Επιμέλεια: Χρήστος Τσάτσος αποκλειστικά για το lisari

1. 20
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γ' Λυκείου
Τσάτσος Χρήστος - Μαθηματικός
ΝΑΥΠΑΚΤΟΣ 2021
20
21
45+1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 19

2. 1
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.1 Έστω η συνάρτηση  
2 2
x 1
x λx λ 3
f x
e x

  


, με λ   .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β) Να υπολογίσετε τα όρια: i)  
x
lim f x

ii)
 
x
1
lim
f x

iii)  
 
x
lim f f x

 
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ το όριο  
x 1
limf x

είναι:
i) πραγματικός αριθμός. ii) μη πεπερασμένο.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
     
     
8 3
3 2
x
α ημα f x f x
lim
ln α 2 f x f x 5

 
  
για τις διάφορες τιμές του πραγματικού
αριθμού α 2
  .
ε) Να υπολογίσετε το όριο    
x
lim 7 9f x μ 2 f x

 
  
 
για τις διάφορες τιμές του
πραγματικού αριθμού μ.
E.2 Δίνεται η συνάρτηση  
x
e
f x , x 1
x 1
 

.
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
γ) Να βρείτε τις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f και να σχεδιάσετε την
γραφική της παράσταση.
δ) Να βρείτε την εφαπτομένη της f που διέρχεται από το σημείο  
A 1,0 .
ε) Δίνεται η ευθεία ζ : αx y 2021 0
   , α   . Για τις διάφορες τιμές του α, να βρείτε το πλήθος
των εφαπτομένων της f που είναι παράλληλες στην ευθεία ζ.
E.3 Δίνονται οι συναρτήσεις   x
f x e 1
  με x 0
 και  
g x 2lnx
 με x 0
 .
α) Να ορίσετε την συνάρτηση     
φ x f g x
  .
Δίνεται   2
φ x x 1
  , με x 1
 .
β) Αν ε είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της φ στο σημείο
3 3
A ,φ
2 2
 
 
 
 
 
 
,
να βρείτε την γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x
 η ευθεία ε.
γ) Να αποδείξετε ότι η φ αντιστρέφεται και να βρείτε την
1
φ
.
δ) Να υπολογίσετε το όριο  
x
lim φ x λx 2020

 
 
  για τις διάφορες τιμές του λ   .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 19

3. 2
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.4 Δίνεται η συνάρτηση  
x
x
e x
f x
e 1



, x 0
 .
α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.
γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μια ρίζα  
0
x 1,0
  και ότι αυτή είναι η μοναδική της ρίζα.
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης  
f x
e λ
 για τις διάφορες τιμές του λ 0
 .
E.5 Δίνεται η συνάρτηση   x
lnx
f x α
e
  με x 0
 και α 0
 .
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε: y α
 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της συνάρτησης f στο  και
στη συνέχεια ότι η f βρίσκεται πάνω από την ε για κάθε x 1
 .
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα  
0,1 .
γ) Να αποδείξετε ότι:
i) η συνάρτηση f έχει μια ρίζα  
0
x 0,1
 . ii) το 0
x είναι η μοναδική ρίζα της f.
δ) Δίνεται η συνάρτηση      
 
f x
h x f x e 1
  .
i) Να αποδείξετε ότι η h συνάρτηση εφάπτεται στον x x
 . ii) Να υπολογίσετε το όριο
 
0
x x
1
lim
h x

.
E.6 Δίνεται η συνάρτηση   3
f x αx βx 5
   , x   , της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται
στην ευθεία y 18x 27
  στο σημείο  
 
A 2,f 2 .
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
Δίνονται α 2
 και β 6
  .
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) i) Να αποδείξετε ότι η f έχει μια ρίζα  
0
x 3, 2
   και ότι αυτή είναι μοναδική στο  .
ii) Να υπολογίσετε το όριο
 
0
x 0
0
x x
lim
f x x




.
E.7 Δίνεται η συνάρτηση   3 2
f x x αx β
   , x   . Αν η γραφική παράσταση της f εφάπτεται
στον άξονα x x
 στο σημείο με τετμημένη x 2
  , τότε:
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
Δίνονται α 3
 και β 4
  .
β) Να υπολογίσετε τα όρια: i)
 
 
x 2
ln x e
lim
f x


ii)
 
 
x 1
ln x 1
lim
f x


iii)
 
ν
x
f x
lim
x

, ν   .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 19

4. 3
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
δ) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ η εξίσωση 3 2
x 3x λ 4
   έχει ακριβώς
τρεις πραγματικές ρίζες.
E.8 Δίνεται η συνάρτηση  
3
2
x λx μ
f x
x 1
 


με λ, μ   για την οποία ισχύει ότι
 
x 1
4x
lim f x 3
x 1

 
  
 

 
.
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ.
Δίνονται λ 9
  και μ 0
 .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2
x αx 9x α 0
    είναι ισοδύναμη με την  
f x α
 και στη
συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε α   .
E.9 Δίνεται η συνάρτηση  
 
x
2
xe , x 0
f x
x
ln x 1 , x 0
2

 

 
   

.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
δ) Να λύσετε την εξίσωση    
f ημx x 2f x
  .
E.10 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
αx
1
x
x e , x 0
f x
x β, x 0
  

 
  

, της οποίας η εφαπτομένη στο σημείο
 
 
Μ 1,f 1
  διέρχεται από το σημείο  
Λ 2, 2
  .
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
Δίνονται α 1
 και β 1
  .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες τις f.
γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς δύο κρίσιμα σημεία και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία
και τα ακρότατα.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 19

5. 4
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.11 Δίνεται η συνάρτηση  
 
2
x
x 1 αx, x 0
f x
ln e 2x β, x 0
   

 
   

, η οποία έχει ακριβώς ένα κρίσιμο
σημείο.
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
Δίνονται α 1
  και β 1
 .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.
δ) Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.
E.12 Δίνεται η συνάρτηση  
x
x
xe 1, x 0
f x
x , x 0

  

 
 

.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
 
x
f ημx
lim
lnx

E.13 Δίνεται η συνάρτηση  
2 x 1
2
α e , x 1
f x
x αx, x 1
 
   

 
   

, η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις του
θεωρήματος Bolzano στο διάστημα  
1,1
 .
α) Να βρείτε το α.
Δίνεται α 2
 .
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
E.14 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
3 2
x λx 1
, x 1
x 1
f x
μ 4, x 1
  
 
 
 
   

, με λ,μ   .
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ και να δείξετε ότι   2
f x x x 1
   , x   .
Δίνονται λ 2
 και μ 5
  .
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 19

6. 5
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτομένες της f που σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο με
τους άξονες x x
 και y y
 και στη συνέχεια ότι αυτές τέμνονται κάθετα μεταξύ τους.
δ) Αν α 0
 , να δείξετε ότι η εξίσωση  
       
f α αf 2α α 4 f 3α
f x
2α 5
  


έχει ακριβώς δύο
ρίζες.
E.15 Δίνεται η συνάρτηση  
π
συνx αx, x ,0
2
f x
1
1 βx , x 0,
2
  
  
  
 

 
 
   
  

της οποίας η γραφική παράσταση έχει
στο σημείο  
 
A 0,f 0 , εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία x y e 0
   . Δίνεται επιπλέον η
συνάρτηση g : 
  για την οποία ισχύει η σχέση    
     
   
g x f x g x f x 1 2f x
    , για
κάθε π 1
x ,
2 2
 
 
 
 
.
α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.
Δίνονται α 1
 και β 2
  .
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα κρίσιμα σημεία και τα ακρότατα.
γ) Να αποδείξετε ότι  
x 0
limg x 0

 .
δ) i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
π
ξ ,0
6
 
 
 
 
τέτοιο, ώστε   π
f ξ
π 1
  

.
ii) Αν επιπλέον η g είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι η εξίσωση       2020
π 1 ημx x ξ g x
2021
   
έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα  
0, ξ
 .
E.16 Δίνεται η συνάρτηση  
2
x
x 2x, x 0
f x
α 1, x 0
  

 
  

, με 0 α 1
  .
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
β) Να υπολογίσετε το όριο
 
 
3 2
x
x x
lim
f f x 1



.
Δίνεται επιπλέον ότι η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο διάστημα
1 1
,
2e 2
 

 
 
.
γ) i) Να αποδείξετε ότι 2
α e
 .
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 19

7. 6
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
iii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
1 1
ξ ,
2e 2
 
 
 
 
τέτοιο, ώστε να ισχύει
 
2
2
4e 1
f ξ
2e 2e

  

και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή του ξ.
δ) i) Να εξηγήσετε γιατί η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη 1
f 
.
ii) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και 1
f 
στο ίδιο σύστημα αξόνων.
E.17 Δίνεται η συνάρτηση   x e
f x e ln x
x
   , x 0
 .
α) i) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
ii) Να λύσετε την εξίσωση      
2021 2020
f x f x f x
  .
β) i) Να εξηγήσετε γιατί η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1
f 
.
ii) Να λύσετε την ανίσωση  
x 1
e f x ημx 1

  .
γ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f f
 και να δείξετε ότι έχει μοναδική ρίζα 0
x .
ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
 
  
1
f x 2021
0
f f x x 1

 


έχει μια τουλάχιστον λύση στο
διάστημα  
0
1,x .
E.18 Δίνεται η συνάρτηση   x α x
f x e lnx 
 με x 0
 και α   της οποίας η γραφική παράσταση
εφάπτεται στον άξονα x x
 .
α) Να βρείτε το α.
Δίνεται α 1
 .
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να λύσετε την εξίσωση   e
f f x ln 0
x
 
 
 
 
.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
   
2 2
x 0
1
lim
f 1 x f συν x
  
.
E.19 Δίνεται η συνάρτηση  
2
x
4x x 4 αx, x 0
f x
e βx 1, x 0
    

 
   

.
α) Αν η f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο  και στο σημείο  
 
A 1,f 1 δέχεται οριζόντια
εφαπτομένη, να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.
Για α 2 και β e
  :
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 19

8. 7
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
β) Να βρείτε ποιες από τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle δεν ικανοποιούνται για την f στο
διάστημα  
1,1
 και να αιτιολογήσετε γιατί η f δεν αντιστρέφεται.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
δ) i) Να αποδείξετε ότι
7
e
e
ln 2
6
 .
ii) Δίνεται η συνάρτηση  
7
e
e
h x ln x ln
6
 
 
 
 
. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h f
 .
E.20 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
f : 0,π  με αρνητική κλίση στο π και για την οποία
ισχύει η σχέση  
2 2 2
x f x συν x c
  για κάθε  
x 0,π
 .
α) i) Να αποδείξετε ότι c 1
 . ii) Να βρείτε τον τύπο της f.
Δίνεται  
ημx
, 0 x π
x
f x
1, x 0
  

 
 

.
β) i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό  
ξ 0,π
 τέτοιο ώστε   6ημ1 3ημ2 2ημ3
f ξ
18
 
 .
γ) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και   1
g x
x
 έχουν κοινή εφαπτομένη ε στο κοινό τους
σημείο  
0 0
Μ x ,y και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης αυτής.
E.21 Δίνεται η συνάρτηση  
f x x 2 x 1
   , x 0
 .
α) Να υπολογίσετε το όριο
 
x 1
x x 2x 1
lim
f x lnx

 

.
β) i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει  
 
ημx ημ ημx
ημx ημ ημx
2

  για κάθε  
x 0,π
 .
γ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f f
 και να αποδείξετε ότι   
f f x x

 για
κάθε  
x 0,1
 .
ii) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β με 0 α 1 β
   και  
f α β
 . Να αποδείξετε ότι η
εξίσωση
   
f x α f x β
1
x β x α
 
 
 
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα  
α,β .
δ) Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση   x
g x x λ 2
   , x   για την οποία ισχύει ότι  
g x 1

για κάθε x   .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 19

9. 8
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
i) Να βρείτε το λ.
ii) Αν λ e
 , να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν
δύο ακριβώς κοινά σημεία Α και Β με τετμημένες 0 και  
0
x 1,2
 αντίστοιχα.
E.22 Δίνεται η συνάρτηση  
f x 2συνx x x
  , x   .
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1
f
.
ii) Nα υπολογίσετε το όριο
 
1
x
f x
lim
x


, αν γνωρίζετε ότι η 1
f
είναι συνεχής.
iii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της 1
f
τέμνει τον άξονα y y
 σε σημείο με τεταγμένη
0
π
y 1,
3
 
 
 
.
γ) i) Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο
π π
,
2 2
 

 
 
.
ii) Έστω τα σημεία
π π
A ,f
2 2
 
 
 
 
 
 
 
και
π π
B ,f
2 2
 
 
 
 
 
 
. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική
εφαπτομένη της f στο διάστημα
π π
,
2 2
 

 
 
που είναι παράλληλη στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
E.23 Δίνεται η συνάρτηση   αx 1
f x
x α



, x α
 της οποίας η γραφική παράσταση δεν τέμνει την
ευθεία y x
 .
α) Να αποδείξετε ότι 1 α 1
   .
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ) Να αποδείξετε ότι   
f f x x

 , x α
 .
δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να αποδείξετε ότι 1
f f

 .
ε) Αν α 0
 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση
   
f 2α αx f 3α αx
23
x 3 x 2
 
 
 
έχει μια τουλάχιστον
λύση στο διάστημα  
2,3 .
E.24 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f : 
  και g : 
  για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις
  x
x 0
f x e 1 1
lim
x ημx 2

 


και   2
g x συνx 4x x
   για κάθε x   .
α) Να αποδείξετε ότι  
f 0 0
 και  
f 0 2
  .
β) Να αποδείξετε ότι  
g 0 1
  και  
g 0 4
   .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 19

10. 9
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης g f
 στο 0
x 0
 .
δ) Αν επιπλέον
● η f είναι γνησίως αύξουσα,
● η g είναι κυρτή,
● η f g
 ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο  
π,4 , να αποδείξετε ότι:
i) η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο  
π,4 .
ii) οι συναρτήσεις f g
 και g έχουν κοινή ρίζα  
ξ π,4
 .
iii) η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε μοναδική θέση  
ρ 0,ξ
 .
iv) δεν υπάρχει το όριο
   
h 0
h
lim
g ρ h g ρ
  
.
E.25 Δίνεται η συνάρτηση   2
f x x 2λlnx, x 0, λ 0
    .
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία ισχύει
2
x
2λ
xe 1

 για κάθε x 0
 .
γ) Να βρείτε για ποια τιμή του λ η ευθεία y x
 εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f.
Δίνεται
1
λ
2
 .
δ) Να αποδείξετε ότι   2x ln2 1
f x
4
 
 για κάθε x 0
 .
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό διάστημα  
α,α 1
 με α 0
 , στο οποίο η f ικανοποιεί τις
υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.
E.26 Δίνεται η συνάρτηση    
3 2
f x λx 3λx 4 λ 1 x
    , x   , λ   .
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η f είναι γνησίως φθίνουσα.
β) Έστω η συνάρτηση     
h x g f x

  όπου  
g x x
 , x 0
 .
i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η συνάρτηση h ορίζεται στο  .
ii) Να υπολογίσετε το όριο  
x
lim h x 3x


 
  για τις διάφορες τιμές του λ.
γ) Αν λ 1
 , να δείξετε ότι η συνάρτηση    
2
4
φ x f x lnx
3
 
  
 
 
με x 0
 , έχει ακριβώς δύο
τοπικά ελάχιστα και ένα τοπικό μέγιστο.
E.27 Δίνεται η συνάρτηση  
f x lnx λx
  , όπου x 0
 και λ .
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f για τις διάφορες τιμές του λ.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 19

11. 10
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
β) Να βρείτε την μικρότερη τιμή του λ για την οποία δεν ορίζεται η συνάρτηση f f
 .
Δίνεται λ 0
 .
γ) Να ορίσετε την συνάρτηση     
g x f f x
  και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία και την
κυρτότητα.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν  
1 2
ξ , ξ 2,4
 , τέτοια ώστε    
1 2
g ξ g ξ ln2
 
  .
E.28 Δίνεται η συνάρτηση  
4
3 2
x
f x x λ x λ
4
    , με λ   .
α) Να δείξετε ότι η f έχει δύο σημεία καμπής Α και Β και να βρείτε την ελάχιστη απόσταση ΑΒ.
β) Να αποδείξετε ότι η f έχει το πολύ δύο κρίσιμα σημεία.
γ) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο σε μοναδικό σημείο 0
x 3
 .
δ) Αν λ 0
 , να βρείτε τις οριζόντιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης  
 
x
6x e
h x
f x



.
E.29 Δίνεται η συνάρτηση  
f x x λ x
   , όπου x λ
 και λ .
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
γ) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία ορίζεται η συνάρτηση f f
 .
δ) Aν οι συναρτήσεις f και f f
 παρουσιάζουν την ίδια μέγιστη τιμή στην ίδια θέση, να βρείτε την
τιμή του λ και να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα.
E.30 Δίνεται η συνάρτηση   2 λ
f x x λx e
   .
α) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία το όριο  
x 1
limf x

είναι καλώς ορισμένο.
β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του λ για την οποία η f να ορίζεται στο  .
γ) Να αποδείξετε ότι το ευρύτερο υποσύνολο του  στο οποίο μπορεί να οριστεί η f πραγματοποιείται
για μοναδικό  
λ 1,0
  .
E.31 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
f : 0,π  για την οποία ισχύουν:
●    
 
2
f x 2 f x ημxσυνx
  για κάθε  
x 0,π
 ,
●   π
f 0 f
4
 
  
 
και
● δεν ικανοποιείται για την f το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα  
0,π .
α) Να αποδείξετε ότι  
f x 1 ημx συνx
   .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 11 of 19

12. 11
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
β) Να υπολογίσετε το όριο
 
x 0
f x
lim
x ημx

 
.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της.
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  
f x x 1
  έχει ακριβώς μια ρίζα.
E.32 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 
  για την οποία ισχύει η σχέση
   
2 x
f x c lnf x e x
    για κάθε x   με c   .
α) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα.
β) Αν c 2
 , να βρείτε την συνάρτηση f.
Δίνεται   x
f x e
 , x   .
γ) Να υπολογίσετε τα όρια: i)
  x
x
1
lim
f x e
 
ii)
 
 
2 x
x
x
f x 2
lim
f x 2



.
δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
ε) Να λύσετε την εξίσωση
x
2 2 e
x e 4 4 x
2
 
   
 
 
.
E.33 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
f : 0,1   για την οποία ισχύουν:
●
 
f x
2
ln x x 1
  , για κάθε  
x 0,1
 και
● η εξίσωση   α
f x e
 με α   είναι αδύνατη.
α) Να αποδείξετε ότι:  
1 x
, 0 x 1
lnx
f x
0, x 0
 
 

 



.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
E.34 Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις  
f : 0,   και g : 
  για τις οποίες ισχύουν
οι σχέσεις    
x x
e g x f e

 
  για κάθε x   και
 
 
x 1
x 0
xg x x
lim 1
ημx f συνx





.
α) Να αποδείξετε ότι    
x
g x f e 1
  , x   .
β) Αν
   
h 0
f 1 2h g 0 1
lim 2
h

  
 , να αποδείξετε ότι:
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 12 of 19

13. 12
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
i)  
f 1 1
  .
ii) η εφαπτομένη της f στο  
 
A 1,f 1 εφάπτεται της g στο  
 
B 0,g 0 .
γ) Έστω ότι   x
g x xe 1

  .
i) Να βρείτε τον τύπο της f.
ii) Αν   lnx
f x 2
x
  , να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε
σημείο με τετμημένη  
0
x 0,1
 .
iii) Nα αποδείξετε ότι    
g x f x
 για κάθε x 1
 .
E.35 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 
  για την οποία ισχύουν:
●      
 
2
x 1 f x 2x f x 1 2
 
    για κάθε x .
● η ευθεία y x
  εφαπτεται της γραφικής παράστασης της f στο σημείο  
 
A 0,f 0 .
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση  
 
f x x
2
e
G x
x 1



είναι σταθερή και στη συνέχεια να βρείτε την f.
Δίνεται    
2
f x ln x 1 x
   .
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
δ) Να υπολογίσετε τα όρια: i)
 
x 1
1
lim
f x ln2 1
  
ii)
 
x 1
x 1
lim
f x ln2 1


 
ε) Να λύσετε την εξίσωση    
2
x
f e f ημx ημx
   .
στ) Να αποδείξετε ότι    
 
f x f f x ln2 ln2
   για κάθε  
x 1,1
  .
E.36 Δίνεται συνάρτηση f : 
  για την οποία ισχύει    
f x 2f x

 για κάθε x   .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση    
x 2
h x e f x

  είναι σταθερή.
β) Αν  
f 0 1
 , να βρείτε τον τύπο της f.
γ) Να αποδείξετε ότι:
i) η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1
f
.
ii)    
1
f x x f x

  για κάθε x 0
 .
δ) Να αποδείξετε ότι:
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 13 of 19

14. 13
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
i) οι γραφικές παραστάσεις των f και 1
f
παρουσιάζουν ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση σε
μοναδική θέση  
0
x 2ln2, 2
 .
ii) οι εφαπτομένες των f και 1
f
είναι παράλληλες στο 0
x και σχηματίζουν με τον άξονα x x

γωνία
π π
ω ,
4 2
 
 
 
.
iii) 0
4
x
e
 .
E.37 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 
  με  
f 0 1
  και έστω επίσης η συνάρτηση
   
 
x
2
x
x 2 xe
G x f x
e

  για την οποία ισχύει     2020
G x y G x y
   για κάθε x, y   .
α) Να αποδείξετε ότι η G είναι σταθερή και στη συνέχεια ότι  
G x 1, x
 .
β) Να αποδείξετε ότι:
i)    
2
2 x
f x xe 1
  ii) η f έχει μοναδική ρίζα  
0
x 0,1
 .
γ) Αν επιπλέον ισχύει
 
0
h 0
0
lnx
lim
f x h


 

, να αποδείξετε ότι:
i)   x
f x xe 1
  . ii)
 
0
x x
f x
lim 1
x lnx



.
E.38 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 
  και η συνάρτηση g : 
  για την οποία
ισχύει      
x
g x f x 1 f e
   για κάθε x και  
g 1 2
  .
α) Αν η f έχει ασύμπτωτη στο  την ευθεία y 2x
 , να αποδείξετε ότι η g έχει ασύμπτωτη
στο  την ευθεία  
y 2x f e
  .
Δίνεται επιπλέον ότι η g είναι κυρτή και έχει εφαπτομένη την ευθεία y x
 .
β) Να αποδείξετε ότι   1
f 1
2
  .
γ) Αν ε είναι η εφαπτομένη της f στο σημείο  
 
A 1,f 1 , να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς μια
εφαπτομένη της g που είναι κάθετη στην ε.
δ) Να δείξετε ότι η g έχει ολικό ελάχιστο.
E.39 Δίνεται η συνάρτηση f : 
  για την οποία ισχύει η σχέση    
3
1 x 2 x
f x f x e x
3

    
για κάθε x .
α) i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c  τέτοια ώστε    
3
1 x x
f x x c e
3

   , x .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 14 of 19

15. 14
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
ii) Αν   7
f 1
3
 , να βρείτε τον τύπο της f.
Δίνεται    
3
1 x x
f x x 1 e
3

   .
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μια ρίζα  
0
x 1,0
  και ότι αυτή είναι μοναδική.
δ) Έστω πραγματικός αριθμός  
0
κ x ,1
 και η συνάρτηση   0
0
κ x
h x ln
x x



με 0
x x
 .
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση    
f x h x e
  έχει λύση στο διάστημα  
0
x ,κ .
ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της h στο σημείο  
 
Α κ,h κ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι
η συνάρτηση    
 
 
2
0 0
0
x 2κx
φ x x ln x x x h x 1
2 κ x

    
 
 

είναι γνησίως αύξουσα.
E.40 Δίνεται η συνεχής και άρτια συνάρτηση f : 

  για την οποία ισχύουν   1
f x , x 0
x x
   
και  
f 1 1
 . Δίνεται επίσης το σημείο  
 
M α,f α , α 0
 .
α) Να αποδείξετε ότι   1
f x
x
 και να κάνετε την γραφική της παράσταση.
β) Έστω ε η εφαπτομένη της f στο σημείο Μ και Α, Β τα σημεία τομής της ε με τους άξονες
x x
 και y y
 αντίστοιχα.
i) Nα αποδείξετε ότι το Μ είναι το μέσο του ΑΒ.
ii) Αν η τετμημένη του Μ μειώνεται με ρυθμό 2 μονάδες το δευτερόλεπτο, να βρείτε τον ρυθμό με
τον οποίο μεταβάλλεται η τεταγμένη του Β την χρονική στιγμή που η ευθεία ε διέρχεται από το
σημείο  
Γ 1,0 .
γ) Δίνεται επιπλέον το ορθογώνιο ΜΚΛΝ, όπου το σημείο Κ ανήκει στην γραφική παράσταση της f
και τα σημεία Λ, Ν στον άξονα x x
 .
i) Να αποδείξετε ότι το ορθογώνιο ΜΚΛΝ έχει σταθερό εμβαδόν.
ii) Να βρείτε για ποια τιμή του α, το ορθογώνιο ΜΚΛΝ έχει ελάχιστη περίμετρο.
E.41 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
f : 1,
    με  
f 0 1
 για την οποία ισχύει η σχέση
    1
f x f x
2

  .
α) Να αποδείξετε ότι  
f x x 1
  .
β) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την συνάρτηση 1
f
.
ii) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και 1
f
στο ίδιο σύστημα αξόνων.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 15 of 19

16. 15
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
Έστω τα σημεία  
 
1
A x,f x

,  
 
1
B 0,f x

και  
Ο 0,0 .
γ) i) Να βρείτε την συνάρτηση  
Ε x που δίνει το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ για κάθε 0 x 1
  .
ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης  
Ε x όταν  
x 0,1
 .
δ) Έστω επιπλέον το σημείο  
 
1
Γ 0,f 0

και η γωνία ˆ ˆ
θ ΒΑΓ
 .
i) Να υπολογίσετε τα όρια π
θ
2
ΑΓ
lim
ΑΒ

και  
π
θ
2
lim ΑΓ ΒΓ

 .
ii) Αν η τετμημένη του σημείου Α αυξάνεται με ρυθμό 1 μονάδα το δευτερόλεπτο, να βρείτε τον
ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η γωνία θ την χρονική στιγμή 0
t όπου  
0
x t 2
 .
E.42 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2
x ln x 0
  έχει μια ακριβώς ρίζα  
0
x 0,1
 .
Δίνεται επιπλέον η συνεχής συνάρτηση  
0
f : x ,1   για την οποία ισχύει    
1
f x 2x f x
e x

 για κάθε
 
0
x x ,1
 και  
f 1 0
 .
β) i) Να αποδείξετε ότι   2
f x x x lnx
   .
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση   0
1
f x ln x
4
  είναι αδύνατη.
γ) Έστω τα σημεία  
 
Α 1,f 1 και  
 
0 0
B x ,f x και το κινητό σημείο  
 
M x,f x που κινείται
πάνω στην γραφική παράσταση της f . Την χρονική στιγμή που το Μ διέρχεται από το σημείο
 
 
Γ ξ,f ξ στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλη με την ευθεία
ΑΒ, η τετμημένη του μεταβάλλεται με ρυθμό
1
0
1 x 
 μονάδες το δευτερόλεπτο. Να αποδείξετε ότι την
ίδια χρονική στιγμή η τεταγμένη του Μ μεταβάλλεται με ρυθμό 1 μονάδα το δευτερόλεπτο.
δ) Δίνεται η συνάρτηση     0
x
h x f x f
x
 
   
 
.
i) Να αποδείξετε ότι η h ορίζεται στο διάστημα  
0
x ,1 και στη συνέχεια ότι ικανοποιεί τις
υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα αυτό.
ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της h με αντίθετες
κλίσεις.
iii) Αν γνωρίζετε ότι η h είναι κυρτή, να λύσετε την εξίσωση   0
h x x
 .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 16 of 19

17. 16
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.43 Δίνεται η συνάρτηση f : 
  η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν    
f x
f x e x

  για
κάθε x  και  
f 
 .
α) i) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα και να βρείτε τη μονοτονία της.
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη.
β) Να αποδείξετε ότι ότι η f δεν παρουσιάζει σημεία καμπής και να βρείτε την κυρτότητά της.
γ) Να λύσετε την ανίσωση  
 
   
 
f x f x
2
f e f x e f x 1
 
 
    .
δ) Να υπολογίσετε το όρια: i)    
x
lim f x 1 f x

 
 
  ii)  
x 0
lim xf lnx

 
 .
ε) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1
f 
.
ii) Να αποδείξετε ότι η ασύμπτωτη της 1
f 
στο  είναι η ασύμπτωτη της f στο  .
iii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης f με τον άξονα x x
 .
iv) Να αποδείξετε ότι η f τέμνει την ευθεία y x
 σε μοναδικό σημείο με τετμημένη  
α 0,1
 .
v) Αν β είναι η τεταγμένη του σημείου όπου η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy
 ,
να λύσετε την εξίσωση  
f x
β
x
e β
e 1

 

.
E.44 Δίνονται οι συναρτήσεις    
2
f x 1 x 1, x 0,1
    και  
g x lnx x, x 0
   .
Δίνεται επίσης η συνάρτηση         x
φ x g f x g f α ln
α
  
  , με  
α 0,1
 .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της φ και να αποδείξετε ότι τέμνει τον άξονα x x
 στο μοναδικό σημείο
 
A α,0 .
β) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της φ στο Α τέμνει τον άξονα y y
 στο σημείο  
2
B 0, 1 α
 και
στη συνέχεια να δείξετε ότι το ΑΒ έχει σταθερό μήκος.
γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ μεγιστοποιείται όταν το τρίγωνο γίνεται ισοσκελές.
δ) Έστω ότι η τετμημένη του σημείου Α μειώνεται με ρυθμό 0,1 cm/s. Την χρονική στιγμή που το Α
έχει τετμημένη 0,6 , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής:
i) της τεταγμένης του σημείου Β.
ii) της γωνίας 
θ ΟΑΒ
 .
iii) του εμβαδού του τριγώνου OAB.
ε) Να αποδείξετε ότι σε οποιοδήποτε διάστημα    
κ,λ 0,1
 υπάρχουν 1 2 3
ξ , ξ , ξ τέτοια ώστε
να ισχύει η σχέση
2 2
1 2
1 2 2 3
1 ξ 1 ξ 1 1
ξ ξ ξ ξ
 
   .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 17 of 19

18. 17
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.45 Δίνεται η συνάρτηση  
2
2
1 x , 1 x 0
f x π
συν x, 0 x
2
    

 
 


.
α) Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε κάθε διάστημα  
ημα,α
 , με
π
α 0,
2
 
 
 
.
Δίνεται παρακάτω η γραφική παράσταση της f και τα σημεία  
 
Α x,f x με
π
x 0,
2
 
 
 
,  
 
B 0,f 0
και  
Γ Γ
Γ x ,y με ΑΓ//x x
 .
β) Να αποδείξετε ότι Γ
x ημx
  .
γ) Έστω  
E x το εμβαδόν του πολυγώνου ΟΑΒΓ.
i) Nα αποδείξετε ότι   x ημx
E x
2

 ,
π
x 0,
2
 
 
 
.
ii) Να βρείτε για ποια τιμή του x το εμβαδόν Ε παρουσιάζει μέγιστη τιμή. Τι σχήμα είναι το
πολύγωνο σε αυτή την περίπτωση;
iii) Να αποδείξετε ότι  
0
1
E x
2
 για μοναδικό 0
1 π
x ,
2 6
 
 
 
.
iv) Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου Α είναι  
x t 2
  , να βρείτε τις
συντεταγμένες του Α την χρονική στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε ισούται με
3
2
.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 18 of 19

19. 18
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.46 Δίνονται τα σημεία  
Α 0,6 και  
B 8,0 στο παρακάτω σύστημα αξόνων, καθώς και το σημείο
 
Δ α,β το οποίο κινείται από το Α στο Β με ΑΔ κ
 .
α) Να αποδείξετε ότι
4κ
α
5
 και
 
3 10 κ
β
5

 .
β) Να βρείτε για ποια τιμή του κ μεγιστοποιείται το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΓΔΕ.
γ) Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του ορθογωνίου ΟΓΔΕ αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, χωρίς όμως να
μπορεί να ξεπεράσει τα
2
3
της περιμέτρου του τριγώνου ΟΑΒ.
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση    
2 2
3
f x x 2λ x λ 6, x , λ 0,8
4
 
      
 
 
 .
δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στο τμήμα ΑΒ στο Δ και ότι α λ
 .
ε) Αν το λ αυξάνεται με ρυθμό 1 μονάδα το δευτερόλεπτο, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής:
i) των κ και β.
ii) του τμήματος ΟΔ την χρονική στιγμή που η συνάρτηση f ικανοποιεί το θεώρημα Rolle στο
διάστημα
35
0,
4
 
 
 
.
στ) Να αποδείξετε ότι  
   
     
f 4f x 23 f 4f x 24 f 1 3x f 3x
       για κάθε x .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 19 of 19