3o Κεφάλαιο Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηματικών
lisari.blogspot.com 1ο
Λύκειο Ζακύνθου
Κεφάλαιο 3o
Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
 Ανασκόπηση θεωρίας
 Μεθοδολογία ίσων
τμημάτων ή γωνιών
 Βοηθητική ευθεία
 Ασκήσεις προς επίλυση
 Ασκήσεις άλυτες
Αθήνα 2011 – 12

Γεωμετρία - A΄ Λυκείου 1ο
Λύκειο Ζακύνθου Κεφάλαιο 3Ο
– Τρίγωνα
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μ. -2- http://lisari.blogspot.com
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο
Θυμάμαι Ότι …
Τα τρίγωνα ταξινομούνται…
ως προς τις πλευρές τους
 Σκαληνά
 Ισοσκελή
 Ισόπλευρα
Τα τρίγωνα ταξινομούνται…
ως προς τις γωνίες τους
 Οξυγώνια
 Αμβλυγώνια
 Ορθογώνια
Δύο τρίγωνα είναι ίσα
(Κριτήρια Ισότητας τριγώνων)
 Δύο πλευρές αντίστοιχα ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες
 Μία πλευρά αντίστοιχα ίση και τις προσκείμενες γωνίες της
βάσης ίσες
 Τρεις πλευρές αντίστοιχα ίσες μία προς μία
Δύο ορθογώνια τρίγωνα
είναι ίσα
 Δύο πλευρές αντίστοιχα ίσες μία προς μία
 Μία πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία και μία οξεία γωνία
ίση
Ισοσκελές
Τρίγωνο
 Οι 2 πλευρές της είναι ίσες (ΑΒ=ΑΓ)
 Α κορυφή
 2 γωνίες της βάσης ίσες
 Η διχοτόμος της κορυφής είναι διάμεσος & ύψος
 Η διάμεσος της κορυφής είναι διχοτόμος &ι ύψος
 Το ύψος της κορυφής είναι διάμεσος & διχοτόμος
 Η κορυφή είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου
τμήματος της βάσης
Βασική πρόταση
για το ισοσκελές τρίγωνο
Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες
τότε είναι ισοσκελές
Ισόπλευρο
τρίγωνο
 Οι πλευρές του είναι ίσες
 Οι γωνίες του είναι ίσες
 ¨Έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ
 Ισχύουν τα ίδια με το ισοσκελές για όλες όμως τις κορυφές του
Κύκλος
 Αν δύο τόξα είναι ίσα τότε και οι χορδές τους είναι ίσες και
αντίστροφα
 Δύο χορδές είναι ίσες αν τα αποστήματά τους είναι ίσα και
αντίστροφα
 Ο φορέας του αποστήματος μιας χορδής
διέρχεται από το κέντρο του κύκλου
είναι μεσοκάθετος της χορδής
διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο της χορδής

– Τρίγωνα
Απόστημα
 Το απόστημα είναι μεσοκάθετος της χορδής
 Η προέκταση του αποστήματος διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο
της χορδής
 Σε ίσα αποστήματα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές και
αντίστροφα.
Βασικοί γεωμετρικοί τόποι
 Κύκλος αφού κάθε σημείο του επιπέδου ισαπέχει σταθερή
απόσταση από σταθερό σημείο
 Η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα
άκρα του
 Η διχοτόμος μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της
Ανισοτικές σχέσεις
 Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από
τις απέναντι γωνίες του τριγώνου
 Απέναντι από άνισες πλευρές τριγώνου βρίσκονται
αντίστοιχα και άνισες γωνίες
 Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των
άλλων δύο πλευρών τριγώνου
Εφαπτόμενα τμήματα  Τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ, ΡΒ είναι ίσα
 Η διακεντρική ευθεία ΡΟ είναι μεσοκάθετος της χορδής ΑΒ
 Η διακεντρική ευθεία ΡΟ διχοτομεί την γωνία Ρ & την γωνία Ο
που σχηματίζουν οι ακτίνες
Σχετικές
Θέσεις κύκλων
(Ο, ρ1) , (Κ, ρ2)
 Η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους
 (ΟΚ)>ρ1+ρ2  δεν τέμνονται εξωτερικά
 (ΟΚ)= ρ1+ρ2  εφάπτονται εξωτερικά
 ρ1 - ρ2< (ΟΚ)< ρ1+ρ2  τέμνονται εξωτερικά
 (ΟΚ)= ρ1-ρ2  εφάπτονται εσωτερικά
 (ΟΚ)< ρ1+ρ2  δεν τέμνονται εσωτερικά

– Τρίγωνα
Μεθοδολογία – Κεφάλαιο 3ο
Πως αποδεικνύουμε ότι δύο τμήματα ή γωνίες είναι ίσα;
Α. Πότε κάνουμε σύγκριση τριγώνων;
Α. Σύγκριση τριγώνων κάνουμε όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα
είναι ίσα ή δύο γωνίες είναι ίσες.
Β. Πως κάνουμε σύγκριση τριγώνων;
Για να συγκρίνουμε δύο τρίγωνα ακολουθούμε την εξής πορεία:
 Χαράσσουμε ένα ευκρινές σχήμα, που μας βοηθάει να μας «μαρτυρήσει» ποια
στοιχεία ή τρίγωνα είναι ίσα.
 Προσπαθούμε να εντοπίσουμε στο σχήμα ή να δημιουργήσουμε αν χρειαστεί δύο
τρίγωνα τα οποία περιέχουν τα στοιχεία που θέλουμε να αποδείξουμε πως είναι ίσα.
 Στα τρίγωνα αυτά εξετάζουμε αν τρία από τα στοιχεία τους είναι ίσα ένα προς ένα.
Συγκεκριμένα, προσπαθούμε να βρούμε ότι έχουν ίσα:
δυο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ή
μία πλευρά και τις προσκείμενες γωνίες ή
τρεις πλευρές
Αν τελικά καταφέρουμε και εξασφαλίσουμε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις, τότε τα τρίγωνα
είναι ίσα. Επομένως θα είναι ίσα και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους. Ανάμεσα στα
υπόλοιπα στοιχεία θα βρίσκονται και θέλαμε να αποδείξουμε ότι είναι ίσα.
Γ. Αν δεν έχουμε επαρκή στοιχεία για να αποδείξουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, τι κάνουμε;
Σε ορισμένες περιπτώσεις δεν αρκεί η σύγκριση δύο τριγώνων, διότι δεν υπάρχουν επαρκή
στοιχεία. Για το λόγο αυτό συγκρίνουμε πρώτα άλλο ζεύγος τριγώνων, συλλέγουμε νέα στοιχεία
(δηλαδή νέες ισότητες μεταξύ πλευρών ή γωνιών) και στη συνέχεια επιτυγχάνουμε την ισότητα
των τριγώνων που μας οδηγεί στη λύση της άσκησης.
ΠΡΟΣΟΧΗ!
1. Μόνο με ισότητα γωνιών δεν προκύπτει ποτέ ισότητα τριγώνων.
2. Η βασική αρχή που εφαρμόζουμε μετά την απόδειξη ότι τα τρίγωνα είναι ίσα είναι: “Απέναντι
από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες
πλευρές”. Την παραπάνω αρχή την εφαρμόζουμε μόνο σε ίσα τρίγωνα.

– Τρίγωνα
Δ. Πως κάνουμε σύγκριση ορθογωνίων τριγώνων;
Ορισμένες φορές για να αποδείξουμε ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα ή δύο γωνίες είναι ίσες,
συγκρίνουμε ορθογώνια τρίγωνα.
Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν ήδη την ορθή γωνία ίση. Χρειάζονται επομένως ακόμα δύο
στοιχεία, εκτός της ορθής γωνίας, ώστε αυτά να είναι ίσα. Πιο συγκεκριμένα, για αν είναι δύο
ορθογώνια τρίγωνα ίσα, αρκεί να έχουν:
 δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία ή
 μία αντίστοιχη πλευρά και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση
Τονίζουμε ότι τα στοιχεία πρέπει να είναι αντίστοιχα ίσα (ή ομόλογα). Αυτό σημαίνει για
παράδειγμα ότι:
 αν από το ένα τρίγωνο η πλευρά είναι η μία από τις κάθετες (αντίστοιχα
υποτείνουσα), τότε στο άλλο τρίγωνο η ίση της πλευρά πρέπει να είναι επίσης η μία
από τις κάθετες πλευρές (αντίστοιχα υποτείνουσα),,
 αν στο άλλο τρίγωνο η οξεία γωνία είναι προσκείμενη στη μία κάθετη πλευρά, τότε
και στο άλλο η ίσης της γωνία πρέπει να είναι προσκείμενη την αντίστοιχη κάθετη
πλευρά,
Ε. Πότε φέρνουμε βοηθητική γραμμή στο σχήμα;
Όταν τα στοιχεία ενός σχήματος μαζί με τα δεδομένα δεν επαρκούν για την λύση μιας
άσκησης της γεωμετρίας, τότε είμαστε αναγκασμένοι να φέρουμε μία ή περισσότερες
βοηθητικές γραμμές. Η βοηθητική γραμμή πρέπει να μας δίνει περισσότερες πληροφορίες γι’
αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε, δηλαδή να μας «ξεκλειδώνει» το σχήμα! Γενικά, τέτοιες
ενέργειες είναι:
 Να ενώσουμε δύο σημεία του σχήματος.
 Να δημιουργήσουμε νέα τρίγωνα.
 Να φέρουμε τις αποστάσεις κάποιων σημείων προς ορισμένες ευθείες.
 Να φέρουμε παράλληλη από ένα σημείο προς κάποια ευθεία.
 Να φέρουμε τη διχοτόμο κάποιας γωνίας.
 Να πάρουμε το μέσο ενός τμήματος.
 Να προεκτείνουμε κατά ίσο τμήμα (SOS)
 Να πάρουμε το συμμετρικό σημείο ως προς μία πλευρά (δύσκολη κίνηση)
 .
 .

– Τρίγωνα
ΠΡΟΣΟΧΗ! Θα πρέπει να είμαστε «τσιγκούνηδες» όσον αφορά τις βοηθητικές γραμμές σ’
ένα σχήμα. Πρέπει πρώτα να έχουμε εξαντλήσει όλες τις δυνατότητες επίλυσης του
προβλήματος με τα υπάρχοντα στοιχεία - δεδομένα και ύστερα να φέρουμε κάποια νέα
βοηθητική γραμμή.

– Τρίγωνα
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3ου
1. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, η μεσοκάθετος του (ε) και σημείο Μ της ε. Στις
προεκτάσεις των ΑΜ και ΒΜ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Γ, Δ τέτοια ώστε
ΜΓ=ΜΔ. Να αποδείξετε ότι:
α) KMBKMA

 ,όπου Κ το σημείο τομής της (ε ) με το ΑΒ
β) ΑΔ=ΒΓ
γ) ΓBAΔBA
ΔΔ

2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ και θεωρούμε
τμήματα ΒΚ=ΓΛ=ΑΜ.
α) Τι γωνίες είναι οι ΛΓM,BΓM

; β) Να δείξετε ότι:
 
   M B K
γ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΚΜΛ είναι ισόπλευρο
3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ, ΓΑ
θεωρούμε ίσα τμήματα ΑΔ, ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ το μέσο της βάσης ΒΓ, τότε να
δείξετε ότι:
α) ΜΕ=ΜΔ
β) EΔMΔEM


γ) Η προέκταση της ΜΑ διχοτομεί την ΔΕ
4. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και χορδή ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΑΒ και προς τα δύο
της άκρα, κατά ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:
α) ΔBOΓAO


β) ΟΓ=ΟΔ
γ) Το απόστημα ΟΚ στην χορδή ΑΒ διχοτομεί και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ
5. Αν ΑΑ´, ΒΒ´ και ΓΓ´ είναι τρεις διάμετροι κύκλου (Ο, ρ), τότε να δείξετε ότι:
α) ΑΒ=Α´ Β´ β) ΑΓ=Α´ Γ´
γ) ΒΓ=Β´ Γ´
δ) 'Γ'B'AΓBA
ΔΔ

6. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΓ τέμνει την
προέκταση της ΓΒ στο Δ. Προεκτείνουμε τη ΔΑ κατά τμήμα ΑΕ=ΔΒ. Να δείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο ΔΑΓ είναι ισοσκελές
β) ΔAΓBΓAΓBA



– Τρίγωνα
γ) Τα τρίγωνα ΑΔΒ=ΑΕΓ δ) Το τρίγωνο ΓΔΕ είναι ισοσκελές
7. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΒΔ. Από το Δ φέρνουμε
ΔΕΒΓ, που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. Να δείξετε ότι:
α) ΒΕ=ΑΒ
β) ΑΖ=ΓΕ
γ) ΓZBZΓB


8. Δίνεται κύκλος (Ο, ρ), οι ίσες χορδές του ΑΒ, ΓΔ και τα αποστήματά τους ΟΚ και
ΟΛ αντίστοιχα. Αν οι προεκτάσεις των ΒΑ και ΔΓ τέμνονται στο Μ, να αποδείξετε
ότι:
α) ΚΜ=ΛΜ
β) Η ΟΜ διχοτομεί την
γωνία Ο και Μ
γ) ΜΑ=ΜΓ και ΜΒ=ΜΔ
δ) ΑΓΟΜ
9. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ. Η διχοτόμος της γωνίας

A τέμνει την μεσοκάθετο της ΒΓ
στο σημείο Δ. Έστω Ε και Ζ οι προβολές του Δ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.
Να δείξετε ότι:
α) ΕΒ=ΖΓ
β) ΑΕ=ΑΖ
γ) Η ΑΔ είναι μεσοκάθετος του ΕΖ
10. Θεωρούμε γωνία yOx

και δύο ομόκεντρους κύκλους (Ο,ρ) , (Ο,R) με ρ<R. Αν ο
πρώτος κύκλος τέμνει τις πλευρές Οχ, Οy στα Α, Β, ο δεύτερος στα Γ,Δ και Μ το
σημείο τομής των ΑΔ,ΒΓ, να αποδειχθεί ότι:
α) ΓOBΔAO
ΔΔ

β) ΔMBΓAM
ΔΔ

γ) MOBMAO
ΔΔ

δ) Η ΟΜ είναι η
διχοτόμος της yOx

11. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΜ διάμεσο και διχοτόμος. Αν προεκτείνουμε την ΑΜ
κατά ίσο τμήμα ΜΕ, τότε να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές
β) ΑΒ=ΓΕ
γ) Το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ισοσκελές
12. Να δείξετε ότι, αν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε στις αντίστοιχες ίσες πλευρές του
αντιστοιχούν,
α) ίσες διάμεσοι β) ίσες διχοτόμοι γ) ίσα ύψη
13. Να δείξετε ότι στις ίσες πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου αντιστοιχούν,

– Τρίγωνα
α) ίσα ύψη β) ίσες διάμεσοι γ) ίσες διχοτόμοι
δ) Ισχύουν τα ανάλογα συμπεράσματα και για το ισόπλευρο;
14. Εξωτερικά ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα
ΑΒΕ και ΑΓΔ. Να αποδείξετε ότι:
α) Τα τρίγωνα ΑΒΕ=ΑΓΔ β) ΒΔ=ΕΓ
γ) Αν Κ,Λ και Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΕΑ,ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα, τότε το
τρίγωνο ΚΜΛ είναι ισοσκελές.
15. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση

 Γ2B . Αν ΒΔ η διχοτόμος της γωνίας Β,
τότε αν έχετε ένα δεδομένο από τα παρακάτω να αποδείξετε τα υπόλοιπα. Να γίνουν 4
ασκήσεις!
α) Το Δ ισαπέχει από
την πλευρά ΒΓ και το
σημείο Α
β) Το Δ ανήκει στην
μεσοκάθετο του ΒΓ
γ) α=2γ
δ)
o
90A 

16. Από εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,ρ) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ & ΡΒ.
Μία Τρίτη εφαπτομένη στο σημείο Ε του κύκλου τέμνει τα ΡΑ και ΡΒ στα σημεία Γ, Δ
αντίστοιχα. Αν ΡΑ=4 cm
α) Να αποδείξετε ΓΑ=ΓΕ και ΔΒ=ΔΕ
β) Υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου ΡΓΔ
17. Δύο κύκλοι με κέντρα Κ, Λ, εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Μία ευθεία ε εφάπτεται
και στους δύο κύκλους στα Β, Γ αντίστοιχα. Αν ζ είναι η κοινή εφαπτομένη των
κύκλων στο σημείο Α, να δείξετε ότι:
α) Η ευθεία (ζ) διχοτομεί το τμήμα ΒΓ, στο σημείο Μ.
β) Η ΚΜ διχοτόμος της γωνίας AM και ΜΛ διχοτόμος της γωνίας AM
γ) Το τρίγωνο ΚΜΛ είναι ορθογώνιο
18. Να προσδιορισθούν οι σχετικές θέσεις των κύκλων (Κ, ρ) και ,
2
 
 
 
αν
i.
2

 
ii. ΚΛ= ρ
iii. ΚΛ= 2ρ
iv. ΚΛ= 3ρ
v. ΚΛ= 4ρ
19. Σε κύκλο κέντρου Κ φέρνουμε τρεις διαμέτρους ΑΑ΄, ΒΒ΄ και ΓΓ΄ . Να αποδείξετε
ότι:
α) ΑΒ = Α΄Β΄ και ΑΓ = Α΄Γ΄ β) Τα τόξα AB A'B'
γ) Τα αποστήματα των χορδών Β’Γ και ΒΓ’ είναι ίσα

– Τρίγωνα
20. Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία Α, Β και Γ. ΝΑ βρείτε σημείο Μ του
επιπέδου, ώστε τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΒΓ να είναι ισοσκελή.
21. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και η διχοτόμος ΑΔ της γωνίας A. Φέρνουμε την
κάθετη ΒΖ στην ΑΔ, οποία τέμνει την ΑΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι:
i. Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι
ισοσκελές
ii. Η ΑΔ είναι διχοτόμος της B E
22. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος του ΑΔ. Προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΔ
κατά τμήματα ΔΕ=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι:
i. ΑΒ=ΓΕ ii. AB A
A
2
 
 
23. (Είναι μια ειδική περίπτωση της άσκησης 15)
Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι σχέσεις ΒΓ = 2ΑΒ και B 2 . Φέρουμε τη διχοτόμο
της γωνίας B, η οποία τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Δ. Να αποδείξετε ότι:
i. Το ΒΓΔ είναι ισοσκελές
ii. Η γωνία 0
A 90
‘Άσκηση για ανήσυχους μαθητές!
Δύο τρίγωνα έχουν πέντε βασικά τους στοιχεία ίσα (πλευρές ή γωνίες).
Υπάρχει περίπτωση να είναι άνισα ;Δικαιολογήστε την απάντησή σας‼
Σημείωση: Θεωρούμε ότι γνωρίζουμε την έννοια της ομοιότητας τριγώνων.
Σχόλιο : Η παραπάνω άσκηση είναι μία προσέγγιση του προβλήματος των δύο μέσων
αναλόγων του Ιπποκράτη του Χίου. Περιέχεται στο βιβλίο ψυχαγωγικών μαθηματικών του
Martin Gardner " Το τσίρκο των Μαθηματικών " ελληνική έκδοση Τροχαλία.
Υπόδειξη – Παράδειγμα:
Τα τρίγωνα με ακέραιες πλευρές τους αριθμούς:
(1ο τρίγωνο) α = 18, β = 12, γ = 27 (2ο τρίγωνο) β, x = 8, α και τις γωνίες τους αντίστοιχα ίσες
Τα τρίγωνα είναι όμοια, αλλά όχι ίσα, ενώ έχουν 5 στοιχεία αντίστοιχα ίσα‼
Βρείτε και άλλα παραδείγματα τέτοιων τριγώνων.

3o Κεφάλαιο Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to 3o Κεφάλαιο Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου

More from Μάκης Χατζόπουλος

Recently uploaded

3o Κεφάλαιο Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου