ກົນລະສາດພື້ນຖານ

Mr.Pem PHAKVISETH
1
General Physics ,NUOL
ຍ຺ຈ຋ໃ 1 ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ຾ຌ຤ຽລໄຌຆໃ
1. ຽຌໄວເຌຎະກວຍຠ
1.1. ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄຉ ໍາ຾ໜໃຄ຾ຣະກາຌກະ຾຅ກກະ຅າງ
1.2. ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ
1.3. ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄ຃຤າຠແ຤ຂະຌະເຈຂະຌະໜໃ ຄ຾ຣະວຈຉາຽຣໃ ຄ
1.4. ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄ຃຤າຠຽຣໃຄລະຽຣໃງ຾ຣະ຃຤າຠຽຣໃ ຄຂະຌະເຈໜໃ ຄ
1.5. ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຽຠໃວ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຃຺ຄ຋ໃ
1.6. ກາຌຉ຺ກຉາຠຣ ໍາພຄຂວຄ຤ຈຊຸ
1.7. ລ຺ຠຏ຺ຌ຅ຸຌຣະລາຈ຾ຣະກາຌ຾ກໄລ຺ຠຏ຺ຌ຿ຈງເຆໄ຾຃ຌ຃ູຣຈລ໌
ເຌຍ຺ຈຌໄ຅ະລກລາກໃຼ຤ກຍກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຂວຄ຤ຈຊຸເຌ 1 ຠິຉິ ຿ຈງຍໍໃລ຺ຌເ຅ຽຊິຄລາຽ຦ຈ຋ໃ ຽຨຈເ຦ໄ຤ຈຊຸ
ຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຽວໄຌ຤ໃາ ຅ຸຌຣະລາຈ
1.1. ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄຉ ໍາ຾ໜໃຄ຾ຣະກາຌຽ຃ໃວຌງໄາງ
ກໃວຌ຅ະ຋ ໍາ຃຤າຠຽຂ຺ໄາເ຅ຽຣໃ ວຄຉໃາຄໂ ເຌ຦຺຤ຂໍໄຉໍໃໂແຎຉໄວຄຨູໄ຃຤າຠໝາງຉ ໍາ຾ຼໃຄຂວຄ຤ຈຊຸກໃວຌ
ຉ຺຤ມໃາຄ ຨູຍ຋ໃ 1
ຉ ໍໃາ຾ໜໃຄ ຾ຠໃຌ ຍໍຣິຽ຤ຌ຋ໃ ຉ ໄຄຂວຄ຤ຈຊຸ (ຣ຺ຈຉ ໄຄມູໃຉ ໍາ຾ໜໃຄ 1x ) ເຌຣະຍ຺ຍຽລໄຌລະ຾ຈຄ.
ກາຌຽ຃ໃວຌງໄາງ ຾ຠໃຌ ກາຌຎໃຼຌ຾ຎຄ຋ໃ ຉ ໄຄຂວຄ຤ຈຊຸ ຉ຺຤ມໃາຄ ຨູຍ຋ໃ 1.2 ຽຠໃວຣ຺ຈຎໃຼຌຉ ໍາ຾ໜໃຄ຅າກ 1x ແຎ
ງຄຉ ໍາ຾ໜໃຄ 2x ຅າກຽຄໃວຌແຂຽຍໄວຄຉ຺ໄຌລາຠາຈຌ ໍາຠາຂຼຌຽຎຌລ຺ຠຏ຺ຌ຋າຄ຃ະຌິຈລາຈແຈໄຈໃຄຌໄ:
ຉ ໍາ຾ໜໃຄ  x
ຌິງາຠກາຌຽ຃ໃວຌງໄາງ ຾ຠໃຌ 12 xxx 
ຉ຺຤ມໃາຄ຋ໃ 11: ຅າກຨູຍຽຎຌກຢາຟກາຌຽຈຌ຋າຄ຋ໃວຄ຋ໃຼ຤ແຎຆຼຄຂ຤າຄຈໄ຤ງ຋າຄຣ຺ຈ ຽຠໃວ຅ຸຈຽຣໃຠຉ຺ໄຌມູໃ຋ໃ
ຠະ຦າ຤ິ຋ະງາແຣ຾຦ໃຄຆາຈ ຈໃຄຨູຍ 1.2
ຨູຍ຋ໃ 1.1 ຨູຍ຋ໃ 1.2

Mr.Pem PHAKVISETH
2
ຨູຍ຋ໃ 1.2
຤ິ຋຾ກໄ
ກ.຅າກກຢາຟ kmx 1101 
ຂ.຅າກກຢາຟ kmx 3752 
຃.຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄກາຌກະ຅າງ x  12 xx 
=  kmkm 110375 
= km265
ຄ.຅າກກຢາຟກາຌກະ຅າງ຋ຄໝ຺ຈ Tx = km495
1.2 ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ
຅າກ຦຺຤ຂໍໄ 1.1 ຽຠໃວຨູໄຉ ໍາ຾ໜໃຄຂວຄ຤ຈຊຸ຾ຣໄ຤ເຌ຦຺຤ຂໍໄຉໍໃແຎຌໄ຅ະວະຍາງຽຊິຄກາຌຎໃຼຌ຾ຎຄຉ ໍາ຾ໜໃຄມໃາຄ
ແ຤຤າ
຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ຾ຠໃຌວຈຉາກາຌຎໃຼຌ຾ຎຄກາຌກະ຅າງຉໍໃຆ຤ຄຽ຤ຣາ
຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງຽຠໃວຂຼຌເຌຨູຍ຾ຍຍລ຺ຠຏ຺ຌ຋າຄ຃ະຌິຈລາຈ
12
12
tt
xx
t
x
vv av






ຉ຺຤ມໃາຄ 1.2 ຅າກຉ຺຤ມໃາຄ 1.1 ຅ ຺ໃຄ຃ິຈແຣໃ
ກ.຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງເຌກາຌຽຈຌ຋າຄ຅າກ ht 2 ຽຊິຄ ht 8
ຂ.຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງຽຠໃວລໄຌລຸຈກາຌຽຈຌ຋າຄ
຤ິ຋຾ກໄ : ຅າກ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ
ກ. v = avv =
t
x


=
12
12
tt
xx


ກ.ຉ ໍາ຾ໜໃຄຂວຄຣ຺ຈ຋ໃ
ຂ.ຉ ໍາ຾ໜໃຄຂວຄຣ຺ຈ຋ໃ
຃.ກາຌຽ຃ໃວຌງໄາງພາງເຌຽ຤ຣາ
ຄ.ກາຌຽ຃ໃວຌງໄາງ຋ຄໝ຺ຈ

Mr.Pem PHAKVISETH
3
=
 
 hh
kmkm
28
110375


=  hkm/20.44 ข.
v = avv =
t
x


=
 
 h
km
11
495
=  hkm/45
຅າກຉ຺຤ມໃາຄຂໄາຄຽ຋ິຄຌໄລະ຾ຈຄເ຦ໄຽ຦ຌຽຊຄກາຌຽຣໃ ວຌຉ ໍາ຾ໜໃຄ ພິ຅າຣະຌາກາຌຽ຃ໃວຌຉ ໍາ຾ໜໃຄຂວຄ຤ຈຊຸພາງ
ເຌຽ຤ຣາ 2 ຆ຺ໃ຤຿ຠຄ ຅າກຆໃ຤ຄຽ຤ຣາ ht 3 ຽຊິຄ ht 4 ຾ຣະ຅າກ ht 6 ຽຊິຄ ht 7 ຃຤າຠ
ແ຤ລະຽຣໃງພາງເຌ 2 ຆ຺ໃ຤຿ຠຄເຌກໍຣະຌຌໄ຦າ຃ໃາຍໍໃແຈໄຽຌໃວຄ຅າກຆໃ຤ຄຽ຤ຣາຍໍໃຉໍໃຽຌໃວຄ.
1.3 ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄ຃຤າຠແ຤ຂະຌະເຈຂະຌະໜໃ ຄ຾ຣະວຈຉາຽຣໃ ຄ
຅າກຨູຍ 1.3 ກຢາຟລະ຾ຈຄ຃຤າຠລ ໍາພຌຣະ຦຤ໃາຄຉ ໍາ຾ໜໃຄກຍ
ຽ຤ຣາ ຽຎຌກຢາຟຽລໄຌຆໃ
຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ຾ຠໃຌ຃຤າຠຆຌຂວຄກຢາຟ (slope) ຂວຄກຢາຟ
ຽຌໃວຄ຅າກ
avvv
t
x
slope 




ວຈຉາ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ ຾ຠໃຌ ຂະໜາຈຂວຄ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງຽຎຌ
ກາຌກະ຅າງຉໍໃຆໃ຤ຄຽ຤ຣາ
຅າກຨູຍ 1.4 ກຢາຟລະ຾ຈຄ຃຤າຠລ ໍາພຌຣະ຦຤ໃາຄ ຉ ໍາ຾ໜໃຄກຍ
ຽ຤ຣາ ຽຎຌກຢາຟຽລໄຌ຿຃ໄຄ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ (຃຤າຠຆຌ) ຅ະຠກາຌ
ຎໃຼຌ຾ຎຄຂໄຌມູໃກຍຂະໜາຈຂວຄ t ຊໄາ t ຠ຃ໃາຌໄວງ຦ົາງ ຽຨ຺າ
ລາຠາຈຆວກ຃ໃາ຃຤າຠຆຌແຈໄ຅າກຽລໄຌຉິຈ (tangent line). ລໃ຤ຌ
຿຃ໄຄ຃຤າຠແ຤຋ໃ ແຈໄຽວໄຌ຤ໃາ຃຤າຠແ຤ຂະຌະເຈໜໃ ຄຌ ໄຌ຃:
v =
t
x
t 

 0
lim
ລາຠາຈຂຼຌເຌຨູຍ຾ຍຍຂວຄລ຺ຠຏ຺ຌແຈໄຈໃຄຌໄ
ຨູຍ຋ໃ 1.3
ຨູຍ຋ໃ 1.4

Mr.Pem PHAKVISETH
4
v =
dt
dx
ຌ ໄຌ຃຃຤າຠແ຤ຂະຌະເຈໜໃ ຄຽຎຌກາຌກະ຅າງຽ຤ຣາເຌຆໃ຤ຄຽ຤ຣາລ ໄຌໂ ຦ົ
ຽຎຌ຃຤າຠແ຤຋ໃ ຅ຸຈເຈໜໃ ຄຂວຄກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຽຆໃຌ ຃຤າຠແ຤ຂະຌະຂຍຣ຺ຈ
ລຄຽກຈແຈໄ຅າກຽຂຠແຠ໌ຣຂະຌະຌ ໄຌຈໃຄຨູຍ 1.5
ຉ຺຤ມໃາຄ 1.3 ຿ງຌໝາກຍາຌຂໄຌຉາຠຣ຤ຄລູຄຉ ໍາ຾ໜໃຄຂວຄໝາກຍາຌ ຽ຤ຣາ t ເຈໂ ຾ຠໃຌ
mtty )5251( 2

a) ຅ ຺ໃຄ຾ຉໄຠກຢາຟ຃ລາຠລ ໍາພຌຣະ຦຤ໃາຄຽ຤ຣາກຍແຣງະ຋າຄ
b) ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງເຌໃ຤ຄ 2 ຤ິຌາ຋຋ ໍາວິຈ
c) ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງເຌໃ຤ຄ 1 ຤ິຌາ຋຋ ໍາວິຈ
d) ຃຤າຠແ຤຋ໃ ຽ຤ຣາ st 0
຤ິ຋຾ກໄ
a)
b) ຅າກ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ
ຨູຍ຋ໃ 1.5

Mr.Pem PHAKVISETH
5
v

=
12
12
tt
yy
t
y





2y =     m
2
252251  = m31
1y =     m
2
050251  = m1
2t = s2
1t = s0
v

=
 
 s
m
02
131


=  sm/15
c) ຅າກ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ
v

=
12
12
tt
yy
t
y





2y =    2
151251  m = m21
1y =    2
0500251  m = m1
2t = s1
1t = s0
v

=
 
 ss
mm
01
121


=  sm/20
d) ຃຤າຠແ຤຋ໃ t=0 ຾ຠໃຌ຃຤າຠແ຤ຂະຌະເຈໜໃ ຄ຅ະແຈໄ
v =
  






s
m
dt
ttd
dt
dy 2
5251
=  smt /1025
ຽຠໃວ st 0
v =   sm/01025
=  sm/25
ຂໍໄລຄຽກຈ : ຅າກຉ຺຤ມໃາຄຂໄາຄຽ຋ິຄລຄຽກຈແຈໄ຤ໃາເຌຂະຌະ຋ໃ ຆໃ຤ຄຽ຤ຣາລ ໄຌຣ຺ຄ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ຅ະຠ຃ໃາເກໄ
຃ຼຄກຍ຃຤າຠແ຤ຂະຌະເຈໜໃ ຄ
຃ໃາ຅ ໍາກຈຂວຄວຈຉາ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ຾ຠໃຌຂະໜາຈຂວຄ຃຤າຠແ຤ຂະຌະເຈໜໃ ຄ ວຈຉາ຃຤າຠແ຤຅ະຠ຃ໃາ
ຍ຤ກລະຽໝ ເຌຂະ຋ໃ ຃຤າຠແ຤ຠແຈໄ຋ຄ຃ໃາຍ຤ກ຾ຣະ຃ໃາຣ຺ຍ ຂໍໄ຾ຉກຉໃາຄຣະ຦຤ໃາຄວຈຉາ຃຤າຠແ຤຾ຣະ຃຤າຠ
ແ຤຅ະລຄຽກຈຽ຦ຌແຈໄຄໃາງຂໄຌ ຽຠໃວ຃຤າຠແ຤຃ິຈມູໃເຌຨູຍ຾ຍຍຂວຄຽ຤ກຽຉິຆໃຄ຅ະລກລາແຎເຌກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ
2 ຠິຉິ

Mr.Pem PHAKVISETH
6
1.4 ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄ຃຤າຠຽຣໃຄລະຽຣໃງ຾ຣະ຃຤າຠຽຣໃ ຄຂະຌະເຈໜໃ ຄ
ເຌຂໍໄຌໄ຅ະວະ຋ິຍາງຽຊຄກາຌຎໃຼຌ຾ຎຄ຃຤າຠແ຤ຆໃຄຽວໄຌ຤ໃາ຃຤າຠຽຣໃ ຄ ຂໍໄ຾ຉກຉໃາຄຣະ຦຤ໃາຄ຃຤າຠແ຤
຾ຣະ຃຤າຠຽຣໃ ຄ ຾ຠໃຌ ຃຤າຠແ຤ຍວກຽຊິຄກາຌຎໃຼຌ຾ຎຄຉ ໍາ຾ໜໃຄ ລໃ຤ຌ຃຤າຠຽຣໃ ຄຍວກຽຊິຄກາຌຎໃຼຌ຾ຎຄ
຃຤າຠແ຤ຌ ໄຌ຃ ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຾ຠໃຌວຈຉາກາຌຎໃຼຌ຾ຎຄ຃຤າຠແ຤.
ຽຠໃວຂຼຌເຌ຾ຍຍລ຺ຠຏ຺ຌ຅ະແຈໄຌິງາຠ຃຤າຠຽຣໃ ຄລະຽຣໃງ຃ :
a

=
12
12
tt
vv
t
v





຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄ຃຤າຠຽຣໃຄຂະຌະເຈໜໃ ຄ
a =
dt
dv
ຉ຺຤ມໃາຄ 1.4 ຣ຺ຈ຃ຌໜໃ ຄລາຠາຈຽຣໃ ຄ຃຤າຠແ຤຅າກ sm/0 ຅ ຺ຌຠ຃຤າຠແ຤ຨວຈ sm/8.26 ພາງເຌຽ຤ຣາ
s6 ຅ ຺ໃຄຆວກ຦າ຃຤າຠຽຣໃ ຄລະຽຣໃງຂວຄຣ຺ຈ຃ຌຌໄ.
຤ິ຋຾ກໄ : ຅າກລູຈ a

=
12
12
tt
vv
t
v





=
 
 ss
smsm
06
/0/8.26


=  2
/47.4 sm
຅າກກຢາຟລະ຾ຈຄ຃຤າຠລ ໍາພຌຣະ຦຤ໃາຄຉ ໍາ຾ໜໃຄກຍຽ຤ຣາ ຃຤າຠຆຌຂວຄກຢາຟ຃຋ ໍາຌວຄຈຼ຤ກຌ ຃຤າຠ
ຽຣໃ ຄ຃຃຤າຠຆຌຂວຄກຢາຟລະ຾ຈຄ຃຤າຠລ ໍາພຌຣະ຦຤ໃາຄ຃຤າຠແ຤ກຍຽ຤ຣາ
ຉ຺຤ມໃາຄ 1.5 ກຢາຟລະ຾ຈຄ຃຤າຠລ ໍາພຌຣະ຦຤ໃາຄ຃຤າຠແ຤ກຍຽ຤ຣາຂວຄຣ຺ຈ຃ຌໜໃ ຄລະ຾ຈຄຈໃຄຨູຍ 1.6
຅າກກຢາຟວະ຋ິຍາງ຤ໃາ
ກ.ຆໃ຤ຄ຋ ໍາວິຈຣ຺ຈຆໄາ (decelerating)
ຂ.ຣ຺ຈຠ຃຤າຠຽຣໃ ຄ(accelerating)
຃.຃຤າຠຽຣໃ ຄຽຎຌລູຌ
ຄ.ຣ຺ຈຠ຃຤າຠຽຣໃ ຄຣ຺ຈຣ຺ຄ
຤ິ຋຾ກໄ : ກ,ຂ,຃ ຅າກ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄ຃຤າຠຽຣໃ ຄຂະຌະເຈໜໃ ຄ
dt
dv
a  ຆໃຄລາຠາ຦າ຃຤າຠຆຌ
ຂວຄກຢາຟ
ຄ. ຆໃ຤ຄ຋ໃ ຣ຺ຈຠ຃຤າຠແ຤ຣຸຈຣ຺ຄຠ 2 ຆໃ຤ຄ຃ຆໃ຤ຄຽ຤ຣາ st 0 ຨວຈ st 5.0 ຾ຣະຆໃ຤ຄຽ຤ຣາ
st 8.2 ຨວຈ st 5.3
ຨູຍ຋ໃ 1.6

Mr.Pem PHAKVISETH
7
1.5 ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຽຠໃວ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຃຺ຄ຋ໃ
ຊໄາຽຨ຺າຨູໄ຤ໃາ຤ຈຊຸຽຣໃຠຉ຺ໄຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຅າກຉ ໍາ຾ໜໃຄເຈ ຃຤າຠແ຤ຉ຺ໄຌຽ຋຺ໃ າເຈ຾ຣະ຃ລາຠຽຣໃຄຽ຋຺ໃ າເຈ ຽຨ຺າ
຅ະລາຠາຈຍວກແຈໄ຤ໃາຆໃ຤ຄຉໍໃແຎ຤ຈຊຸ຅ະມູໃ຅ຸຈເຈ ຎຌ຦າ຋ໃ ຽກິຈຂໄຌຌໄລາຠາຈວະ຋ິຍາງແຈໄ຿ຈງເຆໄລ຺ຠຏ຺ຌ
຋າຄ຃ະຌິຈລາຈ ຽຠໃວກ ໍາຌ ຺ຈເ຦ໄຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຣໃຠຉ຺ໄຌ຃ 0x ; ຃຤າຠແ຤ຉ຺ໄຌ຃ 0v ; ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຾ຠໃຌ a ຃຤າຠ
ຽຣໃ ຄຽຠໃວຽຎຌຏ຺ຌຂວຄຽ຤ຣາ຾ຠໃຌ ta ; ຃ລາຠແ຤ຽຠໃວຽຎຌຏ຺ຌຂວຄຽ຤ຣາ tv ; ຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຠໃວຽຎຌຏ຺ຌຂວຄ
ຽ຤ຣາ tx ; ຃຤າຠຽຣໃ ຄຽຠໃວຽຎຌຏ຺ຌຂວຄຉ ໍາ຾ໜໃຄ຾ຠໃຌ xa ; ຾ຣະ ຃຤າຠແ຤ຽຠໃວຽຎຌຏ຺ຌຂວຄຉ ໍາ຾ໜໃຄ
຾ຠໃຌ xv ຆໃຄລາຠາຈຂຼຌມູໃເຌລ຺ຠຏ຺ຌກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຈໃຄຌໄ.
ເຌກໍຣະຌ຋ໃ ຤ຈຊຸຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຈໄ຤ງ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຃຺ຄ຋ໃ ລ຺ຠຏ຺ຌກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ກໍຣະຌຌໄຽຨ຺າຽວໄຌ຤ໃາ ລ຺ຠຏ຺ຌ຅ຸຌຣະ
ລາຈ ເ຦ໄ aat  ; aax  ; ຽຠໃວ a ຾ຠໃຌ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຃຺ຄ຋ໃ
ລ຺ຠຏ຺ຌ຃຤າຠແ຤ຽຠໃວຽຎຌຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາຽຨ຺າພິ຅າຣະຌາແຈໄຉາຠຌິຍາຠ຃຤າຠຽຣໃ ຄລະຽຣໃງ:
a

=
t
v


a =
0
0


t
vvt
tv = atv 0
ຽຎຌລ຺ຠຏ຺ຌ຃຤າຠແ຤ຽຠໃວຽຎຌຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາ
ລ຺ຠຏ຺ຌຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຠໃວຽຎຌຏ຺ຌຂວຄຽ຤ຣາພິ຅າຣະຌາແຈໄ຅າກຌິງາຠ຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ v
v =
t
x


 0
2
1
vv  =
0
0


t
xxt
0xxt  =  tvv 0
2
1

຾຋ຌ v ຈໄ຤ງ tv ຅າກລ຺ຠຏ຺ຌຂໄາຄຽ຋ຄຆໃຄຽຎຌລ຺ຠຏ຺ຌ຃຤າຠແ຤ຽຠໃວຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາ຅ະແຈໄ
0xxt  =  tvatv 00
2
1

= 2
0
2
1
attv 
tx = 2
00
2
1
attvx 

Mr.Pem PHAKVISETH
8
ຽຎຌລ຺ຠຏ຺ຌຂວຄຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຠໃວຽຎຌຏຌຂວຄຽ຤ຣາ
ເຌ຋ ໍາຌວຄຈຼ຤ກຌ຃຤າຠແ຤ຽຠໃ ໃວຽຎຌຏ຺ຌຂວຄຉ ໍາ຾ໜໃຄ ລາຠາຈຆວກແຈໄ຿ຈງຆວກຽ຤ຣາລ຺ຠຏ຺ຌ຃຤າຠແ຤
຋ໃ ຽຎຌຏ຺ຌຂວຄຽ຤ຣາ ຅າກຌ ໄຌຌ ໍາຽ຤ຣາ຋ໃ ແຈໄ຾຋ຌຣ຺ຄເຌລ຺ຠຏ຺ຌຉ ໍາ຾ໜໃຄ ຽຠໃວຽຎຌຏ຺ຌຂວຄຽ຤ຣາຈໃຄຌໄ:
tv = atv 0
t =
a
vv 0
຅າກ x = 2
00
2
1
attvx 
=
2
00
00
2
1





 





 

a
vv
a
a
vv
vx
=
a
vvvv
a
vvv
x
2
2 2
00
22
00
0




=
a
vvvvvvv
x
2
222 2
00
22
00
0


=
a
vv
x
2
2
0
2
0


2
v =  0
2
0 2 xxav 
຅າກລ຺ຠຏ຺ຌ຅ະຽ຦ຌ຤ໃາຽຠໃວ a ຃຺ຄ຋ໃ ຃຤າຠແ຤຅ະຽຎຌຏ຺ຌຂວຄແຣງະ຋າຄຂຼຌເໝໃແຈໄຽຎຌ :
2
tv =  0
2
0 2 xxav 
ລ຺ຠຏ຺ຌ຋ໃ ແຈໄກ ໍາຌ ຺ຈເ຦ໄ 0x ຾ຠໃຌຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຣໃຠຉ຺ໄຌ ; 0v ຾ຠໃຌ຃຤າຠແ຤ຽຣໃຠຉ຺ໄຌ ; a ຾ຠໃຌ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຃຺ຄ຋ໃ
ຽຨ຺າລາຠາຈເຆໄລ຺ຠຏ຺ຌຽ຦ົ຺ໃ າຌໄຆວກ຃຤າຠຽຣໃ ຄ ຃຤າຠແ຤ ຾ຣະຉ ໍາ຾ໜໃຄຂວຄ຤ຈຊຸ຋ໃ ຽ຤ຣາເຈໂແຈໄ຾ຣະງຄ
ລາຠາຈຆວກ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຾ຣະ຃຤າຠແ຤ຂວຄ຤ຈຊຸ຋ໃ ຉ ໍາ຾ໜໃຄເຈໂແຈໄ
ຍາຄກໍຣະຌເຌລ຺ຠຏ຺ຌ຅ຸຌຣະລາຈຽຨ຺າຍໍໃຨູໄຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຣໃຠຉ຺ໄຌ ຃຤າຠແ຤຋ ໍາວິຈ຦ົ຃ໃາຉໃາຄໂຽພໃ ວລະຈ຤ກເຌ
ກາຌເຆໄຽຨ຺າລາຠາຈຌ ໍາຠາຂຼຌຽພໃ ວລະ຾ຈຄ຃ໃາ຋ໃ ຍໍໃຨູໄແຈໄຈໃຄຌໄ
สมการจลศาสตร์ ค่าที่ไม่ปรากฏ
atvv  0 0xx 
2
00
2
1
attvxx 
v
 0
2
0
2
2 xxavv  t

Mr.Pem PHAKVISETH
9
 tvvxx 00
2
1

a
2
0
2
1
atvtxx  0v
຅າກ຦ໄາລ຺ຠຏ຺ຌ຋ໃ ລຄຽກຈແຈໄ຅ະລຄຽກຈແຈໄ຤ໃາ຾ຉໃຣະລ຺ຠຏ຺ຌ຅ະຠ຃ໃາ຋ໃ ຍໍໃຎະກ ຺ຈເຌ຾ຉໃຣະລ຺ຠຏ຺ຌມູໃ 1 ຃ໃາ
຅າກຽຄໃວຌແຂຈໃຄກໃາ຤ຽຨ຺າລາຠາຈງຸຍລ຺ຠຏ຺ຌຉໃາຄໂເ຦ໄຽ຦ົວພຼຄ 2 ຦ົ 3 ລ຺ຠຠຏ຺ຌແຈໄ຅າກຌ ໄຌກໍໃເ຦ໄ຾຋ຌ຃ໃາ຋ໃ ຍໍໃ
ຉໄວຄກາຌເຌລ຺ຠຏ຺ຌຈໃຄຌໄ:
ກໍຣະຌງຸຍເ຦ໄຽ຦ົວ 2 ລ຺ຠຏ຺ຌ຃
v = atv 0
x = 2
00
2
1
attvx 
ຽຠໃວຍໍໃຉໄວຄກາຌ຃ໃາ t ຎະກ ຺ຈເຌລ຺ຠຏ຺ຌກໍໃເ຦ໄ຾຋ຌ຃ໃາ
a
vv
t 0
 ຣ຺ຄເຌລ຺ຠຏ຺ຌ
2
00
2
1
attvxx 
຅ະແຈໄ :
0xx  =
2
00
0
2
1





 





 
a
vv
a
a
vv
v
=  2
0
2
00
2
1
vv
aa
vvv


=  2
00
2
2
00
2
2
1
vvvv
aa
vvv


0xx  =
a
vvvv
a
vvv
2
2 2
00
22
00 


=
a
vvvvvvv
2
222 2
00
22
00 
=
a
vv
2
2
0
2

2
0
2
vv  =  02 xxa 
2
v =  0
2
0 2 xxav 
ໝາງຽ຦ຈ : 0xx  ຌຍຽຎຌ຃ໃາຈຼ຤ແຈໄຽຨ຺າລາຠາຈຽຣວກ x ຦ົ 0x ແຈໄ຅າກຣະຍ຺ຍ຾ກຌຠູຠລາກ

Mr.Pem PHAKVISETH
10
ຉ຺຤ມໃາຄ 1.6 .ຣ຺ຈ຃ຌໜໃ ຄຽຣໃຄຈໄ຤ງ຃຤າຠແ຤຅າກ sm/0 ຽຎຌ sm/8.26 ພາງເຌຽ຤ຣາ s6 ຈໃຄຨູຍ 1.7
຅ ຺ໃຄຆວກ຦າ
a) ຃຤າຠຽຣໃ ຄ
b) ແຣງະ຋າຄ຋ໃ ຣ຺ຈ຾ຣໃຌແຈໄພາງເຌ 6 s.
຤ິ຋຾ກໄ : a) ເຌຍ຺ຈຽຣກ຃ໃາ຋ໃ ຍໍໃຎະກ ຺ຈ຾ຠໃຌຉ ໍາ຾ໜໃຄ
ລຸຈ຋ໄາງ  x ຽຠໃວ 00 x ; ?x ; 00 v ; smv /8.26 ;
?a ; st 6 ຅າກລ຺ຠຏ຺ຌ
v = atv 0
a =
s
sm
t
v
6
/8.26

=  2
/47.4 sm
b) ຽຠໃວ຃ໃາ຋ໃ ຍໍໃຎະກ ຺ຈ຾ຠໃຌ຃຤າຠຽຣໃ ຄ a
0xx  =  tvv 0
2
1

ຽຣໃຠຉ຺ໄຌ st  ; 00 x ; 00 v
x = vt
2
1
=   ssm 6/8.26
2
1
= m4.80
1.6 ກາຌຉ຺ກຉາຠຣ ໍາພຄຂວຄ຤ຈຊຸ
ຽຠໃວ຤ຈຊຸຉ຺ກຉາຠຣ ໍາພຄ຅ະຠ຃຤າຠຽຣໃ ຄ 2
/8.9 smg  ຽຠໃວຍໍໃຠ຃຤າຠ຾ຨຄຉໄາຌວາກາຈ
຦ົກກາຌ຃ິຈແຣໃ ເຆໄລ຺ຠຏ຺ຌ຅ຸຌຣະລາຈ຅າກຽຍໄວຄຉ຺ໄຌຽຠໃວ຾຋ຌ຃ໃາ a ຈໄ຤ງ຃ໃາ g ກາຌພິ຅າຣະຌາເ຦ໄ
ພິ຅າຣະຌາຉາຠ຃຤າຠແ຤ຉ຺ໄຌ
ຉ຺຤ມໃາຄ 1.7 ຿ງຌໝາກຍາຌຂໄຌແຎເຌວາກາຈຈໄ຤ງ຃຤າຠແ຤ຉ຺ໄຌ 15 (m/s) ຈໃຄຨູຍ 1.8 ຅ ຺ໃຄຆວກ຦າ
ກ.ແຣງະ຋າຄລູຄລຸຈ຋ໃ ໝາກຍາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ແຎແຈໄ
ຨູຍ຋ໃ 1.7

Mr.Pem PHAKVISETH
11
ຂ. ຽ຤ຣາ຋ໃ ຉ ໍາ຾ໜໃຄລູຄລຸຈ
຤ິ຋຾ກໄ :
ກ. ຅າກຍ຺ຈຽຣກຽຠໃວຍໍໃຨູໄຽ຤ຣາ  t ຽຠໃວ 00 y ; ?y smv /150  ; 0v ;
2
/8.9 smgay  ; ?t ຅າກລ຺ຠຏ຺ຌ
2
v =  0
2
0 2 yyav y 
ຽຣໃຠຉ຺ໄຌ 00 y
຋ໃ ຉ ໍາ຾ໜໃຄລູຄລຸຈ 0v
0 = yav y22
0 
y =
 g
v
a
v
y 


22
2
0
2
0
=
 
 2
2
/8.92
/15
sm
sm


= m5.11
ຂ. ຅າກຍ຺ຈຽຣກຽຠໃວຍໍໃຨູໄຉ ໍາ຾ໜໃຄລູຄລຸຈ
v = atv 0
຋ໃ ຉ ໍາ຾ໜໃຄລູຄລຸຈ 0v
t = 2
0
/8.9
/15
sm
sm
a
v
y 


= s53.1
ຉ຺຤ມໃາຄ 1.8 ຿ງຌໝາກຍາຌຂໄຌແຎເຌວາກາຈຈໄ຤ງ຃຤າຠແ຤ຉ຺ໄຌ u ຈໃຄຨູຍ 1.9
ກ. ຅ ຺ໃຄລະ຾ຈຄເ຦ໄຽ຦ຌ຤ໃາຽ຤ຣາ຋ໃ ເຆໄເຌກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຨວຈຉ ໍາ຾ໜໃຄລູຄລຸຈ ຠ຃ໃາຽ຋຺ໃ າກຍຽ຤ຣາຽ຃ໃວຌ຋ໃ ກຍລູໃ
ຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຈຠ
ຂ. ຃຤າຠແ຤ຎາງຽຠໃວກຍລູໃຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຈຠ
຤ິ຋຾ກໄ :
ຨູຍ຋ໃ 1.8

Mr.Pem PHAKVISETH
12
ກ. ຅າກຍ຺ຈຽຣກຽຠໃວຍໍໃຨູໄຉ ໍາ຾ໜໃຄລຸຈ຋ໄາງ ຽຠໃວ 00 y ; ?y uv 0 ; 0v ;
2
/8.9 smgay  ; ?t
v = tav y0
0 = gtu 
upt =
g
u
ຆວກແຣງະ຋ໃ ຤ຈຊຸຂໄຌແຎແຈໄລູຄລຸຈ ຽຠໃວຍໍໃຨູໄຽ຤ຣາ ?t
2
v =  0
2
0 2 yyav y 
0 = gyu 22

y =
g
u
2
2
ຽຠໃວຉ ໍາ຾ໜໃຄລູຄລຸຈ຃ແຣງະຽຣໃຠຉ຺ໄຌຽຠໃວໝາກຍາຌຽຣໃຠຉ຺ກ຾ຣະ຃຤າຠແ຤ ຉ ໍາ຾ໜໃຄຌໄ
຾ຠໃຌ຃຤າຠແ຤ຽຣໃຠຉ຺ໄຌຠ຃ໃາຽ຋຺ໃ າກຍລູຌ ຅າກຍ຺ຈຽຣກຽຠໃວຍໍໃຨູໄ຃຤າຠແ຤ລຸຈ຋ໄາງ
ຽຠໃວเมื่อ
g
u
y
2
2
0  ; 0y ; 00 v ; ?v ;
2
/8.9 smgay  ;
?t
y = 2
00
2
1
tatvy y
0 = 2
2
2
1
0
2
gt
g
u

ຨູຍ຋ໃ 1.9 2
2
1
gt =
g
u
2
2
downt =
g
u
ຌໄ຾ຠໃຌ upt = downt
ຂ. ຅າກຍ຺ຈຽຣກຽຠໃວຍໍໃຨູໄ຃຤າຠແ຤ລຸຈ຋ໄາງ
v = tav y0
= 






g
u
g0

Mr.Pem PHAKVISETH
13
= u
ຌໄ຾ຠໃຌ຃຤າຠແ຤ຂວຄໝາກຍາຌຂະຌະ຋ໃ ກຍລູໃຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຈຠ຅ະຠ຃຤າຠແ຤ຽ຋຺ໃ າກຌ຾ຉໃ຋ິຈກ ຺ຄກຌຂໄາຠກຌ
1.7 ລ຺ຠຏ຺ຌ຅ຸຌຣະລາຈ຾ຣະກາຌ຾ກໄລ຺ຠຏ຺ຌ຿ຈງເຆໄ຾຃ຌ຃ູຣຈລ໌
ຍາຄຽ຋ໃ ວກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຂວຄ຤ຈຊຸຊກກ ໍາຌ ຺ຈ຿ຈງ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠ ຂວຄ຃຤າຠແ຤຾ຣະ຃຤າຠຽຣໃ ຄ
v =
dt
dx
຾ຣະ a =
dt
dv
຅າກລ຺ຠຏ຺ຌຂໄາຄຽ຋ຄຽຨ຺າລາຠາຈເຆໄ຾຃ຌ຃ູຣຈລ໌ລໄາຄລ຺ຠຏ຺ຌ຅ຸຌຣະລາຈຽຠໃວຠ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຃຺ຄ຋ໃ ແຈໄ
a =
dt
dv
dv =  dta

v
v
dv
0
=  
t
dta
0
ເ຦ໄ a ຃຺ຄ຋ໃ

v
v
dv
0
= 
t
dta
0
0vv  =  0ta
v = atv 0
຅າກລ຺ຠຏ຺ຌຂໄາຄຽ຋ຄ຋ໃ ແຈໄລຄຽກຈຽ຦ຌ຤ໃາ ຃຤າຠແ຤ຂໄຌກຍຽ຤ຣາ ຂຼຌເໝ໋ແຈໄຽຎຌ atvvt  0 ກໍໃ຾ຠໃຌລ຺ຠ
ຏ຺ຌ຅ຸຌຣະລາຈ຾ຠໃຌຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາເຌ຋ ໍາຌວຄຈຼ຤ກຌ
dx =  dtv
຾ຉໃ v = atv 0
dx =  dtatv 0
=    dtatdtv 0

x
x
dx
0
=   
tt
dtatdtv
00
0
຾ຉໃ຃ລາຠຽຣໃ ຄ຾ຣະ຃຤າຠແ຤ຉ຺ໄໄຌຍໍໃຎຼໃຌຉາຠຽ຤ຣາ

Mr.Pem PHAKVISETH
14

x
x
dx
0
=  
tt
tdtadtv
00
0
0xx  = 2
0
2
1
attv 
ຽຎຌລ຺ຠຏ຺ຌ຅ຸຌຣະລາຈຽຠໃວຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຎຌຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາ
ກາຌຆວກ຦າລ຺ຠຏ຺ຌຂວຄກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຂວຄ຤ຈຊຸຈໃຄກໃາ຤຿ຈງຂໄາຄຉ຺ໄຌກາຌ຤ິ຋ກາຌຆວກ຦າວະຌຸພຌ ຦ົ
ກາຌວຌ຋ິຽກຢຈ ເຆໄລ ໍາຣຍກາຌຆວກ຦າລ຺ຠຏ຺ຌຽຠໃວ຃຤າຠຽຣໃ ຄຍໍໃຽ຃ໃວຌ຋ໃ
ລະ຦ົຸຍ
ເຌຍ຺ຈຌໄລາຠາຈວະ຋ິຍາງກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌຨູຍ຾ຍຍຂວຄຉ ໍາ຾ໜໃຄ ກາຌກະ຅າງ ຃຤າຠແ຤຾ຣະ຃຤າຠຽຣໃ ຄ
ເຌກໍຣະຌ຋ໃ ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຃຺ຄ຋ໃ ຽຨ຺າລາຠາຈເຆໄຽຄໃວຌແຂຉໃາຄໂ ລາ້ໄຄລ຺ຠຏ຺ຌ຅ຸຌຣະລາຈແຈໄ຾ຣະລາຠາຈເຆໄ຃ໃາ
຅ ໍາກຈ຃຤າຠຽຍໄວຄຉ຺ໄຌຽພໃ ວ຦າລ຺ຠຏ຺ຌກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຽຠໃວ຃຤າຠຽຣໃ ຄຍໍໃ຃຺ຄ຋ໃ ແຈໄ
ຉ ໍາ຾ໜໃຄ: x
ກາຌກະ຅າງ : 12 xxx 
຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ:
12
12
tt
xx
t
x
v







຃຤າຠແ຤ຂະຌະເຈໜໃ ຄ :
dt
dx
v 
຃຤າຠຽຣໃ ຄລະຽຣໃງ:
12
12
tt
vv
t
v
a







຃຤າຠຽຣໃ ຄລະຽຣໃງຂະຌະເຈໜໃ ຄ :
dt
dv
a 
ລ຺ຠຏ຺ຌ຅ຸຌຣະລາຈ ຃ໃາ຋ໃຍໍໃຎະກ ຺ຈ
atvv  0 0xx 
2
00
2
1
attvxx 
v
 0
2
0
2
2 xxavv  t
 tvvxx 00
2
1

a
2
0
2
1
atvtxx  0v
ເຆໄເຌກໍຣະຌ຃຤າຠຽຣໃ ຄ a ຃຺ຄ຋ໃ

Mr.Pem PHAKVISETH
15
ຍ຺ຈ຋ໃ 2 ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ 2 ຠິຉິ຾ຣະ 3 ຠິຉິ
ຽຌໄວເຌຎະກວຍຠ
3.1 ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄຉ ໍາ຾ໜໃຄ ກາຌກະ຅າງ ຃຤າຠແ຤຾ຣະ຃຤າຠຽຣໃ ຄ
3.2 ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຿ຎຢຽ຅ຈແຉຈ໌
3.3 ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຤຺ຄຠ ຺ຌລະໝ ໍໃາລະຽໝ
ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ 2 ຠິຉິ຾ຣະ 3ຠິຉິ ຤ຈຊຸຍໍໃ຅ ໍາຽຎຌຉໄວຄຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຽຎຌຽລໄຌຆໃລະຽໝແຎ ເຌຍ຺ຈຌໄ
຅ະວະ຋ິຍາງຽຊຄ຃຤າຠໝາງຂວຄ຃ໃາຉໃາຄໂ ຽພໃ ວເ຦ໄຽກຈ຃຤າຠຽຂ຺ໄາເ຅ກໃຼ຤ກຍ ຉ ໍາ຾ໜໃຄກາຌກະ຅າງ
຃຤າຠແ຤ ຃຤າຠຽຣໃ ຄ ຿ຈງວາແລຽຄໃວຌແຂຂວຄຽ຤ກຽຉຽພໃ ວວະ຋ິຍາງຎະກ ຺ຈກາຌຉໃາຄໂ຋ໃ ຽກິຈຂໄຌ.
3.1 ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄຉ ໍາ຾ໜໃຄ ກາຌກະ຅າງ ຃຤າຠແ຤຾ຣະ຃຤າຠຽຣໃ ຄ
຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠກໃຼ຤ກຍຉ ໍາ຾ໜໃຄ ກາຌກະ຅າງ ຃຤າຠແ຤຾ຣະ຃຤າຠຽຣໃ ຄ ຈໃຄ຋ໃ ກໃາ຤ເຌຍ຺ຈ຋ໃ 1 ເຌຍ຺ຈຌໄ
຅ະວະ຋ິຍາງເຌຨູຍ຾ຍຍຂວຄຽ຤ກຽຉ.
ຉ ໍາ຾ໜໃຄ : ຍໍຣິຽ຤ຌ຋ໃ ຉ ໄຄຂວຄ຤ຈຊຸຆໃຄລ ໍາພຌກຍຣະຍ຺ຍພິກຈລາກ
຅າກຨູຍ 3.1 ລະ຾ຈຄຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຠໃວຂຼຌມູໃເຌຨູຍຂວຄຽ຤ກຽຉ
r = jyix


ກາຌກະ຅າງ : ຽກຈຂໄຌຽຠໃວຠກາຌຎໃຼຌ຾ຎຄຉ ໍາ຾ໜໃຄຂວຄ຤ຈຊຸ
຅າກຨູຍ 3.2 ຅ະກະ຅າງຽຠໃວຂຼຌເຌຨູຍຂວຄຽ຤ກຽຉ
r

 = 12 rr


=    jyixjyix

1122 
=    jyyixx

1212 
= jyix


ຨູຍ຋ໃ 3.1 ລະ຾ຈຄຉ ໍາ຾ໜໃຄຂວຄ຤ຈຊຸ
ຨູຍ຋ໃ 3.2 ລະ຾ຈຄກາຌຎໃຼໜ຾ຎຄ຋ໃ ຉ ໄຄຂວຄ຤ຈຊຸ

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16
຃຤າຠແ຤ລລະຽຣໃງ: ຾ຠໃຌກາຌກະ຅າງ຋ໃ ຎໃຼຌແຎເຌຆໃ຤ຄຽ຤ຣາ຋ໃ ຤ຈຊຸຽ຃ໃວຌ຋ໃ
ຂຼຌເຌຨູຍ຾ຍຍລ຺ຠຏ຺ຌ຋າຄ຃ະຌິຈລາຈ v

=
t
r



ຽຠໃວ຾຋ຌ຃ໃາ r

 ຅າກຉວຌຉ຺ໄຌຨູຍ຋ໃ 3.2 ຅ະແຈໄ
v

=
t
jyix



=
t
jy
t
ix






= jviv yx


ວຈຉາແ຤຾ຠໃຌຂາຈຂວຄ຃຤າຠແ຤
ຂຼຌເຌຨູຍລ຺ຠຏ຺ຌ຋າຄ຃ະຌິຈລາຈ v = v

= 22
yx vv 
ຉ຺຤ມໃາຄ຋ໃ 3.1 ຌກລກລາ຃຺ຌໜໃ ຄຽຣໃຠວວກຽຈຌ຋າຄ຅າກ຦ໍພກແຎ຋າຄ຋ິຈຽໜວຽຎຌແຣງະ຋າຄ km3 ຅າກຌ ໄຌ
ຽຈຌ຋າຄແຎ຋ິຈຉາຽ຤ຌວວກຽຎຌແຣງະ຋າຄ km1 ຿ຈງເຆໄຽ຤ຣາ຋ຄໝ຺ຈ hr5.0 ຅ ຺ໃຄຆວກ຦າ
ກ. ຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຣໃຠຉ຺ໄ຺ໄຌ ຂ. ຉ ໍາ຾ໜໃຄລຸ຋ໄາງ
຃. ກາຌກະ຅າງ ຄ.຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ
຅. ວຈຉາແ຤ລະຽຣໃງ
຤ິ຋຾ກໄ : ຅າກຨູຍ຋ໃ 3.3 ຅ະແຈໄ
ກ. 1r

=  jkm

3
ຂ. 2r

=  ikm

1
຃. r

 = 12 rr


=  kmji

3
ຄ. v

=
t
r



=
 
hr
kmji
5.0
3


=
   
hr
jkm
hr
ikm

62

຅. v = v

= 22
yx vv 
=    22
62 kmkm 
= hrkm/31.6
ຮູ ບທີ່ 3.3

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17
຃຤າຠຽຣໃ ຄລະຽຣໃງ : ຾ຠໃຌ຃຤າຠແ຤ຂວຄ຤ຈຊຸ຋ໃ ຎຼໃຌແຎ຋ຼຍກຍຆໃ຤ຄຽ຤ຣາ຋ໃ ຎຼໃຌແຎເຌກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ
ຂຼຌເຌຨູຍລ຺ຠຏ຺ຌ຋າຄ຃ະຌິຈລາຈ a

=
t
v



a

=
t
vv

 12

=
   
t
jvivjviv yxyx



1122
=
   
t
jvvivv yyxx



1212
=
t
jv
t
iv yx






= jaia yx


ເຌກໍຣະຌ 3 ຠິຉິ຃ິຈ຋ ໍາຌວຄຈຼ຤ກຍ 2ຠິິຉິ ພຼໃຄ຾ຉໃຽພໃຠລໃ຤ຌຎະກວຍເຌ຾ຌ຤຾ກຌ z ຽຂ຺ໄາແຎ
ຉ ໍາ຾ໜໃຄ : kzjyixr


ກາຌກະ຅າງ : kzjyixrrr

 12
຃຤າຠແ຤ລະຽຣໃງ : kvjviv
t
r
v zyx






ວຈຉາແ຤ : 222
zyx vvvvv 

຃຤າຠຽຣໃ ຄລະຽຣໃງ : kajaia
t
v
a zyx






ຉ຺຤ມໃາຄ 3.2 ໝາກຍາຌຠ຃຤າຠແ຤ kji

251235  ເຌ຦຺຤ໜໃ຤ງ sm/ ຉໍໃຠາ຃຤າຠແ຤ຎຼໃຌຽຎຌ
kji

51032  ພາງເຌຽ຤ຣາ s2 ຅ ຺ໃຄຆວ຦຦າ
ກ. ຃ລາຠຽຣໃ ຄລະຽຣໃງເຌຨູຍຂວຄຽ຤ກຽຉ
ຂ. ຂະໜາຈຂວຄ຃຤າຠຽຣໃ ຄລະຽຣໃງ
຤ິ຋຾ກໄ :
ກ. a

=
t
v



=
t
vv

 12


Mr.Pem PHAKVISETH
18
=
     
s
smkjismkji
2
/251235/51032


=   2
/105.1 smkji


ຂ. a = a

= 222
zyx aaa 
=      222222
/10/1/5.1 smsmsm 
=
2
/2.10 sm
ຽພໃ ວລະຈ຤ກເຌຌກາຌ຃ິຈແຣໃຽຨ຺າ຤າຠາຈເຆໄ຾຃ຌ຃ູຣຈລ໌ຽຂ຺ໄາຆໃ຤ງ຿ຈງກາຌຎໃຼຌ  ຽຎຌ
ds ພິ຅າຣະຌາຈໃຄຌໄ
຅າກຌິງາຠຂວຄຉ ໍາ຾ໜໃຄ : kzjyixr


຅າກຌິງາຠຂວຄກາຌກະ຅າງ : kdzjdyidxrrrd

 12
຅າກຌິງາຠຂວຄ຃຤າຠແ຤: kvjviv
dt
rd
v zyx



຅າກຌິງາຠຂວຄວຈຉາແ຤: 222

຅າກຌິງາຠຂວຄ຃຤າຠຽຣໃ ຄ: kajaia
dt
vd
a zyx



ຉ຺຤ມໃາຄ 3.3 ຅ ຺ໃຄຆວກ຦າ຃຤າຠແ຤ຂະຌະເຈໜໃ ຄຂວຄຽຂຠງາ຤຿ຠຄງາ຤ cm10 ຈໃຄຨູຍ 3.4
຤ິ຋຾ກໄ : ຅າກຨູຍ 3.4 ຽຠໃວຉ ໄຄຣະຍ຺ຍຎກຌພິກຈລາກຈໃຄຨູຍ ພິ຅າຣະຌາຽຂຠ຿ຠຄກໃວຌຨວຈຉ ໍາ຾ໜໃຄລູຄລຸຈ
ຽຣກຌໄວງ຿ຈງຽຎຌຠູຠ
2

ຌໄວງໂ ກໃວຌຨວຈ຾ກຌ y
຅ະແຈໄ຤ໃາ
1r

= jrir






 





 

2
cos
2
sin


Mr.Pem PHAKVISETH
19
຅າກຌ ໄຌພິ຅າຣະຌາຽຂຠ຿ຠຄພາງ຦ົຄຏໃາຌ຅ຸຈລູຄລຸຈຽຣກ
ຌໄວງ຿ຈງຽຨຈຠູຠ
2

ຌໄວງໂ ກຍ຾ກຌ y ແຎ຋າຄຂ຤າຠ
ຈໃຄຌ ໄຌ຅ະແຈໄ຤ໃາ
2r

= jrir






 





 
2
cos
2
sin

ຽຠໃວ r ຾ຠຠໃຌ຃຤ໃຠງາ຤ຂວຄຽຂຠ຿ຠຄ
຅າກ຃ໃາ຅ ໍາກຈ຃຤າຠຂວຄກາຌກະ຅າງ
r

 = 12 rr


=











 





 












 





 
jrirjrir

2
cos
2
sin
2
cos
2
sin

= ir






 
2
sin2

ພິ຅າຣະຌາ  ຌໄວງ຦ົາງ຋ ຅ະແຈໄ຤ໃາ
22
sin
 





 
຅ະແຈໄ
r

 = ir






 
2
2

= ir

)( 
຅າກຌິງາຠຠ຃຤າຠແ຤
v

=
t
r



= i
t
r 


ເ຦ໄ 0t ; ຃຤າຠແ຤ຂະຌະເຈຌໃຄຂຼຌແຈໄຽຎຌ
v

= i
dt
rd 
ຽຠໃວ  ຾ຠໃຌແຣງະ຋າຄຽຆິໃຄຠູຠຂວຄກາຌຎໃ ຌຽຎຌ຃ໃາ຃຺ຄ຋ໃ ຽຠໃວຎໃ ຌ຃຺ຍ 1 ຨວຍ຅ະແຈໄ
v

= i
T
r






 2
= i
T
r 2

Mr.Pem PHAKVISETH
20
຾຋ຌ຃ໃາເຌລ຺ຠຏ຺ຌ v

=
 i
s
m ˆ
60
1.02
= i
s
mm ˆ5.10 





ຉ຺຤ມໃາຄ 3.4 ຅າກຂໍໄ 3.3 ຅ ຺ໃຄຆວກ຦າ຃຤າຠຽຣໃ ຄຎາງຽຂຠ຿ຠຄຈໃຄຨູຍ 3.5
຤ິ຋຾ກໄ : ຽ຤ກຽຉ຃຤າຠແ຤຾ຠໃຌຽລໄຌຉິຈ຤຺ຄຠ ຺ຌ຋ໃ ຅ຸຈເຈໂ ພິ຅າຣະຌາ຃຤າຠແ຤ຽຣໃຠຉ຺ໄຌ  1v

຾ຣະ຃຤າຠແ຤
ລຸຈ຋ໄາງ  2v

ຆໃຄຽຎຌຠູຠ
2

ກຍ຾ຌ຤ຣະຈຍຈໃຄຨູຍ 3.5 ຽພໃ ວລະຈ຤ກເຌກາຌ຃ິຈແຣໃຽຨ຺າລາຠາຈ຾ງກ
v ເ຦ໄມູໃຉາຠວ຺ຄຎະກວຍຉາຠ຾ກຌ x ຾ຣະ y ແຈໄຈໃຄຨູຍ 3.6
1v

= jviv

2
sin
2
cos
 


และ
2v

= jviv

2
sin
2
cos
 


ຽຠໃວ v ຾ຠໃຌວຈຉາແ຤ຂວຄຽຂຠ຋ຄລວຄ
ພິ຅າຣະຌາກາຌຎໃຼຌ຾ຎຄ຃຤າຠແ຤
v

 = 12 vv


= 




 







 


jvivjviv

2
sin
2
cos
2
sin
2
cos

ຨູຍ຋ໃ 3.5
ຨູຍ຋ໃ 3.6

Mr.Pem PHAKVISETH
21
= jv

2
sin2


ເ຦ໄ  ຠ຃ໃາຌໄວງ຦ົາງ ຅ະແຈໄ
22
sin
 


຅ະແຈໄ
v

 = jv

2
2

 = jv

)( 
຅າກຌິງາຠ຃຤າຠຽຣໃ ຄ ; a

=
t
v



= j
t
v





ให ้ 0t ຅ະແຈໄ຃຤າຠຽຣໃ ຄຂະຌະເຈໜໃ ຄ຃ :
a

= j
dt
d
v


= j
ss
mm 













60
2
5.10

=   jsmm ˆ/10.1 2

຅າກຉ຺຤ມໃາຄ 3.3 ຾ຣະ 3.4 ຅ະລຄຽກຈຽ຦ຌ຤ໃາຂະຌະ຋ໃ ວຈຉາແ຤຃຺ຄ຋ໃ ຾ຉໃ຋ິຈ຋າຄຎໃຼຌ຾ຎຄ ຃຤າຠ
ຽຣໃ ຄກໍໃຠ຃ໃາ຃຺ຄ຋ໃ ຾ຉໃຠ຋ິຈຽຂ຺ໄາລູໃລູຌກາຄ.
ຉ຺຤ມໃາຄ 3.5 ຾ຠຄແຠໄ຿ຉໜໃ ຄຍິຌມູໃ຋ໃ ຉ ໍາ຾ໜ໋ຄ ktjtir

532 2
 ຆໃຄຽຎຌຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາ
຅ ຺ໃຄຆວກ຦າ :
ກ. ຃ລາຠແ຤ຽຎຌຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາ
ຂ. ຃຤າຠຽຣໃ ຄຽຎຌຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາ
຤ິ຋຾ກໄ : ກ. v

=
dt
rd

=
 
dt
ktjtid

532 2

= kjt

56 
ຂ. a

=
dt
vd

=
 
dt
kjtd

56 
= j

6
3.2 ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຿ຎຢຽ຅ຈແຉຈ໌

Mr.Pem PHAKVISETH
22
຅າກກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ຾ຌ຤ຈໃຄຽຨ຺າລາຠາຈຌ ໍາຠາຎະງຸກເຆໄເຌກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຿ຎຢຽ຅ຈແຉຈ໌ຆໃຄຽຎຌ
ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ 2 ຠິຉິ ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍຌໄ຅ະແຈໄ຃຤າຠຽຣໃ ຄ jga

 ພິ຅າຣະຌາ຤ຈຊຸຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຈໄ຤ງ
຃຤າຠແ຤ v

຋ິຈຈໃຄຨູຍ 3.7 ຅າກຌິງາຠ຃຤າຠແ຤຾ຣະ຃຤າຠຽຣໃ ຄລາຠາຈຌ ໍາຆວກ຦າລ຺ຠຏ຺ຌກາຌຽ຃ໃວຌ
຋ໃ ຾ຍຍ຿ຎຢຽ຅ຈແຉຈ໌ແຈໄຈໃຄຌໄ :
຅າກຌິງາຠ຃຤າຠຽຣໃ ຄ
a

=
dt
vd

jg

 =
 
dt
jvivd yx


=
dt
jdv
dt
idv yx


຅າກລ຺ຠຏ຺ຌຽ຤ກຽຉ຋ໃ ແຈໄຽຠໃວ຋ຼຍລ ໍາຎະລິຈວ຺ຄຎະກວຍຂວຄຽ຤ກຽຉເຌ຾ຉໃຣະ຾ກຌລາຠາຈ຾ງກຂຼຌຽຎຌ 2
ລ຺ຠຏ຺ຌ຃:
dt
dvy
= g
຾ຣະ
dt
dvx
= 0
ຌ ໄຌ຃ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຿ຎຢຽ຅ຈແຉຈ໌຃຤າຠຽຣໃ ຄ຅ະຠ຃ໃາ຃຺ຄ຋ໃ ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍຌໄລາຠາຈ຾ງກພິ຅າຣະຌາເຌ
຾ຉໃຣະ຾ກຌແຈໄ຿ຈງວາແລຽຄໃວຌແຂ຋ໃ ຤ໃາ຃຤າຠຽຣໃ ຄເຌ຾ຌ຤຾ກຌ x ຅ະຠ຃ໃາຽຎຌລູຌ຅ະຠ຃຤າຠຽຣໃ ຄລະຽພາະ
຾ກຌ y ຽ຋຺ໃ າຌ ໄຌຆໃຄຽຎຌ຃ໃາ຃຺ຄ຋ໃ ຽ຋຺ໃ າກຍ g ຽຆໃຌ ຿ງຌໝາກຍາຌວວກແຎເຌ຾ຌ຤ຣະຈຍເຮົ າສາມາດ຾ງກ
ພິ຅າຣະຌາຽຎຌກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ແຈໄ 2 ຾ຍຍ຃ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ຾ຌ຤ພຼຄຈໄ຤ງ຃຤າຠແ຤຃຺ຄ຋ໃ  0a ກຍກາຌ
ຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ຾ຌ຤ຉ ໄຄ.
ຽຎຌກາຌງາກ຋ໃ ຅ະຂຼຌລູຈກໃຼ຤ກຍກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຿ຎຢຽ຅ຈແຉຈ໌ເຌຣກລະຌະຉໃາຄໂ ແຈໄມໃາຄ຃຺ຍ
ຊໄ຤ຌ ຉ຺຤ມໃາຄ຋ໃ ຅ະລະ຾ຈຄຉໍໃແຎຌໄ຅ະວາແລກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ຾ຌ຤຾ກຌ x ຾ຣະ຾ຌ຤຾ກຌ y ຠາວະ຋ິຍາງເຌ
ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຿ຎຢຽ຅ຈແຉຈ໌
ຉ຺຤ມໃາຄ຋ໃ 3.6 . ຌກກິຣາຽຍຈລ໌ຍໍ຾ກໃ຤ຄຣູກຍໍວວກແຎເຌ຾ຌ຤ຣະຈຍຈໄ຤ງ຃຤າຠແ຤ 42.5 m ຋ໃ ແຣງະລູຄ
຅າກພໄຌຈຌ 2 m ຈໃຄຨູຍ຋ໃ 3.8
ຨູຍ຋ໃ 3.7

Mr.Pem PHAKVISETH
23
຤ິ຋຾ກໄ : ຉ ໄຄ຾ກຌວໄາຄວຄ຋ໃ ພໄຌ(຅ຸຈຽຣໃຠຉ຺ໄຌຍໍໃແຈໄມູໃ຋ໃ ຅ຸຈ0,0) ຽຠໃວ຃ໃາຉາຠ຾ກຌ x
mx 00  ; mx 5.18 ; smv x /5.420  ; smvx /5.42 ; 2
/0 smax  ; ?t
຃ໃາຉາຠ຾ກຌ y
my 20  ; ?y ; smvoy /0 ; ?yv ;
2
/8.9 smay 
ກ.ຆວກຽ຤ຣາ຅າກກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ຾ຌ຤຾ກຌ x
x = tatvx xx
2
1
00 
ຽຌໃວຄ຅າກຽຎຌກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຿ຎຢຽ຅ຈແຉຈ໌຃຤າຠຽຣໃ ຄເຌ຾ຌ຤຾ກຌ x ຽຎຌລູຌ  0xa
00 x ຅ະແຈໄ
t =
xv
x
0
=
 
 sm
m
/5.42
5.18
= s435.0
ຂ. ພິ຅າຣະຌາກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ຾ຌ຤຾ກຌ y ຽຠໃວ຃຤າຠແ຤ຉ຺ໄຌເຌ຾ຌ຤຾ກຌ y ຽຎຌລູຌ  0oyv
y = 2
00
2
1
tatvy yy 
຾ຉໃ
2
/8.9 smgay 

Mr.Pem PHAKVISETH
24
y =   22
435.0/8.9
2
1
02 ssmm 
= m07.1
ຉ຺຤ມໃາຄ຋ໃ 3.7 . ຋ໃ ລະໜາຠຽຍຈລ໌ຍໍ຾຦ໃຄໜໃ ຄຊາຌ຋ໃ ໜໃ ຄມູໃ຦ໃາຄ຅າກຊາຌ຋ໃ ລາຠ m9.36 ຏູໄຨກລາຊາຌ຋ໃ ລາຠ
຿ມຌໝາກຍາຌແຎຈໄ຤ງ຃຤າຠແ຤ sm/40 ຽຎຌຠູຠ  ກຍ຾ຌ຤ຣະຈຍ຋ໃ ຃຤າຠລູຄຈຼ຤ກຌຎງຄຊາຌ຋ໃ ໜໃ ຄ
຅ ຺ໃຄຆວກຠູຠ  ຈໃຄຨູຍ຋ໃ 3.9
຤ິ຋຾ກໄ : ຾ກຌວໄາຄວິຄມູໃ຋ໃ ຠ຃຺ຌ຿ງຌຽຠໃວ
຃ໃາຉາຠ຾ກຌ x
mx 00  ; mx 9.36 ; cos00 vv x  ; ?t
my 00  ; my 0 ; sin00 vv y  ; ?yv ;
2
/8.9 smay 
ພິ຅າຣະຌາກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ຾ຌ຤຾ກຌ x
x = 2
00
2
1
tatvx xx 
ຨູຍ຋ໃ 3.9

Mr.Pem PHAKVISETH
25
ຽຠໃວ 00 x ; 0xa
x = tv x0
t =
cos00 v
x
v
x
x

ພິ຅າຣະຌາກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ຾ຌ຤຾ກຌ y
y = 2
00
2
1
tatvy yy 
0 =   2
0
2
1
sin0 tatv y 
 tv sin0 = 2
2
1
tay
 sin0v = tay
2
1

຾຋ຌ຃ໃາ t ຅າກລ຺ຠຏ຺ຌຂໄາຄຽ຋ຄ
 sin0v = 






cos2
1
0v
x
ay
 cossin2 = 2
0v
xay

຾ຉໃ  2sincossin2  ຅ະແຈໄ
2sin = 2
0v
xay

 = 






2
0
1
sin
2
1
v
xay
຾຋ຌ຃ໃາຉໃາຄໂຣ຺ຄເຌລ຺ຠຏ຺ຌຽຠໃວ
2
/8.9 smgay 
 =
  
  





2
2
1
/40
9.36/8.9
sin
2
1
sm
msm
= 0
53.6

Mr.Pem PHAKVISETH
26
ຉ຺຤ມໃາຄ຋ໃ 3.8 , ຌາງພາຌ຾ຌໃຎຌແຎ຋ໃ ຣຄຆໃຄຽກາະມູໃ຋ໃ ກໃຄແຠໄ ຂະຌະ຋ໃ ຌາງພາຌງຄຎຌຣຄກໍໃຎໃວງຠ຅າກກໃຄ
ແຠໄພໄວຠກຌ ຈໃຄຨູຍ 3.10 ຅ ຺ໃຄລະ຾ຈຄເ຦ໄຽ຦ຌ຤ໃາຌາງພາຌງິຄຎຌຊກຣຄ຿ຈງຍໍໃ຃ ໍາຌຄຽຊຄ຃຤າຠແ຤ຉ຺ໄຌ.
຤ິ຋຾ກໄ : ເ຦ໄຎາກຎຌຽຎຌຣະຈຍວໄາຄວຄ
຃ໃາຉໃາຄໂ຃ິຈແຣໃມູໃ຋ໃ ຣຄ (monkey) ຃ໃາຉາຠ຾ກຌ x ຍໍໃຠ ຠລະຽພາະ຾ຉໃ຃ໃາຉາຠ຾ກຌ y
hy 0 ; monyy  ; smv /00  ; ?v ; gay  ; ?t
຃ໃາຉໃາຄໂ ຃ິຈ຋ໃ ຣູກຎຌ (bullet)
຃ໃາຉາຠ຾ກຌ x
mx 00  , xx  ; cos00 vv x  ; ?t
my 00  ; bulyy  ; sin0vvoy  ; ?yv ; gay 
ພິ຅າຣະຌາ຋ໃ ຣິຄຽຠໃວຣິຄຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຉາຠ຾ຌ຤ຉ ໄຄ
y = 2
00
2
1
tatvy y
mony = 2
2
1
gth  ……(1)
ພິ຅າຣະຌາ຋ໃ ຣູກຎຌ຾ງກພິ຅າຣະຌາຽຎຌ
ຨູຍ຋ໃ 3.10

Mr.Pem PHAKVISETH
27
ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ຾ຌ຤຾ກຌ x
x = tvx x00 
= tv x0
t =
xv
x
0
=
cos0v
x
…..(2)
ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ເຌ຾ຌ຤຾ກຌ y
y = 2
00
2
1
tatvy yy 
buly =   2
0
2
1
sin gttv  .…(3)
຾຋ຌ຃ໃາ t ຅າກລ຺ຠຏ຺ຌ (2) ຣ຺ຄເຌລ຺ຠຏ຺ຌ຋ໃ (3)
buly =   2
0
0
2
1
cos
sin gt
v
x
v 







= 2
2
1
tan gtx 
຾ຉໃ tanxh  ຈໃຄຌ ໄຌ຅ະແຈໄ
buly = 2
2
1
gth  = mony
ຌ ໄຌ຾ຠໃຌຣູກຎຌ຅ະຊກຣຄ ຅ະລຄຽກຈແຈໄຄໃາງເຌກໍຣະຌ຋ໃ ຍໍໃຠ຾ຨຄຈຄຈູູຈຣູກຎຌ຅ະງິຄຊກຣຄ຃ກຌ ຽຌໃວຄ຅າກ
ຣຄ຾ຣະຣູກຎຌຍໍໃຠ຾ຨຄກະ຋ ໍາເຌ຾ຌ຤ຉ ໄຄ.
3.3 ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຤຺ຄຠ ຺ຌລະໝ ໍໃາລະຽໝ
ພິ຅າຣະຌາກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຤຺ຄຠ ຺ຌລະໝ ໍໃາລະຽໝເຌ 2 ຠິຉິ ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຤຺ຄຠ ຺ຌໝາງຽຊຄ 0
dt
dr
ລະໝ ໍໃາລະຽໝໝາງຽຊິຄ 0
dt
dv
ເຌ຋ໃ ຌໄ຅ະກໃາ຤ຽຊຄ຾ຍຍ຤຺ຄຠ ຺ຌຈໄ຤ງ຃຤າຠແ຤຃຺ຄ຋ໃ ພິ຅າຣະ຃຤າຠຽຣໃ ຄ
ຂວຄຎາງຽຂຠ຋ຄລວຄຂວຄ຿ຠຄເຌຉ຺຤ມໃາຄ຋ໃ 3.4 ຈໃຄຨູຍ຋ໃ 3.11 ກ. ຽຠໃວຽ຤ກຽຉ຃຤າຠແ຤຾ຠໃຌຽລໄຌຉິຈ
຤຺ຄຠ ຺ຌ຋ໃ ຅ຸຈເຈໂ ຈໃຄຌ ໄຌ ຃຤າຠແ຤ຽຣໃຠຉ຺ໄຌ຾ຣະ຃຤າຠແ຤ລຸຈ຋ໄາງລາຠາຈຂຼຌມູໃເຌຨູຍຂວຄຽ຤ກຽຉແຈໄຈໃຄ
ຨູຍ 3.11 ຂ. ຅ະແຈໄລໃ຤ຌຎະກວຍເຌຣະຍ຺ຍພິກຈລາກຂວຄ຃຤າຠແ຤ຉ຺ໄຌ )( 1v

຾ຣະ຃຤າຠແ຤ລຸຈ຋ໄາງ
)( 2v

຃:

Mr.Pem PHAKVISETH
28
1v

= jviv

2
sin
2
cos
 


຾ຣະ 2v

= jviv

2
sin
2
cos
 


ຽຠໃວ v ຾ຠໃຌວຈຉາແ຤ຂວຄຎາງຽຂຠ຋ຄລວຄ ຈໃຄຌ ໄຌກາຌຎໃຼໜ຾ຎຄ຃຤າຠແ຤຾ຠໃຌ
v

 = 12 vv


= 




 
 jviv

2
sin
2
cos






 
 jviv

2
sin
2
cos

= jv

2
sin2


ຊໄາ  ຠ຃ໃາຌໄວງ຦ົາງ
22
sin
 


v

 = jv

2
2


຅ະແຈໄ vd

= jvd

)( 
຅ະຌິງາຠ຃຤າຠຽຣໃ ຄ a

=
dt
vd

= j
dt
d
v


ຨູຍ຋ໃ 3.11 ກ. ຨູຍ຋ໃ 3.11 ຂ.

Mr.Pem PHAKVISETH
29
= j
dt
rd
r
v 

= j
dt
ds
r
v 

a

= j
r
v 2

ຌ ໄຌ຾ຠໃຌ຃຤າຠແ຤຅ະ຃຺ຄ຋ໃ ຾ຉໃ຃຤າຠຽຣໃ ຄຠ຋ິຈລູໃລູຌກາຄຽວໄຌ຤ໃາ “ ຃຤າຠຽຣໃ ຄຽຂ຺ໄາລູຌ “
຾຋ຌຈໄ຤ງ ca

ca =
r
v2
຤ຈຊຸງຄ຃຺ຄຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຤຺ຄຠ ຺ຌລະໝ ໍໃາລະຽໝ ຾ຉໃ຃຤າຠຽຣໃຄຠ຋ິຈຽຂ຺ໄາລູຌກາຄ຿ຈງຠຂະໜາຈ຃຺ຄ຋ໃ .
ຉ຺຤ມໃາຄ຋ໃ 3.9 ຅ ຺ໃຄຆວກ຦າ ກ. ຃຤າຠແ຤ , ຂ. ຃຤າຠຽຣໃຄ ຂວຄ຃຺ຌ຋ໃ ມຌມູໃ຅ຸຈລູຌລຸຈ
຤ິ຋຾ກໄ : ກ. ຃຤ໃຠແ຤຾ຠໃຌແຣງະ຋າຄ຋ໃ ຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຉໍໃຽ຤ຣາ
v =
t
x


=
T
r2
=
 
  sday
m
360024
1037.62 6

= sm/463
ຂ. ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຋ໃ ຽກຈຂໄຌ຾ຠໃຌ຃຤າຠຽຣໃ ຄຽຂ຺ໄາລູໃລູຌກາຄ
ca =
r
v2
=
 
m
sm
6
2
1037.6
/463

= 23
/107.33 sm

ກາຌຆວກລ຺ຠຏ຺ຌ຃຤າຠຽຣໃ ຄ ຃຤າຠແ຤ ຾ຣະຉ ໍາ຾ໜໃຄຽຎຌຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາ ຾ຣະ ຃຤າຠຽຣໃ ຄ ຃຤າຠແ຤ ຽຎຌ
ຉ ໍາຣາຂວຄຉ ໍາ຾ໜໃຄຂວຄ຤ຈຊຸຽຠໃວຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຽຎຌ຤຺ຄຠ ຺ຌລະໝ ໍໃາລະຽໝ ຈໃຄຨູຍ຋ໃ 3.12 ຽຣໃຠຉ຺ໄຌ຤ຈຊຸມູໃຽ຋ຄ຾ກຌ
x ຠ຃຤າຠແ຤ v ຋ິຈຉາຠ຾ກຌ y ຽຠໃວ
ຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຃຺ຍ 1 ຨວຍ ຅ະແຈໄລ຺ຠຏ຺ຌກາຌ
ຽ຃ໃວຌ຋ໃ

Mr.Pem PHAKVISETH
30
dt
d
=
T
2
= f2 = 
຃ໃາ຋ໃ ແຈໄ຅າກກາຌກ຤າຈຂວຄຠູຠຽຠໃ ໃວຽກຈກາຌຎໃ ຌຽວໄຌ຤ໃາ ”຃຤າຠຊໃຽຆຨໃຄຠູຠ "
ກາຌກະ຅າງຽຆໃຄຠູຠຽຠໃວຂຼຌມູໃເຌຨູຍຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາ
d = dt



0
d = 
t
dt
0

= 
t
dt
0

 = t
຃຤າຠແ຤ຂຼຌມູໃເຌ຋າຄຂວຄ຃຤າຠແ຤ຽຆິໃຄຠູຠແຈໄ
v =
dt
ds
=
dt
rd
= r
຾ຣະ ca =
r
v2
=
 
r
r
2

= r2

຃຤າຠຽຣໃ ຄຂຼມູໃເຌຨູຍຂວຄຽ຤ກຽຉຽຠໃວຽຎຌຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາຂຼຌຂຼຌແຈໄຽຎຌ
a

= jtaita

 sincos 

Mr.Pem PHAKVISETH
31
= jtritr

 sincos 22

ພິ຅າຣະຌາຉາຠ຾ຌ຤຾ກຌ x ກໃວຌ
xa = tr  cos2

dt
dvx
= tr  cos2

xdv = tdtr  cos2

ວິຌ຋ິຽກຈ຋ຄລວຄຂໄາຄ຿ຈງເ຦ໄ  ຾ຣະ r ຽຎຌ຃ໃາ຃຺ຄ຋ໃ

v
xdv
0
= 
t
tdtr
0
2
cos
xv = 





 tr 

 sin
12
= tr  sin
຅າກຌິງາຠຂວຄ຃຤າຠແ຤ລາຠາຈຆວກຉ ໍາ຾ໜໃຄຽ຋ິຄ຾ກຌ x ແຈໄຈໃຄຌໄ
dt
dx
= xv
= tr  sin
dx = tdtr  sin
ວິຌ຋ິຽກຈ຋ຄລວຄຂໄາຄ

x
r
dx = 
t
o
tdtr  sin
rx  =  



 1cos
1
tr 


=  1cos tr 
x = tr cos
຅າກລ຺ຠຏ຺ຌ຃຤າຠຽຣໃ ຄຆໃຄຽຎຌຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາ
xa = tr  cos2


Mr.Pem PHAKVISETH
32
= x2

຅າກລ຺ຠຏ຺ຌ຃຤າຠແ຤ຆໃຄຽຎຌຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາ trv x  sin)(  ຂໄຌກ ໍາຣຄລວຄ຋ຄລວຄຂໄາຄ຅ະແຈໄ
2
xv = tr  222
sin
= )cos1( 222
tr  
= )cos( 2222
trr  
= )( 222
xr 
xv = 22
xr 
ຌ ໄຌ຾ຠໃຌ຃຤າຠແ຤ຠມູໃ 2 ລໃ຤ຌມູໃກຍພິກຈກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ
ພິ຅າຣະຌາ຃຤າຠຽຣໃ ຄຌ຾ຌ຤຾ກຌ y ເຌ຋ ໍາຌວຄຈຼ຤ກຍ຾ກຌ຾ກຌ x ຅າກລ຺ຠຏ຺ຌຽຍໄວຄຉ຺ໄຌ຅ະແຈໄ຤ໃາ
tra tx  cos2
)(  tra ty  sin2
)( 
trv tx  sin)(  trv ty  cos)( 
trx t cos)(  try t sin)( 
xa xx
2
)(  ya yy
2
)( 
22
)( xrv xx   22
)( yrv yy  
ຉ຺຤ມໃາຄ 3.1 ຅າກຨູຍ຋ໃ 3.13 ຋ໃ ຽ຤ຣາ 0t ຈ຤ຄ຅ຌມູໃຽ຋ຄ຾ກຌ x ຽຠໃວຽ຤ຣາຏໃາຌແຎຈ຤ຄ຅ຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຈໃຄ
ຨູຍ 3.13 ຅ ຺ໃຄຆວ຦ :
ກ. ຃຤າຠຊໃຽຆໃຄຠູຠຽຠໃວຈ຤ຄ຅ຌມູໃ຋ໃ ຉ ໍາ຾ໜ໋ຄຈໃຄຨູຍ 3.13 ຅ ຺ໃຄຆວກ
ຂ. ຃຤າຠແ຤
຃. ຃຤າຠຽຣໃ ຄ
ຄ. ຽ຤ຣາ
ກ ໍາຌ ຺ຈເ຦ໄຈ຤ຄ຅ຌຠຣຈລະໝ຿຃຅ວຌ m8
1082.3  ຾ຣະ ຠໄກາຌ຿຃຅ວຌ day3.27

Mr.Pem PHAKVISETH
33
຤ິ຋຾ກໄ : ກ.  =
T
2
=
)3600)(24)(3.27(
2
shday

= s/rad1066.2 6

຅າກຨູຍ຅ະແຈໄລໃ຤ຌຎະກວຍຽ຤ກຽຉຉ ໍາ຾ໜໃຄຽ຋ິຄ x ຾ຣະ y ຾ຠໃຌ
mmtrx 808
1091.160cos)1082.3(cos   ຾ຣະ
mmtry 808
1031.360sin)1082.3(sin  
ຂ. ວ຺ຄຎະກວຍ຃຤າຠແ຤ ຉ ໍາ຾ໜໃຄຈໃຄຨູຍຆວກແຈໄຈໃຄຌໄ
)(xxv =
22
xr 
= 28286
)1091.1()1082.3()1066.2( mm
s
rad
 
= sm/880
)( yyv = 22
yr 
= 28286
)1031.3()1082.3()1066.2( mm
s
rad
 
= sm/507
ຈໃຄຌ ໄຌ຃຤າຠແ຤ ຉ ໍາ຾ໜໃຄຈໃຄກໃາ຤຾ຠໃຌ jsmismv

)/507()/880( 
ຨູຍ຋ໃ 3.13

Mr.Pem PHAKVISETH
34
຃. ວ຺ຄຎະກວຍ຃຤າຠຽຣໃ ຄ ຉ ໍາ຾ໜໃຄຈໃຄຨູຍ
)(xxa = x2

= )1098.1()1066.2( 826
m
s
rad
 
= 2
/35.1 smm
)( yya = y2

= )1031.3()1066.2( 826
m
s
rad
 
= 2
/34.2 smm
ຈໃຄຌ ໄຌ຃຤າຠຽຣໃ ຄ ຉ ໍາ຾ໜໃຄຈໃຄກໃາ຤຾ຠໃຌ jsmisma

)/34.2()/35.1( 22

ຄ. ພິ຅າຣະຌາຉ ໍາ຾ໜ໋ຄ຋ໃ ຽຎຌຉ ໍາຣາຂວຄຽ຤ຣາ
)(tx = tr cos
຾ຉໃ
3

 t (຅າກຍ຺ຈຽຣກ
0
60 )
t =
)1066.2(3
3 6
s
rad





= s5
1094.3 
= day56.4
ລະ຦ົຸຍ :
ຌິງາຠຉ ໍາ຾ໜ໋ຄ: kzjyixr


ຌິງາຠກາຌກະ຅າງ: 12 rrrd


ຌິງາຠ຃຤າຠແ຤:
dt
rd
v



ຌິງາຠວຈຉາ຃຤າຠແ຤ : 222

ຌິງາຠ຃຤າຠຽຣໃ ຄ:
dt
vd
a




Mr.Pem PHAKVISETH
35
ກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຾ຍຍ຿ຎໜຽ຅ກແຉຣ໌ ຃຤າຠຽຣໃ ຄເຌ຾ຌ຤ x ຽຎຌລູຌ ລາຠາຈ຾ງກພິ຅າຣະຌາເຌ຾ຉໃຣະ
຾ກຌແກໄ຿ຈງເຆໄລ຺ຠຏ຺ຌກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໄຽຠໃວ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຃຺ຄກາຌຽ຃ໃວຌ຋ໃ ຽຎຌ຤຺ຄຠ ຺ຌ຃຤າຠຽຣໃ ຄ຅ະຠ຋ິຈຽຂ຺ໄາລູໃລູຌ
ກາຄ
຃຤າຠຽຣໃ ຄຽຂ຺ໄາລູໃລູຌກາຄ :
r
v
aC
2


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