Γιάννης Σαράφης

1. Σαξάθεο Γηάλλεο 1
1
Σε θάζε ηξίγσλν ην άζξνηζκα ησλ γσληώλ ηνπ είλαη δύν νξζέο γσλίεο (180)
Σρήκα 1
2
Κάζε εμσηεξηθή γσλία ηξηγώλνπ είλαη ίζε κε ην άζξνηζκα ησλ δύν απέλαληη εζσηεξηθώλ γσληώλ ηνπ.
Σρήκα 2
3
Όηαλ δύν ηξίγσλα έρνπλ δύν γσλίεο ίζεο , ηόηε ζα έρνπλ θαη ηελ ηξίηε γσλία ηνπο ίζε.
Σρήκα 3

2. 2 Σαξάθεο Γηάλλεο
4
Σε θάζε ηξίγσλν ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ ζπλδέεη ηα κέζα δύν πιεπξώλ ηνπ είλαη παξάιιειν πξνο
ηελ ηξίηε πιεπξά θαη ηζνύηαη κε ην κηζό απηήο.
Σρήκα 4
5
Σε θάζε ηξίγσλν ε δηρνηόκνο κηαο γσλίαο ηνπ θαη ε δηρνηόκνο ηεο αληίζηνηρεο εμσηεξηθήο γσλίαο
,ηέκλνληαη θάζεηα.
Σρήκα 5
6
Όηαλ δύν ηξίγσλα έρνπλ κηα πιεπξά ίζε θαη ηηο πξνζθείκελεο ζαπηήλ γσλίεο ίζεο , ηα ηξίγσλα είλαη
ίζα.
Σρήκα 6

3. Σαξάθεο Γηάλλεο 3
7
Όηαλ δύν ηξίγσλα έρνπλ δύν πιεπξέο ίζεο θαη ηηο πεξηερόκελεο γσλίεο ίζεο ,ηα ηξίγσλα είλαη ίζα.
Σρήκα 7
8
Όηαλ δύν ηξίγσλα έρνπλ θαη ηηο ηξείο πιεπξέο ίζεο κηα πξνο κηα ηα ηξίγσλα είλαη ίζα.
Σρήκα 8
9
Σε θάζε ηξίγσλν θάζε πιεπξά ηνπ είλαη κεγαιύηεξε από ηελ δηαθνξά θαη κηθξόηεξε από ην άζξνηζκα
ησλ δύν άιισλ πιεπξώλ ηνπ.
Σρήκα 9

4. 4 Σαξάθεο Γηάλλεο
10
Κάζε εμσηεξηθή γσλία ηξηγώλνπ είλαη κεγαιύηεξε από θάζε απέλαληη εζσηεξηθή.
Σρήκα 10
11
Σε θάζε ηξίγσλν απέλαληη από κεγαιύηεξε πιεπξά βξίζθεηαη κεγαιύηεξε γσλία θαη αληίζηξνθα.
Σρήκα 11
12
Όηαλ δύν ηξίγσλα έρνπλ δύν πιεπξέο ίζεο θαη ηηο πεξηερόκελεο γσλίεο άληζεο , ηόηε θαη νη απέλαληη
πιεπξέο είλαη όκνηα άληζεο.
Σρήκα 12
13
Σε θάζε νξζνγώλην ηξίγσλν ε δηάκεζνο πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ππνηείλνπζα ηζνύηαη κε ην κηζό ηεο
ππνηείλνπζαο.
Σρήκα 13

5. Σαξάθεο Γηάλλεο 5
14
Όηαλ ζε έλα ηξίγσλν κηα δηάκεζνο ηνπ ηζνύηαη κε ην κηζό ηεο πιεπξάο πνπ αληηζηνηρεί ηόηε ην
ηξίγσλν είλαη νξζνγώλην ζηελ θνξπθή απ όπνπ άγεηαη ε δηάκεζνο.
Σρήκα 14
15
Όηαλ ζε νξζνγώλην ηξίγσλν κηα νμεία γσλία ηνπ είλαη 30 ,ηόηε ε απέλαληη θάζεηε ηζνύηαη κε ην κηζό
ηεο ππνηείλνπζαο.
Σρήκα 15
16
Όηαλ δύν νξζνγώληα ηξίγσλα έρνπλ κηα θάζεηε πιεπξά ίζε θαη κηα νμεία γσλία ίζε ,ηόηε ηα ηξίγσλα
είλαη ίζα.
Σρήκα 16
17
Όηαλ δύν νξζνγώληα ηξίγσλα έρνπλ ηηο θάζεηεο πιεπξέο ίζεο ηόηε ηα ηξίγσλα είλαη ίζα.
Σρήκα 17

6. 6 Σαξάθεο Γηάλλεο
18
Όηαλ δύν νξζνγώληα ηξίγσλα έρνπλ κηα θάζεηε πιεπξά ίζε θαη ηηο ππνηείλνπζεο ίζεο , ηόηε ηα
ηξίγσλα είλαη ίζα.
Σρήκα 18
19
Σε θάζε ηζνζθειέο ηξίγσλν νη γσλίεο πνπ πξόζθεηληαη ζηε βάζε είλαη ίζεο.
Σρήκα 19
20
Κάζε ηζόπιεπξν ηξίγσλν είλαη θαη ηζνγώλην θαη θάζε γσλία ηνπ είλαη ίζε κε 60.
Σρήκα 20
21
Σε θάζε ηζνζθειέο ηξίγσλν ην ύςνο πνπ άγεηαη από ηελ θνξπθή ησλ ίζσλ πιεπξώλ ηνπ είλαη θαη
δηρνηόκνο θαη δηάκεζνο θαη κεζνθάζεηε.
Σρήκα 21

7. Σαξάθεο Γηάλλεο 7
22
Όηαλ ζε έλα ηξίγσλν ζπκβαίλεη : α) έλα ύςνο λα είλαη δηάκεζνο β) έλα ύςνο λα είλαη δηρνηόκνο
γ) κηα δηάκεζνο λα είλαη θαη δηρνηόκνο , έλα από ηα ηξία παξαπάλσ ηόηε ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο.
Σρήκα 22
23
Σε θάζε παξαιιειόγξακκν αλά δύν δηαδνρηθέο γσλίεο έρνπλ άζξνηζκα 2 νξζέο θαη αληίζηξνθα.
Σρήκα 23
24
Σε θάζε παξαιιειόγξακκν νη απέλαληη γσλίεο ηνπ είλαη ίζεο θαη αληίζηξνθα.
Σρήκα 24
25
Σε θάζε παξαιιειόγξακκν νη απέλαληη πιεπξέο είλαη ίζεο θαη παξάιιειεο θαη αληίζηξνθα.
Σρήκα 25

8. 8 Σαξάθεο Γηάλλεο
26
Κάζε δηαγώληνο ρσξίδεη ην παξαιιειόγξακκν ζε δύν ηξίγσλα ίζα.
Σρήκα 26
27
Σε θάζε παξαιιειόγξακκν νη δηαγώληεο ηνπ δηρνηνκνύληαη θαη αληίζηξνθα.
Σρήκα 27
28
Τν ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ελόο παξαιιεινγξάκκνπ είλαη θέληξν ζπκκεηξίαο ηνπ
παξαιιεινγξάκκνπ.
Σρήκα 28
29
Έλα ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν αλ ηζρύεη κηα από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο :
i) Οη απέλαληη πιεπξέο ηνπ ΑΒΓΓ είλαη ίζεο.
ii) Γύν απέλαληη πιεπξέο ηνπ ΑΒΓΓ είλαη ίζεο θαη παξάιιειεο.
iii) Οη απέλαληη γσλίεο ηνπ ΑΒΓΓ είλαη ίζεο.
iv) Οη δηαγώληεο ηνπ δηρνηνκνύληαη.
Σρήκα 29

9. Σαξάθεο Γηάλλεο 9
30
Σε θάζε νξζνγώλην παξ/κν όιεο ηνπ νη γσλίεο είλαη νξζέο θαη αληίζηξνθα.
Σρήκα 30
31
Αλ έλα παξ/κν έρεη κηα νξζή γσλία , ηόηε είλαη νξζνγώλην.
Σρήκα 31
32
Οη δηαγώληεο ελόο νξζνγσλίνπ παξ/κνπ είλαη ίζεο θαη αληίζηξνθα.
Σρήκα 32
33
Οη δηαγώληεο ηνπ ξόκβνπ ηέκλνληαη θάζεηα.
Σρήκα 33

10. 10 Σαξάθεο Γηάλλεο
34
Οη δηαγώληεο ηνπ ξόκβνπ είλαη δηρνηόκνη ησλ γσληώλ ηνπο.
Σρήκα 34
35
Τν ηεηξάγσλν έρεη ηηο ηδηόηεηεο ηνπ νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ θαη ηνπ ξόκβνπ.
Σρήκα 35
36
Οη δηαγώληεο ηνπ ηεηξαγώλνπ ζρεκαηίδνπλ κε ηηο πιεπξέο ηνπ ηεηξαγώλνπ γσλίεο 45.
Σρήκα 36
37
Οη γσλίεο πνπ πξόζθεηληαη ζε θαζεκία από ηηο κε παξ/ιεο πιεπξέο ελόο ηξαπεδίνπ είλαη
παξαπιεξσκαηηθέο.
Σρήκα 37

11. Σαξάθεο Γηάλλεο 11
38
Αλ ηξαπέδην έρεη κηα νξζή γσλία ,ζα έρεη θαη δεύηεξε γσλία νξζή θαη νλνκάδεηαη νξζνγώλην ή
δηζνξζνγώλην ηξαπέδην.
Σρήκα 38
39
Η δηάκεζνο ηξαπεδίνπ είλαη παξάιιειε πξνο ηηο βάζεηο ηνπ θαη ηζνύηαη κε ην εκηάζξνηζκα ηνπο.
Σρήκα 39
40
Σε θάζε ηζνζθειέο ηξαπέδην νη πξνζθείκελεο ζε θάζε βάζε ηνπ γσλίεο είλαη ίζεο.
Σρήκα 40
41
Οη δηαγώληεο ηνπ ηζνζθεινύο ηξαπεδίνπ είλαη ίζεο.
Σρήκα 41

12. 12 Σαξάθεο Γηάλλεο
42
Τν επζύγξακκν ηκήκα πνπ ζπλδέεη ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ελόο ηξαπεδίνπ , είλαη παξάιιειν πξνο ηηο
βάζεηο θαη ηζνύηαη κε ηελ εκηδηαθνξά ηνπο.
Σρήκα 42
43
Η θάζεηε πνπ άγεηαη από ην θέληξν θύθινπ ζε κηα ρνξδή ηνπ πεξλά από ην κέζν απηήο θαη από ην
κέζν ηνπ αληίζηνηρνπ ηόμνπ θαη ιέγεηαη απόζηεκα.
Σρήκα 43
44
Σε ίζα ηόμα ηνπ ίδηνπ θύθινπ ή ίζσλ θύθισλ αληηζηνηρνύλ ίζεο ρνξδέο ,ίζα απνζηήκαηα θαη
αληίζηξνθα.
Σρήκα 44
45
Γύν παξάιιειεο ρνξδέο ηνπ ίδηνπ θύθινπ ,νξίδνπλ κεηαμύ ηνπο δύν ίζα ηόμα θαη αληίζηξνθα.
Σρήκα 45

13. Σαξάθεο Γηάλλεο 13
46
Όηαλ δίλεηαη θύθινο Ο ,ζεκείν Σ εθηόο απηνύ θαη νη εθαπηόκελεο ΣΑ θαη ΣΒ ηόηε :
α) ΣΑ=ΣΒ
β) ΣΟ δηρνηόκνο ηεο


γ) ΣΟ κεζνθάζεηε ηεο ΑΒ
δ) ΣΟ δηρνηόκνο ηεο ΑΟΒ

Σρήκα 46
47
Κάζε επίθεληξε γσλία είλαη δηπιάζηα ηεο αληίζηνηρεο εγγεγξακκέλεο.
Σρήκα 47
48
Σε ίζα ηόμα ηνπ ίδηνπ θύθινπ ή ίζσλ θύθισλ βαίλνπλ ίζεο εγγεγξακκέλεο γσλίεο.
Σρήκα 48
49
Η γσλία πνπ ζρεκαηίδεηαη ππό ρνξδήο θαη εθαπηνκέλεο ζην έλα άθξν ηεο ρνξδήο ,ηζνύηαη κε ηελ
εγγεγξακκέλε πνπ αληηζηνηρεί ζην ηόμν ηεο ελ ιόγσ ρνξδήο.
Σρήκα 49

14. 14 Σαξάθεο Γηάλλεο
50
Η γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ δύν ρνξδέο ελόο θύθινπ πνπ ηέκλνληαη ζε έλα ζεκείν εζσηεξηθό
ηνπ,ηζνύηαη κε ην εκηάζξνηζκα ησλ επίθεληξσλ γσληώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα ηόμα πνπ
πεξηιακβάλνληαη από ηελ γσλία θαη ηελ θαηαθνξπθήλ ηεο.
Σρήκα 50
51
Η γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ δύν ρνξδέο ελόο θύθινπ πνπ ηέκλνληαη ζε έλα ζεκείν εμσηεξηθό ηνπ
,ηζνύηαη κε ηελ εκηδηαθνξά ησλ επίθεληξσλ γσληώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα ηόμα πνπ πεξηιακβάλνληαη
από ηελ γσλία.
Σρήκα 51
52
Ιθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε ,γηα λα είλαη έλα θπξηό ηεηξάπιεπξν εγγεγξακκέλν ζε θύθιν ,είλαη δύν
απέλαληη γσλίεο ηνπ λα είλαη παξαπιεξσκαηηθέο.
Σρήκα 52

15. Σαξάθεο Γηάλλεο 15
53
Ιθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε ,γηα λα είλαη έλα θπξηό ηεηξάπιεπξν εγγεγξακκέλν ζε θύθιν ,είλαη κηα
εμσηεξηθή γσλία ηνπ λα ηζνύηαη κε ηελ απέλαληη εζσηεξηθή.
Σρήκα 53
54
Ιθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε ,γηα λα είλαη έλα θπξηό ηεηξάπιεπξν εγγεγξακκέλν ζε θύθιν ,είλαη κηα
πιεπξά ηνπ λα θαίλεηαη από ηηο απέλαληη θνξπθέο ππό ίζεο γσλίεο.
Σρήκα 54
55
Κάζε ηζνζθειέο ηξαπέδην είλαη εγγεγξακκέλν ζε θύθιν.
Σρήκα 55
56
Ιθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε γηα λα είλαη έλα ηεηξάπιεπξν πεξηγξάςηκν ζε θύθιν είλαη ην άζξνηζκα
ησλ δύν απέλαληη πιεπξώλ ηνπ λα ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ δύν άιισλ πιεπξώλ ηνπ.
Σρήκα 56

16. 16 Σαξάθεο Γηάλλεο
57
Ιθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε γηα λα είλαη έλα ηεηξάπιεπξν πεξηγξάςηκν ζε θύθιν είλαη νη δηρνηόκνη
ησλ γσληώλ ηνπ ηεηξαπιεύξνπ λα δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν.
Σρήκα 57
58
Τν άζξνηζκα ησλ γσληώλ θπξηνύ πνιπγώλνπ κε λ ην πιήζνο πιεπξέο είλαη (2λ–4) νξζέο.
Σρήκα 58
59
Τν άζξνηζκα ησλ εμσηεξηθώλ γσληώλ θπξηνύ λ-γώλνπ είλαη 4 νξζέο.
Σρήκα 59
60
Όηαλ δύν πνιπγσληθέο γξακκέο έρνπλ ηα ίδηα άθξα θαη ε κηα πεξηέρεηαη από ηελ άιιε ,ηόηε απηή πνπ
πεξηέρεηαη είλαη κηθξόηεξε από ηελ άιιε.
Σρήκα 60

17. Σαξάθεο Γηάλλεο 17
61
Οη δηρνηόκνη δύν θαηαθνξπθήλ γσληώλ βξίζθνληαη πάλσ ζηελ ίδηα επζεία.
Σρήκα 61
62
Οη δηρνηόκνη δύν εθεμήο θαη παξαπιεξσκαηηθώλ γσληώλ είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο.
Σρήκα 62
63
Από ζεκείν Α εθηόο επζείαο (ε) άγεηαη κόλν κηα θάζεηε πξνο ηελ επζεία (ε).
64
Γύν πιάγηα ηκήκαηα είλαη ίζα αλ θαη κόλν αλ ηα ίρλε ηνπο ηζαπέρνπλ από ην ίρλνο ηνπ θάζεηνπ
ηκήκαηνο.
Σρήκα 64
65
Γύν πιάγηα ηκήκαηα πνπ ηα ίρλε ηνπο απέρνπλ άληζεο απνζηάζεηο από ην ίρλνο ηνπ θάζεηνπ ηκήκαηνο
,είλαη νκνηόζηξνθα άληζα θαη αληίζηξνθα.
Σρήκα 65

18. 18 Σαξάθεο Γηάλλεο
66
Κάζε ζεκείν ηεο κεζνθαζέηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ηζαπέρεη από ηα άθξα ηνπ επζύγξακκνπ
ηκήκαηνο θαη αληίζηξνθα.
Σρήκα 66
67
Κάζε ζεκείν ηεο δηρνηόκνπ γσλίαο ,ηζαπέρεη από ηηο πιεπξέο ηεο γσλίαο θαη αληίζηξνθα.
Σρήκα 67
68
Γύν επζείεο θάζεηεο ζηελ ίδηα επζεία είλαη κεηαμύ ηνπο παξάιιειεο.
Σρήκα 68
69
Από ζεκείν εθηόο επζείαο (ε) άγεηαη κηα κόλν επζεία παξάιιειε πξνο ηελ (ε).
70
Γύν νμείεο ή δύν ακβιείεο γσλίεο πνπ έρνπλ ηηο πιεπξέο παξάιιειεο ή θάζεηεο είλαη ίζεο.
Σρήκα 70

19. Σαξάθεο Γηάλλεο 19
71
Γύν γσλίεο πνπ έρνπλ ηηο πιεπξέο παξάιιειεο ή θάζεηεο αιιά είλαη ε κηα νμεία θαη ε άιιε ακβιεία
είλαη παξαπιεξσκαηηθέο.
Σρήκα 71
72
Τα κέζα ησλ πιεπξώλ ηεηξαπιεύξνπ απνηεινύλ θνξπθέο παξαιιεινγξάκκνπ.
Σρήκα 72
73
Μηα ρνξδή ΑΒ ελόο θύθινπ (Ο,ξ) είλαη κεγαιύηεξε από κηα ρνξδή ΓΓ ηνπ ίδηνπ θύθινπ ή ίζσλ
θύθισλ αλ θαη κόλν αλ ην απόζηεκα ΟΚ ηεο ΑΒ είλαη κηθξόηεξν από ην απόζηεκα ΟΛ ηεο ΓΓ.
74
Οη κεζνθάζεηεο ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ πεξλνύλ από ην ίδην ζεκείν πνπ ιέγεηαη πεξίθεληξν ηνπ
ηξηγώλνπ ΑΒΓ.
Σρήκα 74
75
Οη δηάκεζνη ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ πεξλνύλ από ην ίδην ζεκείν πνπ ιέγεηαη βαξύθεληξν ηνπ
ηξηγώλνπ ΑΒΓ.
Σρήκα 75

20. 20 Σαξάθεο Γηάλλεο
76
Τα ηξηα ύςε ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ πεξλνύλ από ην ίδην ζεκείν πνπ ιέγεηαη νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ
ΑΒΓ.
Σρήκα 76
77
Οη δηρνηόκνη ησλ γσληώλ ελόο ηξηγώλνπ δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν πνπ ιέγεηαη έγθεληξν.
Σρήκα 77
78
Έζησ δ ε απόζηαζε ελόο ζεκείνπ από ην θέληξν (Ο,R).
Αλ δ>R , ηόηε ην ζεκείν είλαη εμσηεξηθό ηνπ θύθινπ.
Αλ δ=R , ηόηε ην ζεκείν βξίζθεηαη πάλσ ζηνλ θύθιν.
Αλ δ<R , ηόηε ην ζεκείν βξίζθεηαη κέζα ζηνλ θύθιν.
79
Θεσξνύκε έλαλ θύθιν (Ο,R) κηα επζεία x′x θαη ηελ απόζηαζε δ=ΟΑ ηνπ θέληξνπ Ο από ηελ x′x.
α) Αλ δ>R ,ε επζεία δελ έρεη θνηλά ζεκεία κε ηνλ θύθιν.
β) Αλ δ=R ,ε επζεία έρεη έλα κόλν θνηλό ζεκείν κε ηνλ θύθιν.
γ) Αλ δ<R ,ε επζεία έρεη δύν θνηλά ζεκεία κε ηνλ θύθιν.
Σρήκα 79

21. Σαξάθεο Γηάλλεο 21
80
Αλ δ ε απόζηαζε ησλ θέληξσλ δύν θύθισλ θαη R, νη αθηίλεο ηνπο ,ηόηε :
α) Αλ δ< R   , ν θύθινο κε αθηίλα ξ είλαη εζσηεξηθόο ηνπ άιινπ.
β) Αλ δ= R   ,νη θύθινη εθάπηνληαη εζσηεξηθά.
γ) Αλ R   <δ< R   , νη θύθινη ηέκλνληαη ζε δύν ζεκεία.
δ) Αλ δ= R   , νη θύθινη εθάπηνληαη εμσηεξηθά.
ε) Αλ δ> R   ,θάζε θύθινο είλαη εμσηεξηθόο ηνπ άιινπ.
Σρήκα 80
81
Η δηάθεληξνο δύν ηεκλόκελσλ θύθισλ είλαη κεζνθάζεηνο ηεο θνηλήο ρνξδήο.Αλ νη θύθινη είλαη ίζνη
ηόηε θαη ε θνηλή ρνξδή είλαη κεζνθάζεηνο ηεο δηαθέληξνπ
82
Τν ζεκείν ηνκήο δύν εμσηεξηθώλ θαη κηαο εζσηεξηθήο δηρνηόκνπ νλνκάδεηαη παξάθεληξν
Σρήκα 82

22. 22 Σαξάθεο Γηάλλεο
83
Αλ δύν επζείεο ηεκλόκελεο από ηξίηε ζρεκαηίδνπλ εληόο ελαιιάμ γσλίεο ίζεο,δύν εληόο,εθηόο θαη επί ηα απηά κέξε γσλίεο ίζεο ή δύν εληόο θαη επί ηα απηά κέξε παξαπιεξσαηηθέο ,ηόηε είλαη παξάιιειεο θαη αληίζηξνθα.
Σρήκα 83