1. Τέσσερις ερωτήσεις σχετικές µε απλή αρµονική ταλάντωση.
Ερώτηση 1η
‘Ένα σώµα εκτελώντας απλή αρµονική ταλάντωση πηγαίνει από τη θέση Γ στη θέση ∆ έχοντας συνεχώς θετική
ταχύτητα σε χρόνο ∆t1. Αργότερα πηγαίνει από την ∆ στην Γ έχοντας συνεχώς αρνητική ταχύτητα σε χρόνο ∆t2.
Τότε:
Α) 1 2t t∆ = ∆ Β) 1 2t t∆ > ∆ Γ) 1 2t t∆ < ∆
Επιλέξατε την σωστή απάντηση και αιτιολογήσατε.
Απάντηση:
Κατά τη µετάβαση από το Γ στο ∆ το στρεφόµενο διαγράφει τη γωνία 1ϕ∆ ενώ κατά τη µετάβαση από το ∆
στο Γ τη γωνία 2ϕ∆ . Οι γωνίες αυτές είναι ίσες διότι:
Τα ορθογώνια τρίγωνα ∆ΕΟ και ∆ΖΟ είναι ίσα διότι έχουν
κοινή πλευρά και ίσες υποτείνουσες. Εποµένως; 1 2θ θ= .
Οµοίως 3 4θ θ= .
Είναι φανερό το ότι
1 3 2 4 2 1π θ θ π θ θ ϕ ϕ− − = − − ⇒ ∆ = ∆
Ίσες γωνίες διαγράφονται από το στρεφόµενο σε ίσους
χρόνους δηλαδή 2 1t t∆ = ∆ .
Ερώτηση 2η
‘Ένα σώµα εκτελώντας απλή αρµονική ταλάντωση πηγαίνει από τη θέση ισορροπίας στην θέση
2
A
x = +
έχοντας συνεχώς θετική ταχύτητα σε χρόνο ∆t1. Αργότερα πηγαίνει από την
2
A
x = + στην x A= + έχοντας
συνεχώς θετική ταχύτητα σε χρόνο ∆t2.
Τότε:
Α) 1 2t t∆ = ∆ Β) 1 22t t∆ = ∆ Γ) 2
1
2
t
t
∆
∆ =
Επιλέξατε την σωστή απάντηση και αιτιολογήσατε.
Απάντηση:
Κατά την µετάβαση από ην θέση ισορροπίας στην θέση
2
A
x = + το
στρεφόµενο διαγράφει γωνία 1ϕ∆ , ενώ κατά την µετάβαση από ην θέση
2
A
x = + στην θέση x A= + το στρεφόµενο διαγράφει γωνία 2ϕ∆ .
2 2
12
2 3
A
A
π
συν ϕ ϕ∆ = = ⇒ ∆ =
Η 1ϕ∆ είναι συµπληρωµατική της 2ϕ∆ οπότε 2
1
6 2
ϕπ
ϕ
∆
∆ = =
2 2 2
1 1 1
2 2 2
t t
t t
ϕ ω
ϕ ω
∆ ∆ ∆
∆ = ⇒ ∆ = ⇒ ∆ =
Γ
∆
1ϕ∆2ϕ∆
O
E Z
HΘ
1θ 2θ
3θ 4θ
1ϕ∆
2ϕ∆
A+
2
A
+
O

2. Ερώτηση 3η
‘Ένα σώµα εκτελώντας απλή αρµονική ταλάντωση πηγαίνει από τη θέση ισορροπίας στην θέση x A= +
έχοντας συνεχώς θετική ταχύτητα. Βρείτε ένα σηµείο Β τέτοιο ώστε η διαδροµή από την θέση ισορροπίας στο
Β να έχει την ίδια διάρκεια µε την διαδροµή από το Β στη θέση x A= + .
Απάντηση:
Κατά την µετάβαση από ην θέση ισορροπίας στην θέση Β το στρεφόµενο
διαγράφει γωνία 1ϕ∆ , ενώ κατά την µετάβαση από ην θέση Β στην θέση
x A= + το στρεφόµενο διαγράφει γωνία 2ϕ∆ .
Για να έχουν οι κινήσεις την ίδια διάρκεια πρέπει οι γωνίες να είναι ίσες µια και
το στρεφόµενο στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα.
Επειδή οι γωνίες είναι και ίσες και συµπληρωµατικές έχουµε:
1 2 2
2 2 2
4 2 2 2
A
A
π
ϕ ϕ συν ϕ
ΟΒ
∆ = ∆ = ⇒ ∆ = ⇒ = ⇒ ΟΒ =
Ερώτηση 4η
‘Ένα σώµα εκτελώντας απλή αρµονική ταλάντωση πηγαίνει από τη θέση Γ ( )0xΓ > στην θέση x A= +
έχοντας συνεχώς θετική ταχύτητα. Κατόπιν κινούµενο µε αρνητική ταχύτητα φτάνει στη θέση ∆ , συµµετρική
της Γ ως προς τη θέση ισορροπίας. ∆είξατε ότι η κίνηση διαρκεί µισή περίοδο.
Απάντηση:
Τα ορθογώνια τρίγωνα ΓΟΕ και ∆ΟΖ είναι ίσα διότι έχουν ίσες
υποτείνουσες και ΟΓ= Ο∆.
Εποµένως φ = θ.
Για να ισχύει αυτό πρέπει τα στρεφόµενα να ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Εποµένως το στρεφόµενο διαγράφει γωνία π , κίνηση που διαρκεί µισή
περίοδο.
1ϕ∆
2ϕ∆
A+
B
O
A+
Γ
O
∆
θ
ϕ
E
Z