שיטות הסתברותיות תרגול מס' 3. 2007 קומבינטוריקה: כלל סכום, כלל כפל, ,הוכחות קומבינטוריות, פעולות על קבוצות, עקרון הכלה והדחה.

1. ‫הסתברותיות‬ ‫שיטות‬
'‫מס‬ ‫תרגול‬3.
2007
:‫קומבינטוריקה‬
,‫כפל‬ ‫כלל‬ ,‫סכום‬ ‫כלל‬
n
rP
r
n
,





,‫קומבינטוריות‬ ‫,הוכחות‬
.‫והדחה‬ ‫הכלה‬ ‫עקרון‬ ,‫קבוצות‬ ‫על‬ ‫פעולות‬
:‫להסתברות‬ ‫מבוא‬
.‫יסוד‬ ‫מושגי‬
,‫הסתברות‬ ‫פונקציה‬ ‫של‬ ‫תכונות‬ ,‫סימטרית‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחבי‬
,‫מותנה‬ ‫והדחה,הסתברות‬ ‫הכלה‬ ‫עקרון‬
.‫בייס‬ ‫נוסחת‬ ,‫השלמה‬ ‫הסתברות‬ ‫נוסחת‬
1.:‫קומבינטוריקה‬
1.:‫הסכום‬ ‫כלל‬Disjunctive or Sum Rule:
i.-‫ב‬ ‫לעשות‬ ‫ניתן‬ '‫א‬ ‫משימה‬ ‫אם‬m-‫ב‬ '‫ב‬ ‫אחרת‬ ‫ומשימה‬ ,‫דרכים‬n
-‫ב‬ ‫המשימות‬ ‫משתי‬ ‫אחד‬ ‫לממש‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ .‫דרכים‬m+n.‫דרכים‬
ii..‫משימות‬ ‫של‬ ‫כלשהו‬ ‫סופי‬ ‫למספר‬ ‫להכליל‬ ‫ניתן‬ ‫הסכום‬ ‫כלל‬
iii.:‫דוגמא‬
‫בכיתה‬ ‫אם‬20-‫ו‬ ‫בנים‬10‫קיימות‬ ‫אזי‬ ‫בנות‬30‫לבחור‬ ‫אפשרויות‬
.‫בת‬ ‫או‬ ‫בן‬ :‫סטודנט‬
2.:‫הכפל‬ ‫כלל‬Sequential or Product rule:
i.-‫ב‬ ‫לממש‬ ‫ניתן‬ '‫א‬ ‫משימה‬ ‫אם‬m-‫ב‬ '‫ב‬ ‫ומשימה‬ ,‫דרכים‬n‫דרכים‬
‫בדרך‬ ‫תלוי‬ ‫לא‬ ‫בי‬ ‫משימת‬ ‫לממש‬ ‫ניתן‬ ‫שבו‬ ‫אפשרויות‬ ‫מספר‬ ‫ובנוסף‬
1

2. ‫זמנית‬ ‫בו‬ ‫משימות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫לממש‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ .‫אי‬ ‫משימה‬ ‫מימשנו‬ ‫שבה‬
-‫ב‬mn.‫אפשרויות‬
ii..‫משימות‬ ‫של‬ ‫כלשהו‬ ‫סופי‬ ‫למספר‬ ‫להכליל‬ ‫ניתן‬ ‫הכפל‬ ‫כלל‬
iii.‫דוגמא‬:
‫בכיתה‬ ‫אם‬20-‫ו‬ ‫בנים‬10‫קיימות‬ ‫אזי‬ ‫בנות‬200‫לבחור‬ ‫אפשרויות‬
.‫ובן‬ ‫בת‬ :‫סטודנטים‬ ‫זוג‬
3.‫בחירה‬‫החזרה‬ ‫ללא‬,r‫מתוך‬ ‫איברים‬n‫שונים‬ ‫איברים‬‫כאשר‬‫בין‬ ‫סדר‬
‫חשוב‬ ‫כן‬ ‫הנבחרים‬ ‫האיברים‬.n
rP
:‫הכפל‬ ‫עקרון‬ ‫לפי‬
: ‫ראשון‬ ‫איבר‬ ‫לבחור‬n.‫אפשרויות‬
: ‫שני‬ ‫איבר‬ ‫לבחור‬1-n.‫אפשרויות‬
...
‫איבר‬ ‫לבחור‬r: ‫י‬n-r+1.‫אפשרויות‬
:‫סה"כ‬ ‫ולכן‬
)!(
!
)1(*...*)1(
rn
n
rnnnPn
r
−
=+−−=
i.:‫תרגיל‬
‫להעמיד‬ ‫ניתן‬ ‫אופנים‬ ‫בכמה‬n?‫בתור‬ ‫אנשים‬
:‫תשובה‬
!nPn
n =
ii.:‫תרגיל‬
‫מתוך‬30‫לבחור‬ ‫יש‬ ‫אנשים‬10‫מאנשים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ .‫אנשים‬
‫אלה‬ ‫שיקבלו‬ ‫הפרסים‬ ‫משאר‬ ‫שונה‬ ‫פרס‬ ‫יקבל‬ ‫הנבחרים‬
?‫האלו‬ ‫האנשים‬ ‫את‬ ‫לבחור‬ ‫ניתן‬ ‫אופנים‬ ‫בכמה‬ .‫שנבחרו‬
:‫תשובה‬
21*...*28*29*30
!20
!3030
10 ==P
4.‫בחירה‬‫החזרה‬ ‫ללא‬,r‫מתוך‬ ‫איברים‬n‫שונים‬ ‫איברים‬‫כאשר‬‫בין‬ ‫סדר‬
‫חשוב‬ ‫לא‬ ‫הנבחרים‬ ‫האיברים‬.






=
r
n
Cn
r
2

3. ‫לבחור‬ ‫ניתן‬ ,‫חשוב‬ ‫כן‬ ‫האיברים‬ ‫בין‬ ‫הסדר‬ ‫כאשר‬r-‫ב‬ ‫איברים‬)!(
!
rn
n
Pr
n
−
=
‫האפשריים‬ ‫מסידורים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫סופרנו‬ ‫כי‬ ‫מיותרת‬ ‫ספירה‬ ‫עשינו‬ ‫אבל‬ .‫דרכים‬
‫של‬r-‫ב‬ ‫התוצאה‬ ‫את‬ ‫לחלק‬ ‫יש‬ ‫ולכן‬ ‫איברים‬r.!
)!(!
!
! rnr
n
r
P
r
n
C
n
rn
r
−
==





=
i.:‫תרגיל‬
‫מתוך‬ ‫לבחור‬ ‫ניתן‬ ‫אופנים‬ ‫בכמה‬40,‫סטודנטים‬10‫סטודנטים‬
?‫שישי‬ ‫יום‬ ‫של‬ ‫תרגול‬ ‫לקבוצת‬ ‫שיגיעו‬
:‫פתרון‬
1*2*...*8*9*10
31*32*...*39*40
10
40
=





ii.:‫תרגיל‬
‫לשכן‬ ‫יש‬5-‫ב‬ ‫-תיירים‬7‫לעשות‬ ‫ניתן‬ ‫אופנים‬ ‫בכמה‬ .‫מלון‬ ‫בתי‬
:‫ש‬ ‫כך‬ ‫זה‬
1.?‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫אחד‬ ‫תייר‬ ‫יהי‬ ‫מלון‬ ‫בית‬ ‫בכל‬
:‫פתרון‬
:‫כפל‬ ‫עקרון‬ ‫לפי‬
:‫ראשון‬ ‫תייר‬ ‫נשכן‬7.‫אפשרויות‬
:‫שני‬ ‫תייר‬ ‫נשכן‬6.‫אפשרויות‬
...
:‫חמשי‬ ‫תייר‬ ‫נשכן‬3.‫אפשרויות‬
7
53*4*5*6*7 P=
2.?‫אחד‬ ‫מלון‬ ‫בבית‬ ‫יהיו‬ ‫התיירים‬ ‫כל‬
:‫פתרון‬
.‫התיירים‬ ‫כל‬ ‫ישוכנו‬ ‫שבו‬ ‫מלון‬ ‫בית‬ ‫לבחור‬ ‫יש‬
3

4. 





1
7
3.'‫ב‬ ‫מלון‬ ‫בבית‬ ,‫אחד‬ ‫תייר‬ ‫יהי‬ '‫א‬ ‫מלון‬ ‫בית‬3‫ובבית‬ ‫תיירים‬
.‫אחד‬ ‫תייר‬ '‫ג‬ ‫מלון‬
:‫פתרון‬
:‫כפל‬ ‫עקרון‬ ‫לפי‬
:‫אי‬ ‫מלון‬ ‫לבית‬ ‫אחד‬ ‫תייר‬ ‫נבחר‬






1
5
.
‫נבחר‬3:'‫ב‬ ‫מלון‬ ‫לבית‬ ‫תיירים‬






3
4
.
:'‫ג‬ ‫מלון‬ ‫לבית‬ ‫אחד‬ ‫תייר‬ ‫נבחר‬






1
1
.
4

5. :‫סה"כ‬ ‫נקבל‬ ‫ולכן‬


















1
1
3
4
1
5
.
4.‫עם‬ ‫מלון‬ ‫בית‬ ‫ויהי‬ ‫אחד‬ ‫תייר‬ ‫עם‬ ‫מלון‬ ‫בית‬ ‫יהי‬4?‫תיירים‬
:‫פתרון‬
:‫כפל‬ ‫עקרון‬ ‫לפי‬
:‫אחד‬ ‫תייר‬ ‫יהי‬ ‫שבו‬ ‫מלון‬ ‫בית‬ ‫נבחר‬






1
7
.
:‫זה‬ ‫מלון‬ ‫בבית‬ ‫ישוכן‬ ‫אשר‬ ‫תייר‬ ‫נבחר‬






1
5
.
‫יהיו‬ ‫שבו‬ ‫מלון‬ ‫בית‬ ‫נבחר‬4:‫אחד‬ ‫תיירים‬






1
6
.
5

6. ‫נבחר‬4:‫זה‬ ‫מלון‬ ‫בבית‬ ‫שיהיו‬ ‫תיירים‬






4
4
.
:‫סה"כ‬ ‫נקבל‬ ‫ולכן‬
























4
4
1
6
1
5
1
7
.
5.‫עם‬ ‫מלון‬ ‫בתי‬ ‫שתי‬ ‫יהיו‬2.‫אחד‬ ‫תייר‬ ‫עם‬ ‫מלון‬ ‫ובית‬ ‫תיירים‬
:‫פתרון‬
:‫כפל‬ ‫עקרון‬ ‫לפי‬
‫יהיו‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫שבכל‬ ‫מלון‬ ‫ביתי‬ ‫שתי‬ ‫נבחר‬2
:‫תיירים‬






2
7
.
6

7. ‫נבחר‬2‫ראשון‬ ‫מלון‬ ‫בבית‬ ‫יהיו‬ ‫אשר‬ ‫תיירים‬
:‫שבחרנו‬ ‫אלו‬ ‫מתוך‬






2
5
.
‫נבחר‬2‫מתוך‬ ‫שני‬ ‫מלון‬ ‫בבית‬ ‫יהיו‬ ‫אשר‬ ‫תיירים‬
:‫שבחרנו‬ ‫אלו‬






2
3
.
:‫אחד‬ ‫תייר‬ ‫יהי‬ ‫שבו‬ ‫מלון‬ ‫בית‬ ‫נבחר‬






1
5
.
:‫זה‬ ‫מלון‬ ‫לבית‬ ‫שישוכן‬ ‫תייר‬ ‫נבחר‬






1
1
.
7

8. :‫סה"כ‬ ‫נקבל‬ ‫ולכן‬






























1
1
1
5
3
2
2
5
2
7
.
6..'‫ב‬ ‫מלון‬ ‫בית‬ ‫או‬ '‫א‬ ‫מלון‬ ‫בבית‬ ‫יהיו‬ ‫תיירים‬ ‫כל‬
5
2
7.‫מבית‬ ‫אחד‬ ‫ואף‬ '‫ב‬ ‫מלון‬ ‫בית‬ ‫או‬ '‫א‬ ‫מלון‬ ‫בבית‬ ‫יהיו‬ ‫תיירים‬ ‫כל‬
.‫ריק‬ ‫יהי‬ ‫לא‬ ‫האלו‬ ‫מלון‬
225
−
iii.‫להשיב‬ ‫ניתן‬ ‫אופנים‬ ‫בכה‬n‫ו‬ ‫-גברים‬n‫שבין‬ ‫כך‬ ,‫בשורה‬ ‫-נשים‬
.‫אישה‬ ‫תהי‬ ‫גברים‬ ‫שני‬ ‫כל‬
)!)(!(2 nn
5.:‫קומבינטוריות‬ ‫הוכחות‬
i..‫שוויון‬ ‫להוכיח‬ ‫מנת‬ ‫על‬ ‫קומבינטוריות‬ ‫בהוכחות‬ ‫משתמשים‬
8

9. ii.‫שאלה‬ ‫למצוא‬ ‫יש‬ ,‫קומבינטורי‬ ‫באופן‬ ‫שיוון‬ ‫להוכיח‬ ‫מנת‬ ‫על‬
:‫ש‬ ‫כך‬
‫ספירה‬ ‫מבצעים‬ ‫כאשר‬ ,‫לשאלה‬ ‫פתרון‬ ‫הינו‬ ‫השוויון‬ ‫של‬ ‫ימני‬ ‫אגף‬
‫מבצעים‬ ‫כאשר‬ ‫שאלה‬ ‫של‬ ‫פתרון‬ ‫גם‬ ‫הינו‬ ‫שמולי‬ ‫ואגף‬ ‫אחד‬ ‫באופן‬
.‫אחר‬ ‫באופן‬ ‫ספירה‬
iii.:‫דוגמא‬
:‫כי‬ ‫הוכח‬





−
+





−
−
=





r
n
r
n
r
n 1
1
1
:‫פתרון‬
‫החזרה‬ ‫בלי‬ ‫לבחור‬ ‫ניתן‬ ‫אופנים‬ ‫בכמה‬r‫מתוך‬ ‫-איברים‬n-
?‫חשוב‬ ‫לא‬ ‫הסדר‬ ‫כאשר‬ ‫שונים‬ ‫איברים‬
: ‫היום‬ ‫ראינו‬ :‫שמולי‬ ‫אגף‬






r
n
.
.‫סכום‬ ‫בכלל‬ ‫להשתמש‬ ‫ניתן‬ :‫ימני‬ ‫אגף‬
‫לבחור‬ ‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫קיימים‬r‫מתוך‬ ‫-איברים‬n.
‫לבחור‬ ‫נצטרך‬ ‫ואז‬ .‫יבחר‬ ‫אחרון‬ ‫איבר‬ (‫א‬r-1‫מתוך‬ ‫-איברים‬
9

10. n-1:(‫אחרון‬ ‫מאיבר‬ ‫חוץ‬ ‫האיברים‬ ‫איברים)כל‬






−
−
1
1
r
n
.
‫לבחור‬ ‫נצטרך‬ ‫ואז‬ .‫יבחר‬ ‫לא‬ ‫אחרון‬ ‫איבר‬ (‫ב‬r‫מתוך‬ ‫-איברים‬
n-1:





 −
r
n 1
iv.:‫דוגמא‬
:‫כי‬ ‫הוכח‬





+






+
=




−
1
1
1
1 r
r
n
r
n
n
:‫פתרון‬
‫מתוך‬ ‫לבחור‬ ‫ניתן‬ ‫אופנים‬ ‫בכמה‬n-‫ו‬ ‫אחד‬ ‫מנהיג‬ ‫-אנשים‬r?‫נציגים‬
.‫מיידי‬ :‫שמולי‬ ‫אגף‬
.‫:מיידי‬ ‫ימיני‬ ‫אגף‬
10

11. 6.:‫קבוצות‬ ‫על‬ ‫פעולות‬
7..‫והדחה‬ ‫הכלה‬ ‫עקרון‬
||||||||||||||||
||||||||||||||
CBACBCABACBACBA
ABBABABABA
∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪
−+=∩−+=∪
.‫קבוצות‬ ‫של‬ ‫כלשהו‬ ‫סופי‬ ‫למספר‬ ‫הנוסחא‬ ‫את‬ ‫להכליל‬ ‫ניתן‬
i.:‫תרגיל‬
-‫ב‬ ‫נסמן‬S-‫מ‬ ‫הקטנים‬ ‫הראשוניים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬100.
‫של‬ ‫גודל‬ ‫מצא‬S.
:‫פתרון‬
11

12. -‫ב‬ ‫נסמן‬iA-‫מי‬ ‫הקטנים‬ ‫המספרים‬ ‫-קבוצת‬100-‫ב‬ ‫המתחלקים‬i.:‫אזי‬
2547899
78
210
100
70
100
105
100
42
100
30
100
35
100
21
100
15
100
14
100
10
100
6
100
7
100
5
100
3
100
2
100
||
||||||||
||||||||||||
|||||||||)(|
99|]100..2[|
4|)(||]100..2[|||
}7,5,3,2{)(]100..2[
7532
752753732532
757353725232
75327532
7532
7532
=+−=
=



−
−



+



+



+



+
+



−



−



−



−



−



−
−



+



+



+



=−
−++++
+−−−−−−
−+++=∪∪∪
=
+∪∪∪=
∪∪∪∪=
S
AAAA
AAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAA
AAAAAAAA
AAAAS
AAAAS
2.:‫להסתברות‬ ‫מבוא‬
1.‫הגדרה‬‫מיקרי‬ ‫ניסוי‬ :.‫לניבוי‬ ‫ניתנת‬ ‫אינה‬ ‫שתוצאתה‬ ‫פעולה‬ ‫כל‬ –
2.:‫הגדרה‬‫המדגם‬ ‫מרחב‬‫אוסף‬ –‫כל‬.‫האפשרויות‬ ‫התוצאות‬
3.:‫הגדרה‬‫מאורע‬.‫האפשרויות‬ ‫התוצאות‬ ‫של‬ ‫חלקית‬ ‫קבוצה‬ –
4.:‫הגדרה‬‫פשוט‬ ‫מאורע‬.‫אחד‬ ‫תוצאה‬ ‫רק‬ ‫מכיל‬ –
5.:‫הגדרה‬‫מאורעות‬A-‫ו‬B‫זרים‬‫אם‬ ,φ=∩BA
6.: ‫הגדרה‬‫הסתברות‬ ‫מרחב‬‫שלישיה‬ ‫זה‬ –),,( PΑΩ:‫כאשר‬
i.Ω.‫עצמים‬ ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ ‫קבוצה‬ – ‫מדגם‬ ‫מרחב‬ -
ii.A‫של‬ ‫חלקיות‬ ‫קבוצות‬ ‫אוסף‬ -Ω:‫המקיים‬
A∈φ
‫אם‬AX ∈‫אזי‬Α∈X
‫אם‬Ω∈YX ,‫אזי‬Ω∈∪YX
12

13. iii.P‫מאורע‬ ‫לכל‬ ‫המתאימה‬ ‫הסתברות‬ ‫פונקציה‬ –AX ∈‫מספר‬
– ‫שלילי‬ ‫אי‬ ‫ממשי‬P(X:‫ש‬ ‫כך‬ (
1.1)( =ΩP
2.‫אם‬nAA ,...,1‫אזי‬ ,‫בזוגות‬ ‫זרים‬

n
i
n
i
ii APAP
1 1
)()(
= =
∑=
.
7.:‫דוגמא‬
}6,5,4,3,2,1{=Ω
i.A‫טריוויאלי‬ ‫שדה‬ –},{ Ωφ.
ii.‫מאורע‬ ‫נגדיר‬}3,2,1{=X‫אזי‬},,,{ Ω= φXXA.
iii.)(Ω= PA.
8.‫לשדה‬ ‫לצרף‬ ‫נהוג‬A‫של‬ ‫קבוצות‬ ‫תתי‬ ‫כל‬Ω.‫אפשרי‬ ‫תמיד‬ ‫לא‬ ‫זה‬ ‫אבל‬ ,
9..‫סימטרית‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחבי‬
i.},...,{ 1 nww=Ω-‫ב‬ ‫כלומר‬Ω.‫איברים‬ ‫של‬ ‫סופי‬ ‫מספר‬ ‫יש‬
ii.)(Ω= PA.
iii.||
1
)(
Ω
=iwP
iv.‫אזי‬||
||
||
1
)(
:
Ω
=
Ω
=
∑
∈ X
XP
Xwi i
10.:‫הסתברות‬ ‫פונקציה‬ ‫של‬ ‫תכונות‬
)()()()(
)(){
)()(
1)(0
)(1)(
0)(
1 1
ABPBPAPBAP
XPXP
BPAPBA
XP
XPXP
P
n
i
n
i
ii
−+=∪
≤
≤⇒⊆
≤≤
−=
=
= =
∑
φ
13

14. 11.:‫תרגיל‬
.‫אחד‬ ‫פעם‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬
:‫נסמן‬
A-‫ל‬ ‫שווה‬ ‫:תוצאה‬1.
B.‫זוגית‬ ‫תוצאה‬ ‫:קיבלנו‬
C‫ל‬ ‫שווה‬ ‫:תוצאה‬10.
‫אזי‬
0
6
0
||
||
)(
6
3
||
||
)(
6
1
||
||
)( ==
Ω
==
Ω
==
Ω
=
C
CP
B
BP
A
AP
12.‫תרגיל‬:
‫מטילים‬2.‫סימטריות‬ ‫קוביות‬
:‫נסמן‬
X-‫ל‬ ‫שווה‬ ‫התוצאות‬ ‫סכום‬ –3.
Y-‫ל‬ ‫שווה‬ ‫התוצאות‬ ‫סכום‬ -4.
‫אזי‬
36
3
)(
36
2
)( == YPXP.
13.:‫תרגיל‬
i.n-‫ל‬ ‫באקראי‬ ‫זורקים‬ ‫שונים‬ ‫כדורים‬m.‫שונים‬ ‫תאים‬
ii.?‫ראשון‬ ‫בתא‬ ‫יהיו‬ ‫הכדורים‬ ‫שכל‬ ‫הסתברות‬ ‫מהי‬
n
m
A
AP
1
||
||
)( =
Ω
=
iii.?‫תא‬ ‫באותו‬ ‫יהיו‬ ‫הכדורים‬ ‫שכל‬ ‫הסתברות‬ ‫מהי‬
n
m
m
BP






=
1
)(
14

15. iv.?‫תאים‬ ‫בשתי‬ ‫בדיוק‬ ‫יהיו‬ ‫הכדורים‬ ‫שכל‬ ‫הסתברות‬ ‫מהי‬
n
n
m
m
CP
)22(
2
)(
−





=
v.?‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫אחד‬ ‫כדור‬ ‫יהי‬ ‫תא‬ ‫שבכל‬ ‫הסתברות‬ ‫מהי‬
n
n
nn
m
m
nmm
m
m
nmmm
DP
nm
)(
)!(
!)1(*...*)1(*
)( =
−
=
+−−
=
≥
vi.n=7 m=5
‫עם‬ ‫תא‬ ‫שיהיה‬ ‫הסתברות‬ ‫מהי‬3‫כדורים‬ ‫שתי‬ ‫עם‬ ‫תאים‬ ‫ושתי‬ ‫כדורים‬
?‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫בכל‬
15

16. 7
5
2
2
2
4
2
4
3
7
1
5
)(






























=EP
.
14.:‫דוגמאות‬
i.:‫לוטו‬
‫מתוך‬40:‫מספרים‬40...1‫מסמנים‬6.‫מספרים‬
‫מגרילים‬ ‫במשחק‬6.(‫אחיד‬ ‫אקראי‬ ‫שונים)באופן‬ ‫מספרים‬
:‫מאורעות‬ ‫שתי‬ ‫נגדיר‬
A‫ניחשנו‬ -6.‫מספרים‬
16

17. -B‫ניחשנו‬4.‫מספרים‬
:‫מצא‬P(A) ,P(B(


















=






=
6
40
2
34
4
6
)(
6
40
1
)(
BP
AP
ii.‫בכיתה‬40‫סטודנטים‬ ‫שתי‬ ‫לפחות‬ ‫שיש‬ ‫ההסתברות‬ ‫מהי‬ .‫סטודנטים‬
?‫יום‬ ‫באותו‬ ‫הולדת‬ ‫יום‬ ‫עם‬
814.0
365
331...*363*364*365
1)(1)( 35
=−=−= APAP
3.:‫הסתברות‬ ‫פונקציה‬ ‫של‬ ‫תכונות‬
17

18. )()()()(
)(){
)()(
1)(0
)(1)(
0)(
1 1
ABPBPAPBAP
XPXP
BPAPBA
XP
XPXP
P
n
i
n
i
ii
−+=∪
≤
≤⇒⊆
≤≤
−=
=
= =
∑
φ
4.:‫והדחה‬ ‫הכלה‬ ‫עקרון‬
1.)Pr()Pr()Pr()Pr( ABBABA −+=∪
2.n‫האנשים‬ ‫כאשר‬ .‫שלו‬ ‫מטריה‬ ‫עם‬ ‫הגיע‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ,‫למסיבה‬ ‫הגיעו‬ ‫אנשים‬
.(‫אקראי)אחיד‬ ‫באופן‬ ‫אחד‬ ‫המטריה‬ ‫את‬ ‫לקח‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ,‫עזבו‬
‫מאורע‬ ‫נגדיר‬A.‫שלו‬ ‫מטריה‬ ‫לקח‬ ‫אחד‬ ‫אדם‬ ‫בן‬ ‫לפחות‬ –
‫מצה‬Pr(A.(
:‫פתרון‬
-‫ב‬ ‫נסמן‬iA'‫מס‬ ‫אדם‬ ‫בן‬ - ‫מאורע‬i‫אזי‬ .‫שלו‬ ‫המטריה‬ ‫את‬ ‫לקח‬
18

19. 6.0
1
1
!
1
....
!3
1
!2
1
1
!
1
....
!
)!2(
2!
)!1(
1
)....()....(
2
)(
1
)....(
...
)(......)(
)(...)(
)(...)()(
)...()(
21211
21
12321
121
21
21
≈− →±+−=
=





±
−






−
−






=
=





±





−





=±
++
+−−−
−++
=∪∪∪=
−−
−
en
nn
n
n
nn
n
nn
AAAP
n
n
AAP
n
AP
n
AAAP
AAAPAAAP
AAPAAP
APAPAP
AAAPAP
n
n
nnn
nn
n
n
5.:‫מותנה‬ ‫הסתברות‬
1.‫בניסוי‬ ‫לפעמים‬‫מסוים‬‫נתונה‬.‫נוספת‬ ‫אינפורמציה‬
19

20. 2..‫זוגית‬ ‫שהתוצאה‬ ‫ידוע‬ ‫אבל‬ ‫קובייה‬ ‫זריקת‬ ‫של‬ ‫תוצאה‬ ‫מהי‬ ‫ידוע‬ ‫לא‬ ‫למשל‬
3.‫אינפורמציה‬‫זו‬‫עשויה‬‫לשנות‬‫את‬‫ההסתברות‬‫של‬‫מאורע‬.‫מסוים‬
4.‫נדון‬‫בהשפעה‬‫של‬‫התרחשות‬‫מאורע‬‫אחד‬‫על‬‫סיכויי‬‫ההתרחשות‬‫של‬‫מאורע‬
‫שני‬.
5.‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ ‫בהינתן‬( )P,, ΑΩ:‫מאורעות‬ ‫ושתי‬A,B‫ש‬ ‫כך‬( ) 0BP >.
‫מאורע‬ ‫של‬ ‫מותנה‬ ‫הסתברות‬A‫מאורע‬ ‫בהינתן‬B:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫מוגדרת‬ ,
( ) ( )
( )BP
ABP
BAP =
6.:‫מקבלים‬ ‫המותנה‬ ‫הסתברות‬ ‫של‬ ‫מהגדרה‬
)()|()()|()( APABPBPBAPABP ==
7.:‫יותר‬ ‫כללי‬ ‫באופן‬ ‫או‬
)()|()|()( CPCBPBCAPABCP =
8.‫הסתברות‬‫מותנה‬‫היא‬‫פונקצית‬‫הסתברות‬‫לגיטימית‬,‫ולכן‬‫היא‬‫מקיימת‬‫את‬
‫כל‬‫התכונות‬‫של‬‫פונקציה‬:‫הסתברות‬
i.0=φ )B(P
ii.‫אם‬nA...,,A,A 21‫מאורעות‬‫זרים‬‫בזוגות‬‫אזי‬
∑−=
=
n
i
i
n
i
i )BA(P)BA(P
11

)‫תכונת‬‫האדיטיביות‬‫הסופית‬(.
iii.‫יהיו‬A1, A2‫ו‬-B‫מאורעות‬‫במרחב‬‫הסתברות‬,‫כך‬‫ש‬21 AA ⊂‫אזי‬
)BA(P)BA(P 21 ≤
.
iv.‫מאורע‬ ‫לכל‬A‫מתקיים‬:10 ≤≤ )BA(P
v.‫מאורע‬ ‫לכל‬A‫מתקיים‬:)BA(P)BA(P −=1
vi.‫אם‬nA...,,A,A 21‫אזי‬ ‫כלשהם‬ ‫מאורעות‬
∑−=
≤
n
i
i
n
i
i )BA(P)BA(P
11

.
9.‫יהיו‬A‫ו‬-B‫מאורעות‬‫במרחב‬‫הסתברות‬.A‫ו‬-B‫נקראים‬‫מאורעות‬
‫בלתי‬‫תלויים‬‫אם‬ (‫)בזוגות‬‫מתקיים‬:
)()()( BPAPBAP ⋅=∩.
20

21. 10.‫יהיו‬A‫ו‬-B‫מאורעות‬‫במרחב‬‫הסתברות‬.A‫ו‬-B‫אם‬ ‫תלויים‬ ‫בלתי‬
:‫מתקיים‬)()|( APBAP =‫או‬)()|( BPABP =
11.‫תרגילים‬:
i..‫סימטריות‬ ‫קוביות‬ ‫שתי‬ ‫מטילים‬:‫ב‬ ‫נסמן‬
X- ‫ל‬ ‫שווה‬ ‫ראשונה‬ ‫קובייה‬ ‫על‬ ‫תוצאה‬ –5.
Y-‫ל‬ ‫שווה‬ ‫שנייה‬ ‫קובייה‬ ‫על‬ ‫תוצאה‬ -2.
Z-‫ל‬ ‫שווה‬ ‫התוצאות‬ ‫–סכום‬6.
W-‫ל‬ ‫שווה‬ ‫התוצאות‬ ‫בין‬ ‫מינימום‬ –3.
1.:‫את‬ ‫חשב‬)Pr(X.
)Pr(
6
1
36
6
||
||
)Pr( Y
X
X ===
Ω
=
2.:‫את‬ ‫חשב‬)|Pr( YX.
)Pr(
6
1
6
1
36
1
)Pr(
)Pr(
)|Pr( X
Y
XY
YX ====
3.‫האם‬X-‫ו‬Y?‫ב"ת‬
:‫ו‬ ‫היות‬ ,‫כן‬)Pr()|Pr( XYX =
4.:‫את‬ ‫חשב‬)Pr(Z.
36
5
)Pr( =Z
5.:‫את‬ ‫חשב‬)Pr(W.
36
7
)Pr( =W
6.:‫את‬ ‫חשב‬)|Pr( ZW.
)Pr(
5
1
36
5
})3,3Pr({
)Pr(
)Pr(
)|Pr( W
Z
WZ
ZW ≠===
‫ולכן‬W-‫ו‬Z.‫תלויים‬ ‫הינם‬
21

22. 7.:‫את‬ ‫חשב‬)Pr(WY.
)Pr()Pr(0)Pr( YWWY ≠=
.‫תלוים‬ ‫תמיד‬ ,‫זרים‬ ‫מאורעות‬ :‫מסקנה‬
ii.n-‫ב‬ ‫נסמן‬ .‫בתור‬ ‫באקראי‬ ‫עומדים‬ ‫אנשים‬A-‫ה‬ ‫במקום‬ ‫עומד‬ ‫אבי‬ :
k- ‫ו‬ ,‫בתור‬ 'B.(‫ברצף‬ ‫דבקה‬ ‫לא‬ )‫משה‬ ‫לפני‬ ‫עומד‬ ‫אבי‬ :
:‫חשב‬)|( BAP
‫האם‬A-‫ו‬B?‫ב"ת‬
:‫פתרון‬
: ‫קודם‬ ‫הראנו‬2
1
)( =BP
n
AP
1
)( =
)1(
)(
1
!
)!2(
1
)(
)(
)|(
−
−
=
−




 −
==
n
kn
n
n
n
kn
AP
ABP
ABP
‫ולכן‬A-‫ו‬B‫כאשר‬ ‫תלוים‬2
1
)Pr(
)1(
)(
)|Pr( =≠
−
−
= B
n
kn
AB.
12.‫אי‬‫תלות‬‫של‬n:‫מאורעות‬
‫יהיו‬nA...,,A,A 21‫הסתברות‬ ‫במרחב‬ ‫מאורעות‬)PA,,(Ω.
‫המאורעות‬ ‫כי‬ ‫נאמר‬nA...,,A,A 21‫אם‬ ‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫מאורעות‬ ‫הם‬
‫אם‬ ‫ורק‬:
jifor)A(P)A(P)AA(P jiji ≠⋅=∩
22

23. kjifor)A(P)A(P)A(P)AAA(P kjikji ≠≠⋅⋅=∩∩
.
.

n
1i
n
1i
ii )A(P)A(P
= =
∏=
6.:‫השלמה‬ ‫ההסתברות‬ ‫נוסחת‬
1.‫נאמר‬‫כי‬‫המאורעות‬)‫הקבוצות‬(n21 A,...,A,A‫מחלקים‬‫את‬‫מרחב‬
‫המדגם‬‫אם‬‫ורק‬‫אם‬)‫כאשר‬n‫סופי‬‫או‬‫אינסופי‬:(
i.i
n
1i
A
=
=Ω 
ii.φ=∩ ji AA
‫לכל‬ji ≠.
‫דוגמא‬‫לחלוקה‬‫כזו‬‫בציור‬‫הבא‬‫מקרה‬ ‫עבור‬n = 9:
A4 A3 A2
A1
A7 A6 A5
A9 A8
2.‫השלמה‬ ‫ההסתברות‬ ‫נוסחת‬:
‫נתון‬‫מרחב‬‫הסתברות‬( )P, A,Ω,‫ויהיו‬n21 B...,B,B‫חלוקה‬,‫אזי‬:
( ) ( ) ( )i
n
1i
i BPBAPAP ⋅= ∑=
3.‫תרגיל‬:
‫בראשותנו‬3.‫תאים‬
‫ראשון‬ ‫בתא‬5-‫ו‬ ‫שחורים‬ ‫כדורים‬3.‫אדומים‬
‫שני‬ ‫בתא‬2-‫ו‬ ‫שחורים‬5.‫אדומים‬
.‫בלבד‬ ‫אחד‬ ‫שחור‬ ‫כדור‬ ‫שלישי‬ ‫בתא‬
-‫ל‬ ‫שווה‬ ‫תוצאה‬ ‫אם‬ .‫סימטרית‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬1‫כדור‬ ‫באקראי‬ ‫בוחרים‬
‫הינה‬ ‫תוצאה‬ ‫אם‬ .‫ראשון‬ ‫מתא‬2‫או‬3.‫שני‬ ‫מתא‬ ‫כדור‬ ‫באקראי‬ ‫בוחרים‬ ,
.‫שלישי‬ ‫מתא‬ ‫כדור‬ ‫באקראי‬ ‫בוחרים‬ ‫אחרת‬
-‫ב‬ ‫נסמן‬A‫שחור.מצא‬ ‫כדור‬ ‫הוצא‬P(A.(
:‫פתרון‬
: ‫נסמן‬
23

24. 1H.‫ראשון‬ ‫בתא‬ ‫בחרנו‬
2H.‫שני‬ ‫בתא‬ ‫בחרנו‬
3H
.‫שלישי‬ ‫בתא‬ ‫בחרנו‬
-‫ש‬ ‫לראות‬ ‫קל‬321 ,, HHH
‫הסתברות‬ ‫נוסחת‬ ‫לפי‬ ‫אזי‬ .‫חלוקה‬ ‫מהוות‬
:‫נקבל‬ ‫השלמה‬
7.0
6
3
*
1
1
6
2
*
7
2
6
1
*
8
5
6
3
)|(
6
2
)|(
6
1
)|(
)()|()()|()()|()(
321
332211
=++=
=++=
=++=
HAPHAPHAP
HPHAPHPHAPHPHAPAP
4.‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫הקושי‬ .‫הסתברויות‬ ‫לחישוב‬ ‫חזק‬ ‫כלי‬ ‫היא‬ ‫השלמה‬ ‫הסתברות‬ ‫נוסחת‬
.‫יעיל‬ ‫באופן‬ ‫חלוקה‬ ‫להגדיר‬
24