó÷åôéêüôçôáò) ôçí áðïìõèïðïéïýí êáé äéþ÷íïõí ôï öüâï ãéá ôç ÖõóéêÞ, ðïõ Ý÷ïõí ðïëëïß Üíèñùðïé ìç åéäéêïß. Ôï ìÜèçìá ãéá íá ôñáâÞîåé ôïõò ìáèçôÝò ðñÝðåé íá åßíáé åíäéáöÝñïí êáé ü÷é ôñïìåñÜ äýóêïëï. Áõôü åîáñôÜôáé áðü ôï âéâëßï áëëÜ êáé áðü ôïí äéäÜóêïíôá. Ôï âéâëßï êáé ôï ðñüãñáììá äéäáóêáëßáò ðñÝðåé íá åßíáé ôï âïÞèçìá, áëëÜ ï äéäÜóêùí ðñÝðåé íá áõôåíåñãåß êáé íá âñßóêåé ôïí êáôÜëëçëï ôñüðï ðáñïõóßáóçò ãéá ôïõò óõãêåêñéìÝíïõò ìáèçôÝò ðïõ Ý÷åé êÜèå öïñÜ. Åëðßäá ìáò åßíáé íá ìçí áðïôåëÝóåé áõôü ôï âéâëßï, üðùò êáé êÜèå Üëëï âéâëßï, äüãìá ãéá ôçí ÖõóéêÞ óôç ÌÝóç Åêðáßäåõóç “Timeo Hominem unius libri”, “Öïâïý ôïí Üíèñùðï ôïõ åíüò âéâëßïõ” (ÈùìÜò ï ÁêéíÜôçò)* . Óôü÷ïò åßíáé, ôï âéâëßï áõôü ìáæß ìå Üëëá íá ãßíåé âïÞèçìá áëëÜ êáé êÝíôñéóìá ãéá ðéï ðÝñá * Áðü ôïí Ðñüëïãï ôçò ÅëëçíéêÞò ¸êäïóçò ôïõ Âéâëßïõ ÖõóéêÞò OHANIAN, ìåôÜöñáóç Á. ÖÉËÉÐÐÁÓ. xi
- 14. áíáæçôÞóåéò êõñßùò ãéáôïõò ìáèçôÝò. Åßíáé êáëü íá äïèåß ç åõêáéñßá óýíôïìá, íá äéïñèùèïýí åëëåßøåéò Þ õðåñâïëÝò ôïõ âéâëßïõ, þóôå íá ðñïóáñìïóôåß üóï ãßíåôáé óôéò áðáéôÞóåéò êáé óôï åðßðåäï ôçò ÌÝóçò Åêðáßäåõóçò. Ïé óõíÜäåëöïé äéäÜóêïíôåò, áëëÜ êáé ïé ìáèçôÝò êáëü åßíáé íá õðïäåßîïõí âåëôéþóåéò ðïõ ôï Ðáéäáãùãéêü Éíóôéôïýôï êáé ç ÏìÜäá ÓõããñáöÝùí íá ëÜâåé õðüøç ôçò. Ç âåëôßùóç êáé ðñïóáñìoãÞ êÜèå âéâëßïõ ðñÝðåé íá åßíáé ìéá óõíå÷Þò äéáäéêáóßá. Ðáñïôñýíïõìå ôïõò äéäÜóêïíôåò êáé äéäáóêüìåíïõò íá êÜíïõí ðåéñÜìáôá. Ç ÖõóéêÞ åßíáé ìåëÝôç ôçò Öýóçò êáé ìå ôá ðåéñÜìáôá ìåëåôïýìå ôç öýóç ìå åëåã÷üìåíï ôñüðï. ÐñïóðáèÞóáìå íá åßìáóôå üóï ãßíåôáé óå óõìöùíßá ìå ôçí ïñïëïãßá ôïõ Äéåèíïýò ÓõóôÞìáôïò ÌïíÜäùí (SI) êáé êÜíïõìå ìéá áðëÞ åéóáãùãÞ ãéá ôá óõóôÞìáôá ìïíÜäùí êáé éäéáßôåñá ôï SI. ´Ïñïé ðïõ õðÜñ÷ïõí áêüìç óôçí ÅëëçíéêÞ Âéâëéïãñáößá Ý÷ïõí áôïíßóåé Þ åîáëåéöèåß óôç äéåèíÞ âéâëéïãñáößá. ÕðÜñ÷ïõí áäõíáìßåò óôçí ÅëëçíéêÞ áëëÜ êáé óôç îÝíç ïñïëïãßá, ïé ïðïßåò üìùò èÝëïõí ÷ñüíï ãéá í´áëëÜîïõí. Ï üñïò “ìÜæá çñåìßáò” äåí ÷ñçóéìïðïéåßôáé óôç ìïíôÝñíá âéâëéïãñáößá ó÷åäüí êáèüëïõ, ïðùò êáé ï üñïò äéçëåêôñéêÞ óôáèåñÜ. Ç ïñïëïãßá äåí åßíáé ó÷ïëáóôéêéóìüò, èÝëåé íá ðåé êÜôé. ´Ïôáí óôá ÁããëéêÜ ëÝíå resis- tance êáé reactance èÝëïõí íá äçëþóïõí üôé óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç õðÜñ÷åé ìåôáôñïðÞ çëåêôñéêÞò åíÝñãåéáò óå åóùôåñéêÞ åíÝñãåéá, åíþ óôç äåýôåñç ðåñßðôùóç áðëþò ôï êýêëùìá áíôéäñÜ, “áíôéóôÝêåôáé”, óôç äéÝëåõóç ñåýìáôïò ÷ùñßò íá ãßíåôáé êáôáíÜëùóç åíÝñãåéáò. Ç ðïóüôçôá ýëçò åêöñÜæåôáé óå mol (ìoë) ìïñßùí, áôüìùí, çëåêôñïíßùí Þ ãåíéêþò äéáöüñùí äïìéêþí ëßèùí ðïõ ôï åßäïò ôïõò ðñÝðåé íá áíáöÝñåôáé. Óôá åëëçíéêÜ ÷ñçóéìïðïéåßôáé, áôõ÷þò, ï üñïò ãñáììïìüñéï ðïõ ðñïÝñ÷åôáé áðü ôïí ðáëéü üñï ãéá ìüñéá. Èá ìðïñïýóáìå íá õéïèåôÞóïõìå ôïí üñï ìïë (óôá åëëçíéêÜ), áëëÜ èá åß÷áìå ðñüâëçìá óôï åðßèåôï (molar) ìïëéêü(;) , ßóùò èá ìðïñïýóáìå íáôï ðïýìå ìïñßäéï. ×ñçóéìïðïéïýìå ôïí üñï áíôéóôÜôç ãéá ôïí üñï resis- tore, áëëÜ êáé ôïí åðéêñáôÝóôåñï üñï, óôá åëëçíéêÜ, áíôßóôáóç. Äåí äßíïìå ëýóåéò óôï ðñüâëçìá ôçò ïñïëïãßáò, áðëþò ôï èÝôïõìå. Ðéóôåýïõìå üôé ðñÝðåé íá äïèåß Ýìöáóç óôïõò áñéèìçôéêïýò õðïëïãéóìïýò, ìå êáôáíüçóç ôçò óçìáóßáò ôùí óçìáíôéêþí øçößùí óôá áðïôåëÝóìáôá. Îáíáôïíßæïõìå üôé ðñïóðáèÞóáìå íá Ý÷ïõìå ðáñáäåßãìáôá êáé ðñïâëÞìáôá áðü ôïí ðñáãìáôéêü öõóéêü êüóìï, ü÷é ìüíï “öáíôáóôéêÜ” èÝìáôá. Ç ÷ñÞóç ñåáëéóôéêþí ðñïâëçìÜôùí êÜíåé ôï ìáèçôÞ íá êáôáëÜâåé óõãêåêñéìÝíá öáéíüìåíá ôïõ öõóéêïý êüóìïõ êáé äéáäéêáóßåò óôéò ïðïßåò óôçñßæïíôáé äéÜöïñåò ðñáãìáôéêÝò äéáôÜîåéò êáé êáôáóêåõÝò ðïõ ìåñéêÝò ìðïñåß íá Ý÷åé äåé Þ ÷ñçóéìïðïéÞóåé. Ìáèáßíåé ðþò åßíáé ç öýóç ü÷é ðþò èá ìðïñïýóå íá åßíáé. ÐñïóðáèÞóáìå , åðßóçò, íá Ý÷ïìå áóêÞóåéò ìå äåäïìÝíá ü÷é ìüíï ôïõ ôýðïõ u = 5 √ − 2 /8 m/s, áëëÜ êáé ôïõ ôýðïõ u = 3,24 m/s. Ç Öýóç , äõóôõ÷þò, äåí åßíáé ôüóï “êáëÞ” ìáæß ìáò þóôå íá ìðïñïýìå íá êÜíïõìå áñéèìçôéêïýò õðïëïãéóìïýò ìå óôñïããõëÜ áðïôåëÝóìáôá, áêñéâþò. Ïé ìáèçôÝò ðñÝðåé íá ìÜèïõí íá êÜíïõí áñéèìçôéêïýò õðïëïãéóìïýò ìå õðïëïãéóôÝò, ìå ôï ÷Ýñé Þ êáé êáô’ åêôßìçóç. ÐñÝðåé íá ôïíßóïõìå üôé ãåíéêþò ôï ðñüâëçìá ôùí óöáëìÜôùí åßíáé ðïëýðëïêï êáé äåí ëýíåôáé ìå ôïõò áðëïúêïýò êáíüíåò ðïõ äßíïõìå óôá ÐáñáñôÞìáôá ãéá ôéò ðåñéðôþóåéò ðïëëáðëáóéáóìïý êáé ðñüóèåóçò. Èá ìðïñïýóáìå íá ðïõìå üôé óôá ðåñéóóüôåñá ðñïâëÞìáôá ç áêñßâåéá óôï ôåëéêü áðïôÝëåóìá åßíáé ôï ðïëý 3 óçìáíôéêÜ øçößá. ~Åíá Üëëï èÝìá ðïõ ôïíßæïõìå êÜðùò ðåñéóóüôåñï, áðü ü,ôé ãßíåôáé óõíÞèùò, åßíáé ç ÄéáóôáôéêÞ ÁíÜëõóç. Åßíáé Ýíáò óçìáíôéêüò ôïìÝáò ìå ðñï÷ùñçìÝíá ìáèçìáôéêÜ. Åìåßò äßíïõìå ìåñéêÜ óôïé÷åßá ÷ñÞóéìá óôá ðëáßóéá ôçò ÃåíéêÞò ÖõóéêÞò. Ðáñ’ üëï ðïõ ðñïóðáèïýìå íá åßìáóôå óýìöùíïé ìå ôçí ðéï íÝá ïñïëïãßá ðïëëÝò öïñÝò áõôü äåí åßíáé äõíáôüí ãéáôß ç íÝá ïñïëïãßá äåí Ý÷åé äéáäïèåß áñêåôÜ. ~Åíá ðáñÜäåéãìá åßíáé ïé êáíïíéêÝò óõíèÞêåò ðßåóçò êáé èåñìïêñáóßáò. Áðü ôï 1984 ç IUPAC ( International Union of Pure and Applied Chemistry, ÄéåèíÞò ~Åíùóç ÊáèáñÞò êáé ÅöáñìïóìÝíçò ×çìåßáò), åíÝêñéíå êáé äçìïóßåõóå ôçí õðüäåéîç ç ïðïßá õðïêéíÞèçêå áðü ôçí Comimission on Thermodynamics (ÅðéôñïðÞ ãéá ôçí ÈåñìïäõíáìéêÞ), üôé ç óõìâáôéêÞ êáíïíéêÞ ðßåóç ãéá ôç ÈåñìïäõíáìéêÞ ðñÝðåé íá áëëÜîåé áðü ôçí ðáñáäïóéáêÞ 1 atm (101,325 k Pa) óå 100 k Pa (1 bar). Áõôü ïäçãåß óôï üôé ï ãñáììïìïñéáêüò üãêïò áðü 22,4 L ãßíåôáé 22,7 L. Óýìöùíá ìå ôï íÝï ïñéóìü ç êáíïíéêÞ èåñìïêñáóßá åîáêïëïõèåß íá åßíáé 273,15 Ê (0 o C), ðåñßðïõ 273 Ê. xii
- 15. Ç ðßåóç ôùí101,325 k Pa ôþñá ðñÝðåé íá ëÝãåôáé êáíïíéêÞ áôìüóöáéñá. Åìåßò áêïëïõèïýìå ôïí ðáëéü ïñéóìü ôïõ âÜñïõò. ÊáíïíéêÜ åéóÝñ÷åôáé ôï óýóôçìá áíáöïñÜò. ÓõãêåêñéìÝíá, âÜñïò åßíáé ç äýíáìç ðïõ ðñÝðåé íá áóêçèåß óôï óþìá þóôå íá áêéíçôåß ùò ðñïò ôï óýóôçìá áíáöïñÜò, ð.÷. ìÝóá óôïí ðåñéóôñåöüìåíï äïñõöüñï ôï âÜñïò åßíáé ìçäÝí. Óôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò ðñÝðåé íá ëçöèåß õð’ üøéí êáé ç ðåñéóôñïöÞ ôçò Ãçò. Áõôü áðü ðïëëïýò ëÝãåôáé öáéíüìåíï âÜñïò êáé ôï ðñáãìáôéêü âÜñïò ôáõôßæåôáé ìå ôçí Ýëîç ôçò âáñýôçôáò. Åìåßò åäþ, üðùò êáé ðïëëÜ âéâëßá ÃåíéêÞò ÖõóéêÞò, áêïëïõèïýìå ôïí ïñéóìü ôçò ôáýôéóçò ôïõ âÜñïõò ìå ôç äýíáìç ôçò âáñýôçôáò. Ìéá Üëëç ðåñßðôùóç åßíáé ï ïñéóìüò ôçò çëåêôñéêÞò ñïÞò. Ïñßæåôáé ùò ôï ãéíüìåíï Ø=å0 ÅÁ cos ö, äçëáäÞ åßíáé ç ñïÞ ôïõ ìåãÝèïõò å0 Å → ðïõ ëÝãåôáé ìåôáôüðéóç. Ç ñïÞ ôïõ ìåãÝèïõò Å → åßíáé ØÅ. Ç óõíïëéêÞ ñïÞ, Øïë , ôïõ å0 Å → áðü ôçí åðéöÜíåéá ðïõ ðåñéêëåßåé ôï öïñôßï q åßíáé áðëþò q êáé ü÷é q/å0 ðïõ åßíáé ç ñïÞ ôïõ Å → . Ðáñ’ üëá áõôÜ ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ïñéóìü ðïõ Ý÷åé åðéêñáôÞóåé óôç ÃåíéêÞ ÖõóéêÞ ç ïðïßá ìÜëéóôá èåùñåß ìüíï çëåêôñéêÞ ñïÞ ôïõ Å → . Ôï óýìâïëï ðïõ ÷ñçóéìïðïéïýìå åßíáé ôï ÖÅ óå áíôéäéáóôïëÞ ìå ôï Ö ðïõ åßíáé ç ìáãíçôéêÞ ñïÞ ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ Ôåëåéþíïíôáò ôïíßæïõìå üôé, ç ÖõóéêÞ åßíáé ìéá âáóéêÞ åðéóôÞìç ðïõ âïçèÜ ôïõò áó÷ïëïýìåíïõò ãåíéêþò ìå ôéò ÈåôéêÝò ÅðéóôÞìåò êáé ôçí Ôå÷íïëïãßá, êáèþò êáé êÜèå Üíèñùðï íá êáôáëáâáßíåé, óå êÜðïéï âáèìü, ôïí êüóìï ãýñù ôïõ êáé ôéò óõóêåõÝò ðïõ ôïí ðåñéóôïé÷ßæïõí. Óôï ìÝëëïí ç êâáíôïìç÷áíéêÞ ðéèáíüí èá ðáßîåé, áêüìç ìåãáëýôåñï, Üìåóï, ñüëï óå íÝïõò êâáíôéêïýò õðïëïãéóôÝò êáé íÝá çëåêôñïíéêÜ, óôçí êáôáíüçóç ôçò ëåéôïõñãßáò ôïõ åãêåöÜëïõ êáé óå ðïëëÜ Üëëá ôå÷íïëïãéêÜ èÝìáôá ðïõ åíäéáöÝñïõí üëïõò. Ãåíéêþò, ç ÖõóéêÞ åìðëÝêåôáé ðáíôïý, áðü ôá öáéíüìåíá ìåãÜëçò êëßìáêáò, êáôáíüçóç ôïõ óýìðáíôïò, ìÝ÷ñé ôá öáéíüìåíá ôïõ ìéêñüêïóìïõ, êáôáíüçóç ôùí êïõÜñê êáé ôùí ìåôáîý ôïõò áëëçëåðéäñÜóåùí. Ìå ôçí åëðßäá üôé âÜæïõìå Ýí ìéêñü ëéèáñÜêé óôçí ðñïóðÜèåéá ãéá êáëõôÝñåõóç ôçò åêðáßäåõóçò óôç ÖõóéêÞ ðáñáäßíïõìå ôï ðáñüí ðüíçìá óôïõò ´Åëëçíåò äáóêÜëïõò ôçò ÖõóéêÞò êáé óå åêåßíïõò ôïõò ìáèçôÝò ìå ðåñéóóüôåñï åíäéáöÝñïí ãéá ôç ÖõóéêÞ. Ãéá ôçí ïìÜäá óõããñáöÞò Ï õðåýèõíïò ôçò ïìÜäáò Åìì. Äñçò xiii B.
- 16.
- 17.
- 19. 3.1 ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÅÉÓÁÃÙÃÇ ~Eíá óþìá ìÜæáò m ôï ïðïßï åßíáé óôåñåùìÝíï óôï Üêñï åëáôçñßïõ (Ó÷. 3.1), üôáí åêôñáðåß áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ, åêôåëåß Ýíá åßäïò ðåñéïäéêÞò êßíçóçò. Ç êßíçóç áõôÞ ïíïìÜæåôáé áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç, äéüôé ç áðïìÜêñõíóç ôïõ óþìáôïò áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò åßíáé áñìïíéêÞ óõíÜñôçóç ôïõ ÷ñüíïõ. Ôï óýóôçìá “ìÜæáò-åëáôÞñéï” ëÝìå üôé åßíáé Ýíáò áðëüò áñìïíéêüò ôáëáíôùôÞò. Tï êýñéï ÷áñáêôçñéóôéêü ôïõ åßíáé üôé ç äýíáìç åßíáé óõíôçñçôéêÞ êáé ßóç ìå −kx, üðïõ x ç áðïìÜêñõíóç êáé k óôáèåñÜ, áíåîÜñôçôç ôïõ ðëÜôïõò ôáëÜíôùóçò êáé ôçò ôá÷ýôçôáò. Ç ìåãÜëç óðïõäáéüôçôá ôçò ìåëÝôçò ôïõ áñìïíéêïý ôáëáíôùôÞ óõíßóôáôáé óôï üôé ãéá ìåãÜëï ðëÞèïò öõóéêþí öáéíïìÝíùí áðïôåëåß áêñéâÝò Þ ðñïóåããéóôéêü ðñüôõðï. Ç ðëÝïí óõíçèéóìÝíç ðåñßðôùóç áðëÞò áñìïíéêÞò ôáëÜíôùóçò åßíáé áõôÞ êáôÜ ôçí ïðïßá Ýíá óþìá åêôñÝðåôáé åëáöñþò áðü ôç èÝóç åõóôáèïýò éóïññïðßáò. Óáí ðáñÜäåéãìá, áíáöÝñïõìå ôçí êßíçóç äïñõöüñïõ ãýñù áðü ôç Ãç óå êõêëéêÞ ôñï÷éÜ áêôßíáò r0 (Ó÷. 3.2). Áí ï äïñõöüñïò åêôñáðåß êáôÜ Är = r − r0 , üðïõ r ç áðüóôáóç ôïõ äïñõöüñïõ áðü ôï êÝíôñï ôçò Ãçò êáé r0 ç áêôßíá ôçò åõóôáèïýò êõêëéêÞò ôñï÷éÜò, ôüôå ç êßíçóÞ ôïõ åßíáé áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç ãýñù áðü ôçí êõêëéêÞ ôñï÷éÜ. ÁñìïíéêÝò ôáëáíôþóåéò åðßóçò Ý÷ïõìå óå çëåêôñéêü êýêëùìá áðïôåëïýìåíï áðü ðõêíùôÞ C êáé ðçíßï L, ðïõ ïíïìÜæïíôáé çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò. Ç ìåëÝôç ôïõ êõêëþìáôïò L, C ãßíåôáé áêïëïýèùò ÉÄÁÍÉÊÏ ÊÕÊËÙÌÁ LC Èåùñïýìå êýêëùìá ôï ïðïßï áðïôåëåßôáé áðü Ýíá éäáíéêü ðõêíùôÞ ÷ùñçôéêüôçôáò C, Ýíá éäáíéêü (ìå ìçäåíéêÞ ùìéêÞ áíôßóôáóç) ðçíßï áõôåðáãùãÞò L êáé Ýíá äéáêüðôç óõíäåäåìÝíá óå óåéñÜ. Ç óõíïëéêÞ ùìéêÞ áíôßóôáóç ôùí áãùãþí åßíáé áìåëçôÝá êáé ëáìâÜíåôáé ßóç ìå ìçäÝí. ~Eóôù üôé, üôáí ï äéáêüðôçò åßíáé áíïéêôüò, ï ðõêíùôÞò åßíáé öïñôéóìÝíïò ìå áñ÷éêÞ ôéìÞ öïñôßïõ Qm . Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 êëåßíïõìå ôï äéáêüðôç (Ó÷. 3.3), ïðüôå áñ÷ßæåé íá êõêëïöïñåß ñåýìá óôï êýêëùìá, ëüãù ôçò åêöüñôéóçò ôïõ ðõêíùôÞ. Ôï ñåýìá áõîÜíåôáé óôáäéáêÜ äéüôé ôï ðçíßï áíôéóôÝêåôáé óôçí áðüôïìç áýîçóÞ ôïõ, ëüãù ôïõ öáéíïìÝíïõ ôçò áõôåðáãùãÞò. Ç áýîçóç ôïõ ñåýìáôïò óõíå÷ßæåôáé ìÝ÷ñéò üôïõ ï ðõêíùôÞò åêöïñôéóôåß ðëÞñùò, ïðüôå êáé ëáìâÜíåé ôç ìÝãéóôç ôéìÞ ôïõ Ém . Aêïëïýèùò ôï ñåýìá ìåéþíåôáé ðÜëé óôáäéáêÜ êáé ü÷é áðüôïìá, äéüôé óõíôçñåßôáé ëüãù áõôåðáãùãÞò, åíþ óõã÷ñüíùò ï ðõêíùôÞò áñ÷ßæåé íá öïñôßæåôáé ìå áíôßèåôç ðïëéêüôçôá áðü ôçí áñ÷éêÞ. ¼ôáí ôï ñåýìá ìçäåíéóôåß ï ðõêíùôÞò Ý÷åé öïñôéóôåß ðëÞñùò áðïêôþíôáò öïñôßï Qm . Óôç óõíÝ÷åéá áêïëïõèåß ôï ßäéï öáéíüìåíï ìå áíôßèåôç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò Ýùò üôïõ ôï êýêëùìá åðáíÝëèåé óôçí áñ÷éêÞ êáôÜóôáóç ðïõ âñéóêüôáí ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0. Ôï öáéíüìåíï åðáíáëáìâÜíåôáé äéáñêþò. Áõôü ôï ðåñéïäéêü öáéíüìåíï ïíïìÜæåôáé çëåêôñéêÞ ôáëÜíôùóç. ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 3 Ó×ÇÌÁ 3.1 Ôï óýóôçìá ìÜæáò éäáíéêïý åëáôçñßïõ áðïôåëåß áðëü áñìïíéêü ôáëáíôùôÞ. Ó×ÇÌÁ 3.2 ÌéêñÞ åêôñïðÞ äïñõöüñïõ áðü ôçí êõêëéêÞ ôñï÷éÜ ïäçãåß óå ôáëÜíôùóç.
- 20. Ìðïñïýìå íá ðáñáôçñÞóïõìåðåéñáìáôéêÜ ôéò ìåôáâïëÝò ôïõ öïñôßïõ q ôïõ ðõêíùôÞ êáé ôïõ ñåýìáôïò i ìå ôçí âïÞèåéá ðáëìïãñÜöïõ. Ðáñáôçñïýìå óôïí ðáëìïãñÜöï ôçí ôÜóç ôïõ ðõêíùôÞ õC, ç ïðïßá åßíáé áíÜëïãç ôïõ q, äçëáäÞ . Ãéá ôçí ìåëÝôç ôïõ ñåýìáôïò i ôïðï- èåôïýìå óôï êýêëùìá áíôéóôÜôç ìå ðïëý ìéêñÞ áíôßóôáóç R êáé áðü ôçí ìïñöÞ ôçò ôÜóåùò õR óôá Üêñá ôïõ Ý÷ïõìå ôçí áíôßóôïé÷ç ìïñöÞ ôïõ ñåýìáôïò Ôá áðïôåëÝóìáôá åßíáé áõôÜ ôïõ ó÷Þìáôïò 3.4.i õ R R = õ C qC = 1 4 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3..3 Çëåêôñéêü êýêëùìá L, C åêôåëåß çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò. Ó×ÇÌÁ 3.4 Ç ìïñöÞ ôçò ôÜóçò óôá Üêñá ôïõ ðõêíùôÞ êáé ôçò áíôßóôáóçò R ðïõ ðáñáôçñïýíôáé ìå ðáëìïãñÜöï. MAÈÇÌÁÔÉÊÏ ÓÕÌÐËÇÑÙÌÁ ¸óôù ìéá óõíÜñôçóç f (t), ôüôå ãéá ìåôáâïëÞ ôçò ìåôáâëçôÞò t êáôÜ Ät = t2 − t1 , ç áíôßóôïé÷ç ìåôáâïëÞ ôçò óõíÜñôçóçò f (t) åßíáé Äf = f (t2) − f (t1) . Êáëïýìå ìÝóï ñõèìü ìåôáâïëÞò ôçò f (t) óôï äéÜóôçìá (t1, t2) ôçí ðïóüôçôá, ÃåùìåôñéêÜ Ý÷ïõìå üôé åßíáé ç êëßóç (âáèìßäá) ôçò åõèåßáò ÌÍ ìå ôïí Üîïíá ôùí t, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Ä Ä f t Ä Ä f t f t f t t t = − − 2 1 2 1 b g b g
- 21. ÐÏÓÏÔÉÊÇ ÌÅËÅÔÇ Ôï óþìáìÜæáò m ôï ïðïßï åßíáé óôåñåùìÝíï óôï Üêñï åëáôçñßïõ óôáèåñÜò k ôïõ ó÷Þìáôïò 3.1, üôáí åêôñáðåß êáôÜ x áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ äÝ÷åôáé äýíáìç åðáíáöïñÜò áðü ôï åëáôÞñéï F = −kx. Áðü ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Íåýôùíá Ý÷ïõìå ïðüôå (3.1) Óôï êýêëùìá LC ôïõ ó÷Þìáôïò 3.5. ç ôÜóç óôá Üêñá ôïõ ðõêíùôÞ õC (ðôþóç ôÜóçò óôïí ðõêíùôÞ) åßíáé ßóç ìå ôçí çëåêôñåãåñôéêÞ äýíáìç ðïõ áíáðôýóóåôáé óôï ðçíßï, äçëáäÞ õC = åL . Ëüãù ôùí êáé , Ý÷ïõìå åL L i t = − d d õ q C C = m õ t kx d d = − F má m õ t = = d d ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 5 Ç ðáñÜãùãïò ôçò óõíÜñôçóçò f (t) åßíáé ôï üñéï ôïõ ñõèìïý ìåôáâïëÞò , üôáí ôï Ät ôåßíåé óôï ìçäÝí. Ôï åßíáé ç êëßóç, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ôùí t, ôçò åöá- ðôïìÝíçò åõèåßáò óôï ãñÜöçìá ôçò f (t). Ìå âÜóç ôïí ïñéóìü ôçò ðáñáãþãïõ ìðïñïýìå óå ìéá ðåñéï÷Þ ôïõ t ãéá ìéêñÝò ìåôáâïëÝò Ät íá õðïëïãßóïõìå ðñïóåããéóôéêÜ ôçí ìåôáâïëÞ Äf ìå ôçí ó÷Ýóç. Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ïñéóìïý õðïëïãßæïíôáé ïé ðáñÜãùãïé äéáöüñùí óõíáñôÞóåùí. Ãéá ôéò ôñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò Ý÷ïõìå: êáé d cos d sin ù t ö t ù ù t ö + = − + b g b g d sin d cos ùt ö t ù ùt ö + = + b g b g Ä Ä üôáí Äf f t t t≈ ′ <<b g 1 ′ =f t f t b g d d ′ = = → f t f t f tt b g d d lim Ä ÄÄ 0 Ä Ä f t ′ =f t f t ( ) d d Ó×ÇÌÁ 3.5 Éäáíéêü êýêëùìá LC
- 22. Þ (3.2) Ðáñáôçñïýìå üôé ïéåîéóþóåéò (3.1) êáé (3.2) åßíáé áíÜëïãåò óýìöùíá ìå ôçí áíôéóôïß÷éóç ôùí ðáñáêÜôù öõóéêþí ìåãåèþí. (3.3) H ëýóç ôçò åîßóùóçò (3.1) ïäçãåß óå áñìïíéêÝò êéíÞóåéò ôçò ìïñöÞò , üðïõ ÅðïìÝíùò, êáô’ áíôéóôïé÷ßá, ìå ôç âïÞèåéá ôùí ó÷Ýóùí (3.3) Ý÷ïõìå (3.4) üðïõ q: ç óôéãìéáßá ôéìÞ ôïõ öïñôßïõ ôïõ ðõêíùôÞ Qm : ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôïõ öïñôßïõ ù: ç êõêëéêÞ óõ÷íüôçôá êáé ö0: ç áñ÷éêÞ öÜóç, ç ïðïßá åîáñôÜôáé áðü ôéò áñ÷éêÝò óõíèÞêåò ôïõ ðñïâëÞìáôïò. Ðáñáãùãßæïíôáò ôçí (3.4) Ý÷ïõìå Þ (3.5) üðïõ (3.6) ÅÜí èåùñÞóïõìå ãéá áðëïýóôåõóç üôé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 êáôÜ ôçí ïðïßá êëåßíïõìå ôï äéáêüðôç, ï ðõêíùôÞò Ý÷åé öïñôßï Qm ôüôå ö0 = 0 êáé ïé (3.4) êáé (3.5) ðáßñíïõí ôç ìïñöÞ (3.7) Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí ðïóïôÞôùí q êáé i, óõíáñôÞóåé ôïõ ÷ñüíïõ, öáßíïíôáé óôï ó÷Þìá 3.6. Ç ðåñßïäïò ôùí ôáëáíôþóåùí åßíáé , ÜñáT ù = 2ð i I ùt= − m sin q Q ùt= m cos I Q ù I Q L C m m m mÞ= = 1 i I ù t ö= − +m sin 0b g i q t Q ù ù t ö= = − + d d sinm 0b g q Q ùt ö ù LC = + =m cos ( )0 1 , ù k m =x x ù t ö= +0 0cos b g q x L m C k i õ ↔ ↔ ↔ ↔ R S || T || U V || W || 1 L i t C q d d = − 1 q C L i t = − d d 6 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3..6 ÃñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí ðïóïôÞôùí q êáé i óå éäáíéêü êýêëùìá
- 23. (3.8) Ç ÁÑ×Ç ÄÉÁÔÇÑÇÓÇÓÔÇÓ ÅÍÅÑÃÅÉÁÓ Ãéá ôï ôáëáíôïýìåíï óýóôçìá óþìáôïò åëáôçñßïõ ç äõíáìéêÞ êáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åßíáé áíôßóôïé÷á êáé Ìå ôç âïÞèåéá ôùí ó÷Ýóåùí (3.3) ïé áíôßóôïé÷åò ðïóüôçôåò ôùí U êáé Ê ãéá ôï êýêëùìá LC åßíáé , ç åíÝñãåéá ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ôïõ ðõêíùôÞ êáé , ç åíÝñãåéá ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ôïõ ðçíßïõ. Áíôéêáèéóôþíôáò ôá q, i áðü ôéò ó÷Ýóåéò (3.7) Ý÷ïõìå (3.9) Ç ïëéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé U = UE + UB Þ Ìå ôçí âïÞèåéá ôùí (3.9) êáé (3.6) Ý÷ïõìå (3.10) ¢ñá ç ïëéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé ðïóüôçôá óôáèåñÞ ìå ôï ÷ñüíï, óõìðÝñáóìá áíáìåíüìåíï ìå âÜóç ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò åíÝñãåéáò (ó÷. 3.7). U C Q L I= = 1 2 1 1 2 2 2 m m U C q L i= + 1 2 1 1 2 2 2 U C Q ùt U L I ùt E B = = U V| W| 1 2 1 1 2 2 2 2 m 2 m cos sin U L iB = 1 2 2 U C qE = 1 2 1 2 K mõ= 1 2 2 U k x= 1 2 2 T L C= 2ð ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 7 Ó×ÇÌÁ 3.7 ÃñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò åíåñãåéþí. U UE U
- 24. ÐáñÜäåéãìá 3-1 Óå éäáíéêüêýêëùìá, ôï ïðïßï åêôåëåß çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò, ï ðõêíùôÞò Ý÷åé ÷ùñçôéêüôçôá C = 10 ìF êáé ôï ðçíßï ðáñïõóéÜæåé óõíôåëåóôÞ áõôåðáãùãÞò L = 0,10 H. Aí ï ðõêíùôÞò Ý÷åé áñ÷éêÜ öïñôéóôåß áðü ðçãÞ ìå å = 100 V êáé èåùñÞóïõìå ùò áñ÷Þ ôùí ÷ñüíùí ôç óôéãìÞ êáôÜ ôçí ïðïßá ï ðõêíùôçò åßíáé ðëÞñùò öïñôéóìÝíïò, íá âñåßôå: á) Ôéò åêöñÜóåéò ôïõ ñåýìáôïò êáé ôïõ öïñôßïõ óõíáñôÞóåé ôïõ ÷ñüíïõ, â) Ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ç åíÝñãåéá åßíáé ãéá ðñþôç öïñÜ ìïéñáóìÝíç åî ßóïõ óå çëåêôñéêÞ êáé ìáãíçôéêÞ; ÁðÜíôçóç á) ÅðåéäÞ ï ðõêíùôÞò öïñôßóôçêå óå õ = 100 V Ý÷åé áñ÷éêü öïñôßï Ç êõêëéêÞ óõ÷íüôçôá ôçò ôáëÜíôùóçò åßíáé rad/s Üñá ù = 1,0 × 103 rad/s ÅðïìÝíùò ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôïõ ñåýìáôïò åßíáé . Ìå âÜóç ôéò áñ÷éêÝò óõíèÞêåò ôïõ ðñïâëÞìáôïò óõìðåñáßíïõìå üôé ïé ëýóåéò åßíáé, óýìöùíá ìå ôéò åêöñÜóåéò (3.7) â) ÈÝëïõìå UB = UE , åßíáé UB + UE = U Üñá 2UB = U Óõíåðþò Þ ÊÜíïíôáò ôçí áíáðáñÜóôáóç ôïõ ìåãÝèïõò ìå óôñåöüìåíï äéÜíõóìá (öÜóïñáò), ðáñáôçñïýìå üôé ç ëýóç ðïõ æçôÜìå ðáñßóôáôáé ìå ôç èÝóç Á ôïõ óôñåöüìåíïõ äéáíýóìáôïò (Ó÷. 3.8). Åßíáé ÅðïìÝíùò, ÐáñÜäåéãìá 3-2 Ãéá Ýíá ôáëáíôïýìåíï óýóôçìá LC, íá âñåßôå ôçí Ýêöñáóç ôïõ ñåýìáôïò óå óõíÜñôçóç ìå ôï öïñôßï ôïõ ðõêíùôÞ. Êáôüðéí íá ó÷åäéÜóåôå ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç áõôÞò ôçò óõíÜñôçóçò óå Üîïíåò i - q. ùt è t è ù t t1 1 1 3 4 10 7 9 10= = = × ×− − Þ Þ ð/4 10 s Þ = ð 4 s = s -3 , sin Þ ð m m è I I è= − = = 2 2 2 2 4 i I ùt ùt= − = +m sin sin ð1 b g i I = ± m 2 2 2 1 2 1 2 2 2 L i L I= m i t i t= −1sin 10 óå A, óå s3 e j b g, q t q t= − 10 3 cos 10 óå C, óå s3 e j b g, I ù Q I Im m m mÞ A Þ A= = × × =− 1 0 10 10 1 03 3 , , ù LC = = × × − 1 1 0 10 10 10 6 , Q C õ Q Qm m mÞ C Þ C= = × × = ×− − 10 10 10 1 0 106 2 3 , 8 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.8
- 25. ÁðÜíôçóç Áðü ôçí áñ÷ÞäéáôÞñçóçò ôçò åíÝñãåéáò ãéá ôï êýêëùìá Ý÷ïõìå üôé UE + UB = E Þ Þ , üìùò Üñá Åðßóçò áðü ôçí Ýêöñáóç Ý÷ïõìå Þ Þ Þ Ç ôåëåõôáßá ó÷Ýóç ðñéóôÜíåé Ýëëåéøç ìå ôïí Ýíá çìéÜîïíá Qm êáé ôïí Üëëï Im . ¢ñá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç åßíáé áõôÞ ôïõ ó÷Þìáôïò 3.9. Óå ðïéÜ ðåñßðôùóç áõôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç åßíáé êýêëïò; Ç áðÜíôçóç åßíáé óå üëåò ôéò ðåñéðôþóåéò êáé óå êáììéÜ, äéüôé ôá ìåãÝèç i êáé q äåí Ý÷ïõí ôéò ßäéåò äéáóôÜóåéò. ÅðïìÝíùò ìðïñïýìå ðÜíôá íá ðáßñíïõìå ôçí ìïíÜäá ôùí áîüíùí q êáé i, þóôå ãåùìåôñéêÜ ôá ìÞêç Qm êáé Ém íá åßíáé ßóá êáé ì’ áõôü ôïí ôñüðï íá ðñïêýðôåé êýêëïò. ÖÈÉÍÏÕÓÅÓ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ Ç êßíçóç ôïõ áñìïíéêïý ôáëáíôùôÞ ðåñéãñÜöåôáé ìå ìéá áñìïíéêÞ óõíÜñôçóç ôïõ ÷ñüíïõ, óôçí ïðïßá ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò ðáñáìÝíåé óôáèåñü. Ðáñáôçñþíôáò Ýíá ðñáãìáôéêü óýóôçìá ðïõ ôáëáíôþíåôáé, âëÝðïõìå üôé ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò ìåéþíåôáé âáèìéáßá ìå ôï ÷ñüíï ìÝ÷ñé ðïõ ìçäåíßæåôáé. ÁõôÝò ïé ôáëáíôþóåéò, óôéò ïðïßåò ôï ðëÜôïò ìåéþíåôáé ìå ôï ÷ñüíï, ïíïìÜæïíôáé öèßíïõóåò ôáëáíôþóåéò. Ãéá íá ìåëåôÞóïõìå ôïí ôñüðï ìåßùóçò ôïõ ðëÜôïõò ìéáò ôáëÜíôùóçò, åêôåëïýìå ôï ðåßñáìá ôïõ ó÷Þìáôïò 3.10. ÈÝôïíôáò óå ôáëÜíôùóç ôï óýóôçìá “óþìá - åëáôÞñéï”, êáôáãñÜöåôáé óå Ýíá êéíïýìåíï ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá ÷áñôß ç èÝóç ôïõ óþìáôïò óå óõíÜñôçóç ìå ôï ÷ñüíï, ìå ôç âïÞèåéá ìéáò áêßäáò ç ïðïßá åßíáé óôåñåùìÝíç óôï óþìá. Ðáñáôçñïýìå ìåßùóç ôïõ ðëÜôïõò ëüãù áðþëåéáò åíÝñãåéáò ôçò ôáëÜíôùóçò, ïé ïðïßá ïöåßëåôáé óôéò ìç äéáôçñçôéêÝò äõíÜìåéò (äõíÜìåéò ôñéâÞò), ðïõ åìöáíßæïíôáé óôï óþìá ëüãù i I q Q 2 2 2 2 1 m m + = i ù Q ù q ù Q ù Q ù Q 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m m m m + = i ù q ù Q2 2 2 2 2 + = m i ù Q ù q2 2 2 2 2 = −m i ù Q q2 2 2 2 = −me j i ù Q q i ù Q q2 2 2 2 2 2 = − = ± −m mÞe j 1 2 L C ù=i L C Q q2 2 21 = −me j 1 2 1 1 2 1 2 12 2 2 C q L i C Q+ = m ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 9 Ó×ÇÌÁ 3.9 Ó×ÇÌÁ 3.10 ÌåëÝôç öèßíïõóáò ìç÷áíéêÞò ôáëÜíôùóçò.
- 26. áíôßóôáóçò ôïõ áÝñáêáé óôç ìç éäáíéêüôçôá ôïõ åëáôçñßïõ. Êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò ç ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá ôïõ ôáëáíôùôÞ ìåôáôñÝðåôáé óå èåñìïäõíáìéêÞ (åóùôåñéêÞ) åíÝñãåéá, áõîÜíåôáé äçëáäÞ ç åóùôåñéêÞ åíÝñãåéá ôïõ åëáôçñßïõ êáèþò êáé ôïõ óþìáôïò êáé ôïõ áÝñá. Áãíïïýìå ôéò áðþëåéåò óôï åëáôÞñéï êáé èåùñïýìå ôçí áíôßóôáóç áðü ôïí áÝñá áíÜëïãç ôçò ôá÷ýôçôáò õ. Ç äýíáìç ðïõ áíôéóôÝêåôáé óôçí êßíçóç ôüôå, åßíáé Fá = − bõ (3.11) Ç ôåëåõôáßá ó÷Ýóç áðïññÝåé áðü ôçí ìåëÝôç ôçò êßíçóçò åíüò óôåñåïý ó´Ýíá ñåõóôü, êáé üðùò èá äïýìå óå áíôßóôïé÷ï êåöÜëáéï ðáñáêÜôù, åßíáé ìéá êáëÞ ðñïóÝããéóç üôáí ïé ôá÷ýôçôåò åßíáé ìéêñÝò. Ôï b åîáñôÜôáé áðü ôï éîþäåò ôïõ ñåõóôïý (óôçí óõãêåêñéìÝíç ðåñßðôùóç ôïí áÝñá) êáé áðü ôï ó÷Þìá ôïõ óþìáôïò ðïõ êéíåßôáé. Åßíáé ìéá èåôéêÞ ðïóüôçôá êáé ïíïìÜæåôáé óõíôåëåóôÞò áðüóâåóçò. ÅðïìÝíùò ãéá ôïí ôáëáíôùôÞ ìáò Ý÷ïõìå Fïë = F + Fá üìùò F = − kx êáé Fá = − bõ ïðüôå Fïë = − kx − bõ Áðü ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Íåýôùíá Ý÷ïõìå má = Fïë Üñá (3.12) Ç êßíçóç ðïõ ðñïêýðôåé åßíáé ôáëÜíôùóç, ôçò ïðïßáò ôï ðëÜôïò ìåéþíåôáé ìå ôï ÷ñüíï. Áðü ôç ëýóç ôçò (3.12) ðáßñíïõìå (3.13) üðïõ ù′ ç êõêëéêÞ óõ÷íüôçôá ôçò åëåýèåñçò ôáëÜíôùóçò, êáé åßíáé ç êõêëéêÞ éäéïóõ÷íüôçôá Þ öõóéêÞ óõ÷íüôçôá ôïõ óõóôÞìáôïò êáé åßíáé ç êõêëéêÞ óõ÷íüôçôá, ìå ôçí ïðïßá èá åêôåëïýóå ôáëÜíôùóç ôï óýóôçìá, áí äåí õðÞñ÷áí ôñéâÝò. Ç ðïóüôçôá Á åßíáé ôï áñ÷éêü ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò. ÄçëáäÞ, áí ï ôáëáíôùôÞò åß÷å áñ÷éêÞ åíÝñãåéá Uáñ , ôï Á ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç (3.14) Ôï ðëÜôïò ôçò öèßíïõóáò ôáëÜíôùóçò ãéá ïðïéáäÞðïôå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = nT, üðïõ n = 1, 2, 3, ... äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç 1 2 2 k A U= áñ ù k m = x A e t ö ë b m ù ù b m ë t = ′ + = ′ = − U V | || W || | − cos ùb g 2 4 2 2 2 má k x b õ= − − 10 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.11 ÊáôÜ ôçí êßíçóç óöáßñáò óå õãñü ç äýíáìç ðïõ áíôéóôÝêåôáé åßíáé áíÜëïãç ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ óþìáôïò. Ó×ÇÌÁ 3.12 Ãéá ìéêñÝò ôá÷ýôçôåò ðôþóçò ç äýíáìç ðïõ äÝ÷åôáé áðü ôïí áÝñá ôï áëåîßðôùôï åßíáé áíÜëïãç ôçò ôá÷ýôçôÜò ôïõ.
- 27. (3.15) Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéòôçò áðïìáêñýíóåùò x, óõíáñôÞóåé ôïõ ÷ñüíïõ t, ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ b (b1 < b2 < b3 < b4 ) ðñïêýðôïõí ìå ôç âïÞèåéá ôçò (3.13) êáé åßíáé áõôÝò ôïõ ó÷Þìáôïò 3.13. Aðü ôéò ó÷Ýóåéò (3.13) åîÜãïíôáé ôá åîÞò óõìðåñÜóìáôá. á) Ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò ìåéþíåôáé åêèåôéêÜ ìå ôï ÷ñüíï . Ôï ðüóï ãñÞãïñá ìåéþíåôáé åîáñôÜ- ôáé áðü ôç óôáèåñÜ b. Ãéá ìåãáëýôåñåò ôéìÝò ôçò b ç áðüóâåóç ãßíåôáé ôá÷ýôåñá. â) Ç ðåñßïäïò åîáñôÜôáé áðü ôç óôáèåñÜ b êáé ìÜëéóôá, üóï ìåãáëýôåñç åßíáé ç óôáèåñÜ b, ôüóï ìåãáëýôåñç åßíáé ç ðåñßïäïò. Áõóôçñþò ìáèçìáôéêÜ ç x(t) äåí åßíáé ðåñéïäéêÞ óõíÜñôçóç [x (t + T) ≠ x (t) ãåíéêÜ], üìùò èåùñïýìå üôé ç ðåñéïäéêüôçôá ðñïêýðôåé áðü ôïí áñìïíéêü üñï cos (ù~t + ö) êáé üôé ôï ðëÜôïò áðëþò ìåéþíåôáé ìå ôï ÷ñüíï. Ç êßíçóç ïíïìÜæåôáé øåõäïðåñéïäéêÞ êáé ôï Ô′ ïíïìÜæåôáé øåõäïðåñßïäïò. ÁõôÜ Ý÷ïõí íüçìá, áí ç áðüóâåóç äåí åßíáé ðïëý ìåãÜëç. ã) Áí Ý÷ïõìå ôüôå ç ù~ äåí Ý÷åé ðñáãìáôéêÝò ôéìÝò êáé ç êßíçóç, üðùò áðïäåéêíýåôáé, åßíáé ìç ðåñéïäéêÞ. Ó'áõôÞ ôç ðåñßðôùóç, áí ôï óþìá áöåèåß áðü ìéá áñ÷éêÞ áðïìÜêñõíóç, âáèìéáßá öèÜíåé óôçí éóïññïðßá ÷ùñßò íá ôçí ðñïóðåñÜóåé (áí äåí Ý÷åé áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá) Þ èá ôçí ðñïóðåñÜóåé ôï ðïëý ìéá ìüíï öïñÜ (áí Ý÷åé êáôÜëëçëç áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá). ÐáñÜäåéãìá 3-3 Ãéá ìéá óöáßñá, áêôßíáò R ≈ ð cm, ï óõíôåëåóôÞò áðüóâåóçò b, ãéá ôçí êéíçóÞ ôçò óå íåñü èåñìïêñáóßáò 20 ï C, åßíáé Âõèßæïõìå åî ïëïêëÞñïõ óå íåñü ìéá óõìðáãÞ óöáßñá áðü áëïõìßíéï áêôßíáò ð cm, ç ïðïßá ôáõôü÷ñïíá åßíáé êñåìáóìÝíç áðü ôçí Üêñç åëáôçñßïõ óôáèåñÜò . ÅêôñÝðïõìå áðü ôçí èÝóç éóïññïðßáòk = 36 N m b = × ⋅− 6 0 10 4 , N s m ù b m 2 2 2 4 < ′ = ′ = − T ù ù b m 2 2 4 2 2 2 ð ð a A et ë t = − e j A A et ë t = − ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 11 Ó×ÇÌÁ 3.13 ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò x(t) ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ óõíôåëåóôÞ áðüóâåóçò b (b1 < b2 < b3 < b4).
- 28. ôç óöáßñá êáôáêüñõöáêáôÜ 0,20 m êáé ôçí áöÞíïõìå íá ôáëáíôùèåß. Ç óöáßñá ôáëáíôþíåôáé, åíþ äéáñêþò âñßóêåôáé ìÝóá óôï íåñü. á) Äþóôå ôçí Ýêöñáóç ôçò áðïìÜêñõíóçò ìå ôï ÷ñüíï. â) Ðüóïò ÷ñüíïò èá ðáñÝëèåé, ìÝ÷ñé ðïõ ç óöáßñá èá Ý÷åé ôï ìéóü ðëÜôïò áðü ôï áñ÷éêü, êáé ðüóç èåñìïäõíáìéêÞ åíÝñãåéá ðáñÜãåôáé ìÝ÷ñé ôüôå; Ç ðõêíüôçôá ôïõ áëïõìéíßïõ åßíáé êáé ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò íá ëçöèåß g = 10 m/s2 . ÁðÜíôçóç á) Ï üãêïò ôçò óöáßñáò åßíáé Åðßóçò Þ m = d V Üñá Þ Þ Þ ÅðïìÝíùò Þ Åðßóçò Þ ù = 10 rad/s ¢ñá Þ äçëáäÞ ù′ ≈ 10 rad/s Áíôéêáèéóôþíôáò óôçí ó÷Ýóç (3.13) Ý÷ïõìå (x óå m, t óå s) H áñ÷éêÞ öÜóç åßíáé ö = 0, äéüôé ãéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 Ý÷ïõìå x = 0,2 m, Üñá cos ö = 1 x e t t = − 0 2 101200, cos ′ = − × ù 10 1 1 44 10 2 6 , rad / s ′ = −ù ù ë2 2 ù k m = = 36 0 36, rad / s ë = 1 1200 s-1 ë b m = = × × − 2 6 10 2 0 36 4 , s-1 m = 0 36, kgm = ×3 6 102 , g m = × × F HG I KJ2 7 4 3 , ð ð g3 m d R= 4 3 3 ð d m V = V R= 4 3 3 ð d = 2 7, g cm 3 12 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ
- 29. â) Ôï ðëÜôïòåßíáé . Ãéá At = 0,10 Ý÷ïõìå Þ Þ t = 1200 × ln 2 s Þ t ≈ 830 s Þ t ≈ 14 min Ç èåñìïäõíáìéêÞ åíÝñãåéá ðïõ ðáñÜãåôáé åßíáé ¢ñá Þ ÅÎÁÍÁÃÊÁÓÌÅÍÅÓ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ - ÓÕÍÔÏÍÉÓÌÏÓ ÌÝ÷ñé ôþñá Ý÷ïõìå áíáöÝñåé ôéò áìåßùôåò åëåýèåñåò Þ öõóéêÝò ôáëáíôþóåéò, êáèþò êáé ôéò öèßíïõóåò. Ìéá Üëëç êáôçãïñßá ôáëáíôþóåùí åßíáé ïé åîáíáãêáóìÝíåò. ÅîáíáãêáóìÝíåò ôáëáíôþóåéò åßíáé áõôÝò êáôÜ ôéò ïðïßåò ôï ôáëáíôïýìåíï óýóôçìá äÝ÷åôáé ôçí åðßäñáóç ìéáò åîùôåñéêÞò ðåñéïäéêÞò äýíáìçò, ç ïðïßá ðñïóöÝñåé åíÝñãåéá óôï óýóôçìá Ýôóé, þóôå íá áíáðëçñþíïíôáé ïé åíåñãåéáêÝò ôïõ áðþëåéåò êáé óõíåðþò áõôü íá åêôåëåß ôáëáíôþóåéò óôáèåñïý ðëÜôïõò (áìåßùôåò). Ðáñáäåßãìáôá åîáíáãêáóìÝíùí ôáëáíôþóåùí ðïëýðëïêùí óõóôçìÜôùí åßíáé ç ôáëÜíôùóç ìéáò ãÝöõñáò õðü ôçí åðßäñáóç ôïõ óõíôïíéóìÝíïõ âÞìáôïò óôñáôéùôþí, ç êßíçóç ôçò êïýíéáò ðïõ äÝ÷åôáé ðåñéïäéêÝò ùèÞóåéò, ç ëåéôïõñãßá ìéáò êåñáßáò, ðïõ ëáìâÜíåé çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá ê.Ü. Åðßóçò öáéíüìåíá åîáíáãêáóìÝíùí ôáëáíôþóåùí Ý÷ïõìå óôçí áêïõóôéêÞ êáé óôçí ðõñçíéêÞ öõóéêÞ. Ç äýíáìç óôçí åîáíáãêáóìÝíç ôáëÜíôùóç ìðïñåß íá Ý÷åé äéÜöïñåò ðåñéïäéêÝò ìïñöÝò. Ìéá áðëÞ ðåñßðôùóç åßíáé áõôÞ êáôÜ ôçí ïðïßá ç äýíáìç åßíáé áñìïíéêÞ óõíÜñôçóç ôïõ ÷ñüíïõ, äçëáäÞ (3.14)* * ×ñçóéìïðïéïýìå ôçí Ýêöñáóç áõôÞ ãéá ôçí äýíáìç, äéüôé ïðïéáäÞðïôå ðåñéïäéêÞ äýíáìç ìðïñåß íá ãñáöåß ùò Üèñïéóìá áñìïíéêþí óõíáñôÞóåùí (áíÜëõóç Fourier). F F ù t= m dcos U = 0 54, J U = × × − × × F HG I KJ1 2 36 0 2 1 2 36 0 12 2 , , J U k A k A = − F HG I KJ1 2 1 2 2 2 2 t 1200 = ln2 0 10 0 2 1200, ,= × − e t At t e= × − 0 2 1200, ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 13
- 30. Ôüôå ç óõíéóôáìÝíçäýíáìç åßíáé Fïë = − kx − bõ + Fm cos ùd t. ¢ñá áðü ôï 2ï íüìï ôïõ Íåýôùíá Fïë = m.á ðñïêýðôåé (3.15) Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ áðïäåéêíýåôáé üôé ìåôÜ áðü áñêåôü ÷ñüíï, áðü ôüôå ðïõ Üñ÷éóå íá äñá ç åîùôåñéêÞ äýíáìç êáé áíåîÜñôçôá áðü ôéò áñ÷éêÝò ôïõ óõíèÞêåò, ôï óýóôçìá åêôåëåß áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç óôáèåñïý ðëÜôïõò êáé óõ÷íüôçôáò ßóçò ìå áõôÞ ôçò åîùôåñéêÞò äýíáìçò (ìüíéìï öáéíüìåíï). Ç ëýóç ôçò åîßóùóçò (3.15) åßíáé üðïõ Á åßíáé ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò. Ç óõ÷íüôçôá ôïõ ôáëáíôïýìåíïõ óõóôÞìáôïò éóïýôáé ìå ôç óõ÷íüôçôá ôïõ äéåãÝñôç, äçëáäÞ ôç óõ÷íüôçôá ôïõ ðáñÜãïíôá ðïõ áóêåß ôçí ðåñéïäéêÞ åîùôåñéêÞ äýíáìç. ÓÕÍÔÏÍÉÓÌÏÓ Êéíþíôáò ôï ÷Ýñé ìáò ðåñéïäéêÜ óå êáôáêüñõöç ôñï÷éÜ, áóêåßôáé óôï óþìá ôïõ ó÷Þìáôïò 3.13(á) ðåñéïäéêÞ äýíáìç êáé ôï óýóôçìá “åëáôÞñéï- ìÜæá” åêôåëåß åîáíáãêáóìÝíåò ôáëáíôþóåéò. ÅðáíáëáìâÜíïíôáò ôï ðåßñáìá, ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò óõ÷íüôçôáò ôïõ ÷åñéïý ìáò, äéáðéóôþíïõìå üôé ôï ðëÜôïò ôçò åîáíáãêáóìÝíçò ôáëÜíôùóçò åßíáé äéáöïñåôéêü êáé ìÜëéóôá ìåãáëþíåé êáèþò ç óõ÷íüôçôá ôïõ ÷åñéïý ìáò ðëçóéÜæåé ôçí éäéïóõ÷íüôçôá ôïõ óõóôÞìáôïò “åëáôÞñéï - ìÜæá”, åßôå áðü ìåãáëýôåñåò, åßôå áðü ìéêñüôåñåò ôéìÝò óõ÷íïôÞôùí. ~Ïôáí ç óõ÷íüôçôá ôïõ ÷åñéïý ìáò ãßíåé ßóç ìå ôçí éäéïóõ÷íüôçôá ôïõ óõóôÞìáôïò “åëáôÞñéï - ìÜæá”, ôï ðëÜôïò ãßíåôáé ìÝãéóôï êáé ëÝìå üôé Ý÷ïõìå êáôÜóôáóç óõíôïíéóìïý. Ôï öáéíüìåíï áõôü Ý÷åé åöáñìïãÝò óå üëåò ôéò åîáíáãêáóìÝíåò ôáëáíôþóåéò (ìç÷áíéêÝò, çëåêôñéêÝò, ðõñçíéêÝò ê.ëð.) êáé ç óçìáóßá ôïõ åßíáé ôåñÜóôéá. Ìå ôç âïÞèåéá ôçò ó÷Ýóåùò (3.16) ìðïñïýìå íá ðåñéãñÜøïõìå ôï óõíôïíéóìü. Óôï ó÷Þìá 3.14 Ý÷ïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ ðëÜôïõò Á ôçò åîáíáãêáóìÝíçò ôáëÜíôùóçò, óõíáñôÞóåé ôçò êõêëéêÞò óõ÷íüôçôáò ôïõ äéåãÝñôç ùd , ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ óõíôåëåóôÞ áðüóâåóçò b. ÁõôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ïíïìÜæåôáé êáìðýëç óõíôïíéóìïý. Ðáñáôçñïýìå üôé ôï ðëÜôïò, ãéá ìéá óõãêåêñéìÝíç ôéìÞ ôçò óôáèåñÜò b, ãßíåôáé ìÝãéóôï óå ìéá óõ÷íüôçôá ðëçóßïí ôçò êõêëéêÞò éäéïóõ÷íüôçôáò ù. Êáèþò ç óôáèåñÜ b ìéêñáßíåé, ôï ìÝãéóôï ðëÜôïò ìåãáëþíåé êáé ç óõ÷íüôçôá, ãéá ôçí ïðïßá óõìâáßíåé ç ìåãéóôïðïßçóç ,ðñïóåããßæåé ôçí ù. Áðü ôï ó÷Þìá 3.14 âëÝðïõìå üôé ãéá b3 > b2 > b1 Ý÷ïõìå Á3 max < A2max < A1 max êáé ù3 < ù2 < ù1 < ù, üðïõ ù1 , ù2 , ù3 ïé óõ÷íüôçôåò ìåãéóôïðïßçóçò ôïõ ðëÜôïõò. (3.16) x A ù t a A ù F b m ù k ù a m ù k ù b = − = + − F HG I KJ = − U V || ||| W || | || sin üðïõ êáé tan d d m d d d d b g 1 2 2 ma k x b õ F ù t= − − + m dcos 14 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.13(á) ÅîáíáãêáóìÝíåò ôáëáíôþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò åëáôçñßïõ-ìÜæáò.
- 31. Ç êáôÜóôáóç êáôÜôçí ïðïßá ç óõ÷íüôçôá ôïõ äéåãÝñôç Ý÷åé ôÝôïéá ôéìÞ þóôå íá ðñïêáëåßôáé ôáëÜíôùóç ìå ìÝãéóôï ðëÜôïò ëÝãåôáé óõíôïíéóìüò (ðëÜôïõò). Ãéá ôçí óõ÷íüôçôá óõíôïíéóìïý ðëÜôïõò éó÷ýåé Ç ôá÷ýôçôá ôïõ ôáëáíôïýìåíïõ óþìáôïò äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç Ðáñáãùãßæïíôáò ôçí x(t), ùò ðñïò t, áðü ôçí (3.16), Ý÷ïõìå Þ (3.17) üðïõ (3.18) Åöüóïí õ = õ0 cos (ùd t − á) êáé F = Fm cos ùd t, ç á éóïýôáé ìå ôç äéáöïñÜ öÜóçò ìåôáîý ôá÷ýôçôáò êáé åîùôåñéêÞò äýíáìçò. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ ðëÜôïõò ôçò ôá÷ýôçôáò õ0 óõíáñôÞóåé ôçò ùd , üðùò ðñïêýðôåé áðü ôçí (3.18) äßíåôáé áðü ôï äéÜãñáììá ôïõ ó÷Þìáôïò 3.15. Ðáñáôçñïýìå üôé ôï ðëÜôïò ôçò ôá÷ýôçôáò ãßíåôáé ìÝãéóôï üôáí ãßíåé åëÜ÷éóôïò ï ðáñáíïìáóôÞò óôç ó÷Ýóç (3.18), äçëáäÞ Þ Þ Þù k m d =m ù k ù d d = m ù k ù d d − F HG I KJ = 2 0 õ ù Á F b m ù k ù 0 2 2 = = + − F HG I KJ d m d d õ õ ù t a= −0 cos d( ) õ ù Á ù t a= −d dcos b g õ x t = d d ′ = −ù ù b m 2 2 2 2 ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 15 Ó×ÇÌÁ 3.14 Êáìðýëç óõíôïíéóìïý. Ó×ÇÌÁ 3.15 ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ ðëÜôïõò ôçò ôá÷ýôçôáò ìå ôçí ùd ôïõ åîùôåñéêïý áéôßïõ óôçí åîáíáãêáóìÝíç ôáëÜíôùóç.
- 32. (3.19) Áðü ôç ó÷Ýóç(3.16) ç taná, óôçí ðåñßðôùóç óõíôïíéóìïý ãßíåôáé, tan á = 0 Þ á = 0, äçëáäÞ ç åîùôåñéêÞ äýíáìç âñßóêåôáé óå öÜóç ìå ôçí ôá÷ýôçôá. Áõôü Ý÷åé ùò áðïôÝëåóìá, ç éó÷ýò P = Fõ Þ íá åßíáé èåôéêÞ óå üëç ôç äéÜñêåéá ìéáò ðåñéüäïõ (ó÷Þìá 3.16) êáé ôáõôü÷ñïíá íá ìåôáöÝñåôáé ç ìÝãéóôç åíÝñãåéá áðü ôïí äéåãÝñôç óôï ôáëáíôïýìåíï óýóôçìá áíÜ ðåñßïäï. Ç êáôÜóôáóç, êáôÜ ôçí ïðïßá ç óõ÷íüôçôá ôïõ äéåãÝñôç éóïýôáé ìå ôçí éäéïóõ÷íüôçôá ôïõ ôáëáíôïýìåíïõ óõóôÞìáôïò (öõóéêÞ óõ÷íüôçôá), ïíïìÜæåôáé êáôÜóôáóç óõíôïíéóìïý (ôá÷ýôçôáò Þ åíÝñãåéáò), êáé ôüôå óõìâáßíïõí ôá åîÞò: á) Ôï ðëÜôïò ôçò ôá÷ýôçôáò åßíáé ìÝãéóôï êáé â) Ý÷ïõìå ôï ìÝãéóôï ìÝóï ñõèìü áðïññüöçóçò åíÝñãåéáò ôïõ ôáëáíôïýìåíïõ óõóôÞìáôïò áðü ôï äéåãÝñôç. ÐáñÜäåéãìá 3-4 Áðü Ýíá íÞìá êñåìÜìå ìéá óöáßñá m. ÄÝíïõìå ôçí óöáßñá ìå Ýíá ÷áëáñü ëáóôé÷Üêé ôïõ ïðïßïõ ç Üëëç Üêñç åßíáé äåìÝíç óå Ýíá äßóêï ðéê-áð 45 óôñïöþí. Íá âñåßôå ôï ìÞêïò ðïõ ðñÝðåé íá Ý÷åé ôï íÞìá þóôå íá ðáñáôçñåßôáé óõíôïíéóìüò (ðëÜôïõò). Ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò íá ëçöèåß ßóç ìå 10 m/s2 . AðÜíôçóç Ôï åêêñåìÝò åêôåëåß åîáíáãêáóìÝíç ôáëÜíôùóç, ïðüôå ãéá íá Ý÷ïõìå óõíôïíéóìü ðñÝðåé ù = ùd Åßíáé Üñá êáé Þ ¢ñá Þ ÖÈÉÍÏÕÓÅÓ ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÐñïçãïõìÝíùò åßäáìå ôçí éäáíéêÞ ðåñßðôùóç êõêëþìáôïò LC êáôÜ ôçí ïðïßá ç ùìéêÞ áíôßóôáóç ôïõ êõêëþìáôïò åßíáé ìçäÝí. Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá üìùò, ôï êýêëùìá ðáñïõóéÜæåé ùìéêÞ áíôßóôáóç R, ïðüôå Ý÷ïõìå áðþëåéåò åíÝñãåéáò ëüãù öáéíïìÝíïõ Joule. Ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò ìåéþíåôáé óõíå÷þò ìÝ÷ñé íá ìçäåíéóôåß êáé ïé çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò åßíáé öèßíïõóåò. ÐÏÓÏÔÉÊÇ ÌÅËÅÔÇ Ãéá ôï êýêëùìá ôïõ ó÷Þìáôïò 3.18 Ý÷ïõìå l = 0 45, ml = 10 4 71 2 , m ùd rad / s= 4 71, ù fd ð ð 45 60 rad / s= = ×2 2 l = g ùd 2 ù g = l P F õ ù t= m 2 dcos0 ùd = ù (ÓõíèÞêç óõíôïíéóìïý) 16 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.17 Ó×ÇÌÁ 3.18 Mç éäáíéêü êýêëùìá LC. Ó×ÇÌÁ 3.16 Ôï ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäüí éóïýôáé ìå ôçí åíÝñãåéá ðïõ ðñïóöÝñåôáé óôï óýóôçìá óå ÷ñüíï T
- 33. (3.20) Åßíáé , ÜñáÞ (3.21) Ç åîßóùóç (3.21) åßíáé áíÜëïãç ìå ôçí (3.12), ëüãù ôçò áíôéóôïé÷ßáò ìç÷áíéêþí êáé çëåêôñéêþí ìåãåèþí Ïðüôå ç ëýóç åßíáé óå áíôéóôïé÷ßá ìå ôçí (3.13) üðïõ Ïé öèßíïõóåò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò ìðïñïýí íá ðáñáôçñçèïýí óå ðáëìïãñÜöï, ìåôñþíôáò ôçí ôÜóç óôá Üêñá ôçò áíôßóôáóçò (ó÷. 3.19). Ôá óõìðåñÜóìáôá åßíáé áíôßóôïé÷á ìå áõôÜ ôùí ìç÷áíéêþí ôáëáíôþóåùí äçëÜäç. á) Ôï (øåõäï)ðëÜôïò ìåéþíåôáé åêèåôéêÜ ìå ôï ÷ñüíï â) Ç (øåõäï)ðåñßïäïò åîáñôÜôáé áðü ôçí áíôßóôáóç R êáé åßíáé êáé ã) Ãéá Ý÷ïõìå ìç (øåõäü)ðåñéïäéêü öáéíüìåíï. ÐáñÜäåéãìá 3-5 Ãéá Ýíá ìç éäáíéêü êýêëùìá çëåêôñïìáãíçôéêþí ôáëáíôþóåùí Ý÷ïõìå ôéò ôéìÝò L = 5,0 mH êáé C = 2,0 ìF. Ç óõíïëéêÞ ùìéêÞ áíôßóôáóç ôïõ êõêëþìáôïò åßíáé R = 1,0 Ù. Íá õðïëïãßóåôå ôç óõ÷íüôçôá ôçò öèßíïõóáò ôáëÜíôùóçò êáé íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ÷ñüíï ìÝóá óôïí ïðïßï õðïäéðëáóéÜæåôáé ôï ðëÜôïò ôùí ôáëáíôþóåùí. ù R L 2 2 2 4 < ′ = ′ = − T ù ù R L 2 2 4 2 2 2 ð ð Q t Q e R t L m m( ) = − 2 (3.22) q Q e ù t ö ù ù R L ù L C R t L= ′ + ′ = − = U V ||| W || | − m cos ç êõêëéêÞ éäéïóõxíü ôçôá 2 2 2 2 4 1 b g L m R b C k q x i õ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ F H G GG GGG I K J JJ JJJ 1 L i t i R C q d d + + = 1 0 − = +L i t i R q C d d åL L i t = − d d åL i R q C = + ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 17 Ó×ÇÌÁ 3.19 Ðáñáôçñïýìå óå ðáëìïãñÜöï ôéò öèßíïõóåò çëåêôñ. ôáëáíôþóåéò ìåôñþíôáò ôçí ôÜóç õR óôá Üêñá ôçò áíôßóôáóçò R.
- 34. ÁðÜíôçóç ¸÷ïõìå Åßíáé Þ ÅðïìÝíùò Þ Þ Þ ¢ñá êáé Ðáñáôçñïýìå üôé çäéáöïñÜ ôçò êõêëéêÞò óõ÷íüôçôáò áðü ôçí êõêëéêÞ éäéïóõ÷íüôçôá åßíáé ìçäáìéíÞ. Ãéá ôï ðëÜôïò Ý÷ïõìå ÈÝëïõìå Üñá ÞQ e Q R t L m m − =2 2 Q t Q m m ( ) = 2 Q t Q e R t L m m( ) = − 2 ′ = ′ =f ù 2 10 2 4 ð ð Hz = 1600 Hz ′ ≈ ×ù 1 0 104 , rad s ′ = ×ù 10 0 9994 , rad s Þ Çzb g ′ = −ù 10 1 1 10 4 4 rad s ′ = −ù 10 108 4 rad s ′ = − × × − ù 10 1 4 5 10 8 2 3 2 e j rad s ù = 104 rad s ù L C = = × ⋅ × − 1 1 5 10 3 H 2,0 10 F -6 ′ = −ù ù R L 2 2 2 4 18 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ
- 35. Þ Þ Þ ÅÎÁÍÁÃÊÁÓÌÅÍÅÓ ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ¼ðùò óôéò ìç÷áíéêÝò ôáëáíôþóåéò ìå ôñéâÝò, ðñïóöÝñïõìå åíÝñãåéá ãéá ôçí óõíôÞñçóÞ ôïõò, ðáñüìïéá êáé óôéò öèßíïõóåò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò, ðñïóöÝñïõìå ðåñéïäéêÜ åíÝñãåéá, ìÝóù ðçãÞò åíáëëáóüìåíïõ ñåýìáôïò, (Ó÷. 3.20) þóôå ç ôáëÜíôùóç ðïõ ðñïêýðôåé íá åßíáé áìåßùôç. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç çëåêôñéêÞ ôáëÜíôùóç ëÝãåôáé åîáíáãêáóìÝíç çëåêôñéêÞ ôáëÜíôùóç. ÐÏÓÏÔÉÊÇ ÌÅËÅÔÇ Áðü ôï êýêëùìá ôïõ ó÷Þìáôïò 3.20 Ý÷ïõìå ÅðïìÝíùò Þ (3.24) Ç (3.24) åßíáé áíÜëïãç ìå ôçí (3.15), ëüãù ôùí ãíùóôþí áíôéóôïé÷éþí, ïðüôå ç ëýóç ôçò åßíáé (3.25) q t Q ù t á Q ù V R Lù Cù á Lù Cù R b g b g= − = + − F HG I KJ = − U V | || || | W | || || | m d m d d d d d sin tan 1 1 1 2 2 üðïõ êáé L i t q C i R V ù t d d cosm d= − − + V ù t i R L i t q C m dcos d d = + + (3.23) õ õ õ õ õ V ù t õ i R õ L i t õ q C R L C R L C = + + = = = = U V || || W || || üðïõ cos d d m d t = 0 0069, st = × × − 2 5 10 1 3 ln2 s R t L2 2= lne R t L − =2 1 2 ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 19 Ó×ÇÌÁ 3.20 Êýêëùìá RLC åêôåëåß åîáíáãêáóìÝíåò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò.
- 36. Ðáñáãùãßæïíôáò ôçí q(t)ùò ðñïò t, áðü ôçí (3.25) Ý÷ïõìå (3.26) Ç ðïóüôçôá ù d Qm åßíáé ôï ðëÜôïò ôïõ ñåýìáôïò Ém , Üñá Åðßóçò áðü ôçí (3.23) êáé (3.27) Ý÷ïõìå (3.28) Áêüìç Þ (3.29) ÐáñáðÜíù ÷ñçóéìïðïéÞóáìå ôçí ó÷Ýóç ¸÷ïõìå åðßóçò (3.30) Åäþ ÷ñçóéìïðïéÞóáìå ôéò ó÷Ýóåéò Ôï ðéï ðÜíù êýêëùìá Ý÷åé ìåëåôçèåß êáé óôï êåöÜëáéï ôïõ çëåêôñïìáãíçôéóìïý ÓÕÍÔÏÍÉÓÌÏÓ ~Ïðùò óôéò ìç÷áíéêÝò ôáëáíôþóåéò Ýôóé êáé óôéò åîáíáãêáóìÝíåò çëåêôñïìáãíçôéêÝò ðáñáôçñåßôáé ôï öáéíüìåíï ôïõ óõíôïíéóìïý. Áðü ôçí ó÷Ýóç (3.27) Ý÷ïõìå üôé ôï ðëÜôïò ôïõ ñåýìáôïò åßíáé I V R L ù C ù m m d d = + − F HG I KJ2 2 1 cos ð 2 cos ð 2 sinè è è− F HG I KJ = − F HG I KJ = õ V ù t a V I ù C C C C = − − F HG I KJ = U V || W || cos ð 2 üðïõ d m d õ q C I ù C ù t a C = = −m d dsin b g cos ð 2 sinè è+ F HG I KJ = − õ V ù t a V I L ù L L L = − + F HG I KJ = U V| W| cos ð 2 d m d õ L i t L ù I ù t aL = = − − d d sind m db gc h õ I R ù t a õ V ù t a V I R R R R R = − = − = UVW m d d m cos Þ cos üðïõ b g b g (3.27)I V R L ù Cù m m d d = + − F HG I KJ2 2 1 i ù Q ù t a= −d m dcosb g 20 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ
- 37. ÅÜí äéáôçñÞóïõìå ôïðëÜôïò ôçò ôÜóåùò ôçò ðçãÞò Vm óôáèåñü, ôüôå ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ ðëÜôïõò Ém , óõíáñôÞóåé ôçò ùd ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò ùìéêÞò áíôßóôáóçò R, åßíáé áõôÞ ôïõ ó÷Þìáôïò (3.21). Ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôïõ ðëÜôïõò ðñáãìáôïðïéåßôáé üôáí Þ Þ ùd = ù (óõíèÞêç óõíôïíéóìïý) (3.31) üðïõ ù, ç êõêëéêÞ éäéïóõ÷íüôçôá ôïõ êõêëþìáôïò Ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôïõ ðëÜôïõò åßíáé ìå tan á = 0 Ôá ìåãÝèç i êáé õ åßíáé ôüôå óå öÜóç. Ç óôéãìéáßá éó÷ýò ðïõ ðáñÝ÷åé ç ðçãÞ óôï êýêëùìá åßíáé ðÜíôá èåôéêÞ êáé åðïìÝíùò Ý÷ïõìå ôï ìÝãéóôï ìÝóï ñõèìü ðñïóöïñÜò åíÝñãåéáò áðü ôçí ðçãÞ óôï êýêëùìá. Ç êáôÜóôáóç áõôÞ åßíáé ìéá êáôÜóôáóç óõíôïíéóìïý åíÝñãåéáò. ÅÍÅÑÃÅÉÁÊÇ ÁÍÔÉÓÔÏÉ×ÉÁ ÊáôÜ ôç ìåëÝôç ôïõ êõêëþìáôïò RLC óôï áíôßóôïé÷ï êåöÜëáéï ôïõ çëåêôñïìáãíçôéóìïý, Ý÷åé äïèåß ï ôýðïò ãéá ôç ìÝóç êáôáíáëéóêüìåíç éó÷ý üðïõ Êáô' áíôéóôïé÷ßá ç ìÝóç êáôáíáëéóêüìåíç éó÷ýò óôï ìç÷áíéêü ôáëáíôùôÞ åßíáé (3.32)P õ b= 0 2 2 I I r m = 2 P I R= r 2 P õ i V I ù t= = m m 2 dcos I V R m m = ù L C d = 1 L ù C ù d d − = 1 0 ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 21 Ó×ÇÌÁ 3.21 Êáìðýëç óõíôïíéóìïý óå çëåêôñéêü êýêëùìá, ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò áíôßóôáóçò R.
- 38. ¼ëç ç ðéïðÜíù éó÷ýò ìåôáôñÝðåôáé óå èåñìïäõíáìéêÞ êáé ìåôáâáßíåé óôï ðåñéâÜëëïí ìå ìïñöÞ èåñìéêÞò éó÷ýïò. ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ ÓÕÍÔÏÍÉÓÌÏÕ Èá áíáöåñèïýí ôþñá ìåñéêÝò áðü ôéò åöáñìïãÝò ôïõ óõíôïíéóìïý á) ¼ôáí Ýíá çëåêôñïìáãíçôéêü êýìá äéÝñ÷åôáé áðü Ýíá áÝñéï, ôá çëåêôñüíéá ôïõ áåñßïõ åêôåëïýí åîáíáãêáóìÝíåò ôáëáíôþóåéò ìå ôçí åðßäñáóç ôïõ ðåñéïäéêÜ ìåôáâáëëüìåíïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ. Ôá ìüñéá Ý÷ïõí ïñéóìÝíåò öõóéêÝò óõ÷íüôçôåò ôáëÜíôùóçò, êáé üôáí ç óõ÷íüôçôá ôçò çëåêôñïìáãíçôéêÞò áêôéíïâïëßáò ôáõôéóôåß ìå ôéò óõ÷íüôçôåò áõôÝò, Ý÷ïõìå ôç ìÝãéóôç áðïññüöçóç çëåêôñïìáãíçôéêÞò áêôéíïâïëßáò áðü ôï áÝñéï. Ìðïñïýìå íá ìåôñÞóïõìå ôéò óõ÷íüôçôåò ìÝãéóôçò áðïññüöçóçò áêôéíïâïëßáò êáé íá ðÜñïõìå ôï öáóìá ôáëáíôþóåùí ôïõ ìïñßïõ ôïõ óõãêåêñéìÝíïõ áåñßïõ. â) ¸íáò ñáäéïöùíéêüò äÝêôçò äÝ÷åôáé ðïëëÜ óÞìáôá äéáöüñùí óõ÷íïôÞôùí. Ðñïóðáèþíôáò íá “ðéÜóïõìå” Ýíáí óõãêåêñéìÝíï óôáèìü, ìåôáâÜëëïõìå ôç ÷ùñçôéêüôçôá ôïõ ðõêíùôÞ ôïõ êõêëþìáôïò óõíôïíéóìïý óôçí åßóïäï ôïõ äÝêôç, þóôå íá ìåôáâÜëëåôáé ç éäéïóõ÷íüôçôÜ ôïõ. ¼ôáí ç éäéïóõ÷íüôçôá áõôïý ôïõ êõêëþìáôïò óõíôïíéóìïý ôïõ äÝêôç ãßíåé ßóç ìå ôç óõ÷íüôçôá ôïõ óõãêåêñéìÝíïõ óôáèìïý Ý÷ïõìå óõíôïíéóìü êáé óõíåðþò áêïýìå ìüíï áõôü ôï óôáèìü. ã) Óôéò ìç÷áíéêÝò êáôáóêåõÝò, ãÝöõñåò, êôßñéá êëð., ïé êáôáóêåõáóôÝò öñïíôßæïõí, þóôå ïé öõóéêÝò óõ÷íüôçôåò ôùí êáôáóêåõþí íá áðÝ÷ïõí ðïëý áðü ôéò óõ÷íüôçôåò äéÝãåñóçò, ðïõ ðñïêáëïýí ïé ðíÝïíôåò Üíåìïé ôçò ðåñéï÷Þò. Ì' áõôü ôï ôñüðï áðïöåýãïíôáé ïé êáôáóôÜóåéò óõíôïíéóìïý ðïõ ìðïñïýí íá áðïâïýí ìïéñáßåò. ÐáñÜäåéãìá åßíáé ç ãÝöõñá ôïõ Tacona Narrows óôï Puget Sound, Washington (ó÷Þìá 3.22), ç ïðïßá ôï 1940, ôÝóóåñéò ìÞíåò ìåôÜ ôçí ðáñÜäïóç óôçí êõêëïöïñßá, Ýðåóå. Áéôßá Þôáí Ýíáò äõíáôüò Üíåìïò ðïõ ðñïêÜëåóå ìéá ðåñéïäéêÞ äýíáìç, ç ïðïßá óõíôïíßóôçêå ìå ôç öõóéêÞ óõ÷íüôçôá ôçò ãÝöõñáò. ÁðïôÝëåóìá Þôáí ç äéáñêÞò áýîçóç ôïõ ðëÜôïõò ôçò ôáëÜíôùóçò ôçò ãÝöõñáò, ìÝ÷ñé ðïõ Ýðåóå. ä) ~Ïôáí êïõíÜìå Ýíá ðáéäß óå ìéá êïýíéá, ç þèçóç ðïõ äßíïõìå, åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï ßäéá ìå áõôÞ ôçò êïýíéáò, þóôå íá Ý÷ïõìå óõíôïíéóìü êáé íá ðåôõ÷áßíïõìå óôáèåñü êáé ìåãÜëï ðëÜôïò ôáëÜíôùóçò. 22 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ ÅÉÊÏÍÁ 3.22 H ãÝöõñá Tacona - Narrows íá åêôåëåß ôáëáíôþóåéò ëüãù éó÷õñïý áíÝìïõ.
- 39. ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 23 "ÐÅÑÉÃÑÁÖÇ ÅÍÏÓ ÁÑÌÏÍÉÊÏÕ ÌÅÃÅÈÏÕÓ ÌÅ ÔÇ ×ÑÇÓÇ ÐÅÑÉÓÔÑÅÖÏÌÅÍÏÕ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÏÓ" ¸óôù Ýíá ìÝãåèïò ðïõ ìåôáâÜëëåôáé óõíçìéôïíïåéäþò ìå ôï ÷ñüíï, äçëáäÞ Èåùñïýìå Ýíá äéÜíõóìá ìå áñ÷Þ ôçí áñ÷Þ åíüò ïñèïêáíïíéêïý óõóôÞìáôïò, ðïõ ðåñéóôñÝöåôáé áíôßèåôá áðü ôïõò äåßêôåò ôïõ ñïëïãéïý ìå ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù (ó÷. É). Ç ðñïâïëÞ óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá Ïx ìáò äßíåé ôç óôéãìéáßá ôéìÞ á, äéüôé Þ Èåþñçìá ôùí ðñïâïëþí: ÅÜí Ý÷ïõìå äýï Þ ðåñéóóüôåñá äéáíýóìáôá, ôüôå ôï Üèñïéóìá ôùí ðñïâïëþí ôùí äéáíõóìÜôùí óå ìéá ôõ÷áßá åõèåßá éóïýôáé ìå ôçí ðñïâïëÞ ôïõ áèñïßóìáôïò ôùí äéáíõóìÜôùí (ó÷. ÉÉ). ÄçëáäÞ áí ôüôå ãx = áx + âx üðïõ ãx , áx êáé âx ïé âáèìùôÝò ðñïâïëÝò ôùí äéáíõóìÜôùí → ã, → á êáé → â áíôéóôïß÷ùò. Ôï ßäéï éó÷ýåé ãéá ôéò äéáíõóìáôéêÝò ðñïâïëÝò. ¸óôù üôé Ý÷ïõìå äýï ìåãÝèç á êáé â ðïõ ìåôáâÜëëïíôáé óõíçìéôïíïåéäþò ìå ôï ÷ñüíï, êáé êáé èÝëïõìå íá õðïëïãßóïõìå ôçí ðïóüôçôá äçëáäÞ Èåùñïýìå ôçí ðåñéãñáöÞ ôùí ðïóïôÞôùí á, â ìå ôç âïÞèåéá ôùí ðåñéóôñåöüìåíùí äéáíõóìÜôùí (Ó÷. ÉÉÉ). Óôçñéæüìåíïé óôï èåþñçìá ôùí ðñïâïëþí Ý÷ïõìå üðïõ ¢ñá êáé tan sin cos è  ö Á  ö = + à Á  Á ö= + +2 2 2 cos à Á  → → → = + ã à ùt è= +cos b g ã Á ùt  ùt ö= + +cos cos b gã á â= + â  ùt ö= +cos b gá Á ùt= cos ã á â → → → = + a A ùt ö= +cos b g cos ùt ö a Á + =b g A → a A ùt ö= +cos b g Ó×ÇÌÁ (É) Ó×ÇÌÁ (ÉI) Ó×ÇÌÁ (ÉÉÉ)
- 40. ÓÕÍÈÅÓÇ ÁÐËÙÍ ÁÑÌÏÍÉÊÙÍÔÁËÁÍÔÙÓÅÙÍ Á) ÓÕÍÈÅÓÇ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÙÍ ÔÇÓ ÉÄÉÁÓ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇÓ á) Ôáëáíôþóåéò ßäéáò óõ÷íüôçôáò ¸óôù üôé Ýíá óþìá åêôåëåß ôáõôü÷ñïíá äõï áðëÝò áñìïíéêÝò êéíÞóåéò éäéáò óõ÷íüôçôáò, êáé Ç óõíéóôáìÝíç êßíçóç ôïõ óþìáôïò èá ðåñéãñÜöåôáé áðü ôç ó÷Ýóç Þ Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ó÷Þìáôïò 3.23 (äåò áíôßóôïé÷ï ìáèçìáôéêü óõìðëÞñùìá) Ý÷ïõìå ÅéäéêÝò ðåñéðôþóåéò i) Áí ö = 0, ôüôå áðü ôçí (3.33) Ý÷ïõìå Á = Á1 + Á2 êáé tan è = 0 Þ è = 0 (ó÷Þìá 3.24á) ÄçëáäÞ áí x1 = A1 cos ùt êáé x2 = A2 cos ùt ðñïêýðôåé x = x1 + x2 = (A1 + A2) cos ùt ii) Áí ö = ð, ôüôå êáé tan è = 0 Þ è = 0, üôáí Á1 > Á2 Þ è = ð, üôáí Á1 < Á2 A A A= −1 2 (3.33) cos üðïõ cos êáé tan sin cos x A ùt è A A A A A ö è Á ö Á Á ö = + = + + = + U V | | W || b g 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 x A ùt A ùt ö= + +1 2cos cos b g x x x= +1 2 x A ùt ö2 2= +cos b gx A ùt1 1= cos 24 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.24á Ó×ÇÌÁ 3.24â Óýíèåóç ôáëáíôþóåùí ßäéáòöÜóçò êáé ßäéáò óõ÷íüôçôáò. Ó×ÇÌÁ 3.23
- 41. ÄçëáäÞ Ý÷ïõìå x =(A1 − A2 ) cos ùt áí Á1 > Á2 Þ x = (A2 − A1 ) cos (ùt + ð) áí Á1<Á2 Ó÷Þìáôá 3.25á êáé 3.25â ÐáñÜäåéãìá 3-6 ¸íá óùìÜôéï åêôåëåß óõã÷ñüíùò ôéò ôáëáíôþóåéò x1 = 3 cos 3 t êáé (x1 , x2 óå m, t óå s). ÐïéÜ åßíáé ç óõíéóôáìÝíç êßíçóç. ÁðÜíôçóç Åßíáé x = x1 + x2 = A cos (ùt + è) üðïõ Þ (ó÷Þìá 3.26) Åðßóçò ¢ñá ÅðïìÝíùò åßíáé [x óå m, t óå s] ÐáñÜäåéãìá 3-7 ¸íá óþìá åêôåëåß óõã÷ñüíùò ôéò ôáëáíôþóåéò x1 = 5 cos 100t êáé [S.I.]. Íá âñåßôå ôç óõíéóôáìÝíç êßíçóç ôïõ óþìáôïò.x t2 5 100= − F HG I KJsin ð 6 x t= + F HG I KJ3 2 cos 3 ð 4 è = ð 4 tanè Á Á = = =2 1 3 3 1 A = 3 2 A A A A A Á Á= + + = +1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 cos ð 2 x t2 3= + F HG I KJcos 3 ð 2 ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 25 Ó×ÇÌÁ 3.25á Ó×ÇÌÁ 3.25â Óýíèåóç ôáëáíôþóåùí ìå äéáöïñÜ öÜóçò ð. Ó×ÇÌÁ 3.26
- 42. ÁðÜíôçóç Åßíáé Þ [x2 óå m,t óå s] ¢ñá ïé äýï ôáëáíôþóåéò Ý÷ïõí äéáöïñÜ öÜóçò ìå ôï Á1 íá ðñïçãåßôáé. ÅðïìÝíùò åßíáé Á1 = 5 m, Á2 = 5 m êáé . ¢ñá (äåò Ó÷. 3.27) ÅðåéäÞ ôï ðáñáëëçëüãñáìï åßíáé ñüìâïò Ý÷ïõìå . Óõíåðþò â) Óýíèåóç ôáëáíôþóåùí äéáöïñåôéêÞò óõ÷íüôçôáò ÅíäéáöÝñïí ðáñïõóéÜæåé ç ðåñßðôùóç óýíèåóçò äýï ôáëáíôþóåùí êáôÜ ôçí ïðïßá ôá äýï ðëÜôç åßíáé ßóá äçë. Á1 = Á2 = Á êáé ïé óõ÷íüôçôåò f1 êáé f2 äéáöÝñïõí åëÜ÷éóôá. ÄçëáäÞ f1 ≈ f2 üìùò f1 ≠ f2. Ôüôå Ý÷ïõìå x = x1 + x2 = A cos ù1 t + A cos ù2 t = A (cos ù1 t + cos ù2 t) Þ Þ (3.34) üðïõ ç êõêëéêÞ óõ÷íüôçôá (ù1 > ù2 ) ëÝãåôáé óõ÷íüôçôá äéáìüñöùóçò êáé ç óõ÷íüôçôá åßíáé ç óõ÷íüôçôá ôçò ôáëÜíôùóçò. Ç ðïóüôçôá Át = 2A cosùmod t ëÝãåôáé äéáìïñöùìÝíï ðëÜôïò. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ x(t), óõíáñôÞóåé ôïõ t, ðñáãìáôïðïéåßôáé áí êÜíïõìå îå÷ùñéóôÜ ôá ãñáöÞìáôá ôïõ At êáé ôïõ cos ùav t êáé óôç óõíÝ÷åéá ó÷åäéÜóïõìå ôï ãéíüìåíü ôïõò. ù ù ù ù ùav = + ≈ ≈1 2 1 2 2 ù ù ù mod = −1 2 2 x A ù t ù t= 2 cos cosmod av x A ù ù t ù ù t = − + 2 2 2 1 2 1 2 cos cos b g b g x t= − F HG I KJ5cos 100 ð 3 è = ð 3 A A A A A ö= + + = + + × × + F HG I KJ =1 2 2 2 1 2 2 2 2 5 5 2 5 5 1 2 5cos m m ö = 2ð 3 2ð 3 rad x t2 5 2 = − F HG I KJcos 100 ð 3 x t t2 5 5 100 6 = − F HG I KJ = − − F HG I KJsin 100 ð 6 cos ð ð 2 26 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.27
- 43. Ìåëåôþíôáò ôï ó÷Þìá3.28(â) ðáñáôçñïýìå üôé óå êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ç êßíçóç ìïéÜæåé ìå ôáëÜíôùóç êõêëéêÞò óõ÷íüôçôáò ùav , ôçò ïðïßáò ôï ðëÜôïò åßíáé ôï Át áõôÞò ôçò ÷ñïíéêÞò óôéãìÞò. Ôï áðïôÝëåóìá áõôÞò ôçò óýíèåóçò ïíïìÜæåôáé äéáêñüôçìá êáé ÷áñáêôçñßæåôáé áðü ôç ìåôáâïëÞ ôïõ ðëÜôïõò ôçò ôáëÜíôùóçò ìåôáîý ôùí ôéìþí 0 êáé 2Á. Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ó÷Þìáôïò 3.28 õðïëïãßæåôáé ç ðåñßïäïò ôïõ äéáêñïôÞìáôïò ùò åîÞò Þ Þ (3.35) Ç óõ÷íüôçôá ôïõ äéáêñïôÞìáôïò åßíáé Þ fä = f1 − f2 (3.36) Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ f1 < f2 ç ðåñßïäïò êáé óõ÷íüôçôá åßíáé êáé fä = f2 − f1 áíôßóôïé÷á. Ô f f ä = − 1 2 1 f Ô ä ä = 1 Ô f f ä = − 1 1 2 Ô ù ù ä ð1 2 2 − =T ùä mod ð= ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 27 Ó×ÇÌÁ 3.28 Ôï äéáêñüôçìá ùò ãéíüìåíï äýï ôáëáíôþóåùí.
- 44. Ðáñáäåßãìáôá äéáêñïôçìÜôùí ÄéáêñïôÞìáôá ðáñáôçñïýíôáéóôçí ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá, äýï äéáðáóþí ìå óõ÷íüôçôåò ðïõ äéáöÝñïõí ðïëý ëßãï, ôáëáíôþíïíôáé óõã÷ñüíùò. Ç äéáôáñá÷Þ ôïõ ôõìðÜíïõ ôïõ áõôéïý åßíáé ç óõíéóôáìÝíç ôùí äéáôáñá÷þí ðïõ ðñïêáëïýí ôá äýï äéáðáóþí (Ó÷. 3.29). Åðßóçò ðáñÜäåéãìá äéáêñïôÞìáôïò áðïôåëåß êáé ç êßíçóç äýï óõæåõãìÝíùí åêêñåìþí (Ó÷. 3.30). Áí áðïìáêñýíïõìå ôï åêêñåìÝò (á) êáôÜ áðüóôáóç 2Á, êñáôþíôáò óôáèåñü ôï åêêñåìÝò (â) êáé êáôüðéí ôá áöÞóïõìå åëåýèåñá, èá ðáñáôçñÞóïõìå ôá åîÞò: Ôï åêêñåìÝò (á) ôáëáíôþíåôáé, åíþ ôï ðëÜôïò ôïõ ìåéþíåôáé êáé óõã÷ñüíùò ôï åêêñåìÝò (â) ôáëáíôþíåôáé, åíþ ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò ôïõ ìåãáëþíåé, Ýùò üôïõ ôï ðëÜôïò ôïõ (á) ó÷åäüí ìçäåíßæåôáé, åíþ ôïõ (â) ãßíåôáé ìÝãéóôï. Êáôüðéí áñ÷ßæåé íá ìåéþíåôáé ôï ðëÜôïò ôïõ (â), åíþ ôïõ (á) íá áõîÜíåôáé ê.ï.ê. Áõôü óõìâáßíåé, äéüôé, üðùò áðïäåéêíýåôáé ó' áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç, ôá åêêñåìÞ åêôåëïýí óõã÷ñüíùò äýï ôáëáíôþóåéò ìå óõ÷íüôçôåò êáé üðïõ g ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò, l ôï ìÞêïò êÜèå åêêñåìïýò, k ç óôáèåñÜ ôïõ åëáôçñßïõ óýæåõîçò êáé Ì ç ìÜæá êÜèå óöáéñéäßïõ ôùí åêêñåìþí. Ôï ðëÜôïò ôáëÜíôùóçò ôïõ êÜèå åêêñåìïýò åßíáé äéáìïñöùìÝíï. Ôï öáéíüìåíï ôïõ äéáêñïôÞìáôïò ó' áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç åßíáé ðéï Ýíôïíï üôáí ïé ìÜæåò Ì åßíáé ìåãÜëåò êáé ôï åëáôÞñéï ÷áëáñü, äçë. ìå ìéêñü k, äéüôé ôüôå ù1 ≈ ù2. ù g k M 2 2 = + l ù g 1 = l 28 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.29 Ç êßíçóç ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôç óýíèåóç ôùí ôáëáíôþóåùí äýï äéáðáóþí, ðïõ ïé óõ÷íüôçôÝò ôïõò äéáöÝñïõí åëÜ÷éóôá. Ó×ÇÌÁ 3.30 ÓõæåõãìÝíá åêêñåìÞ. ÓÕÍÈÅÓÇ ÐÏËËÙÍ ÁÑÌÏÍÉÊÙÍ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÙÍ ÌÅ ÐÏËËÁÐËÁÓÉÅÓ ÓÕ×ÍÏÔÇÔÅÓ. ÁÍÁËÕÓÇ FOURIER ¸óôù üôé Ýíá óþìá åêôåëåß óõã÷ñüíùò äýï ôáëáíôþóåéò ôçò ìïñöÞò x1 = A sin ù1 t êáé x2 = B sin ù2 t, ãéá ôéò ïðïßåò éó÷ýåé ù2 = 2 ù1. Ôüôå ç áðïìÜêñõíóÞ ôïõ åßíáé Þ Áðü ôï ó÷Þìá É, üðïõ ðáñßóôáíôáé ôá x1, x2 êáèþò êáé ç óõíéóôáóìÝíç êßíçóç, ðáñáôçñïýìå (ìðïñåß íá áðïäåé÷èåß êáé ìáèçìáôéêÜ) üôé ç x A ù t B ù t= +sin sin1 2x x x= +1 2
- 45. ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 29 óõíéóôáìÝíç êßíçóç åßíáé ìéá ðåñéïäéêÞ êßíçóç ìå ðåñßïäï áõôÞ ôçò x1 , ÷ùñßò íá åßíáé áñìïíéêÞ. Áêüìç áí áíôß ãéá äýï ôáëáíôþóåéò Ý÷ïõìå íá óõíèÝóïõìå ðåñéóóüôåñåò ìå êõêëéêÝò óõ÷íüôçôåò ù1 = ù0 , ù2 = 2 ù0 , ù3 = 3 ù0 , .... äçëáäÞ ðïëëáðëÜóéåò ìéáò ù0 (èåìåëåéþäïõò), ôüôå ôï áðïôÝëåóìá åßíáé ðÜëé ìéá ðåñéïäéêÞ êßíçóç ìå ðåñßïäï Éó÷ýåé üìùò êáé ôï áíôßóôñïöï. Ôï 1822 ï J. Fourier åéóÞãáãå ìéá äéáäéêáóßá, ç ïðïßá Ýìåëå íá ãßíåé óõíùíõìç ôïõ, ôçí áíÜëõóç Fourier, êáôÜ ôçí ïðïßá: êÜèå ðåñéïäéêÞ óõíÜñôçóç f(t) ìå ðåñßïäï Ô0, ìðïñåß íá åêöñáóôåß ùò Üèñïéóìá áñìïíéêþí óõíáñôÞóåùí, ôùí ïðïßùí ïé óõ÷íüôçôåò åßíáé ðïëëáðëÜóéåò ìéáò ðñþôçò óõ÷íüôçôáò f0, (áíôßóôïé÷á ) ÄçëáäÞ, áí f (t + T0 ) = f(t) ãéá êÜèå t ôüôå üðïõ Ôá ìåãÝèç Á0 , Á1 , Á2, ..., ö1, ö2, ö3, ... åîáñôþíôáé áðü ôç ìïñöÞ ôçò óõíÜñôçóçò f(t). ×ñçóéìïðïéþíôáò ôçí ôáõôüôçôá ìðïñïýìå íá îáíáãñÜøïõìå ôçí ðñïçãïýìåíç ó÷Ýóç óôçí ðéï óõíçèéóìÝíç ìïñöÞ, ç ïðïßá åßíáé f(t) = a0 + a1 cos ù1t + a2 cos ù2 t + ... + b1 cos ù1 t + b2 cos ù2 t + ... Ïé óõíôåëåóôÝò á0, á1, á2, ...., b1, b2, ..... õðïëïãßæïíôáé ìå ôçí âïÞèåéá áíþôåñùí ìáèçìáôéêþí. Ôï ðéï ðÜíù Üèñïéóìá áðïôåëåß ìéá ôñéãùíïìåôñéêÞ óåéñÜ ãíùóôÞ ùò óåéñÜ Fourier. sin sin cos sin cosa â a â â a+ = ⋅ + ⋅b g ù ù3 03=ù ù2 02= ,ù Ô ù1 0 0 2 = = ð , f t A A ù t ö A ù t ö A ù t öb g b g b g b g= + + + + + + +0 1 1 1 2 2 2 3 3 3sin sin sin ... ù Ô 0 0 2 = ð f T 0 0 1 = T ù 0 0 2 = ð T T ù = =1 1 2ð Ó÷ÞÌÁ É
- 46. Â) ÓÕÍÈÅÓÇ ÄÕÏÔÁËÁÍÔÙÓÅÙÍ ÌÅ ÊÁÈÅÔÅÓ ÄÉÅÕÈÕÍÓÅÉÓ. ¸óôù Ýíá óþìá åêôåëåß óõã÷ñüíùò äýï áíåîÜñôçôåò ôáëáíôþóåéò, ìßá óôïí Üîïíá y'y êáé ìßá óôïí Üîïíá xx' óýìöùíá ìå ôéò ó÷Ýóåéò êáé Ôï áðïôÝëåóìá ôçò óýíèåóçò åßíáé êßíçóç óôï åðßðåäï xy, ç ïðïßá åîáñôÜôáé áðü ôá ðëÜôç Áx , Ay , ôéò êõêëéêÝò óõ÷íüôçôåò ù1 êáé ù2, êáèþò êáé áðü ôç äéáöïñÜ öÜóçò ä ôùí äýï ôáëáíôþóåùí. ÐáñáêÜôù åîåôÜæïõìå äéÜöïñåò ðåñéðôþóåéò ôÝôïéùí óõíèÝóåùí. á) Ôáëáíôþóåéò ßäéáò óõ÷íüôçôáò, ù1 = ù2 = ù i) ¼ôáí ä = 0 ôüôå Ý÷ïõìå , äéáéñþíôáò êáôÜ ìÝëç ðñïêýðôåé ç åîßóùóç ôñï÷éÜò Þ ÅðïìÝíùò ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç. Áêüìç ãéá ôï äéÜíõóìá èÝóçò → r Ý÷ïõìå (Ó÷. 3.31) Þ Þ üðïõ ¢ñá ó' áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç ç óõíéóôáìÝíç êßíçóç åßíáé ìéá áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç. ii) ¼ôáí , Ý÷ïõìå x A ùt y A ùt y A ùt x y y = = + F HG I KJ = − U V| W| cos cos ð 2 Þ sin ä = ð 2 r A Ax y0 2 2 = + r r ùt= 0 cosr A A ùtx y= +2 2 cosr x y= +2 2 y ë x=x y A A ë x y = = 1 y A ùty= cosx A ùtx= cos y A ù t äy= +cos 2b gx A ù tx= cos 1 30 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ìå ôçí áíÜëõóç Fourier åîçãåßôáé ç äéáöïñåôéêÞ ÷ñïéÜ ôùí Þ÷ùí, ïé ïðïßïé ðáñÜãïíôáé áðü äéÜöïñá ìïõóéêÜ üñãáíá. Ãéá ðáñÜäåéãìá, ç íüôá ÓÏË êáé ãéá ôï ðéÜíï êáé ãéá ôçí êéèÜñá åßíáé Ýíáò ðåñéïäéêüò Þ÷ïò ìå ôçí ßäéá óõ÷íüôçôá, Üñá, åßíáé åðáëëçëßá áñìïíéêþí ìå ßäéåò óõ÷íüôçôåò ðïëëáðëÜóéåò ôçò ßäéáò èåìåëéþäïõò, ÷áñáêôçñéóôéêÞò ôçò íüôáò ÓÏË. ÊáôÜ ôçí áíÜëõóç Fourier üìùò Ý÷ïõìå üôé ïé óõíôåëåóôÝò á0 , á1, á2 , ..., b1 , b2 , ... åßíáé äéáöïñåôéêïß áðü üñãáíï óå üñãáíï. ÅðïìÝíùò, ç óõíåéóöïñÜ óôçí Ýíôáóç ôïõ Þ÷ïõ, ãéá êÜèå óõ÷íüôçôá äéáöÝñåé, áðü üñãáíï óå üñãáíï êáé Ýôóé ðñïêýðôåé ç äéáöïñåôéêÞ ÷ñïéÜ. Ó×ÇÌÁ 3.31 Óýíèåóç äýï êáèÝôùí ôáëáíôþóåùí ßäéïõ ðëÜôïõò êáé óõ÷íüôçôáò, ÷ùñßò äéáöïñÜ öÜóçò.
- 47. ÐñïóèÝôïíôáò êáôÜ ìÝëç,Ý÷ïõìå (3.37) Ç ó÷Ýóç (3.37) ðåñéãñÜöåé åí ãÝíåé Ýëëåéøç. ÅðïìÝíùò ó' áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç ç ôñï÷éÜ ôïõ óþìáôïò åßíáé Ýëëåéøç ìå ôïõò äýï Üîïíåò ôçò 2Áx êáé 2Áy áíôßóôïé÷á. (ÂëÝðå ó÷Þìá 3.32) iii) ¼ôáí ç äéáöïñÜ öÜóçò åßíáé , ôüôå üìïéá áðïäåéêíýåôáé üôé ç åîßóùóç ôñï÷éÜò åßíáé Ýëëåéøç. Óôï ó÷Þìá 3.33 äßíïíôáé ôá ó÷Þìáôá ôùí ôñï÷éþí ðïõ ðñïêýðôïõí ãéá ôéò ðåñéðôþóåéò ôïõ ëüãïõ ôùí ðëáôþí êáé ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò äéáöïñÜò öÜóçò ä â) ÊÜèåôåò ìåôáîý ôïõò ôáëáíôþóåéò ìå äéáöïñåôéêÝò óõ÷íüôçôåò. Ó' áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç ìå ôçí óýíèåóç ôùí ôáëáíôþóåùí ðñïêýðôïõí ôñï÷éÝò, ïé ïðïßåò äåí åßíáé ðëÝïí åëëåßøåéò êáé ïíïìÜæïíôáé êáìðýëåò Lissajous. Ôï üíïìÜ ôïõò ïöåßëåôáé óôïí Joules Antoine Lissajous, ï ïðïßïò ðñþôïò ôéò ìåëÝôçóå êáé ôéò ðáñïõóéÜóå ôï 1857. Ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ ëüãïõ ù1/ù2 óôçí áðëÞ ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá éó÷ýåé Áx=Ay, êáèþò êáé ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò äéáöïñÜò öÜóçò ä, Ý÷ïõìå ôéò ìïñöÝò ôïõ ó÷Þìáôïò 3.34. ÐáñáôÞñçóç: Áðïäåéêíýåôáé üôé, üôáí ï ëïãïò ù1 /ù2 åßíáé ñçôüò éó÷ýåé, üôé åöüóïí ïé ôñï÷éÝò ðïõ ðñïêýðôïõí ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ ä åßíáé êëåéóôÝò, ôüôå ôï óþìá óõíå÷ßæåé íá êéíåßôáé óôçí ôñï÷éÜ äéáñêþò ìå óôáèåñÞ öïñÜ äéáãñáöÞò. A A y x = 2 A A y x = 1 ä = 3ð 2 x A y Ax y 2 2 2 2 1+ = Üñá si n êáé cos 2 2 ùt x A ùt y A x y = = 2 2 2 2 ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 31 Ó×ÇÌÁ 3.32 Óýíèåóç äýï êáèÝôùí ôáëáíôþóåùí ßäéïõ ðëÜôïõò êáé óõ÷íüôçôáò, ìå äéáöïñÜ öÜóçò ð/2. Ó×ÇÌÁ 3.33 Ôñï÷éÝò ðïõ ðñïêýðôïõí áðü ôç óýíèåóç êáèÝôùí ôáëáíôþóåùí.
- 48. Áí ïé ôñï÷éÝòäåí åßíáé êëåéóôÝò, ôüôå äéáãñÜöåé ôçí ôñï÷éÜ êáôÜ ìßá öïñÜ, öôÜíåé óôï Üêñï ôçò ôñï÷éÜò êáé êáôüðéí ôçí äéáãñÜöåé êáôÜ ôçí áíôßèåôç êáôåýèõíóç ê.ï.ê. Áðü ôï ó÷Þìá 3.34 ìðïñïýìå íá êáôáíïÞóïõìå üôé ïé êáìðýëåò ðïõ äåí áðïôåëïýí âñü÷ïõò (äåí “êëåßíïõí”) åßíáé åêöõëéóìÝíåò êÜðïéùí ðïõ êëåßíïõí. Óôçí ðåñßðôùóç üìùò ðïõ ï ëüãïò åßíáé Üññçôïò ð.÷. , ôüôå ôï óþìá äéáãñÜöåé ìéá êßíçóç, êáôÜ ôçí ïðïßá "óáñþíåé" ôï ïñèïãþíéï ðëåõñþí 2Ax êáé 2Ay , ÷ùñßò íá äéÝñ÷åôáé ðïôÝ áðü ôï ßäéï óçìåßï ìå ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá êáôÜ ìÝôñï äéåýèõíóç êáé öïñÜ. ÐåéñáìáôéêÜ ôá ó÷Þìáôá Lissajous ìðïñïýí íá åðéäåé÷èïýí ìå ðáëìïãñÜöï, üôáí ôá çëåêôñüíéá åêôñÝðïíôáé áðü äýï êÜèåôá çëåêôñéêÜ ðåäßá, ôá ïðïßá ìåôáâÜëëïíôáé áñìïíéêÜ. ÌåôáâÜëëïíôáò ôéò óõ÷íüôçôåò êáé ôá ðëÜôç ôùí çëåêôñéêþí ðåäßùí, ìðïñïýìå åýêïëá íá ðñáãìáôïðïéÞóïõìå ôá ó÷Þìáôá 3.34. Ôá ó÷Þìáôá Lissajous Ý÷ïõí åöáñìïãÞ óôçí çëåêôñïíéêÞ êáé óõãêåêñéìÝíá óôç ìÝôñçóç Üãíùóôçò óõ÷íüôçôáò. Ôïðïèåôïýìå óôïí Ýíá Üîïíá ôçí Üãíùóôç óõ÷íüôçôá êáé óôïí Üëëï ìéá ðçãÞ ìåôáâëçôÞò, áëëÜ ãíùóôÞò êÜèå öïñÜ óõ÷íüôçôáò. ÌåôáâÜëëïíôáò ôç óõ÷íüôçôá ôçò ðçãÞò åìöáíßæïíôáé óôïí ðáëìïãñÜöï äéÜöïñá ó÷Þìáôá Lissajous. Áðü ôçí ìïñöÞ ôùí ó÷çìÜôùí êáé ôç óõãêåêñéìÝíç óõ÷íüôçôá ôçò ðçãÞò, õðïëïãßæïõìå ôçí Üãíùóôç óõ÷íüôçôá. Ïé ìåôñÞóåéò ìå áõôüí ôïí ôñüðï åßíáé ìåãÜëçò áêñßâåéáò. ù ù 1 2 3= ù ù 1 2 32 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.34 Ó÷Þìáôá Þ êáìðýëåò Lissajous áðü ôç óýíèåóç êáèÝôùí ôáëáíôþóåùí ßäéïõ ðëÜôïõò.
- 49. ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 33 ~Åíá éäáíéêü êýêëùìá LC åêôåëåß áìåßùôåò çëåêôñïìáãíçôéêÝò ôáëáíôþóåéò êáé ïé åêöñÜóåéò ôùí ðïóïôÞôùí öïñôßïõ êáé ñåýìáôïò ìå ôï ÷ñüíï åßíáé q = Qm cos (ùt + ö0) i = −Im sin (ùt + ö0), üðïõ Ç çëåêôñéêÞ êáé ìáãíçôéêÞ åíÝñãåéá äßíïíôáé áðü ôéò ó÷Ýóåéò ÊáôÜ ôéò öèßíïõóåò ìç÷áíéêÝò ôáëáíôþóåéò ðÝñáí ôçò äýíáìçò åðáíáöïñÜò F = − kx õðÜñ÷åé êáé äýíáìç áíôßóôáóçò Fa = −bõ êáé ç êßíçóç ðïõ ðñïêýðôåé åßíáé x = A e− ët cos (ù~t + ö) üðïõ , êáé ~Ïôáí óå ôáëáíôïýìåíï ìç÷áíéêü óýóôçìá äñá ðåñéïäéêÞ åîùôåñéêÞ äýíáìç ôçò ìïñöÞò F = Fm cosùd t, ðñïêýðôåé áìåßùôç ôáëÜíôùóç ôçò ïðïßáò ç áðïìÜêñõíóç êáé ôá÷ýôçôá äßíïíôáé áðü ôéò ó÷Ýóåéò x = A sin(ùd t − á) õ = õ0 cos (ùd t − á) üðïõ, êáé õ0 = ù d Á Áí ç óõ÷íüôçôá ôçò åîùôåñéêÞò äýíáìçò ãßíåé ßóç ìå ôçí éäéïóõ÷íüôçôá, ù ôïõ óõóôÞìáôïò, ï ñõèìüò ðáñï÷Þò åíÝñãåéáò óôï ôáëáíôïýìåíï óýóôçìá ãßíåôáé ìÝãéóôïò êáé ôï ðëÜôïò ôçò ôá÷ýôçôáò ãßíåôáé ìÝãéóôï, ïðüôå Ý÷ïõìå êáôÜóôáóç óõíôïíéóìïý (ôá÷ýôçôáò, éó÷ýïò) ùd = ù, óõíèÞêç óõíôïíéóìïý. Ôï êýêëùìá LC ðïõ Ý÷åé êáé ùìéêÞ áíôßóôáóç R åêôåëåß öèßíïõóåò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò êáé éó÷ýïõí üðïõ ÅîáíáãêáóìÝíåò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò ðñïêýðôïõí üôáí óôï êýêëùìá RLC óõíäåèåß ðçãÞ åíáëëáóóüìåíçò ôÜóçò õ = V cos ùd t. Ôá q êáé i äßíïíôáé áðü ôéò ó÷Ýóåéò i = Im cos (ùdt−á) üðïõ Im = ùd Qm . KáôÜ ôï óõíôïíéóìü éó÷ýåé ùd = ù, üðïõ Ç áíôéóôïé÷ßá ôùí ìåãåèþí ôùí ìç÷áíéêþí êáé çëåêôñéêþí ôáëáíôþóåùò ù LC = 1 q t Q ù t á Q ù V R Lù Cù á Lù Cù R b g b g= − = + − F HG I KJ = − U V | || || | W | || || | m d m d d d d d sin üðïõ êáé tan 1 1 1 2 2 ′ = −ù ù R L 2 2 2 4 q Q e ù ö R t L= ′ + − m cos2 b g tan d d a mù k ù b = − A F ù b mù k ù = + − F HG I KJ m d d 2 2 ù k m = ′ = −ù ù b m 2 2 2 4 ë b m = 2 U L i L I ù t öB = = + 1 2 1 2 2 2 2 0m sin ( ) U C q C Q ùt öE m cos ( )= = + 1 2 1 1 2 12 2 2 0 ù LC = 1 drasthriothtesA N A Ê Å Ö Á Ë Á É Ù Ó Ç
- 50. 34 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉÊÕÌÁÔÁ 1. ÔÁ ÅÊÊÑÅÌÇ ÔÏÕ BARTON Áðü Ýíá ôåíôùìÝíï ó÷ïéíß íá êñåìÜóåôå ðåñßðïõ 8 åêêñåìÞ ìå äéáöïñåôéêÜ óôáèåñÜ ìÞêç, êëéìáêïýìåíá áðü 0,25 m Ýùò 0,75 m. Ôï ôåëåõôáßï, ìå ðïëý ìåãáëýôåñç ìÜæá, ôï ìÞêïò ôïõ èá ìðïñåß íá ìåôáâÜëëåôáé. ÈÝôïíôáò óå ôáëÜíôùóç ôï ôåëåõôáßï åê- êñåìÝò, ôá õðüëïéðá åêôåëïýí åîáíáãêáóìÝíåò ôáëáíôþóåéò óõ÷íüôçôáò ßóçò ìå áõôÞ ôïõ ôåëåõôáßïõ. Ìåãáëýôåñï ðëÜôïò ôáëÜíôùóçò Ý÷åé áõôü ôï ïðïßï Ý÷åé ßäéï ìÞêïò ìå ôï ôåëåõôáßï. Åðßóçò, áí ôï ôåëåõôáßï Ý÷åé ìÞêïò ðåñßðïõ 0,50 m èá äïýìå ôï ðëÜôïò ôùí ôáëáíôþóåùí, îåêéíþíôáò áðü ôï ðéï êïíôü åêêñåìÝò, íá áõîÜíåôáé ìÝ÷ñé ôá ìåóáßá åêêñåìÞ êáé ìåôÜ íá ìåéþíåôáé ìÝ÷ñé ôï ðéï ìáêñý. 2. ÐÁÑÁÃÙÃÇ ÖÈÉÍÏÕÓÁÓ ÇËÅÊÔÑÉÊÇÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÇÓ ÓÔÏÍ ÐÁËÌÏÃÑÁÖÏ Ðñáãìáôïðïéïýìå ôï êýêëùìá ôïõ ó÷Þìáôïò. Ôïðïèåôïýìå áñ÷éêÜ ôï äéáêüðôç óôç èÝóç 1 êáé ìåôÜ óôç èÝóç 2. Óôïí ðáëìïãñÜöï åìöáíéæåôáé ç ìïñöÞ ôçò öèßíïõóáò çëåêôñéêÞò ôáëÜíôùóçò. 3. ÖÈÉÍÏÕÓÁ ÔÁËÁÍÔÙÓÇ ÅËÁÔÇÑÉÏÕ Ðåñíïýìå Ýíá ñïëü ëåõêïý áíèåêôéêïý ÷áñôéïý áðü ìéá êáôáêüñõöç áêëüíçôç ñÜâäï. ÊïëëÜìå óôçí Üêñç ôïõ ÷áñôéïý ìéá ëùñßäá ÷ïíôñïý ÷áñôéïý êáé ôçí äÝíïõìå ìÝóù åíüò ó÷ïéíéïý ìå ôïí ðåñéóôñåöüìåíï drasthriothtesÄ Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Å Ó åßíáé ç ðáñáêÜôù x ↔ q m ↔ L õ ↔ i b ↔ R k ↔ Fm ↔ Vm Åðßóçò ãíùñßæïíôáò üôé ç ìÝóç êáôáíáëéóêüìåíç éó÷ýò óå êýêëùìá RLC åßíáé âñßóêïõìå êáô’ áíôéóôïé÷ßá üôé óôïí ìç÷áíéêü ôáëáíôùôÞ åßíáé , üðïõ . õ õ r 0 = 2 p õ b → = r 2 P I R= r 2 1 C
- 51. ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 35 Üîïíá åíüò ìßîåñ. ÌðñïóôÜ áðü ôï ÷áñôß ôïðïèåôïýìå Ýíá åëáôÞñéï óôï ïðïßï êñåìÜìå Ýíá óþìá. Óôï óþìá óôåñåþíïõìå Ýíá ìáñêáäüñï, þóôå ç ìýôç ôïõ íá áêïõìðÜ óôï ÷áñôß. ÈÝôïõìå ôï ìßîåñ óå ëåéôïõñãßá êáé ôï óýóôçìá åëáôÞñéï-óþìá óå ôáëÜíôùóç. Óôï ÷áñôß êáôáãñÜöåôáé ç öèßíïõóá ôáëÜíôùóç ôïõ åëáôçñßïõ (÷ñçóéìïðïéåßóôå ìáêñý ó÷ïéíß, ëåðôü êáé áíèåêôéêü). 4. ÅÎÁÍÁÃÊÁÓÌÅÍÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ Óôï äßóêï ðéê - áð óôåñåþóôå Ýíá êïõôß êáé óôï êïõôß Ýíá ìïëýâé. ÐåñÜóôå ìéá ðïëý ÷áëáñÞ èçëéÜ óôï ìïëýâé êáé óõíäÝóôå ôï ó÷ïéíß ìÝóù ôñï÷áëßáò ìå Ýíá óýóôçìá åëáôÞñéï-óþìá. ÂÜëôå ôï äßóêï íá ãõñßæåé 45 óôñïöÝò/ëåðôü êáé êáôáãñÜøôå ôá ðëÜôç ôùí ôáëáíôþóåùí ôïõ åëáôçñßïõ ì’ Ýíá ÷Üñáêá ðïõ åßíáé ôïðïèåôçìÝíïò êáôáêüñõöá äßðëá óôï óþìá. ÅðáíáëÜâáôå äÝíïíôáò êáôÜëëçëá ôï ó÷ïéíß, þóôå ôï åëáôÞñéï íá Ý÷åé Üëëï ðëÞèïò óðåéñþí (ìå áõôüí ôïí ôñüðï íá ìåôáâÜëëåôáé ç óôáèåñÜ k ôïõ åëáôçñßïõ), êáé ðáñáôçñÞóôå ôéò áíôßóôïé÷åò ìåôáâïëÝò ôïõ ðëÜôïõò. (ÐáñáôÞñçóç: Ç óôáèåñÜ k ìåôáâÜëëåôáé ùò åîÞò üðïõ ôï l0 , k0 ïé áñ÷é- êÝò ôéìÝò êáé l ôï íÝï öõóéêü ìÞêïò. Åðßóçò öñïíôßóôå . Ó÷åäéÜóôå ôçí êáìðýëç óõíôïíéóìïý ðïõ ðñïêýðôåé.) 5. Ó×ÇÌÁÔÁ LISSAJÏUS ÐñáãìáôïðïéÞóôå ôï êýêëùìá ôïõ ó÷Þìáôïò. Ç ìéá ãåííÞôñéá ñõèìßæåôáé, þóôå íá ðáñÜãåé áñìïíéêÞ êõìáôïìïñöÞ óõ÷íüôçôáò ðåñßðïõ 400 Hz êáé ç Üëëç ðåñßðïõ 200 Hz. Ç ìéá êõìáôïìïñöÞ åöáñìüæåôáé óå åßóïäï ôïõ ðáëìïãñÜöïõ ðïõ äßíåé ïñéæüíôéá áðüêëéóç óôï öùôåéíü ß÷íïò, êáé ç Üëëç óôçí åßóïäï ôçò êáôáêüñõöçò áðüêëéóçò. ÌåôáâÜëëïõìå áñãÜ ôçí óõ÷íüôçôá ôçò ðñþôçò ãåííÞôñéáò, þóôå íá äïýìå óôáèåñÜ ó÷Þìáôá Lissajous. ÁëëÜîôå ôéò óõ÷íüôçôåò, þóôå íá åßíáé óå ó÷Ýóç 1:3, 2:3, 3:4 êëð. êáé ðáñáôçñÞóôå ôá äéÜöïñá ó÷Þìáôá. 6. ÄÉÁÊÑÏÔÇÌÁÔÁ Áðü äýï íÞìáôá ßäéïõ ìÞêïõò êñåìÜóôå äýï üìïéá áíôéêåßìåíá ð.÷. êïõôéÜ êïíóÝñâáò ãåìÜôá Üììï, êáé óõíäÝóôå ôá ìåôáîý ôïõò ì’ åíá áóèåíÝò åëáôÞñéï óýæåõîçò (ð.÷. Ýíá ëáóôé÷Üêé). Áí èÝóïõìå óå ôáëÜíôùóç ôá åêêñåìÞ, áðïäåéêíýåôáé üôé ç êßíçóç ôïõ êáèåíüò åßíáé ç óõíéóôáìÝíç äýï ôáëáíôþóåùí ìå óõ÷íüôçôåò êáé , üðïõ g ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò l ôï ìÞêïò ôïõ ó÷ïéíéïý, k ç óôáèåñÜ ôïõ åëáôçñßïõ óýæåõîçò êáé Ì ç ìÜæá ôïõ êÜèå êïõôéïý. Áí ç óýæåõîç åßíáé ù g k M 2 2 = + l ù g 1 = l 1 2 450 ð óôñïöÝò / ëåðôü k m < k k= l l 0 0
- 52. 36 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉÊÕÌÁÔÁ 1 Ná áíáöÝñåôå ðáñáäåßãìáôá ðåñéïäéêþí êéíÞóåùí ðñïóäéïñßæïíôáò ôá üñéá, óôá ïðïßá áõôÝò ðñïóåããßæïõí ôçí áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç. 2 Áíôéóôïé÷ßóôå ôá ìåãÝèç ôïõ ôáëáíôïýìåíïõ éäáíéêïý êõêëþìáôïò LC ìå áõôÜ ôïõ ôáëáíôïýìåíïõ óõóôÞìáôïò “óþìá - åëáôÞñéï”. L, C, q, i, UE , UB , t x, t, õ, U, K, m, k 3 Óôï éäáíéêü êýêëùìá LC êÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ç ðïëéêüôçôá ôïõ ðõêíùôÞ êáé ç öïñÜ ôïõ çëåêôñéêïý ñåýìáôïò åßíáé áõôÞ ôïõ ó÷Þìáôïò. Åêåßíç ôç óôéãìÞ óõìâáßíåé ìåôáôñïðÞ åíÝñãåéáò: (á) ÌáãíçôéêÞò óå çëåêôñéêÞ (â) ÇëåêôñéêÞò óå ìáãíçôéêÞ (ã) ÇëåêôñéêÞò êáé ìáãíçôéêÞò óå èåñìïäõíáìéêÞ åíÝñãåéá. ÐïéÜ åßíáé ç óùóôÞ áðÜíôçóç; 4 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç: “Óå Ýíá éäáíéêü êýêëùìá LC, ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0, êáôÜ ôçí ïðïßá ï ðõêíùôÞò åéíáé ðëÞñùò öïñôéóìÝíïò, êëåßíïõìå ôï êýêëùìá. Ï ðõêíùôÞò áñ÷ßæåé íá åêöïñôßæåôáé êáé ôï ñåýìá áõîÜíåé óôáäéáêÜ ëüãù ôïõ öáéíïìÝíïõ (á) .... . . Óõã- ÷ñüíùò Ý÷ïõìå ìåôáôñïðÞ çëåêôñéêÞò åíÝñãåéáò óå (â) ...... . ¼ôáí ôï öïñôßï ìçäåíéóôåß ôï ñåýìá ãßíåôáé (ã) ...... . Êáôüðéí ôï ñåýìá ìåéþíåôáé êáé Ý÷ïõìå ìåôáôñïðÞ (ä) ...... óå (å) ......”. 5 Óôï éäáíéêü êýêëùìá LC ôç óôéãìÞ ðïõ ôï ñåýìá êáé ç ðïëéêüôçôá ôïõ ðõêíùôÞ åßíáé üðùò óôï ó÷Þìá, Ý÷ïõìå üôé: (á) Ç ôÜóç óôá Üêñá ôïõ ðõêíùôÞ åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ôçí ôÜóç óôá Üêñá ôïõ ðçíßïõ, åðåéäÞ ï ðõêíùôÞò öïñôßæåôáé. (â) Ç ôÜóç óôá Üêñá ôïõ ðçíßïõ åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ôçí ôÜóç óôá Üêñá ôïõ ðõêíùôÞ, ãé áõôü ôï ëüãï ôï ñåýìá Ý÷åé ôç ó÷åäéáóèåßóá öïñÜ. (ã) Ç ôÜóç óôá Üêñá ôïõ ðõêíùôÞ åßíáé ßóç ìå ôçí ôÜóç óôá Üêñá ôïõ ðçíßïõ äéüôé Ý÷ïõí ßäéá Üêñá. (ä) Ï ñõèìüò áýîçóçò ôïõ öïñôßïõ ôïõ ðõêíùôÞ åßíáé ßóïò ìå ôï ñåýìá Im . ×áñáêôçñßóôå óùóôÝò Þ ëÜèïò ôéò ðéï ðÜíù ðñïôÜóåéò. ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ðïëý áóèåíÞò, << , èá äïýìå åìöáíþò äéáêñïôÞìáôá. Ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò ôïõ åíüò êïõôéïý ìéêñáßíåé ìÝ÷ñé ìçäåíéóìïý êáé ýóôåñá áõîÜíåé ìÝ÷ñé ìéá ìÝãéóôç ôéìÞ ê.ï.ê. Áíôßóôïé÷á ôï ðëÜôïò ôïõ Üëëïõ êïõôéïý áõîÜíåôáé êáé ìåôÜ ìéêñáßíåé ê.ï.ê. Õðïëïãßóôå ôç óôáèåñÜ k ìå áõôüí ôïí ôñüðï êáé óõãêñßíåôÝ ôçí ìå ôçí ôéìÞ ðïõ èá âñåßôå, áðü ôï íüìï ôïõ Hooke áíáñôþíôáò óþìá ìéêñÞò ãíùóôÞò ìÜæáò. g l 2k M
- 53. ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 37 6 ÊÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ç ðïëéêüôçôá ôïõ ðõêíùôÞ êáé ç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò åßíáé üðùò óôï ó÷Þìá ãéá Ýíá éäáíéêü êýêëùìá LC. Ðïéü áðü ôá ðáñáêÜôù åßíáé áëçèÝò; (á) Ç ôéìÞ ôïõ ñåýìáôïò áõîÜíåôáé êáé ç ôéìÞ ôïõ öïñôßïõ ôïõ ðõêíùôÞ áõîÜíåôáé (â) Ç ôéìÞ ôïõ ñåýìáôïò ìåéþíåôáé êáé ç çëåêôñéêÞ åíÝñãåéá áõîÜíåôáé. (ã) Ç ôéìÞ ôïõ ñåýìáôïò áõîÜíåôáé, ç ìáãíçôéêÞ åíÝñãåéá áõîÜíåôáé êáé ç ôéìÞ ôïõ çëåêôñéêïý öïñôßïõ ìåéþíåôáé. (ä) Ç ìáãíçôéêÞ åíÝñãåéá áõîÜíåôáé êáé ç çëåêôñéêÞ åíÝñãåéá ìåéþíåôáé. 7 Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ ñåýìáôïò ó’ Ýíá éäáíéêü êýêëùìá LC åßíáé ç (á) ôïõ ó÷Þìáôïò. Óå ðïéÝò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò áíôéóôïé÷ïýí ïé ðïóüôçôåò, i) ìáãíçôéêÞ åíÝñãåéá, ii) öïñôßï ôïõ ðõêíùôÞ, iii) çëåêôñéêÞ åíÝñãåéá, iv) åðáãùãéêÞ ôÜóç ôïõ ðçíßïõ êáé v) ïëéêÞ åíÝñãåéá ôïõ êõêëþìáôïò. 8 ÅÜí åðéìçêýíïõìå ôï óùëçíïåéäÝò åíüò êõêëþìáôïò LC êñáôþíôáò ôéò óõíïëéêÝò óðåßñåò ßäéåò, ðþò ðñÝðåé íá ìåôáâëçèåß ç áðüóôáóç ìåôáîý ôùí ïðëéóìþí ôïõ ðõêíùôÞ, þóôå ç ðåñßïäïò ôïõ êõêëþìáôïò íá ðáñáìåßíåé ßäéá; 9 Óå ôáëáíôïýìåíï éäáíéêü êýêëùìá LC, üôáí åêöïñôßæåôáé ï ðõêíùôÞò Ý÷ïõìå: (á) Áýîçóç ôïõ ñåýìáôïò êáé áýîçóç ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ìåôáîý ôùí ïðëéóìþí ôïõ ðõêíùôÞ. (â) Áýîçóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ôïõ ðçíßïõ êáé ìåßùóç ôçò çëåêôñéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ ðõêíùôÞ. (ã) Áýîçóç ôïõ öïñôßïõ êáé ìåßùóç ôïõ ñåýìáôïò. (ä) Ìåßùóç ôïõ ñåýìáôïò êáé áýîçóç ôçò çëåêôñéêÞò åíÝñãåéáò. 10 Èåùñþíôáò ùò áñ÷Þ ôùí ÷ñüíùí t = 0, ôç óôéãìÞ êáôÜ ôçí ïðïßá ôï ñåýìá Ý÷åé ôç ìÝãéóôç ôéìÞ i = É, íá ðñïóäéïñßóåôå ôç ìïñöÞ ôùí óõíáñôÞóåùí ôïõ öïñôßïõ êáé ôïõ ñåýìáôïò ìå ôï ÷ñüíï. (á) (ä) (å) (óô) (â) (ã)
- 54. 38 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉÊÕÌÁÔÁ 11 ¸íá éäáíéêü êýêëùìá LC Ý÷åé ðåñßïäï Ô. ÓõíäÝïìå ìå ôïí ðõêíùôÞ, Üëëï üìïéü ôïõ ùò åîÞò: i) Óå óåéñÜ ii) ÐáñÜëëçëá Óå êÜèå ðåñßðôùóç ðïéÜ åßíáé ç ôéìÞ ôçò ðåñéüäïõ ôïõ íÝïõ êõêëþìáôïò; (á) 2Ô, (â) Ô/2, (ã) , (ä) Ô/ 12 Ôï êýêëùìá çëåêôñéêþí ôáëáíôþóåùí LC, åßíáé áíôßóôïé÷ï ìå ôï óýóôçìá, ìÜæáò m êáé åëáôçñßïõ óôáèåñÜò k. Íá êáôáóêåõÜóåôå ôá óõóôÞìáôá ìç÷áíéêþí ôáëáíôþóåùí ðïõ áíôéóôïé÷ïýí óôá ðáñáêÜôù êõêëþìáôá. 13 Ôï ìç÷áíéêü óýóôçìá äýï ïìïßùí óõæåõãìÝíùí åêêñåìþí åßíáé áõôü ôïõ ó÷Þìáôïò. Ç óýæåõîç ðåôõ÷áßíåôáé ìå ôç ÷ñÞóç ìéêñÞò ìÜæá m´, üðïõ m´<< m. Ìðïñåßôå íá öáíôáóôåßôå Ýíá áíôßóôïé÷ï ìå áõôü çëåêôñéêü óýóôçìá; ÅîåôÜóôå ðïéïôéêÜ ôéò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò. 14 Ãéáôß ôç óôéãìÞ ðïõ ôï öïñôßï ôïõ ðõêíùôÞ åßíáé ìçäÝí óôï êýêëùìá LC, ôï êýêëùìá äåí óôáìáôÜåé íá ôáëáíôþíåôáé; 15 ÄéáèÝôïõìå Ýíá ðçíßï êáé äýï ðõêíùôÝò. Ìå ðïéÜ óõíäåóìïëïãßá ðåôõ÷áßíïõìå ôç ìåãáëýôåñç óõ÷íüôçôá ôáëáíôþóåùí êáé ìå ðïéÜ ôç ìéêñüôåñç; 16 Óôçí ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá ðëçóéÜóïõìå ìÝ÷ñé íá áêïõìðÞóïõí ôïõò ïðëéóìïýò ôïõ ðõêíùôÞ éäáíéêïý êõêëþìáôïò LC ðñïêýðôåé ôï êýêëùìá L. Áí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 ôï ñåýìá Ý÷åé ìéá ôéìÞ i ãéá ôï äåýôåñï êýêëùìá, áðïäåßîôå óôá ðëáßóéá ôïõ êõêëþìáôïò LC üôé ç ôéìÞ ôïõ ñåýìáôïò èá ðáñáìåßíåé óôáèåñÞ. (Õðüäåéîç: ðáñáôçñÞóôå üôé ç åîáöÜíéóç ôïõ ðõêíùôÞ éóïäõíáìåß ìå áðåéñéóìü ôçò ÷ùñçôéêüôçôáò ôïõ) 17 Óôï ðåßñáìá ðïõ ðåñéãñÜöåôáé óôï ó÷Þìá 3.10, ðþò èá õðïëïãßóïõìå ôçí ðåñßïäï ôçò ôáëÜíôùóçò áí ãíùñßæïõìå ôçí ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá êéíåßôáé ôï ÷áñôß; 18 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç: “ÈÝôïíôáò Ýíá êáôáêüñõöï óýóôçìá óþìá- åëáôÞñéï óå ôáëÜíôùóç ìå êÜðïéï áñ÷éêü ðëÜôïò, ðáñáôçñïýìå üôé ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò (á) ...... ìå ôï ÷ñüíï, äéüôé Ý÷ïõìå (â) ...... ëüãù ôçò (ã) ...... ôïõ óþìáôïò ìå ôïí áÝñá êáé åðåéäÞ ôï åëáôÞñéï åßíáé (ä) ......” 19 Ôï óôéãìéáßï ðëÜôïò ìéáò öèßíïõóáò ìç÷áíéêÞò ôáëÜíôùóçò (á) ìåéþíåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï (â) ìåéþíåôáé åêèåôéêÜ ìå ôï ÷ñüíï (ã) ìåéþíåôáé êÜèå öïñÜ ðïõ ôï ôáëáíôïýìåíï óþìá öèÜíåé óôçí áêñáßá èÝóç (ä) ìÝíåé óôáèåñü ìå ôï ÷ñüíï 20 ¸íá ìåôáëëéêü óùìÜôéï ìÜæáò m åßíáé êñåìáóìÝíï áðü êáôáêüñõöï åëáôÞñéï óôáèåñÜò k. Åêôåëïýìå äýï äéáöïñåôéêÜ ðåéñÜìáôá êáôÜ ôá ïðïßá èÝôïõìå óå ôáëÜíôùóç ôï óùìÜôéï, óôçí ìéá ðåñßðôùóç óôïí 2T 2
- 55. ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 39 áÝñá êáé óôçí Üëëç åî’ ïëïêëÞñïõ âõèéóìÝíï óå íåñü. Áí êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò ôï áñ÷éêü ðëÜôïò åßíáé ßäéï, óå ðïéÜ ðåñßðôùóç èá äéáñêÝóåé ðåñéóóüôåñï ç ôáëÜíôùóç êáé ãéáôß; Èåùñïýìå üôé ç ôáëÜíôùóç ðñáêôéêÜ óôáìáôÜåé üôáí ôï ðëÜôïò ãßíåé ðåñßðïõ 7/1000 ôïõ áñ÷éêïý. 21 Ãéá Ýíá ôáëáíôùôÞ éó÷ýåé ë << ù0, ìå , üðïõ b ç óôáèåñÜ áðüóâåóçò êáé ç éäéïóõ÷íüôçôá. Ç åíÝñãåéÜ ôïõ äßíåôáé ðñïóåããéóôéêÜ áðü ôç ó÷Ýóç , üðïõ Át ôï óôéã- ìéáßï ðëÜôïò. Íá âñåßôå ôçí Ýêöñáóç ôçò åíÝñãåéáò ìå ôï ÷ñüíï óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ êáé íá ó÷åäéÜóåôå ðïéïôéêÜ ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç E − t. 22 ÊñåìÜìå äéáäï÷éêÜ Ýíá óþìá áðü äýï êáôáêüñõöá åëáôÞñéá ìå óôáèåñÝò k1 êáé k2 áíôßóôïé÷á. ÅêôñÝðïõìå ôï óþìá êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò ìå ôçí áõôÞ áñ÷éêÞ áðïìÜêñõíóç êáé ôï áöÞíïõìå ÷ùñßò áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá. Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôçò áðïìÜêñõíóçò ìå ôï ÷ñüíï åßíáé áõôÝò ôïõ ó÷Þìáôïò. (á) ÐïéÜ óôáèåñÜ åßíáé ìåãáëýôåñç ç k1 Þ ç k2; (â) Ãéá ôïí ßäéï ÷ñüíï t ðïéÜ ôáëÜíôùóç Ý÷åé ìåãáëýôåñï óôéãìéáßï ðëÜôïò; Áéôéïëïãåßóôå ôéò áðáíôÞóåéò óáò. 23 Ðïý ïöåßëåôáé êáôÜ ôçí ãíþìç óáò ï ìçäåíéóìüò ôïõ ðëÜôïõò ìéáò åîáíáãêáóìÝíçò ôáëÜíôùóçò, êá- èþò ç óõ÷íüôçôá ôçò åîùôåñéêÞò ðåñéïäéêÞò äýíáìçò ãßíåôáé ðïëý ìåãÜëç; (ÖõóéêÞ åîÞãçóç). 24 Ç óõ÷íüôçôá ôçò åîáíáãêáóìÝíçò ôáëÜíôùóçò åíüò ìç÷áíéêïý óõóôÞìáôïò (á) åîáñôÜôáé áðü ôç óôáèåñÜ áðüóâåóçò (â) åßíáé ßóç ìå ôçí éäéïóõ÷íüôçôá ôïõ óõóôÞìáôïò (ã) åßíáé ßóç ìå ôç óõ÷íüôçôá ôïõ åîùôåñéêïý áéôßïõ (ä) åîáñôÜôáé áðü üëá ôá ðñïçãïýìåíá Ðïéá åßíáé ç óùóôÞ áðÜíôçóç; 25 Ãéá ôçí åîáíáãêáóìÝíç ìç÷áíéêÞ ôáëÜíôùóç óôï ìüíéìï öáéíüìåíï ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò áëçèåýïõí êáé ðïéåò ü÷é; (á) Ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò ìéêñáßíåé áí áõîÞóïõìå ôçí óõ÷íüôçôá ôïõ äéåãÝñôç (â) Äåí Ý÷ïõìå ìåôáöïñÜ åíÝñãåéáò áðü ôïí äéåãÝñôç óôï ôáëáíôïýìåíï óýóôçìá, åðåéäÞ ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò åßíáé óôáèåñü (ã) ¸÷ïõìå äéáñêþò ìåôáôñïðÞ ìç÷áíéêÞò åíÝñãåéáò ôçò ôáëÜíôùóçò óå èåñìïäõíáìéêÞ, ëüãù ôñéâþí (ä) Ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò åßíáé áíÜëïãï ôïõ ðëÜôïõò ôçò ðåñéïäéêÞò åîùôåñéêÞò äýíáìçò 26 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç: “Óõíôïíéóìüò ïíïìÜæåôáé ôï öáéíüìåíï êáôÜ ôï ïðïßï ç (á) ...... ôïõ äéåãÝñôç éóïýôáé ìå ôçí (â) . ..... ôïõ óõóôÞìáôïò. ¸÷ïõìå ôïí (ã) . . . . . . ðñïóöïñÜò åíÝñãåéáò áðü ôïí (ä) ...... óôï (å) ...... êáé ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò ãßíåôáé (óô) ......” 27 Ôá åêêñåìÞ ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé óõæåõãìÝíá ìÝóù ôïõ ó÷ïéíéïý ÁÂ. Ôßèåôáé óå ôáëÜíôùóç ôï åêêñåìÝò Ñ ïðüôå áñ÷ßæïõí íá ôáëáíôþíïíôáé êáé üëá ôá Üëëá. Ðïéü áðü ôá õðüëïéðá åêêñåìÞ ôáëáíôþíåôáé ìå ìåãáëýôåñï ðëÜôïò êáé ãéáôß; E k At= 1 2 2 ù k m 0 = ë b m = 2
- 56. 40 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉÊÕÌÁÔÁ 28 Óôçí ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá äåí Ý÷ïõìå óõíôïíéóìü êáôÜ ôçí åðßäñáóç åîùôåñéêÞò äýíáìçò F = F0 cos ùt ó’ Ýíá ôáëáíôùôÞ, ç ôá÷ýôçôá ðáñïõóéÜæåé äéáöïñÜ öÜóçò á ìå ôçí åîùôåñéêÞ äýíáìç êáé äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç õ = õmax cos (ùt- á). Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò éó÷ýïò ôçò åîùôåñéêÞò äýíáìçò P = Fõ åßíáé áõôÞ ôïõ ó÷Þìáôïò (ã). Ôß åêöñÜæïõí ôá áñíçôéêÜ êáé èåôéêÜ ÷ùñßá ôïõ ó÷Þìáôïò êáé ôé ç äéáöïñÜ ôïõò; 29 Äýï ðáíïìïéüôõðïé ôáëáíôùôÝò ìå áðüóâåóç ôßèåíôáé óå ôáëÜíôùóç ìå áñ÷éêÜ ðëÜôç Á01 êáé Á02 áíôßóôïé÷á, üðïõ Á01 > Á02. Áí óôïõò äýï ôáëáíôùôÝò äñïõí ßäéåò åîùôåñéêÝò äõíÜìåéò F1 = F2 = F0 cos ùt ìåôÜ áðü áñêåôü ÷ñüíï ôï ðëÜôïò ôïõ ðñþôïõ ôáëáíôùôÞ èá åîáêïëïõèÞóåé íá åßíáé ìåãáëýôåñï áðü áõôü ôïõ äåõôÝñïõ Þ ü÷é; 30 Ðñïóðáèþíôáò íá óõíôïíßóïõìå Ýíá ôáëáíôïýìåíï ìç÷áíéêü óýóôçìá, ðáñáôçñïýìå üôé êáèþò áõîÜíïõìå ôç óõ÷íüôçôá ôïõ äéåãÝñôç ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò áõîÜíåéôáé. Åßíáé ç óõ÷íüôçôá áõôÞ ìéêñüôåñç Þ ìåãáëýôåñç áðü ôçí éäéïóõ÷íüôçôá ôïõ óõóôÞìáôïò; Äéêáéïëïãåßóôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò. 31 ¸íá óùìÜôéï åßíáé êñåìáóìÝíï áðü êáôáêüñõöï åëáôÞñéï. Ôï óùìÜôéï âõèßæåôáé óå õãñü, üðïõ ç óôáèåñÜ áðüóâåóçò åßíáé b1 êáé åêôåëåß åîáíáãêáóìÝíåò ôáëáíôþóåéò ìå ôçí åðßäñáóç áñìïíéêÜ ìåôáâáëëüìåíçò åîùôåñéêÞò äýíáìçò. Óôï óõíôïíéóìü ç ôáëÜíôùóç Ý÷åé ðëÜôïò Á1. Áí âõèßóïõìå ôï óùìÜôéï óå Üëëï õãñü üðïõ ç óôáèåñÜ áðüóâåóçò Ý÷åé ôéìÞ b2 = 2b1 êáé ôï ðëÜôïò ôçò åîùôåñéêÞò äýíáìçò ðáñáìÝíåé óôáèåñü, ðïéü èá åßíáé ôï íÝï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò óôï óõíôïíéóìü. (á) Á2 = Á1, (â) Á2 = 2Á1, (ã) Á2 = Á1 /2, (ä) Á2 = Ç óõ÷íüôçôá óõíôïíéóìïý åßíáé äéáöïñåôéêÞ óôéò äýï ðåñéðôþóåéò Þ ü÷é; 32 ¸íáò ôáëáíôùôÞò åëáôÞñéï - óþìá, üðïõ ôï óþìá Ý÷åé ìÜæá m êáé ôï åëáôÞñéï óôáèåñÜ k, åêôåëåß ôáëáíôþóåéò óôïí áÝñá, (bá ≈ 0), ðëÜôïõò Á. Âõèßæïõìå ôï óþìá óå õãñü ðïõ ç óôáèåñÜ áðüóâåóçò åßíáé b. Ìå áðëïýò óõëëïãéóìïýò õðïëïãßóôå ôçí åîùôåñéêÞ äýíáìç F, ðïõ ðñÝðåé íá äñá, þóôå ï ôáëáíôùôÞò íá åêôåëåß ìåôÜ ôçí ðáñÝëåõóç áñêåôïý ÷ñüíïõ þóôå ôï öáéíüìåíï íá ãßíåé ìüíéìï ôáëÜíôùóç ßäéïõ ðëÜôïõò êáé ßäéáò óõ÷íüôçôáò ìå áõôÞ ðïõ åêôåëïýóå óôïí áÝñá. 33 ÅÜí ó’ Ýíá ìç éäáíéêü çëåêôñéêü êýêëùìá RLC ðñïóèÝóïõìå ìéá áíôßóôáóç R´ ðáñÜëëçëá ìå ôçí R. Ìå ôçí ðñïûðüèåóç üôé ôï áñ÷éêü öïñôßï ôïõ ðõêíùôÞ åßíáé ßäéï êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò, ïé çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò óôç äåýôåñç ðåñßðôùóç èá ìåéùèïýí ìÝ÷ñé äåäïìÝíï ðëÜôïò óå ÷ñüíï (á) ìåãáëýôåñï, (â) ìéêñüôåñï (ã) ßäéï ìå ôçí áñ÷éêÞ ðåñßðôùóç; Äéêáéïëïãåßóôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò. 34 Ãéá ôï êýêëùìá RLC, ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t, ðïõ ç ðïëéêüôçôá ôïõ ðõêíùôÞ êáé ç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò åßíáé áõôÝò ôïõ ó÷Þìáôïò, íá ãñÜøåôå ôç ìáèçìáôéêÞ ó÷Ýóç ôïõ åíåñãåéáêïý éóïæõãßïõ (äéáôÞñçóç ôçò éó÷ýïò) êáé íá åîçãÞóåôå ôï ðåñéå÷üìåíï ôçò ó÷Ýóçò. A1 2
- 57. ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 41 35 Áí óå êýêëùìá RLC, ðïõ åêôåëåß öèßíïõóåò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò, ç áñ÷éêÞ öüñôéóç ãßíåé áðü äéðëÜóéá ôÜóç, ðïéï áðü ôá ðáñáêÜôù åßíáé óùóôü êáé ðïéï ëÜèïò; (á) Ç ôáëÜíôùóç èá äéáñêÝóåé (ìå ôçí Ýííïéá üôé ôï ðëÜôïò ãßíåôáé ðåñßðïõ 7/1000 ôïõ áñ÷éêïý) ðåñéóóüôåñï (â) Ï ìÝóïò ñõèìüò ðáñáãùãÞò èåñìüôçôáò èá åßíáé ìåãáëýôåñïò (ã) Ç ïëéêÞ åíÝñãåéá Joule, ðïõ èá ðáñá÷èåß óôçí áíôßóôáóç ìÝ÷ñé íá óôáìáôÞóïõí ïé ôáëáíôþóåéò, èá åßíáé ôåôñáðëÜóéïò 36 Óôï êýêëùìá ôïõ ó÷Þìáôïò Ý÷ïõìå: (á) ÌåôáôñïðÞ åíÝñãåéáò çëåêôñéêïý ðåäßïõ óå åíÝñãåéá ìáãíçôéêïý ðåäßïõ (â) ÌåôáôñïðÞ åíÝñãåéáò ìáãíçôéêïý ðåäßïõ óå çëåêôñéêïý ðåäßïõ êáé èåñìüôçôá (ã) ÌåôáôñïðÞ åíÝñãåéáò çëåêôñéêïý ðåäßïõ óå åíÝñãåéá ìáãíçôéêïý ðåäßïõ êáé èåñìüôçôá Ðïéá áðü ôéò ðáñáðÜíù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÞ; 37 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç: “ÊáôÜ ôéò öèßíïõóåò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò Ý÷ïõìå ìåôáôñïðÞ ôçò (á) . . . . . . åíÝñãåéáò óå ìáãíçôéêÞ êáé áíôéóôñüöùò. ¼ìùò óôç äéÜñêåéá ôïõ öáéíïìÝíïõ ðïóüôçôá ôùí åíåñãåéþí ìåôáôñÝðåôáé óå (â) ...... ðÜíù óôçí áíôßóôáóç R ëüãù (ã) ......”. 38 Ðñïóäéïñßóôå ôçí áíôßóôïé÷ç ðïóüôçôá ôçò ôÜóçò, VR , óôá Üêñá ôçò ùìéêÞò áíôßóôáóçò çëåêôñéêïý êõêëþìáôïò RLC óôïí ìç÷áíéêü ôáëáíôùôÞ ìå áðüóâåóç. 39 Óå áíôéóôïé÷ßá ìå ôçí åñþôçóç 34 ãñÜøôå ôç ìáèçìáôéêÞ ó÷Ýóç ôïõ åíåñãåéáêïý éóïæõãßïõ (äéáôÞñçóç ôçò éó÷ýïò) êáé åîçãÞóôå ôï ðåñéå÷üìåíü ôçò ãéá ìç÷áíéêü óýóôçìá ôáëÜíôùóçò ìå áðüóâåóç. 40 Óôï êýêëùìá ôïõ ó÷Þìáôïò áíïßãïõìå êáé êëåßíïõìå ôï äéáêüðôç ìå áñãü ñõèìü êáé ç ôÜóç óôçí áíôßóôáóç R êáôáãñÜöåôáé óå ðáëìïãñÜöï. Âñåßôå ôç ìïñöÞ ðïõ ðáñáôçñåßôáé óôïí ðáëìïãñÜöï, êáé åîçãåßóôå ôçí. 41 Êýêëùìá RLC åêôåëåß öèßíïõóåò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò üðùò óôï ó÷Þìá. Óôç óõíÝ÷åéá åéóÜãïõìå óôï ðçíßï Ýíá õëéêü ìå (ìáãíçôéêÞ) äéáðåñáôüôçôá ì = 100. Öïñôßæïõìå ôïí ðõêíùôÞ óå áñ÷éêÞ ôÜóç ßóç ìå ôçí ðñïçãïýìåíç êáé êëåßíïíôáò ôï äéáêüðôç ðáñÜãïíôáé îáíÜ öèßíïõóåò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò. Ó÷åäéÜóôå ðïéïôéêÜ ôç óõíÜñôçóç q- t. Ïé ôáëáíôþóåéò èá äéáñêÝóïõí ðåñéóóüôåñï ç ëéãüôåñï ÷ñüíï óå ó÷Ýóç ìå ôéò ðñïçãïýìåíåò; ÐåñéãñÜøôå áíôßóôïé÷ï ìç÷áíéêü óýóôçìá. Èåùñåßóôå ôéò áðþëåéåò óôï õëéêü ôïõ ðõñÞíá áìåëçôáßåò. Èåùñïýìå üôé ç ôáëÜíôùóç ðáýåé üôáí ôï ðëÜôïò ãßíåé ßóï ðåñßðïõ ìå ôá 7/1000 ôïõ áñ÷éêïý. 42 Óôï êýêëùìá ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé å1 ≠ å2. Áñ÷éêÜ ï äéáêüðôçò Ä1 åßíáé áíïéêôüò êáé ï Ä2 êëåéóôüò. Äéáäï÷éêÜ áíïßãïõìå ôï Ä2 êáé êëåßíïõìå ôïí Ä1. Èá åêôåëÝóåé ôáëáíôþóåéò ôï óýóôçìá LC; Óêåöôåßôå ÄÄ
- 58. 42 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉÊÕÌÁÔÁ áíôßóôïé÷ï ìç÷áíéêü óýóôçìá þóôå íá ìðïñÝóåôå íá ðñïóäéïñßóåôå êáô’ áíôéóôïé÷ßá ôç óõ÷íüôçôá ôçò ôáëÜíôùóçò. 43 Áíôéóôïé÷ßóôå ôéò ðñïôÜóåéò ðïõ áöïñïýí ìç÷áíéêÝò ôáëáíôþóåéò ìå áõôÝò ðïõ áöïñïýí ôéò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò: Ìç÷áíéêÝò ôáëáíôþóåéò ÇëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò (á) Âáñýôåñï óþìá 1) Ìåãáëýôåñç áðüóôáóç ìåôáîý ôùí ïðëéóìþí ôïõ ðõêíùôÞ. (â) ÅëáôÞñéï ßäéïõ 2) ÓùëçíïåéäÝò, ßäéïõ ìÞêïõò õëéêïý ìå ìåãáëý- êáé äéáôïìÞò, ìå ðåñéóóü- ôåñï öõóéêü ìÞêïò ôåñåò óðåßñåò ã) Ìåãáëýôåñç áñ÷é- 3) Óýñìáôá ßäéïõ õëéêïý, ßäéïõ êÞ åðéìÞêõíóç ìÞêïõò êáé ìéêñüôåñïõ ðÜ÷ïõò ä) ÔáëÜíôùóç óå 4) Ìåãáëýôåñç ôéìÞ ôçò áñ÷é- ðõêíüôåñï ñåõóôü êÞò ôÜóçò öüñôéóçò ôïõ ðõêíùôÞ 44 Ç åíÝñãåéá ðïõ ðñïóöÝñåôáé óå ìéá ðåñßïäï áð’ ôç ðçãÞ åíáëëáóóüìåíçò ôÜóçò óôï êýêëùìá RLC ìåôáôñÝðåôáé: (á) Óå çëåêôñéêÞ åíÝñãåéá ôïõ ðõêíùôÞ C (â) Óå ìáãíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ ðçíßïõ L (ã) Óå èåñìïäõíáìéêÞ åíÝñãåéá óôçí ùìéêÞ áíôßóôáóç R (ä) Êáé óôéò ôñåéò ðñïçãïýìåíåò ìïñöÝò ÐïéÜ åßíáé ç óùóôÞ áðÜíôçóç; 45 Ó’ Ýíá êýêëùìá RLC, ôï ïðïßï ôñïöïäïôåßôáé áðü ðçãÞ åíáëëáóóüìåíç ôÜóçò, áõîÜíïíôáò åëáöñþò ôç óõ÷íüôçôá ôçò ðçãÞò ðáñáôçñïýìå üôé ôï ðëÜôïò ôïõ ñåýìáôïò áõîÜíåôáé. Ðïéü ìÝãåèïò ðñïçãåßôáé ç ôÜóç ðçãÞò Þ ôï ñåýìá; ÅîçãÞóôå ìå öõóéêïýò óõëëïãéóìïýò ôï ìçäåíéóìü ôïõ ðëÜôïõò ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé êýêëùìá RLC, üôáí ç óõ÷íüôçôá ôçò ðçãÞò ôñïöïäïóßáò ãßíåôáé ðïëý ìåãÜëç Þ ðïëý ìéêñÞ. 46 Êýêëùìá RLC ôñïöïäïôåßôáé ìå åíáëëáóóüìåíç ôÜóç ôçò ìïñöÞò õ = V cosùt. ÅÜí ðáñåìâÜëïõìå óå óåéñÜ óôï êýêëùìá (ó÷Þìá â) ðçãÞ óõíå÷ïýò ôÜóçò Å, ðïéÜ áðü ôá ðáñáêÜôù èá óõìâïýí óôï ìüíéìï öáéíüìåíï; (á) Ôï ðëÜôïò ôïõ ñåýìáôïò èá ðáñáìåßíåé ßäéï êáèþò êáé ç óõ÷íüôçôÜ ôïõ. (â) Ôï ñåýìá èá ìåôáâëçèåß äéüôé èá åßíáé ôï óõíéóôÜìåíï ðïõ ïöåßëåôáé óôçí åíáëëáóóüìåíç ôÜóç êáé óôç óõíå÷Þ. (ã) Ôï öïñôßï ôïõ ðõêíùôÞ èá ìåôáâÜëëåôáé ìå ôïí ßäéï ôñüðï. (ä) Ôï ñåýìá i èá ìåôáâÜëëåôáé üðùò êáé ðñïçãïõìÝíùò åíþ ôï öïñôßï q èá ìåôáâÜëëåôáé ìå ôï ßäéï ðëÜôïò, ãýñù áðü ôç ôéìÞ qá = Cå. ÄçëáäÞ èá åßíáé: q = Cå + q0 cos (ùt − ö) å) Ç óõíïëéêÞ åíÝñãåéá ðïõ ðáñÝ÷åé óå ìéá ðåñßïäï ç ðçãÞ óõíå÷ïýò ôÜóçò åßíáé ìçäÝí. 47 Äßíåôáé Ýíá áñìïíéêü ìÝãåèïò á = −A cos ùt êáé Ýíá áñìïíéêü ìÝãåèïò â = B cos ùt. ÐïéÜ åßíáé ç äéáöïñÜ öÜóçò ôïõò; (á) 0, (â) ð/2, (ã) ð/3, (ä) ð; Äßíåôáé üôé Á > 0 êáé  > 0 48 Ôá áñìïíéêÜ ìåãÝèç á êáé â äßíïíôáé áíôßóôïé÷á áðü ôéò ó÷Ýóåéò á = A cos ùt êáé â = B sinùt. ÐïéÜ åßíáé ç äéáöïñÜ öÜóçò ôïõò; (Á,  èåôéêÜ).
- 59. ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 43 (á) 0, (â) ð/2, (ã) 3 ð/2 (ä) ð 49 ÊáôÜ ôç óýíèåóç äýï áñìïíéêþí ôáëáíôþóåùí ìå ßäéï ðëÜôïò êáé êõêëéêÝò óõ÷íüôçôåò ù1 êáé ù2 ßäéáò äéåýèõíóçò, ç êõêëéêÞ óõ÷íüôçôá (äéáìüñöùóçò) ðïõ ðñïêýðôåé äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç: Ìðïñåß íá ðÜñåé áñíçôéêÝò ôéìÝò; 50 á) Åßíáé ôï äéáêñïôçìá ðåñéïäéêÞ êßíçóç; Áí íáé ðïéÜ åßíáé ç ðåñßïäïò ôïõ; â) ÊáôÜ ôï äéáêñüôçôá ðïéÜ åßíáé ç óõ÷íüôçôá ôçò ôáëÜíôùóçò; 51 Áðïäåßîôå üôé ôï óùìÜôéï ðïõ åêôåëåß ôçí óýíèåôç êßíçóç ôïõ ó÷Þìáôïò 3.32 êéíåßôáé óýìöùíá ìå ôïõò äåßêôåò ôïõ ïñïëïãéïý. (Õðüäåéîç: áðïäåßîôå üôé óôç èÝóç (Áx , 0) ôï óùìáôßäéï Ý÷åé õy < 0). 52 Ãéáôß ç íüôá Ëá, åíþ Ý÷åé ßäéá óõ÷íüôçôá ãéá ôï ìðïõæïýêé êáé ãéá ôçí êéèÜñá, ç ÷ñïéÜ åßíáé äéáöïñåôéêÞ ãéá êÜèå üñãáíï; ù ù ù mod = −1 2 2 1 Ãéá Ýíá éäáíéêü êýêëùìá LC ïé ôéìÝò ôçò áõôåðáãùãÞò êáé ôçò ÷ùñçôéêüôçôáò åßíáé áíôßóôïé÷á L = 10 mH êáé C = 1,0 pF. á) Íá âñåßôå ôç óõ÷íüôçôá ôùí çëåêôñéêþí ôáëáíôþóåùí ôïõ êõêëþìáôïò, â) ÐïéÜ ôéìÞ ðñÝðåé íá Ý÷åé ç ÷ùñçôéêüôçôá ðñüóèåôïõ ðõêíùôÞ êáé ìå ðïéü ôñüðï ðñÝðåé íá óõíäåèåß óôï êýêëùìá ï ðõêíùôÞò áõôüò þóôå ç ðåñßïäïò ôïõ íÝïõ êõêëþìáôïò íá åßíáé äéðëÜóéá ôçò ðåñéüäïõ ôïõ ðñïçãïõìÝíïõ êõêëþìáôïò. 2 ÄéáèÝôïõìå ðçíßï ìå óõíôåëåóôÞ áíôåðáãùãÞò L = 2 ,0 mH êáé äýï ðõêíùôÝò ìå ÷ùñçôéêüôçôåò C1 = 30 ìF êáé C2 = 60 ìF áíôßóôïé÷á. Íá âñåßôå üëåò ôéò äõíáôÝò óõ÷íüôçôåò ðïõ ìðïñïýí íá ðáñá÷èïýí ó÷çìáôßæïíôáò çëåêôñéêÜ êõêëþìáôá ìå ôá ðéï ðÜíù óôïé÷åßá. 3 ÐõêíùôÞò öïñôßæåôáé ìå áñ÷éêü öïñôßï q0 = 2,0 ìCb, Ý÷ïíôáò áñ÷éêÞ åíÝñãåéá U = 2,0 ìJ. Êáôüðéí óõíäÝåôáé ìå ðçíßï ïðüôå ðáñáôçñåßôáé üôé ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôï êýêëùìá åßíáé 1,0 mA. Íá õðïëïãéóèåß ç ÷ùñçôéêüôçôá ôïõ ðõêíùôÞ êáé ç áõôåðáãùãÞ L ôïõ ðçíßïõ. 4 Ãéá äýï äéáäï÷éêÜ åîßóïõ ìïéñÜóìáôá ôçò åíÝñãåéáò óå ìáãíçôéêÞ êáé çëåêôñéêÞ åíüò êõêëþìáôïò LC ðåñíÜ ÷ñüíïò Ät = ð × 10-4 s. Íá õðïëïãéóèåß ç ÷ùñçôéêüôçôá ôïõ ðõêíùôÞ ôïõ êõêëþìáôïò üôáí ï óõíôåëåóôÞò áõôåðáãùãÞò ôïõ ðçíßïõ åßíáé L = 10 mH. 5 Óå êýêëùìá LC ðáñÜãïíôáé çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 ôï öïñôßï ôïõ ðõêíùôÞ åßíáé ìÝãéóôï Q = 2 ìC. Áí ìåôÜ ÷ñüíï ôï öïñôßï ôïõ ðõêíùôÞ ãßíåôáé ãéá ðñþôç öïñÜ , íá âñåßôå ôï ñõèìü ìå ôïí ïðïßï áõîÜíåôáé ç ìáãíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ ðçíßïõ åêåßíç ôç óôéãìÞ. Ç ÷ùñçôéêüôçôá ôïõ ðõêíùôÞ ôïõ êõêëþìáôïò åßíáé C = 2 nF. 6 Ï ðõêíùôÞò éäáíéêïý êõêëþìáôïò LC åßíáé öïñôéóìÝíïò áñ÷éêÜ áðü ôÜóç V = 300 V. Ôá óôïé÷åßá ôïõ êõêëþìáôïò Ý÷ïõí ôéìÝò L = 20 mH êáé C = 2,0 ìF. Íá âñåèåß ï ÷ñüíïò ðïõ ÷ñåéÜæåôáé íá õðïôåôñáðëáóéáóôåß ç áñ÷éêÞ åíÝñãåéá ôïõ ðõêíùôÞ. Åðßóçò ôç óôéãìÞ ðïõ Ý÷åé õðïôåôñáðëáóéáóôåß ç åíÝñãåéá ôïõ ðõêíùôÞ íá õðïëïãéóèïýí: (á) Ç ôéìÞ ôïõ ñåýìáôïò (â) Ç ìáãíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ ðçíßïõ (ã) Ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò ôïõ ñåýìáôïò di/dt. 7 Íá âñåßôå ôéò åêöñÜóåéò ôçò ìáãíçôéêÞò åíÝñãåéáò q Q = 3 2 Ä ð 3 st = × − 10 4 ÁÓÊÇÓÅÉÓ - ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ
- 60. ôïõ ðçíßïõ êáéôçò çëåêôñéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ ðõêíùôÞ, óõíáñôÞóåé ôïõ öïñôßïõ q ôïõ ðõêíùôÞ. Êáôüðéí íá êÜíåôå ôá äéáãñÜììáôá Uçë − q êáé Uìáã − q. 8 ¸íá éäáíéêü êýêëùìá LC ìå L = 2,0 mH êáé C = 20 nF ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0, Ý÷åé ðëÞñùò öïñôéóìÝíï ôïí ðõêíùôÞ ìå öïñôßï Q = 2,0 ìCb. Íá õðïëïãéóèåß ï ìÝãéóôïò ñõèìüò áðïèÞêåõóçò ìáãíçôéêÞò åíÝñãåéáò óôï ðçíßï êáèþò êáé ï ÷ñüíïò t ðïõ èá óõìâåß áõôü ãéá ðñþôç öïñÜ. 9 Êýêëùìá çëåêôñéêþí ôáëáíôþóåùí áðïôåëåßôáé áðü ðçíßï áõôåðáãùãÞò L êáé ðõêíùôÞ óôáèåñÞò ÷ùñçôéêüôçôáò C. ÐáñÜëëçëá ðñïò ôïí ðõêíùôÞ ôïõ êõêëþìáôïò óõíäÝåôáé Üëëïò ìåôáâëçôüò ðõêíùôÞò. Ãéá ôéò ôéìÝò C1 = 3 nF êáé C2 = 8 nF ôïõ ìåôáâëçôïý ðõêíùôÞ, ïé óõ÷íüôçôåò ôùí çëåêôñéêþí ôáëáíôþóåùí åßíáé f1 = 25 kHz êáé áíôß- óôïé÷á. Íá õðïëïãéóèåß ï óõíôåëåóôÞò áõôåðáãùãÞò ôïõ ðçíßïõ êáé ç ÷ùñçôéêüôçôá ôïõ ðõêíùôÞ ôïõ êõêëþìáôïò. Èåùñåßóôå üôé ð2 = 10 10 ÄéáèÝôïõìå äýï ðõêíùôÝò êáé Ýíá ðçíßï. Ôá äýï êõêëþìáôá çëåêôñéêþí ôáëáíôþóåùí LC ðïõ ðñïêýðôïõí óõíäÝïíôáò ôç ìéá öïñÜ ôïõò ðõêíùôÝò ðáñÜëëçëá êáé ôçí Üëëç óå óåéñÜ, Ý÷ïõí ðåñéüäïõò Ô1 = 5ð × 10- 6 s êáé Ô2 = 2ð × 10- 6 s áíôßóôïé÷á. Íá õðïëïãéóôåß ç ÷ùñçôéêüôçôá ôïõ êÜèå ðõêíùôÞ êáèþò êáé ç áíôåðáãùãÞ ôïõ ðçíßïõ, áí ãíùñßæïõìå üôé ïé ÷ùñçôéêüôçôåò ôùí ðõêíùôþí C1 êáé C2 óõíäÝïíôáé ìå ôç ó÷Ýóç C1 C2 = 10- 8 F2 . 11 Íá õðïëïãßóåôå ôï ÷ñüíï ìÝóá óôï ïðïßï ôï ðëÜôïò ôçò öèßíïõóáò ôáëÜíôùóçò, åíüò óþìáôïò ìÜæáò m ðïõ åßíáé êñåìáóìÝíï áðü åëáôÞñéï óôáèåñÜò k, èá õðïäéðëáóéáóôåß. Äßíåôáé åðßóçò ç óôáèåñÜ áðüóâåóçò b. 12 Óôçí ðåñßðôùóç ôáëáíôùôÞ ìå áðüóâåóç, ç ðïóüôçôá ïíïìÜæåôáé ÷ñüíïò ÷áëÜñùóçò. á) Áðïäåßîôå üôé ç ðïóüôçôá ô Ý÷åé äéáóôÜóåéò ÷ñüíïõ. â) Õðïëïãßóôå ôï ðïóïóôü ìåôáâïëÞò ôïõ ðëÜôïõò óå ÷ñüíï ßóï ìå ôï ÷ñüíï ÷áëÜñùóçò. 13 Ç óôáèåñÜ åðáíáöïñÜò åíüò ôáëáíôùôÞ åßíáé êáé ç ìÜæá ôïõ ôáëáíôïýìåíïõ óþìáôïò m = 0,10 kg. Ôï óþìá âõèßæåôáé óå õãñü, üðïõ ç óôáèåñÜ áðüóâåóçò åßíáé . Íá õðïëïãßóåôå ôï ðïóïóôü ìåôáâïëÞò ôçò óõ÷íüôçôáò ôáëÜíôùóçò óå ó÷Ýóç ìå ôçí éäéïóõ÷íüôçôá. 14 Ôï ðëÜôïò ìéáò öèßíïõóáò ôáëÜíôùóçò õðïäéðëáóéÜæåôáé óå ÷ñüíï Ät = 7,0 s. Ðüóïò ÷ñüíïò ÷ñåéÜæåôáé þóôå ôï ðëÜôïò íá ãßíåé ïêôþ öïñÝò ìéêñüôåñï; 15 Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò óôáèåñÜò áðüóâåóçò b, åêôåëïýìå ôï ðåßñáìá ôïõ ó÷Þìáôïò 3.10 äýï öïñÝò. Ôçí ðñþôç öïñÜ êñåìÜìå ôï óþìá áðü åëáôÞñéï óôáèåñÜò k êáé ôçí Üëëç áðü äýï üìïéá åëáôÞñéá óôáèåñÜò k ôï êáèÝíá ôá ïðïßá óõíäÝïíôáé ðáñÜëëçëá. Áðü ôá äýï ðåéñÜìáôá ìåôñÜìå ôéò áðïóôÜóåéò d1 êáé d2 ìåôáîý äýï äéáäï÷éêþí ìåãßóôùí êáé õðïëïãßæïõìå ôï ëüãï . Íá áðï- äåßîåôå üôé ç óôáèåñÜ áðüóâåóçò äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç 16 Ç óôáèåñÜ k åíüò áñìïíéêïý ôáëáíôùôÞ éóïýôáé ìå 100 N/m êáé ç ìÜæá m ôïõ óùìáôéäßïõ åßíáé 4,0 kg. Ôï óýóôçìá åêôåëåß åîáíáãêáóìÝíç áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç, õðü ôçí åðßäñáóç áñìïíéêÜ ìåôáâáëëüìåíçò åîùôåñéêÞò äýíáìçò. Óôçí êáôÜóôáóç óõíôïíéóìïý ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò åßíáé ó÷åäüí ìÝãéóôï êáé Ý÷åé ôçí ôéìÞ 0,80 m. Áí ç óôáèåñÜ áðüóâåóçò åßíáé b = 0,40 kg/s íá ðñïóäéïñßóåôå: á) Ôçí Ýêöñáóç ôçò åîùôåñéêÞò äýíáìçò ìå ôï ÷ñüíï. â) Ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò êáèþò êáé ôç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôáò üôáí ç óõ÷íüôçôá ôçò åîùôåñéêÞò äýíáìçò ãßíåé ßóç ìå ôï 1/5 ôçò éäéïóõ÷íüôçôáò ôïõ óõóôÞìáôïò. Ôé ðáñáôçñåßôå; b k m â â = − − 4 2 1 2 2 e j â d d = 1 2 b = 0 6, kg s k = 100 N m ô ë = 1 2 f2 50 3 = kHz 44 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ
- 61. ÇËÅÊÔÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 45 17 Áñìïíéêüò ôáëáíôùôÞò åêôåëåß åîáíáãêáóìÝíåò áñìïíéêÝò ôáëáíôþóåéò õðü ôçí åðßäñáóç åîùôåñéêÞò äýíáìçò ôçò ìïñöÞò (S.I.). Áí ç óôáèåñÜ åðáíáöïñÜò åßíáé k = 56 N/m, ç ìÜæá ôïõ óùìáôßïõ ôïõ ôáëáíôùôÞ m = 1,0 kg êáé ç óôáèåñÜ áðüóâåóçò , íá âñåßôå: (á) Ôçí óõíÜñôçóç ôçò áðïìÜêñõíóçò ìå ôï ÷ñüíï (â) Ôçí åíÝñãåéá ðïõ ìåôáöÝñåôáé óôï óýóôçìá áðü ôçí åîùôåñéêÞ äýíáìç óå ìéá ðåñßïäï (ã) Ôçí ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôáò êáèþò êáé ôïí ìÝóï ñõèìü ðáñáãùãÞò èåñìïäõíáìéêÞò åíÝñãåéáò óôï óõíôïíéóìü. 18 Ãéá áñìïíéêü ôáëáíôùôÞ ðïõ åêôåëåß åîáíáãêáóìÝíåò ôáëáíôþóåéò, ç äéáöïñÜ öÜóçò ôá÷ýôçôáò êáé åîùôåñéêÞò äýíáìçò åßíáé ð/4. Íá õðïëïãéóèåß ç ìÝóç éó÷ý ðïõ ðáñÜãåé ç åîùôåñéêÞ äýíáìç, åÜí óôï óõíôïíéóìü Ý÷åé ôçí ôéìÞ 20 watt. 19 Ãéá äýï äéáöïñåôéêÝò ôéìÝò ôçò óõ÷íüôçôáò ôçò åîùôåñéêÞò äýíáìçò f1 = 9,0 Hz êáé f2 = 4,0 Hz óå Ýíá óýóôçìá ðïõ åêôåëåß åîáíáãêáóìÝíåò ôáëáíôþóåéò, ç ìÝóç éó÷ýò ôçò åîùôåñéêÞò äýíáìçò åßíáé ç ßäéá. Íá õðïëïãéóôåß ç éäéïóõ÷íüôçôá ôïõ óõóôÞìáôïò. 20 Ó’ Ýíá éäáíéêü êýêëùìá LC ï ðõêíùôÞò Ý÷åé ÷ùñçôéêüôçôá C = 19 ìF êáé ôï ðçíßï áõôåðáãùãÞ L = 2,5 mÇ. Ðïßá ç áíôßóôáóç ðïõ ðñÝðåé íá óõíäÝóïõìå óôï êýêëùìá óå óåéñÜ ìå ôá óôïé÷åßá L êáé C þóôå ç óõ÷íüôçôá ôùí öèéíïõóþí ôáëáíôþóåùí ðïõ ðñïêýðôïõí íá åßíáé ôá 9/10 ôçò éäéïóõ÷íüôçôáò ôïõ êõêëþìáôïò; 21 ÐõêíùôÞò ÷ùñçôéêüôçôáò C = 8,0 ìF öïñôßæåôáé ìå ôÜóç V = 320 V êáé êáôüðéí óõíäÝåôáé ìÝóù äéáêüðôç ìå ðçíßï ôï ïðïßï Ý÷åé óõíôåëåóôÞ áíôåðáãùãÞò L = 5,0 mH êáé ùìéêÞ áíôßóôáóç R = 0,30 Ù. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 êëåßíïõìå ôï äéáêüðôç êáé óôï êýêëùìá ðáñÜãïíôáé öèßíïõóåò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò. Íá ãñÜøåôå ôçí Ýêöñáóç ôïõ öïñôßïõ ôïõ ðõêíùôÞ ìå ôï ÷ñüíï. 22 Óå Ýíá ìç éäáíéêü êýêëùìá RLC, ðïõ åêôåëåß öèßíïõóåò çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò, ï ÷ñüíïò õðïäéðëáóéáóìïý ôïõ ðëÜôïõò ôïõ öïñôßïõ åßíáé 25×ln2 ìs, åíþ ç êõêëéêÞ éäéïóõ÷íüôçôá ôïõ åßíáé ù0 = 5,0 × 104 rad/s. Íá õðïëïãéóèåß ç óõ÷íüôçôá ôùí öèßíïõóùí ôáëáíôþóåùí. 23 ÊÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ óôï çëåêôñéêü êýêëùìá ôïõ ó÷Þìáôïò ç ôÜóç óôá Üêñá ôïõ ðõêíùôÞ åßíáé 200 V åíþ ôï ñåýìá Ý÷åé ôéìÞ i = 2,0 A. Áí ç áíôßóôáóç ôïõ êõêëþìáôïò åßíáé R = 5,0 Ù êáé ï óõíôåëåóôÞò áõôåðáãùãÞò ôïõ ðçíßïõ L = 2,0 mH, íá âñåßôå: á) Ôï ñõèìü ìåôáâïëÞò ôïõ ñåýìáôïò åêåßíç ôç óôéãìÞ, â) ôï ñõèìü áðïôáìßåõóçò åíÝñãåéáò óôïí ðõêíùôÞ êáé ã) ôï ñõèìü áðþëåéáò ìáãíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ ðçíßïõ. 24 Óôï ìç éäáíéêü çëåêôñéêü êýêëùìá ôïõ ó÷Þìáôïò ç óõ÷íüôçôá ôùí öèéíïõóþí ôáëáíôþóåùí åßíáé . Áí óå óåéñÜ ìå ôçí R óõíäÝóïõìå áíôßóôáóç R´ = R, ðüóç èá åßíáé ç íÝá óõ÷íüôçôá ôùí öèßíïõóùí ôáëáíôþóåùí; Äßíåôáé ç éäéïóõ÷íüôçôá ôïõ êõêëþìáôïò f0 = 6 × 105 Hz. 25 ¸íá óþìá åêôåëåß óõã÷ñüíùò äýï ôáëáíôþóåéò x1 = 3sin10t êáé x2 = 4cos10t Ðïéá åßíáé ç óõíéóôáìÝíç êßíçóç; 26 ¸íá óþìá åêôåëåß óõã÷ñüíùò äýï êÜèåôåò ìåôáîý ôïõò ôáëáíôþóåéò x = 3sin10t y = 3cos10t Íá âñåèåß ç ôñï÷éÜ ôïõ óþìáôïò, êáèþò êáé ç öïñÜ ðïõ äéáãñÜöåôáé áõôÞ. 33 105 × Hz b = 1 kg s F t= 2 2 8cos
- 62. 46 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉÊÕÌÁÔÁ Êåñáßá (åêðïìðÞò) ñáäéïöùíéêïý óôáèìïý.
- 63. 3.2 ÊÕÌÁÔÁ ÅÉÓÁÃÙÃÇ ~Ïôáí êÜðïéïòìéëÜåé ôïí áêïýìå, åíþ âñéóêüìáóôå óå êÜðïéá áðüóôáóç áðü áõôüí. Ìéá ëÜìðá ðïõ áíÜâåé ãßíåôáé áíôéëçðôÞ áðü ìáêñéíÞ áðüóôáóç. Áêüìç, ñß÷íïíôáò Ýíá ðåôñáäÜêé óå ìéá Þñåìç åðéöÜíåéá íåñïý, äçìéïõñãåßôáé äéáôáñá÷Þ ðïõ öôÜíåé óå Üëëá óçìåßá ôçò åðéöÜíåéáò. ~Ïëá ôá ðáñáðÜíù öáéíüìåíá åßíáé öõóéêÝò äéáäéêáóßåò, üðïõ ïé äéáôáñá÷Ýò ðïõ äçìéïõñãïýíôáé óå êÜðïéï óçìåßï, äéáäßäïíôáé óôï ÷þñï êáé ãßíïíôáé áíôéëçðôÝò óå êÜðïéï Üëëï óçìåßï. Ï ìç÷áíéóìüò äéÜäïóçò ôçò äéáôáñá÷Þò ëÝãåôáé êýìá êáé ç áéôßá ðïõ ðñïêáëåß ôçí áñ÷éêÞ äéáôáñá÷Þ ëÝãåôáé ðçãÞ Þ åóôßá ôïõ êýìáôïò. Ôá êýìáôá ðïõ äéáäßäïíôáé óå êÜðïéï õëéêü ìÝóï ëüãù áëëçëåðßäñáóçò ôùí ìïñßùí ôïõ ìÝóïõ, ëÝãïíôáé ìç÷áíéêÜ êýìáôá. ÊáôÜ ôç äéÜäïóç åíüò ìç÷áíéêïý êýìáôïò óõìâáßíåé ìåôáöïñÜ åíÝñãåéáò êáé ü÷é ìåôáöïñÜ ìÜæáò ôïõ öïñÝá, óôïí ïðïßï äéáäßäåôáé ôï êýìá. Ôá êýìáôá ìðïñåß íá äéáäßäïíôáé óå ìïíïäéÜóôáôï ìÝóï, üðùò ìéá ÷ïñäÞ, Þ óå åðéöÜíåéá ðïõ åßíáé äéóäéÜóôáôï ìÝóï (åðéöáíåéáêÜ êýìáôá) ð.÷. åðéöÜíåéá ôõìðÜíïõ, Þ óå ôñéóäéÜóôáôï ìÝóï, üðùò ôá ç÷çôéêÜ êýìáôá óôïí áÝñá (áõôÜ áíÞêïõí óôï åßäïò ôùí êõìÜôùí ôá ïðïßá ïíïìÜæïíôáé óöáéñéêÜ). ÁíÜëïãá ìå ôïí ôñüðï ðïõ ìåôáôïðßæïíôáé ôá óùìÜôéá ôïõ ìÝóïõ êáôÜ ôç äéÜäïóç ôïõ êýìáôïò, ôá êýìáôá ÷ùñßæïíôáé óå: á) ÅãêÜñóéá, üôáí ç ìåôáôüðéóç (Þ ç äéáôáñá÷Þ) åßíáé êÜèåôç óôç äéåýèõíóç äéÜäïóçò ôïõ êýìáôïò ð.÷. óôçí ôåíôùìÝíç ÷ïñäÞ. â) ÄéáìÞêç üôáí ç ìåôáôüðéóç (Þ ç äéáôáñá÷Þ) åßíáé ðáñÜëëçëç ðñïò ôç äéåýèõíóç äéÜäïóçò ð.÷. ç÷çôéêÜ êýìáôá óôïí áÝñá êáé ã) ÌéêôÜ, üôáí óõíõðÜñ÷ïõí êáé ïé äýï ôñüðïé, üðùò ôá êýìáôá óôçí åðéöÜíåéá ôïõ íåñïý. Ï ôïìÝáò ôçò ÖõóéêÞò ðïõ áó÷ïëåßôáé ìå ôá êõìáôéêÜ öáéíüìåíá ëÝãåôáé ÊõìáôéêÞ. Óôï êåöÜëáéï áõôü èá áó÷ïëçèïýìå ìå ôá öáéíüìåíá áíÜêëáóçò, äéÜèëáóçò êáé óõìâïëÞò ôùí êõìÜôùí. Åðßóçò, ìå ôçí ðáñáãùãÞ êáé ëÞøç ôùí çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí. ÁÑÌÏÍÉÊÁ ÊÕÌÁÔÁ Éäéáßôåñï åíäéáöÝñïí ðáñïõóéÜæïõí ôá áñìïíéêÜ êýìáôá (ëÝãïíôáé êáé çìéôïíéêÜ). Åßíáé ôá êýìáôá óôá ïðïßá ç äéáôáñá÷Þ åíüò ìåãÝèïõò åßíáé áñìïíéêÞ óõíÜñôçóç ôïõ ÷ñüíïõ (ãéá êÜèå äåäïìÝíç èÝóç) Þ ôçò èÝóçò (ãéá êÜèå äåäïìÝíç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ) Þ êáé ôùí äýï. Ãéá ìïíïäéÜóôáôï (ïäåýïí) áñìïíéêü êýìá, ðïõ äéáäßäåôáé êáôÜ ôç äéåýèõíóç ôïõ Üîïíá x, ç äéáôáñá÷Þ y(x, t) ðåñéãñÜöåôáé áðü ôç ó÷Ýóç y (x, t) = A0 sin(ùt − kx) Þ ãåíéêüôåñá, y(x,t) = A0 sin(ùt − kx + ö) (3.38) ¼ðïõ (ùt − kx + ö) åßíáé ç öÜóç ôïõ êýìáôïò êáé ö ç ëåãüìåíç áñ÷éêÞ öÜóç, äçëáäÞ ç öÜóç óôç èÝóç x = 0 ãéá t = 0 (ÓõíÞèùò ç áñ÷éêÞ öÜóç áíÜãåôáé óôï äéÜóôçìá [0, 2ð), äçëáäÞ 0 ≤ ö < 2ð). KYMATA 47 Ó×ÇÌÁ 3.35 ÊÜèå óôïé÷åéþäåò ôìÞìá ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ êáôÜ ôç äéÜäïóç áñìïíéêïý êýìáôïò åêôåëåß áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç.
- 64. Ïé óõíáñôÞóåéò (3.38)ðåñéãñÜöïõí êýìáôá äéáäéäüìåíá ðñïò ôç öïñÜ ôïõ Üîïíá x. Ç áíôßóôïé÷ç óõíÜñôçóç áñìïíéêþí êõìÜôùí ôá ïðïßá äéáäßäïíôáé ðñïò ôçí áíôßèåôç êáôåýèõíóç åßíáé y (x, t) = A0 sin(ùt + kx) (3.39) Ç ðïóüôçôá k ëÝãåôáé êõêëéêüò (Þ ãùíéáêüò) êõìáôáñéèìüò Þ êõêëéêÞ (ãùíéáêÞ) åðáíáëçøéìüôçôá. Åðßóçò ìðïñåß íá ÷ñçóéìïðïéåßôáé êáé ï üñïò óõíôåëåóôÞò äéÜäïóçò êáé åßíáé (3.40) Ôï ìÝãåèïò ë åßíáé ôï ìÞêïò êýìáôïò êáé éóïýôáé ìå ôçí áðüóôáóç ìåôáîý äýï äéáäï÷éêþí óçìåßùí ðïõ âñßóêïíôáé óå öÜóç. Ç ðïóüôçôá ù ëÝãåôáé êõêëéêÞ Þ ãùíéáêÞ óõ÷íüôçôá êáé åßíáé ù = 2ðf f (Þ v) åßíáé ç óõ÷íüôçôá, ìå ôçí ïðïßá åêôåëïýí ôáëÜíôùóç ôá óùìÜôéá ôïõ ìÝóïõ êáé ïíïìÜæåôáé óõ÷íüôçôá ôïõ êýìáôïò. Óôï ó÷Þìá 3.36, ôï êýìá äéáäßäåôáé ðñïò ôá äåîéÜ ìå ôá÷ýôçôá õ. Ôá óçìåßá Á êáé  Ý÷ïõí ôçí ßäéá öÜóç, åðïìÝíùò ùt1 − kx1 + ö = ùt2 − kx2 + ö Þ ù (t2 − t1) = k(x2 − x1) Þ ~Áñá Þ (3.41) ÃåíéêÜ ç ôá÷ýôçôá ôïõ êýìáôïò óå Ýíá ìÝóï äßíåôáé áðü ó÷Ýóç ôçò ìïñöÞò , üðïõ Á Ýíá ìÝãåèïò ðïõ ó÷åôßæåôáé ìå ôçí åëáóôéêüôçôá ôïõ ìÝóïõ êáé  Ýíá ìÝãåèïò ðïõ åîáñôÜôáé áðü ôç ìÜæá. Óôç ÷ïñäÞ ð.÷. ôá êýìáôá äéáäßäïíôáé ìå ôá÷ýôçôá (3.42) üðïõ F ç ôåßíïõóá äýíáìç, (ìç÷áíéêÞ ôÜóç ôçò ÷ïñäÞò) êáé ì ç ãñáììéêÞ ðõêíüôçôá ôçò ÷ïñäÞò (ìÜæá áíÜ ìïíÜäá ìÞêïõò). õ F ì = õ = A B/ õ = ëf õ ù k = Ä Ä x t ù k = k ë = 2ð 48 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.36 Äýï óôéãìéüôõðá åíüò áñìïíéêïý êýìáôïò ôéò óôéãìÝò t1 êáé t2 (t1 > t2).Ôá óçìåßá Á êáé  Ý÷ïõí ßäéá öÜóç.
- 65. Ìåëåôïýìå éäéáßôåñá ôááñìïíéêÜ êýìáôá, äéüôé óå ðïëëÝò öõóéêÝò äéáäéêáóßåò ç ìïñöÞ ôùí êõìÜôùí ðñïóåããßæåé éêáíïðïéçôéêÜ ôçí áñìïíéêÞ (ð.÷. ñáäéïöùíéêÜ êýìáôá). Åðßóçò êÜèå ðåñéïäéêÞ äéáôáñá÷Þ y (x,t) ìå áíÜëõóç Fourier ãñÜöåôáé ùò Üèñïéóìá (åðáëëçëßá) áñìïíéêþí êõìÜôùí. Åêôüò áðü ôá ìç÷áíéêÜ êýìáôá, ðïõ ãéá íá äéáäïèïýí ÷ñåéÜæïíôáé êÜðïéï ìÝóï, äçëáäÞ õðÜñ÷åé óýæåõîç ìåôáîý ôùí óùìáôßùí ôïõ ìÝóïõ, õðÜñ÷ïõí êáé Üëëá åßäç êõìÜôùí. Åßíáé ôá çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá, ßóùò ôá âáñõôéêÜ, ôá êýìáôá ôçò êâáíôéêÞò öõóéêÞò (ðåñéãñÜöïõí óùìáôßäéá êáé ëÝãïíôáé õëéêÜ êýìáôá). ÁõôÜ äåí äéáäßäïíôáé ìÝóá óå êÜðïéï ìÝóï ìå ôéò ðáñáðÜíù éäéüôçôåò. Ôá êýìáôá áõôÜ äéáäßäïíôáé ïõóéáóôéêÜ óôï êåíü. ÐáñÜäåéãìá 3-8 Ôï ïìïãåíÝò óýñìá ôïõ ó÷Þìáôïò Ý÷åé ìÜæá m = 2,0 kg êáé ìÞêïò L = 10 m. Áí ôï óþìá ðïõ êñÝìåôáé Ý÷åé âÜñïò 800 Í, õðïëïãßóôå ôï ÷ñüíï ðïõ ÷ñåéÜæåôáé Ýíáò ðáëìüò íá äéáôñÝîåé üëï ôï óýñìá. ÁðÜíôçóç Ç ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôçò äéáôáñá÷Þò åßíáé Þ Óõíåðþò ï ÷ñüíïò, ãéá íá öôÜóåé ï ðáëìüò áðü ôçí ìéá Üêñç óôçí Üëëç, åßíáé Þ Ç ôåßíïõóá äýíáìç F åßíáé ßóç ìå ôï âÜñïò ôïõ óþìáôïò ðïõ êñÝìåôáé. Áíôéêáèéóôþíôáò Ý÷ïõìå Þ ÉÓÏÖÁÓÉÊÅÓ ÅÐÉÖÁÍÅÉÅÓ - ÌÅÔÙÐÁ ÊÕÌÁÔÏÓ ¸óôù áñìïíéêü, ùò ðñïò ôï ÷ñüíï, óöáéñéêü êýìá ôï ïðïßï ðåñéãñÜöåôáé áðü ôç óõíÜñôçóç üðïõ Á óôáèåñÜ êáé r ç áðüóôáóç áðü ôï óçìåßï ðïõ âñßóêåôáé ç ðçãÞ ôïõ êýìáôïò. ÉóïöáóéêÞ åðéöÜíåéá Þ ìÝôùðï êýìáôïò, åßíáé êÜèå óõíå÷Þò åðéöÜíåéá, ðÜíù óôçí ïðïßá ç öÜóç åßíáé ç ßäéá. Óôçí ðåñßðôùóç óöáéñéêïý êýìáôïò Ý÷ïõìå ãéá ôçí öÜóç ôçí ó÷Ýóç ùt − kr = óôáèåñü. ¢ñá, êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t åßíáé r = óôáè. ÅðïìÝíùò, óôç óõãêåêñéìÝíç ðåñßðôùóç, ïé éóïöáóéêÝò åðéöÜíåéåò åßíáé ïìüêåíôñåò óöáßñåò ìå êÝíôñï ôçí áñ÷Þ ôùí óõíôåôáãìÝíùí, üðïõ âñßóêåôáé êáé ç ðçãÞ ôùí êõìÜôùí. Óõíçèßæïõìå íá ó÷åäéÜæïõìå ôéò éóïöáóéêÝò åðéöÜíåéåò óå áðïóôÜóåéò åíüò ìÞêïõò êýìáôïò ìåôáîý ôïõò (Ó÷. 3.38). ÊÜèå óõíå÷Þò ãñáììÞ, ç ïðïßá åßíáé êÜèåôç óôéò éóïöáóéêÝò åðéöÜíåéåò, åßíáé áêôßíá ôïõ êýìáôïò êáé äçëþíåé ôç äéåýèõíóç äéÜäïóçò ôïõ êýìáôïò. Óôçí ðåñßðôùóç ôùí áíùôÝñù óöáéñéêþí êõìÜôùí, ïé áêôßíåò ôïõ êýìáôïò åßíáé çìéåõèåßåò, ðïõ îåêéíïýí áðü ôçí áñ÷Þ ôùí óõíôåôáãìÝíùí. Óôá y r t A r ùt êr,b g b g= −sin Ä st ≈ 0 16,Ä st = ×2 0 10 800 , Ät m L F =Ät L õ = õ F L m =õ F ì = KYMATA 49 Ó×ÇÌÁ 3.38 ÓöáéñéêÜ êýìáôá. Ó×ÇÌÁ 3.37
- 66. åðéöáíåéáêÜ êýìáôá ðïõäéáäßäïíôáé áðü Ýíá óçìåßï ôçò åðéöÜíåéáò, ïé áêôßíåò åßíáé ïé åõèåßåò ðïõ îåêéíïýí áðü ôçí ðçãÞ êáé ôá ìÝôùðá åßíáé ïìüêåíôñïé êýêëïé (Ó÷. 3.39). Ôá êýìáôá, ôùí ïðïßùí ïé áêôßíåò åßíáé ðáñÜëëçëåò åõèåßåò, êáé ïé éóïöáóéêÝò åðéöÜíåéåò ðáñÜëëçëá åðßðåäá (Ó÷. 3.40), ëÝãïíôáé åðßðåäá êýìáôá. Ìéá êáëÞ ðñïóÝããéóç ôùí åðéðÝäùí êõìÜôùí åßíáé ôá óöáéñéêÜ êýìáôá óå ìéá ðåñéï÷Þ áñêåôÜ ìáêñéÜ áð’ ôçí ðçãÞ ôïõò, ð.÷. ôï öùò ôïõ Þëéïõ ðïõ öôÜíåé óôç Ãç. ÁÑ×Ç ÔÏÕ HUYGENS Ï Huygens, õðïóôçñéêôÞò ôçò êõìáôéêÞò èåùñßáò ôïõ öùôüò, èÝëïíôáò íá óõìâéâÜóåé ôçí åõèýãñáììç äéÜäïóç ôïõ öùôüò êáé ôïõò íüìïõò áíÜêëáóçò êáé äéÜèëáóçò, åðéíüçóå ãéá ôç äéÜäïóç ôùí êõìÜôùí ôçí áñ÷Þ ðïõ öÝñåé ôï üíïìÜ ôïõ. Óýìöùíá ìå ìéá äéáôýðùóç ôçò áñ÷Þò ôïõ Huygens, “êÜèå óçìåßï ìåôþðïõ êýìáôïò ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò ðçãÞ äåõôåñåõüíôùí êõìÜôùí ðïõ äéáäßäïíôáé ìå ôá÷ýôçôá ßóç ìå ôçí ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôïõ êýìáôïò”. ¸óôù üôé ôï ìÝôùðï åíüò êýìáôïò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 åßíáé ôï S1 (Ó÷. 3.41). ¼ëá ôá óçìåßá ôçò åðéöÜíåéáò S1 ãßíïíôáé äåõôåñïãåíåßò ðçãÝò êõìÜôùí. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 ôï íÝï ìÝôùðï S2 åßíáé ç åðéöÜíåéá (ðåñéâÜëëïõóá), ç ïðïßá åöÜðôåôáé óå üëá ôá åðéìÝñïõò äåõôåñïãåíÞ óöáéñéêÜ ìÝôùðá ßäéáò áêôßíáò õ (t2 − t1 ). Ôüôå üëá ôá óçìåßá á~, â~, ã~, ... (ôá ïðïßá Ý÷ïõí ôçí ßäéá öÜóç) ôçò åðéöÜíåéáò S2 ãßíïíôáé äåõôåñïãåíåßò ðçãÝò êõìáôéäßùí, ïðüôå ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t3 ôï ìÝôùðï èá åßíáé ç åðéöÜíåéá S3 , ç ïðïßá åöÜðôåôáé óå üëá ôá åðéìÝñïõò óöáéñéêÜ ìÝôùðá ßäéáò áêôßíáò õ(t3 − t2) ê.ï.ê. Ôá óçìåßá á, â, ã, ... êáé ôá óçìåßá á~, â~, ã~,..., ëÝãïíôáé áíôßóôïé÷á óçìåßá. 50 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.41 ÃåùìåôñéêÞ ðåñéãñáöÞ ôçò äéÜäïóçò åíüò ìåôþðïõ êýìáôïò ìå ôç âïÞèåéá ôçò áñ÷Þò ôïõ Huygens. Ç áñ÷Þ ôïõ Huygens Äéáôõðþèçêå ãéá ôá åëáóôéêÜ êýìáôá, áëëÜ ìðïñåß íá åöáñìïóôåß ãéá êÜèå êýìá. Ôï ðñüâëçìá ìå ôïí Huygens Þôáí üôé “Ýêïâå” áõèáßñåôá ôá äéáäéäüìåíá ðñïò ôá ðßóù êýìáôá, þóôå íá åîçãåß ôç äéÜèëáóç êáé ôçí áíÜêëáóç ü÷é, üìùò êáé êõìáôéêÜ öáéíüìåíá üðùò áõôü ôçò ðåñßèëáóçò. Åêáôü ÷ñüíéá ìåôÜ Ýãéíå ç áéôéïëüãçóç ôçò áñ÷Þò Huygens ìå ôçí áíÜðôõîç ôïõ çëåêôñïìáãíçôéóìïý êáé ôçò èåùñßáò ôïõ Fresnel. Ó×ÇÌÁ 3.39 ÅðéöáíåéáêÜ êýìáôá. Ó×ÇÌÁ 3.40 Åðßðåäá êýìáôá. Ïé áêôßíåò åßíáé ðáñÜëëçëåò ìåôáîý ôïõò êáé ïé éóïöáóéêÝò åðéöÜíåéåò S1,S2, ... ðáñÜëëçëá åðßðåäá.
- 67. ÁÍÁÊËÁÓÇ ÊÁÉ ÄÉÁÈËÁÓÇÊÕÌÁÔÙÍ Áí êýìá ðïõ äéáäßäåôáé óå Ýíá ìÝóï óõíáíôÞóåé áóõíÝ÷åéá, äçëáäÞ äåýôåñï ìÝóïí ìå äéáöïñåôéêÝò éäéüôçôåò áðü ôï ðñþôï, äéá÷ùñßæåôáé ãåíéêÜ óå äýï êýìáôá. Ôï Ýíá áíáêëÜôáé êáé äéáäßäåôáé óôï ðñþôï ìÝóï, êáé ïíïìÜæåôáé áíáêëþìåíï êýìá, åíþ ôï Üëëï äéáäßäåôáé óôï äåýôåñï ìÝóï êáé ëÝãåôáé äéáèëþìåíï êýìá. (Óå åéäéêÝò óõíèÞêåò Ýíá áðü ôá äýï êýìáôá ìðïñåß íá ìçí õðÜñ÷åé). Èá ìåëåôÞóïõìå ðáñáêÜôù äýï ðåñéðôþóåéò áíÜêëáóçò êáé äéÜèëáóçò, áõôÞ åíüò êýìáôïò óå ÷ïñäÞ ìå áóõíÝ÷åéá êáé áõôÞ åíüò åðéðÝäïõ êýìáôïò óå äýï äéáöïñåôéêÜ ìÝóá ðïõ äéá÷ùñßæïíôáé áðü åðßðåäç åðéöÜíåéá. ÁÍÁÊËÁÓÇ ÊÁÉ ÄÉÁÈËÁÓÇ ÊÕÌÁÔÏÓ ÄÉÁÄÉÄÏÌÅÍÏÕ ÓÅ ×ÏÑÄÇ ÌÅ ÁÓÕÍÅ×ÅÉÁ Ç ÷ïñäÞ ôïõ ó÷Þìáôïò 3.42 ðáñïõóéÜæåé áóõíÝ÷åéá, äçëáäÞ ç ãñáììéêÞ ðõêíüôçôÜ ôçò ìÝ÷ñé êÜðïéï óçìåßï åßíáé ì1 êáé áðüôïìá ãßíåôáé ì2 ìå ì1 ≠ ì2. ¼ôáí ðáëìüò ïäåýåé áðü ôçí ðåñéï÷Þ ãñáììéêÞò ðõêíüôçôáò ì1 ðñïò ôçí ðåñéï÷Þ ãñáììéêÞò ðõêíüôçôáò ì2 óôçí áóõíÝ÷åéá óõìâáßíïõí ôá åîÞò: á) Áí ì1 > ì2 , Ý÷ïõìå áíáêëþìåíï ðáëìü óå öÜóç êáé ìéêñüôåñïõ ýøïõò áðü ôïí ðñïóðßðôïíôá. Ï äéáèëþìåíïò ðáëìüò åßíáé óå öÜóç êáé ìåãáëýôåñïõ ýøïõò áðü ôïí ðñïóðßðôïíôá (Ó÷. 3.43). â) Áí ì1 < ì2 , ï áíáêëþìåíïò ðáëìüò åßíáé áíåóôñáìÝíïò ìå ìéêñüôåñï ýøïò êáé ï äéáèëþìåíïò åßíáé óå öÜóç êáé ìéêñüôåñïõ ýøïõò áðü ôïí ðñïóðßðôïíôá (Ó÷. 3.44). ã) Áí ôï Ýíá Üêñï ôçò ÷ïñäÞò åßíáé áêëüíçôï, äçëáäÞ åßíáé óáí áóõíÝ÷åéá ìå ì2 → ∞, äåí õðÜñ÷åé äéáèëþìåíïò ðáëìüò. Ï ðñïóðßðôùí ðáëìüò, üôáí öôÜóåé óôï ðáêôùìÝíï Üêñï, áóêåß äýíáìç ó' áõôü, ïðüôå ëüãù ôïõ 3ïõ Íüìïõ ôïõ Íåýôùíá êáé ôï áêëüíçôï Üêñï áóêåß áíôßèåôç äýíáìç (ßäéïõ ìÝôñïõ êáé áíôßèåôçò öïñÜò) óôç ÷ïñäÞ, ìå áðïôÝëåóìá íá áíáóôñáöåß ï ðáëìüò. Ëüãù ôçò áñ÷Þò äéáôÞñçóçò ôçò åíÝñãåéáò ï áíáêëþìåíïò ðáëìüò åßíáé áíåóôñáììÝíïò êáé Ý÷åé ôçí ßäéá ìïñöÞ ìå ôïí ðñïóðßðôïíôá (Ó÷. 3.45). Áõôü ìðïñåß íá äåé÷èåß êáé ðïóïôéêÜ. Èåùñþíôáò ôï áêëüíçôï óçìåßï, ùò áñ÷Þ ôïõ Üîïíá x äçëáäÞ x = 0, ôá äýï áñìïíéêÜ êýìáôá, ðñïóðßðôïí êáé áíáêëþìåíï, ðåñéãñÜöïíôáé áíôßóôïé÷á áðü ôç ó÷Ýóç y1 = A0 sin(ùt − kx) (ïäåýåé êáôÜ ôç èåôéêÞ öïñÜ ôïõ Üîïíá x) êáé y2 = A0~sin(ùt + kx) (ïäåýåé êáôÜ ôçí áñíçôéêÞ öïñÜ ôïõ Üîïíá x) Óå êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ óôç èÝóç x = 0, Ý÷ïõìå y1 + y2 = 0, Üñá Á0 sin ùt = −A0~ sinùt, ïðüôå Á0 sinùt = Á0~sin(ùt + ð) äçëáäÞ ôá äýï êýìáôá Ý÷ïõí äéáöïñÜ öÜóçò ð êáé ßäéï ðëÜôïò. ä) Óôçí ðåñßðôùóç, êáôÜ ôçí ïðïßá ôï Ýíá Üêñï ôçò ÷ïñäÞò åßíáé åëåýèåñï, ï áíáêëþìåíïò ðáëìüò Ý÷åé ôçí ßäéá ìïñöÞ êáé åßíáé óå öÜóç ìå ôïí ðñïóðßðôïíôá. Óôï ó÷Þìá 3.46 Ý÷ïõìå äÝóåé ôç ÷ïñäÞ ìå Ýíá äáêôõëßäé áìåëçôÝáò ìÜæáò, ðïõ ìðïñåß êáé êéíåßôáé ðÜíù - êÜôù óôçí áêëüíçôç êáôáêüñõöç ñÜâäï ÷ùñßò ôñéâÝò. ~Ïôáí öèÜóåé ï ðáëìüò óôçí KYMATA 51 Ó×ÇÌÁ 3.42 Ç ÷ïñäÞ ðáñïõóéÜæåé áóõíÝ÷åéá. Ó×ÇÌÁ 3.44 ÁíÜêëáóç óå ðõêíüôåñï ìÝóï (ì1 <ì2). Ó×ÇÌÁ 3.43 ÁíÜêëáóç óå áñáéüôåñï ìÝóï (ì1 > ì2 ). Ó×ÇÌÁ 3.45 ÁíÜêëáóç óå ðáêôùìÝíï Üêñï. Ó×ÇÌÁ 3.46 ÁíÜêëáóç óå åëåýèåñï Üêñï.
- 68. Üêñç ôçò ÷ïñäÞò,ôï äáêôõëßäé êéíåßôáé áñ÷éêÜ ðñïò ôá ðÜíù êáé êáôüðéí ðñïò ôá êÜôù, ðáñÜãïíôáò ôïí áíáêëþìåíï ðáëìü. ÁÍÁÊËÁÓÇ ÊÁÉ ÄÉÁÈËÁÓÇ ÅÍÏÓ ÅÐÉÐÅÄÏÕ ÊÕÌÁÔÏÓ ¼ôáí åðßðåäï êýìá êéíåßôáé óå Ýíá ìÝóï (ìÝóï 1), êáé óõíáíôÞóåé ôç äéá÷ùñéóôéêÞ åðéöÜíåéá ôïõ ìÝóïõ (1) êáé åíüò Üëëïõ ìÝóïõ (ìÝóï 2), ôüôå äéá÷ùñßæåôáé óå äýï êýìáôá, ôï áíáêëþìåíï êáé ôï äéáèëþìåíï. ~Åóôù è1, è1~ êáé è2 ïé ãùíßåò ðïõ ó÷çìáôßæïõí ç ðñïóðßðôïõóá, ç áíáêëþìåíç êáé ç äéáèëþìåíç áêôßíá (Ó÷. 3.47) ôïõ êýìáôïò áíôßóôïé÷á, ìå ôçí êÜèåôï óôçí äéá÷ùñéóôéêÞ åðéöÜíåéá óôï óçìåßï ðñüóðôùóçò. Ïé íüìïé ðïõ äéÝðïõí ôçí áíÜêëáóç êáé ôç äéÜèëáóç åßíáé ïé åîÞò: Íüìïò ôçò áíÜêëáóçò: Ç ãùíßá áíÜêëáóçò åßíáé ßóç ìå ôç ãùíßá ðñüóðôùóçò äçëáäÞ (3.43) Íüìïò ôçò äéÜèëáóçò: Ôï ðçëßêï ôïõ çìéôüíïõ ôçò ãùíßáò ðñüóðôùóçò ðñïò ôï çìßôïíï ôçò ãùíßáò äéÜèëáóçò éóïýôáé ìå ôï ó÷åôéêü äåßêôç äéÜèëáóçò n21 ôïõ ìÝóïõ (2) ðñïò ôï ìÝóï (1), äçëáäÞ (3.44) üðïõ , êáé õ1, õ2 ïé ôá÷ýôçôåò äéÜäïóçò ôïõ êýìáôïò óôá ìÝóá (1) êáé (2) áíôßóôïé÷á. Ï íüìïò ôçò äéÜèëáóçò ëÝãåôáé êáé íüìïò ôïõ Snell. Ïé ôñåéò áêôßíåò, ðñïóðßðôïõóá, áíáêëþìåíç êáé äéáèëþìåíç, âñßóêïíôáé óôï ßäéï åðßðåäï, áõôü ðïõ ó÷çìáôßæåôáé áðü ôçí ðñïóðßðôïõóá áêôßíá êáé ôçí êÜèåôï óôç äéá÷ùñéóôéêÞ åðéöÜíåéá, óôï óçìåßï ðïõ ç áêôßíá óõíáíôÜ ôçí åðéöÜíåéá. Ïé ðáñáðÜíù íüìïé éó÷ýïõí êáé ãéá Üëëïõ åßäïõò êýìáôá êáé åßíáé íüìïé ôçò ãåùìåôñéêÞò ïðôéêÞò. Ç ðåéñáìáôéêÞ åðáëÞèåõóç ôùí íüìùí óôï åðßðåäï ôçò ïðôéêÞò åßíáé åýêïëç. n õ õ 2 1 1 2 = sin sin è è n1 2 2 1= è1 = è1~ 52 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.47 ÁíÜêëáóç êáé äéÜèëáóç áêôßíáò ðïõ ðñïóðßðôåé óå äéá÷ùñéóôéêÞ åðéöÜíåéá.
- 69. Ïé íüìïé ôçòáíÜêëáóçò êáé ôçò äéÜèëáóçò åîçãïýíôáé ìå ôç âïÞèåéá ôçò áñ÷Þò ôïõ Huygens. ¸íáò Üëëïò ôñüðïò åîÞãçóçò, ôïí ïðïßï äåí èá áíáðôýîïõìå, åßíáé ç áñ÷Þ ôùí ~Çñùíá-Fermat óýìöùíá ìå ôçí ïðïßá ï áðáéôïýìåíïò ÷ñüíïò áðü ôï óçìåßï åêêßíçóçò ôçò áêôßíáò, ìÝ÷ñé åíüò Üëëïõ óçìåßïõ ðïõ èá öôÜóåé ìåôÜ ôçí áíÜêëáóç Þ äéÜèëáóç, ðáñïõóéÜæåé (ôïðéêü) åëÜ÷éóôï. Áðüëõôïò äåßêôçò äéÜèëáóçò ïðôéêïý ìÝóïõ, ïñßæåôáé ôï ðçëßêï ôçò ôá÷ýôçôáò c ôïõ öùôüò óôï êåíü, ðñïò ôçí ôá÷ýôçôá õ ôïõ öùôüò óôï ìÝóï, . Ï ó÷åôéêüò äåßêôçò äéÜèëáóçò ôïõ ìÝóïõ (2), ùò ðñïò ôï ìÝóï (1), äßíåôáé áðü ôçí ó÷Ýóç ÐáñÜäåéãìá 3-9 Äýï åðßðåäá êÜôïðôñá ó÷çìáôßæïõí ãùíßá ö. Íá áðïäåé÷èåß üôé ç åêôñïðÞ ôçò (äéáäï÷éêÜ áðü ìéá öïñÜ) áíáêëþìåíçò áêôßíáò óôá äýï êÜôïðôñá åßíáé 2ö. ÁðÜíôçóç ¸óôù è ç ãùíßá ðñüóðôùóçò óôï Ýíá êÜôïðôñï êáé á óôï Üëëï. Áðü ôï ôñßãùíï ÊËÌ åßíáé ù = 2á + 2è (ùò åîùôåñéêÞ ôïõ ôñéãþíïõ) ¼ìùò 2á + 2è = 180 − 2y + 180 − 2x = 360 − 2(x + y) Áðü ôï ôñßãùíï ÏËÊ åßíáé x + y = 180o − ö ¢ñá ù = 360 − 2 (180ï − ö) Þ ù = 2ö. n n n 2 1 2 1 = n c õ = KYMATA 53 Ó×ÇÌÁ 3.48 Ðßíáêáò. Äåßêôçò ÄéÜèëáóçò ãéá ôçí êßôñéíç ãñáììÞ ôïõ Íáôñßïõ (ë0 = 589 nm) ÓôåñåÜ ÐÜãïò 1,309 Ïñõêôü Üëáò 1,544 ÁäÜìáò 2,417 ¾áëïé (ôõðéêÝò ôéìÝò) 1,52 - 1,80 ÕãñÜ óå èåñì. 20 ï C Måèáíüëç 1,329 Íåñü 1,333 Áéèáíüëç 1,36 Ãëõêåñßíç 1,473 Âåíæüëéï 1,501
- 70. ÐáñÜäåéãìá 3-10 ÖùôåéíÞ áêôßíáðñïóðßðôåé õðü ãùíßá á óå ãõÜëéíç ðëÜêá (ìå ðëåõñÝò ðáñÜëëçëåò) ðÜ÷ïõò d. Íá áðïäåé÷èåß üôé ç åîåñ÷üìåíç áêôßíá áðü ôï ãõáëß åßíáé ðáñÜëëçëç ìå ôçí ðñïóðßðôïõóá êáé íá õðïëïãéóôåß ç ìåôáîý ôïõò áðüóôáóç s. Äßíïíôáé ïé äåßêôåò äéÜèëáóçò ãéá ôïí áÝñá n1 êáé ãéá ôï ãõáëß n2 . ÁðÜíôçóç Ãéá ôç äéÜèëáóç óôï óçìåßï Á éó÷ýåé Ãéá ôç äéÜèëáóç óôï  Ý÷ïõìå Þ ¢ñá ¼ìùò â = ã, ùò åíôüò åíáëëÜî, Üñá, siná = sinä êáé åðïìÝíùò, á = ä. ÅðåéäÞ ïé ãùíßåò á, ä åßíáé ßóåò êáé ôéò Ý÷ïõí äýï áíôßóôïé÷åò ðëåõñÝò ôïõò ðáñÜëëçëåò èá Ý÷ïõí ðáñÜëëçëåò êáé ôéò Üëëåò äýï, óõíåðþò ç ðñïóðßðôïõóá êáé åîåñ÷üìåíç áêôßíá åßíáé ðáñÜëëçëåò. Áðü ôï ôñßãùíï Áàõðïëïãßæïõìå ôçí áðüóôáóç s s = AB sin è = Á sin(ä − ã) Þ s = AB sin (á − â) Åðßóçòáðü ôï ôñßãùíï ÁÄ õðïëïãßæïõìå ôï Á Áíôéêáèéóôþíôáò Ý÷ïõìå Þs d â á â á â= cos sin cos cos sin− AB = cos cos d ã d â = sin sin sin sin á â ä ã = sin sin ä ã n n = 2 1 sin sin ã ä n n = 1 2 sin sin á â n n = 2 1 54 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.49
- 71. Åßíáé ¢ñá ÍÏÌÏÓ ÁÍÁÊËÁÓÇÓ Èåùñïýìå ôéòðáñÜëëçëåò êáé éóáðÝ÷ïõóåò áêôßíåò å1, å2 êáé å3 ôïõ åðßðåäïõ êýìáôïò ôïõ ó÷Þìáôïò 3.50, ïé ïðïßåò ðñïóðßðôïõí óôç äéá÷ùñéóôéêÞ åðéöÜíåéá ôùí äýï ìÝóùí. ~Ïôáí ôï êýìá öôÜíåé óôç èÝóç Á, ç S1 åßíáé ç éóïöáóéêÞ åðéöÜíåéá ôïõ. Ãéá íá äéáôñÝîåé ôï êýìá ôçí áðüóôáóç ÃÄ, ÷ñåéÜæåôáé ÷ñüíï , üðïõ õ1 ç ôá÷ýôçôá ôïõ êýìáôïò. ÊáôÜ ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät, ç äåõôåñåýïõóá ðçãÞ óôï Á Ý÷åé äçìéïõñãÞóåé Ýíá ìÝôùðï ó÷Þìáôïò çìéêõêëßïõ êáé áêôßíáò ÁÆ = õÄt = ÃÄ êáé ç äåõôåñåýïõóá ðçãÞ Ç ìÝôùðï áêôßíáò ¼ìùò êáé óõíåðþò BH ÃÄ = 2 HE Ä Ä BH = ′ = − F HG I KJõ t õ t õ 1 1 1 Ät õ = ÃÄ 1 s d á n á n n á = − − L N MM O Q PPsin cos sin 1 1 2 2 1 2 2 Þs d á á n n n n á = − − L N MM MM M O Q PP PP P sin cos sin 1 1 1 2 1 2 2 2 2 cos sin sinâ â n n á= − = −1 12 1 2 2 2 2 sin sinâ n n á= 1 2 s d á á â â = sin cos sin cos − L NM O QP KYMATA 55 Ó×ÇÌÁ 3.50 ÁíÜêëáóç åðßðåäùí êõìÜôùí.
- 72. Ç ðåñéâÜëëïõóá ôùííÝùí ìåôþðùí åßíáé ôþñá ç S1~. Ôá ôñßãùíá ÁÄà êáé ÄÁÆ åßíáé ßóá, åðåéäÞ åßíáé ïñèïãþíéá êáé Ý÷ïõí ôçí õðïôåßíïõóá êáé ìßá êÜèåôç ðëåõñÜ ßóåò. ¢ñá ö1 = ö1~. ÅðïìÝíùò, êáé è1 = è1~ ùò óõìðëçñùìáôéêÝò ôùí ßóùí ö1 êáé ö1~ (Ó÷. 3.51). ÍÏÌÏÓ ÄÉÁÈËÁÓÇÓ Ãéá ôï äéáèëþìåíï êýìá (Ó÷. 3.52) óôï ÷ñüíï , üðïõ ôï êýìá öôÜíåé áðü ôï à óôï Ä, ôï ìÝôùðï ôïõ êýìáôïò áðü ôçí ðçãÞ Á Ý÷åé áêôßíá êáé ôï ìÝôùðï ôçò ðçãÞò Ç, Þ Ç éóïöáóéêÞ åðéöÜíåéá åßíáé ç ðåñéâÜëëïõóá S2 (ôï ìÝôùðï ôçò ðçãÞò Ä Ý÷åé áêôßíá ìçäÝí). Áðü ôá ôñßãùíá ÁÃÄ êáé ÁÄÆ Ý÷ïõìå ~Áñá Þ Åßíáé ö1 = è1 êáé ö2 = è2 , åðåéäÞ Ý÷ïõí áíôßóôïé÷á êÜèåôåò ðëåõñÝò. ÅðïìÝíùò sin sin è è õ õ 1 2 1 2 = sin sin ö ö õ õ 1 2 1 2 = sin sin ÃÄ ÁÆ ÃÄ ÃÄ ö ö õ õ 1 2 1 2 = = sin ÁÆ ÁÄ ö2 =sin ÃÄ ÁÄ ö1 = , HE AZ = 2 HE BH ÃÄ ÃÄ ÃÄ = − F HG I KJ = − F HG I KJ =õ Ät õ õ õ õ õ õ 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 AZ Ä ÃÄ= =õ t õ õ 2 1 2 Ä ÃÄ t õ = 1 HE ÃÄ 2 ÁÆ 2 = = 56 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.52 ÄéÜèëáóç åðßðåäùí êõìÜôùí êáôÜ ôç ìåôÜâáóÞ ôïõò áðü áñáéüôåñï óå ðõêíüôåñï ìÝóï. Ó×ÇÌÁ 3.51
- 73. ÔÏ ÖÁÉÍÏÌÅÍÏ ÔÇÓÏËÉÊÇÓ ÁÍÁÊËÁÓÇÓ ¼ôáí êýìá äéáäßäåôáé óå ìÝóï (1) êáé óõíáíôÞóåé ôç äéá÷ùñéóôéêÞ åðéöÜíåéá ìå ôï ìÝóï (2) (Ó÷. 3.53), óôï ïðïßï ç ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò åßíáé ìåãáëýôåñç áðü áõôÞ ôïõ ìÝóïõ (1) (õ2 > õ1 ), õðÜñ÷åé ìéá ïñéáêÞ (Þ ïñéêÞ) ãùíßá ðñüóðôùóçò èc , ãéá ôçí ïðïßá ç ãùíßá äéÜèëáóçò ôåßíåé óôçí è2 = 90ï . Ãéá ãùíßåò ðñüóðôùóçò ìåãáëýôåñåò ôçò èc , äåí õðÜñ÷åé ðëÝïí äéáèëþìåíï êýìá ðáñÜ ìüíï áíáêëþìåíï. Ôï öáéíüìåíï áõôü ïíïìÜæåôáé ïëéêÞ áíÜêëáóç Þ ïëéêÞ åóùôåñéêÞ áíÜêëáóç. Ç ïñéáêÞ ãùíßá èc õðïëïãßæåôáé èÝôïíôáò óôï íüìï ôçò äéÜèëáóçò è2 = 90ï . Åßíáé Þ (3.45) Óôï ó÷Þìá 3.53 ðáñáôçñïýìå ôï öáéíüìåíï ïëéêÞò áíÜêëáóçò, êáèþò ìéá öùôåéíÞ áêôßíá ìåôáâáßíåé áðü ôï ãõáëß (ìÝóï 1) óôïí áÝñá (ìÝóï 2). Óýìöùíá ìå ôçí áñ÷Þ ôçò áíôßóôñïöçò ðïñåßáò ôïõ öùôüò, áí ç áêôßíá êáôåõèýíåôáé áðü ôï ìÝóï (2) ðñïò ôï ìÝóï (1) êáé ç ãùíßá ðñüóðôùóçò ôåßíåé ïñéáêÜ óôéò 90ï , ôüôå ç ãùíßá äéÜèëáóçò èá ôåßíåé ïñéáêÜ óôç èc . ÅöáñìïãÞ ôïõ öáéíïìÝíïõ ïëéêÞò áíÜêëáóçò Ý÷ïõìå óôéò ïðôéêÝò ßíåò. Åßíáé ßíåò ãõáëéïý Þ ðëáóôéêþí, üðïõ ôï öùò, ëüãù ïëéêÞò áíÜêëáóçò, äéáäßäåôáé üðùò óôï (Ó÷. 3.54). Ì' áõôü ôï ôñüðï ðáñáôçñïýìå áíôéêåßìåíá, ôá ïðïßá äåí åßíáé áð' åõèåßáò ïñáôÜ. Ãéá ðáñÜäåéãìá, ïé ãéáôñïß ìðïñïýí ìå êáôÜëëçëá ôïðïèåôçìÝíåò ßíåò (äÝóìç éíþí) íá äïõí ôï óôïìÜ÷é áóèåíïýò. ÐáñÜäåéãìá 3-11 Õðïëïãßóôå ôçí ïñéáêÞ ãùíßá èc (ãéá ïëéêÞ áíÜêëáóç), ãéá ôç äéá÷ùñéóôéêÞ åðéöÜíåéá íåñïý - áÝñá, äåäïìÝíïõ üôé ï (áðüëõôïò) äåßêôçò äéáèëÜóçò ôïõ íåñïý åßíáé n1 ≈ 1,33 êáé ôïõ áÝñá n2 ≈ 1,00. Áí âñéóêüìáóôå óôïí ïñéæüíôéï ðõèìÝíá âÜèïõò h = 5,20 m êïéôÜæïíôáò ðñïò ôá Ýîù õðü ãùíßá 60ï ùò ðñïò ôçí êáôáêüñõöï, ôé âëÝðïõìå; ÁðÜíôçóç Ç ïñéáêÞ ãùíßá èc õðïëïãßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç sin cè õ õ = 1 2 sin sin c o è n 90 2 1= KYMATA 57 Ó×ÇÌÁ 3.53 ÏëéêÞ áíÜêëáóç óå äéá÷ùñéóôéêÞ åðéöÜíåéá ãõáëß - áÝñáò. Ó×ÇÌÁ 3.54 Êõìáôïäçãüò (ÅöáñìïãÞ öáéíïìÝíïõ ïëéêÞò áíÜêëáóçò). Ó×ÇÌÁ 3.55
- 74. Þ sinèc = 0,752Þ èc ≈ 48,8 Áí êïéôÜæïõìå õðü ãùíßá 60ï , âëÝðïõìå ôï óçìåßï ôïõ ðõèìÝíá ðïõ áðÝ÷åé áðü åìÜò áðüóôáóç L = 2h tan60o , ëüãù ôçò ïëéêÞò áíÜêëáóçò ðïõ õößóôáôáé ìéá áêôßíá ðïõ öåýãåé áðü åêåß. ÐÅÑÉÈËÁÓÇ Ðñïóðáèþíôáò íá äçìéïõñãÞóïõìå üóï ôï äõíáôüí ëåðôüôåñç öùôåéíÞ äÝóìç, ðáñåìâÜëïõìå óå åðßðåäç äÝóìç öùôüò äéáäï÷éêÜ äéáöñÜãìáôá ìå üóï ôï äõíáôüí ìéêñüôåñç ïðÞ. Ðáñáôçñïýìå üôé, êáèþò ïé äéáóôÜóåéò ôçò ïðÞò ãßíïíôáé ôçò ôÜîåùò ôïõ ìÞêïõò êýìáôïò ôïõ öùôüò, ôï öùò äåí äéáäßäåôáé åõèýãñáììá, áëëÜ áðëþíåôáé óôïí ÷þñï ðïõ áíáìÝíåôáé óêéÜ (Ó÷. 3.56). Ôï öáéíüìåíï áõôü ïíïìÜæåôáé ðåñßèëáóç ôïõ öùôüò êáé åîçãåßôáé åýêïëá ìå ôçí áñ÷Þ ôïõ Çuygens. Ôá óçìåßá ôçò ïðÞò ãßíïíôáé íÝåò ðçãÝò êõìÜôùí. Ç óõìâïëÞ áõôþí, üôáí ç ïðÞ åßíáé ó÷åôéêÜ ìéêñÞ, ïäçãåß óôçí áðüêëéóç áðü ôçí åõèýãñáììç äéÜäïóç, ãåãïíüò ðïõ äåí óõìâáßíåé ãéá ìåãÜëåò ïðÝò. Ôï öáéíüìåíï ôçò ðåñßèëáóçò ðáñáôçñåßôáé êáé óôá ìç÷áíéêÜ êýìáôá. Óôï ó÷Þìá 3.57 ðáñáôçñïýìå ôçí ðåñßèëáóç õäÜôéíùí êõìÜôùí, üôáí óôçí äéÜäïóÞ ôïõò ðáñåìâÜëïõìå äéÜöñáãìá ìå ó÷éóìÞ äéáóôÜóåùí ôçò ôÜîçò ôïõ ìÞêïõò ôùí õäáôßíùí êõìÜôùí. Ç äõíáôüôçôá íá áêïýìå êÜðïéïí íá ìéëÜåé ìÝóá áðü ôï óðßôé, åíþ âñéóêüìáóôå äßðëá áðü ôï áíïéêôü ðáñÜèõñï êáé äåí ôïí âëÝðïõìå, ïöåßëåôáé óôçí ðåñßèëáóç ôùí ç÷çôéêþí êõìÜôùí. Öáéíüìåíá ðåñéèëÜóçò ðáñáôçñïýíôáé åðßóçò, üôáí ðáñåìâÜëïíôáé êáôÜ ôç äéÜäïóç åíüò êýìáôïò áíôéêåßìåíá ðïõ Ý÷ïõí äéáóôÜóåéò ôçò ôÜîçò ôïõ ìÞêïõò êýìáôïò. Áêüìç åìöáíßæïíôáé öáéíüìåíá ðåñßèëáóçò óôç óêéÜ ôùí Üêñùí ëåðôþí ðëáêéäßùí üðùò ð.÷. ôçò êüøçò îõñáöéïý. ÅÐÁËËÇËÉÁ ÊÁÉ ÓÕÌÂÏËÇ ÊÕÌÁÔÙÍ ¼ôáí äýï ðáëìïß ðïõ äéáäßäïíôáé óå ôåíôùìÝíï íÞìá óõíáíôçèïýí, ôüôå ï ðáëìüò ðïõ ðñïêýðôåé åßíáé ôï Üèñïéóìá ôùí äýï áñ÷éêþí ðáëìþí (Ó÷. 3.58, 3.59). ÌåôÜ ôçí áëëçëïêÜëõøç ïé äýï ðáëìïß óõíå÷ßæïõí ôç äéÜäïóÞ ôïõò sin cè n n = =2 1 1 1 33, 58 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.56 Êáèþò ìéêñáßíåé ç ó÷éóìÞ óôï äéÜöñáãìá ôüóï åíôïíüôåñï åßíáé ôï öáéíüìåíï ðåñßèëáóçò Ó×ÇÌÁ 3.57 Ðåñßèëáóç êýìáôïò áðü ìéêñÞ ïðÞ ÄÇÌÇÔÑÇÓ ×ÏÍÄÑÏÓ Ï ÄçìÞôñçò ×üíäñïò ãåííÞèçêå óôßò ÓÝññåò ôï 1882 êáé ðÝèáíå óôçí ÁèÞ- íá ôï 1962. Óðïýäáóå ÖõóéêÞ óôü ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí. ¸êáíå ìåôáðôõ÷éáêÝò óðïõ- äÝò óôï ÐáíåðéóôÞìéï ôïõ ÌïíÜ÷ïõ êáß ðÞñå ôï Äéäá- êôïñéêü ôïõ õðü ôçí êáèïäÞãçóç ôïõ Á. Sommerfeld. Ôï èÝìá ôçò äéáôñéâÞò ôïõ åßíáé, “ÇëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá óå Óýñìáôá” (1909). Ôï 1910 ìå ôïí P. Debye äçìïóéåýïõí åñãáóßá ó÷å- ôéêÞ ìå ôç äéÜäïóç êõìÜôùí óå ìç áãþãéìá “óýñìáôá”, êõìáôïäçãïß. Ïé äýï åñãáóßåò åßíáé êëáóéêÝò êáé óå áõôÝò óôçñßæïíôáé ðëÞèïò ìåôáãåíÝóôåñùí åñãáóéþí Üëëùí åñåõíçôþí ðïõ ó÷åôßæïíôáé ìå ôç äéÜäïóç êõìÜôùí êáé éäéáßôåñá óå êõìáôïäçãïýò êáé ãñáììÝò ìåôáöïñÜò. ÓÞìåñá, éäéáßôåñá ìå ôçí åîÜðëùóç ôùí ïðôéêþí éíþí ïé åñãáóßåò ôïõ áðïôåëïýí ôá èåùñçôéêÜ èåìÝëéá áõôÞò ôçò åîÝëéîçò. ÅðÝóôñåøå óôçí ÅëëÜäá êáé Ýãéíå ÊáèçãçôÞò ÖõóéêÞò óôï ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí ôï 1912. Ôç äéäáóêáëßá ôïõ ðáñáêïëïõèïýóáí ðëÞèïò êüóìïõ ðïõ äåí åß÷áí ó÷Ýóç ìå ôç ÖõóéêÞ äéüôé Þôáí äéáíèéóìÝíç ìå öéëïóïöéêÝò ðñïåêôÜóåéò.
- 75. áìåôÜâëçôïé. Ï Ýíáòðáëìüò äçëáäÞ ðåñíÜåé ìÝóá áðü ôïí Üëëï ÷ùñßò íá õðïóôåß êáììéÜ áëëïßùóç. Ôï öáéíüìåíï áõôü åßíáé ç áñ÷Þ ôçò åðáëëçëßáò (Þ õðåñèåóçò) óýìöùíá ìå ôçí ïðïßá: ¼ôáí äýï Þ ðåñéóóüôåñá êýìáôá äéáäßäïíôáé óôï ßäéï ìÝóï ôüôå ç óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôùí åðéìÝñïõò äéáôáñá÷þí. ÄçëáäÞ, áí ó' Ýíá ìÝóï äéáäßäïíôáé äýï äéáôáñá÷Ýò y1 (x, t) êáé y2 (x, t), ôüôå ç óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ åßíáé y (x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) Ôï áðïôÝëåóìá ôçò åðáëëçëßáò ôùí êõìÜôùí ïíïìÜæåôáé óõìâïëÞ. ÐñÝðåé íá ôïíßóïõìå üôé ç áñ÷Þ ôçò åðáëëçëßáò éó÷ýåé ãåíéêÜ ãéá ôá êýìáôá êáé ü÷é ìüíï ãéá ôá ìç÷áíéêÜ êýìáôá. Ôï äéáäéäüìåíï ìÝãåèïò äåí åßíáé êáô’ áíÜãêç ìç÷áíéêÞ äéáôáñá÷Þ, áëëÜ ìðïñåß íá åßíáé äéáôáñá÷Þ Üëëïõ åßäïõò, üðùò ð.÷. çëåêôñéêü êáé ìáãíçôéêü ðåäßï Þ, óôçí êâáíôïìç÷áíéêÞ, õëéêü êýìá (êõìáôïóõíÜñôçóç). ÅÐÁËËÇËÉÁ ÅÐÉÐÅÄÙÍ ÁÑÌÏÍÉÊÙÍ ÊÕÌÁÔÙÍ ÓÅ ÌÉÁ ÄÉÁÓÔÁÓÇ ~Åóôù üôé óå Ýíá ìÝóï äéáäßäïíôáé äýï áñìïíéêÜ êýìáôá ßäéïõ ðëÜôïõò êáé ßäéáò óõ÷íüôçôáò, ðñïò ôçí ßäéá êáôåýèõíóç. Ïé áíôßóôïé÷åò äéáôáñá÷Ýò åßíáé y1 = A0 sin(ùt − kx), y2 = A0 sin(ùt − kx + ö) Óýìöùíá ìå ôçí áñ÷Þ ôçò åðáëëçëßáò ç óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ åßíáé y = y1 + y2 = A0 sin(ùt − kx) + A0 sin(ùt − kx + ö) Ìå ôç âïÞèåéá ôçò ó÷Ýóçò KYMATA 59 Ó×ÇÌÁ 3.59 ÕðÝñèåóç äýï áíôßèåôá äéáäåäïìÝíùí ðáëìþí ìå áíôßèåôåò öïñÝò áðïìÜêñõíóçò. Ó×ÇÌÁ 3.58 ÕðÝñèåóç äýï áíôßèåôá äéáäåäïìÝíùí ðáëìþí ìå ßäéåò öïñÝò áðïìáêñýíóåùí.
- 76. ðáßñíïõìå (3.46) Ðáñáôçñïýìå üôé çóõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ åßíáé áñìïíéêü êýìá, ôïõ ïðïßïõ ôï ðëÜôïò åßíáé (3.47) ÅÜí åßíáé Þ ö = 2nð, üðïõ n = 0, ±1, ±2, ... ôï ðëÜôïò ôçò óõíïëéêÞò äéáôáñá÷Þò åßíáé Á = 2Á0. Ôüôå ôá äýï êýìáôá âñßóêïíôáé óå öÜóç êáé óõìâÜëïõí åíéó÷õôéêÜ. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ åßíáé Þ ö = (2n + 1)ð üðïõ n = 0, ±1, ±2, ... åßíáé Á = 0. Ôá êýìáôá âñßóêïíôáé óå áíôßèåóç öÜóçò êáé óõìâÜëïõí áêõñùôéêÜ (Ó÷. 3.60). ÐáñÜäåéãìá 3-12 Óå ìéá ÷ïñäÞ ïäåýïõí óõã÷ñüíùò äýï êýìáôá. y1 = 5 sin (4x − 2t) (y1 , y2 , x óå cm, t óå s) Íá âñåèåß ç óõíïëéêÞ “äéáôáñá÷Þ”. y t x2 5 2 4 6 = − + F HG I KJcos ð cos ö 2 0= cos ö 2 1= ± A A ö = 2 2 0 cos y A ö ùt kx ö = − + F HG I KJ2 2 2 0 cos sin sin sin cos siná â á â á â + = − + 2 2 2 60 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.60 (á) Åðáëëçëßá êõìÜôùí ôá ïðïßá âñßóêïíôáé óå öÜóç, (ð.÷. ö = 0) (â) Åðáëëçëßá êõìÜôùí ôá ïðïßá âñßóêïíôáé óå áíôßèåóç öÜóçò (ð.÷. ö = n).
- 77. AðÜíôçóç Ç óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þåßíáé y = y1 + y2 ¼ìùò Þ ¢ñá Þ Þ [y, x óå cm, t óå s] Óõíåðþò, ç óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ åßíáé êýìá ðëÜôïõò êáé ïäåýåé ðñïò ôç èåôéêÞ öïñÜ ôïõ Üîïíá x. ÓÔÁÓÉÌÁ ÊÕÌÁÔÁ Éäéáßôåñï åíäéáöÝñïí ðáñïõóéÜæåé ôï öáéíüìåíï ôçò åðáëëçëßáò äýï áñìïíéêþí ïäåýïíôùí êõìÜôùí ðïõ äéáäßäïíôáé óå áíôßèåôåò êáôåõèýíóåéò. Áðü ôç óõìâïëÞ áõôþí ôùí êõìÜôùí ðñïêýðôåé óõíéóôÜìåíï êýìá ðïõ ëÝãåôáé óôÜóéìï êýìá. ÊáôÜ ôçí áíÜëõóÞ ìáò, õðïèÝôïõìå üôé äåí õðÜñ÷ïõí áðþëåéåò åíÝñãåéáò. ÓÔÁÓÉÌÁ ÊÕÌÁÔÁ ÓÅ ×ÏÑÄÇ Áò õðïèÝóïõìå üôé ìéá ÷ïñäÞ åßíáé áêëüíçôá óôåñåùìÝíç óôï Ýíá Üêñï ôçò (x = 0) êáé åðåêôåßíåôáé äåîéÜ ôçò èÝóçò áõôÞò ìÝ÷ñé ôï Üðåéñï, üðùò óôï ó÷Þìá 3.61. Áí Ýíá áñìïíéêü êýìá äéáäßäåôáé ðñïò ôá áñéóôåñÜ, ç äéáôáñá÷Þ ôïõ åßíáé y1 = A0 sin(ùt + kx) 5 3 cm 8,66 cm≈ y x t= − + F HG I KJ5 3 4 2 6 sin ð y x t= − + F HG I KJ10 4 2 6 cos ð 6 sin ð y x t x t= − + − + F HG I KJ5 4 2 5 4 2 3 sin sin ð b g y x t2 5 4 2 3 = − + F HG I KJsin ð y t x t x2 5 2 4 5 2 2 4 6 = − + F HG I KJ = − + − L NM O QPcos ð 6 sin ð ð KYMATA 61 Ó×ÇÌÁ 3.61 Áñìïíéêü êýìá äéáäéäüìåíï ðñïò ôá áñéóôåñÜ ðñïóðßðôåé óôï áêëüíçôï Üêñï Ôï áíáêëþìåíï åñìïíéêü êýìá äéáäßäåôáé ðñïò ôá äåîéÜ
- 78. Ôï áíáêëþìåíï, óôçèÝóç x = 0, êýìá äéáäßäåôáé ðñïò ôá äåîéÜ êáé üðùò Ý÷ïõìå äåé, åßíáé y2 = −Á0 sin(ùt − kx) Ç óõíéóôáìÝíç äéáôáñá÷Þ (åðáëëçëßá) åßíáé y = y1 + y2 = A0 [sin(ùt + kx) − sin(ùt − kx)] Ìå ôç âïÞèåéá ôçò ôñéãùíïìåôñéêÞò ôáõôüôçôáò Ý÷ïõìå (3.48) Ôï áðïôÝëåóìá äåí åßíáé ìéá ïäåýïõóá äéáôáñá÷Þ, Üñá äåí åßíáé êýìá ìå ôç óõíÞèç Ýííïéá. ÏíïìÜæåôáé, êáôá÷ñçóôéêþò, óôÜóéìï êýìá. Åßíáé áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç ìå äéáöïñåôéêü ðëÜôïò óå êÜèå óçìåßï, ôï ïðïßï äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç Á(x) = 2 A0 ⏐sinkx⏐ (3.49) Ôá óçìåßá xê ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé sin kxê = ±1 Þ Þ (3.50) üðïõ n = 0, 1, 2, ... åêôåëïýí ôáëáíôþóåéò ìå ìÝãéóôï ðëÜôïò 2Á0 êáé ïíïìÜæïíôáé êïéëßåò Þ áíôéäåóìïß. Ôá óçìåßá xä , ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé sin kxä = 0 Þ kxä = nð Þ (3.51) üðïõ n = 0, 1, 2, ... åêôåëïýí ôáëáíôþóåéò ìå ðëÜôïò ìçäÝí, åßíáé äçëáäÞ äéáñêþò áêßíçôá êáé Ý÷ïõìå äåóìïýò (Ó÷. 3.62). Ôá óçìåßá áñéóôåñÜ êáé äåîéÜ áðü ôïõò åíäéÜìåóïõò äåóìïýò êéíïýíôáé ìå áíôßèåôåò öÜóåéò. Áí ìéá ÷ïñäÞ, ç ïðïßá åßíáé áêëüíçôá óôåñåùìÝíç êáé óôá äýï Üêñá ôçò x = 0, x = L äéáôáñá÷èåß êáé áöåèåß åëåýèåñç íá ôáëáíôþíåôáé, ôüôå ðáñÜãïíôáé ó' áõôÞ óôÜóéìá êýìáôá (Ó÷. 3.63 - 64). Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ, åêôüò áðü ôç óõíèÞêç y = 0 óôç èÝóç x = 0, Ý÷ïõìå êáé ôç óõíèÞêç y = 0 óôç èÝóç x = L. Áðü ôç ó÷Ýóç (3.48) ðñïêýðôåé, 2A0 sinkLcos ùt = 0 Þ sin kL = 0 Þ kL=nð x n ë ä = 2 x n ë ë ê = + 2 4 k x nê = +ð ð 2 y = 2 A0 sin kx cos ùt sin sin sin cosá â á â á â − = − + 2 2 2 62 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.62 Óôá óçìåßá á2, â2, ã2,... ç ôáëÜíôùóç ãßíåôáé ìå ìÝãéóôï ðëÜôïò êáé Ý÷ïõìå êïéëßåò. Óôá óçìåßá á1, â1, ã1,... ç ôáëÜíôùóç Ý÷åé äéáñêþò ðëÜôïò ìçäÝí êáé Ý÷ïõìå äåóìïýò.
- 79. ¢ñá åðïìÝíùò, (3.52) üðïõ n =1, 2, ... Ðáñáôçñïýìå üôé ôá ìÞêç êýìáôïò ðïõ äéáäßäïíôáé, åßíáé óõãêåêñéìÝíá êáé äßíïíôáé áðü ôç ó÷Ýóç (3.52). Ïé áíôßóôïé÷åò óõ÷íüôçôåò ôáëÜíôùóçò ôçò ÷ïñäÞò åßíáé (éäéïóõ÷íüôçôåò) êáé ìå ôç âïÞèåéá ôçò ó÷Ýóçò Ý÷ïõìå n = 1, 2, 3, ... (3.53) üðïõ L: ôï ìÞêïò ôçò ÷ïñäÞò F: ç ôåßíïõóá äýíáìç (ìç÷áíéêÞ ôÜóç ôçò ÷ïñäÞò) ì: ç ãñáììéêÞ ðõêíüôçôá ìÜæáò ôçò ÷ïñäÞò Óõíåðþò ïé óõ÷íüôçôåò ôçò ÷ïñäÞò ðïõ ðáñÜãïíôáé êáôÜ ôçí åëåýèåñç ôáëÜíôùóç ôçò ÷ïñäÞò, åßíáé ðïëëáðëÜóéåò ôçò óõ÷íüôçôáò (3.54) ç ïðïßá ïíïìÜæåôáé èåìåëéþäçò óõ÷íüôçôá Þ ðñþôç áñìïíéêÞ. ÃåíéêÜ ç óõ÷íüôçôá fn ëÝãåôáé n - ïóôÞ áñìïíéêÞ. Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, êáôÜ ôçí åëåýèåñç ôáëÜíôùóç ç ÷ïñäÞ åêôåëåß êéíÞóåéò, ïé ïðïßåò åßíáé åðáëëçëßá ôùí äéáöüñùí áñìïíéêþí (Ó÷. 3.65). Óôçí ðåñßðôùóç, êáôÜ ôçí ïðïßá ÷ïñäÞ åßíáé áêëüíçôç óôï Ýíá Üêñï ôçò êáé ôï Üëëï åîáíáãêÜæåôáé íá åêôåëåß ôáëÜíôùóç, õðü ôçí åðßäñáóç ìéáò áñìïíéêÜ ìåôáâáëëüìåíçò äýíáìçò (Ó÷. 3.66), ðáñáôçñïýìå ôá åîÞò: á) ÅìöÜíéóç óôáóßìùí êõìÜôùí, ìåôÜ ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ðïõ áðáéôåßôáé, þóôå ç äéáôáñá÷Þ íá äéáäïèåß êáôÜ ìÞêïò ôçò ÷ïñäÞò, íá áíáêëáóôåß êáé íá åðéóôñÝøåé óôï áñ÷éêü óçìåßï. â) Ç óõ÷íüôçôá f, ìå ôçí ïðïßá ôáëáíôþíïíôáé ôá óçìåßá ôçò ÷ïñäÞò, åßíáé áõôÞ ôçò äéåãåßñïõóáò äýíáìçò. ã) Èåùñþíôáò üôé ôï áêëüíçôï Üêñï åßíáé óôç èÝóç x = 0, ïé äåóìïß âñßóêïíôáé óôéò èÝóåéò , n = 0, 1, 2, 3, ... üðïõ ä) Ôï ðëÜôïò ôùí êïéëéþí ìåãáëþíåé, üóï ç óõ÷íüôçôá ôçò äéåãåßñïõóáò äýíáìçò ðëçóéÜæåé ìßá áðü ôéò éäéïóõ÷íüôçôåò, ðïõ áíôéóôïé÷ïýí óôçí ë õ f =x n ë ä = 2 f L F ì 1 1 2 = f n L F ì n = 1 2 õ F ì = f õ ë n n = ë L n n = 2 2ð ð ë L n n = KYMATA 63 Ó×ÇÌÁ 3.63-64 ÓôÜóéìá êýìáôá óå ÷ïñäÞ ìå ôá äýï Üêñá áêëüíçôá. Ó×ÇÌÁ 3.65 ÄéÜöïñá óôéãìéüôõðá ôçò êßíçóçò ÷ïñäÞò ðïõ ðÜëëåôáé ôáõôü÷ñïíá ìå ôçí ðñþôç êáé äåýôåñç áñìïíéêÞ. Ó×ÇÌÁ 3.66 ÓôÜóéìá êýìáôá óå ÷ïñäÞ ìå äéÝãåñóç ôïõ åíüò Üêñïõ.
- 80. ðåñßðôùóç êáôÜ ôçíïðïßá ç ÷ïñäÞ Þôáí áêëüíçôç êáé óôá äõï ôçò Üêñá. Ó' áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç Ý÷ïõìå ôï öáéíüìåíï ôïõ óõíôïíéóìïý. Óôïõò óõíôïíéóìïýò ôá ðëÜôç óôéò êïéëßåò ãßíïíôáé èåùñçôéêÜ Üðåéñá, áëëÜ ëüãù ôñéâþí, áðëþò áðïêôïýí ìéá ìÝãéóôç ôéìÞ. Ïé ôñüðïé åëåýèåñçò áñìïíéêÞò ôáëÜíôùóçò ôùí ÷ïñäþí ëÝãïíôáé êáé êáíïíéêïß ôñüðïé ôáëÜíôùóçò. ÐáñÜäåéãìá 3-13 Ìéá ÷ïñäÞ ìÞêïõò L = 1,00 m ðïõ åßíáé óôåñåùìÝíç êáé óôá äýï ôçò Üêñá, ôáëáíôþíåôáé óýìöùíá ìå ôçí ó÷Ýóç (x óå m, y óå cm êáé t óå s) Áí ç ìÜæá ôçò ÷ïñäÞò åßíáé m = 0,01 kg (áêñéâþò) íá õðïëïãéóèïýí: á) Ç ôÜîç ôçò éäéïóõ÷íüôçôáò ìå ôçí ïðïßá ðÜëëåôáé ç ÷ïñäÞ. â) Ç ôåßíïõóá äýíáìç ã) Íá ðåñéãñáöïýí ôá äýï êýìáôá ðïõ ïäåýïõí áíôßèåôá êáé áöïý óõìâÜëëïõí äßíïõí ôï ðéï ðÜíù óôÜóéìï êýìá. ÁðÜíôçóç á) Ç äïóìÝíç ó÷Ýóç Ý÷åé ôç ìïñöÞ y = 2A0 sinkx cos ùt Åðßóçò Þ êáé ù = 2ðf Þ Þ ¢ñá ÅðïìÝíùò åßíáé 2Á0 = 4,00 cm Þ Á0 = 2,00 cm êáé Þ n = 5 Óõíåðþò ðÜëëåôáé ìå ôçí 5ç áñìïíéêÞ. â) Åðßóçò åßíáé Þ Þ Þ F = 625 N F 0 1 250 , = 5 1250 F ì = 5 1250 ð ð L F ì t t= n L x x ð ð= 5 y A n L x n L F ì t= F HG I KJ F HG I KJ2 0 sin ð cos ð ù n L F ì = ð ù n L F ì = 2 2 ð k n L = ð k ë L n = = 2 2 2 ð ð y x t= 4 00 5, sin ð cos 1250 ðb g b g 64 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ
- 81. ã) Ôá êýìáôáðïõ óõìâÜëëïõí åßíáé ôá y1 = A0 sin (ùt + kx) äçëáäÞ y1 = 2,00 sin (1250 ðt + 5 ðx) y2 = −A0 sin(ùt − kx) äçëáäÞ y2 = −2,00 sin (1250 ðt −5 ðx) ÓÔÁÓÉÌÁ ÊÕÌÁÔÁ ÓÅ ÁÅÑÉÅÓ ÓÔÇËÅÓ Ôá äéáìÞêç êýìáôá, üðùò êáé ôá åãêÜñóéá, äßíïõí êáé áõôÜ óôÜóéìá êýìáôá. Èá åîåôÜóïõìå ðáñáêÜôù ôá óôÜóéìá ç÷çôéêÜ êýìáôá ðïõ ðáñÜãïíôáé óôéò äéÜöïñåò ìïñöÝò ç÷çôéêþí óùëÞíùí. á) Ç÷çôéêüò óùëÞíáò ìå ôá äýï Üêñá áíïéêôÜ. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ôá äýï Üêñá åßíáé êáôÜ ìåãÜëç ðñïóÝããéóç êïéëßåò, äéüôé åêåß ôá óùìÜôéá åßíáé ó÷åäüí åëåýèåñá íá êéíçèïýí. Ç ìïñöÞ ôùí óôáóßìùí êõìÜôùí åßíáé áõôÞ ôïõ ó÷Þìáôïò 3.67. Óõíåðþò éó÷ýåé äçëáäÞ n = 1, 2, ... (3.55) Ïé áíôßóôïé÷åò éäéïóõ÷íüôçôåò åßíáé , n = 1, 2, ... (3.56) üðïõ õ ç ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá êáé L ôï ìÞêïò ôïõ óùëÞíá. Ïé áñìïíéêÝò åßíáé ðïëëáðëÜóéåò ôçò ç ïðïßá ëÝãåôáé èåìåëéþ- äçò Þ ðñþôç áñìïíéêÞ. â) Ç÷çôéêüò óùëÞíáò ìå ôï Ýíá Üêñï êëåéóôü êáé ôï Üëëï áíïéêôü: Ôï êëåéóôü Üêñï åßíáé äåóìüò êáé ôï áíïéêôü êïéëßá. Ç ìïñöÞ ôùí óôáóßìùí êõìÜôùí åßíáé áõôÞ ôïõ ó÷Þìáôïò 3.68. Óõíåðþò Ý÷ïõìå Þ , n = 1, 2, ... (3.57) êáé ïé áíôßóôïé÷åò óõ÷íüôçôåò Þ , n = 0, 1, 2, ... (3.58) üðïõ õ ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá êáé L ôï ìÞêïò ôïõ ç÷çôéêïý óùëÞíá. Ç èåìåëéþäçò áñìïíéêÞ åßíáé f õ L 1 4 = f n õ L n2 1 2 1 4 + = +b g f õ ë n n 2 1 2 1 + + = ë L n n2 1 4 2 1 + = + ë L n n2 1 4 2 1 + = + f õ L 1 2 = f n õ L n = 2 ë n Ln = 1 2 ë L n n 2 = KYMATA 65 Ó×ÇÌÁ 3.67 ÓôÜóéìá êýìáôá óå ç÷çôéêü óùëÞíá ìå ôá äýï Üêñá áíïéêôÜ. Ó×ÇÌÁ 3.68 ÓôÜóéìá êýìáôá óå óùëÞíá ìå ôï Ýíá Üêñï êëåéóôü.
- 82. ïé ðáñáãüìåíåò áñìïíéêÝòåßíáé ìüíï áõôÝò ðåñéôôÞò ôÜîåùò, äçëáäÞ f3 = 3 f1 , f5 = 5 f1 , f7 = 7 f1 , ê.ï.ê. Óôçí ðñÜîç ç êßíçóç ôçò áÝñéáò ìÜæáò ôùí ç÷çôéêþí óùëÞíùí åßíáé åðáëëçëßá ôáëáíôþóåùí ìå ôéò éäéïóõ÷íüôçôåò ðïõ áíáöÝñáìå ðéï ðÜíù. Áõôïß ïé ôñüðïé ôáëÜíôùóçò ëÝãïíôáé åðßóçò êáíïíéêïß ôñüðïé ôáëÜíôùóçò. ÐáñÜäåéãìá 3-14 Ç÷çôéêüò óùëÞíáò Ý÷åé ìÞêïò L = 0,75 m. Õðïëïãßóôå ôéò óõ÷íüôçôåò ôùí ôñéþí ðñþôùí áñìïíéêþí óôçí ðåñßðôùóç, üðïõ: á) Ï óùëÞíáò åßíáé áíïé÷ôüò êáé óôá äýï Üêñá. â) Ï óùëÞíáò åßíáé áíïéêôüò ìüíï óôï Ýíá Üêñï. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá åßíáé ÁðÜíôçóç á) ¼ôáí ï óùëÞíáò åßíáé áíïé÷ôüò êáé óôá äýï Üêñá, ïé éäéïóõ÷íüôçôåò äßíïíôáé áðü ôç ó÷Ýóç Áíôéêáèéóôþíôáò n = 1, n = 2 êáé n = 3 Ý÷ïõìå f1 = 227 Hz, f2 = 453 Hz êáé f3 = 680 Hz â) ¼ôáí åßíáé êëåéóôüò óôï Ýíá Üêñï, éó÷ýåé Áíôéêáèéóôþíôáò n = 1, n = 2 êáé n = 3 Ý÷ïõìå f1 = 113 Hz, f3 = 340 Hz êáé f5 = 567 Hz ÓÕÌÂÏËÇ ¼ðùò Ý÷ïõìå áíáöÝñåé, ôï áðïôÝëåóìá ôçò åðáëëçëßáò óôï ÷þñï äýï îå÷ùñéóôþí êõìÜôùí ïíïìÜæåôáé óõìâïëÞ. Èåùñïýìå äýï óýìöùíåò ðçãÝò óöáéñéêþí êõìÜôùí, ôçí S1 êáé S2 ôïõ ó÷Þìáôïò 3.69. Äýï ðçãÝò åßíáé óýìöùíåò, üôáí ç äéáöïñÜ öÜóçò ôùí äéáôáñá÷þí ôïõò óôéò ðçãÝò Þ óå ïðïéïäÞðïôå óçìåßï ôïõ ÷þñïõ, åßíáé óôáèåñÞ ìå ôï ÷ñüíï. Ãéá ðáñÜäåéãìá, ïé öÜóåéò ôùí äéáôáñá÷þí ðïõ öôÜíïõí áðü ôéò ðçãÝò S1 êáé S2, óôï óçìåßï Ñ ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé (ù1 t − kr1 + ö1) êáé (ù2 t − kr2 + ö2 ) áíôßóôïé÷á. Ãéá íá åßíáé ç äéáöïñÜ ôïõò óôáèåñÞ ìå ôï ÷ñüíï, ðñÝðåé ù1 = ù2 êáé óõíåðþò f1 = f2 , äçëáäÞ ïé óýìöùíåò ðçãÝò Ý÷ïõí ßäéá óõ÷íüôçôá. Èá ìåëåôÞóïõìå (ðåñéïñéæüìåíïé óôï åðßðåäï) ôç óõìâïëÞ ôùí êõìÜôùí óôï óçìåßï Ñ, èåùñþíôáò ôéò áðïóôÜóåéò r1 êáé r2 ðïëý ìåãáëýôåñåò áðü ôï ìÞêïò êýìáôïò êáé ôçí áðüóôáóç ìåôáîý ôùí ðçãþí. Åðßóçò, ãéá áðëïýóôåõóç, èá èåùñÞóïõìå ôéò áñ÷éêÝò öÜóåéò ôùí ðçãþí ìçäåíéêÝò êáé ôá ðëÜôç ôáëÜíôùóçò óôï óçìåßï P, üðùò êáé óôéò ðçãÝò, ßóá. Ìå áõôÝò ôéò ðñïûðïèÝóåéò ïé äéáôáñá÷Ýò ðïõ öôÜíïõí óôï óçìåßï Ñ áðü ôéò ðçãÝò S1 êáé S2 , åßíáé áíôßóôïé÷á f n õ L n2 1 2 1 4 + = +b g f n õ L n = 2 õ ≈ 340 m s 66 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.69
- 83. y1 = A0sin(ùt − kr1) y2 = A0 sin(ùt − kr2) Ç óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ åßíáé y = y1 + y2 Þ (3.59) ¼ôáí Þ äçëáäÞ r2 − r1 = në, ìå n = 0, ±1, ±2, ... (3.60) ç óõìâïëÞ åßíáé åíéó÷õôéêÞ êáé ôï ðëÜôïò ôçò äéáôáñá÷Þò 2A0 . ¼ôáí Þ Üñá , n = 0, ±1, ±2, ... (3.61) ç óõìâïëÞ åßíáé êáôáóôñåðôéêÞ (áêõñùôéêÞ) êáé óôá óçìåßá áõôÜ ç äéáôáñá÷Þ åßíáé äéáñêþò ìçäÝí. Ïé ó÷çìáôéóìïß óôï ÷þñï, Ýíåêá åíéó÷õôéêÞò êáé áêõñùôéêÞò óõìâïëÞò, áðïôåëïýí ôïõò êñïóóïýò óõìâïëÞò. Ç ó÷Ýóç r1 − r2 = óôáè. ðåñéãñÜöåé ìéá õðåñâïëÞ óôï åðßðåäï êáé óõíåðþò, ïé êñïóóïß óõìâïëÞò âñßóêïíôáé ðÜíù óå õðåñâïëÝò. Óôï ó÷Þìá 3.70 öáßíïíôáé ïé êñïóóïß óõìâïëÞò (õðåñâïëÝò) êáôÜ ôç óõìâïëÞ ôùí êõìÜôùí äýï óýã÷ñïíùí ðçãþí óôç ëåêÜíç êõìÜíóåùí. ÔÏ ÐÅÉÑÁÌÁ ÔÏÕ YOUNG Ëüãù ôçò êõìáôéêÞò öýóçò ôïõ öùôüò, äýï öùôåéíÝò ðçãÝò ìðïñïýí íá äþóïõí öáéíüìåíá óõìâïëÞò. Óôçí ðåñßðôùóç üìùò äýï ëáìðôÞñùí, ìéá óõãêåêñéìÝíç åéêüíá óõìâïëÞò äéáñêåß ðåñßðïõ 10−8 s, ðïõ åßíáé ï ôõðéêüò ÷ñüíïò ìåôÜâáóçò ôùí çëåêôñïíßùí áðü ìßá êâáíôéêÞ óôÜèìç óå Üëëç. ÓõãêåêñéìÝíá, áðü ôá Üôïìá óå êÜèå ôÝôïéá ìåôÜâáóç åêðÝìðåôáé, êáôÜ ôõ÷áßï ôñüðï, Ýíá “êõìáôïðáêÝôï” (öùôüíéï). ÅðåéäÞ ôá êõìáôïðáêÝôá åêðÝìðïíôáé êáôÜ ôõ÷áßï ôñüðï êáé Ý÷ïõí ôõ÷áßåò öÜóåéò, üôáí óõìâÜëëïõí, ôï êÜèå æåõãÜñé äßíåé äéáöïñåôéêïýò ó÷çìáôéóìïýò óõìâïëÞò. ~Åôóé, êáôÜ ìÝóï üñï, äåí âëÝðïõìå ìüíéìï öáéíüìåíï, äåí âëÝðïõìå óôáèåñïýò êñïóóïýò óõìâïëÞò. Ãéá íá Ý÷ïõìå óôáôéêÞ óõìâïëÞ, äçëáäÞ êñïóóïýò óå óôáèåñÝò èÝóåéò, èá ðñÝðåé íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå óýìöùíåò ðçãÝò. Ï Thomas Young, ôï 1801, Þôáí ï ðñþôïò ðïõ åðÝäåéîå öáéíüìåíá óõìâïëÞò êáé èåìåëßùóå ôçí êõìáôéêÞ öýóç ôïõ öùôüò. Äçìéïýñãçóå óýìöùíåò ðçãÝò r r n ë2 1 1 2 − = + F HG I KJ k r r n 2 1 2 − = b g ð+ ð 2 cos 0 k r r2 1 2 − = b g k r r n 2 1 2 − = b g ðcos = 1 k r r2 1 2 − ± b g y A k r r ùt k r r = − − +F HG I KJ2 2 2 0 2 1 1 2 cos sin b g b g KYMATA 67 Ó×ÇÌÁ 3.70 Êñïóóïß óõìâïëÞò óôç ëåêÜíç êõìÜíóåùí.
- 84. ìå ôç äéÜôáîçôïõ ó÷Þìáôïò 3.71. Ìïíï÷ñùìáôéêÞ öùôåéíÞ áêôéíïâïëßá ðÝöôåé óôï äéÜöñáãìá Ð1 êáé ç ìéêñÞ ïðÞ S0 ãßíåôáé äåõôåñïãåíÞò ðçãÞ êõìáôéäßùí. Ôï ìÝôùðï êýìáôïò ôçò ðçãÞò S0 öôÜíåé óõã÷ñüíùò óôéò ïðÝò S1 êáé S2 ôïõ äéáöñÜãìáôïò Ð2, ïðüôå áõôÝò ãßíïíôáé íÝåò ðçãÝò ìå ßäéá óõ÷íüôçôá êáé äéáöïñÜ öÜóçò ìçäÝí Þ óôáèåñÞ. Óõíåðþò ïé ðçãÝò S1 êáé S2 åßíáé óýìöùíåò êáé ôá öùôåéíÜ ôïõò êýìáôá ðïõ öôÜíïõí óôçí ïèüíç Ð3, óõìâÜëëïõí êáé äßíïõí óôáôéêÞ óõìâïëÞ, äçìéïõñãþíôáò êñïóïýò åíéó÷õôéêÞò êáé áêõñùôéêÞò óõìâïëÞò óå óôáèåñÝò èÝóåéò (Ó÷. 3.72). ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÓ ÔÇÓ ÈEÓÇÓ ÔÙÍ ÊÑÏÓÓÙÍ ÓÕÌÂÏËÇÓ Óôï ó÷Þìá 3.73 ç ïèüíç Ð3 áðÝ÷åé áðüóôáóç D áðü ôéò äýï ðçãÝò S1 êáé S2 êáé éó÷ýåé D >> á, üðïõ á ç áðüóôáóç ìåôáîý ôùí ðçãþí. Åðßóçò æçôÜìå ôï áðïôÝëåóìá ôçò óõìâïëÞò óå áðüóôáóåéò x << D Ìå ôéò ðáñáðÜíù ðñïûðïèÝóåéò ïé áêôßíåò r1 êáé r2 åßíáé ó÷åäüí ðáñÜëëçëåò êáé åðïìÝíùò ç äéáöïñÜ ôïõò åßíáé 68 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.71 ÄéÜôáîç ôïõ Young ãéá ôçí ðáñáãìáôïðïßçóç ôïõ ïìþíõìïõ ðåéñÜìáôïò. Ó×ÇÌÁ 3.72 Ó÷çìáôéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ ðåéñÜìáôïò ôïõ Young.
- 85. r2 − r1= S2 B Áðü ôï ôñßãùíï S2 BS1 åßíáé S2 B = asinè, Üñá, r2 − r1 = ásinè (á) ÅðåéäÞ åßíáé x << D éó÷ýåé r ≈ D êáé áðü ôï ôñßãùíï ÌÏÑ, Ý÷ïõìå (b) Åðßóçò éó÷ýåé è ≈ è~, åðåéäÞ Ý÷ïõí êÜèåôåò ðëåõñÝò, áöïý ç r åßíáé ðåñßðïõ ðáñÜëëçëç ìå ôçí r2 . ¢ñá áðü (á) êáé (b) Ý÷ïõìå Þ ¼ðùò Ý÷ïõìå äåé, ãéá íá åßíáé åíéó÷õôéêÞ ç óõìâïëÞ, ðñÝðåé r2 − r1 = në, åðïìÝíùò, ôá óçìåßá åíéó÷õôéêÞò óõìâïëÞò (ìå áñ÷Þ ôï Ï) ïñßæïíôáé áðü ôç ó÷Ýóç , (3.62) ¼ôáí åßíáé Ý÷ïõìå êáôáóôñåðôéêÞ óõìâïëÞ êáé óõíåðþò, ïé èÝóåéò ôùí êñïóóþí êáôáóôñåðôéêÞò óõìâïëÞò åßíáé , (3.63) Ç áðüóôáóç ìåôáîý äýï äéáäï÷éêþí êñïóóþí åíéó÷õôéêÞò Þ êáôáóôñåðôéêÞò óõìâïëÞò åßíáé êáé åðïìÝíùò (3.64) Ìåôñþíôáò ó' Ýíá ðåßñáìá üìïéï ìå ôïõ Õoung ôçí áðüóôáóç Äx ìå ãíùóôÝò ôéò áðïóôÜóåéò á êáé D, õðïëïãßæïõìå ôï ìÞêïò êýìáôïò ë. Ìå ôï ðåßñáìá ôïõ Young ìåôñÞèçêå ãéá ðñþôç öïñÜ ìÞêïò êýìáôïò ôïõ öùôüò. ÐáñáôÞñçóç: Óôï ðåßñáìá ôïõ Young ðáñáôçñïýìå ôçí Ýíôáóç ôçò áêôéíïâïëßáò êáé ü÷é áðåõèåßáò ôï ðëÜôïò ôïõ êýìáôïò. ¼ìùò éó÷ýåé É ∝ Á2 êáé åðïìÝíùò, ìåãéóôïðïéÞóåéò Þ ìçäåíéóìïß ôçò Ýíôáóçò É óçìáßíïõí áíôßóôïé÷á üìïéåò ìåôáâïëÝò êáé ãéá ôï ðëÜôïò. ÐáñÜäåéãìá 3-15 ÊáôÜ ôçí åêôÝëåóç ôïõ ðåéñÜìáôïò ôïõ Young ÷ñçóéìïðïéïýìå áêôéíïâïëßá áðü áôìïýò íáôñßïõ. Ïé ïðÝò S1 êáé S2 áðÝ÷ïõí áðüóôáóç á = 2,00 × 10- 2 mm, ë a D x= Ä Äx D á ë= n = ± ±0 1 2, , , . ..x D á n ëmin = + F HG I KJ1 2 r r n ë2 1 1 2 − = + F HG I KJ n = ± ±0 1 2, , , . . .x D á nëmax = x D á r r= −2 1c hr r á x D 2 1− = sin ′ = ≈è x r x D KYMATA 69 Ó×ÇÌÁ 3.73
- 86. åíþ ç áðüóôáóçìåôáîý ôùí äýï ðåôáóìÜôùí åßíáé D = 1,50 m. Ç áðüóôáóç ôïõ ôñßôïõ öùôåéíïý êñïóóïý áðü ôïí êåíôñéêü ìåôñÞèçêå êáé âñÝèçêå d = 13,1 cm. Íá ðñïóäéïñéóèåß ç óõ÷íüôçôá ôçò áêôéíïâïëßáò ôùí áôìþí ôïõ íáôñßïõ (c = 3,00 × 108 m/s). ÁðÜíôçóç Ôï ìÞêïò êýìáôïò ë ôçò áêôéíïâïëßáò äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç Åßíáé êáé ¢ñá Þ Áíôéêáèéóôþíôáò Ý÷ïõìå Þ f = 5,15 × 1014 Hz (Ç áêñéâÞò ôéìÞ åßíáé 5,0934 × 1014 Hz) ÐÁÑÁÃÙÃÇ ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÊÙÍ ÊÕÌÁÔÙÍ Ôï öùò, ïé áêôßíåò X, ôá ñáäéïêýìáôá ê.ëð. åßíáé êýìáôá ôçò ßäéáò öýóçò. ¼ëá åßíáé çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá êáé äéáäßäïíôáé óôï êåíü ìå ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá, ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò c. Ìéá áðëÞ óõóêåõÞ ðáñáãùãÞò çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí åßíáé ôï ðáëëüìåíï çëåêôñéêü äßðïëï. Ãéá ôçí ðïéïôéêÞ êáôáíüçóç ôçò ëåéôïõñãßáò ôïõ, èåùñïýìå Ýíá êýêëùìá LC (êýêëùìá Tomson) Ó÷. (3.74) Áíôéêáèéóôþíôáò ôï ðçíßï ìå Ýíá áðëü óýñìá ôï êýêëùìá ðáñáìÝíåé LC, ìå ìéêñüôåñï üìùò óõíôåëåóôÞ áõôåðáãùãÞò. Áñ÷ßæïõìå êáé áðïìáêñýíïõìå ôïõò ïðëéóìïýò ôïõ ðõêíùôÞ êáé ôáõôü÷ñïíá ìåéþíïõìå ôï åìâáäüí ôïõò. ÔåëéêÜ, êáôáëÞãïõìå óå Ýíá åßäïò êõêëþìáôïò Tomson, äçëáäÞ Ýíá åõèýãñáììï óýñìá, ìéá êåñáßá. Áí ôñïöïäïôÞóïõìå ôçí êåñáßá ìå ñåýìá áñêåôÜ õøçëÞò óõ÷íüôçôáò, ôüôå åìöáíßæïíôáé çëåêôñéêÝò ôáëáíôþóåéò (Ó÷. 3.75). ¼ôáí ôï ñåýìá óôï óýñìá åßíáé ìçäÝí, ôüôå Ý÷ïõìå ðëÞñç öüñôéóç ôïõ "ðõêíùôÞ" êáé ôá öïñôßá åßíáé êáôáíåìçìÝíá êáôÜ ôñüðï, þóôå óôï ìéóü óýñìá íá åßíáé ôá èåôéêÜ êáé óôï Üëëï ìéóü ôá áñíçôéêÜ. ÌåôÜ áðü ÷ñüíï Ô/2 Ý÷ïõìå ðÜëé ßäéá êáôáíïìÞ öïñôßùí, ìå áíôßèåôç üìùò ðïëéêüôçôá. Ó' áõôü ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá õðÜñ÷åé êßíçóç öïñôßùí, äçëáäÞ ñåýìá êáé áëëáãÞ ðïëéêüôçôáò. ÌåôÜ áðü ÷ñüíï Ô/2 åðáíÝñ÷åôáé ç áñ÷éêÞ êáôÜóôáóç ê.ï.ê. "Êåñáßá ìå ôç ìïñöÞ åõèýãñáììïõ óýñìáôïò ïíïìÜæåôáé ðáëëüìåíï äßðïëï". Áò ìåëåôÞóïõìå ðïéïôéêÜ ôï çëåêôñéêü êáé ìáãíçôéêü ðåäßï ðïõ ðáñÜãåôáé áðü Ýíá ðáëëüìåíï äßðïëï. f = × × × × × × − − 3 1 5 3 10 2 00 10 13 1 10 8 5 2 , , , f D c a d = 3c f á d D = 3 Äx d = 3 ë c f = ë á D x= Ä 70 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.74 Ó×ÇÌÁ 3.75
- 87. á) Çëåêôñéêü ðåäßï.¼ôáí ôï ðáëëüìåíï äßðïëï Ý÷åé ìÝãéóôï çëåêôñéêü öïñôßï óôï êÜèå ìéóü ôïõ, ôüôå ç ìïñöÞ ôùí çëåêôñéêþí äõíáìéêþí ãñáììþí êïíôÜ óôï äßðïëï, åßíáé áõôÞ ôïõ ó÷Þìáôïò 3.76. Êáèþò ìåéþíåôáé ôï öïñôßï, ïé äõíáìéêÝò ãñáììÝò áðïìáêñýíïíôáé áðü ôï äßðïëï êáé Ý÷ïõìå ôï óôéãìéüôõðï (â). ÂëÝðïõìå üôé ïé äõíáìéêÝò ãñáììÝò, ôùí ïðïßùí ôá Üêñá îåêéíïýí êáé êáôáëÞãïõí óôï äßðïëï åßíáé ëéãüôåñåò. Áõôü óõìâáßíåé, äéüôé Ý÷ïõìå ìéêñüôåñï öïñôßï. ¼ôáí ôï öïñôßï ãßíåé ìçäÝí, ç ìïñöÞ ôïõ ðåäßïõ ðåñéãñÜöåôáé ìå ôï óôéãìéüôõðï (ã) êáé êáììéÜ çëåêôñéêÞ äõíáìéêÞ ãñáììÞ äåí Ý÷åé ôá Üêñá ôçò óôï ðáëëüìåíï äßðïëï. ~Ïôáí áëëÜîåé ç ðïëéêüôçôá ôïõ óýñìáôïò, Ý÷ïõìå ôï óôéãìéüôõðï (ä), üðïõ ç öïñÜ ôùí äõíáìéêþí ãñáììþí áëëÜæåé êáé áõôÞ. Ôï öáéíüìåíï åðáíáëáìâÜíåôáé. ÅÜí áíáæçôÞóïõìå Ýíá óôéãìéüôõðï ãéá ìåãÜëç ðåñéï÷Þ ãýñù áðü ôï äßðïëï áõôü, èá Ý÷åé ôç ìïñöÞ ôïõ ó÷Þìáôïò 3.77, êáèþò áðïìáêñõíüìáóôå áðü ôï äßðïëï ôï ðåäßï åîáóèåíåß êáé ç åîáóèÝíçóç åßíáé ôüóï ìåãáëýôåñç, üóï ç áðüóôáóç áðü ôï äßðïëï ìåãáëþíåé. â) Ìáãíçôéêü ðåäßï: Ôï ñåýìá ðïõ äéáññÝåé ôï óýñìá, äçìéïõñãåß ãýñù ôïõ ìáãíçôéêü ðåäßï. Óôï ó÷Þìá 3.78 ðáñáôçñïýìå äéáäï÷éêÜ óôéãìéüôõðá ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãåßôáé. ÅðïìÝíùò, áðü ôï ðáëëüìåíï äßðïëï ðáñÜãïíôáé çëåêôñïìáãíçôéêÜ ðåäßá ðïõ äéáäßäïíôáé, äçëáäÞ êýìáôá. Ôá êýìáôá ðïõ åêðÝìðïíôáé áðü ðïëý ìéêñü (óçìåéáêü äßðïëï) åßíáé óöáéñéêÜ (ü÷é óöáéñéêÜ óõììåôñéêÜ). Óå ìåãÜëåò áðïóôÜóåéò áðü ôçí êåñáßá êáé óå ìéêñÝò ðåñéï÷Ýò åßíáé ðåñßðïõ åðßðåäá. Óôï ó÷Þìá 3.79 öáßíïíôáé ôá ðåäßá êáé ãéá åðßðåäï êýìá. Ôá ðåäßá åßíáé óýìöùíá, êÜèåôá ìåôáîý ôïõò êáé êÜèåôá óôç äéåýèõíóç äéÜäïóçò. Ç äéåýèõíóç äéÜäïóçò åíüò åðéðÝäïõ çëåêôñïìáãíçôéêïý êýìáôïò óôï ó÷Þìá åßíáé áõôÞ ôïõ Üîïíá x, ïðüôå ôï çëåêôñéêü êáé ìáãíçôéêü ðåäßï äßíïíôáé áðü ôéò ó÷Ýóåéò. (3.65) E E ùt kx B B ùt kx = − = − 0 0 sin sin b g b g B → E → KYMATA 71 Ó×ÇÌÁ 3.76 Ç ìïñöÞ ôïõ çëåêñéêïý ðåäßïõ ãýñù áðü ðáëëüìåíï äßðïëï. Ó×ÇÌÁ 3.77 Ó×ÇÌÁ 3.78 Äéáäï÷éêÜ óôéãìéüôõðá ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ãýñù áðü ðáëëüìåíï äßðïëï.
- 88. 72 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉÊÕÌÁÔÁ Ôá çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá äéáäßäïíôáé êáé áõôïóõíôçñïýíôáé áíåîÜñôçôá áðü ôï äßðïëï. Áðü ôéò åîéóþóåéò ôïõ Maxwell áðïäåéêíýåôáé ç ýðáñîç ôïõò êáé ç áõôïóõíôÞñçóÞ ôïõò. ÐáñÜäåéãìá 3-16 ¼ôáí ç êåñáßá åíüò óôáèìïý åêðÝìðåé éó÷ý 1000 W, óå áðüóôáóç 6 km (áêñéâþò) áðü áõôÞ ôï ðëÜôïò ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ åßíáé 5,66 × 10-2 V/m. Áí ç óõ÷íüôçôá ôïõ ðïìðïý åßíáé 4 MHz (áêñéâþò) êáé ôï ìáãíçôéêü ðåäßï óõíäÝåôáé ìå ôï çëåêôñéêü ìå ôç ó÷Ýóç Å = c B, íá ãñáöïýí ïé ó÷Ýóåéò ãéá ôá ðåäßá Å êáé  ãéá åêåßíç ôçí ðåñéï÷Þ. ÁðÜíôçóç Åßíáé ù = 2ðf = 8ð × 106 rad/s (Hz) Åðßóçò Þ Þ Áíôéêáèéóôþíôáò óôéò åîéóþóåéò Å = Å0 sin(ùt − kx) B = B0 sin(ùt − kx) Ý÷ïõìå ÁÊÔÉÍÏÂÏËÉÁ Ôï çëåêôñïìáãíçôéêü êýìá Ý÷åé åíÝñãåéá, ç ïðïßá ðåñéÝ÷åôáé óôá ðåäßá ôïõ. Ç áêôéíïâïëïýìåíç åíÝñãåéá ïíïìÜæåôáé çëåêôñïìáãíçôéêÞ áêôéíïâïëßá. B t x= × − × ×− − 1 89 8 10 8 37 10 106 2 10 , ,sin ð (S. I. )e j E t x= × − × ×− − 5 66 8 10 8 37 10 106 2 2 , ,sin ð (S. I. )e j k = × − − 8 37 10 2 , m 1 k ù c = = × × 8 10 3 10 6 8 ð m-1 c ù k = B c E0 0 2 8 101 1 89 10 10 1 89 10= = × × − − , ,T = T Ó×ÇÌÁ 3.79 Ôï åðßðåäï çëåêñïìáãíçôéêü êýìá.
- 89. Ðéï óõãêåêñéìÝíá, üôáíÝ÷ïõìå áêôéíïâïëßá, ôá ÷ñïíïåîáñôþìåíá çëåêôñïìáãíçôéêÜ ðåäßá åßíáé ôÝôïéá, þóôå åíÝñãåéá íá “öåýãåé” áðü ôçí ðçãÞ ðñïò ôï Üðåéñï, ÷ùñßò íá åðéóôñÝöåé ðßóù. ÄçëáäÞ äåí ÷ñåéÜæåôáé äÝêôçò ãéá íá áðïññïöÞóåé ôçí áêôéíïâïëßá. Ìðïñåß íá Ý÷ïõìå ÷ñïíïåîáñôþìåíá çëåêôñïìáãíçôéêÜ ðåäßá ðïõ íá ìç óõíéóôïýí áêôéíïâïëßá, ð.÷. óôÜóéìá êýìáôá. ¼ôáí äåí Ý÷ïìå áêôéíïâïëßá, ç åíÝñãåéá öåýãåé áðü ôçí ðçãÞ êáé, áí äåí áðïññïöçèåß áðü Üëëï óþìá, åðéóôñÝöåé óå áõôÞí, ïðüôå ç ìÝóç ôéìÞ ôçò åíÝñãåéáò ðïõ ðáñÝ÷åé ç ðçãÞ åßíáé ìçäÝí. Ç áêôéíïâïëßá åßíáé éó÷õñÞ, üóï ìåãáëýôåñç åßíáé ç óõ÷íüôçôá ôïõ äéðüëïõ. Óôç óõ÷íüôçôá ôïõ äéêôýïõ ñåýìáôïò (50 Hz) ðñáêôéêÜ ç áêôéíïâïëßá åßíáé ìçäÝí Ôá ðåäßá åßíáé êõñßùò óôáôéêÜ êáé ìïñöÞò åðáãùãéêÞò, üðïõ åíÝñãåéá ðáñÝ÷åôáé óôï ðåñéâÜëëïí ôùí áãùãþí êáé, áí äåí áðïññïöçèåß, åðéóôñÝöåé ó’ áõôïýò. Óôï ðáëëüìåíï äßðïëï ôá öïñôßá êéíïýíôáé áñìïíéêÜ êáé ôï ðáñáãüìåíï çëåêôñïìáãíçôéêü êýìá åßíáé áñìïíéêü. Ôï öáéíüìåíï áõôü åßíáé ðéï ãåíéêü, äçëáäÞ üôáí Ý÷ïõìå åðéôá÷õíüìåíá öïñôßá ðÜíôïôå åêðÝìðïíôáé çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá. ¼ôáí ð.÷. ôá çëåêôñüíéá ôçò êáèüäïõ óå óùëÞíá ðáñáãùãÞò áêôßíùí × êôõðïýí óôçí Üíïäï åðéâñáäýíïíôáé âßáéá. ÁðïôÝëåóìá áõôÞò ôçò åðéâñÜäõíóçò åßíáé ç ðáñáãùãÞ áêôßíùí × (áêôéíïâïëßá ðÝäçóçò), ïé ïðïßåò åßíáé çëåêôñïìáãíçôéêÞò öýóçò. Ôï ðáñáãüìåíï çëåêôñïìáãíçôéêü êýìá åßíáé ìç ðåñéïäéêü êáé åðïìÝíùò áíáëýåôáé êáôÜ Fourier äßíïíôáò óõíå÷Ýò öÜóìá óõ÷íïôÞôùí. ÐñÜãìáôé ç öáóìáôïóêïðéêÞ áíÜëõóç ôùí áêôßíùí Röngten ðáñÝ÷åé åêôüò áðü ãñáììéêü êáé óõíå÷Ýò öÜóìá. KYMATA 73 ÁÊÔÉÍÏÂÏËÏÕÌÅÍÇ ÅÍÅÑÃÅÉÁ ÇËÅÊÔÑÉÊÏÕ ÄÉÐÏËÏÕ Áðü ðáëëüìåíï çëåêôñéêü äßðïëï, ôï ïðïßï âñßóêåôáé óôï êåíü, ðáñÜãïíôáé çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá, ðïõ äéáäßäïíôáé ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò c, ïðüôå Ý÷ïõìå ãåíéêþò äéÜäïóç åíÝñãåéáò óôï êåíü. Ç ìÝóç Ýíôáóç ôçò áêôéíïâïëßáò É ïñßæåôáé ùò ç ìÝóç éó÷ýò áíÜ ìïíÜäá åðéöáíåßáò. Ç Ýíôáóç ôçò áêôéíïâïëßáò ðïõ ðáñÜãåôáé áðü ôï ðáëëüìåíï äßðïëï óå Ýíá óçìåßï Á (âë. ó÷Þìá) äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç üðïõ ù: ç êõêëéêÞ óõ÷íüôçôá c: ç ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôïõ öùôüò å0: ç çëåêôñéêÞ óôáèåñÜ Þ åðéôñåðôüôçôá ôïõ êåíïý (ëÝãåôáé, êáêþò, êáé äéçëåêôñéêÞ óôáèåñÜ ôïõ êåíïý). r: ç áðüóôáóç ôïõ óçìåßïõ áðü ôï äßðïëï è: ç ãùíßá ðïõ ó÷çìáôßæåé ôï äßðïëï ìå ôçí áðüóôáóç r êáé p0: ôï ðëÜôïò ôçò çëåêôñéêÞò äéðïëéêÞò ñïðÞò ôïõ äéðüëïõ. Ç óõíïëéêÞ (ìÝóç) éó÷ýò åíüò ðáëëüìåíïõ äéðüëïõ åßíáé ôï óõíïëéêü I è p ù c å r èb g = 0 2 4 3 0 2 32ð sin2 2
- 90. ËÇØÇ ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÊÙÍ ÊÕÌÁÔÙÍ ÇëÞøç ôùí çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí (áêôéíïâïëßáò) ãßíåôáé ìå êåñáßá, ç ïðïßá ôßèåôáé óå åîáíáãêáóìÝíç ôáëÜíôùóç, üôáí ôï çëåêôñïìáãíçôéêü êýìá ðñïóðÝóåé ó' áõôÞ. Ðñïöáíþò ç óõ÷íüôçôá ôçò åîáíáãêáóìÝíçò ôáëÜíôùóçò åßíáé ßäéá ìå ôç óõ÷íüôçôá ôïõ ðñïóðßðôïíôïò çëåêôñïìáãíçôéêïý êýìáôïò. ÅéäéêÜ, óôçí áóýñìáôç åðéêïéíùíßá ôï ðáñáãüìåíï çëåêôñïìáãíçôéêü êýìá (áêôéíïâïëßáò) ôïõ ðïìðïý, ôï ïðïßï ëÝãåôáé öÝñïí êýìá, õößóôáôáé äéáìüñöùóç ðëÜôïõò (ÁÌ) Þ óõ÷íüôçôáò (FM-Frequency Modulation Þ êáé Üëëåò äéáìïñöþóåéò), ìÝóù ôçò ïðïßáò ìåôáäßäïíôáé ôá óÞìáôá ðëçñïöïñßáò. Ç êåñáßá ôïõ äÝêôç ëáìâÜíåé ôï äéáìïñöùìÝíï çëåêôñïìáãíçôéêü êýìá ôïõ ðïìðïý êáé ìå êáôÜëëçëåò çëåêôñïíéêÝò äéáôÜîåéò åðéôõã÷Üíåôáé ç áðïäéáìüñöùóç êáé ëÞøç ôùí óçìÜôùí ðëçñïöïñßáò áðü áõôü. 74 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Üèñïéóìá åíôÜóåùí åðß ôéò áíôßóôïé÷åò óôïé÷åéþäåéò åðéöÜíåéåò, ðïõ äéáéñåßôáé ìéá êëåéóôÞ åðéöÜíåéá, ç ïðïßá ðåñéêëåßåé ôï ðáëëüìåíï äßðïëï, P = ÓÉ(è)ÄS Áðïäåéêíýåôáé üôé åßíáé: (á) Áò åîåôÜóïõìå äýï ÷áñáêôçñéóôéêÝò ðåñéðôþóåéò, áõôÞ ôïõ áôüìïõ êáé áõôÞ ìéáò áðëÞò êåñáßáò. Ôï Üôïìï áêôéíïâïëåß, äéüôé êëáóéêÜ ëÝìå üôé "ôáëáíôþíåôáé" êÜðïéï çëåêôñïíéü ôïõ. Ç (ìÝãéóôç) äéðïëéêÞ ñïðÞ p0 åßíáé p0 = q0 l, üðïõ q0 = e ôï öïñôßï ôïõ çëåêôñïíßïõ êáé l ≈ 10-10 m ç äéÜìåôñïò ôïõ áôüìïõ. Áíôéêáèéóôþíôáò Ý÷ïõìå ãéá ôçí éó÷ý, P ≈ 10-74 ù4 . Óôçí ðåñéï÷Þ ôïõ ïñáôïý öÜóìáôïò åßíáé ù ≈ 1014 Hz êáé åðïìÝíùò P ≈ 10-18 W Ç êåñáßá åßíáé ðáëëüìåíï äßðïëï êáé ãéá ôï ðáëëüìåíï äßðïëï éó÷ýåé Ém = ùQm . ÅðïìÝíùò: p0 = Qml Þ Áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (á) Ý÷ïõìå ÈÝôïíôáò ôõðéêÝò ôéìÝò, üðùò É0 = 20Á, l = 30 m ôï ìÞêïò ôçò êåñáßáò êáé âñßóêïõìå Ñ ≈ 400 W. ù = × ×2 5 106 ð rad s P I ù å c = m ð 2 2 2 0 3 12 l p I ù 0 = m l P p ù å c = 0 2 4 0 3 12ð
- 91. ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÊÏ ÖÁÓÌÁ Ôá ñáäéïêýìáôá(áêôéíïâïëßá) åßíáé çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá ó÷åôéêÜ ÷áìçëþí óõ÷íïôÞôùí, ôï ïñáôü öùò õøçëüôåñùí êáé ïé áêôßíåò ã ðéï õøçëþí. Óôïí áíôßóôïé÷ï ðßíáêá 3.80 äßíåôáé ôï öÜóìá ôùí çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí. Ðáñáôçñïýìå üôé õðÜñ÷åé êÜðïéá åðéêÜëõøç óôá óýíïñá ôùí äéáöüñùí ôìçìÜôùí ôïõ öÜóìáôïò. Ãéá ðáñÜäåéãìá, áêôéíïâïëßá óõ÷íüôçôáò ðåñßðïõ 3 × 1011 Hz ìðïñåß íá ÷áñáêôçñéóèåß êáé ùò ìéêñïêýìáôá, äéüôé ðáñÜãåôáé áðü ôáëáíôùôÝò ìéêñïêõìÜôùí, êáé ùò õðÝñõèñç, äéüôé ðáñÜãåôáé áðü åñõèñïðõñùìÝíåò ðçãÝò. Ïé óõ÷íüôçôåò êáé ôá áíôßóôïé÷á ìÞêç êýìáôïò ðïõ áíôéëáìâÜíåôáé ï ïöèáëìüò ôïõ ìÝóïõ áíèñþðïõ åßíáé: KYMATA 75 ×ñþìá ìÞêïò ë (nm) óõ÷íüôçôåò f (1014 Hz) Éþäåò 390 − 455 7,69 − 6,59 Êõáíü 455 − 492 6,59 − 6,10 ÐñÜóéíï 492 − 577 6,10 − 5,20 Êßôñéíï 577 − 597 5,20 − 5,03 Ðïñôïêáëß 597 − 622 5,03 − 4,82 Åñõèñü 622 − 780 4,82 − 3,84 Ó×ÇÌÁ 3.80 (ÐÉÍÁÊÁÓ) ÅîáéñåôéêÜ ×áìçëÝò Óõ÷íüôçôåò (ÅLF) Óõ÷íüôçôåò ÖùíÞò (VF) Ðïëý ÷áìçëÝò óõ÷íüôçôåò (VLF) XáìçëÝò Óõ÷íüôçôåò (LF) Måóáßåò Óõ÷íüôçôåò (ÌF) YøçëÝò Óõ÷íüôçôåò (ÇF) Ðïëý ÕøçëÝò Óõ÷íüôçôåò (VHF) Õðåñ-ÕøçëÝò Óõ÷íüôçôåò (VHF) Super ÕøçëÝò Óõ÷íüôçôåò (SHF) EîáéñåôéêÜ ÕøçëÝò Óõ÷íüôçôåò (ÅHF) YðÝñõèñåò Ôï ïñáôü öÜóìá (öùò) 107 -106 m 106 -105 m 105 -104 m 104 -103 m 103 -102 m 102 -101 m 101 -1 m 1-10-1 m 10-1 -10-2 m 10-2 -10-3 m 0,7-10 ìm 0,4×10-6 m 0,8×10-6 m Ïíïìáóßá Óõ÷íüôçôá ÌÞêïò Êýìáôïò 30 Hz 300 Hz 3 kHz 30 kHz 300 kHz 3 MHz 30 MHz 300 MHz 3 GHz 30 GHz 300 Hz 3000 kHz 30 kHz 300 kHz 3 MHz 30 MHz 300 MHz 3 GHz 30 GHz 3000 GHz ÐÉÍÁÊÁÓ 3.80(á)
- 92. Óôïí ðßíáêá 3.80(á)áíáöÝñïíôáé áíáëõôéêÜ ôá åßäç ôùí ñáäéïêõìÜôùí êáé ïé óõ÷íüôçôåò ôïõò. ÄÉÁÄÏÓÇ ÑÁÄÉÏÊÕÌÁÔÙÍ ÁíÜëïãá ìå ôç äéáäñïìÞ ðïõ áêïëïõèïýí ôá ñáäéïêýìáôá áðü ôïí ðïìðü ùò ôï äÝêôç, ÷áñáêôçñßæïíôáé ùò åîÞò: á) Êýìáôá åäÜöïõò Þ åðéöÜíåéáò: ÁõôÜ ôá êýìáôá ôáîéäåýïõí êáôÜ ìÞêïõò ôïõ åäÜöïõò êáé áêïëïõèïýí ôçí êáìðõëüôçôá ôçò ãçò, ìå óõíÝðåéá íá ïäåýïõí ðÝñáí ôïõ ïñßæïíôïò (Ó÷. 3.81). Ç åîáóèÝíçóÞ ôïõò ïöåßëåôáé óôçí áðïññüöçóÞ ôïõò áðü ôç Ãç, ç ïðïßá åßíáé ìåãáëýôåñç óôçí îçñÜ áð' üôé óôç èÜëáóóá. Åßíáé åðßóçò ìåãáëýôåñç óå ìåãáëýôåñåò óõ÷íüôçôåò áð' üôé óå ìéêñüôåñåò. Ç äéÜäïóç ìå êýìáôá åäÜöïõò åßíáé ç êýñéá äéáäñïìÞ ñáäéïêõìÜôùí óôçí ðåñéï÷Þ ôùí 30 kHz ùò ôùí 3 MHz ìå äéáìüñöùóç ÁÌ. Óå êÜðïéåò ðåñéðôþóåéò óôéò ÷áìçëÝò óõ÷íüôçôåò (ìáêñÜ êýìáôá) öôÜíïõí óå áðüóôáóç ìÝ÷ñé êáé 1500 km, ç ïðïßá ìåéþíåôáé óçìáíôéêÜ ãéá êýìáôá ìåãáëýôåñçò óõ÷íüôçôáò, üðùò ôá VHF, Very High Frequency (ðïëý õøçëÞ óõ÷íüôçôá). â) Êýìáôá áôìïóöáéñéêÜ: ÁõôÜ ôáîéäåýïõí óôï ÷þñï êáé, áí ç óõ÷íüôçôá ôïõò åßíáé ìéêñüôåñç áðü ìéá êñßóéìç óõ÷íüôçôá, ç ïðïßá åîáñôÜôáé áðü ôçí þñá ôçò çìÝñá êáé ôçí åðï÷Þ (ôõðéêÞ ôéìÞ 30 MHz), êáìðõëþíïíôáé Þ áíáêëþíôáé áðü ôçí éïíüóöáéñá êáé åðéóôñÝöïõí óôçí Ãç (Ó÷. 3.82). Ç éïíüóöáéñá åêôåßíåôáé ðåñßðïõ áðü 80 km Ýùò 500 km ðÜíù áðü ôç Ãç êáé ó' áõôÞ õðÜñ÷ïõí èåôéêÜ éüíôá êáé çëåêôñüíéá, ôá ïðïßá ðñïêýðôïõí áðü ôïí éïíéóìü ôùí ìïñßùí ôçò áíþôåñçò áôìüóöáéñáò áðü ôçí õðåñéþäç çëéáêÞ áêôéíïâïëßá. Ôá áôìïóöáéñéêÜ êýìáôá ÷áìçëþí ìåóáßùí êáé õøçëþí óõ÷íïôÞôùí ìðïñïýí íá ôáîéäÝøïõí ðïëëÝò ÷éëéÜäåò ÷éëéüìåôñá. Áí üìùò ç óõ÷íüôçôÜ ôïõò åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ôçí êñßóéìç, äéáðåñíïýí ôçí éïíüóöáéñá êáé ôáîéäåýïõí óôï äéÜóôçìá. Áí óå Ýíá ôüðï öôÜíïõí óõã÷ñüíùò ôá êýìáôá åðéöáíåßáò êáé ôá áôìïóöáéñéêÜ ôïõ ßäéïõ ñáäéïóÞìáôïò ìå ðáñáðëÞóéá Ýíôáóç, Ý÷ïõìå åðáëëçëéá êáé ðáñáôçñïýíôáé äéáëåßøåéò (Fade), äçëáäÞ áõîïìåéþóåéò ôïõ óÞìáôïò. 76 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ Ó×ÇÌÁ 3.81 Ó×ÇÌÁ 3.82
- 93. ã) Êýìáôá ÷þñïõ:Åßíáé ôá êáôåõèåßáí äéáäéäüìåíá êýìáôá áðü ôçí êåñáßá åêðïìðÞò óôçí êåñáßá ëÞøçò. Äåí õößóôáíôáé ïýôå äéÜèëáóç ïýôå áíÜêëáóç êáé, ãéá íá ëçöèïýí, ðñÝðåé íá õðÜñ÷åé ïðôéêÞ åðáöÞ êåñáßáò ðïìðïý êáé êåñáßáò äÝêôç. Ìå ôïí ôñüðï áõôü äéáäßäïíôáé ôá VHF, UHF (Ultra High Frequency, õðåñõøçëÝò óõ÷üôçôåò) êáé ãåíéêÜ ôá ìéêñïêýìáôá. Ç ìÝãéóôç áðüóôáóç ìåôÜäïóÞò ôïõò åßíáé ðåñßðïõ 150 km. Ãéá íá áõîçèåß ç áðüóôáóç áõôÞ, ÷ñçóéìïðïéïýíôáé äéÜöïñåò ôå÷íéêÝò, óðïõäáéüôåñç ôùí ïðïßùí åßíáé ç ÷ñÞóç óôáèìþí åðáíáëçðôþí, ðïõ åßíáé Ýíáò óõíäõáóìüò äÝêôç êáé ðïìðïý. Ï åðáíáëÞðôçò ëáìâÜíåé ôï óÞìá áðü ôïí ðïìðü ôï åíéó÷ýåé êáé ôï áíáìåôáäßäåé ðñïò ôï äÝêôç. Åãêáèßóôáôáé óå õøçëÝò èÝóåéò ìåôáîý óôáèìïý åêðïìðÞò êáé ëÞøçò êáé ï ßäéïò Ý÷åé ìåãÜëï ýøïò (Ó÷. 3.83). Ìðïñïýí åðßóçò íá ÷ñçóéìïðïéçèïýí äéáäï÷éêïß áíáìåôáäüôåò ãéá ìåôÜäïóç óå ìåãÜëåò áðïóôÜóåéò (Ó÷. 3.84). ×ñçóéìïðïéïýíôáé ùò åðáíáëÞðôåò ôçëåðéêïéíùíéáêïß äïñõöüñïé (Ó÷. 3.85) ðïõ åßíáé ãåùóôáôéêïß äïñõöüñïé (óå óôáèåñÞ èÝóç ðÜíù áðü ôç Ãç) êáé Ý÷ïõí ðïëëïýò áíáìåôáäüôåò, þóôå íá áíáìåôáäßäïõí ðïëëÜ äéáöïñåôéêÜ öÝñïíôá êýìáôá (áêôéíïâïëßáò). Óôï ó÷Þìá 3.86 ðáñßóôáíôáé óõãêåíôñùôéêÜ ïé ôñüðïé ìåôÜäïóçò ðïõ ðñïáíáöÝñáìå: KYMATA 77 Ó×ÇÌÁ 3.84Ó×ÇÌÁ 3.83 Ó×ÇÌÁ 3.85 Ó×ÇÌÁ 3.86
- 94. 78 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉÊÕÌÁÔÁ THËÅÐÉÊÏÉÍÙÍÉÅÓ ÊÁÉ ÑÁÄÉÏÊÕÌÁÔÁ Óôïí ðßíáêá 3.80(á) äßíåôáé ôï öÜóìá ôùí ñáäéïêõìÜôùí, üðïõ áíáãñÜöåôáé êáé ôï åýñïò óõ÷íïôÞôùí ðïõ êáëýðôåé êÜèå ðåñéï÷Þ. Äåí Ý÷ïõí üëá óçìáíôéêÞ óõíéóôþóá áêôéíïâïëßáò. Ðéï áíáëõôéêÜ ãéá êÜèå ðåñéï÷Þ Ý÷ïõìå: 1) ÅîáéñåôéêÜ ×áìçëÝò Óõ÷íüôçôåò (ELF-Extremely Low Frequen- cies): Åßíáé ïé óõ÷íüôçôåò ðïõ êõìáßíïíôáé ìåôáîý 30 Hz êáé 300 Hz. ÐåñéëáìâÜíïõí ôéò óõ÷íüôçôåò ôùí ãñáììþí ìåôáöïñÜò éó÷ýïò, (óôçí Åõñþðç) 50 Hz, êáèþò êáé ôçí ðåñéï÷Þ áêïõóôçêþí óõ÷íïôÞôùí. 2) Óõ÷íüôçôåò öùíÞò (VF-Voice Frequencies): Êõìáßíïíôáé ìåôáîý 300 Hz êáé 3000 Hz. Åßíáé ç êáíïíéêÞ ðåñéï÷Þ óõ÷íïôÞôùí ôçò áíèñþðéíçò ïìéëßáò. Áí êáé ï Üíèñùðïò ìðïñåß íá áêïýóåé óõ÷íüôçôåò áðü 20 Hz Ýùò 20000 Hz, óôçí êáèçìåñéíÞ ôïõ ïìéëßá ïé óõ÷íüôçôåò ðïõ ðáñÜãïíôáé, âñßóêïíôáé óôçí ðåñéï÷Þ VF. 3) Ðïëý XáìçëÝò Óõ÷íüôçôåò (VLF-Very Low Frequencies): Åßíáé ç æþíç óõ÷íïôÞôùí áðü 3 kHz Ýùò 30 kHz. ÐåñéëáìâÜíåé ôï áíþôåñï Üêñï ôçò ðåñéï÷Þò ôùí áêïõóôþí Þ÷ùí (15 kHz Ýùò 20 kHz) êáé ÷ñçóéìïðïéåßôáé óå êÜðïéåò êõâåñíçôéêÝò êáé óôñáôéùôéêÝò åðéêïéíùíßåò. Ãéá ðáñÜäåéãìá ç VLF ñáäéïóõ÷íüôçôåò ÷ñçóéìïðïéïýíôáé áðü ôï íáõôéêü ãéá åðéêïéíùíßá ìå ôá õðïâñý÷éá. 4. ×áìçëÝò Óõ÷íüôçôåò (LF- Low Frequencies): Êõìáßíïíôáé ìåôáîý 30 kHz Ýùò 300 kHz. Ç ðåñéï÷Þ áõôÞ ÷ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò ãéá ôéò åðéêïéíùíßåò óôçí áåñïíáõôéêÞ êáé óôç èáëÜóóéá íáõóéðëïúá. Åðßóçò óõ÷íüôçôåò ôçò ðåñéï÷Þò áõôÞò ÷ñçóéìïðïéïýíôáé ùò õðïöïñåßò (öÝñïõóåò). Õðïöïñåßò åßíáé óõ÷íüôçôåò ïé ïðïßåò, ìåôáöÝñïõí äéáìïñöþíïõóá ðëçñïöïñßá, áëëÜ óôç óõíÝ÷åéá äéáìïñöþíïõí ìéá Üëëç öÝñïõóá õøçëüôåñçò óõ÷íüôçôáò. 5. Ìåóáßåò Óõ÷íüôçôåò (MF - Medium Frequencies): Ïé ìåóáßåò óõ÷íüôçôåò åßíáé ìåôáîý 300 kHz êáé 3000 kHz. Âñßóêïõí åöáñìïãÝò óôéò ñáäéïöùíéêÝò åêðïìðÝò ÁÌ (äéáìüñöùóç ðëÜôïò) (535 kHz ùò 1605 kHz.), êáèþò åðßóçò ôéò èáëÜóóéåò êáé áåñïíáõôéêÝò åðéêïéíùíßåò. 6. ÕøçëÝò Óõ÷íüôçôåò (HF-High Frequencies): Êõìáßíïíôáé ìåôáîý 3 ÌHz êáé 30 MHz êáé åßíáé ãíùóôÝò ùò âñá÷Ýá êýìáôá. ÅöáñìïãÝò âñßóêïõí óôéò ñáäéïåðéêïéíùíßåò äýï êáôåõèýíóåùí (áìößäñïìåò), êáèþò êáé óå Äéåèíåßò ñáäéïåêðïìðÝò. Ãéá ðáñÜäåéãìá “Ç ÖùíÞ ôçò ÁìåñéêÞò”, ç “ÖùíÞ ôçò ÅëëÜäáò” ðñïò ôïõò ¸ëëçíåò Åîùôåñéêïý, åêðÝìðïõí ó’ áõôÞ ôçí ðåñéï÷Þ. Åðßóçò, ôá âñá÷Ýá êýìáôá ÷ñçóéìïðïéïýíôáé áðü êõâåñíçôéêÝò êáé óôñáôéùôéêÝò õðçñåóßåò, êáèþò åðßóçò êáé óôéò åðéêïéíùíßåò ñáäéïåñáóéôå÷íþí êáé CB. 7. Ðïëý ÕøçëÝò Óõ÷íüôçôåò (VHF-Very High Frequencies): Êáëý- ðôïõí ôçí ðåñéï÷Þ 30 ÌHz Ýùò 300 MHz. Eßíáé ç ðëÝïí äçìïöéëÞò ðåñéï÷Þ óõ÷íïôÞôùí. ×ñçóéìïðïéåßôáé áðü ðïëëÝò õðçñåóßåò, óõìðåñéëáìâáíïìÝíçò ôçò áóýñìáôçò êéíçôÞò, èáëÜóóéáò êáé áåñïíáõôéêÞò åðéêïéíùíßáò, ãéá ñáäéïöùíéêÝò åêðïìðÝò ôùí FM (Äéáìüñöùóç Óõ÷íüôçôáò) (88 ÌHz ùò 108 MHz) êáé ãéá ôçëåïðôéêÝò åêðïìðÝò (êáíÜëéá 2 ìÝ÷ñé 13). Áêüìç ïé ñáäéïåñáóéôÝ÷íåò Ý÷ïõí ìåñéêÝò æþíåò óôçí ðåñéï÷Þ áõôþí ôùí óõ÷íïôÞôùí.
- 95. KYMATA 79 8. ÕðåñõøçëÝòÓõ÷íüôçôåò (UHF-Ultra High Frequencies): Êáëý- ðôïõí ôï öÜóìá ôùí çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí áðü 300 ÌHz Ýùò 3000 MHz. ÐåñéëáìâÜíïõí ôá UHF ôçëåïðôéêÜ êáíÜëéá (áðü 14 Ýùò 83) êáé ÷ñçóéìïðïéïýíôáé ãéá åðßãåéåò êéíçôÝò åðéêïéíùíßåò (üðùò ç êéíçôÞ ôçëåöùíßá). Ïé óôñáôéùôéêÝò õðçñåóßåò, ìåñéêÝò õðçñåóßåò ñáíôÜñ êáé íáõóéðëïúáò, êáèþò êáé ñáäéïåñáóéôÝ÷íåò, Ý÷ïõí æþíåò óôçí ðåñéï÷Þ áõôÞ ôoõ öÜóìáôïò. 9. Ëéáí ÕøçëÝò Óõ÷íüôçôåò (SHF-Super High Frequencies): Êõìáß- íïíôáé áðü 3 GHz Ýùò 30 GHz êáé ÷ñçóéìïðïéïýíôáé åõñÝùò óôéò äïñõöïñéêÝò åðéêïéíùíßåò êáé óôá ñáíôÜñ. Åðßóçò êÜðïéåò åîåéäéêåõìÝíåò áìößäñïìåò ìïñöÝò ñáäéïåðéêïéíùíßáò êáëýðôïõí áõôÞ ôçí ðåñéï÷Þ. 10. ÅîáéñåôéêÜ ÕøçëÝò Óõ÷íüôçôåò (EHF-Extremely High Frequen- cies): Ïé óõ÷íüôçôåò ÅÇF åêôåßíïíôáé áðü 30 GHz Ýùò 300 GHz. Ðñïò ôï ðáñüí, õðÜñ÷åé ðåñéïñéóìÝíïò áñéèìüò äñáóôçñéïôÞôùí ó’ áõôÞ ôçí ðåñéï÷Þ, ìåôáîý ôùí ïðïßùí åßíáé ïé äïñõöïñéêÝò åðéêïéíùíßåò êáé êÜðïéá ñáíôÜñ. Ï ëüãïò åßíáé üôé ï åîïðëéóìüò ðïõ ÷ñçóéìïðïéåßôáé ãéá ðáñáãùãÞ êáé ëÞøç, åßíáé åîáéñåôéêÜ ðïëýðëïêïò êáé áêñéâüò. Ç EHF ðåñéï÷Þ óõ÷íïôÞôùí èá ãßíåé ðåñéóóüôåñï åêìåôáëëåýóéìç ìå ôçí ôáõôü÷ñïíç åîÝëéîç ôçò ôå÷íïëïãßáò ôùí. Ìéêñïêýìáôá: Ïé óõ÷íüôçôåò ðÜíù áðü ðåñßðïõ 1 GHz ïíïìÜæïíôáé ìéêñïêýìáôá, äéüôé ôï ìÞêïò êýìáôïò åßíáé óôçí ðåñéï÷Þ ìåñéêþí Ç åîßóùóç åðßðåäïõ áñìïíéêïý êýìáôïò ðïõ äéáäßäåôáé êáôÜ ìÞêïò ôïõ Üîïíá ôùí x åßíáé y0 = A sin(ùt − kx + ö) üðïõ ù = 2ðf êáé Ç ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôùí ðáñáãüìåíùí êõìÜôùí óå ìéá ÷ïñäÞ äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç Ï Huygens ãéá ôçí äéÜäïóç ôùí êõìÜôùí åðéíüçóå ôçí áñ÷Þ ðïõ öÝñíåé ôï üíïìÜ ôïõ, óýìöùíá ìå ôçí ïðïßá, “êÜèå óçìåßï ìåôþðïõ êýìáôïò ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò ðçãÞ äåõôåñåõüíôùí êõìáôéäßùí ðïõ äéáäßäïíôáé ìå ôá÷ýôçôá ßóç ìå ôçí ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôïõ êýìáôïò”. ~Ïôáí êýìá óõíáíôÜ äéá÷ùñéóôéêÞ åðéöÜíåéá, êÜèå áêôßíá ôïõ äéá÷ùñßæåôáé óôçí áíáêëþìåíç êáé ôçí äéáèëþìåíç. Ãéá ôçí áíáêëþìåíç éó÷ýåé è1 = è1~, (ãùíßá ðñïóðôþóåùò = ãùíßá áíáêëÜóåùò) êáé ãéá ôçí äéáèëþìåíç éó÷ýåé üðïõ è1, è2 ïé ãùíßåò ðñüóðôùóçò êáé äéÜèëáóçò áíôßóôïé÷á êáé õ1, õ2 ç ôá÷ýôçôá sin sin è è n õ õ 1 2 21 1 2 = = õ F ì = k ë = 2ð drasthriothtesA N A Ê Å Ö Á Ë Á É Ù Ó Ç
- 96. 80 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉÊÕÌÁÔÁ ôïõ êýìáôïò óôá äýï ìÝóá. Ï áðüëõôïò äåßêôçò äéÜèëáóçò åíüò ìÝóïõ åßíáé , üðïõ c ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò óôï êåíü êáé õ ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò óôï ìÝóï. ÏëéêÞ áíÜêëáóç Ý÷ïõìå, üôáí ôï êýìá äéáäßäåôáé áðü Ýíá ìÝóï óå Ýíá Üëëï, óôï ïðïßï ç ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò åßíáé ìåãáëýôåñç. Ãéá ôçí ïñéáêÞ ãùíßá ïëéêÞò áíÜêëáóçò èc éó÷ýåé ÓôÜóéìá êýìáôá ðñïêýðôïõí, üôáí äéáäßäïíôáé êýìáôá óå ìÝóï ðåñéïñéóìÝíùí äéáóôÜóåùí . Óå ìéá ÷ïñäÞ ôá óôÜóéìá êýìáôá Ý÷ïõí ôçí åîßóùóç y = 2Á sinkx cos ùt Óôá óçìåßá êáé ìå n = 0, 1, 2, ... Ý÷ïõìå êïéëßåò (ðëÜôïò 2Á0) êáé äåóìïýò (ðëÜôïò ìçäåíéêü) áíôßóôïé÷á. Ïé éäéïóõ÷íüôçôåò ìéáò ÷ïñäÞò åßíáé: , n = 1, 2, 3, ... Óôïí ç÷çôéêü óùëÞíá Ý÷ïõìå åðßóçò óôÜóéìá êýìáôá êáé ïé áíôßóôïé÷åò éäéïóõ÷íüôçôåò ãéá óùëÞíá ìÞêïõò L ìå ôá äýï ôïõ Üêñá áíïéêôÜ åßíáé , n = 1, 2, ... ¼ôáí ôï Ýíá Üêñï ìÝíåé áíïéêôü êáé ôï Üëëï êëåéóôü Ý÷ïõìå: , n = 0, 1, 2, ... õ ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá. ÊáôÜ ôç óõìâïëÞ äýï óõã÷ñüíùò ðçãþí ãéá ôá óçìåßá óõìâïëÞò ìåãßóôïõ êáé åëá÷ßóôïõ (ìçäåíéêïý) ðëÜôïõò éó÷ýåé: r2 − r1 = në n = 0, ±1, ±2, ..., (ìÝãéóôï ðëÜôïò) , n = 0, ±1, ±2, ... (ìçäåíéêü ðëÜôïò) ÊáôÜ ôï ðåßñáìá ôïõ Young, áðü ôçí áðüóôáóç Äx ìåôáîý äýï äéáäï÷éêþí êñïóóþí åíéó÷õôéêÞò Þ êáôáóôñåðôéêÞò óõìâïëÞò, ôçí áðüóôáóç á ìåôáîý ôùí ðçãþí êáé ôçí áðüóôáóç D ìåôáîý ôùí äýï ðåôáóìÜôùí, õðïëïãßæåôáé ôï ìÞêïò ôçò ìïíï÷ñùìáôéêÞò áêôéíïâïëßáò ðïõ ÷ñçóéìïðïéÞèçêå Ôá çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá ìðïñïýí íá ðáñá÷èïýí áðü Ýíá ðáëëüìåíï çëåêôñéêü äßðïëï, äçë. ìéá êåñáßá, ôñïöïäïôþíôáò ôçí ìå ñåýìá áñêåôÜ õøçëÞò óõ÷íüôçôáò. Ôá ðáñáãüìåíá çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá áõôïóõíôçñïýíôáé êáé äéáäßäïíôáé ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò üðùò áðïäåéêíýåôáé êáé èåùñçôéêÜ ìå ôéò åîéóþóåéò ôïõ Maxwell. ÌáêñéÜ áðü ôçí ðçãÞ ôá çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá (áêôéíïâïëßáò) ãßíïíôáé åðßðåäá êáé ïé åîéóþóåéò ôïõ çëåêôñéêïý êáé ìáãíçôéêïý ðåäßïõ åßíáé: Å = Å0 sin(ùt − kx) B = B0 sin(ùt − kx) Ç ëÞøç ôùí çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí ãßíåôáé ìå êåñáßåò ðïõ åêôåëïýí åîáíáãêáóìÝíåò ôáëáíôþóåéò, üôáí ðñïóðÝóïõí ðÜíù ôïõò ôá çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá. Ôá çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá áíÜëïãá ìå ôçí óõ÷íüôçôá ôïõò áêïëïõèïýí êáé äéáöïñåôéêÞ äéáäñïìÞ äéÜäïóçò êáé, Ýôóé, ÷áñáêôçñßæïíôáé ùò êýìáôá åäÜöïõò, áôìïóöáéñéêÜ Þ ÷þñïõ. ë á D x= Ä r r n ë2 1 1 2 − = + F HG I KJ f n õ L n2 1 2 1 4 + = +b g f n õ L n = 2 f n L F ì n = 1 2 x n ë ä = 2 x n ë ë ê = + 2 4 sin è õ õ c = 1 2 n c õ =
- 97. KYMATA 81 ÄÉÁÈËÁÓÇ ÕÄÁÔÉÍÙÍÊÕÌÁÔÙÍ ×ñçóéìïðïéåßóôå ìéá ìáêñüóôåíç ëåêÜíç, üðïõ áðü ôçí ìÝóç êáé ðÝñá Ý÷åôå ôïðïèåôÞóåé óôïí ðõèìÝíá ìéá óáíßäá Þ Üììï, þóôå ôï âÜèïò íá åßíáé äéáöïñåôéêü. Ãåìßóôå ôçí ëåêÜíç ìå íåñü êáé äçìéïõñãþíôáò åðßðåäá êýìáôá óôçí åðéöÜíåéá ôïõ íåñïý, ìå êáôÜëëçëç êßíçóç ìéáò óáíßäáò, èá ðáñáôçñÞóåôå ôï öáéíüìåíï ôçò äéÜèëáóçò ôùí õäÜôéíùí êõìÜôùí, êáèþò ïäåýïõí áðü ôç ìéá ðëåõñÜ ìå ôï ìåãÜëï âÜèïò ðñïò áõôÞ ìå ôï ìéêñüôåñï. Ôï ðåßñáìá ðåôõ÷áßíåé, áí ôï âÜèïò ôïõ íåñïý åßíáé óõãêñßóéìï ìå ôï ìÞêïò êýìáôïò. Áõôü óõìâáßíåé, äéüôé ç ôá÷ýôçôá ôùí êõìÜôùí åîáñôÜôáé áðü ôï âÜèïò ôïõ íåñïý. ÁÊÏÕÓÔÉÊÏ ÄÉÁÊÑÏÔÇÌÁ ¸÷ïíôáò äýï üìïéá äéáðáóþí ôñïðïðïéïýìå åëáöñþò ôçí óõ÷íüôçôá ôïõ åíüò êïëëþíôáò óôï Ýíá óêÝëïò ôïõ Ýíá êïììÜôé ôóß÷ëáò. Êôõ- ðÜìå ôá äýï äéáðáóþí êáé áêïýìå äéáêñüôçìá, äçëáäÞ áõîïìåéþóåéò óôçí Ýíôáóç ôïõ Þ÷ïõ. ÌÇ ÁÍÁÊËÁÓÔÉÊÁ ÃÕÁËÉÁ Óôá ãõáëéÜ ìðïñïýí êáé ðåñéïñßæïõí ôçí áíáêëáóôéêüôçôÜ ôïõò ôïðïèåôþíôáò ðÜíù ôïõò Ýíá óôñþìá õëéêïý ìå êáôÜëëçëï äåßêôç äéáèëÜóåùò êáé êáôÜëëçëï ðÜ÷ïò. Áõôü óõìâáßíåé, äéüôé ç áíáêëþìåíç áêôßíá áðü ôï õëéêü êáé áõôÞ áðü ôï ãõáëß óõìâÜëëïõí êáôáóôñåðôéêÜ. ÁíáôñÝîôå óôçí áíôßóôïé÷ç âéâëéïãñáößá êáé áíáðôýîôå ôï èÝìá áíáëõôéêÜ. ÄÉÁÊÑÏÔÇÌÁ ÓÔÏÍ ÐÁËÌÏÃÑÁÖÏ Ðñáãìáôïðïéåßóôå ôï êýêëùìá ôïõ ó÷Þìáôïò, ñõèìßæïíôáò ôéò ãåííÞôñéåò áêïõóôéêþí óõ÷íïôÞôùí þóôå íá äßíïõí áñìïíéêü óÞìá áêïõóôéêÞò óõ÷íüôçôáò ð.÷. 80 Hz. Ôï ýøïò ôïõ óÞìáôïò ìðïñåß íá åðéëåãåß ðåñßðïõ 500 mV. Ôá äýï óÞìáôá ñõèìßæïíôáé, þóôå íá åßíáé ßóá êáé åöáñìüæïíôáé óôéò äýï åéóüäïõò ôïõ ðáëìïãñÜöïõ êáé ðñïóôßèåíôáé. ÌåôáâÜëëïõìå áñãÜ ôç óõ÷íüôçôá ôçò ìéáò ãåííÞôñéáò áêïõóôþí óõ÷íïôÞôùí þóôå íá äïýìå ôï äéáêñüôçìá óôçí ïèüíç ôïõ ðáëìïãñÜöïõ. Ìðïñïýìå íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ìüíï ìéá åßóïäï ðáëìïãñÜöïõ áí ðáñåìâÜëïõìå äýï áíôéóôÜôåò ôùí 1000 Ù ìåôáîý åéóüäïõ êáé óÞìáôïò ôçò êÜèå ãåííÞôñéáò. Ó’ áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç ìðïñïýìå íá áêïýóïõìå ìå åíéó÷õôÞ êáé ìåãÜöùíï ôï “äéáêñüôçìá”, áí óõíäÝóïõìå ôçí åßóïäï ôïõ åíéó÷õôÞ ìå ôçí åßóïäï ôïõ ðáëìïãñÜöïõ. ÓÔÁÓÉÌÁ ÊÕÌÁÔÁ ÓÅ ×ÏÑÄÇ. ÖôéÜîôå ôç äéÜôáîç ôïõ ó÷Þìáôïò. ÈÝóôå óå ëåéôïõñãßá ôï çëåêôñéêü êïõäïýíé, ïðüôå äçìéïõñãïýíôáé óôÜóéìá êýìáôá óôç ÷ïñäÞ. ÌåôñÞóôå ôçí áðüóôáóç d ìåôáîý äýï äåóìþí. Éó÷ýåé ë f F ì = 1 drasthriothtesÄ Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Å Ó
- 98. åêáôïóôþí êáé ëéãüôåñï(“ìéêñÜ êýìáôá”). 82 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ üðïõ F ôï âÜñïò ôùí âáñéäéþí ðïõ êñåìÜóáôå. Åðáëçèåýóôå ðåéñáìáôéêÜ ôçí ôåëåõôáßá ó÷Ýóç áëëÜæïíôáò ôá âÜñç. Ôï ðåßñáìá ðñÝðåé íá ãßíåôáé, Ýôóé þóôå ç óõ÷íüôçôá ôïõ êïõäïõíéïý íá åßíáé ßäéá, üôáí êñåìÜôå ðñüóèåôá âáñßäéá. ÐÅÑÉÈËÁÓÇ ÊÁÉ ÓÕÌÂÏËÇ ÕÄÁÔÉÍÙÍ ÊÕÌÁÔÙÍ Ì’ Ýíá åìðüäéï ÷ùñßæïõìå ëåêÜíç ìå íåñü óôá äýï, üðùò öáßíåôáé óôá ó÷Þìáôá. Ìå ôçí ðñþôç äéÜôáîç ðïõ ôï îýëï Ý÷åé Ýíá Üíïéãìá ðåñßðïõ 1 cm êáé ôï íåñü Ý÷åé âÜèïò ðåñßðïõ 1 cm, äçìéïõñãïýìå êýìáôá óôï áñéóôåñü ìÝñïò. Óôï äåýôåñï ìÝñïò ðáñáôçñïýìå ôï öáéíüìåíï ôçò ðåñßèëáóçò. Áí Ý÷ïõìå áíïßîåé äýï ïðÝò, ðáñáôçñïýìå óôï äåýôåñï ìÝñïò öáéíüìåíá óõìâïëÞò. Öùôßóôå ôçí ëåêÜíç áðü ðÜíù ãéá ðéï åõêñéíÞ áðïôåëÝóìáôá. ÐÅÑÉÈËÁÓÇ ÔÏÕ ÖÙÔÏÓ ¸íáò áðëüò ôñüðïò ãéá íá ðáñáôçñÞóåôå ðåñßèëáóç ôïõ öùôüò, åßíáé íá ðáñåìâÜëåôå ìåôáîý ìéáò ëÜìðáò êáé ôïõ ìáôéïý óáò ôá äÜêôõëÜ óáò. Áõîïìåéþíïíôáò ôçí áðüóôáóç ìåôáîý ôùí ó÷åäüí åíùìÝíùí äáêôýëùí ðáñáôÞóôå ôï öáéíüìåíï ôçò ðåñßèëáóçò. ÏÐÔÉÊÅÓ ÉÍÅÓ ÁíáôñÝîôå óôçí âéâëéïãñáößá êáé áíáðôýîôå ôï èÝìá åêôåíþò. ÕÐÏËÏÃÉÓÌÏÓ ÔÏÕ ÌÇÊÏÕÓ ÊÕÌÁÔÏÓ ÔÏÕ ÖÙÔÏÓ Óå ëåêÜíç ìå íåñü, üðïõ óôïí ðõèìÝíá ôïðïèåôÞóáôå ìáýñï ðáíß, ñßîôå ìéá óôáãüíá áðü “åëáöñý” ëÜäé, ð.÷. ëÜäé áõôïêéíÞôïõ. Èá ðáñáôçñÞóåôå üôé êáèþò ôï ëÜäé áðëþíåôå óå ìåãÜëç Ýêôáóç, ôï öùò ðïõ ðÝöôåé óôçí åðéöÜíåéá ôïõ íåñïý êáé ôï ïðïßï ðñïÝñ÷åôáé áðü Ýíáí ëáìðôÞñá ðõñáêôþóåùò, äßíåé öáéíüìåíá óõìâïëÞò ðïõ ïöåßëïíôáé óôçí áíáêëþìåíç áêôßíá óôçí Üíù åðéöÜíåéá ôïõ ëáäéïý êáé ó’ áõôÞ óôçí åðéöÜíåéá ìåôáîý ëáäéïý êáé íåñïý. ÁíÜëïãá ìå ôï ðÜ÷ïò ôïõ óôñþìáôïò Üëëá ìÞêç êýìáôïò óõìâÜëëïõí åíéó÷õôéêÜ êáé Üëëá êáôáóôñåðôéêÜ. ¼ôáí ôï ðÜ÷ïò ôïõ óôñþìáôïò ãßíåé ìéêñüôåñï ôïõ ë/8, üðïõ ë ôï ìÝóï ìÞêïò êýìáôïò ôïõ öùôüò, äåí ðáñáôçñïýíôáé áõôÜ ôá öáéíüìåíá êáé áðëþò âëÝðïõìå ôïí ðõèìÝíá. Õðïëïãßóôå ÷ïíôñéêÜ ôï ìÞêïò êýìáôïò ôïõ öùôüò áðü ôï ðÜ÷ïò d ôïõ óôñþìáôïò. Ôï ðÜ÷ïò d èá ôï õðïëïãßóåôå ùò åîÞò: áðü Ýíá ìåãÜëï ðëÞèïò óôáãüíùí, ð.÷. 100, õðïëïãßæïíôáò ôïí óõíïëéêü ôïõò üãêï âñßóêåôå ôïí üãêï ôçò ìéáò êáé áðü ôï åìâáäüí ôçò Ýêôáóçò ðïõ êáôÝëáâå ôï ëÜäé, âñßóêåôå ôï ðÜ÷ïò ôïõ óôñþìáôïò ëáäéïý. ÕÐÏËÏÃÉÓÌÏÓ ÔÇÓ ÔÁ×ÕÔÇÔÁÓ ÔÏÕ Ç×ÏÕ ÌÅ ÔÏ ÑÏËÏ ÊÏÕÆÉÍÁÓ ÐÜñôå ôïõò ÷Üñôéíïõò óùëÞíåò áðü äýï ñïëëÜ êïõæßíáò. Êüøôå ôïí Ýíá êáôÜ ìÞêïò êáé áöáéñÝóôå ìéá ìéêñÞ ëùñßäá. ÎáíáêïëÞóôå ôï ìå ìéá ìïíùôéêÞ ôáéíßá, þóôå íá ìéêñýíåé ç äéáôïìÞ ôïõ. ÈÝóôå ôïí Ýíá óùëÞíá ìÝóá óôïí Üëëï, þóôå íá ðñïêýøåé Ýíá ôñïìðüíé. Áêïýóôå êÜ- ìðïóåò öïñÝò ôïí Þ÷ï åíüò äéáðáóþí 523,3 Hz Þ êïíôÜ ó’ áõôÞ ôçí óõ÷íüôçôá (ãéáôß;). Êá- ôüðéí áõîïìåéþóôå ôï ìÞêïò ôïõ ôñïìðïíéïý êáé ÷ôõðþíôáò ôï åëáöñÜ óôï êåöÜëé óáò, ðñïóðáèåßóôå íá ðåôý÷åôå ôï ýøïò ôïõ Þ÷ïõ ôïõ äéáðáóþí. ÌåôñÞóôå ôüôå ôï ìÞêïò ôïõ óùëÞíá, L0, êáé ðñïóèÝóôå ôá 0,6 ôçò äéáìÝôñïõ ôçò äéáôïìÞò. Ôï ìÝãåèïò L = L0 + 0,6 × D åßíáé ôï ìÞêïò éäáíéêïý (÷ùñßò öáéíüìåíá Üêñùí) óùëÞíá ðïõ äßíåé áõôÞ ôçí óõ÷íüôçôá. Ió÷ýåé Þ õ = 2f (L0 + 0,6× D) üðïõ õ ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ. Áðü ôçí áíôßóôïé÷ç ó÷Ýóç èåìåëéþäïõò óõ÷íüôçôáò êáé ìÞêïõò áíïé÷ôïý êáé óôá äýï Üêñá, õðïëïãåßóôå ôçí ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôïõ Þ÷ïõ. L ë õ f = = 2 2
- 99. 1 ÐïéÜ êýìáôá ëÝãïíôáéáñìïíéêÜ; 2 ÐïéÜ áðü ôá ðáñáêÜôù êýìáôá åßíáé áñìïíéêÜ; (á) y (x, t) = 5 cos (3x − 5t) (â) y (x, t) = 2 sin2 (2t − x) (ã) y (x, t) = 3 sin (10t − 0,1x) + 2cos (10t = 0,10x) (ä) y (x, t) = 6e- sin (2 t − x) (å) y (x, t) = 8-3 x sin (5x − 3t) 3 Ðñïò ðïéÜ êáôåýèõíóç äéáäßäïíôáé ôá ðáñáêÜôù êýìáôá. (á) y (x, t) = 6 cos (5t − 3x) (â) y (x, t) = 7 sin (−6x − 10t) (ã) y (x, t) = 12sin (2x − 5t) (ä) y (x, t) = 6cos (3x + 2t) + 7sin (−3x − 2t) 4 Áíôéóôïé÷ßóôå ôçí äéáôáñá÷Þ ìå ôçí ôá÷ýôçôá ãéá ôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò êõìÜôùí i) 6sin (3t − 2x) (á) 2,00 m/s ii) 7cos (4x + 5t) (â) 1,25 m/s iii) 6 cos (−5x + 6t) (ã) 1,50 m/s iv) 2sin(−3x − 6t) (ä) 1,20 m/s 5 Ôß ëÝãåôáé ìÝôùðï êýìáôïò; Ôé ëÝãåôáé áêôßíá êýìáôïò; 6 Óå Ýíá óçìåßï ôïõ ÷þñïõ ðáñÜãïíôáé áñìïíéêÜ ìç÷áíéêÜ êýìáôá ôá ïðïßá äéáäßäïíôáé ïìïéüìïñöá ÷ùñßò áðþëåéåò ðñïò üëåò ôéò êáôåõèýíóåéò. ×áñáêôçñßóôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ùò óùóôÝò Þ ëÜèïò. (á) Ç åíÝñãåéá ðïõ ñÝåé áíÜ ìïíÜäá ÷ñüíïõ áðü åðéöÜíåéåò ïìüêåíôñùí óöáéñþí ìå êÝíôñï ôçí ðçãÞ ìåéþíåôáé êáèþò áõîÜíåôáé ç áêôßíá ôùí óöáéñþí. (â) Óå ìåãÜëç áðüóôáóç áðü ôçí ðçãÞ ôá êýìáôá ãßíïíôáé åðßðåäá äéüôé üëåò ïé áêôßíåò åßíáé ó÷åäüí ðáñÜëëçëåò. (ã) Ôï ðëÜôïò ôïõ êýìáôïò ìåéþíåôáé êáèþò áðïìáêñõíüìáóôå áðü ôçí ðçãÞ äéüôé ìåéþíåôáé ç åíÝñãåéá ðïõ äéÝñ÷åôáé áíÜ ìïíÜäá åðéöáíåßáò. (ä) ¼ëá ôá óùìÜôéá ôçò åðéöÜíåéáò ìéáò óöáßñáòìå êÝíôñï ôçí ðçãÞ, Ý÷ïõí êÜèå óôéãìÞ ßäéåò áðïìáêñýíóåéò. 7 Ïñßæïíôáò ùò Ýíôáóç ôïõ êýìáôïò É, ôçí éó÷ý ðïõ ðåñíÜåé áíÜ ìïíÜäá åðéöáíåßáò êÜèåôç óôçí êáôåýèõíóç äéÜäïóçò ôïõ êýìáôïò, áðïäåßîôå üôé ïé åíôÜóåéò É1 êáé É2 ïìïéüìïñöïõ óöáéñéêïý êýìáôïò óôéò áðïóôÜóåéò r1 êáé r2 áíôßóôïé÷á áðü ôçí ðçãÞ, óõíäÝïíôáé ìå ôç ó÷Ýóç: 8 ¼ôáí ìéá ìïíï÷ñùìáôéêÞ áêôßíá öùôïò åéóÝñ÷åôáé áðü Ýíá ïðôéêÜ ðõêíüôåñï ìÝóï óå Ýíá áñáéüôåñï, ðïéÝò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðïóüôçôåò ìÝíïõí óôáèåñÝò; (á) Ôï ðëÜôïò ôïõ êýìáôïò (â) Ç óõ÷íüôçôá ôïõ êýìáôïò (ã) Ôï ìÞêïò ôïõ êýìáôïò (ä) Ç ôá÷ýôçôá ôïõ êýìáôïò (å) Ç êõêëéêÞ óõ÷íüôçôá 9 Óôï ó÷Þìá âëÝðïõìå äéáäï÷éêÜ óôéãìéüôõðá åíüò ðáëìïý ðïõ äéáäßäåôáé ðÜíù óå ÷ïñäÞ áñ÷éêÜ ðñïò ôá äåîéÜ. Åîçãåßóôå ãéáôß: (á) Ç ãñáììéêÞ ðõêíüôçôá ì1 åßíáé ìåãáëýôåñç ôçò ãñáììéêÞò ðõêíüôçôáò ì2. (â) Ï áíáêëþìåíïò ðáëìüò åßíáé ìéêñüôåñïò ôïõ ðñïóðßðôïíôïò. (ã) Ï áíáêëþìåíïò ðáëìüò êéíåßôáé ìå ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá ìå áõôÞ ôïõ ðñïóðßðôïíôïò. (ä) Ï äéáèëþìåíïò ðáëìüò åßíáé ðéï ðåðëáôõóìÝíïò áðü ôïí ðñïóðßðôïíôá. 10 Ç ó÷Ýóç ôïõ åýñïõò d2 ôïõ äéáèëþìåíïõ êáé d1 ôïõ ðñïóðßðôïíôïò ðáëìïý óå ìéá ÷ïñäÞ ìå I I r r 1 2 2 2 1 2 = KYMATA 83 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ
- 100. áóõíÝ÷åéá, åßíáé d2= 2d1. ÐïéÜ åßíáé ç ó÷Ýóç ðïõ óõíäÝåé ôéò ãñáììéêÝò ðõêíüôçôåò ôùí äýï ôìçìÜôùí ôçò ÷ïñäÞò; (á) ì1 = 2ì2 , (â) (ã) ì1 = 4ì2 (ä) 11 Ôá ó÷Þìáôá åßíáé óôéãìéüôõðá äýï äéáöïñåôéêþí öáéíïìÝíùí áíÜêëáóçò êáé äéÜèëáóçò óå áóõíÝ÷åéá ÷ïñäÞò. Ïìáäïðïéåßóôå ôéò öùôïãñáößåò êáé ôïðïèåôÞóôå áõôÝò óôç óùóôÞ ÷ñïíéêÞ óåéñÜ. 12 Ôï åýñïò ôïõ áíáêëþìåíïõ ðáëìïý óå ó÷Ýóç ìå áõôü ôïõ ðñïóðßðôïíôïò óå ìéá ÷ïñäÞ ìå áóõíÝ÷åéá åßíáé: (á) ßóï (â) ìéêñüôåñï (ã) ìåãáëýôåñï (ä) åîáñôÜôáé áðü ôéò áñ÷éêÝò óõíèÞêåò. 13 Äéáôõðþóôå ôçí áñ÷Þ ôïõ Huygens. 14 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç: “ÊáôÜ ôç äéÜäïóç ôïõ êýìáôïò ôá ìÝôùðá êýìáôïò åßíáé (á) ...... ìåôáîý ôïõò åðéöÜíåéåò, (â) ...... óôéò áêôßíåò ôïõ êýìáôïò. Óôï åðßðåäï êýìá ïé áêôßíåò åßíáé ìåôáîý ôïõò (ã) . . . . . . êáé ïé éóïöáóéêÝò åðéöÜíåéåò (ä) ...... åðßðåäá”. 15 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç: “¼ôáí Ýíá êýìá äéáäßäåé óå Ýíá ìÝóï êáé óõíáíôÜåé (á) ...... äéá÷ùñßæåôáé óå äýï êýìáôá, ôï Ýíá åßíáé ôï (â) ...... êáé äéáäßäåôáé óôï ßäéï ìÝóï, êáé ôï Üëëï ôï (ã) ...... êáé äéáäßäåôáé óôï Üëëï ìÝóï”. 16 Äéáôõðþóôå ôïõò íüìïõò ôçò áíÜêëáóçò êáé ôçò äéÜèëáóçò åðéðÝäïõ êýìáôïò. 17 Áðïäåßîôå ìå ôç âïÞèåéá ôçò áñ÷Þò ôïõ Huygens ôïí íüìï ôçò äéÜèëáóçò åðéðÝäïõ êýìáôïò. 18 Áðïäåßîôå ìå óõëëïãéóìïýò óõììåôñßáò üôé ç áíáêëþìåíç äéáèëþìåíç êáé ðñïóðßðôïõóá áêôßíá âñßóêïíôáé üëåò óôï ßäéï åðßðåäï. 19 Äýï ðáñÜëëçëåò ìïíï÷ñùìáôéêÝò áêôßíåò á êáé â ðåñíÜíå ìÝóá áðü ãõÜëéíï ðñßóìá üðùò óôï ó÷Þìá. Áí ç åêôñïðÞ ôçò (á) åßíáé ìåãáëýôåñç áðü áõôÞ ôçò (â), ðïéÜ áêôßíá Ý÷åé ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá óôï ãõáëß; 20 Óå ðïéÜ ðåñßðôùóç ïé äéáèëþìåíåò áêôßíåò êÜìðôïíôáé ðñïò ôçí êÜèåôï óôç äéá÷ùñéóôéêÞ åðéöÜíåéá; ì ì1 2 1 2 = ì ì1 22= 84 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ
- 101. 21 Ôé åßíáé ôïöáéíüìåíï ïëéêÞò áíÜêëáóçò; ÁíáöÝñåôå êÜðïéá åöáñìïãÞ ôïõ. 22 Ìðïñåß íá ðáñáôçñçèåß ôï öáéíüìåíï ïëéêÞò áíÜêëáóçò êáé óôá äýï ìÝóá ìéáò äéá÷ùñéóôéêÞò åðéöÜíåéáò; 23 Ïé äýï êáèñÝðôåò åßíáé êÜèåôá ôïðïèåôçìÝíïé íá áðïäåé÷èåß üôé ç áíáêëþìåíç áêôßíá áðü ôï óýóôçìá ôùí êáèñåðôþí åßíáé ðáñÜëëçëç óôçí ðñïóðßðôïõóá (ðåñéïñéóôåßôå óôï åðßðåäï ôïõ ó÷Þìáôïò). 24 Íá äå÷èåß üôé, üôáí ìïíï÷ñùìáôéêÞ äÝóìç äéÝëèåé áðü ãõÜëéíç ðëÜêá ìå ðáñÜëëçëåò ðëåõñÝò äåí õößóôáôáé êáììéÜ åêôñïðÞ. 25 Ôï ëåõêü öùò åßíáé óõíäõáóìüò üëùí ôùí óõ÷íïôÞôùí ôïõ ïñáôïý öÜóìáôïò. ¼ôáí ôï ëåõêü öùò ðåñíÜ áðü ôñéãùíéêü ðñßóìá áíáëýåôáé óå ðïëëÜ ÷ñþìáôá (÷ñþìáôá ôçò ßñéäïò), üðùò óôï ó÷Þìá. ×áñáêôçñßóôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ùò óùóôÝò Þ ëÜèïò. (á) Ïé åñõèñÝò áêôßíåò åêôñÝðïíôáé ðåñéóóüôåñï áðü ôéò êõáíÝò. (â) Ïé áêôßíåò ìåãáëýôåñçò óõ÷íüôçôáò Ý÷ïõí ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá óôï ãõáëß. (ã) Áí ìåéþóïõìå ôç äéáèëáóôéêÞ ãùíßá ôïõ ðñßóìáôïò, ðÝñáí ìéáò ôéìÞò, ç óåéñÜ ôùí ÷ñùìÜôùí èá áíáôñáðåß. 26 Ç ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò õäÜôéíùí êõìÜôùí ìéêñïý ìÞêïõò êýìáôïò åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéöáíåéáêÞ ôÜóç ó (äýíáìç áíÜ ìïíÜäá ìÞêïõò), áðü ôçí ðõêíüôçôá ñ ôïõ íåñïý êáé áðü ôï ìÞêïò êýìáôïò. Õðïëïãßóôå ôçí ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò õ ìå ôç âïÞèåéá ôçò äéáóôáôéêÞò áíÜëõóçò (ï áäéÜóôáôïò óõíôåëåóôÞò åßíáé ). 27 Ï ðáëìüò ôïõ ó÷Þìáôïò äéáäßäåôáé ðñïò ôá äåîéÜ êáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 Ý÷åé ôç ìïñöÞ ôïõ ó÷Þìáôïò. ÐïéÜ áðü ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò áíôáðïêñßíåôáé óôçí áðïìÜêñõíóÞ y ôïõ óçìåßïõ x ìå ôï ÷ñüíï; 28 Ãéáôß Ýíáò ÷Üñáêáò üôáí âõèßæåôáé óôï íåñü öáßíåôáé óðáóìÝíïò. (Äåò ó÷Þìá) 2ð KYMATA 85
- 102. 29 Ôï ôñéãùíéêü ðñßóìáôïõ ó÷Þìáôïò Ý÷åé ðëåõñÝò áðü ãõáëß êáé åßíáé ãåìÜôï ìå íåñü. Áí ìéá áêôßíá öùôüò ðÝöôåé êÜèåôá óôçí ðëåõñÜ ÁÂ, ç åëÜ÷éóôç ôéìÞ ãéá ôï sinè, þóôå íá õðïóôåß ïëéêÞ áíÜêëáóç óôçí åðéöÜíåéá Áà ìåôáîý ãõáëéïý êáé áÝñá åßíáé (á) , (â) , (ã) , (ä) , (å) Äßíïíôáé ïé äåßêôåò äéÜèëáóçò êáé ãéá ôï íåñü êáé ôï ãõáëß áíôßóôïé÷á. 30 Óôï ãõÜëéíï ðëáêßäéï ôïõ ó÷Þìáôïò ðÝöôåé áêôßíá ëåõêïý öùôüò. Ó÷åäéÜóôå ðñïóåããéóôéêÜ ôéò áêôßíåò ðïõ èá ðñïêýøïõí áðü ôçí Üëëç ðëåõñÜ ôïõ ðëáêéäßïõ. 31 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç: “Êáèþò ðñïóðáèïýìå íá äçìéïõñãÞóïõìå ëåðôÞ äÝóìç öùôüò ðáñåìâÜëëïíôáò äéáöñÜãìáôá ìå ðïëý ìéêñÝò ïðÝò, ðáñáôçñïýìå üôé ôï öùò (á) ...... áëëÜ áðëþíåôáé óôï ÷þñï ðïõ áíáìÝíåôáé óôç óêéÜ. Ôï öáéíüìåíï ïíïìÜæåôáé (â) ...... êáé ìå âÜóç áõôü ôï öáéíüìåíï áêïýìå êÜðïéïí üôáí äåí Ý÷ïõìå ìå áõôüí (ã) ......” 32 Óå ìéá åõèåßá äéáäßäïíôáé äýï áñìïíéêÜ êýìáôá ßäéïõ ðëÜôïõò êáé ßäéáò óõ÷íüôçôáò. ×áñáêôçñßóôå ùò óùóôÞ Þ ëÜèïò ôçí êÜèåìéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò. (á) Ôï áðïôÝëåóìá ôçò åðáëëçëßáò ôùí äýï êõìÜôùí åßíáé ðÜíôá óôÜóéìï êýìá. (â) Ôï áðïôÝëåóìá ôçò åðáëëçëßáò åßíáé êýìá üôáí ôá êýìáôá äéáäßäïíôáé ðñïò ôçí ßäéá êáôåýèõíóç. (ã) Ôï áðïôÝëåóìá ôçò åðáëëçëßáò ôùí äýï êõìÜôùí åßíáé óôÜóéìï êýìá üôáí áõôÜ äéáäßäïíôáé ðñïò áíôßèåôåò êáôåõèýíóåéò. (ä) Ôï áðïôÝëåóìá ôçò åðáëëçëßáò èá åßíáé Þ êýìá Þ óôÜóéìï êýìá áíÜëïãá ìå ôç äéáöïñÜ öÜóçò ôùí äýï êõìÜôùí. 33 Äýï ôåôñáãùíéêïß ðáëìïß ïäåýïõí óå áíôßèåôåò êáôåõèýíóåéò êáé åßíáé üìïéïé ìå áíôßèåôç öïñÜ áðïìáêñýíóåùí. Ç ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá êéíïýíôáé åßíáé 1 cm/s. Íá ó÷åäéÜóåôå êáôÜ ðñïóÝããéóç ôçí åéêüíá ðïõ èá âëÝðïõìå ìåôÜ áðü ÷ñüíï (á) 2 s (â) 2,5 s (ã) 3 s (ä) 3,5 s (å) 4,5 s Ôï åýñïò ôïõò åßíáé 2 cm êáé áñ÷éêÜ ôá êÝíôñá ôïõò áðåß÷áí 4 cm. 34 Ìéá ÷ïñäÞ, ìÞêïõò L, ãñáììéêÞò ðõêíüôçôáò ì åßíáé óôåñåùìÝíç óôá äýï Üêñá ôçò êáé ôåßíåôáé ìå äýíáìç F. Ç ÷ïñäÞ äéåãåßñåôáé ïðüôå ðáñÜãïíôáé ó’ áõôÞ óôÜóéìá êýìáôá. ÐïéÝò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò êáé ðïéÝò ëÜèïò. (á) Ç ÷ïñäÞ åêôåëåß óõíÞèùò ìéá óýíèåôç êßíçóç áðü ðïëëÝò áñìïíéêÝò ìå óõ÷íüôçôåò ðïëëáðëÜóéåò ôçò èåìåëéþäïõò (â) Ç ÷ïñäÞ ðÜëëåôáé ðÜíôá ìå ìéá óõ÷íüôçôá ðïëëáðëÜóéá ôçò áñìïíéêÞò. (ã) ÊáôÜ ôçí êßíçóç ôçò ÷ïñäÞò, äåí óõìâáßíåé ñïÞ åíÝñãåéáò áðü Ýíá ôìÞìá ôçò óôï ãåéôïíéêü ôïõ. 1 2L F ì 3 2 4 3 16 27 8 9 3 4 2 3 1 2 86 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ
- 103. (ä) ¸÷ïõìå ñïÞåíÝñãåéáò áðü Ýíá ôìÞìá ôçò ÷ïñäÞò óôï ãåéôïíéêü ôçò áëëÜ óõìâáßíåé êáé ôï áíôßèåôï ïðüôå ôï åíåñãåéáêü éóïæýãéï åßíáé ìçäÝí. 35 ¼ôáí ôåíôþíïõìå ðåñéóóüôåñï, êïõñäßæïíôáò, ôç ÷ïñäÞ ìéáò êéèÜñáò ç óõ÷íüôçôÜ ôçò áõîÜíåé, åîçãåßóôå ãéáôß óõìâáßíåé áõôü. 36 Áðü ôçí ïñïöÞ åíüò êôéñßïõ åßíáé êñåìáóìÝíï Ýíá ó÷ïéíß. Äçìéïõñãïýìå Ýíá ðáëìü óôï êÜôù Üêñï êáé êáèþò äéáäßäåôáé ðñïò ôá åðÜíù ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ áõîÜíåôáé. Åîçãåßóôå ãéáôß óõìâáßíåé áõôü; 37 ÐïéÜ ÷ïñäÞ ôçò êéèÜñáò ðÜëëåôáé ìå ìåãáëýôåñç óõ÷íüôçôá ç ðñþôç áðü åðÜíù Þ ç ôåëåõôáßá êáé ãéáôß; (ÕðïèÝóôå üôé áðïôåëïýíôáé áðü ôï ßäéï õëéêü, Ý÷ïõí ôçí ßäéá ìç÷áíéêÞ ôÜóç êáé ç êÜôù åßíáé ìéêñüôåñçò äéáôïìÞò). 38 ÐïéÝò óõ÷íüôçôåò ðáñÜãïõí, ï áíïéêôüò êáé óôá äýï Üêñá êáé ï êëåéóôüò óôï Ýíá Üêñï óùëÞíáò ßäéïõ ìÞêïõò; 39 ÈÝëïõìå íá óõíôïíßóïõìå ôç èåìåëéþäç óõ÷íüôçôá åíüò ìðïõêáëéïý ìå Ýíá äéáðáóþí, ðùò ìðïñïýìå íá ìåôáâÜëëïõìå ôç èåìåëéþäç óõ÷íüôçôá ôïõ ìðïõêáëéïý þóôå íá ôá êáôáöÝñïõìå; 40 Áí ìéá ÷ïñäÞ ôåíôùèåß êáé áõîçèåß ôï ìÞêïò ôçò óå ó÷Ýóç ìå ôï öõóéêü ôçò ìÞêïò êáôÜ á % ôçí ìéá öïñÜ êáé êáôÜ â % ôçí Üëëç, äåßîôå üôé ïé èåìåëéþäåéò óõ÷íüôçôåò ôùí óôáóßìùí êõìÜôùí ðïõ ðáñÜãïíôáé óå êÜèå ðåñßðôùóç éêáíïðïéïýí ôç ó÷Ýóç: ÕðïèÝóôå üôé ôá á êáé â åßíáé ó÷åôéêÜ ìéêñÜ þóôå ãéá ôïí åöåëêõóìü íá éó÷ýåé ï íüìïò ôïõ Hooke. 41 Íá áíôéóôïé÷ßóåôå ôéò èåìåëéþäåéò óõ÷íüôçôåò ðïõ ðáñÜãïíôáé ìå ôá áíôßóôïé÷á áíôéêåßìåíá ðïõ ôéò ðáñÜãïõí: 1) (á) ÓùëÞíáò ìå Ýíá áíïé÷ôü Üêñï 2) (â) ×ïñäÞ 3) (ã) ÓùëÞíáò ìå äýï áíïé÷ôÜ Üêñá 42 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç: “Ãéá íá åßíáé óôáôéêÞ ç óõìâïëÞ äýï ðçãþí, ðñÝðåé ïé ðçãÝò íá åßíáé (á) . . . . . . äçë. íá Ý÷ïõí ïé äéáôáñá÷Ýò ôïõò (â) ..... óå ïðïéïäÞðïôå óçìåßï ôïõ ÷þñïõ”. 43 Ôá áðïôåëÝóìáôá óõìâïëÞò ôïõ ðåéñÜìáôïò ôïõ Young ãéá ôçí êõáíÞ êáé åñõèñÞ áêôéíïâïëßá åßíáé áõôÞ ôïõ ó÷Þìáôïò. Ìðïñåßôå íá åîçãåßóåôå ôç äéáöïñÜ ôïõò; 44 Ìðïñåß ôï ðåßñáìá ôïõ Young íá ðáñïõóéÜóåé ôá öáéíüìåíá óõìâïëÞò üôáí ðñïóðÝóåé óôéò äýï ïðÝò çëéáêÞ áêôéíïâïëßá êáé ü÷é ìïíï÷ñùìáôéêÞ; Ôé áðïôÝëåóìá áíáìÝíåôáé; 45 ÊáôÜ ôçí åðáíÜëçøç ôïõ ðåéñÜìáôïò ôïõ Young ãéá äýï ìïíï÷ñùìáôéêÝò áêôéíïâïëßåò (á) êáé (â) ôá áðïôåëÝóìáôá Þôáí áõôÜ ôïõ ó÷Þìáôïò. Áí ç óõ÷íüôçôá ôçò (á) áêôéíïâïëßáò åßíáé 6×1014 Hz ç óõ÷íüôçôá ôçò (â) åßíáé: õ L4 õ L2 1 2L F ì f f 1 2 100 100 = + + â á á â b g b g KYMATA 87
- 104. 1 Ç “äéáôáñá÷Þ” êýìáôïòäßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç: Íá âñåßôå: (á) Ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ êýìáôïò (â) ôçí ìÝãéóôç ôá÷ýôçôá ìåôáâïëÞò ôïõ y (ã) ôçí êáôåýèõíóç ðñïò ôçí ïðïßá äéáäßäåôáé ôï êýìá (ÁðïôåëÝóìáôá ìå äýï óçìáíôéêÜ øçößá). 2 Ôá üñéá ôùí áêïõóôéêþí óõ÷íïôÞôùí åßíáé 16 Çz ùò 20 000 Çz, íá âñåßôå ôá áíôßóôïé÷á ìÞêç êýìáôïò, ãéá ôïí áÝñá êáé ôï íåñü. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôï íåñü êáé ôïí áÝñá åßíáé áíôßóôïé÷á 1450 m/s êáé 340 m/s ðåñßðïõ. 3 Ç åîßóùóç åíüò êýìáôïò åßíáé Íá âñåßôå: (á) ôï ðëÜôïò (â) ôï ìÞêïò êýìáôïò (ã) ôç óõ÷íüôçôá (ä) ôçí ôá÷ýôçôá êáé ôçí êáôåýèõíóç äéÜäïóçò ôïõ êýìáôïò (Ìå äýï óçìáíôéêÜ øçößá). y x t x y t= −10 100sin ð óå cm êáé óå sb g b g, y t x x y t= −10 3 0 1sin ð óå cm êáé óå s, ,b g b g i) 7,5 × 1014 Hz ii) 5,5 × 1014 Hz iii) 5 × 1014 Hz 46 Áíôéóôïé÷ßóôå ôá öáéíüìåíá ìå ôéò åöáñìïãÝò ôïõò: (á) ÏëéêÞ áíÜêëáóç 1) ÌÝôñçóç ìÞêïõò êýìáôïò (â) Ðåñßèëáóç 2) Ìç åõèýãñáììç äéÜäïóç ôïõ öùôüò (ã) ÓõìâïëÞ 3) ÏðôéêÝò ßíåò 47 Ôß åßíáé ôï ðáëëüìåíï äßðïëï; 48 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç: “Ôá êýìáôá ðïõ åêðÝìðïíôáé áðü Ýíá ðïëý ìéêñü äßðïëï, åßíáé óöáéñéêÜ êáé óå ìåãÜëåò áðïóôÜóåéò åßíáé ó÷åäüí (á) ...... Ôï çëåêôñéêü êáé (â) ...... ðåäßï åßíáé ìåôáîý ôïõò êÜèåôá êáé (ã) ...... óôç äéåýèõíóç äéÜäïóçò ôïõ êýìáôïò. Äéáäßäïíôáé êáé áõôïóõíôçñïýíôáé (ä) ...... ôïõ äéðüëïõ”. 49 Ôß ïíïìÜæåôáé áêôéíïâïëßá. 50 Ãéáôß ôï öÜóìá ôùí áêôßíùí × Ý÷åé êáé óõíå÷Þ óõíéóôþóá; 51 Áí ôï ðáëëüìåíï äßðïëï óôáìáôÞóåé íá ôñïöïäïôåßôáé áðü ôçí ðçãÞ õøßóõ÷íïõ ñåýìáôïò, ðïéÜ áðü ôá ðáñáêÜôù èá óõìâïýí; (á) Èá ðÜøïõí íá õðÜñ÷ïõí êýìáôá óå üëï ôï ÷þñï åðåéäÞ äåí Ý÷ïõìå ïýôå öïñôßá ïýôå ñåýìáôá, Üñá äåí õðÜñ÷åé ïýôå çëåêôñéêü ïýôå ìáãíçôéêü ðåäßï. (â) Ôá çêåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá ðïõ ðáñÞ÷èçóáí ìÝ÷ñé ôçí óôéãìÞ ðïõ ëåéôïõñãïýóå ôï äßðïëï èá áðïìáêñýíïíôáé áðü áõôü ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò êáé èá áõôïóõíôçñïýíôáé. (ã) Ôá êýìáôá ðïõ ðáñÞ÷èçóáí èá õðÜñ÷ïõí óå üëï ôï ÷þñï äéüôé ìå âÜóç ôçí áñ÷Þ ôïõ Huygens ôá óçìåßá ðïõ Þäç âñßóêåôáé ôï êýìá èá ãßíïõí íÝåò ðçãÝò çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí (ðñïò üëåò ôéò êáôåõèýíóåéò). 52 Ôï ðïóïóôü ôçò éó÷ýïò ðïõ ëáìâÜíåé ìéá êåñáßá ëÞøçò ñáäéïöþíïõ (ìáêñéÜ áðü ôçí êåñáßá åêðïìðÞò) áðü ôï óõíïëéêü ðïóü ðïõ ðáñÜãåé ç êåñáßá ôïõ ñáäéïöùíéêïý ðïìðïý åßíáé: (á) ôï 10 %, (â) ôï 50%, (ã) ó÷åäüí 0%; 53 ×ñçóéìïðïéåßôáé õðÝñõèñç áêôéíïâïëßá óôéò ôçëåðéêïéíùíßåò; 54 ¸íáò ðïìðüò åêðÝìðåé: (á) ÅðéëåêôéêÜ êýìáôá åäÜöïõò Þ áôìïóöáéñéêÜ Þ ÷þñïõ, áíÜëïãá ìå ôçí óõ÷íüôçôÜ ôïõ. (â) Êáé ôá ôñßá åßäç ôùí êõìÜôùí áëëÜ ìåôáäéäüìåíá Ý÷ïõí äéáöïñåôéêÞ áðïññüöçóç. (ã) Áðëþò çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá. ×áñáêôçñßóôå ôéò ðéï ðÜíù ðñïôÜóåéò óùóôÝò Þ ëÜèïò. 88 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ ÁÓÊÇÓÅÉÓ - ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ
- 105. KYMATA 89 4 Êáèþò ÝíáòâáñêÜñçò êÜíåé ìéá âÜñêá íá ëéêíßæåôáé, åíþ âñßóêåôáé óå ìéá Þñåìç ëßìíç, ðáñÜãïíôáé ëïößóêïé íåñïý ðïõ äéáäßäïíôáé óå áêôßíá 10 m óå 4,0 s. Áí ï âáñêÜñçò åêôåëåß 10 ôáëáíôþóåéò óå 20 s íá õðïëïãéóèåß ôï ìÞêïò êýìáôïò ôùí åðéöáíåéáêþí êõìÜôùí ðïõ ðáñÜãïíôáé. 5 Ôï äéáäéäüìåíï êýìá êáôÜ ìÞêïò ìéáò ÷ïñäÞò ðåñéãñÜöåôáé ìå ôç ó÷Ýóç (á) Õðïëïãßóôå ôçí ìÝãéóôç åãêÜñóéá ôá÷ýôçôá åíüò óçìåßïõ ôçò ÷ïñäÞò (â) Õðïëïãßóôå ôçí ôá÷ýôçôá óôï óçìåßï x = 5,0 cm, üôáí t = 1,0 s. 6 Ôï áñéóôåñü Üêñï åíüò ïñéæïíôßïõ, ìåãÜëïõ ìÞêïõò ó÷ïéíéïý, ìåôáêéíåßôáé ðÜíù êÜôù ìå åýñïò êßíçóçò 16,0 cm áêñéâþò ôñåéò öïñÝò ôï äåõôåñüëåðôï. Áí ç ãñáììéêÞ ðõêíüôçôá ôïõ ó÷ïéíéïý åßíáé 0,210 kg.m-1 êáé ç ôåßíïõóá äýíáìç Ý÷åé ôéìÞ F = 30,0 N íá âñåßôå: (á) Ôçí ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôùí ðáñáãüìåíùí êõìÜôùí (â) Ôçí åîßóùóç ôïõ êýìáôïò y (x, t) áí èåùñÞóïõìå ùò áñ÷Þ ôùí èÝóåùí ôï óçìåßï ðïõ ðñïêáëåßôáé ç äéáôáñá÷Þ êáé ùò áñ÷Þ ôùí ÷ñüíùí ôçí óôéãìÞ ðïõ Üñ÷éóå ç äéáôáñá÷Þ. 7 ¸íá ÷áëýâäéíï óýñìá Ý÷åé äéÜìåôñï äéáôïìÞò 0,15 mm êáé ôåßíåôáé ìå äýíáìç F = 200 Í. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôçí ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôùí åãêáñóßùí êõìÜôùí êáôÜ ìÞêïò ôïõ óýñìáôïò. Ç ðõêíüôçôá ôïõ ÷Üëõâá åßíáé 7,8 × 103 kg. m-3 . 8 ¸íá ó÷ïéíß êñÝìåôáé áðü ôçí ïñïöÞ. Íá õðïëïãéóèåß ç ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ìéáò åãêÜñóéáò äéáôáñá÷Þò óôï ó÷ïéíß óôç èÝóç ðïõ áðÝ÷åé áðüóôáóç 1,44 m áðü ôï åëåýèåñï êÜôù Üêñï ôïõ. Ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò åßíáé g = 9,80 m/s2 9 ¸íá ÷Üëêéíï óýñìá ìÞêïõò 30 m åíþíåôáé ìå Ýíá ÷áëýâäéíï ìÞêïõò 15 m. Ç äéÜìåôñïò êÜèå óýñìáôïò åßíáé 1,0 mm. Íá õðïëïãßóåôå ôï ÷ñüíï ðïõ ÷ñåéÜæåôáé Ýíáò ðáëìüò íá äéáôñÝîåé ôï óõíïëéêü ìÞêïò ôùí äýï óõñìÜôùí. Ç ðõêíüôçôá ôïõ ÷áëêïý êáé ôïõ ÷Üëõâá åßíáé áíôßóôïé÷á 8,9 × 103 kg. m-3 , 7,8 × 103 kg. m-3 êáé ç ôåßíïõóá äýíáìç 600 N. 10 Ôï ìÞêïò êýìáôïò ôïõ êßôñéíïõ öùôüò íáôñßïõ óôïí áÝñá åßíáé 589nm. á) Ðïéü åßíáé ôï ìÞêïò êýìáôïò óôï ãõáëß (áðïëýôïõ) äåßêôç äéÜèëáóçò 1,50; â) Áí áêôßíá êßôñéíïõ öùôüò íáôñßïõ ðñïóðÝóåé ìå ãùíßá 60ï ùò ðñïò ôçí êÜèåôï, áðü ôïí áÝñá óôï ãõáëß, ðïéÜ åßíáé ç ãùíßá äéÜèëáóçò. Ï áðüëõôïò äåßêôçò äéÜèëáóçò ôïõ áÝñá åßíáé ðåñßðïõ 1,00. 11 ¸íá ãõÜëéíï ðñßóìá ðåñéâÜëëåôáé áðü áÝñá. Óôçí ìéá ðëåõñÜ ôçò äéáèëáóôéêÞò ãùíßáò ôïõ ç ïðïßá åßíáé 60ï , ðñïóðßðôåé áêôßíá ðïõ õößóôáôáé ïñéáêÜ ïëéêÞ áíÜêëáóç óôçí Üëëç ðëåõñÜ. Áí ï äåßêôçò äéáèëÜóåùò ôïõ ãõáëéïý ãéá ôç óõãêåêñéìÝíç áêôéíïâïëßá åßíáé 1,52 êáé ôïõ áÝñá 1,00, íá õðïëïãéóèåß ç ãùíßá ðñüóðôùóçò. 12 Ç äéáèëáóôéêÞ ãùíßá åíüò ãõÜëéíïõ ðñßóìáôïò åßíáé 40ï êáé ï äåßêôçò äéáèëÜóåùò ôïõ 1,58. Íá õðïëïãßóåôå ôç ãùíßá ìå ôçí ïðïßá ðñÝðåé íá ðñïóðÝóåé ç áêôßíá öùôüò óôçí ìéá ðëåõñÜ ôïõ ãéá íá öýãåé óõììåôñéêÜ áðü ôçí Üëëç. Ãéá ôïí áÝñá åßíáé n = 1,00 13 Ìéá áêôßíá öùôüò ìÞêïõò êýìáôïò 560 nm ðñïóðßðôåé áðü ôïí áÝñá óå Ýíá äéáöáíÝò ìÝóï. Ç ãùíßá ðñïóðôþóåùò åßíáé 50,0ï êáé ç ãùíßá äéáèëÜóåùò ìåôñÞèçêå 30,0ï . Íá õðïëïãéóèåß ôï ìÞêïò êýìáôïò ôçò áêôßíáò óôï äéáöáíÝò ìÝóï (náÝñá = 1,00) 14 Óôïí ðõñéôýáëï ï äåßêôçò äéáèëÜóåùò ãéá ôï éþäåò åßíáé 1,660 êáé ãéá ôï åñõèñü öùò åßíáé 1,620. Áí ëåõêü öùò äéÝñ÷åôáé áðü ðñßóìá ãùíßáò 50ï (ëÝãåôáé äéáèëáóôéêÞ ãùíßá) êáé ç ãùíßá ðñüóðôùóçò åßíáé 60ï , íá õðïëïãéóèåß ç ãùíßá äéáóðïñÜò äçëáäÞ, ç ãùíßá ðïõ ó÷çìáôßæåé ç áêôßíá ôïõ éþäïõò ìå áõôÞ ôïõ åñõèñïý ðïõ åîÝñ÷ïíôáé áðü ôï ðñßóìá. 15 ¸íáò êïëõìâçôÞò âñßóêåôáé ìÝóá óôï íåñü êáé âëÝðåé ôïí Þëéï õðü ãùíßá 30ï ùò ðñïò ôçí êáôáêüñõöï. ÄåäïìÝíïõ üôé ï äåßêôçò äéÜèëáóçò y x t x y t= − F HG I KJ10 2sin ð ð 4 óå cm êáé óå sb g b g,
- 106. ôïõ íåñïý åßíáé4/3 (áêñéâþò) íá õðïëïãéóèåß ç ðñáãìáôéêÞ ãùíßá óôçí ïðïßá âñßóêåôáé ï Þëéïò ùò ðñïò ôçí êáôáêüñõöï (ìå ôñßá óçìáíôéêá øçößá) 16 Ìïíï÷ñùìáôéêÞ äÝóìç Ý÷åé ìÞêïò êýìáôïò óôï íåñü 450 nm êáé óôï âåíæüëéï 400 nm. Íá âñåèåß ç ïñéáêÞ ãùíßá ïëéêÞò áíáêëÜóåùò óôçí åðéöÜíåéá âåíæïëßïõ-áÝñá ãéá ôçí ìïíï÷ñùìáôéêÞ äÝóìç. Äßíïíôáé ï äåßêôçò äéáèëÜóåùò ôïõ íåñïý 4/3 (áêñéâþò) êáé ôïõ áÝñá 1 (áêñéâþò). 17 ¼ôáí ôï äï÷åßo ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé Üäåéï âëÝðïõìå ôçí Üêñç ôïõ ðõèìÝíá. Ãåìßæïõìå ôï äï÷åßï ìå õãñü êáé ôüôå âëÝðïõìå ôï ìÝóï ôïõ ðõèìÝíá. Íá õðïëïãéóèåß ï äåßêôçò äéÜèëáóçò ôïõ õãñïý ìå ôï ïðïßï ãåìßóáìå ôï äï÷åßï. Ï äåßêôçò äéÜèëáóçò ôïõ áÝñá åßíáé 1,00. 18 Ïé äýï ðáëìïß ôïõ ó÷Þìáôïò êéíïýíôáé áíôßèåôá óôï ßäéï ìïíïäéÜóôáôï ìÝóï. Ç ôá÷ýôçôá åßíáé õ = 10 m/s. Íá ó÷åäéáóôåß ç óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ ôéò ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò. (á) t = 4,5 s (â) t = 5,0 s (ã) t = 5,5 s (ä) t = 7,0 s 19 Äýï êýìáôá ïäåýïõí óå ìéá ÷ïñäÞ êáé ïé áíôßóôïé÷åò äéáôáñá÷Ýò åßíáé Íá âñåèåß ç óõíéóôáìÝíç äéáôáñá÷Þ óôá óçìåßá (á) x = 1,75 cm, t = 1,50 s (â) x = 8,75 cm, t = 2,25 s. 20 Óå ìéá ÷ïñäÞ ïäåýïõí äýï åãêÜñóéá êýìáôá y1 êáé y2 ìå Íá âñåèåß ç óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ y1 + y2. Åðßóçò íá õðïëïãéóèåß ç ìÝãéóôç åãêÜñóéá ôá÷ýôçôá åíüò óùìáôéäßïõ ôçò ÷ïñäÞò. 21 Äýï åãêÜñóéá áñìïíéêÜ êýìáôá ðåñéãñÜöïíôáé áðü ôéò óõíáñôÞóåéò Íá âñåèåß ç óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ y1 + y2 êáèþò êáé ç ìÝãéóôç åãêÜñóéá ôá÷ýôçôá ôïõ óùìáôßïõ óôç èÝóç x = 1,65 cm. (Ìå ôñßá óçìáíôéêÜ øçößá) 22 Õðïëïãßóôå ôç óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ y1 + y2 áðü ôçí åðáëëçëßá ôùí êõìÜôùí Åßíáé ç äéáôáñá÷Þ óôÜóéìï êýìá; Õðïëïãßóôå åðßóçò ôç ìÝãéóôç ôá÷ýôçôá ðïõ áðïêôÜ ôï óùìÜôéï óôç èÝóç x = 2,5 cm êáèþò ôáëáíôþíåôáé. y t x y t x x y t 1 2 3 2 3 3 2 3 = − = + + F HG I KJ sin ð ð sin ð ð ð 3 óå cm, óå s b g b g, y x t y t x y x t s 1 2 1 5 5 2 1 5 2 5 = − = − F HG I KJ , , ,sin ð ð sin ð ð óå cm óå b g b g y x t y x t y x t s 1 2 2 5 2 5 = − − F HG I KJ = − F HG I KJ F HG I KJ , , , sin ð 10 ð 0,001 ð 3 sin ð 10 ð 0,001 óå cm óå y x t y x t y x t s 1 2 3 3 2 4 = − = + F HG I KJ sin ð cos ð óå cm óå b g b g , 90 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ
- 107. KYMATA 91 23 Äýï áñìïíéêÜêýìáôá äéáäßäïíôáé óå áíôßèåôåò êáôåõèýíóåéò êáé äßíïõí óõíïëéêÞ äéáôáñá÷Þ. Ðñïóäéïñßóôå ôá äýï áñìïíéêÜ êýìáôá êáèþò åðßóçò ôçí ôá÷ýôçôá äéÜäïóÞò êáé ôï ìÞêïò êýìáôïò. (Ìå äýï óçìáíôéêÜ øçößá). 24 ×ïñäÞ ìÞêïõò 0,5 m üôáí ôåßíåôáé ìå äýíáìç 8100 Í äßíåé èåìåëéþäç óõ÷íüôçôá f1. ¢ëëç ÷ïñäÞ áðü ôï ßäéï õëéêü äéðëÜóéáò äéáìÝôñïõ êáé äéðëáóßïõ ìÞêïõò, üôáí ôåßíåôáé ìå äýíáìç 10000 Í ç äåýôåñç áñìïíéêÞ ôçò Ý÷åé óõ÷íüôçôá f2´ = 100 Hz. Íá âñåèåß ç f1. 25 ×ïñäÞ ìÞêïõò 40,0 cm êáé äéáìÝôñïõ 1,00 mm ç èåìåëéþäç óõ÷íüôçôá åßíáé f ≈ 360 Hz ðïõ áíôéóôïé÷åß óôç íüôá ËÁ ôçò äéáôïíéêÞò êëßìáêáò, êëåéäß ôïõ ÓÏË. Íá õðïëïãéóôåß ç ôåßíïõóá äýíáìç áí ç ÷ïñäÞ åßíáé ÷áëýâäéíç, ðõêíüôçôáò ñ = 7,86 × 103 kg.m-3 . 26 ×ïñäÞ ôåßíåôáé áðü äýíáìç F êáé ç èåìåëéþäçò óõ÷íüôçôÜ ôçò åßíáé f. Íá âñåèåß ç èåìåëéþäçò óõ÷íüôçôá ÷ïñäÞò ßäéïõ ìÞêïõò áðü ôï ßäéï õëéêü ç ïðïßá Ý÷åé äéðëÜóéá äéÜìåôñï äéáôïìÞò êáé ôåßíåôáé áðü ìéóÞ äýíáìç áð’ üôé ç ðñïçãïýìåíç. 27 Ç ÷ïñäÞ ìéáò êéèÜñáò Ý÷åé ìÞêïò 0,600 m êáé ôåßíåôáé áðü äýíáìç 60,0 Í. Áí ç ãñáììéêÞ ðõêíüôçôá ôçò ÷ïñäÞò åßíáé 0,0100 kg. m-1 íá âñåßôå ôéò áñìïíéêÝò ôçò ðïõ ìðïñåß íá áêïýóåé ï Üíèñùðïò. Äßíåôáé üôé ï Üíèñùðïò áíôéëáìâÜíåôáé óõ÷íüôçôåò áðü 16 Hz Ýùò 20000 Hz. 28 ×Üëêéíï óýñìá Ý÷åé ìÞêïò 1,00 m êáé êõêëéêÞ äéáôïìÞ áêôßíáò 0,800 mm. Áí ôï óýñìá ôåßíåôáé áðü äýíáìç F = 800 N, íá âñåèïýí: (á) Ïé äýï ðñþôåò áñìïíéêÝò (â) Ôá áíôßóôïé÷á ìÞêç êýìáôïò (ã) Íá ãñáöïýí ïé ó÷Ýóåéò ãéá ôá óôÜóéìá êýìáôá ôùí äýï ðñþôùí áñìïíéêþí, áí ôá ðëÜôç åßíáé Á1 = 4,00 cm êáé Á2 = 3,00 cm áíôßóôïé÷á. Ç ðõêíüôçôá ôïõ ÷áëêïý åßíáé 8,89 × 103 kgm-3 . 29 Ìßá ÷ïñäÞ ôáëáíôþíåôáé ìå óõ÷íüôçôá 100 Hz êáé âñßóêåôáé óå óõíôïíéóìü ìå Ýíá äéáðáóþí. Íá âñåßôå ôçí óõ÷íüôçôá ôùí äéáêñïôçìÜôùí ðïõ èá ðñïêýøïõí áí ç äýíáìç ðïõ ôåßíåé ôçí ÷ïñäÞ ìåéùèåß êáôÜ 4,00 %. ÕðïèÝóôå üôé ç ÷ïñäÞ êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò ðÜëëåôáé ìå ôç óõ÷íüôçôá ôçò ðñþôçò áñìïíéêÞò. 30 Äéáðáóþí óõ÷íüôçôáò 444 Hz âñßóêåôáé ìðñïóôÜ áðü ôï óôüìéï ôïõ óùëÞíá ôïõ ó÷Þìáôïò. Ç óôÜèìç ôïõ íåñïý ìåôáâÜëëåôáé ìå ôçí ìåôáêßíçóç ôïõ äï÷åßïõ Á. Íá õðïëïãéóèïýí ôá ìÞêç ôùí äýï ðñþôùí óôçëþí áÝñá óôï  ãéá ôá ïðïßá Ý÷ïõìå óõíôïíéóìü. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá íá ëåéöèåß 340 m/s-1 . 31 Ç èåìåëéþäçò óõ÷íüôçôá ç÷çôéêïý óùëÞíá áíïéêôïý êáé óôá äýï Üêñá åßíáé 350 Hz. Íá õðïëïãéóèåß ôï ìÞêïò ôïõ óùëÞíá áí ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ åßíáé 340 m.s-1 . Åðßóçò íá õðïëïãéóèåß ç óõ÷íüôçôá ôùí 3 ðñþôùí áñìïíéêþí áí êüøïõìå ôï óùëÞíá óôç ìÝóç. 32 ¸íáò ç÷çôéêüò óùëÞíáò ìÞêïõò 0,600 m êëåéóôüò óôï Ýíá Üêñï ðïõ ðáñÜãåé áñìïíéêÞ óõ÷íüôçôá 698 Hz. Íá õðïëïãéóèåß ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôçí áÝñéá óôÞëç ôïõ ç÷çôéêïý óùëÞíá êáé íá âñåèåß ç ôÜîç ôçò áñìïíéêÞò. 33 Åíüò ç÷çôéêïý óùëÞíá ìÞêïõò L = 0,50 m áíïéêôïý êáé óôá äýï Üêñá, äýï äéáäï÷éêÝò óõ÷íüôçôåò åßíáé 675 Hz êáé 1010 Hz áíôßóôïé÷á. Íá õðïëïãéóèåß ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôçí áÝñéá óôÞëç ôïõ ç÷çôéêïý óùëÞíá. y x t x y t= 12 0 6 150sin ( , ) cos ( ) óå c m, óå s,b g
- 108. 34 ¸íáò Üíèñùðïò ôñáãïõäÜåéåíþ êÜíåé íôïõæ. Ç íôïõæéÝñá ðåñéêëåßåôáé ìå ðëáóôéêÞ êïõñôßíá êáé éóïäõíáìåß ìå ç÷çôéêü óùëÞíá êëåéóôü êáé óôá äýï Üêñá. Áí ïé äéáóôÜóåéò ôçò íôïõæéÝñáò åßíáé 80 cm × 80 cm êáé ôï ýøïò ôçò êïõñôßíáò 2,10 m, íá âñåßôå ðïéåò óõ÷íüôçôåò èá áêïýãïíôáé ðéï äõíáôÜ, áí ï Üíèñùðïò ôñáãïõäþíôáò ðáñÜãåé óõ÷íüôçôåò áðü 100 Hz Ýùò 2000 Hz. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá åßíáé 340 m/s. 35 Ìéá ïäéêÞ óÞñáããá Ý÷åé ìÞêïò 500 m. Ìå ðïéÝò ç÷çôéêÝò óõ÷íüôçôåò óõíôïíßæåôáé; Ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá íá ëåéöèåß 340 m/s. 36 Äýï ìåãÜöùíá áðÝ÷ïõí ìåôáîý ôïõò áðüóôáóç 3,00 m. AêñïáôÞò âñßóêåôáé óôç ìåóïêÜèåôï ôïõ åõèõãñÜììïõ ôìÞìáôïò ðïõ åíþíåé ôá äýï ìåãÜöùíá êáé óå áðüóôáóç 10,0 m áðü ôï ìÝóï. Ìåôáêéíåßôáé ðáñÜëëçëá ðñïò ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ôùí ìåãáöþíùí êáé áíôéëáìâÜíåôáé ôï ðñþôï åëÜ÷éóôï äéáíýïíôáò áðüóôáóç 0,100 m. Íá âñåèåß ç óõ÷íüôçôá ðïõ åêðÝìðïõí ôá ìåãÜöùíá, áí ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá åßíáé 342 m/s-1 . 37 Äéáðáóþí Ý÷åé óõ÷íüôçôá 256 Hz. Íá âñåèåß ç áðüóôáóç ðïõ ðñÝðåé íá ìåôáêéíçèåß ôï Ýìâïëï þóôå íá “óõëëÜâïõìå” óôï  äýï äéáäï÷éêÜ ìÝãéóôá. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ åßíáé õ = 340 m/s-1 . 38 Óå ðåßñáìá ôïõ Young ÷ñçóéìïðïéåßôáé ìïíï÷ñùìáôéêÞ áêôéíïâïëßá ìÞêïõò êýìáôïò 590 nm. Ïé äýï ïðÝò áðÝ÷ïõí áðüóôáóç 0,30 mm êáé ç áðüóôáóç ìåôáîý äýï äéáäï÷éêþí åëá÷ßóôùí âñÝèçêå Äx = 0,30 cm. Íá õðïëïãéóôåß ç áðüóôáóç ìåôáîý ôùí äýï ðåôáóìÜôùí. 39 Äýï ïðÝò (Þ ó÷éóìÝò) ðïõ âñßóêïíôáé óå áðüóôáóç 0,50 mm, öùôßæïíôáé ìå êüêêéíï öùò, ìÞêïõò êýìáôïò 650 nm. Ôï ðÝôáóìá ãéá ôçí ðáñáôÞñçóç ôùí êñïóóþí óõìâïëÞò ôïðïèåôåßôáé óå áðüóôáóç D = 1,5 m. Ãéá íá ìåôñÞóïõìå ôçí áðüóôáóç ìåôáîý äýï äéáäï÷éêþí öùôåéíþí êñïóóþí êÜíïõìå ôï åîÞò: Ãéá äýï óõììåôñéêÜ ìÝãéóôá áðü ôï êåíôñéêü ìåôñÜìå ôçí áðüóôáóÞ ôïõò êáé êáôüðéí ìåôñÜìå ôï ðëÞèïò ôùí ìåãßóôùí ðïõ ìåóïëáâïýí. Áí óôï ðåßñáìÜ ìáò ïé äýï óõììåôñéêïß êñïóóïß áðÝ÷ïõí ðåñßðïõ 2 cm ðüóïõò åíäéÜìåóïõò öùôåéíïýò êñïóóïõò èá ìåôñÞóïõìå; 40 Óå ðåßñáìá ôïõ Young ÷ñçóéìïðïéåßôáé ùò ìïíï÷ñùìáôéêÞ äÝóìç êõáíï-ðñÜóéíï ëÝéæåñ áñãïý. Ç áðüóôáóç ìåôáîý ôùí ó÷éóìþí åßíáé 0,3000 mm êáé ç ïèüíç óõìâïëÞò âñßóêåôáé óå áðüóôáóç 3,000 m. Áí óå áðüóôáóç 3,584 cm ìåôáîý äýï ìåãßóôùí ìåôñçèçêáí 6 Üëëá ìÝãéóôá, íá õðïëïãéóôåß ôï ìÞêïò êýìáôïò ôïõ öùôüò ôïõ ëÝéæåñ áñãïý 92 TÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ ÊÁÉ ÊÕÌÁÔÁ
- 109. Ì Ç ×Á Í É Ê Ç Ê Å Ö Á Ë Á É Ï 4
- 111. 4.1 ÑÅÕÓÔÁ ÓÅÊÉÍÇÓÇ ÅÉÓÁÃÙÃÇ Ç ìç÷áíéêÞ ôùí ñåõóôþí (ñåõóôïìç÷áíéêÞ) åßíáé êëÜäïò ôçò öõóéêÞò ðïõ áó÷ïëåßôáé ìå ôç óôáôéêÞ, ôçí êéíçìáôéêÞ êáé ôç äõíáìéêÞ ôùí ñåõóôþí. Ç óôáôéêÞ åîåôÜæåé ôá ñåõóôÜ óå çñåìßá, ðéï óõãêåêñéìÝíá áó÷ïëåßôáé ìå ôçí õäñïóôáôéêÞ ðßåóç êáé ôïõò õðïëïãéóìïýò äõíÜìåùí ðïõ áóêïýí ôá áêßíçôá ñåõóôÜ óå äéÜöïñåò åðéöÜíåéåò. Âáóéêüò íüìïò ôçò õäñïóôáôéêÞò åßíáé ï íüìïò Þ áñ÷Þ ôïõ Pascal, óýìöùíá ìå ôçí ïðïßá, "êÜèå ìåôáâïëÞ ôçò ðßåóçò, ðïõ åöáñìüæåôáé óå ñåõóôü, ðïõ âñßóêåôáé óå êëåéóôü ÷þñï (äï÷åßï), ìåôáäßäåôáé áìåôÜâëçôç óå êÜèå óçìåßï ôïõ ñåõóôïý (êáé óôá ôïé÷þìáôá ôïõ äï÷åßïõ)”. Ìéá ìéêñÞ åðéöÜíåéá óå Ýíá óçìåßï ñåõóôïý, äÝ÷åôáé äýíáìç óôáèåñïý ìÝôñïõ, áíåîÜñôçôá áðü ôïí ðñïóáíáôïëéóìü ôçò. Ìéá óçìáíôéêÞ ó÷Ýóç óôç óôáôéêÞ ôùí ñåõóôþí åßíáé ç (4.1) ç ïðïßá ãéá ñåõóôü óôáèåñÞò ðõêíüôçôáò ñ ïäçãåß óôç ó÷Ýóç (4.2) ¼ðïõ p åßíáé ç ðßåóç ôïõ ñåõóôïý óå ýøïò y, p0, ç ðßåóç ôïõ ñåõóôïý óå ýøïò y0 (Ó÷. 4.2) êáé g, ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò. Ç êéíçìáôéêÞ ôùí ñåõóôþí áó÷ïëåßôáé ìå ôçí ðåñéãñáöÞ ôçò êßíçóÞò ôïõ êáé åîåôÜæåé êõñßùò ôá ó÷åôéêÜ ìå ôçí êßíçóç ìåãÝèç, üðùò ôá÷ýôçôá, åðéôÜ÷õíóç êáé ðáñï÷Þ. Ç äõíáìéêÞ ôùí ñåõóôþí ðïõ åßíáé ï óçìáíôéêüôåñïò ôïìÝáò ôçò ñåõóôïìç÷áíéêÞò, åíäéáöÝñåôáé êõñßùò ãéá ôéò ìåôáâïëÝò åíÝñãåéáò êáé ãéá ôéò äõíÜìåéò ðïõ áíáðôýóóïíôáé êáôÜ ôç ñïÞ ôùí ñåõóôþí. ÄÉÁÖÏÑÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ Ïñéóìüò ôïõ ñåõóôïý. Óôï Üêïõóìá ôçò ëÝîçò ñåõóôü Ýñ÷ïíôáé óôï íïõ ìáò ôá õãñÜ êáé ôá áÝñéá. ÐñÜãìáôé, ñåõóôü èåùñåßôáé ìéá ïõóßá ðïõ Ý÷åé ôçí éäéüôçôá (äõíáôüôçôá) íá ñÝåé, éäéüôçôá ðïõ óáöþò Ý÷ïõí ôá õãñÜ êáé ôá áÝñéá. Ôá õãñÜ ñÝïõí êáé ëáìâÜíïõí ôï ó÷Þìá ôïõ äï÷åßïõ, óôï ïðïßï ôïðïèåôïýíôáé, Ý÷ïíôáò óôáèåñü üãêï. Ôá áÝñéá äåí Ý÷ïõí óôáèåñü üãêï êáé êáôáëáìâÜíïõí åî ïëïêëÞñïõ ôïí üãêï ôïõ äï÷åßïõ, óôï ïðïßï âñßóêïíôáé. Óôïé÷åßï ñåõóôïý. ¸íá ìéêñü êïììÜôé ôïõ ñåõóôïý, èá áðïôåëåßôáé áðü ìüñéá, ôá ïðïßá êéíïýíôáé ðñïò üëåò ôéò êáôåõèýíóåéò. Èåùñþíôáò ôï ñåõóôü ùò óõíå÷Ýò ìÝóï, ïñßæïõìå ùò óôïé÷åßï Þ óùìÜôéï ñåõóôïý ìéá óôïé÷åéþäç (ðïëý ìéêñÞ) ðïóüôçôá ôïõ ñåõóôïý (Ó÷. 4.3). Ï üãêïò ôïõ óôïé÷åßïõ ñåõóôïý ãéá áÝñéá Þ õãñÜ óå ðßåóç ðåñßðïõ 1atm åßíáé ÄV0 ≈ 10- 9 mm3 . ÅðïìÝíùò, ç ðõêíüôçôá óå êÜèå óçìåßï ôïõ ñåõóôïý ïñßæåôáé ùò p p g y y= + −0 0ñ b g d d p y g= − ñ ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ 95 Ó×ÇÌÁ 4.2 Ç ðßåóç áõîÜíåôáé ìå ôï âÜèïò. Ó×ÇÌÁ 4.3 Óå êÜèå óôïé÷åßï ôïõ ñåõóôïý õðÜñ÷åé Ýíá óçìåßï ôïõ ñåõóôïý ôï ïðïßï Ý÷åé óõãêåêñéìÝíç ôá÷ýôçôá. Ó×ÇÌÁ 4.1 ÁíåîÜñôçôá ðñïóáíáôïëéóìïý ç äýíáìç óôçí åðéöÜíåéá Á åßíáé ßäéïõ ìÝôñïõ.
- 112. üðïõ ÄV ïüãêïò ðïõ ðåñéêëåßåé ôï óõãêåêñéìÝíï óçìåßï êáé Äm ç ìÜæá ôïõ ñåõóôïý ó' áõôü ôïí üãêï. Óå êÜèå óçìåßï ôïõ ñåõóôïý ïñßæåôáé ìéá ôá÷ýôçôá ðïõ åßíáé ç ìÝóç ôá÷ýôçôá ôùí ìïñßùí ôïõ ñåõóôïý óôï óõãêåêñéìÝíï óçìåßï. Ïé èåñìéêÝò ôá÷ýôçôåò ôùí ìïñßùí åßíáé ðïëý ìåãáëýôåñåò áðü ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ óôïé÷åßïõ ñåõóôïý. ~Ïìùò, åðåéäÞ ôá ìüñéá ôïõ óôïé÷åßïõ ôïõ ñåõóôïý óõãêñïýïíôáé ìåôáîý ôïõò, ðáñáìÝíïõí óå áõôüí ôïí ìéêñü üãêï. ÑåõìáôéêÞ ãñáììÞ Þ ñïúêÞ ãñáììÞ: Ç ôñï÷éÜ åíüò óôïé÷åßïõ ñåõóôïý, êáôÜ ôç ñïÞ ôïõ ñåõóôïý, áðïôåëåß ôç ñåõìáôéêÞ ãñáììÞ. Óå êÜèå óçìåßï ôçò ñåõìáôéêÞò ãñáììÞò ç ôá÷ýôçôá ôïõ óôïé÷åßïõ ñåõóôïý åßíáé åöáðôüìåíç óôç ñåõìáôéêÞ ãñáììÞ (Ó÷. 4.4). Ìéá ñåõìáôéêÞ ãñáììÞ åßíáé ç ðïñåßá ðïõ áêïëïõèåß Ýíá ìéêñü êïììÜôé îýëïõ, üôáí ôï ñßîïõìå ó´ Ýíá õãñü ðïõ ñÝåé. Óå Ýíá ñåõóôü ç ôá÷ýôçôá ôùí óôïé÷åßùí ñåõóôïý åßíáé ìåãáëýôåñç óôá óçìåßá, üðïõ ïé ñåõìáôéêÝò ãñáììÝò åßíáé ðõêíÝò, áð' üôé óôá óçìåßá ðïõ åßíáé áñáéÝò. ÓôñùôÞ Þ ìüíéìç ñïÞ: Ìéá ñïÞ ïíïìÜæåôáé ìüíéìç Þ óôñùôÞ Þ óôáôéêÞ, Þ óôÜóéìç, üôáí ç ðõêíüôçôá êáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ ñåõóôïý ðáñáìÝíïõí óôáèåñÝò ìå ôï ÷ñüíï, óå êÜèå óçìåßï ôïõ ñåõóôïý. ÄçëáäÞ, óå Ýíá óõãêåêñéìÝíï óçìåßï ôïõ ñåõóôïý, êÜèå äéåñ÷üìåíï óôïé÷åßï ñåõóôïý áðü áõôü, Ý÷åé ðÜíôá ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá. Ç ôá÷ýôçôá åíüò óôïé÷åßïõ ñåõóôïý, ìðïñåß íá ìåôáâÜëëåôáé, üìùò, üôáí áõôü äéÝñ÷åôáé áðü Ýíá óõãêåêñéìÝíï óçìåßï, Ý÷åé ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá, ðïõ åß÷å êÜèå Üëëï óôïé÷åßï ñåõóôïý ðïõ ðÝñáóå ðñïçãïõìÝíùò, êáèþò êáé êÜèå åðüìåíï ðïõ èá ðåñÜóåé áðü ôï óçìåßï áõôü. Óôç ìüíéìç ñïÞ ïé ñåõìáôéêÝò ãñáììÝò äåí ôÝìíïíôáé, áðëþò ìðïñåß íá ðõêíþíïõí Þ íá áñáéþíïõí. Ðáñáôçñåßôáé óå ñåõóôÜ ìå ìéêñÝò ôá÷ýôçôåò ñïÞò. Ôõñâþäçò Þ ìç óôñùôÞ Þ ìç ìüíéìç ëÝãåôáé ç ñïÞ, êáôÜ ôçí ïðïßá ç ôá÷ýôçôá ôïõ ñåõóôïý óå êÜèå óçìåßï ôïõ äåí ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ, áëëÜ êõìáßíåôáé ãýñù áðü êÜðïéá ìÝóç ôéìÞ. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ïé ñïúêÝò ãñáììÝò ôÝìíïíôáé êáé ãåíéêÜ ç ñïÞ åßíáé áêáôÜóôáôç. Ðáñáôçñåßôáé óôá ñåõóôÜ ìå ìåãÜëåò ôá÷ýôçôåò ð.÷. êáôáñÜêôåò, õäáôïðôþóåéò ê.ëð. ÓôñïâéëÞ êáé áóôñüâéëç ñïÞ: Ç áðëïýóôåñç ðåñßðôùóç óôñïâéëÞò ñïÞò, åßíáé ç ñïÞ êáôÜ ôçí ïðïßá ôá óôïé÷åßá ñåõóôïý, åêôåëïýí ðåñéóôñïöéêÞ êßíçóç ó÷çìáôßæïíôáò êëåéóôÝò ñåõìáôéêÝò ãñáììÝò (óôñïâßëïõò). Ëüãïõ ÷Üñç, óôï ðßóù ìÝñïò ìéáò óáíßäáò, ç ïðïßá åßíáé âõèéóìÝíç óå íåñü ðïõ ñÝåé, äçìéïõñãïýíôáé óôñüâéëïé êáé êáèéóôïõí ôç ñïÞ óôñïâéëÞ (Ó÷. 4.5). Ç ñïÞ ìðïñåß íá åßíáé óôñïâéëÞ ÷ùñßò íá õðÜñ÷ïõí åìöáíåßò óôñüâéëïé. ~Åíáò áðëüò ôñüðïò ãéá íá ôï äéáðéóôþóïõìå åßíáé íá ôïðïèåôÞóïõìå Ýíá ìéêñü ôñï÷ü (Ó÷. 4.6) óôá äéÜöïñá óçìåßá ôçò ñïÞò. ~Ïôáí ï ôñï÷üò äåí ñ = → lim Ä ÄÄ ÄV V m V0 96 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.4 Ç ôá÷ýôçôá ôïõ óôïé÷åßïõ ñåõóôïý ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôç èÝóç (1) åßíáé ìéêñüôåñç áðü áõôÞ ôïõ óôïé÷åßïõ ñåõóôïý óôç èÝóç Ó×ÇÌÁ 4.5 Ðßóù áðü ôç óáíßäá äçìéïõñãïýíôáé óôñüâéëïé. Ó×ÇÌÁ 4.6 ¸íáò ìéêñüò ôñï÷üò, ï ïðïßïò ôïðïèåôåßôáé óôç öëÝâá åíüò õãñïý, ðåñéóôñÝöåôáé üðùò óôï ó÷Þìá.
- 113. ðåñéóôñÝöåôáé, ãéá ïðïéïäÞðïôåóçìåßï ôçò ñïÞò, ç ñïÞ åßíáé áóôñüâéëç, óôçí áíôßèåôç ðåñßðôùóç åßíáé óôñïâéëÞ. ÖëÝâá Þ óùëÞíáò ñïÞò. Èåùñïýìå ìéá êëåéóôÞ ãñáììÞ Ã ó' Ýíá ñåõóôü ìå óôñùôÞ ñïÞ. Ïé ñåõìáôéêÝò ãñáììÝò (Þ ñïúêÝò ãñáììÝò) ðïõ äéÝñ÷ïíôáé áðü ôá óçìåßá ôçò êëåéóôÞò ãñáììÞò, ïñßæïõí Ýíáí óùëÞíá, ï ïðïßïò ïíïìÜæåôáé óùëÞíáò ñïÞò Þ öëÝâá Þ ñåõìáôïóùëÞíáò (Ó÷. 4.7). Ïé ñåõìáôéêÝò ãñáììÝò äåí äéáðåñíïýí ôá óýíïñá ôïõ ñåõìáôïóùëÞíá, áõôÝò ïé ïðïßåò åßíáé óôï åóùôåñéêü, ðáñáìÝíïõí óå üëç ôçí Ýêôáóç ôïõ óôï åóùôåñéêü ôïõ. Óõíåðþò, ôá óôïé÷åßá ñåõóôïý ðïõ ìðáßíïõí óå Ýíá ñåõìáôïóùëÞíá, ôá ßäéá âãáßíïõí áðü áõôüí. ÓõìðéåóôÜ êáé áóõìðßåóôá ñåõóôÜ. ÑåõóôÜ åßíáé ôá õãñÜ êáé ôá áÝñéá. Ôá õãñÜ åßíáé ðñáêôéêÜ áóõìðßåóôá, åíþ ôá áÝñéá åßíáé óõìðéåóôÜ äçë. ìåôáâÜëëïõí ôïí üãêï ôïõò óå áíôßóôïé÷åò ìåôáâïëÝò ôçò ðßåóçò ôïõò. ÊáôÜ ôç ñïÞ õãñïý ç ðõêíüôçôá åßíáé ßäéá óå üëç ôçí Ýêôáóç ôçò ñïÞò, åíþ êáôÜ ôç ñïÞ áåñßïõ ìðïñåß êáé íá ìåôáâÜëëåôáé. Óôçí ðåñßðôùóç, êáôÜ ôçí ïðïßá ç ðõêíüôçôá ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ, ç ñïÞ ëÝãåôáé áóõìðßåóôç, åíþ, üôáí ìåôáâÜëëåôáé ç ñïÞ, ëÝãåôáé óõìðéåóôÞ Þ óõìðéÝóéìç. Éäáíéêü ñåõóôü: ¸íá ñåõóôü ëÝãåôáé éäáíéêü, üôáí ðëçñåß ôçò åîÞò ðñïûðïèÝóåéò. á) Åßíáé ôåëåßùò áóõìðßåóôï â) Åßíáé áðáëëáãìÝíï åóùôåñéêÞò ôñéâÞò ã) Åßíáé áðáëëáãìÝíï äõíÜìåùí ìåôáîý áõôïý êáé ôïõ óùëÞíá, ìÝóá óôïí ïðïßï ñÝåé (äõíÜìåéò óõíÜöåéáò) Óôá ðáñáêÜôù ç ñïÞ ìáò èá èåùñåßôáé óôñùôÞ, áóôñüâéëç, áóõìðßåóôç êáé ÷ùñßò åóùôåñéêÝò ôñéâÝò. Ìå áõôÝò ôéò ðñïûðïèÝóåéò èá åîÜãïõìå äýï âáóéêïýò íüìïõò ôçò äõíáìéêÞò ôùí ñåõóôþí, ôï íüìï ôçò óõíå÷åßáò êáé ôï íüìï ôïõ Bernoulli. ÄÉÁÔÇÑÇÓÇ ÔÇÓ ÕËÇÓ ÊÁÉ ÅÎßÓÙÓÇ ÓÕÍÅ×ÅÉÁÓ Ðáñï÷Þ: Ðáñï÷Þ åßíáé ôï ðçëßêï ôïõ üãêïõ ÄV ôïõ ñåõóôïý, ðïõ ðåñíÜåé áðü ìéá äéáôïìÞ ôïõ óùëÞíá, ìÝóá óôïí ïðïßï êéíåßôáé, óå ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá Ät, äéá ôïõ Ät. (4.3) Ç ðáñï÷Þ óôï S.I. Ý÷åé ìïíÜäåò m3 /s êáé ïé äéáóôÜóåéò ôçò åßíáé L3 T-1 . ¸óôù üôé óå óçìåßï ñåõóôïý, äåäïìÝíçò ñïÞò, ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôÜò ôïõ åßíáé õ. Áí ç äéáôïìÞ ôïõ óùëÞíá óå êåßíï ôï óçìåßï åßíáé Á (Ó÷. 4.8) ôüôå óå ìéêñü ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät ôï ñåõóôü ðïõ ðåñíÜåé, Ý÷åé üãêï ßóï ìå ôïí üãêï ôïõ êõëßíäñïõ ìå âÜóç Á êáé ýøïò õÄt. ¢ñá, åßíáé Þ (4.4) ÍÏÌÏÓ ÔÇÓ ÓÕÍÅ×ÅÉÁÓ Èåùñïýìå ôç öëÝâá (Þ óùëÞíá ñïÞò) ôïõ ó÷Þìáôïò 4.9. Óôç èÝóç Ñ ç äéáôïìÞ ôïõ óùëÞíá ñïÞò åßíáé Á1, ç ôá÷ýôçôá ôïõ ñåõóôïõ õ1 êáé ç ðõêíüôçôá ôïõ ñåõóôïý ñ1. Ïé áíôßóôïé÷åò ôéìÝò óôç èÝóç Q åßíáé A2 , õ2 êáé ñ2 . Óå ÷ñüíï Ät ï üãêïò õãñïý ðïõ åéóñÝåé áðü ôç äéáôïìÞ Á1 , åßíáé Ð Á õ=Ð V t A õ t t = = Ä Ä Ä Ä Ð V t = Ä Ä ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ 97 Ó×ÇÌÁ 4.7 Ç êëåéóôÞ ãñáììÞ ïñßæåé ñåõìáôïóùëÞíá. Ó×ÇÌÁ 4.8 Óå ìéêñü ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät áðü ôç äéáôïìÞ Á äéÝñ÷åôáé üãêïò ÁõÄt
- 114. êáé Ý÷åé ìÜæá Óôïßäéï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät ï üãêïò õãñïý ðïõ åêñÝåé áðü ôç äéáôïìÞ Á2 åßíáé ÄV2 = Ð2 Ät = A2 õ2 Ät êáé ç áíôßóôïé÷ç ìÜæá ôïõ åßíáé Ãéá ôï ñåõìáôéêü óùëÞíá èåùñïýìå üôé: á) ÊÜèå óôïé÷åßï ñåõóôïý áêïëïõèåß ôçí ñåõìáôéêÞ ãñáììÞ êáé åðïìÝíùò, áðü ôá ôïé÷þìáôá ôïõ ñåõìáôéêïý óùëÞíá äåí äéáöåýãåé ìÜæá, äéüôé ç ñïÞ ìáò åßíáé óôñùôÞ êáé ïé ñåõìáôéêÝò ãñáììÝò äåí ôÝìíïíôáé. ÅðïìÝíùò, üóåò ñåõìáôéêÝò ãñáììÝò äéáðåñíïýí ôç äéáôïìÞ Á1, áõôÝò êáé ìüíï äéáðåñíïýí êáé ôçí Á2. â) Óôï åóùôåñéêü ôïõ ñåõìáôéêïý óùëÞíá äåí õðÜñ÷ïõí ïýôå ðçãÝò ðïõ íá ðáñÝ÷ïõí ñåõóôü ïýôå êáôáâüñèåò ðïõ íá áðïññïöïýí ñåõóôü. ¢ñá, ç ìÜæá ôïõ ñåõóôïý ðïõ ðåñéÝ÷åé ï óùëÞíáò äéáôçñåßôáé óôáèåñÞ. ÅðïìÝíùò, ç ìÜæá ôïõ ñåõóôïý ðïõ åéóñÝåé óôï óùëÞíá áðü ôç äéáôïìÞ Á1, åßíáé ßóç ìå ôç ìÜæá ôïõ ñåõóôïý ðïõ åêñÝåé áðü ôç äéáôïìÞ Á2, äçëáäÞ Äm1 = Äm2 Þ ñ1 Á1 õ2 Ät = ñ2 Á2 õ2 Ät Þ (4.5) ÅðåéäÞ ôá óçìåßá P êáé Q åßíáé ôõ÷áßá ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé ãéá êÜèå óçìåßï ôïõ óùëÞíá (4.6) Ç ôåëåõôáßá ó÷Ýóç áðïôåëåß ôçí åîßóùóç ôçò óõíÝ÷åéáò êáé åêöñÜæåé ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò ìÜæáò ôïõ ñåõóôïý. ÅðéðëÝïí, åðåéäÞ ôï ñåõóôü åßíáé áóõìðßåóôï, éó÷ýåé ñ1 = ñ2 êáé åðïìÝíùò, Ý÷ïõìå ôçí Ýêöñáóç (4.7) Áðü ôç ó÷Ýóç (4.7) óõìðåñáßíïõìå üôé åêåß ðïõ ï óùëÞíáò ñïÞò (öëÝâá) óôåíåýåé, äçëáäÞ ôï åìâáäüí ôçò äéáôïìÞò Á ìéêñáßíåé, ç ôá÷ýôçôá ôçò ñïÞò áõîÜíåôáé. ×áñáêôçñéóôéêü ðáñÜäåéãìá áðïôåëåß ç ñïÞ åíüò ðïôáìïý. Åêåß A õ A õ1 1 2 2= ñ Á õ = óôáè. ñ ñ1 1 1 2 2 2Á õ Á õ= Ä Ä Äm V A õ t2 2 2 2 2 1= =ñ ñ Ä Ä Äm V Á õ t1 1 1 1 1 1= =ñ ñ Ä Ä ÄV Ð t A õ t1 1 1= = 98 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.9 Ç ìÜæá ôïõ ñåõóôïý óôï ñåõìáôïóùëÞíá äéáôçñåßôáé óôáèåñÞ.
- 115. ðïõ ç êïßôçôïõ ðïôáìïý óôåíåýåé, ôá íåñÜ ãßíïíôáé ðéï ïñìçôéêÜ, åíþ åêåß ðïõ ðëáôáßíåé, ç ñïÞ åßíáé ðéï Þðéá. ÐáñÜäåéãìá 4-1 Áãùãüò äéáôïìÞò 2,0 m2 äéáññÝåôáé áðü õãñü. Áí ç ðáñï÷Þ ôïõ áãùãïý åßíáé 3,0 m3 s-1 , íá õðïëïãéóèåß ç ôá÷ýôçôá ôïõ õãñïý óôïí áãùãü. ÊáôÜ ôçí åêñïÞ ôïõ õãñïý áðü ôïí áãùãü ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ åßíáé 12 m. s-1 . Íá õðïëïãéóèåß ôï åìâáäüí ôïõ óôïìßïõ åêñïÞò. ÁðÜíôçóç Ç ôá÷ýôçôá ôïõ õãñïý óôïí áãùãü âñßóêåôáé áðü ôç ó÷Ýóç Ð = Áõ Þ ïðüôå Aðü ôçí åîßóùóç óõíÝ÷åéáò (4.7) Ý÷ïõìå Þ Þ Þ Á´ = 0,25 m2 ÅðïìÝíùò, ôï åìâáäüí ôïõ óôïìßïõ åêñïÞò åßíáé 0,25 m2 . ÍÏÌÏÓ ÔÏÕ BERNOULLI Èåùñïýìå ôç öëÝâá åíüò éäáíéêïý ñåõóôïý, (Ó÷. 4.10), ç ïðïßá îåêéíÜåé áðü ôï óçìåßï Ñ, üðïõ ç äéáôïìÞ ôïõ åßíáé Á1, êáé êáôáëÞãåé óôï óçìåßï Q, üðïõ ç äéáôïìÞ ôïõ ãßíåôáé Á2. Ðáñáôçñïýìå ôç öëÝâá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t (Ó÷. 4.10á) êáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t + Ät (Ó÷. 4.10â), üðïõ Ät ðïëý ìéêñü ÷ñïíéêü äéÜóôçìá. Ôï ãñáììïóêéáóìÝíï ôìÞìá ìÞêïõò Äl1 Ý÷åé ìÜæá Ä m1 = ñA1 õ1 Ät êáé ôï ãñáììïóêéáóìÝíï ôìÞìá ìÞêïõò Äl2 Ý÷åé ìÜæá Äm2 = ñA2 õ2 Ät. Áðü ôçí åîßóùóç óõíÝ÷åéáò Ý÷ïõìå Äm1 = Äm2 = ñ Á1 õ1 Ät = Äm (4.8) H ìÜæá Äm ôçò öëÝâáò áõîÜíåé ôçí åíÝñãåéá ôçò ëüãù ôïõ óõíïëéêÜ ðáñáãüìåíïõ Ýñãïõ áðü ôéò äõíÜìåéò F1 êáé F2 (Ó÷. 4.10). Ç áýîçóç õðïëïãßæåôáé, áí óêåöôåß êáíåßò, üôé ç ìÜæá Äm óôï óçìåßï Ñ Ý÷åé ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá êáé ç ìÜæá Äm óôï óçìåßï Q Ý÷åé ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá ¢ñá, ç áýîçóç ôçò ìç÷áíéêÞò åíÝñãåéáò åßíáé E U K m g y m õQ Q Q Ä Ä= + = +2 2 21 2 E U K m g y m õp p p Ä Ä= + = +1 1 21 2 ′ = × A 2 0 1 5 12 , , m2 ′ = ′ A A õ õ A õ Á õ= ′ ′ õ = ⋅ = ⋅− −3 0 2 0 1 51 1, , ,m s m s õ Ð Á = ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ 99
- 116. (4.9) ¼ìùò áõôÞ çáýîçóç ôçò åíÝñãåéáò éóïýôáé ìå ôï óõíïëéêü Ýñãï ôùí äõíÜìåùí F1 = p1 A1 (áóêåßôáé óôï ñåõóôü óôç èÝóç Ñ) êáé ôçò F2 = p2 A2 (ç ïðïßá áóêåßôáé óôç èÝóç Q) äçëáäÞ, (4.10) ¼ìùò (4.11) êáé (4.12) Áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (4.10) ôéò (4.8), (4.9), (4.11) êáé (4.12) Ý÷ïõìå Þ Þñ ñA õ tg y y A õ t õ õ p p A õ t1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 Ä + Ä Ä− − = −b g e j b g Ä Ä Ä Äm g y y m õ õ p A õ t p A õ t2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 − + − = −b g e j Ä Ä Ä ÄW F l p A õ t p A õ tF2 2 2 2 2 2 2 1 1= − = − = − Ä Ä ÄW F l p A õ tF1 1 1 1 1 1= = Ä Ä ÄE W WF F= +1 2 Ä Ä ÄQ PE Å Å m g y y m õ õ= − = − + −2 1 2 2 1 21 2 b g e j 100 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.10 Óôá ó÷Þìáôá 4.10á êáé 4.10â ðáñáôçñïýìå ôéò èÝóåéò ìéáò ðïóüôçôáò ñåõóôïý ãéá äýï êïíôéíÝò ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò t êáé t + Ät.
- 117. (4.13) ÅðåéäÞ ôá óçìåßáÑ êáé Q Þôáí ôõ÷áßá, áõôü óçìáßíåé üôé ìðïñïýìå íá ðáñáëåßøïõìå ôïõò äåßêôåò, ïðüôå Ý÷ïõìå (4.14) Óçìåßùóç: Ãåíéêþò, ç óôáèåñÜ åîáñôÜôáé áðü ôç óõãêåêñéìÝíç ñåõìáôéêÞ ãñáììÞ. Áí ôï ðåäßï ñïÞò åßíáé áóôñüâéëï, ôüôå ç óôáèåñÜ åßíáé ßäéá ãéá êÜèå óçìåßï ôïõ ðåäßïõ ñïÞò. Ç åîßóùóç 4.14 áðïôåëåß ôï íüìï ôïõ Bernoulli, ç äéáôýðùóç ôïõ ïðïßïõ åßíáé ç åîÞò: “ÊáôÜ ìÞêïò ìéá ñïúêÞò ãñáììÞò, ç ðáñÜóôáóç äéáôçñåß ôçí ôéìÞ ôçò óôáèåñÞ". Áõôü åêöñÜæåé ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóÞò ôçò åíÝñãåéáò. Ç ðïóüôçôá åßíáé ç ðõêíüôçôá ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ ñåõóôïý. Ï üñïò åßíáé ç ðõêíüôçôá äõíáìéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ ñåõóôïý. Ç ðßåóç åêöñÜæåé ôçí ðõêíüôçôá åíÝñãåéáò ðéÝóåùò. ¼ôáí ó' Ýíá ñåõóôü åìöáíßæïíôáé ôñéâÝò, ôüôå äåí éó÷ýåé åð' áêñéâþò ï íüìïò ôïõ Bernoulli, äéüôé ôìÞìá ôïõ Ýñãïõ ôùí äõíÜìåùí F1 êáé F2 ìåôáôñÝðåôáé óå åóùôåñéêÞ (èåñìüäõíáìéêÞ) åíÝñãåéá, ëüãù ôùí ôñéâþí. Ìðïñïýìå üìùò íá åöáñìüæïõìå ôï íüìï ãéá åîáãùãÞ ðñïóåããéóôéêþí áðïôåëåóìÜôùí. ¼ôáí ç öëÝâá åßíáé ïñéæüíôéá ôüôå Ý÷ïõìå y1 = y2 êáé ç (4.13) ãßíåôáé (4.15) Åðßóçò, üôáí ôï ñåõóôü äåí êéíåßôáé (õäñïóôáôéêÞ - áåñïóôáôéêÞ), ôüôå åßíáé õ1 = õ2 = 0 êáé ï íüìïò ðáßñíåé ôç ìïñöÞ (4.16) ðïõ åßíáé ï ãíùóôüò íüìïò ôçò õäñïóôáôéêÞò. ÐáñÜäåéãìá 4-2 ¸íá ëÜóôé÷ï ìå êõêëéêÞ äéáôïìÞ áêôßíáò 0,60 cm, óõíäÝåôáé ìå âñýóç óôï éóüãåéï êáé ìåôáöÝñåé ôï íåñü óôçí ôáñÜôóá êôéñßïõ ýøïõò 10 m. Áí ôï óôüìéï åêñïÞò åßíáé êõêëéêü êáé Ý÷åé áêôßíá 0,15 cm, åíþ ç ôá÷ýôçôá, ìå ôçí ïðïßá åêôïîåýåôáé ôï íåñü åßíáé 8,0m. s-1 íá õðïëïãéóèïýí: á) Ç ôá÷ýôçôá ôïõ íåñïý óôï ëÜóôé÷ï. â) Ç ðßåóç ôïõ íåñïý óôç èÝóç ôïõ óôüìéïõ ôçò âñýóçò. Ç ñïÞ íá èåùñçèåß ÷ùñßò ôñéâÝò. ñ ñg y p g y p1 1 2 2+ = + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2ñ ñõ p õ p+ = + p p V V = Ä Ä ñ g y m V g y U V = = Ä Ä Ä Ä 1 2 1 2 2 2 ñ õ m õ V Ê V = = Ä Ä Ä Ä 1 2 2 ñ ñõ g y p+ + 1 2 2 1ñ ñõ g y p+ + = óôáè. 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2ñ ñ ñ ñõ g y p õ g y p+ + + += ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ 101
- 118. ÁðÜíôçóç á) Áðü ôçíåîßóùóç óõíå÷åßáò ãéá ôá óçìåßá (1) êáé (2) Ý÷ïõìå A1 õ1 = A2 õ2 Þ Þ Þ õ2 = 0,50 m. s-1 â) Åöáñìüæïíôáò ôçí åîßóùóç Bernoulli ãéá ôá óçìåßá (1) êáé (2) Ý÷ïõìå Þ Ç ðßåóç óôç èÝóç (1) éóïýôáé ìå ôçí áôìïóöáéñéêÞ, äçë. åßíáé p1 = 1 atm = 105 Í.m-2 Áíôéêáèéóôþíôáò ôá äåäïìÝíá óôçí ôåëåõôáßá ó÷Ýóç ðáßñíïõìå Þ (ÐïéÜ èá åßíáé ç ôéìÞ ôçò p2, áí äéðëáóéáóèåß ç ðáñï÷Þ áðü ôç âñýóç;) ÈÅÙÑÇÌÁ ÔÏÕ TORRICELLI Ôï äï÷åßï ôïõ ó÷Þìáôïò 4.12 Ý÷åé ìåãÜëåò äéáóôÜóåéò êáé ç åëåýèåñç åðéöÜíåéá âñßóêåôáé óå ýøïò h áðü ôïí ðõèìÝíá. Èá õðïëïãßóïõìå ôçí ôá÷ýôçôá, ìå ôçí ïðïßá ðïóüôçôá íåñïý åêñÝåé áðü ôï êÜôù Üêñï ôïõ äï÷åßïõ. Åöáñìüæïõìå ôï íüìï ôïõ Bernoulli ãéá ôá óçìåßá Ñ ôçò åëåýèåñçò åðéöÜíåéáò êáé Q ôïõ êÜôù Üêñïõ ôïõ äï÷åßïõ. ÈÝôïõìå y1 = h, y2 = 0, õ1 = 0 êáé õ2 = õ ïðüôå ç 4.13 ìáò äßíåé Ïé ðéÝóåéò p1 êáé p2 åßíáé ßóåò ìå ôçí áôìïóöáéñéêÞ, åðïìÝíùò Ý÷ïõìå Þ õ g h= 2ñ ñg h õ= 1 2 2 ñ ñg h p õ p+ = +1 2 2 1 2 p2 5 2 32 10= ×, Pap2 5 3 3 2 2 10 10 10 10 1 2 10 8 0 5= + × × + × − L NM O QP,e j Pa p p g h õ õ2 1 1 2 2 21 2 = + + −ñ ñ e jp õ p g h õ2 2 2 1 1 21 2 1 2 + = + +ñ ñ ñ õ2 1 8= −ð (0,15) ð (0,60) ms 2 2 õ A õ Á 2 1 1 2 = 102 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.11 Ó×ÇÌÁ 4.12 To íåñü Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ êáôÜ ôçí åêñïÞ ôïõ, åíþ ç åëåýèåñç åðéöÜíåéá êáôåâáßíåéé ðïëý áñãÜ.
- 119. Ðáñáôçñïýìå üôé, çôá÷ýôçôá åßíáé ßäéá ìå ôçí ôá÷ýôçôá ðïõ èá áðïêôïýóå ôï óùìÜôéï áí åêôåëïýóå åëåýèåñç ðôþóç áðü ýøïò h. Ç ôåëåõôáßá ðñüôáóç åßíáé ôï èåþñçìá ôïõ Torricell. ÐáñáôÞñçóç: ¸óôù, êÜðïéï ñåõóôü êéíåßôáé óôï óùëÞíá ôïõ ó÷Þìáôïò 4.13. Ãéá äýï óçìåßá ôïõ óùëÞíá, óôá ïðïßá ïé äéáôïìÝò åßíáé Á1 êáé Á2 ìå Á1 > Á2, åöáñìüæïíôáò ôï íüìï óõíÝ÷åéáò Ý÷ïõìå A1 õ1 = A2 õ2 ÅðåéäÞ Á1 >Á2 óõìðåñáßíïõìå õ1 < õ2 Êáôüðéí åöáñìüæïíôáò ôï íüìï ôïõ Bernoulli Ý÷ïõìå êáé åðåéäÞ õ1 < õ2 óõìðåñáßíïõìå p1 > p2 ÅðïìÝíùò, óôéò óôåíþóåéò ïé ñåõìáôéêÝò (ñïúêÝò) ãñáììÝò åßíáé ðõêíüôåñåò, ç ôá÷ýôçôá ìåãáëýôåñç êáé ç ðßåóç ìéêñüôåñç (õðïðßåóç). Áíôßèåôá, åêåß ðïõ åßíáé ìåãáëýôåñç ç äéáôïìÞ ôïõ ñåõìáôéêïý óùëÞíá ç ðßåóç åßíáé ìåãáëýôåñç, ç ôá÷ýôçôá ìéêñüôåñç, êáé ïé ñåõìáôéêÝò ãñáììÝò ðéï áñáéÝò. ÐáñÜäåéãìá 4-3 ¸íá äï÷åßï ðåñéÝ÷åé íåñü ìÝ÷ñé ýøïõò Ç êáé âñßóêåôáé ðÜíù óå Ýíá ôñáðÝæé. Áíïßãïíôáò äýï ïðÝò óôï äï÷åßï óå ýøç h1 êáé h2, áðü ôï ôñáðÝæé, ðáñáôçñïýìå üôé ôï íåñü ðïõ åêñÝåé áðü ôéò äýï ïðÝò óõíáíôÜåé ôï ôñáðÝæé óôï ßäéï óçìåßï. Íá âñåèåß ç ó÷Ýóç ðïõ óõíäÝåé ôá ýøç h1 êáé h2. ÁðÜíôçóç Áðü ôï èåþñçìá ôïõ Torricelli, ç ôá÷ýôçôá õ1, ìå ôçí ïðïßá åêñÝåé ôï íåñü áðü ôçí ïðÞ (1), åßíáé 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2ñ ñõ p õ p+ = + ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ 103 Ó×ÇÌÁ 4.13 Óôç óôÝíùóç ç ôá÷ýôçôá ôïõ ñåõóôïý åßíáé ìåãáëýôåñç êáé ç ðßåóç ìéêñüôåñç. Ó×ÇÌÁ 4.14
- 120. Ôá óùìÜôéá ñåõóôïýðïõ åîÝñ÷ïíôáé åêôåëïýí ïñéæüíôéá âïëÞ. Ï ÷ñüíïò, ãéá íá öôÜóïõí óôï Ýäáöïò, õðïëïãßæåôáé áðü ôçí êßíçóÞ ôïõò óôïí êáôáêüñõöï Üîïíá (åêôåëïýí åëåýèåñç ðôþóç). Åßíáé Þ ¢ñá, ôï âåëçíåêÝò åßíáé x1 = õ1t1 Þ ¼ìïéá ãéá ôç äåýôåñç ïðÞ ÅðåéäÞ öôÜíïõí óôï ßäéï óçìåßï, åßíáé x1 = x2 Þ (Ç − h1) h1 = (H − h2) h2 Þ h1 + h2 = H ÐÑÁÊÔÉÊÅÓ ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ ÔÏÕ ÍÏÌÏÕ BERNOULLI Ïé ðñáêôéêÝò åöáñìïãÝò ôïõ íüìïõ ôïõ Bernoulli åßíáé ðïëëÝò. Ç áñðáãÞ ôùí óôåãþí áðü ôïí áÝñá, êáé ôï áðëü øÝêáóìá ìå ìéá êïëþíéá, åßíáé åöáñìïãÝò áõôïý ôïõ íüìïõ. ÐáñáêÜôù ðåñéãñÜöïõìå ïñéóìÝíåò ÷áñáêôçñéóôéêÝò åöáñìïãÝò. á) ØåêáóôÞñáò: Óôï ó÷Þìá 4.15 åéêïíßæåôáé Ýíáò øåêáóôÞñáò. ÐéÝæïíôáò ìå ôá÷ýôçôá ôï Ýìâïëï Ä äçìéïõñãïýìå åêñïÞ áÝñá áðü ôï óôüìéï ôïõ êõëßíäñïõ. Ç öëÝâá áÝñá ðïõ åêñÝåé áðü ôï óôüìéï, áíïßãåé êáèþò áðïìáêñýíåôáé áðü áõôü. ÅðïìÝíùò, óôç èÝóç (1) Ý÷ïõìå óôÝíùóç êáé Ýôóé, ç ôá÷ýôçôá åßíáé ìåãáëýôåñç êáé ç ðßåóç ìéêñüôåñç. ÓõíÝðåéá ôçò õðïðßåóçò óôç èÝóç (1) åßíáé ç áíýøùóç ôïõ õãñïý óôï óùëÞíá Ó, ôï ïðïßï ðáñáóýñåôáé áðü ôï ñåýìá ôïõ áÝñá, óôáãïíïðïéåßôáé êáé åêôïîåýåôáé. x H h h2 2 24= −b g x H h h1 1 14= −b g t h g 1 12 =h g t1 1 21 2 = õ g H h1 12= −b g 104 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.15 Áñ÷Þ ëåéôïõñãßáò ôïõ øåêáóôÞñá. Ó×ÇÌÁ 4.16 Âåíôïõñßìåôñï. ×ñçóéìïðïéåßôáé ãéá ôç ìÝôñçóç ôçò ôá÷ýôçôáò åíüò ñåõóôïý.
- 121. â) Âåíôïõñßìåôñï: Ôïâåíôïõñßìåôñï Þ óùëÞíáò ôïõ Venturi åßíáé ìéá óõóêåõÞ, ìå ôçí ïðïßá ìðïñïýìå íá ìåôñÞóïõìå ôçí ôá÷ýôçôá ôçò ñïÞò ñåõóôïý óå Ýíá óùëÞíá. ¸óôù, üôé ç äéáôïìÞ ôïõ óùëÞíá åßíáé Á. ÓõíäÝïõìå ìå ôï óþëçíá ôï âåíôïõñßìåôñï, ôï ïðïßï ðéï ðÝñá Ý÷åé óôÝíùóç ìå åìâáäüí äéáôïìÞò Á´. Ôï ìáíüìåôñï ðåñéÝ÷åé óõíÞèùò õäñÜñãõñï, ôïõ ïðïßïõ ç ðõêíüôçôá åßíáé ñ´ ãíùóôÞ. Ìåôñïýìå ôçí Ýíäåéîç h ôïõ ìáíïìÝôñïõ (Ó÷. 4.16). Áðü ôï íüìï ôçò óõíÝ÷åéáò Ý÷ïõìå Þ üðïõ õ êáé õ´ ç ôá÷ýôçôá ôïõ ñåõóôïý óôçí äéáôïìÞ Á êáé Á´ áíôßóôïé÷á. Åöáñìüæïíôáò ôï íüìï ôïõ Bernoulli ãéá äýï óçìåßá, Ýíá ôçò äéáôïìÞò Á êáé Ýíá ôçò äéáôïìÞò Á´, Ý÷ïõìå üðïõ ñ ç ðõêíüôçôá ôïõ ñåõóôïý, p êáé p´ ç ðßåóç ôïõ ñåõóôïý óôéò äéáôïìÝò Á êáé Á´. Ôá óçìåßá (1) êáé (2) ôïõ õäñáñãýñïõ Ý÷ïõí ßäéá ðßåóç äçëáäÞ p1 = p2 ¼ìùò êáé ¢ñá Þ üðïõ h ç Ýíäåéîç ôïõ ìáíïìÝôñïõ. ÓõíäõÜæïíôáò ôéò ðéï ðÜíù ó÷Ýóåéò Ý÷ïõìå Þ Þ ã) ÓùëÞíáò Pilot: Åßíáé ìéá óõóêåõÞ, ç ïðïßá ÷ñçóéìïðïéåßôáé ãéá ôç ìÝôñçóç ôçò ôá÷ýôçôáò áÝñá. Ôïðïèåôåßôáé, Ýôóé þóôå ôï ÜíïéãìÜ ôçò (ã) íá åßíáé ðáñÜëëçëï óôï ñåýìá ôïõ áÝñá (Ó÷. 4.17). Ôá óçìåßá (á), üðïõ õðÜñ÷ïõí áíïßãìáôá, êáé ôï óçìåßï (â) åßíáé áñêåôÜ ìáêñéÜ áðü ôï óçìåßï åéóüäïõ (ã). Ì' áõôü ôï ôñüðï óôï (á) áðïêáèßóôáôáé ç êáíïíéêÞ ñïÞ ôïõ áåñßïõ, ðïõ äéáôáñÜ÷èçêå ìå êÜðïéï ðýêíùìá óôï (ã). ~Åôóé, Ý÷ïõìå áêñéâþò ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ áåñßïõ ÷ùñßò äéáôáñá÷Ýò. Óôï (â) ç ôõ÷üí ôá÷ýôçôá ðïõ åß÷áí ôá óùìÜôéá ðïõ åéóÝñ÷ïíôáé óôï (ã) Ý÷åé ó÷åäüí ìçäåíéóôåß. Áðü ôï íüìï ôïõ Bernoulli Ý÷ïõìå (4.17)õ g h Á Á = ′ − ′ F HG I KJ − L N M M O Q P P 2 1 2 ñ ñ ñ b g 1 2 1 2 2 2 2 ñ ñ ñ ñõ g h Á Á õ+ ′ − = ′ F HG I KJb g 1 2 1 2 2 2 ñ ñõ p p õ+ − ′ = ′ p p g h− ′ = ′ −ñ ñb g p g H p g h g H h+ = ′ + ′ + −ñ ñ ñ b g p p g h g H h2 = ′ + ′ + −ñ ñ b g p p g Ç1 = + ñ 1 2 1 2 2 2 ñ ñõ p õ p+ = ′ + ′ ′ = ′ õ Á Á õA õ Á õ= ′ ′ ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ 105
- 122. Ãéá ôï õãñüôïõ ìáíïìÝôñïõ éó÷ýåé p1 = p2. ¼ìùò ç p1 = pâ êáé p2 = pá + ñ′ g h, üðïõ ñ~ ç ðõêíüôçôá ôïõ õãñïý ôïõ ìáíïìÝôñïõ. ÓõíäõÜæïíôáò ôéò ðéï ðÜíù ó÷Ýóåéò Ý÷ïõìå, Þ (4.18) Áðü ôçí Ýíäåéîç h ôïõ ìáíïìÝôñïõ êáé ìå ãíùóôÝò ôéò ðõêíüôçôåò ôïõ áåñßïõ êáé ôïõ õãñïý ôïõ ìáíïìÝôñïõ, ñ êáé ñ' áíôßóôïé÷á, õðïëïãßæïõìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ áåñßïõ. ä) ÅîáåñéóôÞñáò ëåùöïñåßïõ - Áíåìïäü÷ïò ðëïßïõ: Ç ìïñöÞ ôùí åîáåñéóôçñßùí åíüò ëåùöïñåßïõ åßíáé áõôÞ ôïõ ó÷Þìáôïò 4.18. Êáèþò êéíåßôáé ôï ëåùöïñåßï ïé ñïúêÝò ãñáììÝò ðõêíþíïõí óôïí åîáåñéóôÞñá ìå óõíÝðåéá íá äçìéïõñãåßôáé õðïðßåóç. Ëüãù ôçò õðïðßåóçò öåýãïõí ìÜæåò áÝñá áðü ôï åóùôåñéêü ôïõ ëåùöïñåßïõ. Áíôßèåôá, ïé áíåìïäü÷ïé ôùí ðëïßùí Ý÷ïõí ôç ìïñöÞ ôïõ ó÷Þìáôïò 4.19. õ g h = ′2ñ ñ 1 2 2 ñ ñõ p p g h+ = + ′á á 1 2 02 ñ õ p p+ = +á â 106 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.17 ÓùëÞíáò Pitot. ×ñçóéìïðïéåßôáé ãéá ôç ìÝôñçóç ôçò ôá÷ýôçôáò åíüò áåñßïõ. Ó×ÇÌÁ 4.18 ÅîáåñéóôÞñáò ëåùöïñåßïõ. Ôï ëåùöïñåßï êéíåßôáé ðñïò ôá áñéóôåñÜ. Ó×ÇÌÁ 4.19 Áíåìïäü÷ïò ðëïßïõ.
- 123. Êáèþò êéíåßôáé ôïðëïßï Þ öõóÜåé áÝñáò, Ý÷ïõìå óôïí áíåìïäü÷ï, áñáßùóç ôùí ñåõìáôéêþí ãñáììþí êáé ôá÷ýôçôá ó÷åäüí ìçäÝí. ÅðïìÝíùò, äçìéïõñãåßôáé õðåñðßåóç êáé Ýôóé ïäåýåé áÝñáò óôï åóùôåñéêü ôïõ ðëïßïõ. å) ÁñðáãÞ óôåãþí: Ìå ôïí íüìï ôïõ Bernoulli åîçãåßôáé êáé ç áñðáãÞ ôùí óôåãþí áðü ôïõò äõíáôïýò áíÝìïõò. ¼ðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá 4.20, ðÜíù áðü ôç óôÝãç Ý÷ïõìå óôÝíùóç ôçò öëÝâáò ôïõ áíÝìïõ, åðïìÝíùò äçìéïõñãßá õðïðßåóçò. Ç ìåãÜëç äéáöïñÜ ôçò åîùôåñéêÞ ðßåóçò áðü áõôÞ ôçò ðßåóçò ôïõ åóùôåñéêïý ôïõ óðéôéïý, ç ïðïßá éóïýôáé ìå ôçí áôìïóöáéñéêÞ, äçìéïõñãåß äýíáìç ìå öïñÜ ðñïò ôá åðÜíù ç ïðïßá óçêþíåé ôç óôÝãç. (ÌÜëéóôá ç óôÝãç êéíåßôáé áíôßèåôá áðü ôçí êáôåýèõíóç ôïõ áíÝìïõ). ÉÎÙÄÅÓ Èåùñïýìå äýï ðëÜêåò, ïé ïðïßåò áðÝ÷ïõí ìéêñÞ áðüóôáóç d êáé áíÜìåóÜ ôïõò õðÜñ÷åé Ýíá ñåõóôü. ¸óôù, üôé ç ðÜíù ðëÜêá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ0 êáé ç êÜôù åßíáé áêßíçôç (Ó÷. 4.21). Áðïäåéêíýåôáé ðåéñáìáôéêÜ, ãéá ðëÜêåò áðü äéáöïñåôéêÜ õëéêÜ êáé ãéá ïðïéïäÞðïôå ñåõóôü, üôé ôá óôïé÷åßá ñåõóôïý ðïõ âñßóêïíôáé óå åðáöÞ ìå ôçí ðÜíù ðëÜêá Ý÷ïõí ôá÷ýôçôá õ0 êáé áõôÜ ôá ïðïßá âñßóêïíôáé óå åðáöÞ ìå ôçí êÜôù Ý÷ïõí ôá÷ýôçôá ìçäÝí. Ç êáôáíïìÞ ôùí ôá÷õôÞôùí åßíáé áõôÞ ôïõ ó÷çìÜôïò 4.21. Ç äýíáìç F ðïõ áóêåßôáé óôçí ðÜíù ðëÜêá, åßíáé áíÜëïãç ôïõ åìâáäïý Á ôçò ðëÜêáò êáé ôçò ôá÷ýôçôáò õ0. Åðßóçò åßíáé áíôéóôñüöùò áíÜëïãç ôçò áðüóôáóçò d êáé åîÜñôáôáé áðü ôï õëéêü. ¢ñá (4.19) Ç ðïóüôçôá ç ïíïìÜæåôáé éîþäåò ôïõ ñåõóôïý. Ëýíïíôáò ôçí 4.19 ùò ðñïò ç Ý÷ïõìå Þ (4.20)ç ô d õ = 0 ç F A d õ = 0 F ç A õ d = 0 ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ 107 Ó×ÇÌÁ 4.20 Ïé äõíáìéêÝò ãñáììÝò ðõêíþíïõí óôçí ïñïöÞ ôïõ óðéôéïý. Ó×ÇÌÁ 4.21 Ç ôá÷ýôçôá ôùí äéáöüñùí óôñùìÜôùí ôïõ ñåõóôïý ìåôáâÜëëåôáé áðü ìçäÝí (ôá÷ýôçôá êÜôù ðëÜêáò) Ýùò õ0 (ôá÷’èôçôá ðÜíù ðëÜêáò).
- 124. Ç ðïóüôçôá êáëåßôáéäéáôìçôéêÞ ôÜóç êáé åßíáé ç äéáôìçôéêÞ äý- íáìç áíÜ ìïíÜäá åðéöáíåßáò. Ç ìïíÜäá ôïõ éîþäïõò, ç, óôï S.I. åßíáé ôï Pa.s êáé ïé äéáóôÜóåéò ôïõ åßíáé ML-1 T-1 . Ç ìïíÜäá poise (P) ôïõ ðáëéïý óõóôÞìáôïò CGS åßíáé, 1 poise = 10-1 Pa. s. Áò åîåôÜóïõìå ìéá ëåðôÞ ïñéæüíôéá ëùñßäá ôïõ ñåõóôïý ðïõ âñßóêåôáé áíÜìåóá óôéò äýï ðëÜêåò (Ó÷. 4.22). ÁõôÞ ç ëùñßäá Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ. Ç ëùñßäá áêñéâþò ðÜíù áðü áõôÞ, Ý÷åé ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá êáé ç ëùñßäá áêñéâþò êÜôù áðü áõôÞ ìéêñüôåñç ôá÷ýôçôá. Ç äéáôìçôéêÞ äýíáìç ðïõ äÝ÷åôáé áðü ôçí ðÜíù ëùñßäá åßíáé ç F1 êáé Ý÷åé öïñÜ ðñïò ôá äåîéÜ, êáé ç äýíáìç áðü ôçí êÜôù ëùñßäá åßíáé ç F2 êáé Ý÷åé öïñÜ ðñïò ôá áñéóôåñÜ. ÄçëáäÞ, êáôÜ ôçí êßíçóç ôïõ ñåõóôïý, áíáðôýóóïíôáé äéáôìçôéêÝò äõíÜìåéò Þ áëëéþò äõíÜìåéò åóùôåñéêÞò ôñéâÞò. Ç áíÜðôõîç áõôþí ôùí äõíÜìåùí ïöåßëåôáé óå äéáöïñåôéêïýò ëüãïõò óôá õãñÜ áð' üôé óôá áÝñéá. Óôá õãñÜ ïé äéáôìçôéêÝò äõíÜìåéò ïöåßëïíôáé óôéò äõíÜìåéò óõíï÷Þò ìåôáîý ôùí ìïñßùí ôïõ õãñïý. Ìå ôçí áýîçóç ôçò èåñìïêñáóßáò ïé äõíÜìåéò óõíï÷Þò ìéêñáßíïõí, åðïìÝíùò áíáìÝíïõìå ìåßùóç ôùí äéáôìçôéêþí äõíÜìåùí, ôï ïðïßï êáé óõìâáßíåé. Ãé' áõôü ôï ëüãï, óôá õãñÜ ôï éîþäåò ìåéþíåôáé ìå ôçí áýîçóç ôçò èåñìïêñáóßáò. Óôá áÝñéá ïé äõíÜìåéò óõíï÷Þò åßíáé áìåëçôáßåò êáé äåí äéêáéïëïãïýí ôéò äéáôìçôéêÝò äõíÜìåéò, ïé ïðïßåò åîçãïýíôáé ùò åîÞò: Ôá ìüñéá óôá áÝñéá êéíïýíôáé åëåýèåñá óå üëç ôçí Ýêôáóç ôïõ üãêïõ ôïõ áÝñá. Óõíåðþò, ìåôáîý äýï ãåéôïíéêþí ëùñßäùí óõìâáßíåé áíôáëëáãÞ ìÜæáò. Ç ìÜæá áðü ôçí ëùñßäá ìå ôçí ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá, êáèþò åéóÝñ÷åôáé óôçí ëùñßäá ìå ôçí ìéêñüôåñç ôá÷ýôçôá, óõìðáñáóýñåé ôçí ìÜæá ôçò ëùñßäáò áõôÞò, Üñá, áóêåßôáé óôçí ëùñßäá ìéêñüôåñçò ôá÷ýôçôáò, äýíáìç ïìüññïðç ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôçò ñïÞò. Ç ìÜæá üìùò, áðü ôçí ëùñßäá ìéêñüôåñçò ôá÷ýôçôáò ðïõ åéóÝñ÷åôáé óôçí ëùñßäá ìåãáëýôåñçò ôá÷ýôçôáò, ìåéþíåé ôçí ôá÷ýôçôá ôçò äåýôåñçò, åðïìÝíùò óôç ëùñßäá ìåãáëýôåñçò ôá÷ýôçôáò áóêåßôáé äéáôìçôéêÞ äýíáìç, ç ïðïßá Ý÷åé öïñÜ áíôßèåôç áðü ôçí ôá÷ýôçôá ôçò ñïÞò (Ó÷. 4.23). ¼óï ðéï ãñÞãïñá ãßíåôáé ç áíôáëëáãÞ ìÜæáò ìåôáîý ôùí äýï ëùñßäùí, ôüóï ðéï ìåãÜëåò èá åßíáé ïé äéáôìçôéêÝò äõíÜìåéò. Ç áíôáëëáãÞ ìÜæáò åîáñôÜôáé áðü ôçí ôá÷ýôçôá ôùí ìïñßùí ôïõ áåñßïõ, ç ïðïßá ãíùñßæïõìå üôé åßíáé áíÜëïãç ôçò ôåôñáãùíéêÞò ñßæáò ôçò áðïëýôïõ èåñìïêñáóßáò Ô. ¢ñá, ïé äéáôìçôéêÝò äõíÜìåéò êáé êáô' åðÝêôáóç ôï éîþäåò ôùí áåñßùí, èá åßíáé áíÜëïãï ôçò . Óôï ðßíáêá ôïõ ó÷Þìáôïò 4.24 äßíïíôáé ïé ôéìÝò ôïõ éîþäïõò ãéá äéÜöïñá áÝñéá. Ãéá ôïí áÝñá óå èåñìïêñáóßá 20 ï C ôï éîþäåò åßíáé .1 8 10 5 , × ⋅− Pa s Ô ô F A = 108 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.22 Ìéá ëùñßäá ôïõ ñåõóôïý äÝ÷åôáé äéáôìçôéêÝò äõíÜìåéò áðü ôéò ãåéôïíéêÝò ôçò ëùñßäåò Ó×ÇÌÁ 4.23 ÌÜæá Äm ìå ôá÷ýôçôá õ1 ìåôáöÝñåôáé óôç ëùñßäá (ÉÉ). Óõã÷ñüíùò ìÜæá Äm ìå ôá÷ýôçôá õ2 ìåôáöÝñåôáé óôç ëùñßäá (É). Ó×ÇÌÁ 4.24 ÐåéñáìáôéêÝò ôéìÝò ôïõ éîþäïõò óå ìïíÜäåò poise, óôç èåñìïêñáóßá 0ï C.
- 125. ÄÕÍÁÌÅÉÓ ÔÑÉÂÇÓ ÓÅÓÙÌÁÔÁ ÊÉÍÏÕÌÅÍÁ ÌÅÓÁ ÓÅ ÑÅÕÓÔÁ Áðü ôçí êáèçìåñéíüôçôá åýêïëá äéáðéóôþíïõìå üôé, Ýíá óþìá ðïõ âñßóêåôáé ó' Ýíá ñåõóôü êáé êéíåßôáé ó÷åôéêÜ ìå áõôü, äÝ÷åôáé äýíáìç áðü ôï ñåõóôü. ÂãÜæïíôáò ôï ÷Ýñé ìáò Ýîù áðü ôï ðáñÜèõñï, üôáí êéíïýìáóôå ìå Ýíá áõôïêßíçôï, äå÷üìáóôå äýíáìç áíôßèåôç áðü ôçí êßíçóç ôïõ áõôïêéíÞôïõ. Ï éó÷õñüò Üíåìïò ëõãßæåé ôá äÝíôñá êáôÜ ôç öïñÜ ôçò êßíçóçò ôïõ. Ìåôáêéíþíôáò ôï ÷Ýñé ìáò, åíþ ôï Ý÷ïõìå âõèéóìÝíï óôï íåñü, íïéþèïõìå áíôßóôáóç áðü ôï íåñü ê.ï.ê. ¼ôáí Ýíá óõììåôñéêü óþìá êéíåßôáé óå ñåõóôü ìå ôá÷ýôçôá ðáñÜëëçëç óå Ýíá åðßðåäï óõììåôñßáò ôïõ, ôüôå ç äýíáìç ðïõ äÝ÷åôáé áðü ôï ñåõóôü Ý÷åé äéåýèõíóç ßäéá ìå áõôÞ ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ óþìáôïò êáé öïñÜ áíôßèåôç, ïíïìÜæåôáé äå áíôßóôáóç Þ ïðéóèÝëêïõóá Þ êáé äýíáìç ôñéâÞò (Ó÷. 4.25). Ôá ðåéñÜìáôá äåß÷íïõí üôé ç äýíáìç áíôßóôáóçò ðïõ äÝ÷åôáé Ýíá óþìá, êáèþò êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá → õ ìÝóá Ýíá áêßíçôï ñåõóôü, Ý÷åé öïñÜ áíôßèåôç áðü áõôÞ ôçò ôá÷ýôçôáò → õ êáé ôï ìÝôñï ôçò, ðñïóåããéóôéêÜ ãéá ìéêñÝò ôá÷ýôçôåò, äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç (4.21) êáé ãéá ìåãáëýôåñåò áðü ôç ó÷Ýóç (4.22) üðïõ C1 êáé C2 óôáèåñÝò áíåîÜñôçôåò ôçò ôá÷ýôçôáò. Ãéá ôçí ðåñßðôùóç óöáéñéêïý óþìáôïò èá õðïëïãßóïõìå ôïõò óõíôåëåóôÝò C1 êáé C2 ìå ôç âïÞèåéá ôçò äéáóôáôéêÞò áíÜëõóçò. Ïé óõíôåëåóôÝò C1 êáé C2 åîáñôþíôáé áðü ôçí ðõêíüôçôá ôïõ õëéêïý ñ, ôï éîþäåò ç êáé ôçí áêôßíá R ôçò óöáßñáò. ¸óôù . Éó÷ýåé, ãéá ôéò äéáóôÜóåéò Þ Þ Þ Mk + ë L- 3 k - ë + ì + 1 Ô- ë - 1 = Ì1 L1 T - 2 Þ Þ ¢ñá, åßíáé ÐñÜãìáôé ç áêñéâÞò ó÷Ýóç åßíáé (4.23) ïðüôå ç (4.21) ãßíåôáé (Íüìïò ôïõ Stokes) (4.24)F ç R õáí ð= 6 C ç R1 6= ð C ç R1 ∝ k 0 ì 1 ë 1 = = = k ë 1 3k ë ì 1 1 ë 1 2 + = − − + + = − − = − U V| W| (ML ) (ML T ) (L) (LT ) MLT3 k 1 1 ë ì 1 2− − − − − = ñ k ë ì ç R õ F=C õ F1 = C ç R1 ∝ ñ k ë ì F C õáí = 2 2 F C õáí = 1 ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ 109 Ó×ÇÌÁ 4.25 Ó’ Ýíá óõììåôñéêü óþìá ç äýíáìç áðü ôï ñåõóôü åßíáé áíôßèåôçò öïñÜò ìå ôçí ôá÷ýôçôÜ ôïõ.
- 126. ¼ìïéá êáé ðñÝðåé Þ êÜíïíôáòôçí ßäéá äéáäéêáóßá âñßóêïõìå á = 1, â = 0, ã = 2 ¢ñá H áêñéâÞò ôéìÞ åßíáé (4.25) Ãéá äéÜöïñåò ãåùìåôñéêÝò ìïñöÝò áðïäåéêíýåôáé üôé ï C2 äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç (4.26) üðïõ Cáí åßíáé ï óõíôåëåóôÞò áíôßóôáóçò, ï ïðïßïò åîáñôÜôáé áðü ôï ó÷Þìá ôïõ óþìáôïò êáé êõñßùò áðü áõôü ôïõ ðßóù ìÝñïõò ôïõ, ìéêñáßíïíôáò áñêåôÜ üôáí ôï óþìá Ý÷åé áåñïäõíáìéêÞ (é÷èõþäç) ìïñöÞ. Óôï ó÷Þìá 4.26 äßíåôáé Ýíá ìÝôñï óýãêñéóçò ôïõ Cáí ãéá äéÜöïñá ãåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá. Á: ç ìåôùðéêÞ åðéöÜíåéá ôïõ óþìáôïò, äçëáäÞ ç ìÝãéóôç äéáôïìÞ ôïõ óþìáôïò, ç ïðïßá åßíáé êÜèåôç óôçí ôá÷ýôçôÜ ôïõ. ñ: ç ðõêíüôçôá ôïõ ñåõóôïý. ÐáñáôÞñçóç: ¼ôáí êéíåßôáé ôï ñåõóôü êáé ôï óþìá åßíáé áêßíçôï, ç ôá÷ýôçôá õ óôïõò ðñïçãïýìåíïõò ôýðïõò åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ ñåõóôïý. Áí êéíïýíôáé êáé ôï óþìá êáé ôï ñåõóôü, ôüôå ç ôá÷ýôçôá åßíáé ç ó÷åôéêÞ ôïõò ôá÷ýôçôá. Åðßóçò, ç ñïÞ ãýñù áðü ôï óþìá, óôçí ðåñßðôùóç ôïõ íüìïõ ôïõ Stokes, ðñÝðåé íá åßíáé óôñùôÞ. ÐáñÜäåéãìá 4-4 Óöáéñéêü óþìá áêôßíáò R = 10 cm êáé ìÜæáò m = 2,0 kg áöÞíåôáé íá ðÝóåé áðü áñêåôü ýøïò. Íá õðïëïãéóôåß ç ïñéáêÞ ôá÷ýôçôá ðïõ áðïêôÜ ôï óþìá. Èåùñåßóôå óõíåéóöïñÜ óôçí äýíáìç áíôßóôáóçò ìüíï áðü ôïí üñï C2õ2 . ÁðÜíôçóç Êáèþò ôï óþìá ðÝöôåé, áóêïýíôáé ó’ áõôü ôï âÜñïò êáé ç áíôßóôáóç ôïõ áÝñá. Áñ÷éêÜ ôï âÜñïò åßíáé ìåãáëýôåñï êáé ôï óþìá åðéôá÷ýíåôáé. Ç áýîçóç ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ óþìáôïò óõíåðÜãåôáé áýîçóç êáé ôçò áíôßóôáóçò ôïõ áÝñá. Ç ôá÷ýôçôá áðïêôÜ ôçí ïñéáêÞ ôçò ôéìÞ üôáí ïé äõíÜìåéò ãßíïõí ßóåò êáôÜ ìÝôñï, äçëáäÞ Fáí = mg Þ Þ Üñá Þ õïñ = 43 ms-1 õïñ 1 m s= × × × −2 0 1 2 0 9 8 3 14 1 3, , , , , õ R m g ïñ ð = 2 ñ ð 4 ïñ 2 ñ R õ m g2 = C C Á2 2 2 = áí ñ C R2 2 = ð 4 ñ C R2 2 ∝ ñ ñ á â ã 2 ç R õ F=[ ] [ ]C õ F2 2 = C ç R2 ∝ ñ á â ã 110 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.26 Óýãêñéóç óõíôåëåóôþí áíôßóôáóçò ãéá äéÜöïñá ãåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá. Ó×ÇÌÁ 4.27
- 127. ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ111 ÐáñÜäåéãìá 4-5 Óå Ýíá ïñéæüíôéï êáé ëåßï ôñáðÝæé âñßóêåôáé ìéêñÞ ìðßëéá áêôßíáò R = 0,50 mm. Ìå Ýíá öõóåñü äçìéïõñãïýìå ïñéæüíôéï ñåýìá áÝñïò ôá÷ýôçôáò õ1 = 6,0 m. s-1 . Íá õðïëïãéóôåß ç äýíáìç, ôçí ïðïßá ôï ñåýìá áÝñïò áóêåß óôç ìðßëéá, á) ¼ôáí ç ìðßëéá åßíáé áêßíçôç, â) üôáí áðïêôÞóåé ôá÷ýôçôá õ2 = 4,0 ms-1 , ã) üôáí áðïêôÞóåé ôçí ïñéáêÞ ôçò ôá÷ýôçôá. ÈåùñÞóôå üôé ç äýíáìç áðü ôïí áÝñá åßíáé áíÜëïãç ôçò ôá÷ýôçôáò. (ç = 1,8 × 10-5 Pa.s) ÁðÜíôçóç á) ¼ôáí ç ìðßëéá åßíáé áêßíçôç åßíáé Fáí = C1 õ1 Þ Fáí = 6ðçRõ1 Áíôéêáèéóôþíôáò Ý÷ïõìå Þ Fáí = 1,0 × 10-6 N â) ¼ôáí ç ìðßëéá áðïêôÜ ôá÷ýôçôá õ2 ç ó÷åôéêÞ ôçò ôá÷ýôçôá, ùò ðñïò ôïí áÝñá, åßíáé (õ1 - õ2). ¢ñá, ç äýíáìç áðü ôïí áÝñá åßíáé Fáí = C1 (õ1 - õ2) Þ Fáí = 6ðçR (õ1 - õ2) Áíôéêáèéóôþíôáò Ý÷ïõìå Þ Fáí = 0,3 × 10-6 N ã) ÏñéáêÞ ôá÷ýôçôá èá áðïêôÞóåé ç ìðßëéá, üôáí ç äýíáìç (áíôßóôáóç) ãßíåé ìçäÝí. ¢ñá Fáí = 0 ïðüôå õïñ = õ1 = 6,0 m. s-1 ÄÕÍÁÌÉÊÇ ÁÍÙÓÇ Óôï ðñïçãïýìåíï êåöÜëáéï ìåëåôÞóáìå ôçí äýíáìç ðïõ áíáðôýóóåôáé ó' Ýíá óþìá, üôáí áõôü êéíåßôáé ùò ðñïò ôï ñåõóôü. ÅîåôÜóáìå ôçí ðåñßðôùóç êáôÜ ôçí ïðïßá ôï óþìá åßíáé óõììåôñéêü, ïðüôå ç äýíáìç (áíôßóôáóç) ðïõ åîáóêåßôáé ó’ áõôü åßíáé áíôßèåôç ðñïò ôçí ôá÷ýôçôá. Áí üìùò ôï óþìá äåí åßíáé óõììåôñéêü, ôá ðñÜãìáôá åßíáé äéáöïñåôéêÜ, ç äýíáìç F áðü ôï ñåõóôü äåí åßíáé áíôßèåôç ôçò ôá÷ýôçôÜò ôïõ. Ãéá ðáñÜäåéãìá, ç äýíáìç óôçí ðôÝñõãá åíüò áåñïðëÜíïõ åßíáé üðùò óôï ó÷Þìá 4.31. Áíáëýïíôáò ôçí äýíáìç F ôïõ ó÷Þìáôïò 4.31 ðáßñíïõìå äýï óõíéóôþóåò. Ç ïñéæüíôéá óõíéóôþóá Fáí åßíáé ç äýíáìç ôñéâÞò (ç áíôßóôáóç) êáé ç êáôáêüñõöïò óõíéóôþóá Fê åßíáé ìéá äýíáìç ðïõ ïíïìÜæåôáé äõíáìéêÞ Üíùóç. Ç åîÞãçóç ôçò äçìéïõñãßáò ôçò äõíáìéêÞò Üíùóçò åßíáé ç åîÞò: ¼ôáí ç ðôÝñõãá ôïõ áåñïðëÜíïõ êéíåßôáé, ç ìïñöÞ ôùí ñåõìáôéêþí ãñáììþí åßíáé áõôÞ ôïõ ó÷Þìáôïò 4.32. Ïé äõíáìéêÝò ãñáììÝò ðõêíþíïõí óôï ðÜíù ìÝñïò ôçò ðôÝñõãáò êáé áñáéþíïõí óôï êÜôù. ÅðïìÝíùò, óôçí ðôÝñõãá ôïõ áåñïðëÜíïõ ç ôá÷ýôçôá ôïõ áÝñá åßíáé ìåãáëýôåñç óôï åðÜíù ìÝñïò ôçò ðôÝñõãáò êáé ìéêñüôåñç óôï êÜôù (õ1 > õ2). ¢ñá, ìå âÜóç ôï íüìï ôïõ Bernoulli, ç ðßåóç óôï åðÜíù ìÝñïò åßíáé ìéêñüôåñç áðü áõôÞ óôï êÜôù ìÝñïò. ÅðïìÝíùò, êáé ç äýíáìç ôïõ áÝñá óôçí ðôÝñõãá åßíáé ìåãáëýôåñç óôï êÜôù ìÝñïò áð' üôé óôï åðÜíù. Ç óõíéóôáìÝíç ôùí äýï áõôþí äõíÜìåùí Ý÷åé öïñÜ ðñïò ôá åðÜíù êáé ïíïìÜæåôáé äõíáìéêÞ Üíùóç. Fáí N= × × × × × ×− − 6 3 14 1 8 10 0 5 10 2 05 3 , , , , Fáí ( ) N= × × × × × ×− − 6 3 14 1 8 10 0 5 10 6 05 3 , , , , Ó×ÇÌÁ 4.28-30 Ó×ÇÌÁ 4.31 Ç äýíáìç ôïõ áÝñá óôçí ðôÝñõãá åßíáé ðëÜãéá êáé ü÷é ïñéæüíôéá Ó×ÇÌÁ 4.32 Ïé äõíáìéêÝò ãñáììÝò ãýñù áðü ôçí ðôÝñõãá áåñïðëÜíïõ.
- 128. 112 MHXANIKH ÊáôÜ ôçíêßíçóç ôùí ñåõóôþí éó÷ýïõí ïé åîÞò íüìïé: á) Ï íüìïò ôçò óõíÝ÷åéáò, óýìöùíá ìå ôïí ïðïßï ôï ãéíüìåíï ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ ñåõóôïý åðß ôï åìâáäüí ôçò äéáôïìÞò ôïõ ñåõìáôéêïý óùëÞíá, óå êÜèå óçìåßï ôïõ (êáôÜ ìÞêïò ôïõ óùëÞíá) åßíáé ôï ßäéï. Á1 õ1 = Á2 õ2 â) Ï íüìïò ôïõ Bernoulli, óýìöùíá ìå ôïí ïðïßï, ãéá äýï óçìåßá ôïõ ñåõóôïý êáé áóôñüâéëç ñïÞ, éó÷ýåé üðïõ ñ åßíáé ç ðõêíüôçôá ôïõ ñåõóôïý, y1, y2 ïé êáôáêüñõöåò áðüóôáóåéò ôùí óçìåßùí áðü äåäïìÝíï ïñéæüíôéï åðßðåäï êáé p1, p2 oé ðéÝóåéò óôá óçìåßá. ÅêöñÜæåé ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò åíÝñãåéáò. ÌåñéêÝò áðü ôéò åöáñìïãÝò ôïõ íüìïõ ôïõ Bernoulli åßíáé ï øåêáóôÞñáò, ôï âåíôïõñßìåôñï, ï óùëÞíáò Pitot ê.ô.ë. ¸óôù äýï ðëÜêåò åìâáäïý Á, ðïõ áðÝ÷ïõí áðüóôáóç d êáé áíÜìåóÜ ôïõò õðÜñ÷åé ñåõóôü. Ç ðÜíù ðëÜêá êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ0 , ðáñÜëëçëá ðñïò ôçí Üëëç ðïõ åßíáé áêßíçôç. Ôï éîþäåò ôïõ ñåõóôïý ïñßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç üðïõ ô = F/A ç äéáôìçôéêÞ ôÜóç êáé d ç áðüóôáóç ìåôáîý äýï ðëáêþí. ¼ôáí Ýíá óþìá êéíåßôáé ìÝóá óå Ýíá ñåõóôü ìå ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá õ, ãéá ìéêñåò ôá÷ýôçôåò äÝ÷åôáé áíôßóôáóç áðü ôï ñåõóôü êáé ãéá ìåãÜëåò ôá÷ýôçôåò Áí ôï óþìá åßíáé óöáéñéêü áêôßíáò R, áðïäåéêíýåôáé üôé åßíáé üðïõ ç ôï éîþäåò ôïõ ñåõóôïý êáé üðïõ ñ ç ðõêíüôçôá ôïõ ñåõóôïý. Óôç ðåñßðôùóç ðïõ áóýììåôñï óþìá êéíåßôáé ïñéæüíôéá óôïí áÝñá, ìå ïñéóìÝíåò ðñïûðïèÝóåéò ç äýíáìç áðü ôïí áÝñá Ý÷åé êáôáêüñõöç óõíéóôþóá ìå öïñÜ ðñïò ôá ðÜíù ç ïðïßá ïíïìÜæåôáé äõíáìéêÞ Üíùóç. C R2 2 = ð 4 ñ C ç R1 6= ð F C õ= 2 2 F C õ= 1 ç ô d õ = 0 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2ñ ñ ñ ñõ g y p õ g y p+ + + += drasthriothtesA N A Ê Å Ö Á Ë Á É Ù Ó Ç ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ ÔÏÕ ÍÏÌÏÕ BERNOULLI 1. ÐÜñôå äýï öýëëá ÷áñôß, ôïðïèåôÞóôå ôá ðáñÜëëçëá ìå ôç ìåãÜëç äéÜóôáóç êáôáêüñõöç êáé óå áðüóôáóç ìåôáîý ôïõò ≈ 5 cm. ÖõóÞîôå áíÜìåóÜ ôïõò áðü ðÜíù ðñïò ôá êÜôù êáé ðáñáôçñÞóôå üôé áõôÜ Ýëêïíôáé. ÅîçãÞóôå ôï öáéíüìåíï. 2. ÐÜñôå Ýíá êïììÜôé ÷áñôéïý äéáóôÜóåùí 5 cm × 5 cm êáé áöÞóôå ôï ðÜíù óôï ôñáðÝæé. Ôïðïèåôåßóôå ìéá êïõâáñßóôñá ìå ôïí ÜîïíÜ drasthriothtesÄ Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Å Ó
- 129. ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ113 ôçò êÜèåôï óôï ìÝóï ôïõ ÷áñôéïý, þóôå ç êÜôù âÜóç ôçò íá áðÝ÷åé ðåñßðïõ 1mm ìå 2mm áðü ôï ÷áñôß. ÖõóÞîôå áðü ôçí ðÜíù ôñýðá ôçò êïõâáñßóôñáò ðñïò ôá êÜôù êáé ðáñáôçñÞóôå üôé ôï ÷áñôé áíõøþíåôáé êáé êïëëÜåé óôçí êÜôù âÜóç ôçò êïõâáñßóôñáò. ÅîçãÞóôå ôï öáéíüìåíï. 3. ØåêáóôÞñáò: ×ñçóéìïðïéÞóôå ìéá öéÜëç ÷ùñçôéêüôçôáò ðåñßðïõ 250mL êáé ðþìá áðü öåëü Þ ëÜóôé÷ï ìå äýï ïðÝò. Ãåìßóôå ôç öéÜëç ìå íåñü ëßãï ðéï ðÜíù áðü ôç ìÝóç. ÐåñÜóôå äýï ãõÜëéíïõò óùëÞíåò Þ “êáëáìÜêéá” áðü ôéò ïðÝò ôïõ ðþìáôïò, ï Ýíáò ìå áìâëåßá ãùíßá, ÷ùñßò íá åßíáé âõèéóìÝíïò óôï õãñü, êáé ï Üëëïò êáôáêüñõöïò âõèéóìÝíïò óôï õãñü ìå áêñïöýóéï óôçí Üêñç ðïõ åßíáé Ýîù áðü ôï äï÷åßï. Ìå ôñßôï óùëÞíá, ï ïðïßïò êáôáëÞãåé óå áêñïöýóéï, öõóÞîôå ðïëý äõíáôÜ, áêñéâþò ðÜíù áðü ôá ÷åßëç ôïõ Üëëïõ áêñïöõóßïõ, äçìéïõñãþíôáò ïñéæüíôéï ñåýìá. ÐáñáôçñÞóôå üôé ôï íåñü óôï âõèéóìÝíï óå áõôü óùëÞíá áíÝñ÷åôáé êáé ìÜëéóôá, óå ïñéóìÝíåò ðåñéðôþóåéò, ìðïñåß íá åîÝëèåé äçìéïõñãþíôáò ðßäáêá. Åîçãåßóôå ôï öáéíüìåíï. Ïé äéáóôÜóåéò ôùí ãõÜëéíùí óùëÞíùí ðïõ èá ÷ñçóéìïðïéçèïýí óôï ðåßñáìá íá åßíáé ðåñßðïõ 5 mm. 4. Ó’ Ýíá ðëáóôéêü ìðåôüíé áíïßãïõìå ìéá ïðÞ óôï êáôáôþôåñï ìÝñïò. Ì’ Ýíá ðþìá áðü öåëü, ôï ïðïßï Ý÷åé ìéá ôñýðá, êëåßíïõìå ôçí êÜôù ïðÞ êáé ðåñíÜìå áðü ôï öåëü Ýíá ëÜóôé÷ï ìéêñïý ìÞêïõò. Óå áõôü óõíäÝïõìå äéáäï÷éêÜ Üëëï ëÜóôé÷ï äéðëÜóéáò ðåñßðïõ äéáôïìÞò, óôï ôÝëïò ôïõ ïðïßïõ Ý÷ïõìå óõíäÝóåé ìéá âñýóç. ÊáôÜ ìÞêïò ôùí äýï ëÜóôé÷ùí áíïßãïõìå ïðÝò, üðïõ âõèßæïõìå, ðïëý ëßãï êáëáìÜêéá. ¸íá áðü áõôÜ åßíáé óðáóôü êáé ìéêñáßíïíôáò ðéï ðïëý ôï ìéêñü óêÝëïò, ôï ôïðïèåôïýìå ìÝóá óôï óùëÞíá, þóôå íá åßíáé ðáñÜëëçëï óôï ëÜóôé÷ï (äåò ó÷Þìá). ×ñçóéìïðïéåßóôå óéëéêüíç, ãéá íá ìçí Ý÷åôå äéáññïÝò óôéò äéÜöïñåò ôñýðåò ðïõ áíïßîáôå. Åðßóçò, áí ÷ñåéÜæåôáé, ôïðïèåôåßóôå äéðëÜ êáëáìÜêéá ôïðïèåôþíôáò Üëëá ìéêñüôåñçò äéáôïìÞò ðÜíù áðü ôá ðñþôá, þóôå íá áõîçèåß ôï ýøïò ôùí ìáíïìÝôñùí. ÔñïöïäïôÞóôå ì’ Ýíá ëÜóôé÷ï ðïõ åßíáé óõíäåìÝíï ìå ôçí âñýóç ôïõ óðéôéïý ôï óùëÞíá êáé ñõèìßóôå ôç âñýóç ôçò óõóêåõÞò, þóôå ç óôÜèìç ôïõ íåñïý óôï ìðåôüíé íá ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ. ÌåôñÞóôå ôá ýøç ôïõ íåñïý óôá ìáíüìåôñá êáé åîçãÞóôå ôï áðïôÝëåóìá. Êáôüðéí áõîÞóôå êáé ôéò äýï ðáñï÷Ýò êáé ìÜëéóôá óôï äéðëÜóéï, ðñïóÝ÷ïíôáò ç óôÜèìç ôïõ íåñïý óôï ìðåôüíé íá åßíáé ßäéá üðùò ðñéí. ÎáíáìåôñÞóôå ôéò åíäåßîåéò ôùí ìáíïìÝôñùí, óõãêñßíåôå áõôÝò ìå ôéò ðñïçãïýìåíåò êáé åîçãÞóôå ôá áðïôåëÝóìáôá. (Ðþò ìðïñïýìå íá äéðëáóéÜóïõìå ôéò ðáñï÷Ýò;).
- 130. 114 MHXANIKH 1 ¸íá óùìÜôéïñåõóôïý áêïëïõèåß ôç ñïúêÞ ãñáììÞ (á). ×áñáêôçñßóôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ùò óùóôÝò (Ó) Þ ëÜèïò (Ë). i) ¼ôáí ôï óùìÜôéï ñåõóôïý âñßóêåôáé óôç èÝóç  Ý÷åé ôç ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá. ii) ÅðåéäÞ ïé ñïúêÝò ãñáììÝò äåí êëåßíïõí ç ñïÞ åßíáé áóôñüâéëç. 2 Ìðïñïýí äýï ñïúêÝò ãñáììÝò íá ôÝìíïíôáé; 3 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç. “ÊáôÜ ôçí êßíçóç ôïõ ñåõóôïý óå ñåõìáôéêü óùëÞíá, áðü ôá ôïé÷þìáôÜ ôïõ äåí äéáöåýãåé (á) ..... êáé óôï åóùôåñéêü äåí õðÜñ÷ïõí (â) ....., Üñá ç ìÜæá ôïõ ñåõóôïý äéáôçñåßôáé óôáèåñÞ. Óõíåðþò ç ìÜæá ðïõ åéóñÝåé áðü ôçí ìéá áêñáßá äéáôïìÞ (ã) ..... ìå áõôÞ (ä) ..... áðü ôçí Üëëç áêñáßá äéáôïìÞ”. 4 Óôï óþëçíá ôïõ ó÷Þìáôïò ñÝåé õãñü. ×áñáêôç- ñßóôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ùò óùóôÝò (Ó) Þ ëÜèïò (Ë). (á) Ç ðáñï÷Þ óôçí äéáôïìÞ Á1 åßíáé ßóç ìå ôçí ðáñï÷Þ óôç äéáôïìÞ Á2 äéüôé ôá õãñÜ åßíáé áóõìðßåóôá êáé óõíåðþò ç ìÜæá ðïõ åéóÝñ÷åôáé óôï ôìÞìá ôïõ 5. ÌÅÔÑÇÓÇ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÇ ÉÎÙÄÏÕÓ Ãåìßóôå Ýíá ìáêñüóôåíï óùëÞíá ìå ðá÷ýñåõóôï ëÜäé, ð.÷. êáóôïñÝëáéï (êáèáñôéêü ëÜäé), êáé óçìåéþóôå ôï óçìåßï ðïõ áðÝ÷åé 30 cm áðü ôïí ðõèìÝíá ôïõ êÜíïíôáò ìéá ãñáììÞ ìå ìáñêáäüñï. ÁöÞóôå áðü êÜðïéï ýøïò áðü ôçí åðéöÜíåéá ìéêñÝò áôóÜëéíåò óöáßñåò, áöïý ðñþôá ìåôñÞóåôå ôçí äéÜìåôñü ôïõò. Ìå ÷ñïíüìåôñï ÷åéñüò ìåôñåßóôå ôï ÷ñüíï ðïõ ÷ñåéÜæïíôáé íá äéáíýóïõí ôá 30 cm êáé õðïëïãßóôå ôçí ôá÷ýôçôÜ ôïõò. Èåùñþíôáò ôçí ùò ôçí ïñéáêÞ, õðïëïãßóôå áðü ôï íüìï ôïõ Stokes ôï óõíôåëåóôÞ éîþäïõò. 6. ÕÐÏËÏÃÉÓÌÏÓ ÏÑÉÁÊÇÓ ÔÁ×ÕÔÇÔÁÓ ÁËÅÎÉÐÔÙÔÉÓÔÇ ÖôéÜîôå Ýíá áðëü áëåîßðôùôï ìå ÷áñôß Þ ýöáóìá. ¸íáò ößëïò óáò áöÞíåé ôï áëåîßðôùôï áðü ôçí âåñÜíôá ôïõ ôåëåõôáßïõ ïñüöïõ ôçò ðïëõêáôïéêßáò óáò êáé åóåßò, áðü ôçí âåñÜíôá ôïõ ðñþôïõ ïñüöïõ, ìåôñÜôå ìå ÷ñïíüìåôñï ÷åéñüò ôï ÷ñüíï ðïõ ÷ñåéÜæåôáé ãéá íá äéáíýóåé ôï áëåîßðôùôï ôçí áðüóôáóç áðü åóÜò ìÝ÷ñé ôï Ýäáöïò. ÌåôÜ ìå ìéá ìåæïýñá ìåôñÞóôå ôï ýøïò áðü ôï Ýäáöïò êáé õðïëïãßóôå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ áëåîßðôùôïõ. Èåùñþíôáò üôé åßíáé ç ïñéáêÞ ôá÷ýôçôá, êáé ìåôñþíôáò ôçí äéÜìåôñï ôïõ áëåîßðôùôïõ, êáèþò êáé ôï âÜñïò ôïõ ìå æõãáñéÜ, õðïëïãßóôå ôçí ïñéáêÞ ôá÷ýôçôá åíüò ðñáãìáôéêïý áëåîßðôùôïõ õðïèÝôïíôáò üôé Ý÷åé ìåôùðéêÞ åðéöÜíåéá êõêëéêÞ, äéáìÝôñïõ ðåñßðïõ 7 m êáé ôï óõíïëéêü âÜñïò áëåîéðôùôéóôÞ - áëåîéðôþôïõ åßíáé ðåñßðïõ 80 kgf (kp). ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ
- 131. ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ115 óùëÞíá ìåôáîý ôùí äéáôïìþí Á1 êáé Á2 åßíáé ßóç ìå áõôÞ ðïõ åîÝñ÷åôáé (áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò ìÜæáò). (â) Ãéá íá åßíáé ç ðáñï÷Þ ôçò äéáôïìÞò Á1 ßóç ìå áõôÞ ôçò äéáôïìÞò Á2 èá ðñÝðåé íá ìçí õðÜñ÷ïõí åóùôåñéêÝò ôñéâÝò óôï õãñü êáèþò êáé ôñéâÝò ìåôáîý õãñïý êáé óùëÞíá. (ã) Ç ôá÷ýôçôá ôïõ ñåõóôïý ôçò äéáôïìÞò Á1 åßíáé ìéêñüôåñç áðü ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ ñåõóôïý ôçò äéáôïìÞò Á2. 5 Ãéáôß üôáí ðïôßæïõìå ôá ëïõëïýäéá ìå Ýíá ëÜóôé÷ï ìåéþíïõìå ôçí åðéöÜíåéá ôïõ óôïìßïõ üôáí èÝëïõìå íá ðÜåé ôï íåñü ìáêñýôåñá; 6 Ãéá ôï éäáíéêü ñåõóôü ôïõ ó÷Þìáôïò ïé äéáôïìÝò Á1 êáé Á2 Ý÷ïõí ó÷Ýóç 3:1. Áí Ð1, õ1 êáé Ð2, õ2 ïé ðáñï÷Ýò êáé ïé ôá÷ýôçôåò óôéò äéáôïìÝò Á1 êáé Á2 áíôßóôïé÷á. Ðïéü áðü ôá ðáñáêÜôù åßíáé óùóôü. (á) Ð1 = Ð2 êáé õ1 = 3õ2 (â) Ð1 = 3Ð2 êáé õ2 = 3õ1 (ã) Ð1 = Ð2 êáé õ2 = 3õ1 (ä) Ð2 = 3Ð1 êáé õ1 = õ2 7 Ï íüìïò ôïõ Bernoulli óýìöùíá ìå ôïí ïðïßï ôï ðïëõþíõìï (á) ..... Ý÷åé óôáèåñÞ ôéìÞ, åêöñÜæåé ôçí (â) ..... ¼ðïõ ç ðõêíüôçôá ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò åßíáé ç ðïóüôçôá (ã) ....., ôçò äõíáìéêÞò (ä) ..... êáé ôçò åíÝñãåéáò ðéÝóåùí ç (å) .....”. 8 Óôç öëÝâá ôïõ ó÷Þìáôïò ñÝåé éäáíéêü ñåõóôü ìå áóôñüâéëç ñïÞ. ÐïéÝò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò. (á) Ï íüìïò ôïõ Bernouli éó÷ýåé ãéá ôá óçìåßá Á êáé  êáé ü÷é ãéá ôá óçìåßá Á êáé Ã. (â) Ç ðßåóç óôç èÝóç Á åßíáé ðÜíôá ìåãáëýôåñç áðü ôçí ðßåóç óôç èÝóç Â, äéüôé óôçí áíôßèåôç ðåñßðôùóç äåí èá áíÝñ÷ïíôáí ôï ñåõóôü êáé èá Ýññåå ðñïò ôçí áíôßèåôç êáôåýèõíóç. (ã) Ç ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá ôçò ìÜæáò Äm åíüò óùìÜôéïõ ñåõóôïý óôçí èÝóç Á åßíáé ßóç ìå ôçí ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá (ÄõíáìéêÞ óõí êéíçôéêÞ) åíüò óùìáôßïõ ñåõóôïý ìÜæáò Äm óôç èÝóç Â, åðåéäÞ éó÷ýåé ï íüìïò ôïõ Bernoulli ï ïðïßïò åêöñÜæåé ôï éóïæýãéï åíåñãåéþí. (ä) Ç ôá÷ýôçôá óôç èÝóç  åßíáé ðÜíôá ìéêñüôåñç áðü ôçí ôá÷ýôçôá óôç èÝóç Á. (å) Áí ç öëÝâá Ý÷åé ßäéá äéáôïìÞ óå üëç ôçí ÝêôáóÞ ôçò ïé ðéÝóåéò óôá äéÜöïñá óçìåßá ó÷åôßæïíôáé ìåôáîý ôïõò ìå ôïí ßäéï ôñüðï üðùò êáé óôçí õäñïóôáôéêÞ. 9 (á) Ìéá ìðÜëá âñßóêåôáé óå ìéá ñïÞ üðùò óôï ó÷Þìá, ìÝóá óå ðñáãìáôéêü ñåõóôü ìå óôñùôÞ ñïÞ, ÷ùñßò íá ðåñéóôñÝöåôáé. ÐïéÝò äõíÜìåéò áóêïýíôáé óôç ìðÜëá; (â) Áí ç ìðÜëá ðåñéóôñÝöåôáé ãýñù áðü Üîïíá ï ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ôçò, êáôÜ ôç öïñÜ ôùí äåéêôþí ôïõ ïñïëïãéïý, ðïéü áðü ôá õðüëïéðá ó÷Þìáôá ðáñéóôÜíåé ðéï ðéóôÜ ôç ìïñöÞ ôùí ñïúêþí ãñáììþí êáé ðïéÝò äõíÜìåéò áóêïýíôáé ôüôå óôç ìðÜëá;
- 132. 116 MHXANIKH 10 ÅîçãÞóôå ãéáôßìðïñåß Ýíá éóôéïöüñï íá êéíåßôáé ó÷åäüí áíôßèåôá ðñïò ôïí Üíåìï. 11 Ç ðôÝñõãá ôïõ ó÷Þìáôïò âñßóêåôáé óå ïñéæüíôéï ñåýìá áÝñá. Ðùò áðïäåéêíýåôáé üôé ç ðßåóç óôï óçìåßï Á åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ôçí ðßåóç óôï Â; H ñïÞ åßíáé áóôñüâéëç. 12 Ãéá Ýíá éäáíéêü ñåõóôü ðïéü áðü ôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá åßíáé ëÜèïò êáé ðïéü óùóôü; 13 Åîçãåßóôå ãéáôß óôï ó÷Þìá ç óôÜèìç ôïõ õãñïý óôï óùëÞíá (á) åßíáé õøçëüôåñç áðü áõôÞ ôïõ óùëÞíá (â). 14 Óôï ó÷Þìá ôá ýøç ôïõ õãñïý åßíáé h1, h2, h3 üôáí ç óôñüöéããá åßíáé áíïéêôÞ. Ìðïñåßôå íá ðñïâëÝøåôå ôá áíôßóôïé÷á ýøç üôáí êëåßóåé ç óôñüöéããá êáé óôáìáôÞóåé ç ñïÞ ôïõ õãñïý. 15 Áí óå ìéá éáôñéêÞ óýñéããá äéðëáóéÜóïõìå ôùí äýíáìç ìå ôçí ïðïßá ðéÝæïõìå ôï Ýìâïëï, ç ôá÷ýôçôá åêôüîåõóçò ôïõ ðåñéå÷ïìÝíïõ, áí áñ÷éêÜ Þôáí õ, èá ãßíåé (á) 2õ, (â) , (ã) 4 õ Þ (ä) õ/2; 16 Åîçãåßóôå ãéáôß ç öëÝâá íåñïý áðü âñýóç ðïõ “ôñÝ÷åé” ëåðôáßíåé üóï ç áðüóôáóç áðü ôá ÷åßëç ôçò âñýóçò ìåãáëþíåé (ìÝ÷ñé êÜðïéá áðüóôáóç, üðïõ áðü óôñùôÞ, ç ñïÞ ãßíåôáé ôõñâþäçò). 17 ¸íá ðïôéóôÞñé êÞðïõ Ý÷åé óôçí åðéöÜíåéÜ ôïõ 140 ìéêñÝò ôñýðåò 2,0 mm2 ç êÜèå ìßá. ÅÜí ç ðáñï÷Þ ôïõ ëÜóôé÷ïõ ôñïöïäïóßáò åßíáé 3,0×10-3 m3 s-1 , ðïéÜ åßíáé ç ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá åêôïîåýåôáé ôï íåñü áðü ôéò ôñýðåò; 2 õ
- 133. ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ117 18 Áíôéóôïé÷ßóôå ôá ãñÜììáôá ìå ôïõò áñéèìïýò (á) ñAõ = óôáè. (â) 1/2 ñõ2 + ñgy + p = óôáè., (ã) 1/2 ñõ2 + p = óôáè. (1) Nüìïò Bernouli ãéá ñåõóôü óå ïñéæüíôéï óùëÞíá. (2) Íüìïò Bernoulli ãéá áêßíçôï ñåõóôü. (3) Íüìïò óõíÝ÷åéáò. (4) Íüìïò Bernoulli, óôç ãåíéêÞ ðåñßðôùóç. 19 (á) ÁöÞíïõìå óå äýï äï÷åßá ìå ßäéï õãñü íá ðÝóïõí äýï üìïéåò ìéêñÝò ìåôáëëéêÝò óöáßñåò. Ç èåñìïêñáóßá ôïõ ðñþôïõ äï÷åßïõ åßíáé ìåãáëýôåñç áðü áõôÞ ôïõ äåõôÝñïõ. ÐïéÜ óöáßñá èá öôÜóåé ãñçãïñüôåñá óôïí ðõèìÝíá, áí ôï ýøïò ôïõ õãñïý åßíáé ßäéï êáé ãéá ôá äýï äï÷åßá êáé ôï óþìá áöÝèçêå áðü ôçí åðéöÜíåéá; (â) Áí áíôß õãñïý óôá äï÷åßá õðÞñ÷å áÝñéï, èá Þôáí ßäéá, üðùò ðñéí, ç óåéñÜ áöéîçò ôùí ìåôáëëéêþí óöáéñþí óôïõò ðõèìÝíåò; 20 Óôï ðéï êÜôù ó÷Þìá åÜí ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ðëÜêá ìåãáëõôÝñïõ åìâáäïý åðéöáíåßáò Á, ôï éîþäåò ôïõ õãñïý (á) èá áõîçèåß (â) èá åëáôôùèåß (ã) èá ðáñáìåßíåé ßäéï; 21 ÊáôÜ ôçí êßíçóç ðñáãìáôéêïý ñåõóôïý óå Ýíá óùëÞíá, äýï åöáðôüìåíåò ëåðôÝò ëùñßäåò ñåõóôïý, ðáñÜëëçëåò ìå ôçí êáôåýèõíóç ôçò êßíçóçò Ý÷ïõí äéáöïñåôéêÝò ôá÷ýôçôåò ìå áðïôÝëåóìá íá (á) ..... ìåôáîý ôïõò (â) ..... Ïé äõíÜìåéò áõôÝò óôá õãñÜ ïöåßëïíôáé óôéò (ã) . . . . . åíþ óôá áÝñéá óôçí (ä) ..... ìåôáîý ôùí äýï ëùñßäùí”. 22 Áõôïêßíçôï ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ êüíôñá óôïí Üíåìï äÝ÷åôáé äýíáìç áíôßóôáóçò F = C2 õ2 . Áí êéíçèåß áíôßèåôá ìå ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá ç äýíáìç ôçò áíôßóôáóçò ãßíåôáé Ç ôá÷ýôçôá ôïõ áíÝìïõ åßíáé (á) (â) (ã) (ä) 23 Áåñüóôáôï áñ÷ßæåé íá ðáñáóýñåôáé áðü Üíåìï óôáèåñÞò ôá÷ýôçôáò õ0. ÐïéÜ áðü ôéò ðáñáêÜôù ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ðáñéóôÜíåé êáëýôåñá ôçí ïñéæüíôéá ôá÷ýôçôá ôïõ áåñüóôáôïõ ìå ôï ÷ñüíï; 24 ¼ôáí áõôïêßíçôï äéáíýåé ìéá áðüóôáóç, ìå ôá÷ýôçôá õ, îïäåýåôáé åíÝñãåéá W ãéá ôçí õðåñíßêçóç ôçò áíôßóôáóçò ðïõ ïöåßëåôáé óôïí áÝñá. Áí äéáíýóåé 4 3 õõ 7 9 16 õ 3 4 õ ′ =F F 9 16
- 134. 118 MHXANIKH ôçí ßäéááðüóôáóç ìå ôá÷ýôçôá õ´ = 2õ ç áíôßóôïé÷ç åíÝñãåéá W ´ åßíáé (á) 2 W, (â) W, (ã) 4 W, (ä) 8 W ÈåùñÞóôå ôçí áíôßóôáóç áÝñá C2 õ2 . 25 ÅÜí óôï ó÷Þìá ïé äýï ðëÜêåò D1 êáé D2 êéíïýíôáé áíôßèåôá ìå ôá÷ýôçôåò õ0 êáé - õ0 áíôßóôïé÷á, íá ó÷åäéÜóåôå ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôùí ôá÷õôÞôùí ôùí óùìáôßùí ìç éäáíéêïý ñåõóôïý êáôÜ ìÞêïò ìéáò êáôáêïñýöïõ (ç ñïÞ åßíáé óôñùôÞ). 26 Äýï ïìïãåíåßò óöáßñåò ßäéïõ õëéêïý êáé áêôßíùí R êáé 2R áíôßóôïé÷á áöÞíïíôáé íá ðÝóïõí ìÝóá óå ñåõóôü. Ç ïñéáêÞ ôá÷ýôçôá ôçò ìéêñÞò óöáßñáò åßíáé õïñ. (á) Áí èåùñÞóïõìå üôé ç áíôßóôáóç åßíáé C1 õ, ç ïñéáêÞ ôá÷ýôçôá ôçò ìåãÜëçò óöáßñáò åßíáé (i) õïñ , (ii) 2õïñ , (iii) õïñ /4, Þ (iv) 4õïñ ; (â) Áí èåùñÞóïõìå, áíôßóôáóç C2õ2 , ç ïñéáêÞ ôá÷ýôçôÜ ôçò ìåãÜëçò óöáßñáò åßíáé (i) õïñ, (ii) 2õïñ, (iii) õïñ /2, (iv) 4 õïñ ; 27 Áíôéóôïé÷ßóôå ôéò öõóéêÝò ðïóüôçôåò, ïé ïðïßåò áíáöÝñïíôáé óôç äýíáìç áíôßóôáóçò, ðïõ áíáðôýóóåôáé êáôÜ ôçí êßíçóç åíüò óþìáôïò óå ñåõóôü, ìå ôéò ìïíÜäåò ôçò äéðëáíÞò óôÞëçò. (1) n éîþäåò (1) Êáèáñüò áñéèìüò (2) C1 óõíôåëåóôÞò ãéá (2) kg.m- 1 .s- 1 ìéêñÝò ôá÷ýôçôåò (3) C2 óõíôåëåóôÞò ãéá (3) kg.s- 1 ìåãÜëåò ôá÷ýôçôåò (4) Cáí óõíôåëåóôÞò (4) kg.m- 1 áíôßóôáóçò 28 ÊáôÜ ôçí êßíçóç ôçò ðôÝñõãáò ôïõ áåñïðëÜíïõ óôïí áÝñá, Ý÷ïõìå (á) ..... ôùí äõíáìéêþí ãñáììþí óôï åðÜíù ìÝñïò ôçò ìå áðïôÝëåóìá ôç äçìéïõñãßá (â) ..... óå êåßíï ôï ìÝñïò. Áõôü Ý÷åé ùò óõíÝðåéá ôçí åìöÜíéóç êáé ìéáò Üëëçò äýíáìçò (ã) . . . . . äéåýèõíóçò ðïõ ïíïìÜæåôáé (ä) .....”. ÁÓÊÇÓÅÉÓ - ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ 1 Ç ðáñï÷Þ ôïõ êáôáññÜêôç ôïõ ÍéáãÜñá åßíáé 8000 m3 s-1 êáé ç ÷ùñçôéêüôçôá ôçò ôå÷íçôÞò ëßìíçò ôïõ Ìáñáèþíá 44 × 106 m3 . Õðïëïãßóôå ôï ÷ñüíï ðïõ áðáéôåßôáé þóôå íá íåñÜ ôïõ ÍéáãÜñá íá ãåìßóïõí ôçí ëßìíç ôïõ Ìáñáèþíá. 2 Óôïí ðõèìÝíá âáñåëéïý åßíáé áíïéãìÝíç ìéá ïðÞ áðü ôçí ïðïßá ñÝåé êñáóß ìå ôá÷ýôçôá 6,0 m s-1 . Aí ç åëåýèåñç åðéöÜíåéá ôïõ êñáóéïý êáôÝñ÷åôáé ìå ó÷åäüí ìçäåíéêÞ ôá÷ýôçôá ðïéü åßíáé ôï ýøïò ôïõ âáñåëéïý; Åßíáé g = 10 m. s-2 . 3 Óôï óùëÞíá ôïõ ó÷Þìáôïò ñÝåé ðåôñÝëáéï. Áí ï ëüãïò ôùí äéáôïìþí åßíáé Á1 /Á2 = 5,0 êáé ôï ýøïò h = 15 cm, íá âñåèåß ç ôá÷ýôçôá ôïõ õãñïý óôç äéáôïìÞ Á1. H åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò íá ëçöèåß g = 10 m. s- 2 . 4 Ïñéæüíôéïò óùëÞíáò äéáññÝåôáé áðü íåñü. Óå äýï ðåñéï÷Ýò ôïõ óùëÞíá ïé äéáôïìÝò åßíáé 0,20 m2 êáé 0,050 m2 áíôßóôïé÷á. Áí ç ôá÷ýôçôá óôçí ðñþôç äéáôïìÞ åßíáé 5,0 m s-1 êáé ç ðßåóç óôç äåýôåñç 2,0 × 105 N m-2 íá âñåßôå: (á) Ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ õãñïý óôç äåýôåñç äéáôïìÞ (â) Ôçí ðßåóç óôçí ðñþôç äéáôïìÞ. Ç ðõêíüôçôá ôïõ íåñïý åßíáé 1,0 × 103 kg m-3 . 5 Ç ïðÞ åêôüîåõóçò ôïõ íåñïý åíüò íåñïðßóôïëïõ åßíáé 1,0 mm2 êáé ôï åìâáäüí ôïõ åìâüëïõ ðïõ ðéÝæåé ôï íåñü 75 mm2 . Ç åôáéñåßá êáôáóêåõÞò áðáéôåß ãé’ áõôü ôï íåñü ðïõ åêôïîåýåôáé, üôáí Ýíá
- 135. ÑÅÕÓÔÁ ÓÅ ÊÉÍÇÓÇ119 ðáéäß ÷åéñßæåôáé ôï ðáé÷íßäé, êáé åêôïîåýåôáé ïñéæüíôéá êáôÜ 3,5 m, åíþ êáôáêüñõöç áðüêëéóÞ ôïõ íá åßíáé ìéêñüôåñç áðü 1,0 m. Áí Ýíá ðáéäß ìðïñåß íá áóêÞóåé äýíáìç ðåñßðïõ 10Í, Ý÷åé ôéò ðñïäéáãñáöÝò ôçò åôáéñåßáò ôï íåñïðßóôïëï; Ç ðõêíüôçôá ôïõ íåñïý åßíáé 1,0 × 103 kgm3 êáé ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g = 9,8 m. s- 2 . 6 Äï÷åßï åßíáé ãåìÜôï íåñü ìÝ÷ñé ýøïõò Ç êáé âñßóêåôáé ðÜíù óå ïñéæüíôéï ôñáðÝæé. Âñåßôå óå ðïéü ýøïò áðü ôï ôñáðÝæé, ðñÝðåé íá áíïßîïõìå ìéêñÞ ôñýðá óôï äï÷åßï, þóôå ôï íåñü ðïõ èá åêôïîåõèåß íá ðÝóåé óôçí ìÝãéóôç äõíáôÞ áðüóôáóç ðÜíù óôï ôñáðÝæé. Ðüóç åßíáé áõôÞ ç ìÝãéóôç áðüóôáóç; 7 ¸íá äï÷åßï åßíáé êõëéíäñéêü êáé Ý÷åé åìâáäüí äéáôïìÞò 0,010 m2 . Åíþ óôï äï÷åßï åéóÝñ÷åôáé íåñü ìå ñõèìü 2,0 × 10-4 m3 s-1 , óôïí ðõèìÝíá ôïõ Ý÷åé áíïé÷èåß ìßá ôñýðá äéáôïìÞò 1,0 cm2 . Íá áðïäåßîåôå üôé ç óôÜèìç ôïõ íåñïý óôï äï÷åßï èá áõîÜíåôáé ìÝ÷ñé åíüò ýøïõò óôï ïðïßï ðëÝïí èá äéáôçñçèåß. Åðßóçò íá õðïëïãßóåôå ôï ýøïò áõôü. Åßíáé g = 10 m s-2 . 8 ¸íá âåíôïõñßìåôñï Ý÷åé äéÜìåôñï óùëÞíá 30 cm êáé äéÜìåôñï ëáéìïý 15 cm. Áí ïé ðéÝóåéò óôï óùëÞíá êáé óôç óôÝíùóç åßíáé áíôßóôïé÷á 4,0 × 104 Pa êáé 3,0 × 104 Pa, íá õðïëïãéóôåß ç ðáñï÷Þ ôïõ íåñïý óôï óùëÞíá. Ç ðõêíüôçôá ôïõ íåñïý åßíáé 1,0 × 103 kgm- 3 . 9 H Ýíäåéîç ôïõ ìáíüìåôñïõ ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé 1,75 × 105 Pa. Áí ïé äéáôïìÝò ôùí óùëÞíùí Á êáé Á´ Ý÷ïõí ó÷Ýóç Á = 6Á´, õðïëïãßóôå ôéò ôá÷ýôçôåò õ êáé õ´, þóôå ç ðßåóç óôçí äéáôïìÞ Á´ íá åßíáé ìçäÝí. (Ôï öáéíüìåíï óôçí Á´ åßíáé ãíùóôü ùò óðçëáßùóç êáé ðáñáôçñåßôáé åîÜôìéóç ôïõ íåñïý êáé äçìéïõñãßá öõóáëßäùí óå åêåßíç ôç èÝóç, ðïõ áãíïïýìå êáôÜ ôçí áíÜëõóÞ ìáò). Ç ðõêíüôçôá ôïõ íåñïý åßíáé 103 kg m-3 . 10 ¸íáò óùëÞíáò Pitot óôåñåþíåôáé óå öôåñü áåñïðëÜíïõ. Ôï õãñü ðïõ ÷ñçóéìïðïéåßôáé åßíáé áëêïüëç êáé ç Ýíäåéîç åßíáé 26,5 cm. Íá õðïëïãéóèåß ç ôá÷ýôçôá ôïõ áåñïðëÜíïõ óå kmh-1 . Ç ðõêíüôçôá ôçò áëêïüëçò åßíáé 0,800 × 103 kgm- 3 êáé ôïõ áÝñá 1,30 kgm-3 . Äßíåôáé åðßóçò g = 9,80 ms- 2 . 11 Õäáôüðôùóç äçìéïõñãåßôáé áðü ôå÷íçôÞ ëßìíç. Áí åßíáé h = 100 m êáé ç ðáñï÷Þ ôçò õäáôüðôùóçò 200 m3 s-1 , íá õðïëïãéóèåß ç éó÷ýò ôçò õäáôüðôùóçò. Íá èåùñÞóåôå ôçí åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g = 10ms-2 êáé ôçí ðõêíüôçôá ôïõ íåñïý 103 kg m- 3 . 12 Óå Ýíá ïñéæüíôéï áãùãü ðåôñåëáßïõ ç ðßåóç ìåéþíåôáé êáôÜ 5,0 × 103 N m- 2 êÜèå ÷éëéüìåôñï áãùãïý. Õðïëïãßóôå ôéò áðþëåéåò åíÝñãåéáò ãéá êÜèå m3 ðåôñåëáßïõ, êáèþò ðñï÷ùñÜåé áðüóôáóç 1,0 m. 13 Ôá öôåñÜ åíüò áåñïðëÜíïõ Ý÷ïõí óõíïëéêü åìâáäüí 20 m2 (áðü ôç ìßá ðëåõñÜ). Óå ìéá ðôÞóç ôïõ áåñïðëÜíïõ, ç ôá÷ýôçôá ôïõ áÝñá óôçí êÜôù ìåñéÜ ôùí öôåñþí ìåôñÞèçêå êáé âñÝèçêå 40 m. s-1 , åíþ óôçí ðÜíù 50 m. s-1 . Íá õðïëïãéóôåß ôï âÜñïò ôïõ áåñïðëÜíïõ. Ç ðõêíüôçôá ôïõ áÝñá åßíáé 1,3 kg m-3 .
- 136. 14 Õðïëïãßóôå ôçí ïñéáêÞôá÷ýôçôá óôáãüíáò âñï÷Þò áí ç áêôßíá ôçò åßíáé 1,5 × 10-3 m. Äßíåôáé ç ðõêíüôçôá ôïõ íåñïý 1,0 × 103 kgm-3 êáé ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g = 9,8 ms- 2 . Ç ðõêíüôçôá ôïõ áÝñá åßíáé 1,3 kgm-3 . Äßíåôáé ôï éîþäåò ôïõ áÝñá ç = 1,8 × 10- 5 Pas 15 AåñïðëÜíï êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ êáé êáôáíáëßóêåé éó÷ý Ñ. (á) Áí äéðëáóéÜóåé ôçí éó÷ý ôïõ, ðïéÜ ôá÷ýôçôá èá áðïêôÞóåé; (â) Áí ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ áõîçèåß êáôÜ 20 % ðüóï èá áõîçèåß ç éó÷ýò ôïõ; 16 Óöáßñá áêôßíáò 5,0 cm êáé ìÜæáò 0,5 kg áöÞíåôáé áðü ìåãÜëï ýøïò íá ðÝóåé. Íá õðïëïãéóèåß ç ïñéáêÞ ôá÷ýôçôá ôçò óöáßñáò. Äßíåôáé ç ðõêíüôçôá ôïõ áÝñá 1,3 kg × m-3 êáé ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g = 9,8 m. s- 2 . Åðßóçò íá áãíïçèåß ç óõíåéóöïñÜ ôïõ üñïõ c1õ êáèþò êáé ç Üíùóç ôïõ áÝñá óôçí óôáãüíá. 17 ÏìïãåíÞò óöáßñá áêôßíáò R áöÞíåôáé íá ðÝóåé êáôáêüñõöá êáé ðáñáôçñïýìå üôé áðïêôÜ ïñéáêÞ ôá÷ýôçôá õïñ = 40 m. s-1 . Áí ç óöáßñá äåèåß ìå ìéá Üëëç ïìïãåíÞ óöáßñá áðü ôï ßäéï õëéêü êáé áêôßíáò R ´ = 2R êáé áöåèïýí íá ðÝóïõí, íá âñåßôå ôçí ïñéáêÞ ôá÷ýôçôá ðïõ áðïêôïýí ïé äýï óöáßñåò ìáæß. ÅîåôÜóôå ôéò ðåñéðôþóåéò: (á) Ç äýíáìç áíôßóôáóçò íá åßíáé Fáí = C1 õ (â) Ç äýíáìç áíôßóôáóçò íá åßíáé Fáí = C2 õ2 Íá áãíïçèåß ç äýíáìç ôçò Üíùóçò ôïõ áÝñá. 18 ÁëåîéðôùôéóôÞò ðÝöôïíôáò áðïêôÜ ïñéáêÞ ôá÷ýôçôá ßóç ìå ôçí ôá÷ýôçôá ðïõ èá áðïêôïýóå áí Ýðåöôå ÷ùñßò áëåîßðôùôï áðü 2,5 m. Áí ç áêôßíá ôïõ áëåîßðôùôïõ åßíáé r = 2,0 m õðïëïãßóôå ôçí ôéìÞ ôïõ óõíôåëåóôÞ áíôßóôáóçò Cáí . Ç óõíïëéêÞ ìÜæá áëåîéðôùôéóôÞ êáé áëåîéðôþôïõ åßíáé 80,0 kg. Ç ðõêíüôçôá ôïõ áÝñá åßíáé 1,3 kg m-3 êáé ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò íá èåùñçèåß 10 m. s-2 . 19 Óþìá áöÞíåôáé áðü áñêåôü ýøïò íá ðÝóåé åíþ óõã÷ñüíùò óôçí ðåñéï÷Þ öõóÜåé Üíåìïò ôá÷ýôçôáò õ. ÅÜí ïé óõíèÞêåò åßíáé ôÝôïéåò þóôå íá ìðïñïýìå íá èåùñÞóïõìå óõíåéóöïñÜ óôç äýíáìç áíôßóôáóçò áðü ôïí áÝñá ìüíï ôïõ üñïõ c1 õ, íá áðïäåßîåôå üôé ç ïñéáêÞ ôá÷ýôçôá ðïõ áðïêôÜ ôï óþìá äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç 20 Ìå Ýíá öõóåñü äçìéïõñãïýìå ñåýìá áÝñïò êáôáêüñõöá ðñïò ôá åðÜíù. Óôï ñåýìá ôïõ áÝñá áöÞíïõìå ìéêñü óöáéñéêü óþìá ìÜæáò m êáé áêôßíáò R. Áõîïìåéþíïíôáò ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ ñåýìáôïò ãéá êÜðïéá ôéìÞ õ ðåôõ÷áßíïõìå ôï óöáéñéêü óþìá íá áéùñåßôáé. Íá õðïëïãéóèåß ôï éîþäåò ôïõ áÝñá. Äßíåôáé ôï g. õ õ m g C ïñ = + F HG I KJ2 1 2 120 MHXANIKH
- 137. 4.2 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕÓÙÌÁÔÏÓ ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÌÝ÷ñé ôþñá áíôéìåôùðßæáìå ôá äéÜöïñá áíôéêåßìåíá ùò õëéêÜ óçìåßá. ÄçëáäÞ êÜèå áíôéêåßìåíï ôï èåùñïýóáìå ðïëý ìéêñþí äéáóôÜóåùí (óçìåéáêü), ìå üëç ôç ìÜæá ôïõ óõãêåíôñùìÝíç óå Ýíá óçìåßï. ¼ôáí åêôïîåýïõìå Ýíá óöáéñßäéï ìéêñþí äéáóôÜóåùí, ðëÜãéá ðñïò ôá åðÜíù, áõôü äéáãñÜöåé ìéá ó÷åäüí ðáñáâïëéêÞ ôñï÷éÜ. Ç áíôéìåôþðéóç ôïõ óöáéñéäßïõ ùò õëéêïý óçìåßïõ, óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ, åßíáé åðéôõ÷Þò. Åðéôõ÷Þò åðßóçò åßíáé êáé ç áíôéìåôþðéóç ùò õëéêïý óçìåßïõ åíüò êéâùôßïõ ðïõ óýñåôáé ðÜíù óôï Ýäáöïò Þ áêüìç êáé åíüò ðáéäéïý ðïõ êÜíåé ôóïõëßèñá. ¼ôáí üìùò ï æïãêëÝñ åêôïîåýåé ðëÜãéá ìéá êïñßíá (âë. Ó÷. 4.33) ðáñáôçñïýìå üôé áõôÞ åêôåëåß óõã÷ñüíùò äýï êéíÞóåéò, ôç ìåôáöïñéêÞ (üìïéá ìå ôïõ õëéêïý óçìåßïõ) êáé ôçí ðåñéóôñïöéêÞ. ¸íá óþìá, üðùò ç êïñßíá, ìðïñåß íá èåùñçèåß üôé áðïôåëåßôáé áðü Ýíá ðëÞèïò õëéêþí óçìåßùí, ðïõ ôï êáèÝíá Ý÷åé ôç äéêÞ ôïõ ôá÷ýôçôá. Ç êïñßíá åßíáé Ýíá óôåñåü óþìá. ÐáñáêÜôù èá ïñßóïõìå ôçí Ýííïéá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò óôåñåïý óþìáôïò êáé èá ìåëåôÞóïõìå ôçí êßíçóç ôïõ óôåñåïý óôçí ðåñßðôùóç ôçò ðåñéóôñïöÞò ãýñù áðü óôáèåñü Üîïíá, êáèþò êáé óôçí ðåñßðôùóç ôçò óýíèåôçò êßíçóçò, äçëáäÞ ôçò ôáõôü÷ñïíá ìåôáöïñéêÞò êáé ðåñéóôñïöéêÞò êßíçóçò. Êáôüðéí èá ïñßóïõìå ôç ñïðÞ, ùò ôï áßôéï ôçò ðåñéóôñïöéêÞò êßíçóçò, êáé èá äéáôõðþóïõìå ôï íüìï ôïõ Íåýôùíá ãéá ôçí ðåñéóôñïöÞ óôåñåïý. Åðßóçò, áíôßóôïé÷á ìå ôçí ÌÇXÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 121 Ó×ÇÌÁ 4.33 H êïñßíá åêôåëåß ôáõôü÷ñïíá ìåôáöïñéêÞ êáé ðåñéóôñïöéêÞ êßíçóç.
- 138. ïñìÞ ôïõ õëéêïýóçìåßïõ èá ïñßóïõìå ôçí óôñïöïñìÞ êáé èá äéáôõðþóïõìå ôïí áíôßóôïé÷ï íüìï äéáôÞñçóÞò ôçò. ÓÔÅÑÅÏ ÓÙÌÁ - ÊÅÍÔÑÏ ÌÁÆÁÓ ÓÔÅÑÅÏ ÓÙÌÁ ¸íá óþìá èá ÷áñáêôçñßæåôáé óôåñåü, üôáí ïé áðïóôÜóåéò ìåôáîý ôùí óùìáôßùí, áð' ôá ïðïßá áðïôåëåßôáé, ðáñáìÝíïõí óôáèåñÝò, äçëáäÞ ôï óþìá Ý÷åé óôáèåñü ìÝãåèïò êáé ó÷Þìá, Ýóôù êáé áí êéíåßôáé. Ç êßíçóç åíüò óôåñåïý óþìáôïò ïíïìÜæåôáé ìåôáöïñéêÞ, üôáí êÜèå åõèýãñáììï ôìÞìá ôïõ óþìáôïò (Þ ôçò åðÝêôáóÞò ôïõ) ðáñáìÝíåé ðáñÜëëçëï ðñïò ôïí åáõôü ôïõ. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ, üëá ôá óùìÜôéÜ ôïõ Ý÷ïõí ôçí ßäéá (äéáíõóìáôéêÞ) ôá÷ýôçôá (âë. Ó÷. 4.34), ð.÷. ç êßíçóç ôïõ Ýëêõèñïõ, ç êßíçóç åíüò áõôïêéíÞôïõ ìå ìðëïêáñéóìÝíïõò ôñï÷ïýò ê.Ü. ÐåñéóôñïöéêÞ êßíçóç óôåñåïý óþìáôïò ãýñù áðü óôáèåñü Üîïíá ïíïìÜæïõìå ôçí êßíçóç, êáôÜ ôçí ïðïßá äýï ôïõëÜ÷éóôïí óçìåßá ôïõ óþìáôïò (Þ ôçò åðÝêôáóÞò ôïõ) ðáñáìÝíïõí áêßíçôá ïðüôå ïñßæïõí ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò ôïõ óþìáôïò. ¼ëá ôá óçìåßá ôïõ Üîïíá ðåñéóôñïöÞò Ý÷ïõí ôá÷ýôçôá ìçäÝí, åíþ üëá ôá õðüëïéðá óçìåßá ôïõ óþìáôïò Ý÷ïõí ôçí ßäéá ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù êáé äéáãñÜöïõí êõêëéêÝò ôñï÷éÝò ìå ôá åðßðåäÜ ôïõò êÜèåôá óôïí Üîïíá (âë. Ó÷. 4.35). Ðáñáäåßãìáôá ôÝôïéáò êßíçóçò åßíáé ç êßíçóç ôïõ äßóêïõ ôïõ ðéêÜð, ç êßíçóç ìéáò áêëüíçôçò ôñï÷áëßáò ê.Ü. ¼ôáí Ýíá óþìá åêôåëåß êßíçóç ãåíéêüôåñçò ìïñöÞò, ôüôå áõôÞ ìðïñåß íá áíáëõèåß, êÜèå óôéãìÞ, óå ìåôáöïñéêÞ êßíçóç êáé ðåñéóôñïöéêÞ êßíçóç ðåñß Üîïíá. Ç áíÜëõóç áõôÞ ìðïñåß íá ãßíåé ìå ðïëëïýò ôñüðïõò. Ç åðßðåäç êßíçóç, ðïõ åîåôÜæïõìå, ìðïñåß íá áíá÷èåß óå êáèáñÜ ðåñéóôñïöéêÞ, ãýñù áðü êÜðïéï óôéãìéáßï Üîïíá. ÓõíÞèùò, üðùò èá äïýìå ðáñáêÜôù, êÜíïõìå áíÜëõóç ôçò êßíçóçò, óå ìåôáöïñéêÞ êáé óå ðåñéóôñïöéêÞ ãýñù áðü ôï êÝíôñï ìÜæáò. Ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá åßíáé ç ßäéá áíåîÜñôçôá áðü ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò. ÊEÍÔÑÏ ÌAÆÁÓ Áò åðáíÝëèïõìå óôçí êßíçóç ôçò êïñßíáò. Ðáñáôçñïýìå üôé Ýíá óçìåßï ôçò åêôåëåß ðáñáâïëéêÞ êßíçóç, ðáñüìïéá ìå áõôÞ ðïõ èá åêôåëïýóå ç êïñßíá, áí ç ìÜæá ôçò Þôáí óõãêåíôñùìÝíç ó' áõôü ôï óçìåßï. Áõôü ôï óçìåßï ïíïìÜæåôáé êÝíôñï ìÜæáò ôçò êïñßíáò (ÊÌ Þ CM). ÃåíéêÜ ôï êÝíôñï ìÜæáò åíüò óõóôÞìáôïò óùìáôßùí åßíáé Ýíá óçìåßï, ôï ïðïßï êéíåßôáé, óáí íá åßíáé üëç ç ìÜæá ôïõ óõóôÞìáôïò óõãêåíôñùìÝíç ó' áõôü êáé íá áóêïýíôáé ðÜíù ôïõ üëåò ïé åîùôåñéêÝò äõíÜìåéò, ðïõ äÝ÷ïíôáé ôá óùìÜôéá ôïõ óõóôÞìáôïò. ¸óôù Ýíá óýóôçìá óùìáôßùí ìå ìÜæåò m1, m2, ... êáé Ýíá óýóôçìá áíáöïñÜò ôñéþí áîüíùí x, y, z. Ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ óùìáôßïõ ìÜæáò m1 åßíáé (x1, y1, z1), ôïõ óùìáôßïõ ìÜæáò m2 åßíáé (x2, y2, z2) ê.ï.ê. Ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé (4.27á) (4.27â)y m y m y m m m y m cm i i i = + + + + =1 1 2 2 1 2 ... ... Σ Σ x m x m x m m m x m cm i i i Ó Ó = + + + + =1 1 2 2 1 2 ... ... 122 ÌÇXÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.35 ÊáôÜ ôçí ðåñéóôñïöÞ óôåñåïý ãýñù áðü Üîïíá ôá åðßðåäá ôùí ôñï÷éþí ôùí óçìåßùí ôïõ óþìáôïò åßíáé êÜèåôá óôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò. Ó×ÇÌÁ 4.34 ÊÜèå åõèýãñáììï ôìÞìá ìåôáôïðßæåôáé ðáñÜëëçëá óôïí åáõôü ôïõ Åðßðåäç êßíçóç óôåñåïý ïíïìÜæåôáé ç êßíçóç, êá- ôÜ ôçí ïðïßá êÜèå óç- ìåßï ôïõ óôåñåïý êéíåßôáé ðáñÜëëçëá óå óôáèåñü åðßðåäï.
- 139. (4.27ã) Ìðïñïýìå íá ðïýìåüôé, ôï êÝíôñï ìÜæáò åßíáé ç "ìÝóç èÝóç" ôçò ìÜæáò ôïõ óõóôÞìáôïò. Áí ð.÷. Ý÷ïõìå äýï óùìÜôéá ßóùí ìáæþí, ôï êÝíôñï ìÜæáò ôïõ óõóôÞìáôïò ôïõò åßíáé ôï ìÝóï ôïõ åõèõãñÜììïõ ôìÞìáôïò ðïõ åíþíåé ôá äýï óùìÜôéá. Áí äåí åßíáé ßóåò ïé ìÜæåò, ç “ìÝóç èÝóç äåí åßíáé óôï êÝíôñï. Ôï êÝíôñï ìÜæáò åíüò óôåñåïý óþìáôïò õðïëïãßæåôáé ìå ôç ëïãéêÞ üôé áõôü åßíáé Ýíá óýóôçìá ðõêíïôïðïèåôçìÝíùí óùìáôßùí. Ãéá ïìïãåíÞ êáé óõììåôñéêÜ óþìáôá ôï êÝíôñï ìÜæáò âñßóêåôáé ðÜíù óå Üîïíá Þ óå åðßðåäï óõììåôñßáò ôïõò. Ôï êÝíôñï ìÜæáò ð.÷. ìßáò ïìïãåíïýò óöáßñáò Þ åíüò ïìïãåíïýò êýâïõ óõìðßðôåé ìå ôï ãåùìåôñéêü ôïõò êÝíôñï. Åðßóçò ôï êÝíôñï ìÜæáò ìéáò ëåðôÞò ïìïãåíïýò ñÜâäïõ âñßóêåôáé ðÜíù ó' áõôÞ êáé óôï ìÝóï ôçò. ÂÁÑÕÔÉÊÇ ÄÕÍÁÌÉÊÇ ÅÍÅÑÃÅÉÁ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ ¸óôù óôåñåü óþìá, óå ìéá èÝóç óôï ãÞéíï âáñõôéêü ðåäßï. Óôçí ðåñéï÷Þ ðïõ âñßóêåôáé ôï óþìá ôï ðåäßï èåùñåßôáé ïìïãåíÝò. ÅðéëÝãïõìå Ýíá óýóôçìá áíáöïñÜò, üðùò óôï ó÷Þìá 4.36, äçëáäÞ, ìå ôïí Üîïíá y êáôáêüñõöï. ÈÝôïõìå ìçäÝí ôç âáñõôéêÞ äõíáìéêÞ åíÝñãåéá óôá óçìåßá ôïõ åðéðÝäïõ xÏz. Ôï óþìá áðïôåëåßôáé áðü ôá óùìÜôéá ìáæþí m1, m2.... ðïõ Ý÷ïõí áíôßóôïé÷á äõíáìéêÞ åíÝñãåéá m1 g y1 , m2 g y2 , ... Ç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óôåñåïý óþìáôïò éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôùí äõíáìéêþí åíåñãåéþí ôùí óùìáôßùí, áð' ôá ïðïßá áðïôåëåßôáé Áðü ôéò ó÷Ýóåéò ïñéóìïý ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò Ý÷ïõìå üôé ¢ñá Åöüóïí m1 + m2 + ... = M üðïõ Ì ç óõíïëéêÞ ìÜæá ôïõ óþìáôïò Ý÷ïõìå U = Mg ycm (4.28) Óõìðåñáßíïõìå üôé ç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá óôåñåïý óþìáôïò ìÝóá óå ïìïãåíÝò âáñõôéêü ðåäßï õðïëïãßæåôáé õðïèÝôïíôáò üôé üëç ç ìÜæá ôïõ åßíáé óõãêåíôñùìÝíç óôï êÝíôñï ìÜæáò ôïõ. ÐáñÜäåéãìá 4-6 Èåùñïýìå óôåñåü óþìá ðïõ áðïôåëåßôáé áðü äýï ïìïãåíåßò óöáßñåò m1, m2 (m1 > m2), ïé ïðïßåò êñáôïýíôáé óå óôáèåñÞ áðüóôáóç r ìåôáîý ôùí êÝíôñùí ôïõò, ìå ôç âïÞèåéá ìéáò ëåðôÞò ñÜâäïõ áìåëçôÝáò ìÜæáò, üðùò óôï ó÷Þìá. Íá ðñïóäéïñéóôåß ôï êÝíôñï ìÜæáò K ôïõ óõóôÞìáôïò. ÅöáñìïãÞ: m1 = 2m2 êáé r = 1,2 m U = + +m m g y1 2 ...b g cm m y m y m m y1 1 2 2 1 2... ...+ + = + +b g cm U = + +m y m y g1 1 2 2 ...b g U = + +m g y m g y1 1 2 2 ... z m z m z m m m z m cm i i i = + + + + =1 1 2 2 1 2 . . . . .. Σ Σ ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 123 Ó×ÇÌÁ 4.36 Ôï êÝíôñï ìÜæáò åíüò óþìáôïò ïñéóìÝíï ùò ðñïò Ýíá óýóôçìá áíáöïñÜò. Ó×ÇÌÁ 4.37
- 140. ÁðÜíôçóç Ôï êÝíôñï ìÜæáòêÜèå óöáßñáò âñßóêåôáé óôï êÝíôñï ôçò, Üñá ôï ðñüâëçìá áðëïðïéåßôáé, ãéáôß áíÜãåôáé óôïí õðïëïãéóìü ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò äýï óùìáôßùí ìå ìÜæåò m1, m2, ðïõ âñßóêïíôáé áíôßóôïé÷á óôá êÝíôñá Ê1, Ê2 ôùí óöáéñþí. Ðñïöáíþò ôï êÝíôñï ìÜæáò K âñßóêåôáé ðÜíù óôçí åõèåßá Ê1, Ê2, ôçí ïðïßá ôáõôßæïõìå ìå ôïí Üîïíá x´x. Èåùñïýìå áêüìá ùò áñ÷Þ ôïõ Üîïíá ôï óçìåßï Ê. ¸÷ïõìå Þ Þ Þ Þ Þ Áêüìç ÅöáñìïãÞ: r1 = 0,4 m êáé r2 = 0,8 m ÃÙÍÉÁÊÇ ÔÁ×ÕÔÇÔÁ ÊÁÉ ÅÐÉÔÁ×ÕÍÓÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ ÐÏÕ ÓÔÑÅÖÅÔÁÉ ÃÕÑÙ ÁÐÏ ÓÔÁÈÅÑÏ ÁÎÏÍÁ ¸óôù óôåñåü óþìá, ôï ïðïßï óôñÝöåôáé ãýñù áðü óôáèåñü Üîïíá. ÊÜèå óçìåßï ôïõ óþìáôïò äéáãñÜöåé êõêëéêÞ ôñï÷éÜ, ôçò ïðïßáò ôï åðßðåäï åßíáé êÜèåôï óôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò. Óå ÷ñüíï Ät ç ãùíéáêÞ ìåôáôüðéóç üëùí ôùí óçìåßùí ôïõ óþìáôïò åßíáé Äè, ãé' áõôü, üôáí èá ëÝìå ãùíéáêÞ ìåôáôüðéóç ôïõ óþìáôïò, èá åííïïýìå ôç ãùíéáêÞ ìåôáôüðéóç åíüò ïðïéïõäÞðïôå óçìåßïõ ôïõ (âë. Ó÷. 4.38). ÏíïìÜæïõìå ìÝóç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ùaí ôïõ óþìáôïò ôï ðçëßêï ôçò ãùíéáêÞò ìåôáôüðéóçò, ðñïò ôïí áíôßóôïé÷ï ÷ñüíï. (4.29) Ôï üñéï ôçò ìÝóçò ãùíéáêÞò ôá÷ýôçôáò, üôáí ôï Ät ôåßíåé óôï ìçäÝí, êáëåßôáé óôéãìéáßá ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù. (4.30) ÌïíÜäá ãùíéáêÞò ôá÷ýôçôáò åßíáé ôï 1 rad/s êáé ïé äéáóôÜóåéò ôçò åßíáé ù è tt = = → lim Ä Ä d dÄ 0 t è ù è t aí Ä Ä = r m m m r2 1 1 1 2 = − = + r r r m m m r1 2 1 2 = + r r r m m m 1 1 2 2 1 2+ = + r r m m 1 2 2 1 = m r m1 1 2 2= r 0 1 1 2 2 1 2 = − + + m r m r m m b g x m x m x m m cm = + + 1 1 2 2 1 2 124 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.38 ~Ïëá ôá óçìåßá ôïõ óþìáôïò Ý÷ïõí ôçí ßäéá ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá.
- 141. Ðñïöáíþò, üëá ôáóçìåßá ôïõ óôåñåïý óþìáôïò Ý÷ïõí ôçí ßäéá ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá óå êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ. ¼ôáí ìåôáâÜëëåôáé ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá åíüò óôåñåïý óþìáôïò, ëÝìå üôé áõôü Ý÷åé ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç. ÏíïìÜæïõìå ìÝóç ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç ôïõ óôåñåïý, óå ÷ñüíï Ät, ôï ðçëßêï ôçò ìåôáâïëÞò ôçò ãùíéáêÞò ôá÷ýôçôáò óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät, ðñïò ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät. (4.31) To üñéï ôçò ìÝóçò ãùíéáêÞò åðéôÜ÷õíóçò áaí, üôáí ôï Ät ôåßíåé óôï ìçäÝí, ïíïìÜæåôáé óôéãìéáßá ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç (4.32) ÌïíÜäá ãùíéáêÞò åðéôÜ÷õíóçò åßíáé ôï 1 rad/s2 êáé ïé äéáóôÜóåéò ôçò Ôá ìåãÝèç óôéãìéáßá ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá êáé óôéãìéáßá ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç åßíáé äéáíõóìáôéêÜ ìåãÝèç. Ôï äéÜíõóìá ôçò ãùíéáêÞò ôá÷ýôçôáò Ý÷åé ôç äéåýèõíóç ôïõ Üîïíá ðåñéóôñïöÞò êáé öïñÜ, ç ïðïßá ðñïóäéïñßæåôáé ìå ôïí êáíüíá ôïõ äåîéüóôñïöïõ êï÷ëßá (âßäá). Ï êï÷ëßáò ôïðïèåôåßôáé ðáñÜëëçëá ìå ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò êáé óôñÝöåôáé üðùò ôï óþìá (Ó÷. 4.39), ç öïñÜ ôïõ äéáíýóìáôïò ôçò ãùíéáêÞò ôá÷ýôçôáò ôáõôßæåôáé ìå ôç öïñÜ ðñïò ôçí ïðïßá ðñï÷ùñÜåé ï êï÷ëßáò. Åðßóçò, ç öïñÜ ìðïñåß íá êáèïñéóèåß êáé ìå ôïí êáíüíá ôïõ äåîéïý ÷åñéïý óýìöùíá ìå ôïí ïðïßï, ç öïñÜ ôïõ äéáíýóìáôïò ôçò ãùíéáêÞò ôá÷ýôçôáò åßíáé áõôÞ ôïõ áíôß÷åéñá, üôáí ôá õðüëïéðá äÜêôõëá äåß÷íïõí ôçí êáôåýèõíóç ðåñéóôñïöÞò ôïõ óþìáôïò. Ç ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç Ý÷åé ôçí ßäéá äéåýèõíóç ìå ôçí ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá. ÁõôÜ åßíáé ïìüññïðá äéáíýóìáôá üôáí ôï ìÝôñï ôçò ãùíéáêÞò ôá÷ýôçôáò áõ- îÜíåé, êáé áíôßññïðá üôáí ìåéþíåôáé. Ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá, üðùò åßðáìå, åßíáé ç ßäéá ãéá üëá ôá õëéêÜ óçìåßá ôïõ óôåñåïý, äåí åßíáé üìùò ßäéá ç ãñáììéêÞ ôá÷ýôçôá.¸óôù r ç áêôßíá ðåñéóôñïöÞò åíüò óçìåßïõ Ñ, ôï ïðïßï óå ÷ñüíï Ät äéáãñÜöåé ôüîï Äs (Ó÷. 4.40). Ç ó÷Ýóç ìåôáîý ôïõ ôüîïõ Äs êáé ôçò áíôßóôïé÷çò ãùíéáêÞò ìåôáôüðéóçò åßíáé Þ Þ Þ õ = rù (4.33) Ç ôåëåõôáßá ó÷Ýóç åßíáé ç ó÷Ýóç ðïõ óõíäÝåé ôï ìÝôñï ôçò ãñáììéêÞò ôá÷ýôçôáò åíüò óçìåßïõ ôïõ óþìáôïò ìå ôï ìÝôñï ôçò ãùíéáêÞò ôïõ ôá÷ýôçôáò. Ç ãñáììéêÞ ôá÷ýôçôá → õ ôïõ óçìåßïõ Ñ åßíáé ðÜíôá åöáðôüìåíç ôçò ôñï÷éÜò ôïõ êáé ìåôáâÜëëåôáé ôïõëÜ÷éóôïí êáôÜ êáôåýèõíóç (óôç ãåíéêÞ ðåñßðôùóç êáé êáôÜ ìÝôñï), êáèþò áõôü óôñÝöåôáé. Áöïý ëïéðüí ç → õ ìåôáâÜëëåôáé, ôï Ñ Ý÷åé åðéôÜ÷õíóç → a, ç ïðïßá áíáëýåôáé óå äýï óõíéóôþóåò (âë. Ó÷. 4.41) lim Ä Ä lim Ä ÄÄ 0 Ä 0t t s t r t→ → = è Ä Ä Ä Ä s t r è t = Ä Äs r= è dim á = − T 2 á = = → lim ù ù Ä Ä Ät t t0 d d á aí = Ä Ä ù t dim ù = − T 1 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 125 Ó×ÇÌÁ 4.39 Ç öïñÜ ôçò ãùíéáêÞò ôá÷ýôçôáò êáèïñßæåôáé áðü ôïí êáíüíá ôïõ äåîéïý ÷åñéïý Þ ôçò äåîéüóôñïöçò âßäáò. Ó×ÇÌÁ 4.40 Ôï ôüîï Äs ðïõ äéáãñÜöåé Ýíá óçìåßï äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç Äs = rÄè.
- 142. i) Ôçí áêôéíéêÞ(arad) ðïõ ó÷åôßæåôáé ìå ôçí áëëáãÞ ôçò êáôåýèõíóçò ôçò → õ êáé åßíáé (4.34) ii) Ôçí åöáðôïìåíéêÞ (atan ) ðïõ ó÷åôßæåôáé ìå ôçí áëëáãÞ ôïõ ìÝôñïõ ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ Ñ. Åßíáé üìùò áðü ôçí (4.33) ðñïêýðôåé ïðüôå, ëüãù ôçò (4.32), êáôáëÞãïõìå óôçí (4.35)a rtan = á atan d d = r t ù a õ t tan d d = a õ r ù rrad = = 2 2 126 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.41 ÁíÜëõóç ôçò åðéôÜ÷õíóçò óå áêôéíéêÞ êáé åöáðôïìåíéêÞ óõíéóôþóá. ÐÅÑÉÓÔÑÏÖÇ ÌÅ ÓÔÁÈÅÑÇ ÃÙÍÉÁÊÇ ÅÐÉÔÁ×ÕÍÓÇ ÊÜðïéï óôåñåü óþìá óôñÝöåôáé ãýñù áðü óôáèåñü Üîïíá ìå óôáèåñÞ ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç á. Ôçí óôéãìÞ t = 0 ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò åßíáé ùo. Èá õðïëïãßóïõìå ôç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá êáé ôç ãùíéáêÞ ìåôáôüðéóç, óõíáñôÞóåé ôïõ ÷ñüíïõ, êáèþò êáé ôç ìåôáîý ôïõò ó÷Ýóç. ÅðåéäÞ ç ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç á åßíáé óôáèåñÞ Ý÷ïõìå ÊáôáóêåõÜæïõìå ôï äéÜãñáììá ù = f (t). Óå Ýíá ðïëý ìéêñü ÷ñïíéêü äéÜóôçìá dt ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù åßíáé ðñáêôéêÜ óôáèåñÞ, ïðüôå ç áíôßóôïé÷ç ãùíéáêÞ ìåôáôüðéóç åßíáé dè = ù dt. Ç dè éóïýôáé ìå ôï “åìâáäüí” ôçò Ýíôïíá ãñáììïóêéáóìÝíçò ëùñßäáò ôïõ ó÷Þìáôïò. Äéáìåñßæïõìå ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät = t − 0 óå óôïé÷åéþäç ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá dt. Óå êÜèå äéÜóôçìá dt ç ãùíéáêÞ ìåôáôüðéóç äßíåôáé áðü ôï åìâáäüí ôçò áíôßóôïé÷çò ëùñßäáò. Ç óõíïëéêÞ ãùíéáêÞ ìåôáôüðéóç Äè óôï ÷ñüíï Ät = t − 0 éóïýôáé ìå ôï åìâáäüí ôïõ ôñáðåæßïõ (ÏÁÂÃ). Ä è ù ù t t= + +0 0 2 á ù ù= +0 á t á á= = = − − aí Ä Ä ù t ù ù t 0 0 Ó×ÇÌÁ I
- 143. ÊÉÍÇÔÉÊÇ ÅÍÅÑÃÅÉÁ ËÏÃÙÐÅÑÉÓÔÑÏÖÇÓ - ÑÏÐÇ ÁÄÑÁÍÅÉÁÓ Ôï ðåñéóôñåöüìåíï, ãýñù áðü óôáèåñü Üîïíá, óôåñåü óþìá, ðïõ áðåéêïíßæåôáé óôï ó÷Þìá 4.42, áðïôåëåßôáé áðü óùìÜôéá ìå ìÜæåò m1 , m2 , ... ôá ïðïßá áðÝ÷ïõí r1 , r2 , ... áíôßóôïé÷á áðü ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò. Ôï óþìá Ý÷åé êéíçôéêÞ åíÝñãåéá, ðïõ éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôùí êéíçôéêþí åíåñãåéþí ôùí óùìáôßùí, áð' ôá ïðïßá áðïôåëåßôáé áõôü, äçëáäÞ ~Ïëá ôá óùìÜôéá Ý÷ïõí ôçí ßäéá ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù, ïðüôå éó÷ýïõí ïé ó÷Ýóåéò õ1 = ùr1 , õ2 = ùr2 … ¢ñá Ïñßæïõìå ñïðÞ áäñÜíåéáò É óþìáôïò, ùò ðñïò Üîïíá ðåñéóôñïöÞò, ôï Üèñïéóìá ôùí ãéíïìÝíùí ôçò ìÜæáò åðß ôï ôåôñÜãùíï ôçò áðüóôáóçò áðü ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò, êÜèå óùìáôßïõ ôïõ óþìáôïò K m r ù= 1 2 2 2 Ó i ie j K = + + 1 2 1 1 2 2 2 2 2 m r m r ù. . .e j K = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 m ù r m ù r+ + .. . K õ= + + 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 m m õ ... ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 127 Ç ù = ù(t) äßíåé ôçí ïðïßá èÝôïõìå óôçí ðñïçãïýìåíç, ïðüôå êáôáëÞãïõìå óôçí Ïé ó÷Ýóåéò áíôéóôïé÷ßáò ìåôáîý ôçò ìåôáöïñéêÞò êßíçóçò ìå óôáèåñÞ ãñáììéêÞ åðéôÜ÷õíóç êáé ôçò ðåñéóôñïöéêÞò ìå óôáèåñÞ ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç äßíïíôáé áðü ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá. ÌåôáöïñéêÞ êßíçóç ÐåñéóôñïöéêÞ êßíçóç a = óôáè á = óôáè. õ = õ0 + at ù = ù0 + át õ2 = õ2 0 + 2aÄs ù2 = ù2 0 + 2áÄè Äè ù t t= +0 21 2 áÄ s t a t= +õ0 21 2 ù ù è2 0 2 2= + á Ä t = −ù ù0 á Ä è ù= +0 21 2 t tá Ó×ÇÌÁ 4.42 ÊéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óôñåöüìåíïõ óôåñåïý óþìáôïò åßíáé ôï Üèñïéóìá ôùí åðéìÝñïõò êéíçôéêþí åíåñãåéþí ôùí óùìáôéäßùí áðü ôá ïðïßá áðïôåëåßôáé
- 144. (4.36) Ç ñïðÞ áäñÜíåéáòåßíáé ìïíüìåôñï ìÝãåèïò, åîáñôÜôáé êÜèå öïñÜ áðü ôïí óõãêåêñéìÝíï Üîïíá ðåñéóôñïöÞò, ç ìïíÜäá ôçò åßíáé ôï 1kg.m2 êáé ïé äéáóôÜóåéò ôçò L2 M1 T0 I0 = L2 M1 . Ìðïñïýìå ðëÝïí íá ãñÜøïõìå ôçí åîßóùóç ðïõ ìáò äßíåé ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ ðåñéóôñåöüìåíïõ óþìáôïò, ãýñù áðü óôáèåñü Üîïíá, ùò (4.37) Ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åíüò óôñåöüìåíïõ óþìáôïò, ãéá ìéá äïóìÝíç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ðåñéóôñïöÞò, åîáñôÜôáé ü÷é ìüíï áðü ôçí ìÜæá ôïõ óþìáôïò, áëëÜ êáé áðü ôïí ôñüðï êáôáíïìÞò ôçò ãýñù áðü ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò. ¸óôù, üôé ôñéá óþìáôá, ìéá ñÜâäïò êáôáêüñõöç, ìéá ñÜâäïò ïñéæüíôéá êáé Ýíáò óöüíäõëïò, ìå ôçí ßäéá ìÜæá, ìðïñïýí íá óôñÝöïíôáé ãýñù áðü êáôáêüñõöï Üîïíá, üðùò óôï ó÷Þìá 4.43. Óôçí ðåñßðôùóç (B) ôá óùìÜôéá ôçò ñÜâäïõ, êáôÜ ìÝóï üñï, âñßóêïíôáé ìáêñýôåñá áðü ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò áð' üôé óôçí ðåñßðôùóç (A) êáé áêüìç ìáêñýôåñá âñßóêïíôáé óôçí ðåñßðôùóç ôïõ óöïíäýëïõ. Éó÷ýåé äçëáäÞ ãéá ôéò ñïðÝò áäñÜíåéáò ÉÁ < ÉÁ < Éà Üñá, êáé ãéá ôéò êéíçôéêÝò åíÝñãåéåò (ìå ôçí ßäéá ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá) ÊÁ < ÊÁ < Êà ÐñÜãìáôé ìðïñïýìå íá äéáðéóôþóïõìå üôé äõóêïëüôåñá èÝôïõìå óå ðåñéóôñïöÞ (äçëáäÞ äáðáíÜìå ðåñéóóüôåñï Ýñãï) ôïí óöïíäýëï, ëéãüôåñï äýóêïëá ôçí ïñéæüíôéá ñÜâäï êáé ðéï åýêïëá ôçí êáôáêüñõöç ñÜâäï. ¼ðùò ç ìÜæá áðïôåëåß Ýíá ìÝôñï ôçò "áíôßóôáóçò" åíüò óùìÜôéïõ óôç ìåôáâïëÞ ôçò êßíçóçò ôïõ Ýôóé êáé ç ñïðÞ áäñÜíåéáò áðïôåëåß ôï ìÝôñï ôçò "áíôßóôáóçò" åíüò óþìáôïò óôç ìåôáâïëÞ ôçò ðåñéóôñïöéêÞò ôïõ êßíçóçò. ÐáñÜäåéãìá 4-7 Óôåñåü óþìá áðïôåëåßôáé áðü äýï ìéêñÝò óöáßñåò (ó÷åäüí õëéêÜ óçìåßá), ìÜæáò m = 2,0 kg ç êÜèå ìßá, êïëëçìÝíåò óôá Üêñá åëáöñéÜò (÷ùñßò ìÜæá) ñÜâäïõ ìÞêïõò r = 0,80 m. Íá õðïëïãéóôåß ç ñïðÞ áäñáíåßáò, êáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óôåñåïý, ðïõ ðñïêýðôåé üôáí óôñÝöåôáé ìå ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù = 3,0 rad/s, ãýñù áðü Üîïíá, ï ïðïßïò äéÝñ÷åôáé: á) áðü ôï ìÝóïí ôçò ñÜâäïõ â) áðü ôï Ýíá Üêñï ôçò ñÜâäïõ ÁðÜíôçóç á) Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò åßíáé ÞI m r m r m r 1 2 2 2 2 2 = = F HG I KJ + F HG I KJΣ i i K = I ù 1 2 2 I m r= Σ i i 2 128 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.43 Ôá óþìáôá Ý÷ïõí ßäéá ìÜæá áëëÜ äéáöïñåôéêÞ ñïðÞ áäñáíåßáò. Ó×ÇÌÁ 4.44
- 145. Ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéáõðïëïãßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç Þ â) Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ Ý÷ïõìå Þ êáé óõíåðþò Ðáñáôçñïýìå üôé óôçí äåýôåñç ðåñßðôùóç åßíáé äéðëÜóéá ôüóï ç ñïðÞ áäñÜíåéáò, üóï êáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá. ÕÐÏËÏÃÉÓÌÏÓ ÑÏÐÇÓ ÁÄÑÁÍÅÉÁÓ - ÈÅÙÑÇÌÁ ÐÁÑÁËËÇËÙÍ ÁÎÏÍÙÍ (ÈÅÙÑÇÌÁ STEINER) ÐñïêåéìÝíïõ íá õðïëïãßóïõìå ôç ñïðÞ áäñÜíåéáò óôåñåïý ìå óõíå÷Þ êáôáíïìÞ ìÜæáò áêïëïõèïýìå ôçí ðáñáêÜôù äéáäéêáóßá. Èåùñïýìå üôé ôï óôåñåü áðïôåëåßôáé áðü ðïëý ìéêñÝò ìÜæåò Ämi (Ämi → 0), áìåëçôÝùí äéáóôÜóåùí (óùìÜôéá). H (óôïé÷åéþäçò) ñïðÞ áäñÜíåéáò åíüò óùìáôßïõ åßíáé ri 2 Ämi , üðïõ ri ç áðüóôáóÞ ôïõ áðü ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò. Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ óþìáôïò éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôùí óôïé÷åéùäþí ñïðþí áäñÜíåéáò. Ï õðïëïãéóìüò ôçò ñïðÞò áäñÜíåéáò É ãåíéêþò áðáéôåß ãíþóåéò ïëïêëçñùôéêïý ëïãéóìïý. Åìåßò äåí èá ðñï÷ùñÞóïõìå óå ôÝôïéïõò õðïëïãéóìïýò. Èá áíáöÝñïõìå üìùò åíäåéêôéêÜ ôçí áðëÞ ðåñßðôùóç ôïõ õðïëïãéóìïý ôçò ñïðÞò áäñÜíåéáò ëåðôüôïé÷ïõ óùëÞíá ìÜæáò Ì êáé áêôßíáò R, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ôïõ (Ó÷. 4.45). ×ùñßæïõìå ôïí óùëÞíá óå óôïé÷åéþäåéò ìÜæåò ðïëý ìéêñþí äéáóôÜóåùí. ÊÜèå óôïé÷åéþäçò ìÜæá áðÝ÷åé áðüóôáóç R áðü ôïí Üîïíá, ïðüôå Ý÷ïõìå É = R2 M (4.38) ¸íá èåþñçìá ðïõ ìáò âïçèÜ óôïí õðïëïãéóìü ôçò ñïðÞò áäñÜíåéáò åíüò óþìáôïò, åßíáé ôï èåþñçìá ôùí ðáñáëëÞëùí áîüíùí Þ èåþñçìá Steiner , ôï ïðïßï áíáöÝñåé I R m R m= =Ó ÓÄ Ä2 2 I r m= Ó i iÄ2 K 2 5 8= , J K =2 2 21 2 1 2 1 3 9I ù J= × × F HG I KJ, I 2 2 2 2 0 8 1 3= × = ⋅kg m kg m, ,b g I m r m r2 2 2 = =Ó i i K =1 2 9, J K 1 21 2 1 2 0 64 9= = × × F HG I KJI ù , J I m r 1 2 2 2 2 2 0 8 2 0 64= = × = ⋅ kg m kg m , , b g ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 129 Ó×ÇÌÁ 4.45 Ëåðôüôïé÷ïò óùëÞíáò áêôßíáò R, üðïõ üëç ç ìÜæá ôïõ âñßóêåôáé óôçí åðéöÜíåéÜ ôïõ.
- 146. 130 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ PÏÐÇ ÁÄÑÁÍÅÉÁÓÄÉÁÖÏÑÙÍ ÏÌÏÃÅÍÙÍ ÓÔÅÑÅÙÍ ËåðôÞ ñÜâäïò ìÞêïõò L ÓõìðáãÞò êýëéíäñïò áêôßíáò R ÓõìðáãÞò óöáßñá áêôßíáò R I M R= 2 5 2 I M R= 1 2 2 I M L= 1 12 2 ÓõìðáãÞò êýëéíäñïò áêôßíáò R êáé ìÞêïõò L ÓõìðáãÞò ðáñáëëçëåðßðåäï äéáóôÜóåùí á, â, ã ËåðôÞ ïñèïãþíéá åðéöÜíåéá äéáóôÜóåùí á, â I M R L = 2 2 4 12 + F HG I KJ I M a â = 2 2 12 + I M a â = 2 2 12 + Äßóêïò áêôßíáò R Äßóêïò áêôßíáò R ËåðôÞ ïñèïãþíéá åðéöÜíåéá äéáóôÜóåùí á, â I M R= 1 2 2 I MR= 1 4 2 I Mâ= 1 12 2 Äáêôõëßäé áêôßíáò R Äáêôõëßäé áêôßíáò R Ëåðôüò óöáéñéêüò öëïéüò áêôßíáò R I MR= 2 I MR= 1 2 2 I MR= 2 3 2
- 147. “Ç ñïðÞ áäñÜíåéáòÉ åíüò óôåñåïý óþìáôïò ìÜæáò Ì ùò ðñïò Ýíá ôõ÷áßï Üîïíá z, óõíäÝåôáé ìå ôç ñïðÞ áäñáíåßáò Écm, ùò ðñïò Üîïíá zc , ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ìÜæáò ôïõ óôåñåïý êáé åßíáé ðáñÜëëçëïò ìå ôïí z, ìå ôç ó÷Ýóç É = Écm + Md2 (4.39) üðïõ d ç áðüóôáóç ôùí áîüíùí z êáé zc (âë. ó÷. 4.46) ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 131 Ó×ÇÌÁ 4.46 Ï Üîïíáò z åßíáé ðáñÜëëçëïò óôïí Üîïíá zc ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ìÜæáò ôïõ óôåñåïý. Áðüäåéîç ôïõ ÈåùñÞìáôïò ôïõ Steiner ´Åóôù ôï óþìá ôïõ ó÷Þìáôïò 4.47, ôïõ ïðïßïõ ôï êÝíôñï ìÜæáò âñßóêåôáé óôçí áñ÷Þ ôïõ óõóôÞìáôïò óõíôåôáãìÝíùí, Üñá xcm = ycm = zcm = 0. Èåùñïýìå ôïí Üîïíá z êáé Ýíáí Üëëï ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Ñ, ìå óõíôåôáãìÝíåò (xP , yP , 0) ðïõ åßíáé ðáñÜëëçëïò ðñïò ôïí z. Ç èÝóç ìéáò óôïé÷åéþäïõò ìÜæáò mi ôïõ óþìáôïò ðñïâÜëëåôáé ó' Ýíá óçìåßï Á ôïõ åðéðÝäïõ xÏy ìå óõíôåôáãìÝíåò (xi, yi, 0). Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ óþìáôïò, ùò ðñïò ôïí Üîïíá (z) åßíáé (I) Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ óþìáôïò, ùò ðñïò ôïí Üëëï Üîïíá åßíáé (II) Ç ôåëåõôáßá ó÷Ýóç ìåôÜ ôéò ðñÜîåéò äßíåé ÅðåéäÞ xcm = 0, ycm = 0 Ý÷ïõìå üôé (III) (IV) Aí d åßíáé ç áðüóôáóç ìåôáîý ôùí áîüíùí, Ý÷ïõìå (V) ÔÝëïò áí Ì ç ìÜæá ôïõ óþìáôïò åßíáé (VI) H (II) ëüãù ôùí (É), (ÉÉÉ), (ÉV), (V) êáé (VI) äßíåé I I M dp c m= + 2 Ó m Mi = x y dp p 2 2 2 + = Ó m yi i = 0 Ó m xi i = 0 I m x y x y m x m x y m yp i i i p p i p i i p i iÓ Ó Ó Ó= + + + − −2 2 2 2 2 2e j e j I m r m x x y yp i i i i p i pÓ Ó= = − + −L NM O QP2 2 2 c h c h I m R m x ycm i i i i iÓ Ó= = +2 2 2 e j Ó×ÇÌÁ 4.47 Èåùñïýìå áñ÷Þ ôõ óõóôÞìáôïò óõíôåôáãìÝíùí óôï êÝíôñï ìÜæáò ôïõ óôåñåïý óþìáôïò.
- 148. ÐáñÜäåéãìá 4-8 Äßíåôáé ëåðôÞïìïãåíÞò ñÜâäïò ìÜæáò Ì êáé ìÞêïõò L. Ç ñïðÞ áäñÜíåéÜò ôçò, ùò ðñïò Üîïíá êÜèåôï ó' áõôÞ, ðïõ ðåñíÜ áðü ôï ìÝóï ôçò, åßíáé Íá âñåèåß ç ñïðÞ áäñÜíåéáò É´ ôçò ñÜâäïõ, ùò ðñïò Üîïíá êÜèåôï ó' áõôÞ, ðïõ ðåñíÜ áðü ôï Ýíá Üêñï ôçò. ÁðÜíôçóç Ôï êÝíôñï ìÜæáò ôçò ñÜâäïõ åßíáé ôï ìÝóï ôçò, ïðüôå áðü ôï èåþñçìá ôïõ Steiner Ý÷ïõìå Þ Þ ÐáñÜäåéãìá 4-9 Áðü ïìïãåíÞ äßóêï áêôßíáò R, êáé áñ÷éêÞò ìÜæáò Ì, áöáéñåßôáé ôìÞìá, üðùò óôï ó÷Þìá (4.48). Íá õðïëïãéóèåß ç ñïðÞ áäñáíåßáò ôïõ óôåñåïý ðïõ áðïìÝíåé ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï Ï. ÁðÜíôçóç Ãéá ôïí ðëÞñç äßóêï ç ñïðÞ áäñáíåßáò ôïõ åßíáé Þ Ôï Üèñïéóìá åßíáé ç æçôïýìåíç ñïðÞ áäñáíåßáò É. Ôï Üèñïéóìá åßíáé ç ñïðÞ áäñáíåßáò É′, ùò ðñïò ôï Ï, ôïõ äßóêïõ ðïõ áöáéñåßôáé. Ç ìÜæá ôïõ ìéêñïý äßóêïõ åßíáé êáé ç ñïðÞ áñäáíåßáò ôïõ ùò ðñïò ôï Ï′, åßíáé Åöáñìüæïíôáò ôï èåþñçìá ôïõ Steiner ãéá ôï ìéêñü äßóêï Ý÷ïõìå É′ = É′c + M′d2 Þ ′ = ′ = =I M R M R MR c /2 2 4 8 32 2 2 2 b g ′ = =M M R R M/2 4 2 2 b g B m r∑ i i 2 A m r∑ i i 2 M R m r m r A B 2 2 2 2 = +∑ ∑i i i i I m r MR0 2 21 2 = =∑ i i ′ =I M L 1 3 2 ′ = +I M L M L 1 12 1 4 2 2 I I M L ′ = + F HG I KJ2 2 I M L= 1 12 2 132 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.48
- 149. Þ Áíôéêáèéóôþíôáò óôçí áñ÷éêÞó÷Ýóç Ý÷ïõìå Þ ÊÉÍÇÔÉÊÇ ÅÍÅÑÃÅÉÁ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ ÐÏÕ ÅÊÔÅËÅÉ ÓÕÍÈÅÔÇ ÊÉÍÇÓÇ Ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óôåñåïý ôïõ ó÷Þìáôïò 4.49, ìðïñåß íá õðïëïãéóèåß ÷ñçóéìïðïéþíôáò ôï èåþñçìá ôùí ðáñáëëÞëùí áîüíùí (Steiner). Áðü ôï óçìåßï P äéÝñ÷åôáé ï óôéãìéáßïò Üîïíáò ðåñéóôñïöÞò, üðùò Ý÷ïõìå áíáöÝñåé ðñïçãïõìÝíùò ãéá ôçí åðßðåäç êßíçóç. Ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ðåñéóôñïöÞò ðåñß ôï Ñ, åßíáé ßäéá ìå ôç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ðåñß ôïí Üîïíá, ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ìÜæáò. Óõíåðþò ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óþìáôïò åßíáé üðïõ IP êáé ù ç ñïðÞ áäñáíåßáò êáé ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï P. Áðü ôï èåþñçìá ôïõ Steiner Ý÷ïõìå IP = Icm + Md2 üðïõ Ì ç ìÜæá ôïõ óþìáôïò êáé d ç áðüóôáóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò áðü ôï óçìåßï P. Áíôéêáèéóôþíôáò Ý÷ïõìå Þ ÁëëÜ d⋅ù = õcm ïðüôå (4.40) Ç ó÷Ýóç (4.40) äåß÷íåé üôé, ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óôåñåïý óôç ãåíéêÞ ðåñßðôùóç, áðïôåëåßôáé áðü äýï üñïõò, äçëáäÞ ôïí üñï , ðïõ åßíáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ëüãù ìåôáöïñéêÞò êßíçóçò êáé ôïí üñï , ðïõ åßíáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ëüãù ðåñéóôñïöÞò ãýñù áðü Üîïíá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ìÜæáò. 1 2 2 I ùcm 1 2 2 Mõcm K I ù Mõ= + 1 2 1 2 2 2 cm cm K I ù M d ù= + ⋅ 1 2 1 2 2 2 cm ( ) K I Md ù= + 1 2 2 2 cme j K I ùP= ⋅ 1 2 2 I MR= 13 32 2 M R I R M 2 2 2 3 32 = + ′ =I MR 2 3 32 ′ = + F HG I KJI M R M R 2 2 32 4 2 ÌÇ÷ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 133 Ó×ÇÌÁ 4.49 Ãéá ôï óôåñåü óþìá ðïõ êéíåßôáé, õðÜñ÷åé óôéãìéáßïò Üîïíáò ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï P, ãýñù áðü ôïí ïðïßï ç êßíçóç ôïõ óþìáôïò åßíáé êáèáñÜ ðåñéóôñïöéêÞ.
- 150. ÊÕËÉÓÇ ÄÉÓÊÏÕ ÓÅÅÐÉÐÅÄÏ Ï äßóêïò ôïõ ó÷Þìáôïò 4.50 êõëÜåé ÷ùñßò íá ïëéóèáßíåé. Èåùñïýìå Ýíá íÞìá ìÞêïõò Äs, ôï ïðïßï ôõëßãåôáé êáëýðôïíôáò ôï ôüîï ÁÁ′ ôçò ðåñéöÝñåéáò. ¼ôáí ìåôÜ áðü ÷ñüíï Ät ôï óçìåßï Á′ áêïõìðÞóåé óôï Ýäáöïò, ôï íÞìá èá Ý÷åé áðëùèåß åî’ ïëïêëÞñïõ óôï Ýäáöïò. Óõíåðþò, ëüãù ìåôáöïñéêÞò êßíçóçò, ç ôá÷ýôçôá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò åßíáé ÅîåôÜæïíôáò ôçí ðåñéóôñïöéêÞ êßíçóç ìåìïíùìÝíá, Ý÷ïõìå üôé óôïí ßäéï ÷ñüíï Ät, ôï óçìåßï Á′ äéÝãñáøå ôüîï Äs, Üñá ç ãñáììéêÞ ôá÷ýôçôá ëüãù ðåñéóôñïöÞò åßíáé Óõíåðþò õð = õcm = ùR (4.41) Eðßóçò ôï ìÝôñï ôçò åðéôÜ÷õíóçò ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò åßíáé a = Rá (4.42) üðïõ á ç ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç. ÐáñÜäåéãìá 4-10 Óöüíäõëïò ìÜæáò Ì êáé áêôßíáò R ìðïñåß íá óôñÝöåôáé ÷ùñßò ôñéâÝò ãýñù áðü ïñéæüíôéï Üîïíá. Óôçí ðåñéöÝñåéá ôïõ óöïíäýëïõ óôåñåþíïõìå ôç ìßá Üêñç åíüò íÞìáôïò êáé ôï ôõëßãïõìå ãýñù ôïõ, åíþ óôçí Üëëç Üêñç ôïõ íÞìáôïò äÝíïõìå óùìÜôéï ìÜæáò m. Ôï óùìÜôéï áöÞíåôáé íá ðÝóåé áðü ýøïò h ðÜíù áðü ôï äÜðåäï. Íá âñåèåß ç ôá÷ýôçôá ôïõ óùìáôßïõ, üôáí öèÜíåé óôï äÜðåäï, êáèþò êáé ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ óöïíäýëïõ ôçí ßäéá óôéãìÞ. ÁðÜíôçóç Ôï óùìÜôéï áñ÷éêÜ Ý÷åé äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ¼ôáí öèÜíåé óôï Ýäáöïò, ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óþìáôïò åßíáé êáé ôïõ óôñåöüìåíïõ óöïíäýëïõ Åöüóïí ç ãñáììéêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò éóïýôáé ìå ôçí ãñáììéêÞ ôá÷ýôçôá ôùí óçìåßùí ôçò ðåñéöÝñåéáò ôïõ óöïíäýëïõ Ý÷ïõìå ïðüôå K M2 21 2 = õ õ = ù R K I ù Ì R ù2 2 2 21 2 1 2 = = K m õ1 21 2 = U m g h= a dõ dt dõ dt R dù dt = = =cm ð õ s t ð Ä Ä = õ s t cm Ä Ä = 134 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.50 Ó×ÇÌÁ 4.51
- 151. Áöïý ïé ôñéâÝòåßíáé áìåëçôÝåò, áðü ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò åíÝñãåéáò ðñïêýðôåé ÔÝëïò Ý÷ïõìå ÐáñÜäåéãìá 4-11 ÓõìðáãÞò-ïìïãåíÞò êýëéíäñïò áöÞíåôáé íá êõëßóåé êáôÜ ìÞêïò êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ áðü ýøïò h. Íá õðïëïãéóèåß ç ìåôáöïñéêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ êõëßíäñïõ, üôáí áõôüò öèÜíåé óôç âÜóç ôïõ êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ. ÁõôÞ ç ôá÷ýôçôá åßíáé ßóç, ìéêñüôåñç Þ ìåãáëýôåñç áðü ôçí ôá÷ýôçôá ðïõ èá áðïêôïýóå ï êýëéíäñïò óôçí ðåñßðôùóç, êáôÜ ôçí ïðïßá ïëßóèáéíå ÷ùñßò ôñéâÝò êáé ÷ùñßò íá êõëÜåé; Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ êõëßíäñïõ, ùò ðñïò ôïí ÜîïíÜ ôïõ, åßíáé ÁðÜíôçóç Ôçí óôéãìÞ ðïõ áöÞíåôáé ï êýëéíäñïò Ý÷åé ìüíï äõíáìéêÞ åíÝñãåéá Ôçí óôéãìÞ ðïõ öèÜíåé óôç âÜóç ôïõ êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ, ï êýëéíäñïò äåí Ý÷åé äõíáìéêÞ åíÝñãåéá, áëëÜ ìüíï êéíçôéêÞ. Þ ¼ìùò, ç ãñáììéêÞ ôá÷ýôçôá ðåñéóôñïöÞò ôùí óçìåßùí ôçò êõñôÞò åðéöÜíåéáò ôïõ êõëßíäñïõ, ùò ðñïò ôïí ÜîïíÜ ôïõ, éóïýôáé ìå ôçí ìåôáöïñéêÞ ôá÷ýôçôá, Üñá ïðüôå Áðü ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò åíÝñãåéáò ðñïêýðôåé Þ ÞM g h M õ= 3 4 2 U = K K M M M= + = 1 4 1 2 3 4 2 2 2 õ õ õ õ ù R= K M R M= + 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ù õ K I M= + 1 2 1 2 2 2 ù õ U M g h= I M R= 1 2 2 ù R R m g h m M = = + õ 1 2 õ = + 2 m g h m M m g h m M= + 1 2 1 2 2 õ õ2 U = K + K1 2 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 135
- 152. Áí ï êýëéíäñïòïëßóèáéíå èá åß÷áìå Ðáñáôçñïýìå üôé éó÷ýåé õ´ > õ. Áõôü åßíáé áíáìåíüìåíï, ãéáôß óôç äåýôåñç ðåñßðôùóç ç áñ÷éêÞ äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ôïõ êõëßíäñïõ ìåôáôñÝðåôáé óå êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ìüíï ìåôáöïñéêÞò êßíçóçò, åíþ óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç Ýíá ìÝñïò ôçò áñ÷éêÞò åíÝñãåéáò "äåóìåýåôáé" óå êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ðåñéóôñïöÞò. ÑÏÐÇ ÄÕÍÁÌÇÓ Ðñïóðáèþíôáò íá áíïßîïõìå ìéá âáñéÜ áõëüðïñôá (Ó÷. 4.52), äéáðéóôþíïõìå üôé áíïßãåé åõêïëüôåñá, áí áóêïýìå äýíáìç üóï ôï äõíáôüí ìáêñýôåñá áðü ôïõò ìåíôåóÝäåò. Áêüìç ÷ñçóéìïðïéïýìå áðïôåëåóìáôéêüôåñá Ýíá êëåéäß, ãéá íá îåâéäþóïõìå ìéá âßäá, áóêþíôáò äýíáìç óôï Üêñï ôïõ êáé êÜèåôá ðñïò áõôü. Ç åìðåéñßá ìáò ãåíéêÜ, ãéá ôçí éêáíüôçôá ìéáò äýíáìçò íá ðåñéóôñÝøåé Ýíá óôåñåü óþìá, ìáò ïäçãåß óôïí ïñéóìü åíüò öõóéêïý ìåãÝèïõò ðïõ ïíïìÜæåôáé ñïðÞ äýíáìçò. ÑÏÐÇ ÄÕÍÁÌÇÓ ÙÓ ÐÑÏÓ ÓÇÌÅÉÏ Ç ñïðÞ äýíáìçò, ùò ðñïò óçìåßï Ï, ïñßæåôáé ùò ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï ôïõ äéáíýóìáôïò → r åðß ôçí äýíáìç , äçëáäÞ → ô = → r × üðïõ → r åßíáé ôï äéÜíõóìá ìå áñ÷Þ ôï óçìåßï Ï êáé ðÝñáò ôï óçìåßï åöáñìïãÞò ôçò (Ó÷. 4.53) (ÂëÝðå Ìáèçìáôéêü óõìðëÞñùìá óåë. 146). Ôï ìÝôñï ôçò ñïðÞò åßíáé ô = Fr sinö üðïõ ö ç ìéêñüôåñç (êõñôÞ) ãùíßá ðïõ äéáãñÜöåôáé áðü ôï äéÜíõóìá → r ðñïò ôç äýíáìç . Ç äéåýèõíóç ôçò ñïðÞò åßíáé êÜèåôç óôï åðßðåäï ðïõ ïñßæåôáé áðü ôï óçìåßï Ï êáé ôï äéÜíõóìá ôçò äýíáìçò êáé ç öïñÜ ôçò ðñïóäéïñßæåôáé ìå ôïí êáíüíá ôïõ äåîéüóôñïöïõ êï÷ëßá. Ôïðïèåôïýìå ôïí êï÷ëßá êáôÜ ìÞêïò ôçò äéåýèõíóçò ôçò ñïðÞò, êáé ôïí óôñÝöïõìå þóôå ôï äéÜíõóìá → r íá ðÝóåé óôç äýíáìç , óáñþíïíôáò ôçí êõñôÞ ãùíßá ðïõ ó÷çìáôßæïõí ìåôáîý ôïõò. Ç öïñÜ êßíçóçò ôïõ êï÷ëßá äåß÷íåé ôç öïñÜ ôïõ äéáíýóìáôïò ôçò ñïðÞò → ô (Ó÷. 4.54). Ïé ìïíÜäá ñïðÞò óôï SI åßíáé 1 Ím êáé ïé äéáóôÜóåéò ML2 T− 2 . ÑÏÐÇ ÄÕÍÁÌÇÓ ÙÓ ÐÑÏÓ ÁÎÏÍÁ Óôïí ôñï÷ü ôïõ ó÷Þìáôïò 4.55 äñá ç äýíáìç . Ç ñïðÞ ôçò äýíáìçò, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ôïõ ôñï÷ïý, åßíáé ôï ãéíüìåíï F → F → F → F → F → F → ′ =õ g h2 M g h M õ= ′ 1 2 2 õ g h= 4 3 136 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.52 Åõêïëüôåñá êëåßíïõìå ôçí ðüñôá áóêþíôáò äýíáìç óôï à ðáñÜ óôï Á. Ó×ÇÌÁ 4.53 Ç ñïðÞ äýíáìçò ùò ðñïò óçìåßï åßíáé êÜèåôç óôï åðßðåäï ðïõ ïñßæåôáé áðü ôçí äýíáìç êáé ôï óçìåßï. Ó×ÇÌÁ 4.54 Ç öïñÜ ôçò ñïðÞò ðñïóäéïñßæåôáé ìå ôïí êáíüíá ôïõ äåîéüóôñïöïõ êï÷ëßá.
- 153. ôçò äýíáìçò Fåðß ôçí áðüóôáóç l ôïõ Üîïíá ðåñéóôñïöÞò áðü ôçí “ãñáììÞ äñÜóçò” ôçò äýíáìçò. ÄçëáäÞ, ô = Fl = Fr sinö (4.43) Ç áðüóôáóç l ïíïìÜæåôáé ìï÷ëïâñá÷ßïíáò ôçò äýíáìçò → F. Ðñïöáíþò, üôáí ç äýíáìç F äéÝñ÷åôáé áðü ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò, Ý÷åé ñïðÞ ìçäÝí (Ó÷. 4.56). Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ìéá äýíáìç åßíáé ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò (Ó÷. 4.57), äåí ìðïñåß íá óôñÝøåé ôï óôåñåü óþìá, äçëáäÞ ç ñïðÞ ôçò åßíáé ìçäÝí. ÃåíéêÜ áí ç äéåýèõíóç ôçò äýíáìçò → F åßíáé ôõ÷áßá (Ó÷. 4.58), áíáëýïõìå ôçí äýíáìç óå äýï óõíéóôþóåò, ç ìßá (F// ) åßíáé ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò êáé ç Üëëç (F⊥) âñßóêåôáé óôï êÜèåôï åðßðåäï, óôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò. Ç ñïðÞ ôçò äýíáìçò → F, ùò ðñïò ôïí Üîïíá, éóïýôáé ìå ôç ñïðÞ ô′ ôçò äåýôåñçò óõíéóôþóáò F⊥ , äçëáäÞ Ý÷ïõìå ô = ô′ = F⊥ l ÐáñáôÞñçóç: Ç ñïðÞ ùò ðñïò óçìåßï, ôáõôßæåôáé ìå ôç ñïðÞ ùò ðñïò Üîïíá, ìüíï üôáí ï Üîïíáò Ý÷åé ôç äéåýèõíóç ôçò ñïðÞò, äçëáäÞ åßíáé êÜèåôïò óôï åðßðåäï ôïõ óçìåßïõ êáé ôçò äýíáìçò. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ï Üîïíáò åßíáé äéáöïñåôéêüò, ç ñïðÞ ùò ðñïò ôïí Üîïíá õðïëïãßæåôáé üðùò áíáöÝñèçêå óôçí ðåñßðôùóç ôïõ ó÷Þìáôïò 4.58, êáé áðïäåéêíýåôáé üôé éóïýôáé ìå ôçí óõíéóôþóá ôZ (óôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò) ôçò ñïðÞò ô, ùò ðñïò ôï óçìåßï Ï (Ó÷. 4.59). ¼ôáí óå Ýíá óôåñåü óþìá ðïõ ìðïñåß íá óôñáöåß ãýñù áðü Üîïíá äñïõí ðïëëÝò äõíÜìåéò → F1, → F2 ê.ëð., ôüôå ç óõíïëéêÞ ñïðÞ éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôùí ñïðþí êÜèå äýíáìçò. ÄçëáäÞ ôïë = ô1 + ô2 + ô3 + ... ×áñáêôçñßæïõìå óõíÞèùò ùò èåôéêÞ, ôç ñïðÞ ôçò äýíáìçò ðïõ óôñÝöåé ôï óôåñåü áíôßèåôá áðü ôïõò äåßêôåò ôïõ ñïëïãéïý êáé ùò áñíçôéêÞ áõôÞ ðïõ óôñÝöåé ôï óôåñåü óýìöùíá ìå ôïõò äåßêôåò ôïõ ñïëïãéïý. Ãéá ðáñÜäåéãìá, óôï ó÷Þìá 4.60, ç ñïðÞ ôçò → F1 åßíáé ô1 = −F1l1 êáé ç ñïðÞ ôçò äýíáìçò → F2 åßíáé ô2 = +F2 l2 . ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 137 Ó×ÇÌÁ 4.58 Ç ñïðÞ ôçò äýíáìçò F ùò ðñïò ôïí Üîïíá éóïýôáé ôç ñïðÞ ôçò óõíéóôþóáò F⊥ . Ó×ÇÌÁ 4.55 Ç éêáíüôçôá ôçò äýíáìçò íá óôñÝøåé ôïí ôñï÷ü åîáñôÜôáé áðü ôçí áðüóôáóç l. Ó×ÇÌÁ 4.56 Ç äýíáìç F äåí ìðïñåß íá óôñÝøåé ôïí ôñï÷ü, Ý÷åé ñïðÞ ìçäÝí. Ó×ÇÌÁ 4.57 Ç äýíáìç F äåí ìðïñåß íá óôñÝøåé ôï óôåñåü óþìá ãýñù áðü Üîïíá ðáñÜëëçëï ðñïò ôç äéåýèõíóÞ ôçò. Ó×ÇÌÁ 4.59 Ç ñïðÞ ôçò äýíáìçò ùò ðñïò ôïí Üîïíá, åßíáé ç óõíéóôþóá óôïí Üîïíá, ôçò ñïðÞò ôçò äýíáìçò ùò ðñïò ôï óçìåßï.
- 154. Èåþñçìá ôùí ñïðþí Áðïäåéêíýåôáéüôé ç óõíïëéêÞ ñïðÞ ðïëëþí äõíÜìåùí éóïýôáé ìå ôç ñïðÞ ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò. ÄçëáäÞ, áí óå Ýíá óôåñåü óþìá äñïõí ðïëëÝò äõíÜìåéò, ïé → F1, → F2, → F3, ... ç óõíïëéêÞ ñïðÞ éóïýôáé ìå ôç ñïðÞ ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò. ÅÜí Ý÷ïõìå ìéá äýíáìç → F óå ôõ÷áßá äéåýèõíóç (Ó÷. 4.61), áíáëýïõìå ôç äýíáìç óå áêôéíéêÞ êáé åöáðôïìåíéêÞ óõíéóôþóá. Ç ñïðÞ ôçò äýíáìçò éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôçò ñïðÞò ôçò óõíéóôþóáò Ftan êáé ôçò óõíéóôþóáò Frad. ¼ìùò, ç ñïðÞ ôçò Frad åßíáé ìçäÝí, óõíåðþò, ç óõíïëéêÞ ñïðÞ éóïýôáé ìå ôç ñïðÞ ôçò Ftan. ÐáñÜäåéãìá 4-12 ÑïðÞ æåýãïõò äõíÜìåùí Æåýãïò äõíÜìåùí ïíïìÜæïõìå ôï óýóôçìá äýï ðáñÜëëçëùí äõíÜìåùí, ßäéïõ ìÝôñïõ (F1 = F2 = F) êáé áíôßèåôçò öïñÜò. Ç áðüóôáóç l ìåôáîý ôùí äõíÜìåùí ïíïìÜæåôáé ìï÷ëïâñá÷ßïíáò ôïõ æåýãïõò. Ôï äéáíõóìáôéêü Üèñïéóìá (ç óõíéóôáìÝíç) ôùí äõíÜìåùí åßíáé ìçäÝí. Ç ìüíç óõíÝðåéá ôïõ æåýãïõò åßíáé ç äçìéïõñãßá ñïðÞò óôñÝøçò. Íá âñåèåß ç ïëéêÞ ñïðÞ ôïõ æåýãïõò, ùò ðñïò Üîïíá êÜèåôï óôï åðßðåäï ôùí äõíÜìåùí, ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôõ÷áßï óçìåßï Ï. ÁðÜíôçóç ¸÷ïõìå ô0 = F2 x2 − F1 x1 = Fx2 − Fx1, Þ ô0 = F(x2 − x1) Þ ô0 = Fl. Ôï ìÝôñï ôçò ñïðÞò ôïõ æåýãïõò, ùò ðñïò ïðïéïäÞðïôå óçìåßï, éóïýôáé ìå ôï ãéíüìåíï ôïõ ìÝôñïõ ôçò ìéáò äýíáìçò åðß ôïí ìï÷ëïâñá÷ßïíÜ ôïõ. Áí ðåñéïñéæüìáóôå óôï åðßðåäï ç ñïðÞ ôïõ æåýãïõò ìðïñåß íá èåùñåßôá ùò ìïíüìåôñï ìÝãåèïò ìå ðñüóçìï. Æåýãïò äõíÜìåùí áóêïýìå óôï "óôáõñü" üôáí áëëÜæïõìå ôï ëÜóôé÷ï ôïõ áõôïêéíÞôïõ. Åðßóçò æåýãïò äõíÜìåùí åìöáíßæåôáé ó' Ýíá çëåêôñéêü äßðïëï Þ ó' Ýíá ìáãíçôéêü äßðïëï ìÝóá óå ïìïãåíÝò çëåêôñéêü Þ ïìïãåíÝò ìáãíçôéêü ðåäßï áíôßóôïé÷á. ÐáñÜäåéãìá 4-13 Óå ìéá ïñéæüíôéá ñÜâäï ðïõ ìðïñåß íá óôñÝöåôáé ãýñù áðü êáôáêüñõöï Üîïíá, ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï Ýíá Üêñï ôçò, äñïõí äõíÜìåéò, üðùò óôï ó÷Þìá. F → 138 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.60 ¼ôáí ç äýíáìç ôåßíåé íá óôñÝøåé ôï óôåñåü êáôÜ ôçí áíôßèåôç öïñÜ áðü áõôÞ ôùí äåéêôþí ôïõ ñïëïãéïý Ý÷åé ñïðÞ èåôéêÞ. Ó×ÇÌÁ 4.61 Ç ñïðÞ ôçò äýíáìçò F éóïýôáé ìå ôç ñïðÞ ôçò Ftan. Ó×ÇÌÁ 4.62 Ó×ÇÌÁ 4.63
- 155. Íá õðïëïãéóèåß çóõíïëéêÞ ñïðÞ ôùí äõíÜìåùí áí F1 = 30 Í, F2 = 20 N êáé l = 2,0 m ÁðÜíôçóç Áíáëýïõìå ôçí F2 óå äýï óõíéóôþóåò, ôçí F2x êáé ôçí F2y. Eßíáé ô2 = ôF2x + ôF2y ¢ñá ô2 = +l F2y + 0F2x Þ ô2 = +l F2 sin30o Þ ô2 = +20 Ím Åðßóçò ô1 = −F1 l/2 Þ ô1 = −(30⋅2/2) Nm Þ ô1 = −30 Ím ¢ñá ôïë = ô1 + ô2 Þ ôïë = (+20 − 15) Nm Þ ôïë = −10 Ím ÈÅÌÅËÉÙÄÇÓ ÍÏÌÏÓ ÔÇÓ ÐÅÑÉÓÔÑÏÖÉÊÇÓ ÊÉÍÇÓÇÓ ÓÔÅÑÅÏÕ Ç ÍÏÌÏÓ ÔÏÕ NÅÕÔÙÍÁ ÃÉÁ ÔÇÍ ÐÅÑÉÓÔÑÏÖÇ ÓÔÅÑÅÏÕ Èåùñïýìå ñÜâäï áìåëçôÝáò ìÜæáò êáé ìÞêïõò r, ç ïðïßá ìðïñåß íá ðåñéóôñÝöåôáé óå ïñéæüíôéï åðßðåäï ãýñù áðü êáôáêüñõöï Üîïíá, ï ïðïßïò äéÝñ÷åôáé áðü ôï Ýíá Üêñï ôçò (Ó÷. 4.65). Óôï Üëëï Üêñï åßíáé óôåñåùìÝíï Ýíá óþìá ìéêñþí äéáóôÜóåùí, ìÜæáò m. Áí óôï óþìá äñá äýíáìç äéáñêþò åöáðôïìÝíç óôçí ôñï÷éÜ ðïõ äéáãñÜöåé, èá ðñïêáëÝóåé åðéôñü÷éá åðéôÜ÷õíóç atan. Áðü ôï íüìï ôïõ Íåýôùíá Ý÷ïõìå F = matan Þ rF = mratan ¼ìùò, üðùò îÝñïõìå rF = ô êáé atan = ár, üðïõ á ç ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç. ¢ñá ô = mr2 á (4.46) ÅÜí óôï óþìá äñá äýíáìç ôõ÷áßáò äéåýèõíóçò, áíáëýïõìå ôç äýíáìç óå ôñåéò óõíéóôþóåò, üðùò óôï ó÷Þìá 4.66. Áðü ôï èåþñçìá ôùí ñïðþí Ý÷ïõìå üôé, ç ñïðÞ ôçò äýíáìçò åßíáé ßóç ìå ôï Üèñïéóìá ôùí ñïðþí ôùí óõíéóôùóþí ôçò. ¢ñá, ç ñïðÞ ôçò , éóïýôáé ìå ôç ñïðÞ ôçò åöáðôïìåíéêÞò óõíéóôþóáò Ftan , äéüôé ïé Üëëåò äýï äõíÜìåéò Ý÷ïõí ñïðÞ ìçäÝí. ÅðïìÝíùò óôç ó÷Ýóç (4.46), Ý÷ïõìå ôç ñïðÞ ô ôçò äýíáìçò , áíåîÜñôçôá áðü ôç äéåýèõíóç áõôÞò. F → F → F → F → F → ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 139 Ó×ÇÌÁ 4.64 Ó×ÇÌÁ 4.65 Ç åöáðôïìåíéêÞ äýíáìç F ðñïêáëåß åöáðôïìåíéêÞ åðéôÜ÷õíóç. Ó×ÇÌÁ 4.66 ÁðïôÝëåóìá óôçí ðåñéóôñïöÞ åðéöÝñåé ìüíï ç åöáðôïìåíéêÞ óõíéóôþóá.
- 156. ¸óôù Ýíá óôåñåüóþìá, ðïõ ðåñéóôñÝöåôáé åî’ áéôßáò ôçò äñÜóåùò äéáöüñùí äõíÜìåùí (Ó÷. 4.67). ÊÜèå óôïé÷åéþäåò ôìÞìá ôïõ óôåñåïý åêôåëåß êõêëéêÞ êßíçóç. Åöáñìüæïíôáò ôç ó÷Ýóç (4.46) ãéá êáèÝíá áðü ôá óôïé÷åéþäç ôìÞìáôá Ý÷ïõìå ô1 = m1 r1 2 á, ô2 = m2 r2 2 á ... Åöüóïí ïé ñïðÝò ô1 , ô2 , ... åßíáé óõããñáììéêÝò, ðñïóèÝôïõìå êáôÜ ìÝëç ôéò ðéï ðÜíù ó÷Ýóåéò, ïðüôå ðñïêýðôåé ô1 + ô2 + ... = m1 r1 2 á + m2 r2 2 á + ... = (m1 r1 2 + m2 r2 2 + ...) á Þ (4.47) üðïõ ô åßíáé ç óõíïëéêÞ ñïðÞ êáé É ç ñïðÞ áäñáíåßáò ôïõ óôåñåïý ùò ðñïò ôïí óõãêåêñéìÝíï Üîïíá. Ôïíßæïõìå üôé ç óõíïëéêÞ ñïðÞ ô ïöåßëåôáé ìüíï óôéò åîùôåñéêÝò äõíÜìåéò, äéüôé ïé åóùôåñéêÝò äõíÜìåéò ìåôáîý ôùí ôìçìÜôùí ôïõ óôåñåïý Ý÷ïõí óõíéóôáìÝíç ñïðÞ ìçäÝí. ÐñÜãìáôé, áðü ôïí ôñßôï Íüìï ôïõ Íåýôùíá, Ý÷ïõìå üôé áíÜ äýï Ý÷ïõí ßäéï ìÝôñï, áíôßèåôç öïñÜ êáé ßäéá “ãñáììÞ äñÜóçò” (Ó÷. 4.68), Üñá áðïôåëïýí æåýãïò ìå ìï÷ëïâñá÷ßïíá ìÞêïõò ìçäÝí. Ç ó÷Ýóç (4.47) áðïôåëåß ôï Íüìï ôïõ Íåýôùíá ãéá ôçí ðåñéóôñïöéêÞ êßíçóç êáé ç äéáôýðùóÞ ôïõ åßíáé ç åîÞò: “Ôï Üèñïéóìá ôùí ñïðþí ôùí åîùôåñéêþí äõíÜìåùí ðïõ äñïõí ó’ Ýíá óôåñåü óþìá, ôï ïðïßï ðåñéóôñÝöåôáé ãýñù áðü Üîïíá, éóïýôáé ìå ôï ãéíüìåíï ôçò ãùíéáêÞò åðéôÜ÷õíóçò, ðïõ áðïêôÜ ôï óôåñåü, åðß ôç ñïðÞ áäñáíåßáò ôïõ óôåñåïý, ùò ðñïò ôïí Üîïíá áõôü”. ÐáñáôÞñçóç ¼ëá ôá ðáñáðÜíù áíáöÝñïíôáé óå åðßðåäç êßíçóç, êáôÜ ôçí ïðïßá êÜèå óçìåßï ôïõ óôåñåïý êéíåßôáé óå óõãêåêñéìÝíï óôáèåñü åðßðåäï. ÌÅÈÏÄÏÓ ÌÅËÅÔÇÓ ÔÏÕ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ É) ¼ôáí ôï óôåñåü óþìá Ý÷åé óôáèåñü Üîïíá ðåñéóôñïöÞò: õðïëïãßæïõìå ôçí óõíïëéêÞ ñïðÞ ôùí äõíÜìåùí, ùò ðñïò ôïí óôáèåñü Üîïíá êáé åöáñìüæïõìå ôï íüìï ôïõ Íåýôùíá (ó÷Ýóç 4.47), áð’ üðïõ õðïëïãßæïõìå ôçí ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç á. ÉÉ) ¼ôáí ôï óôåñåü óþìá äåí Ý÷åé óôáèåñü Üîïíá ðåñéóôñïöÞò ôüôå åñãáæüìáóôå ùò åîÞò: Åöáñìüæïõìå ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Íåýôùíá èåùñþíôáò ôï óþìá ùò õëéêü óçìåßï, ðïõ ç ìÜæá ôïõ êéíåßôáé üðùò ôï ÊÌ. ¢ñá F = macm , áð’ üðïõ õðïëïãßæïõìå ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò êáé ìåëåôÜìå ôç ìåôáöïñéêÞ êßíçóÞ ôïõ. Ôçí ðåñéóôñïöéêÞ êßíçóç ôç ìåëåôÜìå ùò ðñïò Üîïíá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ìÜæáò. Õðïëïãßæïõìå ôç óõíïëéêÞ ñïðÞ ùò ðñïò áõôüí ôïí Üîïíá êáé åöáñìüæïõìå ôçí ó÷Ýóç (4.47), ô = Écm á, üðïõ Icm ç ñïðÞ áäñáíåßáò ùò ðñïò ôïí óõãêåêñéìÝíï Üîïíá. Áêïëïõèïýí äýï ðáñáäåßãìáôá óôá ïðïßá åöáñìüæïõìå ôéò ðéï ðÜíù ìåèüäïõò. ÐáñÜäåéãìá 4-14 ÓõìðáãÞò ïìïãåíÞò êýëéíäñïò ìÜæáò Ì áöÞíåôáé íá êõëßóåé êáôÜ ìÞêïò ôïõ êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ, ãùíßáò è. Íá õðïëïãéóèåß ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ôïõ êõëßíäñïõ, èåùñþíôáò ãíùóôÞ ôçí åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g. ô = É ⋅ á 140 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.67 ÊÜèå óôïé÷åéþäåò ôìÞìá ôïõ óôåñåïý åêôåëåß êõêëéêÞ êßíçóç. Ó×ÇÌÁ 4.68 Ç åóùôåñéêÝò äõíÜìåéò Ý÷ïõí ñïðÞ 0, äéüôé åßíáé æåýãïò ìå ìï÷ëïâñá÷ßïíôá ìÞêïõò ìçäÝí.
- 157. ÁðÜíôçóç Óôïí êýëéíäñï áóêåßôáéôï âÜñïò ôïõ , ç êÜèåôç äýíáìç k êáé ç ôñéâÞ ô . Ç ñïðÞ → ô, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ôïõ êõëßíäñïõ, ïöåßëåôáé ìüíï óôçí ô , ïðüôå éó÷ýåé ô = Éá (É) Áí R ç áêôßíá ôïõ êõëßíäñïõ, Ý÷ïõìå ô = Fô R (ÉÉ) Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ êõëßíäñïõ, ùò ðñïò ôïí ÜîïíÜ ôïõ åßíáé (ÉÉÉ) Ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ácm êáé ç ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç óõíäÝïíôáé ìå ôç ó÷Ýóç (IV) Ç (É) ëüãù ôùí (ÉÉ), (ÉÉÉ), (ÉV) ãßíåôáé (V) Áðü ôï 2ï íüìï ôïõ Newton ãéá ôç ìåôáöïñéêÞ êßíçóç ôïõ êõëßíäñïõ Ý÷ïõìå Þ Ëüãù ôùí (V), (VI) Ý÷ïõìå Óôï ßäéï áðïôÝëåóìá ìðïñïýìå íá êáôáëÞîïõìå êáé ùò åîÞò: Áí õ åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôçò ìåôáöïñéêÞò êßíçóçò, ìå ôçí ïðïßá öèÜíåé ï êýëéíäñïò óôç âÜóç ôïõ êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ, áðü ôï èåþñçìá ìåôáâïëÞò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò, Ìacm (ÁÃ) = Ìõ2 /2, éó÷ýåé õ a a h è 2 2 2= =cm cmÁà sin b g acm sin= 2 3 g è M g è F M asin cm− =ôÓ cmF M ax = ôF = Macm 1 2 á = a R cm I M R= 1 2 2 F → F → F → B → ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 141 Ó×ÇÌÁ 4.69
- 158. ¼ìùò äåßîáìå åíåñãåéáêÜ,óôï ðáñÜäåéãìá 4-11, üôé éó÷ýåé Üñá ÐáñÜäåéãìá 4-15 Äýï óþìáôá ìáæþí m1, m2 äÝíïíôáé óôá Üêñá Üìáæïõ íÞìáôïò, ôï ïðïßï ðåñíÜ áðü ôñï÷áëßá ÷ùñßò íá ïëéóèáßíåé óôçí ðåñéöÝñåéÜ ôçò. Ç ôñï÷áëßá Ý÷åé áêôßíá R, ñïðÞ áäñÜíåéáò É êáé óôñÝöåôáé ÷ùñßò ôñéâÞ ãýñù áð´ôïí Üîïíá ôçò. Íá õðïëïãéóôåß ç åðéôÜ÷õíóç ôùí ìáæþí. ÁðÜíôçóç Óôï óþìá ìÜæáò m2 , áóêåßôáé ôï âÜñïò ôïõ êáé ç äýíáìç → Ô2 áðü ôï íÞìá. Ï 2ïò íüìïò ôïõ Nåýôùíá ãéá ôçí êßíçóÞ ôïõ äßíåé (É) ÁíÜëïãá ãéá ôï óþìá ìÜæáò m1 éó÷ýåé (ÉÉ) Ãéá ôçí ðåñéóôñïöÞ ôçò ôñï÷áëßáò Ý÷ïõìå Þ (ÉÉÉ) Ç åöáðôïìåíéêÞ óõíéóôþóá, atan = Rá, ôçò åðéôÜ÷õíóçò ôùí óçìåßùí ôçò ðåñéöÝñåéáò ôçò ôñï÷áëßáò éóïýôáé ìå ôçí åðéôÜ÷õíóç a ôùí äýï óùìÜôùí, äéüôé ôï íÞìá äåí Ý÷åé åëáóôéêüôçôá êáé äåí ïëéóèáßíåé. ¢ñá, ç (ÉÉÉ) ãßíåôáé (IV) Áðü ôéò (É), (ÉÉ) (IV) êáôáëÞãïõìå óôçí ó÷Ýóç (V) Ç ðáñáðÜíù äéÜôáîç ïíïìÜæåôáé ìç÷áíÞ ôïõ Atwood êáé ÷ñçóéìåýåé óôïí õðïëïãéóìü ôçò ôéìÞò ôoõ g Áí ïé ìÜæåò m1 , m2 äéáöÝñïõí ëßãï ôüôå ç åðéôÜ÷õíóç a åßíáé áñêåôÜ ìéêñüôåñç ôïõ g, ïðüôå ìåôñéÝôáé ðåéñáìáôéêÜ åýêïëá êáé êáôüðéí áðü ôçí ó÷Ýóç (V) õðïëïãßæåôáé ç ôéìÞ ôïõ g. ÉÓÏÑÑÏÐÉÁ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ - ÊÅÍÔÑÏ ÂÁÑÏÕÓ ÃåíéêÜ ëÝìå üôé Ýíá óþìá âñßóêåôáé óå ìç÷áíéêÞ éóïññïðßá Þ áðëÜ óå éóïññïðßá ùò ðñïò áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò, üôáí ç ôá÷ýôçôá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ôïõ åßíáé óôáèåñÞ, äçëáäÞ ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ åßíáé ìçäÝí a = − + + m m g m m I R 2 1 1 2 2 b g T T R I a R 2 1− =b g T R T R I2 1− = áô I= á T m g m a1 1 1− = m g T m a2 2 2− = a g ècm sin= 2 3 2 4 3 a h è g hcm sin = õ2 4 3 = g h 142 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.70
- 159. acm = 0êáé ðåñéóôñÝöåôáé ìå óôáèåñÞ ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ãýñù áðü Ýíáí Üîïíá, äçëáäÞ ç ãùíéáêÞ ôïõ åðéôÜ÷õíóç åßíáé ìçäÝí á = 0. Ôï óþìá åéäéêüôåñá âñßóêåôáé óå óôáôéêÞ éóïññïðßá ùò ðñïò Ýíá áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò, åÜí äåí ìåôáöÝñåôáé ïýôå ðåñéóôñÝöåôáé, ùò ðñïò áõôü ôï óýóôçìá. ÄçëáäÞ ðñÝðåé, ùò ðñïò ôï äïóìÝíï óýóôçìá áíáöïñÜò, íá åßíáé ìçäÝí áöåíüò ìåí ç ôá÷ýôçôá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò, áöåôÝñïõ äå ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ðåñéóôñïöÞò, ãýñù áðü ïéïíäÞðïôå Üîïíá. Ç ìåôáöïñéêÞ êßíçóç åíüò óôåñåïý óþìáôïò êáèïñßæåôáé áðü ôçí åîßóùóç =M → acm . Óôçí éóïññïðßá Ý÷ïõìå → acm = 0, ïðüôå = 0. Ç ðåñéóôñïöéêÞ êßíçóç åíüò óôåñåïý óþìáôïò äéÝðåôáé áðü ôçí åîßóùóç ô = Iá. Óôçí éóïññïðßá Ý÷ïõìå á = 0, ïðüôå → ô = 0. Áðü ôá ðñïçãïýìåíá Ýðåôáé üôé ïé óõíèÞêåò ãéá ôçí éóïññïðßá åíüò óôåñåïý óþìáôïò åßíáé: 1. Ó =0 äçë. ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé óôï óþìá, åßíáé ìçäÝí, 2. Ó → ô = 0 äçë. ôï Üèñïéóìá ôùí ñïðþí ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé óôï óþìá, ùò ðñïò ïéïíäÞðïôå Üîïíá, åßíáé ìçäÝí. Óôá ðñïâëÞìáôá ðïõ èá óõíáíôÞóïõìå ïé äõíÜìåéò èá åßíáé ïìïåðßðåäåò, ïðüôå ìåôÜ ôçí áíÜëõóç ôïõò óå Üîïíåò x, y, áíôß ãéá ôç ó÷Ýóç Ó =0 èá ãñÜöïõìå ÓFx = 0 (á) êáé ÓFy = 0 (â) Áêüìç åðåéäÞ ùò ðñïò ïðïéïäÞðïôå óçìåßï Þ Üîïíá éó÷ýåé Óô=0 ìðïñïýìå íá åðéëÝãïõìå Üîïíá (z) êÜèåôï óôï åðßðåäï ôùí äõíÜìåùí (Þ óçìåßï ôïõ åðéðÝäïõ ôùí äõíÜìåùí) êáé íá ãñÜöïõìå Óôz = 0 (ã) Ôï óçìåßï ôïõ åðéðÝäïõ ôùí äõíÜìåùí, áð' ôï ïðïßï äéÝñ÷åôáé ï Üîïíáò (z), ôï åðéëÝãïõìå åìåßò êáôÜëëçëá, þóôå íá áðëïðïéåßôáé ôï ðñüâëçìá. Ìðïñåß ð.÷. íá åßíáé óçìåßï åöáñìïãÞò "Üãíùóôçò" äýíáìçò. Óõíåðþò óôçí ðåñßðôùóç ïìïåðéðÝäùí äõíÜìåùí ôï ðñüâëçìá ôçò éóïññïðßáò åðéëýåôáé ìå ôç âïÞèåéá ôùí ó÷Ýóåùí (á), (â), (ã). ÊÅÍÔÑÏ ÂÁÑÏÕÓ Óôá ðåñéóóüôåñá ðñïâëÞìáôá ìßá áð' ôéò äõíÜìåéò, ðïõ áóêïýíôáé ó' Ýíá óþìá, åßíáé ôï âÜñïò ôïõ êáé åðïìÝíùò, ðñÝðåé íá åßìáóôå óå èÝóç íá õðïëïãßæïõìå ôç ñïðÞ ôïõ. Ôï âÜñïò ôïõ óþìáôïò åßíáé ç óõíéóôáìÝíç ôùí âáñþí ôùí óùìáôßùí, áð' ôá ïðïßá èåùñïýìå üôé áðïôåëåßôáé ôï óþìá. Ìðïñïýìå íá õðïëïãßæïõìå ôç ñïðÞ ôïõ âÜñïõò, áíåîÜñôçôá áðü ôïí ðñïóáíáôïëéóìü ôïõ óþìáôïò, èåùñþíôáò üôé áõôü áóêåßôáé óå Ýíá óçìåßï, ðïõ ïíïìÜæåôáé êÝíôñï âÜñïõò. Áðü áõôü ôï óçìåßï äéÝñ÷åôáé ï öïñÝáò ôïõ âÜñïõò, üðùò êáé áí óôñáöåß ôï óþìá. ¼ôáí ôï âáñõôéêü ðåäßï åßíáé ïìïãåíÝò, óôçí ðåñéï÷Þ ðïõ âñßóêåôáé ôï óþìá, ôï êÝíôñï âÜñïõò óõìðßðôåé ìå ôï êÝíôñï ìÜæáò. Ôçí ðáñáðÜíù ðñüôáóç èá ôçí äåßîïõìå óôçí áðëÞ ðåñßðôùóç, ðïõ ôï óþìá ðåñéïñßæåôáé ó´ Ýíá åðßðåäï (Ó÷. 4.71). ÐñÝðåé óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ôïõ êÝíôñïõ âÜñïõò ç ñïðÞ ôïõ Mg, ùò ðñïò ôï Ï, íá éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôùí ñïðþí ôùí âáñþí ôùí óùìáôßùí, áð' ôá ïðïßá áðïôåëåßôáé ôï óþìá. F → F → F → F → ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 143
- 160. ÄçëáäÞ MgxK = m1gx1 + m2 gx2 + ... Þ (4.48) Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôïõ êÝíôñïõ âÜñïõò ïìïãåíþí óõììåôñéêþí óùìÜôùí éó÷ýåé üôé áíáöÝñáìå êáé óôïí ðñïóäéïñéóìü ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ôïõò. Ãéá ôïí ðåéñáìáôéêü ðñïóäéïñéóìü ôïõ êÝíôñïõ âÜñïõò ÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí ðáñáêÜôù éäéüôçôÜ ôïõ. ¼ôáí éóïññïðåß Ýíá óþìá êñåìáóìÝíï áðü Ýíá óçìåßï ôïõ Á, ôüôå ôï êÝíôñï âÜñïõò âñßóêåôáé óôçí êáôáêüñõöï ðïõ äéÝñ÷åôáé áð' ôï Á. Áí äåí óõíÝâáéíå áõôü èá åß÷áìå ñïðÞ ôïõ âÜñïõò ùò ðñïò ôï óçìåßï áíÜñôçóçò, Üñá ôï óþìá äåí èá éóïññïðïýóå. Åîáñôþíôáò ëïéðüí Ýíá óþìá äéáäï÷éêÜ ìå ôç âïÞèåéá íÞìáôïò, áðü äýï äéáöïñåôéêÜ óçìåßá, ôï êÝíôñï âÜñïõò ôïõ èá âñßóêåôáé óôï óçìåßï ôïìÞò ôùí ðñïåêôÜóåùí ôïõ íÞìáôïò óôÞñéîçò (Ó÷. 4.72). ÐáñÜäåéãìá 4-16 ÏìïãåíÞò óáíßäá ìÞêïõò 4,0 m êáé âÜñïõò 100 Í äéáôçñåßôáé ïñéæüíôéá, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Ç óáíßäá óôçñßæåôáé ìÝóù Üñèñùóçò, ìå ôï Ýíá Üêñï ôçò óå êáôáêüñõöï ôïß÷ï êáé ìå ôï Üëëï Üêñï ôçò óôçñéãìÝíï áðü ôïí ßäéï ôïß÷ï, ìÝóù íÞìáôïò ìÞêïõò 5,0 m. Áðü óçìåßï Ë, ðïõ áðÝ÷åé 1,0 m áðü ôçí Üñèñùóç, êñÝìåôáé Ýíá óþìá Ó âÜñïõò 400 Í. Íá õðïëïãéóèïýí ïé äõíÜìåéò ðïõ äÝ÷åôáé ç óáíßäá áðü ôï íÞìá êáé ôïí ôïß÷ï óôï óçìåßï Üñèñùóçò. ÁðÜíôçóç Ó÷åäéÜæïõìå ôéò äõíÜìåéò ðïõ äÝ÷åôáé ç óáíßäá (äåò ó÷Þìá). Ó' áõôÞí áóêïýíôáé; x m x m x M xK cm= + + =1 1 2 2 . .. 144 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó÷Þìá 4.71 Óôï ïìïãåíÝò âáñõôéêü ðåäßï ôï êÝíôñï ìÜæáò ôáõôßæåôáé ìå ôï êÝíôñï âÜñïõò. Ó÷Þìá 4.72 Ðåéñáìáôéêüò ðñïóäéïñéóìüò ôïõ êÝíôñïõ âÜñïõò. Ó÷Þìá 4.73
- 161. (i) Ôï âÜñïòôçò 100 Í, ôï ïðïßï åöáñìüæåôáé óôï ìÝóï ôçò Ì, áöïý åßíáé ïìïãåíÞò. (ii) Ç êáôáêüñõöç äýíáìç 400 Í óôï óçìåßï Ë. (iii) Ç äýíáìç Ô áðü ôï íÞìá (ó÷åäéÜæåôáé óôç äéåýèõíóç ôïõ íÞìáôïò). (iv) Ç äýíáìç F áðü ôçí Üñèñùóç. Áíáëýïõìå êáôüðéí êÜèå ìßá áð' ôéò äõíÜìåéò Ô êáé F óå ïñéæüíôéá êáé êáôáêüñõöç óõíéóôþóá. Áðü ôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÃÄ (Ó÷. 4.73) Ý÷ïõìå Åöüóïí ç óáíßäá éóïññïðåß Ý÷ïõìå Þ Fy + T sin è − 400 N − 100 N = 0 (I) êáé Þ Fx − T cos è = 0 (II) Åðßóçò Þ Ôsin è (4m) − (100 N) ⋅ (2m) − (400 N) ⋅ (1 m) = 0 (III) ÅðéëÝîáìå ôï óçìåßï Á, ùò óçìåßï áíáöïñÜò ãéá ôéò ñïðÝò, ãéáôß ùò ðñïò áõôü ç ñïðÞ ôçò → F (Üãíùóôç äýíáìç êáôÜ ìÝôñï êáé êáôåýèõíóç) åßíáé ìçäÝí. Áðü ôçí (ÉÉÉ) ðñïêýðôåé Þ Þ Ç (ÉÉ) äßíåé Áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå Ôï ìÝôñï ôçò F åßíáé Þ Ç êáôåýèõíóç ôçò F ðñïóäéïñßæåôáé ìå ôïí õðïëïãéóìü ôçò ãùíßáò ö Üñá ö = 60ï tan ö Fy Fx = = = 350 200 1 75, F = 400 NF Fx Fy= + = +2 2 2 2 200 350 N Fy T= − = − × =500 3 5 500 250 3 5 350N N N N Fx T= = × = 4 5 250 4 5 200N N T = 250 Í T 3 5 150= N T èsin Í= 150 Ó ôA = 0 ÓFx = 0 Ó Fy = 0 sin cosè è= − =1 3 5 2 cos Áà ÃÄ è = = b g b g 4 5 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 145 Ó×ÇÌÁ 4.74
- 162. ÅÑÃÏ ÓÔÇÍ ÐÅÑÉÓÔÑÏÖÉÊÇÊÉÍÇÓÇ Èåùñïýìå óôåñåü óþìá ðïõ óôñÝöåôáé ãýñù áðü áêëüíçôï Üîïíá (Ó÷. 4.75). Óôï óþìá áóêåßôáé ç äýíáìç → F êáé ç äýíáìç → Fá ôïõ Üîïíá. Áíáëýïõìå ôçí → F óôéò óõíéóôþóåò → Frad (áêôéíéêÞ) êáé → Ftan (åöáðôïìåíéêÞ). Ôï Ýñãï ôçò → Frad åßíáé ìçäÝí. Ãéá ìéá ðïëý ìéêñÞ (óôïé÷åéþäç) ìåôáôüðéóç ds ôï Ýñãï ôçò → F åßíáé dW = Ftan ds = Ftan Rdè ¼ìùò ôï ãéíüìåíï Ftan R åßíáé ç ñïðÞ ôçò → F ùò ðñïò ôï Ï, Üñá dW = ô d è (4.49) Áí ç ñïðÞ → ô åßíáé óôáèåñÞ, ôüôå ìðïñïýìå íá ãñÜøïõìå ãéá ïðïéáäÞðïôå ãùíéáêÞ ìåôáôüðéóç Äè. W = ôÄè (4.50) Ç éó÷ýò ðïõ ðáñÝ÷åé ç → F (Þ ç éó÷ýò ðïõ ðáñÝ÷åé ç ñïðÞ), åßíáé Þ P = ô ù (4.50á) Ç ó÷Ýóç (4.50á) åßíáé ç áíÜëïãç ôçò P = F õ, ðïõ éó÷ýåé óôç ìåôáöïñéêÞ êßíçóç. ¼ðùò ãíùñßæïõìå áðü ôï èåþñçìá ìåôáâïëÞò ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò, ôï Üèñïéóìá ôùí Ýñãùí ôùí äõíÜìåùí, ðïõ áóêïýíôáé ó' Ýíá óþìá, éóïýôáé ìå ôçí ìåôáâïëÞ óôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óþìáôïò. Ãéá óþìá ðïõ óôñÝöåôáé ãýñù áðü áêëüíçôï Üîïíá ôï ðáñáðÜíù èåþñçìá Ý÷åé ôçí ìïñöÞ (4.51)Ó W Iù Éù= − 1 2 1 2 2 2 ôåë áñx Ó ÄW = Åê P W t ô è t = = d d d d 146 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.75 ÊáôÜ ôç óôïé÷åéþäç ìåôáêßíçóç ôïõ óçìåßïõ åöáñìïãÞò ôçò äýíáìçò F, ðáñÜãåé Ýñãï ìüíï ç åöáðôïìåíéêÞ óõíéóôþóá. Ôçí ó÷Ýóç (4.51) èá ôçí áðïäåßîïõìå óôçí åéäéêÞ ðåñßðôùóç ðïõ óôï óôñåöüìåíï óþìá åöáñìüæåôáé óôáèåñÞ ñïðÞ ô, ïðüôå áõôü Ý÷åé óôáèåñÞ ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç. Ç ó÷Ýóç (4.50) ëüãù ôçò ó÷Ýóçò (4.47) ãßíåôáé ¼ìùò ãíùñßæïõìå üôé ç ó÷Ýóç ìåôáîý ãùíéáêÞò ôá÷ýôçôáò êáé ìåôáôüðéóçò, óôçí êßíçóç ìå óôáèåñÞ ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç, åßíáé ÅðïìÝíùò Óõíåðþò W Iù Éù= − 1 2 1 2 2 0 2 W I ù ù = − 2 0 2 2 ù ù è2 0 2 2= + á Ä W I= á Ä è
- 163. ÐáñÜäåéãìá 4-17 Ôï ôéìüíéåíüò öïñôçãïý Ý÷åé äéÜìåôñï d êáé ãéá ôçí ðåñéóôñïöÞ ôïõ ï ïäçãüò áóêåß æåýãïò äõíÜìåùí, üðùò óôï ó÷Þìá. Ïé äõíÜìåéò, ôéò ïðïßåò áóêåß ï ïäçãüò Ý÷ïõí óôáèåñü ìÝôñï F. Íá âñåèåß ç åíÝñãåéá ðïõ äáðáíÜ ï ïäçãüò ãéá óôñïöÞ ôïõ ôéìïíéïý êáôÜ ãùíßá è. ÁðÜíôçóç Ç äáðáíþìåíç åíÝñãåéá éóïýôáé ìå ôï Ýñãï ôùí áóêïýìåíùí äõíÜìåùí. Ç ñïðÞ êÜèå äýíáìçò, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ôïõ ôéìïíéïý, åßíáé êáé ôï Ýñãï ôçò Óõíåðþò, ç æçôïýìåíç åíÝñãåéá åßíáé Å = Fdè H ÓÔÑÏÖÏÑÌÇ ÊÁÉ Ç ÄÉÁÔÇÑÇÓÇ ÔÇÓ Ç óôñïöïñìÞ óôçí ðåñéóôñïöéêÞ êßíçóç åßíáé ôï áíôßóôïé÷ï ìÝãåèïò ìå ôçí ïñìÞ óôç ìåôáöïñéêÞ êßíçóçò. ÐáñáêÜôù èá ïñßóïõìå ôçí óôñïöïñìÞ åíüò õëéêïý óçìåßïõ, êáèþò êáé ôç óôñïöïñìÞ óôåñåïý óþìáôïò. Åðßóçò èá äåßîïõìå ôïí áíôßóôïé÷ï íüìï äéáôÞñçóÞò ôçò, Ýíá óðïõäáßï åñãáëåßï ãéá ôçí åðßëõóç ðïëëþí öõóéêþí ðñïâëçìÜôùí. ÓÔÑÏÖÏÑÌÇ ÕËÉÊÏÕ ÓÇÌÅÉÏÕ ÓôñïöïñìÞ åíüò õëéêïý óçìåßïõ ùò ðñïò óçìåßï Ï, ïñßæåôáé ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï ôïõ äéáíýóìáôïò èÝóçò ìå áñ÷Þ ôï Ï, → r, åðß ôçí ïñìÞ ôïõ õëéêïý óçìåßïõ → p (Ó÷. 4.77). ÄçëáäÞ → L = → r × → p (4.52) Ç óôñïöïñìÞ åßíáé äéáíõóìáôéêü ìÝãåèïò ìå ôá åîÞò ÷áñáêôçñéóôéêÜ á) ¸÷åé ìÝôñï L = rp sinö = mrõ sinö = mõl (4.53) üðïõ ö ç êõñôÞ ãùíßá ìåôáîý ôùí äéáíõóìÜôùí → r êáé → p. â) Ç äéåýíèõíóÞ ôçò åßíáé êÜèåôç óôï åðßðåäï ðïõ ïñßæåôáé áðü ôï óçìåßï Ï êáé ôï äéÜíõóìá ôçò ïñìÞò → p. ã) Ç öïñÜ ôçò ðñïóäéïñßæåôáé ìå ôïí êáíüíá ôïõ äåîéüóôñïöïõ êï÷ëßá. Ôïðïèåôïýìå ôïí êï÷ëßá êáôÜ ìÞêïò ôçò äéåýèõíóçò ôçò óôñïöïñìÞò êáé ôïí óôñÝöïõìå þóôå ôï äéÜíõóìá → r íá ðÝóåé óôï äéÜíõóìá ôçò ïñìÞò → p óáñþíïíôáò ôçí êõñôÞ ãùíßá ö. Ç öïñÜ ôçò óôñïöïñìÞò ôáõôßæåôáé ìå ôç öïñÜ êßíçóçò ôïõ äåîéüóôñïöïõ êï÷ëßá (Ó÷. 4.78). Ïé ìïíÜäåò ôçò óôñïöïñìÞò óôï SI åßíáé kgm2 /s êáé ïé äéáóôÜóåéò L2 MT − 1 . E W F d è= =2 2 2 W ôè F d è= = 2 ô = F d 2 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 147 Ó×ÇÌÁ 4.76 Ó×ÇÌÁ 4.77 Ç óôñïöïñìÞ õëéêïý óçìåßïõ ùò ðñïò óçìåßï Ï, åßíáé äéáíõóìáôéêü ìÝãåèïò, êÜèåôï óôï åðßðåäï ðïõ ïñßæåôáé áðü ôï Ï êáé ôçí ïñìÞ ôïõ. Ó×ÇÌÁ 4.78 Ç öïñÜ ôçò óôñïöïñìÞò ðñïóäéïñßæåôáé ìå ôïí êáíüíá ôïõ äåîéüóôñïöïõ êï÷ëßá.
- 164. ÓÔÑÏÖÏÑÌÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓÐÅÑÉ ÁÎÏÍÁ Èåùñïýìå õëéêü óçìåßï ìÜæáò m, óôï Üêñï ñÜâäïõ áìåëçôÝáò ìÜæáò, ôï ïðïßï ðåñéóôñÝöåôáé ìå ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù ãýñù áðü ôïí Üîïíá z óå åðßðåäï êÜèåôï ó’ áõôüí (Ó÷. 4.79). Ôï ìÝôñï ôçò óôñïöïñìÞò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ ðåñß ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò åßíáé L = r p Þ L = rmõ Þ L = rmrù Þ (4.54) êáé ç öïñÜ ôçò åßíáé áõôÞ ðïõ öáßíåôáé óôï ó÷Þìá 4.79. ¸óôù óôåñåü óþìá, ôï ïðïßï ðåñéóôñÝöåôáé, ùò ðñïò Ýíá óôáèåñü Üîïíá (Ó÷. 4.80). Ç óõíïëéêÞ óôñïöïñìÞ ôïõ óôåñåïý, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò, åßíáé ôï Üèñïéóìá ôùí óôñïöïñìþí ôùí óôïé÷åéùäþí ôìçìÜôùí ôïõ, ùò ðñïò ôïí ßäéï Üîïíá, ãéáôß áõôÝò åßíáé óõããñáììéêÝò êáé ïìüññïðåò, äçëáäÞ L = L1 + L2 + L3 + ... Ëüãù ôçò ó÷Ýóçò (4.54) ç óõíïëéêÞ óôñïöïñìÞ L ãßíåôáé L = m1 r1 2 ù2 + m2 r2 2 ù2 + m3 r3 ù2 + ... = (m1 r1 2 + m2 r2 + m3 r3 + ...)ù Þ (4.55) Ðáñáôçñïýìå üôé ç óôñïöïñìÞ åíüò óôåñåïý óþìáôïò ãéá ôçí ßäéá ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá åßíáé ìåãáëýôåñç üóï ìåãáëýôåñç åßíáé ç ñïðÞ áäñáíåßáò ôïõ. ¼ôáí ï Üîïíáò ðåñéóôñïöÞò ôïõ óôåñåïý óþìáôïò åßíáé óôáèåñüò, ç ñïðÞ áäñáíåßáò åßíáé óôáèåñÞ, åðïìÝíùò áðü ôç ó÷Ýóç (4.55) Ý÷ïõìå Ìå âïÞèåéá ôçò ó÷Ýóçò (4.47) óõìðåñáßíïõìå üôé (4.56) Ç ó÷Ýóç (4.56) åßíáé ï íüìïò ôïõ Íåýôùíá ãéá ôçí ðåñéóôñïöÞ ôïõ óôå- ñåïý óþìáôïò óå ðéï ãåíéêÞ ìïñöÞ, áíôßóôïé÷ïò ìå ôçí ìïñöÞ ôïõ äåýôåñïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá ãéá ôçí ìåôáöïñéêÞ êßíçóç. Áðï- äåéêíýåôáé üôé éó÷ýåé ãåíéêÜ ôï óýóôçìá óùìÜôùí (åéäéêÞ ðåñßðôùóç åßíáé ôï óôåñåü óþìá) êáé äéáôõðþíåôáé ùò åîÞò: “Ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò ôçò óôñïöïñìÞò åíüò óõóôÞìáôïò óùìÜôùí, éóïýôáé ìå ôç óõíïëéêÞ ñïðÞ, ç ïðïßá åßíáé ôï Üèñïéóìá ôùí ñïðþí ôùí åîùôåñéêþí äõíÜìåùí. d d ïë p t F → → = d d L t ô= d d d( ) d d d L t Iù t É ù t I= = = á L = I ù L = mr2 ù 148 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.79 Ç óôñïöïñìÞ ôçò ìÜæáò m ùò ðñïò Üîïíá åßíáé êáôÜ ôçí äéåýèõíóç ôïõ Üîïíá. Ó×ÇÌÁ 4.80 Ç óõíïëéêÞ óôñïöïñìÞ ôïõ óôåñåïý ùò ðñïò ôïí Üîïíá éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôùí óôñïöïñìþí ôùí óôïé÷åéùäþí ôìçìÜôùí ôïõ.
- 165. Ç ÁÑ×Ç ÔÇÓÄÉÁÔÇÑÇÓÇÓ ÔÇÓ ÓÔÑÏÖÏÑÌÇÓ ÅÜí óå Ýíá óýóôçìá óùìÜôùí ç óõíïëéêÞ ñïðÞ ôùí åîùôåñéêþí äõíÜìåùí åßíáé ìçäÝí, áðü ôç ó÷Ýóç (4.56) Ý÷ïõìå Þ L = óôáè. Þ (4.57) ÄçëáäÞ ç óôñïöïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí óùìÜôùí äéáôçñåßôáé óôáèåñÞ. Ôï áðïôÝëåóìá áõôü åßíáé ç áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò óôñïöïñìÞò êáé åßíáé áíôßóôïé÷ç ôçò áñ÷Þò äéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò óôç ìåôáöïñéêÞ êßíçóç. Áðü ôç ó÷Ýóç (4.57) Ý÷ïõìå üôé, áí óå Ýíá óýóôçìá óùìÜôùí ðïõ äåí äñïõí åîùôåñéêÝò äõíÜìåéò ìåôáâëçèåß ç ñïðÞ áäñáíåßáò, ìåôáâÜëëåôáé êáé ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá, þóôå ç óôñïöïñìÞ íá ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ. ÄçëáäÞ áí áñ÷éêÜ Þôáí É1 êáé ù1 ç ñïðÞ áäñáíåßáò êáé ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá áíôßóôïé÷á, êáé ôåëéêÜ ãßíïõí É2 êáé ù2 , éó÷ýåé É1 ù1 = É2 ù2 Ôï ðáñáðÜíù óõìðÝñáóìá åêìåôáëëåýïíôáé ïé áèëçôÝò ôùí êáôáäýóåùí, üðïõ óôéò äéÜöïñåò åðéäåßîåéò êïõëïõñéÜæïíôáé ìéêñáßíïíôáò ôçí ñïðÞ áäñáíåßáò ôïõò, ìå óõíÝðåéá ôçí áýîçóç ôçò ãùíéáêÞò ôïõò ôá÷ýôçôáò (Ó÷. 4.81). ÐáñÜäåéãìá 4-18 ÌáèçôÞò óôÝêåôáé óôï êÝíôñï åíüò ðåñéóôñåöüìåíïõ (÷ùñßò ôñéâÝò) óêáìíéïý, äéáôçñþíôáò ôåíôùìÝíá ôá ÷Ýñéá ôïõ êáé êñáôþíôáò óôï êáèÝíá Ýíáí áëôÞñá ìÜæáò 4,0 kg Ï ìáèçôÞò óôñÝöåôáé åêôåëþíôáò ìéóÞ óôñïöÞ êÜèå äåõôåñüëåðôï. Ðüóåò óôñïöÝò èá åêôåëåß áíÜ äåõôåñüëåðôï üôáí óõóðåéñþóåé ôá ÷Ýñéá ôïõ; Íá âñåèåß áêüìá ç áñ÷éêÞ êáé ç ôåëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò. Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ ìáèçôÞ (÷ùñßò áëôÞñåò) ìáæß ìå ôï óôñåöüìåíï ôìÞìá ôïõ óêáìíéïý ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò, ìå ôá ÷Ýñéá ôåíôùìÝíá åßíáé 3,0 kg.m2 , åíþ ìå ôá ÷Ýñéá óõóðåéñùìÝíá 2,5 kg.m2 . Áñ÷éêÜ êÜèå áëôÞñáò áðÝ÷åé 1,0 m áðü ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò, åíþ ôåëéêÜ 0,20 m. ÁðÜíôçóç ÅðåéäÞ äåí áóêïýíôáé åîùôåñéêÝò ñïðÝò, ç óôñïöïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò, äéáôçñåßôáé. ¢ñá É1 ù1 = É2 ù2 (É) Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ óõóôÞìáôïò éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôùí ñïðþí ôïõ ìáèçôÞ - óêáìíéïý êáé ôùí áëôÞñùí, Üñá É1 = 3 kg ⋅ m2 + 2 × (4 kg) × (1 m)2 = 11 kg ⋅ m2 É2 = 2,5 kg ⋅ m2 + 2 × (4 kg) × (0,2 m)2 = 2,8 kg ⋅ m2 Ç áñ÷éêÞ óõ÷íüôçôá ðåñéóôñïöÞò åßíáé ÔÝëïò áí f2 ç ôåëéêÞ óõ÷íüôçôá ðåñéóôñïöÞò, ç ó÷Ýóç (É) äßíåé f1 0 5 0 5= =, , óôñïöÝò äåõôåñüëåð ôï Hz É ù = óôáè. d d L t = 0 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 149 Ó×ÇÌÁ 4.81 Ãéá íá áõîÞóåé ï äýôçò ôç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá êáôÜ ôçí åêôÝëåóç åëåýèåñçò êáôÜäõóçò ìåéþíåé ôç ñïðÞ áäñáíåßáò ôïõ óõóðåéñþíïíôáò ôï óþìá ôïõ. Ó×ÇÌÁ 4.82
- 166. 150 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.83 Þ Þ Þ ÄçëáäÞüôáí ï ìáèçôÞò óõóðåéñþóåé ôá ÷Ýñéá ôïõ åêôåëåß 2 ðåñéóôñïöÝò áíÜ äåõôåñüëåðôï. Ç áñ÷éêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé Ê1 = 2 × (11 kg ⋅ m2 ) × 3,142 × (0,5 Hz)2 K1 = 54 J ¼ìïéá ç ôåëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åßíáé K2 = 2 (2,8 kg ⋅ m2 ) 3,142 (2,0 Hz)2 Ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò áõîÜíåôáé ãéáôß ï ìáèçôÞò ðáñÜãåé Ýñãï (äáðáíÜ åíÝñãåéá) ãéá ôçí óõóðåßñùóç ôùí ÷åñéþí ôïõ. ÐáñÜäåéãìá 4-19 Ôï âëÞìá ôïõ ó÷Þìáôïò Ý÷åé ìÜæá m1 = 0,0200 kg êáé êéíåßôáé ïñéæüíôéá ìå ôá÷ýôçôá õ0 = 200 m/s óå äéåýèõíóç ðïõ áðÝ÷åé áðüóôáóç l = 0,300 m áðü ôïí Üîïíá ôïõ ôñï÷ïý. Áñ÷éêÜ ï ôñï÷üò ðåñéóôñÝöåôáé ìå ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù1 = 6,00 rad/s ãýñù áðü óôáèåñü Üîïíá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ôïõ êáé Ýéíáé êÜèåôïò ó’ áõôüí. Ç áêôßíá ôïõ ôñï÷ïý åßíáé R = 0,500 m êáé ç ìÜæá ôïõ, ç ïðïßá åßíáé óõãêåíôñùìÝíç ó÷åäüí åî’ ïëïêëÞñïõ óôçí ðåñéöÝñåéá, åßíáé m2 = 2,00 kg. Íá õðïëïãßóåôå: á) Ôç óôñïöïñìÞ ôïõ âëÞìáôïò êáé ôïõ ôñï÷ïý ðñéí ôï âëÞìá êáñöùèåß óôïí ôñï÷ü â) Ôçí ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá áöïý ôï âëÞìá êáñöùèåß óôçí ðåñéöÝñåéá ôïõ ôñï÷ïý ôïõ. ÁðÜíôçóç á) Ç áñ÷éêÞ óôñïöïñìÞ ôïõ âëÞìáôïò åßíáé L1 = m1 õ0 l Þ L1 = 0,0200 × 200× 0,300 k L1 = 1,2 kg⋅m2 /s ÅðåéäÞ ç ìðÜëá ôïõ ôñï÷ïý åßíáé óõãêåíôñùìÝíç óôçí ðåñéöÝñåéá, ç ñïðÞ áäñÜíåéÜò ôïõ åßíáé I = m2 R2 = 2,00 × 0,5002 kg⋅m2 Þ I = 0,500 kg⋅m2 K2 220= J K I v2 2 2 2 2= ð2 K I v I v1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 21 2 1 2 2 2= = =ù É ð ðb g f2 2 0= , Hz f f É 2 1 1 2 = = ⋅ × ⋅ É 11 kg m 0,5 Hz 2,8 kg m 2 2 I f I f1 1 2 2= I f I f1 1 2 22 ð 2 ð=
- 167. ¢ñá ç óôñïöïñìÞôïõ ôñï÷ïý åßíáé L2 = Iù1 Þ L2 = (0,500 ⋅ 6,00) kg⋅m2 /s Þ L2 = 3,00 kg⋅m2 /s â) Ç ñïðÞ áäñáíåßáò ìåôÜ ôçí êñïýóç åßíáé É′ = Ómi r1 2 = m2 R2 + m1 R2 Þ É′ = (0,500 + 0,0200 ⋅0,5002 ) kg⋅m2 /s Þ É′ = 0,505 kg⋅m2 Aðü ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò óôñïöïñìÞò Ý÷ïõìå Láñ÷ = Lôåë Þ L1 + L2 = É′ ⋅ ù2 Þ (1,20 + 3,00) kg⋅m2 /s = 0,505 kg⋅m2 /s ⋅ ù2 Þ ù2 = 8,32 rad/s ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 151 Ó×ÇÌÁ 4.84 Ó×ÇÌÁ 4.85 ÁÑ×ÉÊÁ ÔÅËÉÊÁ MAÈÇÌÁÔÉÊÏ ÓÕÌÐËÇÑÙÌÁ Åîùôåñéêü (Þ äéáíõóìáôéêü) ãéíüìåíï äýï äéáíõóìÜôùí. ÐñïêåéìÝíïõ íá ïñßóïõìå ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï äýï äéáíõóìÜôùí , ôá ìåôáöÝñïõìå ðáñÜëëçëá êáé ôá ó÷åäéÜæïõìå ìå êïéíÞ áñ÷Þ. Ùò åîùôåñéêü ãéíüìåíï ôùí äéáíõóìÜôùí , ïñßæïõìå Ýíá Üëëï äéÜíõóìá , ìå ôá ðáñáêÜôù ÷áñáêôçñéóôéêÜ i) ôï ìÝôñï ôïõ åßíáé à = Á  sin ö Ç ãùíßá ö åßíáé ç ìéêñüôåñç ãùíßá, ðïõ äéáãñÜöåôáé áðü ôï êáôÜ ôçí óôñïöÞ ôïõ ðñïò ôï . Ðáñáôçñïýìå üôé ôï ìÝôñï à éóïýôáé ìå ôï åìâáäü ôïõ óêéáóìÝíïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ. B → A → à → à Á  → → → ×= à → B → A → A B → → × B → A →
- 168. 152 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ii) Çäéåýèõíóç ôïõ åßíáé êÜèåôç óôï åðßðåäï ðïõ ïñßæïõí ôá , iii) Ç öïñÜ ôïõ êáèïñßæåôáé áðü ôïí ðáñáêÜôù êáíüíá ôïõ äåîéïý ÷åñéïý Þ ôçò äåîéüóôñïöçò âßäáò. Êáíüíáò äåîéïý ÷åñéïý Ôïðïèåôïýìå ôç äåîéÜ ðáëÜìç, þóôå ôá äÜêôõëá íá äåß÷íïõí ôç öïñÜ äéáãñáöÞò ôçò ãùíßáò ö êáé ôüôå ï áíôß÷åéñáò äåß÷íåé ôç öïñÜ ôïõ . Êáíüíáò äåîéüóôñïöçò âßäáò Ôï Ý÷åé ôç öïñÜ ðñïò ôçí ïðïßá ðñï÷ùñÜ ç äåîéüóôñïöç âßäá, üôáí áõôÞ óôñÝöåôáé ðñïò ôç öïñÜ äéáãñáöÞò ôçò ö. Ðñïöáíþò åßíáé ÄçëáäÞ óôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï ðáßæåé ñüëï ç óåéñÜ ãñáöÞò ôùí äéáíõóìÜôùí (Äåí éó÷ýåé ç áíôéìåôáèåôéêÞ éäéüôçôá). Áò èõìçèïýìå ãéá ðáñÜäåéãìá ôç ìáãíçôéêÞ äýíáìç ðïõ äÝ÷åôáé êéíïýìåíï öïñôßï ìÝóá óå ìáãíçôéêü ðåäßï. Ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò áõôÞò åßíáé ç äéåýèõíóÞ ôçò åßíáé êÜèåôç óôï åðßðåäï ðïõ ó÷çìáôßæïõí ôá äéáíýóìáôá → õ êáé . Ç öïñÜ ôçò äýíáìçò êáèïñßæåôáé áðü ôïí êáíüíá ôïõ äåîéïõ ÷åñéïý Þ ôçò äåîéüóôñïöçò âßäáò êáé áðü ôï ðñüóçìï ôïõ öïñôßïõ. Óõíåðþò ìðïñïýìå íá ãñÜöïõìå ÅðïìÝíùò, Ý÷ïõìå äýï åéäþí ãéíüìåíá ìåôáîý äýï äéáíõóìÜôùí, ôï åóùôåñéêü êáé ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï. Ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï åßíáé ìïíüìåôñï ìÝãåèïò, åíþ ôï åîùôåñéêü åßíáé äéáíõóìáôéêü ìÝãåèïò. F õ B → → → ×= q B → F õ Â= sinq ö A B B A → → → → × − ×= à → à → à → B → A → à →
- 169. ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ153 ÃÅÍÉÊÅÕÓÇ ÔÏÕ ÍÏÌÏÕ ÔÏÕ ÍÅÕÔÙÍÁ Óôï óùìÜôéï ôïõ ó÷Þìáôïò (É) äñá äýíáìç . Áí → r ôï äéÜíõóìá èÝóçò ôïõ êáé → p ç ïñìÞ ôïõ, ç óôñïöïñìÞ ôïõ óþìáôïò ðåñß óçìåßïõ Ï äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç = → r × → p Ðáñáãùãßæïíôáò Ý÷ïõìå Þ Þ ¼ìùò → õ × → p = 0, äéüôé ôá äéáíýóìáôá åßíáé ïìüññïðá êáé → r × → F = → ô ç ñïðÞ ôçò äýíáìçò → F ðåñß ôï 0. Óõíåðþò Áí Ý÷ïõìå óýóôçìá ðïëëþí óùìáôßùí Ý÷ïõìå (á) üðïõ ç → Lïë åßíáé ç óõíïëéêÞ óôñïöïñìÞ êáé → ôïë ç óõíïëéêÞ ñïðÞ, ïñéóìÝíåò êáé ïé äýï ùò ðñïò óçìåßï Ï. Ç ó÷Ýóç (á) åßíáé ï íüìïò ôïõ Íåýôùíá óôç ãåíéêÞ ôïõ ìïñöÞ. Óôï êõñßùò êåßìåíï äåßîáìå ôï íüìï ôïõ Íåýôùíá (ó÷Ýóç 4.56) èåùñþíôáò ôçí êßíçóç ãýñù áðü óôáèåñü Üîïíá. ÐáñáêÜôù èá äåßîïõìå üôé ç ó÷Ýóç (4.56) áðïññÝåé áðü ôç ãåíéêÞ ó÷Ýóç (á). ¼ôáí ç ïìïãåíÞò ñÜâäïò ôïõ ó÷Þìáôïò ÉÉ ðåñéóôñÝöåôáé ãýñù áðü ôïí Üîïíá z, ïé óôñïöïñìÝò → Li ôùí óôïé÷åéùäþí ôìçìÜôùí ôçò ñÜâäïõ mi ðåñß ôï óçìåßï Ï åßíáé üðùò óôï ó÷Þìá ÉÉ. Óõíåðþò ç ïëéêÞ óôñïöïñìÞ èá Ý÷åé äéåýèõíóç äéÜöïñç ôïõ Üîïíá z. Aò õðïëïãßóïõìå ôç óõíéóôþóá ôçò óôñïöïñìÞò óôïí Üîïíá z, ôçí Lïë, z . Áðü ôï ó÷Þìá ÉÉÉ åßíáé → Li = → ri × → pi Þ Li = ri mi õi L L Lïë 1 → → → = + +2 .. . d d ïë ïë L t ô → → = dL dt ô → → = dL dt õ p r F → → → → → = × + × d d d d L t r t p r d p dt → → → → → = × + × d d d d ( L t t r p → → → = × ) L → F → Ó×ÇÌÁ É Ç ñïðÞ ôçò äýíáìçò êáé ç óôñïöïñìÞ ôïõ óþìáôïò äåí åßíáé êáô’ áíÜãêç ïìüññïðá äéáíýóìáôá.
- 170. 154 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ¸÷ïõìå Li z= Li cos è = Li sin ö = ri mi õi sin ö = = Ri mi õi = Ri mi Ri ù = mi Ri 2 ù Éó÷ýåé ö + è = ð/2 êáé ri sinö = Ri Óõíåðþò Lïë z = m1 R1 2 ù + m2 R2 2 ù + ... = (m1 R1 2 + m2 R2 2 + ...) ù Þ Lïë, z = I ⋅ ù (â) üðïõ É ç ñïðÞ áäñáíåßáò ùò ðñïò ôïí Üîïíá z. ÄçëáäÞ ç óôñïöïñìÞ ðåñß ôïí Üîïíá, éóïýôáé ìå ôçí ðñïâïëÞ ôçò óôñïöïñìÞò ùò ðñïò ôï óçìåßï Ï, óôïí Üîïíá. Ðáñáãùãßæïíôáò ôçí ôåëåõôáßá ó÷Ýóç Ý÷ïõìå (ã) Áðü ôçí äéáíõóìáôéêÞ éóüôçôá ðñïêýðôåé üôé (ä) ÓõíäéÜæïíôáò ôçí (ã) êáé ôçí (ä) Ý÷ïõìå ç ïðïßá åßíáé ç ó÷Ýóç (4.56) åðåéäÞ ç ðñïâïëÞ ôçò ñïðÞò ôïë z åßíáé ç óõíïëéêÞ ñïðÞ ôùí äõíÜìåùí, ùò ðñïò ôïí Üîïíá z. Áêüìç áí ç ñÜâäïõò ôïõ ó÷Þìáôïò ÉÉ ðåñéóôñÝöåôáé ìå óôáèåñÞ ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá, åßíáé êáé óõíåðþò ôïë z = 0. ¼ìùò d d ù t = 0 ô I ù t ïë z d d = d d z oë z L t ô ïë = d d ïë ïë L t ô → → = d d d d ïë zL t I ù t = Ó×ÇÌÁ ÉÉ ÓôñïöïñìÞ ôçò ñÜâäïõ ðåñß ôïõ Ï Ý÷åé äéåýèõíóç äéáöïñåôéêÞ áðü áõôÞ ôïõ Üîïíá ðåñéóôñïöÞò. Ó×ÇÌÁ ÉÉÉ Ç óõíéóôþóá ôçò óôïí Üîïíá éóïýôáé ìå ôç óôñïöïñìÞ ðåñß ôïõ Üîïíá.
- 171. ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ155 Ý÷ïõìå åðåéäÞ áëëÜæåé ç äéåýèõíóç ôçò óôñïöïñìÞò (Ó÷. ÉV), êáé óõíåðþò → ôïë ≠ 0. ÐñÜãìáôé, üôáí ãõñßæïõìå ìéá ñïêÜíá, üëïé áíôéëáìâáíüìáóôå üôé ðñÝðåé íá áóêïýìå ñïðÞ ãéá íá êñáôÜìå óôáèåñü ôïí Üîïíá ôçò ñïêÜíáò. Áí ï Üîïíáò ðåñéóôñïöÞò ãéá ôçí ñÜâäï åßíáé ç ìåóïêÜèåôïò ôçò ñÜâäïõ, ôüôå ëüãù óõììåôñßáò üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá V (õðïëïãßæïíôåò óõíïëéêÞ ñïðÞ ìáæþí óõììåôñéêþí ùò ðñïò ôïí Üîïíá), ç óõíïëéêÞ óôñïöïñìÞ Ý÷åé ôçí äéåýèõíóç ôïõ Üîïíá z, o oðïßïò ôüôå ïíïìÜæåôáé êáé êýñéïò Üîïíáò. Óõíåðþò ôüôå Ý÷ïõìå L = I ù Áí ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá åßíáé óôáèåñÞ åßíáé êáé → L = óôáè. ¢ñá êáé åðïìÝíùò ôïë = 0 ÄçëáäÞ äåí áóêåßôáé êáììéÜ ñïðÞ óôç ñÜâäï. ¼ëá ôá ðéï ðÜíù óõìðåñÜóìáôá ãåíéêåýïíôáé ãéá ïðïéïäÞðïôå óôåñåü óþìá. Áðïäåéêíýåôáé üôé, ïðïéïäÞðïôå óôåñåü óþìá Ý÷åé ôïõëÜ÷éóôïí äýï êýñéïõò Üîïíåò. ¼ôáí ôï óôåñåü óþìá Ý÷åé Üîïíåò óõììåôñßáò, ôüôå êÜèå Üîïíáò óõììåôñßáò åßíáé êáé êýñéïò Üîïíáò. ÅöáñìïãÞ ôïõ öáéíïìÝíïõ ôùí êõñßùí áîüíùí, Ý÷ïõìå óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ðåñéóôñÝöïõìå ôçí ìðÜëá ìðÜóêåô êáé êáôáöÝñíïõìå íá ðåñéóôñÝöåôáé ðÜíù óôï äÜêôõëü ìáò. Áêüìç ç æõãïóôÜèìéóç ôùí ôñï÷þí åßíáé ìéá äéáäéêáóßá, êáôÜ ôçí ïðïßá ôñïðïðïéåßôáé ç ñïðÞ áäñáíåßáò ôïõò, þóôå ï Üîïíáò ðåñéóôñïöÞò ôïõò íá ãßíåé êýñéïò Üîïíáò êáé íá äÝ÷åôáé, üóï ôï äõíáôüí, ëéãüôåñåò êáôáðïíÞóåéò. d d ïëL t → = 0 dL dt → ≠ 0 Ó×ÇÌÁ ÉV Áí êáé ç ñÜâäïò êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá, ç óõíïëéêÞ óôñïöïñìÞ ðåñß ôïõ Ï ìåôáâÜëëåôáé. Ç óôñïöïñìÞ ðåñß ôïõ Üîïíá äéáôçñåßôáé óôáèåñÞ. Ó×ÇÌÁ V H óõíïëéêÞ óôñïöïñìÞ ðåñß ôïõ Ï ôáõôßæåôáé ìå ôç ñïðÞ ðåñß ôïõ Üîïíá.
- 172. 156 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÌÅÔÁÖÏÑÉÊÇ ÊÉÍÇÓÇÐÅÑÉÓÔÑÏÖÉÊÇ ÊÉÍÇÓÇ ÃÕÑÙ ÁÐÏ ÓÔÁÈÅÑÏ ÁÎÏÍÁ ÁÍÔÉÓÔÏÉ×ÉÁ ÌÅÃÅÈÙÍ ÌÅÔÁÖÏÑÉÊÇÓ ÊÁÉ ÐÅÑÉÓÔÑÏÖÉÊÇÓ ÊÉÍÇÓÇÓ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ Ìåôáôüðéóç Äx ÃùíéáêÞ ìåôáôüðéóç Äè Ôá÷ýôçôá ÃùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù è t = d d õ = d d x t ÅðéôÜ÷õíóç ÃùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç á = d d ù t a õ t = d d ÌÜæá Ì ÑïðÞ áäñÜíåéáò I m R= Ó i i 2 Äýíáìç F ÑïðÞ → ô = → r × → F ÏñìÞ p = mõ ÓôñïöïñìÞ → L = → r × → p 2ïò Íüìïò êßíçóçò Þ 2ïò Íüìïò êßíçóçò Þ Ó ô = I áÓ d d ô = L t ÓF ma=Ó d d F P t = ¸ñãï óôáèåñÞò äýíáìçò ¸ñãï óôáèåñÞ ñïðÞò W = ô èÄW F x= Ä Éó÷ýò Éó÷ýò P = ôùP F= õ Èåþñçìá ìåôáâïëÞò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò Èåþñçìá ìåôáâïëÞò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò Ó ôåë áñx 2 W = − 1 2 1 2 2 I Iù ùÓ ôåë áñx W M M= − 1 2 1 2 2 2 õ õ Áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ïñìÞò Áí Óôåî = 0 ôüôå páñ÷ = pôåë Áñ÷Þ äéáôÞñçóçò óôñïöïñìÞò Áí Óôåî = 0 ôüôå Láñ÷ = Lôåë Þ É1 ù1 = É2 ù2
- 173. MHXAÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ157 Ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò óõóôÞìáôïò óùìáôßùí åßíáé Ç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá óôåñåïý óþìáôïò, ìÜæáò Ì, äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç üðïõ ycm ç óõíôåôáãìÝíç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ôïõ óþìáôïò óôïí êáôáêüñõöï Üîïíá y. Óôï åðßðåäï xOz èåùñïýìå U = 0 Ïé åîéóþóåéò ïñéóìïý ôçò ãùíéáêÞò ôá÷ýôçôáò ù êáé ôçò ãùíéáêÞò åðéôÜ÷õíóçò á åßíáé ÑïðÞ áäñáíåéÜò åíüò óôåñåïý óþìáôïò, ùò ðñïò êÜðïéï Üîïíá, ïíïìÜæïõìå ôï Üèñïéóìá ôùí ãéíïìÝíùí ôùí ìáæþí ôùí óùìáôßùí, áð’ôá ïðïßá áðïôåëåßôáé ôï óþìá, åðß ôá ôåôñÜãùíá ôùí áðïóôÜóåþí ôïõò áðü ôïí Üîïíá. Ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá óôåñåïý óþìáôïò, ðïõ óôñÝöåôáé ãýñù áðü óôáèåñü Üîïíá äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç üðïõ ù ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò êáé É ç ñïðÞ áäñÜíåéáò, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò Ç ñïðÞ áäñáíåßáò Écm óþìáôïò, ìÜæáò Ì, ùò Üîïíá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ìÜæáò ôïõ êáé ç ñïðÞ áäñáíåßáò Ép ôïõ óþ- ìáôïò, ùò ðñïò ïðïéïíäÞðïôå Üîïíá ðáñÜëëçëï ðñïò ôïí ðñïçãïýìåíï óõíäÝïíôáé ìå ôç ó÷Ýóç üðïõ d ç áðüóôáóç ôùí äýï áîüíùí. Ç ðáñáðÜíù ðñüôáóç ïíïìÜæåôáé èåþñçìá ôùí ðáñáëëÞëùí áîüíùí (èåþñçìá Steiner) Ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá óþìáôïò, ðïõ åêôåëåß åðßðåäç êßíçóç, Ý÷åé äýï ðñïóèåôÝïõò. Ï Ýíáò éóïýôáé ìå ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ðåñéóôñïöÞò ãýñù áðü ôï êÝíôñï ìÜæáò ôïõ óþìáôïò êáé ï Üëëïò éóïýôáé ìå ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ëüãù ìåôáöïñéêÞò êßíçóçò Ç ñïðÞ äýíáìçò → F, ùò ðñïò óçìåßï Ï, ïñßæåôáé, ùò ðñïò ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï → ô = → r × → F üðïõ → r ôï äéÜíõóìá èÝóçò ôïõ óçìåßïõ åöáñìïãÞò ôçò → F. Ç ñïðÞ äýíáìçò ðåñß Üîïíá ïñßæåôáé ùò ôï ãéíüìåíï ôçò äýíáìçò åðß ôïí ìï÷ëïâñá÷ßïíÜ ôçò. ô = F l Ï íüìïò ôïõ Íåõôùíá ãéá ôçí ðåñéóôñïöÞ óôåñåïý óþìáôïò, ãýñù áðü óôáèåñü Üîïíá, Ý÷åé ôçí ìïñöÞ üðïõ Ó ô ôï Üèñïéóìá ôùí ñïðþí ðåñß ôïõ Üîïíá ôùí åîùôåñéêþí äõíÜìåùí, ðïõ áóêïýíôáé óôï óôåñåü óþìá, É ç ñïðÞ áäñáíåßáò ôïõ, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò êáé á ç ãùíéáêÞ ôïõ Óô I= á K I M= + 1 2 1 2 2 cm cm 2 ù õ I I M dp cm= + 2 K = I ù 1 2 2 I m r= Σ i i 2 á = Ä Ä ù t ù è t = Ä Ä U = Mg ycm z m z m cm i i i = Σ Σ y m y m cm i i i = Σ Σ x m x m cm i i i Ó Ó = drasthriothtesA N A Ê Å Ö Á Ë Á É Ù Ó Ç
- 174. 158 MHXANIKH 1. ÏÔÑÏ×ÏÓ ÔÏÕ MAXWELL Ï ôñï÷üò ôïõ Maxwell åßíáé Ýíáò ìåôáëëéêüò ôñï÷üò ìå Üîïíá. Ï Üîïíáò åßíáé äåìÝíïò áðü ïñéæüíôéï óôÞñéãìá ìå äýï ó÷ïéíéÜ. ÁõôÞ ç äéÜôáîç õðÜñ÷åé óôï åñãáóôÞñéü óáò. Ôõëßîôå ôá ó÷ïéíéÜ ãýñù áðü ôïí Üîïíá, þóôå ï ôñï÷üò íá áíÝëèåé üóï ôï äõíáôüí øçëüôåñá êáé êáôüðéí áöÞóôå ôïí ôñï÷ü åëåýèåñï. Ðáñáôçñåßóôå ãéá áñêåôÞ þñá ôçí êßíçóç ôïõ ôñï÷ïý. ÐïéÝò åíåñãåéáêÝò ìåôáôñïðÝò äéáðéóôþíåôå; åðéôÜ÷õíóç. Ïé óõíèÞêåò ãéá ôçí éóïññïðßá óôåñåïý óþìáôïò åßíáé ÓF = 0 êáé Óô = 0 Ôï Ýñãï óôáèåñÞò ñïðÞò ô ãéá ãùíéáêÞ ìåôáôüðéóç Äè åßíáé Ôï èåþñçìá ìåôáâïëÞò ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò, ãéá óþìá ðïõ óôñÝöåôáé ãýñù áðï óôáèåñü Üîïíá, Ý÷åé ôç ìïñöÞ Ç óôñïöïñìÞ óùìáôßïõ ìå ïñìÞ → p êáé äéÜíõóìá èÝóçò → r ïñßæåôáé ùò ðñïò ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí Ï, ùò ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï → L = → r × → p Ç óôñïöïñìÞ óôåñåïý óþìáôïò ðåñß Üîïíá, ùò ðñïò ôïí ïðïßï óôñÝöåôáé ôï óþìá éóïýôáé ìå ôï ãéíüìåíï ôçò ñïðÞ áäñÜíåéáò, ùò ðñïò áõôüí ôïí Üîïíá, åðß ôç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá. L =I ù Ï íüìïò ôïõ Íåýôùíá ãéá ôçí ðåñéóôñïöÞ óôåñåïý ãýñù áðü Üîïíá åßíáé ï åîÞò üðïõ Ó ô åßíáé ç óõíïëéêÞ ñïðÞ ôùí åîùôåñéêþí äõíÜìåùí ðåñß ôïõ Üîïíá ðåñéóôñïöÞò. Ç áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò óôñïöïñìÞò äéáôõðþíåôáé ùò åîÞò: (ãéá óçìåßï Þ ãéá Üîïíá) “Áí ôï Üèñïéóìá ôùí ñïðþí ôùí åîùôåñéêþí äõíÜìåùí, ðïõ áóêïýíôáé óå Ýíá óýóôçìá åßíáé ìçäÝí, ôüôå ç óôñïöïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò äéáôçñåßôáé óôáèåñÞ ìå ôï ÷ñüío. Ó d d ô L = t Ó ôåë áñx W I= − 1 2 2 1 2 2ù É ù dW d= ô è drasthriothtesÄ Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Å Ó
- 175. 1 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜóôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç. “Ç êßíçóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò åíüò óõóôÞìáôïò óùìÜôùí åßíáé ßäéá ìå ôçí êßíçóç (á) ...... ìÜæáò ßóçò ìå ôçí óõíïëéêÞ ìÜæá ôïõ óõóôÞìáôïò, áí áóêïýíôáé ðÜíù ôïõ üëåò (â) ...... ðïõ áóêïýíôáé óôá óùìÜôéá ôïõ óõóôÞìáôïò. ÅðïìÝíùò ãéá ôçí ìåëÝôç ôçò êßíçóçò ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò åöáñìüæïõìå ôï (ã) ...... äçë. ôç ó÷Ýóç (ä) ......”. 2 ÐåôÜìå ìéá ÷åéñïâïìâßäá, ç ïðïßá åêñÞãíõôáé óôïí áÝñá. Ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÞ üóïí áöïñÜ ôçí êßíçóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò, áí áãíïÞóïõìå ôéò áíôéóôÜóåéò ôïõ áÝñá. (á) Ç êßíçóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò äåí ìðïñåß íá ðñïâëåöèåß, äéüôé ôá êïììÜôéá ôçò âüìâáò áðïêôïýí åðéðëÝïí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá áðü ôçí Ýêñçîç (â) Ôï êÝíôñï ìÜæáò èá öôÜóåé ôþñá ðéï ìáêñõÜ áð’ üôé èá Ýöôáíå áí ç ÷åéñïâïìâßäá äåí åêñÞãíõíôï, äéüôé áðïêôÜ ðñüóèåôç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá. (ã) Ôï êÝíôñï ìÜæáò èá äéáãñÜøåé ôçí ßäéá ôñï÷éÜ åßôå åêñáãåß ç ÷åéñïâïìâßäá åßôå ü÷é, äéüôé ç ìüíç åîùôåñéêÞ äýíáìç åßíáé ôï óõíïëéêü ôçò âÜñïò. (ä) ÅðåéäÞ ç ÷åéñïâïìâßäá äéáìåëßæåôáé, ðáýåé íá åßíáé óôåñåü óþìá, Üñá äåí õößóôáôáé êÝíôñï ìÜæáò. 3 Äßóêïò ðéêÜð óôñÝöåôáé ìå óôáèåñÞ ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá. Äýï óçìåßá Á,  ôïõ äßóêïõ áðÝ÷ïõí áðü ôï êÝíôñï Ï áðüóôáóç RA = 2,0 cm êáé RB = 6,0 cm. Ï ëüãïò ôùí ãñáììéêþí ôá÷õôÞôùí ôùí óçìåßùí õA /õB åßíáé (á) 3 (â) 1 (ã) 1/3 (ä) 1/9 4 Äýï ôñï÷ïß óõíäÝïíôáé ìå éìÜíôá êáé ðåñéóôñÝöïíôáé ÷ùñßò íá ãëõóôñÜ ï éìÜíôáò. Ï Ýíáò ôñï÷üò Ý÷åé áêôßíá R1 = 10 cm êáé ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù1 êáé ï Üëëïò ôñï÷üò Ý÷åé áêôßíá R2 = 20 cm êáé ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù2. Ï ëüãïò ù1 /ù2 åßíáé: (á) 1/4 (â) 1/2 (ã) 1 (ä) 2 5 Ðþò ïñßæåôáé ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ùò ðñïò Üîïíá êáé ðþò ùò ðñïò óçìåßï; 6 ¸íáò Üíèñùðïò åßíáé üñèéïò êáé êñáôÜåé óôï êÜèå ÷Ýñé ôïõ áðü Ýíá âáñÜêé. Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ùò ðñïò êáôáêüñõöï Üîïíá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êåöÜëé ôïõ åßíáé ìåãáëýôåñç (á) ¼ôáí Ý÷åé ôá ÷Ýñéá ôïõ óôçí ðñüôáóç (â) ¼ôáí Ý÷åé ôá ÷Ýñéá ôïõ óôçí Ýêôáóç (ã) Êáé ôéò äýï ðñïçãïýìåíåò ðåñéðôþóåéò åßíáé ßäéá. Äéêáéïëïãåßóôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò. 7 Äýï äéáöïñåôéêïß ðáñÜëëçëïé Üîïíåò áðÝ÷ïõí áíôßóôïé÷á áðü ôï êÝíôñï ìÜæáò ôïõ óôåñåïý áðïóôÜóåéò d1 êáé d2 ìå d1 > d2 . Áí É1 êáé É2 åßíáé ïé áíôßóôïé÷åò ñïðÝò áäñÜíåéáò ùò ðñïò ôïõò Üîïíåò áõôïýò, ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé ç óùóôÞ (á) É1 > É2 (â) É1 < É2 (ã) Ãéá íá óõãêñßíïõìå ôéò ñïðÝò áäñáíåßáò ðñÝðåé íá ãíùñßæïõìå ôçí êáôáíïìÞ ìÜæáò ôïõ óôåñåïý. Äéêáéïëïãåßóôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò. 8 ¸íá óþìá ðåñéóôñÝöåôáé ãýñù áðü Üîïíá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï ÊÌ. Öáíôáóôåßôå üôé ôï ßäéï óþìá óôñÝöåôáé ðåñß Üîïíá ðáñÜëëçëï ðñïò ôïí ðñþôï MHXAÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 159 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ
- 176. ðïõ äåí äéÝñ÷åôáéáðü ôï êÝíôñï ìÜæáò, ìå ôçí ßäéá ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá. Ç åíÝñãåéá ðåñéóôñïöÞò ùò ðñïò ôïí áñ÷éêü Üîïíá ðïõ ðåñíÜ áðü ôï êÝíôñïõ ìÜæáò åßíáé (á) ìåãáëýôåñç (â) ìéêñüôåñç (ã) ßäéá Äéêáéïëïãåßóôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò. 9 Ãéá äýï ðåñéóôñåöüìåíá óôåñåÜ, ãýñù áðü óôáèåñïýò Üîïíåò, ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ ðñþôïõ åßíáé ç ìéóÞ áðü áõôÞ ôïõ äåýôåñïõ êáé ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá äéðëÜóéá. Ç ó÷Ýóç ðïõ óõíäÝåé ôéò êéíçôéêÝò ôïõò åíÝñãåéåò åßíáé (á) (ã) (â) (ä) 10 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç. “ÊáôÜ ôçí óýíèåôç êßíçóç åíüò óôåñåïý, ç óõíïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá äßíåôáé áðü ôçí ó÷Ýóç: üðïõ ï ðñþôïò üñïò äßíåé ôçí (á) ...... êáé ï äåýôåñïò ôçí (â) ...... ¼ôáí Ý÷ïõìå êáèáñÜ ìåôáöïñéêÞ êßíçóç ï ðñþôïò üñïò ìçäåíßæåôáé äéüôé åßíáé ìçäÝí ç ðïóüôçôá (ã) ......”. 11 Ãéá Ýíá óôåñåü óþìá ðïõ êéíåßôáé, ÷áñáêôçñßóôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ùò óùóôÝò Þ ëÜèïò (á) Ç óõíïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óôåñåïý äßíåôáé ðÜíôá áðü ôç ó÷Ýóç: (â) Ï ôýðïò ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò äåí éó÷ýåé üôáí ôï óôåñåü óþìá óôñÝöåôáé ãýñù áðü óôáèåñü Üîïíá, äéüôé ôüôå ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åßíáé , üðïõ É ç ñïðÞ áäñáíåßáò ùò ðñïò ôïí óôáèåñü Üîïíá (ã) Ïé ó÷Ýóåéò: êáé üôáí ôï óôåñåü óþìá óôñÝöåôáé ãýñù áðü óôáèåñü Üîïíá (óôéãìéáßá Þ ìüíéìá) åßíáé êáé ïé äýï óùóôÝò êáé ìÜëéóôá áðü ôçí ìéá ðñïêýðôåé ç Üëëç. 12 Áðü ôçí êïñõöÞ êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ áöÞíïõìå íá êõëßóïõí äýï óõìðáãåßò óöáßñåò á, â áðü ôï ßäéï õëéêü. Ç óöáßñá á Ý÷åé äéðëÜóéá áêôßíá áðü ôç â êáé ç ñïðÞ áäñÜíåéáò óöáßñáò ìÜæáò m êáé áêôßíáò R, ùò ðñïò Üîïíá ðïõ ðåñíÜ áðü ôï êÝíôñï ôçò åßíáé . Ðïéü áð’ ôá ðáñáêÜôù åßíáé óùóôü; (á) Ìå ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá öèÜíåé óôç âÜóç ôïõ êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ ç á óöáßñá. (â) Ìå ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá öèÜíåé óôç âÜóç ôïõ êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ ç óöáßñá â. (ã) Óôç âÜóç ôïõ êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ öèÜíïõí êáé ïé äýï óöáßñåò ìå ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá. 13 Áðü ôçí êïñõöÞ êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ áöÞíïíôáò íá êõëßóïõí ÷ùñßò ïëßóèçóç äýï óöáßñåò á, â ßäéáò ìÜæáò êáé ßäéáò áêôßíáò. Ç óöáßñá á åßíáé óõìðáãÞò êáé ç â êïßëç êáé ëåðôüôïé÷ç. ÐïéÝò áðü ôéò áêüëïõèåò ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò. (á) Ìåãáëýôåñç ñïðÞ áäñÜíåéáò, ùò ðñïò êÜðïéá äéáìåôñéêü Üîïíá, Ý÷åé ç óöáßñá á. (â) Ìåãáëýôåñç ñïðÞ áäñÜíåéáò ùò ðñïò êÜðïéï äéáìåôñéêü Üîïíá, Ý÷åé ç óöáßñá â. (ã) Ìå ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá öèÜíåé óôç âÜóç ôïõ êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ ç óöáßñá á. (ä) Ìå ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá öèÜíåé óôç âÜóç ôïõ êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ ç óöáßñá â. (å) Óôç âÜóç ôïõ êåêëéìÝíïõ åðéðÝäïõ öèÜíïõí êáé ïé äýï óöáßñåò ìå ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá. 14 Ðþò ïñßæåôáé ç ñïðÞ äýíáìçò ùò ðñïò Üîïíá; 15 Ðïéá áðü ôéò äõíÜìåéò ôïõ ó÷Þìáôïò Ý÷åé ìåãáëýôåñç ñïðÞ ùò ðñïò ôïí êÜèåôï Üîïíá óôï åðßðåäï ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Ï; Ïé äõíÜìåéò Ý÷ïõí ßäéï ìÝôñï. 2 5 2 m R K Iù= 1 2 2 K I ù Ìõ= + 1 2 1 2 2 2 cm cm K Iù= 1 2 2 K I ù Ìõ= + 1 2 1 2 2 2 cm cm K I ù Ìõ= + 1 2 1 2 2 2 cm cm K I ù mõ= + 1 2 1 2 2 2 cm cm K K 1 2 2= K K 1 2 1= K K 1 2 1 4 = K K 1 2 1 2 = 160 MHXANIKH
- 177. 16 Ïé ôñåéò äõíÜìåéòôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé ïìïåðßðåäåò êáé ôï åðßðåäü ôïõò åßíáé ðáñÜëëçëï óôïí Üîïíá z. Åðßóçò ôá ìÝôñá ôïõò åßíáé ßóá. Ðïéá äýíáìç Ý÷åé ìåãáëýôåñç ñïðÞ ùò ðñïò ôïí Üîïíá; Äéêáéïëïãåßóôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò. 17 Äßíïíôáé ôñåéò ïìïåðßðåäåò äõíÜìåéò → F1, → F2, → F3, ìå ßóá ìÝôñá êáé Ýíá óçìåßï Ï ôïõ åðéðÝäïõ ôïõò. Ïé áðïóôÜóåéò (ÏÁ), (ÏÂ) êáé (ÏÃ) åßíáé ßóåò ìåôáîý ôïõò. ÐïéÜ (ðïéÝò) áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÞ (óùóôÝò). (á) Ïé ñïðÝò ôùí → F1, → F2 ùò ðñïò ôï Ï, Ý÷ïõí ßóá ìÝôñá. (â) Ïé ñïðÝò ôùí → F1, → F3 , ùò ðñïò ôï Ï, Ý÷ïõí ßäéá äéåýèõíóç êáé áíôßèåôç öïñÜ. (ã) Ïé ñïðÝò ôùí → F2, → F3 , ùò ðñïò ôï Ï, Ý÷ïõí ßäéá äéåýèõíóç êáé áíôßèåôç öïñÜ. (ä) Ç ñïðÞ ôçò → F1 ùò ðñïò ôï Ï åßíáé äéðëÜóéá êáôÜ ìÝôñï áðü ôç ñïðÞ ôçò → F3 ðåñß ôïõ Ï. 18 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç. “ÊáôÜ ôçí ðåñéóôñïöÞ åíüò óþìáôïò ãýñù áðü Ýíáí Üîïíá, ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò ôçò ãùíéáêÞò ôá÷ýôçôáò åßíáé áíÜëïãïò (á) ...... êáé áíôéóôñüöùò áíÜëïãïò (â) ......”. 19 Áíôéóôïé÷ßóôå ôéò ðïóüôçôåò ðïõ áíáöÝñïíôáé óôçí ðåñéóôñïöÞ óôåñåïý ìå áõôÝò ôçò êßíçóçò õëéêïý óçìåßïõ. Óôåñåü óþìá Õëéêü óçìåßï ô m I a ù Äx Äè õ á F 20 Ôñï÷üò óôñÝöåôáé ãýñù áðü Üîïíá êÜèåôï ó’ áõôüí, ðïõ ðåñíÜ áð’ ôï êÝíôñï ôïõ, ìå ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù = 5,0 rad/s. Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ ñï÷ïý, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò ôïõ, åßíáé I = 50 kg.m2 . Ç óôáèåñÞ ñïðÞ ðïõ ðñÝðåé íá áóêçèåß óôïí ôñï÷ü, þóôå íá óôáìáôÞóåé ôçí ðåñéóôñïöÞ ôïõ óå 10 s åßíáé: (á) 100 N.m (â) 25 N.m (ã) 1 N.m (ä) 250 N.m 21 Ï ìéóüò ÷Üñáêáò åßíáé îýëéíïò êáé ï Üëëïò ìéóüò ìåôáëëéêüò. Óå ðïéá ðåñßðôùóç ç äýíáìç F ðñïêáëåß ìåãáëýôåñç ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç; (á) óôç (É) (â) óôç (ÉÉ) (ã) êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò åßíáé ßäéá Äéêáéïëïãåßóôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò. 22 ÐïëëÝò öïñÝò ìå ôçí ìðÜëá ðïäïóöáßñïõ ðåôõ÷áßíïõìå ôï åîÞò “êüëðï”. ÐáôÜìå ôçí ìðÜëá êáôÜëëçëá, Ýôóé þóôå åíþ ç ìðÜëá áñ÷éêÜ íá öåýãåé ðñïò ôá åìðñüò êáé öôÜíåé ìÝ÷ñé åíüò óçìåßïõ êáé êáôüðéí åðéóôñÝöåé ðßóù. ÅîçãÞóôå ôï öáéíüìåíï. MHXAÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 161
- 178. 23 Óôï ó÷Þìá ðáñéóôÜíåôáéï ðßóù ôñï÷üò ðïäçëÜôïõ êáé ïé äõíÜìåéò ðïõ áóêïýíôáé óå áõôüí. (á) ÅîçãÞóôå ôçí ðñïÝëåõóç ôçò êÜèå äýíáìçò (â) ÃñÜøôå ôéò ó÷Ýóåéò ãéá ôçí êßíçóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ôïõ ôñï÷ïý (ã) Ðïéá åßíáé ç ìÝãéóôç ôéìÞ ðïõ ìðïñåß íá ðÜñåé ç äýíáìç Ô; (ä) ÃñÜøôå ôï íüìï ôïõ Íåýôùíá ãéá ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ôïõ ôñï÷ïý. (å) ÏñéóìÝíåò öïñÝò, óõíÞèùò óôï îåêßíçìá, ï ôñï÷üò óðéíéÜñåé, ðùò åîçãåßôå áõôü; 24 Ôáõôßæåôáé ðÜíôá ôï êÝíôñï âÜñïõò ìå ôï êÝíôñï ìÜæáò; 25 Ìðïñåß ôï êÝíôñï âÜñïõò åíüò óôåñåïý íá âñßóêåôáé åêôüò óþìáôïò; 26 Êéíïýìáóôå ìå Ýíá ðïäÞëáôï áóêþíôáò óôáèåñÞ äýíáìç óôá ðåíôÜë ôïõ. Áí áñ÷éêÜ ç ôá÷ýôçôá Þôáí õ êáé êáôüðéí Ýãéíå 2õ, ôß óõìâáßíåé ìå ôçí éó÷ý ðïõ îïäåýïõìå; (á) äéðëáóéÜæåôáé (â) ìÝíåé óôáèåñÞ (ã) õðïäéðëáóéÜæåôáé (ä) ôåôñáðëáóéÜæåôáé 27 Ðþò ïñßæåôáé ç óôñïöïñìÞ ùò ðñïò óçìåßï, êáé ðùò ùò ðñïò Üîïíá; 28 Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù ðñüôáóç: “¼ôáí óå Ýíá óýóôçìá óùìÜôùí ç óõíéóôáìÝíç ñïðÞ åßíáé ìçäÝí, ôüôå ç (á) ...... ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ. Áí áõîçèåß ç ñïðÞ áäñáíåßáò ôïõ óõóôÞìáôïò èá (â) ...... ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá êáé áíôéóôñüöùò”. 29 Áíôéóôïé÷åßóôå ôá öõóéêÜ ìåãÝèç ìå ôéò ìïíÜäåò ôïõò ÖõóéêÜ ìåãÝèç ÌïíÜäåò ïñìÞ kg m/s ÓôñïöïñìÞ kg m2 ñïðÞ J ¸ñãï kg m2 /s ÑïÞ áäñÜíåéáò Í m 30 Óôçí ðåñéóôñåöüìåíç ïñéæüíôéá ñüäá ôçò ðáéäéêÞò ÷áñÜò, Ýíá ðáéäÜêé ðñï÷ùñÜåé áðü ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò ðñïò ôá êáèßóìáôá. Ôé èá óõìâåß ìå ôç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ôçò ñüäáò; 31 Ïé äýï äßóêïé ðåñéóôñÝöïíôáé ìå ôçí ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù, ãýñù áðü ôïõò áíôßóôïé÷ïõò Üîïíåò. Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò êáé ðïéåò ëÜèïò; (á) Ç óôñïöïñìÞ ôïõ ðñþôïõ äßóêïõ ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò åßíáé ìåãáëýôåñç áðü áõôÞ ôïõ äåýôåñïõ äßóêïõ (â) Ãéá íá ôåèåß óå ðåñéóôñïöÞ ï äåýôåñïò äßóêïò äáðáíÜìå ðåñéóóüôåñç åíÝñãåéá áð’ üôé ãéá ôïí ðñþôï. (ã) Áí õðÜñ÷ïõí ßäéåò ôñéâÝò ï ðñþôïò äßóêïò èá óôáìáôÞóåé íùñßôåñá áð’ ôï äåýôåñï 32 Äýï üìïéïé äßóêïé åßíáé êáôáêüñõöïé êáé óôñÝöïíôáé ÷ùñßò ôñéâÝò ãýñù áðü ïñéæüíôéïõò Üîïíåò, ïé ïðïßïé äéÝñ÷ïíôáé áðü ôá êÝíôñá ôïõò. Óôïí äåýôåñï äßóêï Ý÷ïõìå êïëëÞóåé ìéá ôóß÷ëá. ×áñáêôçñßóôå óùóôÝò Þ ëÜèïò ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò 162 MHXANIKH
- 179. (á) Ç óôñïöïñìÞäéáôçñåßôáé êáé óôïõò äýï äßóêïõò (â) Ç óôñïöïñìÞ äéáôçñåßôáé óôáèåñÞ óôïí ðñþôï äßóêï êáé ìåôáâÜëëåôáé óôï äåýôåñï (ã) Ç ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá äéáôçñåßôáé óôïí ðñþôï äßóêï, åíþ ìåéþíåôáé óôï äåýôåñï (ä) Ç ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá äéáôçñåßôáé êáé óôïõò äýï äßóêïõò 33 O äßóêïò ðåñéóôñÝöåôáé óå ïñéæüíôéï åðßðåäï, ÷ùñßò ôñéâÝò ãýñù áðü ôïí êáôáêüñõöï Üîïíá, ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ôïõ, êáé ç êáôóáñßäá ðëçóéÜæåé ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò. Ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé ç óùóôÞ; (á) Ç óôñïöïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò ìåéþíåôáé êáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ (â) Ç óôñïöïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò êáèþò êáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ðáñáìÝíïõí óôáèåñÝò (ã) Ç óôñïöïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò äéáôçñåßôáé óôáèåñÞ åíþ ç êéíçôéêÞ ôïõ åíÝñãåé áõîÜíåé (ä) Ç óôñïöïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò äéáôçñåßôáé óôáèåñÞ, åíþ ç êéíçôéêÞ ôïõ åíÝñãåéá ìéåþíåôáé 34 ÅðÜíù óôïí êõêëéêü äßóêï åßíáé êïëçìÝíï ïìïêåíôñéêü êõêëéêü äï÷åßï ðïõ ðåñéÝ÷åé ðÜãï. ÔñéâÝò äåí õðÜñ÷ïõí êáé ôï óýóôçìá (ìáæß êáé ï ðÜãïò) ðåñéóôñÝöåôáé ãýñù áðü êáôáêüñõöï Üîïíá, ï ïðïßïò äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ôïõò. ¼ôáí ï ðÜãïò ëéþóåé ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá (á) èá áõîçèåß (â) èá åëáôôùèåß (ã) èá ðáñáìåßíåé ßäéá ÄéêáéïëïãÞóôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò. 35 Óöáéñßäéï ìÜæáò m Ý÷åé ôåèåß óå êõêëéêÞ êßíçóç ðÜíù óå ëåßï ïñéæüíôéï ôñáðÝæé. Ôï óöáéñßäéï óõãêñáôåßôáé ìå ó÷ïéíß, ôï ïðïßï ðåñíÜ ìÝóá áðü ìßá ôñýðá Ï. Ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ðåñéóôñïöÞò ôïõ óöáéñéäßïõ åßíáé ù êáé ç áêôßíá ôçò ôñï÷éÜò ôïõ r. Ôñáâþíôáò ôï ó÷ïéíß ìåéþíïõìå ôçí áêôßíá ðåñéóôñïöÞ óôï ìéóü. Ôüôå ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ðåñéóôñïöÞò (á) èá äéðëáóéáóôåß (â) èá ôåôñáðëáóéáóôåß (ã) èá ãßíåé ìéóÞ (ä) èá ìåßíåé ßäéá MHXAÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 163 ÁÓÊÇÓÅÉÓ - ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ 1. Èåùñïýìå óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí xOy. Óôï åðßðåäï ôùí áîüíùí âñßóêïíôáé ôñéá óùìÜôéá Á, Â, à ìå ìÜæåò áíôßóôïé÷á m1 = 1,0 kg, m2 = 2,0 kg, m3 = 1,0 kg. Ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ Á åßíáé Á (xA = 2 cm, yA = 3 cm) ôïõ  (xB = 1 cm, yB = 2 cm) êáé ôïõ à (xà = 4 cm, yà = 2 cm) áêñéâþò. Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò. 2 Ìéá ëåðôÞ êõëéíäñéêÞ ñÜâäïò Áà ìÞêïõò 100 cm áðïôåëåßôáé áðü äýï ïìïãåíÞ ôìÞìáôá ÁÌ êáé Ìà ßäéùí äéáóôÜóåùí. Ôï ÁÌ åßíáé áðü áñãßëéï êáé ôï Ìà áðü óßäçñï. Íá ðñïóäéïñéóôåß ôï êÝíôñï ìÜæáò ôçò ñÜâäïõ. Ðõêíüôçôá áñãéëßïõ: 2,70 g/cm3 , ðõêíüôçôá óéäÞñïõ: 7,80 g/cm3 3 Ôåôñáãùíéêü ðëáßóéï ÁÂÃÄ ðëåõñÜò 9 cm áðïôåëåßôáé áðü ïìïãåíÝò êõëéíäñéêü óýñìá. Áöáéñïýìå ôï óýñìá ÁÄ. Íá âñåèåß ôï êÝíôñï ìÜæáò ôïõ óýñìáôïò ðïõ áðïìÝíåé. 4 Íá âñåèåß ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ðåñéóôñïöÞò ôçò Ãçò ãýñù áðü ôïí ÜîïíÜ ôçò êáé ç ãñáììéêÞ
- 180. ôá÷ýôçôá ôùí óçìåßùíôïõ éóçìåñéíïý, ùò ðñïò ôïí ÜîïíÜ ôçò. Ç áêôßíá ôçò Ãçò åßíáé 6,4 × 103 km 5 Íá âñåèåß ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ äåõôåñïëåðôïäåßêôç åíüò ñïëïãéïý êáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ Üêñïõ ôïõ ßäéïõ äåßêôç áí Ý÷åé ìÞêïò 1,5cm. 6 Ôñï÷üò ðïäçëÜôïõ áêôßíáò R = 0,50 m ðåñéóôñÝöåôáé ãýñù áð’ ôïí ÜîïíÜ ôïõ (÷ùñßò íá ìåôáôïðßæåôáé) ìå óôáèåñÞ ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù = 6,0 rad/s. Íá âñåèåß ç êåíôñïìüëïò åðéôÜ÷õíóç åíüò óçìåßïõ ôçò ðåñéöÝñåéáò ôïõ ôñï÷ïý. 7 Óôéò êïñõöÝò Á, Â, à éóïðëåýñïõ ôñéãþíïõ ðëåõñÜò á = 3,0 m õðÜñ÷ïõí ôñåéò óçìåéáêÝò ìÜæåò mA = 1,0 kg, mB = 2,0 kg, mà = 3,0 kg. Íá âñåèåß ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí ìáæþí, ùò ðñïò Üîïíá (á) êÜèåôï óôï åðßðåäï ôïõ ôñéãþíïõ ðïõ ðåñíÜ áðü ôï Á (â) êÜèåôï óôï åðßðåäï ôïõ ôñéãþíïõ ðïõ ðåñíÜ áðü ôï ðåñßêåíôñï (ã) ðïõ ôáõôßæåôáé ìå ôï ýøïò ôïõ ôñéãþíïõ ðïõ Üãåôáé áðü ôï Á ðñïò ôçí ðëåõñÜ ÂÃ. 8 ËåðôÞ êõêëéêÞ óôåöÜíç ìÜæáò m = 1,0 kg êáé áêôßíáò R = 0,10 m óôñÝöåôáé ìå óôáèåñÞ ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù = 4,0 rad/s, ùò ðñïò Üîïíá êÜèåôï óôï åðßðåäü ôçò, ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü óçìåßï ôçò ðåñéöÝñåéÜò ôçò. Íá âñåèåß ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôçò óôåöÜíçò. 9 Ìéá ïìïãåíÞò ñÜâäïò ìÜæáò m êáé ìÞêïõò l = 2,0 m óôÝêåôáé êáôáêüñõöç ðÜíù óôï Ýäáöïò. Ìå ðüóç ôá÷ýôçôá öèÜíåé óôï Ýäáöïò ç áíþôåñç Üêñç ôçò ñÜâäïõ üôáí áõôÞ áíáôñÝðåôáé. (Ç Üêñç ðïõ åßíáé óôï Ýäáöïò äåí ìåôáêéíåßôáé). Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôçò ñÜâäïõ ùò ðñïò Üîïíá ðïõ ðåñíÜ áðü ôï Ýíá Üêñï ôçò åßíáé: , g = 10 m/s2 10 Ôñï÷áëßá ìÜæáò m = 2,0 kg êáé áêôßíáò R åßíáé óôåñåùìÝíç óå áñêåôü ýøïò. ¸íá áâáñÝò ó÷ïéíß åßíáé ðåñáóìÝíï áðü ôï áõëÜêé ôçò ôñï÷áëßáò êáé óôá Üêñá ôïõ åßíáé äåìÝíá äýï óþìáôá ìáæþí m1 = 6,0 kg êáé m2 = 3,0 kg ôá ïðïßá êñáôïýíôáé ìå ôï íÞìá ôåíôùìÝíï. ÊÜðïéá óôéãìÞ áöÞíïõìå ôá óþìáôá. Íá âñåèåß ç ôá÷ýôçôÜ ôïõò ôç óôéãìÞ ðïõ ôï m1 Ý÷åé êáôÝëèåé êáôÜ 6,0 m. Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôçò ôñï÷áëßáò ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò ôçò åßíáé , g = 10 m/s2 . Ôï ó÷ïéíß äåí ïëéóèáß- íåé ðÜíù óôçí ôñï÷áëßá. 11 Áõôïêßíçôï åðéôá÷ýíåôáé ïìáëÜ êáé ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ áõîÜíåôáé áðü 6,0 km/h óå 42 km/h ìÝóá óå 5,0 s. Áí ç áêôßíá ôùí ôñï÷þí åßíáé 40 cm, ðïéÜ åßíáé ç ãùíéáêÞ ôïõò åðéôÜ÷õíóç; Ïé ôñï÷ïß ôïõ áõôïêéíÞôïõ äåí ïëéóèáßíïõí óå üëç ôç äéÜñêåéá ôçò êßíçóçò. 12 ÌéêñÞ óõìðáãÞò óöáßñá áêôßíáò r = 1,0 cm áöÞíåôáé áðü ôçò èÝóç Á çìéêõëéíäñéêÞò åðéöÜíåéáò áêôßíáò R = 8,0 cm. Ç óöáßñá êáôåâáßíåé êõëþíôáò ÷ùñßò íá ïëéóèáßíåé êáé óôç èÝóç à áðïêôÜ ôá÷ýôçôá → õ. Ãéá ôç óöáßñá ç ñïðÞ áäñÜíåéáò, ùò ðñïò Üîïíá, ðïõ ðåñíÜ áð’ ôï êÝíôñï ôçò åßíáé êáé áêüìç åßíáé g = 10 m/s2 . Íá âñåèåß ç ôá÷ýôçôá õ. 13 Áìáæï íÞìá ìåãÜëïõ ìÞêïõò åßíáé ôõëéãìÝíï óôçí åðéöÜíåéá êõëßíäñïõ áêôßíáò R = 0,2 m (áêñéâþò). Ï êýëéíäñïò ìðïñåß íá óôñÝöåôáé ÷ùñßò ôñéâÝò I m r= 2 5 2 1 2 2 m R I m l= 1 3 2 164 MHXANIKH
- 181. MHXAÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ165 ãýñù áðü ôïí ÜîïíÜ ôïõ. Óôï åëåýèåñï Üêñï ôïõ íÞìáôïò åöáñìüæåôáé óôáèåñÞ äýíáìç F = 10 N (áêñéâþò), üðùò óôï ó÷Þìá. Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ êõëßíäñïõ, ùò ðñïò ôïí ÜîïíÜ ôïõ äßíåôáé É = 2 × 10− 2 kg.m2 (áêñéâþò). Íá õðïëïãéóôåß ç ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç ôïõ êõëßíäñïõ êáé ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ìåôÜ 2 s. 14 ¢ìáæï íÞìá åßíáé ôõëéãìÝíï ãýñù áðü ôñï÷áëßá ìÜæáò m êáé áêôßíáò R. Ôï Ýíá Üêñï ôïõ íÞìáôïò åßíáé óôåñåùìÝíï óôçí ïñïöÞ. ÁöÞíïõìå ôçí ôñï÷áëßá íá êáôÝëèåé êáé ôï ó÷ïéíß îåôõëßãåôáé. Íá âñåèåß: (á) Ç åðéôÜ÷õíóç ìå ôçí ïðïßá êáôÝñ÷åôáé ôï ÊÌ ôçò ôñï÷áëßáò. (â) Ç ôá÷ýôçôá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ôçò ôñï÷áëßáò üôáí Ý÷åé êáôÝëèåé êáôÜ h = 0,30 m. Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôçò ôñï÷áëßáò, ùò ðñïò Üîïíá ðïõ ðåñíÜ áðü ôï êÝíôñï ìÜæáò, åßíáé . Áêüìç íá ëçöèåß g = 10 m/s2 15 ¢ìáæï ó÷ïéíß åßíáé ôõëéãìÝíï óôçí ðåñéöÝñåéá ôñï÷áëßáò, ìÜæáò Ì êáé áêôßíáò R. Ç ôñï÷áëßá åßíáé óôçñéãìÝíç óôçí ïñïöÞ (üðùò óôï ó÷Þìá) êáé ìðïñåß íá ðåñéóôñÝöåôáé ÷ùñßò ôñéâÝò ãýñù áðü ôïí ÜîïíÜ ôçò, ùò ðñïò ôïí ïðïßï ç ñïðÞ áäñÜíåéÜò ôçò åßíáé . Óþìá ìÜæáò m = 2 M åßíáé äåìÝíï óôçí åëåýèåñç Üêñç ôïõ íÞìáôïò. Áí ôï óþìá áöåèåß åëåýèåñï íá êáôÝëèåé õðïëïãßóôå ôçí åðéôÜ÷õíóÞ ôïõ (ôï íÞìá äåí ïëéóèáßíåé óôçí ôñï÷áëßá). g = 10m/s2 16 Ôá óþìáôá ìáæþí m1 = 1,0 kg êáé m2 = 2,0kg ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé äåìÝíá óôá Üêñá íÞìáôïò, ðïõ ðåñíÜ áðü ôï áõëÜêé ôñï÷áëßáò ìÜæáò M = 2,0kg. Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôçò ôñï÷áëßáò ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò ôçò åßíáé . Ôï óýóôçìá áöÞíåôáé åëåýèåñï êáé ôï óþìá ìÜæáò m1 êéíåßôáé ðÜíù óôï ëåßï ïñéæüíôéï ôñáðÝæé ÷ùñßò ôñéâÝò. Íá õðïëïãéóèåß ç åðéôÜ÷õíóç ôùí óùìÜôùí (ôï íÞìá äåí ïëéóèáßíåé ðÜíù óôçí ôñï÷áëßá). Åßíáé g = 10 m/s2 17 Ãýñù áðü ïìïãåíÞ äßóêï áêôßíáò R êáé ìÜæáò m, åßíáé ðåñéôõëéãìÝíï Ýíá ó÷ïéíß. Ï äßóêïò åßíáé áñ÷éêÜ áêßíçôïò óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï (âë. 1 2 2 M R 1 2 2 M R I m R= 1 2 2
- 182. ó÷Þìá). ¸ëêïõìå ìÝóùôïõ ó÷ïéíéïý ôï äßóêï áóêþíôáò ïñéæüíôéá óôáèåñÞ äýíáìç F. Ðñïóäéïñßóôå ôç ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç, êáèþò êáé ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò. Áðïäåßîôå üôé ôï Ýñãï ðïõ êáôáíáëþíïõìå (W = F⋅ S, üðïõ S ç ìåôáêßíçóç ôïõ Üêñïõ ôïõ ó÷ïéíéïý áð’ üðïõ Ýëêïõìå) éóïýôáé ìå ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ðïõ áðïêôÜ ï äßóêïò. Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ôïõ åßíáé É = 1/2 mR2 . 18 Ç ñÜâäïò ôïõ ó÷Þìáôïò ìðïñåß íá ðåñéóôñÝöåôáé ÷ùñßò ôñéâÝò ãýñù áðü ïñéæüíôéï Üîïíá ðïõ ðåñíÜ áðü ôï Ï. ÅêôñÝðïíôáò åëáöñþò ôçí ñÜâäï áðü ôçí êáôáêüñõöç èÝóç, áõôÞ êáôÝñ÷åôáé. Íá âñåèåß ç äýíáìç ðïõ áóêåß ï Üîïíáò óôç ñÜâäï, ôç óôéãìÞ ðïõ ç ñÜâäïò ãßíåôáé ïñéæüíôéá. Äßíïíôáé ôï ìÞêïò ôçò ñÜâäïõ l = 1,0 m, ç ìÜæá ôçò m = 4,0 kg, êáé ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g = 10 m/s2 . Åðßóçò ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôçò ñÜâäïõ ùò ðñïò ôïí óõãêåêñéìÝíï Üîïíá, äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç 19 ¸íáò óõìðáãÞò êýëéíäñïò áöÞíåôáé óå Ýíá êåêëéìÝíï åðßðåäï ìå ôïí ÜîïíÜ ôïõ óå ïñéæüíôéá èÝóç. Õðïëïãßóôå ôçí åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôïõ óõíôåëåóôÞ ôñéâÞò ïëßóèçóçò ì ìåôáîý åðéðÝäïõ êáé êõëßíäñïõ, þóôå áõôüò íá êõëßåôáé ÷ùñßò íá ïëéóèáßíåé. Äßíåôáé ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ êõëßíäñïõ ùò ðñïò ôïí ÜîïíÜ ôïõ, É = mR2 /2. 20 AìÝóùò ìåôÜ áðü êáôÜëëçëï êôýðçìá, ç ìðßëéá ôïõ ìðéëéÜñäïõ ïëéóèáßíåé ÷ùñßò íá êõëßåôáé, ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ0 . Êáôüðéí ïëéóèáßíåé êáé êõëßåôáé óõã÷ñüíùò, ìÝ÷ñé ðïõ ç êßíçóç ãßíåôáé êáèáñÞ êýëéóç. Íá áðïäåßîåôå üôé: (á) ôç óôéãìÞ ðïõ áñ÷ßæåé ç êáèáñÞ êýëéóç, ç ôá÷ýôçôá ôçò ìðßëéáò åßíáé õ = 5õ0 /7. (â) ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ç ìðßëéá êáôÜ ôçí ìåôÜâáóç áðü ôçí êáèáñÞ ïëßóèçóç Ýùò ôçí êáèáñÞ êýëéóç åßíáé 12 õ0 2 / 49 ìg, üðïõ ì ï óõíôåëåóôÞò ôñéâÞò ïëßóèçóçò, ìåôáîý ìðßëéáò êáé ôóü÷áò, êáé g ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò. Åðßóçò ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôçò ìðßëéáò åßíáé É = (2/5) mR2 , üðïõ R ç áêôßíá ôçò ìðßëéáò. 21 Ìéá ïìïãåíÞò óáíßäá ÁÃ, âÜñïõò 100 Í åßíáé áñèñùìÝíç (ìå ìåíôåóÝ) óôïí ôïß÷ï êáé äéáôçñåßôáé ïñéæüíôéá õðü ôçí åðßäñáóç ìéáò äýíáìçò → F, ðïõ åöáñìüæåôáé óôï à êáé ó÷çìáôßæåé ãùíßá 60ï ìå ôçí êáôáêüñõöï, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Ná õðïëïãéóôåß ôï ìÝôñï ôçò F. 22 Ïñéæüíôéá ïìïãåíÞò ñÜâäïò âÜñïõò →  êáé ìÞêïõò d, éóïññïðåß êñåìáóìÝíç áðü ôçí ïñïöÞ ìÝóù äýï äõíáìïìÝôñùí Ä1, Ä2. Áí F1 ç Ýíäåéîç ôïõ äõíáìïìÝôñïõ Ä1 êáé F2 ç Ýíäåéîç ôïõ äõíáìïìÝôñïõ Ä2, ðïéÜ åßíáé ç ôéìÞ ôïõ ëüãïõ F1 /F2 . 23 Ïñéæüíôéïò ïìïãåíÞò êáíüíáò ìÞêïõò 100 cm êáé âÜñïõò  = 20 Í éóïññïðåß õðü ôçí åðßäñáóç ôùí äõíÜìåùí ðïõ öáßíïíôáé óôï ó÷Þìá êáé ìéáò áêüìá I m= 1 3 2 l 166 MHXANIKH
- 183. MHXAÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ167 êáôáêüñõöçò äýíáìçò → F, ç ïðïßá äåí öáßíåôáé. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôç äýíáìç → F. 24 ÏìïãåíÞò äïêüò Áà ìÞêïõò 4,0m êáé âÜñïõò 900Í åßíáé ïñéæüíôéïò êáé áêïõìðÜ óå äýï óôçñßãìáôá óôá óçìåßá Á êáé Ä, üðïõ (ÁÄ) = 2,5 m. ¸íáò Üíèñùðïò âÜñïõò 7560Í áñ÷ßæåé íá ðåñðáôÜ ðÜíù óôï äïêÜñé áðü ôï Á ðñïò ôï Ã. Íá âñåèåß ç ìÝãéóôç áðüóôáóç x ðïõ èá äéáíýóåé ï Üíèñùðïò ÷ùñßò íá áíáôñáðåß ôï äïêÜñé. 25 ÓêÜëá Áà ìÞêïõò 5m êáé âÜñïõò 200 Í óôçñßæåôáé óå ëåßï ôïß÷ï êáé óå ëåßï äÜðåäï ìå ôç âïÞèåéá ó÷ïéíßïõ ÁÄ, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Ôï ó÷ïßíé ÁÄ Ý÷åé ìÞêïò 3,0m êáé üñéï èñáýóçò 495Í. Ôï êÝíôñï âÜñïõò ôçò óêÜëáò åßíáé ôï ìÝóï ôçò. ÐïéÜ ç ìÝãéóôç áðüóôáóç ðïõ ìðïñåß íá äéáíýóåé Ýíáò Üíèñùðïò âÜñïõò 70 Í, áíåâáßíïíôáò ôç óêÜëá, ÷ùñßò íá óðÜóåé ôï ó÷ïéíß; 26 ÏìïãåíÞò ñÜâäïò ÁÃ, âÜñïõò  = 40,0Í óôçñßæåôáé áðü êáôáêüñõöï ôïß÷ï ìÝóù ìåíôåóÝ Á êáé ó÷ïéíéïý ÃÄ, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Áðü ôï Üêñï à êñÝìåôáé óþìá Ó âÜñïõò 100,0 Í. Íá âñåèïýí ïé äõíÜìåéò ðïõ áóêïýíôáé óôç ñÜâäï áðü ôï ó÷ïéíß êáé ôçí Üñèñùóç. 27 ÏìïãåíÞò êýëéíäñïò áêôßíáò 1m (áêñéâþò) êáé âÜñïõò 1200Í áêïõìðÜ óôï ïñéæüíôéï äÜðåäï êáé óå Ýíá óêáëïðÜôé ýøïõò 0,20 m. ÅñãÜôçò áóêåß óôïí êýëéíäñï ïñéæüíôéá äýíáìç → F ìÝôñïõ 450 Í, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Íá õðïëïãéóèïýí ôá ìÝôñá ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýí ôï äÜðåäï êáé ôï óêáëïðÜôé óôïí êýëéíäñï. 28 Ìéá áíïìïéïãåíÞò ñÜâäïò Áà Ý÷åé ìÞêïò 105 cm. ¼ôáí äåèåß áðü ôï Á óå äõíáìüìåôñï, åíþ ôï à áêïõìðÜ óå ëåßï äÜðåäï, ôï äõíáìüìåôñï äåß÷íåé 40 Í. ¼ôáí äåèåß áðü ôï à óå äõíáìüìåôñï, åíþ ôï Á áêïõìðÜ óå ëåßï äÜðåäï, ôï äõíáìüìåôñï äåß÷íåé 30 Í. Íá ðñïóäéïñéóôåß ôï êÝíôñï âÜñïõò Ê ôçò ñÜâäïõ. 29 Äõï ïìïãåíåßò êáé éóïðá÷åßò êõêëéêïß äßóêïé áðü ôï ßäéï õëéêï âñßóêïíôáé óôï ßäéï åðßðåäï êáé åöÜðôïíôáé. Ï ðñþôïò Ý÷åé êÝíôñï ôï óçìåßï Ï êáé áêôßíá 30 cm, åíþ ï äåýôåñïò Ý÷åé êÝíôñï ôï óçìåßï Ë êáé áêôßíá 10 cm. Íá âñåèåß ôï êÝíôñï âÜñïõò ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí äýï äßóêùí. Ó÷Þìá ¢óêçóçò 30
- 184. 30 Áðü ïìïãåíÞ êõêëéêüäßóêï áêôßíáò 12 cm, áöáéñïýìå êõêëéêü äßóêï ìå äéÜìåôñï ßóç ìå ôçí áêôßíá ôïõ áñ÷éêïý äßóêïõ, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Íá âñåèåß ôï êÝíôñï âÜñïõò ôïõ êïììáôéïý ðïõ áðïìÝíåé. 31 ÄéáâÜæïõìå áðü Ýíá ðåñéïäéêü åéäéêü ãéá áõôïêßíçôá üôé ôï ìïíôÝëï “Alfa Romeo 156. 1.6l” Ý÷åé éó÷ý 118 ßððïõò (hp) óôéò 6200 óôñïöÝò áíÜ ëåðôü êáé ñïðÞ 145 N.m óôéò 4190 óôñïöÝò áíÜ ëåðôü. Áí 1 hp = 746W, íá âñåèïýí (á) Ç ñïðÞ óôéò 6200 óôñïöÝò áíÜ ëåðôü. (â) Ç éó÷ýò óôéò 4190 óôñïöÝò áíÜ ëåðôü. 32 Ï óöüíäõëïò áôìïìç÷áíÞò Ý÷åé ìÜæá 800 kg êáé áêôßíá 1,0 m. Ôç óôéãìÞ t0 = 0, ðïõ ï óöüíäõëïò óôñÝöåôáé åêôåëþíôáò 180 óôñïöÝò áíÜ ëåðôü, êëåßíåôáé ç âáëâßäá ôïõ áôìïý, ìå áðïôÝëåóìá íá áñ÷ßóåé ç åðéâñÜäõíóç ôïõ óöïíäýëïõ, ëüãù äéáöüñùí áíôéóôÜóåùí. Ï óöüíäõëïò óôáìáôÜ ìÝóá óå 5 ëåðôÜ áêñéâþò. Áí èåùñÞóïõìå óôáèåñÞ ôç ñïðÞ ôùí äéáöüñùí áíôéóôÜóåùí, íá âñåèïýí (á) Ç ñïðÞ ôùí áíôéóôÜóåùí (â) Ôï Ýñãï áõôÞò ôçò ñïðÞò êáé ç ìÝóç éó÷ýò ôçò óôç äéÜñêåéá ôçò åðéâñÜäõíóç. (ã) Ç óôéãìéáßá éó÷ýò ôçò ñïðÞò ôùí áíôéóôÜóåùí ôçí óôéãìÞ t0 = 0 êáé ôç óôéãìÞ t1 = 3s. ð2 = 10 33 Çëåêôñéêüò êéíçôÞñáò áóêåß óôáèåñÞ ñïðÞ ô = 12 Í.m óå Ýíá ôñï÷ü, ôïõ ïðïßïõ ç ñïðÞ áäñÜíåéáò, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò ôïõ, åßíáé É = 2,5 kg.m2 . Ç åêêßíçóç ôïõ ôñï÷ïý áðü ôçí çñåìßá ãßíåôáé ôç óôéãìÞ t0 = 0. Íá âñåèïýí: (á) Ôï Ýñãï ðïõ ðáñÜãåé ï êéíçôÞñáò, áðü ôç óôéãìÞ ôçò åêêéíçóçò ùò ôç óôéãìÞ t1 = 4,50 s. (â) Ç éó÷ýò ôïõ êéíçôÞñá ôç óôéãìÞ t1 = 4,50 s. 34 Ïñéæüíôéïò äßóêïò ðåñéóôñÝöåôáé åëåýèåñá ãýñù áðü êáôáêüñõöï Üîïíá, ðïõ ðåñíÜ áðü ôï êÝíôñï ôïõ, ìå óõ÷íüôçôá 2,0 Hz. Ç ñïðÞ áäñáíåßáò ôïõ äßóêïõ, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò ôïõ, åßíáé I = 2,0 × 10-4 kg.m2 . ¸íá êïììÜôé ðëáóôåëßíçò ìÜæáò m = 20 g êáé áìåëçôÝùí äéáóôÜóåùí ðÝöôåé êáôáêüñõöá êáé êïëëÜåé óôï äßóêï óå áðüóôáóç 0,10 m áðü ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò. ÐïéÜ ç íÝá óõ÷íüôçôá ðåñéóôñïöÞò ôïõ äßóêïõ; 35 ¢íèñùðïò ðáôÜåé ðÜíù óå ôñáðåæÜêé ðïõ ìðïñåß íá óôñÝöåôáé ãýñù áðü êáôáêüñõöï Üîïíá ÷ùñßò ôñéâÝò. Ìå ôï Ýíá ÷Ýñé ôïõ ï Üíèñùðïò êñáôÜ ôïí Üîïíá åíüò ïñéæüíôéïõ ôñï÷ïý, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Ôï óýóôçìá áñ÷éêÜ çñåìåß. ÊÜðïéá óôéãìÞ ï Üíèñùðïò èÝôåé óå êßíçóç ôïí ôñï÷ü ìå ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá 6,0rad/s. Äåßîôå üôé ï Üíèñùðïò èá ðåñéóôñáöåß ìå áíôßèåôç öïñÜ áðü ôïí ôñï÷ü. Áêüìç íá õðïëïãéóèåß ç åíÝñãåéá ðïõ äáðÜíçóå ï Üíèñùðïò ãéá íá èÝóåé óå êßíçóç ôïí ôñï÷ü. Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ ôñï÷ïý, ùò ðñïò ôïí Üîïíá ðåñéóôñïöÞò ôïõ åßíáé 0,50 kg.m2 , åíþ ôïõ áíèñþðïõ (ìáæß ìå ôï êéíïýìåíï ôìÞìá ôïõ ôñáðåæéïý) åßíáé 3,0 kg.m2 . 36 Ïé ðëáíÞôåò êéíïýíôáé óå åëëåéðôéêÞ ôñï÷éÜ ãýñù áðü ôïí ¹ëéï, õðü ôçí åðßäñáóç ôçò âáñõôéêÞò äýíáìçò. Ç åëÜ÷éóôç áðüóôáóç åíüò ðëáíÞôç áðü ôïí ¹ëéï (rð) ïíïìÜæåôáé ðåñéÞëéï êáé ç ìÝãéóôç (rá) áöÞëéï. Áí → õð êáé → õá ïé ôá÷ýôçôåò åíüò ðëáíÞôç óôï ðåñéÞëéï êáé óôï áöÞëéï áíôßóôïé÷á, äåßîôå üôé éó÷ýåé: 37 Óþìá âÜëëåôáé áðü ôï Ýäáöïò ìå ôá÷ýôçôá → õ0 ç ïðïßá ó÷çìáôßæåé ãùíßá 60ï ìå ôïí ïñßæïíôá. Ôï óþìá öèÜíåé óå ìÝãéóôï ýøïò h = Rà üðïõ Rà ç áêôßíá ôçò Ãçò. Íá õðïëïãéóèåß ôï ìÝôñï ôçò → õ0 , áìåëþíôáò ôçí åðßäñáóç ôïõ áÝñá ôçò áôìüóöáéñáò. ÃíùóôÜ åßíáé ç Rà êáé ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g0 óôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò. õ õ r r ð á á ð = 168 MHXANIKH
- 185. MHXAÍÉÊÇ ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ169 38 Ç ñÜâäïò ôïõ ó÷Þìáôïò Ý÷åé ìÞêïò l = 1,2 m êáé ìÜæá M = 2,0 kg. Ìðïñåß íá ðåñéóôñÝöåôáé ÷ùñßò ôñéâÝò ãýñù áðü ôï óôÞñéãìá óôï óçìåßï Ï. Ôï âëÞìá ìÜæáò m = 0,020 kg êéíåßôáé ïñéæüíôéá ìå ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ õ0 êáé äéåýèõíóçò ïñéæüíôéáò ðïõ áðÝ÷åé áðüóôáóç d = 0,90 m áðü ôï Ï. Ôï âëÞìá äéáðåñíÜ áêáñéáßá ôçí ñÜâäï êáé åîÝñ÷åôáé ìå ôá÷ýôçôá õ0 /2. Ðáñáôçñïýìå üôé ç ìÝãéóôç åêôñïðÞ ôçò ñÜâäïõ áðü ôçí êáôáêüñõöï åßíáé 90ï . Íá õðïëïãéóèïýí: (á) Ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ôçò ñÜâäïõ áìÝóùò ìåôÜ ôçí äéÝëåõóç ôïõ âëÞìáôïò (â) Ç áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ âëÞìáôïò Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôçò ñÜâäïõ ùò ðñïò ôï óôÞñéãìá åßíáé É = 1/3 Ml2 êáé ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g = 10 m/s2 . 39 Äýï ðáãüäñïìïé Ý÷ïõí ßóåò ìÜæåò m1 = m2 = 60 kg êáé êéíïýíôáé áíôßèåôá Ý÷ïíôáò ôá÷ýôçôá 6,0 m/s ï êáèÝíáò ìå ôá ÷Ýñéá ôïõò óôçí Ýêôáóç. Ôç óôéãìÞ ðïõ óõíáíôéïýíôáé ðéÜíåé ï Ýíáò ôï äåîß ÷Ýñé ôïõ Üëëïõ êáé ðåñéóôñÝöïíôáé ãýñù áðü êáôáêüñõöï Üîïíá, ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï ðïõ ðéÜíïíôáé êáé ï ïðïßïò áðïäåéêíýåôáé üôé ðáñáìÝíåé óôáèåñüò. Íá õðïëïãßóåôå ôç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ðïõ áðïêôïýí ïé ðáãïäñüìïé êáé ôç ìåôáâïëÞ ôçò êéíçôéêÞ ôïõò åíÝñãåéáò. Ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ êáèåíüò ùò ðñïò ôï óõãêåêñéìÝíï Üîïíá íá ëçöèåß 22 kg m2 êáé áêüìç üôé ôï êÝíôñï ìÜæáò ôïõ êáèåíüò áðÝ÷åé áðü ôïí êáôáêüñõöï Üîïíá 0,60 m. 40 Óôï ó÷Þìá ôá äýï óþìáôá Ý÷ïõí ìÜæåò m1 = m2 = m êáé åßíáé äåìÝíá ìå íÞìá ÷ùñßò ìÜæá (Üìáæï). Ôï m1 áðÝ÷åé áðüóôáóç áðüóôáóç R0 áðü ôçí ïðÞ O êáé ôïõ äßíïõìå ôá÷ýôçôá õ0 êÜèåôç óôçí áêôßíá R0 ìå ìÝôñï . Íá âñåßôå ôï ìÝãéóôï ýøïò óôï ïðïßï èá áíÝëèåé ôï m2 , óõíáñôÞóåé ôçò R0 . 41 Ç ñÜâäïò (OA) ôïõ ó÷Þìáôïò áöÞíåôáé áðü ýøïò h = 1,8 íá ðÝóåé. ¼ôáí öôÜíåé óôï Ýäáöïò, ôï Üêñï ôçò O óõíáíôÜ ôçí êïñõöÞ ôçò ãùíßáò ôïõ ïñéæïíôßïõ åðéðÝäïõ êáé ôïõ óêáëïðáôéïý. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôçí ôá÷ýôçôá ôçò Üêñçò Á ôçò ñÜâäïõ áìÝóùò ìåôÜ ôçí ðñüóêñïõóç ôïõ Ï. Äßíïíôáé g = 10 m/s2 êáé üôé ç ñïðÞ ôçò ñÜâäïõ ùò ðñïò ôï Ï åßíáé 1/3 ml2 , üðïõ m ç ìÜæá ôçò ñÜâäïõ. õ gR0 02=
- 186.
- 187. 4.3 ÊÑÏÕÓEIÓ ÊÁÉÓ×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ ÅÉÓÁÃÙÃÇ Ôá öáéíüìåíá ôùí êñïýóåùí áðáíôþíôáé ó’ üëç ôçí Ýêôáóç ôçò öõóéêÞò. Áðü ôéò ãéãáíôéáßåò óõãêñïýóåéò Üóôñùí ùò ôéò êñïýóåéò ìåôáîý õðïáôïìéêþí óùìáôéäßùí. ¸ôóé, óôç Ìç÷áíéêÞ (ìáêñïóêïðéêÜ), ìå ôïí üñï êñïýóç åííïïýìå ôçí åðáöÞ (ðñïóÝããéóç) äýï óùìÜôùí, ðïõ äéáñêåß åëÜ÷éóôï ÷ñüíï êáé óõíïäåýåôáé ìå ôçí åìöÜíéóç ùóôéêþí (êñïõóôéêþí) äõíÜìåùí, ðïõ áóêïýíôáé áðü ôï Ýíá óþìá óôï Üëëï. Oé äõíÜìåéò áõôÝò åßíáé óõãêñéôéêÜ ðïëý ìåãáëýôåñåò áðü Üëëåò åîùôåñéêÝò äõíÜìåéò, üðùò âáñõôéêÝò Þ çëåêôñïìáãíçôéêÝò, ïé ïðïßåò ìðïñåß íá áóêïýíôáé óõã÷ñüíùò óôá óþìáôá, êáôÜ ôç êñïýóç ôïõò. Oé êñïõóôéêÝò äõíÜìåéò ðáñüëï ðïõ áóêïýíôáé ãéá ðïëý ìéêñü ÷ñïíéêü äéÜóôçìá, åðåéäÞ åßíáé ðïëý ìåãÜëåò, äßíïõí óôá óþìáôá, óôá ïðïßá áóêïýíôáé ðåðåñáóìÝíåò ìåôáâïëÝò ïñìÞò. ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 171 Ó×ÇÌÁ 4.86 Ôá óôéãìéüôõðá ôçò åîÝëéîçò ìéáò êñïýóçò áíÜëïãá ìå ôçí ðáñáìÝíïõóá Þ ìç ðáñáìüñöùóç ìåôÜ ôçí êñïýóç.
- 188. Óôçí áôïìéêÞ êáéðõñçíéêÞ öõóéêÞ (ìéêñüêïóìï), ðñÝðåé íá ãåíéêåýóïõìå ôçí Ýííïéá ôçò “êñïýóçò” áöïý ç “åðáöÞ” óôï ìéêñüêïóìï äåí Ý÷åé íüçìá, ð.÷. üôáí Ýíá ðñùôüíéï êéíåßôáé ðñïò Ýíá Üëëï ðñùôüíéï (÷ùñßò íá ðëçóéÜóïõí ðÜñá ðïëý êïíôÜ, þóôå íá áóêçèïýí êáé Üëëåò äõíÜìåéò üðùò áõôÝò ôùí éó÷õñþí áëëçëåðéäñÜóåùí, ðïõ åßíáé ðïëý ìéêñüôåñçò åìâÝëåéáò), ïé ùóôéêÝò äõíÜìåéò åßíáé ïé çëåêôñïóôáôéêÝò äõíÜìåéò áëëçëåðßäñáóçò, ðïõ ïöåßëïíôáé óôá èåôéêÜ ôïõò öïñôßá. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ôá ðñùôüíéá ÷ùñßò íá Ýëèïõí óôçí ðñáãìáôéêüôçôá óå åðáöÞ, áíáðôýóïõí ðïëý ìåãÜëåò áðùóôéêÝò äõíÜìåéò óå ðïëý ìéêñü ÷ñüíï, (âëÝðå Ó÷. 4.87), üðùò ãßíåôáé êáé êáôÜ ôçí êñïýóç äýï õëéêþí óùìÜôùí ôïõ ìáêñüêïóìïõ. Ãé’ áõôü åîáêïëïõèïýìå íá ìéëÜìå ãéá êñïýóç, ðïõ óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ïäçãåß óå óêÝäáóç. Ç äéáäéêáóßá ìïéÜæåé ìå áõôÞ ðïõ ðåñéãñÜöåôáé óôï ó÷Þìá 4.88 ìå ìáãíÞôåò êáé êáñüôóéá. 172 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.88 Ç êñïýóç (÷ùñßò åðáöÞ) ïöåßëåôáé óôéò áíáðôõóóüìåíåò ìáãíçôéêÝò äõíÜìåéò. Ó×ÇÌÁ 4.87 Êñïýóç (óêÝäáóç) äýï öïñôéóìÝíùí óùìáôéäßùí (äýï ðñùôïíßùí).
- 189. ÅËÁÓÔÉÊÇ ÊÁÉ ÌÇÅËÁÓÔÉÊÇ ÊÑÏÕÓÇ ÄÕÏ ÓÙÌÁÔÙÍ Óå êÜèå êñïýóç ïé êñïõóôéêÝò äõíÜìåéò ( 12 , 21) õðáêïýïõí óôïí ôñßôï íüìï ôïõ Íåýôùíá êáé Ýôóé Ý÷ïõìå 12 = − 21 ¢ñá êáé ïé ùèÞóåéò ôùí äõíÜìåùí áõôþí èá åßíáé áíôßèåôåò 12 = Ó 12 Äti = −Ó 21 Äti = − 21 (âëÝðå ó÷Þìá 4.89). ÅðïìÝíùò 12 + 21 = 0 ¼ìùò 12 = ´1 − 1 êáé 21 = ´2 − 2 Üñá ôåëéêÜ 1 + 2 = ´1 + ´2 Áðü ôá ðáñáðÜíù, ëïéðüí, êáôáëÞãïõìå óôá åîÞò: Óå êÜèå êñïýóç, üðùò ôçí Ý÷ïõìå ïñßóåé, üðïõ ç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá åîÝëéîÞò ôçò, Ät, åßíáé áìåëçôÝá óå ó÷Ýóç ìå ôçí äéÜñêåéá ðáñáôÞñçóçò ôïõ óõóôÞìáôïò, ìðïñïýìå íá áìåëÞóïõìå ôéò üðïéåò, ðåðåñáóìÝíåò äõíÜìåéò (âáñýôçôáò, çëåêôñïìáãíçôéêÝò ê.ëð.) ðïõ ðéèáíüí áóêïýíôáé ðÜíù óôï óýóôçìá. Ðñïöáíþò áí ïé êñïõóôéêÝò äõíÜìåéò åßíáé åóùôåñéêÝò äõíÜìåéò ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí õëéêþí óùìÜôùí ðïõ ìåëåôïýìå, ôüôå äå ìåôáâÜëëïõí ôçí ïëéêÞ ïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò, õðïëïãéæüìåíç äýï ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò, ìéá ëßãï ðñéí êáé ôçí Üëëç ëßãï ìåôÜ ôçí êñïýóç. p → p → p → p → p → p → I → p → p → I → I → I → I → F → F → I → F → F → F → F → ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 173 Ó×ÇÌÁ 4.89 Ïé ìÝóåò ôéìÝò ôùí ùóôéêþí äõíÜìåùí 12 êáé 21 ðïõ áíáðôýóóïíôáé êáôÜ ôéò êñïýóåéò åßíáé ðïëý ìåãáëýôåñåò áðü’ ïðïéåóäÞðïôå åîùôåñéêÝò äõíÜìåéò ðïõ ìðïñïýí íá áóêïýíôáé ðÜíù óôï óýóôçìá. F → F →
- 190. Åðßóçò, óýìöùíá ìåôá áíùôÝñù ïé ïðïéåóäÞðïôå ðåðåñáóìÝíåò äõíÜìåéò äå ìåôáâÜëëïõí ôçí ïñìÞ ìåôáîý ôùí áíùôÝñù ÷ñïíéêþí óôéãìþí. Óå áíôßèåóç ìå ôçí ïëéêÞ ïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò ç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôùí óõãêñïõïìÝíùí óùìÜôùí, ëßãï ðñéí êáé áìÝóùò ìåôÜ ôçí êñïýóç, äåí äéáôçñåßôáé ðÜíôá. Áõôü áêñéâþò áðïôåëåß êáé ôï êñéôÞñéï ìå ôï ïðïßï ôáîéíïìïýìå ôéò êñïýóåéò. ¼ðùò öáßíåôáé ðáñáêÜôù: á) Áí ç K1 + K2 = Ê ´1 + Ê ´2 äçëáäÞ áí ç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò, ëßãï ðñéí ôçí êñïýóç, åßíáé ßóç ìå ôçí ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò áìÝóùò ìåôÜ ôçí êñïýóç, ôüôå ç êñïýóç åßíáé åëáóôéêÞ Þ ôåëåßùò åëáóôéêÞ. Ðáñáäåßãìáôá ôåëåßùò åëáóôéêþí êñïýóåùí åìöáíßæïíôáé óå êñïýóåéò ìåôáîý áôïìéêþí ðõñÞíùí êáé óôïé÷åéùäþí óùìáôéäßùí. Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, ìüíï åêåß ìðïñïýìå íá Ý÷ïõìå áëçèéíÜ åëáóôéêÝò êñïýóåéò. Åðßóçò éêáíïðïéçôéêÜ åëáóôéêÝò ìðïñïýí íá èåùñïýíôáé ïé êñïýóåéò ìåôáîý óöáéñþí áðü åëåöáíôüäïíôï (ìðéëéÜñäï) Þ áðü ãõáëß Þ áðü áôóÜëé, áëëÜ êáé áðü Üëëá õëéêÜ (áíÜëïãá ìå ôï ðüóï êáëÜ èÝëïõìå íá ðñïóåããßóïõìå ôçí åëáóôéêÞ êñïýóç). Èåùñïýìå, áðëïõóôåõôéêÜ, ôéò êñïýóåéò ôùí ìïñßùí åíüò áåñßïõ ìå ôá ôïé÷þìáôá ôïõ äï÷åßïõ ðïõ ôï ðåñéÝ÷åé, êáèþò êáé ôéò ìåôáîý ôïõò êñïýóåéò, åëáóôéêÝò. Ïé ìáêñïóêïðéêÝò êñïýóåéò åßíáé ìüíï êáôÜ ðñïóÝããéóç åëáóôéêÝò, áöïý ðÜíôïôå ðáñáìÝíåé ìéá ìéêñÞ ðáñáìüñöùóç ôùí óùìÜôùí êáé áýîçóç ôçò èåñìïêñáóßáò ôïõò. ¸÷ïìå äçëáäÞ áýîçóç ôçò èåñìïäõíáìéêÞò ôïõò åíÝñãåéáò ðïõ äåí ðåñéãñÜöåôáé ìÝóá óôá ðëáßóéá ôçò ìç÷áíéêÞò ðïõ åîåôÜæïõìå åäþ, ìå áðïôÝëåóìá ðÜíôïôå íá õðÜñ÷åé áðþëåéá êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò. â) Áí K1 + K2 > K´1 + Ê´2 (Þ K1 + K2 < K´1 + Ê ´2 ðïõ ìðïñåß íá óõìâáßíåé óôçí öõóéêÞ óùìáôéäßùí áí ãßíåé ìåôáôñïðÞ Üëëçò ìïñöÞò åíÝñãåéáò óå êéíçôéêÞ) ôüôå ç êñïýóç åßíáé áíåëáóôéêÞ Þ çìéåëáóôéêÞ. Ãåíéêþò óå ôÝôïéåò êñïýóåéò, Ý÷ïõìå ìåôáôñïðÞ ìåôáîý ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò êáé Üëëùí ìïñöþí åíÝñãåéáò. ÅéäéêÞ ðåñßðôùóç ôùí áíåëáóôéêþí êñïýóåùí åßíáé ç ðåñßðôùóç, ðïõ ôá óþìáôá ìåôÜ ôçí êñïýóç ðáñáìÝíïõí åíùìÝíá ó’ Ýíá óõóóùìÜôùìá êáé êéíïýíôáé ìå êïéíÞ ôá÷ýôçôá. Ç êñïýóç áõôÞ ëÝãåôáé ôåëåßùò áíåëáóôéêÞ Þ ðëáóôéêÞ êñïýóç. Ãéá ðáñÜäåéãìá ç êñïýóç ìåôáîý âëÞìáôïò êáé óôü÷ïõ åßíáé ôåëåßùò áíåëáóôéêÞ, üôáí ôï âëÞìá ðáñáìÝíåé óöçíùìÝíï ìÝóá óôïí óôü÷ï. Åðßóçò, áí óõãêñïõóôïýí äýï êïììÜôéá óôüêïõ èá êïëÞóïõí ôï Ýíá ìå ôï Üëëï êáé èá êéíçèïýí ìå ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá. ¼ôáí Ýíáò ìåôåùñßôçò ðÝóåé ðÜíù óôç Ãç éó÷ùñåß ìÝóá óôï Ýäáöïò ìå áðïôÝëåóìá êáé åäþ ç êñïýóç íá åßíáé ôÝëåéá ìç åëáóôéêÞ. Áðü ôá ðáñáðÜíù ãßíåôáé óáöÝò üôé ïé ôåëåßùò åëáóôéêÝò êáé ïé ôåëåßùò áíåëáóôéêÝò êñïýóåéò åßíáé áêñáßåò ðåñéðôþóåéò. Ïé ðåñéóóüôåñåò ðåñéðôþóåéò êñïýóåùí åíôÜóóïíôáé êÜðïõ áíÜìåóÜ ôïõò. Ïé êñïýóåéò ìåôáîý óùìÜôùí, ðïõ Ý÷ïõí ìç ìçäåíéêÝò äéáóôÜóåéò, ÷áñáêôçñßæïíôáé áðü ôïí ôñüðï ðïõ óõãêñïýïíôáé, óýìöùíá ìå ôá ðáñáêÜôù. ÕðÜñ÷åé ìéá êïéíÞ åðßðåäç åðéöÜíåéá óôçí ðåñéï÷Þ (óçìåßï) åðáöÞò ôùí óùìÜôùí, âëÝðå ó÷Þìá 4.90. Ç êÜèåôç åõèåßá óôçí åðéöÜíåéá åðáöÞò, óôï óçìåßï åðáöÞò, ëÝãåôáé åõèåßá Þ ãñáììÞ êñïýóçò. Áí ôá êÝíôñá ìÜæáò ôùí äýï óùìÜôùí êáôÜ ôçí äéÜñêåéá ôùí öáéíïìÝíùí ôçò êñïýóçò âñßóêïíôáé ðÜíù óôçí åõèåßá êñïýóçò, ôüôå ç êñïýóç ëÝãåôáé êåíôñéêÞ, åíþ áí Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí âñßóêåôáé åêôüò áõôÞò, ëÝãåôáé Ýêêåíôñç. Áí êáé ïé äýï ôá÷ýôçôåò ôùí êÝíôñùí ìÜæáò ôùí äýï óùìÜôùí åßíáé óõããñáììéêÝò ìå ôçí ãñáììÞ êñïýóçò, ôüôå ç êñïýóç ëÝãåôáé åõèåßá Þ ìåôùðéêÞ, áí ü÷é ëÝãåôáé ëïîÞ Þ ðëÜãéá. Áêüìç, ìéá êñïýóç ÷áñáêôçñßæåôáé ùò ëåßá, áí ïé êñïõóôéêÝò äõíÜìåéò óôï óçìåßï åðáöÞò Ý÷ïõí ôç äéåýèõíóç ôçò åõèåßáò êñïýóçò, åíþ 174 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.90 Êñïýóç äýï óùìÜôùí ôõ÷áßïõ ó÷Þìáôïò.
- 191. ëÝãåôáé ôñá÷åßá áíáõôü äå óõìâáßíåé. ÐñïöáíÝò åßíáé üôé áí óõãêñïýïíôáé ïìïãåíÞ óöáéñéêÜ óþìáôá, ðÜíôïôå ïé êñïýóåéò ôïõò åßíáé êåíôñéêÝò. Ïé êñïýóåéò üìùò ìåôáîý ôÝôïéùí óöáéñþí ìðïñåß íá åßíáé ðëÜãéåò (ëïîÝò) Þ ìåôùðéêÝò. Äåí áó÷ïëïýìáóôå åäþ ìå ôéò ëåðôïìÝñåéåò ôçò åðßäñáóçò ôùí öáéíïìÝíùí ôçò ôñá÷åßáò êáé ôçò ëåßáò êñïýóçò. ÓõíÞèùò ôá óþìáôá åßíáé ïìïãåíåßò óöáßñåò êáé äåí ëáìâÜíåôáé õðüøç ç ðåñéóôñïöéêÞ ôïõò êßíçóç. ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ ÊÑÏÕÓÅÙÍ ÓÔÇ ÌÉÁ ÄÉÁÓÔÁÓÇ Á. ÅËÁÓÔÉÊÇ ÌÅÔÙÐÉÊÇ ÊÑÏÕÓÇ ¸óôù äýï ìéêñÝò åëáóôéêÝò ïìïãåíåßò óöáßñåò ìå ìÜæåò m1 êáé m2 êáé ìå ßäéåò áêôßíåò, ðïõ êéíïýíôáé ÷ùñßò íá ðåñéóôñÝöïíôáé óå ëåßï ïñéæüíôéï äÜðåäï, ìå ôá÷ýôçôåò → õ1 êáé → õ2. Óõãêñïýïíôáé ìåôùðéêÜ (êáé êåíôñéêÜ) êáé áêïëïýèùò óõíå÷ßæïõí íá êéíïýíôáé ðÜíù óôçí ßäéá äéåýèõíóç (÷ùñßò íá ðåñéóôñÝöïíôáé) ìå ôá÷ýôçôåò → õ1´ êáé → õ2´ áíôßóôïé÷á (Ó÷. 4.91). ¼ðùò åßíáé ãíùóôü éó÷ýåé ç áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò, ç ïðïßá ãéá ôï óýóôçìá ôùí äýï óöáéñþí ãñÜöåôáé m1 õ1 + m2 õ2 = m1 õ´1 + m2 õ´2 (4.58) ÅðåéäÞ ç êñïýóç åßíáé ôåëåßùò åëáóôéêÞ äéáôçñåßôáé êáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò äçëáäÞ (4.59) Ïé ó÷Ýóåéò (4.58) êáé (4.59) ãñÜöïíôáé áíôßóôïé÷á m1 (õ1 − õ´1) = m2 (õ2 − õ´2 ) (4.60) êáé m1 (õ1 2 − õ´1 2 ) = m2 (õ2 2 − õ´2 2 ) (4.61) Áí õðïèÝóïõìå üôé õ1 ≠ õ´1 êáé õ2 ≠ õ´2 êáé äéáéñÝóïõìå êáôÜ ìÝëç ôéò ó÷Ýóåéò (4.60) êáé (4.61) ðáßñíïõìå õ1 + õ´1 = õ´2 + õ2 Þ (4.62) õ1 − õ2 = −(õ´1 − õ´2) (4.63) Ç ó÷Ýóç (4.62) óõíäéáæüìåíç ìå ôçí (4.58) äßíåé (4.64) êáé (4.65) ÐáñáôÞñçóç: Áðü ôç ó÷Ýóç (4.63) öáßíåôáé üôé ïé äéáöïñÝò ôùí ôá÷õôÞôùí ôïõò (äçëáäÞ ïé ó÷åôéêÝò ôïõò ôá÷ýôçôåò, ëáìâáíüìåíåò ùò ðñïò ôçí ßäéá ðÜíôá óöáßñá) ðñéí êáé ìåôÜ ôçí êñïýóç, åßíáé áíôßèåôåò, ãåãïíüò ðïõ óçìáßíåé üôé ïé óöáßñåò, ìåôÜ ôçí êñïýóç, èá áðïìáêñýíïíôáé ìå ôçí ßäéá êáôÜ ìÝôñï ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá ðëçóßáæáí ðñéí ôçí êñïýóç. ÓõíôåëåóôÞò êñïýóçò Þ óõíôåëåóôÞò áðïêáôÜóôáóçò (e) ôùí õëéêþí ôùí äõï óöáéñþí, ïíïìÜæåôáé ôï áñíçôéêü ðçëßêï ôçò ó÷åôéêÞò ôá÷ýôçôÜò ôïõò ìåôá ôçí êñïýóç, äéá ôçò ó÷åôéêÞò ôá÷ýôçôÜò ôïõò ðñéí ôçí êñïýóç, äçëáäÞ ′ = + + − + õ m m m õ m m m m õ2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 ′ = − + + + õ m m m m õ m m m õ1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 m õ m õ m õ m õ+ = ′ + ′ ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 175 Ó×ÇÌÁ 4.91 ÅëáóôéêÞ ìåôùðéêÞ êñïýóç äýï ìéêñþí ïìïãåíþí åëáóôéêþí óöáéñþí óå ëåßï äÜðåäï (÷ùñßò ôñéâÝò).
- 192. (4.66) ¼ðïõ õ1 ,õ2, õ´1 êáé õ´2 ïé áëãåâñéêÝò ðñïâïëÝò ôùí ôá÷õôÞôùí óôç ãñáììÞ êñïýóçò. Ãéá ôçí ðåñßðôùóç ôçò ôÝëåéáò åëáóôéêÞò êñïýóçò ðïõ ìåëåôÞóáìå, Ý÷ïõìå Áõôü óçìáßíåé üôé ç áðïêáôÜóôáóç ôùí óùìÜôùí ìåôÜ ôçí ôÝëåéá åëáóôéêÞ êñïýóç åßíáé 100 %. ÐáñáôÞñçóç: Ï óõíôåëåóôÞò êñïýóçò, e, åßíáé êáèáñüò áñéèìüò, åîáñôÜôáé áðü ôçí öýóç ôùí õëéêþí ôùí äýï óùìÜôùí êáé ðáßñíåé ôéìÝò 0 ≤ e ≤ 1. ÓõãêåêñéìÝíá: óôéò ôåëåßùò åëáóôéêÝò êñïýóåéò. óôéò áíåëáóôéêÝò êñïýóåéò. óôéò ôåëåßùò áíåëáóôéêÝò êñïýóåéò. ÅöáñìïãÝò Áò ìåëåôÞóïõìå ôþñá ôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò ôåëåßùò åëáóôéêþí êñïýóåùí ðïõ ðáñïõóéÜæïõí ðñáêôéêü åíäéáöÝñïí. á) Ôá óõãêñïõüìåíá óþìáôá Ý÷ïõí ßóåò ìÜæåò m1 = m2 = m. Áíôéêáèéóôþíôáò óôéò (4.64) êáé (4.65) Ý÷ïõìå êáé ãåãï- íüò ðïõ óçìáßíåé üôé óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ôá óþìáôá áíôáëëÜóóïõí ôéò ôá÷ýôçôÝò ôïõò. â) Ôï óþìá ìÜæáò m2 åßíáé áñ÷éêÜ áêßíçôï: õ2 = 0 Áíôéêáèéóôþíôáò ôï õ2 = 0 óôéò (4.64) êáé (4.65) ðáßñíïõìå êáé (4.67) (4.68) â1) Áí óôçí ðåñßðôùóç (â) õðïèÝóïõìå üôé êáé m1 = m2 = m Ý÷ïõìå êáé ãåãïíüò ðïõ óçìáßíåé üôé ôï óþìá ìÜæáò m1 èá óôáìáôÞóåé ìåôáöÝñïíôáò üëç ôçí êéíçôéêÞ ôïõ åíÝñãåéá óôï óþìá ðïõ áñ÷éêÜ çñåìïýóå. ÅÐÉÂÑÁÄÕÍÓÇ ÍÅÔÑÏÍÉÏÕ Ç ôåëåõôáßá ðåñßðôùóç (â1) âñßóêåé åöáñìïãÞ óôçí åðéâñÜäõíóç ôùí íåôñïíßùí, ðïõ ðáñÜãïíôáé áðü ôç äéÜóðáóç ôïõ ïõñáíßïõ óôïõò ðõñçíéêïýò áíôéäñáóôÞñåò. Ôá ðáñáãüìåíá íåôñüíéá êéíïýíôáé ìå õøçëÝò ôá÷ýôçôåò (ãýñù óôá 107 m/s) êáé ðñÝðåé íá åðéâñáäõíèïýí óå ôá÷ýôçôåò ãýñù óôá 103 m/s. Áõôü åðéâÜëëåôáé ãéáôß ôá âñáäÝá íåôñüíéá áö’ åíüò Ý÷ïõí ìåãÜëç ðéèáíüôçôá íá ðñïêáëÝóïõí íÝåò äéáóðÜóåéò ôïõ Ïõñáíßïõ 235 êáé áö’ åôÝñïõ äåí áðïññïöïýíôáé áðü ôïõò ðõñÞíåò ôïõ éóïôüðïõ ôïõ ïõñáíßïõ 238 U, ðïõ óõíõðÜñ÷ïõí êáô’ áíÜãêç ìå ôï 235 U ôï ïðïßï ÷ñçóéìïðïéåßôáé ùò ðñþôç ýëç óôïõò ðõñçíéêïýò áíôéäñáóôÞñåò. õ´2 = õ1 õ´1 = 0 ′ = + õ m m m õ2 1 1 2 1 2 ′ = − + õ m m m m õ1 1 2 1 2 1 õ´2 = õ1õ´1 = õ2 e = 0 0 < e < 1 e = 1 e = − ′ − ′ − = õ õ õ õ 1 2 1 2 1 e õ = − ′ = − ′ − ′ − óx óxõ õ õ õ õ 1 2 1 2 176 MHXANIKH
- 193. Ãéá ôï óêïðüáõôü ôï ïõñÜíéï ðåñéâÜëëåôáé áðü õëéêü ìå êáôÜëëçëïõò ðõñÞíåò (åðéâñáäõíôÞò), ïé ïðïßïé õðïâéâÜæïõí ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôùí ðáñáãüìåíùí íåôñïíßùí ìÝ÷ñé ôéò åðéèõìçôÝò ôéìÝò. Ôá ðáñáãüìåíá íåôñüíéá óõãêñïýïíôáé åëáóôéêÜ ìå ôïõò ðõñÞíåò ôïõ åðéâñáäõíôÞ êáé Ýôóé ÷Üíïõí Ýíá ìåãÜëï ìÝñïò ôçò êéíçôéêÞò ôïõò åíÝñãåéáò, ôçí ïðïßá ìåôáöÝñïõí óôïõò ðõñÞíåò ôïõ åðéâñáäõíôÞ, åéäéêüôåñá üôáí ç ìÜæá ôùí ðõñÞíùí ôïõ åðéâñáäõíôÞ åßíáé ðåñßðïõ ßóç ìå ôç ìÜæá ôùí íåôñïíßùí (ð÷. Üôïìá õäñïãüíïõ ðïõ áíÞêïõí óôï ìüñéï ôïõ íåñïý). â2 ) Áí ôï áêßíçôï óþìá Ý÷åé ðïëý ìåãÜëç ìÜæá, äçëáäÞ m2 >> m1 ôüôå áðü ôéò (4.67) êáé (4.68) Ý÷ïõìå: êáé ãåãïíüò ðïõ óçìáßíåé üôé ôï ìéêñÞò ìÜæáò óþìá ìåôÜ ôçí êñïýóç êéíåßôáé ðåñßðïõ ìå áíôßèåôç ôá÷ýôçôá, åíþ ôï ìåãÜëçò ìÜæáò ðáñáìÝíåé ó÷åäüí áêßíçôï. â2 ) Áí ôï áêßíçôï óþìá Ý÷åé ðïëý ìéêñÞ ìÜæá, äçëáäÞ m2 << m1 ôüôå áðü ôéò (4.67) êáé (4.68) Ý÷ïõìå: êáé ãåãïíüò ðïõ óçìáßíåé üôé ç ôá÷ýôçôá ôïõ ìåãÜëçò ìÜæáò óþìáôïò ðáñáìÝíåé ðåñßðïõ óôáèåñÞ, åíþ ôï ìéêñÞò ìÜæáò óþìá åêôéíÜóåôáé ìå ôá÷ýôçôá ðåñßðïõ äéðëÜóéá áðü ôçí ôá÷ýôçôá ðïõ åß÷å, áñ÷éêÜ, ôï ìåãÜëçò ìÜæáò óþìá. Áõôü ðáñáôçñåßôáé üôáí, ð.÷., ï ðáßêôçò ôïõ ôÝíéò ÷ôõðÜ ôï áêßíçôï ìðáëÜêé ìå ôçí ñáêÝôá. Ôï ìðáëÜêé áðïêôÜ ôá÷ýôçôá äéðëÜóéá ôçò ñáêÝôáò. ÐáñÜäåéãìá 4-20 Óöáßñá ìÜæáò m1 óõãêñïýåôáé åëáóôéêÜ êáé ìåôùðéêÜ ìå áñ÷éêÜ áêßíçôç óöáßñá ìÜæáò m2. Íá õðïëïãéóôåß ôï êëÜóìá ôçò åíÝñãåéáò ðïõ ìåôáöÝñåôáé áðü ôç ìÜæá m1 óôç ìÜæá m2. Ôß ôéìÝò ðáßñíåé ôï ðïóïóôü áõôü áí: 1) m1 = m2, 2) m1 >> m2 êáé 3) m1 << m2. Té ðáñáôçñåßôå; ÁðÜíôçóç Ôï æçôïýìåíï êëÜóìá ôçò åíÝñãåéáò äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç ¼ìùò óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç Ïðüôå ðñïöáíþò Þ (1) 1) Áí m1 = m2 âñßóêïõìå 2) Áí m1 >> m2 ôüôå . Äéáéñþíôáò áñéèìçôÞ êáé ðáñáíïìáóôÞ ôçò (1) äéá m1 2 Ý÷ïõìå ê ≈ 0Þê ≈ + 0 1 0 2 b g, ïðüôåê m m m m = + F HG I KJ 4 1 2 1 2 1 2 m m 2 1 0≈ ê = 1 ê m m m m = + 4 1 2 1 2 2 b g ê m m m m = − − + F HG I KJ1 1 2 1 2 2 ′ = − + õ m m m m õ1 1 2 1 2 1 ê Ê Ê Ê Ê Ê = − ′ = − ′ = − ′ = − ′1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 m õ m õ õ õ õ´2 ≈ 2õ1õ´1 ≈ õ1 õ´2 ≈ 0õ´1 ≈ −õ1 ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 177 Ó×ÇÌÁ 4.92
- 194. 3) Áí m1<< m2 ôüôå . Äéáéñþíôáò áñéèìçôÞ êáé ðáñáíïìáóôÞ ôçò (1) ìå m2 2 Ý÷ïõìå , ïðüôå äçëáäÞ ðÜëé . ÐáñáôçñÞóåéò: Áðü ôá ðáñáðÜíù ðáñáôçñïýìå üôé ôï êëÜóìá ðáßñíåé ôç ìåãáëýôåñç ôéìÞ ôïõ (ê = 1) óôçí ðåñßðôùóç üðïõ m1 = m2. ÐñÜãìáôé óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ Ý÷ïõìå áíôáëëáãÞ ôá÷õôÞôùí êáé Ýôóé ïëüêëçñç ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôçò ìÜæáò m1 ìåôáâéâÜæåôáé óôçí ìÜæá m2 (ðïõ Þôáí áñ÷éêÜ áêßíçôç). Ôç ìéêñüôåñç ôéìÞ ôïõ (ê ≈ 0) ôçí ðáßñíåé óôéò ðåñéðôþóåéò üðïõ ç áêßíçôç ìÜæá åßíáé ðïëý ìåãáëýôåñç Þ ðïëý ìéêñüôåñç áðü áõôÞí ðïõ êéíåßôáé. ÐñÜãìáôé óôçí ìéá ðåñßðôùóç (m1>>m2) ç õ´1 ≈ õ1 êáé óôç äåýôåñç ðåñßðôùóç (m1<<m2) Þ õ´1 ≈ − õ1 ìå áðïôÝëåóìá ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôçò m1 íá ðáñáìÝíåé ðåñßðïõ ç ßäéá ðñéí êáé ìåôÜ ôçí êñïýóç. ÐáñÜäåéãìá 4-21 ÌéêñÞ óöáßñá ìå ìÜæá m âñßóêåôáé ëßãï ðéï ðÜíù áðü ìéá óöáßñá ìå ìÜæá M ðïëý ìåãáëýôåñç áðü ôçí ìÜæá m. Ïé óöáßñåò áöÞíïíôáé íá ðÝóïõí óôï êåíü áðü ýøïò h, ðÜíù ó’ Ýíá ïñéæüíôéï áêëüíçôï åðßðåäï ìå ôï ïðïßï óõãêñïýåôáé ç ìåãÜëç óöáßñá. Íá äåé÷èåß üôé ç óöáßñá m áíáðçäþíôáò èá öôÜóåé óå ýøïò H = 9h. ¼ëåò ïé êñïýóåéò åßíáé åëáóôéêÝò êáé ïé äéáóôÜóåéò ôùí óöáéñþí íá ìçí ëçöèïýí õðüøç. Ìðïñåßôå íá ðåéñáìáôéóôåßôáé ìå ìðÜëá ðïäïóöáßñïõ êáé ìéêñü ìðáëÜêé, üðùò áõôü ôïõ ôÝíéò. ÁðÜíôçóç Ïé óöáßñåò öôÜíïõí óôï Ýäáöïò óõã÷ñüíùò êáé ìå ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá õ ðïõ õðïëïãßæåôáé áðü ôçí ó÷Ýóç Þ . Óôç óõíÝ÷åéá ëáìâÜíïõí ÷þñá ïé åîÞò äéáäï÷éêÝò êñïýóåéò: Ðñþôç êñïýóç ôçò M ìå ôï áêëüíçôï åðßðåäï, ïðüôå ç ôá÷ýôçôÜ ôçò áíôéóôñÝöåôáé. õ gh= 2mgh mõ= 1 2 2 ê ≈ 0ê ≈ + 0 1 0 2 b g ê m m m m = + F HG I KJ 4 1 1 2 1 2 2 m m 1 2 0≈ 178 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.93
- 195. Äåýôåñç êñïýóç ôçòM, ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ ðñïò ôá ðÜíù ìå ôçí m ðïõ Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ ðñïò ôá êÜôù. Áðü ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò êáé ôçò åíÝñãåéáò Ý÷ïõìå: ÐñïâïëÝò ïñìþí óôïí Üîïíá y Þ Þ Ëýíïíôáò ôï óýóôçìá ðáßñíïõìå êáé ÈÝôïíôáò ðáßñíïõìå áðü ôéò ðñïçãïýìåíåò ó÷Ýóåéò áíôßóôïé÷á õ´1 = 3õ êáé õ´2 = õ Åöáñìüæïíôáò ôï èåþñçìá äéáôÞñçóçò ôçò ìç÷áíéêÞò åíÝñãåéáò ãéá ôç ìÜæá m Ý÷ïõìå êáé ôåëéêÜ . ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ ÄÉÁÔÇÑÇÓÇ ÔÇÓ ÅÍÅÑÃÅÉÁÓ ¼ðùò åßðáìå ïé êñïýóåéò óôï ìáêñüêïóìï óõíÞèùò äåí åßíáé ôåëåßùò åëáóôéêÝò, ãåãïíüò ðïõ óçìáßíåé üôé êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò êñïýóçò ìÝñïò ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôùí óõãêñïõïìÝíùí óùìÜôùí ìåôáôñÝðåôáé óå èåñìïäõíáìéêÞ (áëëïéþò åóùôåñéêÞ) åíÝñãåéá. ¸ôóé áí ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åíüò áðïìïíùìÝíïõ (äõíáìéêÜ) óõóôÞìáôïò óùìÜôùí ìåéùèåß, ç åóùôåñéêÞ åíÝñãåéÜ ôïõò ðñÝðåé íá áõîçèåß êáôÜ ôï ßäéï ðïóü, þóôå ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò íá ðáñáìåßíåé óôáèåñü. Ïé óõãêñïýóåéò, óôï ìéêñüêïóìï, áíÜìåóá óôá óôïé÷åéþäç óùìáôßäéá, üðùò çëåêôñüíéá, ðñùôüíéá, íåôñüíéá ê.Ü. åßíáé ìåñéêÝò öïñÝò åëáóôéêÝò (åëáóôéêÞ óêÝäáóç). Ç óýãêñïõóç áíÜìåóá ó’ áõôÜ ôá óùìáôßäéá èá åßíáé ìç åëáóôéêÞ, áí óõíåðÜãåôáé ôç äçìéïõñãßá íÝùí óùìáôéäßùí, ðïõ äåí õðÞñ÷áí ùò óõóôáôéêÜ ôùí áñ÷éêþí, äéÝãåñóç ôùí óõãêñïõïìÝíùí óùìáôéäßùí, äéÜóðáóç ôùí áñ÷éêþí Þ äçìéïõñãßá Üëëùí óùìáôéäßùí áðü áíáäéÜôáîç ôùí äïìéêþí Ç = 9h 1 2 3 2 m õ m g Hb g = m M ≈ 0 ′ = − + = − + õ Ì m M m õ m M m M õ2 3 1 3 1 ′ = − + = − + õ Ì m M m õ m M m M õ1 3 3 1 − ′ + = ′ − ′ − = ′ + m õ õ Ì õ õ õ õ õ õ 1 2 1 2 b g b g − ′ + = ′ − − ′ = ′ − m õ õ Ì õ õ m õ õ Ì õ õ 1 2 2 1 2 2 2 2 b g b g e j e j − + = ′ + ′ + = ′ + ′ U V| W| mõ Ì õ mõ Ì õ mõ Ì õ mõ Ì õ 1 2 2 2 1 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 179
- 196. óõóôáôéêþí ôùí áñ÷éêþí.¼ôáí ôï Üèñïéóìá ôùí ìáæþí ôùí ðáñáãïìÝíùí óùìáôéäßùí åßíáé ìåãáëýôåñï áðü ôï Üèñïéóìá ôùí ìáæþí ôùí áñ÷éêþí óùìáôéäßùí, ôüôå ìÝñïò ôçò áñ÷éêÞò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò äáðáíÞèçêå ãéá ôç äçìéïõñãßá éóïäýíáìçò ìÜæáò. Óôçí áíôßóôñïöç ðåñßðôùóç Ý÷ïõìå ìåôáôñïðÞ ìÜæáò óå åíÝñãåéá. Â. ÁÍÅËÁÓÔÉÊÇ (Þ ÌÇ ÅËÁÓÔÉÊÇ) ÊÑÏÕÓÇ ¸óôù äýï ìéêñÝò óöáßñåò ìå ìÜæåò m1 êáé m2 ðïõ êéíïýíôáé ÷ùñßò íá ðåñéóôñÝöïíôáé óå ïñéæüíôéï äÜðåäï ÷ùñßò ôñéâÝò ìå ôá÷ýôçôåò õ1 êáé õ2 óõãêñïýïíôáé ìåôùðéêÜ êáé óôç óõíÝ÷åéá êéíïýíôáé ðÜíù óôçí ßäéá äéåýèõíóç ìå ôá÷ýôçôåò õ´1 êáé õ´2 áíôßóôïé÷á (âëÝðå ó÷Þìá 4.94). Åöüóïí ç ïñìÞ äéáôçñåßôáé, éó÷ýåé m1õ1 + m2õ2 = m1õ´1 + m2õ´2 Ãéá ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò éó÷ýåé Áðü ôç ó÷Ýóç áõôÞ öáßíåôáé ç ìç äéáôÞñçóç (ãåíéêþò) ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ óõóôÞìáôïò êáé ÄÅ åßíáé ç áðþëåéá êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ óõóôÞìáôïò. Ã. ÔÅËÅÉÙÓ ÁÍÅËÁÓÔÉÊÇ (Þ ÐËÁÓÔÉÊÇ) ÊÑÏÕÓÇ Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ôá äýï óþìáôá ìåôÜ ôçí ôåëåßùò áíåëáóôéêÞ ôïõò êñïýóç åíþíïíôáé ó’ Ýíá óþìá ìÜæáò m1 + m2 ðïõ êéíåßôáé óôçí ßäéá äéåýèõíóç ìå ôá÷ýôçôá → õ (âëÝðå Ó÷. 4.95). Ç áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò ãéá ôï óýóôçìá ôùí äýï óùìÜôùí äßíåé m1õ1 + m2õ2 = (m1 + m2)õ Þ Ãéá ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò éó÷ýåé Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ìðïñåß íá äåé÷ôåß üôé ç áðþëåéá êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò åßíáé ç ìÝãéóôç äõíáôÞ. ÐáñÜäåéãìá 4-22 Äýï óöáßñåò m1 êáé m2 óõãêñïýïíôáé ìåôùðéêÜ êáé ôåëåßùò áíåëáóôéêÜ (ðëáóôéêÜ). Íá áðïäåé÷èåß üôé ç áðþëåéá êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé áíÜëïãç ôïõ ôåôñáãþíïõ ôçò ó÷åôéêÞò ôá÷ýôçôáò ôùí óöáéñþí. ÁðÜíôçóç Åöáñìüæïíôáò ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò ãéá ôï óýóôçìá ôùí óöáéñþí Ý÷ïõìå ÐñïâïëÝò ôùí ïñìþí óôïí Üîïíá êßíçóÞò ôïõò m1õ1 + m2õ2 = (m1 + m2)õ Þ õ m õ m õ m m = + + 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2m õ m õ m m õ E+ = +b g 2 + Ä õ m õ m õ m m = + + 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 m õ m õ m õ m õ E+ = ′ + ′ + Ä 180 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.94 ÁíåëáóôéêÞ êñïýóç äýï ìéêñþí óöáéñþí óå äÜðåäï ÷ùñßò ôñéâÝò. Ó×ÇÌÁ 4.95 Ôåëåßùò áíåëáóôéêÞ êñïýóç.
- 197. Ãéá ôçí êéíçôéêÞåíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò Ý÷ïõìå ¢ñá Ý÷ïõìå Ôåëéêþò Þ áí õ1 − õ2 = õó÷ Ó÷üëéï: Ç ðïóüôçôá Þ ëÝãåôáé áíçãìÝíç ìÜæá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí äýï ìáæþí, üðùò èá äïýìå ðáñáêÜôù. ÐáñÜäåéãìá 4-23 Ôï áõôïêßíçôü óáò ìÜæáò m1 = 1200 kg ðïõ êéíåßôáé ðñïò âïññÜ óõãêñïýåôáé ìå Üëëï áõôïêßíçôï ìÜæáò m2 = 1500 kg ðïõ êéíåßôáé ðñïò ôçí áíáôïëÞ. ÌåôÜ ôçí óýãêñïõóç ôá äýï ôñáêáñéóìÝíá áõôïêßíçôá ðáñáìÝíïõí åíùìÝíá êáé íôåëáðÜñïõí, ìå ìðëïêáñéóìÝíïõò ôïõò ôñï÷ïýò åùò üôïõ óôáìáôÞóïõí. Ç Ýñåõíá ôçò Ôñï÷áßáò, ðïõ áêïëïýèçóå áðïêÜëõøå üôé ôá åëáóôéêÜ ôùí ôñáêáñéóìÝíùí áõôïêéíÞôùí Üöçóáí óôïí äñüìï óçìÜäéá ìÞêïõò 16 m õðü ãùíßá 30ï ùò ðñïò ôçí êáôåýèõíóç êßíçóçò ôïõ áõôïêéíÞôïõ óáò. Ðïéü áðü ôá äýï áõôïêßíçôá Ý÷åé õðåñâåß ôï üñéï ôá÷ýôçôáò ôùí 100 km/h; Äßíåôáé üôé g = 10 m/s2 êáé ï óõíôåëåóôÞò ôñéâÞò ïëßóèçóçò áíÜìåóá óôïõò ìðëïêáñéóìÝíïõò ôñï÷ïýò êáé ôçí Üóöáëôï åßíáé ì = 0,80. 1 1 1 1 2ì m m = + F HG I KJm m m m ì1 2 1 2+ = Ä óx 2 E m m m m õ= + 1 2 1 22b g ÄE m m m m õ õ= + −1 2 1 2 1 2 2 2b gb g ÄE m õ m õ m m m õ m õ m m = + − + + + 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 b gb g b g 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 m õ m õ m m õ E+ = + +b g Ä ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 181 Ó×ÇÌÁ 4.96
- 198. ÁðÜíôçóç Åöáñìüæïíôáò ôï èåþñçìáìåôáâïëÞò ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ãéá ôï óõóóùìÜôùìá ôùí áõôïêéíÞôùí áìÝóùò ìåôÜ ôï ôñáêÜñéóìá ìÝ÷ñé íá óôáìáôÞóïõí Ý÷ïõìå Þ Þ Þ õ = 16 m/s (1) Áêïëïýèùò åöáñìüæïõìå ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò óôïõò äýï Üîïíåò x, y ðáßñíïõìå ãéá ôéò áíôßóôïé÷åò óõíéóôþóåò pïë(x) = p´ïë(x) Þ m1õ1 = (m1 + m2)õ cos30o (2) pïë(y) = p´ïë(y) Þ m2õ2 = (m1 + m2) õ sin30o (3) Áðü ôç (2) Ý÷ïõìå êáé áíôéêáèéóôþíôáò ôçí (1) Ý÷ïõìå Þ õ1 ≈ 112 km/h üìïéá ãéá ôï Üëëï áõôïêßíçôï Ý÷ïõìå õ1 ≈ 52 km/h ¢ñá åóåßò Ý÷åôå õðåñâåß ôï üñéï ôá÷ýôçôáò. ÅÖÁÑÌÏÃÇ ÊÑÏÕÓÅÙÍ ÓÅ ÄÕÏ ÄÉÁÓÔÁÓÅÉÓ Óôéò êñïýóåéò, üðùò áíáðôýîáìå óôá ðñïçãïýìåíá, äéáôçñåßôáé ðÜíôá ç óõíïëéêÞ äéáíõóìáôéêÞ ïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò. Ãéá ôç ãåíéêÞ ðåñßðôùóç êñïýóçò óå äýï äéáóôÜóåéò (áëëÜ êáé óôï ÷þñï ôùí ôñéùí äéáóôÜóåùí) áõôü óçìáßíåé üôé ç ïëéêÞ ïñìÞ äéáôçñåßôáé óå êÜèå äéåýèõíóç, Üñá êáé óå êÜèå ìéá áðü ôéò äéåõèýíóåéò ôùí áîüíùí x êáé y. Áò ìåëåôÞóïõìå ôçí êñïýóç ìåôáîý äýï óöáéñþí óôï ìðéëéÜñäï (Ó÷. 4.97á) (Þ äýï óùìáôéäßùí ìáæþí m1 êáé m2) åê ôùí ïðïßùí ç ìÜæá m2 åßíáé áñ÷éêÜ áêßíçôç. Ðñïöáíþò ç êñïýóç äåí åßíáé ìåôùðéêÞ êáé ç ðáñÜìåôñïò b (âëÝðå Ó÷. 4.97) åßíáé Ýíá ìÝôñï ôçò “ìåôùðéêüôçôáò” ôçò êñïýóçò (ðñïöáíþò ãéá b = 0 Ý÷ïõìå ìåôùðéêÞ êñïýóç). ÌåôÜ ôçí êñïýóç ç êáôåýèõíóç êßíçóçò ôïõ ðñïóðßðôïíôïò óþìáôïò, ìÜæáò m1 ó÷çìáôßæåé ãùíßá è ìå ôïí Üîïíá x (áñ÷éêÞ êáôåýèõíóç êßíçóçò) êáé ï óôü÷ïò m2 êéíåßôáé ìå êáôåýèõíóç ðïõ ó÷çìáôßæåé ãùíßá ö ìå ôïí Üîïíá x (áñ÷éêÞ êáôåýèõíóç). õ1 2700 16 3 2 1200 = × m s õ m m õ m 1 1 2 1 = +b g cos30 o õ = × × ×2 0 8 10 16, m sõ g s= 2 ì 0 1 2 1 2 2 1 2− + = − +m m õ m m g sb g b gì 182 MHXANIKH
- 199. Åöáñìüæïíôáò ôçí áñ÷ÞäéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò óôïõò äýï Üîïíåò x êáé y ðáßñíïõìå ãéá ôéò áíôßóôïé÷åò óõíéóôþóåò, Óõíéóôþóåò ôçò ïñìÞò óôïí Üîïíá x pïë (x) = p´ïë (x) Þ 0 = m2õ2´ sin ö − m1 õ1´ sin è (4.69) Óõíéóôþóåò ôçò ïñìÞò óôïí Üîïíá y pïë (y) = p´ïë (y) Þ 0 = m2 õ2´ sin ö − m1õ1´ sin è (4.70) Áí ç êñïýóç åßíáé åëáóôéêÞ ôüôå èá Ý÷ïõìå êáé äéáôÞñçóç ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ óõóôÞìáôïò äçëáäÞ (4.71) ÐáñáôçñÞóåéò: á) Áí ç êñïýóç åßíáé ìç åëáóôéêÞ ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò, äåí äéáôçñåßôáé, ïðüôå äåí éó÷ýåé ç ðñïçãïýìåíç ó÷Ýóç (4.71). â) Áí åßíáé ãíùóôÝò ïé áñ÷éêÝò óõíèÞêåò êñïýóçò (m1, m2 êáé → õ1), Ý÷ïõìå ôÝóóåñåéò áãíþóôïõò (õ´1, õ´2, ö êáé è) áëëÜ ìå ôñåéò ìüíï åîéóþóåéò, ðïõ ôïõò óõíäÝïõí. Ìðïñïýìå ëïéðüí íá ãíùñßæïõìå ôçí êßíçóç ôùí ìáæþí ìåôÜ ôçí êñïýóç ìüíï áí ðñïóäéïñßóïõìå ôçí ôéìÞ ôïõ åíüò áðü áõôïýò (ð.÷. ðåéñáìáôéêÜ). ÐáñÜäåéãìá 4-24 Íá áðïäåßîåôå üôé óôç ìç ìåôùðéêÞ åëáóôéêÞ êñïýóç ìåôáîý äýï óöáéñþí ßóùí ìáæþí, êáôÜ ôçí ïðïßá ç ìßá åßíáé áñ÷éêÜ áêßíçôç, ïé ôá÷ýôçôÝò ôïõò áìÝóùò ìåôÜ ôçí êñïýóç åßíáé êÜèåôåò ìåôáîý ôïõò. ÁðÜíôçóç 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 m õ m õ m õ= ′ + ′ ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 183 Ó×ÇÌÁ 4.98 Ìç ìåôùðéêÞ åëáóôéêÞ êñïýóç äýï óöáéñþí ßóùí ìáæþí. Ó×ÇÌÁ 4.97 (á) Ðñéí êáé (â) ìåôÜ áðü ìéá ìç ìåôùðéêÞ ôåëåßùò åëáóôéêÞ êñïýóç.
- 200. Áðü ôçí áñ÷ÞäéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò Ý÷ïõìå → pðñéí = → pìåôÜ Þ → p1 = → p´1 + → p´2 (1) Áöïý ç êñïýóç åßíáé åëáóôéêÞ èá éó÷ýåé Ê1 + 0 = Ê´1 + Ê´2 Þ Þ Áðü ôçí ôåëåõôáßá ó÷Ýóç ðáñáôçñïýìå üôé éó÷ýåé ôï ðõèáãüñåéï èåþñçìá, Üñá ðñïöáíþò ç ãùíßá ìåôáîý ôùí äéáíõóìÜôùí p´1 êáé p´2 åßíáé ïñèÞ. ÁÄÑÁÍÅÉÁÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ ÁÍÁÖÏÑÁÓ Ï ðñþôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá, ï íüìïò ôçò áäñÜíåéáò, ëÝåé üôé: Áí êÜðïéï óþìá äåí áëëçëåðéäñÜ ìå Üëëá óþìáôá, ç äéáíõóìáôéêÞ ôïõ ôá÷ýôçôá äåí ìåôáâÜëëåôáé, äçëáäÞ ôï óþìá êéíåßôáé ïìáëÜ óå åõèåßá ãñáììÞ. Áõôüò ï íüìïò äåí åßíáé óáöÞò áí äå óõíäõáóôåß ìå ôï êáôÜëëçëï óýóôçìá áíáöïñÜò. Áõôü ïöåßëåôáé óôï ãåãïíüò üôé ç êßíçóç êÜðïéïõ óþìáôïò åßíáé äéáöïñåôéêÞ üôáí ðáñáôçñåßôáé áðü äéáöïñåôéêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. ¸íáò Üíèñùðïò åßíáé áêßíçôïò ùò ðñïò êÜðïéï ëåùöïñåßï, ôï ïðïßï êéíåßôáé óå ìéá óôñïöÞ ôïõ äñüìïõ ìå ôá÷ýôçôá óôáèåñïý ìÝôñïõ. Ùò ðñïò ôç Ãç üìùò, ï Üíèñùðïò Ý÷åé åðéôÜ÷õíóç áöïý ç äéáíõóìáôéêÞ ôá÷ýôçôÜ ôïõ ìåôáâÜëëåôáé (ìÝôñï óôáèåñü, ìåôáâïëÞ êáôåýèõíóçò). Áõôü ðïõ éó÷ýåé ãéá ôïõò íüìïõò ôçò ìç÷áíéêÞò, ðéï óõãêåêñéìÝíá ãéá ôïí ðñþôï íüìï ôïõ Íåýôùíá (ôçò áäñÜíåéáò) êáé ôïí äåýôåñï íüìï ôïõ Íåýôùíá (èåìåëéþäçò íüìïò ôçò ìç÷áíéêÞò) åßíáé, üôé éó÷ýïõí ìüíï ãéá åéäéêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. Ï íüìïò ôçò áäñÜíåéáò äéáôõðþíåôáé êáëýôåñá ùò åîÞò: ÕðÜñ÷ïõí óõóôÞìáôá áíáöïñÜò ùò ðñïò ôá ïðïßá Ýíá óþìá, ôï ïðïßï äåí áëëçëåðéäñÜ ìå Üëëá óþìáôá, êéíåßôáé ïìáëÜ óå åõèåßá ãñáììÞ. ÁõôÜ åßíáé ôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. Ï ðñþôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá åßíáé êáé Ýíáò êáíüíáò ðïõ ìáò åðéôñÝðåé íá âñïýìå ôá “óùóôÜ” áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò, äçëáäÞ ðáßæåé äéðëü ñüëï: Åßíáé Ýíáò íüìïò ôçò öýóåùò êáèþò êáé Ýíáò ïñéóìüò ãéá ôï ôé óçìáßíåé áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò. Ðïëëïß Üëëïé íüìïé ôçò öõóéêÞò, óôïõò ïðïßïõò óõìðåñéëáìâÜíåôáé êáé ï äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá, åðßóçò ðáßæïõí ðáñüìïéï äéðëü ñüëï, ï äåýôåñïò íüìïò ìðïñåß íá ðåé êáíåßò üôé ìáò êáèïñßæåé êáé ôç äýíáìç. Áí êÜðïéï óõãêåêñéìÝíï óýóôçìá áíáöïñÜò åßíáé áäñáíåéáêü, ïðïéïäÞðïôå Üëëï óýóôçìá áíáöïñÜò, ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá êáé ïìáëÜ (äçëáäÞ ìå → õ = óôáè.) ùò ðñïò ôï ðñþôï, èá åßíáé åðßóçò áäñáíåéáêü. Ðïéá áðü ôá óõóôÞìáôá áíáöïñÜò ðïõ ÷ñçóéìïðïéïýìå åßíáé áäñáíåéáêÜ; Ç êáëýôåñç ðñïóÝããéóç áäñáíåéáêïý óõóôÞìáôïò åßíáé Ýíá óýóôçìá áíáöïñÜò ðïõ F m á F d p dt → → → → = =Þ p p p1 2 1 2 2 2 = ′ + ′ p m p m p m 1 2 1 2 2 2 2 2 2 = ′ + ′ 184 MHXANIKH
- 201. êéíåßôáé ìå → õ =óôáè. (ìðïñåß íá åßíáé êáé → õ = 0) óå ó÷Ýóç ìå ôïõò ìáêñéíïýò áóôÝñåò. Ç Ãç ð.÷. äåí åßíáé áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò, äéüôé ðåñéöÝñåôáé ãýñù áðü ôïí Þëéï ìå (êåíôñïìüëï) åðéôÜ÷õíóç 4,4 × 10-3 m/s2 êáé ðåñéóôñÝöåôáé ãýñù áðü ôïí åáõôü ôçò ìå (êåíôñïìüëï) åðéôÜ÷õíóç óôçí åðéöÜíåéÜ ôçò, 3,37 × 10-2 m/s2 . Ïé åðéôá÷ýíóåéò üìùò áõôÝò åßíáé ðïëý ìéêñÝò óå óýãêñéóç ìå ôçí åðéôÜ÷õíóç Ýíåêá ôçò âáñõôéêÞò Ýëîçò ôçò Ãçò êáé óõíÞèùò óå ðïëëÜ ðñïâëÞìáôá ôéò áãíïïýìå. ¸ôóé, ãéá ôÝôïéá ðñïâëÞìáôá, õðïèÝôïõìå üôé ç Ãç åßíáé Ýíá áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò. ÐñÝðåé íá ôïíßóïõìå îáíÜ, üôé óôï íüìï ôá → á, → p ðñïóäéïñßæïíôáé ùò ðñïò êÜðïéï áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò êáé ç äýíáìç ïöåßëåôáé óôéò áëëçëåðéäñÜóåéò ôïõ óõãêåêñéìÝíïõ óþìáôïò ìå Üëëá óþìáôá. Ïé áëëçëåðéäñÜóåéò ìåôáîý óùìÜôùí, ðïõ ïäçãïýí óôçí , áêïëïõèïýí êÜðïéïõò óõãêåêñéìÝíïõò íüìïõò, üðùò ð.÷. íüìïò ôçò ðáãêüóìéáò Ýëîçò, íüìïò ôçò ôñéâÞò ê.ëð. Áò õðïèÝóïõìå üôé Ý÷ïõìå äýï áäñáíåéáêïýò ðáñáôçñçôÝò, ðïõ êéíïýíôáé ìå äéáöïñåôéêÝò ôá÷ýôçôåò, áëëÜ åõèýãñáììá êáé ïìáëÜ ï Ýíáò ùò ðñïò ôïí Üëëïí êáé ðáñáêïëïõèïýí êÜðïéï óõãêåêñéìÝíï öáéíüìåíï, ð.÷. ôç óýãêñïõóç äýï óùìáôéäßùí, ìéá Ýêñçîç, ôï Üíáìá åíüò ëáìðôÞñá êáé ü,ôé Üëëï. ÅðåéäÞ ïé ðáñáôçñçôÝò Ý÷ïõí äéáöïñåôéêÝò ôá÷ýôçôåò, êáèÝíáò ôïõò èá ðåñéãñÜøåé áõôü êáôÜ äéáöïñåôéêü ôñüðï. ¼ìùò ìå ôç âïÞèåéá ôùí èåìåëéùäþí íüìùí ôçò öõóéêÞò, ðïõ åßíáé ßäéïé êáé ãéá ôïõò äõï, ìðïñïýìå íá ðñïâëÝøïõìå ôçí åîÝëéîç ôùí öáéíïìÝíùí, üðùò ôç âëÝðåé ï Ýíáò êáé ï Üëëïò ðáñáôçñçôÞò. Éó÷ýïõí ìåôáîý ôùí áäñáíåéáêþí óõóôçìÜôùí ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß Ãáëéëáßïõ, ðïõ èá äïýìå áñãüôåñá. Óôá ðëáßóéá ôçò êëáóéêÞò ìç÷áíéêÞò ôïõ Íåýôùíá, ìðïñïýìå íá ðïýìå, üôé ïé íüìïé ôçò ìç÷áíéêÞò, ðïõ åßíáé ïõóéáóôéêÜ ïé íüìïé ôïõ Íåýôùíá, åßíáé ïé ßäéïé, (Ý÷ïõí ôçí ßäéá ìïñöÞ) ãéá üëá ôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. Ãéá ðáñÜäåéãìá ï íüìïò = m → á åßíáé ßäéïò ãéá êÜèå áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò, áëëÜ äåí éó÷ýåé óå óõóôÞìáôá ðïõ äåí åßíáé áäñáíåéáêÜ. ÌÇ ÁÄÑÁÍÅÉÁÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ ÁÍÁÖÏÑÁÓ ¼ðùò åßäáìå óôá ðñïçãïýìåíá, ï 1ïò êáé 2ïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá éó÷ýïõí ìüíï ãéá áäñáíåéáêÜ, óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. ÊÜèå óýóôçìá óôï ïðïßï äåí éó÷ýïõí ïé íüìïé áõôïß ëÝãåôáé ìç áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò (äçëáäÞ óýóôçìá áíáöïñÜò ðïõ åðéôá÷ýíåôáé ùò ðñïò ôá áäñáíåéáêÜ). Óôï åäÜöéï áõôü åäþ èá äïýìå ðþò ìðïñïýìå íá åéóáãÜãïõìå âïçèçôéêÝò Ýííïéåò ìå ôéò ïðïßåò íá ôñïðïðïéÞóïõìå ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Íåýôùíá þóôå, ôõðéêÜ ôïõëÜ÷éóôï, íá ÷ñçóéìïðïéåßôáé êáé óôéò ðåñéðôþóåéò ðåñéãñáöÞò ôùí öáéíïìÝíùí áðü ìç áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá. ¸óôù üôé Ýíáò ðáñáôçñçôÞò âñßóêåôáé óå êÜðïéï áäñáíåéáêü óýóôçìá (áäñáíåéáêüò ðáñáôçñçôÞò) êáé ðáñáôçñåß Ýíá óþìá ðÜíù óôï ïðïßï áóêïýíôáé äõíÜìåéò, ðïõ ïöåßëïíôáé óôçí áëëçëåðßäñáóÞ ôïõ ìå Üëëá óþìáôá (áõôÝò åßíáé ïé ðñáãìáôéêÝò äõíÜìåéò) êáé Ý÷ïõí óõíéóôáìÝíç , ôüôå ï ðáñáôçñçôÞò áõôüò ìðïñåß íá åöáñìüæåé ôïõò íüìïõò ôïõF → F → F → F → F m á F d p dt → → → → = =Þ ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 185
- 202. Íåýôùíá, Üñá íáåöáñìüóåé ôç ó÷Ýóç = m → á, üðïõ → á ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò ðïõ ðáñáôçñåß. Ãéá Ýíáí ìç áäñáíåéáêü ðáñáôçñçôÞ äåí éó÷ýåé áõôüò ï íüìïò. Ìðïñïýìå üìùò íá êÜíïõìå ôéò åîÞò óêÝøåéò: áò èåùñÞóïõìå Ýíá áäñáíåéáêü óýóôçìá êáé Ýíá Üëëï ìç áäñáíåéáêü, ôï ïðïßï ðñïöáíþò åðéôá÷ýíåôáé ùò ðñïò ôï ðñþôï. Ç åðéôÜ÷õíóç → á, åíüò õëéêïý óçìåßïõ ùò ðñïò ôï áäñáíåéáêü óýóôçìá, éóïýôáé ìå ôçí åðéôÜ÷õíóÞ ôïõ → á´, ùò ðñïò ôï ìç áäñáíåéáêü óýóôçìá, óõí ìßá ðñüóèåôç åðéôÜ÷õíóç → á0 , ðïõ åîáñôÜôáé áðü ôçí êßíçóç ôïõ ìç áäñáíåéáêïý óõóôÞìáôïò êáé ôçí êßíçóç ôïõ õëéêïý óçìåßïõ. Éó÷ýåé äçëáäÞ → á = → á´+ → á0 ÐáñáêÜôù èá äïýìå ìåñéêÝò áðëÝò ðåñéðôþóåéò, üðïõ ôï → á´= 0. Ï äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá ãñÜöåôáé ãéá ôï áäñáíåéáêü óýóôçìá ùò åîÞò = m → á Þ = m → á´ + m → á0 Ï íüìïò áõôüò ìðïñåß íá ãñáöåß ùò åîÞò (4.72) Ìðïñåß ëïéðüí íá ðåñéãñÜøïõìå ôçí êßíçóç ìå ôïí ôñïðïðïéçìÝíï íüìï ôïõ Íåýôùíá, ùò ðñïò ôï ìç áäñáíåéáêü óýóôçìá, üðïõ ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò åßíáé → á´, áí ðïýìå üôé ðÜíù ôïõ åêôüò áðü ôçí ðñáãìáôéêÞ äýíáìç áóêåßôáé êáé ç ðëáóìáôéêÞ äýíáìç − m → á0 (øåõäïäýíáìç) ç ïðïßá äåí áóêåßôáé áðü êÜðïéï Üëëï óþìá, áëëÜ åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ ìç áäñáíåéáêïý óõóôÞìáôïò êáé ôç ó÷åôéêÞ êßíçóç ùò ðñïò ôï ìç áäñáíåéáêü óýóôçìá. Ïé äõíÜìåéò áõôÝò ëÝãïíôáé áäñáíåéáêÝò äõíÜìåéò Þ äõíÜìåéò D’ Alembert êáé åßíáé áíÜëïãåò ôçò ìÜæáò ôïõ óþìáôïò. Ôï ôåëåõôáßï ôéò êÜíåé íá ìïéÜæïõí ìå ôéò äõíÜìåéò âáñýôçôáò êáé áõôü ó÷åôßæåôáé ìå ôçí ÃåíéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò. ÐïëëÝò öïñÝò åßíáé ðéï âïëéêü íá åîåôÜæïõìå ôá öáéíüìåíá ùò ðñïò ìç áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá, üðùò èá äïýìå ìå áðëÜ ðáñáäåßãìáôá ðéï êÜôù. ÅÕÈÕÃÑÁÌÌÇ ÊÉÍÇÓÇ ÌÅ ÓÔÁÈÅÑÇ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÇ ÅÐÉÔÁ×ÕÍÓÇ Èá äïýìå ìåñéêÜ ðáñáäåßãìáôá áíôéìåôþðéóçò öáéíïìÝíùí, áðü ôçí ðëåõñÜ áäñáíåéáêïý êáé áðü ôçí ðëåõñÜ ìç áäñáíåéáêïý óõóôÞìáôïò Þ, üðùò óõíçèßæïõìå íá ëÝìå, ðáñáôçñçôÞ. Ôá ôåëéêÜ áðïôåëÝóìáôá åßíáé öõóéêÜ ôá ßäéá. 1ï ðáñÜäåéãìá: ~Åóôù üôé óôï åóùôåñéêü âáãïíéïý ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá êáé ïñéæüíôéá ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç → á, åßíáé êñåìáóìÝíç áðü ôçí ïñïöÞ ìéêñÞ óöáßñá ìÜæáò m (âëÝðå Ó÷. 4.99, 4.100). ~Åíáò áäñáíåéáêüò ðáñáôçñçôÞò Ð, ðïõ âñßóêåôáé óôï Ýäáöïò áêßíçôïò, ìðïñåß íá ðáñáôçñåß áõôÜ ðïõ óõìâáßíïõí ìÝóá óôï âáãüíé. ~Åíáò Üëëïò ìç áäñáíåéáêüò ðáñáôçñçôÞò Ð~ âñßóêåôáé ìÝóá óôï âáãüíé, äçëáäÞ ìåôÝ÷åé óôç êßíçóç ôïõ óõóôÞìáôïò. Èá åîÝôáóïõìå áõôÜ ðïõ óõìâáßíïõí, áðü ôç óêïðéÜ ôïõ êÜèå ðáñáôçñçôÞ. F → F m a m a → → → − = ′0 F → F → F → 186 MHXANIKH
- 203. ÄçëáäÞ êáé ïéäýï ðáñáôçñçôÝò êáôáëÞãïõí óôï ßäéï áðïôÝëåóìá. Åêåßíï óôï ïðïßï “äéáöùíïýí”, ïé äýï ðáñáôçñçôÝò, åßíáé ç öõóéêÞ åñìçíåßá ôïõ áéôßïõ ôçò áðüêëéóçò, áðü ôçí êáôáêüñõöç èÝóç, ôïõ íÞìáôïò. ÏÌÁËÇ ÊÕÊËÉÊÇ ÊÉÍÇÓÇ 2ï ÐáñÜäåéãìá ~Åóôù üôé óþìá ìÜæáò m âñßóêåôáé ðÜíù óå ëåßï ïñéæüíôéï ôñáðÝæé ðïõ ðåñéóôñÝöåôáé ïìáëÜ êõêëéêÜ. Ôï óþìá åßíáé óõíäåäåìÝíï, ìÝóù íÞìáôïò, ìå ôï êÝíôñï ôïõ ôñáðåæéïý, üðùò öáßíåôáé óôá ó÷Þìáôá 4.101, 4.102. Áò ðáñáêïëïõèÞóïõìå ôéò åñìçíåßåò ðïõ äßíïõí ãéá áõôÜ ðïõ óõìâáßíïõí ïé äýï ðáñáôçñçôÝò (Ð êáé Ð~), ï êáèÝíáò áðü ôç óêïðéÜ ôïõ. ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 187 Áäñáíåéáêüò ðáñáôçñçôÞò Ãéá ôïí áäñáíåéáêü ðáñáôçñçôÞ (Ð) ôï âáãüíé êáé ç óöáßñá Ý÷ïõí ôçí ßäéá åðéôÜ÷õíóç, → á, ùò ðñïò ôï Ýäáöïò. Ôï íÞìá ó÷çìáôßæåé ãùíßá ö óå ó÷Ýóç ìå ôçí êáôáêüñõöç äéåýèõíóç êáé ôï öáéíüìåíï åßíáé óýìöùíï ìå ôï 2ï íüìï ôïõ Íåýôùíá, äéüôé óôç óöáßñá áóêïýíôáé äýï äõíÜìåéò, ôï âÜñïò ôçò m → g êáé ç ôÜóç ôïõ íÞìáôïò . Ãéá íá êéíåßôáé üìùò ç óöáßñá ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç → á ðñÝðåé íá äÝ÷åôáé ìéá óôáèåñÞ äýíáìç , ðïõ íá Ý÷åé ôçí êáôåýèõíóç ôçò åðéôÜ÷õíóçò. ÁõôÞ ç óôáèåñÞ ïñéæüíôéá äýíáìç åßíáé ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí m → g êáé . ~Áñá ôï íÞìá äåí åßíáé äõíáôüí íá åßíáé êáôáêüñõöï, áëëÜ ðñÝðåé íá ó÷çìáôßæåé ãùíßá ö ìå ôçí êáôáêüñõöç, ðïõ åîáñôÜôáé áðü ôçí åðéôÜ÷õíóç. ~Áñá ãéá ôïí áäñáíåéáêü ðáñáôçñçôÞ (Ð), ç óöáßñá êéíåßôáé ìå åðéôÜ÷õíóç → á, ùò ðñïò áõôüí åðåéäÞ áóêåßôáé ðÜíù ôçò óôáèåñÞ äýíáìç = m → á óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí m → g êáé , äçëáäÞ: (ðáñáôçñçôÞò Ð) Åýêïëá âãáßíåé üôé Ìç áäñáíåéáêüò ðáñáôçñçôÞò Ãéá ôïí ìç áäñáíåéáêü ðáñáôçñçôÞ (Ð~) ç óöáßñá äåí Ý÷åé åðéôÜ÷õíóç ùò ðñïò ôï ü÷çìá. Êáé ï ðáñáôçñçôÞò áõôüò âëÝðåé üôé ôï íÞìá äåí åßíáé êáôáêüñõöï, áëëÜ ó÷çìáôßæåé ãùíßá ö ìå ôçí êáôáêüñõöï. Ãéá ôïí ðáñáôçñçôÞ áõôüí, üìùò, ç óöáßñá éóïññïðåß óå ïñéóìÝíç èÝóç. Ãéá íá åñìçíåýóåé ôçí éóïññïðßá ôçò óöáßñáò, ùò ðñïò ôï åðéôá÷õíüìåíï óýóôçìÜ ôïõ, ðñÝðåé íá äå÷èåß üôé óôç óöáßñá áóêïýíôáé ôñåéò äõíÜìåéò: ôï âÜñïò ôçò m → g, ç ôÜóç ôïõ íÞìáôïò êáé ç áäñáíåéáêÞ äýíáìç − m → á, Ýôóé þóôå ç óõíéóôáìÝíç ôïõò íá åßíáé ìçäåíéêÞ. ~Áñá ãéá ôïí ìç áäñáíåéáêü ðáñáôçñçôÞ (Ð~), ç óöáßñá éóïññïðåß ìå ôï íÞìá íá ó÷çìáôßæåé ãùíßá ö ìå ôçí êáôáêüñõöç êáé ìå ôçí åðßäñáóç ôùí äõ- íÜìåùí m → g, êáé −m → á ôÝôïéùí þóôå: (ðáñáôçñçôÞò Ð~) ÁõôÞ ç ó÷Ýóç åßíáé ßäéá ìå ôçí áíôßóôïé÷ç ó÷Ýóç ôïõ ðáñáôçñçôÞ (Ð) êáé ïäçãåß óôçí ßäéá ãùíßá ö. m g T m a → → + − = 0 T → T → tan ö a g = F m g T m a → → → → = + = T → F → T → F → F → T → Ó×ÇÌÁ 4.99 Ó×ÇÌÁ 4.100
- 204. 188 MHXANIKH Áäñáíåéáêüò ðáñáôçñçôÞò(Ð) Óýìöùíá ìå ôïí ðáñáôçñçôÞ Ð, ôï óþìá êéíåßôáé óå êõêëéêÞ ôñï÷éÜ ïìáëÜ êáé óõíåðþò åðéôá÷ýíåôáé ìå êåíôñïìüëï åðéôÜ÷õíóç , üðïõ õ ç ãñáììéêÞ ôïõ ôá÷ýôçôá êáé r ç áêôßíá ôçò ôñï÷éÜò ôïõ. Ãéá íá õðÜñ÷åé ç åðéôÜ÷õíóç áõôÞ áðáéôåßôáé êåíôñïìüëïò äýíáìç (ìå öïñÜ ðñïò ôï êÝíôñï). Ç äýíáìç áõôÞ åßíáé ç ôÜóç ôïõ íÞìáôïò êáé Ýôóé ãñÜöåé ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Íåýôùíá ùò åîÞò: (ðáñáôçñçôÞò Ð) Ìç áäñáíåéáêüò ðáñáôçñçôÞò (Ð~) Óýìöùíá ìå ôïí ðáñáôçñçôÞ Ð~, ôï óþìá çñåìåß êáé óõíåðþò äåí åðéôá÷ýíåôáé. Ãéá íá óõìâáßíåé üìùò áõôü, ðñÝðåé ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí, ðïõ áóêïýíôáé óå áõôü, íá åßíáé ßóç ìå ôï ìçäÝí. ÅðïìÝíùò, åêôüò ôçò ôÜóåùò ôïõ íÞìáôïò, ðñÝðåé íá äå÷èåß üôé áóêåßôáé êáé ç áäñáíåéáêÞ äýíáìç −m → áê, áíôßèåôç ðñïöáíþò ôçò ôÜóåùò. ~Áñá ãéá ôïí ðáñáôçñçôÞ Ð~, ôï óþìá éóïññïðåß õðü ôçí åðßäñáóç ôùí äõíÜìåùí êáé −m → áê , ôÝôïéùí þóôå: (ðáñáôçñçôÞò Ð~) ÄçëáäÞ ðÜëé ç ßäéá ó÷Ýóç ìå ôïí ðáñáôçñçôÞ Ð). T má T m õ r ê− = − = → 0 0 2 Þ T → T m a T m õ r → → = =ê Þ 2 T → á õ r ê = 2 Ó×ÇÌÁ 4.101 Ó×ÇÌÁ 4.102 ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ Ôá öáéíüìåíá ðïõ ïöåßëïíôáé óôï ãåãïíüò üôé ôï óýóôçìá áíáöïñÜò äåí åßíáé áäñáíåéáêü, ìðïñåß íá áðïêôÞóïõí ðñáêôéêü åíäéáöÝñïí Þ êáëýôåñá, üðùò ðñïáíáöÝñáìå, íá äéåõêïëýíïõí óôç ëïãéêÞ ëýóçò ðñïâëçìÜôùí, ðïõ üìùò ìðïñïýí íá ëõèïýí êáé ìå ôï óõìâáôéêü ôñüðï, ÷ùñßò áäñáíåéáêÝò äõíÜìåéò. 1) ÏÉ ÖÕÃÏÊÅÍÔÑÉÊÏÉ ÄÉÁ×ÙÑÉÓÔÅÓ ìðïñïýí íá ìåëåôçèïýí ìå áõôüí ôïí ôñüðï. ×ñçóéìïðïéïýíôáé óôá åñãáóôÞñéá êáé óôç âéïìç÷áíßá ãéá ôïí ãñÞãïñï äéá÷ùñéóìü áðü Ýíá ìåßãìá ïñéóìÝíùí óõóôáôéêþí ôïõ ìåßãìáôïò (ð.÷. âïõôýñïõ áðü ôï ãÜëá). Óôïõò äéá÷ùñéóôÝò áõôïýò, ç ìç÷áíÞ óôñÝöåôáé ìå ðåñßðïõ 6 × 104 óôñïöÝò ôï ëåðôü, ðåôõ÷áßíïíôáò êåíôñïìüëï åðéôÜ÷õíóç, ôçò ôÜîçò 4 × 105 öïñÝò ôçí åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò. 2) ÓÔÁ ÊÅÍÔÑÁ ÌÅËÅÔÇÓ ÔÇÓ ÅÐÉÄÑÁÓÇÓ ÔÙÍ ÕØÇËÙÍ ÅÐÉÔÁ×ÕÍÓÅÙÍ ÓÔÏÍ ÁÍÈÑÙÐÉÍÏ ÏÑÃÁÍÉÓÌÏ ÔÙÍ ÁÓÔÑÏÍÁÕÔÙÍ (ð.÷. Houston ôùí Ç.Ð.Á) ìðïñåß íá áêïëïõèçèåß áíÜëïãç äéáäéêáóßá áíÜëõóçò. Ïé áóôñïíáýôåò ôïðïèåôïýíôáé óå Ýíá ôýìðáíï, ôï ïðïßï ðåñéóôñÝöåôáé ðÜíù óå ôüîï áêôßíáò ðåñßðïõ 15 m óôçí Üêñç ìéáò äïêïý, ðïõ åêôåëåß ðåñßðïõ 24 óôñïöÝò ôï ëåðôü ðåôõ÷áßíïíôáò, Ýôóé, åðéôÜ÷õíóç ôïõ ôõìðÜíïõ, ðåñßðïõ 10 öïñÝò ôçí åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò. Mç÷áíÞ öõãïêÝíôñçóçò.
- 205. ÏÉ ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÔÏÕÃÁËÉËÁÉÏÕ ~Åíá öõóéêü ãåãïíüò åßíáé êÜôé ðïõ óõìâáßíåé (ð.÷. ìéá Ýêñçîç, ôï Üíáìá åíüò ìéêñïóêïðéêïý ëáìðôÞñá, ç óýãêñïõóç äýï óùìáôéäßùí, ôï ðÝñáóìá åíüò ðáëìïý öùôüò áðü êáèïñéóìÝíï óçìåßï ê.ëð.). Ãéá íá ðåñéãñÜøïõìå Ýíá ôÝôïéï öõóéêü ãåãïíüò ïñßæïõìå Ýíá áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò (Ïxyz) ùò ðñïò ôï ïðïßï éó÷ýïõí ïé íüìïé ôïõ Íåýôùíá. ÊÜèå ãåãïíüò óõìâáßíåé óå êÜðïéá èÝóç (x, y, z) êáé êÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t. Öáíôáæüìáóôå üôé óôï óýóôçìá áíáöïñÜò âñßóêåôáé êÜðïéïò ðáñáôçñçôÞò, ï ïðïßïò ðñïóäéïñßæåé ôï ãåãïíüò ùò ðñïò áõôü ôï óýóôçìá (Ó÷. 4.103). Áò åîåôÜóïõìå ôé ãßíåôáé üôáí Ý÷ïõìå äéáöïñåôéêÜ áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò (ìå ó÷åôéêÞ êßíçóç ìåôáîý ôïõò). ÈÝëïõìå íá äïýìå, ðþò ìåôáó÷çìáôßæïíôáé ïé óõíôåôáãìÝíåò êáé ï ÷ñüíïò åíüò ãåãïíüôïò, üôáí ðáñáôçñåßôáé áðü äõï äéáöïñåôéêÜ áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. Ôï Ýíá óýóôçìá åßíáé ôï Ê êáé ôï Üëëï ôï Ê~. Ãéá åõêïëßá, äéáëÝãïõìå ôïõò Üîïíåò Ýôóé, þóôå ïé Üîïíåò Ïx êáé Ï~x~ íá âñßóêïíôáé êáôÜ ìÞêïò ôçò åõèåßáò ôçò ó÷åôéêÞò êßíçóçò (âëÝðå Ó÷. 4.104) êáé ïé Üîïíåò Ïy êáé Ï~y~ íá åßíáé ðáñÜëëçëïé ìåôáîý ôïõò üðùò êáé ï Oz ìå ôïí Ï~z~. Èá õðïèÝóïõìå áêüìá üôé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t~ = t = 0, ïé áñ÷Ýò ôùí áîüíùí ôùí Ê, Ê~ óõìðßðôïõí Ýôóé þóôå, áí u åßíáé ç óôáèåñÞ (ó÷åôéêÞ) ôá÷ýôçôá ôïõ Ê~ ùò ðñïò ôï Ê, íá éó÷ýåé (ÏÏ~) = → ut. Áí äéáëÝîïõìå ôéò ßäéåò êëßìáêåò ãéá ôá ìÞêç, óôá äõï óõóôÞìáôá áíáöïñÜò, èá Ý÷ïõìå, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá (4.104), ôéò åðïìÝíåò åîéóþóåéò ìåôáó÷çìáôéóìïý, ðïõ óõíäÝïõí ôéò óõíôåôáãìÝíåò (x~, y~, z~, t~) ìå ôéò óõíôåôáãìÝíåò (x, y, z, t). (4.73) Ïé ó÷Ýóåéò áõôÝò åßíáé ãíùóôÝò ùò ìåôáó÷çìáôéóìïß ôïõ Ãáëéëáßïõ. Óýìöùíá ìå ôçí ðáñáäï÷Þ ôçò êëáóéêÞò ìç÷áíéêÞò, ï ÷ñüíïò åßíáé ï ßäéïò ãéá üëá ôá óõóôÞìáôá, ïðüôå éó÷ýåé t = t~. Ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß ôïõ Ãáëéëáßïõ äåß÷íïõí ðþò ìåôáó÷çìáôßæïíôáé ïé èÝóåéò êáé ïé ÷ñüíïé ãåãïíüôùí, áðü áäñáíåéáêü óå áäñáíåéáêü óýóôçìá. ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÓ ÔÁ×ÕÔÇÔÁÓ ÊÁÉ ÏÑÌÇÓ Áò õðïèÝóïõìå üôé Ýíá êéíçôü êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá → õ (õx , õy , õz ) ùò ðñïò ôï óýóôçìá Ê. Ôï óýóôçìá Ê~ êéíåßôáé ùò ðñïò ôï Ê ìå ôá÷ýôçôá → u (u, 0, 0). Ç ôá÷ýôçôá → õ´ ôïõ êéíçôïý ùò ðñïò ôï Ê~ èá âñåèåß ìå ÷ñÞóç ôùí ìåôáó÷çìáôéóìþí Ãáëéëáßïõ. Öáíôáæüìáóôå üôé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t ôï êéíçôü åßíáé óôç èÝóç (x, y, z) êáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t + Ät óôç èÝóç (x + Äx, y + Äy, z + Äz). Áðü ôï óýóôçìá Ê~ (ï áíôßóôïé÷ïò ðáñáôçñçôÞò) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t~ = t èá âëÝðåé ôï êéíçôü óôç èÝóç (x~ = x − ut, y~ = y, z~ = z) êáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t~ + Ät~ = t + Ät óôç èÝóç [x~ + Äx~ = x + Äx − u (t + Ät), y~ + Äy~ = y + Äy, z~ + Äz~ = z + Äz]. Ðñïöáíþò Äx~ = Äx − uÄt Äy~ = Äy Äz~ = Äz Ät~ = Ät Üñá äçëáäÞ õ~x = õx − u Ä Ä Ä Ä ′ ′ = − x t x t u x´ = x − ut, y´ = y, z´ = z, t´ = t ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 189 Ó×ÇÌÁ 4.103 Óýóôçìá áíáöïñÜò ìå ñïëüú ãéá ìÝôñçóç ôïõ ÷ñüíïõ. Ó×ÇÌÁ 4.104 ¸íá öõóéêü ãåãïíüò óõìâáßíåé óå Ýíá óçìåßï P. Ôï ãåãïíüò áõôü ðáñáôçñåßôáé áðü äýï ðáñáôçñçôÝò ðïõ âñßóêïíôáé óôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá Ê, Ê′. Ôï óýóôçìá Ê′ êéíåßôáé ùò ðñïò ôï Ê ìå ôá÷ýôçôá → u.
- 206. Óôï üñéï ðïõÄt → 0 Ý÷ïõìå ãéá ôéò óôéãìéáßåò ôá÷ýôçôåò äçëáäÞ êáé (4.74) ÁõôÞ åßíáé ç ó÷Ýóç óõíäéáóìïý (ðñüóèåóçò) ôá÷õôÞôùí ìç ó÷åôéêéóôéêÜ ðïõ ôçí îÝñïõìå áðü ôçí êáèçìåñéíÞ åìðåéñßá. ÓõíÞèùò ç → õ ëÝãåôáé áðüëõôç êáé ç → õ´ ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá. Ç äéáíõóìáôéêÞ ó÷Ýóç éó÷ýåé áêüìç êáé áí ç ôá÷ýôçôá → u äåí åßíáé êáôÜ ìÞêïò ôïõ Üîïíá ïx áëëÜ óå ôõ÷áßá êáôåýèõíóç. Ç ïñìÞ óùìáôéäßïõ ìåôáó÷çìáôßæåôáé ùò Þ (4.75) Áí ôï óùìÜôéï åßíáé áêßíçôï óôï Ê, ôüôå ùò ðñïò ôï Ê~ èá Ý÷åé ôá÷ýôçôá − → u êáé ïñìÞ −m → u. Aò äïýìå ôé ãßíåôáé ìå ôéò åðéôá÷ýíóåéò. Eýêïëá âãáßíåé üôé, áöïý éó÷ýïõí ïé ó÷Ýóåéò (ãåíéêåõìÝíç ìïñöÞ ìåôáó÷çìáôéóìïý ôá÷õôÞôùí) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t, ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t + Ät (= t~ + Ät~) èá éó÷ýïõí ïé ó÷Ýóåéò õx´ + Äõx´ = õx + Äõx − ux õy´ + Äõy´ = õy + Äõy − uy õz´ + Äõ´z = õz + Äõz − uz t + Ät = t´ + Ät´ Üñá ÄçëáäÞ (4.76) Ôá → á~ êáé → á óõíÞèùò ëÝãïíôáé ó÷åôéêÞ êáé áðüëõôç åðéôÜ÷õíóç áíôéóôïß÷ùò. ÂëÝðïõìå üôé ïé åðéôá÷ýíóåéò åßíáé ïé ßäéåò óôá äýï áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá. Óå óõíäéáóìü ìå ôï ãåãïíüò üôé, ïé âáóéêÝò äõíÜìåéò óôç êëáóéêÞ ìç÷áíéêÞ, åîáñôþíôáé áðü ôéò áðïóôÜóåéò ìåôáîý ôùí áëëçëåðéäñþíôùí óùìÜôùí, ïé → á´ = →→ á Ä Ä Ä Ä ′ ′ = ′ = = õ t á õ t áz z z z Ä Ä Ä Ä ′ ′ = ′ = = õ t á õ t á y y y y Ä Ä Ä Ä ′ ′ = ′ = = õ t á õ t áx x x x ′ = − ′ = − ′ = − õ õ u õ õ u õ õ u x x y y y z z z → p = → p´ + m → u → p´ = → p − m → u → õ = → õ~ + → u → õ~ = → õ − → u ′ = − ′ = ′ = U V| W| õ õ u õ õ õ õ x x y y z z Ä Ä Äz Ä ′ ′ = ′ = = z t õ t õz z Ä Ä Ä Ä ′ ′ = ′ = = y t õ y t õy y 190 MHXANIKH
- 207. ïðïßåò áðïóôÜóåéò äåíìåôáâÜëëïíôáé áðü óýóôçìá óå óýóôçìá (äåßîôå ôï), ðñïêýðôåé üôé ~ = . ÅðïìÝíùò, m → á~ = ~ ãßíåôáé m → á = (ôo m åßíáé áíáëëïßùôç óôáèåñÜ, ç ìÜæá ôïõ óùìáôßïõ). Ï èåìåëéþäçò íüìïò ôçò ìç÷áíéêÞò ìÝíåé ï ßäéïò õðü ôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò Ãáëéëáßïõ. Ðñïöáíþò ìðïñïýìå íá ãñÜöïõìå áêüìá üôé êáé ÊáôÜ ìéá äéáöïñåôéêÞ åêäï÷Þ, ìðïñïýìå íá èåùñÞóïõìå üôé ç ó÷Ýóç = m → á åßíáé ç ó÷Ýóç ðïõ ïñßæåé ôç äýíáìç êáé áöïý m → á = m → á~ Üñá = ~. Ìðïñïýìå ìå ôçí ßäéá óõëëïãéóôéêÞ íá ðïýìå üôé (4.77) ÐáñÜäåéãìá 4-25 Ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá ðïõ çñåìåß óôïõò 25 ï C åßíáé 346 m/s. Íá âñåèåß ç ôá÷ýôçôá, ðïõ ìåôñÜåé ðáñáôçñçôÞò ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá 25 m/s óôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò á) ~Ïôáí áðïìáêñýíåôáé áðü ôçí ðçãÞ. â) ~Ïôáí ðëçóéÜæåé ðñïò ôçí ðçãÞ. ã) ~Ïôáí êéíåßôáé êÜèåôá ðñïò ôçí äéåýèõíóç äéÜäïóçò ôïõ Þ÷ïõ. ä) ~Ïôáí êéíåßôáé êáôÜ ôñüðï, ðïõ ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ ðïõ ìåôñÜåé íá åßíáé êÜèåôç ðñïò ôçí äéåýèõíóç êßíçóçò ôïõ ðáñáôçñçôÞ. ÕðïèÝóôå üôé ç ðçãÞ çñåìåß ùò ðñïò ôï Ýäáöïò êáé åêðÝìðåé Þ÷ï ïìïéüìïñöá ðñïò üëåò ôéò êáôåõèýíóåéò. ÁðÜíôçóç ~Åóôù üôé ôï óýóôçìá áíáöïñÜò Ïxyz åßíáé óôåñåùìÝíï óôï Ýäáöïò, Üñá óå çñåìßá ùò ðñïò ôïí áÝñá. Ôï óýóôçìá Ï~x~y~z~ êéíåßôáé ìå ôïí ðáñáôçñçôÞ ìå ôá÷ýôçôá u = 25 m/s, õ = 346 m/s ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ êáé ôÝëïò õ~ ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ ùò ðñïò ôï óýóôçìá Ï~x~y~z~, üðùò ìåôñåßôáé áðü ôïí êéíïýìåíï ðáñáôçñçôÞ Ð~. Åöáñìüæïíôáò ôïí íüìï ìåôáó÷çìáôéóìïý ôá÷õôÞôùí ôïõ Ãáëéëáßïõ → õ~ = → õ − → u Ý÷ïõìå F p p F → → → → = = ′ = ′ → → lim Ä Ä lim Ä ÄÄ Ät tt t0 0 F → F → F → lim Ä ÄÄt t→ ′ ′ = ′ → → 0 p Flim Ä ÄÄt t→ → → = 0 p F F → F → F → F → ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 191 Ó×ÇÌÁ 4.105 Ó×ÇÌÁ 4.106
- 208. 1) Ãéá ôçíðåñßðôùóç (á) õ~ = õ − u = 321 m/s 2) Ãéá ôçí ðåñßðôùóç (â) õ~ = õ − (− u) = 371 m/s, áöïý ï ðáñáôçñçôÞò êéíåßôáé êáôÜ ôçí áñíçôéêÞ öïñÜ ôïõ Üîïíá ôùí x. 3) Ãéá ôçí ðåñßðôùóç (ã) ðáñáôçñïýìå üôé ïé ôá÷ýôçôåò → õ êáé → u åßíáé êÜèåôåò êáé åðïìÝíùò → õ~ = → õ − → u Þ Óôïí ðáñáôçñçôÞ Ð~ ï Þ÷ïò öáßíåôáé íá äéáäßäåôáé êáôÜ äéåýèõíóç ðïõ ó÷çìáôßæåé ãùíßá ö ìå ôïí Üîïíá x~ üðïõ Þ ö ≈ 94ï . 4) ÔÝëïò, ãéá ôçí ðåñßðôùóç (ä) ç äéåýèõíóç äéÜäïóçò ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá åßíáé ôÝôïéá þóôå íá öáßíåôáé óôïí ðáñáôçñçôÞ Ð~ üôé êáôåõèýíåôáé êáôÜ ôïí Üîïíá z~, Üñá ç → õ~ åßíáé êÜèåôç ðñïò ôçí → u êáé ðñïöáíþò éó÷ýåé → õ~ = → õ − → u Þ → õ = → õ~ + → u êáé åðïìÝíùò ôï ìÝôñï ôçò õðïëïãßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç õ2 = õ′2 − u2 Þ Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ï Þ÷ïò äéáäßäåôáé, óôïí áêßíçôï áÝñá, ó÷çìáôßæïíôáò ãùíßá è ìå ôï Üîïíá ôùí x üðïõ Þ è ≈ 86ï ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÓ ÅÍÅÑÃÅÉÁÓ Ç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá, óôá ðëáßóéá ôçò êëáóéêÞò ìç÷áíéêÞò, üðïõ õðÜñ÷ïõí ìüíï äõíÜìåéò âáñýôçôáò, åîáñôÜôáé áðü ôéò áðïóôÜóåéò ìåôáîý ôùí áëëçëåðéäñþíôùí óùìáôßùí êáé áðü ôéò ìÜæåò ðïõ áëëçëåðéäñïýí. Ïé ìÜæåò ðáñáìÝíïõí ßäéåò, åßíáé áìåôÜâëçôåò, áíåîÜñôçôá óôï ðïéï óýóôçìá ðáñáôçñïýíôáé (áíáëëïßùôåò óå ìåôáó÷çìáôéóìïýò Ãáëéëáßïõ), Üñá ç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ìÝíåé áíáëëïßùôç óå ìåôáó÷çìáôéóìïýò Ãáëéëáßïõ. ÁíÜëïãá ìðïñåß íá ðåé êÜðïéïò ãéá ôçí çëåêôñïóôáôéêÞ åíÝñãåéá, äéüôé ãéá ôéò çëåêôñïóôáôéêÝò áëëçëåðéäñÜóåéò éó÷ýåé ï íüìïò Coulomb. Ï ìåôáó÷çìáôéóìüò ãéá ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá óõóôÞìáôïò õëéêþí óçìåßùí åßíáé ãåíéêþò ðïëýðëïêïò. Èá åîåôÜóïõìå óôá ðåñß êÝíôñïõ ìÜæáò ôçí åíäéáöÝñïõóá ðåñßðôùóç ôÝôïéïõ ìåôáó÷çìáôéóìïý. tan è õ u = = 13 8, ′ = − ≈õ õ u2 2 345 m s tan ö õ u = − = −13 8, ′ = + =õ õ u2 2 347 m s 192 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.108Ó×ÇÌÁ 4.107
- 209. Ç ÊÉÍÇÓÇ ÔÏÕÊÅÍÔÑÏÕ ÌÁÆÁÓ, ÊÌ (CM), EÍÏÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÓÙÌÁÔÙÍ Áò èåùñÞóïõìå Ýíá óýóôçìá, ðïõ áðïôåëåßôáé áðü N õëéêÜ óçìåßá (óùìÜôéá) ìå ìÜæåò m1, m2, ... ~Ïðùò ãíùñßæïõìå, ç èÝóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ôïõ óõóôÞìáôïò, äßíåôáé áðü ôéò ó÷Ýóåéò , , (4.78) Áí ôá õëéêÜ óçìåßá êéíïýíôáé, ôüôå áðü ôéò ó÷Ýóåéò (4.78) ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôéò ôñåéò óõíéóôþóåò ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò, c , ùò åîÞò Þ êáé áíôßóôïé÷á êáé ~Áñá ç ôá÷ýôçôá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò èá äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç (4.79) Áí ç ïëéêÞ ìÜæá åßíáé Ì = Ómi ôüôå ç ó÷Ýóç (4.79) ãñÜöåôáé éóïäýíáìá (4.80) Áðü ôç ó÷Ýóç áõôÞ Ý÷ïõìå Ómi → õi = M c Ôï áñéóôåñü ìÝëïò ôçò ó÷Ýóåéò áõôÞò éóïýôáé ìå ôçí ïëéêÞ ïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò. Óõíåðþò (4.81) ÄçëáäÞ, ç ïëéêÞ ïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò, éóïýôáé ìå ôï ãéíüìåíï ôçò ïëéêÞò ìÜæáò åðß ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò. Åßíáé äçëáäÞ óáí íá Ý÷ïõìå üëç ôç ìÜæá óõãêåíôñùìÝíç óå Ýíá õëéêü óçìåßï, ðïõ êéíåßôáé ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò. Áí óôï óýóôçìá áõôü ôùí ìáæþí áóêïýíôáé åîùôåñéêÝò äõíÜìåéò, ôüôå áõôÝò èá ðñïêáëÝóïõí ìåôáâïëÞ óôçí ïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò. Ï ñõèìüò ôçò ìåôáâïëÞò áõôÞò õðïëïãßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç ç ïðïßá ìÝóù ôçò (4.81) ãñÜöåôáé ÞF → → =åî cÄ( ) Ä Ì V t F p→ → =åî ïëÄ Ät p Ì Vïë c → → = V → V õ→ → =c i iÓm M V õ→ → =c i i i Ó Ó m m V m õ m z z c i i i Ó Ó =V m õ m y y c i i i Ó Ó = V m õ m x x c i i i Ó Ó =V X t m x t m xc c i i i Ä Ä Ä Ä Ó Ó = = V → Z m z m c i i i Ó Ó =Y m y m c i i i Ó Ó =X m x m c i i i Ó Ó = ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 193
- 210. Þ (4.82) üðïõ åßíáé çåðéôÜ÷õíóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ôïõ óõóôÞìáôïò. ÄçëáäÞ, ôï êÝíôñï ìÜæáò êéíåßôáé óáí íá Þôáí Ýíá óùìáôßäéï ìÜæáò Ì óôï ïðïßï áóêåßôáé ç äýíáìç → Fåî. (Ïé åóùôåñéêÝò äõíÜìåéò, áöïý õðáêïýïõí óôçí áñ÷Þ äñÜóçò - áíôßäñáóçò, äßíïõí äéáíõóìáôéêü Üèñïéóìá ìçäÝí). Áðü ôç ó÷Ýóç (4.82) ðáñáôçñïýìå üôé: áí ç óõíéóôáìÝíç åîùôåñéêÞ äýíáìç åßíáé ìçäÝí (óýóôçìá áðïìïíùìÝíï), ôüôå ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò åßíáé åðßóçò ìçäÝí. ÅðïìÝíùò, ôï êÝíôñï ìÜæáò, åßôå ðáñáìÝíåé áêßíçôï, åßôå êéíåßôáé åõèýãñáììá êáé ïìáëÜ, óå ïðïéïäÞðïôå áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò. Áðü ôá ðáñáðÜíù öáßíåôáé êáèáñÜ üôé, üôáí áíáöåñüìáóôå óôçí (ìïíáäéêÞ) ôá÷ýôçôá åíüò êéíïýìåíïõ óþìáôïò, ðïõ áðïôåëåßôáé áðü ðïëëÜ óùìÜôéá, üðùò ð.÷. Ýíá áåñïðëÜíï Þ Ýíá áõôïêßíçôï, ôç Ãç Þ ôç ÓåëÞíç Þ áêüìá Ýíá ìüñéï Þ Ýíáí ðõñÞíá, åííïïýìå ôçí ôá÷ýôçôá c ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò. ÁíÜëïãá, éó÷ýïõí áí áíáöåñüìáóôå óå ìïíáäéêÞ åðéôÜ÷õíóç Þ ïñìÞ óõóôÞìáôïò. ÓÕÓÔÇÌÁ ÁÍÁÖÏÑÁÓ ÊÅÍÔÑÏÕ ÌÁÆÁÓ Óå óýóôçìá ìáæþí, ïé ïðïßåò êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôåò → õ1, → õ2, ... , ùò ðñïò êÜðïéï áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò (ð.÷. óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ åñãáóôçñßïõ), Ýóôù üôé áóêïýíôáé ìüíï ïé ìåôáîý ôïõò áëëçëåðéäñÜóåéò, ÷ùñßò íá õðÜñ÷ïõí åîùôåñéêÝò äõíÜìåéò (óýóôçìá äõíáìéêÜ ìïíùìÝíï). Óôçí ðñïêåéìÝíç ðåñßðôùóç îÝñïõìå, áðü ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò, üôé ç ïëéêÞ ïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé → pïë = óôáè. ïðüôå áðü ôçí ó÷Ýóç (4.81) ôï êÝíôñï ìÜæáò ôïõ ðáñáðÜíù óõóôÞìáôïò íá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá, (4.83) ùò ðñïò ôï áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ åñãáóôçñßïõ. Èåùñïýìå Ýíá Üëëï áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò (ðïõ äåí ðåñéóôñÝöåôáé ùò ðñïò ôï ðñþôï), ôï ïðïßï êéíåßôáé ìáæß ìå ôï êÝíôñï ìÜæáò ôïõ áðïìïíùìÝíïõ óõóôÞìáôïò. Ôï óýóôçìá áõôü ëÝãåôáé óýóôçìá çñåìßáò ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ( c = 0) Þ óýóôçìá áíáöïñÜò êÝíôñïõ ìÜæáò êáé óõìâïëßæåôáé ìå ÊÌ Þ CM. Áðü ôá ðáñáðÜíù óõìðåñáßíïõìå üôé ç ïëéêÞ ïñìÞ åíüò ìïíùìÝíïõ óõóôÞìáôïò óùìáôßùí, ðïõ ìåôñåßôáé óôï óýóôçìá ÊÌ åßíáé ìçäÝí, ãé’ áõôü ôï óýóôçìá ÊÌ ëÝãåôáé êáé óýóôçìá ìçäåíéêÞò ïñìÞò. Ôï óýóôçìá áõôü åßíáé ðñïôéìþôåñï, ãéáôß ðïëëÜ ðåéñÜìáôá ðïõ êÜíïõìå óôï åñãáóôÞñéï, ìðïñïýìå íá ôá áíáëýóïõìå ðéï áðëÜ óôï óýóôçìá êÝíôñïõ ìÜæáò. Ôï óýóôçìá áõôü óõíçèßæåôáé íá ÷ñçóéìïðïéåßôáé óôç ìåëÝôç óõãêñïýóåùí óôç öõóéêÞ óùìáôéäßùí. V → V p→ → =c ïë M V → á V→ → =c cÄ Ät F a → → =åî cM F V→ → =åî cÄ Ä M t 194 MHXANIKH
- 211. ÊÉÍÇÔÉÊÇ ÅÍÅÑÃÅÉÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓÓÙÌÁÔÉÙÍ Ç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åíüò óõóôÞìáôïò óùìáôßùí (õëéêþí óçìåßùí) m1, m2, ..., ðïõ êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôåò → õ1, → õ2, ..., ùò ðñïò êÜðïéï óýóôçìá (Ýóôù ôï áäñáíåéáêü óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ) éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôùí åðéìÝñïõò êéíçôéêþí åíåñãåéþí üëùí ôùí óùìáôßùí, äçëáäÞ (4.84) Þ óõíïðôéêÜ (4.85) Áöïý ç ó÷Ýóç (4.81) ôçò ïñìÞò åíüò óõóôÞìáôïò óùìáôßùí ìáò èõìßæåé ôçí Ýêöñáóç ôçò ïñìÞò åíüò óùìáôßïõ ìÜæáò Ì (üóç ç ïëéêÞ ìÜæá), ðïõ êéíåßôáé ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò, c , èá ìðïñïýóáìå íá õðïèÝóïõìåüôé êáé ç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åíüò óõóôÞìáôïò óùìáôßùí åðßóçò, èõìßæåé ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åíüò óùìáôßïõ ìÜæáò Ì êáé Ýôóé üôé ìðïñåß íá áíá÷èåß óôç ìïñöÞ (!) Áõôü üìùò, üðùò èá äïýìå, åßíáé ëÜèïò! Ç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åíüò óõóôÞìáôïò åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ôçí ôéìÞ Óôç óõíÝ÷åéá èá äïýìå ôï ãéáôß. Áò îáíáãñÜøïõìå ôçí ó÷Ýóç (4.84) ìå ìïñöÞ ðïõ íá ðåñéÝ÷åé ôéò ôá÷ýôçôåò ôùí óùìáôßùí ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò, ôï ïðïßï êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá c ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ. Ôéò ôá÷ýôçôåò ôùí óùìáôßùí óôï íÝï óýóôçìá áíáöïñÜò èá ôéò õðïëïãßóïõìå ìå ôç âïÞèåéá ôïõ íüìïõ ìåôáó÷çìáôéóìïý ôá÷õôÞôùí ôïõ Ãáëéëáßïõ. → õ1´ = → õ1 − c , → õ2´ = → õ2 − c , ... , → õ´í = → õí − → c (4.86) áðü ôéò ïðïßåò ðáßñíïõìå → õ1 = → õ1´ + c , → õ2 = → õ2´ + c , ... , → õí = → õ´í + c (4.87) Áíôéêáèéóôþíôáò ôéò ó÷Ýóåéò (4.87) óôç ó÷Ýóç (4.85) ðáßñíïõìå Þ (4.88) äéüôé Ómi → õ´i = Ó → p´i = → p´ïë = 0, áöïý ðñüêåéôáé ãéá ôï óýóôçìá ôïõ ÊÌ. K m M V K M V= ′ + = + 1 2 1 2 1 2 2 Ó i i c 2 åó. c 2 õ K m m õ m V V m õ= ′ + = ′ + + ′ → → → →1 2 1 2 1 2 2 2 Ó Ó Ói i c i i 2 i c c i i( ) (Ó )õ V V → V → V → V → V → V → V → 1 2 2 M Vc K M V= 1 2 2 c V → K m õ= 1 2 2 Ó i i K m õ m õ= + + 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 . .. ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 195
- 212. Óõíåðþò, ç ïëéêÞêéíçôéêÞ åíÝñãåéá åíüò óõóôÞìáôïò óùìáôßùí, ðïõ êéíïýíôáé ùò ðñïò Ýíá óýóôçìá (ð.÷. ôï áäñáíåéáêü óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ) ðåñéëáìâÜíåé äýï üñïõò: Ï Ýíáò üñïò åßíáé ç ìåôáöïñéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá . ÁõôÞ åßíáé ç åíÝñãåéá ðïõ èá åß÷å ôï óýóôçìá áí åêéíåßôï ìå ìå- ôáöïñéêÞ êßíçóç ìå ôá÷ýôçôá c (ïðüôå êÜèå óôéãìÞ üëá ôá óçìåßá, èá åß÷áí ßäéá ôá÷ýôçôá, c). Ï Üëëïò üñïò Êåó åßíáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôùí óùìáôßùí, üðùò áõôÞ öáßíåôáé áðü ôï óýóôçìá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò. H åíÝñãåéá áõôÞ ëÝãåôáé êáé åóùôåñéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò êáé åßíáé ðñïöáíþò áíåîÜñôçôç áðü ôï óýóôçìá áíáöïñÜò. ÔåëéêÜ Èá ìðïñïýóáìå íá óõíïøßóïõìå ôá ðáñáðÜíù óôá åîÞò äýï èåùñÞìáôá, ðïõ áöïñïýí óôï óýóôçìá êÝíôñïõ ìÜæáò (ÊÌ). Óôïõò ôýðïõò ôá ôïíïýìåíá ìåãÝèç åßíáé ìåôñçìÝíá ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò. Èåþñçìá 1ï Ç ïëéêÞ ïñìÞ óõóôÞìáôïò óùìáôßùí ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ ÊÌ åßíáé ìçäÝí. ÄçëáäÞ (4.89) Èåþñçìá 2ï Ç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åíüò óõóôÞìáôïò óùìáôßùí ùò ðñïò êÜðïéï óýóôçìá áíáöïñÜò (ð.÷. ôïõ åñãáóôçñßïõ), éóïýôáé ìå ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôçò ïëéêÞò ìÜæáò óõãêåíôñùìÝíçò óôï êÝíôñï ìÜæáò, óõí ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ ÊÌ, äçëáäÞ Þ (4.90) ÅÖÁÑÌÏÃÇ ÃÉÁ ÔÇÍ ÐÅÑÉÐÔÙÓÇ ÄÕÏ ÓÙÌÁÔÉÙÍ ÐÏÕ ÁËËÇËÅÐÉÄÑÏÕÍ ÌÅÔÁÎÕ ÔÏÕÓ - ÁÍÇÃÌÅÍÇ ÌÁÆÁ Áò ìåëåôÞóïõìå äýï óùìÜôéá ôá ïðïßá áëëçëåðéäñïýí ìåôáîý ôïõò ìå äõíÜìåéò ðïõ õðáêïýïõí óôïí 3ï íüìï ôïõ Íåýôùíá ÷ùñßò íá áóêïýíôáé Üëëåò åîùôåñéêÝò äõíÜìåéò. Ð.÷. ôï çëåêôñüíéï êáé ôï ðñùôüíéï åíüò ìïíùìÝíïõ áôüìïõ õäñïãüíïõ ðïõ áëëçëåðéäñïýí ìüíï ìå çëåêôñïóôáôéêÝò äõíÜìåéò. Áò ìåëåôÞóïõìå ôç ó÷åôéêÞ êßíçóç ôùí äõï óùìáôßùí (âëÝðå Ó÷. 4.109). Ç åîßóùóç êßíçóçò ãéá êÜèå Ýíá óùìÜôéï ùò ðñïò áäñáíåéáêü óýóôçìá åßíáé áíôßóôïé÷á êáé Þ , Áöáéñþíôáò ôéò êáôÜ ìÝëç Ý÷ïõìå F F õ õ → → → → − = − 12 1 21 2m m t t Ä Ä Ä Ä 1 2 F → → =21 2m õ t Ä Ä 2F → → =12 1m õ t Ä Ä 1 F m õ t → → =21 2 Ä Ä 2F õ→ → =12 1m t Ä Ä 1 K K M V= ′ +c c 21 2 K m õ M V= ′ + 1 2 1 2 2 Ó i i c 2 → pc´ = Ómi → õi´ = 0 K K M V= +åó c 21 2 V → V → 1 2 2 M Vc 196 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.109 Äýï óùìÜôéá m1 , m2 ðïõ õðüêåéíôáé ìüíï óôçí áëëçëåðßäñáóÞ ôïõò.
- 213. üìùò → F12 = − → F21Üñá ~Ïìùò → õ1 − → õ2 = → õ12 åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ m1 óå ó÷Ýóç ìå ôï m2 ïðüôå üðïõ → á12 åßíáé ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ m1 óå ó÷Ýóç ìå ôï m2. Áí ïñßóïõìå ôçí ðïóüôçôá ì, ç ïðïßá ïíïìÜæåôáé áíçãìÝíç ìÜæá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí äõï óùìáôßùí, ùò Þ (4.91) ç ðñïçãïýìåíç ó÷Ýóç ãñÜöåôáé (4.92) Ôï óðïõäáßï áõôü áðïôÝëåóìá óôï ïðïßï ïäçãçèÞêáìå ëÝåé üôé: Ç ó÷åôéêÞ êßíçóç äýï óùìáôßùí, ðïõ áëëçëåðéäñïýí ìüíï ìåôáîý ôïõò, åßíáé éóïäýíáìç ìå ôçí êßíçóç åíüò óùìáôßïõ ìÜæáò ì, ßóçò ìå ôçí áíçãìÝíç ìÜæá, ðÜíù óôï ïðïßï áóêåßôáé äýíáìç ßóç ìå ôç äýíáìç áëëçëåðßäñáóÞò ôïõò. ÅðïìÝíùò, üôáí ðåñéãñÜöïõìå ôçí êßíçóç äýï óùìáôßùí ðïõ áëëçëåðéäñïýí ìüíïí ìåôáîý ôïõò, ìðïñïýìå íá îå÷ùñßóïõìå ôçí êßíçóç ôïõ óõóôÞìáôïò, óôç êßíçóç ôïõ ÊÌ, ðïõ Ý÷åé óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá êáé ôç ó÷åôéêÞ êßíçóç ôùí äýï óùìáôßùí, ðïõ ìáò äßíåé ç åîßóùóç → F12 = ì → á12 ðïõ áíáöÝñåôáé óôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ ÊÌ. ~Åôóé ìåôáó÷çìáôßæïõìå ôï ðñüâëçìá ôçò êßíçóçò ôùí äýï áëëçëåðéäñþíôùí óùìáôßùí óå êßíçóç åíüò óùìáôßïõ ìÜæáò ì óôï ïðïßï áóêåßôáé ç äýíáìç áëëçëåðéäñáóÞò ôïõò. ÅöáñìïãÝò: 1) Áí ç ìÜæá ôïõ åíüò óùìáôßïõ åßíáé ðïëý ìåãáëýôåñç áðü ôç ìÜæá ôïõ Üëëïõ ð.÷. m2 >> m1 , ôüôå ç áíçãìÝíç ìÜæá ì èá åßíáé êáôÜ ðñïóÝããéóç ßóç ìå ôç ìéêñÞ ìÜæá. ÐñÜãìáôé (áöïý ) ×áñáêôçñéóôéêü ðáñÜäåéãìá åßíáé ç ìåëÝôç ôçò êßíçóçò åíüò ôå÷íçôïý äïñõöüñïõ ãýñù áðü ôç ãç. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç áíçãìÝíç ìÜæá åßíáé ðåñßðïõ ßóç ìå ôç ìÜæá ôïõ äïñõöüñïõ. 2) Áí ôá äýï óþìáôá Ý÷ïõí ßóåò ìÜæåò m1 = m2 ôüôå ç áíçãìÝíç ìÜæá èá åßíáé ì m m m m m = + = 2 m m 1 2 0≈ì m m m m m m m m= + = + ≈ 1 2 1 2 1 1 2 1 1 → F12 = ì → á12 ì m m m m = + 1 2 1 2 1 1 1 1 2ì m m = + Ä Ä 12õ á → → = t 12 F õ õ→ → → + F HG I KJ = − 12 1 2 1 1 m m t Ä( ) Ä 1 2 ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 197
- 214. ×áñáêôçñéóôéêü ðáñÜäåéãìá åßíáéï ðõñÞíáò ôïõ äåõôåñßïõ, ðïõ áðïôåëåßôáé áðü Ýíá ðñùôüíéï êáé Ýíá íåôñüíéï ìå mp ≈ mn. ÐáñÜäåéãìá 4-26 ~Åóôù óùìÜôéï ìÜæáò m1 , ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá → õ1 ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ êáé óõãêñïýåôáé ìåôùðéêÜ êáé åëáóôéêÜ ìå áêßíçôï óùìÜôéï ìÜæáò m2 = 3m1 áñ÷éêÜ áêßíçôï ùò ðñïò ôï ßäéï óýóôçìá. Íá ìåëåôçèåß ç êñïýóç áðü ôç óêïðéÜ ôïõ ðáñáôçñçôÞ, ðïõ åßíáé áêßíçôïò óôï óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ êáé áðü ôç óêïðéÜ ôïõ ðáñáôçñçôÞ ðïõ åßíáé áêßíçôïò óôï óýóôçìá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò (âë. Ó÷. 4.110). ÁðÜíôçóç á) ÌåëÝôç ôçò êñïýóçò áðü ôç óêïðéÜ ôïõ óõóôÞìáôïò ôïõ åñãáóôçñßïõ (ðñïöáíþò ç êßíçóç åßíáé ðÜíôïôå ðÜíù óå ìéá åõèåßá). Ï ðáñáôçñçôÞò ðïõ åßíáé áêßíçôïò ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ ðáñáôçñåß Ðñéí ôçí êñïýóç: 1) Ôï óùìÜôéï m1 íá êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá → õ1 ðñïò ôï áêßíçôï m2. 2) Ôï óùìÜôéï m2 íá åßíáé áêßíçôï êáé 3) Ôï êÝíôñï ìÜæáò íá êéíåßôáé ðñïò ôï m2 ìå ôá÷ýôçôá ðïõ ôï ìÝôñï ôçò õðïëïãßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç (4.79) Þ ÌåôÜ ôçí êñïýóç: 1) Ôï óùìÜôéï m1 íá êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá Þ áðïìáêñõíüìåíï áðü ôï m2 . ′ = −õ õ1 1 1 2 ′ = − + õ m m m m õ1 1 2 1 2 1 V õc = 1 4 1V m õ m m c = + 1 1 1 2 198 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.110 ÅëáóôéêÞ êñïýóç (ìåôùðéêÞ) ìÜæáò m1 ìå Üëëç áñ÷éêÜ áêßíçôç ìÜæá 3 m, óôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ åñãáóôçñßïõ. Ó×ÇÌÁ 4.111 ÅëáóôéêÞ êñïýóç (ìåôùðéêÞ) ìÜæáò m ìå Üëëç áñ÷éêÜ áêßíçôç ìÜæá 3m, óôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò.
- 215. 2) Ôï óùìÜôéïm2 íá êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá Þ áðïìáêñõíüìåíï áðü ôï m1. 3) Ôï êÝíôñï ìÜæáò íá êéíåßôáé ðñïò ôï m2 ìå ôá÷ýôçôá, õðïëïãßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç Þ Þ Ðáñáôçñïýìå üôé ç êßíçóç ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ðáñáìÝíåé áìåôÜâëçôç ìåôÜ ôçí êñïýóç. â) ÌåëÝôç ôçò êñïýóçò áðü ôç óêïðéÜ ôïõ óõóôÞìáôïò êÝíôñïõ ìÜæáò. Ï ðáñáôçñçôÞò ðïõ åßíáé áêßíçôïò ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ðáñáôçñåß: Ðñéí ôçí êñïýóç: 1) Ôï óùìÜôéï m1 íá êéíåßôáé ðñïò ôï m2 ìå ôá÷ýôçôá 2) Ôï óùìÜôéï m2 íá êéíåßôáé ðñïò ôï êÝíôñï ìÜæáò ìå ôá÷ýôçôá êáé 3) Ôï êÝíôñï ìÜæáò íá ðáñáìÝíåé áêßíçôï. ÌåôÜ ôçí êñïýóç: Ç óõíïëéêÞ ïñìÞ pc ðñéí ôçí êñïýóç ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò åßíáé Þ pc = 0 üðùò áíáìÝíáìå. ÌåôÜ ôçí êñïýóç èá åßíáé ðÜëé pc~ = 0 ãåãïíüò ðïõ óçìáßíåé üôé ìåôÜ ôçí êñïýóç ôá óùìÜôéá m1 êáé m2 èá Ý÷ïõí áíôßèåôåò ïñìÝò óôï óýóôçìá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò. ÐñïóÝîôå, óôï ó÷Þìá 4.111 ôç óõììåôñßá ôùí êéíÞóåùí óå áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç. Áðü ôçí ðáñáðÜíù ìåëÝôç ðáñáôçñïýìå ôç ìåãÜëç áðëüôçôá, Ýíåêá óõììåôñßáò, óôç ðåñéãñáöÞ êñïýóåùí ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò. Äéüôé, åßôå ïé êñïýóåéò åßíáé åëáóôéêÝò, åßôå áíåëáóôéêÝò, äéáôçñåßôáé ç ïñìÞ êáé óôï óýóôçìá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ç ïëéêÞ ïñìÞ åßíáé ìçäÝí. Ôá áðïôåëÝóìáôá áõôÜ éó÷ýïõí óå äýï êáé óå ôñåéò äéáóôÜóåéò. Áò õðïëïãßóïõìå ôþñá ôç óõíïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò: á) Ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ (1)K m õL = + 1 2 01 1 2 p m õ m õ m õ m õc = − = −1 1 2 1 1 1 1 1 3 4 1 4 3 4 3 1 4 õ V õ2 10 1 4 c c= − = − õ õ V õ1 1 1 3 4 c c= − = ′ = =V õ Vc c 1 4 ′ = − + V m õ m õ m c 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 4 e j ′ = ′ + ′ + V m õ m õ m m c 1 1 2 2 1 2 ′ =õ õ2 1 1 2 ′ = + õ m m m õ2 2 1 2 1 2 ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 199
- 216. â) Ùò ðñïòôï óýóôçìá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò Þ (2) Þ Þ (3) Áðü ôéò (1) êáé (3) ðáñáôçñïýìå ðþò ìåôáó÷çìáôßæåôáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò, áðü ôï Ýíá óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ, óôï Üëëï ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò êáé ðñïöáíþò äåí ðáñÝìåéíå áíáëëïßùôç üðùò Ý÷ïõìå áíáðôýîåé êáé ðñïçãïõìÝíùò. ÐñÜãìáôé áí áöáéñÝóïõìå ôéò (1) êáé (2) Ý÷ïõìå Þ ~Ïðïõ ç åóùôåñéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò (áíåîÜñôçôç áðü ôï óýóôçìá áíáöïñÜò) êáé ç ìåôáöïñéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá. Ó÷üëéï: Áí óôç ó÷Ýóç (2) áíôéêáôáóôÞóïõìå ôçí ôá÷ýôçôá Vc áðü ôç ó÷Ýóç êáôáëÞãïõìå óôç ó÷Ýóç ç ïðïßá óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ôçò áíçãìÝíçò ìÜæáò ôïõ óõóôÞìáôïò, ãñÜöåôáé ¢ñá, ç åóùôåñéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí óùìáôßùí, äçëáäÞ, ç åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò, åßíáé ßóç ìå ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åíüò óùìáôßïõ ìÜæáò ì, ðïõ êéíåßôáé ìå ôçí (ó÷åôéêÞ) ôá÷ýôçôá ôïõ åíüò óùìáôßïõ ùò ðñïò ôï Üëëï. K ì õc = 1 2 1 2 K m m m m õc = + 1 2 1 2 1 2 1 2 V m õ m m c = + 1 1 1 2 1 2 4 1 2 m Vc K m õc = 3 8 1 1 2 K K m VL c c 2 = + 1 2 4 1 K K m õ m m VL c c 2 − = = + 1 8 1 2 1 1 2 1 2b g K m õc = 3 8 1 1 2 K m õ m õ c = F HG I KJ + F HG I KJ1 2 3 4 1 2 4 1 1 2 2 1 2 K m õ õ m Vc c 2 = − F HG I KJ + 1 2 1 4 1 2 1 1 1 2 2 K m õ V m Vc c c= − + − 1 2 1 2 01 1 2 2 2 b g b g 200 MHXANIKH
- 217. ÐáñÜäåéãìá 4-27 Íá ìåëåôçèåßç ðñïçãïýìåíç êñïýóç áí Þôáí ôåëåßùò áíåëáóôéêÞ (ðëáóôéêÞ), áðü ôç óêïðéÜ ôùí äõï ðáñáôçñçôþí, ôïõ ðáñáôçñçôÞ áðü ôï åñãáóôÞñéï êáé ôïõ ðáñáôçñçôÞ áðü ôï êÝíôñï ìÜæáò. Äßíïõìå ìüíï ó÷Þìáôá, äïõëÝøôå ôï èÝìá ìüíïé óáò. Ó÷üëéï: Óôçí ðñïêåéìÝíç ðåñßðôùóç ç åóùôåñéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé ßóç ìå ôçí áðþëåéá êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ óõóôÞìáôïò êáôÜ ôçí ôÝëåéá áíåëáóôéêÞ êñïýóç ôïõò. ÂëÝðåôå ãéáôß; ÔÏ ÖÁÉÍÏÌÅÍÏ DOPPLER Ç óõ÷íüôçôá (ôï ýøïò) ôïõ Þ÷ïõ, ðïõ áíôéëáìâÜíåôáé Ýíáò ðáñáôçñçôÞò (äÝêôçò), åîáñôÜôáé áðü ôïí áñéèìü ôùí êõìáôéóìþí, “êýìáôá”, ôá ïðïßá öèÜíïõí óôï áõôß ôïõ ðáñáôçñçôÞ áíÜ äåõôåñüëåðôï. ~Ïôáí ëïéðüí ç ç÷çôéêÞ ðçãÞ (ðïìðüò Ð) Þ ï ðáñáôçñçôÞò (äÝêôçò Ä) Þ êáé ïé äýï êéíïýíôáé ï Ýíáò óå ó÷Ýóç ìå ôïí Üëëï, ï áñéèìüò ôùí êõìáôéóìþí ðïõ öôÜíïõí óôïí ðáñáôçñçôÞ áëëÜæåé áíÜëïãá, ìå áðïôÝëåóìá ï ðáñáôçñçôÞò íá áíôéëáìâÜíåôáé äéáöïñåôéêÞ óõ÷íüôçôá áðü áõôÞí ôçò ðçãÞò. ÁõôÞ ç áëëáãÞ ôçò óõ÷íüôçôáò, ðïõ ïöåßëåôáé óôç ó÷åôéêÞ êßíçóç ðïìðïý - äÝêôç ïíïìÜæåôáé öáéíüìåíï Doppler (Þ ìåôáôüðéóç Doppler). Ãéá ôç ìåëÝôç ôïõ öáéíïìÝíïõ Doppler èåùñïýìå ôï äÝêôç Ä êáé ôçí ðçãÞ Ð íá êéíïýíôáé óôçí ßäéá åõèåßá, x~x, ìå ôá÷ýôçôåò → uÄ êáé → uÐ áíôßóôïé÷á. Ç èÝóç ôçò ðçãÞò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 åßíáé ç Ð0 êáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t ç Ðt , Üñá ç áðüóôáóç (Ð0 Ðt ) åßíáé ßóç ìå uÐ t. Áí ç ôá÷ýôçôá ôùí êõìÜôùí åßíáé → õ, ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t ôï ìÝôùðï êýìáôïò ðïõ Ýäùóå ç ðçãÞ üôáí âñéóêüôáí óôç èÝóç Ð0 èá åßíáé óöáéñéêÞ åðéöÜíåéá áêôßíáò õt êáé ç áðüóôáóç ôçò ðçãÞò áðü ôï óçìåßï à ôçò åðéöÜíåéáò áõôÞò èá åßíáé K ì õ m m m m õc = = + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 201 Ó×ÇÌÁ 4.112 ÐëáóôéêÞ êñïýóç ìÜæáò m ìå Üëëç ìÜæá 3 m áñ÷éêÜ áêßíçôç, óôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ åñãáóôçñßïõ. Ó×ÇÌÁ 4.113 ÐëáóôéêÞ êñïýóç ìÜæáò m ìå Üëëç ìÜæá 3 m áñ÷éêÜ áêßíçôç, óôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò.
- 218. (Ðt Ã) =õt + uÐ t = (õ + uÐ)t (4.93) Áí f ç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ ðïõ ðáñÜãåé ç ðçãÞ, ôüôå óå ÷ñüíï t Ý÷åé åêðÝìøåé Í = ft (4.94) áñéèìü “êõìÜôùí”, ðïõ ðåñéÝ÷ïíôáé óôï äéÜóôçìá (Ðt Ã). Ôï ìÞêïò êýìáôïò èá åßíáé ë´, üðïõ Þ ìÝóù ôùí (4.93) êáé (4.94) Ý÷ïõìå Þ (4.95) üìïéá óêåðôüìåíïé ãéá ôçí ðåñéï÷Þ (Ðt Â) èá Ý÷ïõìå (4.96) Áí ôþñá èåùñÞóïõìå ôï äÝêôç (Ä) íá êéíåßôáé óôçí åõèåßá xx~ ðëçóéÜæïíôáò Þ áðïìáêñõíüìåíïò ôçò ðçãÞò ìå ôá÷ýôçôá → uÄ , èá áíôéëáìâÜíåôáé ôá êýìáôá ìå ñõèìü (óõ÷íüôçôá) ðïõ êáèïñßæåôáé áðü ôç ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá õó÷ = õ ± uÄ (âë ó÷Þìá 4.114). (Ðñïöáíþò (+) üôáí ïé ôá÷ýôçôåò → uÄ êáé → õ åßíáé áíôßññïðåò êáé (−) üôáí åßíáé ïìüññïðåò, áíåîÜñôçôá ôïõ áí ï äÝêôçò (Ä) âñßóêåôáé óôçí ðåñéï÷Þ x´Ðt Þ óôçí Ðt x). Ç óõ÷íüôçôá ðïõ èá áíôéëáìâÜíåôáé ï äÝêôçò (Ä) èá åßíáé á) Áí âñßóêåôáé óôçí ðåñéï÷Þ x~Ðt Þ ìÝóù ôùí (4.95) êáé (4.97) Ý÷ïõìå (4.98)′ = ± + f õ u õ u fÄ Ð ′ = ′ f õ ë óx ′′ = − ë õ u f Ð ′ = + ë õ u f Ð ′ = + ë õ u t f t Ðb g ′ =ë Í (Ð Ã)t 202 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.114 Ìéá ðçãÞ Ð êéíåßôáé ïìáëÜ, ìå ôá÷ýôçôá → uÐ êáé ðáñáôçñçôÞ Ä êéíåßôáé ïìáëÜ ìå ôá÷ýôçôá → uÄ óôçí ðåñéï÷Þ (Ðt Ã) Þ óôçí ðåñéï÷Þ (Ðt Â) ðëçóéÜæïíôáò Þ áðïìáêñõíüìåíïò áðü ôçí ðçãÞ (Ð). Ï ðáñáôçñçôÞò óôçí ðåñéï÷Þ (Ðt Ã) “áíôéëáìâÜíåôáé” ìÞêïò êýìáôïò ë′ > ë êáé óôçí ðåñéï÷Þ Ðt  ë′′ < ë, üðïõ ë ôï ìÞêïò êýìáôïò áí ç ðçãÞ Þôáí áêßíçôç.
- 219. â) Áí âñßóêåôáéóôçí ðåñéï÷Þ Ðt x Þ ìÝóù ôùí (4.96) êáé (4.97) Ý÷ïõìå (4.99) Áí óõã÷ùíåýóïõìå ôéò ó÷Ýóåéò (4.98) êáé (4.99) ðáßñíïõìå ôç ãåíéêÞ ó÷Ýóç (4.100) ÓõìðåñáóìáôéêÜ, ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôç óõ÷íüôçôá f ~, ðïõ áíôéëáìâÜíåôáé ðáñáôçñçôÞò Þ äÝêôçò (Ä), ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá → uÄ, ó÷åôéêÜ ìå ðçãÞ, ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá → uÐ , áñêåß íá õðïëïãßóïõìå ôéò ó÷åôéêÝò ôá÷ýôçôåò ðáñáôçñçôÞ êáé Þ÷ïõ êáé ðçãÞò êáé Þ÷ïõ, üðùò öáßíåôáé óôç ó÷Ýóç (4.100). ÐñÝðåé íá óçìåéþóïõìå üôé õðÜñ÷åé êáé ç ðåñßðôùóç ôçò êßíçóçò ôïõ ìÝóïõ óôï ïðïßï äéáäßäåôáé ôï êýìá (ð÷. áÝñáò), ôüôå ìðïñïýìå íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå áíôß ôçò ôá÷ýôçôáò → õ ôïõ êýìáôïò ùò ðñïò ôï áêßíçôï ìÝóï, ôçí áíôßóôïé÷ç áðüëõôç ôá÷ýôçôá ôïõ êýìáôïò: õ′ = õ ± õìÝóï [(+) üôáí ç → õ êáé ç → õìÝóï åßíáé ïìüññïðåò êáé (−) üôáí ç → õ êáé ç → õìÝóï åßíáé áíôßññïðåò]. Ìðïñïýìå íá åñãáóôïýìå êáé ìå Üëëï ôñüðï, íá ðÜìå óôï óýóôçìá çñåìßáò ôïõ ìÝóïõ, ïðüôå èá Ýðñåðå íá ìåôáó÷çìáôéóôïýí êáôÜëëçëá ïé ôá÷ýôçôåò ðçãÞò êáé äÝêôç. ÅÉÄÉÊÅÓ ÐÅÑÉÐÔÙÓÅÉÓ Á. ~Ïôáí ç ðçãÞ åßíáé áêßíçôç êáé êéíåßôáé ï ðáñáôçñçôÞò ìå ôá÷ýôçôá → uÄ, ðëçóéÜæïíôáò ôçí ðçãÞ Þ áðïìáêñõíüìåíïò áðü áõôÞí, áíôéëáìâÜíåôáé óõ÷íüôçôåò Þ áíôßóôïé÷á (4.101) Ðñïöáíþò ôï ìÞêïò êýìáôïò ë ðáñáìÝíåé áìåôÜâëçôï êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò ðïõ ç ðçãÞ åßíáé áêßíçôç. Ó÷üëéá: 1) Áí uÄ > õ, áðü ôçí (4.101) Ý÷ïõìå f ~~< 0, ãåãïíüò ðïõ óçìáßíåé üôé ôá ç÷çôéêÜ êýìáôá äå öôÜíïõí óôïí ðáñáôçñçôÞ. 2) Áðü ôéò ðáñáðÜíù ó÷Ýóåéò ðáñáôçñïýìå üôé, üôáí ï ðáñáôçñçôÞò ðëçóéÜæåé ôçí áêßíçôç ðçãÞ, áíôéëáìâÜíåôáé Þ÷ï ìåãáëýôåñçò óõ÷íüôçôáò (ïîýôåñï), åíþ üôáí áðïìáêñýíåôáé áðü ôçí ðçãÞ, áíôéëáìâÜíåôáé Þ÷ï ìéêñüôåñçò óõ÷íüôçôáò (âáñýôåñï). Â. ~Ïôáí ï ðáñáôçñçôÞò åßíáé áêßíçôïò êáé êéíåßôáé ç ðçãÞ, ìå ôá÷ýôçôá → uÐ, ðëçóéÜæïíôÜò ôïí Þ áðïìáêñõíüìåíç áðü áõôüí, áíôéëáìâÜíåôáé óõ÷íüôçôåò: ′′ = − f f õ u õ Ä ′ = + f f õ u õ Ä ′ = ± ± f õ u õ u fÄ Ð ′′ = ± − f õ u õ u fÄ Ð ′′ = ′′ f õ ë óx ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 203
- 220. Þ (4.102) áíôßóôïé÷á Ó÷üëéá: 1)Áí uÐ > õ, áðü ôçí (4.102) Ý÷ïõìå f~< 0, ãåãïíüò ðïõ óçìáßíåé üôé ç ðçãÞ öôÜíåé óôïí áêßíçôï ðáñáôçñçôÞ, ðñéí áðü ôá ç÷çôéêÜ êýìáôá. 2) Áðü ôéò ðáñáðÜíù ó÷Ýóåéò ðáñáôçñïýìå üôé, üôáí ç ðçãÞ ðëçóéÜæåé ôïí áêßíçôï ðáñáôçñçôÞ, ôüôå áõôüò áíôéëáìâÜíåôáé Þ÷ï ìåãáëýôåñçò óõ÷íüôçôáò (ïîýôåñï), åíþ üôáí áðïìáêñýíåôáé áðü ôïí ðáñáôçñçôÞ, áíôéëáìâÜíåôáé Þ÷ï ìéêñüôåñçò óõ÷íüôçôáò (âáñýôåñï). Ã. ~Ïôáí ç ðçãÞ êáé ï ðáñáôçñçôÞò êéíïýíôáé óå äéáöïñåôéêÝò äéåõèýíóåéò. Óôçí ðñïêåéìÝíç ðåñßðôùóç ç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ, ðïõ áíôéëáìâÜíåôáé ï ðáñáôçñçôÞò äåí åßíáé óôáèåñÞ. Ìðïñïýìå üìùò íá âñïýìå ôç óõ÷íüôçôá ðïõ áêïýìå ìéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ. Ç óôéãìéáßá áõôÞ óõ÷íüôçôá âñßóêåôáé, áí óôçí ó÷Ýóç (4.100), áíôéêáôáóôÞóïõìå ôéò ôá÷ýôçôåò ìå ôéò ðñïâïëÝò ôùí ôá÷õôÞôùí uÄ êáé uÐ ðÜíù óôçí åõèåßá ðïõ åíþíåé, ôç óõãêåêñéìÝíç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ, ôïí ðáñáôçñçôÞ ìå ôçí ðçãÞ (Ó÷. 4.115). Ïðüôå ç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ, ðïõ áíôéëáìâÜíåôáé ï ðáñáôçñçôÞò Ä èá åßíáé (4.103) Ä. ~Ïôáí ç ðçãÞ êáé ï ðáñáôçñçôÞò êéíïýíôáé óôçí ßäéá äéåýèõíóç ìå êßíçóç ìç ïìáëÞ. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ï ðáñáôçñçôÞò áíôéëáìâÜíåôáé óõ÷íüôçôá ðïõ åßíáé ìåôáâëçôÞ. Ìðïñïýìå üìùò íá õðïëïãßóïõìå ôçí óôéãìéáßá óõ÷íüôçôá ðïõ áíôéëáìâÜíåôáé ï ðáñáôçñçôÞò, áí óôç ó÷Ýóç (4.100) áíôéêáôáóôÞóïõìå ôéò óôéãìéáßåò ôá÷ýôçôåò ôïõ ðáñáôçñçôÞ êáé ôçò ðçãÞò. Ç ãåíéêüôåñç ðåñßðôùóç åßíáé ðñïöáíÞò. ÐñÝðåé íá ðïýìå üôé, óôéò ðåñéðôþóåéò à êáé Ä, ç åãêÜñóéá ìåôáôüðéóç ôçò åõèåßáò ìåôáîý ðçãÞò êáé ðáñáôçñçôÞ, ðñÝðåé íá ìçí åßíáé ìåãÜëç óå ìéá ðåñßïäï, óå ó÷Ýóç ìå ôï ìÞêïò êýìáôïò, ãéáôß ôüôå ôá ðñÜãìáôá ãßíïíôáé ðéï ðïëýðëïêá. ÄçëáäÞ ðñÝðåé ç óõ÷íüôçôá íá åßíáé áñêïýíôùò ìåãÜëç, ãéá íá Ý÷ïõí, íüçìá ïé õðïëïãéóìïß. ′ = + + f f õ u ö õ u è Ð Ä cos cos ′′ = + f f õ õ uÐ ′ = − f f õ õ uÐ 204 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.115 ¼ôáí ç ðçãÞ Ð êáé ï ðáñáôçñçôÞò Ä êéíïýíôáé óå äéáöïñåôéêÝò äéåõèýíóåéò, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôéò ðñïâïëÝò ôùí ôá÷õôÞôùí → uÐ êáé → uÄ ðÜíù óôçí åõèåßá ðïõ óõíäÝåé ôïí ðáñáôçñçôÞ ìå ôçí ðçãÞ.
- 221. ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ ÔÏÕ ÖÁÉÍÏÌÅÍÏÕDOPPLER Ôï öáéíüìåíï Doppler ðáñáôçñåßôáé óå üëá ôá åßäç êõìÜôùí, ðïõ äéáäßäïíôáé óôïí áÝñá Þ óôï êåíü. ¸ôóé ðáñáôçñåßôáé ôüóï óôçí ÁêïõóôéêÞ üóï êáé óôçí ÏðôéêÞ. Óôçí ÁêïõóôéêÞ ìðïñïýìå íá ôï áíôéëçöèïýìå ìå ôï áõôß ùò ìåôáâïëÞ ôïõ ýøïõò ôïõ Þ÷ïõ, óôçí ÏðôéêÞ ùò ìåôáôüðéóç öáóìáôéêþí ãñáììþí óôï öÜóìá. Ôï öáéíüìåíï áõôü Ý÷åé ðïëëÝò ðñáêôéêÝò åöáñìïãÝò, ð.÷. 1) Óôï öáéíüìåíï áõôü óôçñßæåôáé ç ëåéôïõñãßá ôùí radar ôçò áóôõíïìßáò ãéá ôïí Ýëåã÷ï ôùí ïñßùí ôá÷ýôçôáò ôùí ï÷çìÜôùí. Ôá radar áõôÜ ÷ñçóéìïðïéïýí çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá ðïëý ìåãÜëçò óõ÷íüôçôáò (f = 9 GHz). 2) Ôï öáéíüìåíï ÷ñçóéìïðïéåßôáé óôçí éáôñéêÞ ãéá ôç ìÝôñçóç ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ áßìáôïò ìå õðåñÞ÷ïõò. ÁíÜëïãá ãßíïíôáé óôçí ìåëÝôç ñïþí óôçí ñåõóôïìç÷áíéêÞ. 3) Ç Áóôñïíïìßá åðßóçò, ìå ôç âïÞèåéá ôïõ öáéíïìÝíïõ áõôïý, õðïëïãßæåé ôçí ôá÷ýôçôá ôùí ïõñáíßùí óùìÜôùí, óôçñéæüìåíç óôç ìåôáôüðéóç ôùí öáóìáôéêþí ãñáììþí. 4) Ôï öáéíüìåíï Doppler ðáñáôçñåßôáé êáé óôá õäÜôéíá êýìáôá. ~Åôóé áí Ýíáò ðáñáôçñçôÞò êéíåßôáé ìå ìéêñÞ âÜñêá áíôßèåôá ðñïò ôçí öïñÜ ôïõ áíÝìïõ, ôá êýìáôá ðëÞôôïõí ôç âÜñêá ìå ìåãáëýôåñç óõ÷íüôçôá áðü ôçí êáíïíéêÞ. Áíôßèåôá áí êéíåßôáé ïìüññïðá ðñïò ôç öïñÜ ôïõ áíÝìïõ, ç óõ÷íüôçôá ìå ôçí ïðïßá ôá êýìáôá ðëÞôôïõí ôç âÜñêá åßíáé ìéêñüôåñç ôçò êáíïíéêÞò. Ó÷üëéï: Ï áêñéâÞò ôýðïò Doppler ãéá çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá äéáöÝñåé áðü áõôüí ãéá ôïí Þ÷ï, Ýíåêá öáéíïìÝíùí ôçò åéäéêÞò èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò, üìùò ôá áðïôåëÝóìáôá åßíáé ðïéïôéêÜ ðáñüìïéá (âë. Ó÷åôéêüôçôá). Åðßóçò êáé ãéá çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá ãéá ðïëý ìéêñÝò ôá÷ýôçôåò ðáñáôçñçôÞ êáé ðçãÞò ùò ðñïò ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò, ïé äõï ôýðïé äßíïõí ðñáêôéêþò ôá ßäéá áðïôåëÝóìáôá. ÐáñÜäåéãìá 4-28 Óå Ýíá óçìåßï åõèýãñáììçò óéäçñïäñïìéêÞò ãñáììÞò âñßóêåôáé áêßíçôïò Ýíáò Üíèñùðïò. Ìéá ôá÷åßá áìáîïóôïé÷ßá ðëçóéÜæåé ðñïò áõôüí ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá, åíþ ôáõôü÷ñïíá óöõñßæåé åðß ÷ñïíéêü äéÜóôçìá t. Ï ðáñáãüìåíïò Þ÷ïò Ý÷åé óõ÷íüôçôá 600 Hz êáé ãßíåôáé áíôéëçðôüò åðß ÷ñïíéêü äéÜóôçìá 25 s. Íá âñåèïýí: á) Ç ôá÷ýôçôá ôçò áìáîïóôïé÷ßáò. â) Ï ÷ñüíïò t ðïõ äéÞñêçóå ç åêðïìðÞ ôïõ Þ÷ïõ ôçò áìáîïóôïé÷ßáò. Äßíåôáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá, 340 m/s. ÁðÜíôçóç á) Ç ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá êéíåßôáé ç áìáîïóôïé÷ßá âñßóêåôáé ìå ÷ñÞóç ôçò ó÷Ýóçò áðü ôçí ïðïßá ëýíïíôáò ùò ðñïò uÐ ðáßñíïõìå ′ = − f f õ õ uÐ ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓ ÊÉÍÇÓÅÉÓ 205 Ó×ÇÌÁ 4.116
- 222. êáé ìåôÜ áðüáíôéêáôÜóôáóç ôùí äåäïìÝíùí Ý÷ïõìå ~Áñá ç ôá÷ýôçôá ôçò áìáîïóôïé÷ßáò åßíáé uÐ = 40 m/s Þ uÐ = 144 km/h. â) ~Ïðùò åßíáé ãíùóôü, ç óõ÷íüôçôá åêðïìðÞò ìéáò ðçãÞò ïñßæåôáé ùò ï ëüãïò ôïõ áñéèìïý ôùí “êõìÜôùí”, ðïõ åêðÝìöèçêáí áðü ôçí ðçãÞ, ðñïò ôïí áíôßóôïé÷ï ÷ñüíï åêðïìðÞò. Ï áñéèìüò üìùò ôùí êõìÜôùí, ðïõ åîÝðåìøå ç ðçãÞ, åßíáé ï ßäéïò ìå ôïí áñéèìü ôùí êõìÜôùí ðïõ öèÜíïõí óôïí ðáñáôçñçôÞ. Áðü ôá ðáñáðÜíù Ý÷ïõìå ÐáñÜäåéãìá 4-29 Kýìá õðåñÞ÷ùí 2,00 ÌÇz ðïõ äéáäßäåôáé ìÝóá óôï óþìá ôçò ìçôÝñáò, áíáêëÜôáé áðü ôï ôïß÷ùìá ôçò êáñäéÜò ôïõ áãÝííçôïõ ðáéäéïý, ç ïðïßá åêåßíç ôç óôéãìÞ êéíåßôáé ðñïò ôï ìç÷Üíçìá õðåñÞ÷ùí, ðïõ ðáñÜãåé ôá êýìáôá. Ï áíáêëáóèåßò Þ÷ïò óõíôßèåôáé ìå ôïí ðáñáãüìåíï êáé äçìéïõñãïýíôáé äéáêñïôÞìáôá óõ÷íüôçôáò 160 Çz. Ç ôá÷ýôçôá ôùí õðåñÞ÷ùí óôï óþìá åßíáé 1500 m/s. Õðïëïãßóôå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ ôïé÷þìáôïò ôçò êáñäéÜò ôç óôéãìÞ ôçò ìÝôñçóçò. ÁðÜíôçóç ~Åóôù üôé ç êßíçóç ôïõ ôïé÷þìáôïò ôçò êáñäéÜò ôïõ áãÝííçôïõ åßíáé ðñïò ôïí ðïìðïäÝêôç õðåñÞ÷ùí ìå ôá÷ýôçôá õê . Ç óõ÷íüôçôá ôùí õðåñÞ÷ùí åßíáé f êáé ç ôá÷ýôçôá óôï ìçôñéêü óþìá õ. ~Ïôáí ï õðÝñç÷ïò êáôåõèýíåôáé ðñïò ôçí êáñäéÜ, ç êáñäéÜ åßíáé äÝêôçò, Üñá “áéóèÜíåôáé” óõ÷íüôçôá Óõã÷ñüíùò üìùò ãßíåôáé ðïìðüò, ðïõ ðëçóéÜæåé ðñïò ôïí äÝêôç ôïõ ìç÷áíÞìáôïò õðåñÞ÷ùí, Üñá áõôü ìåôñÜ óõ÷íüôçôá Ìå óõó÷åôéóìü ôùí ðáñáðÜíù ó÷Ýóåùí Ý÷ïõìå Ðñïöáíþò óôï äÝêôç ôïõ ìç÷áíÞìáôïò ó÷çìáôßæåôáé äéáêñüôçìá óõ÷íüôçôáò fä = f~~− f . Aðü ôéò ðéï ðÜíù ó÷Ýóåéò Ý÷ïõìå Ìå áíôéêáôÜóôáóç Ý÷ïõìå, ãéá ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ ôïé÷þìáôïò ôçò êáñäéÜò, õê = 6 × 10− 2 m/s. õ õf f f ê ä ä = +2 ′′ = + − f f õ õ õ õ ê ê ′′ = ′ − f f õ õ õê ′ = + f f õ õ õ ê f N t f N t t f t f t = ′ = ′ U V| W| = ′ ′ = × ≈Þ Þ s s 680 25 600 28 uÐ m s m s = × − = 340 680 600 680 40 b g u õ f f f Ð = ′ − ′ b g 206 MHXANIKH
- 223. ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓÊÉÍÇÓÅÉÓ 207 ÊñïõóôéêÝò (ùóôéêÝò äõíÜìåéò) Åßíáé ðïëý ìåãÜëåò äõíÜìåéò, ðïëý ìåãáëýôåñåò áðü óõíÞèåéò äõíÜìåéò ðïõ áóêïýíôáé óõã÷ñüíùò óôá óþìáôá, êáôÜ ôç óýãêñïõóÞ ôïõò. Ï íüìïò äéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò ¼ôáí äýï óþìáôá áðïôåëïýí Ýíá áðïìïíùìÝíï (äõíáìéêÜ) óýóôçìá, ç ïëéêÞ ïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò äéáôçñåßôáé, áíåîÜñôçôá áðü ôï åßäïò ôçò áëëçëåðßäñáóÞò ôïõò. (Áõôü óçìáßíåé üôé éó÷ýåé ç áñ÷Þ äñÜóçò-áíôéäñáóçò.) ÄçëáäÞ → p1 + → p2 = → p1´ + → p2´ Êñïýóåéò óå ìßá äéÜóôáóç ¼ôáí äýï óþìáôá óõãêñïýïíôáé, ôüôå ç ïëéêÞ ïñìÞ, êÜèå óôéãìÞ, ðáñáìÝíåé (äéáíõóìáôéêÜ) óôáèåñÞ, áíåîÜñôçôç áðü ôï åßäïò ôçò êñïýóçò. Åßäç êñïýóåùí: ÅëáóôéêÝò êñïýóåéò: Êñïýóåéò óôéò ïðïßåò äéáôçñåßôáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò. Ìç åëáóôéêÝò êñïýóåéò: Êñïýóåéò óôéò ïðïßåò äåí äéáôçñåßôáé ç êé- íçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò. Ôåëåßùò ìç åëáóôéêÝò êñïýóåéò (Þ ðëáóôéêÝò) Êñïýóåéò óôéò ïðïßåò äåí äéáôçñåßôáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò êáé ôá óõãêñïõüìåíá óþìáôá åíþíïíôáé óå Ýíá óþìá. ÓõíôåëåóôÞò êñïýóçò Þ áðïêáôÜóôáóçò ôùí õëéêþí ÏíïìÜæåôáé ôï áñíçôéêü ðçëßêï ôçò ó÷åôéêÞò ôá÷ýôçôÜò ôïõò ìåôÜ ôçí êñïýóç, äéá ôçò ó÷åôéêÞò ôá÷ýôçôÜò ôïõò ðñéí ôçí êñïýóç e = 1: ôåëåßùò åëáóôéêÝò êñïýóåéò 0 < e < 1: áíåëáóôéêÝò êñïýóåéò e = 0: ôåëåßùò áíåëáóôéêÝò êñïýóåéò (ðëáóôéêÝò) Ôá÷ýôçôåò óôéò åëáóôéêÝò êñïýóåéò Ðñéí: õ1 êáé õ2 ÌåôÜ: Êñïýóåéò óå äýï Þ ôñåéò äéáóôÜóåéò Óôéò êñïýóåéò áõôÝò äéáôçñïýíôáé ïé óõíéóôþóåò ôçò ïñìÞò ãéá êÜèå äéåýèõíóç îå- ÷ùñéóôÜ. ÁäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò ËÝãïíôáé ôá óõóôÞìáôá áíáöïñÜò óôá ïðïßá éó÷ýåé ï ðñþôïò êáé äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá. Ìåôáó÷çìáôéóìïß ôïõ Ãáëéëáßïõ Éó÷ýïõí ìåôáîý áäñáíåéáêþí óõóôçìÜôùí êáé åßíáé x´ = x – ut, y´ = y, z´ = z, t´ = t (êáôÜëëçëïò ðñïóáíáôïëéóìüò) Ìç áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò ËÝãïíôáò ôá óõóôÞìáôá áíáöïñÜò óôá ïðïßá äåí éó÷ýïõí ïé 1ïò êáé 2ïò íüìïò ôïõ Íåý- ôùíá. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò åíüò óõóôÞìáôïò óùìáôßùí ÏëéêÞ ïñìÞ óõóôÞìáôïò óùìáôßùí p → → = ïë cÌ V C i im V M υ = ∑ ′ = − + + + + õ m e m m m õ e m m m õ2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1b g ′ = − + + + + õ m e m m m õ e m m m õ1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1b g e õ õ õ õ õ õ = − ′ = − ′ − ′ − óx óx 1 2 1 2 drasthriothtesA N A Ê Å Ö Á Ë Á É Ù Ó Ç
- 224. 208 MHXANIKH Èåþñçìá 1ï HïëéêÞ ïñìÞ åíüò óõóôÞìáôïò óùìáôßùí ùò ðñïò óýóôçìá ðïõ êéíåßôáé ìå ôï ÊÌ ìå- ôáöïñéêÜ (÷ùñßò íá ðåñéóôñÝöåôáé), äçëáäÞ ôï óýóôçìá ÊÌ, åßíáé ìçäÝí. ÄçëáäÞ Èåþñçìá 2ï Ç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åíüò óõóôÞìáôïò óùìáôßùí, ð.÷. ùò ðñïò ôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ åñãáóôçñßïõ (L), éóïýôáé ìå ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôçò ïëéêÞò ìÜæáò óõãêåíôñùìÝíçò óôï êÝíôñï ìÜæáò, óõí ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò, äçëáäÞ Þ ÁíçãìÝíç ìÜæá (ì) ÁíçãìÝíç ìÜæá óõóôÞìáôïò äýï óùìáôßùí, ðïõ áëëçëåðéäñïýí ìåôáîý ôïõò, ïñßæåôáé ùò ç ðïóüôçôá Ôï öáéíüìåíï Doppler Ç óõ÷íüôçôá (ôï ýøïò) ôïõ Þ÷ïõ, ðïõ áíôéëáìâÜíåôáé Ýíáò ðáñáôçñçôÞò, ï ïðïßïò êéíåßôáé ó÷åôéêÜ ìå ìéá ðçãÞ, äåí åßíáé ç ðñáãìáôéêÞ. ÁõôÞ ç áëëáãÞ ôçò óõ÷íüôçôáò ïíïìÜæåôáé öáéíüìåíï Doppler (Þ ìåôáôüðéóç Doppler). Ç öáéíüìåíç óõ÷íüôçôá f ´, ðïõ áíôéëáìâÜíåôáé ï ðáñáôçñçôÞò äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç üðïõ: uÄ ç ôá÷ýôçôá ôïõ ðáñáôçñçôÞ uÐ ç ôá÷ýôçôá ôçò ðçãÞò êáé õ ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ ′ = ± ± f f õ u õ u Ä Ð ì m m m m = + 1 2 1 2 K K MVL c c= + 1 2 2 K m õ MVL i i c= ′ +∑ 1 2 1 2 2 2 ′ = ′ = → → ∑pc im õi 0 ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÓÅ ÌÉÁ ÊÁÉ ÄÕÏ ÄÉÁÓÔÁÓÅÉÓ (Á) Óôï ó÷Þìá öáßíïíôáé ïé èÝóåéò äýï óöáéñéäßùí ßóçò ìÜæáò, ðïõ óõãêñïýïíôáé ìåôùðéêÜ (ìðÜëåò ìðéëéÜñäïõ). Óôçí ðñþôç èÝóç ç áñéóôåñÞ ìðÜëá êéíåßôáé, åíþ ç äåîéÜ åßíáé áêßíçôç. Ç óôéãìÞ ôçò óýãêñïõóçò åìöáíßæåôáé óôçí ôÝôáñôç áðü ðÜíù èÝóç. Ïé èÝóåéò (óôéãìéüôõðá) äéáöÝñïõí ìåôáîý ôïõò êáôÜ Ät = 0,02 s êáé ï êáíüíáò åßíáé âáèìïëïãçìÝíïò óå åêáôïóôÜ. Íá åëÝãîåôå, áí éó÷ýåé ç Áñ÷Þ ÄéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò êáé áí ç êñïýóç åßíáé ôåëåßùò åëáóôéêÞ Þ ü÷é. drasthriothtesÄ Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Å Ó
- 225. ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓÊÉÍÇÓÅÉÓ 209 (Â) Äßíïíôáé ôá ß÷íç ðïõ ðñïêýðôïõí áðü ìéá óôñïâïóêïðéêÞ öùôïãñÜöçóç ôçò óýãêñïõóçò ìåôáîý äýï óöáéñþí ìå ìÜæåò m1 = 201,1 g êáé m2 = 85,4 g. Ôá äéáäï÷éêÜ óôéãìéüôõðá áðÝ÷ïõí ÷ñïíéêÜ ìåôáîý ôïõò êáôÜ Ät = 0,033 s. Êáé ïé äýï ìðÜëåò Þôáí áñ÷éêÜ óå êßíçóç êáé ç äéáäéêáóßá îåêéíÜ áðü ôï ðÜíù ìÝñïò ôçò åéêüíáò. Íá åëÝãîåôå áí êáôÜ ôçí êñïýóç éó÷ýåé ç Áñ÷Þ ÄéáôÞñçóçò ôçò ÏñìÞò êáé ç Áñ÷Þ ÄéáôÞñçóçò ôçò ÅíÝñãåéáò. ÌÅËÅÔÇ ÂÏËÇÓ ÌÅ ÔÇ ÓÕÓÊÅÕÇ ÊÑÏÕÓÇÓ ÓÅ ÄÕÏ ÄÉÁÓÔÁÓÅÉÓ ÊÁÉ ÌÅ ÊÅÊËÉÌÅÍÏ ÅÐÉÐÅÄÏ Ðáßñíåôå ôçí ðåéñáìáôéêÞ äéÜôáîç ôïõ ðáñáêÜôù ó÷Þìáôïò. Ïé óöáßñåò ðïõ èá ÷ñçóéìïðïéÞóåôå íá åßíáé ôçò ßäéáò ìÜæáò êáé ôïõ ßäéïõ üãêïõ, ìåôáëëéêÝò Þ ãõÜëéíåò. Íá öñïíôßóåôå ç êñïýóç íá åßíáé ìåôùðéêÞ. ×ñçóéìïðïéþíôáò ôçí Áñ÷Þ ÄéáôÞñçóçò ôçò Ìç÷áíéêÞò ÅíÝñãåéáò ãéá ôçí óöáßñá m1 áðü Á → à êáé ôéò ó÷Ýóåéò ãéá ôçí êßíçóç ôçò óöáßñáò m2 áðü à → Ä íá åëÝãîåôå áí ç êñïýóç åßíáé ôåëåßùò åëáóôéêÞ Þ ü÷é. Íá êÜíåôå ôïí ßäéï Ýëåã÷ï ãéá ôçí ðåñßðôùóç ôçò ìç ìåôùðéêÞò óýãêñïõóçò. h g t s õt= = 1 2 2 êáé
- 226. 210 MHXANIKH ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ 1 KáôÜ ôçíåîÝëéîç ìéáò åëáóôéêÞò êñïýóçò (á) óå üëç ôç äéÜñêåéá ôïõ öáéíïìÝíïõ Ý÷ïõìå äéáôÞñçóç ôçò ïëéêÞò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò, (â) äéáôÞñçóç ôçò ïñìÞò Ý÷ïõìå ìüíï óôçí áñ÷Þ êáé óôï ôÝëïò ôïõ öáéíïìÝíïõ, (ã) ìÝãéóôç åíÝñãåéá ðáñáìüñöùóçò Ý÷ïõìå óôç èÝóç üðïõ ç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé åëÜ÷éóôç, (ä) äéáôÞñçóç ôçò ïëéêÞò ìç÷áíéêÞò åíÝñãåéáò Ý÷ïõìå ìüíï ðñéí êáé ìåôÜ ôçí êñïýóç. 2 Áíáöåñüìåíïé óôï ó÷Þìá 4.86, üðïõ öáßíïíôáé ôá äéÜöïñá óôéãìéüôõðá êáôÜ ôçí åëáóôéêÞ êñïýóç äýï óöáéñþí, íá áíôéóôïé÷ßóåôå ôá óôïé÷åßá ôçò áñéóôåñÞò óôÞëçò ðïõ áíáöÝñïíôáé óå ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò åíÝñãåéáò - ÷ñüíïõ (óå åëåýèåñç åêôßìçóç) ìå ôá óôïé÷åßá ôçò äåîéÜò óôÞëçò. 3 ÅÜí ðåôÜîåôå ìéá åëáóôéêÞ ìðÜëá ðñïò Ýíá åñ÷üìåíï ôñÝíï êáé ç êñïýóç åßíáé ìåôùðéêÞ åëáóôéêÞ, ôüôå ç ìðÜëá ìåôÜ ôçí êñïýóç, èá áíáðçäÞóåé ðñïò ôá ðßóù ìå ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ (á) ôñéðëÜóéïõ ôïõ áñ÷éêïý. (â) ßóïõ ìå ôï áñ÷éêü. (ã) äéðëÜóéïõ ôïõ áñ÷éêïý. (ä) äåí åßíáé åðáñêÞ ôá óôïé÷åßá ãéá ôïí õðïëïãéóìü. 4 ÌéêñÞ, åëáóôéêÞ, ïìïãåíÞò óöáßñá ìÜæáò m1 êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá → õ ðÜíù óå ïñéæüíôéï Ýäáöïò ÷ùñßò íá óôñÝöåôáé êáé óõãêñïýåôáé åëáóôéêÜ êáé ìåôùðéêÜ ìå Üëëç óöáßñá ßäéùí ÷áñáêôçñéóôéêþí êáé ßäéáò áêôßíáò ìÜæáò m2 áñ÷éêÜ áêßíçôçò. Áí ïé ôá÷ýôçôåò ôùí óöáéñþí ìåôÜ ôçí êñïýóç Ý÷ïõí ßóá ìÝôñá, áëëÜ áíôßèåôåò öïñÝò, ôüôå ï ëüãïò ôùí ìáæþí ôùí óöáéñþí m2 /m1 åßíáé á) 1 â) >> 1 ã) 3 ä) << 1 5 Áíáöåñüìåíïé óôçí ðñïçãïýìåíç åñþôçóç: (á) ïé óöáßñåò, ìåôÜ ôçí êñïýóç, Ý÷ïõí ßäéåò êéíçôéêÝò åíÝñãåéåò. (â) ïé óöáßñåò õößóôáíôáé ßóåò ìåôáâïëÝò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò. (ã) ç óöáßñá ìÜæáò m1 õößóôáôáé ôñéðëÜóéá ìåôáâïëÞ êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò, áðü ôç óöáßñá ìÜæáò m2. (ä) ïé óöáßñåò õößóôáíôáé áíôßèåôåò ìåôáâïëÝò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò. 6 ÊáôÜ ôç ìåôùðéêÞ åëáóôéêÞ êñïýóç äýï óöáéñþí, ïé äéáöïñÝò ôùí ôá÷õôÞôùí ôïõò ðñéí êáé ìåôÜ ôçí êñïýóç åßíáé áíôßèåôåò üôáí: (á) ïé óöáßñåò Ý÷ïõí ßóåò ìÜæåò (â) ðÜíôá (ã) ïé óöáßñåò Ý÷ïõí ëüãï ìáæþí >> 1 (ä) ç ìéá óöáßñá åßíáé áñ÷éêÜ áêßíçôç êáé Ý÷åé ìåãáëýôåñç ìÜæá áðü áõôÞí ðïõ êéíåßôáé 7 Äýï óöáßñåò Ó2 êáé Ó3 , ïìïãåíåßò, ìå ìÜæåò m êáé Ì áíôßóôïé÷á åßíáé áêßíçôåò êáé åöÜðôïíôáé. Ìéá ôñßôç óöáßñá Ó1 ïìïãåíÞò êáé ßóïõ üãêïõ ìå ôéò ðñïçãïýìåíåò, ìÜæáò m, êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ0 êáôÜ ìÞêïò ôçò äéáêÝíôñïõ ôùí Üëëùí äýï, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Áí üëåò ïé êñïýóåéò åßíáé ìåôùðéêÝò êáé åëáóôéêÝò, ôüôå: (á) èá óõìâïýí ôñåéò êñïýóåéò áí m > M (â) èá óõìâïýí äýï êñïýóåéò áí m ≥ M (á) ÄõíáìéêÞ åíÝñãåéá óõóôÞìáôïò (â) ÊéíçôéêÞ åíÝñãåéá óõóôÞìáôïò (ã) Ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá óõóôÞìáôïò
- 227. ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓÊÉÍÇÓÅÉÓ 211 (ã) óõìâáßíïõí ðÜíôá äýï êñïýóåéò áíåîÜñôçôá ó÷Ýóåùò ìáæþí (ä) óõìâáßíïõí ðÜíôá ôñåéò êñïýóåéò áíåîÜñôçôá ó÷Ýóåùò ìáæþí (å) èá óõìâïýí äýï êñïýóåéò ìüíï áí m = M 8 Óôçí åëáóôéêÞ ìåôùðéêÞ êñïýóç äýï ïìïãåíþí óöáéñþí ìå ìÜæåò m1 êáé m2 üðïõ m2 åßíáé áñ÷éêÜ áêßíçôç êáé ç m1 êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ õ1 = 10 m/s (á) ôç ìåãáëýôåñç ìåôáâïëÞ óôçí ïñìÞ ôçò óöáßñáò m1 ôçí Ý÷ïõìå óôçí ðåñßðôùóç ðïõ m1 = m2 (â) áíåîÜñôçôá ó÷Ýóçò ìáæþí Ý÷ïõìå: (ã) ç ôá÷ýôçôá ôçò m1 ìåôÜ ôçí êñïýóç ðáßñíåé ôéìÝò óôï äéÜóôçìá [−20, +10] m/s (ä) ç ìåãáëýôåñç ôéìÞ ðïõ ìðïñåß íá ðÜñåé ç ôá÷ýôçôá ôçò óöáßñáò m2 ìåôÜ ôçí êñïýóç åßíáé 10 m/s 9 Äýï óöáßñåò ôçò ßäéáò ìÜæáò êéíïýíôáé ÷ùñßò ôñéâÝò ðÜíù óôçí ßäéá åõèåßá ïñéæüíôéïõ åðéðÝäïõ. Áí 3,0 s ðñéí ôçí êñïýóç ôïõò áðÝ÷ïõí 0,45 m, åíþ 3,0 s ìåôÜ ôçí êñïýóç ôïõò áðÝ÷ïõí 0,36 m (á) Ç êñïýóç ôùí äýï óöáéñþí åßíáé ôåëåßùò åëáóôéêÞ (â) Ç êñïýóç ôùí äýï óöáéñþí åßíáé áíåëáóôéêÞ (ã) Ç êñïýóç ôùí äýï óöáéñþí åßíáé ôåëåßùò áíåëáóôéêÞ (ðëáóôéêÞ). 10 ÊáôÜ ôçí ðëáóôéêÞ êñïýóç äýï óùìÜôùí (á) Ç oëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôùí óùìÜôùí ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ. (â) Ç ïëéêÞ ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá ôùí óùìÜôùí ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ. (ã) Ç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá êáé ç ïñìÞ ôùí óùìÜôùí åëáôôþíåôáé. (ä) Ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí óùìÜôùí åëáôôþíåôáé. 11 Ìéá âüìâá ìéêñïý âÜñïõò åêôïîåýåôáé êáôáêüñõöá ðñïò ôá ðÜíù. Ôç óôéãìÞ ðïõ öôÜíåé óôï ìÝãéóôï ýøïò äéáóðÜôáé óå ðÝíôå êïììÜôéá (á) ç óõíïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôùí êïììáôéþí åßíáé ìåãáëýôåñç ôçò áñ÷éêÞò (â) ôï Üèñïéóìá ôùí ìÝôñùí ôùí ïñìþí ôùí êïììáôéþí åßíáé ìçäÝí (ã) ç ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò êáôÜ ôçí Ýêñçîç äéáôçñåßôáé óôáèåñÞ (ä) ç ïëéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò áõîÞèçêå 12 Äýï ìéêñÝò óöáßñåò ßóùí ìáæþí óõãêñïýïíôáé ðëáóôéêÜ ìå ôá÷ýôçôåò ßóùí ìÝôñùí. Áí ôï óõóóùìÜôùìÜ ôïõò Ý÷åé ôá÷ýôçôá ßóç êáôÜ ìÝôñï ìå ôï ìéóü ôçò áñ÷éêÞò ôá÷ýôçôáò ôùí óöáéñþí, ôüôå ç ìåôáîý ôùí áñ÷éêþí ôá÷õôÞôùí ãùíßá åßíáé: (á) 60ï (â) 120ï (ã) 90ï (ä) 180ï (å) 0ï 13 Ãéá êñïýóç ìåôáîý äýï óöáéñþí, íá áíôéóôïé÷ßóåôå ôá óôïé÷åßá ôçò áñéóôåñÞò óôÞëçò ìå áõôÜ ôçò äåîéÜò: (Á) åëáóôéêÞ êñïýóç (á) 0 < e < 1 (Â) ðëáóôéêÞ êñïýóç (â) e = 0 (Ã) ÁíåëáóôéêÞ êñïýóç (ã) e > 1 (ä) e = 1 14 Ná áíôéóôïé÷ßóåôå ôá óôïé÷åßá ôçò áñéóôåñÞò óôÞëçò, ðïõ áíáöÝñïíôáé óôéò áñ÷éêÝò óõíèÞêåò ìåôùðéêþí åëáóôéêþí êñïýóåùí, äýï ïìïãåíþí åëáóôéêþí óöáéñþí ìáæþí m1 êáé m2 êáé ôá÷õôÞôùí õ1 êáé õ2 áíôßóôïé÷á, ìå áõôÜ ôçò äåîéÜò óôÞëçò, ðïõ åßíáé ïé ôá÷ýôçôåò ôùí óöáéñþí ìåôÜ ôçí êñïýóç. (Á) m1 = m2 êáé õ2 = 0 (á) õ′1 = 0 õ′2 = õ1 (Â) m1 >> m2 êáé õ1 = 0 (â) õ′1 ≈ õ1 õ′2 ≈ 2õ1 (Ã) m1 >> m2 êáé õ2 = 0 (ã) õ′1 ≈ õ2 õ′2 ≈ 0 (Ä) m1 << m2 êáé õ1 = 0 (ä) õ′1 ≈ 0 õ′2 ≈ −õ2 (å) õ′1 ≈ −õ1 õ′2 ≈ 0 15 Ïé êáëýôåñïé åðéâñáäõíôÝò íåôñïíßùí åßíáé: (á) ðõñÞíåò ïîõãüíïõ (16 8Ï) (â) ðõñÞíåò Üíèñáêá (12 6C) (ã) ðõñÞíåò õäñïãüíïõ (1 1Ç) (ä) ðõñÞíåò äåõôåñïíßïõ (2 1 Ç) 16 Óå ìéá ìïíïäéÜóôáôç åëáóôéêÞ êñïýóç ìåôáîý ìéáò ïìïãåíïýò óöáßñáò, ìÜæáò m1 êáé ìéáò ïìïãåíïýò ÄP ÄP1 2 → → = −
- 228. 212 MHXANIKH óöáßñáò, ìÜæáòm2 , ðïõ áñ÷éêÜ çñåìåß, áíôéóôïé÷ßóôå ôá óôïé÷åßá ôçò áñéóôåñÜò óôÞëçò, ðïõ áíáöÝñïíôáé óôç ó÷Ýóç ìåôáîý ôùí ìáæþí, ìå ôá óôïé÷åßá ôçò äåîéÜò óôÞëçò (Á) 3m1 = m2 (á) Ç ìÜæá m2 áíáðçäÜ ìå ôç ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá (Â) m1 = m2 (â) Ç ìÜæá m2 áíáðçäÜ ìå ôç ìåãáëýôåñç ïñìÞ (Ã) m1 >> m2 (ã) Ç ìÜæá m2 áíáðçäÜ ìå ôç ìåãáëýôåñç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá (Ä) m1 << m2 17 Óöáßñá ìÜæáò m óõãêñïýåôáé åëáóôéêÜ êáé ðëÜãéá ìå Üëëç üìïéá áêßíçôç óöáßñá. Áí ìåôÜ ôçí êñïýóç ïé óöáßñåò öèÜíïõí ôáõôü÷ñïíá óôá óçìåßá à êáé Ä, ôüôå ç ãùíßá ö åßíáé: (á) 30ï (â) 45ï (ã) 60ï [Ôï äÜðåäï åßíáé ÷ùñßò ôñéâÝò]. 18 Óöáßñá ìÜæáò m êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ êáé óõãêñïýåôáé åëáóôéêÜ êáé ðëÜãéá ìå Üëëç áêßíçôç óöáßñá ìÜæáò 2 m. ÌåôÜ ôçí êñïýóç ç óöáßñá ìÜæáò m êéíåßôáé óå äéåýèõíóç êÜèåôç ôçò áñ÷éêÞò. Ç ãùíßá ðïõ ó÷çìáôßæåé ç äéåýèõíóç ôçò ôá÷ýôçôáò → õ′2 , ôçò óöáßñáò 2 m, ìåôÜ ôçí êñïýóç åßíáé: (á) 30ï (â) 45ï (ã) 60ï (ä) 90ï 19 Äýï ôåëåßùò üìïéåò ïìïãåíåßò óöáßñåò ìÜæáò m ç êÜèå ìßá, êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôåò ßóùí ìÝôñùí êÜèåôåò ìåôáîý ôïõò. Áí ç êñïýóç åßíáé åëáóôéêÞ (á) Ç óöáßñá 1 ìÝíåé, ìåôÜ ôçí êñïýóç áêßíçôç, åíþ ç óöáßñá 2 êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ õ√ − 2 êáé óå äéåýèõíóç ðïõ ó÷çìáôßæåé ãùíßá 45ï ìå ôç äéÜêåíôñï. (â) Ç óöáßñá 2 ìÝíåé, ìåôÜ ôçí êñïýóç, áêßíçôç, åíþ ç óöáßñá 1 êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ õ áíôßèåôá ìå ôçí áñ÷éêÞ äéåýèõíóç êßíçóÞò ôçò. (ã) Ïé óöáßñåò, ìåôÜ ôçí êñïýóç, êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôåò áíôßèåôåò, ðÜíù óôç äéåýèõíóç ôçò äéáêÝíôñïõ ôïõò. 20 Äýï óöáßñåò Á êáé  ìå äéáöïñåôéêÝò êáé Üãíùóôåò ìÜæåò óõãêñïýïíôáé ëïîÜ. Ç óöáßñá Á áñ÷éêÜ çñåìåß, åíþ ç  Ý÷åé ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ õ. ÌåôÜ ôçí êñïýóç, ç ôá÷ýôçôá ôçò  õðïäéðëáóéÜæåôáé êáé êéíåßôáé êÜèåôá ðñïò ôçí áñ÷éêÞ äéåýèõíóç. (1) Ç óöáßñá Á ìåôÜ ôçí êñïýóç êéíåßôáé Ýôóé þóôå, ç äéåýèõíóç ôçò ôá÷ýôçôÜò ôçò íá ó÷çìáôßæåé, óå ó÷Ýóç ìå ôçí áñ÷éêÞ äéåýèõíóç êßíçóçò ôçò  ãùíßá (á) 30o (â) 60ï (ã) 27ï (ä) 45ï (2) Ç ôá÷ýôçôá ôçò óöáßñáò Á ìåôÜ ôçí êñïýóç åßíáé: (á) õ√ − 2 /2 (â) Äåí åßíáé äõíáôü íá õðïëïãéóôåß ìå ôá äåäïìÝíá áõôÜ (ã) õ√ − 3/3 (ä) õ√ − 3 21 ¸íá åëáöñý âáãüíé çñåìåß ðÜíù óå ëåßï äÜðåäï. ÊÜðïéá óôéãìÞ ôï êáíüíé, ðïõ åßíáé óôåñåùìÝíï óôï âáãüíé åêðõñóïêñïôåß. Ôï âáãüíé èá êéíåßôáé óõíå÷þò ðÜíù óôï äÜðåäï ìåôÜ ôçí åêðõñóïêñüôçóç üôáí:
- 229. ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓÊÉÍÇÓÅÉÓ 213 (á) ôï âëÞìá óöçíùèåß óôï áðÝíáíôé ôïß÷ùìá. (â) ôï âëÞìá ðåñÜóåé ôï ôïß÷ùìá ìå êÜðïéá ôá÷ýôçôá. (ã) óå êáìéÜ ðåñßðôùóç. 22 ¸íáò ðáãïäñüìïò óôÝêåôáé ðÜíù óå ïñéæüíôéá åðéöÜíåéá ðÜãïõ. ¸íáò ößëïò ôïõ ôïõ ðåôÜåé ìéá ìðÜëá. Ï ðáãïäñüìïò õößóôáôáé ìåãáëýôåñç ìåôáâïëÞ ïñìÞò (á) üôáí ðéÜíåé ôçí ìðÜëá êáé ôçí êñáôÜåé (â) üôáí ôçí ðéÜíåé óôéãìéáßá êáé ôçí áöÞíåé åëåýèåñç íá ðÝóåé êÜôù (ã) üôáí ôçí ðéÜíåé êáé ôçí îáíáðåôÜåé áìÝóùò ðßóù óôï ößëï ôïõ 23 Ôñåéò áóôñïíáýôåò ßóùí ìáæþí âñßóêïíôáé óôï äéÜóôçìá, õðïèÝóôå åêôüò ðåäßïõ âáñýôçôïò, Ýîù áðü ôï äéáóôçìüðëïéü ôïõò. Ïé äýï áðü ôïõò áóôñïíáýôåò áðïöáóßæïõí íá “ðáßîïõí ìðÜëá” ôïí ôñßôï. Ôï ðáé÷íßäé áõôü ìðïñïýí íá ôï ðáßîïõí (á) áðü ìéá öïñÜ ìüíï ï êáèÝíáò ôïõò. (â) üóåò öïñÝò èÝëïõí. (ã) ìéá öïñÜ ìüíï ï Ýíáò áóôñïíáýôçò. 24 ÔñÝíï áðïôåëåßôáé áðü Í âáãüíéá ôçò ßäéáò ìÜæáò. Ôï ôñÝíï êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ. ÎáöíéêÜ ôï ôåëåõôáßï âáãüíé áðïóðÜôáé, ôüôå: (á) Ç ïñìÞ ôïõ õðüëïéðïõ ôñÝíïõ èá áõîçèåß êáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ âáãïíéïý èá ìåéùèåß. (â) Ç ïñìÞ ôïõ õðüëïéðïõ ôñÝíïõ èá ìåéùèåß êáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ âáãïíéïý èá áõîçèåß. (ã) Ç ïñìÞ ôïõ õðüëïéðïõ ôñÝíïõ êáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ âáãïíéïý èá ðáñáìåßíïõí ßäéåò. (ä) Ç ïñìÞ ôïõ õðüëïéðïõ ôñÝíïõ êáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ âáãïíéïý èá áõîçèïýí. 25 ¢íèñùðïò âñßóêåôáé óôï åóùôåñéêü áêßíçôïõ âáãïíéïý ôñÝíïõ. Éó÷õñßæåôáé üôé, ðåôþíôáò ïñéæüíôéá åëáóôéêÝò ìðÜëåò ðïõ Ý÷åé óôç äéÜèåóÞ ôïõ, óôï áðÝíáíôé ôïß÷ùìá ôïõ âáãïíéïý, ïé ïðïßåò åðáíÝñ÷ïíôáé óôá ÷Ýñéá ôïõ, Ýèåóå óå ìüíéìç êßíçóç ôï âáãüíé. Ôé ðéóôåýåôå; (á) Ï éó÷õñéóìüò ôïõ åßíáé áëçèÞò; (â) Ï éó÷õñéóìüò ôïõ åßíáé øåõäÞò; (ã) Äåí õðÜñ÷ïõí áñêåôÜ óôïé÷åßá ãéá íá áðáíôÞóïõìå. 26 ¸íáò æïãêëÝñ óôÝêåôáé óå ìéá æõãáñéÜ ëïõôñïý êáé åêôåëåß Ýíá íïýìåñï, ðáßæïíôáò ðÝíôå üìïéåò ìðÜëåò ìåôáîý ôùí ÷åñéþí ôïõ. ÊáôÜ ìÝóï üñï ç æõãáñéÜ èá äåß÷íåé: (á) ôï âÜñïò ôïõ æïãêëÝñ óõí ôï âÜñïò ôùí ðÝíôå ìðáëþí. (â) ðåñéóóüôåñï áðü ôçí Ýíäåéîç (á). (ã) ëéãüôåñï áðü ôçí Ýíäåéîç (á). 27 ¸íáò ôñï÷ïíüìïò åðéâÜëëåé óå Ýíáí ïäçãü öïñôçãïý ðïõ Ý÷åé ìåãÜëï öïñôßï áðü êáíáñßíéá, íá ïäçãÞóåé ôï öïñôçãü ôïõ óå Ýíá óôáèìü æýãéóçò ãéá íá ôï åëÝãîåé áí åßíáé õðÝñâáñï. Ï ïäçãüò ðïõ îÝñåé üôé åßíáé õðÝñâáñï, êáèþò ôï öïñôçãü áíåâáßíåé óôç æõãáñéÜ, êáôåâáßíåé êÜôù êáé ìå Ýíá îýëï êôõðÜ ôçí êáñüôóá, Ýôóé þóôå, ôñïìáãìÝíá ôá êáíáñßíéá íá ðåôÜíå óõíå÷þò ìÝóá óôçí êëåéóôÞ êáñüôóá. (á) Ôï öïñôçãü æýãéæå ðñÜãìáôé ëéãüôåñï áð’ üôé üôáí ôá êáíáñßíéá Þôáí êïõñíéáóìÝíá. (â) Ôï öïñôçãü æýãéæå ðåñéóóüôåñï ôþñá. (ã) Ôï öïñôçãü æýãéæå ôï ßäéï. 28 Óôï èÜëáìï åíüò áåñéùèïýìåíïõ, ðïõ âñßóêåôáé óôï äéÜäñïìï áðïãåßùóçò, Ýíá êïñéôóÜêé êñáôÜåé áðü ôï óðÜããï ôïõ Ýíá ìðáëüíé öïõóêùìÝíï ìå Þëéï. ¼óï ôï áåñéùèïýìåíï åßíáé áêßíçôï, ï óðÜããïò ðïõ êñáôÜåé ôï ìðáëüíé åßíáé êáôáêüñõöïò. ÊáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò áðïãåßùóçò ôï áåñéùèïýìåíï áíáðôýóóåé óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç → á, ó÷åäüí ïñéæüíôéá, ôüôå: (á) ï óðÜããïò èá êëßíåé ðñïò ôá åìðñüò ùò ðñïò ôï áåñéùèïýìåíï êáôÜ ãùíßá ö. (â) ï óðÜããïò èá êëßíåé ðñïò ôá ðßóù ùò ðñïò ôï áåñéùèïýìåíï êáôÜ ãùíßá ö. (ã) ï óðÜããïò èá äéáôçñÞóåé ôçí êáôáêüñõöç èÝóç ôïõ. Äåí õðÜñ÷ïõí ñåýìáôá áÝñá ìÝóá óôï áåñéùèïýìåíï. ÁéôéïëïãÞóôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò ìå ôç âïÞèåéá åíüò áäñáíåéáêïý ðáñáôçñçôÞ êáé áêïëïýèùò ìå ôç âïÞèåéá åíüò ìç áäñáíåéáêïý ðáñáôçñçôÞ. ñáåñ=1,29 kg/m3 , ñçë=0,178 kg/m3 , g=9,81 m/s. 29 Áíáöåñüìåíïé óôçí ðñïçãïýìåíç åñþôçóç, áí ç ãùíßá áðüêëéóçò ôïõ óðÜããïõ áðü ôçí êáôáêüñõöç Þôáí ö = 30ï , ôüôå ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ áåñéùèïýìåíïõ Þôáí: (á) 5,7 m/s2 (â) 8,7 m/s2 (ã) 5,0 m/s2
- 230. 214 MHXANIKH 30 Ãéá íáêéíåßôáé Ýíáò ðïäçëÜôçò Þ Ýíáò ìïôïóõêëåôéóôÞò ìå ìåãÜëç ôá÷ýôçôá óå ïñéæüíôéá óôñïöÞ, êëßíåé ðñïò ôï åóùôåñéêü ôçò óôñïöÞò. Ðþò åñìçíåýåé ôï ãåãïíüò áõôü ï áíáâÜôçò êáé ðþò Ýíáò ößëïò ðïõ ôïí ðáñáêïëïõèåß; 31 Óôï ó÷Þìá öáßíåôáé ç áðüôïìç Ýîïäïò (á) êáé ç áðüôïìç Ýíáñîç (â) ìéáò áíáêýêëùóçò (êáôáêüñõöçò êõêëéêÞò êßíçóçò) åíüò ìá÷çôéêïý, ðïëý ãñÞãïñïõ áåñïðëÜíïõ. Óå ðïéá áðü ôéò äýï ðåñéðôþóåéò ï ðéëüôïò èá ðÜèåé óêïôïäßíç (black out), ðïõ ïöåßëåôáé óôçí áðüôïìç áðïìÜêñõíóç ôïõ áßìáôïò áðü ôïí åãêÝöáëï (áðþëåéá ðßåóçò) êáé óå ðïéá èá ìáæåõôåß ôï áßìá óôï êåöÜëé ôïõ (õðåñâïëéêÞ ðßåóç). ÁéôéïëïãÞóôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò (á) Áðü ôç óêïðéÜ ôïõ áäñáíåéáêïý ðáñáôçñçôÞ. (â) Áðü ôç óêïðéÜ ôç ìç áäñáíåéáêïý ðáñáôçñçôÞ. 32 ÊáôÜ ôç äéÜñêåéá åíüò “ðåñéðÜôïõ óôï äéÜóôçìá” Ýíáò áóôñïíáýôçò åßíáé ìåôÝùñïò óôï äéÜóôçìá óå áðüóôáóç 8,00 m áðü ôï äéáóôçìüðëïéï, ðïõ âñßóêåôáé óå ôñï÷éÜ ãýñù áðü ôç Ãç. Ï áóôñïíáýôçò åßíáé äåìÝíïò óôï äéáóôçìüðëïéï ìå Ýíá ìáêñý ó÷ïéíß. ÊÜ- ðïéá óôéãìÞ èÝëåé íá åðéóôñÝøåé óôï äéáóôçìüðëïéï, ãéá ôï óêïðü áõôü ôñáâÜ ðñïò ôï ìÝñïò ôïõ ôï ó÷ïéíß, ïðüôå: (á) áöïý äéáíýóåé áðüóôáóç 8,00 m öôÜíåé óôï äéáóôçìüðëïéï. (â) áöïý äéáíýóåé áðüóôáóç 7,70 m öôÜíåé óôï äéáóôçìüðëïéï. (ã) äåí åßíáé äõíáôü íá õðïëïãßóïõìå ôçí áðüóôáóç áõôÞ, áöïý ôá óþìáôá âñßóêïíôáé óå êßíçóç ãýñù áðü ôç Ãç. Ç ìÜæá ôïõ äéáóôçìïðëïßïõ åßíáé 3500 kg êáé ôïõ áóôñïíáýôç ìáæß ìå ôç äéáóôçìéêÞ óôïëÞ ôïõ åßíáé 140 kg. Ïé äéáóôÜóåéò äéáóôçìïðëïßïõ êáé áóôñïíáýôç åßíáé áìåëçôÝåò. Èåùñåßóôå üôé ç äéáíõüìåíç áðüóôáóç åßíáé óôï óýóôçìá äéáóôçìïðëïßïõ-áóôñïíáýôç. 33 ¼ðùò ãíùñßæåôå ç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åíüò óõóôÞìáôïò ìáæþí m1 , m2 , ðïõ êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôåò → õ1 êáé → õ2 ùò ðñïò Ýíá óýóôçìá áíáöïñÜò (ð.÷. ôïõ åñãáóôçñßïõ), äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç: üðïõ Ì ç óõíïëéêÞ ìÜæá ôïõ óõóôÞìáôïò, Vc ç ôá÷ýôçôá êßíçóçò ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò (cm) êáé õ′1 , õ′2 ïé ôá÷ýôçôåò ôùí m1 êáé m2 ùò ôï óýóôçìá ôïõ cm. ÐñïóðáèÞóôå, îåêéíþíôáò áðü ôç ó÷Ýóç áõôÞ, íá áðïäåßîåôå ôç ó÷Ýóç: üðïõ ì ç áíçãìÝíç ìÜæá ôïõ óõóôÞìáôïò êáé õóx ç ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá ôùí ìáæþí, ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ. 34 Áíáöåñüìåíïé óôçí ðñïçãïýìåíç åñþôçóç, Ýóôù üôé ïé ìÜæåò m1 , m2 áðïôåëïýí óýóôçìá äõíáìéêÜ ìïíùìÝíï êáé óõãêñïýïíôáé. (á) Ðïéïò áðü ôïõò ðñïóèåôÝïõò äéáôçñåßôáé óôáèåñüò áíåîÜñôçôá ôïõ ôñüðïõ êñïýóçò (ôåëåßùò åëáóôéêÜ, áíåëáóôéêÜ, ôåëåßùò áíåëáóôéêÜ); (â) Óôçí ôåëåßùò áíåëáóôéêÞ êñïýóç ôé åêöñÜæåé ï äåýôåñïò ðñïóèåôÝïò; 35 ¼ðùò ãíùñßæåôå óå ìéá ìïíïäéÜóôáôç ôåëåßùò åëáóôéêÞ êñïýóç, ïé ó÷åôéêÝò ôá÷ýôçôåò ôùí óõãêñïõïìÝíùí óùìÜôùí, ðñéí êáé ìåôÜ ôçí êñïýóç, åßíáé áíôßèåôåò. Áðïäåßîôå ôþñá ôï ãåãïíüò áõôü ÷ñçóéìïðïéþíôáò ôï óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò (ÊÌ). Óå ôé óõìðÝñáóìá êáôáëÞãåôå óõãêñßíïíôáò ôïõò äýï ôñüðïõò áðüäåéîçò; 36 Íá äåßîåôå üôé óå ìéá êñïýóç ìå óõíôåëåóôÞ áðïêáôÜóôáóçò e, ç ôåëéêÞ åóùôåñéêÞ åíÝñãåéá åßíáé ìéêñüôåñç ôçò áñ÷éêÞò, êáôÜ Ýíá óõíôåëåóôÞ e2 , äçëáäÞ: Êåó ìåôÜ = e2 Êåó ðñéí . 37 Óå ìéá êñïýóç äýï óùìÜôùí óôï óýóôçìá áíáöïñÜò êÝíôñïõ ìÜæáò (ÊÌ), üðùò ãíùñßæåôå, ïé ïñìÝò ôùí óùìáôéäßùí, ôüóï ðñéí, üóï êáé K MV ìõ= + 1 2 1 2 2 2 c óx K MV m õ m õ Ê Êc åó= + ′ + ′ = + ′ 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 c
- 231. ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓÊÉÍÇÓÅÉÓ 215 ìåôÜ ôçí êñïýóç åßíáé áíôßèåôåò. ÊÜôù áðü ðïéåò óõíèÞêåò ôá ìÝôñá ôùí ôá÷õôÞôùí ôùí óùìÜôùí ìåôÜ ôçí êñïýóç (á) èá áõîÜíïíôáí. (â) èá ìåéþíïíôáí. (ã) èá Ýìåíáí ôá ßäéá. 38 ¸íá óþìá ìÜæáò m1 , ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ1 , óõãêñïýåôáé ìåôùðéêÜ êáé ôåëåßùò áíåëáóôéêÜ ìå óþìá ìÜæáò m2 áñ÷éêÜ áêßíçôï. (á) Ðïéá ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ðñéí ôçí êñïýóç; (â) Ðïéá ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ìåôÜ ôçí êñïýóç; (ã) Ôé ðïóïóôü ôçò áñ÷éêÞò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ìåôáôñÜðçêå óå èåñìïäõíáìéêÞ åíÝñãåéá; Ðïéåò áðáíôÞóåéò óôá åñùôÞìáôá (á), (â), (ã) äßíåé Ýíáò ðáñáôçñçôÞò ðïõ âñßóêåôáé óôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ðïõ êéíåß- ôáé ìå ôá÷ýôçôá → Vc; (ä) Ç ìç÷áíéêÞ åíÝñãåéá, ðïõ ìåôáôñÝðåôáé óå èåñìïäõíáìéêÞ åíÝñãåéá, åßíáé ßäéá êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò; 39 ÊáôÜ ôç äéÜñêåéá åíüò äéáðëáíçôéêïý ôáîéäéïý Ýíáò áóôñïíáýôçò, ðïõ âñßóêåôáé óå Ýíá äéáóôçìüðëïéï, ðáñáôçñåß äýï áóôåñïåéäåßò ìå ìÜæåò m1 êáé m2 êáé åêôéìÜ üôé êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôåò õ1 êáé õ2 áíôßóôïé÷á ùò ðñïò áõôüí. (á) Äåßîôå üôé ç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôùí áóôåñïåéäþí, üðùò ôç ìåôñÜåé ï áóôñïíáýôçò, äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç (â) Áí ïé äýï áóôåñïåéäåßò óõãêñïõóôïýí, ðïéá åßíáé ç åëÜ÷éóôç ïëéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ðïõ ìðïñïýí íá Ý÷ïõí ìåôÜ ôçí óýãêñïõóÞ ôïõò, üðùò ôç ìåôñÜ ï áóôñïíáýôçò; 40 Ï Ãéþñãïò âñßóêåôáé óå êÜðïéá áðüóôáóç áðü ôï ößëï ôïõ ÃéÜííç. ÊÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ï ÃéÜííçò áñ÷ßæåé íá ðëçóéÜæåé ôï ößëï ôïõ ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç, óöõñßæïíôáò óõíå÷þò ìå óôáèåñÞ óõ÷íüôçôá f0 , ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 ôïí öèÜíåé êáé óôç óõíÝ÷åéá áðïìáêñýíåôáé áðü áõôüí. Ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò áíôéóôïé÷åß óôç ìåôáâïëÞ ôçò óõ÷íüôçôáò ðïõ áêïýåé ï Ãéþñãïò óõíáñôÞóåé ôïõ ÷ñüíïõ êßíçóçò; 41 Ï Ãéþñãïò ïäçãåß Ýíá ôá÷ýðëïï óêÜöïò (êñéò - êñáöô) ðïõ êáôåõèýíåôáé ðñïò ìéá áðüêñõìíç âñá÷þäç áêôÞ êáé êôõðÜ ôï êëÜîïí, ðïõ åêðÝìðåé óõ÷íüôçôá 1500 Hz. Ìéá ößëç ôïõ, ç Ìáñßá, êÜèåôáé óôï âñÜ÷ï êáé áêïýåé. Áíôéóôïé÷ßóôå ôá óôïé÷åßá ôçò áñéóôåñÜ óôÞëçò ìå áõôÜ ôçò äåîéÜ óôÞëçò. (Á) Ç óõ÷íüôçôá ôïõ áíáêëþìåíïõ (á)1500 Hz Þ÷ïõ ðïõ áêïýåé ï Ãéþñãïò åßíáé: (â) >1500 Hz (B) H óõ÷íüôçôá ðïõ áêïýåé ç (ã) <1500 Hz Ìáñßá: 42 Áêßíçôïò ðáñáôçñçôÞò (Ä) ðáñáêïëïõèåß ôçí ç÷çôéêÞ ðçãÞ (Ð), ðïõ êéíåßôáé ïìáëÜ êõêëéêÜ (âëÝðå ó÷Þìá). Óå ðïéï óçìåßï èá âñßóêåôáé ç ðçãÞ, üôáí ç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ ðïõ áêïýåé ï ðáñáôçñçôÞò èá åßíáé: (á) ìÝãéóôç. (â) åëÜ÷éóôç. (ã) ç ßäéá ìå ôçò ðçãÞò. + − 1 2 2 2m õ V( )c 2 K m m V m õ V= + + − + 1 2 1 2 1 2 2 1 1( ) ( )c c 2
- 232. 216 MHXANIKH 1 Äýï åëáóôéêÝòóöáßñåò Ý÷ïõí ìÜæåò m1 = 0,30 kg êáé m2 = 0,50 kg êáé ôá÷ýôçôåò õ1 = 20 m/s êáé õ2 = 10 m/s, ðïõ Ý÷ïõí ôïí ßäéï öïñÝá êáé ôçí ßäéá öïñÜ. Ïé óöáßñåò óõãêñïýïíôáé, ïðüôå ðáñáìïñöþíïíôáé ðñïóùñéíÜ êáé óôç óõíÝ÷åéá îáíáðáßñíïõí ôï áñ÷éêü ôïõò ó÷Þìá. á) Ðüóç åßíáé ç ìÝãéóôç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ðáñáìüñöùóçò êáôÜ ôçí êñïýóç; â) ÐïéÝò èá åßíáé ïé ôåëéêÝò ôá÷ýôçôåò ôùí óöáéñþí; Åííïåßôáé üôé õðÜñ÷åé ìåôáôñïðÞ åíÝñãåéáò óå èåñìïäõíáìéêÞ åíÝñãåéá. 2 ÅëáóôéêÞ óöáßñá ìÜæáò 3m êéíåßôáé ÷ùñßò ôñéâÝò ìå ôá÷ýôçôá õ1 = 10 m/s óå ïñéæüíôéï äÜðåäï êáé ðñïóðßðôåé ðÜíù óå áêßíçôåò óöáßñåò ìáæþí 2 m êáé m, ðïõ âñßóêïíôáé óå åðáöÞ. (á) Áí ïé êñïýóåéò åßíáé åëáóôéêÝò êáé ìåôùðéêÝò, íá õðïëïãéóôïýí ïé ôåëéêÝò ôá÷ýôçôåò ôùí ôñéþí óöáéñþí ìåôÜ ôéò äéáäï÷éêÝò êñïýóåéò. (â) Áí ç ìÜæá ôçò óöáßñáò 2m åßíáé 0,20 kg, íá õðïëïãéóôïýí ïé äõíÜìåéò êñïýóåùò ðïõ äÝ÷åôáé ÁÓÊÇÓÅÉÓ - ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ 43 ÐáñáôçñçôÞò êáé ðçãÞ êéíïýíôáé óå ðáñÜëëçëåò ôñï÷éÝò, ðïõ âñßóêïíôáé óå áñêåôÞ áðüóôáóç, êáôÜ áíôßèåôç öïñÜ. Ôç óôéãìÞ ôçò äéáóôáýñùóÞò ôïõò (á) ï ðáñáôçñçôÞò áêïýåé Þ÷ï ôçò ßäéáò óõ÷íüôçôáò ìå áõôÞí ôçò ðçãÞò. (â) ï ðáñáôçñçôÞò áêïýåé Þ÷ï õøçëüôåñçò óõ÷íüôçôáò. (ã) ï ðáñáôçñçôÞò áêïýåé Þ÷ï ÷áìçëüôåñçò óõ÷íüôçôáò. (ä) ï ðáñáôçñçôÞò äåí áêïýåé ôïí Þ÷ï ðïõ åêðÝìðåé ç ðçãÞ. 44 Ç óåéñÞíá åíüò áóèåíïöüñïõ ðáñÜãåé Þ÷ï óõ÷íüôçôáò fÐ. Ôï áóèåíïöüñï êéíåßôáé ðñïò Ýíá êáôáêüñõöï ôïß÷ï ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õÐ . ¸íáò ðáñáôçñçôÞò ðïõ âñßóêåôáé áêßíçôïò, ðßóù áðü ôï áóèåíïöüñï, áêïýåé äéáêñïôÞìáôá (á) ðÜíôá (â) üôáí ç óõ÷íüôçôá fÐ åßíáé áñêåôÜ õøçëÞ. (ã) üôáí ç óõ÷íüôçôá fÐ åßíáé áñêåôÜ ÷áìçëÞ. (ä) üôáí ç ôá÷ýôçôá õÐ åßíáé ðïëý ìéêñÞ óå ó÷Ýóç ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ. 45 Áíáöåñüìåíïé óôçí ðñïçãïýìåíç åñþôçóç, áí ï ðáñáôçñçôÞò âñßóêåôáé áêßíçôïò ìåôáîý áóèåíïöüñïõ êáé ôïß÷ïõ, ôüôå èá áêïýåé äéáêñïôÞìáôá (á) ðïôÝ. (â) üôáí ç ôá÷ýôçôá õÐ åßíáé ìéêñÞ ùò ðñïò ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ. (ã) ðÜíôá. 46 Ï Ãéþñãïò óôÝêåôáé âüñåéá óå ó÷Ýóç ìå ôç ößëç ôïõ Ìáñßá, åíþ öõóÜåé Üíåìïò áðü ôï íüôï. Áí êáé ïé äýï óöõñßæïõí ìå ôçí ßäéá óõ÷íüôçôá, Ýóôù 1000 Hz, ôüôå: (á) êáé ïé äýï áêïýíå ôçí ßäéá óõ÷íüôçôá. (â) ï Ãéþñãïò áêïýåé Þ÷ï óõ÷íüôçôáò f′ >1000 Hz. (ã) ç Ìáñßá áêïýåé Þ÷ï óõ÷íüôçôáò f′′ >1000 Çz. (ä) ç Ìáñßá áêïýåé Þ÷ï óõ÷íüôçôáò f ′′ <1000 Çz. (å) ï Ãéþñãïò áêïýåé Þ÷ï óõ÷íüôçôáò f′ <1000 Hz. 47 Áêßíçôïò ðáñáôçñçôÞò (Ä) ðáñáêïëïõèåß ôçí ç÷çôéêÞ ðçãÞ (Ð) ðïõ êéíåßôáé ïìáëÜ êõêëéêÜ (âëÝðå ó÷Þìá). Óå ðïéï óçìåßï èá âñßóêåôáé ç ðçãÞ, üôáí ç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ ðïõ áêïýåé ï ðáñáôçñçôÞò èá åßíáé: (á) ìÝãéóôç (â) åëÜ÷éóôç (ã) ç ßäéá
- 233. ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓÊÉÍÇÓÅÉÓ 217 áõôÞ áí õðïôåèïýí óôáèåñÝò êáé üôé êÜèå êñïýóç äéáñêåß 0,010 s. 3 Áðü ôï óçìåßï Á áöÞíïõìå ìéá óöáßñá ìå ìÜæá m íá êéíçèåß óôï åóùôåñéêü ôçò êõëéíäñéêÞò åðéöÜíåéáò áêôßíáò R = 0,050 m. Óôï óçìåßï à óõãêñïýåôáé ìåôùðéêÜ êáé åëáóôéêÜ ìå ìéá Üëëç óöáßñá ôçò ßäéáò áêôßíáò êáé ìÜæáò 9m ðïõ âñßóêåôáé áêßíçôç óôï óçìåßï Ã. Íá âñåèïýí ïé ôåëéêÝò ôá÷ýôçôåò ôùí óöáéñþí. Ïé ôñéâÝò èåùñïýíôáé áìåëçôÝåò (g = 10 m/s2 ). 4 Áí ç êñïýóç åßíáé ìåôùðéêÞ êáé åëáóôéêÞ, íá âñåèåß ç ìÝãéóôç ðáñáìüñöùóç ôïõ åëáôçñßïõ (ôñéâÝò áìåëçôÝåò). Äßíïíôáé: m = 1,0 kg , k = 50 N/m, õ = 2,0 m/s. 5 To óýóôçìá ôïõ ó÷Þìáôïò éóïññïðåß óôï ëåßï äÜðåäï ìå ôï åëáôÞñéï óôï öõóéêü ôïõ ìÞêïò. ÌåôÜ ôçí ðëáóôéêÞ êñïýóç âëÞìáôïò, ìÜæáò m = 0,5 kg ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá , ìå ôï óþìá ìÜ- æáò Ì = 2,0 kg, ôï óõóóùìÜôùìá áñ÷ßæåé íá áðïãåéþíåôáé, ìÝ÷ñé ôï åëáôÞñéï íá ó÷çìáôßæåé ãùíßá ö = 60ï ìå ôçí êáôáêüñõöç. Áí ç óôáèåñÜ ôïõ åëáôçñßïõ åßíáé k = 200 N/m êáé ç ôá÷ýôçôá áðïãåßùóçò ïñéæüíôéá, íá õðïëïãéóôåß ç ôá÷ýôçôá ôçí óôéãìÞ ôçò áðïãåßùóçò (g = 10 m/s2 ). 6 Óþìá áöÞíåôáé áðü ýøïò h ðÜíù áðü ôï ïñéæüíôéï óôáèåñü åðßðåäï. Áí ï óõíôåëåóôÞò áðïêáôÜóôáóçò åßíáé e õðïëïãßóôå: (á) ôï ýøïò óôï ïðïßï áíáðçäÜ áöïý êôõðÞóåé óôï Ýäáöïò. (â) Ôï ýøïò óôï ïðïßï áíáðçäÜ ìåôÜ áðü Í áíáðçäÞóåéò. (ã) Ôï êëÜóìá ôçò åêÜóôïôå áñ÷éêÞò ôçò åíÝñãåéáò, ðïõ ÷Üíåé ç óöáßñá ìåôÜ áðü óå êÜèå êñïýóç ôçò. 7 Ìéá ìéêñÞ óöáßñá ðÝöôåé êáôáêüñõöá ðÜíù óå óôáèåñü ïñéæüíôéï åðßðåäï. Áí êáôÜ ôçí êñïýóç ôçò ìå ôï åðßðåäï ÷Üíåé 36 % ôçò åíÝñãåéÜò ôçò, ðüóïò åßíáé ï óõíôåëåóôÞò áðïêáôÜóôáóçò; 8 ÌéêñÞ óöáßñá áöÞíåôáé íá ðÝóåé ðÜíù óå ïñéæüíôéá óôáèåñÞ ðëÜêá áðü ýøïò 4,00 m. ÌåôÜ ôçí êñïýóç ôçò ç óöáßñá áíáðçäÜ óå ýøïò 2,25 m. Ðïéüò åßíáé ï óõíôåëåóôÞò áðïêáôÜóôáóçò; 9 ÌéêñÞ óöáßñá ìÜæáò m ðñïóäÝíåôáé óôçí Üêñç íÞìáôïò ôïõ ïðïßïõ ç Üëëç Üêñç ðñïóäÝíåôáé óå êáôáêüñõöï ôïß÷ï. Áðïìáêñýíïõìå ôç óöáßñá áðü ôïí ôïß÷ï þóôå ôï íÞìá íá ó÷çìáôßæåé ãùíßá 60ï ìå ôçí êáôáêüñõöç êáé áöÞíïõìå ôç óöáßñá åëåýèåñç. ÌåôÜ ôçí êñïýóç ç óöáßñá áðïìáêñýíåôáé ìÝ÷ñéò üôïõ ôï íÞìá íá ó÷çìáôßæåé ãùíßá 30ï ìå ôïí ôïß÷ï. Ðïéüò ï óõíôåëåóôÞò áðïêáôÜóôáóçò; 10 Ê åëáóôéêÝò óöáßñåò, ìå ìÜæåò m1 , m2 , ... mê êñÝìïíôáé ìå íÞìáôá Ýôóé þóôå íá åöÜðôïíôáé ìåôáîý õ = 150 m s
- 234. 218 MHXANIKH ôïõò êáéôá êÝíôñá ôïõò íá âñßóêïíôáé óôçí ßäéá ïñéæüíôéá åõèåßá. Áí ç ðñþôç óöáßñá óõãêñïõóôåß ìå ôç äåýôåñç (ôåëåßùò åëáóôéêÜ) ìå ôá÷ýôçôá õ1, íá âñåèåß ç ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá èá åêôéíá÷èåß ç ôåëåõôáßá óöáßñá. Ðüóç èá Þôáí ç ôá÷ýôçôá áõôÞ, áí ïé óöáßñåò åß÷áí ßóåò ìÜæåò; 11 Áí ïé ìÜæåò ôùí óöáéñþí m1 , êáé m2 , ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé 0,10 kg áêñéâþò êáé 0,30 kg áêñéâþò áíôßóôïé÷á êáé ç m1 áöÞíåôáé åëåýèåñç üôáí h = 0,20 m, âñåßôå ôá ýøç óôá ïðïßá èá öôÜóïõí ïé óöáßñåò ìåôÜ ôçí êñïýóç, áí ç êñïýóç Ý÷åé: (á) e = 1,0 , (â) e = 0,50 , (ã) e = 0,0 12 Äõï ï÷Þìáôá, ðïõ ôï êáèÝíá Ý÷åé ìÜæá 0,80 kg, óõíäÝïíôáé ìå íÞìá áìåëçôÝáò ìÜæáò. Ìåôáîý ôùí ï÷çìÜôùí õðÜñ÷åé óõóðåéñùìÝíï åëáôÞñéï áìåëçôÝáò ìÜæáò, ðïõ äåí åßíáé óõíäåäåìÝíï ìå ôá ï÷Þìáôá (âëÝðå ó÷Þìá). Ôá ï÷Þìáôá åß÷áí áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ0 = 0,50 m/s êáé êÜðïéá óôéãìÞ êüâåôáé ôï íÞìá. Áí ôï ü÷çìá  Ý÷åé ôá÷ýôçôá 0,30 m/s ìåôÜ ôïí áðï÷ùñéóìü ôïõ áðü ôï åëáôÞñéï, õðïëïãßóôå: (á) ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ ï÷Þìáôïò Á. (â) ôçí áñ÷éêÞ äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ôïõ åëáôçñßïõ áí üëç Ýãéíå êéíçôéêÞ ôùí ï÷çìÜôùí (Ïé ôñéâÝò áìåëïýíôáé, ïé ôéìÝò åßíáé áêñéâþò). 13 Ç äéÝãåñóç ôùí áôüìùí ìÜæáò Ì åíüò óôïé÷åßïõ ãßíåôáé êáôÜ ôçí åëáóôéêÞ êñïýóç çëåêôñïíßùí ìå áêßíçôá Üôïìá ôïõ óôïé÷åßïõ. Áí ç åíÝñãåéá äéÝãåñóçò ôùí áôüìùí åßíáé Å, íá õðïëïãéóôåß ç åëÜ÷éóôç ôá÷ýôçôá, ðïõ ðñÝðåé íá Ý÷ïõí ôá çëåêôñüíéá ìÜæáò m, ãéá íá ðñïêáëÝóïõí äéÝãåñóç ôùí áôüìùí (Ì >> m). 14 Ôñßá õëéêÜ óçìåßá Á, Ã, Ä åßíáé áêßíçôá åêôüò ðåäßïõ äõíÜìåùí êáé óõíäÝïíôáé áñèñùôÜ ìå Üìáæåò óôåñåÝò ñÜâäïõò. Áóêïýìå ôÝôïéá þèçóç óôï Ä ðïõ áí Þôáí åëåýèåñï èá áðïêôïýóå ôá÷ýôçôá õ0 = 7,0 m/s (áêñéâþò), üðùò óôï ó÷Þìá. Ná õðïëïãéóôåß ç áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá ôçò ìÜæáò, ðïõ âñßóêåôáé óôï óçìåßï Á. 15 Äõï ìðÜëåò ìðéëéÜñäïõ ôïðïèåôïýíôáé ðÜíù óå ëåßï ôñáðÝæé Ýôóé þóôå íá åöÜðôïíôáé. Ìéá ôñßôç ìðÜëá êéíåßôáé ðñïò áõôü ôï æåýãïò ìå ôá÷ýôçôá 5,0 m/s, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. ÐïéÜ èá åßíáé ç ôá÷ýôçôá (ìÝôñï êáé êáôåýèõíóç) ðïõ èá Ý÷ïõí ïé ìðÜëåò ìåôÜ ôçí êñïýóç; Ïé ìðÜëåò åßíáé ðáíïìïéüôõðåò êáé ïé êñïýóåéò ôåëåßùò åëáóôéêÝò. 16 Óöáßñá ìÜæáò m êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá êáé óõãêñïýåôáé ëïîÜ êáé åëáóôéêÜ ìå Üëëç áêßíçôç óöáßñá äéðëÜóéáò ìÜæáò. ÌåôÜ ôçí êñïýóç ç ðñþôç óöáßñá êéíåßôáé êÜèåôá óôçí áñ÷éêÞ ôçò äéåýèõíóç. Õðïëïãßóôå ôéò ôá÷ýôçôåò ôùí óöáéñþí ìåôÜ ôçí êñïýóç. 17 ~Åíá áõôïêßíçôï ìÜæáò m1 = 900 kg óõãêñïýåôáé óå ìéá êõêëéêÞ ðëáôåßá ìå Ýíá Üëëï áõôïêßíçôï ìÜæáò m2 = 1200 kg. Ëßãï ðñéí ôç óýãêñïõóç ôï ðñþôï áõôïêßíçôï åêéíåßôï ðñïò ô’ áíáôïëéêÜ êáé ôï Üëëï 3 m s
- 235. ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓÊÉÍÇÓÅÉÓ 219 ìå êáôåýèõíóç 40ï áðü áíáôïëÞ ðñïò íüôï. ÌåôÜ ôç óýãêñïõóç ôá äýï áõôïêßíçôá ðáñáìÝíïõí åíùìÝíá êáé íôåñáðÜñïõí ìå ìðëïêáñéóìÝíïõò ôïõò ôñï÷ïýò Ýùò üôïõ óôáìáôÞóïõí. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ ðñþôïõ áõôïêéíÞôïõ, ðñéí ôç óýãêñïõóç, Þôáí 14,0 m/s. Ôï ìÞêïò ðïõ Üöçóáí ôá óçìÜäéá Þôáí ßóï ìå 17,4 m êáé ï óõíôåëåóôÞò ôñéâÞò ïëéóèÞóåùò ìåôáîý ôùí åëáóôéêþí êáé ôïõ äñüìïõ Þôáí 0,850. Õðïëïãßóôå áí ôï äåýôåñï áõôïêßíçôï åß÷å õðåñâåß ôï üñéï ôçò ôá÷ýôçôáò, ðïõ óôçí ðåñéï÷Þ Þôáí 60 km/h. Äßíåôáé: sin 40o ≈ 0,642. 18 Ìéá ìðÜëá ôïõ ìðéëéÜñäïõ ìÜæáò m êáé áêôßíáò R, êáèþò êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ ðÜíù óå ëåßï ôñáðÝæé, óõãêñïýåôáé åëáóôéêÜ ìå ðáíïìïéüôõðç áêßíçôç ìðÜëá, ðïõ áñ÷éêÜ çñåìåß. Íá õðïëïãéóôïýí ïé ôá÷ýôçôåò (ìÝôñï, êáôåýèõíóç) ðïõ áðïêôïýí ïé ìðÜëåò ìåôÜ ôçí êñïýóç, êáèþò åðßóçò êáé ç ìåôáâïëÞ ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôçò óöáßñáò, óõíáñôÞóåé ôçò ðáñáìÝôñïõ êñïýóåùò b (âëÝðå ó÷Þìá). ÕðïèÝóôå üôé ïé ìðÜëåò åßíáé ôåëåßùò ëåßåò. 19 Õðïëïãßóôå ôçí áíçãìÝíç ìÜæá ôùí ðáñáêÜôù óõóôçìÜôùí: á) çëåêôñïíßïõ-ðñùôïíßïõ óôï Üôïìï ôïõ õäñïãüíïõ â) ðñùôïíßïõ - íåôñïíßïõ óôïí ðõñÞíá ôïõ äåõôåñßïõ. Óõãêñßíåôå óôçí êÜèå ðåñßðôùóç ôï áðïôÝëåóìá, ìå ôç ìÜæá ôïõ åëáöñýôåñïõ óùìáôéäßïõ. Äßíïíôáé: me = 9,1 × 10-31 kg, mp = 1,672 × 10-27 kg, mn = 1,674 × 10-27 kg. 20 ~Åíáò ðáñáôçñçôÞò ìåôñÜåé ôéò ôá÷ýôçôåò äýï óùìÜôùí ìáæþí m1 êáé m2 , ðïõ êéíïýíôáé óôçí ßäéá êáôåýèõíóç êáé ôéò âñßóêåé õ1 êáé õ2, áíôßóôïé÷á. Âñåßôå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ êáèåíüò óå ó÷Ýóç ìå ðáñáôçñçôÞ ðïõ âñßóêåôáé óôï óýóôçìá ÊÌ, êáèþò åðßóçò êáé ôçí ïñìÞ ôïõò óôï óýóôçìá ÊÌ. 21 Ç äéÜôáîç ôïõ ó÷Þìáôïò ïíïìÜæåôáé âáëëéóôéêü åêêñåìÝò, ÷ñçóéìïðïéåßôáé ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ôá÷ýôçôáò ìéáò óöáßñáò üðëïõ, ìåôñþíôáò ôï ýøïò h óôï ïðïßï áíåâáßíåé ôï êïììÜôé ôïõ îýëïõ, áöïý ç óöáßñá Ý÷åé óöçíùèåß óå áõôü. Áðïäåßîôå üôé ç ôá÷ýôçôá ôçò óöáßñáò, êáèþò åðßóçò êáé ç ìåôáâïëÞ ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ óõóôÞìáôïò óöáßñá-îýëï, äßíïíôáé áíôßóôïé÷á áðü ôïõò ôýðïõò: üðïõ ì åßíáé ç áíçãìÝíç ìÜæá ôïõ óõóôÞìáôïò îýëïõ êáé óöáßñáò êáé m2 ç ìÜæá ôïõ îýëïõ. 22 ÂëÞìá ìÜæáò m äéáóðÜôáé ìå Ýêñçîç óå äýï êïììÜôéá. Ç ìåôáâïëÞ ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò êáôÜ ôçí Ýêñçîç Ýóôù ÄK = Q. (á) Äåßîôå üôé ôá êïììÜôéá èá êéíçèïýí êáôÜ áíôßèåôç öïñÜ óôï óýóôçìá ÊÌ. (â) Äåßîôå üôé, áí ôá êïììÜôéá Ý÷ïõí ßóåò ìÜæåò, ôüôå ïé ôá÷ýôçôåò êáé ïé ïñìÝò ôïõò óôï óýóôçìá ÊÌ åßíáé ßóåò ìå êáé áíôßóôïé÷á. 23 Áðïäåßîôå üôé, áí ç åóùôåñéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åíüò óõóôÞìáôïò äýï óùìáôßùí åßíáé Êc , ôá ìÝôñá ôùí ôá÷õôÞôùí ôùí óùìáôßùí, ùò ðñïò ôï óýóôçìá ÊÌ åßíáé: êáé áíôßóôïé÷á. ~Ïðïõ ì: ç áíçãìÝíç ìÜæá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí äýï óùìáôßùí. 24 ÂëÞìá ìÜæáò 45 kg, ðïõ åêôïîåýôçêå áðü ðõñïâüëï, Ý÷åé ôá÷ýôçôá 640 m/s. Ôï âëÞìá åêñÞãíõôáé óå äýï èñáýóìáôá ìáæþí 32 kg êáé 13 kg. Êáé ôá äýï èñáýóìáôá êéíïýíôáé êáôÜ ìÞêïò ôçò áñ÷éêÞò äéåýèõíóçò ôçò êßíçóçò ìå ôá÷ýôçôåò 450 m/s êáé 1500 m/s áíôßóôïé÷á. õ ì Ê m 2 2 2 c c =õ ì Ê m 1 1 2 c c = 2Q m m Q 2 ÄÊ m g h ì = 2 2 õ m ì g h= 2 2
- 236. 220 MHXANIKH Õðïëïãßóôå ôçìåôáöïñéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò êáé ôçí åóùôåñéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá, ðñéí êáé ìåôÜ ôçí Ýêñçîç. Ðïý ïöåßëåôáé ç äéáöïñÜ ôïõò; 25 Åíá áõôïêßíçôï ìÜæáò 1500 kg êáé Ýíá öïñôçãü 3500 kg óõãêñïýïíôáé óå ìéá äéáóôáýñùóç. Áêñéâþò ðñéí áðü ôçí óýãêñïõóç ôï áõôïêßíçôï åêéíåßôï ðñïò ÂïññÜ ìå 80 km/h êáé ôï öïñôçãü ðñïò ôçí ÁíáôïëÞ ìå 50 km/h. ÌåôÜ ôç óýãêñïõóç ôá áõôïêßíçôá ðáñáìÝíïõí åíùìÝíá. ÈåùñÞóôå ôá ï÷Þìáôá ùò óýóôçìá äýï óùìáôéäßùí êáé õðïëïãßóôå: (á) Ôç ìåôáöïñéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá, ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò êáé ôçí åóùôåñéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá, ðñéí êáé ìåôÜ ôç óýãêñïõóç. (â) Ðüóç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ÷Üíåôáé êáôÜ ôç óýãêñïõóç; 26 Íá áðïäåé÷èåß üôé êáôÜ ôç ìåôùðéêÞ êñïõóç äýï ìéêñþí óöáéñþí ìáæþí m1 êáé m2 ðïõ êéíïýíôáé ÷ùñßò ôñéâÝò ìå ôá÷ýôçôåò õ1 êáé õ2 áíôßóôïé÷á, ÷ùñßò íá ðåñéóôñÝöïíôáé, óå ïñéæüíôéï Ýäáöïò: (á) ïé ôá÷ýôçôåò ìåôÜ ôçí êñïýóç äßíïíôáé áðü ôéò ó÷Ýóåéò: êáé áíôßóôïé÷á. (â) Ç ìåôáâïëÞ óôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõ- óôÞìáôïò ôùí óöáéñþí, ÄK, äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç üðïõ ì: ç áíçãìÝíç ìÜæá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí óöáéñþí, e: ï óõíôåëåóôÞò áðïêáôÜóôáóçò êáé õó÷: ç ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá ôùí óöáéñþí ðñéí ôçí êñïýóç. (ã) Ôé ìïñöÝò ðáßñíïõí ïé ðáñáðÜíù ó÷Ýóåéò áí ç êñïýóç Þôáí i) ôåëåßùò åëáóôéêÞ êáé ii) ôåëåßùò áíåëáóôéêÞ (ðëáóôéêÞ). 27 ~Åíá ôá÷ýðëïï óêÜöïò ìðïñåß íá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá áêñéâþò, ùò ðñïò ôï óýóôç- ìá áíáöïñÜò ôïõ íåñïý. Ôï ñåýìá ôïõ ðïôáìïý Ý÷åé óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá 43,2 km/h. Íá õðïëïãßóåôå: (á) ÐïéÜ ðñÝðåé íá åßíáé ç êáôåýèõíóç ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ ôá÷ýðëïïõ óêÜöïõò, ãéá íá öèÜóåé áðü ôç ìéá ü÷èç óôçí Üëëç óôï ìéêñüôåñï äõíáôü ÷ñïíéêü äéÜóôçìá êáé ðïéÜ ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ ùò ðñïò ôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ åäÜöïõò. (â) Ðüóï ÷ñüíï èá êÜíåé ôï ôá÷ýðëïï ãéá íá öèÜóåé óôçí ü÷èç êáé ðüóç áðüóôáóç èá äéáíýóåé êáôÜ ìÞêïò ôïõ ðïôáìïý, áí ôï ðëÜôïò ôïõ åßíáé , áêñéâþò. 28 Áíáöåñüìåíïé óôï ðñïçãïýìåíï ðñüâëçìá, íá õðïëïãßóåôå ðüóï ÷ñüíï èá Þèåëå ôï ôá÷ýðëïï íá äéáó÷ßóåé ôïí ðïôáìü êÜèåôá. 29 Ìéá âñï÷åñÞ çìÝñá, ëüãù ôïõ ïñéæüíôéá ðíÝïíôïò áíÝìïõ, ïé óôáãüíåò ôçò âñï÷Þò ðÝöôïõí ìå ôá÷ýôçôá 4,0 m/s õðü ãùíßá 30ï , ùò ðñïò ôçí êáôáêüñõöï. Õðïëïãßóôå ôç ãùíßá, ðïõ ðñÝðåé íá ó÷çìáôßæåé ï Üîïíáò ôçò ïìðñÝëáò óáò, ìå ôçí êáôáêüñõöç, üôáí ðåñðáôÜôå ïñéæüíôéá ìå ôá÷ýôçôá 2,0 m/s áêñéâþò, ãéá íá Ý÷åôå ôçí êáëýôåñç äõíáôÞ ðñïóôáóßá áðü ôç âñï÷Þ (sin19o ≈ 0,327). 30 Ìéá âÜñêá åßíáé áãêõñïâïëçìÝíç óå óçìåßï Á, óôï ïðïßï ôá íåñÜ ôçò èÜëáóóáò êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôá 3,0 m/s ðñïò ôá áíáôïëéêÜ. Äýï áêßíçôåò óçìáäïýñåò  êáé Ã, ðïõ êÜèå ìéá áðÝ÷åé áðü ôç âÜñêá áðüóôáóç 80,0 m, âñßóêïíôáé ç ìéá áíáôïëéêÜ êáé ç Üëëç âüñåéá. Äýï êïëõìâçôÝò, ðïõ ï êáèÝíáò ìðïñåß íá êïëõìðÞóåé ìå ôá÷ýôçôá 5,0 m/s óå Þñåìá íåñÜ, áíá÷ùñïýí ôáõôü÷ñïíá áðü ôç âÜñêá, ìå óêïðü íá öôÜóïõí óôéò áíôßóôïé÷åò óçìáäïýñåò êáé óôç óõíÝ÷åéá íá åðéóôñÝøïõí óôç âÜñêá. Íá âñåèåß ðïéüò êïëõìâçôÞò åðéóôñÝöåé ðñþôïò óôç âÜñêá êáé ðüóï ÷ñüíï íùñßôåñá áðü ôïí äåýôåñï. 31 Äýï êùíéêÜ åêêñåìÞ êñÝìïíôáé áðü ôçí ßäéá ïñïöÞ (âëÝðå ó÷Þìá) êáé Ý÷ïõí äéáöïñåôéêÜ ìÞêç áëëÜ êéíïýíôáé Ýôóé þóôå ôá äýï óöáéñßäéá íá âñßóêïíôáé óôï ßäéï ïñéæüíôéï åðßðåäï. 240 3 m 12 3 m s Ä e2 óx 2 Ê ì õ= − − 1 2 1e j ′ = + + − F HG I KJ õ ì õ m ì õ m m m 2 1 2 2 1 2 1 1 1 e e b g ′ = + + − F HG I KJ õ ì õ m ì õ m m m 1 2 1 1 2 1 2 1 1 e e b g
- 237. ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓÊÉÍÇÓÅÉÓ 221 Äåßîôå üôé ôá äõï åêêñåìÞ ðåñéóôñÝöïíôáé ìå ßóåò ðåñéüäïõò. 32 ~Åíá óþìá ìÜæáò 15 kg äåìÝíï óôï Üêñï åíüò äõíáìïìÝôñïõ âñßóêåôáé ðÜíù óå ëåßá ïñéæüíôéá åðéöÜíåéá, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Ôï äõíáìüìåôñï, ðïõ åßíáé äåìÝíï óôï ìðñïóôéíü ôïß÷ùìá åíüò âáãïíéïý, äåß÷íåé 18 Í üôáí ôï âáãüíé êéíåßôáé. (á) Ðñïóäéïñßóôå ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ âáãïíéïý. (â) Ôé èá äåß÷íåé ôï äõíáìüìåôñï áí ôï âáãüíé êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá; (ã) ÐåñéãñÜøôå ôéò äõíÜìåéò ðïõ áóêïýíôáé óôï óþìá, üðùò öáßíïíôáé óå Ýíáí ðáñáôçñçôÞ, ðïõ âñßóêåôáé ìÝóá óôï âáãüíé êáé óå Ýíáí Üëëïí, ðïõ âñßóêåôáé áêßíçôïò Ýîù áðü áõôü. 33 Óå ðïëëÜ ëïýíá - ðáñê õðÜñ÷åé ôï ðåñéóôñåöüìåíï ôýìðáíï, äçëáäÞ ìåãÜëï êõëéíäñéêü äï÷åßï ðïõ ìðïñåß íá ôåèåß óå ðåñéóôñïöÞ ãýñù áðü ôïí êåíôñéêü êáôáêüñõöï ÜîïíÜ ôïõ. ~Åíáò Üíèñùðïò ìðáßíåé óôï ôýìðáíï êáé óôÝêåôáé áêïõìðþíôáò óôï ôïß÷ï. Ç ôá÷ýôçôá ðåñéóôñïöÞò ôïõ ôõìðÜíïõ áõîÜíåôáé óôáäéáêÜ ìÝ÷ñé íá áðïêôÞóåé êáèïñéóìÝíç óõ÷íüôçôá ðåñéóôñïöÞò, ïðüôå ôï äÜðåäï áðïóýñåôáé ðñïò ôá êÜôù. Ï Üíèñùðïò ðáñáìÝíåé “êáñöùìÝíïò” ðÜíù óôï ôïß÷ùìá ôïõ ôõìðÜíïõ êáé äåí ðÝöôåé. Áí ï óõíôåëåóôÞò ôñéâÞò ôùí ñïý÷ùí ôïõ áíèñþðïõ ìå ôï ôïß÷ùìá ôïõ ôõìðÜíïõ åßíáé 0,40 êáé ç áêôßíá ôïõ åßíáé 4,0 m, õðïëïãßóôå ôç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò ðåñéüäïõ ðåñéóôñïöÞò ôïõ ôõìðÜíïõ, ãéá íá áðïöåõ÷èåß ç ðôþóç ôïõ áíèñþðïõ. 34 Óå Ýíá ëïýíá - ðáñê ï “ìýëïò” Ý÷åé ôá ÷áñáêôçñéóôéêÜ ðïõ öáßíïíôáé óôï ó÷Þìá. (á) ÐïéÜ åßíáé ç ôá÷ýôçôá ðåñéóôñïöÞò ôùí êáèéóìÜôùí ôïõ ìýëïõ; (â) Áí Ýíá ðáéäß ìÜæáò 44,0 kg êÜèåôáé óå Ýíá êÜèéóìá ìÜæáò 6,00 kg, ðïéÜ ç ôÜóç ôçò áëõóßäáò; (ã) Íá ó÷åäéáóôïýí ïé äõíÜìåéò, áö’ åíüò áðü ôï ðáéäß êáé áö’ åôÝñïõ áðü ôç ìçôÝñá ôïõ ðáéäéïý, ðïõ ðáñáêïëïõèåß ôçí êßíçóç. g = 10,0 m/s2 , 35 Äýï óöáßñåò ìáæþí m êáé Ì = 2m óõíäÝïíôáé ìå áìåëçôÝáò ìÜæáò íÞìá ìÞêïõò l = 10,0 m, ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü óôáèåñü ëåßï äáêôýëéï. Ç ìéêñüôåñç ìÜæá ðåñéóôñÝöåôáé ùò êùíéêü åêêñåìÝò åíþ, ç Üëëç êñÝìåôáé êáôáêüñõöá. Íá õðïëïãéóôïýí: 3 1 73= ,
- 238. 222 MHXANIKH (á) çãùíßá è (âëÝðå ó÷Þìá) (â) ç óõ÷íüôçôá ôïõ ðåñéóôñåöüìåíïõ óöáéñéäßïõ, áí Ýíá ôìÞìá h = 5,0 m ôïõ íÞìáôïò êñÝìåôáé êáôáêüñõöá. 36 Óôï Üêñï Ï êáôáêüñõöçò ñÜâäïõ äÝíïõìå Ýíá áìåëçôÝáò ìÜæáò íÞìá Í1 , óôçí Üêñç ôïõ ïðïßïõ óõíäÝïõìå óöáéñßäéï Ó1, ìÜæáò m. Áðü ôï Ó1 åîáñôþìå äåýôåñï áìåëçôÝáò ìÜæáò íÞìá Í2 , óôï Üêñï ôïõ ïðïßïõ, óõíäÝïõìå óöáéñßäéï Ó2 ôçò ßäéáò ìÜæáò ìå ôï ðñþôï. Ôá ìÞêç ôùí äýï íçìÜôùí åßíáé ßóá. Íá áðïäåßîåôå üôé üôáí èÝóïõìå óå ðåñéóôñïöéêÞ êßíçóç ôç ñÜâäï, ìå óôáèåñÞ ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ù, ç ãùíßá ö2 , ðïõ ó÷çìáôßæåé ôï Í2 ìå ôçí êáôáêüñõöç, åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ôç ãùíßá ö1 , ðïõ ó÷çìáôßæåé ôï Í1. 37 Ãéá íá åßíáé Üíåôï Ýíá áåñïðïñéêü ôáîßäé, ç äýíáìç, ðïõ äÝ÷åôáé áðü ôçí ðëÜôç ôïõ êáèßóìáôüò ôïõ Ýíáò åðéâÜôçò, äåí ðñÝðåé íá õðåñâáßíåé ôï äéðëÜóéï ôïõ âÜñïõò ôïõ. Õðïëïãßóôå ìå ðïéÜ ìÝãéóôç åðéôÜ÷õíóç ìðïñåß íá êéíåßôáé ïñéæüíôéá ôï áåñïðëÜíï, ãéá íá ìçí áéóèÜíåôáé äõóöïñßá ï åðéâÜôçò. 38 (á) Ðþò áíôéëáìâÜíåôáé Ýíáò åðéâÜôçò áõôïêéíÞôïõ ôç ìåôáâïëÞ ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ ï÷Þìáôïò; (â) ~Áíèñùðïò âÜñïõò  = 600 Í âñßóêåôáé óå áõôïêßíçôï ðïõ êéíåßôáé: i) ðñïò áíáôïëÜò ìå ôá÷ýôçôá 72 km/h, 10min ìåôÜ ôçí áíá÷þñçóÞ ôïõ áðü ìéá ðüëç Á, ii) ï Üíèñùðïò áéóèÜíåôáé ãéá ÷ñüíï 3,14 s ìéá äýíáìç F2 = 600 Í íá ôïí ùèåß ðñïò ôï áñéóôåñü ôïß÷ùìá ôçò êáìðßíáò ôïõ áõôïêéíÞôïõ, iii) ãéá 10 s ï Üíèñùðïò áéóèÜíåôáé ìéá äýíáìç ßóç ìå F3 = 120 Í íá ôïí ùèåß ðñïò ôç ñÜ÷ç ôïõ êáèßóìáôïò iv) ãéá ÷ñüíï 1,57 s áéóèÜíåôáé ìéá äýíáìç F4 = 8000Í íá ôïí ùèåß ðñïò ôá äåîéÜ v) ôÝëïò êáé ãéá ÷ñüíï 5 s áéóèÜíåôáé ôçí åðßäñáóç ìéáò äýíáìçò F5 , ðïõ ôïí ùèåß ðñïò ôá åìðñüò. Ôï áõôïêßíçôï óôáìáôÜ óå ìéá ðüëç Æ. Äþóôå ìå ó÷åäéÜãñáììá ôçí ôñï÷éÜ ôïõ áõôïêéíÞôïõ. (ã) Ðïéü ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò F5 ; 39 ÐáñáôçñçôÞò âñßóêåôáé óå áðüóôáóç 680 m áðü ìéá ç÷çôéêÞ ðçãÞ. Ï ðáñáôçñçôÞò áñ÷ßæåé íá êéíåßôáé ðñïò ôçí ðçãÞ êáé äéáðéóôþíåé üôé ç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ ðïõ áêïýåé, áõîÜíåé áíÜëïãá ðñïò ôï ÷ñüíï. (á) Íá âñåèåß ôï åßäïò ôçò êßíçóçò ôïõ ðáñáôçñçôÞ. (â) ~Ïôáí ï ðáñáôçñçôÞò öôÜóåé óôçí ðçãÞ, ôï ðçëßêï ôçò óõ÷íüôçôáò ðïõ áêïýåé, äéá ôçò óõ÷íüôçôáò ðïõ ðáñÜãåé ç ðçãÞ, åßíáé 5:4. Ðüóï ÷ñüíï êéíÞèçêå ï ðáñáôçñçôÞò; Ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ 340 m/s. 40 ~Åíá áãùíéóôéêü áõôïêßíçôï êéíåßôáé ïìáëÜ êõêëéêÜ ìå ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá 2,00 rad/s óå êõêëéêÞ ðßóôá äïêéìþí áêôßíáò R = 25,0 m. Íá âñåèåß ç ìÝãéóôç êáé ç åëÜ÷éóôç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ ðïõ áêïýåé ðáñáôçñçôÞò ðïõ âñßóêåôáé óôï ßäéï åðßðåäï ìå ôï áõôïêßíçôï óå óôáèåñÞ áðüóôáóç áðü ôï êÝíôñï ôçò ðßóôáò, Ýîù áðü áõôÞí. Ç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ ôçò ìç÷áíÞò åßíáé 850 Hz êáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ 340 m/s.
- 239. ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÅÓÊÉÍÇÓÅÉÓ 223 41 ~Åíá ôñÝíï ðëçóéÜæåé Ýíá óôáèìü ìå ôá÷ýôçôá 40 m/s. ~Áíåìïò öõóÜåé ìå ôá÷ýôçôá 30,0 m/s ßäéáò êáôåýèõíóçò ìå ôçí êßíçóç ôïõ ôñÝíïõ. Áí ç óöõñß÷ôñá ôïõ ôñÝíïõ åêðÝìðåé Þ÷ï óõ÷íüôçôáò 400 Hz êáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ åßíáé 340 m/s, ðïéÜ åßíáé ç óõ÷íüôçôá ðïõ áêïýåé Ýíáò ðáñáôçñçôÞò ðïõ âñßóêåôáé óôï óôáèìü; 42 ÁåñïðëÜíï ðåôÜ ïñéæüíôéá êáé êéíåßôáé åõèýãñáììá êáé ïìáëÜ ìå ôá÷ýôçôá 360 km/h óå ýøïò 900 m. Äýï ðáñáôçñçôÝò, Ä1 êáé Ä2 , ðïõ âñßóêïíôáé óôï Ýäáöïò óôï ßäéï êáôáêüñõöï åðßðåäï ìå ôï áåñïðëÜíï êáé áðÝ÷ïõí ìåôáîý ôïõò 1350 m, áêïýíå ôïí Þ÷ï, ðïõ åîÝðåìøå ôï áåñïðëÜíï ôç óôéãìÞ ðïõ ðÝñíáãå áðü ôç ìåóïêÜèåôç ôùí ðáñáôçñçôþí. Áí f åßíáé ç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ ðïõ åîÝðåìøå ôï áåñïðëÜíï êáé f~1, f~2 ïé óõ÷íüôçôåò ðïõ èá áêïýóïõí ïé äýï ðáñáôçñçôÝò, íá õðïëïãéóôïýí ïé ëüãïé f´1 /f êáé f´2 / f. Ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôïõ Þ÷ïõ 340 m/s. 43 ÁåñïðëÜíï êéíåßôáé ðëçóéÜæïíôáò óå óôü÷ï êáé ðáñÜãåé Þ÷ï áðü ôïõò êéíçôÞñåò ôïõ óõ÷íüôçôáò 800 Hz. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ åßíáé 340 m/s. ÐïéÜ ôá÷ýôçôá ðñÝðåé íá Ý÷åé ôï áåñïðëÜíï, ãéá íá ìç ãßíåôáé áêïõóôüò ï Þ÷ïò ôùí êéíçôÞñùí ôïõ, áí ç ìÝãéóôç áêïõóôÞ óõ÷íüôçôá ãéá ðáñáôçñçôÞ, ðïõ âñßóêåôáé óôï óôü÷ï åßíáé 20 000 Hz; 44 ÐáñáôçñçôÞò Ä áêïýåé äéáðáóþí Ð óõ÷íüôçôáò 500 Hz, ðïõ áíá÷ùñåß áðü ôçí çñåìßá êáé áðïìáêñýíåôáé áðü áõôüí, êéíïýìåíï êáôÜ ôçí åõèåßá Äx ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç á = 10,0 m/s2 . (á) Íá õðïëïãéóôåß ç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ ðïõ áíôéëáìâÜíåôáé ï ðáñáôçñçôÞò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ 33,0 s ìåôÜ ôçí áíá÷þñçóç ôïõ äéáðáóþí. (â) Ôá ßäéá áí ôï äéáðáóþí åßíáé áêßíçôï êáé ï ðáñáôçñçôÞò áðïìáêñýíåôáé áðü áõôü ìå ôçí ßäéá åðéôÜ÷õíóç. Ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ 330 m/s. 45 Äéáðáóþí åêðÝìðåé Þ÷ï óõ÷íüôçôáò 435 Hz êáé áöÞíåôáé íá ðÝóåé åëåýèåñá áðü óçìåßï Ð, ðïõ âñßóêåôáé óå ýøïò 80 m õðåñÜíù áêßíçôïõ ðáñáôçñçôÞ êáé óôçí ßäéá êáôáêüñõöç. Íá âñåßôå ôçí óõ÷íüôçôá, ôçí ïðïßá áêïýåé ï ðáñáôçñçôÞò: (á) 2,0 s ðñéí ôï äéáðáóþí öèÜóåé óôç èÝóç ôïõ ðáñáôçñçôÞ êáé (â) 2,0 s ìåôÜ ôç äéÝëåõóç ôïõ äéáðáóþí áðü áõôüí. Ôá÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ 340 m/s. 46 ÐáñáôçñçôÞò Ä âñßóêåôáé óå áðüóôáóç (ÄÊ) = 589 m áðü åõèýãñáììç óéäçñïäñïìéêÞ ãñáììÞ, ïðüôå áêïýåé óöýñéãìá óõ÷íüôçôáò 927 Hz, ðïõ ðñïÝñ÷åôáé áðü ôçí óéäçñïäñïìéêÞ áìáîïóôïé÷ßá (Ð), ç ïðïßá ðëçóéÜæåé ôï óçìåßï Ê ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá 72,0 km/h. Ç óöõñß÷ôñá ôçò áìáîïóôïé÷ßáò åêðÝìðåé Þ÷ï óõ÷íüôçôáò 900 Hz. (á) Ðüóç åßíáé ç áðüóôáóç (ÄÊ) ôç óôéãìÞ ôçò åêðïìðÞò ôïõ óöõñßãìáôïò êáé (â) ðüóç ôç óôéãìÞ êáôÜ ôçí ïðïßá áêïýåé ï ðáñáôçñçôÞò Ä ôï óöýñéãìá. 47 Óéäçñïäñïìéêüò õðÜëëçëïò âñßóêåôáé óôç ìÝóç ìéáò ðïëý óôåíÞò ãÝöõñáò ìÞêïõò 1000 m, üôáí áíôéëáìâÜíåôáé óå áðüóôáóç 1500 m íá Ýñ÷åôáé Ýíáò óõñìüò. Õðïôßèåôáé üôé ï õðÜëëçëïò åßíáé óå èÝóç íá åêôéìÞóåé åðáêñéâþò ôç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ, ðïõ áêïýåé áðü ôç óöõñß÷ôñá ôçò áìáîïóôïé÷ßáò, ç ïðïßá êéíåßôáé êáé ôçí åêôéìÜ óå 360 Hz, åíþ ãíùñßæåé üôé ç áìáîïóôïé÷ßá åêðÝìðåé, óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, Þ÷ï óõ÷íüôçôáò 340 Hz. Áíáãêáæüìåíïò íá âãåé Ýãêáéñá áðü ôç ãÝöõñá ñõèìßæåé ôçí ôá÷ýôçôÜ ôïõ þóôå íá áêïýåé óöõñßãìáôá óôáèåñÞò óõ÷íüôçôáò 355 Hz. ÐïéÜ ç äéáöïñÜ ÷ñüíïõ ìåôáîý ôçò Üöéîçò ôïõ õðáëëÞëïõ êáé ôçò Üöéîçò ôçò áìáîïóôïé÷ßáò óôï ôÝñìá ôçò ãÝöõñáò (ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôïõ Þ÷ïõ õ = 340 m/s). 48 ~Åíáò äñïìÝáò, ðïõ ìðïñåß íá áêïýóåé Þ÷ïõò áðü 16 Hz áêñéâþò ìÝ÷ñé 16 kHz, êéíåßôáé óå êõêëéêü óôßâï ìå ôá÷ýôçôá ðïõ Ý÷åé óôáèåñü ìÝôñï. ~Eîù áðü ôïí óôßâï õðÜñ÷åé áêßíçôç ç÷çôéêÞ ðçãÞ ðïõ åêðÝìðåé óõ÷íüôçôá 15,5 Hz. Íá âñåèåß ç ôá÷ýôçôá ôïõ äñïìÝá, áí ãíùñßæïõìå üôé áêïýåé ôïí Þ÷ï ôçò ðçãÞò, ìüíï óå Ýíá óçìåßï ôçò äéáäñïìÞò ôïõ. Ôá÷ýôçôá Þ÷ïõ 340 m/s.
- 240.
- 241. 4.4 ÅÉÄÉÊÇ ÈÅÙÑÉÁÔÇÓ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ ÅÉÓÁÃÙÃÇ Ç ÇëåêôñïìáãíçôéêÞ èåùñßá üðùò äéáôõðþèçêå ôï 1865 áðü ôïí Maxwell, ðåñéÝãñáøå ôá êýìáôá ôïõ öùôüò ùò åßäïò çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí. Ìå ôéò åìðåéñßåò ôùí åðéóôçìüíùí ôçò åðï÷Þò, ôá çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá, Üñá êáé ôï öùò, Ýðñåðå íá äéáäßäïíôáé ìÝóá óå êÜðïéï ìÝóïí − öïñÝá − ìå åëáóôéêÝò éäéüôçôåò. Áðü üóá ãíþñéæáí ãéá ôç äéÜäïóç ôïõ öùôüò óôï êåíü êáé ìÝóá áðü õëéêÜ, Þôáí áíáãêáßï íá õðïèÝóïõí üôé áõôü ôï ìÝóïí, ï (öùôïöüñïò) áéèÝñáò, Ýðñåðå íá äéáðåñíÜ üëï ôï ÷þñï, íá Ý÷åé áìåëçôÝá ðõêíüôçôá êáé áìåëçôÝá áëëçëåðßäñáóç ìå ôçí ýëç. Ï áéèÝñáò õðÞñ÷å ìüíï ãéá íá äéáäßäïíôáé ôá çëåêôñïìáãíçôéêÜ êýìáôá. Ç õðüèåóç ôïõ áéèÝñá îå÷þñéóå ôïí çëåêôñïìáãíçôéóìü áðü ôçí õðüëïéðç öõóéêÞ, ðïõ ïõóéáóôéêÜ Þôáí ç Ìç÷áíéêÞ. ¹ôáí ãíùóôü üôé ïé íüìïé ôçò Ìç÷áíéêÞò Þôáí ßäéïé ãéá üëá ôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. Ôï êÜèå Ýíá áðü áõôÜ êéíåßôáé ùò ðñïò êÜèå Üëëï ìå äéáíõóìáôéêÞ ôá÷ýôçôá óôáèåñÞ. Ï çëåêôñïìáãíçôéóìüò ðñïÝâëåðå ìéá ìïíáäéêÞ ôá÷ýôçôá ãéá ôï öùò óôï êåíü ðïõ ðáñéóôÜíåôáé ìå ôï c. ¸ôóé ïé íüìïé ôïõ çëåêôñïìáãíçôéóìïý èá Ýðñåðå íá éó÷ýïõí ìüíï ãéá óõãêåêñéìÝíï óýóôçìá ùò ðñïò ôï ïðïßï ï áéèÝñáò, ìÝóá óôïí ïðïßï äéáäßäïíôáé ôá êýìáôá åßíáé áêßíçôïò êáé ç ôá÷ýôçôá ôùí êõìÜôùí åßíáé c. Óýìöùíá ìå ôï íüìï ðñüóèåóçò ôá÷õôÞôùí ôçò KëáóéêÞò Ìç÷áíéêÞò ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò êáé ôùí çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí ãåíéêüôåñá, ùò ðñïò Üëëá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá èá Ýðñåðå íá åßíáé äéáöïñåôéêÞ êáé Ýôóé ïé íüìïé ôïõ Maxwell íá ìçí éó÷ýïõí ãéá êÜèå áäñáíåéáêü óýóôçìá. Ôçí åðï÷Þ ðïõ ï ÁúíóôÜéí Üñ÷éóå íá óêÝöôåôáé ôï ðñüâëçìá õðÞñ÷áí ïé åîÞò óêÝøåéò: 1. Ïé åîéóþóåéò ôïõ Maxwell åßíáé ëÜèïò. 2. ÕðÜñ÷åé Ýíá ðñïôéìüìåíï (áäñáíåéáêü) óýóôçìá, áõôü ôïõ áêßíçôïõ áéèÝñá, ùò ðñïò ôï ïðïßï éó÷ýïõí ïé åîéóþóåéò ôïõ Maxwell êáé äåí Ý÷ïõí ôçí ßäéá ìïñöÞ óôá Üëëá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá. 3. Ïé åîéóþóåéò ôïõ Maxwell Ý÷ïõí ôçí ßäéá ìïñöÞ óå üëá ôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá, áëëÜ ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß ôùí öõóéêþí ìåãåèþí áðü óýóôçìá óå óýóôçìá äåí åßíáé ïé êëáóéêïß ôïõ Ãáëéëáßïõ, áëëÜ Üëëïé ìåôáó÷çìáôéóìïß. ÕðÞñîáí ðïëëÜ ðåéñÜìáôá ðïõ ïäÞãçóáí óôçí áðïäï÷Þ ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò ðïõ äéáôýðùóå ï ÁúíóôÜéí ôï 1905 áêïëïõèþíôáò ôç óêÝøç 3. Ôá ðåéñÜìáôá Ýãéíáí ãéá íá äïõí áí ï áéèÝñáò óõìðáñáóýñåôáé Þ ü÷é áðü ïõñÜíéá óþìáôá. ¢ëëá ðåéñÜìáôá Ýäåé÷íáí üôé ï áéèÝñáò óõìðáñáóýñåôáé êáé Üëëá ü÷é. Ï Lorentz ðñïóðÜèçóå íá ëýóåé ôï ðñüâëçìá ðéóôåýïíôáò óôïí áéèÝñá êáé âñßóêïíôáò íÝïõò íüìïõò ìåôáó÷çìáôéóìïý ôùí óõíôåôáãìÝíùí èÝóçò êáé ôïõ ÷ñüíïõ, êáèþò êáé ôùí Üëëùí ðïóïôÞôùí ôïõ çëåêôñïìáãíçôéóìïý, Ýôóé ðïõ ïé åîéóþóåéò ôïõ çëåêôñïìáãíçôéóìïý (ôïõ Maxwell) íá Ý÷ïõí ôçí ßäéá ìïñöÞ óå üëá ôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá. Ï Lorentz äåí ìðüñåóå íá äåé ôï âáèýôåñï íüçìá ôùí ìåôáó÷çìáôéóìþí êáé ôç ó÷Ýóç ôïõò ìå ôçí õðüëïéðç ÖõóéêÞ. Ôï 1899 êáé îáíÜ ôï 1900 êáé 1904 ï Poincar ´e õðÝäåéîå üôé ç áäõíáìßá ôïõ ðåéñÜìáôïò (ôùí Michelson êáé Morley) íá âñåé Ýíá áðüëõôï ÈÅÙÑÉÁ ÓXÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 225
- 242. óýóôçìá áéèÝñá, åßíáéáðüññïéá ìéáò ãåíéêÞò áñ÷Þò ðïõ ëÝåé üôé äåí ìðïñåß íá áíé÷íåõôåß áðüëõôç êßíçóç ìå êáíåíüò åßäïõò åñãáóôçñéáêÜ ðåéñÜìáôá êáé üôé üëïé ïé íüìïé ôçò öýóçò ðñÝðåé íá åßíáé ßäéïé óå üëá ôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. Áõôü ôï ïíüìáóå Áñ÷Þ ôçò Ó÷åôéêüôçôáò. Åðßóçò óõìðÝñáíå üôé ðñÝðåé íá áíáðôõ÷èåß ìéá íÝá Ìç÷áíéêÞ (ÄõíáìéêÞ) ðïõ ðñÝðåé íá ÷áñáêôçñßæåôáé åêôüò ôùí Üëëùí êáé áðü ôï ãåãïíüò üôé äåí ðñÝðåé êáìéÜ ôá÷ýôçôá óþìáôïò íá õðåñâáßíåé ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò. Ôï 1905 ï ÁúíóôÜéí åäçìïóßåõóå ôï ðñþôï Üñèñï ôïõ ãéá ôçí ÅéäéêÞ Ó÷åôéêüôçôá, üðïõ áíÝðôõîå áõôÞ ôç èåùñßá áðü äýï âáóéêÜ áîéþìáôá: (1) Ôçí Áñ÷Þ ôçò Ó÷åôéêüôçôáò êáé (2) Ôçí óôáèåñüôçôá ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò ùò ðñïò üëá ôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá. ÁíáôñÜðçêáí Ýôóé ïé éäÝåò ãéá ôï ÷þñï êáé ôï ÷ñüíï ðïõ äåí åìöáíßæïíôáé ùò áíåîÜñôçôåò ïíôüôçôåò. Ï ÁúíóôÜéí Ýâãáëå ôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò ôïõ Lorentz êáé ôéò ó÷Ýóåéò ìåôáó÷çìáôéóìïý ôùí äéáöüñùí öõóéêþí ðïóïôÞôùí áðü óýóôçìá óå óýóôçìá, þóôå ïé íüìïé íá ìÝíïõí ïé ßäéïé. Åðßóçò ôñïðïðïßçóå ôïõò íüìïõò ôçò Ìç÷áíéêÞò. ¸ôóé ç éäÝá ôïõ áéèÝñá Ýöõãå áðü ôç ìÝóç êáé ç öõóéêÞ ìðÞêå óå íÝåò âÜóåéò. Ðñïóðáèïýìå óå áõôü ôï êåöÜëáéï íá åéóáãÜãïõìå ôïõò ìáèçôÝò óôï áíôéêåßìåíï ôçò ÅéäéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò ðåñéãñÜöïíôáò ôéò âáóéêÝò áñ÷Ýò. ÓõãêåêñéìÝíá, åîåôÜæåôáé ôï èÝìá ôùí óõóôçìÜôùí áíáöïñÜò êáé ç éäéáéôåñüôçôá ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò óôï êåíü. Äßíïíôáé ïé Ìåôáó÷çìáôéóìïß Lorentz êáé äéÜöïñåò åöáñìïãÝò ôïõò êáé ôÝëïò äßíïíôáé ìåñéêÜ óôïé÷åßá ôçò ÃåíéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò, üðïõ äßíåôáé Ýìöáóç óôéò Ýííïéåò áäñáíåéáêÞ êáé âáñõôéêÞ ìÜæá. Ç éäÝá åßíáé, íá êáôáëÞîåé íá ìçí “öïâÜôáé” ï ìáèçôÞò ôéò éäÝåò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò, áöïý êáôáëÜâåé üôé õðÜñ÷ïõí ðïëëÜ öáéíüìåíá áêüìç êáé “äßðëá” ôïõ (üðùò åßíáé ôá ìéüíéá ðïõ öôÜíïõí óôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò áðü ôá áíþôåñá óôñþìáôá ôçò áôìüóöáéñáò) ðïõ ç åñìçíåßá ôïõò ãßíåôáé ìå ôçí ÅéäéêÞ Ó÷åôéêüôçôá. Ï ìáèçôÞò ðñÝðåé íá ëýóåé ìåñéêÜ ðñïâëÞìáôá êáé íá êÜíåé óêÝøåéò âáóéóìÝíåò óôéò éäÝåò ôçò ÅéäéêÞò êáé ÃåíéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò ãéá íá êáôáíïÞóåé ðùò ìðïñåß íá ôéò ÷ñçóéìïðïéåß êáé íá êáôáëÜâåé ôç äéáöïñÜ óôéò Ýííïéåò ðïõ åéóÜãïõí óå ó÷Ýóç ìå áõôÝò ôçò óõíÞèïõò öõóéêÞò, ðïõ Þîåñå ìÝ÷ñé ôþñá. ÁÄÑÁÍÅÉÁÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ ÁÍÁÖÏÑÁÓ ÊÁÉ Ç ÔÁ×ÕÔÇÔÁ ÔÏÕ ÖÙÔÏÓ ÁÑ×Ç ÔÇÓ ÍÅÕÔÙÍÉÁÓ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ Ãéá íá ðåñéãñÜøïõìå Ýíá öõóéêü ãåãïíüò óôï ÷þñï êáé óôï ÷ñüíï (ð.÷. ìéá Ýêñçîç, ôï Üíáìá åíüò ëáìðôÞñá, ê.ëð.) ðñÝðåé íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ÷ñïíïìåôñçôÝò (ñïëüãéá) êáé Ýíá óýóôçìá áíáöïñÜò. Ï ðñþôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá (íüìïò áäñÜíåéáò) êáèïñßæåé ìéá åéäéêÞ êáôçãïñßá óõóôçìÜôùí áíáöïñÜò, ðïõ ëÝãïíôáé áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. Áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò åßíáé ôï óýóôçìá åêåßíï óôï ïðïßï Ýíá óþìá ðïõ äåí õößóôáôáé ôç äñÜóç åîùôåñéêþí äõíÜìåùí Þ ðïõ ç óõíéóôáìÝíç áõôþí ðïõ õößóôáôáé åßíáé ìçäÝí, êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ 226 MHXANIKH
- 243. (äéáíõóìáôéêÞ) ôá÷ýôçôá Þåßíáé áêßíçôï. Ï ðñþôïò êáé ï äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá éó÷ýïõí ãéá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò êáé ãéáõôü áíáöåñüìáóôå óå ôÝôïéá (áäñáíåéáêÜ) óõóôÞìáôá. Äåí õðÜñ÷åé êáíÝíá áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò ðïõ íá åßíáé ðéï óçìáíôéêü áðü êÜðïéï Üëëï. Áõôü óçìáßíåé üôé áí êÜíåôå Ýíá ðåßñáìá óôï áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ åñãáóôçñßïõ ãéá íá áðïäåßîåôå ôçí éó÷ý ôùí íüìùí ôçò ìç÷áíéêÞò ôüôå êáé Ýíáò ðáñáôçñçôÞò, ðïõ êéíåßôáé éóïôá÷þò ùò ðñïò ôï åñãáóôÞñéï êáé åêôåëåß ôá ßäéá ðåéñÜìáôá Þ ðåñéãñÜöåé ôá äéêÜ óáò ðåéñÜìáôá óôï äéêü ôïõ óýóôçìá, óõìöùíåß ìáæß óáò ùò ðñïò ôïõò íüìïõò ðïõ ôá äéÝðïõí. Áõôü óçìáßíåé üôé äåí ìðïñïýìå íá ðñïóäéïñßóïõìå êÜðïéá áðüëõôç êßíçóç åíüò áäñáíåéáêïý óõóôÞìáôïò êÜíïíôáò ðåéñÜìáôá ðÜíù óå áõôü. Äåí Ý÷åé íüçìá íá ìéëÜìå ãéá áðüëõôç êßíçóç. Ùò áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò èåùñïýìå óýóôçìá áíáöïñÜò óõíäåäåìÝíï ìå ìáêñõíïýò áðëáíåßò áóôÝñåò. ÊÜèå Üëëï óýóôçìá ðïõ êéíåßôáé åõèõãñÜììùò êáé éóïôá÷þò ùò ðñïò áõôü åßíáé åðßóçò áäñáíåéáêü. Èåùñïýìå äýï óõóôÞìáôá áíáöïñÜò Ê, Ê′, ìå ðñïóáíáôïëéóìü áîüíùí üðùò óôï ó÷Þìá 4.117. Áò õðïèÝóïõìå üôé ëáìâÜíåé ÷þñá Ýíá ãåãïíüò (Ñ) êáé ðáñáôçñåßôáé áöåíüò áðü Ýíáí ðáñáôçñçôÞ Ð ðïõ âñßóêåôáé óôï óýóôçìá áíáöïñÜò Ê êáé áöåôÝñïõ áðü Ýíáí ðáñáôçñçôÞ Ð ′ ðïõ âñßóêåôáé óôï êéíïýìåíï éóïôá÷þò ùò ðñïò ôï Ê, óýóôçìá áíáöïñÜò Ê ′, ìå ôá÷ýôçôá u = ux êáôÜ ìÞêïò ôïõ Üîïíá ôùí x. Ï ìåí ðáñáôçñçôÞò Ð (ëÝãåôáé áêßíçôïò) ðåñéãñÜöåé ôï ãåãïíüò ìå ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôïõ ÷þñïõ êáé ôïõ ÷ñüíïõ (x, y, z, t) ï äå ðáñáôçñçôÞò Ð~ (ëÝãåôáé êéíïýìåíïò) ðåñéãñÜöåé ôï ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 227 Ó×ÇÌÁ 4.117 Ç èÝóç ðïõ óõíôåëåßôáé Ýíá ãåãïíüò P, ìðïñåß íá ðåñéãñáöåß ìå ôéò óõíôåôáãìÝíåò x, y, z, ôïõ óõóôÞìáôïò áíáöïñÜò Ê Þ ôéò x′, y′, z′ ôïõ Ê′. Ôï Ê ′ êéíåßôáé ùò ðñïò ôï Ê ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá ux = u êáôÜ ìÞêïò ôùí áîüíùí Ox, Ox′. Ïé áñ÷Ýò Ï êáé Ï óõìðßðôïõí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = t′ = 0.
- 244. ßäéï ãåãïíüò ÷ñçóéìïðïéþíôáòôéò óõíôåôáãìÝíåò (x ′, y ′, z ′, t ′). ~Ïðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá 4.117 ïé óõíôåôáãìÝíåò áõôÝò óõíäÝïíôáé ìåôáîý ôïõò ìå ôéò ó÷Ýóåéò Ïé åîéóþóåéò áõôÝò åßíáé ãíùóôÝò ùò ìåôáó÷çìáôéóìïß ôïõ Ãáëéëáßïõ. Áí ìåôáó÷çìáôßóïõìå ìå ôïõò ðáñáðÜíù ìåôáó÷çìáôéóìïýò, ôïõò äýï ðñþôïõò íüìïõò ôïõ Íåýôùíá áðïäåéêíýåôáé üôé ç ìïñöÞ ôïõò óôï áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò Ê′ åßíáé ßäéá ìå åêåßíç óôï Ê. Áðü áõôü ôï ãåãïíüò óõìðåñáßíïõìå üôé äåí õðÜñ÷åé äéá÷ùñéóìüò ìåôáîý ôùí áäñáíåéáêþí óõóôçìÜôùí. ¼ëá åßíáé éóïäýíáìá ùò ðñïò ôïõò íüìïõò ôïõ Íåõôùíá (ðñïöáíþò êáé ùò ðñïò ôïí ôñßôï íüìï, ãéáôß ïé äõíÜìåéò ôéò êëáóéêÞò ìç÷áíéêÞò åîáñôþíôáé ìüíï áðü ôéò áðïóôÜóåéò ìåôáîý ôùí áëëçëåðéäñþíôùí óùìÜôùí êáé áõôÝò ìÝíïõí ßäéåò óå êÜèå óýóôçìá). Áðü ôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò ôïõ Ãáëéëáßïõ âëÝðïõìå üôé ï ÷ñüíïò åßíáé ï ßäéïò êáé ãéá ôá äýï áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá ðïõ óçìáßíåé üôé ôá ñïëüãéá ôùí äýï ðáñáôçñçôþí Ð êáé Ð~ ëåéôïõñãïýí ìå ôïí ßäéï ñõèìü. Áí êáé ç áëÞèåéá áõôÞò ôçò õðüèåóçò öáßíåôáé üôé åßíáé ðñïöáíÞò áõôü èá äïýìå üôé åßíáé ëÜèïò ãéá ôçí ðåñßðôùóç ðïõ ïé ôá÷ýôçôåò åßíáé óõãêñßóéìåò ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò, ïðüôå ïé Ýííïéåò ôçò Íåõôþíéáò ó÷åôéêüôçôáò (ôïõ Ãáëéëáßïõ) ãéá áðüëõôï ìÞêïò êáé ÷ñüíï äåí éó÷ýïõí. Áò õðïèÝóïõìå üôé Ýíá óçìåßï ðáñáôçñïýìåíï áðü ôï óýóôçìá Ê ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 âñßóêåôáé óôç èÝóç (x1 , 0, 0) êáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 óôç èÝóç (x2 , 0, 0). Áðü ôï óýóôçìá Ê′ èá Ý÷ïõìå üôé ôç óôéãìÞ t′1 èá âñßóêåôáé óôç èÝóç (x′1 , 0, 0) êáé ôçí óôéãìÞ t′2 óôç èÝóç (x′2 , 0, 0). ¸÷ïõìå êßíçóç êáôÜ ìÞêïò ôùí ðáñÜëëçëùí áîüíùí Ïx, Ï′x′. Áðü ôéò åîéóþóåéò ìåôáó÷çìáôéóìïý ôïõ Ãáëéëáßïõ Ý÷ïõìå x′2 − x′1 = Äx′ = x2 − x1 − ux t2 − ux t1 Äy′ = Äy = Äz′ = Äz = 0 êáé Ät′ = Ät Üñá Äx′ = Äx − ux Ät ÅðïìÝíùò Ý÷ïõìå áí ðÜñïõìå ôá Ät, Ät′, Äx, Äx′ ðïëý ìéêñÜ êáôáëÞãïõìå óôéò óôéãìéáßåò ôá÷ýôçôåò, äçëáäÞ õ′x = õx − ux Ãåíéêüôåñá ãéá êÜèå ôá÷ýôçôá →→ õ êáé → u ìðïñåß íá äåé÷èåß üôé éó÷ýåé d d d d ′ ′ = − x t x t ux Ä Ä Ä Ä ′ ′ = − x t x t ux (4.104) Ìåôáó÷çìáôéóìïß óõíôåôáãìÝíùí ôïõ Ãáëéëáßïõ x ′ = x − ux t y′ = y z′ = z t′ = t 228 MHXANIKH
- 245. Ç ó÷Ýóç áõôÞåßíáé ãíùóôÞ ùò íüìïò ðñüóèåóçò (óõíäõáóìüò) ôá÷õôÞôùí ôïõ Ãáëéëáßïõ (Þ ìåôáó÷çìáôéóìüò ôá÷ýôçôáò ôïõ Ãáëéëáßïõ). ÁõôÞ ôç ó÷Ýóç ôç ÷ñçóéìïðïéïýìå êáèçìåñéíÜ êáé åßíáé óýìöùíç ìå ôçí áßóèçóç ðïõ Ý÷ïõìå ãéá ôï ÷þñï êáé ôï ÷ñüíï. Áí ôç ó÷Ýóç áõôÞ ôçí åöáñìüóïõìå ãéá ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò äßíåé → c′ = → c − → u, Üñá c′≠ c Ôï äåýôåñï áîßùìá üìùò ôïõ Einstein (üðùò åßäáìå óôçí åéóáãùãÞ) ëÝåé ãåãïíüò ôï ïðïßï êáé õðïóôçñßæåôáé áðü ðåéñáìáôéêÜ äåäïìÝíá (ð.÷. ðåßñáìá Michelson -Morley). ÅðïìÝíùò ïé ðáñáðÜíù åîéóþóåéò ÷ñåéÜæïíôáé ôñïðïðïéÞóåéò ãéá íá åíáñìïíéóôïýí ìå ôï áîßùìá ôïõ ÁúíóôÜéí üðùò èá äïýìå óýíôïìá. ÔÏ ÐÅÉÑÁÌÁ ÔÙÍ MICHELSON − MORLEY Îáíáôïíßæïõìå ïñéóìÝíá ðñÜãìáôá, ðïõ áíáöÝñáìå êáé óôçí ÅéóáãùãÞ áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ. Áðü íùñßò åß÷å äéáðéóôùèåß üôé ïé íüìïé ôïõ Maxwell ôïõ çëåêôñïìáãíçôéóìïý äåí ðáñáìÝíïõí ïé ßäéïé êáôÜ ôç ìåôÜâáóç áðü Ýíá áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò óå Üëëï ìå ôç ÷ñÞóç ôùí ìåôáó÷çìáôéóìþí Ãáëéëáßïõ. Áõôü ïäÞãçóå óå äéÜöïñïõò ðñïâëçìáôéóìïýò. 1. Ìéá éäÝá Þôáí üôé ïé åîéóþóåéò ôïõ Maxwell Þôáí ëÜèïò. Ç óùóôÞ èåùñßá ãéá ôïí çëåêôñïìáãíçôéóìü èá Ýäéíå åîéóþóåéò áíáëëïßùôåò áðü Ýíá áäñáíåéáêü óýóôçìá óå Üëëï, ìå ôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò ôïõ Ãáëé- ëáßïõ. 2. Ìéá Üëëç éäÝá Þôáí üôé ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß Ãáëéëáßïõ éó÷ýïõí ãéá ôçí êëáóéêÞ ìç÷áíéêÞ, áëëÜ ï çëåêôñïìáãíçôéóìüò Ý÷åé Ýíá ðñïôéìçôÝï óýóôçìá áíáöïñÜò ùò ðñïò ôï ïðïßï, ôï ìÝóïí (áéèÝñáò) óôï ïðïßï äéáäßäïíôáé ïé çëåêôñïìáãíçôéêÝò áëëçëåðéäñÜóåéò åßíáé áêßíçôï. 3. Ç ôñßôç éäÝá Þôáí üôé õðÜñ÷åé ìéá Üëëç áñ÷Þ ó÷åôéêüôçôáò (ü÷é ôïõ Ãáëéëáßïõ) ðïõ éó÷ýåé ãéá ôç ìç÷áíéêÞ êáé ãéá ôïí çëåêôñïìáãíçôéóìü. Ïé íüìïé ôçò ìç÷áíéêÞò ðñÝðåé íá ôñïðïðïéçèïýí. Ç ôñßôç éäÝá äåí èåùñÞèçêå óïâáñÞ. Ïé ðåñéóóüôåñïé öõóéêïß ôïí êáéñü åêåßíï (19ïò áéþíáò) ðßóôåõáí óôç äåýôåñç. ~Åôóé Ýíá ðåßñáìá èá ìðïñïýóå íá äåßîåé Þ ü÷é üôé ôï öùò áëëÜæåé ôá÷ýôçôá ùò ðñïò êéíïýìåíï ó÷åôéêÜ ìå ôïí áéèÝñá óýóôçìá êáé ìÜëéóôá óýìöùíá ìå ôïí íüìï ðñüóèåóçò ôá÷õôÞôùí ôçò êëáóéêÞò ìç÷áíéêÞò ðïõ áíáöÝñáìå ðñïçãïõìÝíùò. Ç ðéï óïâáñÞ ðñïóðÜèåéá ðåéñáìáôéêÞò åðéâåâáßùóçò ôçò ðáñáðÜíù õðüèåóçò Ýãéíå ìå ôï ðåßñáìá ôùí Michelson-Morley. Ôï Ýôïò 1881 ï Áìåñéêáíüò öõóéêüò Albert A. Michelson (1852 - 1931) Üñ÷éóå ìéá óåéñÜ ðåéñáìÜôùí ìå ôá ïðïßá Þèåëå íá ìåôñÞóåé ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò óå äéÜöïñåò êáôåõèýíóåéò, ùò ðñïò ôçí êßíçóç ôçò Ãçò ãýñù áðü ôïí ¹ëéï. Ôá ðåéñÜìáôá êñÜôçóáí ðïëëÜ ÷ñüíéá. Ôï 1887 ï Michelson ìáæß ìå ôïí Edward Morley êáé ìå ðïëý ðéï åîåëéãìÝíá üñãáíá, óõíÝ÷éóáí ôéò ìåôñÞóåéò. Ðñïò ìåãÜëç Ýêðëçîç ðïëëþí (êáé ôùí ßäéùí áêüìá), âñÞêáí üôé ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò, c, Þôáí ç ßäéá ðñïò üëåò ôéò êáôåõèýíóåéò, áíåîÜñôçôá ôï ðþò êéíåßôáé ç Ãç. Ç ðåéñáìáôéêÞ äéÜôáîç ôùí Michelson-Morley Þôáí Ýíá óõìâïëüìåôñï, ðïõ åßíáé ãíùóôü óÞìåñá ùò óõìâïëüìåôñï ôïõ Michelson êáé ç áñ÷Þ ôïõ ðåñéãñÜöåôáé óôï ó÷Þìá 4.118. ′ = −õ õ u ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 229
- 246. Ï Ýíáò âñá÷ßïíáòôïõ óõìâïëïìÝôñïõ Ý÷åé ôç äéåýèõíóç ôçò êßíçóçò ôçò Ãçò óôï äéÜóôçìá ùò ðñïò ôïí áêßíçôï áéèÝñá. ¸óôù c ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò ùò ðñïò ôïí áéèÝñá. Áí ç ôá÷ýôçôá ôçò Ãçò åßíáé u (ðñïöáíþò ç ôá÷ýôçôá ôïõ áéèÝñá ùò ðñïò ôçò Ãç åßíáé − u), ôüôå ç ôá÷ýôçôá ôçò äÝóìçò öùôüò Á, üôáí êáôåõèýíåôáé ðñïò ôï êÜôïðôñï Ê2 èá Ýðñåðå íá åßíáé c − u (íüìïò óõíäõáóìïý ôá÷õôÞôùí ôïõ Ãáëéëáßïõ). ¼ôáí ç äÝóìç Á áíáêëáóôåß óôï Ê2 êáé êéíåßôáé áíôßèåôá áðü ðñéí, ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò èá Ýðñåðå íá åßíáé c + u. ÕðÜñ÷åé ãåíéêþò äéáöïñÜ ïðôéêþí äñüìùí ãéá ôçí Á êáé  êáé Üñá êáé äéáöïñÝò öÜóåùí üôáí öôÜóïõí óôï óçìåßï ðáñáôÞñçóçò, óôï ôçëåóêüðéï Ô, ïðüôå óõìâÜëëïõí êáé äßíïõí êñïóóïýò óõìâïëÞò. ¼ðùò èá öáíåß áðü ôçí áíÜëõóç ôïõ ðåéñÜìáôïò, áí ðåñéóôñáöåß ç äéÜôáîç óôï åðßðåäï ôçò êáôÜ 90ï , Ýôóé þóôå ç äÝóìç  íá ãßíåé ðáñÜëëçëç ðñïò ôç äéåýèõíóç êßíçóçò ôçò Ãçò êáé ç Á êÜèåôç, ôüôå ïé êñïóóïß óõìâïëÞò èá ìåôáôïðéóôïýí êáé ç ìåôáôüðéóÞ ôïõò åßíáé óõíÜñôçóç ôçò ôá÷ýôçôáò ôçò Ãçò ùò ðñïò ôïí áéèÝñá. Ôï ðåßñáìá Ýãéíå ðïëëÝò öïñÝò êáé äåí âñÝèçêå ìåôáôüðéóç ìÝóá óôá ðëáßóéá ôçò áêñßâåéáò ôïõ ðåéñÜìáôïò, ðïõ Þôáí ðïëý ìåãÜëç. ÂñÞêáí ðñáêôéêþò ìçäÝí ìåôáôüðéóç êñïóóþí. Ôï üñéï ðïõ ìðïñïýóáí íá ìåôñÞóïõí Þôáí ðåñßðïõ 0,01 ôïõ êñïóóïý äçëáäÞ ðïëý ðéï ìéêñü áðü 230 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.118 Áñ÷Þ ëåéôïõñãßáò ôïõ ÓõìâïëïìÝôñïõ Michelson. Ç äÝóìç öùôüò áðü ôçí ðçãÞ Ð ÷ùñßæåôáé ìå ôï çìéäéáöáíÝò êÜôïðôñï Ê1 óå äýï äÝóìåò, ôçí Á ðïõ êáôåõèýíåôáé ðñïò ôï êÜôïðôñï Ê2 êáé ôçí  ðñïò ôï Ê3 . ÁõôÝò áíáêëþìåíåò ôåëéêÜ öôÜíïõí óôï ôçëåóêüðéï ðáñáôÞñçóçò Ô êáé óõìâÜëëïõí äßíïíôáò êñïóóïýò óõìâïëÞò.
- 247. ôï 0,4 ôïõêñïóóïý ðïõ áíáìÝíïíôáí áðü ôç ãíùóôÞ ôá÷ýôçôá ôçò Ãçò êáôÜ ôçí ðåñéöïñÜ ôçò ðåñß ôïí ¹ëéï. ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÔÏÕ ÐÅÉÑÁÌÁÔÏÓ MICHELSON - MORLEY 1. ~Åóôù üôé ç óõóêåõÞ åßíáé áêßíçôç ùò ðñïò ôïí áéèÝñá. Åßíáé ðñïöáíÝò üôé, üôáí ç óõóêåõÞ åßíáé áêßíçôç ùò ðñïò ôïí áéèÝñá, ç äéáöïñÜ ÷ñüíùí Üöéîçò ôùí áêôßíùí èá åßíáé áíåîÜñôçôç ôïõ ðñïóáíáôïëéóìïý ôçò êáé Üñá ïé êñïóóïß ðïõ ó÷çìáôßæïíôáé äåí ìåôáôïðßæïíôáé üôáí ðåñéóôñáöåß êáôÜ 90ï . Áò óçìåéùèåß üôé áí ïé ïðôéêÝò äéáäñïìÝò Þôáí ßäéåò äåí èá åß÷áìå äéáöïñÝò öÜóåùí ïýôå êñïóóïýò óõìâïëÞò. ÁíåîÜñôçôá üìùò áðü êßíçóç ùò ðñïò áéèÝñá Þ ü÷é áõôü äåí ìðïñåß íá åðéôåõ÷èåß óôçí ðñÜîç, ðÜíôá õðÜñ÷ïõí äéáöïñÝò ïðôéêþí äñüìùí êáé öÜóåùí êáé Üñá êñïóóïß óõìâïëÞò. Ãéáõôü, áõôü ðïõ åîåôÜæåôáé óôï ðåßñáìá åßíáé ç ìåôáôüðéóç ôùí êñïóóþí êáôÜ ôç óôñïöÞ ôçò óõóêåõÞò. 2. ~Åóôù üôé ç óõóêåõÞ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá u ùò ðñïò ôïí áéèÝñá. Áò ðáñáêïëïõèÞóïõìå óôï ó÷Þìá 4.118 ôçí áêôßíá Á ðïõ ðïñåýåôáé ðñïò ôï êÜôïðôñï Ê2, öèÜíåé óå áõôü êéíïýìåíç ìå ôá÷ýôçôá c − u, ùò ðñïò ôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôçò Ãçò, áíáêëÜôáé êáé åðéóôñÝöåé óôï Ê1 , êéíïýìåíç ìå ôá÷ýôçôá c + u, ùò ðñïò ôï ßäéï óýóôçìá. ÅðïìÝíùò ï óõíïëéêüò ÷ñüíïò êßíçóçò ãéá ôç äéáäñïìÞ K1 Ê2 K1 èá åßíáé Þ Þ (4.105) Ç Üëëç áêôßíá ðïõ ðïñåýåôáé ðñïò ôï êÜôïðôñï Ê3 , êÜèåôá ðñïò ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ áéèÝñá Ý÷åé ôá÷ýôçôá , óå ó÷Ýóç ìå ôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôçò Ãçò, ßäéïõ ìÝôñïõ êáé ãéá ôéò äýï äéáäñïìÝò. Áõôü ðñïêýðôåé áðü ôç ó÷Ýóç ðñüóèåóçò ôá÷õôÞôùí ôïõ Ãáëéëáßïõ. Áí → u ç ôá÷ýôçôá ôçò Ãçò ùò ðñïò ôïí áéèÝñá êáé → õ′ ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò ùò ðñïò ôç Ãç, ôüôå ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò ùò ðñïò ôïí áéèÝñá èá åßíáé, → c = → u + → õ′ ¼ìùò ôá → u êáé → õ′ åßíáé êÜèåôá ìåôáîý ôïõò Üñá c2 = u2 + õ′2 (Ðõèáãüñåéï èåþñçìá) ¢ñá ÅðïìÝíùò ï óõíïëéêüò ÷ñüíïò êßíçóçò ôçò áêôßíáò ãéá ôç äéáäñïìÞ Ê1 Ê3 Ê1 èá åßíáé ′ = −õ c u 2 2 c u 2 2 − t L c u c 1 2 2 2 1 1 = − t Lc c u 1 2 2 2 = − t L c u L c u 1 = − + + ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 231
- 248. Þ (4.106) Áðü ôéò ðáñáðÜíùó÷Ýóåéò (4.105) êáé (4.106) ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôç äéáöïñÜ ÷ñüíïõ Üöéîçò ôùí äýï áêôßíùí óôï óçìåßï óõìâïëÞò. (Äåí ìðáßíïõìå óå ôå÷íéêÝò ëåðôïìÝñåéåò üôáí ðñÝðåé íá ëÜâïõìå õðüøç êáé Üëëïõò ðáñÜãïíôåò ðïõ ôåëéêþò äåí õðåéóÝñ÷ïíôáé óôï ôåëéêü áðïôÝëåóìá). Ôçí ðáñáðÜíù ðáñÜóôáóç ìðïñïýìå íá ôçí áðëïðïéÞóïõìå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï ôïõ äéùíýìïõ ôïõ Íåýôùíá: ãéá ⏐x⏐<<1 (áõôÞ åßíáé ìéá ðïëý ÷ñÞóéìç ó÷Ýóç ãéá ðïëëÜ ðñïâëÞìáôá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò!) (áöïý ôï u ≈ 3 × 104 m/s, åßíáé ç ôá÷ýôçôá ðåñéöïñÜò ôçò Ãçò ãýñù áðü ôïí Þëéï) êáé ôï n = −1 êáé −1/2 áíôßóôïé÷á. ~Åôóé Ý÷ïõìå êáôÜ ðñïóÝããéóç Þ ç äéáöïñÜ äéáäñïìÞò, ðïõ áíôéóôïé÷åß óôç ÷ñïíéêÞ áõôÞ äéáöïñÜ åßíáé êáé ç áíôßóôïé÷ç äéáöïñÜ öÜóçò (4.107) ÁðïôÝëåóìá ôçò äéáöïñÜò öÜóçò åßíáé ç äçìéïõñãßá êñïóóþí óõìâïëÞò. Áí ç óõóêåõÞ óôñáöåß êáôÜ 90ï , Ýôóé þóôå ï äñüìïò ÂÊ2 íá ãßíåé ðáñÜëëçëïò ðñïò ôç äéåýèõíóç êßíçóçò ôçò óõóêåõÞò êáé ï ÂÊ1 êÜèåôïò ðñïò áõôÞ, ôüôå ç äéáöïñÜ öÜóçò èá åßíáé, −Äö. ~Áñá ôï áðïôÝëåóìá ôçò ðåñéóôñïöÞò áõôÞò óôç äéáöïñÜ öÜóçò, èá åßíáé ìéá ìåôáâïëÞ ôçò êáôÜ Ä ð Ä ð ö ë d Lu ë c = = 2 2 2 2 Ä Äd c t Lu c = = 2 2 Ät Lu c = 2 3 Ät L c u c u c = + − + F HG I KJ L N MM O Q PP 2 1 1 2 2 2 2 2 x u c = << 2 2 1 ( )1 1+ ≈ +x nxn Ät t t L c u c u c L c u c u c = − = − − − L N MM MM M O Q PP PP P = − F HG I KJ − − F HG I KJ L N M MM O Q P PP − − 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 22 1 1 1 1 2 1 1 t L c u c 2 2 2 2 1 1 = − t L c u 2 2 2 2 = − 232 MHXANIKH
- 249. Äö′ = Äö− (−Äö) = 2Äö ~Áñá áðü ôçí ó÷Ýóç (4.107) Ý÷ïõìå (4.108) ÁðïôÝëåóìá, ëïéðüí, ôçò óôñïöÞò ôçò óõóêåõÞò êáôÜ 90ï èá åßíáé ìéá ìåôáôüðéóç ôùí êñïóóþí óõìâïëÞò êáôÜ äéÜóôçìá ðïõ áíôéóôïé÷åß óå äéáöïñÜ öÜóçò Äö′ = 2Äö, ìéêñÞ ìåí áëëÜ ìåôñÞóéìç. ¼ðùò ðñïáíáöÝñáìå, ïé Michelson - Morley ðåñßìåíáí ìåôáêßíçóç êñïóóþí êáôÜ, ðåñßðïõ, 0,4 ôçò áðüóôáóçò ìåôáîý äéáäï÷éêþí êñïóóþí. Ôï ðåßñáìÜ ôïõò ìðïñïýóå íá ìåôñÞóåé ìåôáôïðßóåéò ôçò ôÜîçò ìéêñüôåñïõ ôïõ åêáôïóôïý áõôÞò ôçò ìåôáêßíçóçò. ÌÝóá óôá üñéá ôçò ðåéñáìáôéêÞò ôïõò áêñßâåéáò äåí ðáñáôÞñçóáí êáèüëïõ ìåôáôüðéóç. ÃÅÃÏÍÏÓ ÓÔÏÍ ÔÅÔÑÁÄÉÁÓÔÁÔÏ ×ÙÑÏ×ÑÏÍÏ Ãéá íá ìåëåôÞóïõìå ôçí ÅéäéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò åßíáé áíáãêáßï íá îáíáðïýìå êáé íá êáôáëÜâïõìå ðþò ðåñéãñÜöåôáé Ýíá óõìâÜí, Ýíá ãåãïíüò, áðü Ýíá áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò. ¸íá ãåãïíüò (óõìâÜí) åßíáé êÜôé ðïõ óõìâáßíåé êáé ìðïñåß íá ðåñéãñáöåß (ðñïóäéïñéóôåß) ìå ôñåéò óõíôåôáãìÝíåò ôïõ ÷þñïõ êáé ìéá óõíôåôáãìÝíç ôïõ ÷ñüíïõ. ÌåñéêÜ ðáñáäåßãìáôá ãåãïíüôùí (óõìâÜíôùí) åßíáé: 1. Ôï Üíáìá åíüò ìéêñïóêïðéêïý ëáìðôÞñá êÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ óå êÜðïéá èÝóç. 2. Ç óýãêñïõóç äýï óùìáôéäßùí êÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ óå êÜðïéá èÝóç. 3. Ôï ðÝñáóìá åíüò ðáëìïý öùôüò áðü êáèïñéóìÝíï óçìåßï êÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ. 4. Ìéá Ýêñçîç óå êÜðïéï óçìåßï êÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ. Óå áíôßèåóç ìå ôç êëáóéêÞ öõóéêÞ ðïõ ï ÷ñüíïò åßíáé áíåîÜñôçôç ïíôüôçôá áðü ôï ÷þñï èá äïýìå üôé óôç ó÷åôéêüôçôá ÷þñïò êáé ÷ñüíïò åßíáé óõíäåäåìÝíá ìåôáîý ôïõò. ¸ôóé ìðïñïýìå íá ÷áñáêôçñßóïõìå ôéò ôÝóóåñåéò áõôÝò óõíôåôáãìÝíåò ùò óõíôåôáãìÝíåò ôïõ ÷ùñü÷ñïíïõ. Ôï óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí ðïõ ÷ñçóéìïðïéïýìå óõíäÝåôáé ìå ôï óýóôçìá áíáöïñÜò áðü üðïõ ãßíåôáé ç ðáñáôÞñçóç. ~Åíá äåäïìÝíï ãåãïíüò ìðïñåß íá êáôáãñáöåß áðü äéáöïñåôéêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. Ãåíéêþò, áðü äéáöïñåôéêÜ óõóôÞìáôá, äéáöïñåôéêÝò óõíôåôáãìÝíåò ôïõ ÷ùñü÷ñïíïõ ðñïóäéïñßæïõí ôï ßäéï ãåãïíüò. Óôá ðëáßóéá ôçò ÅéäéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò ãéá ôçí ðåñéãñáöÞ ôçò åîÝëéîçò ôùí öáéíïìÝíùí óôï ÷þñï êáé óôï ÷ñüíï ìðïñïýìå íá öáíôáóôïýìå ôï åîÞò. Óôï êÜèå óýóôçìá áíáöïñÜò öáíôáæüìáóôå Ýíá ðëÝãá óõíôåôáãìÝíùí, üðùò óôï ó÷Þìá 4.119. Óôïí êÜèå êüìâï ôïõ ðëÝãìáôïò õðÜñ÷åé Ýíá ñïëüé. ¼ëá ôá ñïëüãéá ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé ìåôáîý ôïõò óõã÷ñïíéóìÝíá. Ç äéáäéêáóßá óõã÷ñïíéóìïý ôùí ñïëïãéþí ãéá ôï óõãêåêñéìÝíï óýóôçìá áíáöïñÜò âáóßæåôáé óôç óôáèåñüôçôá ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò. Ãéá íá åîáóöáëßóïõìå üôé ôï ñïëüé óôç èÝóç (x, y, z) åßíáé óõã÷ñïíéóìÝíï ìå ôï ñïëüãé óôç èÝóç (0, 0, 0) ìðïñïýìå íá öáíôáóôïýìå, ãéá ðáñÜäåéãìá, üôé áðü ôç èÝóç (0, 0, 0) ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0, óýìöùíá ìå ôï ôïðéêü ñïëüé, óôÝëíåôáé öùò ðñïò ôç èÝóç (x, y, z). Ôï äåýôåñï ôïðéêü ñïëüé ñõèìßæåôáé þóôå íá äåß÷íåé t x y z c 0 2 2 2 + + + Ä ð ′ =ö Lu ëc 4 2 2 ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 233 Ó×ÇÌÁ 4.119 Ãéá ôçí ðåñéãñáöÞ ãåãïíüôùí óôçí ó÷åôéêüôçôá öáíôáæüìáóôå üôé óôï óýóôçìá áíáöïñÜò õðÜñ÷åé Ýíá ðëÝãìá óõíôåôáãìÝíùí. Óôïí êÜèå êüìâï õðÜñ÷åé Ýíá ñïëüé êáé üëá ôá ñïëüãéá åßíáé ìåôáîý ôïõò óõã÷ñïíéóìÝíá.
- 250. ïðüôå óõã÷ñïíßæåôáé ìåôï ñïëüé ôçò áñ÷Þò ôùí áîüíùí. Ç äéáäéêáóßá ðñÝðåé íá ãßíåé ãéá ôá ñïëüãéá üëùí ôïõ êüìâùí. ¼óï êïíôýôåñá åßíáé ï Ýíáò óôïí Üëëï êüìâï ôüóï êáëýôåñá ìðïñïýí íá ðåñéãñáöïýí ôá äéÜöïñá ãåãïíüôá. Ç ßäéá äéáäéêáóßá ãßíåôáé îå÷ùñéóôÜ ãéá ïðïéïäÞðïôå áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò. Ç áíÜãêç áõôÞò ôçò äéáäéêáóßáò äåí õðÜñ÷åé óôç Íåõôþíéá ìç÷áíéêÞ, äéüôé åêåß õðïôßèåôáé üôé ôï öùò äéáäßäåôáé ìå Üðåéñç ôá÷ýôçôá, Þ áëëïéþò ïé äéáäéêáóßåò (ôá÷ýôçôåò) åßíáé ðïëý áñãÝò (ìéêñÝò) óå ó÷Ýóç ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò êáé ïé äéáäéêáóßåò óõã÷ñïíéóìïý åßíáé ôåôñéìÝíåò êáé äåí ÷ñåéÜæåôáé ðëÝãìá ñïëïãéþí. ÊÜðïéïò ðáñáôçñçôÞò óôï êÜèå óýóôçìá áíáöïñÜò Ý÷åé ìå ìéá “ìáôéÜ” ìéá óõíïëéêÞ åéêüíá ôùí ãåãïíüôùí ðïõ óõìâáßíïõí ïðïõäÞðïôå óôï óýóôçìá, áöïý ôá óÞìáôá öùôüò ðñïò ôá ìÜôéá ôïõ Ýñ÷ïíôáé áêáñéáßá áðü ðáíôïý! 1. Ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ ÷þñïõ Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ðáñáðÜíù ðëÝãìáôïò óõíôåôáãìÝíùí ôïõ óõãêåêñéìÝíïõ óõóôÞìáôïò áíáöïñÜò ìðïñåß íá åíôïðéóôåß ç èÝóç åíüò ãåãïíüôïò (ìéáò ëÜìøçò ð.÷.) áñêåß íá äéáâáóôïýí ïé ôñåéò óõíôåôáãìÝíåò ôïõ ÷þñïõ óôç èÝóç ôïõ ãåãïíüôïò. 2. Ç óõíôåôáãìÝíç ôïõ ÷ñüíïõ ~Ïðùò åßðáìå óå êÜèå êïñõöÞ ôïõ ðëÝãìáôïò õðÜñ÷åé Ýíá ñïëüé. Ôï ñïëüé ðïõ âñßóêåôáé óôç èÝóç ðïõ Ýãéíå ôï ãåãïíüò äßíåé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôïõ ãåãïíüôïò. 3. Ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ ÷ùñü÷ñïíïõ Ìå âÜóç ôá ðáñáðÜíù ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ ÷ùñü÷ñïíïõ êáèïñßæïíôáé ùò ðñïò êÜðïéï áäñáíåéáêü óýóôçìá, êáôáãñÜöïíôáò ôç èÝóç ôïõ ãåãïíüôïò üðùò ìåôñéÝôáé ìå âÜóç ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôïõ êïíôõíüôåñïõ êüìâïõ, ï ÷ñüíïò åßíáé ï ÷ñüíïò ðïõ äåß÷íåé ôï ñïëüé ôïõ êüìâïõ áõôïý. Ìå ôçí ðáñáðÜíù åðéíüçóç áðïöåýãïõìå ôï ðñüâëçìá ôçò äéÜäïóçò óçìÜôùí áðü ôï ãåãïíüò óôïí ðáñáôçñçôÞ. ÖõóéêÜ ùò ðñïò Ýíá Üëëï áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò ç ðåñéãñáöÞ ôïõ ßäéïõ ãåãïíüôïò, áêïëïõèåß ôçí ßäéá ìåèïäïëïãßá, áëëÜ ìå äéáöïñåôéêÝò óõíôåôáãìÝíåò ÷ùñü÷ñïíïõ. Áõôü óõìâáßíåé äéüôé óôï äåýôåñï óýóôçìá õðÜñ÷åé ôï äéêü ôïõ ðëÝãìá êáé ôá äéêÜ ôïõ óõã÷ñïíéóìÝíá ñïëüãéá. ÐñÝðåé íá óçìåéþóïõìå üôé üôáí Ýíá ñïëüé åíüò êéíïýìåíïõ óõóôÞìáôïò ðåñíÜ äßðëá áðü ñïëüé áêßíçôïõ óõóôÞìáôïò, åðåéäÞ âñßóêïíôáé óôéãìéáßá ðïëý êïíôÜ äåí õðÜñ÷åé ðñüâëçìá óôçí óýãêñéóç ôùí åíäåßîåþí ôïõò, äéüôé äåí õðÜñ÷ïõí ðñïâëÞìáôá äéÜäïóçò óçìÜôùí. Ôï óùóôü åßíáé íá öáíôáæüìáóôå ðïëëïýò ðáñáôçñçôÝò Þ áõôüìáôïõò ìç÷áíéóìïýò êáôáãñáöÞò óôïõò êüìâïõò êÜèå óõóôÞìáôïò, ïé ïðïßïé êÜíïõí ôéò ðáñáôçñÞóåéò. Áêüìç êáé áí ìéëïýìå ãéá Ýíáí ðáñáôçñçôÞ óôï óýóôçìá, áõôü ðïõ åííïïýìå åßíáé, óôçí ïõóßá, ç ðáñáðÜíù äéáäéêáóßá ðáñáôÞñçóçò. Ç Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁ ÔÏÕ ÔÁÕÔÏ×ÑÏÍÏÕ ~Ïðùò åßäáìå áðü ôá ðñïçãïýìåíá ìéá áðü ôéò âáóéêÝò ðáñáäï÷Ýò ôçò Íåõôþíéáò ìç÷áíéêÞò åßíáé ç ýðáñîç “áðüëõôïõ ÷ñüíïõ”, êáëÜ êáèïñéóìÝíïõ, ðïõ äåí åðçñåÜæåôáé áðü ôßðïôá. Óýìöùíá üìùò ìå ôçí ÅéäéêÞ Ó÷åôéêüôçôá, ïé ìåôñÞóåéò ÷ñïíéêþí äéáóôçìÜôùí åîáñôþíôáé áðü ôï óýóôçìá áíáöïñÜò, óôï ïðïßï ãßíïíôáé. Áò ðáñáêïëïõèÞóïõìå ôï ðáñáêÜôù åéêïíéêü (öáíôáóôéêü) ðåßñáìá ðïõ åðéíüçóå ï Einstein, ãéá íá ðåñéãñÜøïõìå ôçí Ýííïéá ôïõ ôáõôü÷ñïíïõ äýï ãåãïíüôùí. 234 MHXANIKH
- 251. ÕðïèÝóôå üôé ìéáãõíáßêá âñßóêåôáé óôï ìÝóï åíüò âáãïíéïý ôñÝíïõ ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá êáé éóïôá÷þò ùò ðñïò ôç Ãç ìå ôá÷ýôçôá u (Ó÷. 4.120). ¸íáò Üíäñáò óôÝêåôáé óôï Ýäáöïò áêßíçôïò. Äýï êåñáõíïß ÷ôõðïýí ôï âáãüíé óôá äýï Üêñá ôïõ, ìðñïò êáé ðßóù. ÊÜèå êåñáõíüò áöÞíåé áðü Ýíá óçìÜäé (Á′, Â′) óôï âáãüíé êáé áðü Ýíá óçìÜäé (Á, Â) óôï Ýäáöïò. Áò õðïèÝóïõìå üôé ç ãõíáßêá âñßóêåôáé óôï ìÝóï ôïõ äéáóôÞìáôïò Á′Â′ êáé Üíäñáò óôï ìÝóï ôïõ äéáóôÞìáôïò Á êáé üôé ôá ìÝôùðá ôùí öùôåéíþí êõìÜôùí öèÜíïõí óôïí Üíäñá ôáõôü÷ñïíá (Ó÷. 4.120). Ï Üíäñáò èá éó÷õñéóôåß üôé ôá äýï ãåãïíüôá Þôáí ôáõôü÷ñïíá, áöïý äéÞíçóáí ßóåò áðïóôÜóåéò óå ßóïõò ÷ñüíïõò. Ç ãõíáßêá üìùò, åðåéäÞ êéíåßôáé, èá äå÷èåß ôï öùò áðü ôçí ìðñïóôéíÞ ëÜìøç íùñßôåñá áðü ôï öùò ôçò ðßóù ëÜìøçò. ~Áñá ç ãõíáßêá èá éó÷õñéóôåß üôé, áöïý âñßóêåôáé óôï ìÝóïí ôïõ âáãïíéïý êáé ôï öùò ôáîéäåýåé ùò ðñïò ôï âáãüíé ìå ôá÷ýôçôá c ðñïò üëåò ôéò êáôåõèýíóåéò, ôá ãåãïíüôá äåí Þôáí ôáõôü÷ñïíá êáé óõãêåêñéìÝíá ï ìðñïóôéíüò êåñáõíüò Ýðåóå ðñþôïò êáé áêïëïýèçóå ï ðßóù. Åßíáé ðñïöáíÝò üôé áõôÝò ïé áíáöïñÝò “öáéíïìåíéêÜ” äåí óõìöùíïýí, åí ôïýôïéò êáé ïé äýï ðáñáôçñçôÝò åßíáé óùóôïß. ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 235 Ó×ÇÌÁ 4.120 Áí ï Üíäñáò äåé ôéò ëÜìøåéò ôùí äýï êåñáõíþí óõã÷ñüíùò, ç ãõíáßêá âëÝðåé ðñþôá ôç ëÜìøç ôïõ êåñáõíïý ðïõ Ýðåóå óôï ìðñïóôéíü ìÝñïò ôïõ âáãïíéïý.
- 252. Óçìåéþóôå üôé ôïöùò êéíåßôáé ìå ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá c êáé óôá äýï óõóôÞìáôá áíáöïñÜò, üðùò áðáéôåß ç äåýôåñç áñ÷Þ ôçò ó÷åôéêüôçôáò. Áí ôá äýï ãåãïíüôá åß÷áí óõìâåß êáôÜ ôÝôïéï ôñüðï þóôå íá öáßíïíôáé ôáõôü÷ñïíá óôç ãõíáßêá, ôüôå äåí èá Þôáí ôáõôü÷ñïíá ãéá ôïí Üíäñá. Áðü ôá ðáñáðÜíù, ðñïêýðôåé üôé ôï ôáõôü÷ñïíï äåí åßíáé áðüëõôç Ýííïéá áëëÜ åîáñôÜôáé áðü ôï óýóôçìá áíáöïñÜò. ÓõãêåêñéìÝíá: ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ìåôáîý äýï ãåãïíüôùí ðïõ óõìâáßíïõí óå äýï äéáöïñåôéêÝò èÝóåéò ìðïñåß íá åßíáé äéáöïñåôéêü ãéá äéáöïñåôéêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. ~Áñá ëïéðüí ðñÝðåé íá ìÜèïõìå íá óõãêñßíïõìå ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá ìåôñçìÝíá óå äéáöïñåôéêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò (ó÷åôéêüôçôá ôïõ ÷ñüíïõ). Óýìöùíá ìå ôçí åéäéêÞ èåùñßá ôçò ó÷åôéêüôçôáò, ìðïñïýìå íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ïðïéïäÞðïôå áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò, ãéá íá ðåñéãñÜøïõìå ôá ãåãïíüôá óýìöùíá ìå ôïõò âáóéêïýò íüìïõò ôçò öýóçò, ðïõ éó÷ýïõí ßäéïé óå üëá ôá óõóôÞìáôá. ~Ïðùò èá ìÜèïõìå ðáñáêÜôù, ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß ôïõ Lorentz åßíáé ïé óùóôïß ìåôáó÷çìáôéóìïß, ðïõ óõó÷åôßæïõí ôéò ðáñáôçñÞóåéò ãåãïíüôùí áðü óõóôÞìáôá áíáöïñÜò, ôá ïðïßá åßíáé áäñáíåéáêÜ êáé êéíïýíôáé ôï Ýíá ùò ðñïò ôï Üëëï. ÏÉ ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÔÏÕ LORENTZ Ï ÁúíóôÜéí ìå ôá äýï áîéþìáôá ðïõ Ýâáëå êáôÝëçîå óôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò ôïõ Lorentz. ÕðïèÝôïõìå üôé ôá äõï óõóôÞìáôá (Ê, Ê′) Ý÷ïõí ôçí åéäéêÞ (Þ êáíïíéêÞ) äéÜôáîç, äçëáäÞ ðáñÜëëçëïõò Üîïíåò óõíÝ÷åéá, ïé ïðïßïé óõìðßðôïõí, üôáí t = t′ = 0. Ôüôå, áí ôï Ê′ êéíåßôáé ùò ðñïò ôï Ê ìå ôá÷ýôçôá u êáôÜ ìÞêïò ôïõ Ïx (Ó÷. 4.117) ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß Lorentz áðü ôï Ê óôï Ê′, ðïõ ëÝãïíôáé êáé åéäéêïß ìåôáó÷çìáôéóìïß Lorentz åßíáé ïé åîÞò: Áõôïß ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß ðåñéãñÜöïõí ðùò öáßíåôáé áðü ôï óýóôçìá Ê~ ãåãïíüò (x′, y′, z′, t′) ðïõ óôï óýóôçìá Ê ðåñéãñÜöåôáé áðü ôá (x, y, z, t). Ãéá íá âñïýìå ôïõò áíôßóôñïöïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò Lorentz, ðïõ èá ðåñéãñÜöïõí óôï óýóôçìá Ê ãåãïíüò ðïõ óôï óýóôçìá Ê′ ðåñéãñÜöåôáé áðü ôá 236 MHXANIKH y′ = y z′ = z üðïõ â u c = ã u c â = − = − 1 1 1 12 2 2 ′ = − − = − F HG I KJt t u c x u c ã t u c x 2 2 2 2 1 ′ = − − = −x x ut u c ã x ut 1 2 2 b g (4.109)
- 253. (x′, y′, z′,t′), áñêåß óôéò ðáñáðÜíù ó÷Ýóåéò (4.109) íá áíôéêáôáóôÞóïõìå ôçí ôá÷ýôçôá u ìå ôçí −u (áõôÞ ç áëëáãÞ ðñïóÞìïõ óôçí ôá÷ýôçôá, áðëÜ áíôéêáôïðôñßæåé ôï ãåãïíüò üôé ç ôá÷ýôçôá ôïõ óõóôÞìáôïò Ê ùò ðñïò ôï Ê′ åßíáé áíôßèåôç ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ Ê′ ùò ðñïò ôï Ê) ðñïöáíþò, ìðïñåßôå íá êáôáëÞîåôå óôï ßäéï áðïôÝëåóìá ëýíïíôáò ôéò ðñïçãïýìåíåò åîéóþóåéò ùò ðñïò (x, y, z, t). ¢ñá Ý÷ïõìå Áõôïß èåùñïýíôáé ïé óùóôïß ìåôáó÷çìáôéóìïß êáé ãéá ôç ìç÷áíéêÞ êáé ãéá ôïí çëåêôñïìáãíçôéóìü êáé ãéá üëïõò ôïõò èåìåëéþäåéò öõóéêïýò íüìïõò. Óå üóá áêïëïõèïýí èá õðïèÝôïìå ðÜíôá üôé Ý÷ïìå ôçí åéäéêÞ äéÜôáîç áîüíùí óõíôåôáãìÝíùí êáé èá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïõò åéäéêïýò ìåôáó÷çìáôéóìïýò åêôüò áí ðïýìå êÜôé Üëëï. Ç (ðáëéÜ, óõíÞèçò) ìç÷áíéêÞ ôñïðïðïéÞèçêå Ýôóé ðïõ íá ãßíåé ó÷åôéêéóôéêÞ ìç÷áíéêÞ, ç ïðïßá äéáöÝñåé óçìáíôéêÜ áðü ôç óõíÞèç ìç÷áíéêÞ óôéò õøçëÝò ôá÷ýôçôåò (êïíôÜ óôç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò) åíþ óôéò ÷áìçëÝò ôá÷ýôçôåò äßíåé ùò ðñïóÝããéóç ôç óõíÞèç ìç ó÷åôéêéóôéêÞ ìç÷áíéêÞ. Áí u/c << 1 ôüôå ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß ôïõ Lorentz ôåßíïõí óôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò ôïõ Ãáëéëáßïõ, äçëáäÞ x′ = x − ut, y′ = y, z′ = z, t′ = t ÄçëáäÞ, ç èåùñßá ôçò åéäéêÞò ó÷åôéêüôçôáò åßíáé èåùñßá ãåíéêüôåñç áðü ôç óõíÞèç ìç÷áíéêÞ ôïõ Íåýôùíá êáé ïäçãåß óôçí ôåëåõôáßá ãéá ìéêñÝò ôá÷ýôçôåò, óå ó÷Ýóç ìå áõôÞí ôïõ öùôüò óôï êåíü. Aõôü éó÷ýåé ãéá üëåò ôéò èåùñßåò ðïõ åìðåñéÝ÷ïõí ðñïçãïýìåíåò ùò ðñïóåããßóåéò. ËÝãåôáé Áñ÷Þ ôçò Áíôéóôïé÷ßáò. Ó×ÅÔÉÊÉÓÔÉÊÏÉ ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÔÁ×ÕÔÇÔÙÍ ÐïëëÝò öïñÝò ÷ñåéÜæåôáé íá õðïëïãßóïõìå ôéò ÷ùñéêÝò êáé ÷ñïíéêÝò áðïóôÜóåéò Äx = x2 − x1 , Äx′ = x′2 − x′′1 , Ät = t2 − t1 , Ät = t2 − t1 ìåôáîý äýï ãåãïíüôùí üðùò öáßíïíôáé áðü ôá óõóôÞìáôá Ê êáé Ê ′ áíôßóôïé÷á. Ðñïò ôïýôï ÷ñçóéìïðïéþíôáò ôéò ðáñáðÜíù åîéóþóåéò ôùí ìåôáó÷çìáôéóìþí Lorentz (4.109) êáé (4.110) õðïëïãßæïõìå ôéò äéáöïñÝò áíÜìåóá óôéò ôÝóóåñåéò ìåôáâëçôÝò x, x′, t, t′ êáé êáôáëÞãïõìå óôéò ó÷Ýóåéò (4.111) êáé (4.112) Ä Ä Ä Ä Ä 2 x ã x u t Ät ã t x = ′ + ′ = ′ + ′ F HG I KJ ( ) õ c Ä Ä Ä Ä Ä 2 ′ = − ′ = − F HG I KJ x ã x u t Ät ã t x ( ) u c (4.110) Ïé áíôßóôñïöïé ìåôáó÷çìáôéóìïß Lorentz áðü ôï Ê′ óôï Ê x ã x ut y y z z t ã t u c t = ′ + = ′ = ′ = ′ + F HG I KJ ( ) 2 ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 237 CERN “Åõñùðáúêü Óõìâïýëéï Ðõñçíéêþí Åñôåõíþí” Ôï 1951 äçìéïõñãÞèçêå óôçí Åõñþðç Ýíá ðñïóùñéíü Óõìâïýëéï (ìéá ïìÜäá áíèñþðùí), ðïõ ïíïìÜóôçêå “Conseil Européen pour la Rechearche Nucléaire” (CERN). To 1953 áõôü ôï Óõìâïýëéï áðïöÜóéóå íá äçìéïõñãÞóåé Ýíá êåíôñéêü åñãáóôÞñéï êïíôÜ óôç Ãåíåýç ôçò Åëâåôßáò. Åêåßíç ôçí åðï÷Þ, ç Ýñåõíá óôçí êáèáñÞ öõóéêÞ Þôáí óõãêåíôñùìÝíç ãýñù áðü ôçí êáôáíüçóç ôïõ åóùôåñéêïý ôïõ áôüìïõ, ãéáõôü ç ëÝîç Nucléaire (“Ðõñçíéêü”). Ìå Ýãêñéóç êáé ôùí êïéíïâïõëßùí ôùí êñáôþí ìåëþí ôï åðßóçìï üíïìá ôïõ åñãáóôçñßïõ êáèïñßóôçêå óå “Organisation Européen pour la Recherche Nucléaire” Þ “European Organisation for Nuclear Research”, äçëáäÞ “Åõñùðáúêüò Ïñãáíéóìüò Ðõñçíéêþí Åñåõíþí”. Ðáñ’ üëá áõôÜ ôï åñãáóôÞñéï áíáöÝñåôáé ìå ôá áñ÷éêÜ CERN. Ðïëý óýíôïìá ç åíáó÷üëçóç óôï åñãáóôÞñéï áõôü ðÞãå ðéï âáèýôåñá áðü ôéò ìåëÝôåò ôïõ ðõñÞíá, ÷ñçóéìïðïéþíôáò üëï êáé ìåãáëýôåñåò åíÝñãåéåò óùìáôéäßùí. Ôï CERN ïõóéáóôéêÜ åßíáé êÝíôñï Ýñåõíáò öõóéêÞò õøçëþí åíåñãåéþí (ÖÕÅ) äçëáäÞ Ýñåõíáò óôïé÷åéùäþí óùìáôéäßùí. Ç äñáóôçñéüôçôÜ ôïõ óõãêåíôñþíåôáé êõñßùò óôç ìåëÝôç ôùí áëëçëáðéäñÜóåùí ìåôáîý õðïðõñçíéêþí (óôïé÷åéùäþí) óùìáôéäßùí, áíáöÝñåôáé êáé ìå ôïí ôßôëï “European Laboratory for Particle Physics” (“Laboratoire Européen pour la Physique des Particules”), äçëáäÞ “Åõñùðáúêü ÅñãáóôÞñéï ÖõóéêÞò Óùìáôéäßùí”. ÓÞìåñá áðïôåëåßôáé áðü ìåñéêÝò äåêÜäåò ìÝëç êñÜôç ìåôáîý ôùí ïðïßùí êáé ç ÅëëÜäá ç ïðïßá åßíáé êáé éäñõôéêü ìÝëïò. ¸÷åé ìüíéìï ðñïóùðéêü ìåñéêÝò ÷éëéÜäåò êáé ðáñüëï ðïõ åßíáé åõñùðáúêü êÜíïõí Ýñåõíá ó’ áõôü ÷éëéÜäåò åðéóôÞìïíåò áðü üëï ôïí êüóìï.
- 254. Áðü ôéò ðáñáðÜíùåîéóþóåéò ëåßðïõí ïé äéáöïñÝò óôéò óõíôåôáãìÝíåò y êáé z, äéüôé áõôÝò äåí åðçñåÜæïíôáé êáé éó÷ýåé, Äy = Äy′, Äz = Äz′, áöïý ç (ó÷åôéêÞ) êßíçóç ãßíåôáé óôç äéåýèõíóç ôùí x. Aò âñïýìå ôþñá ôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò ôá÷õôÞôùí óýìöùíá ìå ôç èåùñßá ôçò ó÷åôéêüôçôáò ìå ôç ÷ñÞóç ôùí ìåôáó÷çìáôéóìþí Lorentz. Ãéá ôïõò õðïëïãéóìïýò ìáò áò õðïèÝóïõìå üôé Ýíá óþìá êéíåßôáé êáôÜ ôç äéåýèõíóç ôïõ Üîïíá x êáé ôïõ Üîïíá x′ êáé üôé ùò ðñïò ôï êéíïýìåíï ìå ôá÷ýôçôá u óýóôçìá Ê′ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t′1 âñßóêåôáé óôç èÝóç (x′1 , y′1 , z′1 ) êáé ôç óôéãìÞ t′2 óôç èÝóç (x′2 , y′2 , z′2 ). Ôüôå ç óõíéóôþóá õ′x , ùò ðñïò ôï Ê′ åßíáé óôï üñéï Ät′ → 0 Ý÷ïìå Ç ó÷Ýóç áõôÞ, ìå ôç ÷ñÞóç ôùí ó÷Ýóåùí (4.111), ðïõ óõó÷åôßæïõí ôéò ìåôáâïëÝò Äx′ êáé Ät′, üðùò öáßíïíôáé áðü ôï óýóôçìá Ê′ ìå ôéò áíôßóôïé÷åò Äx êáé Ät üðùò öáßíïíôáé áðü ôï Ê, ïäçãåß óôçí Óôï üñéï ðïëý ìéêñþí Äx, Ät Ý÷ïìå ′ = − − = − − õ x u t t u c x x Ät u u c x t x Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä2 2 1 ′ = ′ ′ õ x t x d d ′ = ′ ′ = ′ − ′ ′ − ′ õ x t x x t t x Ä Ä 2 1 2 1 238 MHXANIKH ÅöáñìïãÞ: TO TAYTOXÑÏÍÏ ×ñçóéìïðïéþíôáò ôç ó÷Ýóç áðü ôéò ðáñáðÜíù ó÷Ýóåéò (4.112) ìðïñïýìå íá áðïäåßîïõìå üôé ç Ýííïéá ôïõ ôáõôü÷ñïíïõ äåí åßíáé áðüëõôç. ÐñÜãìáôé, áí äýï ãåãïíüôá ðïõ óõìâáßíïõí óå äéáöïñåôéêÜ óçìåßá óôï óýóôçìá áíáöïñÜò Ê′ (Äx′ ≠ 0), åßíáé ôáõôü÷ñïíá (Ät′ = 0) áõôÜ äåí åßíáé ôáõôü÷ñïíá, óôï óýóôçìá áíáöïñÜò Ê. Ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ìåôáîý ôùí ãåãïíüôùí áõôþí, ìåôñïýìåíï áðü ôï óýóôçìá Ê, õðïëïãßæåôáé óýìöùíá ìå ôçí áíùôÝñù ó÷Ýóç, üôáí âÜëïõìå Ät′ = 0 êáé åßíáé ÄçëáäÞ Ät ≠ 0 Üñá ü÷é ôáõôü÷ñïíá óôï Ê. Áõôü åßíáé óýìöùíï ìå ôï óõìðÝñáóìá, óôï ïðïßï ïäçãçèÞêáìå óôçí ðáñÜãñáöï ãéá ôç Ó÷åôéêüôçôá ôïõ Ôáõôü÷ñïíïõ. Ät x= ′ õ c 2 Ä Ät ã t x= ′ + ′ F HG I KJÄ Ä 2 õ c
- 255. Ðñïöáíþò ç óõíéóôþóáõx üðùò ìåôñéÝôáé áðü ôï “áêßíçôï” óýóôçìá Ê, åßíáé Þ óôï üñéï Ät → 0 Óõíïøßæïíôáò Ý÷ïõìå ãéá ôï ìåôáó÷çìáôéóìü ôá÷õôÞôùí áðü ôï Ê óôï Ê~ (4.113) Áí ôéò ðáñáðÜíù ó÷Ýóåéò, ôéò ëýóïõìå ùò ðñïò ôá õx , õy , õz èá ðÜñïõìå ôïí áíôßóôñïöï ìåôáó÷çìáôéóìü ôá÷õôÞôùí, áðü ôï Ê~ óôï Ê, äçëáäÞ: (4.114) Ïé ôåëåõôáßåò ó÷Ýóåéò áíáìÝíïíôáé, áöïý ïé ôýðïé åßíáé óõììåôñéêïß êáé ðñïêýðôïõí áðü ôïõò ðñïçãïýìåíïõò áí âÜëïõìå üðïõ u ôï −u. Ðáñáôçñïýìå üôé: Óôçí ðåñßðôùóç, ðïõ ç ôá÷ýôçôá u åßíáé ðïëý ìéêñüôåñç áðü ôç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò c, ïé ðáñáíïìáóôÝò ôùí êëáóìÜôùí èá ôåßíïõí óôç ìïíÜäá ïðüôå, óôï üñéï áõôü âñßóêïõìå ôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò ôïõ Ãáëéëáßïõ. Óôç ìç ó÷åôéêéóôéêÞ öõóéêÞ êáé ôá õ êáé ôï u åßíáé ðïëý ìéêñüôåñá ôïõ c. Mðïñïýìå áêüìç íá åðéâåâáéþóïõìå üôé ç ðáñáðÜíù åîßóùóç åßíáé óõìâéâáóôÞ ìå ôçí õðüèåóç üôé ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò åßíáé ç ßäéá êáé ãéá ôá äõï óõóôÞìáôá Ê êáé Ê~. Áò èåùñÞóïõìå ôçí ðåñßðôùóç åíüò óÞìáôïò õ õ ã u c õ z z z = ′ + ′ F HG I KJ1 2 Áíôßóôñïöïò ìåôáó÷çìáôéóìüò ôá÷õôÞôùí õ õ ã u c õ y y y = ′ + ′ F HG I KJ1 2 õ õ u u c õ x x x = ′ + + ′1 2 ′ = − F HG I KJ õ õ ã u c õ z z z1 2 ′ = − F HG I KJ õ õ ã u c õ y y y1 2 ′ = − − õ õ u u c õ x x x1 2 õ x t x = d d õ x t x = Ä Ä ′ = − − õ õ u uõ c x x x 1 2 ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 239
- 256. ðïõ äéáäßäåôáé êáôÜôïí Üîïíá Ïx. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç õx = õ = c êáé Ýôóé Ý÷ïõìå, ~Áñá, ïðïéïóäÞðïôå ðáñáôçñçôÞò óôï Ê ~ ìåôñÜåé ôá÷ýôçôá c, üðùò êáé ïðïéïóäÞðïôå ðáñáôçñçôÞò óôï Ê (ôï áíáëëïßùôï ôçò ôá÷ýôçôáò c ôïõ öùôüò Þ êáëýôåñá ôïõ ìÝôñïõ ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò). Åýêïëá ðëÝïí öáßíåôáé ðùò üðïéåò ôá÷ýôçôåò, ìéêñüôåñåò ôïõ c, êáé íá ðñïóèÝóïõìå êáôáëÞãïõìå óå ôá÷ýôçôá ìéêñüôåñç ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò c, äçëáäÞ ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò c óôï (êåíü) åßíáé ç Ýó÷áôç (ç ìÝãéóôç) ôá÷ýôçôá, ðïõ ìðïñåß íá áðïêôÞóåé êÜðïéï áíôéêåßìåíï. Åöüóïí éó÷ýåé óõìðåñáßíïõìå üôé, áöïý ôá x, x~, t, t~ åßíáé ðñáãìáôéêÜ, ôï u < c. ÄçëáäÞ äåí õðÜñ÷åé öõóéêü óýóôçìá áíáöïñÜò Þ áíôéêåßìåíï ìå ôá÷ýôçôá ìåãáëýôåñç ôïõ c. Åß÷å äéáôõðùèåß ðáëéüôåñá ç èåùñßá ôùí ôá÷õïíßùí, ðïõ åèåùñïýíôï óùìáôßäéá ìå ôá÷ýôçôåò ìåãáëýôåñåò ôçò c, áëëÜ äåí åðáëçèåýôçêå, áöïý äåí âñÝèçêáí ôÝôïéá óùìáôßäéá. ÐáñÜäåéãìá 4-30 ÊáôÜ ôç äéÜñêåéá åíüò áóôñéêïý ðïëÝìïõ ôïõ ìáêñõíïý ìÝëëïíôïò Ýíá ìá÷çôéêü ôïõ ãÞéíïõ óôüëïõ êáôáäéþêåé Ýíá êáôáäñïìéêü ôïõ áóôñéêïý óôüëïõ. Ãéá Ýíá ðáñáôçñçôÞ óôç Ãç, ôï ìá÷çôéêü êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá 0,95c êáé ôï êáôáäñïìéêü êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá 0,90c. ÐïéÜ ç ôá÷ýôçôá ôïõ ìá÷çôéêïý ðïõ ðáñáôçñåßôáé áðü ôï êáôáäñïìéêü; (Ôï ôåëéêü áðïôÝëåóìá íá äïèåß ìå 2 óçìáíôéêÜ øçößá). ã u c = − 1 1 2 2 ′ = − − = − − =õ c u u c c c c u c u cx 1 2 b g 240 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.121
- 257. ÁðÜíôçóç ÏíïìÜæïõìå ôï óýóôçìáôçò ãçò Ê êáé ôï óýóôçìá ôïõ êáôáäñïìéêïý Ê~. ~Åôóé Ý÷ïõìå: u = 0,90c êáé õ = 0,95 c. Óýìöùíá ìå ôç ó÷Ýóç áíôéêáèéóôþíôáò Ý÷ïõìå Þ õ~ = 0,34 c ÐáñÜäåéãìá 4-31 Óå êÜðïéï ìåëëïíôéêü áéþíá Ýíá ðñï÷ùñçìÝíçò ôå÷íïëïãßáò äéáóôçìéêü ü÷çìá åãêáôáëåßðåé ôç Ãç ìå ôá÷ýôçôá 0,95 c. Ôï ü÷çìá åêôïîåýåé Ýíá êáôáóêïðåõôéêü ñïìðüô ðñïò ôçí ßäéá êáôåýèõíóç ìå áõôÞ ôçò êßíçóÞò ôïõ ìå ôá÷ýôçôá 0,80 c ùò ðñïò ôï ü÷çìá. ÐïéÜ ç ôá÷ýôçôá ôïõ ñïìðüô ùò ðñïò ôç Ãç; Áí ôï ü÷çìá áíÜøåé ôïí ðñïâïëÝá ôïõ ðñïò ôçí ßäéá êáôåýèõíóç ðïõ êéíåßôáé ðüóç åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò ôïõ ðñïâïëÝá ðïõ ìåôñÜåé Ýíáò ðáñáôçñçôÞò óôç Ãç; (Ôåëéêü áðïôÝëåóìá ìå 2 óçìáíôéêÜ øçößá). ÁðÜíôçóç ~Åóôù Ê ôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôçò Ãçò êáé Ê~ ôïõ ï÷Þìáôïò. Ôüôå u = 0,95 c êáé õ~ = 0,80 c. ~Áñá áðü ôç ó÷Ýóç áíôéêáèéóôþíôáò Ý÷ïõìå õ õ u õ u c = ′ + + ′ 1 2 ′ = − − õ c c c c c 0 95 0 90 1 0 95 0 90 2 , , , , ′ = − − õ õ u õ u c 1 2 ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 241 Ó×ÇÌÁ 4.122
- 258. ~Áñá õ = 0,99c Ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò ôïõ ðñïâïëÝá ùò ðñïò ôç Ãç åßíáé c äéüôé ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò óå üëá ôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò åßíáé Þ ßäéá êáé ßóç ìå c. Áõôü ìðïñåß åðßóçò íá äåé÷èåß áíôéêáèéóôþíôáò ôï õ~ ìå ôï c êáé u = 0,95 c, ïðüôå Ý÷ïõìå: õ = c. Ó×ÅÔÉÊÉÓÔÉÊÇ ÏÑÌÇ - Ó×ÅÔÉÊÉÓÔÉÊÇ ÅÍÅÑÃÅÉÁ Áðïöåýãïíôáò ôçí åðé÷åéñçìáôïëïãßá ðáñïõóéÜæïõìå ìüíï ôï áðïôÝëåóìá. Ç ó÷åôéêéóôéêÞ ïñìÞ → p åíüò óùìáôéäßïõ ìÜæáò m, ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá → õ åßíáé (4.115) ~Ïôáí ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ óùìáôéäßïõ õ åßíáé ðïëý ìéêñüôåñï óå óýãêñéóç ìå ôï c (õ << c), ï ïñéóìüò áõôüò äßíåé êáôÜ ðñïóÝããéóç ôçí Íåõôþíéá Ýêöñáóç → p = m → õ (áöïý ï ðáñáíïìáóôÞò ôåßíåé óôçí ìïíÜäá). Ôï ìÝôñï ôçò ó÷åôéêéóôéêÞò ïñìÞò åßíáé, åí ãÝíåé, ìåãáëýôåñï áðü ôï mõ, (ã ≥ 1). Óôçí ðáñáðÜíù åîßóùóç, ôï m åßíáé ìéá óôáèåñÜ, ðïõ áðïôåëåß Ýíá èåìåëéþäåò ÷áñáêôçñéóôéêü ôïõ óùìáôéäßïõ êáé ðåñéãñÜöåé ôçí áäñÜíåéÜ ôïõ. Áöïý ç Ýêöñáóç p = mõ éó÷ýåé óôï üñéï ìéêñþí ôá÷õôÞôùí, ôï m ðñÝðåé íá åßíáé ç ßäéá ðïóüôçôá ðïõ ÷ñçóéìïðïéåßôáé óôç Íåõôþíéá ìç÷áíéêÞ. Óôç ó÷åôéêéóôéêÞ ìç÷áíéêÞ, ôï m óõíçèéæüôáí íá ëÝãåôáé ìÜæá çñåìßáò (rest mass) ôïõ óùìáôéäßïõ êáé ðáñéóôáíüôáí ìå ôï m0 . ÓÞìåñá ðñïôéìïýìå íá ïíïìÜæïõìå ôï m áðëÜ ìÜæá. Ôï ãéíüìåíï ãm ëåãüôáí “ó÷åôéêéóôéêÞ ìÜæá” (relativistic mass) mrel (Þ m) êáé Ýãñáöáí ôç ó÷Ýóç Ç Ýííïéá ôçò ó÷åôéêéóôéêÞò ìÜæáò Ý÷åé óïâáñÝò áäõíáìßåò. Äåí ðñÝðåé íá ëÝìå üôé ç ó÷åôéêéóôéêÞ ãåíßêåõóç ôïõ ïñéóìïý ôçò ïñìÞò åßíáé → p = mrel → õ, äéüôé áõôü èá ìðïñïýóå íá ìáò ïäçãÞóåé êáé óôç ó÷åôéêéóôéêÞ ãåíßêåõóç ôïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá F = mrel á êáé óôç ó÷åôéêéóôéêÞ ãåíßêåõóç ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò , ðïõ åßíáé üìùò ëáíèáóìÝíåò. Ç ó÷åôéêéóôéêÞ (ïëéêÞ) åíÝñãåéá åíüò óùìáôéäßïõ äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç (4.116) üðïõ p ç ó÷åôéêéóôéêÞ ïñìÞ (4.117)p mõ õ c ãmõ= − = 1 2 2 Å p c m c ãmc= + =2 2 2 4 2 K m õ= 1 2 2 rel m m m õ c rel ( )= = − 0 2 2 1 p m õ c õ ã m õ → → → = − = 1 2 2 õ c c c c= + + = 0 80 0 95 1 0 99 2 , , , (0,80 c) (0,95 c) 242 MHXANIKH
- 259. Áí ç ôá÷ýôçôáôïõ óùìáôéäßïõ åßíáé 0 (ïðüôå p = 0), ôüôå áðü ôç ó÷Ýóç (4.116) Ý÷ïõìå (4.118) ÁõôÞ åßíáé ç ðåñßöçìç åîßóùóç éóïäõíáìßáò ìÜæáò êáé åíÝñãåéáò ðïõ áíáöÝñåôáé óôç ëåãüìåíç åíÝñãåéá çñåìßáò Å0 . ÄçëáäÞ áêüìç êáé üôáí ôï óþìá åßíáé áêßíçôï éóïäõíáìåß ìå åíÝñãåéá (çñåìßáò) Å0 = mc2 . Áí ç ìÜæá (çñåìßáò) ôïõ óùìáôéäßïõ åßíáé 0, ôüôå áðü ôçí ðñþôç åê ôùí ó÷Ýóåùí (4.117) Ý÷ïõìå (4.119) Áðü ôéò ó÷Ýóåéò (4.115) êáé (4.117) Ý÷ïõìå êáé (4.120) Áí m = 0 ìÝóù ôùí (4.119) êáé (4.120) âñßóêïìå H ôåëåõôáßá ó÷Ýóç ìáò ðëçñïöïñåß üôé: ¸íá óùìáôßäéï ìçäåíéêÞò ìÜæáò (çñåìßáò) êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá ßóç ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò êáé äåí ìðïñåß íá çñåìåß ðïôÝ óå ïðïéïäÞðïôå áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò. ÁõôÞ åßíáé ç ðåñßðôùóç ôïõ öùôïíßïõ (ôïõ êâÜíôïõì ôçò çëåêôñïìáãíçôéêÞò áêôéíïâïëßáò). Ç ó÷Ýóç (4.119) éó÷ýåé, ðñïóåããéóôéêÜ, êáé ãéá óùìáôßäéá ðïõ äåí Ý÷ïõí ìçäåíéêÞ ìÜæá, áëëÜ êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôá óõãêñßóéìç ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò þóôå ç ïñìÞ ôïõò p íá åßíáé ðïëý ìåãÜëç ïðüôå ç ðïóüôçôá p c íá åßíáé ðïëý ìåôáëýôåñç áðü ôçí ðïóüôçôá mc2 óôç ó÷Ýóç (4.116). Ç ó÷åôéêéóôéêÞ êéíçôéêÞ åíÝñãåéá óùìáôéäßïõ äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç (4.121) ÊáôÜ ôéò áëëçëåðéäñÜóåéò óùìáôéäßùí üðïõ ìðïñåß íá åîáöáíßæïíôáé óùìáôßäéá êáé íá åìöáíßæïíôáé Üëëá, éó÷ýïõí, ç áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò Ó÷å- ôéêéóôéêÞò ÅíÝñãåéáò êáé ôçò Ó÷åôéêéóôéêÞò ïñìÞò ðñéí êáé ìåôÜ ôçí áëëçëåðßäñáóç. ÓõãêåêñéìÝíá, áí ðñéí ôçí áëëçëåðßäñáóç Ý÷ïìå ôéò ó÷åôéêéóôéêÝò åíÝñãåéåò ãéá ôá äýï óùìáôßäéá ðïõ óõãêñïýïíôáé, Å1 êáé Å2 êáé ôéò áíôßóôïé÷åò ïñìÝò ôïõò → p1 , → p2 , åíþ ìåôÜ ôç óýãêñïõóç Ý÷ïìå ôá óùìáôßäéá ìå ó÷åôéêéóôéêÝò åíÝñãåéåò Å3 , Å4 , ... êáé ó÷åôéêéóôéêÝò ïñìÝò → p3 , → p4 , ... èá Ý÷ïìå, Å1 + Å2 = Å3 + Å4 + ... → p1 + → p2 = → p3 + → p4 + ... Mðïñåß ìÝñïò ôçò áñ÷éêÞò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò íá äáðáíçèåß êáé íá ðáñá÷èïýí óùìáôßäéá ðïõ ôï Üèñïéóìá ôùí ìáæþí ôïõò (çñåìßáò) íá åßíáé Ê = Å − Å0 = Å − mc2 õ = c õ c p E = 2 õ c p E → → = 2 Å = p ⋅ c Å = Å0 = mc2 ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 243 Áíôéðñùôüíéï áíôéäñÜ ìå ðñùôüíéï ìÝóá óå áíé÷íåõôÞ ôýðïõ èáëÜìïõ öõóáëßäùí.êáé ðáñÜãïíôáé äéÜöïñá óùìáôßäéá. Áíé÷íåýïíôáé ïé ôñï÷éÝò ìüíï ôùí öïñôéóìÝíùí óùìáôéäßùí. Ïé ôñï÷éÝò åßíáé êáìðýëåò Ýíåêá õðÜñîåùò éó÷õñïý ìáãíçôéêïý ðåäßïõ. Ôá óùìáôßäéá êáé ïé áíôéäñÜóåéò ôïõò öáßíïíôáé ðáñáêÜôù. { } → ⎧ ⎫→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ →⎨ ⎬ ⎪ ⎪ →⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎧ ⎫→⎪ ⎪ ⎨ ⎬ →⎪ ⎪⎩ ⎭ → 0 - + 0 + - + + ì + + ì e + + pp K K ð Ê ð ð ð ì í ì e í í K p ð Ë Ë ð p ð p ð p - 0 0 0 -
- 260. ìåãáëýôåñï áðü ôááèñïßóìáôá ìáæþí ôùí äýï áñ÷éêþí. Ãßíåôáé êáé ôï áíôßèåôï, ôï Üèñïéóìá ôùí ìáæþí ôùí ðñïúüíôùí ôçò áíôßäñáóçò ìðïñåß íá åßíáé ìéêñüôåñï ôùí áñ÷éêþí, ïðüôå ìÜæá äáðáíÞèçêå ãéá íá ðáñá÷èåß êéíçôéêÞ åíÝñãåéá. ÐñÝðåé íá ôïíßóïõìå üôé ç ó÷Ýóç Å0 = mc2 éóïäõíáìßáò ìÜæáò êáé åíÝñãåéáò çñåìßáò, ðåñéëáìâÜíåé êÜèå ìïñöÞ åíÝñãåéáò ðïõ áðïôåëåß ôçí åíÝñãåéá çñåìßáò, äçëáäÞ ðåñéëáìâÜíåé êáé äõíáìéêÞ åíÝñãåéá. ÐñÝðåé íá ëÜâïõìå õðüøç üôé ç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá óå áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç ðñÝðåé íá ëçöèåß ìçäÝí óå óçìåßï ðïõ ç áëëçëåðßäñáóç ãßíåôáé ìçäÝí. Ð.÷. ç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ãéá çëåêôñïóôáôéêÞ áëëçëåðßäñáóç ðñÝðåé íá ëçöèåß ìçäÝí ãéá Üðåéñç áðüóôáóç ìåôáîý ôùí áëëçëåðéäñþíôùí óùìÜôùí. Åðßóçò ãéá áñìïíéêü ôáëáíôùôÞ ç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ðñÝðåé íá åßíáé ìçäÝí üôáí ç áðïìÜêñõíóç åßíáé ìçäÝí. Äåí ìðïñïýìå íá ðñïóèÝôïìå áõèáßñåôåò óôáèåñÝò(!) óôçí äõíáìéêÞ åíÝñãåéá. Ãéá íá êáôáíïÞóïõìå áõôÜ ôá ôåëåõôáßá, áò öáíôáóôïýìå êëåéóôü äï÷åßï ðïõ ìÝóá ôïõ Ý÷åé ðÜñá ðïëëÜ óùìáôßäéá, ôá ïðïßá êéíïýíôáé êáé áëëçëåðéäñïýí ìåôáîý ôïõò. Ôï äï÷åßï åßíáé áêßíçôï, ôüôå ç ìÜæá çñåìßáò ôïõ èá åßíáé ßóç ìå m = Åïë /c2 , üðïõ Åïë åßíáé ôï Üèñïéóìá üëùí ôùí ìïñöþí åíÝñãåéáò ôùí óùìáôéäßùí. ÄçëáäÞ ôùí ó÷åôéêéóôéêþí åíåñãåéþí êáé äõíáìéêþí åíåñãåéþí áëëçëåðßäñáóçò ôùí óùìáôéäßùí ðïõ ðåñéëáìâÜíïíôáé óôï äï÷åßï. Áí öáíôáóôïýìå ôï äï÷åßï íá “èåñìáßíåôáé”, ôüôå ç ìÜæá ôïõ áõîÜíåôáé, äéüôé áõîÜíåôáé ç ïëéêÞ åíÝñãåéá ôùí ìïñßùí ôïõ ìå ôçí áíùôÝñù Ýííïéá. Ôï äï÷åßï èá ðáñïõóéÜæåé ìåãáëýôåñç áäñÜíåéá êáé èá äÝ÷åôáé êáé ìåãáëýôåñç âáñõôéêÞ Ýëîç ìÝóá óå âáñõôéêÜ ðåäßá. ÐñÝðåé íá óçìåéþóïõìå åäþ üôé óõíÞèùò ïé êéíçôéêÝò åíÝñãåéåò ôùí óùìáôéäßùí áðïêôþíôáé ìå åðéôÜ÷õíóÞ ôïõò óå çëåêôñéêÜ ðåäßá ïðüôå ìåôñïýíôáé óå eV, MeV, GeV, TeV ê.ëð. Áðü ôçí éóïäõíáìßá ìÜæáò - åíÝñãåéáò ìå ôç âïÞèåéá ôùí ó÷Ýóåùí ãéá ôç ó÷åôéêéóôéêÞ åíÝñãåéá êáé ïñìÞ, ïäçãïýìáóôå óôïí ïñéóìü áíôßóôïé÷ùí ìïíÜäùí ãéá ôç ìÜæá ðïõ åßíáé eV/c2 , MeV/c2 ê.ëð. êáé ãéá ôçí ïñìÞ eV/c, MeV/c ê.ëð. Åýêïëá áðü ôá áíùôÝñù ìðïñåß êÜðïéïò íá âñåé ôç ó÷Ýóç ìåôáîý áõôþí ôùí ìïíÜäùí êáé ôùí áíôßóôïé÷ùí ôïõ óõóôÞìáôïò SI (êõñßùò åíäéáöÝñïõí ïé áíôéóôïé÷ßåò ãéá ôç ìÜæá). Åíþ ðïëëÝò öïñÝò ëÝìå üôé ç ìÜæá Þ ç ïñìÞ ôïõ óùìáôéäßïõ ôÜäå åßíáé ð.÷. 10 ôæé-ç-âé (10 GeV) êáëü åßíáé íá ãñÜöïõìå ôç ìïíÜäá óùóôÜ, GeV/c2 , GeV/ c ê.ëð. ÐáñÜäåéãìá 4-32 Èåùñåßóôå üôé ç çëéáêÞ óôáèåñÜ óôçí ðåñéï÷Þ ôçò Ãçò åßíáé 1,4 W/m2 . Áõôü óçìáßíåé üôé óå êÜèå ôåôñáãùíéêü ìÝôñï êÜèåôá ðñïò ôéò çëéáêÝò áêôßíåò óôçí ðåñéï÷Þ ôçò Ãçò, ï Þëéïò óôÝëíåé 1,4 W (1,4 J/s). Âñåßôå êáôÜ ðüóï ìéêñáßíåé ç ìÜæá ôïõ Þëéïõ áíÜ äåõôåñüëåðôï, áöïý ç ìÜæá ôïõ ìåôáôñÝðåôáé óå åíÝñãåéá êáé áêôéíïâïëåßôáé. Ç áðüóôáóç ¹ëéïõ- Ãçò íá ëçöèåß, 1,5 × 1011 m êáé 1 kg éóïäõíáìåß ìå 8,988 J. ÁðÜíôçóç Ç óöáéñéêÞ åðéöÜíåéá ìå êÝíôñï ôïí ¹ëéï êáé áêôßíá ôçí áðüóôáóç ôçò Ãçò áðü ôïí ¹ëéï, d, Ý÷åé åìâáäüí, Á = 4 ðd2 üðïõ d = 1,5 × 1011 m Üñá 244 MHXANIKH
- 261. Á = 2,827× 1022 m2 åðïìÝíùò ç åíÝñãåéá áíÜ äåõôåñüëåðôï åßíáé P = 1,4 × 2,827 × 1022 J/s = 3,958 × 1022 J/s üìùò 1 kg éóïäõíáìåß ìå 8,988 × 1016 J Üñá ç ìåßùóç ôçò ìÜæáò ôïõ Þëéïõ áíÜ äåõôåñüëåðôï åßíáé = 4,4 × 105 kg/s = 4,4 × 102 t/s ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÓ ÌÇÊÏÕÓ Áðü ôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò Lorentz ìðïñïýìå íá âñïýìå ðùò ó÷åôßæïíôáé ôá ìÞêç ðïõ ðáñáôçñïýíôáé áðü äýï áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá ãéá äåäïìÝíï áíôéêåéìÝíï. Áò èåùñÞóïõìå üôé Ýíáò êáíüíáò Ý÷åé ìÞêïò L0, üðùò ìåôñéÝôáé áðü Ýíá óýóôçìá Ê~, ùò ðñïò ôï ïðïßï åßíáé áêßíçôïò. Áõôü ëÝãåôáé éäéïìÞêïò ôïõ êáíüíá Þ ìÞêïò çñåìßáò Þ êáíïíéêü ìÞêïò Þ öõóéêü ìÞêïò. Ï êáíüíáò âñßóêåôáé êáôÜ ìÞêïò ôïõ Üîïíá ôùí x. Ôï Ê´ êéíåßôáé ùò ðñïò Üëëï áäñáíåéáêü óýóôçìá Ê ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ êáôÜ ìÞêïò ôïõ Üîïíá ôùí x (Ó÷. 4.123). ~Åóôù üôé ç ìßá Üêñç ôïõ êáíüíá âñßóêåôáé óôç èÝóç x~1 êáé ç Üëëç óôç èÝóç x~2 (x1~ < x2~ ) óôï êéíïýìåíï óýóôçìá Ê ~. Áõôü åßíáé áëÞèåéá êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t~. Ôï ìÞêïò, ëïéðüí, ôïõ êáíüíá, üðùò ìåôñéÝôáé áðü ôïí ðáñáôçñçôÞ ôïõ Ê~ åßíáé L0 = x2~ − x1~ = Äx~ (ç ôáõôü÷ñïíç ìÝôñçóç ôùí x~1 êáé x~2 äåí åßíáé áðáñáßôçôç, äéüôé ï ðáñáôçñçôÞò âëÝðåé ôïí êáíüíá áêßíçôï). Ãéá ôïí ßäéï êáíüíá ï ðáñáôçñçôÞò ôïõ Ê, ï ïðïßïò ôïí âëÝðåé íá êéíåßôáé, ðñÝðåé íá ìåôñÞóåé ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôùí Üêñùí ôïõ (x 2 , x1 ) ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ Ät = 0 (ôáõôü÷ñïíá). Ôï ìÞêïò ðïõ ìåôñÜåé åßíáé L = x2 − x1 = Äx. Åöáñìüæïíôáò ôéò ó÷Ýóåéò (4.109) ôïõ ìåôáó÷çìáôéóìïý Lorentz x~1 = ã (x1 − õt1) x~2 = ã (x2 − õt2) âñßóêïõìå, x~2 − x~1 = ã (x2 − x1) + ãõ (t2 − t1 ) áöïý t2 = t1 Ý÷ïõìå ⏐ = × × Ä Ä kg m t s3 958 10 8 988 1022 16 , / , / ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 245 Ó÷Þìá 4.123 Ôï ìÞêïò çñåìßáò ôïõ êáíüíá åßíáé L0 êáé ìåôñéÝôáé ùò ðñïò óýóôçìá Ê′, óôï ïðïßï ï êáíüíáò åßíáé áêßíçôïò.
- 262. L0 = ãL Þ (4.122) Ðáñáôçñïýìå äçëáäÞ áõôü ðïõ ëÝãåôáé óõóôïëÞ ôïõ ìÞêïõò. Ôï L åßíáé ôï “öáéíüìåíï” ìÞêïò áðü ôï óýóôçìá Ê, ùò ðñïò ôï ïðïßï ï êáíüíáò (ôï áíôéêåßìåíï) êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ. Áí ï êáíüíáò ìå ìÞêïò çñåìßáò L0 åßíáé áêßíçôïò óôï Ê êáé ðáñáôçñåßôáé áðü ôï Ê′ ôüôå åýêïëá ðñïêýðôåé üôé ôï ìÞêïò ôïõ èá öáßíåôáé áðü ôï Ê′ ßóï ìå Áõôü åßíáé åõíüçôï ãéáôß õðÜñ÷åé óõììåôñßá óôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò Lorentz ìåôáîý áäñáíåéáêþí óõóôçìÜôùí. Åäþ ôï Ê êéíåßôáé ùò ðñïò ôï Ê ′ ìå ôá÷ýôçôá −õ, åíþ ç óõóôïëÞ ìÞêïõò åîáñôÜôáé áðü ôï õ2 Þ (−õ)2 . Ôï ìÞêïò çñåìßáò åßíáé ôï ìÝãéóôï ìÞêïò åíüò áíôéêåéìÝíïõ. ×ñåéÜæåôáé ðñïóï÷Þ, äéüôé ðïëëÝò öïñÝò ëÝãåôáé üôé ðáßñíïõìå Ýíá óôéãìéüôõðï ôïõ êáíüíá êáèþò êéíåßôáé. Áõôü äåí åßíáé áëçèÝò ìå ôç óõíÞèç Ýííïéá ôïõ óôéãìéüôõðïõ. ~Ïôáí öùôïãñáößæåôáé êÜðïéï êéíïýìåíï óþìá, ôï öùò öôÜíåé ôáõôü÷ñïíá óôç öùôïãñáöéêÞ ðëÜêá, áëëÜ Ý÷åé îåêéíÞóåé áðü ôá äéÜöïñá óçìåßá ôïõ óþìáôïò äéáöïñåôéêÝò (ãåíéêþò) ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò. Åäþ, ôï öùò îåêéíÜ ôáõôü÷ñïíá áðü ôá äýï Üêñá! Áõôü åßíáé ðïõ ïäçãåß óôç óõóôïëÞ ôïõ ìÞêïõò. Ìðïñåß íá äåßîåé êáíåßò üôé áí ðÜñåé öùôïãñáößá ôïõ êéíïýìåíïõ óþìáôïò ôá ðñÜãìáôá åßíáé ðéï ðïëýðëïêá. Ïäçãåßôáé óå ðáñáìüñöùóç ôïõ ðáñáôçñïýìåíïõ áíôéêåéìÝíïõ êáé Üëëá ðïëýðëïêá öáéíüìåíá, üðùò óôñïöÞ ôïõ áíôéêåéìÝíïõ ê.ëð. Ìéá óöáßñá, ãéá ðáñÜäåéãìá, ðïõ öùôïãñáößæåôáé äåí öáßíåôáé ðåðëáôõóìÝíç, áëëÜ êáíïíéêÞ óöáßñá. ÐáñÜäåéãìá 4-33 ~Åíá ìÝëïò ôïõ ðëçñþìáôïò åíüò å÷èñéêïý äéáóôçìïðëïßïõ, ìåôñÜåé ôï ìÞêïò ôïõ ï÷Þìáôïò êáé ôï âñßóêåé 100 m. Ôï äéáóôçìüðëïéï áðïãåéþíåôáé êáé ðåñíÜåé ìðñïóôÜ áðü åðßãåéï åðéóôçìïíéêü óôáèìü ìå ôá÷ýôçôá 0,99 c. Ðïéü åßíáé ôï ìÞêïò, ðïõ èá ìåôñÞóåé Ýíáò åðéóôÞìïíáò ôïõ óôáèìïý ðïõ ðáñáôçñåß ôï äéáóôçìüðëïéï; (Ôï áðïôÝëåóìá íá äïèåß ìå ôñßá óçìáíôéêÜ øçößá). L ã L õ c 0 0 2 2 1= − L L ã L õ c = = −0 0 2 2 1 246 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.124.
- 263. ÁðÜíôçóç Ôï ìÝëïò ôïõðëçñþìáôïò ôïõ ï÷Þìáôïò, ìåôñÜåé ôï éäéïìÞêïò L0 =100 m ôïõ äéáóôçìïðëïßïõ (óôï óýóôçìá Ê~ ùò ðñïò ôï ïðïßï çñåìåß ôï ü÷çìá) êáé èÝëïõìå íá õðïëïãßóïõìå ôï ìÞêoò L ðïõ èá ìåôñÞóåé ï åðéóôÞìïíáò ôïõ åðßãåéïõ óôáèìïý. Áðü ôçí åîßóùóç Ý÷ïõìå ÐáñÜäåéãìá 4-34 Äéáóôçìüðëïéï ìå åîùãÞéíïõò êéíåßôáé ðÜíù áðü åðßãåéï óôáèìü ìå ôá÷ýôçôá 0,800 c. ~Åíáò åðéóôÞìïíáò ðïõ âñßóêåôáé óôï óôáèìü ìåôñÜåé ôï ìÞêïò ôïõ êéíïýìåíïõ äéáóôçìüðëïéïõ êáé ôï âñßóêåé 72 m. ÌåôÜ ôç ðñïóãåßùóç ôïõ äéáóôçìüðëïéïõ ï ßäéïò åðéóôÞìïíáò îáíáìåôñÜåé ôï ìÞêïò ôïõ áêßíçôïõ ðëÝïí ï÷Þìáôïò. Ðüóï ìÞêïò âñßóêåé ôþñá; (Äå÷ôåßôå üôé ôï áðïôÝëåóìá Ý÷åé ôñßá óçìáíôéêÜ) ÁðÜíôçóç Ï åðéóôÞìïíáò ôïõ óôáèìïý, ìåôñÜåé ôï ìÞêïò ôïõ äéáóôçìüðëïéïõ óôï óýóôçìá Ê ôçò Ãçò (ðñïöáíþò ìå ôáõôü÷ñïíç ðáñáôÞñçóç ôùí Üêñùí ôïõ äéáóôçìüðëïéïõ) êáé ôï âñßóêåé L = 72 m. Ôï ìÞêïò ðïõ æçôåßôáé åßíáé ðñïöáíþò ôï éäéïìÞêïò ôïõ äéáóôçìïðëïßïõ. ÄçëáäÞ ôï ìÞêïò ôïõ óôï óýóôçìá Ê~ ùò ðñïò ôï ïðïßï ôï ü÷çìá çñåìåß. ~Áñá áðü ôç ó÷Ýóç: Ý÷ïõìå êáé áíôéêáèéóôþíôáò Ý÷ïõìå L0 = 120 m ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÓ ×ÑÏÍÉÊÏÕ ÄÉÁÓÔÇÌÁÔÏÓ ¸óôù üôé óå Ýíá áäñáíåéáêü óýóôçìá Ê~ (ð.÷. Ýíá äéáóôçìüðëïéï) ðïõ êéíåßôáé ùò ðñïò Üëëï áäñáíåéáêü óýóôçìá Ê (ð.÷. ôç Ãç) ìå ôá÷ýôçôá õ (êáôÜ ôá ãíùóôÜ), óõìâáßíïõí äýï ãåãïíüôá óôçí ßäéá èÝóç (x~, 0, 0), ð.÷. äýï äéáäï÷éêïß êôýðïé åíüò ñïëïãéïý ôïõ äéáóôçìïðëïßïõ ôéò ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò t~1 êáé t~2 . Ðñïöáíþò ãéá ôïí ðáñáôçñçôÞ ôïõ óõóôÞìáôïò Ê~, áõôÜ áðÝ÷ïõí L c c L0 2 2 0 72 1 0 800 72 1 = − = −( , ) m Þ (0,64) m L L õ c 0 2 2 1 = − L L õ c = −0 2 2 1 L = − =100 1 14 1(0,99) m2 , L L u c = −0 2 2 1 ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 247
- 264. ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ô0= t~2 − t~1 , ôüôå ãéá ôïí ðáñáôçñçôÞ ôïõ Ê ôá ßäéá ãåãïíüôá èá áðÝ÷ïõí ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ô = t2 − t2 . Áðü ôï ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz (4.110) ãéá ôï ÷ñüíï áðü ôï Ê~ óôï Ê, Ý÷ïõìå t2 = ã (t~2 + x ~2 ) êáé t1 = ã (t~1 + âx ~1 ) Üñá üìùò x~2 − x~1 = 0 (ßäéá èÝóç óôï Ê ~) Üñá t2 − t1 = ã (t~2 − t~1 ) ïðüôå ðñïêýðôåé Þ Ç ó÷Ýóç áõôÞ äßíåé ôç äéáóôïëÞ ôïõ ÷ñüíïõ. Äåß÷íåé äçëáäÞ üôé ç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá Ô0 óôï óýóôçìá Ê ~ ìåôáîý äýï ãåãïíüôùí ðïõ óõìâáßíïõí óôï ßäéï óçìåßï óôï Ê~, üôáí ìåôñéÝôáé óôï óýóôçìá áíáöïñÜò Ê (ð.÷. ôçò Ãçò), ùò ðñïò ôï ïðïßï ôï Ê ~ Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ, öáßíåôáé ìåãáëýôåñç êáôÜ ðáñÜãïíôá Áõôü óçìáßíåé üôé ôï ñïëüé ôïõ äéáóôçìïðëïßïõ ðçãáßíåé ðßóù óå ó÷Ýóç ìå ôá ñïëüãéá ôçò Ãçò. Áí èåùñÞóïìå üôé Ýíá ñïëüé åßíáé áêßíçôï óôï óýóôçìá Ê êáé óõãêñßíåôáé ìå ñïëüãéá ôïõ Ê~, ôüôå óõìðåñáßíïõìå åýêïëá üôé áí ôï ñïëüé ôïõ Ê ìåôñÜ ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (÷ñüíïò çñåìßáò) Ô0 , óôï Ê ~ èá âëÝðïõí ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ô êáé ðÜëé èá éó÷ýåé Ô = ã Ô0 . ºäéá ó÷Ýóç üðùò ðñéí! ¸÷ïìå óõììåôñßá ìåôáîý ôùí äýï áäñáíåéáêþí óõóôçìÜôùí. Ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé ï åëÜ÷éóôïò ñõèìüò ðáñÝëåõóçò ôïõ ÷ñüíïõ óõìâáßíåé óôï óýóôçìá çñåìßáò ôïõ “ñïëïãéïý” ðïõ ôïí ìåôñÜ. Ç óõììåôñßá ðïõ áíáöÝñáìå ðñïçãïõìÝíùò áíáöÝñåôáé ùò “ðáñÜäïîï ôùí ñïëïãéþí” Þ “ðáñÜäïîï ôùí äéäýìùí” êáé èá åðáíÝëèïõìå óå áõôü ðáñáêÜôù. Ï ÷ñüíïò ðïõ ìåôñÜ, êÜèå öïñÜ, ï ðáñáôçñçôÞò ðïõ åßíáé áêßíçôïò ùò ðñïò ôï ñïëüé ëÝãåôáé éäéü÷ñïíïò Þ ÷ñüíïò çñåìßáò Þ ðñáãìáôéêüò ÷ñüíïò. Ó÷üëéá: ÐñÝðåé íá ôïíéóôåß üôé ç äéáóôïëÞ ôïõ ÷ñüíïõ éó÷ýåé ãéá üëåò ôéò öõóéêÝò äéåñãáóßåò −âéïëïãéêÝò, ðõñçíéêÝò, áôïìéêÝò ê.Ü. Öáéíüìåíá äéáóôïëÞò ôïõ ÷ñüíïõ Ý÷ïõí ðáñáôçñçèåß óôç äéÜóðáóç âñá÷ýâéùí óôïé÷åéùäþí óùìáôéäßùí, ð.÷. ôùí ìéïíßùí (âëÝðå ðáñáêÜôù). Óå ôá÷ýôçôåò ôçò êáèçìåñéíÞò åìðåéñßáò ìáò (ð.÷. áêüìç êáé ôùí áåñéùèïõìÝíùí áåñïðëÜíùí) ôï öáéíüìåíï ôçò ã õ c = − 1 1 2 2 (4.123)T T õ c = − 0 2 2 1 Ô = ã Ô0 t t ã t t ã õ c x x2 1 2 1 2 2 1− = ′ − ′ + ′ − ′( ) ( ) 248 MHXANIKH
- 265. äéáóôïëÞò ôïõ ÷ñüíïõåßíáé åîáéñåôéêÜ ìéêñü. Ðáñ’ üëá áõôÜ, ç áíß÷íåõóç ôüóï ìéêñþí ìåôáâïëþí âñßóêåôáé ìÝóá óôéò éêáíüôçôåò ôùí íåïôÝñùí áôïìéêþí ñïëïãéþí êáéóßïõ (âëÝðå ðáñáêÜôù: Ï Ãýñïò ôïõ Êüóìïõ ìå ÁôïìéêÜ Ñïëüãéá). Êáëü åßíáé íá ôïíéóôåß üôé ãéá êÜèå áíôéêåßìåíï Þ êÜôé ðïõ Ý÷åé ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá (ð.÷. äçìéïõñãåßôáé êáé óôç óõíÝ÷åéá êáôáóôñÝöåôáé) áõôü ðïõ èåùñïýìå ùò ìÞêïò (Þ äéáóôÜóåéò) êáé áíôßóôïé÷á ÷ñüíï æùÞò åßíáé êáëÜ êáèïñéóìÝíá êáé ÷áñáêôçñßæïõí ôï áíôéêåßìåíï óôï óýóôçìá çñåìßáò ôïõ. ÐáñÜäåéãìá 4-35 ÖïñôéóìÝíá óùìáôßäéá ðïõ ëÝãïíôáé ðéüíéá ð+ Þ ð− ðáñÜãïíôáé óå áëëçëåðéäñÜóåéò óùìáôéäßùí ðïõ óõãêñïýïíôáé Ý÷ïíôáò ðïëý õøçëÝò êéíçôéêÝò åíÝñãåéåò. Ôá öïñôéóìÝíá ðéüíéá åßíáé áóôáèÞ êáé êáôáóôñÝöïíôáé áöïý ðáñá÷èïýí ìåôÜ áðü ÷ñüíï (ìÝóïò ÷ñüíïò æùÞò) 2,60 × 10− 8 s (ìÝóïò ÷ñüíïò æùÞò çñåìßáò). ¸óôù üôé óå ðåßñáìá åãêáôåóôçìÝíï óå êÜðïéïí åðéôá÷õíôÞ ðáñÜãïíôáé ðéüíéá ðïõ Ý÷ïõí ôá÷ýôçôá õ = 0,996 c. Ðüóï ìáêñõÜ èá ôáîéäÝøïõí óôï åñãáóôÞñéï, êáôÜ ìÝóïí üñï, ìÝ÷ñé íá êáôáóôñáöïýí; (c = 3,00 × 108 m/s) (áðïôÝëåóìá ìå ôñßá óçìáíôéêÜ) ÁðÜíôçóç Ï ìÝóïò ÷ñüíïò æùÞò, ôå , ðáñáôçñïýìåíïò ùò ðñïò ôï åñãáóôÞñéï óõíäÝåôáé ìå ôïí áíôßóôïé÷ï ÷ñüíï çñåìßáò, ô, ìå ôç ó÷Ýóç ôå = ãô Þ ÅðïìÝíùò ôï äéÜóôçìá ðïõ èá äéáíýóïõí óôï åñãáóôÞñéï ìÝ÷ñé íá êáôáóôñáöïýí åßíáé d = 0,996 × 3,00 × 108 × 2,910 × 10− 7 m = 87,0 m ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÓ Ó×ÅÔÉÊÉÓÔÉÊÇÓ ÏÑÌÇÓ ÊÁÉ Ó×ÅÔÉÊÉÓÔÉÊÇÓ ÅÍÅÑÃÅÉÁÓ Mðïñïýìå íá âñïýìå ôï ìåôáó÷çìáôéóìü ó÷åôéêéóôéêÞò ïñìÞò áðü ôï áäñáíåéáêü óýóôçìá Ê ~ óôï Ê êáé áíôßóôñïöá áîéïðïéþíôáò ôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò ôá÷õôÞôùí ôçò ÅéäéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò. Ôï ßäéï êáé ãéá ôçí Ó÷åôéêéóôéêÞ ÅíÝñãåéá. Áõôü Ý÷åé ðïëëïýò õðïëïãéóìïýò. Åäþ ðñïôéìïýìå íá áêïëïõèÞóïõìå ôçí éäÝá ìåôáó÷çìáôéóìïý ôåôñáíõóìÜôùí êáé ÷ùñßò íá ìðïýìå óå ðïëëÝò ëåðôïìÝñåéåò, êáôáëÞãïõìå óôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò ãéá ôçí ïñìÞ êáé åíÝñãåéá. ÕðÜñ÷ïõí ìåãÝèç ðïõ óôá ðëáßóéá ôçò ÅéäéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò ÷áñáêôçñßæïíôáé áðü ôÝóóåñåéò óõíéóôþóåò, ïé ïðïßåò óõíéóôþóåò åßíáé áíôßóôïé÷åò ôùí ôåóóÜñùí óõíéóôùóþí (ct, x, y, z) ôïõ ÷ùñï÷ñüíïõ. Ãéá íá Ý÷ïõí üëåò ïé óõíéóôþóåò ôéò ßäéåò äéáóôÜóåéò ãñÜöïõìå áíôß t ôï ct. Áí áõôü ôï ìÝãåèïò ìå ôéò ôÝóóåñåéò óõíéóôþóåò, ìåôáó÷çìáôßæåôáé üðùò ç ôåôñÜäá (ct, x, y, z), ôüôå ëÝìå üôé åßíáé Ýíá ôåôñÜíõóìá. ÊÜíïíôáò ôçí áíôéóôïé÷ßá ct E c x p y p z px y z→ → → →, , , ôå = × − = × − −2 60 10 1 0 996 2 910 10 8 2 7, , , ( ) s s ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 249
- 266. ìðïñåß íá äåé÷ôåßüôé ôï (E/c, px , py , pz ) åßíáé ôåôñÜíõóìá. ÅðïìÝíùò, áí ôï Ê~ êéíåßôáé ùò ðñïò ôï Ê ìå ôá÷ýôçôá u êáôÜ ìÞêïò ôùí áîüíùí x, x~ êáé áöïý ïé áíôßóôïé÷ïé Üîïíåò ìÝíïõí óõíå÷þò ðáñÜëëçëïé ìåôáîý ôïõò, èá Ý÷ïìå ãéá ôá (E/c, px , py , pz ) ôïí ßäéï ìåôáó÷çìáôéóìü ðïõ Ý÷ïìå, ãéá ôá (ct, x, y, z) äçëáäÞ ôïí ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz. Ðñïöáíþò, êáôÜ ôá ãíùóôÜ, ìðïñïýìå íá ðÜñïõìå êáé ôïõò áíôßóôñïöïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò áðü ôï Ê ~ óôï Ê. Ðáñáôçñïýìå üôé ïé åãêÜñóéåò óõíéóôþóåò ùò ðñïò ôçí ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá ôùí äýï óõóôçìÜôùí ìÝíïõí ßäéåò. ÐáñÜäåéãìá 4-36 á) Óå ðïéÜ ôá÷ýôçôá ç ó÷åôéêéóôéêÞ ïñìÞ åíüò ðñùôïíßïõ ãßíåôáé äéðëÜóéá, áðü áõôÞí ðïý èá åß÷å áí ßó÷õå ç êëáóéêÞ ìç÷áíéêÞ; â) Ðþò èá Üëëáæå ôï áðïôÝëåóìÜ óáò áí ôï óùìáôßäéï Þôáí çëåêôñüíéï; ÁðÜíôçóç á) Áðü ôá äåäïìÝíá ôïõ ðáñáäåßãìáôïò Ý÷ïõìå: Þ õ = 0,866.... c (ïé êïõêßäåò äçëþíïõí Üðåéñá óçìáíôéêÜ øçößá!!!) Üñá ôï óùìáôßäéï ðñÝðåé íá êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ ≈ 0,866 c, Ýôóé þóôå ç ó÷åôéêéóôéêÞ ïñìÞ ôïõ íá åßíáé äéðëÜóéá ôçò êëáóéêÞò ïñìÞò ôïõ. õ c 2 2 3 4 = mõ õ c mõ õ c 1 2 1 1 22 2 2 2 − = − =Þ Þ (4.125) Áíôßóôñïöïé ìåôáó÷çìáôéóìïß Lorentz ãéá ôçí ïñìÞ êáé ôçí åíÝñãåéá áðü ôï Ê ~ óôï Ê p ã p u c E p p p p E ã E up x x y y z z x = ′ + ′ F HG I KJ = ′ = ′ = ′ + ′ 2 ( ) ã u c = − 1 1 2 2 (4.124) Ìåôáó÷çìáôéóìïß Lorentz ãéá ôçí ïñìÞ êáé ôçí åíÝñãåéá áðü ôï Ê óôï Ê ~ ′ = − F HG I KJ ′ = ′ = ′ = − p ã p u c E p p p p E ã E up x x y y z z x 2 ( ) 250 MHXANIKH
- 267. â) Ðñïöáíþò äåíèá Ý÷ïõìå áëëáãÞ óôçí ôá÷ýôçôá êáé óôçí ðåñßðôùóç ôïõ çëåêôñïíßïõ, áöïý ôï áðïôÝëåóìá åßíáé áíåîÜñôçôï ôçò ìÜæáò ôïõ óùìáôéäßïõ. ÐáñÜäåéãìá 4-37 Çëåêôñüíéï óõãêñïýåôáé ìåôùðéêÜ ìå ðñùôüíéï ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá 0,70 c, áêñéâþò. Áí üëá ôá óùìáôßäéá ðïõ ðáñÜãïíôáé áðü ôç óýãêñïõóç ðáñáìÝíïõí óå çñåìßá ìåôÜ ôçí êñïýóç ðïéÜ ðñÝðåé íá Þôáí ç ôá÷ýôçôá ôïõ çëåêôñïíßïõ; Ç ìÜæá ôïõ ðñùôïíßïõ åßíáé 1836 öïñÝò ìåãáëýôåñç áðü ôç ìÜæá ôïõ çëåêôñïíßïõ. (Äþóôå ôï áðïôÝëåóìá ìå 7 óçìáíôéêÜ øçößá) ÁðÜíôçóç Åöáñìüæïíôáò ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò ó÷åôéêéóôéêÞò ïñìÞò Ý÷ïõìå → pïë = 0 Þ → pp + → pe = 0 Þ pp − pe = 0 Üñá Þ Þ Þ ôåëéêþò õe = 0,9999998 c ÐáñÜäåéãìá 4-38 Ìå ðüóç ôá÷ýôçôá ðñÝðåé íá êéíåßôáé çëåêôñüíéï ãéá íá Ý÷åé ôçí ßäéá êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ìå ðñùôüíéï, ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá 0,05 c, áêñéâþò; Äßíåôáé üôé mp /me = 1836. (ÁðïôÝëåóìá ìå ôñßá óçìáíôéêÜ øçößá) ÁðÜíôçóç ÐñÝðåé íá éó÷ýåé ãéá ôéò êéíçôéêÝò åíÝñãåéåò Êp= Êe äçëáäÞ (ãp − 1) mp c2 = (ãe − 1) mec2 Þ (ãp − 1) 1836 = ãe − 1 Þ 1836 ãp = ãe + 1835 (á) ¼ìùò (â) Áðü ôéò ó÷Ýóåéò (á) êáé (â) Ý÷ïõìå 1836 × 1,001353 − 1835 = ãe Þ ãe = 3,2032 Þ ã õ c p p 2 (0,05) == − = − 1 1 1 1 1 001353 2 2 , (1836) (0,70) 1 (0,70) 2 2 2 c õ õ c e e 2 2 2 2 1 − = − m õ õ c m õ õ c p p p e e e 1 1 2 2 2 2 − = − ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 251
- 268. õe = 0,953c Óçìåßùóç: Óå ðåñéðôþóåéò üðïõ ïé áñéèìçôéêïß õðïëïãéóìïß åßíáé ó÷åôéêÜ ðïëýðëïêïé (åäþ õðÜñ÷åé ç Ýêöñáóç ) êáëü åßíáé íá êñáôéïýíôáé óôéò åíäéÜìåóåò ðñÜîåéò áñêåôÜ óçìáíôéêÜ øçößá êáé íá óôñïããõëïðïéåßôáé êáôÜëëçëá ôï ôåëéêü áðïôÝëåóìá. ÐáñÜäåéãìá 4-39 á) Íá äåßîåôå üôé, áí Ýíá óùìáôßäéï ìå (ó÷åôéêéóôéêÞ) åíÝñãåéá Å ≠ 0 Ý÷åé ìÜæá ìçäÝí, ôüôå êéíåßôáé ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò. â) Íá äåßîåôå üôé, áí Ýíá óùìáôßäéï ìå åíÝñãåéá Å ≠ 0 êéíåßôáé ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò, ôüôå Ý÷åé ìÜæá ìçäÝí. ÁðÜíôçóç á) Áðü ôç ó÷Ýóç Ý÷ïõìå üìùò m = 0 Üñá üìùò Å ≠ 0 Üñá õ = c â) Áðü ôçí ßäéá ó÷Ýóç Ý÷ïõìå ãéá õ = c mc2 = 0 Üñá m = 0 ÐáñáôÞñçóç: ÃíùóôÜ óùìáôßäéá ìå m = 0 êáé õ = c åßíáé ôï öùôüíéï êáé ìÝ÷ñé ôþñá Þôáí êáé ôï íåôñßíï, ôþñá üìùò Ý÷ïõìå åíäåßîåéò üôé ßóùò õðÜñ÷ïõí íåôñßíá ìå ìç ìçäåíéêÞ ìÜæá. ÐáñÜäåéãìá 4-40 Óôïí åðéôá÷õíôÞ LEP (Large Electron Positron collider, ÌåãÜëïò óõãêñïõóôÞò Çëåêôñïíßùí Ðïæéôñïíßùí), óõãêñïýïíôáé çëåêôñüíéá êáé ðïæéôñüíéá ðïõ Ý÷ïõí E õ c mc1 2 2 2 − = E õ c 1 0 2 2 − = E õ c mc1 2 2 2 − = E mc õ c = − 2 2 2 1 1 1 2 − â 1 1 3 2993 1 0 097 2 2 2 2 − = − = õ c õ c e e , ,Þ 252 MHXANIKH
- 269. áíôßèåôåò ôá÷ýôçôåò êáéßóåò åíÝñãåéåò. ÕðïèÝóôå üôé óå êÜðïéåò ôÝôïéåò óõãêñïýóåéò óôçí ôåëéêÞ êáôÜóôáóç õðÜñ÷åé ìüíï Ýíá óùìáôßäéï, ôï Æ0 (æé- ìçäÝí), ðïõ åßíáé Ýíáò áðü ôïõò öïñåßò ôùí çëåêôñáóèåíþí áëëçëåðéäñÜóåùí. Ôï Æï ðïëý ãñÞãïñá êáôáóôñÝöåôáé êáé ìåôáôñÝðåôáé óå Üëëá óõíÞèç óùìáôßäéá. Áí ôï êÜèå Ýíá óùìáôßäéï ðñéí ôçí óýãêñïõóç åß÷å åíÝñãåéá 45,5935 GeV, õðïëïãßóôå ôç ìÜæá ôïõ Æ0 . (ÁðïôÝëåóìá ìå 5 óçìáíôéêÜ øçößá) ÁðÜíôçóç Áöïý ïé åíÝñãåéåò ôïõ çëåêôñïíßïõ êáé ôïõ ðïæéôñïíßïõ åßíáé ßóåò êáé ïé ôá÷ýôçôåò áíôßèåôåò, ðñïöáíþò ïé ïñìÝò ôïõò èá åßíáé ßóåò êáôÜ ìÝôñï êáé èá Ý÷ïõí áíôßèåôåò êáôåõèýíóåéò, Üñá ç ïëéêÞ ïñìÞ ðñéí ôçí óýãêñïõóç èá åßíáé ìçäÝí. ÌåôÜ ôç óýãêñïõóç ôï ìüíï óùìáôßäéï ðïõ õðÜñ÷åé åßíáé áõôü ðïõ äçìéïõñãÞèçêå êáôÜ ôçí áëëçëåðßäñáóç çëåêôñïíßïõ - ðïæéôñïíßïõ, äçëáäÞ ôï Æ0 . Óýìöùíá ìå ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò, ç ïñìÞ ôïõ èá åßíáé ìçäÝí, Üñá èá åßíáé áêßíçôï. Áí ç åíÝñãåéá ôïõ çëåêôñïíßïõ êáé ôïõ ðïæéôñïíßïõ åßíáé Åe êáé ç åíÝñãåéá ôïõ Æ0 åßíáé Å èá Ý÷ïõìå áðü ôç äéáôÞñçóç ôçò åíÝñãåéáò, 2 Åe = E üìùò áëëÜ (áöïý ôï Æ0 åßíáé áêßíçôï, õ = 0). ÅðïìÝíùò 2Åe = mc2 Üñá ÄçëáäÞ ç ìÜæá ôïõ Æ0 åßíáé m = 2 × 45,5935 GeV/c2 = 91,187 GeV/c2 Áí èõìçèïýìå üôé ïé ìÜæåò ôïõ çëåêôñïíßïõ êáé ôïõ ðïæéôñïíßïõ åßíáé ìüíïí 0,511 MeV/c2 = 0,000511 GeV/c2 ôüôå åäþ Ý÷ïìå ìéá ôõðéêÞ ðåñßðôùóç ðåéñÜìáôïò ÖõóéêÞò Õøçëþí Åíåñãåéþí (ÖÕÅ) üðïõ ðáñÜãåôáé ìÜæá áðü åíÝñãåéá. ÐáñÜäåéãìá 4-41 Ôï 1763 âñÝèçêå üôé Ýíá ïõñÜíéï áíôéêåßìåíï, êïõÜóáñ, ðïõ âñßóêåôáé óå ðïëý ìåãÜëç áðüóôáóç áðü ôç Ãç åêðÝìðåé öùò ðïõ ðáñáôçñÞèçêå üôé ðáñïõóéÜæåé ìåôáôüðéóç ìÞêïõò êýìáôïò ë ë ë Ð Å Å − = 0 37, m E c = 2 2 e p mõ õ c = − = 1 0 2 2 E p c m c= +2 2 2 4 ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 253
- 270. ëÅ åßíáé ôïìÞêïò êýìáôïò åêðïìðÞò, üðùò ìåôñéÝôáé áðü ðáñáôçñçôÞ áêßíçôï ùò ðñïò ôï êïõÜóáñ, ëÐ åßíáé ôï ìÞêïò êýìáôïò ðïõ ìåôñéÝôáé áðü ôç Ãç. Ïé áíôßóôïé÷åò óõ÷íüôçôåò åßíáé fE êáé fÐ . Íá âñåèåß ï ëüãïò ôçò ó÷åôéêÞò ôá÷ýôçôáò êïõÜóáñ - Ãçò äéá ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò, â = u/c. (ÁðïôÝëåóìá ìå ôñßá óçìáíôéêÜ øçößá) ÁðÜíôçóç Ôï öáéíüìåíï áõôü åßíáé ôï ó÷åôéêéóôéêü öáéíüìåíï Doppler. Ìðïñåß êÜðïéïò íá äïõëÝøåé ìå ôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò Lorentz êáé íá âãÜëåé ôïõò ôýðïõò ôçò ó÷åôéêéóôéêÞò ìåôáôüðéóçò Doppler. Ôï ßäéï ìðïñåß íá ãßíåé áí ëçöèïýí õðüøç ïé ó÷Ýóåéò ìåôáó÷çìáôéóìïý ïñìÞò êáé åíÝñãåéáò êáé üôé ôï êÜèå öùôüíéï öùôüò Ý÷åé åíÝñãåéá Åö = hf êáé ïñìÞ Ôï öùôüíéï óôï óýóôçìá ôïõ êïõÜóáñ Ý÷åé åíÝñãåéá Å~ö êáé ïñìÞ p~ö, ï êïõÜóáñ (óýóôçìá Ê~) êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá u ùò ðñïò ôç Ãç, Üñá ìåôñïýìåíá ùò ðñïò ôç Ãç (óýóôçìá Ê), ç åíÝñãåéá ôïõ öùôïíßïõ èá åßíáé Åö êáé ç ïñìÞ pö . Óýìöùíá ìå ôïõò íüìïõò ìåôáó÷çìáôéóìïý (4.124), ðïõ åßíáé ïõóéáóôéêÜ ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß Lorentz, Ý÷ïìå Åö = ã (Å~ö + âcp~) Üñá fÐ = ã ( fE + âcfE ) Þ Áí ç ãùíßá ìåôáîý ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò êáé ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ ôïíïýìåíïõ óõóôÞìáôïò åßíáé è ôüôå Ý÷ïìå ôïí ðéï ãåíéêü ôýðï To â åßíáé èåôéêü üôáí ðçãÞ êáé ðáñáôçñçôÞò ðëçóéÜæïõí, êáé áñíçôéêü áí áðïìáêñýíïíôáé. Ìðïñåßôå åýêïëá íá äéáðéóôþóåôå üôé õðÜñ÷åé ìåôáôüðéóç óõ÷íüôçôáò êáé üôáí áêüìç ç ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá ðçãÞò - ðáñáôçñçôÞ (u) åßíáé êÜèåôç óôçí åõèåßá ðïõ åíþíåé ôçí ðçãÞ ìå ôïí ðáñáôçñçôÞ. Áõôü åßíáé ôï åãêÜñóéï öáéíüìåíï Doppler êáé äåí áðáíôÜ óôç êëáóéêÞ öõóéêÞ. ÏõóéáóôéêÜ, ç ðáñáôÞñçóÞ ôïõ, áðïôåëåß áðüäåéîç ôçò äéáóôïëÞò ôïõ ÷ñüíïõ. Ôï öáéíüìåíï ìåôáâïëÞò ôçò óõ÷íüôçôáò Þ ìÞêïõò êýìáôïò, üôáí ç ðçãÞ êáé ðáñáôçñçôÞò áðïìáêñýíïíôáé ëÝãåôáé åñõèñÞ ìåôáôüðéóç, äéüôé ç óõ÷íüôçôá ðáñáôÞñçóçò ìåôáôïðßæåôáé ðñïò ìéêñüôåñåò óõ÷íüôçôåò (ìåãáëýôåñá ìÞêç êýìáôïò). Ôýðïò Ó÷åôéêéóôéêïý ÖáéíïìÝíïõ Doppler f f â â Ð E = + − 1 1 ã u c â = − = − 1 1 1 12 2 2 E hf Å hf p hf c ö öÐ E E = ′ = ′ =, , p hf c ö = 254 MHXANIKH ( )f = f ã â è1- cos
- 271. ÃñÜöïìå ðñïöáíþò åýêïëá âñßóêïìåüôé Üñá ôåëéêþò Üñá â = − 0,305 ÄçëáäÞ ï êïõÜóáñ áðïìáêñýíåôáé áðü ôç ãç ìå ôá÷ýôçôá u ßóç ìå 0,305 ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò. ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÊÏÕ ÊÁÉ ÌÁÃÍÇÔÉÊÏÕ ÐÅÄÉÏÕ ÊáôÜ ôç ìåôÜâáóç áðü ôï áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò Ê óôï Ê~, ôï ïðïßï êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá → u ùò ðñïò ôï Ê, ï ÷ñüíïò êáé ïé óõíôåôáãìÝíåò èÝóçò, ÷ùñü÷ñïíïò (êáé êÜèå ôåôñÜíõóìá), ìåôáó÷çìáôßæïíôáé ìå ôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò Lorentz ìå ôïõò ôýðïõò ðïõ åßäáìå. ÊáôÜ ôçí åéäéêÞ èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò üëïé ïé íüìïé ôçò öýóçò ðñÝðåé íá ìÝíïõí ïé ßäéïé óå üëá ôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá. Ãéá íá óõìâåß áõôü ðñÝðåé íá âñåèïýí ïé êáôÜëëçëïé ìåôáó÷çìáôéóìïß êáé ãéá üëá ôá Üëëá ìåãÝèç, åêôüò ôïõ ÷ñüíïõ êáé ìÞêïõò. Åßäáìå ôï ìåôáó÷çìáôéóìü åíÝñãåéáò êáé ïñìÞò ðïõ åðåéäÞ áðïôåëïýí ôåôñÜíõóìá ìåôáó÷çìáôßæïíôáé üðùò êáé ï ÷ùñü÷ñïíïò. Óå Üëëåò ðåñéðôþóåéò ôï åßäïò ôùí öõóéêþí ìåãåèþí ìðïñåß íá åßíáé äéáöïñåôéêü ïðüôå ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß Lorentz ãéá ôá ìåãÝèç Ý÷ïõí ðéï ðïëýðëïêç ìïñöÞ. Ôá ðåäßá → Å, → B ëáìâÜíïíôáé ùò ìéá ïíôüôçôá ìå ðïëëÝò óõíéóôþóåò (ôáíõóôéêü ìÝãåèïò). Äßíïìå ôéò ó÷Ýóåéò ìåôáó÷çìáôéóìïý ÷ùñßò áéôéïëüãçóç, ãéá ôçí ãíùóôÞ ðåñßðôùóç óõóôçìÜôùí Ê, Ê ~ óå êáíïíéêÞ äéÜôáîç. Ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß äåí åßíáé ïé ãåíéêüôåñïé áëëÜ åßíáé åéäéêïß ìåôáó÷çìáôéóìïß ãéá áõôÞ ôç ðåñßðôùóç. ¸÷ïìå Ex~ = Åx Bx~ = Bx Åy~ = ã (Åy − uÂz) (4.126) Åz~ = ã (Åz + uÂy ) Þ ï áíôßóôñïöïò ìåôáó÷çìáôéóìüò áðü Ê~ óôï Ê, ′ = − F HG I KJB ã B u c Ez z y2 ′ = + F HG I KJB ã B u c Ey y z2 â á á á = − + + + 2 1 1 2 ( ) a â â = − + − 1 1 1 ë ë â â Ð E = − + 1 1 a ë ë ë = − =Ð Å Å 0 37, ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 255
- 272. Ex = Ex~Bx = Bx~ Åy = ã (Åy~ + uÂz~) (4.127) Åz = ã (Åz~ − uÂy~) Ïé ôýðïé ìåôáó÷çìáôéóìïý åßíáé áíåîÜñôçôïé ôïõ ôñüðïõ äçìéïõñãßáò ôùí ðåäßùí. AìÝóùò âëÝðïìå üôé ôá ðåäßá óõó÷åôßæïíôáé. Áõôü óçìáßíåé üôé åíþ óå êÜðïéï óýóôçìá áíáöïñÜò ìðïñåß íá õðÜñ÷åé ìüíï çëåêôñéêü ðåäßï, óå êÜðïéï Üëëï ìðïñåß íá õðÜñ÷ïõí êáé ôá äýï. ÐáñÜäåéãìá 4-42 ÕðïèÝóôå üôé ç ôá÷ýôçôá u ôïõ óõóôÞìáôïò Ê~ ùò ðñïò ôï Ê åßíáé ðïëý ìéêñüôåñç ôçò ôá÷ýôçôáò c êáé ç → u åßíáé êáôÜ ìÞêïò ôïõ Ïx êáé ïé áíôßóôïé÷ïé Üîïíåò ðáñÜëëçëïé ìåôáîý ôïõò. á) ÃñÜøôå ãéá áõôÞ ôç ðåñßðôùóç ôïõò ôýðïõò ìåôáó÷çìáôéìïý ôùí ðåäßùí → Å, → B èåùñþíôáò üôé ôï ã ≈1, ïðüôå êÜíåôå ðñïóÝããéóç ðñþôçò ôÜîçò ùò ðñïò â (ðáñáëåßðïíôáé üñïé ìå â2 , â3 ê.ëð.). â) Âñåßôå ôç äýíáìç óôï óýóôçìá Ê ðïõ áóêåßôáé óå óùìÜôéï ìå öïñôßï q, ôï ïðïßï êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá → u ùò ðñïò ôï Ê, óå ÷þñï üðïõ õðÜñ÷åé ìüíï ìáãíçôéêü ðåäßï  ùò ðñïò ôï Ê åíþ → Å = 0. ÊÜíôå ôï ßäéï ãéá ôï óýóôçìá çñåìßáò ôïõ óùìáôßïõ Ê~. ÕðïèÝóôå üôé éó÷ýåé ç ðñïóÝããéóç ôïõ á. ÁðÜíôçóç á) Áí u << c ðáßñíïíôáò ã ≈1 Ý÷ïõìå Ex~ = Åx Bx~ = Bx Åy~ = Åy − uÂz Åz~ = Åz + uÂy ÂÜæïíôáò üðïõ u ôï −u âñßóêïìå ôïí áíôßóôñïöï ìåôáó÷çìáôéóìü. â) Óôï Ê ôï óùìÜôéï õößóôáôáé ìüíï ìáãíçôéêÞ äýíáìç, → F = q → u × → B Óôï Ê~ õðÜñ÷åé ìáãíçôéêü ðåäßï → B~ ðïõ óôçí ðñïóÝããéóç ðïõ áíáöÝñáìå åßíáé ßóï ìå ôï → B. ÕðÜñ÷åé áêüìç êáé çëåêôñéêü ðåäßï → Å~. Ãéáõôü ôï ðåäßï âñßóêïìå (áöïý Åx = Ey = Ez = 0) Ex~ = 0, Ey~ = −uBz , Åz~ = uBy AõôÝò ïé ó÷Ýóåéò ìðïñïýí íá ãñáöïýí ùò åîùôåñéêü ãéíüìåíï, äçëáäÞ → Å~ = ( → u × → B) Áõôü ìðïñåßôå íá ôï êáôáëÜâåôå ãñÜöïíôáò ôï → B ùò → B = → ex Bx + → ey By + → ez Bz ′ = −B B u c Ez z y2 ′ = +B B u c Ey y z2 B ã B u c Ez z y= ′ + ′ F HG I KJ2 B ã B u c Ey y z= ′ − ′ F HG I KJ2 256 MHXANIKH
- 273. êáé ôï → u ùò → u= → ex u, ïðüôå èá äåßôå üôé ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï → u × → B Ý÷åé óõíéóôþóåò (0, −uBz , uBy). Ôá → ex , → ey , → ez åßíáé ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá. Áöïý ôï óùìÜôéï Ý÷åé ôá÷ýôçôá ìçäÝí ùò ðñïò ôï Ê ~ èá äÝ÷åôáé ìüíï çëåêôñéêÞ äýíáìç, Üñá → F = q → Å~ = q → u × → B ÄçëáäÞ, óôçí ðñïóÝããéóç áõôÞ ôùí ìéêñþí ôá÷õôÞôùí âñßóêïìå üôé ïé äýï äõíÜìåéò åßíáé ßóåò → F~ = → F, áëëÜ ç åñìçíåßá ôïõ ðáñáôçñçôÞ ôïõ óõóôÞìá- ôïò Ê åßíáé üôé áóêåßôáé ìéá çëåêôñéêÞ äýíáìç óôï óùìÜôéï åíþ ôïõ ðáñáôçñçôÞ ôïõ Ê~ åßíáé üôé áóêåßôáé ìáãíçôéêÞ äýíáìç. ÐáñÜäåéãìá 4-43 ÓùìÜôéï ìå öïñôßï q êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá → u ùò ðñïò áäñáíåéáêü óýóôçìá Ê êáôÜ ìÞêïò ôïõ Üîïíá ôùí x. ÕðïèÝóôå üôé ç ôá÷ýôçôá u åßíáé áñêåôÜ ìéêñÞ êáé éó÷ýåé ã ≈ 1. Öáíôáóôåßôå óýóôçìá Ê ~ óôçí êáíïíéêÞ äéÜôáîç ùò ðñïò ôï Ê, ôï ïðïßï êéíåßôáé ìå ôï óùìÜôéï ìå ôá÷ýôçôá → u. Äå÷ôåßôå üôé ôï óùìÜôéï åßíáé óôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí ôïõ Ê ~, óôç èÝóç Ï~. Âñåßôå ôá ðåäßá → Å êáé →  óôï óçìåßï (0, y~ = r~, 0) ôïõ Ê~, üðùò öáßíïíôáé áðü ôï Ê. Ðåñéïñéóìüò: ÕðïèÝóôå üôé îÝñåôå ìüíï ôï ðåäßï → Å~ áðü ôï íüìï ôïõ Coulomb ãéá áêßíçôá öïñôßá óôï Ê ~. ÅêöñÜóôå ôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò ðåäßùí áðü ôï Ê~ óôï Ê. ÁðÜíôçóç Óôï óýóôçìá Ê ~ Ý÷ïìå ãéá ôï ðåäßï → B~ óôç èÝóç (0, r~, 0), → B~ = 0 êáé ãéá ôï → Å~ Ý÷ïõìå Ex~ = 0, Åy~ = Å~, Åz~ = 0 ðñïöáíþò Ôá ðåäßá óôï Ê èá åßíáé Ex = Ex~ = 0 Bx = Bx~ = 0 Åz = Åz~ = 0 ÈÝóáìå r~ = r, äéüôé ç êßíçóç ãßíåôáé êÜèåôá ðñïò ôïí Üîïíá Ïy, Üñá äåí ìåôáâÜëëåôáé ôï áíôßóôïé÷ï ìÞêïò ìå ôï ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz. Åðßóçò ëÜâáìå õðüøç üôé c ì å 2 0 0 1 = = ì uq r 0 2 4ð = = u c å q r 2 0 2 1 4ð B B u c Ez z y= ′ + ′ = 2 B B u c Ey y z= ′ − ′ = 2 0E E å q r y y= ′ = 1 4 0 2 ð ′ = ′ E å q r y 1 4 0 2 ð ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 257 Ó×ÇÌÁ 4.125
- 274. ¸÷ïìå åðïìÝíùò Ðáñáôçñïýìå üôéïõóéáóôéêÜ âãÜëáìå ôï íüìï Biot-Savart ãéá ôï ðåäßï  ðïõ äçìéïõñãåßôáé áðü êéíïýìåíï öïñôßï q ìå ôá÷ýôçôá u, (u << c). Ï íüìïò Biot-Savart ðïõ îÝñïõìå ãéá êéíïýìåíï öïñôßï åßíáé åäþ sin è = 1. ÅÐÁËÇÈÅÕÓÇ ÔÇÓ ÄÉÁÓÔÏËÇÓ ÔÏÕ ×ÑÏÍÏÕ ÊÁÉ ÓÕÓÔÏËÇÓ ÔÏÕ ÌÇÊÏÕÓ Ìéá ùñáßá åðáëÞèåõóç ôçò äéáóôïëÞò ôïõ ÷ñüíïõ êáé ôçò óõóôïëÞò ôïõ ìÞêïõò Ý÷ïõìå êáôÜ ôçí äéÜóðáóç ôùí áóôáèþí óùìáôéäßùí ðïõ ëÝãïíôáé ìéüíéá. Ôá ìéüíéá ðáñÜãïíôáé áðü ôç äéÜóðáóç ðéïíßùí ðïõ äçìéïõñãïýíôáé êáôÜ ôçí áëëçëåðßäñáóç ôùí ðñùôïíßùí ôçò ðñùôïãåíïýò êïóìéêÞò áêôéíïâïëßáò, ðïõ Ýñ÷ïíôáé áðü ôï äéÜóôçìá, ìå ôá ìüñéá ôïõ áÝñá óôá áíþôåñá óôñþìáôá ôçò ãÞéíçò áôìüóöáéñáò. Ôá ìéüíéá áõôÜ Ý÷ïõí öïñôßï èåôéêü Þ áñíçôéêü, ßóï êáôÜ áðüëõôç ôéìÞ ìå ôï èåìåëéþäåò çëåêôñéêü öïñôßï e êáé Ý÷ïõí ìÜæá 207 öïñÝò ôç ìÜæá ôùí çëåêôñïíßùí. Ôá ìéüíéá Ý÷ïõí (ìÝóï) ÷ñüíï æùÞò, ùò ðñïò óýóôçìá áíáöïñÜò óôï ïðïßï åßíáé áêßíçôá, (Þ ó÷åäüí áêßíçôá), ô0 ≈ 2,2 × 10- 6 s. Aò õðïèÝóïõìå ôþñá üôé ôá ìéüíéá ðïõ ðáñÜãïíôáé óôçí áíþôáôç áôìüóöáéñá êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôá õ = 0,99994 c (áðü ðåéñÜìáôá ãíùñßæïõìå üôé áõôü åßíáé óùóôü êáé ç åíÝñãåéá ôùí ìéïíßùí åßíáé ôüôå 10 GeV), Üñá, êëáóéêÜ, èá Ýðñåðå íá äéáíýóïõí áðïóôÜóåéò: L = õô0 äçëáäÞ L = 0,99994 c × 2,2 × 10−6 ≈ 660 m ðñïôïý êáôáóôñáöïýí. ÅðïìÝíùò, äåí ðñÝðåé íá öôÜíïõí óôçí åðéöÜíåéá ôçò ãçò, ðïõ áðÝ÷åé äåêÜäåò ÷éëéüìåôñá áðü ôá áíþôåñá óôñþìáôá ôçò áôìüóöáéñáò üðïõ Ý÷ïõí ðáñá÷èåß ôá ìéüíéá. Ãíùñßæïõìå üìùò áðü ðåéñÜìáôá, üôé Ýíáò ìåãÜëïò áñéèìüò ìéïíßùí öôÜíåé óôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò. Ôï ðáñÜäïîï áõôü öáéíüìåíï åñìçíåýåôáé áí ëÜâïõìå õðüøç ìáò ôá óõìðåñÜóìáôá ôçò èåùñßáò ôçò ó÷åôéêüôçôáò ãéá ôç äéáóôïëÞ ôïõ ÷ñüíïõ Þ ôç óõóôïëÞ ôïõ ìÞêïõò. Èá åîåôÜóïõìå ôï öáéíüìåíï ðñþôá ìå ôç äéáóôïëÞ ôïõ ÷ñüíïõ. O ÷ñüíïò æùÞò ôïõ êéíïýìåíïõ ìéïíßïõ ô, ðáñáôçñïýìåíïò áðü ôç ãç (óýóôçìá Ê) èá óõíäÝåôáé ìå ôïí ÷ñüíï æùÞò ôïõ, ô0 , ùò ðñïò óýóôçìá Ê ~, ðïõ êéíåßôáé ìáæß ôïõ (óýóôçìá çñåìßáò) ìå ôç ãíùóôÞ ó÷Ýóç ô ô õ c = − 0 2 2 1 B ì q u è = 0 4ð sin 2 r B B e ì q r ez z z → → → = = 0 2 4ð E E e å q r ey y y → → → = = 1 4 0 2ð 258 MHXANIKH PHOTO CERN Êïóìéêü óùìáôßäéï (êïóìéêÞ áêôßíá) ðïëý ìåãÜëçò åíÝñãåéáò áíôéäñÜ êáôÜ ôçí åßóïäü ôïõ óôçí áôìüóöáéñá ìå óùìáôßäéï ôçò áôìüóöáéñáò êáé áêïëïõèåß êáôáéãéóìüò ðáñáãùãÞò äéáöüñùí óùìáôéäßùí.
- 275. äçëáäÞ ¢ñá äéáíýïõí áðïóôÜóåéòùò ðñïò ôç Ãç, L = 0,99994 × c × ô ≈ 3,00 × 108 × 200 × 10− 6 m ≈ 60 km ¸ôóé, ðïëëÜ ìéüíéá öôÜíïõí óôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò, ç ïðïßá áðÝ÷åé áðüóôáóç ìåñéêþí äåêÜäùí ÷éëéïìÝôñùí áðü ôï óçìåßï äçìéïõñãßáò ôïõò (10 ìå 60 km). Ôï ðçëßêï ôïõ ìÞêïõò ðïõ äéáíýåé ôï ìéüíéï ðëçóéÜæïíôáò ôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò óôïí “öáéíüìåíï” ÷ñüíï æùÞò ôïõ äéá ôïõ ýøïõò h üðïõ äçìéïõñãÞèçêå, èá åßíáé Þ ôï ðçëßêïí ôïõ öáéíïìÝíïõ ÷ñüíïõ ðïõ êéíåßôáé ìÝ÷ñé íá êáôáóôñáöåß äéá ôïõ ÷ñüíïõ ìÝ÷ñé íá öôÜóåé óôç Ãç åßíáé äçëáäÞ ôï ßäéï üðùò ðñéí. ÊëáóéêÜ èá åß÷áìå ãéá ôï ðçëßêïí ôùí äýï ÷ñüíùí, . Ôï üôé ôï ðçëßêï ðïõ âñßóêïõìå ó÷åôéêéóôéêÜ åßíáé êïíôÜ óôç ìïíÜäá óçìáßíåé üôé ðïëëÜ ìéüíéá öôÜíïõí óôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò. Ìðïñïýìå íá åñìçíåýóïõìå ôï öáéíüìåíï ìå ôç âïÞèåéá ôçò óõóôïëÞò ôïõ ìÞêïõò. ¸óôù üôé ôï ýøïò áðü ôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò üðïõ äçìéïõñãåßôáé ôï ìéüíéï åßíáé h, ìåôñïýìåíï áðü ôï óýóôçìá ôçò Ãçò. Ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ ìéïíßïõ ç Ãç êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ õ (èåùñïýìå õ > 0). Ôï ýøïò h öáßíåôáé áðü áõôü ôï óýóôçìá ìéêñüôåñï, h~, äçëáäÞ (óõóôïëÞ ôïõ ìÞêïõò). ¼ìùò, ç Ãç ðëçóéÜæåé ìå ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ õ ôï ìéüíéï, Üñá óå ÷ñüíï ßóï ìå ô0 ðëçóéÜæåé êáôÜ õô0 = âcô0 , äçëáäÞ ôï ðïóïóôü ôïõ h~ êáôÜ ôï ïðïßï ðëçóéÜæåé åßíáé äçëáäÞ, ôï ßäéï áðïôÝëåóìá ðïõ âñÞêáìå ìå ôçí ðñïçãïýìåíç äéáäéêáóßá. ÁíÜëïãá, ìðïñåß íá ðåé êáíåßò ãéá ôï ðçëßêï ôïõ ÷ñüíïõ æùÞò, ô0 , äéá ôïõ ÷ñüíïõ ðïõ äéáíýåé ôç “öáéíüìåíç” áðüóôáóç h~. Ìéá Üìåóç åðáëÞèåõóç ôïõ öáéíïìÝíïõ ôçò äéáóôïëÞò ôïõ ÷ñüíïõ, åß÷áìå ìå ãÞéíï ðåßñáìá ðïõ Ýãéíå ôï 1976 óôï CERN (Åõñùðáúêü ÅñãáóôÞñéï â c ô h â c ô h â ô â âc h 0 0 2 0 21 1′ = − = −FH IK ′ = −h h â1 2 ô õ h 0 1<< ô â c â h 0 2 1 −FH IK h âc ô â 0 2 1 − ô â c â h 0 2 1 1 −FH IK ≈ ô = × − = × − −2 2 10 1 0 99994 200 10 6 2 6, ,( ) s s ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 259
- 276. ÖõóéêÞò Óùìáôéäßùí) ðïõåäñåýåé Ýîù áðü ôç Ãåíåýç ôçò Åëâåôßáò êáé åêôåßíåôáé óôçí Åëâåôßá êáé óôçí Ãáëëßá. ÁðïèÞêåõóáí ìéüíéá óå Ýíá äáêôýëéï õøçëïý êåíïý, áöïý ôá åðéôÜ÷õíáí ìÝ÷ñé íá öôÜóïõí ôá÷ýôçôá 0,9994 c. Ïé åðéóôÞìïíåò ìåôñþíôáò ôç äéÜóðáóç ôùí ìéïíßùí, âñÞêáí ôïí ÷ñüíï æùÞò ôïõò. ÂñÞêáí üôé ôá ìéüíéá ðïõ êéíïýíôáé ìÝóá óôïí äáêôýëéï ìå ôçí ðáñáðÜíù ôá÷ýôçôá åß÷áí ÷ñüíï æùÞò 30 öïñÝò ìåãáëýôåñï áðü ôï ÷ñüíï æùÞò ôùí áêßíçôùí ìéïíßùí. Ôï áðïôÝëåóìá áõôü åßíáé óýìöùíï ìå ôçí åéäéêÞ èåùñßá ôçò ó÷åôéêüôçôáò ìå óöÜëìá ôçò ôÜîçò ôïõ 2 óôá 1000. Áõôü åßíáé Ýíá áðïôÝëåóìá ðåéñáìáôéêÞò äïõëåéÜò óå åñãáóôÞñéï ÖõóéêÞò Õøçëþí Åíåñãåéþí. TO ÖÁÉÍÏÌÅÍÏ ÔÙÍ ÄÉÄÕÌÙÍ Åíá åíäéáöÝñïí áðïôÝëåóìá ôïõ öáéíïìÝíïõ ôçò äéáóôïëÞò ôïõ ÷ñüíïõ ïäçãåß óôï öáéíüìåíï ôùí äéäýìùí ðïõ êáêþò áíáöÝñåôáé ùò “ðáñÜäïîï ôùí äéäýìùí” Þ “ðáñÜäïîï ôùí ñïëïãéþí”. Äýï ðáíïìïéüôõðá äßäõìá áäÝëöéá (ìïíïùúêÜ) ï ÓôáìÜôçò êáé ï Ãñçãüñçò, ãéïñôÜæïõí ôçí ôñéáêïóôÞ åðÝôåéï ôùí ãåíåèëßùí ôïõò óôç Ãç. ÁìÝóùò ìåôÜ, ï Ãñçãüñçò åðéâéâÜæåôáé ó’ Ýíá äéáóôçìüðëïéï, ðïõ ìðïñåß íá åðéôá÷õíèåß ãñÞãïñá óå ôá÷ýôçôá õ = 0,99 c, êáé ðÜåé óôïí áóôåñéóìü ôïõ Êåíôáýñïõ, ðïõ âñßóêåôáé óå áðüóôáóç 4 åôþí öùôüò áðü ôç Ãç. Áöïý öôÜóåé åêåß, êÜíåé ãñÞãïñá óôñïöÞ êáé åðéóôñÝöåé óôç Ãç ìå ôçí ßäéáí êáôÜ ìÝôñï ôá÷ýôçôá. Óýìöùíá ìå ôá ñïëüãéá ôçò Ãçò, ôï ôáîßäé êñÜôçóå ïðüôå ï ÓôáìÜôçò, ðïõ Ýìåéíå óôç Ãç, èá Ý÷åé çëéêßá 38 ÷ñïíþí üôáí ôá äßäõìá áäÝëöéá óõíáíôçèïýí îáíÜ. Ï Ãñçãüñçò üìùò Ý÷åé “ùöåëçèåß” áðü ôçí äéáóôïëÞ ôïõ ÷ñüíïõ, åðåéäÞ, ùò ðñïò ôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôçò Ãçò, ôá ñïëüãéá ôïõ äéáóôçìïðëïßïõ ðÜíå ðßóù ìå óõíôåëåóôÞ ¢ñá ôá 8 ÷ñüíéá ðïõ êñÜôçóå ôï ôáîßäé óýìöùíá ìå ôá ñïëüãéá ôçò Ãçò, áíôéóôïé÷ïýí óå 8 × 0,14 ≈ 1 ÷ñüíï ìüíï, óýìöùíá ìå ôá ñïëüãéá ôïõ äéáóôçìïðëïßïõ, Üñá ï Ãñçãüñçò êáôÜ ôçí åðéóôñïöÞ ôïõ èá åßíáé 31 ÷ñïíþí ìüíï. Ðïý âñßóêåôáé ôï ðáñÜäïîï óå üëá áõôÜ; Óýìöùíá ìå ìéá êáêÞ åöáñìïãÞ ôçò áñ÷Þò ôçò ó÷åôéêüôçôáò, èá Ýðñåðå êáé ï Ãñçãüñçò íá áéóèÜíåôáé üôé ðáñáìÝíåé áõôüò áêßíçôïò êáé ï áäåëöüò ôïõ, ìáæß ìå ôç Ãç, áðïìáêñýíïíôáé ìå áíôßèåôç ôá÷ýôçôá êáé êáôüðéí åðéóôñÝöïõí, óõíåðþò ôá ñïëüãéá ôçò Ãçò ðÜíå ðßóù, ãåãïíüò ðïõ óçìáßíåé üôé ï ÓôáìÜôçò èá åßíáé íåþôåñïò áðü ôïí Ãñçãüñç. Ç Üñóç áõôïý ôïõ ðáñáäüîïõ, åðéôõã÷Üíåôáé áðü ôï ãåãïíüò, üôé ôï öáéíüìåíï äåí åßíáé óõììåôñéêü. ÐñÜãìáôé ï Ãñçãüñçò êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôïõ ôáîéäéïý ôïõ õðÝóôç åðéôá÷ýíóåéò êáé åðéâñáäýíóåéò êáé åðïìÝíùò âñéóêüôáí óå ìç áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò, ìå áðïôÝëåóìá íá ìçí ìðïñïýìå íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ôïí ôýðï äéáóôïëÞò ôïõ ÷ñüíïõ áíôßóôñïöá áðü ðñéí, ìåôáîý óõóôÞìáôïò Ãçò êáé óõóôÞìáôïò ôïõ äéáóôçìïðëïßïõ. Ôï ðáñÜäïîï ëïéðüí ðñïêýðôåé áðü 1 1 0 99 0 14 2 2 2 − = − ≈ õ c , , Ä xñüíéát d õ c c = = ⋅ ⋅ ≈ 2 2 4 0 99 8 , 260 MHXANIKH
- 277. ôçí åóöáëìÝíç ÷ñÞóçáõôïý ôïõ ôýðïõ. Áðü ôçí Üëëç ðëåõñÜ, ï ÓôáìÜôçò, ðïõ Ýìåéíå óôç Ãç, âñéóêüôáí óå áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò (êáôÜ ðñïóÝããéóç) êáé ùò åê ôïýôïõ óùóôÜ õðïëïãßæåé ôç äéáóôïëÞ ôïõ ÷ñüíïõ. ÐñÝðåé íá äéåõêñéíßóïõìå üôé, ç ÅéäéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò äÝ÷åôáé üôé áêüìç êáé ãéá ñïëüãéá (Þ óùìáôßäéá) ðïõ åðéôá÷ýíïíôáé, Ý÷åé íüçìá ï éäéï÷ñüíïò Þ ÷ñüíïò çñåìßáò Ô. Áõôüò åßíáé áíåîÜñôçôïò ôçò êéíçôéêÞò êáôÜóôáóçò ôïõ ñïëïãéïý. Öáíôáæüìáóôå üôé ÷ùñßæïìå ôï ðåðåñáóìÝíï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá áðü t1 Ýùò t2 , ðïõ ìåôñéÝôáé áðü êÜðïéï áäñáíåéáêü óýóôçìá, óå ðïëý ìéêñÜ äéáóôÞìáôá Äti . Óå êÜèå ôÝôïéï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ç ôá÷ýôçôá ôïõ, ãåíéêþò, åðéôá÷õíüìåíïõ ñïëïãéïý ìðïñåß íá èåùñçèåß óôáèåñÞ, õi . Ôï óôïé÷åéþäåò ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ÄÔi (çñåìßáò) êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ äßíåôáé áðü êáé ï óõíïëéêüò ÷ñüíïò çñåìßáò åßíáé ÁíÜëïãï éó÷ýåé ãéá ôï ìÞêïò, üðïõ áí Ý÷ïõìå êßíçóç ìå åðéôÜ÷õíóç ìðïñïýìå íá ãñÜøïõìå êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ üôé ôï ìÞêïò çñåìßáò, ÄL0 , åßíáé üðïõ ÄLi åßíáé ôï ìÞêïò ðïõ ìåôñéÝôáé áðü áäñáíåéáêü óýóôçìá ùò ðñïò ôï ïðïßï ôï óôïé÷åéþäåò êïììÜôé êéíåßôáé ìå óôéãìéáßá ôá÷ýôçôá õi . Ç → õi Ý÷åé ôçí äéåýèõíóç ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò, äçëáäÞ âñßóêåôáé êáôÜ ìÞêïò ôïõ ÄLi . Ãéá ðåðåñáóìÝíç åõèýãñáììç ñÜâäï ðïõ êéíåßôáé óå åõèåßá ìå ìåôáâëçôÞ ôá÷ýôçôá Ý÷ïõìå êÜèå óôéãìÞ, Ôá õ Þ õi åßíáé ïé ôá÷ýôçôåò ôïõ åðéôá÷õíüìåíïõ (ìç áäñáíåéáêïý) óõóôÞìáôïò Ê ~ ùò ðñïò ôï áäñáíåéáêü Ê. Ôá Äti , ÄLi , L åßíáé ôá “öáéíüìåíá” ìåãÝèç ùò ðñïò ôï Ê. Åäþ äåí Ý÷ïõìå óõììåôñßá ìåôáîý ôùí äýï óõóôçìÜôùí. Äåí ìðïñïýìå äçëáäÞ íá áíôéóôñÝøïìå ôï ñüëï ôùí äýï óõóôçìÜôùí êáé íá èåùñÞóïìå ôá ìåãÝèç çñåìßáò ùò ðñïò ôï Ê êáé áðü áõôÜ íá âñïýìå ðùò èá öáßíïíôáé áðü ôï ìç áäñáíåéáêü óýóôçìá Ê ~. Áõôü åßíáé èÝìá ôçò ÃåíéêÞò Èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò. Ôá áíùôÝñù áíáöÝñïíôáé ùò Õðüèåóç ÌÞêïõò êáé Ñïëïãéïý ôçò ÅéäéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò. Ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß Lorentz ìðïñïýí íá åöáñìüæïíôáé óõììåôñéêÜ ìüíïí üôáí ôá óõóôÞìáôá åßíáé êáé ôá äýï áäñáíåéáêÜ. Ï ÷ñüíïò çñåìßáò L L õ c 0 2 2 1 = − Ä Ä i i L L õ c 0 2 2 1 = − T õ c t= −∑ 1 2 2 i i iÄ Ä i i iT õ c Ät= −1 2 2 ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 261
- 278. êáé ôï ìÞêïòçñåìßáò åßíáé ÷áñáêôçñéóôéêÜ ôïõ óþìáôïò áíåîÜñôçôá ôçò êßíçóÞò ôïõ, äçëáäÞ áíåîÜñôçôá áðü ôçí åðéôÜ÷õíóÞ ôïõ. Óôï óýóôçìá çñåìßáò áíåîÜñôçôá áí åßíáé áäñáíåéáêü Þ ü÷é ï ÷ñüíïò åîåëßóóåôáé ìå ðéï áñãü ñõèìü (ôï ñïëüé ðÜåé ðßóù) óå ó÷Ýóç ìå ôï ÷ñüíï óå ïðïéïäÞðïôå áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò. ÅðïìÝíùò, üôáí åðéóôñÝöåé ï åðéôá÷õíüìåíïò äßäõìïò óôï áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò ôçò Ãçò èá öáßíåôáé íåþôåñïò! Ï ÷ñüíïò çñåìßáò üìùò ôçò óõíïëéêÞò ôïõ æùÞò (÷ñüíïò ìåôáîý ãÝííçóçò êáé èáíÜôïõ) èá åßíáé áõôüò ðïõ åßíáé êáé ãéá ôïí äßäõìï áäåëöü ôïõ (ãéáõôü èåùñÞèçêáí äßäõìïé, þóôå íá åßíáé âéïëïãéêÜ ßäéïé). Ôåëéêþò, äåí èá áéóèÜíåôáé üôé Ýæçóå ðåñéóóüôåñï! Ðïý ôÝôïéá ôý÷ç! Êáé ïé äýï èá áéóèÜíïíôáé (ðåèáßíïíôáò), üôé Ýæçóáí ôï ßäéï. Ôï ìÞêïò çñåìßáò åßíáé ôï ìÝãéóôï óôï óýóôçìá çñåìßáò áíåîÜñôçôá áí áõôü åßíáé áäñáíåéáêü Þ ü÷é. Óôï åðüìåíï åäÜöéï ðåñéãñÜöïõìå Ýíá ðåßñáìá ðïõ áðïôåëåß Üìåóç ðåéñáìáôéêÞ åðáëÞèåõóç ôçò äéáóôïëÞò ôïõ ÷ñüíïõ ìå áëçèéíÜ ñïëüãéá êáé åðßóçò äåß÷íåé üôé äåí õðÜñ÷åé “ðáñÜäïîï ñïëïãéþí” Þ äéäýìùí. Ï ÃÕÑÏÓ ÔÏÕ ÊÏÓÌÏÕ ÌÅ ÁÔÏÌÉÊÁ ÑÏËÏÃÉÁ Óå ôá÷ýôçôåò ôçò êáèçìåñéíÞò ìáò åìðåéñßáò, ôï öáéíüìåíï ôçò äéáóôïëÞò ôïõ ÷ñüíïõ åßíáé åîáéñåôéêÜ ìéêñü, ôçò ôÜîçò ôùí ns, (10−9 s). Ðáñ’ üëá áõôÜ, ç áíß÷íåõóç ôüóï ìéêñþí ìåôáâïëþí âñßóêåôáé ìÝóá óôéò éêáíüôçôåò ôùí óýã÷ñïíùí áôïìéêþí ñïëïãéþí êáéóßïõ. Óå ðåéñÜìáôá ðïõ Ýãéíáí ôï 1971, ïé åðéóôÞìïíåò ôïõ National Bureau of Standards, Hafele êáé Keating, Ýðáéñíáí ìáæß ôïõò áôïìéêÜ ñïëüãéá êáéóßïõ ìÝóá óå åðéâáôéêÜ áåñéùèïýìåíá áåñïðëÜíá, ôá ïðïßá åêôåëïýóáí ôéò êáíïíéêÝò ôïõò ðôÞóåéò êÜíïíôáò ôïí êýêëï ôçò Ãçò äýï öïñÝò. Ôç ìéá öïñÜ, êéíïýìåíá ðñïò ôç Äýóç êáé ôçí Üëëç ðñïò ôçí ÁíáôïëÞ. Ôá ñïëüãéá ôá óýãêñéíáí ìå Üëëá ðáíïìïéüôõðÜ ôïõò, ðïõ ðáñÝìåíáí óôï Ýäáöïò. Ãéá íá ãßíåé ç óýãêñéóç áõôÞ Ýëáâáí õðüøç ôéò åðéôá÷ýíóåéò ôùí áåñïðëÜíùí (óýìöùíá ìå ôçí õðüèåóç ôùí ñïëïãéþí) êáé üôé ôá éðôÜìåíá ñïëüãéá âñßóêïíôáé óå ðåñéï÷Ýò ìéêñüôåñçò Ýíôáóçò âáñýôçôáò óå ó÷Ýóç ìå ôá ñïëüãéá ôïõ åäÜöïõò. (ÃåíéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò). Ôá áðïôåëÝóìáôá ôïõ ðåéñÜìáôïò, üðùò áíáöÝñïõí óôç ó÷åôéêÞ åñãáóßá åßíáé üôé, “... ôá éðôÜìåíá ñïëüãéá óõãêñéíüìåíá ðñïò åêåßíá ðïõ Ýìåéíáí óôç Ãç, Ý÷áóáí (59 ± 10) × 10−9 s êáôÜ ôï ôáîßäé ðñïò áíáôïëÜò êáé êÝñäéóáí (273 ± 7) × 10−9 s êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôïõ ôáîéäéïý ðñïò äõóìÜò...”. ÏõóéáóôéêÜ ôï ðåßñáìá Ýäùóå ôçí áðÜíôçóç ðïõ ðåñéìÝíáìå óýìöùíá ìå üóá åßðáìå óôï ðñïçãïýìåíï åäÜöéï ãéá ôï öáéíüìåíï ôùí äéäýìùí, Ýäåéîå üôé äåí õðÜñ÷åé ðáñÜäïîï. ¸äåéîå, äçëáäÞ, ôç äéáóôïëÞ ôïõ ÷ñüíïõ êáé üôé õðÜñ÷åé áóõììåôñßá áí ôï Ýíá áðü ôá äýï óõóôÞìáôá äåí åßíáé áäñáíåéáêü. ÖõóéêÜ ìÝôñçóå Üìåóá, ìå ðñáãìáôéêÜ ñïëüãéá, ôç äéáóôïëÞ ôïõ ÷ñüíïõ. 262 MHXANIKH
- 279. ÓÔÏÉ×ÅÉÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÈÅÙÑÉÁÓÔÇÓ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ ÔÑÉÁ ÅÉÄÇ ÌÁÆÁÓ ÌÝóá óôá ðëáßóéá ôçò ìç÷áíéêÞò ôïõ Íåýôùíá, ìéá äýíáìç → F åðéôá÷ýíåé Ýíá óùìÜôéï ìå åðéôÜ÷õíóç ðïõ äßíåôáé áðü ôïí èåìåëéþäç íüìï ôçò Ìç÷áíéêÞò → F = má → á Ç ìÜæá má ëÝãåôáé áäñáíåéáêÞ ìÜæá êáé åßíáé ÷áñáêôçñéóôéêÞ óôáèåñÜ ôïõ óþìáôïò ðïõ åðéôá÷ýíåôáé. Ç äýíáìç ðïõ áóêåß ç âáñýôçôá (ð.÷. ç Ãç) ðÜíù óôï ßäéï óùìÜôéï éóïýôáé ìå: → B = mð â . → g (4.128) ¼ðïõ, → g åßíáé ç Ýíôáóç ôïõ ðåäßïõ âáñýôçôáò êáé mðâ åßíáé ç ðáèçôéêÞ âáñõôéêÞ ìÜæá ôïõ óùìáôßïõ ðïõ êáé áõôÞ ç öõóéêÞ ðïóüôçôá åßíáé ìßá óôáèåñÜ ðïõ ÷áñáêôçñßæåé ôï óùìÜôéï. Ôï ßäéï óùìÜôéï äçìéïõñãåß ãýñù ôïõ âáñõôéêü ðåäßï Ýíôáóçò üðïõ G ç óôáèåñÜ ôçò ðáãêüóìéáò Ýëîçò, r ç áðüóôáóç áðü ôï óùìÜôéï êáé måâ ç åíåñãçôéêÞ âáñõôéêÞ ìÜæá, ìßá Üëëç óôáèåñÜ ðïõ ÷áñáêôçñßæåé ôï óùìÜôéï. Åßíáé åõíüçôï üôé, áöïý éó÷ýåé ç áñ÷Þ äñÜóçò áíôßäñáóçò èá Ý÷ïõìå (4.129) Áí ðÜñïõìå ùò ìïíÜäá ìÝôñçóçò ôçò ðáèçôéêÞò âáñõôéêÞò ìÜæáò ôçí m1ðâ êáé ôçí m1åâ ùò ìïíÜäá ôçò åíåñãçôéêÞò âáñõôéêÞò ìÜæáò, ôüôåáöïý r12 = r21 Ýðåôáé üôé, m2åâ = m2ðâ êáé ðñïöáíþò ãéá êÜèå ìÜæá èá Ý÷ïõìå måâ = mðâ = mâ . Ìðïñïýìå äçëáäÞ íá ðïýìå üôé õðÜñ÷åé ìüíï ìéá âáñõôéêÞ ìÜæá mâ , ðïõ õðåéóÝñ÷åôáé óôá öáéíüìåíá ôùí âáñõôéêþí áëëçëåðéäñÜóåùí. ¢ñá êáôáëÞîáìå óå äýï åßäç ìÜæáò ôçí áäñáíåéáêÞ, ðïõ ó÷åôßæåôáé ìå ôçí åðéôÜ÷õíóç, ðïõ áðïêôÜ êÜðïéï óùìÜôéï õðü ôçí åðßäñáóç ïðïéáóäÞðïôå ìïñöÞò äýíáìçò êáé ôç âáñõôéêÞ ìÜæá, ðïõ ó÷åôßæåôáé ìå ôç âáñõôéêÞ áëëçëåðßäñáóç. ÅËÅÕÈÅÑÇ ÐÔÙÓÇ Áí Ýíá óþìá “ðÝöôåé”, äçëáäÞ êéíåßôáé ìüíï, õðü ôçí åðßäñáóç ôçò âáñýôçôáò, ôüôå ìðïñïýìå íá ãñÜøïõìå üôé, má → áâ = mðâ → g üðïõ → áâ ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò.¸÷ïõìå åðïìÝíùò (4.130) Áðü ôá ÷ñüíéá ôïõ Ãáëéëáßïõ Þôáí ãíùóôü (ìå ôçí áêñßâåéá ôùí ìåôñÞóåùí ôçò åðï÷Þò åêåßíçò) üôé ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ ïöåßëåôáé óôç âáñýôçôá åßíáé áíåîÜñôçôç áðü ôï óþìá ðïõ Ýëêåôáé. Áõôü óçìáßíåé üôé ôï ðçëßêï mðâ /má aâ ðâ á → → = m m g G m m r G m m r 1 2 12 2 2 21 2 1ðâ â ðâ âå å = G m r å â 2 ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 263
- 280. åßíáé ôï ßäéïãéá üëá ôá óþìáôá. Óôçí ðñÜîç, áõôü ðïõ Ý÷åé ãßíåé åßíáé üôé, ïñßæïõìå ôéò ìïíÜäåò ôùí ìáæþí Ýôóé ðïõ ôï ðçëßêï áõôü íá åßíáé ï êáèáñüò áñéèìüò 1, Üñá mðâ = má êáé áöïý mðâ = måâ = mâ ðñïöáíþò Ý÷ïõìå ìéá ìüíï ìÜæá m ðïõ åßíáé ç ìÜæá ôïõ óþìáôïò. Ç éóüôçôá âáñõôéêÞò êáé áäñáíåéáêÞò ìÜæáò áðïôåëåß ìéá äéáôýðùóç ôçò áñ÷Þò ôçò éóïäõíáìßáò. Ç áñ÷Þ ôçò éóïäõíáìßáò äéáôõðþíåôáé êáé ùò åîÞò: Ç êßíçóç óþìáôïò ðïõ åêôåëåß åëåýèåñç ðôþóç óå ðåäßï âáñýôçôáò (÷ùñßò Üëëïõ åßäïõò äýíáìç) åßíáé áíåîÜñôçôç áðü ôç ìÜæá ôïõ. Åýêïëá ìðïñåß íá äåé êÜðïéïò üôé äåí éó÷ýåé êÜôé ôÝôïéï ãéá óþìáôá ðïõ êéíïýíôáé õðü ôçí åðßäñáóç Üëëùí äõíÜìåùí, üðùò ð.÷. ïé çëåêôñéêÝò. ÐñÜãìáôé ôï ðçëßêïí q/m äåí åßíáé ôï ßäéï ãéá üëá ôá óþìáôá, ð.÷ ãéá ïõäÝôåñá óþìáôá åßíáé ìçäÝí, Üñá äåí áðïêôïýí ôçí ßäéá åðéôÜ÷õíóç üëá ôá óþìáôá ìÝóá óôï ßäéï çëåêôñéêü ðåäßï Ýíôáóçò → Å. ÁÄÑÁÍÅÉÁÊÅÓ ÄÕÍÁÌÅÉÓ ÊÁÉ ÄÕÍÁÌÅÉÓ ÂÁÑÕÔÇÔÁÓ ÎÝñïõìå Þäç üôé, ïé íüìïé êßíçóçò ôïõ Íåýôùíá (1ïò êáé 2ïò) äåí éó÷ýïõí ãéá ìç áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. Ìðïñïýìå üìùò íá äþóïõìå ìéá ôõðéêÜ üìïéá ìïñöÞ ìå áõôÞ ôùí áäñáíåéáêþí óõóôçìÜôùí óôïõò íüìïõò êßíçóçò ùò ðñïò ìÞ áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá, áí åéóáãÜãïõìå ôéò ëåãüìåíåò áäñáíåéáêÝò äõíÜìåéò. Áí õðïèÝóïõìå üôé ðåñéïñéæüìáóôå óå óýóôçìá ìç áäñáíåéáêü, ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç ùò ðñïò áäñáíåéáêü óýóôçìá, ôüôå ç ëåãüìåíç “áðüëõôç” åðéôÜ÷õíóç → áá (ùò ðñïò ôï áäñáíåéáêü óýóôçìá) → áá = → áó + → áåá , üðïõ → áó åßíáé ç ëåãüìåíç “ó÷åôéêÞ” åðéôÜ÷õíóç (åðéôÜ÷õíóç ùò ðñïò ôï ìç áäñáíåéáêü óýóôçìá) êáé → áå á ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ ìç áäñáíåéáêïý óõóôÞìáôïò (åðéôá÷õíüìåíï óýóôçìá) ùò ðñïò ôï áäñáíåéáêü. Éó÷ýåé ï 2ïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá ùò ðñïò ôï áäñáíåéáêü óýóôçìá, ïðüôå áí óå êÜðïéï óùìÜôéï ìÜæáò m äñá ç ðñáãìáôéêÞ äýíáìç → F ôüôå, m → áá = → F Þ m ( → áó + → áåá) = → F (4.131) Üñá m → áó = → F − m → áåá ÄçëáäÞ ç êßíçóç ùò ðñïò ôï ìç áäñáíåéáêü óýóôçìá ðïõ êáèïñßæåôáé áðü ôç ó÷åôéêÞ åðéôÜ÷õíóç → áó ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé ïöåßëåôáé óôçí ðñáãìáôéêÞ äýíáìç → F (ðïõ áóêåßôáé áðü êÜðïéï Üëëï óþìá) êáé óôç øåõäïäýíáìç (áäñáíåéáêÞ äýíáìç Þ äýíáìç D’ Alembert) − m → áåá ðïõ ïöåßëåôáé óôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ ìç áäñáíåéáêïý óõóôÞìáôïò ùò ðñïò ôï áäñáíåéáêü êáé äåí áóêåßôáé áðü êáíÝíá Üëëï óþìá. ÁíÜëïãá éó÷ýïõí áí äå÷ôïýìå üôé Ýíá óùìÜôéï âñßóêåôáé ðÜíù óå óôñåöüìåíï óýóôçìá ìå óôáèåñÞ ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá êáé óõìðáñáóýñåôáé ìå áõôü (äåí Ý÷åé ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá). Ôüôå ç áäñáíåéáêÞ äýíáìç Ý÷åé ôéìÞ mù2 r êáé êáôåõèýíåôáé ðñïò ôá Ýîù ãé’ áõôü ëÝãåôáé êáé öõãüêåíôñïò. ÁõôÝò ïé øåõäïäõíÜìåéò åßíáé áíÜëïãåò ôçò ìÜæáò ôïõ óùìáôßïõ. Áõôü a F E → → → = = m q m → F = q → E êáé 264 MHXANIKH Á÷éëëÝáò ÐáðáðÝôñïõ ÃåííÞèçêå óôçí ÇñÜêëåéá Óåññþí ôï 1907 êáé ðÝèáíå óôï Ðáñßóé ôï 1997. Óðïýäáóå Ìç÷áíïëüãïò-Çëåêôñïëüãïò óôï ÅÌÐïëõôå÷íåßï êáé ìåôÜ Ýêáíå Äéäáêôïñéêü óôï ÐáíåðéóôÞìéï ôçò ÓôïõôãêÜñäçò, óôçí ÅéäéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò. ‘Eãéíå ÊáèçãçôÞò ÖõóéêÞò óôï ÅÌÐïëõôå÷íåßï ôï 1940. Óõììåôåß÷å êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò êáôï÷Þò óôçí ÅèíéêÞ Áíôßóôáóç. Ãéá ëüãïõò ó÷åôéêïýò ìå ôéò ðïëéôéêÝò ôïõ áðüøåéò åêäéþèçêå áðü ôç èÝóç ôïõ ôï 1945. Ôï 1946 ï Erwin Schroedinger ôïí ðÞñå óôï Éíóôéôïýôï Ðñï÷ùñçìÝíùí Åñåõíþí ôïõ Äïõâëßíïõ. Ôï 1948 ðÞãå óôï ÐáíåðéóôÞìéï ôïõ Manchester üðïõ Üñ÷éóå íá åñãÜæåôáé óå èÝìáôá ôçò ÃåíéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò. Ôï 1952 ðÞãå óôï Áíáôïëéêü Âåñïëßíï üðïõ ïñãÜíùóå åñåõíçôéêÞ ïìÜäá ìå áíôéêåßìåíï ôç Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò. ÐÞãå óôï Ðáñßóé ôï 1962 êáé åñãÜóôçêå ìÝ÷ñé ôï èÜíáôü ôïõ ùò ÅñåõíçôÞò óôï Åèíéêü ÊÝíôñï Åðéóôçìïíéêþí Åñåõíþí (CNRS). Ôï 1975 Ýãéíå êáé ÄéåõèõíôÞò ôïõ Åñãáóôçñßïõ ÈåùñçôéêÞò ÖõóéêÞò óôï Éíóôéôïýôï Henri Poincaré. Ïé åñãáóßåò ôïõ åßíáé ðïëëÝò êáé ïé êõñéüôåñåò ó÷åôßæïíôáé ìå ôç ÃåíéêÞ Ó÷åôéêüôçôá. Áó÷ïëÞèçêå ìå ôéò åîéóþóåéò êßíçóçò óôç ÃåíéêÞ Ó÷åôéêüôçôá, êßíçóç äïêéìáóôéêþí óùìáôéäßùí ìå óðéí êáé êñïõóôéêÜ âáñõôéêÜ êáé åëáóôéêÜ êýìáôá êáé áîéïðïßçóÞ ôïõò óå áíé÷íåõôÝò âáñõôéêþí êõìÜôùí. ¸÷åé ãñÜøåé äõï ðïëý ãíùóôá âéâëßá, “ÅéäéêÞ Ó÷åôéêüôçôá” (ÃåñìáíéêÜ, 1967) êáé “ÌáèÞìáôá ÃåíéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò” (ÁããëéêÜ, 1974). ¹ôáí åîáéñåôéêüò óôçí áðëïðïßçóç äýóêïëùí åííïéþí êáé ðïëý êáëüò ìå ôïõò íÝïõò óõíåñãÜôåò ôïõ êáé ìáèçôÝò ôïõ.
- 281. åßíáé áíÜëïãï ìåôï ôé óõìâáßíåé ìå ôéò âáñõôéêÝò äõíÜìåéò. Ç êßíçóç åðïìÝíùò óþìáôïò ùò ðñïò ìç áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò, õðü ôçí åðßäñáóç ìüíï áäñáíåéáêþí äõíÜìåùí, åßíáé áíåîÜñôçôç áðü ôç ìÜæá ôïõ. Áõôü ôï ßäéï éó÷ýåé êáé ãéá ôçí åëåýèåñç ðôþóç óùìÜôùí ìÝóá óå ðåäßï âáñýôçôáò. Îåêéíþíôáò áðü áõôü, ï ÁúíóôÜéí äéáôýðùóå ôçí áñ÷Þ ôçò éóïäõíáìßáò ùò åîÞò: Tï áðïôÝëåóìá ïìïãåíïýò âáñõôéêïý ðåäßïõ åßíáé éóïäýíáìï ìå áõôü ðïõ ðáñáôçñåßôáé óå óýóôçìá áíáöïñÜò, ðïõ åðéôá÷ýíåôáé ïìïéüìïñöá óå êáôåýèõíóç áíôßèåôç áõôÞò ôïõ âáñõôéêïý ðåäßïõ êáé âñßóêåôáé óå ÷þñï åêôüò ðåäßïõ. Äåí åßíáé äõíáôüí äçëáäÞ , óå ðåñéï÷Ýò áñêåôÜ ìéêñÝò (ôïðéêÜ), üðïõ ôï âáñõôéêü ðåäßï åßíáé ðåñßðïõ ïìïãåíÝò, íá îå÷ùñßóïõìå ôéò âáñõôéêÝò áðü ôéò áäñáíåéáêÝò äõíÜìåéò. ÕðÜñ÷åé âÝâáéá äéáöïñÜ óå ìåãÜëç Ýêôáóç (ü÷é ôïðéêÜ), äéüôé ôï âáñõôéêü ðåäßï ìéêñáßíåé üóï ìåãáëþíåé ç áðüóôáóç áðü ôï óþìá ðïõ ôï ðñïêáëåß, óå áíôßèåóç ìå ôéò áäñáíåéáêÝò äõíÜìåéò ðïõ ìðïñåß íá õðÜñ÷ïõí êáé óôï Üðåéñï êáé ìÜëéóôá íá áðåéñßæïíôáé (ð.÷. öõãüêåíôñåò äõíÜìåéò). ÐáñÜäåéãìá 4-44 ¢íèñùðïò âñßóêåôáé ìÝóá óå Ýíá êïõôß (ð.÷. áíåëêõóôÞñáò), ôï ïðïßï ðÝöôåé åëåýèåñá ìÝóá óôï ðåäßï âáñýôçôáò ôçò Ãçò, ìå åðéôÜ÷õíóç → g. Íá ãßíåé ðåñéãñáöÞ ôùí öáéíïìÝíùí ùò ðñïò ôï åðéôá÷õíüìåíï óýóôçìá ôïõ áíåëêõóôÞñá êßíçóçò óùìÜôùí. ÁðÜíôçóç Ôï åðéôá÷õíüìåíï óýóôçìá ìÝóá óôï ðåäßï âáñýôçôáò åßíáé óáí áäñáíåéáêü óýóôçìá. Áõôü ïöåßëåôáé óôï üôé, óýìöùíá ìå ôçí áñ÷Þ éóïäõíáìßáò ôïõ ÁúíóôÜéí, ç “áäñáíåéáêÞ” Ýíôáóç ðåäßïõ − → g “åîïõäåôåñþíåé” ôçí ðñáãìáôéêÞ Ýíôáóç ôïõ âáñõôéêïý ðåäßïõ → g, êáé ôá óþìáôá åßíáé óáí íá ìçí õößóôáíôáé äõíÜìåéò ìÝóá óôïí áíåëêõóôÞñá. Áí áóêçèåß óå êÜðïéï óþìá, ðñáãìáôéêÞ äýíáìç → F ôüôå èá éó÷ýåé ãéá ôï åðéôá÷õíüìåíï áõôü óýóôçìá, → F = m → áó, (üðïõ → áó ç ó÷åôéêÞ åðéôÜ÷õíóç ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ áíåëêõóôÞñá. Áí äåí áóêåßôáé äýíáìç ôüôå ôï óþìá èá åßíáé áêßíçôï Þ èá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá ùò ðñïò ôïí áíåëêõóôÞñá. ¼ëá áõôÜ éó÷ýïõí åöüóïí ïé äéáóôÜóåéò ôïõ áíåëêõóôÞñá åßíáé áñêïýíôùò ìéêñÝò, þóôå ôï «ðñáãìáôéêü» ðåäßï (âáñýôçôáò) íá åßíáé ðáíôïý ßäéï (ïìïãåíÝò ðåäßï). ÁíÜëïãá éó÷ýïõí ãéá áóôñïíáýôåò, ðïõ âñßóêïíôáé óå äéáóôçìüðëïéï (ïé äéáóôÜóåéò ôïõ åßíáé ìéêñÝò) ðïõ ðåñéöÝñåôáé ãýñù áðü ôç Ãç. Åßíáé åíôõðùóéáêÜ ôá ðåéñÜìáôá ðïõ êÜíïõí êáé Ý÷ïõí ðáñïõóéáóôåß óôçí ôçëåüñáóç, üðïõ åßíáé óáí íá “ðåôïýí” ïé ßäéïé ìÝóá óôï äéáóôçìüðëïéï êáé “ðåôÜåé” êáé üôé áíôéêåßìåíï áöÞóïõí! ÐáñÜäåéãìá 4-45 Öáíôáóôåßôå äéáóôçìüðëïéï ðïõ âñßóêåôáé ðïëý ìáêñéÜ áðü ïõñÜíéá óþìáôá, þóôå ïé (ðñáãìáôéêÝò) âáñõôéêÝò äõíÜìåéò ðïõ áóêïýíôáé óôçí ðå- ñéï÷Þ åêåßíç, íá åßíáé ðñáêôéêÜ ìçäÝí. Ôß ðñÝðåé íá óõìâåß þóôå ïé áóôñïíáýôåò íá áéóèÜíïíôáé üðùò óôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò; ÁðÜíôçóç Åßíáé áõôïíüçôï üôé, áí ôï äéáóôçìüðëïéï êéíåßôáé ìå åðéôÜ÷õíóç ßóç ìå ôçí åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò óôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò (≈ 10 m/s2 ) ìå ôç âïÞèåéá ðõñáýëùí (ìå êáôåýèõíóç êÜèåôá áðü ôï “äÜðåäï” ôïõ ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 265
- 282. äéáóôçìüðëïéïõ ðñïò ôá“Ýîù” ôïõ äáðÝäïõ), ôüôå ïé áóôñïíáýôåò èá íéþèïõí óáí íá âñßóêïíôáé ìÝóá óôï ðåäßï âáñýôçôáò ôçò åðéöÜíåéáò ôçò Ãçò. ÄçëáäÞ èá ðåñðáôïýí êáíïíéêÜ óôï “äÜðåäï” ôïõ äéáóôçìüðëïéïõ êáé üôáí áöÞíïõí áíôéêåßìåíá, áõôÜ èá ðÝöôïõí ìå åðéôÜ÷õíóç 10 m/s2 ðñïò ôï äÜðåäï. ÃÅÍÉÊÇ ÈÅÙÑÉÁ ÔÇÓ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ Ç ÃåíéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò âáóßóôçêå óôçí áäõíáìßá ôùí ôüôå èåùñéþí íá åîçãÞóïõí ôçí éóüôçôá “ìÜæáò áäñÜíåéáò” êáé “ìÜæáò âáñýôçôáò”. Åðßóçò, óôçí åðéèõìßá íá ðåñéãñáöïýí ïé íüìïé ôçò öýóçò ùò ðñïò ïðïéïäÞðïôå óýóôçìá áíáöïñÜò áíåîÜñôçôá áí áõôü åßíáé áäñáíåéáêü Þ ìç áäñáíåéáêü êáé óôï íá ãñáöïýí ïé íüìïé ôçò öýóçò êáôÜ ôñüðï áíáëëïßùôï ùò ðñïò ïðïéïäÞðïôå óýóôçìá áíáöïñÜò. Äåí ìðïñïýìå íá áíáðôýîïõìå åäþ ôçí ÃåíéêÞ Ó÷åôéêüôçôá, áðëÜ áíáöÝñïõìå üôé üóïí áöïñÜ óôç âáñýôçôá áõôÞ ðñïêýðôåé óôç ÃåíéêÞ Èåùñßá ùò áðïôÝëåóìá ôçò “êáìðýëùóçò” ôïõ ÷ùñï÷ñüíïõ. Ôï ó÷Þìá 4.126 åßíáé ìßá 266 MHXANIKH Ó×ÇÌÁ 4.126 Ìéá äéóäéÜóôáôç áíáðáñÜóôáóç åíüò êáìðýëïõ ÷þñïõ. Ôï öùò åíüò ìáêñõíïý áóôÝñá (óõíå÷Þò ãñáììÞ) áêïëïõèåß ôçí ðáñáìïñöùìÝíç åðéöÜíåéá ãéá íá öôÜóåé óôç Ãç. Ç äéáêïðôüìåíç ãñáììÞ äåß÷íåé ôçí êáôåýèõíóç áðü ôçí ïðïßá öáßíåôáé óáí íá ðñïÝñ÷åôáé ôï öùò. ÁíÜëïãç êáìðýëç ôñï÷éÜ áêïëïõèåß êáé óùìÜôéï ìå ìÜæá.
- 283. “áíáðáñÜóôáóç” ôïõ öáéíïìÝíïõáõôïý. ¸÷ïõìå äçëáäÞ ÷ùñï÷ñüíï ðïõ äåí åßíáé Åõêëåßäéïò, äåí åßíáé åðßðåäïò, áëëÜ êáìðýëïò. Ç êßíçóç åîáñôÜôáé áðü ôçí ðáñáìüñöùóç ôïõ ÷ùñü÷ñïíïõ. ÊáôÜ ðñïóÝããéóç, áí Ýíá áêßíçôï õëéêü óçìåßï ìåãÜëçò ìÜæáò äçìéïõñãåß âáñõôéêü ðåäßï ìÝóá óôï ïðïßï êéíåßôáé Üëëï õëéêü óçìåßï ðïõ Ý÷åé ó÷åôéêéóôéêÞ åíÝñãåéá ðïëý ìéêñüôåñç áðü ôçí åíÝñãåéá çñåìßáò ôïõ áêßíçôïõ õëéêïý óçìåßïõ, ôüôå åßíáé äõíáôüí íá ÷ñçóéìïðïéçèåß ï ãíùóôüò äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá ðïõ óõíäÝåé ôç äýíáìç ìå ôï ñõèìü ìåôáâïëÞò ôçò ó÷åôéêéóôéêÞò ïñìÞò * . Óå áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç ç ó÷Ýóç ãéá ôç äýíáìç ðïõ áóêåß ôï ðïëý ìåãÜëï óùìÜôéï ìÜæáò Ì, óôï Üëëï óùìÜôéï ìÜæáò m åßíáé (4.132) r åßíáé ç áðüóôáóç ìåôáîý ôùí äýï óùìáôßùí, → er ôï ìïíáäéáßï äéÜíõóìá óôçí åõèåßá ôùí äýï óùìáôßùí áðü ôç ìåãÜëç ìÜæá ðñïò ôçí ìéêñÞ ìÜæá. ÂëÝðïõìå üôé ç → F äåí Ý÷åé ôç äéåýèõíóç ôçò → er êáé üôé óôç ó÷Ýóç äåí õðåéóÝñ÷åôáé áðëþò ç (ó÷åôéóôéêÞ) åíÝñãåéá Å ôïõ óùìáôßïõ ìÜæáò (çñåìßáò) m, áëëÜ êáé ç ôá÷ýôçôá, Þ ìðïñåß íá ìðåé ç ó÷åôéóôéêÞ ïñìÞ áöïý Äåí ìðïñåß åðïìÝíùò íá ëÝìå, ãåíéêþò, üôé ç åíÝñãåéá Å õößóôáôáé äýíáìç ðïõ áíôéóôïé÷åß óå ìÜæá ßóç ìå Ìðïñïýìå åýêïëá íá äéáðéóôþóïõìå üôé áí ôï → â åßíáé ðáñÜëëçëï ðñïò ôï → er ôüôå ç äýíáìç Ý÷åé ôïí ðáñÜãïíôá , áí ôï → â åßíáé êÜèåôï óôï → er ôüôå, ç äýíáìç Ý÷åé ôïí ðáñÜãïíôá . Óáí íá Ý÷ïõìå äçëáäÞ äýï äéáöï- ñåôéêÝò ìÜæåò! Áí åß÷áìå öùôüíéï (â = 1) ôüôå ç ìßá “ìÜæá” èá Þôáí äéðëÜóéá ôçò Üëëçò. Áõôü åßíáé ìßá áðü ôéò áéôßåò ðïõ áðïöåýãïõìå ôïõò üñïõò ìÜæá çñåìßáò êáé ó÷åôéóôéêÞ ìÜæá. Ç ÃåíéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò ðñïâëÝðåé äéÜöïñá öáéíüìåíá ðïõ Ý÷ïõí åðáëçèåõôåß. ¸íá áðü áõôÜ åßíáé ç êáìðýëùóç ôïõ öùôüò áðü ôç âáñýôçôá. ¸íá Üëëï åßíáé ç ìåôáâïëÞ ôçò óõ÷íüôçôáò ôïõ öùôüò áíÜëïãá ìå ôï âáñõôéêü ðåäßï óôï ïðïßï âñßóêåôáé. Áõôü ëÝãåôáé óõíÞèùò âáñõôéêÞ åñõèñÞ ìåôáôüðéóç ðáñüëï ðïõ èåùñçôéêÜ ç ìåôáôüðéóç ìðïñåß íá åßíáé êáé ðñïò ôï ãáëÜæéï. ¢ëëç ðñüâëåøç åßíáé ç ìåôÜðôùóç ôïõ ðåñéÞëéïõ ôïõ ðëáíÞôç ÅñìÞ, ï ïðïßïò Ý÷åé ôñï÷éÜ ìå ôç ìåãáëýôåñç åêêåíôñüôçôá áðü ôïõò Üëëïõò ðëáíÞôåò êáé áõôü, êÜíåé áõôü ôï öáéíüìåíï Ýíôïíï êáé ìðïñåß íá ðáñáôçñçèåß. ¢ëëï öáéíüìåíï åßíáé ç ÷ñïíéêÞ êáèõóôÝñçóç çëåêôñïìáãíçôéêþí Å c â 2 2 1 +e j E c 2 E c 2 â p c E → → = E mc â êáé â õ c = − = → → 2 2 1 F GM E c e â â â e r r r → → → → → = − + − ⋅ L NM O QP2 2 2 1( ) ( ) ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 267 * Lev B. Okun PHYSICS TODAY June 1989, pages 31-36.
- 284. êõìÜôùí ðïõ äéÝñ÷ïíôáéìÝóá áðü ðåäßï âáñýôçôáò, ðïõ áðïäßäåôáé óôçí ìåßùóç ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò üôáí äéÝñ÷åôáé ìÝóá áðü âáñõôéêÜ ðåäßá. ÁõôÜ üëá Ý÷ïõí åðáëçèåõôåß. Åðßóçò ðñïâëÝðåôáé ç ýðáñîç Ìáýñùí Ïðþí êáé õðÜñ÷ïõí áóôñïíïìéêÝò åíäåßîåéò ãéá áõôü. Áêüìç ðñïâëÝðåôáé ç ýðáñîç âáñõôéêþí êõìÜôùí êáé Ý÷ïõìå áóôñïíïìéêÝò åíäåßîåéò ãéá ôçí ýðáñîÞ ôïõò. ÐáñÜäåéãìá 4-46 Êáìðýëùóç ôïõ öùôüò áðü ôç âáñýôçôá. Ç ÃåíéêÞ èåùñßá ðñïâëÝðåé êÜôé ôÝôïéï áöïý ôá öùôüíéá åßíáé ìåí óùìáôßäéá ÷ùñßò ìÜæá áëëÜ ìå åíÝñãåéá êáé ïñìÞ êáé ç êßíçóÞ ôïõò ðåñéãñÜöåôáé áðü ôéò åîéóþóåéò êßíçóçò ôçò ÃåíéêÞò Èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò. Áõôü öáßíåôáé óôï ó÷Þìá 4.126. ÊáôÜëëçëç åöáñìïãÞ ôçò ó÷Ýóçò ãéá ôç äýíáìç óôá ðëáßóéá ôçò ÃåíéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò ãéá áóèåíÞ ðåäßá äßíåé ôï óùóôü áðïôÝëåóìá. Ìðïñåß êÜðïéïò íá êáôáíïÞóåé ôï áðïôÝëåóìá ìüíï ðïéïôéêÜ áí åöáñìüóåé ôçí áñ÷Þ ôçò éóïäõíáìßáò ãéá ïìïãåíÝò âáñõôéêü ðåäßï. Èá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ôï ðáñÜäåéãìá ôïõ áíåëêõóôÞñá (Ó÷. 4.127) ðïõ ðÝöôåé åëåýèåñá, ãéá íá ìåëåôÞóïõìå ôçí åðßäñáóç ôçò âáñýôçôáò óôï öùò. Óå Ýíá ôïß÷ùìá ôçò êáìðßíáò ôïõ áíåëêõóôÞñá Ý÷ïõìå áíïßîåé ìßá ìéêñÞ ôñýðá ãéá íá ìðïñåß íá ðåñíÜ ìéá ëåðôÞ öùôåéíÞ äÝóìç êáé Ý÷ïõìå åðéíïÞóåé êáôÜëëçëç äéÜôáîç, Ýôóé ðïõ ç äÝóìç íá êÜíåé íá öùóöïñßæïõí ôá óçìåßá áðü ôá ïðïßá ðåñíÜ ðÜíù óå ðÝôáóìá êÜèåôï ðñïò ôï ôïß÷ùìá áõôü. Ôï ðÝôáóìá åßíáé êáôáêüñõöï. Ôç óôéãìÞ ðïõ áñ÷ßæåé ç ðôþóç ôïõ áíåëêõóôÞñá ìßá öùôåéíÞ äÝóìç åéóÝñ÷åôáé óôçí êáìðßíá. Ôï öùò êáìðõëþíåôáé ðñïò ôá ðÜíù áêïëïõèþíôáò ðáñáâïëéêÞ ôñï÷éÜ. Áõôü ïöåßëåôáé óôï åîÞò: Åöüóïí ôï öùò êéíåßôáé ìå (ïñéæüíôéá) ôá÷ýôçôá c èá äéáíýóåé ïñéæüíéá áðüóôáóç l óå ÷ñüíï l/c ôüôå üìùò ï áíåëêõóôÞñáò èá Ý÷åé ðÝóåé êáôÜ Ôé èá óõìâåß áí ï áíåëêõóôÞñáò åßíáé áêßíçôïò ìÝóá óå ðåäßï âáñýôçôáò; ÁðÜíôçóç Óýìöùíá ìå ôçí áñ÷Þ ôçò éóïäõíáìßáò, áí ï áíåëêõóôÞñáò Þôáí áêßíçôïò ìÝóá óôï ßäéï ðåäßï âáñýôçôáò áõôü åßíáé éóïäýíáìï ìå ôçí ðñïçãïýìåíç ðåñßðôùóç ôçò åëåýèåñçò ðôþóçò, Üñá ôï öùò ðñÝðåé íá êáìðõëþíåôáé üðùò êáé ðñéí. Ðáñüëï ðïõ ç ãåíéêÞ ó÷åôéêüôçôá äßíåé ëßãï äéáöïñåôéêü áðïôÝëåóìá, ãéá ëüãïõò ðïõ äåí ìðïñïýìå íá åîçãÞóïõìå áðëïúêÜ, ôï áðëü áðïôÝëåóìá åßíáé ðñïò ôç óùóôÞ êáôåýèõíóç. ÐáñÜäåéãìá 4-47 ÅñõèñÞ ìåôáôüðéóç Ýíåêá âáñýôçôáò. Áò öáíôáóôïýìå üôé Ý÷ïõìå Ýíá êïõôß üðùò óôï ó÷Þìá 4.128 åêôüò ðåäßïõ âáñýôçôáò. Óôï äÜðåäï õðÜñ÷åé ìßá ìïíï÷ñùìáôéêÞ ðçãÞ öùôüò êáé áêñéâþò áðü ðÜíù Ýíáò áíé÷íåõôÞò öùôüò. ¸óôù üôé ç ðçãÞ Ý÷åé ôá÷ýôçôá ìçäÝí ôç óôéãìÞ ðïõ åêðÝìðåôáé öùò êáé üôé ôï êïõôß åðéôá÷ýíåôáé ðñïò ôá ðÜíù ìå åðéôÜ÷õíóç → á. Ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ãéá íá öôÜóåé óôïí áíé÷íåõôÞ ôï öùò åßíáé ðåñßðïõ Ç/c, áí ç ôá÷ýôçôá ôïõ êïõôéïý åßíáé ðïëý ìéêñÞ óå ó÷Ýóç ìå ôç c. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ áíé÷íåõôÞ ôç óôéãìÞ áößîåùò ôïõ öùôüò åßíáé (êáôÜ ìÝôñï) õ at a H c = = S g c = F HG I KJ1 2 2 l 268 MHXANIKH Ó÷Þìá 4.128 Öùò ôçò ðçãÞò áíé÷íåýåôáé áðü ôïí áíé÷íåõôÞ öùôüò. Ôï óýóôçìá åðéôá÷ýíåôáé ðñïò ôá ðÜíù. Ç óõ÷íüôçôá êáôÜ ôçí áíß÷íåõóç åßíáé äéáöïñåôéêÞ áðü áõôÞí êáôÜ ôçí åêðïìðÞ Ýíåêá ôïõ öáéíïìÝíïõ Doppler. Ó÷Þìá 4.127 ÁíåëêõóôÞñáò ðïõ ðÝöôåé ìå åðéôÜ÷õíóç g ðñïò ôá êÜôù ìÝóá óôï ðåäßï âáñýôçôáò êáé äÝóìç öùôüò.
- 285. ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 269 Áöïýï áíé÷íåõôÞò áðïìáêñýíåôáé Ý÷ïõìå öáéíüìåíï Doppler êáé “ìåôáôüðéóç” ðñïò ôï “åñõèñü”, äçëáäÞ ðñïò ìåãáëýôåñá ìÞêç êýìáôïò. Åöáñìüæïìå ãéá õ << c ôïí ôýðï ãéá ôï ó÷åôéêéóôéêü öáéíüìåíï Doppler êáé âñßóêïõìå (Ý÷ïõìå ìéêñÝò ìåôáâïëÝò): Ôß èá óõìâåß áí ôï êïõôß åßíáé áêßíçôï ìÝóá óå ðåäßï âáñýôçôáò; ÁðÜíôçóç Ç áñ÷Þ ôçò éóïäõíáìßáò ëÝåé üôé ôï ßäéï èá óõìâåß áí áíôß íá Ý÷ïõìå åðéôÜ÷õíóç → á ôï êïõôß âñßóêåôáé áêßíçôï ìÝóá óå ðåäßï âáñõôéêÞò Ýíôáóçò → g = − → á, ïðüôå ïé ôýðïé ðïõ ãñÜøáìå éó÷ýïõí áí óôç èÝóç ôçò åðéôÜ÷õíóçò á âÜëïõìå ôçí Ýíôáóç ôïõ ïìïãåíïýò âáñõôéêïý ðåäßïõ g. Áí åíáëëá÷èåß ç èÝóç áíé÷íåõôÞ - ðçãÞò ôüôå Ý÷ïõìå ìåôáôüðéóç ðñïò ìåãáëýôåñç óõ÷íüôçôá. Ç ãåíéêüôåñç ó÷Ýóç Ý÷åé ìÝóá ôç ìåôáâïëÞ ôïõ äõíáìéêïý ôïõ ðåäßïõ âáñýôçôáò ìåôáîý ðçãÞò êáé áíé÷íåõôÞ êáé ãñÜöåôáé üðïõ ÄÖ = ÖðçãÞò − Öáíé÷íåõôÞ . Óôçí ðåñßðôùóÞ ìáò ÄÖ = gH. Ç ãåíéêÞ ó÷åôéêüôçôá ðñïâëÝðåé ôï ßäéï áðïôÝëåóìá. Áõôü ðïõ óõìâáßíåé åßíáé üôé ï ÷ñüíïò öáßíåôáé íá ðåñíÜ ìå ãñçãïñüôåñï ñõèìü óå ðåñéï÷Ýò õøçëïý âáñõôéêïý äõíáìéêïý óå ó÷Ýóç ìå ðåñéï÷Ýò ÷áìçëüôåñïõ äõíáìéêïý. ÐáñÜäåéãìá 4-48 Ç ýðáñîç ìáýñùí ïðþí Ç ýðáñîç ìáýñùí ïðþí ìðïñåß íá êáôáíïçèåß ðïéïôéêÜ áí óêåöèåß êÜðïéïò üôé Ýíá óþìá áíåîÜñôçôá ôçò ìÜæáò ôïõ, ãéá íá îåöýãåé ôçò âáñõôéêÞò Ýëîçò åíüò ïõñÜíéïõ óþìáôïò ÷ñåéÜæåôáé ïñéóìÝíç ôá÷ýôçôá äéáöõãÞò. Áí õðïèÝóïõìå üôé ç ôá÷ýôçôá äéáöõãÞò ðëçóéÜæåé ôçí Ýó÷áôç ôá÷ýôçôá ðïõ åßíáé Þ ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò, c, ôüôå åßíáé óáí íá ëÝìå üôé êáíÝíá óþìá, ïýôå ôï öùò äåí ìðïñåß íá îåöýãåé, Üñá ôï ïõñÜíéï óþìá äåí “èá öáßíåôáé” èá åßíáé ìéá ìáýñç ôñýðá. Ôï áðïôÝëåóìá ôçò ÃåíéêÞò Èåùñßáò äßíåé üôé áõôü óõìâáßíåé áí ç áêôßíá ôïõ óþìáôïò åßíáé ìéêñüôåñç Þ ßóç áðü ôçí êñßóéìç áêôßíá Äåßîôå üôé ï ôýðïò áõôüò åßíáé ï ßäéïò ìå ôïí ôýðï ðïõ âãáßíåé áðü ôçí ÊëáóéêÞ Ìç÷áíéêÞ ìå ôçí ðñïûðüèåóç (ëÜèïò!) üôé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åßíáé áêüìç êáé üôáí õ = c! ÁðÜíôçóç Üñá R GM c c = 2 2 1 2 2 mc G Mm Rc = 1 2 2 mõ R GM c c = 2 2 ä ë ë Ö c = − Ä 2 ä f f ä ë ë õ c á Ç c = − = = 2
- 286. 270 MHXANIKH ÉÓÔÏÑÉÊÁ Óôá ôÝëçôïõ 19ïõ áéþíá ï Maxwell åíïðïßçóå ôïí çëåêôñéóìü êáé ôïí ìáãíçôéóìü óå ìéá åíéáßá èåùñßá, ôïí Çëåêôñïìáãíçôéóìü. Ï çëåêôñïìáãíçôéóìüò ðñüâëåøå ôçí ýðáñîç çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí. Åß÷å äéáðéóôùèåß áðü ðïëý ðáëéÜ üôé ôï öùò ðáñïõóéÜæåé êõìáôéêÝò éäéüôçôåò. Ìå ôïí Maxwell Ýãéíå óáöÝò üôé åßíáé åßäïò çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí. Ìå ôéò áíôéëÞøåéò ôçò åðï÷Þò, ôá êýìáôá äéáäßäïíôáé ìÝóá óå åëáóôéêÜ ìÝóá, Üñá Ýðñåðå íá õðÜñ÷åé êÜðïéï åëáóôéêü ìÝóï, ôï ïðïßï íá åßíáé ï öïñÝáò ôùí çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí Üñá êáé ôïõ öùôüò. Ôï ìÝóïí áõôü ïíïìÜóôçêå áéèÝñáò ðïõ åèåùñåßôï üôé Ý÷åé ðåñßåñãåò éäéüôçôåò. ÃÝìéæå ôá ðÜíôá, ÷ùñßò íá åìðïäßæåé ôçí êßíçóç ôùí óùìÜôùí ôá ïðïßá äéáðåñíïýóå. Ï áéèÝñáò õðÞñ÷å ðáíôïý áêüìá êáé ìÝóá óôá óþìáôá. ÕðÞñîå ôï åñþôçìá áí ï áéèÝñáò ðáñáóýñåôáé áðü ôá óþìáôá, üðùò áðü ôç Ãç, Þ åßíáé áêßíçôïò êáé áðïôåëåß ôï áðüëõôï áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò. Áðü ðåéñÜìáôá ôçò áðüêëéóçò ôïõ öùôüò êïíôõíþí Üóôñùí ó÷åôéêÜ ìå ôï ìáêñéíü õðüâáèñï Üóôñùí, öÜíçêå üôé ï áéèÝñáò äåí ðáñáóõñüôáí áðü ôç Ãç áëëÜ Þôáí áêßíçôïò. ¸ôóé ôÝèçêå ôï ðñüâëçìá íá äéáðéóôùèåß ìå ðåéñÜìáôá ç êßíçóç ôçò Ãçò ùò ðñïò ôïí áéèÝñá. Ç ôá÷ýôçôá ôçò Ãçò óôçí ðåñéöïñÜ ôçò ðåñß ôïí ~Çëéï åßíáé ðåñßðïõ 30 km/h äçëáäÞ 3 × 10−8 ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò. Ôï ðåßñáìá Ýðñåðå íá áíé÷íåýóåé äéáöïñÜ óôçí ôá÷ýôçôá äéÜäïóÞò ôïõ öùôüò, ùò ðñïò ôç Ãç, áí ç äéåýèõíóÞ ôïõ Þôáí êÜèåôç óôçí ôá÷ýôçôá ôçò Ãçò Þ ðáñÜëëçëç ìå áõôÞí. ÄçëáäÞ Þèåëáí íá äïõí ôï áðïôÝëåóìá ðñüóèåóçò ôá÷õôÞôùí ôçò êëáóéêÞò öõóéêÞò (ìåôáó÷çìáôéóìüò Ãáëéëáßïõ). Ôï ðåßñáìá Þôáí äýóêïëï äéüôé Ýðñåðå íá áíé÷íåýóåé ìåôáâïëÝò ôá÷ýôçôáò 1 ðñïò 100 åêáôïììýñéá. Ôï 1881 ï Albert A. Michelson åðéíüçóå Ýíá ôÝôïéï ðåßñáìá êáé ôåëåéïðïßçóå ôéò ìåôñÞóåéò ôüóï ðïõ óå ìåñéêÜ ÷ñüíéá (ìáæß ìå ôïí E.W. Morley) íá åðéôý÷åé ôçí áðáéôïýìåíç áêñßâåéá. Äéáðßóôùóå üôé ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò Þôáí áíåîÜñôçôç ôçò êßíçóçò ôçò Ãçò. Ï ÁúíóôÜéí äéáôýðùóå ôç èåùñßá ôçò ÅéäéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò ëßãï ìåôÜ áðü áõôü ôï ðåßñáìá. ÁõôÞ ðåñéåß÷å íÝåò éäÝåò ãéá ôïí ÷ñüíï êáé ôïí ÷þñï ðïõ Þôáí óõìâéâáóôÝò ìå ôç óôáèåñüôçôá ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò ùò ðñïò üëá ôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò. Ï ßäéïò ï Michelson ðïôÝ äåí ðßóôåøå óôçí åéäéêÞ èåùñßá ôçò ó÷åôéêüôçôáò! Ïé óùóôïß ìåôáó÷çìáôéóìïß áðü Ýíá áäñáíåéáêü óýóôçìá óå Üëëï åßíáé ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß Lorentz ðïõ éó÷ýïõí ãéá ôïí çëåêôñïìáãíçôéóìü êáé ôç ìç÷áíéêÞ êáé ãéá üëïõò ôïõò íüìïõò ôçò öýóçò. Ç ìç÷áíéêÞ ôñïðïðïéÞèçêå þóôå íá áêïëïõèåß ôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò Lorentz. Ïé óõíÝðåéåò Þôáí ðïëëÝò, ðñïâëÝöôçêå ç éóïäõíáìßá ìÜæáò (çñåìßáò) êáé åíÝñãåéáò. Áõôü åðéâåâáéþíåôáé êÜèå ìÝñá óôá åñãáóôÞñéá ÖõóéêÞò Óùìáôéäßùí, üðïõ ðáñÜãïíôáé óùìáôßäéá áðü åíÝñãåéá, êáé åíÝñãåéá áðü óùìáôßäéá, óå ñõèìïýò ñïõôßíáò. ÖõóéêÜ óå üëïõò åßíáé ãíùóôÞ ç ÷ñÞóç ôçò ðõñçíéêÞò åíÝñãåéáò (ðïõ ïöåßëåôáé óôç ìåôáôñïðÞ ìÜæáò óå åíÝñãåéá) ãéá ðáñáãùãÞ çëåêôñéóìïý. Ç åéäéêÞ ó÷åôéêüôçôá ðñïâëÝðåé äéáóôïëÞ ôïõ ÷ñüíïõ. Ç äéáðßóôùóç áõôÞ Ý÷åé ãßíåé ìå ðåéñÜìáôá áêñéâåßáò (1971) ìå ñïëüãéá ðïõ ôáîßäåõáí ìÝóá óå áåñïðëÜíá. Ôï ãåãïíüò üìùò äéáðéóôþíåôáé êáèçìåñéíÜ óôá
- 287. ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 271 ÅñãáóôÞñéáÖõóéêÞò Óùìáôéäßùí Õøçëþí Åíåñãåéþí. Áí Ýíá óùìáôßäéï, ðïõ Ý÷åé ïñéóìÝíï ìÝóï ÷ñüíï æùÞò, üôáí åßíáé ó÷åäüí áêßíçôï, åðéôá÷õíèåß þóôå íá áðïêôÞóåé ôá÷ýôçôá óõãêñßóéìç ìå áõôÞ ôïõ öùôüò, ôüôå ï ÷ñüíïò æùÞò ôïõ öáßíåôáé ðïëý ìåãáëýôåñïò. Óå áõôü ïöåßëåôáé ôï ãåãïíüò üôé, ìéüíéá ðïõ ðáñÜãïíôáé áðü áëëçëåðéäñÜóåéò óùìáôéäßùí (ðïõ ðñïÝñ÷ïíôáé áðü ôï äéÜóôçìá) ìå ìüñéá ôïõ áÝñá óôá áíþôáôá óôñþìáôá ôçò áôìüóöáéñáò êáé Ý÷ïõí ìÝóï ÷ñüíï æùÞò (üôáí åßíáé áêßíçôá, ÷ñüíïò çñåìßáò) ðåñßðïõ 2 ìéêñïäåõôåñüëåðôá, ìðïñïýí êáé öôÜíïõí ìÝ÷ñé ôçí åðéöÜíåéá ôçò ãçò ãéáôß üôáí ðáñá÷èïýí Ý÷ïõí ìåãÜëåò ôá÷ýôçôåò êáé Ýôóé ï ÷ñüíïò æùÞò ôïõò öáßíåôáé ðïëý ìåãáëýôåñïò. ÁõôÜ ðñïêáëïýí âñáäåßåò ìåôáëÜîåéò óå Ýìâéá üíôá êáé ìðïñïýìå íá éó÷õñéóôïýìå üôé ôï áíèñþðéíï åßäïò èá åß÷å, ßóùò, åîåëé÷èåß áëëéþôéêá áí äåí ßó÷õå ç ÅéäéêÞ Ó÷åôéêüôçôá. Áîßæåé íá ðïýìå üôé ï ÁúíóôÜéí äçìïóßåõóå óôï ßäéï ðåñéïäéêü (Ánnalen der Physik) óôï ßäéï ôåý÷ïò [4] 17 (1905) óôéò óåëßäåò 891, 549 êáé 132, áíôßóôïé÷á, ôñßá êïñõöáßá Üñèñá. Ôï ðñþôï Þôáí ãéá ôçí ÅéäéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò, ôï äåýôåñï Þôáí ãéá ôçí åîÞãçóç ôçò êßíçóçò Brown (ó÷åôßæåôáé ìå ôçí áôïìéêÞ äïìÞ ôçò ýëçò) êáé ôï ôñßôï Þôáí ãéá ôçí åñìçíåßá ôïõ öùôïçëåêôñéêïý öáéíïìÝíïõ ðïõ ó÷åôßæåôáé ìå ôéò âÜóåéò ôçò êâáíôéêÞò öõóéêÞò. Ï ÁúíóôÜéí ðÞñå ôï Nobel áñãüôåñá (1921) ãéá ôï öùôïçëåêôñéêü öáéíüìåíï. Ç ÅéäéêÞ Ó÷åôéêüôçôá Þôáí ðïëý ñéæïóðáóôéêÞ ãéá íá ãßíåé áðïäåêôÞ ðáãêïóìßùò áðü ôçí åðéóôçìïíéêÞ êïéíüôçôá ôüóï ãñÞãïñá! Ç ÃåíéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò Þñèå áñãüôåñá (1916). Ç èåùñßá ôïõ Íåýôùíá ãéá ôç âáñýôçôá öáßíïíôáí ìç éêáíïðïéçôéêÞ áêüìç êáé óôïí ßäéï ôïí Íåýôùíá. Ç âáñõôéêÞ áëëçëåðßäñáóç äéáäßäïíôáí áêáñéáßá. Åðßóçò ÷ñåéÜæïíôáí åéäéêÜ óõóôÞìáôá áíáöïñÜò êáé ãéá ôçí êëáóéêÞ ìç÷áíéêÞ (üðùò áñãüôåñá êáé ãéá ôçí åéäéêÞ ó÷åôéêüôçôá). Ï ÁúíóôÜéí èåþñçóå üôé Ýðñåðå ïé íüìïé ôçò öýóçò íá ìðïñïýí íá ãñáöïýí, Ýôóé ðïõ íá éó÷ýïõí ãéá êÜèå óýóôçìá áíáöïñÜò, ü÷é ìüíï ãéá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá. Ç ãíþóç ôçò éóüôçôáò áäñáíïýò êáé âáñõôéêÞò ìÜæáò êáé Üëëá äåäïìÝíá, ïäÞãçóáí óôç ÃåíéêÞ Ó÷åôéêüôçôá ðïõ åßíáé áêüìç ðéï äõóêïëïíüçôç áðü ôçí ÅéäéêÞ Ó÷åôéêüôçôá. Ï ÷ùñï÷ñüíïò ðáñáìïñöþíåôáé (êáìðõëþíåôáé) áðü ôçí ýðáñîç ìáæþí. ÕðÞñîáí ðïëëÝò ðñïâëÝøåéò ôçò èåùñßáò ðïõ Üñãçóáí íá åðáëçèåõôïýí, äéüôé ïé áðïêëßóåéò ðïõ ðñïÝâëåðå áðü ôéò ìÝ÷ñé ôüôå èåùñßåò Þôáí ðïëý ìéêñÝò. ×ñåéÜóôçêå ç áíÜðôõîç ôçò ôå÷íïëïãßáò ãéá íá ãßíïõí áêñéâÞ ðåéñÜìáôá ðïõ åðéâåâáßùóáí ðïëëÝò ðñïâëÝøåéò. ÁíáöÝñïõìå üôé ï Ãáëéëáßïò ðáñáôÞñçóå ðñþôïò üôé ç áäñáíÞò êáé âáñõôéêÞ ìÜæá ðñÝðåé íá åßíáé ßäéåò, áöïý ç ðåñßïäïò ôïõ åêêñåìïýò äåí åîáñôÜôáé áðü ôç ìÜæá ôïõ. ¢ëëá ðåéñÜìáôá ðïõ Ýäåéîáí ôçí éóïäõíáìßá ôùí ìáæþí áõôþí Þôáí ôïõ R. von ÅÖtvÖs, (ðåéñÜìáôá óôï äéÜóôçìá, 1890-1920), ìå áêñßâåéá 1:3 × 108 . Áñãüôåñá ïé P. G. Roll, R. Krotkov, êáé R.Ç. Dicke Ýöôáóáí óå áêñßâåéá 1:1011 . Ç ðñþôç ðåôõ÷çìÝíç ðáñáôÞñçóç ôçò åñõèñÞò ìåôáôüðéóçò ðïõ ðñïâëÝðåé ç ÃåíéêÞ Ó÷åôéêüôçôá, Ýãéíå ôï 1960 áðü ôïõò Pound êáé Rebka. Áðü ôï 1801 ðñéí ç êõìáôéêÞ èåùñßá ôùí Young & Fresnel
- 288. 272 MHXANIKH êõñéáñ÷Þóåé ôçòóùìáôéäéáêÞò èåùñßáò ãéá ôï öùò, ï Ãåñìáíüò ìáèçìáôéêüò Johann Georg von Soldner õðïëüãéóå ôçí ôñï÷éÜ “óùìáôéäßïõ” ôïõ öùôüò ðïõ ðåñíÜ óôçí ðåñéöÝñåéá ôïõ Þëéïõ. Ôï áðïôÝëåóìá åßíáé ßäéï ìå áõôü ðïõ ðñïÝâëåøå ï ÁúíóôÜéí ôï 1911 ìå áðëïúêÞ ÷ñÞóç ôçò áñ÷Þò ôçò éóïäõíáìßáò. Áñãüôåñá ï ÁúíóôÜéí ìå ÷ñÞóç ôçò ÃåíéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò Ýäùóå ôï óùóôü áðïôÝëåóìá. Ç áðüêëéóç áõôÞ ôïõ öùôüò ðñïâëÝðåôáé üôé åßíáé 1,74 äåýôåñá ëåðôÜ ôçò ìïßñáò, ðÜñá ðïëý ìéêñÞ! Ìüëéò ôï 1919 êáôÜöåñáí íá ìåôñÞóïõí ôçí áðüêëéóç áõôÞ êáôÜ ôçí ïëéêÞ Ýêëåéøç ôïõ çëßïõ (ÌÜéïò 29, 1919). Ïé åñåõíçôÝò Þôáí ïé F.W. Dyson, A.S. Eddington êáé C. Davidson ðïõ âñÞêáí áðïôåëÝóìáôá ðïëý êïíôÜ óôçí ðñüâëåøç. Ôçí ìåôÜðôùóç ôïõ ðåñéçëßïõ ôïõ ÅñìÞ ôçí åß÷å ðáñáôçñÞóåé ï V.S. Leverier áðü ôï 1859. ÌåôÜ áðü êáôÜëëçëåò äéïñèþóåéò ôï áðïôÝëåóìá (43 äåýôåñá ëåðôÜ ôçò ìïßñáò áíÜ áéþíá) óõìöùíåß ìå ôç ÃåíéêÞ Èåùñßá. Ôï 1976 ìå ôï äéáóôçìüðëïéï Viking, ðïõ ðÜôçóå óôïí ¢ñç, åðéâåâáéþèçêå ç êáèõóôÝñçóç ôùí çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí Ýíåêá âáñýôçôáò ðïõ áðïäßäåôáé óôç ìåßùóç ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò ôï ïðïßï äéÝñ÷åôáé ìÝóá áðü âáñõôéêÜ ðåäßá. Ïé J.R. Oppenheiner êáé S. Snyder áíÜöåñáí ôç äõíáôüôçôá ýðáñîçò ìáýñùí ïðþí ôï 1939. Ç ýðáñîÞ ôïõò åéêÜæåôáé áðü ôá âáñõôéêÜ öáéíüìåíá ðïõ ðñïêáëïýí, ð.÷., óôçí êßíçóç ôùí áóôÝñùí. Ìßá Üëëç ðñüâëåøç ôçò ÃåíéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò åßíáé ç ýðáñîç âáñõôéêþí êõìÜôùí. Äåí Ý÷ïõí åðéâåâáéùèåß, ðáñüëåò ôéò ðñïóðÜèåéåò åñåõíçôþí üðùò ôïõ J.Weber (áðü ôï 1960). ÕðÜñ÷ïõí üìùò åíäåßîåéò ðáñáãùãÞò ôïõò óôïí äéðëü ðÜëóáñ PSR 1913+16, ðïõ áðïôåëåßôáé áðü äýï ðïëý ìåãÜëçò ðõêíüôçôáò áíôéêåßìåíá. ÁõôÜ ôá áíôéêåßìåíá êéíïýíôáé êõêëéêÜ ðïëý ãñÞãïñá, Üñá Ý÷ïõí ôåñÜóôéåò åðéôá÷ýíóåéò. Áõôü ìðïñåß íá ïäçãÞóåé óå åêðïìðÞ âáñõôéêþí êõìÜôùí êáé Üñá óå áðþëåéá åíÝñãåéáò, ðïõ åêäçëþíåôáé ìå áýîçóç ôçò ãùíéáêÞò ôïõò ôá÷ýôçôáò. Ôï 1988 äçìïóéåýôçêå ìéá åñãáóßá ðïõ äåß÷íåé üôé áõîÜíåôáé ç ãùíéáêÞ ôïõò ôá÷ýôçôá êáé ïäçãåß óôï óõìðÝñáóìá üôé ôï áíùôÝñù óýóôçìá ßóùò åêðÝìðåé âáñõôéêÜ êýìáôá êáé ÷Üíåé åíÝñãåéá. Ïé áñ÷éôÝêôïíåò ôçò ìïíôÝñíáò öõóéêÞò, ïé ïðïßïé Ýëáâáí ìÝñïò óôï 5ï ÄéåèíÝò ÓõíÝäñéï ÖõóéêÞò ôï 1927 óôï Éíóôéôïýôï Solvay ôùí Âñõîåëëþí. Ìåôáîý áõôþí óõãêáôáëÝãïíôáé äåêáðÝíôå åðéóôÞìïíåò ìå âñáâåßï Íüìðåë óôç öõóéêÞ êáé ôñåéò óôç ÷çìåßá.
- 289. ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 273 ÅéäéêÞÈåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò Ç ÅéäéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò èåùñåß üôé ï ÷ñüíïò êáé ï ÷þñïò äåí åßíáé áíåîÜñôçôåò ïíôüôçôåò. Ç óýíäåóÞ ôïõò öáßíåôáé óôéò ó÷Ýóåéò ìåôáó÷çìáôéóìïý ôïõ Lorentz. Ïé ó÷Ýóåéò ìåôáó÷çìáôéóìïý ôïõ Lorentz ãéá ôï ÷þñï êáé ôï ÷ñüíï åßíáé x ′ = ã (x − ut) y′ = y z′ = z Tá x′, y ′, z ′ êáé ôá x, y, z, t åßíáé ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ ÷ùñü÷ñïíïõ ðïõ ðñïóäéïñßæïõí êÜðïéï ãåãïíüò óôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá Ê′ êáé Ê áíôßóôïé÷á. Ôï óýóôçìá Ê ′ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá u ùò ðñïò ôï Ê êáôÜ ìÞêïò ôïõ Üîïíá ôùí x. H ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò åßíáé ßäéá ãéá üëá ôá áäñáíåéáêÜ óõóôÞìáôá. Ç ó÷åôéêéóôéêÞ ïñìÞ åíüò óùìáôßïõ äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç → p = ãm → õ Ç ó÷åôéêéóôéêÞ åíÝñãåéÜ ôïõ áðü ôç ó÷Ýóç Å0 = m c2 åßíáé ç åíÝñãåéá çñåìßáò ôïõ óùìáôßïõ. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò åßíáé ç ìÝãéóôç ôá÷ýôçôá ðïõ ìðïñåß íá Ý÷åé Ýíá óþìá. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò åìöáíßæåôáé ùò ï óõíôåëåóôÞò ðïõ êÜíåé ôéò äéáóôÜóåéò ôùí ìåãåèþí, üðùò ï ÷ñüíïò êáé ôï ìÞêïò íá ìðïñïýí íá óõíäåèïýí êáé íá áðïôåëïýí Ýíá åßäïò ôåôñáíýóìáôïò (ct, x, y, z). Ôï ßäéï óõìâáßíåé ãéá ôçí ïñìÞ êáé ôçí åíÝñãåéá Åðßóçò ç ìÜæá éóïäõíáìåß ìå ôçí åíÝñãåéá çñåìßáò ìå óõíôåëåóôÞ (ðïëëáðëáóéáóôÞ) ôï c2 , Å0 = mc2 Ç åéäéêÞ èåùñßá ôçò ó÷åôéêüôçôáò ïäçãåß óå äéáóôïëÞ ôïõ ÷ñüíïõ Ô = ãÔ0, êáé óõóôïëÞ ôïõ ìÞêïõò, L = L0 /ã, ðïõ äéáðéóôþíïíôáé êáèçìåñéíÜ, êõñßùò óôá ÅñãáóôÞñéá ÖõóéêÞò Õøçëþí Åíåñãåéþí (Óôïé÷åéùäþí Óùìáôéäßùí). ÃåíéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò Ç ÃåíéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò åßíáé óôçí ïõóßá ìßá èåùñßá ôçò âáñýôçôáò. Óå Ýíá ïìïãåíÝò âáñõôéêü ðåäßï, ôá áðïôåëÝóìáôá ôçò ÃåíéêÞò Èåùñßáò ìðïñïýí íá åîá÷èïýí, ôïõëÜ÷éóôïí ðïéïôéêÜ, ìå áðëïúêÞ åöáñìïãÞ ôçò áñ÷Þò ôçò éóïäõíáìßáò ðïõ ëÝåé üôé: Ç åðßäñáóç ïìïãåíïýò âáñõôéêïý ðåäßïõ åßíáé éóïäýíáìç ìå áõôü åíüò óõóôÞìáôïò áíáöïñÜò ìå ïìïéüìïñöç åðéôÜ÷õíóç óå êáôåýèõíóç áíôßèåôç áõôÞò ôïõ âáñõôéêïý ðåäßïõ. Ç ÃåíéêÞ Ó÷åôéêüôçôá ïäçãåß óå âáñõôéêÞ äéáóôïëÞ ôïõ ÷ñüíïõ êáé ðñÜãìá ðïõ äåí ó÷ïëéÜóáìå, óå óõóôïëÞ ôïõ ìÞêïõò. Óôç ÃåíéêÞ Èåùñßá ôï âáñõôéêü ðåäßï ðåñéãñÜöåôáé ìå «êáìðýëùóç» ôïõ ÷ùñü÷ñïíïõ. Ìåôáîý ôùí ðñïâëÝøåùí ôçò ÃåíéêÞò Èåù- ñßáò åßíáé: E c p p px y z, , , F HG I KJ E p c m c mã c= + =2 2 2 4 2 â u c = ã u c â = − = − 1 1 1 12 2 2 ′ = − F HG I KJt ã t u c 2 drasthriothtesÁ Í Á Ê Å Ö Á Ë Á É Ù Ó Ç
- 290. 274 MHXANIKH 1. ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ ÕðïèÝóôåüôé Ýíá äéáóôçìüðëïéï åßíáé êáôáóêåõáóìÝíï áðü õëéêü ðïõ ç áäñáíåéêÞ ôïõ ìÜæá åßíáé ßóç ìå ôç âáñõôéêÞ. Ôï äéáóôçìüðëïéï ãõñßæåé ãýñù áðü ôç Ãç. ÕðïèÝóôå üôé ïé áóôñïíáýôåò Ý÷ïõí âáñõôéêÞ ìÜæá ìéêñüôåñç ôçò áäñÜíåéáêÞò êáé üôé ìåñéêÜ áíôéêåßìåíá ðïõ ÷ñçóéìïðïéïýí Ý÷ïõí âáñõôéêÞ ìÜæá ìåãáëýôåñç ôçò áäñáíåéáêÞò. ÐåñéãñÜøôå ôçí êáôÜóôáóç ìÝóá óôï äéáóôçìüðëïéï. ÕðïèÝóôå üôé ïé ó÷Ýóåéò ìáæþí (ðçëßêá ìáæþí) åßíáé ßäéá ãéá ôçí êÜèå ìéá ðåñßðôùóç áíôéêåéìÝíùí. 2. ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Óôï ìõèéóôüñçìá “Áðü ôç Ãç óôç ÓåëÞíç” áíáöÝñåôáé üôé ï óêýëïò ðïõ Þôáí ìÝóá óôï âëÞìá ðïõ åß÷å åêôïîåõèåß áðü ôç Ãç ìå êáíüíé, ãéá íá öôÜóåé óôï öåããÜñé, ðåèáßíåé êáé ôïí âãÜæïõí Ýîù áðü ôï äéáóôçìüðëïéï. Ï Éïýëéïò Âåñí ëÝåé üôé ï óêýëïò áêïëïõèåß ôï âëÞìá óôçí ðïñåßá ôïõ êáé ïé åðéâÜôåò ôïí ðáñáêïëïõèïýí áðü ôï ðáñÜèõñï. Ïé åðéâÜôåò ðåñðáôïýí óôï äÜðåäï ôïõ âëÞìáôïò, þóðïõ öôÜíïõí óôï óçìåßï, ðïõ ç Ýíôáóç ôçò âáñýôçôáò ðïõ ïöåßëåôáé óôç Ãç êáé ç Ýíôáóç ôçò âáñýôçôáò ðïõ ïöåßëåôáé óôï öåããÜñé ãßíïíôáé ßóåò êáé ìåôÜ õðåñéó÷ýåé ç äåýôåñç. Ï óõããñáöÝáò ëÝåé ôüôå üôé ïé åðéâÜôåò ðñïò óôéãìÞ áéùñïýíôáé ìÝóá óôï äéáóôçìüðëïéï êáé ýóôåñá ðÝöôïõí óôï ôáâÜíé (ðñïò ôç ìýôç) ôïõ âëÞìáôïò. Ï óêýëïò áð´ Ýîù åîáêïëïõèåß íá êéíåßôáé ðëÜé ðëÜé ìå ôï âëÞìá. Ôß åßíáé óùóôü êáé ôß ëÜèïò óôçí áöÞãçóç; 3. ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Óêåöèåßôå ôéò óõíÝðåéåò ôçò åéäéêÞò ó÷åôéêüôçôáò êáé ôïõ ðåðåñáóìÝíïõ ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò. ¸óôù Ðüóï ìáêñõÜ ìðïñåß íá åîåñåõíçèåß ôï äéÜóôçìá; ËÜâåôå õðüøç üôé ï ÷ñüíïò ôïõ åðéôá÷õíüìåíïõ áäåëöïý, óôïõò äéäýìïõò, ðåñíÜ ðéï áñãÜ áðü ôïí ÷ñüíï ôïõ áäåëöïý ôïõ ðïõ Ýìåéíå óôç Ãç. ÕðÜñ÷åé üñéï áðüóôáóçò áðü ôç Ãç üðïõ ìðïñåß íá öôÜóåé ç åîåñåýíçóç ôïõ óýìðáíôïò áðü ôçí áíèñùðüôçôá; ÊÜíôå äéÜöïñåò óêÝøåéò ðÜíù óôï èÝìá õðïèÝôïíôáò üôé äåí õðÜñ÷ïõí ôå÷íïëïãéêÝò äõóêïëßåò ãéá ôï ðüóï ìåãÜëç ôá÷ýôçôá ìðïñåß íá åðéôý÷åé ï Üíèñùðïò ìå ôïõò ðõñáýëïõò ôïõ ìÝëëïíôïò. Äå÷ôåßôå üôé ï Üíèñùðïò æåé 100 ÷ñüíéá. 4. ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ ÕðïèÝóôå üôé æåßôå óå ìéá ðüëç óôçí ïðïßá ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò åßíáé ðïëý ìéêñÞ, ðåñßðïõ 30 km/h. Ó÷ïëéÜóôå ôá ðáñÜîåíá öáéíüìåíá, ðïõ èá ðáñáôçñïýóáôå, êÜôù áðü ôéò óõíèÞêåò áõôÝò óôçí êáèçìåñéíÞ óáò æùÞ óôçí ðáñÜîåíç áõôÞ ðüëç. 5. ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ ¸íáò ößëïò óáò âñßóêåôáé óôçí ôáñÜôóá åíüò ðïëý øçëïý ïõñáíïîýóôç. Áí ôïõ óôåßëåôå ìéá äÝóìç ìïíï÷ñùìáôéêïý öùôüò áðü ôï äñüìï ðïõ âñßóêåóôå, èá Ý÷åé áêñéâþò ôï ßäéï ÷ñþìá ìå åêåßíï ðïõ ôïõ óôåßëáôå; ÅîçãÞóôå ôï. 6. ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ ËÝíå üôé üôáí ï ÁúíóôÜéí Þôáí Ýöçâïò áíáñùôéüôáí ãéá ôï åîÞò: ¸íáò äñïìÝáò êñáôÜåé ìå ôåíôùìÝíï ôï âñá÷ßïíÜ ôïõ Ýíá êáèñÝöôç ìðñïóôÜ óôï ðñüóùðü ôïõ. Ìðïñåß íá äåé ôïí åáõôü ôïõ óôïí êáèñÝöôç åÜí ôñÝ÷åé ìå ôá÷ýôçôá ó÷åäüí ßóç ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò; ÊÜíôå äéÜöïñåò óêÝøåéò óôï åñþôçìá, ôüóï ìå ôç âïÞèåéá ôçò èåùñßáò ôïõ áéèÝñá üóï êáé ìå ôç èåùñßá ôçò ÅéäéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò. c = ×3 0 108 , m /s 1. Ç áðüêëéóç ôïõ öùôüò ìÝóá óå âáñõôéêü ðåäßï. 2. Ç âáñõôéêÞ “åñõèñÞ ìåôáôüðéóç” ôïõ öùôüò. 3. Ç ìåôÜðôùóç ôïõ ðåñéçëßïõ ôïõ ÅñìÞ. 4. Ç ÷ñïíéêÞ êáèõóôÝñçóç çëåêôñïìáãíçôéêþí êõìÜôùí ðïõ äéÝñ÷ïíôáé áðü âáñõôéêü ðåäßï. 5. Ç ýðáñîç ìáýñùí ïðþí. 6. Ç áêôéíïâïëßá âáñõôéêþí êõìÜôùí. Ïé ðñïâëÝøåéò 1 ìÝ÷ñé 4 Ý÷ïõí åðéâåâáéùèåß ìå Üìåóç ðåéñáìáôéêÞ ðáñáôÞñçóç, ãéá ôá 5 êáé 6 õðÜñ÷ïõí áóôñïíïìéêÝò åíäåßîåéò. drasthriothtes Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Å Ó
- 291. ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 275 1 Óôïó÷Þìá öáßíåôáé ðùò êéíïýíôáé ôñßá äéáóôçìéêÜ ï÷Þìáôá. ¼ëåò ïé ôá÷ýôçôåò ôùí ï÷çìÜôùí åßíáé ìåôñçìÝíåò áðü ôï ßäéï óýóôçìá áíáöïñÜò. Áðü ôï ü÷çìá (Á) åêðÝìðåôáé Ýíáò ðáëìüò ëÝéæåñ (Laser). Ôç ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá ãéá ôïí ðáëìü êáôáãñÜöåé (á) ï ðéëüôïò ôïõ ï÷Þìáôïò (Á) (â) ï ðéëüôïò ôïõ ï÷Þìáôïò (Â) (ã) ï ðéëüôïò ôïõ ï÷Þìáôïò (Ã) (ä) êáé ïé ôñåéò ðéëüôïé êáôáãñÜöïõí ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá ãéá ôïí ðáëìü 2 ÈåùñÞóôå üôé Ýíá öýëëï, áðü ôï âéâëßï ðïõ äéáâÜæåôå êéíåßôáé ùò ðñïò åóÜò ïñéæüíôéá ìå ôá÷ýôçôá ðáñáðëÞóéá ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò êáé êÜíôå ôéò áíôéóôïé÷ßåò ìåôáîý ôùí óôïé÷åßùí ôçò áñéóôåñÜ óôÞëçò, ðïõ ðåñéÝ÷åé ôéò éäéüôçôåò ôïõ öýëëïõ êáé ôùí óôïé÷åßùí ôçò äåîéÜò óôÞëçò. 1. Ôï ðÜ÷ïò ôïõ öýëëïõ á. Áíáëëïßùôç(-ôï) 2. Ç ìÜæá ôïõ ÷áñôéïý ôïõ â. ÁëëÜæåé öýëëïõ 3. Ï üãêïò ôïõ ÷áñôéïý 4. Ï áñéèìüò ôùí áôüìùí ôïõ ÷áñôéïý 5. Ôï ìÞêïò ôïõ öýëëïõ 6. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò, ðïõ áíáêëÜôáé áðü ôï öýëëï 7. Ç ÷çìéêÞ óýíèåóç ôïõ ÷áñôéïý 3 Áí âñéóêüóáóôå óå äéáóôçìüðëïéï êáé ôáîéäåýáôå ìáêñéÜ áðü ôç Ãç ìå ôá÷ýôçôá ðáñáðëÞóéá ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò, èá áíôéëáìâáíüóáóôå üôé ôáîéäÝõåôå ìå ôüóç ìåãÜëç ôá÷ýôçôá (á) áðü ôçí áýîçóç ôçò ìÜæáò óáò (â) áðü ôç ìåôáâïëÞ ðïõ èá ðáñáôçñïýóáôå óôï óöõãìü óáò (ã) áðü ôç óõóôïëÞ, ðïõ èá ðáñáôçñïýóáôå óôï ýøïò óáò (ä) áðü üëïõò ôïõò ðáñáðÜíù ðáñÜãïíôåò (å) áðü êáíÝíáí áðü áõôïýò ôïõò ðáñÜãïíôåò 4 Óôç ó÷åôéêüôçôá ÷ñçóéìïðïéïýìå óõíÞèùò íïçôéêÜ ðåéñÜìáôá (gedanken experimente) ãéá íá áíôéëçöèïýìå ôéò áëëáãÝò ðïõ ðñÝðåé íá åðéöÝñïõìå óôéò Ýííïéåò ôïõ ÷þñïõ êáé ôïõ ÷ñüíïõ, þóôå ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò íá ãßíåé áðüëõôç. ºóùò íá Ý÷åé äçìéïõñãçèåß ç åíôýðùóç üôé ìüíï ôÝôïéá ðåéñÜìáôá ìðïñïýìå íá êÜíïõìå. Åßíáé áõôÞ ç åíôýðùóç óùóôÞ Þ ü÷é; Áí ü÷é ìðïñåßôå íá ðåñéãñÜøåôå äýï ðåéñÜìáôá ìç íïçôéêÜ; 5 Óôï ó÷Þìá öáßíïíôáé äýï ñïëüãéá P1 êáé P2 óå Ýíá áêßíçôï óýóôçìá áíáöïñÜò Ê, óõã÷ñïíéóìÝíá óôï óýóôçìá áõôü. ¸íá Üëëï ñïëüé, ôï P′1 , åßíáé áêßíçôï óôï óýóôçìá Ê′, ðïõ êéíåßôáé (êáôÜ ôá ãíùóôÜ) ìå ôá÷ýôçôá õ. Ôá ñïëüãéá P1 êáé P′1 äåß÷íïõí ìçäÝí, ôç óôéãìÞ ðïõ äéáóôáõñþíïíôáé. Ôç óôéãìÞ ðïõ äéáóôáõñþíïíôáé ôá P′1 êáé P2 , ôç ìéêñüôåñç Ýíäåéîç ôçí Ý÷åé (á) ôï ñïëüé P′1 (â) ôï ñïëüé P2 (ã) êáé ôá äýï Ý÷ïõí ôçí ßäéá Ýíäåéîç Ðïéü ñïëüé äåß÷íåé ôç óùóôÞ Ýíäåéîç; 6 Óôï ó÷Þìá èåùñïýìå Ýíáí ðáñáôçñçôÞ óôï óýóôçìá áíáöïñÜò Ê ′, ðïõ ðáñáôçñåß äýï ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ
- 292. ãåãïíüôá, ðïõ óõìâáßíïõíóôçí ßäéá èÝóç (P), áëëÜ ü÷é ôáõôü÷ñïíá. (á) Ìðïñåß Ýíáò Üëëïò ðáñáôçñçôÞò, óôï óýóôçìá áíáöïñÜò Ê, íá åêôéìÜ üôé ôá ãåãïíüôá óõìâáßíïõí óôçí ßäéá èÝóç; (â) Áí äýï ãåãïíüôá óõìâïýí ôáõôü÷ñïíá óôçí ßäéá èÝóç ãéá Ýíáí ðáñáôçñçôÞ, áõôü óçìáßíåé üôé èá óõìâïýí ôáõôü÷ñïíá êáé ãéá üëïõò ôïõò Üëëïõò ðáñáôçñçôÝò; (ã) Èá óõìâïýí óôçí ßäéá èÝóç êáé ãéá ôïõò õðüëïéðïõò ðáñáôçñçôÝò; 7 Óôï ó÷Þìá öáßíïíôáé äýï ñïëüãéá P′1 êáé P′2 áêßíçôá, óôï áêßíçôï óýóôçìá áíáöïñÜò Ê′, óõã÷ñïíéóìÝíá óôï óýóôçìá áõôü. ¸íá Üëëï ñïëüé, ôï P1 , åßíáé áêßíçôï óôï êéíïýìåíï (êáôÜ ôá ãíùóôÜ) ìå ôá÷ýôçôá → õ óýóôçìá áíáöïñÜò Ê. ¼ôáí ôá ñïëüãéá P′1 êáé P1 äéáóôáõñþíïíôáé äåß÷íïõí ìçäÝí. Ôç óôéãìÞ ðïõ äéáóôáõñþíïíôáé ôá P1 êáé P′2 , ôüôå ôç ìéêñüôåñç Ýíäåéîç ôçí Ý÷åé (á) ôï ñïëüé P′2 (â) ôï ñïëüé Ñ1 (ã) êáé ôá äýï Ý÷ïõí ôçí ßäéá Ýíäåéîç Ðïéï ìåôñÜåé ôïí éäéü÷ñïíï; 8 ÕðïèÝóôå üôé âñßóêåóôå ìÝóá óå Ýíá äéáóôçìüðëïéï ðïëý ìåãÜëïõ ìÞêïõò. ¸íá äéáóôçìüðëïéï ìå åîùãÞéíïõò êéíåßôáé óå ó÷Ýóç ìå åóÜò ìå ôá÷ýôçôá ðáñáðëÞóéá ôïõ öùôüò êáé óå áíôßèåôç êáôåýèõíóç Þ ßóùò åóåßò êéíåßóôå óå ó÷Ýóç ìå áõôü (åî Üëëïõ äåí õðÜñ÷åé êáíÝíáò ôñüðïò íá âñåßôå ôé áðü ôá äýï óõìâáßíåé). ¼ôáí ôï äéáóôçìüðëïéï ôùí åîùãÞéíùí ðåñíÜ äßðëá óáò âëÝðåôå üôé ôï ñýã÷ïò ôïõ âñßóêåôáé óôçí ðßóù Üêñç ôïõ äéêïý óáò ôç óôéãìÞ ðïõ ç ïõñÜ ôïõ âñßóêåôáé óôçí ìðñïóôéíÞ Üêñç ôïõ äéêïý óáò, (óýìöùíá ìå ôï ÷ñïíüìåôñü óáò). Ôá äýï äéáóôçìüðëïéá Ý÷ïõí (á) ôï ßäéï ìÞêïò (â) ôï äéêü óáò åßíáé ìáêñýôåñï áðü ôùí åîùãÞéíùí (ã) ôï äéêü óáò åßíáé êïíôýôåñï áðü ôùí åîùãÞéíùí 9 Áíáöåñüìåíïé óôçí ðñïçãïýìåíç åñþôçóç ïé åîùãÞéíïé äéáðéóôþíïõí ïé ßäéïé ìå ôéò ìåôñÞóåéò ôïõò üôé ôï äéáóôçìüðëïéü ôïõò (á) Ý÷åé ßóï ìÞêïò ìå ôï äéêü óáò (â) åßíáé ìáêñýôåñï áðü ôï äéêü óáò (ã) åßíáé êïíôýôåñï áðü ôï äéêü óáò 10 Áíáöåñüìåíïé óôçí åñþôçóç (11) õðïèÝóôå üôé ïé êõâåñíÞôçò óáò, ðïõ êÜèåôáé óôï ñýã÷ïò ôïõ äéáóôçìüðëïéïý óáò, ìåôñÜ ôï ÷ñüíï, ðïõ ÷ñåéÜæåôáé ôï óêÜöïò ôùí åîùãÞéíùí íá ðåñÜóåé äßðëá ôïõ. Ïìïßùò, ï åîùãÞéíïò êõâåñíÞôçò, êáèéóìÝíïò óôï ñýã÷ïò ôïõ äéêïý ôïõ äéáóôçìüðëïéïõ ìåôñÜ ôï ÷ñüíï ðïõ ÷ñåéÜæåôáé íá ðåñÜóåé áðü äßðëá ôïõ ôï äéêü óáò óêÜöïò, ôüôå (á) ïé äýï êõâåñíÞôåò õðïëïãßæïõí ßóïõò ÷ñüíïõò (â) ï åîùãÞéíïò êõâåñíÞôçò èá ìåôñÞóåé ðåñéóóüôåñï ÷ñüíï (ã) ï äéêüò óáò êõâåñíÞôçò èá ìåôñÞóåé ðåñéóóüôåñï ÷ñüíï 11 Åíþ ðáñáôçñåßôå Ýíá äéáóôçìüðëïéï íá êéíåßôáé óôï äéÜóôçìá ìå ôá÷ýôçôá 0,5 c èá äéáðéóôþóåôå üôé ôï ñïëüé ôïõ “ôñÝ÷åé” ìå ñõèìü ðïõ åßíáé (á) êáíïíéêüò (ñõèìüò çñåìßáò) (â) ôÝôïéïò þóôå ôï ñïëüé íá “ôñÝ÷åé” áíÜðïäá (ã) ìéêñüôåñïò áðü ôï ìéóü ôïõ êáíïíéêïý (ä) ìéóüò áðü ôïí êáíïíéêü (å) ìéêñüôåñïò ìåí, áëëÜ ìåãáëýôåñïò áðü ôï ìéóü ôïõ êáíïíéêïý 276 MHXANIKH
- 293. ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 277 12 Óôïó÷Þìá öáßíåôáé Ýíá äéáóôçìüðëïéï ìå Ýíáí åðéâÜôç, óôï óýóôçìá áíáöïñÜò Ê ′, ðïõ ìáò ðñïóðåñíÜ (óýóôçìá áíáöïñÜò Ê) ìå ôá÷ýôçôá õ. ¸íá ðñùôüíéï âÜëåôå áðü ôïí åðéâÜôç ìå ôá÷ýôçôá ðáñáðëÞóéá ôïõ öùôüò (üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá). (á) Ç ÷ùñéêÞ áðüóôáóç Äx′ ìåôáîý ôïõ óçìåßïõ åêôüîåõóçò ôïõ ðñùôïíßïõ êáé ôïõ óçìåßïõ ðïõ óõãêñïýóôçêå áõôü óôï Üêñï ôïõ äéáóôçìïðëïßïõ åßíáé èåôéêÞ Þ áñíçôéêÞ ðïóüôçôá (â) Ç ÷ñïíéêÞ áðüóôáóç Ät′ ìåôáîý ôùí ðáñáðÜíù ãåãïíüôùí åßíáé èåôéêÞ Þ áñíçôéêÞ ðïóüôçôá; 13 Ìéá áìáîïóôïé÷ßá Ý÷åé ìÞêïò 90 m üôáí åßíáé áêßíçôç. Ìéá óÞñáããá óå çñåìßá Ý÷åé ìÞêïò 80 m. Áí ôï ôñÝíï êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá ðáñáðëÞóéá ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò èá ìðïñïýóå íá ÷ùñÝóåé óôç óÞñáããá áñêåß íá ôï ðáñáôçñÞóïõìå áðü ôï óýóôçìá áíáöïñÜò (á) ôçò óÞñáããáò (â) ôïõ êéíïýìåíïõ ôñÝíïõ (ã) êáé ôùí äýï (ä) êáíåíüò áðü ôá äýï 14 ¸íáò áóôñïíáýôçò áðïìáêñýíåôáé áðü ôç Ãç ìå ôá÷ýôçôá ðáñáðëÞóéá ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò. ¸íáò ãéáôñüò ðïõ åß÷å ìåôñÞóåé ôïõò óöõãìïýò ôïõ áíÜ ëåðôü êáé ôï ýøïò ôïõ, ëßãï ðñéí áðïãåéùèåß, êÜíåé ôéò ßäéåò ìåôñÞóåéò êáé ôþñá, ðïõ ï áóôñïíáýôçò ôáîéäåýåé, ïðüôå ðáñáôçñåß üôé ï áóôñïíáýôçò Ý÷åé (á) ìéêñüôåñï ýøïò êáé ðåñéóóüôåñïõò óöõãìïýò (â) ìåãáëýôåñï ýøïò êáé ëéãüôåñïõò óöõãìïýò (ã) ôï ßäéï ýøïò êáé ôïõò ßäéïõò óöõãìïýò (ä) ìéêñüôåñï ýøïò êáß ëéãüôåñïõò óöõãìïýò (å) ìåãáëýôåñï ýøïò êáé ðåñéóóüôåñïõò óöõãìïýò 15 Åßíáé äõíáôüí Ýíá ðáéäß íá åßíáé âéïëïãéêÜ ìåãáëýôåñï áðü ôïõò ãïíåßò ôïõ; Áí ç áðÜíôçóÞ óáò åßíáé êáôáöáôéêÞ, ðþò åßíáé äõíáôüí íá óõìâåß áõôü; 16 Ï Ãñçãüñçò öåýãåé áðü ôçí ÁèÞíá ãéá Ýíá äéáðëáíçôéêü ôáîßäé ìå äéáóôçìüðëïéï êáé ðñïïñéóìü ôïí ¢ñç. Ï ÓôáìÜôçò Ýìåéíå óôç Ãç. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ äéáóôçìïðëïßïõ, ùò ðñïò ôç Ãç åßíáé 0,50 c. Áí ìåôñÞóïõí ôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá ôïõ ôáîéäéïý, ðïéüò ìåôñÜ ôï óùóôü ÷ñüíï: (á) ï ÓôáìÜôçò; (â) ï Ãñçãüñçò; (ã) êáé ïé äýï; (ä) êáíÝíáò; Óôï äñüìï ï Ãñçãüñçò åêðÝìðåé Ýíá ðáëìü öùôüò ðñïò ôïí ¢ñç. Ìåôñïýí êáé ïé äýï ôï ÷ñüíï ðïõ ÷ñåéÜæåôáé ãéá íá ðÜåé ï ðáëìüò óôïí ¢ñç. Ðïéüò ìåôñÜ ôï óùóôü ÷ñüíï; 17 ¼ôáí ôá äéáðëáíçôéêÜ ôáîßäéá Üñ÷éóáí íá ãßíïíôáé ñïõôßíá, ìéá íÝá áåñïðïñéêÞ åôáéñåßá Ýóôåéëå ìåñéêïýò áóôñïíáýôåò óå Ýíá ìåãÜëï (ãéá ôá ãÞéíá ñïëüãéá) äéáðëáíçôéêü ôáîßäé ìå ôá÷ýôçôá ðáñáðëÞóéá ôïõ öùôüò êáé óõìöþíçóáí üôé ï ìéóèüò ôïõò èá êáèïñßæåôáé áðü ôéò þñåò ðôÞóçò ôïõò. ¼ôáí åðÝóôñåøáí óôç Ãç ðÝñáóáí áðü ôï ëïãéóôÞñéï ôçò åôáéñåßáò êáé åßäáí ôï ìéóèü ôïõò. Ðþò íïìßæåôå üôé áíôÝäñáóáí; 18 ¸íáò áóôñïíáýôçò 20 ÷ñïíþí ôçí çìÝñá ôùí ãåíåèëßùí ôïõ îåêéíÜ ãéá ôáîßäé ðñïò ôï Óåßñéï, ðïõ áðÝ÷åé 8 Ýôç öùôüò áðü ôç Ãç ìå ôá÷ýôçôá 0,8 c êáé åðéóôñÝöåé áìÝóùò ìå ôçí ßäéá êáôÜ ìÝôñï ôá÷ýôçôá óôç Ãç. Ôçí çìÝñá ôçò áíá÷þñçóçò ãéïñôÜæåé åðßóçò ôá ãåíÝèëéÜ ôïõ ï ìéêñüôåñïò áäåëöüò ôïõ ðïõ åßíáé 12 ÷ñïíþí. ¼ôáí åðéóôñÝöåé óôç Ãç åßíáé (á) óõíïìÞëéêïò ìå ôïí áäåëöü ôïõ (â) ìéêñüôåñïò áðü áõôüí (ã) ìåãáëýôåñïò áðü áõôüí 19 ¸íáò ÷Üñáêáò ìå ìÞêïò çñåìßáò 1 m êáé ìÜæá (çñåìßáò) 1 kg óáò ðñïóðåñíÜ ìå ôá÷ýôçôá ðáñáðëÞóéá ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò, ìåôñÜôå ôç ìÜæá ôïõ êáé ôç âñßóêåôáé 2 kg êáé ôï ìÞêïò ôïõ 1m. ÐïéÜ åßíáé ç äéåýèõíóç ôçò êßíçóÞò ôïõ; Ç ôá÷ýôçôá êßíçóÞò ôïõ åßíáé (á) 0,5 c (â) 2 c (ã) (ä) (å) c 4 3 4 c3 2 c
- 294. 20 Áíáöåñüìåíïé óôçí ðñïçãïýìåíçåñþôçóç, áí ï ÷Üñáêáò êéíåßôáé ôþñá êáôÜ ôç äéåýèõíóç ôïõ ìÞêïõò ôïõ ìå ôçí ôá÷ýôçôá ðïõ õðïëïãßóáôå ðñéí, ôï ìÞêïò, ðïõ ìåôñÜôå åóåßò åßíáé (á) 2 m (â) 0,5 m (ã) 0,25 m (ä) 0,75 m 21 Ðáñáôçñåßôå Ýíá äéáóôçìüðëïéï ðïõ êéíåßôáé ìáêñéÜ óáò ìå ôá÷ýôçôá 0,5 c. ôï äéáóôçìüðëïéï åêôïîåýåé ðýñáõëï êáôåõèåßáí ðñïò ôá åìðñüò ìå ôá÷ýôçôá 0,5 c ùò ðñïò ôï äéáóôçìüðëïéï. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ ðõñáýëïõ ùò ðñïò åóÜò åßíáé (á) ìçäÝí (â) ßóç ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò c (ã) ßóç ìå 0,8 c (ä) ßóç ìå 1,33 c 22 Áíáöåñüìåíïé óôçí ðñïçãïýìåíç åñþôçóç õðïèÝóôå (éäåáôÜ) üôé ïé ôá÷ýôçôåò Þôáí c áíôß 0,5c. Ôüôå ç ôá÷ýôçôá ôïõ ðõñáýëïõ ùò ðñïò åóÜò åßíáé (á) c (â) c/2 (ã) 0 (ä) 2 c 23 Óôï ó÷Þìá öáßíåôáé Ýíá, áðü ôÝóóåñá, áóôñéêÜ êáôáäñïìéêÜ óå áãþíá äñüìïõ. ÊÜèå êáôáäñïìéêü êáèþò ðåñíÜ ôç ãñáììÞ åêêßíçóçò åêôïîåýåé Ýíá ìéêñü áåñïóêÜöïò ðïõ êéíåßôáé ðñïò ôç ãñáììÞ ôåñìáôéóìïý. Åóåßò ðáñáôçñåßôáé ôçí êïýñóá áêßíçôïò, óå ó÷Ýóç ìå ôéò ãñáììÝò åêêßíçóçò êáé ôåñìáôéóìïý. Ïé ôá÷ýôçôåò õk ôùí êáôáäñïìéêþí, ó÷åôéêÜ ìå åóÜò, êáé ïé ôá÷ýôçôåò õÁ ôùí áåñïóêáöþí, ó÷åôéêÜ ìå ôá êáôáäñïìéêÜ åßíáé ôïõ ðñþôïõ: 0,70 c êáé 0,40 c, ôïõ äåýôåñïõ: 0,40 c êáé 0,70 c, ôïõ ôñßôïõ: 0,20 c, 0,90 c êáé ôïõ ôÝôáñôïõ: 0,50 c êáé 0,60 c. (á) ×ùñßò íá ãñÜøåôå õðïëïãéóìïýò, êáôáôÜîôå ôéò ôá÷ýôçôåò ôùí áåñïóêáöþí ó÷åôéêÜ ìå åóÜò, îåêéíþíôáò áðü ôç ìåãáëýôåñç. (â) ×ùñßò íá ãñÜøåôå õðïëïãéóìïýò, êáôáôÜîôå ôá áåñïóêÜöç, óýìöùíá ìå ôéò áðïóôÜóåéò ôùí ðéëüôùí ôïõò, ìåôñïýìåíåò áðü ôç ãñáììÞ åêêßíçóçò ìÝ÷ñé ôç ãñáììÞ ôåñìáôéóìïý, îåêéíþíôáò áðü ôç ìåãáëýôåñç. 24 Óôï ó÷Þìá öáßíïíôáé äýï äéáóôçìéêÜ ï÷Þìáôá Á êáé  ðïõ êéíïýíôáé óôçí ßäéá åõèåßá. Ïé ôá÷ýôçôåò åßíáé ìåôñçìÝíåò óôï ßäéï óýóôçìá áíáöïñÜò. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ (Á) ó÷åôéêÜ ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ (Â) åßíáé (á) ìåãáëýôåñç áðü 0,7 c (â) ìéêñüôåñç áðü 0,7 c (ã) ßóç ìå 0,7 c 25 KÜíôå ôéò áíôéóôïé÷ßåò ìåôáîý ôùí ìåãåèþí ôçò áñéóôåñÜ óôÞëçò êáé ôùí ìïíÜäùí ôçò äåîéÜ óôÞëçò 1. ÌÜæá óùìáôéäßïõ á. 1 eV 2. ÏñìÞ óùìáôéäßïõ â. 1 eV/c 3. ÅíÝñãåéá óùìáôéäßïõ ã. 1 eV/c2 4. ÅðéôÜ÷õíóç óùìáôéäßïõ 26 Öáíôáóôåßôå Ýíá óïýðåñ ôñüëåú ðïõ ôñïöïäïôåßôáé áðü ôï çëåêôñéêü äßêôõï êáé ìéá óïýðåñ çëåêôñïêßíçôç ìïôïóõêëÝôá, ðïõ ìüíç ðçãÞ ôñïöïäïóßáò ôçò åßíáé ïé óïýðåñ çëåêôñéêÝò ìðáôáñßåò ôçò. Ôá äýï ï÷Þìáôá êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôá ðáñáðëÞóéá ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò. Ìåôñþíôáò ôç ìÜæá ôùí äýï ï÷çìÜôùí áðü ôï áêßíçôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôçò Ãçò âñßóêåôå üôé Ý÷åé áõîçèåß ç ìÜæá (á) êáé ôùí äýï ï÷çìÜôùí (â) êáíåíüò áðü ôá äýï ï÷Þìáôá (ã) ôïõ ôñüëåú (ä) ôçò ìïôïóõêëÝôáò 27 Ç åíÝñãåéá çñåìßáò êáé ç ïëéêÞ åíÝñãåéá áíôßóôïé÷á, ôñéþí óùìáôéäßùí åêðåöñáóìÝíá óõíáñôÞóåé ìéáò ðïóüôçôáò Á åßíáé: 1) Á, 2Á, 2) Á, 3Á, 3) 3Á, 4Á. ×ùñßò íá ãñÜøåôå õðïëïãéóìïýò, êáôáôÜîôå ôá óùìáôßäéá ìå âÜóç (á) ôç ìÜæá ôïõò (â) ôçí êéíçôéêÞ ôïõò åíÝñãåéá (ã) ôïí óõíôåëåóôÞ ôïõò ã êáé (ä) ôçí ôá÷ýôçôÜ ôïõò, îåêéíþíôáò áðü ôç ìåãáëýôåñç 28 Ãéáôß ï ÅñìÞò åßíáé ï êáôáëëçëüôåñïò ðëáíÞôçò ãéá íá ìáò áðïäåßîåé ôç ó÷Ýóç ôçò âáñýôçôáò ìå ôï ÷þñï; 278 MHXANIKH
- 295. ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 279 29 Ãéáôßåßíáé áðáñáßôçôï íá âñßóêåôáé óå ïëéêÞ Ýêëåéøç ï ¹ëéïò, üôáí ìåôñÜìå ôçí áðüêëéóç ôïõ öùôüò åíüò Üóôñïõ, ðïõ âñßóêåôáé êïíôÜ ôïõ; ¸íá ôÝôïéï Üóôñï öáßíåôáé íá Ý÷åé ìåôáêéíçèåß (á) ðñïò ôï ìÝñïò ôïõ ¹ëéïõ; (â) ìáêñéÜ áðü ôïí ¹ëéï; 30 Ãéáôß ìåôáâÜëëåôáé ç âáñõôéêÞ Ýëîç ìåôáîý ¹ëéïõ êáé ÅñìÞ; Èá ìåôáâáëëüôáí, áí ç ôñï÷éÜ ôïõ ÅñìÞ Þôáí êõêëéêÞ; 31 Ðïéá áðü ôéò áêüëïõèåò ðñïôÜóåéò, ðïõ áíáöÝñïíôáé óôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò óôï êåíü åßíáé óùóôÞ; (á) Ôï öùò Ý÷åé ðÜíôá óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá óôï êåíü. (â) Ôï öùò äåí Ý÷åé ðÜíôïôå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá, áëëÜ óå ìåñéêÝò ðåñéï÷Ýò ôïõ ÷þñïõ åßíáé ìéêñüôåñç áð’ üôé óå Üëëåò. 32 ÐïéÜ áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÞ; (á) Óå ìåñéêÝò ðåñéï÷Ýò ôïõ óýìðáíôïò, ðáñüëï ðïõ âñßóêïíôáí óå çñåìßá óå ó÷Ýóç ìå åìÜò, ï ÷ñüíïò êõëÜåé ðéï áñãÜ áðü üôé óå ìáò. (â) Äåí õðÜñ÷ïõí ðåñéï÷Ýò ôïõ óýìðáíôïò óôéò ïðïßåò ï ÷ñüíïò íá êõëÜåé ðéï áñãÜ áð’ üôé óå ìáò. 33 Áí ï ¹ëéïò óõññéêíùíüôáí îáöíéêÜ, ìå êÜðïéï ôñüðï, óå ìáýñç ïðÞ, ç ôñï÷éáêÞ ôá÷ýôçôá ôçò Ãçò (á) èá áõîçèåß (â) èá ìåéùèåß (ã) èá ðáñáìåßíåé ç ßäéá 34 Óýìöùíá ìå ôç èåùñßá ôïõ ÁúíóôÜéí ãéá ôç âáñýôçôá, Ýíáò ìáêñéíüò ðáñáôçñçôÞò ðïõ ðáñáôçñåß ôï öùò íá ðåñíÜ êïíôÜ áðü óþìá ðïëý ìåãÜëçò ìÜæáò, èá äéáðéóôþóåé üôé ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò (á) áõîÜíåôáé (â) ìåéþíåôáé (ã) äåí ðáèáßíåé áðïëýôùò êáìéÜ ìåôáâïëÞ 35 ÕðïèÝóôå üôé äýï áäåëöÝò åñãÜæïíôáé óôçí ßäéá õðçñåóßá, ç ìéá óôá ãñáöåßá ôïõ éóïãåßïõ åíüò ïõñáíïîýóôç ðïëý ìåãÜëïõ ýøïõò, êáé ç Üëëç óôá ãñáöåßá ôïõ ôåëåõôáßïõ ïñüöïõ ôïõ ßäéïõ ïõñáíïîýóôç. (á) Ðéï ãñÞãïñá ìåãáëþíåé áõôÞ ðïõ åñãÜæåôáé óôá ãñáöåßá ôïõ ôåëåõôáßïõ ïñüöïõ. (â) Ðéï ãñÞãïñá ìåãáëþíåé áõôÞ ðïõ åñãÜæåôáé óôá ãñáöåßïõ ôïõ éóïãåßïõ; (ã) Ôï ßäéï ìåãáëþíïõí êáé ïé äýï áäåëöÝò. 36 ÕðïèÝóôå üôé äýï õðÜëëçëïé åñãÜæïíôáé ï Ýíáò óôï éóüãåéï ôïõ êôéñßïõ êáé ï Üëëïò óå Ýíá õðüãåéï, ðïõ âñßóêåôáé óå ìåãÜëï âÜèïò. (á) Ðéï ãñÞãïñá ìåãáëþíåé áõôüò ðïõ åñãÜæåôáé óôï éóüãåéï ôïõ êôéñßïõ; (â) Ôï ßäéï ìåãáëþíïõí êáé ïé äýï õðÜëëçëïé; (ã) Ðéï ãñÞãïñá ìåãáëþíåé áõôüò ðïõ åñãÜæåôáé óôï õðüãåéï ôïõ êôéñßïõ; 37 ¸íá ñïëüé ðïõ âñßóêåôáé óôïí Éóçìåñéíü ôçò Ãçò, óå ó÷Ýóç ìå Ýíá üìïéï ñïëüé, ðïõ âñßóêåôáé óôïí Ýíáí áðü ôïõò ðüëïõò ôçò (á) èá ðçãáßíåé ëßãï ðéï ìðñïóôÜ (â) èá ðçãáßíåé ëßãï ðéï ðßóù (ã) èá äåß÷íïõí áêñéâþò ôçí ßäéá þñá 38 ÕðïèÝóôå üôé ðáñáôçñïýìå öùò ðïõ åêðÝìðåôáé áðü ôç ÓåëÞíç. Èá ðåñéìÝíáôå íá äïýìå (á) ìåôáôüðéóç ðñïò ôï åñõèñü (â) êáìéÜ ìåôáôüðéóç (ã) ìåôáôüðéóç ðñïò ôï ìðëå AÓÊÇÓÅÉÓ - ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ 1 Äýï ï÷Þìáôá Á êáé  ôïõ áóôñéêïý óôüëïõ óçìåßá îåêéíïýí áðü äýï óçìåßá êáé êéíïýíôáé óå ðáñÜëëçëåò åõèåßåò ìå áìïéâáßá áðüóôáóç d. Ï ðéëüôïò ôïõ Á ï÷Þìáôïò åðéôñÝðåé óôïí ðéëüôï ôïõ  ï÷Þìáôïò íá îåêéíÞóåé íùñßôåñá êáôÜ Ýíá ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät0 (ùò ðñïò ôï Á). Íá ðñïóäéïñéóôåß ôï áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò óôï ïðïßï ç åêêßíçóç ôùí äýï ï÷çìÜôùí åßíáé ôáõôü÷ñïíç. 2 ¸íá äéáóôçìüðëïéï ìå ìÞêïò çñåìßáò 130 m ðñïóðåñíÜ Ýíáí äéáóôçìéêü óôáèìü ìå ôá÷ýôçôá 0,740 c. (á) Ðïéü åßíáé ôï ìÞêïò ôïõ äéáóôçìïðëïßïõ üðùò ôï ìåôñÜ ï óôáèìüò; (â) Ðïéü ÷ñïíéêü äéÜóôçìá êáôáãñÜöåé ôï ñïëüé
- 296. ôïõ óôáèìïý, áðüôç óôéãìÞ ðïõ åìöáíßóôçêå ôï ìðñïóôÜ ìÝñïò ôïõ äéáóôçìüðëïéïõ ìÝ÷ñé íá ðåñÜóåé üëï ôï äéáóôçìüðëïéï; 3 ¸íáò ðáñáôçñçôÞò óå óýóôçìá áíáöïñÜò Ê, âëÝðåé ìéá Ýíôïíç ëÜìøç öùôüò 1200 m ìáêñõÜ áðü ôç èÝóç ôïõ êáé ìéá áóèåíÞ ëÜìøç öùôüò 720 m ðéï êïíôÜ, óôçí ßäéá åõèåßá ìå ôçí Ýíôïíç ëÜìøç. Ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ìåôáîý ôùí äýï ëÜìøåùí, üðùò ìåôñéÝôáé áðü áõôüí, åßíáé 5 × 10− 6 s ìå ðñþôç ôçí Ýíôïíç ëÜìøç. (á) ÐïéÜ ç ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá åíüò Üëëïõ ðáñáôçñçôÞ, óå óýóôçìá Ê′, ðïõ êáôáãñÜöåé ôéò äýï ëÜìøåéò íá óõìâáßíïõí óôçí ßäéá èÝóç; (â) ÐïéÜ ëÜìøç óõìâáßíåé ðñþôç óôï óýóôçìá Ê′; (ã) Ðïéü ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ìåôáîý ôùí äýï ëÜìøåùí êáôáãñÜöåé ï Ê′; 4 ¸íáò ðáñáôçñçôÞò, óå óýóôçìá K, êáôáãñÜöåé Ýíá ãåãïíüò ìå ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôïõ ÷ùñü÷ñïíïõ x = 100 km êáé t = 100 × 10− 6 s. ÐïéÝò ïé ÷ùñï÷ñïíéêÝò óõíôåôáãìÝíåò áõôïý ôïõ ãåãïíüôïò, üðùò êáôáãñÜöïíôáé áðü ðáñáôçñçôÞ óå óýóôçìá Ê′, ðïõ êéíåßôáé êáôÜ ìÞêïò ôïõ Üîïíá x ìå ôá÷ýôçôá 0,950 c ó÷åôéêÜ ìå ôï óýóôçìá Ê (êáôÜ ôá ãíùóôÜ). ÕðïèÝóôå üôé ôçí t′ = t = 0 åßíáé x′ = x = 0. 5 Áäñáíåéáêü óýóôçìá áíáöïñÜò Ê′ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ = 0,60 c óå ó÷Ýóç ìå Üëëï óýóôçìá Ê. ÕðïèÝóôå üôé ôç t′ = t = 0, x′ = x = 0, äýï ãåãïíüôá êáôáãñÜöïíôáé óôï Ê. Ôï ãåãïíüò 1 óõìâáßíåé ôçí t = 0 óôç èÝóç x = 0 êáé ôï ãåãïíüò 2 óôç èÝóç x = 3 km ôçí t = 4 × 10−6 s. ÐïéÝò ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò êáôáãñÜöåé ï ðáñáôçñçôÞò ôïõ óõóôÞìáôïò Ê′ ãéá ôá ßäéá ãåãïíüôá; 6 Äýï áôïìéêÜ ñïëüãéá êáéóßïõ Ý÷ïõí óõã÷ñïíéóôåß áðïëýôùò. Ôï Ýíá ðáñáìÝíåé óôç Ãç, åíþ ôï Üëëï ôïðïèåôåßôáé óå Ýíá õðåñç÷çôéêü áåñïðëÜíï, ðïõ ôáîéäåýåé ìå ìÝóç ôá÷ýôçôá 1440 km/h êáé ìåôÜ áðü ôáîßäé 5,00 ùñþí (óýìöùíá ìå ôï ãÞéíï ñïëüé) åðéóôñÝöåé. (á) Ðüóï èá äéáöÝñïõí ïé åíäåßîåéò ôùí äýï ñïëïãéþí; (â) Ðïéü ñïëüé èá äåß÷íåé ôç ìéêñüôåñç äéÜñêåéá ðôÞóçò; [ÅðåéäÞ õ/c << 1 ÷ñçóéìïðïéÞóôå ôïí ðñïóåããéóôéêü ôýðï (1+x)n ≈ 1+nx] 7 To 1961 o êïóìïíáýôçò G.S. Titov äéÝãñáöå êýêëïõò ãýñù áðü ôç Ãç åðß 25,00 þñåò ìå ôá÷ýôçôá 7,8 km/s. (á) Ðüóïò Þôáí ï óõíôåëåóôÞò äéáóôïëÞò ÷ñüíïõ ôïõ ñïëïãéïý ôïõ ùò ðñïò ôá ñïëüãéá ôçò Ãçò; (â) Ðüóá äåõôåñüëåðôá Ýìåéíå ðßóù ôï ñïëüé ôïõ, êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò äéáäñïìÞò; 8 Ôï öùò ãéá íá öèÜóåé óôç ãç áðï ôá ðéï ìáêñõíÜ Üóôñá ôïõ ãáëáîßá ìáò èÝëåé 105 Ýôç öùôüò. Èá ìðïñïýóå Ýíáò Üíèñùðïò ðïõ îåêéíÜ áðü ôç Ãç óå çëéêßá 15 åôþí íá öèÜóåé åêåß üôáí ãßíåé 65 åôþí; (Äßíåôáé üôé: (1+x)n ≈ 1+nx) 9 ~Åíá äéáóôçìéêü ü÷çìá êáôåõèýíåôáé ðñïò ôç ÓåëÞíç ìå ôá÷ýôçôá 0,8c (ùò ðñïò ôç Ãç). (á) Ðüóï äéáñêåß ôï ôáîßäé Ãç - ÓåëÞíç óýìöùíá ìå ðáñáôçñçôÞ ôçò ãçò; (â) ÐïéÜ ç áðüóôáóç Ãçò - ÓåëÞíçò óýìöùíá ìå ôïí ðéëüôï ôïõ ï÷Þìáôïò; (ã) Ðüóï äéáñêåß ôï ôáîßäé ãéá ôïí ðéëüôï; Äßäåôáé áðüóôáóç Ãçò - ÓåëÞíçò 3,84 × 108 m. 10 Äéáóôçìüðëïéï (ðáñÜëëçëï óôïí Üîïíá x′) åíüò óõóôÞìáôïò Ê′, êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ′x = 0,1 c ùò ðñïò ôï Ê′ êáé Ý÷åé óå áõôü ìÞêïò L′ = 110 m. Áí ôï óýóôçìá Ê′ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá ux ùò ðñïò Üëëï óýóôçìá Ê (êáôÜ ôá ãíùóôÜ) ùò ðñïò ôï ïðïßï ôï äéáóôçìüðëïéï Ý÷åé ìÞêïò L = 100 m, íá õðïëïãßóåôå (á) ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ äéáóôçìüðëïéïõ ùò ðñïò ôï Ê (â) ôçí ôá÷ýôçôá u (ã) ôï ìÞêïò ôïõ äéáóôçìüðëïéïõ óôï óýóôçìá, óôï ïðïßï åßíáé áêßíçôï 11 Ôá ðéüíéá (ð) ðáñÜãïíôáé êáôÜ ôïí âïìâáñäéóìü êáôÜëëçëùí óôü÷ùí ìå õøçëÞò åíÝñãåéáò ðñùôüíéá êáé åãêáôáëåßðïõí ôï óôü÷ï ìå ôá÷ýôçôá 0,991 c. Aí ï ÷ñüíïò çìßóåéáò æùÞò ôùí ðéïíßùí óôï óýóôçìÜ ôïõò åßíáé 1,77 × 10- 8 s. Íá âñåèåß óå ðüóç áðüóôáóç áðü ôï óôü÷ï ï áñéèìüò áõôþí Ý÷åé ðÝóåé óôï ìéóü ôïõ áñ÷éêïý. 12 ¸íá ì - ìåóüíéï ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ = 0,99 c óôï óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ äéÜíõóå áðüóôáóç 3,0 km áðü ôç óôéãìÞ ôçò ãÝííçóÞò ôïõ ìÝ÷ñé íá äéáóôðáóôåß. Íá õðïëïãéóôåß 280 MHXANIKH
- 297. ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 281 (á)ï ÷ñüíïò æùÞò ôïõ ì-ìåóïíßïõ (äçëáäÞ ôï ÷ñüíï áðü ôç ãÝííçóç ìÝ÷ñé ôç äéÜóðáóÞ ôïõ, óå óýóôçìá óôï ïðïßï çñåìåß) (â) ç áðüóôáóç ðïõ “âëÝðåé” ôï ìåóüíéï üôé äéÜíõóå 13 Áðü ôç óôéãìÞ ôçò äçìéïõñãßáò, óôï åñãáóôÞñéï åíüò ìåóïíßïõ ð+ (ðéüíéï) ðñÝðåé íá äéáíýóåé Ýíáí áåñüêåíï óùëÞíá ìÞêïõò 3,0 km ãéá íá öôÜóåé óôçí ðåéñáìáôéêÞ óõóêåõÞ áíß÷íåõóÞò ôïõ. Ôï ìåóüíéï ð+ Ý÷åé äéÜñêåéá æùÞò 2,6 × 10−8 s (óôï óýóôçìá çñåìßáò ôïõ) (á) Ìå ðüóç ôá÷ýôçôá ðñÝðåé íá êéíåßôáé óôï óùìáôßäéï áõôü, þóôå íá ðñïëÜâïõìå íá ôï áíé÷íåýóïõìå ðñïôïý äéáóðáóôåß; (â) Áí ç åíÝñãåéá çñåìßáò ôïõ åßíáé 139,6 MeV, ðüóç åßíáé ç ïëéêÞ ôïõ åíÝñãåéá, üôáí êéíåßôáé ìå ôçí ôá÷ýôçôá, ðïõ âñÞêáôå óôï åñþôçìá (á); 14 Ï ÷ñüíïò æùÞò åíüò ìéïíßïõ óôï óýóôçìá çñåìßáò ôïõ åßíáé 2,2 × 10− 6 s. Ï áíôßóôïé÷ïò ÷ñüíïò æùÞò åíüò ìéïíßïõ, ðïõ ðáñÜãåôáé áðü ìéá Ýêñçîç êïóìéêÞò áêôéíïâïëßáò, ìåôñïýìåíïò áðü ôç Ãç åßíáé 16 × 10− 6 s. ÐïéÜ ç ôá÷ýôçôá ôùí ìéïíßùí ôçò êïóìéêÞò áêôéíïâïëßáò óå ó÷Ýóç ìå ôç Ãç; 15 ¸íá ðéüíéï ðáñÜãåôáé óôá õøçëÜ óôñþìáôá ôçò áôìüóöáéñáò ôçò Ãçò, üôáí Ýíá óùìáôßäéï êïóìéêÞò áêôéíïâïëßáò, õøçëÞò åíÝñãåéáò óõãêñïõóôåß ìå Ýíáí ðõñÞíá áôüìïõ. Ôï ðéüíéï êáôÝñ÷åôáé ðñïò ôç Ãç ìå ôá÷ýôçôá 0,99 c ùò ðñïò ôï óýóôçìá çñåìßáò ôïõ. Ôá ðéüíéá åìöáíßæïõí ÷ñüíï æùÞò 26 × 10− 6 s. Ðüóç áðüóôáóç èá äéáíýóåé ôï ðéüíéï ùò ðñïò ôç Ãç ìÝ÷ñé íá äéáóðáóôåß; 16 ÊáôÜ ôç äéÜñêåéá åíüò áóôñéêïý ðïëÝìïõ Ýíá ìá÷çôéêü êáé Ýíá êáôáäñïìéêü ôïõ áóôñéêïý óôüëïõ êéíïýíôáé ðñïò áíôßèåôåò êáôåõèýíóåéò. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ ìá÷çôéêïý ùò ðñïò ôç ãç åßíáé 0,800c êáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ åíüò ï÷Þìáôïò üðùò ìåôñéÝôáé áðü ôï Üëëï åßíáé 0,900c. ÐïéÜ åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ êáôáäñïìéêïý ùò ðñïò ôç ãç; 17 ¸íá óùìáôßäéï ôçò êïóìéêÞò áêôéíïâïëßáò ðëçóéÜæåé ôç Ãç êáôÜ ìÞêïò ôïõ Üîïíá âïññÜ - íüôïõ ìå ôá÷ýôçôá 0,80 c êïíôÜ óôïí âüñåéï ãåùãñáöéêü ðüëï. ¸íá Üëëï óùìáôßäéï ðëçóéÜæåé ôç Ãç, êáôÜ ìÞêïò ôïõ ßäéïõ Üîïíá ìå ôá÷ýôçôá 0,60 c êïíôÜ óôï íüôéï ðüëï. ÐïéÜ ç ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá ðñïóÝããéóçò ôïõ åíüò ùò ðñïò ôï Üëëï, üðùò ìåôñéÝôáé áðü ôï äåýôåñï óùìáôßäéï; 18 ~Åíá å÷èñéêü äéáóôçìüðëïéï ðïõ êéíåßôáé ðñïò ôç Ãç åêôïîåýåé Ýíá ðýñáõëï ðñïò ôç Ãç ìå ôá÷ýôçôá 0,840c ùò ðñïò ôï äéáóôçìüðëïéï. ~Åíáò ðáñáôçñçôÞò áðü åðßãåéï óôáèìü äéáðéóôþíåé üôé ï ðýñáõëïò ðëçóéÜæåé ìå ôá÷ýôçôá 0,360c. Ìå ðüóç ôá÷ýôçôá åêôéìÜ ï åðßãåéïò ðáñáôçñçôÞò üôé êéíåßôáé ôï äéáóôçìüðëïéï; Ãéá ôïí ßäéï ðáñáôçñçôÞ, ôï äéáóôçìüðëïéï ðëçóéÜæåé Þ áðïìáêñýíåôáé áðü ôç Ãç; 19 Ñáäéåíåñãüò ðõñÞíáò êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá 0,1 c ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ êáôá ôç äéåýèõíóç ôïõ Üîïíá x êáé åêðÝìðåé Ýíá çëåêôñüíéï ìå ôá÷ýôçôá ìå ôá÷ýôçôá 0,8 c ùò ðñïò ôïí ðõñÞíá. ÐïéÜ ç ôá÷ýôçôá ôïõ çëåêôñïíßïõ ùò ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ áí óå ó÷Ýóç ìå ôï óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ ðõñÞíá ôï çëåêôñüíéï åêðÝìðåôáé: á) êáôÜ ôç öïñÜ êßíçóçò êáé â) êáôÜ ôçí áíôßèåôç öïñÜ ðñïò ôç öïñÜ êßíçóçò ôïõ ðõñÞíá. 20 Áðü ìåôñÞóåéò ôçò ìåôáôüðéóçò ðñïò ôï åñõèñü ôïõ åêðåìðüìåíïõ öùôüò áðü ôá êïõáóÜñ, âñÝèçêå üôé Ýíá êïõáóÜñ (quasi - stellar - source) Q1 áðïìáêñýíåôáé áðü åìÜò ìå ôá÷ýôçôá 0,800 c êáé Ýíá Üëëï êïõáóÜñ Q2 , ðïõ âñßóêåôáé óôçí ßäéá åõèåßá ìå ôï Q1 , áðïìáêñýíåôáé ìå ôá÷ýôçôá 0,400c. Ðüóç ôá÷ýôçôá ìåôñÜ, ãéá ôï Q2 Ýíáò ðáñáôçñçôÞò ðïõ âñßóêåôáé óôï Q1 . 21 ÐïéÜ ç ôá÷ýôçôá åíüò óùìáôéäßïõ ôïõ ïðïßïõ (á) ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åßíáé ßóç ìå ôï äéðëÜóéï ôçò åíÝñãåéáò çñåìßáò ôïõ êáé (â) ç ïëéêÞ åíÝñãåéá åßíáé äéðëÜóéá áðü ôçí åíÝñãåéá çñåìßáò ôïõ 22 Õðïëïãßóôå ôçí ôá÷ýôçôá åíüò óùìáôéäßïõ ôïõ ïðïßïõ ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá åßíáé ßóç ìå: (á) ôçí åíÝñãåéá çñåìßáò ôïõ êáé (â) ôï ðåíôáðëÜóéï ôçò åíÝñãåéáò çñåìßáò ôïõ. 23 Óôï ãñáììéêü åðéôá÷õíôÞ ôïõ Stanford, ðïõ Ý÷åé ìÞêïò
- 298. 3 km, ôáçëåêôñüíéá áðïêôïýí åíÝñãåéá 20 GeV. (á) ÐïéÜ ç ôá÷ýôçôá ôùí çëåêôñïíßùí; (â) Ðüóï ìÞêïò öáßíåôáé íá Ý÷åé ï åðéôá÷õíôÞò óå Ýíá çëåêôñüíéï; Äßíåôáé ç ìÜæá ôïõ çëåêôñïíßïõ 0,511 ÌeV/c2 . 24 ¸íá ðñùôüíéï åðéôá÷ýíèçêå óôï óýã÷ñïôñï ôïõ åñãáóôçñßïõ Fermi êáé áðÝêôçóå êéíçôéêÞ åíÝñãåéá 500 GeV. Õðïëïãßóôå (á) ôï óõíôåëåóôÞ ã (â) ôï ëüãï õ/c (ã) Áí ôï ðñùôüíéï åêôåëåß ïìáëÞ êõêëéêÞ êßíçóç, ìÝóá óå ïìïãåíÝò ìáãíçôéêü ðåäßï, áêôßíáò 750 m, ðïéÜ ç ìáãíçôéêÞ åðáãùãÞ ôïõ ðåäßïõ; Äßíåôáé ç åíÝñãåéá çñåìßáò ôïõ ðñùôïíßïõ 938,3 MeV. 25 ~Åíá ðñùôüíéï êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá 0,95c. Õðïëïãßóôå: (á) ôçí åíÝñãåéá çñåìßáò, (â) ôçí ïëéêÞ åíÝñãåéá êáé (ã) ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ ðñùôïíßïõ. 26 ¸íá çëåêôñüíéï êéíåßôáé Ýôóé þóôå íá ìðïñåß íá êÜíåé ìéá ðåñéóôñïöÞ ãýñù áðü ôç Ãç, óôïí Éóçìåñéíü óå ÷ñüíï 1,00 s. (á) ÐïéÜ ç ôá÷ýôçôá ôïõ e− , óå ó÷Ýóç ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò; (â) ÐïéÜ ç êéíçôéêÞ ôïõ åíÝñãåéá; (ã) Ðïéü ðïóïóôü ëÜèïõò êÜíïõìå áí ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ôïõò êëáóéêïýò õðïëïãéóìïýò; 27 ~Åíá ðñùôüíéï ìå ìÜæá (çñåìßáò) 938,28 MeV/c2 êéíåßôáé (á) ìå ôá÷ýôçôá 0,5c êáé (â) ìå ôá÷ýôçôá 0,99c. ÐïéÜ ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ ðñùôïíßïõ óýìöùíá ìå ôçí êëáóéêÞ êáé ôçí ó÷åôéêéóôéêÞ öõóéêÞ ãéá ôéò äýï ðåñéðôþóåéò; 28 ~Åíá óùìáôßäéï Ý÷åé ìÜæá 3,32 × 10- 27 kg êáé ïñìÞ 9,65 × 10- 19 kg^m/s. (á) Ðüóç åßíáé ç ïëéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óùìáôéäßïõ; (â) Ðüóç åßíáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óùìáôéäßïõ; (ã) Ðüóïò åßíáé ï ëüãïò ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ðñïò ôçí åíÝñãåéá çñåìßáò ôïõ óùìáôéäßïõ; 29 Ôá êïõáóÜñ ðéèáíüí íá åßíáé ëáìðñïß ðõñÞíåò ðïëý ìáêñéíþí ãáëáîéþí, ôïõò ïðïßïõò âëÝðïõìå ôþñá üðùò Þôáí íÝïé. ¸íá ôõðéêü êïõáóÜñ åêðÝìðåé åíÝñãåéá ìå éó÷ý 1041 W. Ìå ðïéá óõ÷íüôçôá ìåéþíåôáé ç ìÜæá ôïõ êïõáóÜñ ãéá íá äþóåé áõôÞ ôçí åíÝñãåéá; 30 Ï ÷ñüíïò æùÞò åíüò ìéïíßïõ óôï óýóôçìá çñåìßáò ôïõ åßíáé 2,20 × 10− 6 s (á) Ðüóç åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ ìéïíßïõ ùò ðñïò ôç Ãç; (â) Ðüóç ç êéíçôéêÞ ôïõ åíÝñãåéá êáé (ã) Ðüóç ç ïñìÞ ôïõ ùò ðñïò ôç Ãç; Ç ìÜæá ôïõ ìéïíßïõ åßíáé 207 öïñÝò ôç ìÜæá ôïõ çëåêôñïíßïõ. 31 Õðïëïãßóôå ôç ìÜæá åíüò óùìáôéäßïõ (åêðåöñáóìÝíç óå ìÜæåò çëåêôñïíßïõ), ðïõ Ý÷åé êéíçôéêÞ åíÝñãåéá 55,0 MeV êáé ïñìÞ 121 MeV/c. Ðïéü åßíáé ôï óùìáôßäéï; 32 ÈåùñÞóôå üôé üëá ôá ðáñáêÜôù óùìáôßäéá êéíïýíôáé óôï äéÜóôçìá.(á) öùôüíéï 2,0 eV, (â) çëåêôñüíéï 0,40 MeV êáé (ã) 10,0 MeV. (1) Ðïéü êéíåßôáé ãñçãïñüôåñá; (2) Ðïéü åßíáé ôï áñãüôåñï; (3) Ðïéü Ý÷åé ôç ìåãáëýôåñç ïñìÞ; (4) Ðïéü Ý÷åé ôç ìéêñüôåñç ïñìÞ; 33 ¸íá óùìáôßäéï Ý÷åé êéíçôéêÞ åíÝñãåéá 10,0 MeV. Õðïëïãßóôå (á) ôï ëüãï õ/c êáé (â) ôï óõíôåëåóôÞ Lorentz ã, áí ôï óùìÜôéï åßíáé: 1) çëåêôñüíéï, 2) ðñùôüíéï êáé 3) óùìÜôéï á. 34 ¸íá óùìáôßäéï Ý÷åé ôá÷ýôçôá 0,990 cm ðñïò ôï óýóôçìá ôïõ åñãáóôçñßïõ. ÐïéÜ ç êéíçôéêÞ, ç ïëéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óùìáôéäßïõ êáé ç ïñìÞ ôïõ, áí ôï óùìÜôéï åßíáé á) ðñùôüíéï, â) çëåêôñüíéï; 35 (á) ×ñçóéìïðïéþíôáò ôçí ó÷Ýóç åíÝñãåéáò ïñìÞò ôçò ÅéäéêÞò Ó÷åôéêüôçôáò íá åêöñÜóåôå ôçí ïñìÞ åíüò öùôïíßïõ ùò óõíÜñôçóç ôçò óõ÷íüôçôÜò ôïõ. (â) Íá äåé÷èåß üôé Ýíá åëåýèåñï çëåêôñüíéï äåí ìðïñåß íá áðïññïöÞóåé åíôåëþò Ýíá öùôüíéï. 36 ¼ðùò Ý÷ïõìå áðïäåßîåé Ýíá óùìáôßäéï öïñôßïõ q êáé ìÜæáò m, üôáí åêôïîåõèåß ìå ôá÷ýôçôá êÜèåôç óôéò äõíáìéêÝò ãñáììÝò ïìïãåíïýò ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ìáãíçôéêÞò åðáãùãÞò Â, åêôåëåß ïìáëÞ 282 MHXANIKH
- 299. ÈÅÙÑÉÁ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ 283 êõêëéêÞêßíçóç áêôßíáò ìå ðåñßïäï ðïõ åßíáé áíåîÜñôçôç ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ óùìáôéäßïõ êáé ôçò áêôßíáò ôçò ôñï÷éÜò. ÁõôÜ éó÷ýïõí ìüíï áí õ << c. Ãéá óùìáôßäéá üìùò, ðïõ êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôåò ðáñáðëÞóéåò ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ öùôüò, äåí îÝñåôå áí ïé ôýðïé áõôïß éó÷ýïõí. Õðïëïãßóôå ôçí áêôßíá êáé ôçí ðåñßïäï ôçò êõêëéêÞò ôñï÷éÜò åíüò çëåêôñïíßïõ 10,0 MeV, ðïõ êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá êÜèåôç óôéò äõíáìéêÝò ãñáììÝò ïìïãåíïýò ìáãíçôéêïý ðåäßïõ  = 2,20 Ô ÷ñçóéìïðïéþíôáò: (á) êëáóéêïýò ôýðïõò êáé (â) ó÷åôéêéóôéêïýò. Åßíáé ôï áðïôÝëåóìá ãéá ôçí ðåñßïäï áíåîÜñôçôï ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ óùìáôéäßïõ; 37 Äåßîôå üôé ç ó÷Ýóç ãéá → â → 0 ïäçãåß óôï ãíùóôü íüìï ôçò ðáãêüóìéáò Ýëîçò ôïõ Íåýôùíá. 38 (á) Ï ðýñãïò ôïõ Eiffel óôï Ðáñßóé Ý÷åé ýøïò 300m. Ðüóç åßíáé ç åñõèñÞ ìåôáôüðéóç ìåôáîý âÜóçò êáé êïñõöÞò ôïõ ðýñãïõ; (â) Ðüóç åßíáé ãéá ôï Everest; (õøïìåôñéêÞ äéáöïñÜ ðåñßðïõ 8000 m) 39 Ç óùóôÞ ôéìÞ ãéá ôç ãùíéáêÞ åêôñïðÞ ôïõ öùôüò ðïõ îåêéíÜ áðü ìåãÜëç áðüóôáóç áðü ïõñÜíéï óþìá áêôßíáò R êáé ìÜæáò Ì êáé ðåñíÜ ðïëý êïíôÜ áðü ôçí åðéöÜíåéÜ ôïõ, åíþ óôç óõíÝ÷åéá öèÜíåé óå ìåãÜëç áðüóôáóç áðü áõôü, äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç, Âñåßôå ôçí åêôñïðÞ ãéá ôçí ðåñßðôùóç ôïõ ~Çëéïõ. ÌÇ = 2,0 × 1030 kg, RH =7,0 × 108 m, G = 6,7 × 10−11 Nm2 /kg2 . 40 Õðïëïãßóôå ðüóç ðñÝðåé íá ãßíåé (áöïý óõññéêíùèåß) ç áêôßíá ôïõ ~Hëéïõ ãéá íá ìåôáôñáðåß óå ìáýñç ôñýðá (ïðÞ); Ç ðõñçíéêÞ ðõêíüôçôá åßíáé 2,3 × 1017 kg/m3 . Ôß ðïóïóôü áõôÞò ðñÝðåé íá ãßíåé ç ðõêíüôçôá ôïõ Þëéïõ üôáí áõôüò ãßíåé ìáýñç ôñýðá; 41 Áôïìéêü ñïëüé âñßóêåôáé óå áåñïðëÜíï ðïõ ðåôÜ óå ýøïò 12 000 m. Ôï áåñïðëÜíï êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá 850 km/h. Óõãêñßíåôå ôç óõìâïëÞ óôç «äéáóôïëÞ» ôïõ ÷ñüíïõ ðïõ ïöåßëåôáé óôçí åéäéêÞ ó÷åôéêüôçôá êáé óôç ãåíéêÞ ó÷åôéêüôçôá óå ó÷Ýóç ìå ñïëüé ðïõ âñßóêåôáé óôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò (óôï ýøïò ôçò åðéöÜíåéáò ôçò èÜëáóóáò). c = 3,0 × 108 m/s, g = 10 m/s2 Äö GM R c = 2 2 F GM E c e â â â e r r r = − F HG I KJ + − ⋅ L NM O QP→ → → → 2 2 2 1e j ( ) T m q B = ⏐⏐ 2ð r mõ q B = ⏐⏐
- 300. 284 MHXANIKH NASA: Çåêôüîåõóç Äéáóôçìéêïý Ëåùöïñåßïõ (Space Shuttle) PHOTO CERN Ðñïóïìïßùóç ðáñáãùãÞò óùìáôéäßùí óôï ðåßñáìá ATLAS óôï CERN. Äçìéïõñãåßôáé êáé Ýíá óùìáôßäéï higgs (÷éããò) ðïõ äéáóðÜôáé óå 4 ìéüíéá. Ôï ÷éããò äåí Ý÷åé áêüìç ðáñáôçñçèåß.
- 301. 4.5 ÓÔÏÉ×ÅÉÁ ÊÂÁÍÔÏÌÇ×ÁÍÉÊÇÓ ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÇÖõóéêÞ ÅðéóôÞìç, ìÝ÷ñé ôá ôÝëç ôïõ 19ïõ áéþíá, åß÷å êáôïñèþóåé íá äéáôõðþóåé ôïõò íüìïõò ðïõ äéÝðïõí ôï ìáêñüêïóìï óå ìéá êïìøÞ êáé óáöÞ ìïñöÞ ìå Ýíá ìéêñü ðëÞèïò ìáèçìáôéêþí åîéóþóåùí. Ôï óýíïëï ôùí íüìùí áõôþí ïíïìÜæåôáé óÞìåñá ÊëáóéêÞ ÖõóéêÞ. Ç êëáóéêÞ öõóéêÞ äéá÷ùñßæåé óáöþò ôá óùìáôßäéá áðü ôá êýìáôá, ôá ïðïßá èåùñïýíôáé äýï äéáöïñåôéêÝò ïíôüôçôåò. ¸íá óùìáôßäéï êéíåßôáé, Ýôóé þóôå êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ç èÝóç ôïõ êáé ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ íá åßíáé êáèïñéóìÝíåò êáé Ý÷åé ìéá óáöÞ ôñï÷éÜ. Ôï êýìá äåí åßíáé åíôïðéóìÝíï óå ìéá ðåñéï÷Þ ôïõ ÷þñïõ êáé ôï åîåôáæüìåíï êõìáôéêü ìÝãåèïò ðåñéãñÜöåôáé ùò óõíÜñôçóç ôïõ ÷ñüíïõ êáé ôïõ ÷þñïõ. Áêüìç ìÝ÷ñé ôá ôÝëç ôïõ 19ïõ áéþíá, åêôüò áðü ôçí ðñïóðÜèåéá åîÞãçóçò ôùí ðáñáôçñÞóåùí óôï ìáêñüêïóìï ìå ëßãïõò áðëïýò íüìïõò, áíáðôý÷èçêáí ðåéñáìáôéêÝò äéáôÜîåéò êáé ðñïûðïèÝóåéò, ïé ïðïßåò Ýäùóáí ôç äõíáôüôçôá ìåëÝôçò ôïõ áôïìéêïý ìéêñüêïóìïõ. Áðü ôá ðåéñÜìáôá óå áôïìéêü åðßðåäï ðñïÝêõøáí ïñéóìÝíá äåäïìÝíá. Ãéá ôïõò öõóéêïýò ôïõ ôÝëïõò ôïõ 19ïõ êáé ôùí áñ÷þí ôïõ 20ïõ áéþíá, Þôáí áðïëýôùò öõóéïëïãéêü íá åöáñìüæïíôáé ïé íüìïé ôçò ÊëáóéêÞò ÖõóéêÞò óå áôïìéêü åðßðåäï ãéá ôçí åîÞãçóç ôùí ðåéñáìáôéêþí äåäïìÝíùí. Ç áðüðåéñá áõôÞ åóôÝöèåé áðü ðáôáãþäç áðïôõ÷ßá, ïðüôå êáôÜëáâáí üôé óôï ìéêñüêïóìï ôá ðñÜãìáôá åßíáé äéáöïñåôéêÜ êáé êÜôé Üëëï óõìâáßíåé. ¢ñ÷éóáí ôüôå íá äéáôõðþíïíôáé íÝåò éäÝåò ðïõ ïäÞãçóáí óôçí êâáíôïìç÷áíéêÞ. Óôéò åðüìåíåò ðáñáãñÜöïõò èá êáôáãñÜøïõìå ôá âáóéêÜ óôÜäéá ôçò ðïñåßáò áõôÞò ìÝóá áðü äéÜöïñá ðåéñÜìáôá êáé ôéò áðüðåéñåò èåùñçôéêÞò åîÞãçóçò ôùí áðïôåëåóìÜôùí ìÝ÷ñé ôçí ôåëéêÞ èåùñßá. ÁÊÔÉÍÏÂÏËÉÁ ÌÅËÁÍÏÓ ÓÙÌÁÔÏÓ ¼ëá ôá óôåñåÜ óþìáôá, üôáí âñßóêïíôáé óå õøçëÝò èåñìïêñáóßåò, áêôéíïâïëïýí çëåêôñïìáãíçôéêÞ áêôéíïâïëßá, ôçò ïðïßáò ôï öÜóìá åßíáé óõíå÷Ýò. Ï ôñüðïò ðáñáãùãÞò ôçò áêôéíïâïëßáò áõôÞò (èåñìéêÞò) åßíáé ðïëýðëïêïò êáé äåí ìðïñåß íá êáôáíïçèåß ìå ôï ìïíôÝëï ôïõ åëåýèåñïõ áôüìïõ, ðïõ ïäçãåß óå ãñáììéêü öÜóìá. ×áñáêôçñéóôéêü óõíå÷Ýò öÜóìá åßíáé áõôü ôïõ (ìïíôÝëïõ ôïõ) ìÝëáíïò óþìáôïò. ÌÝëáí óþìá åßíáé åêåßíï ôï éäåáôü óþìá ðïõ áðïññïöÜ üëç ôçí áêôéíïâïëßá, ðïõ ðñïóðßðôåé ðÜíù ôïõ, êáé åêðÝìðåé áêôéíïâïëßá üëùí ôùí óõ÷íïôÞôùí äßíïíôáò óõíå÷Ýò öÜóìá. ÐñïóåããéóôéêÜ èåùñïýìå óáí ìÝëáí óþìá ôçí êïéëüôçôá óå õëéêü ìå èåñìïêñáóßá Ô (Ó÷. 4.129). Áí áêôßíá öùôüò åéóÝëèåé áðü ôç ìéêñÞ ïðÞ ôçò êïéëüôçôáò, õößóôáôáé ðïëëáðëÝò áíáêëÜóåéò óôï åóùôåñéêü ôçò, êáé Ý÷åé áìåëçôÝá ðéèáíüôçôá íá åîÝëèåé, äçëáäÞ ç êïéëüôçôá, üðùò êáé ôï ìÝëáí óþìá, áðïññïöÜ üëç ôçí áêôéíïâïëßá ðïõ åéóÝñ÷åôáé. Ôï öÜóìá ôçò áêôéíïâïëßáò ðïõ åêðÝìðåôáé áðü ôçí êïéëüôçôá, åßíáé üìïéï ìå áõôü ôïõ ìÝëáíïò óþìáôïò. Ç áíÜëõóç ôïõ öÜóìáôïò ôçò áêôéíïâïëßáò ôçò êïéëüôçôáò, ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò èåñìïêñáóßáò Ô, äßíåé ôá áðïôåëÝóìáôá ôïõ ó÷Þìáôïò 4.130. Ï êáôáêüñõöïò Üîïíáò Éë ïíïìÜæåôáé (öáóìáôéêÞ) áöåôéêÞ ÓÔÏÉ×ÅÉÁ ÊÂÁÍÔÏÌÇ×ÁÍÉÊÇÓ 285 Ó×ÇÌÁ 4.129 Ìéá êïéëüôçôá åíüò õëéêïý åßíáé ìéá êáëÞ ðñïóÝããéóç ôïõ ìÝëáíïò óþìáôïò.
- 302. éêáíüôçôá êáé åßíáéôï ðçëßêïí ôçò Ýíôáóçò ÄÉ (õðåíèõìßæïõìå üôé Ýíôáóç ôçò áêôéíïâïëßáò åßíáé ç éó÷ýò ôçò áêôéíïâïëßáò áíÜ ìïíÜäá åðéöáíåßáò) ðïõ åêðÝìðåôáé óå ìéá ðåñéï÷Þ Äë ôùí ìçêþí êýìáôïò äéá ôïõ Äë (äçëáäÞ ). ÅêöñÜæåé ôç êáôáíïìÞ åíÝñãåéáò ôçò áêôéíïâïëßáò óôá äéá- öïñá ìÞêç êýìáôïò. Áðü ôç ìåëÝôç ôùí êáìðõëþí ôïõ ó÷Þìáôïò 4.130 ðñïêýðôïõí ïé åîÞò ðåéñáìáôéêïß íüìïé: á) Ç êáìðýëç óå Üîïíåò Éë − ë åßíáé ßäéá, áíåîÜñôçôá áðü ôï õëéêü ðïõ åßíáé êáôáóêåõáóìÝíç ç êïéëüôçôá. â) Íüìïò ìåôáôüðéóçò ôïõ Wien: Ôï ãéíüìåíï ôïõ ìÞêïõò êýìáôïò ëmax ðïõ áíôéóôïé÷åß óôï ìÝãéóôï ôçò êáôáíïìÞò, åðß ôç èåñìïêñáóßá åßíáé óôáèåñü. (4.133) ã) Áóõìðôùôéêüò íüìïò ôïõ Wien: Åßíáé åìðåéñéêüò íüìïò ðïõ ðåñéãñÜöåé ðñïóåããéóôéêÜ ôï ôìÞìá ôçò êáìðýëçò Éë-ë ãéá ìéêñÜ ìÞêç êýìáôïò. ä) Ï Íüìïò ôùí Stefan-Boltzmann: Ç éó÷ýò áíÜ ìïíÜäá åðéöÜíåéáò ðïõ áêôéíïâïëåß ç êïéëüôçôá, äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç. É = óÔ 4 (4.134) üðïõ ó = 5,67 × 10- 8 Wm- 2 K4 ìéá ðáãêüóìéá óôáèåñÜ ÐáñÜäåéãìá 4-49 Ìéá êïéëüôçôá Ý÷åé èåñìïêñáóßá 3000 Ê á) Óå ðïéü ìÞêïò êýìáôïò ç áöåôéêÞ éêáíüôçôá åßíáé ìÝãéóôç; â) Ðüóç éó÷ýò åêðÝìðåôáé áíÜ ìïíÜäá åðéöáíåßáò áðü ôçí ïðÞ ôçò êïéëüôçôáò; ÁðÜíôçóç á) Óôï ìÞêïò êýìáôïò óôï ïðïßï Ý÷ïõìå ìÝãéóôï, åßíáé ë Ômax m K= × ⋅− 2 898 10 3 , É I ë ë = Ä Ä 286 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.130 To öÜóìá ôçò áêôéíïâïëßáò ôçò êïéëüôçôáò ãéá äéÜöïñåò èåñìïêñáóßåò.
- 303. Þ â) Ç éó÷ýòðïõ åêðÝìðåôáé áíÜ ìïíÜäá åðéöáíåßáò åßíáé É = óÔ4 Þ Þ ÅÑÌÇÍÅÉÁ ÔÏÕ ÖÁÓÌÁÔÏÓ Ïé Rayleigh êáé Jeans ðñïóðÜèçóáí íá åîçãÞóïõí èåùñçôéêÜ, óôá ðëáßóéá ôçò êëáóéêÞò öõóéêÞò, ôïõò ðéï ðÜíù íüìïõò êáé ôçí êáìðýëç ôïõ ó÷Þìáôïò 4.130. Ôá áðïôåëÝóìáôá ôçò èåùñçôéêÞò ðñüâëåøçò ôùí Rayleigh êáé Jeans (åóôéãìÝíç êáìðýëç) êáé ôá ðåéñáìáôéêÜ ãéá ôçí ßäéá èåñìïêñáóßá Ô öáßíïíôáé óôï ó÷Þìá 4.131. Ðáñáôçñïýìå üôé, åíþ óõìöùíïýí ãéá ìåãÜëá ìÞêç êýìáôïò, ãéá ôá ìéêñÜ ìÞêç êýìáôïò õðÜñ÷åé ðëÞñçò áóõìöùíßá. ÁõôÞ ç áóõìöùíßá åßíáé ãíùóôÞ ùò "õðåñéþäçò êáôáóôñïöÞ". Ï Ãåñìáíüò öõóéêüò Max Planck ðñïóðáèþíôáò íá åîçãÞóåé óôï óýíïëü ôïõò ôá ðåéñáìáôéêÜ áðïôåëÝóìáôá, ÷ñåéÜóôçêå íá îåöýãåé áðü ôá ðëáßóéá ôçò êëáóéêÞò öõóéêÞò. Ðéï óõãêåêñéìÝíá ç èåùñßá ôïõ Planck èåùñåß üôé êáôÜ ôç èåñìéêÞ éóïññïðßá óôçí êïéëüôçôá õðÜñ÷åé áêôéíïâïëßá üëùí ôùí óõ÷íïôÞôùí. ÊáôÜ ôç èåñìéêÞ åêðïìðÞ áêôéíïâïëßáò, ãéá êÜèå óõ÷íüôçôá ïé ìüíåò åðéôñåðüìåíåò åíÝñãåéåò ôçò áêôéíïâïëßáò åßíáé Å = 0, h f, 2h f, 3h f, ... Þ Ån = n h f, n = 0, 1, 2, ... (4.135) Ï ðáñÜãïíôáò h åßíáé ìéá óôáèåñÜ, ç ïðïßá ôåëéêÜ ïíïìÜóôçêå óôáèåñÜ ôïõ Planck, êáé ç ðïóüôçôá åíÝñãåéáò hf ïíïìÜóôçêå êâÜíôï (quantum) åíÝñãåéáò êáé ï áêÝñáéïò n, êâáíôéêüò áñéèìüò ãéá ôç óõãêåêñéìÝíç óõ÷íüôçôá. Ç áíùôÝñù êâÜíôùóç ïöåßëåôáé óôï ãåãïíüò üôé ç èåñìéêÞ áêôéíïâïëßá åêðÝìðåôáé áðü ìéêñïýò ôáëáíôùôÝò (êåñáßåò) ðïõ Ý÷ïõí äéáêñéôÝò ðïóüôçôåò åíÝñãåéåò êáé ìðïñïýí íá áðïññïöÞóïõí Þ íá åêðÝìøïõí çëåêôñïìáãíçôéêÞ áêôéíïâïëßá êáôÜ ôéò ßäéåò äéáêñéôÝò ðïóüôçôåò, óýìöùíá ìå ôç ó÷Ýóç E = nhf, n = 1, 2, 3 (4.136) Ôá ðåéñáìáôéêÜ äåäïìÝíá ìå ôá óõìðåñÜóìáôá ôïõ Planck óõìöùíïýí ðïëý êáëÜ ãéá ôéìÞ ôçò óôáèåñÜò, h = 6,626 × 10- 34 J ⋅ s (4.137) Ï Planck ðáñïõóßáóå ôç èåùñßá ôïõ óôéò 14 Äåêåìâñßïõ 1900 óôç ÖõóéêÞ Åôáéñßá ôïõ Âåñïëßíïõ, õðïóôÞñéîå üôé ç áêôéíïâïëßá åêðÝìðåôáé êáé áðïññïöÜôáé êáôá êâÜíôá (áóõíå÷Þ ôñüðï), åðåéäÞ ïé ôáëáíôùôÝò ðïõ ôçí åêðÝìðïõí Ý÷ïõí áõôÞ ôçí éäéüôçôá. ¼ìùò ðßóôåõå üôé ç áêôéíïâïëßá Ý÷åé óõíå÷Þ åíåñãåéáêÞ êáé ÷ùñéêÞ õöÞ (áðëùìÝíç óôï ÷þñï). Ôï I = ×4 59 106 , W m 2 I = × × ×− 5 67 10 3 108 3 4 , e j W m 2 ëmax ìm= 0 970, ëmax m= × − 2 90 10 3000 3 , ÓÔÏÉ×ÅÉÁ ÊÂÁÍÔÏÌÇ×ÁÍÉÊÇÓ 287 Ó×ÇÌÁ 4.131 Ç äéáêåêïìÝíç ãñáììÞ åßíáé ôá óõìðåñÜóìáôá ôùí Rayleigh - Jeans êáé ç óõíå÷Þò ôá ðåéñáìáôéêÜ äåäïìÝíá. MAX PLANCK (1858-1947) ÃåííÞèçêå óôï Êßåëï ôçò Ãåñìáíßáò. Óðïýäáóå óôï Ìüíá÷ï êáé óôï Âåñïëßíï üðïõ ðÞñå ôï äéäáêôïñéêü ôïõ äßðëùìá ôï 1879. Åñ- ãÜóôçêå ãéá êÜðïéï äéÜóôçìá óôï Êßåëï êáé ôï 1889 Ýãéíå êáèçãçôÞò èåùñçôéêÞò öõóéêÞò óôï ðáíåðéóôÞìéï ôïõ Âåñïëßíïõ óôç èÝóç ôïõ Kirvhhoff. Áñ÷éêÜ áó÷ïëåßôï ìå ôç èåñìïäõíáìéêÞ êáé üôáí óôï Âåñïëßíï ãíþñéóå ôçí ðåéñáìáôéêÞ åñãáóßá óõíáäÝëöùí ðÜíù óôç èåñìéêÞ áêôéíïâïëßá, êáôáðéÜóôçêå êáé åîÞãáãå ôïí íüìï ôçò áêôéíïâïëßáò ôïõ ìÝëáíïò óþìáôïò. Ïé åñãáóßåò ôïõ Þôáí ç áñ÷Þ ôçò êâáíôéêÞò öõóéêÞò êáé ôï 1919 ôéìÞèçêå ìå ôï âñáâåßï Nobel ãéá ôçí áíáêÜëõøç ôçò êâÜíôùóçò ôçò åíÝñãåéáò.
- 304. ìåãáëýôåñï Üëìá Ýãéíåáðü ôïí Einstein óôç èåùñßá ãéá ôçí åîÞãçóç ôïõ öùôïçëåêôñéêïý öáéíïìÝíïõ, ôï ïðïßï áíáðôýóóåôáé óôçí åðüìåíç ðáñÜãñáöï. ÐáñÜäåéãìá 4-50 Ðüóá êâÜíôá åêìÝìðïíôáé áíÜ äåõôåñüëåðôï áðü ôïí ¹ëéï, áí ç éó÷ýò ðïõ ðáñÜãåé ï ¹ëéïò åßíáé 3,74 × 1026 W êáé ôï ìÝóï ìÞêïò êýìáôïò ôùí öùôïíßùí ðïõ åêðÝìðïíôáé åßíáé 500 nm. Äßíåôáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò c = 3,00 × 108 m/s. ÁðÜíôçóç Áí Í åßíáé ôï ðëÞèïò ôùí êâÜíôùí ðïõ åêðÝìðïíôáé óôï ÷ñüíï t, Ý÷ïõìå Nh f = Pt Þ , Añá, áíÜ äåõôåñüëåðôï Ý÷ïõìå ÐáñÜäåéãìá 4-51 Óýóôçìá ìÜæáò-åëáôçñßïõ åêôåëåß ôáëáíôþóåéò óõ÷íüôçôáò 5 Hz êáé ðëÜôïõò 5 cm. Áí ç ìÜæá åßíáé 1 kg, õðïëïãßóôå ôïí êâáíôéêü áñéèìü n ôïõ óõãêåêñéìÝíïõ êâáíôéêïý ôáëáíôùôÞ. ÁðÜíôçóç Ç åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé Þ E = 2ð2 m f 2 A 2 ¢ñá nhf = 2ð2 mf 2 A2 Þ Áíôéêáèéóôþíôáò Ý÷ïõìå Þ n = 3,70 × 1032 ÖÙÔÏÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÖÁÉÍÏÌÅÍÏ ÖÙÔÏÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÖÁÉÍÏÌÅÍÏ - ÐÅÉÑÁÌÁÔÉÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁ Öùôïçëåêôñéêü öáéíüìåíï, åßíáé ôï öáéíüìåíï åêðïìðÞò çëåêôñïíßùí (ëÝãïíôáé êáé öùôïçëåêôñüíéá) áðü ôçí åðéöÜíåéá ìåôÜëëïõ, üôáí ðñïóðßðôåé ðÜíù ôçò öùò. ÐáñáôçñÞèçêå åíôåëþò ôõ÷áßá áðü ôïí Hertz ôï 1887 êáé ôá ðñþôá äåäïìÝíá åäñáéþèçêáí ðñéí ôï 1905 áðü ôïõò P. Lenard êáé W. Hallwachs. Óôï ó÷Þìá 4.132 öáßíåôáé ìéá äéÜôáîç, ìå ôçí ïðïßá ìåëåôÜôáé ôï öùôïçëåêôñéêü öáéíüìåíï. Ï áåñüêåíïò óùëÞíáò åßíáé êáôáóêåõáóìÝíïò áðü ÷áëáæßá, ãéá íá ìðïñåß íá äéÝñ÷åôáé êáé ç õðåñéþäçò áêôéíïâïëßá. Ç äÝóìç áêôéíïâïëßáò ðïõ ÷ñçóéìïðïéåßôáé åßíáé ìïíï÷ñùìáôéêÞ. Ç äÝóìç ðñïóðßðôïíôáò óôç ìåôáëëéêÞ êÜèïäï Ê, ðáñÜãåé öùôïçëåêôñüíéá. n = 2 3,14 2 × × × × × × − − 1 5 5 10 6 626 10 2 2 34 e j , n m f A h = 2ð 2 2 E k A= 1 2 2 N t N t = 3,74 10 W 500 10 m J s 3 10 m s Þ êâÜíôá 26 8 1 × × × × ⋅ × × ⋅ = × − − − 9 34 44 6 629 10 9 40 10 , , f c ë =N = Pt h f 288 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ
- 305. Ôá öùôïçëåêôñüíéá Ýëêïíôáéáðü ôçí Üíïäï Á êáé áíé÷íåýïíôáé áðü ôï åõáßóèçôï áìðåñüìåôñï G Ýíåêá äçìéïõñãßáò ñåýìáôïò. Ç ìåëÝôç ôïõ öáéíïìÝíïõ ïäçãåß óôéò åîÞò ðáñáôçñÞóåéò á) Ãéá áêôéíïâïëßá óôáèåñÞò óõ÷íüôçôáò êáé ìåôáâëçôÞò Ýíôáóçò, ôï öùôïçëåêôñéêü ñåýìá i êáé ç ôÜóç V ìåôáîý áíüäïõ êáé êáèüäïõ ðáñßóôáíôáé ãñáöéêÜ óôï ó÷Þìá 4.133. ¼ôáí ç ôÜóç ãßíåé áñêåôÜ ìåãÜëç, ôï öùôïçëåêôñéêü ñåýìá ðáßñíåé ìéá óôáèåñÞ ïñéáêÞ ôéìÞ. Ôüôå üëá ôá öùôïçëåêôñüíéá, ðïõ ðáñÜãïíôáé óôçí êÜèïäï, óõëëÝãïíôáé óôçí Üíïäï. ¼ôáí ç ôÜóç áíáóôñáöåß, ôï ñåýìá äåí ìçäåíßæåôáé áìÝóùò áëëÜ ìåôÜ áðü ôéìÞ ôçò ôÜóçò V0 . Ç ôÜóç V0 ïíïìÜæåôáé ôÜóç áðïêïðÞò. ¼ôáí ç áíÜóôñïöç ôÜóç åßíáé áêñéâþò ßóç ìå ôçí ôÜóç áðïêïðÞò, ôá çëåêôñüíéá ðïõ âãáßíïõí áðü ôçí êÜèïäï ìå ìÝãéóôç ôá÷ýôçôá, ìüëéò ðïõ öôÜíïõí óôçí Üíïäï, äçëáäÞ öôÜíïõí ìå ìçäåíéêÞ ôá÷ýôçôá. Áðü ôçí áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò ìç÷áíéêÞò åíÝñãåéáò Ý÷ïõìå üôé ç ìÝãéóôç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôùí öùôïçëåêôñïíßùí, Kmax , åßíáé Êmax = eV0 (4.138) üðïõ e ç áðüëõôç ôéìÞ ôïõ öïñôßïõ ôïõ çëåêôñïíßïõ. â) ÌåôáâÜëëïíôáò ôç óõ÷íüôçôá f ôçò ðñïóðßðôïõóáò áêôéíïâïëßáò, ïé áíôßóôïé÷åò ôéìÝò ôçò ìÝãéóôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôùí öùôïçëåêôñïíßùí, ÓÔÏÉ×ÅÉÁ ÊÂÁÍÔÏÌÇ×ÁÍÉÊÇÓ 289 Ó×ÇÌÁ 4-133 Ôï öùôïçëåêôñéêü ñåýìá åîáñôÜôáé êáé áðü ôçí Ýíôáóç ôçò ðñïóðßðôïõóáò áêôéíïâïëßáò. Ó×ÇÌÁ 4.132 Ó÷çìáôéêÞ äéÜôáîç ôçò óõóêåõÞò ìåëÝôçò ôïõ öùôïçëåêôñéêïý öáéíïìÝíïõ.
- 306. Kmax , ìåôáâÜëëïíôáéüðùò óôï ó÷Þìá 4.134. Ç ôéìÞ ôçò Êmax ðñïóäéïñßæåôáé êÜèå öïñÜ áðü ôç ó÷Ýóç 6, áöïý ðñïçãïõìÝíùò Ý÷åé õðïëïãéóôåß ç ôÜóç áðïêïðÞò V0. Ðáñáôçñïýìå üôé ãéá óõ÷íüôçôåò ìéêñüôåñåò ìéáò ôéìÞò, fc , äåí åîÝñ÷ïíôáé öùôïçëåêôñüíéá. ã) ×ñçóéìïðïéþíôáò êÜèïäï áðü ìÝôáëëï Üëëïõ åßäïõò, êáé åðáíáëáìâÜíïíôáò ôéò äéåñãáóßåò (á) êáé (â), õðïëïãßæåôáé êÜèå öïñÜ ç ìÝãéóôç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá Kmax ôùí öùôïçëåêôñïíßùí. Óôï ó÷Þìá 4.135 öáßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò Kmax ìå ôçí óõ÷íüôçôá f ãéá äéÜöïñá ìÝôáëëá. Ðáñáôçñïýìå üôé ãéá êÜèå ìÝôáëëï, ç ÷áñáêôçñéóôéêÞ óõ÷íüôçôá fc åßíáé äéáöïñåôéêÞ. Áêüìç, ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò åßíáé åõèåßåò ðáñÜëëçëåò ìåôáîý ôïõò. Áðü ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí ó÷çìÜôùí 4.133., 4.134 êáé 4.135 åîÜãïíôáé ïé ðáñáêÜôù ðåéñáìáôéêïß íüìïé ôïõ öùôïçëåêôñéêïý öáéíïìÝíïõ. 1ïò Íüìïò: Ôï öùôïçëåêôñéêü ñåýìá åßíáé áíÜëïãï ðñïò ôçí Ýíôáóç ôçò ðñïóðßðôïõóáò öùôåéíÞò áêôéíïâïëßáò (Ó÷. 4.133.) 2ïò Íüìïò: Ç ìÝãéóôç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôùí öùôïçëåêôñïíßùí åîáñôÜôáé ìüíï áðü ôçí óõ÷íüôçôá ôçò ðñïóðßðôïõóáò áêôéíïâïëßáò êáé ü÷é áðü ôçí Ýíôáóç ôçò áêôéíïâïëßáò (Ó÷. 4.134). 3ïò Íüìïò: Ôï öùôïçëåêôñéêü ñåýìá åìöáíßæåôáé áí ç ôéìÞ ôçò óõ÷íüôçôáò ôçò ðñïóðßðôïõóáò áêôéíïâïëßáò åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ìéá óõ÷íüôçôá fc, ÷áñáêôçñéóôéêÞ ãéá êÜèå ìÝôáëëï. Ç óõ÷íüôçôá fc ïíïìÜæåôáé ïñéáêÞ óõ÷íüôçôá Þ óõ÷íüôçôá êáôùöëéïý (Ó÷. 4.134 êáé 4.135). 4ïò Íüìïò: Ôï öùôïçëåêôñéêü ñåýìá åìöáíßæåôáé ôáõôü÷ñïíá ìå ôçí ðñüóðôùóç ôçò öùôåéíÞò áêôéíïâïëßáò óôçí êÜèïäï, ÷ùñßò ÷ñïíéêÞ êáèõóôÝñçóç. Ç áðüóðáóç ôùí öùôïçëåêôñïíßùí áðü ôï ìÝôáëëï óôá ðëáßóéï ôçò êëáóéêÞò öõóéêÞò, åßíáé äéêáéïëïãçìÝíç. ¼ìùò, ç êëáóéêÞ öõóéêÞ áäõíáôåß íá åñìçíåýóåé ôïõò ôñåéò ôåëåõôáßïõò íüìïõò, ðñïâëÝðåé ìÜëéóôá öùôïçëåêôñéêü ñåýìá ãéá êÜèå óõ÷íüôçôá. ×áñáêôçñéóôéêü åðßóçò åßíáé ôï ðáñÜäåéãìá ðïõ áêïëïõèåß, óôï ïðïßï öáßíåôáé ï ÷ñüíïò ðïõ ðñïâëÝðåé ç êëáóéêÞ öõóéêÞ ãéá ôçí ðáñáãùãÞ öùôïçëåêôñïíßùí óå Ýíá ôõðéêü ìÝôáëëï. ÐáñÜäåéãìá 4-52 Óôç ìåôáëëéêÞ ðëÜêá êáèüäïõ ðñïóðßðôåé ìïíï÷ñùìáôéêÞ äÝóìç éó÷ýïò 10-3 Watt. Ç ðçãÞ áðÝ÷åé áðü áõôÞ 1 m. Íá ðñïóäéïñéóôåß ï ÷ñüíïò ðïõ èá ðáñÝëèåé ìÝ÷ñé ôï çëåêôñüíéï íá åîÝëèåé áðü ôï ìÝôáëëï. Ç áðáéôïýìåíç åíÝñãåéá, þóôå ôï çëåêôñüíéï íá åîÝëèåé áðü ôï ìÝôáëëï, åßíáé: 5 eV, üðïõ 1 eV = 1,6 × 10-19 J ÁðÜíôçóç Ôï Üôïìï Ý÷åé áêôßíá ðåñßðïõ 10-9 m. ¢ñá ôï åìâáäüí ôçò äéáôïìÞò ôïõ åßíáé ð × 10-18 m2 , åðïìÝíùò äÝ÷åôáé åíÝñãåéá áðü ôçí ðçãÞ ìå ñõèìü Ï ÷ñüíïò ðïõ ÷ñåéÜæåôáé, ãéá íá åîÝëèåé Ýíá çëåêôñüíéï åßíáé Ä eV W Joule W s !!t h= × = × × × = × ≈ − − − 5 1 4 10 4 5 1 6 10 10 32 10 0 9 21 19 21 2, , 1 4 10 W21 × − 10 ð 10 4 ð 1 m W m 3 18 2 2 2 − − × × ⋅ 290 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.134 Ðáñáôçñïýìå êÜôù áðü ìéá ôéìÞ ôçò óõ÷íüôçôáò fc äåí åîÝñ÷ïíôáé Ó×ÇÌÁ 4.135 Ðáñáôçñïýìå üôé ôá ãñáöÞìáôá åßíáé åõèåßåò ðáñÜëëçëåò ìåôáîý ôïõò êáé ïé óõ÷íüôçôåò áðïêïðÞò åßíáé äéáöïñåôéêÝò ãéá êÜèå ìÝôáëëï.
- 307. Ç ÕÐÏÈÅÓÇ ÖÙÔÏÍÉÙÍÔÏÕ EINSTEIN Ãéá ôçí åîÞãçóç ôïõ öùôïçëåêôñéêïý öáéíïìÝíïõ ï Einstein, ôï 1905, äéáôýðùóå ôç èåùñßá ôùí öùôïíßùí ðïõ Þôáí Ýíá åðéðëÝïí Üëìá ðÝñá áðü ôç èåùñßá ôïõ Planck. ÊáôÜ ôçí èåùñßá ôùí öùôïíßùí ôïõ Einstein ôï çëåêôñïìáãíçôéêü êýìá åßíáé áóõíå÷Ýò ü÷é äéüôé åêðÝìðåôáé êáé áðïññïöÜôáé áóõíå÷þò óôçí ðåñßðôùóç ôçò èåñìéêÞò åêðïìðÞò ôïõ ìÝëáíïò óþìáôïò, áëëÜ ãéáôß áðü ôç öýóç ôïõ Ý÷åé áóõíå÷Þ õðüóôáóç üðùò êáé áí ðáñÜãåôáé êáé äéáäßäåôáé êáôÜ áóõíå÷Þ ôñüðï áðïôåëïýìåíï áðü öùôüíéá, ôá ïðïßá åßíáé ðáêÝôá åíÝñãåéáò åíôïðéóìÝíá êáé óôï ÷þñï, ðïõ äéáäßäïíôáé ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò. Ç åíÝñãåéá Å ôïõ öùôïíßïõ åßíáé Å = h f (4.139) üðïõ h ç óôáèåñÜ ôïõ Planck êáé f ç óõ÷íüôçôá ôçò áêôéíïâïëßáò. Óôï ó÷Þìá 4-135 öáßíåôáé ìéá ðïëý ó÷çìáôéêÞ áíáðáñÜóôáóç ôïõ öùôüò ìå ôá öùôüíéá. Ï Einstein Ýãñáøå ôçí öùôïçëåêôñïíéêÞ åîßóùóç ùò åîÞò (4.140) ÂÜóç ôçò ó÷Ýóçò (4.140) Ýíá öùôüíéï ìåôáöÝñåé üëç ôçí åíÝñãåéÜ ôïõ hf óå Ýíá ìüíï çëåêôñüíéï ôïõ ìåôÜëëïõ. ÔìÞìá, Ö, ôçò åíÝñãåéáò ôïõ öùôïíßïõ ÷ñçóéìïðïéåßôáé ãéá ôçí åîáãùãÞ ôïõ çëåêôñïíßïõ áðü ôï ìÝôáëëï êáé ãé' áõôü ôï ëüãï ôï Ö ïíïìÜæåôáé Ýñãï åîáãùãÞò. Ç õðüëïéðç åíÝñãåéá ôïõ öùôïíßïõ ðáñáìÝíåé óôï çëåêôñüíéï ùò êéíçôéêÞ åíÝñãåéá. Ìå ôç èåùñßá ôùí öùôïíßùí ïé íüìïé ôïõ öùôïçëåêôñéêïý öáéíïìÝíïõ åîçãïýíôáé ùò åîÞò: Áýîçóç ôçò Ýíôáóçò ôçò áêôéíïâïëßáò óõíåðÜãåôáé áýîçóç ôçò ñïÞò öùôïíßùí, åðïìÝíùò áýîçóç ôïõ áñéèìïý ôùí åîáãïìÝíùí çëåêôñïíßùí êáé êáô' åðÝêôáóç áýîçóç ôïõ öùôïçëåêôñéêïý ñåýìáôïò (1ïò Íüìïò). Áðü ôçí åîßóùóç (4.140) Ý÷ïõìå Kmax = h f − Ö (4.141) ¢ñá, áýîçóç ôçò óõ÷íüôçôò óõíåðÜãåôáé áýîçóç ôçò ìÝãéóôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôùí çëåêôñïíßùí (2ïò Íüìïò). ÈÝôïíôáò Kmax = 0 óôçí (4.141) Ý÷ïõìå Þ (4.142) ÄçëáäÞ, ãéá íá åîÝëèïõí áðü ôï ìÝôáëëï çëåêôñüíéá ðñÝðåé ç óõ÷íüôçôá ôçò áêôéíïâïëßáò íá åßíáé ìåãáëýôåñç ôçò ïñéáêÞò fc (3ïò Íüìïò). Ìå ôçí ðñüóðôùóç ôùí öùôïíßùí óôï ìÝôáëëï ôá çëåêôñüíéÜ ôïõ ëáìâÜíïõí áìÝóùò ôçí áðáéôïýìåíç åíÝñãåéá ãéá íá åîÝëèïõí, ïðüôå ôï öùôïçëåêôñéêü ñåýìá åìöáíßæåôáé áêáñéáßá (4ïò Íüìïò). ÃñÜöïíôáò ôçí (4.141) ùò Êmax = h f − h fc (4.143) åîçãåßôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ ó÷Þìáôïò 4.135, üðïõ ç êëßóç ôùí åõèåéþí ãéá üëá ôá ìÝôáëëá åßíáé ßäéá êáé éóïýôáé ìå ôç óôáèåñÜ ôïõ Planck h (Ýôóé ìåôñéÝôáé ôï h). f Ö h c =Ö h f= c h f = Ö + Kmax ÓÔÏÉ×ÅÉÁ ÊÂÁÍÔÏÌÇ×ÁÍÉÊÇÓ 291 Ó×ÇÌÁ 4.136 Ìéá ðçãÞ åêðÝìðåé ôá ðáêÝôá åíÝñãåéáò (öùôüíéá) ôá ïðïßá äéáäßäïíôáé óôï ÷þñï ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò.
- 308. ÐáñÜäåéãìá 4-53 Ôï ÝñãïåîáãùãÞò ôïõ Âçñõëëßïõ åßíáé 3,90 eV. á) Ðñïóäéïñßóôå ôçí ïñéáêÞ óõ÷íüôçôá fc ãéá ôï ìÝôáëëï. â) Áí óôçí åðéöÜíåéá ôïõ ìåôÜëëïõ ðÝöôåé öùò ìÞêïõò êýìáôïò 150 nm, íá õðïëïãßóåôå ôçí ôÜóç áðïêïðÞò ôïõ öùôïçëåêôñéêïý öáéíïìÝíïõ. ÁðÜíôçóç á) Ç ïñéáêÞ óõ÷íüôçôá ôïõ ìåôÜëëïõ åßíáé Þ Þ â) Ç ôÜóç áðïêïðÞò åßíáé . Áðü ôçí öùôïçëåêôñïíéêÞ åîßóùóç Ý÷ïõìå ¢ñá Þ Þ V0 = 4,39 V ÊÕÌÁÔÏÓÙÌÁÔÉÄÉÁÊÏÓ ÄÕÚÓÌÏÓ ÔÏÕ ÖÙÔÏÓ - ÅÍÅÑÃÅÉÁ ÊÁÉ ÏÑÌÇ ÔÏÕ ÖÙÔÏÍÉÏÕ ÊáôÜ ôçí êëáóéêÞ öõóéêÞ ôï öùò åßíáé êýìá ðñÜãìá ðïõ äéáðéóôþíåôáé áðü ðëÞèïò ðåéñáìÜôùí. ÅðïìÝíùò, ìéá êõìáôéêÞ åéêüíá ôïõ öùôüò äåí åðéäÝ÷åôáé áìöéâïëßá. ¼ìùò ìå ôç èåùñßá ôùí öùôïíßùí öáßíåôáé íá äéáðéóôþíåôáé êáé ìéá óùìáôéäéáêÞ åéêüíá ãéá ôï öùò, åéêüíá ðïõ áñ÷éêþò ðñïôÜèçêå áðü ôï Íåýôùíá ãéá ôçí åîÞãçóç ôçò ãåùìåôñéêÞò ïðôéêÞò. Ôï öùôïçëåêôñéêü öáéíüìåíï êáé ôï öáéíüìåíï Compton, ðïõ èá åîåôÜóïõìå óôçí åðüìåíç ðáñÜãñáöï, äçìéïõñãïýí êáé åðéâåâáéþíïõí ôçí áíôßëçøç ìéáò óùìáôéäéáêÞò öýóçò ãéá ôï öùò. Êáé ôï åñþôçìá ðïõ ðñïêýðôåé åßíáé: ôåëéêÜ, ôß åßíáé ôï öùò óùìáôßäéï Þ êýìá; Ç áðÜíôçóç åßíáé üôé ôï öùò Ý÷åé óùìáôéäéáêü êáé êõìáôéêü ÷áñáêôÞñá, Üñá åßíáé êÜôé Üëëï áðü ôï êëáóéêü óùìáôßäéï êáé êÜôé Üëëï áðü ôï êëáóéêü êýìá. Áõôüò ï êõìáôïóùìáôéäéáêüò äõúóìüò ôïõ öùôüò, ðåñéãñÜöåé êáé åîçãåß ðïëý êáëÜ üëåò ôéò éäéüôçôÝò ôïõ. Ïé äýï ÷áñáêôÞñåò ôïõ öùôüò äåí áëëçëïóõãêñïýïíôáé, áëëÜ áëëçëïóõìðëçñþíïíôáé (áõôü ëÝãåôáé áñ÷Þ ôçò óõìðëçñùìáôéêüôçôáò) . ÓõíÞèùò óå ÷áìçëÝò óõ÷íüôçôåò (êáé ìåãÜëåò V0 V= × × × − × F HG I KJ × − − − 6 63 10 3 10 150 10 0 941 10 1 60 10 34 8 9 15 19 , , , V h c ë h f e c 0 = − K h f h f h c ë h fc cmax = − = − V K e 0 = max fc Hz= ×9 41 1014 , fc 34 J 6,63 10 J s = × × × ⋅ − − 3 90 1 60 10 19 , , f Ö h c = 292 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ
- 309. ñïÝò öùôïíßùí) åßíáéÝíôïíïò ï êõìáôéêüò ÷áñáêôÞñáò ôïõ öùôüò êáé ïé Üíèñùðïé ðïõ áó÷ïëïýíôáé ìå ôéò ôçëåðéêïéíùíßåò, ïõäüëùò íïéÜæïíôáé ãéá ôï óùìáôéäéáêü ÷áñáêôÞñá ôïõ öùôüò êáé ïñèÜ ðñÜôôïõí. ¼óï üìùò ðÜìå óå õøçëüôåñåò óõ÷íüôçôåò (êáé ìéêñÝò ñïÝò öùôïíßùí), ôüóï ðåñéóóüôåñï ï óùìáôéäéáêüò ÷áñáêôÞñáò êÜíåé ðéï Ýíôïíç ôç ðáñïõóßá ôïõ. Ùò ðáñÜäåéãìá áíáöÝñïõìå üôé ïé áêôßíåò ã Ý÷ïõí ó÷åäüí áðïêëåéóôéêÜ óùìáôéäéáêÞ óõìðåñéöïñÜ. Ìå ôç âïÞèåéá ôçò èåùñßáò ôçò ó÷åôéêüôçôáò ïëïêëçñþíïõìå ôçí êõìáôïóùìáôéäéáêÞ ðåñéãñáöÞ ôïõ öùôüò, âñßóêïíôáò ôéò ó÷Ýóåéò ðïõ óõíäÝïõí ôçí åíÝñãåéá êáé ôçí ïñìÞ ôïõ óùìáôéäßïõ - öùôïíßïõ ìå ôç óõ÷íüôçôá ôïõ çëåêôñïìáãíçôéêïý êýìáôïò. Áðü ôç èåùñßá ôçò ó÷åôéêüôçôáò Ý÷ïõìå üôé (4.144) üðïõ Å ç åíÝñãåéá åíüò óùìáôéäßïõ, p ç ïñìÞ, m ç ìÜæá (çñåìßáò) êáé c ç ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò. ÅðåéäÞ ôï öùôüíéï êéíåßôáé ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ öùôüò c, Ý÷åé ìÜæá m = 0, Üñá ç (4.144) ãßíåôáé Þ Þ üðïõ ë = c/f ôï ìÞêïò êýìáôïò ôçò áêôéíïâïëßáò. Óõíåðþò ïé ó÷Ýóåéò (4.145) óõíäÝïõí ôá óùìáôéäéáêÜ ÷áñáêôçñéóôéêÜ ôïõ öùôïíßïõ, åíÝñãåéá êáé ïñìÞ, ìå ôá êõìáôéêÜ ÷áñáêôçñéóôéêÜ ôçò çëåêôñïìáãíçôéêÞò áêôéíïâïëßáò, óõ÷íüôçôá êáé ìÞêïò êýìáôïò. Åðßóçò éó÷ýåé êáé ¢ñá, ç (4.145) ãßíåôáé Å = −hù, p = −hk (4.146) üðïõ −h ïíïìÜæåôáé áíçãìÝíç óôáèåñÜ ôïõ Planck. Ôï ù åßíáé ç êõêëéêÞ óõ÷íüôçôá êáé k ï êõìáôáñéèìüò ÐáñÜäåéãìá 4-54 ¸íá ñáäéïöùíéêü êýìá Ý÷åé óõ÷íüôçôá f = 2,5 MHz. ~Åíáò ñáäéïöùíéêüò äÝêôçò, ãéá íá äéåãåñèåß ôüóï þóôå íá áêïõóèåß ôï óÞìá ðïõ Ýñ÷åôáé ìå ôï ñáäéïöùíéêü êýìá, ÷ñåéÜæåôáé éó÷ý ðåñßðïõ 2 × 10- 17 W. Íá âñåßôå ðüóá öùôüíéá öôÜíïõí êÜèå äåõôåñüëåðôï óôï äÝêôç êáé íá ó÷ïëéáóôåß ôï áðïôÝëåóìá. ÁðÜíôçóç ÊÜèå öùôüíéï Ý÷åé åíÝñãåéá = h 2ð k ë = 2ð f ù = 2ð p h ë =E h f= , p h ë =p E c h f c = =E c p= E c p m c= +2 2 2 4 ÓÔÏÉ×ÅÉÁ ÊÂÁÍÔÏÌÇ×ÁÍÉÊÇÓ 293
- 310. Ãéá íá áêïýãåôáéï óôáèìüò ðñÝðåé óå ÷ñüíï t íá öôÜíïõí Í öùôüíéá, Ýôóé þóôå Þ ~Áñá, Ý÷ïõìå Þ Áíôéëáìâáíüìáóôå üôé, åßíáé ó÷åäüí áäýíáôï íá äéá÷ùñßóïõìå óå Ýíá äåõôåñüëåðôï 1010 óùìáôßäéá, ãé' áõôü ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé ç ñïÞ ôùí öùôïíßùí åßíáé ìéá óõíå÷Þò ñïÞ åíÝñãåéáò, Üñá óõìâéâáóôÞ ìå ôçí êõìáôéêÞ öýóç ôïõ öùôüò. ÐáñÜäåéãìá 4-55 Õðïëïãßóôå ôïí áñéèìü ôùí öùôïíßùí ìÞêïõò êýìáôïò 600 nm, ôá ïðïßá Ý÷ïõí: á) ÅíÝñãåéá ßóç ìå ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá óþìáôïò ìÜæáò 0,20 kg êáé ôá÷ýôçôáò 10 m/s. â) ÏñìÞ ßóç ìå ôï óþìá ôïõ ðñïçãïõìÝíïõ åñùôÞìáôïò. ÁðÜíôçóç á) Ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óþìáôïò åßíáé êáé ç åíÝñãåéá êÜèå öùôïíßïõ . ¢ñá ôï ðëÞèïò ôùí öùôïíßùí ðïõ ðåñéêëåßïõí åíÝñãåéá ßóç ìå ôçí êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óþìáôïò åßíáé Þ Þ öùôüíéá Þ Í = 3,0 × 1020 öùôüíéá. â) Ç ïñìÞ ôïõ óþìáôïò åßíáé p = mõ êáé êÜèå öùôïíßïõ . Óõíåðþò, ôï ðëÞèïò ôùí öùôïíßùí ðïõ êéíïýìåíá óôçí ßäéá êáôåýèõíóç Ý÷ïõí ïñìÞ ßóç ìå áõôÞ ôïõ óþìáôïò, åßíáé Þ Þ Þ Í = 1,8 × 1028 öùôüíéá N öùôüíéá= = × × × × − − m õ ë h 2 10 600 10 6 626 10 9 34 , N = m õ h ë/ N = p p′ ′ =p h ë N = = × × × × × × × − − m õ ë h c 2 2 9 34 8 2 2 10 600 10 2 6 626 10 3 10, N = 1 2 2 / m õ h c ë N = K E E h f h c ë = = K m õ= 1 2 2 N t ≈ ×1,21 10 öùôüíéá / s10N t = × × − − 2 10 1 7 10 17 27 , N t P E =N E P t= E h f= = × × × = ×− − 6 6 10 2 5 10 1 7 1034 6 27 , , J J, 294 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ
- 311. ÔÏ ÖÁÉÍÏÌÅÍÏ COMPTON Åðéâåâáßùóçôçò óùìáôéäéáêÞò öýóçò ôïõ öùôüò Ýãéíå ìå ôï öáéíüìåíï Compton (1923). Ôï öáéíüìåíï Compton åßíáé ç óêÝäáóç çëåêôñïìáãíçôéêÞò áêôéíïâïëßáò áðü öïñôéóìÝíá óùìáôßäéá. Ç ìåëÝôç ôïõ öáéíïìÝíïõ Compton ãßíåôáé ìå ôç äéÜôáîç ôïõ ó÷Þìáôïò 4.137. Ìïíï÷ñùìáôéêÞ áêôéíïâïëßá ìÞêïõò êýìáôïò ë óêåäÜæåôáé áðü ôá çëåêôñüíéá ôïõ óôü÷ïõ êáé Ýíáò áíé÷íåõôÞò ìåôñÜ ôï ìÞêïò êýìáôïò ôçò óêåäáæüìåíçò áêôéíïâïëßáò ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò ãùíßáò óêÝäáóçò ö. Óýìöùíá ìå ôçí êëáóéêÞ öõóéêÞ, ôï ìÞêïò êýìáôïò ë´ ôçò áíáêëþìåíçò áêôéíïâïëßáò áíáìÝíåôáé íá åßíáé ßäéï ìå áõôü ôçò ðñïóðßðôïõóáò. Óôá ðëáßóéá áõôÞò ôçò èåùñßáò ôá çëåêôñüíéá ôïõ óêåäáóôÞ åêôåëïýí åîáíáãêáóìÝíç ôáëÜíôùóç óõ÷íüôçôáò ßäéáò ìå áõôÞ ôçò ðñïóðßðôïõóáò áêôéíïâïëßáò, åðïìÝíùò, åðáíåêðÝìðïõí áêôéíïâïëßá ßäéáò óõ÷íüôçôáò ìå ôçí ðñïóðßðôïõóá. ¼ìùò, ôá ðåéñáìáôéêÜ äåäïìÝíá äßíïõí äéáöïñåôéêü ìÞêïò êýìáôïò ë´ ôçò áíáêëþìåíçò áðü ôï ë ôçò ðñïóðßðôïõóáò. Äßíïõí ìÜëéóôá ë´>ë. Ç ìåôáôüðéóç áõôÞ Äë = ë´ − ë ïíïìÜæåôáé ìåôáôüðéóç Compton. Ï Arthur Holly Compton (1892-1962) åñìÞíåõóå ôç ìåôáôüðéóç Äë ìå ôç âïÞèåéá ôçò óùìáôéäéáêÞò öýóåùò ôïõ öùôüò. ×ñçóéìïðïßçóå áêôßíåò X êáé ôéò èåþñçóå üôé åßíáé óùìáôßäéá ðïõ óõãêñïýïíôáé ìå ôá çëåêôñüíéá ôïõ óêåäáóôÞ, üðùò ïé ìðÜëåò ôïõ ìðéëéÜñäïõ. Óôï ó÷Þìá 4.138 âëÝðïõìå ó÷çìáôéêÜ ôç óýãêñïõóç ôïõ öùôïíßïõ ôçò áêôßíáò × ìå ôï çëåêôñüíéï ôïõ óêåäáóôÞ. Åöáñìüæïõìå ôïõò íüìïõò äéáôÞñçóçò ãéá ôç óýãêñïõóç. Íüìïò äéáôÞñçóçò åíÝñãåéáò. Þ Þ (á) ¼ðïõ m ç ìÜæá ôïõ çëåêôñïíßïõ êáé p ç ïñìÞ ôïõ ìåôÜ ôçí êñïýóç. ÊÜíáìå ÷ñÞóç ôùí ó÷Ýóåùí (4.144) êáé (4.145) ôçò ó÷åôéêüôçôáò ãéá ôéò åíÝñãåéåò. Íüìïò äéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò óôïí xx´ Üîïíá (â) Íüìïò äéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò óôïí yy´ Üîïíá (ã) Áðü ôçí (â) êáé (ã) Ý÷ïõìå p h2 2 2 sin ë sinè ö= ′ F HG I KJ p è h ë h ë ö2 2 2 cos cos= − ′ F HG I KJ 0 = ′ − h p ë sin sinö è h h p ë ë cos cos+ = ′ +0 ö è h ë m c h ë m c p+ = ′ + +2 2 2 h c ë m c h c ë c m c p+ = ′ + +2 2 2 2 h f mc h f m c c p+ = ′ + +2 2 4 2 2 ÓÔÏÉ×ÅÉÁ ÊÂÁÍÔÏÌÇ×ÁÍÉÊÇÓ 295 Ó×ÇÌÁ 4.137 ÓêÝäáóç öùôïíßïõ áðü çëåêôñüíéï. Ó×ÇÌÁ 4.138 Ôï óêåäáæüìåíï öùôüíéï Ý÷åé ìéêñüôåñç óõ÷íüôçôá áðü ôï ðñïóðßðôïí.
- 312. ÐñïóèÝôïíôáò êáôÜ ìÝëçôéò äýï ôåëåõôáßåò ó÷Ýóåéò ðáßñíïõìå (ä) Åðßóçò ç (á) ãßíåôáé Þ Áíôéêáèéóôþíôáò óôçí ôåëåõôáßá ó÷Ýóç ôçí (ä) Ý÷ïõìå (4.147) Ç ôåëåõôáßá ó÷Ýóç óõìöùíåß áðüëõôá ìå ôá ðåéñáìáôéêÜ äåäïìÝíá. Ç ðïóüôçôá h/mc óõìâïëßæåôáé ìå ëc êáé åßíáé ãíùóôÞ ùò ìÞêïò êýìáôïò Compton ôïõ çëåêôñïíßïõ. ÅðïìÝíùò, ç (4.147) ìðïñåß íá ãñáöåß êáé ùò åîÞò Äë = ëc (1 − cos ö) (4.148) Ðáñáôçñïýìå üôé ìå ôï öáéíüìåíï Compton Ý÷ïõìå ìéá åðéâåâáßùóç ôçò óùìáôéäéáêÞò öýóåùò ôïõ öùôüò. Ãéá ôçí åñãáóßá ôïõ áõôÞ, ôçí ïðïßá ðáñïõóßáóå ôï 1923, ï Compton ôéìÞèçêå ôï 1927 ìå ôï âñáâåßï Nobel. Óçìåéþíïõìå üôé ðñÝðåé ç åíÝñãåéá ôïõ öùôïíßïõ íá åßíáé ðïëý ìåãáëýôåñç áðü ôï Ýñãï åîüäïõ ôïõ çëåêôñïíßïõ, þóôå ç áíÜëõóç áõôÞ íá åßíáé óùóôÞ. Ãé áõôü ÷ñçóéìïðïéÞèçêáí áêôßíåò X. Ôï çëåêôñüíéï ðñÝðåé íá åßíáé ðñáêôéêþò åëåýèåñï. ÐáñÜäåéãìá 4-56 Öùôüíéï áêôßíùí × ìÞêïõò êýìáôïò 0,080 nm óõãêïýåôáé ìå áêßíçôï êáé åëåýèåñï çëåêôñüíéï êáé óêåäÜæåôáé êáôÜ ãùíßá ö = 30ï . Íá âñåèåß: á) Ôï ìÞêïò êýìáôïò ôïõ óêåäáæüìåíïõ öùôïíßïõ, â) Ç åíÝñãåéá ðïõ áðÝêôçóå ôï çëåêôñüíéï, ã) ç ôá÷ýôçôá ôïõ çëåêôñïíßïõ. ÁðÜíôçóç á) Åßíáé Äë = ëc (1 − cos ö) Þ ë´ = ë + ëc (1 − cos ö) üðïõ ë h m c c m= = × − 0 24 10 11 , Äë ë ë ö= ′ − = − h m c 1 cosb g p h ë h ë h ë m c h ë m c h ë ë 2 2 2 2 2 2 2 2 2= + ′ + − ′ − ′ m c p h ë m c h ë 2 2 2 + = + − ′ p h h h2 2 2 2 2 2 2= + ′ − ′ë ë ë ë öcos 296 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ Ó×ÇÌÁ 4.139
- 313. ¢ñá Þ ë′ = 4× 10- 9 m Þ ë′ = 4 nm â) Ç åíÝñãåéá ðïõ áðÝêôçóå ôï çëåêôñüíéï, åßíáé ßóç ìå ôçí åíÝñãåéá ðïõ Ý÷áóå ôï öùôüíéï. ¢ñá åßíáé Þ ÄÅ = 2,435 × 10-15 J Þ Þ ÄÅ = 15,23 keV ã) ÅðåéäÞ ç åðéðëÝïí åíÝñãåéá ðïõ áðÝêôçóå ôï çëåêôñüíéï åßíáé ðïëý ìåãÜëç, áíôéìåôùðßæïõìå ôï ðñüâëçìá óôá ðëáßóéá ôçò ó÷åôéêüôçôáò. ¢ñá Þ Þ Þ õ = 0,17c Þ Áí îåêéíÞóïõìå áðü ôç ó÷Ýóç (ìç ó÷åôéêéóôéêÞ), ôüôå ç ôá÷ý- ôçôá âñßóêåôáé , ëßãï ìåãáëýôåñç äçë. áðü ôçí ðñáãìáôéêÞ ôçò ôéìÞ. Áò ðñï÷ùñÞóïõìå ëßãï ðáñáðÝñá. Äéáéñþíôáò ôçí ó÷Ýóç (4.148) ìå ôï ë, âñßóêïõìå üôé ç ðïóïóôéáßá ìåôáâïëÞ ôïõ ìÞêïõò êýìáôïò åßíáé (4.149) Ðáñáôçñïýìå üôé áí ë >> ë c , áí äçëáäÞ Ý÷ïõìå ìåãÜëá ìÞêç êýìáôïò, ç ìåôáâïëÞ ôïõ ìÞêïõò êýìáôïò åßíáé áíåðáßóèçôç, åðïìÝíùò, ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé ç áíáêëþìåíç áêôßíá Ý÷åé ðåñßðïõ ôçí ßäéá óõ÷íüôçôá ìå ôçí ðñïóðßðôïõóá, üðùò ðñïâëÝðåôáé áðü ôçí êõìáôéêÞ öýóç ôïõ öùôüò. Áí üìùò ôï ë åßíáé óõãêñßóéìï ìå ôï ëc , ôüôå ç ìåôáôüðéóç Äë åßíáé ðáñáôçñÞóéìç, äçëáäÞ åìöáíßæåôáé ç óùìáôéäéáêÞ öýóç ôïõ öùôüò. Ä coscë ë ë ë ö= −1b g õ = ×7 0 107 , m s 1 2 2 m õ Å= Ä õ = ×5 1 107 , m s õ c= + × × × × − − 1 1 9 11 10 9 10 2 435 10 31 16 15 , , õ c m c Å = + 1 1 2 Ä m c õ c m c Å 2 2 2 2 1 − − = Ä Ä eVÅ = × × − − 2 435 10 1 6 10 15 19 , , Ä JÅ h c ë h c ë = − ′ = × × × × − × F HG I KJ− − − 6 626 10 3 10 1 0 08 10 1 4 10 34 8 9 9 , , ′ = × + × −− − ë 0 08 10 0 24 10 1 309 11 , , cos o e j ÓÔÏÉ×ÅÉÁ ÊÂÁÍÔÏÌÇ×ÁÍÉÊÇÓ 297
- 314. 298 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ ÁÔÏÌÉÊÁ ÖÁÓÌÁÔÁ- ÓÕÍÈÇÊÅÓ BOHR (ÅÍÈÅÔÏ) ¼ðùò ç ìåëÝôç ôïõ öÜóìáôïò ôïõ ìÝëáíïò óþìáôïò ìáò ïäÞãçóå óôçí Ýííïéá ôçò êâÜíôùóçò ôçò åíÝñãåéáò, Ýôóé êáé ç ìåëÝôç ôùí ãñáììéêþí öáóìÜôùí Ýìåëå íá ìáò ïäçãÞóåé áñãüôåñá óôçí ôïëìçñÞ ðñüôáóç ôùí õëéêþí êõìÜôùí ôïõ De Broglie (Íôå ÌðñÝéã). Áò ðÜñïõìå üìùò ôá ðñÜãìáôá ìå ôç óåéñÜ. Áðü ôï 1860 Ýùò ôï 1885 õðÞñîå ìéá Ýíôïíç äñáóôçñéüôçôá óôçí ìåëÝôç ôùí öáóìÜôùí äéáöüñùí õëéêþí. Ôï 1885 ï Åëâåôüò êáèçãçôÞò ãõìíáóßïõ Johan Jacob Balmer (1825 - 1898) äéáôýðùóå Ýíáí åìðåéñéêü íüìï ãéá ôï öÜóìá ôïõ õäñïãüíïõ. Ôá ìÞêç êýìáôïò ôùí ãñáììþí ôïõ öÜóìáôïò ôïõ õäñïãüíïõ äßíïíôáé áðü ôç ó÷Ýóç: , n = 3, 4, 5 (á) üðïõ ç RH åßíáé ìéá óôáèåñÜ ç ïðïßá áñãüôåñá ïíïìÜóôçêå óôáèåñÜ Rydberg êáé Ý÷åé ôçí ôéìÞ (â) Ï ôýðïò ôïõ Balmer ãåíéêåýôçêå áñãüôåñá áðü Üëëïõò åñåõíçôÝò êáé ðÞñå ôç ìïñöÞ (ã) m, n = áêÝñáéïé èåôéêïß (m<n) Ãéá ôéò óõ÷íüôçôåò ç ó÷Ýóç (ã) ãñÜöåôáé ùò åîÞò (ä) Áí èÝóïõìå ôüôå ç ó÷Ýóç (ä) ãñÜöåôáé ùò åîÞò üðïõ ç ôåëåõôáßá ó÷Ýóç åßíáé ãíùóôÞ ùò óõíäõáóôéêÞ áñ÷Þ. Ðáñáôçñïýìå åðïìÝíùò, üôé ãéá ôá óôïé÷åßá, õðÜñ÷ïõí ïñéóìÝíïé äéáêñéôïß ìåôáîý ôïõò üñïé fl, ïé ïðïßïé ïíïìÜæïíôáé öáóìáôéêïß üñïé êáé ç äéáöïñÜ ôïõò ðñïóäéïñßæåé ôç óõ÷íüôçôá f ôïõ öÜóìáôïò ôùí óôïé÷åßùí (âë. Ó÷. Å1). Ï Bohr ëáìâÜíïíôáò õðüøéí ôï áôïìéêü ìïíôÝëï Rutherford, ôïõò ðáñáðÜíù êáíüíåò ôçò öáóìáôïóêïðßáò, êáé ôç ó÷Ýóç åíÝñãåéáò öùôïíßïõ Å = hf ôïõ Planck, êáôÝëçîå óôï ìïíôÝëï ôïõ áôüìïõ ôïõ õäñïãüíïõ, ðïõ óÞìåñá ëÝãåôáé ìïíôÝëï ôïõ Bohr. Ìå ôï ìïíôÝëï ôïõ ï Bohr, åîçãïýóå ðïëý êáëÜ ôï öÜóìá ôïõ áôüìïõ f f fm n= − cR l fH l2 = f cR m n = − F HG I KJH 1 1 2 2 1 1 1 2 2ë R m n = − F HG I KJH RH -1 m= ×1 097 107 , 1 1 2 2 2 2 ë R n = − F HG I KJH
- 315. ÕËÉÊÁ ÊÕÌÁÔÁ DEBROGLIE Óå áíôéóôïé÷ßá ôçò èåùñßáò ôùí öùôïíßùí, üðïõ ôï öùò åßíáé êáé êýìá êáé óùìáôßäéï, êáé ðñïóðáèþíôáò íá åîçãÞóåé ôçí êâÜíôùóç, ï De Broglie ôï 1923, óôç äéäáêôïñéêÞ ôïõ äéáôñéâÞ äéáôýðùóå ôï áîßùìá üôé: "¼÷é ìüíï ôï öùôüíéï, áëëÜ êáé êÜèå óùìáôßäéï óõíäÝåôáé ìå Ýíá êýìá", åðåêôåßíïíôáò ìÜëéóôá ôéò ó÷Ýóåéò (4.145) êáé ãéá ôá óùìáôßäéá. ÅðïìÝíùò, ãéá Ýíá óùìáôßäéï åíÝñãåéáò Å êáé ïñìÞò p, ç óõ÷íüôçôá êáé ôï ìÞêïò êýìáôïò ôïõ áíôßóôïé÷ïõ êýìáôïò äßíïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò (4.150)ë h p =f E h = , ÓÔÏÉ×ÅÉÁ ÊÂÁÍÔÏÌÇ×ÁÍÉÊÇÓ 299 ôïõ Õäñïãüíïõ, êáèþò êáé áñêåôÜ êáëÜ ôï öÜóìá ôùí áëêáëßùí, Õäñïãïíïåéäþí áôüìùí. ÊáôÜ ôïí Bohr ôï çëåêôñüíéï åðéôñÝðåôáé íá âñßóêåôáé óå óõãêåêñéìÝíåò êõêëéêÝò ôñï÷éÝò, ÷ùñßò íá áêôéíïâïëåß, üðïõ Ý÷åé óõãêåêñéìÝíåò ôéìÝò åíÝñãåéáò. ÅðïìÝíùò, ç åíÝñãåéá åßíáé êâáíôéóìÝíç. ¼ôáí ôï çëåêôñüíéï ìåôáâáßíåé áðü ìéá êáôÜôáóç áíþôåñçò åíÝñãåéáò óå ìéá êáôþôåñç åíÝñãåéá, ôüôå åêðÝìðåé öùôüíéï. ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôï öáóìáôéêü üñï åðß (-h) êáé ôáõôßæïíôáò ôï ãéíüìåíï -hfl ìå ôçí åíÝñãåéá ôçò óôÜèìçò, Ý÷ïõìå áðü ôç ó÷Ýóç (å) ¢ñá h f = En − Em (å) ÄçëáäÞ ôï åêðåìðüìåíï öùôüíéï áðü ìéá óôÜèìç n óôç óôÜèìç m, Ý÷åé åíÝñãåéá ðïõ éóïýôáé ìå ôç äéáöïñÜ ôùí åíåñãåéþí ôùí äýï óôáèìþí. Áñãüôåñá ï Bohr äéêáéïëüãçóå ôçí êâÜíôùóç ôçò åíÝñãåéáò ôùí óôáèìþí õðïèÝôïíôáò ôç óõíèÞêç êâÜíôùóçò ôçò óôñïöïñìÞò Ln , ôùí çëåêôñïíßùí ðïõ êéíïýíôáé óôéò êõêëéêÝò ôñï÷éÝò, äçëáäÞ Ln = n−h, n = 1, 2, 3, ... üðïõ −h êáé h ç óôáèåñÜ ôïõ Planck= h 2ð h f h f h f h f h f E Em n n m n m= − = − − − = −b g b g Ó×ÇÌÁ Å1
- 316. Ãåíéêþò, ïé ðïóüôçôåòÅ, p åßíáé ïé ó÷åôéêéóôéêÝò. Ãéá ìéêñÝò ôá÷ýôçôåò åßíáé p = m õ Ìå ôç èåùñßá De Broglie åîçãåßôáé ç êâáíôéêÞ óõíèÞêç óôñïöïñìÞò ôïõ Bohr. Óôçí êëáóéêÞ èåùñßá Ý÷ïõìå äåé äéáêñéôÝò êáôáóôÜóåéò óôá óôÜóéìá êýìáôá ðïõ ðáñÜãïíôáé óå ÷ïñäÞ, üðïõ ïé óõ÷íüôçôåò ôáëÜíôùóçò åßíáé äéáêñéôÝò. ÁíÜëïãá, êáèþò ôï çëåêôñüíéï êéíåßôáé ãýñù áðü ôï Üôïìï, óçìáßíåé üôé ôï áíôßóôïé÷ï êýìá Ý÷åé ïñéóìÝíïõò ðåñéïñéóìïýò. ¢ñá, êáôÜ ôá ëåãüìåíá óôï êåöÜëáéï 3.2 Ý÷ïõìå äçìéïõñãßá óôáóßìùí êõìÜôùí åðïìÝíùò êâáíôéóìÝíùí êáôáóôÜóåùí. Ãéá ðáñÜäåéãìá óôï Üôïìï ôïõ õäñïãüíïõ, êáèþò ôï çëåêôñüíéï êéíåßôáé óå ôñï÷éÜ áêôßíáò r ãýñù áðü ôïí ðõñÞíá, Ý÷ïõìå óôÜóéìá êýìáôá, üðùò óôï ó÷Þìá 4.140. ÅðïìÝíùò, Ý÷ïõìå Þ Þ Þ mõr = −h ~Áñá, ç óôñïöïñìÞ äßíåôáé áðü ôç ó÷Ýóç Ln = n−h Ç ôåëåõôáßá ó÷Ýóç åßíáé ç 2ç óõíèÞêç ôïõ Bohr, ç ïðïßá ôþñá äåí åðéâÜëëåôáé áëëÜ ðñïêýðôåé! Ç Üìåóç ðåéñáìáôéêÞ åðáëÞèåõóç ôùí ðñïôÜóåùí ôïõ De Broglie Ýãéíáí áðü ôïõò Davisson - Germer, ïé ïðïßïé êáôüñèùóáí ìÜëéóôá íá ìåôñÞóïõí ôï ìÞêïò êýìáôïò ôïõ çëåêôñïíßïõ. Ïé Davisson-Germer åíôåëþò ôõ÷áßá, åíþ ìåëåôïýóáí äéáöïñåôéêÜ ðñÜãìáôá, åßäáí öáéíüìåíá ðåñßèëáóçò ôùí çëåêôñïíßùí. Êáôüðéí, åðáíáëáìâÜíïíôáò óõóôçìáôéêÜ ôá ðåéñÜìáôÜ ôïõò ñß÷íïíôáò çëåêôñüíéá óå ìïíïêñõóôÜëëïõò, ðáñáôÞñçóáí öáéíüìåíá ðåñßèëáóçò, áðü üðïõ õðïëüãéóáí ôï ìÞêïò êýìáôïò ôùí çëåêôñïíßùí. ÐáñÜäåéãìá 4-57 Çëåêôñüíéï Ý÷åé ôá÷ýôçôá 1,0 × 105 m/s. Õðïëïãßóôå ôï ìÞêïò êýìáôïò De Broglie. ÐïéÜ ç ôéìÞ ôïõ ðéï ðÜíù ìåãÝèïõò, üôáí ç ôá÷ýôçôá ôïõ çëåêôñïíßïõ åßíáé 2,0 × 108 m/s; ÁðÜíôçóç Åßíáé Þ Þ Þ ë = 7,27 nm Óôç äåýôåñç ðåñßðôùóç ç ïñìÞ ðñÝðåé íá õðïëïãéóèåß ó÷åôéêéóôéêÜ, Üñá åßíáé Þë h m õ õ c = −1 2 2 ë = × × × − − 6 626 10 9 11 10 10 34 31 5 , , m ë h m õ =ë h p = p r n h = 2ð 2ð r n h p =2ð r n= ë 300 ÌÇ×ÁÍÉÊÇ LOUIS VICTOR DE BROGLIE (1892 - 1987) ÃåííÞèçêå óôç Dieppe ôçò Ãáëëßáò. Áñ÷éêÜ óðïý- äáóå éóôïñßá êáé áñãüôåñá áó÷ïëÞèçêå ìå ôç öõóéêÞ. ÐÞñå ôï äéäáêôïñéêü ôïõ äßðëùìá ôï 1924 áðü ôï Ðáíå- ðéóôÞìéï ôùí Ðáñéóßùí. ÔéìÞèçêå ìå ôï âñáâåßï Nobel ãéá ôçí áíáêÜëõøç ôçò êõìáôéêÞò öýóçò ôùí óùì