SlideShare a Scribd company logo
‫חישוב הערך "פאי" בדיוק‬
‫של 5 טריליון* ספרות אחרי‬
          ‫הנקודה‬

                             ‫‪π‬‬
                                 ‫*5 טריליון = 000,000,000,000,5‬


  ‫התפרסם ב- 5 באוגוסט 0102‬
‫מהו המספר ‪?π‬‬
   ‫מייצג את היחס הקבוע בין היקף המעגל‬      ‫•‬
                                ‫לקוטרו.‬
     ‫קבוע מתמטי המופיע בנוסחאות רבות‬       ‫•‬
                   ‫במתמטיקה ובפיזיקה.‬
 ‫מספר אי רציונלי, כלומר אינו ניתן לכתיבה‬   ‫•‬
            ‫כיחס בין שני מספרים שלמים.‬
‫למספר פאי אורך אינסופי של ספרות מעבר‬       ‫•‬
‫לנקודה, שלעולם אינן חוזרות על עצמן )אינן‬
                              ‫מחזוריות(.‬
‫נקודות ציון דרך בחישוב הפאי‬
                          ‫• קירובים לפאי היו ידועים עוד‬
                          ‫בבבל ובמצרים העתיקה, אך‬
                        ‫ארכימדס הציג לראשונה שיטה‬
                              ‫המאפשרת לחשב אותו.‬

                        ‫• שיטתו מתבססת על כך שהיקף‬
                         ‫המעגל קטן מהיקפו של מצולע‬
                       ‫החוסם את המעגל וגדול מהיקפו‬
‫ארכימדס ))‪Archimedes‬‬
  ‫212-782( לפנה"ס(‬
                             ‫של מצולע החסום במעגל.‬
‫נקודות ציון דרך בחישוב הפאי‬
                       ‫בשנת 6951 השתמש ההולנדי לודולף ואן צאולן‬
                   ‫בשיטתו של ארכימדס, וחישב את ‪ π‬בדיוק של 02‬
                       ‫ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 53‬

  ‫לודולף ואן צאולן‬
                           ‫ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד‬
‫()‪Ludolph van Ceulen‬‬
     ‫0161-0451‬              ‫שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם‬
                       ‫הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־‪π‬‬
                                              ‫בשם מספר לודולף.‬
‫חישוב עדכני ומדויק יותר עבור הערך "פאי"‬
‫השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של ‪π‬‬
‫הביא לשיא זמני, שנקבע בשנת 0102, של חישוב 5 טריליון הספרות‬
         ‫הראשונות של פאי ע"י ‪ Alexander Yee‬ו- ‪.Shigeru Kondo‬‬
‫יש לציין, שב-1102 אותו צמד הצליח לחשב 01 טריליון ספרות מעבר‬
                                                     ‫לנקודה.‬
‫כלים לחישוב 5 טריליון הספרות הראשונות‬
                  ‫• התוכנה לחישוב נבנתה ע"י ‪.Yee‬‬

          ‫• המחשב בו הם השתמשו נבנה ע"י ‪.Kondo‬‬
             ‫מדובר במחשב המוגדר כ"מחשב אישי",‬
                ‫אולם נתוניו גבוהים בהרבה מהמחשב‬
                                 ‫הביתי הממוצע.‬

           ‫• לתוכנה לקח 09 ימים לחשב את 5 טריליון‬
                            ‫הספרות מעבר לנקודה.‬
             ‫כמו כן, נדרשו לה מעל ל-06 שעות לוודא‬
                                     ‫את התוצאה.‬
‫משמעות הגילוי העדכני ביותר עבור‬
            ‫הערך "פאי"‬
 ‫• מבחינה יישומית, יש לגילוי חשיבות פחותה יותר,‬
   ‫משום שלצורך זה ניתן להסתפק בדיוק של כמה‬
                  ‫עשרות ספרות מעבר לנקודה.‬

‫• מנגד, מהבחינה התיאורטית, גילוי זה מהווה אתגר‬
        ‫גדול, וכן לתוצאה זו חשיבות רבה בהפגנת‬
         ‫מהירותם של מחשבים ושל אלגוריתמים.‬
‫כיצד חישבו את 5 טריליון הספרות הראשונות‬
               ‫של פאי‬
‫האלגוריתם לחישוב פותח ע"י ‪ Yee‬עצמו, שבעברו‬                                  ‫•‬
    ‫פיתח אלגוריתמים ששברו שיאי חישוב עבור‬
        ‫קבועים נוספים, כגון קבוע ‪ e‬ויחס הזהב.‬
  ‫פאי חושב ע"י סכומים אינסופיים המתכנסים אל‬                                 ‫•‬
                                   ‫תוך עצמם.‬
‫האלגוריתם נובע מסדרה מתכנסת* הידועה בשם‬                                     ‫•‬
                       ‫‪. Chudnovsky formula‬‬
    ‫בהמשך ‪ Yee‬השתמש בשתי סדרות נוספות‬                                       ‫•‬
                              ‫לווידוא התוצאה.‬
      ‫*סדרה מתכנסת- היא סדרה שיש לה גבול. וגבול של סדרה הוא מספר, שאליו‬
                                   ‫הולכים ומתקרבים איברי הסדרה עד אינסוף.‬
‫הסדרה עליה‬
      ‫התבסס‬
      ‫החישוב‬




  ‫הסדרות בהן‬
     ‫השתמשו‬
‫לווידוא התוצאה‬
‫פעילות – המחשת המספר ‪π‬‬
 ‫כל תלמיד ישרטט על דף מעגל ובתוכו קוטר.‬      ‫•‬
     ‫כל תלמיד ימדוד בעזרת סרגל את אורך‬       ‫•‬
                                    ‫הקוטר.‬
          ‫כל תלמיד יקבל חוט, יניח את החוט‬    ‫•‬
       ‫מסביב למעגל, ימדוד את אורך החוט‬
          ‫שהקיף את המעגל בעזרת סרגל,‬
         ‫וכך ימצא למעשה את היקף המעגל.‬
            ‫התלמיד יחשב את היחס בין קוטר‬     ‫•‬
                         ‫המעגל לבין היקפו.‬
‫מה התוצאה שהתקבלה? השוו עם חברכם.‬            ‫•‬
‫ביבליוגרפיה‬
• http://plus.maths.org/content/computer-
  geeks-break-pi-record
• http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-
  5t/details.html

More Related Content

Viewers also liked

[Kpb] Epb.01a Enterpreuner
[Kpb] Epb.01a Enterpreuner[Kpb] Epb.01a Enterpreuner
[Kpb] Epb.01a Enterpreuner
Dhimas kasep
 
Roman architectonic elements
Roman architectonic elementsRoman architectonic elements
Roman architectonic elements
happyhospital
 
Introduction and Brief History of Computers
Introduction and Brief History of ComputersIntroduction and Brief History of Computers
Introduction and Brief History of Computers
DIrectorate of Information Technology, Govt. of KPK
 
Software architecture7
Software architecture7Software architecture7
Software architecture7
Ahmad Zee
 
11 Operation System Design And Planning
11 Operation System Design And Planning11 Operation System Design And Planning
11 Operation System Design And Planning
Dhimas kasep
 
PRODUCT AND SERVICE DESIGN
 PRODUCT AND SERVICE DESIGN  PRODUCT AND SERVICE DESIGN
PRODUCT AND SERVICE DESIGN
Alemayohu Workine
 
Fire detection system operation
Fire detection system operationFire detection system operation
Fire detection system operation
ganesanM.TECH,B.TECH ganesan
 
MS OFFICE 2010 VS 2007
MS OFFICE 2010 VS 2007MS OFFICE 2010 VS 2007
MS OFFICE 2010 VS 2007
Gurpreet Singh
 
Microsoft Office Project 2007 Tutorial
Microsoft Office Project 2007 TutorialMicrosoft Office Project 2007 Tutorial
Microsoft Office Project 2007 Tutorial
Anil Purushothaman
 
GENERATIONS OF COMPUTER
GENERATIONS OF COMPUTERGENERATIONS OF COMPUTER
GENERATIONS OF COMPUTER
Rajat More
 
fire detection and alarm system
fire detection and alarm systemfire detection and alarm system
fire detection and alarm system
singh1515
 
Satellite Repositioning
Satellite RepositioningSatellite Repositioning
Satellite Repositioning
Momentum Worldwide
 
GENERATION OF COMPUTERS.
GENERATION OF COMPUTERS.GENERATION OF COMPUTERS.
GENERATION OF COMPUTERS.
Sowjanya Sampathkumar
 
Fire Detection and Alarm Systems
Fire Detection and Alarm SystemsFire Detection and Alarm Systems
Fire Detection and Alarm Systems
J.T.A.JONES
 
Ms excel 2007
Ms excel 2007Ms excel 2007
Ms excel 2007
rgaotbgal261415
 

Viewers also liked (15)

[Kpb] Epb.01a Enterpreuner
[Kpb] Epb.01a Enterpreuner[Kpb] Epb.01a Enterpreuner
[Kpb] Epb.01a Enterpreuner
 
Roman architectonic elements
Roman architectonic elementsRoman architectonic elements
Roman architectonic elements
 
Introduction and Brief History of Computers
Introduction and Brief History of ComputersIntroduction and Brief History of Computers
Introduction and Brief History of Computers
 
Software architecture7
Software architecture7Software architecture7
Software architecture7
 
11 Operation System Design And Planning
11 Operation System Design And Planning11 Operation System Design And Planning
11 Operation System Design And Planning
 
PRODUCT AND SERVICE DESIGN
 PRODUCT AND SERVICE DESIGN  PRODUCT AND SERVICE DESIGN
PRODUCT AND SERVICE DESIGN
 
Fire detection system operation
Fire detection system operationFire detection system operation
Fire detection system operation
 
MS OFFICE 2010 VS 2007
MS OFFICE 2010 VS 2007MS OFFICE 2010 VS 2007
MS OFFICE 2010 VS 2007
 
Microsoft Office Project 2007 Tutorial
Microsoft Office Project 2007 TutorialMicrosoft Office Project 2007 Tutorial
Microsoft Office Project 2007 Tutorial
 
GENERATIONS OF COMPUTER
GENERATIONS OF COMPUTERGENERATIONS OF COMPUTER
GENERATIONS OF COMPUTER
 
fire detection and alarm system
fire detection and alarm systemfire detection and alarm system
fire detection and alarm system
 
Satellite Repositioning
Satellite RepositioningSatellite Repositioning
Satellite Repositioning
 
GENERATION OF COMPUTERS.
GENERATION OF COMPUTERS.GENERATION OF COMPUTERS.
GENERATION OF COMPUTERS.
 
Fire Detection and Alarm Systems
Fire Detection and Alarm SystemsFire Detection and Alarm Systems
Fire Detection and Alarm Systems
 
Ms excel 2007
Ms excel 2007Ms excel 2007
Ms excel 2007
 

חדשנות במתמטיקה מצגת הבזק אסנת

  • 1. ‫חישוב הערך "פאי" בדיוק‬ ‫של 5 טריליון* ספרות אחרי‬ ‫הנקודה‬ ‫‪π‬‬ ‫*5 טריליון = 000,000,000,000,5‬ ‫התפרסם ב- 5 באוגוסט 0102‬
  • 2. ‫מהו המספר ‪?π‬‬ ‫מייצג את היחס הקבוע בין היקף המעגל‬ ‫•‬ ‫לקוטרו.‬ ‫קבוע מתמטי המופיע בנוסחאות רבות‬ ‫•‬ ‫במתמטיקה ובפיזיקה.‬ ‫מספר אי רציונלי, כלומר אינו ניתן לכתיבה‬ ‫•‬ ‫כיחס בין שני מספרים שלמים.‬ ‫למספר פאי אורך אינסופי של ספרות מעבר‬ ‫•‬ ‫לנקודה, שלעולם אינן חוזרות על עצמן )אינן‬ ‫מחזוריות(.‬
  • 3. ‫נקודות ציון דרך בחישוב הפאי‬ ‫• קירובים לפאי היו ידועים עוד‬ ‫בבבל ובמצרים העתיקה, אך‬ ‫ארכימדס הציג לראשונה שיטה‬ ‫המאפשרת לחשב אותו.‬ ‫• שיטתו מתבססת על כך שהיקף‬ ‫המעגל קטן מהיקפו של מצולע‬ ‫החוסם את המעגל וגדול מהיקפו‬ ‫ארכימדס ))‪Archimedes‬‬ ‫212-782( לפנה"ס(‬ ‫של מצולע החסום במעגל.‬
  • 4. ‫נקודות ציון דרך בחישוב הפאי‬ ‫בשנת 6951 השתמש ההולנדי לודולף ואן צאולן‬ ‫בשיטתו של ארכימדס, וחישב את ‪ π‬בדיוק של 02‬ ‫ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 53‬ ‫לודולף ואן צאולן‬ ‫ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד‬ ‫()‪Ludolph van Ceulen‬‬ ‫0161-0451‬ ‫שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם‬ ‫הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־‪π‬‬ ‫בשם מספר לודולף.‬
  • 5. ‫חישוב עדכני ומדויק יותר עבור הערך "פאי"‬ ‫השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של ‪π‬‬ ‫הביא לשיא זמני, שנקבע בשנת 0102, של חישוב 5 טריליון הספרות‬ ‫הראשונות של פאי ע"י ‪ Alexander Yee‬ו- ‪.Shigeru Kondo‬‬ ‫יש לציין, שב-1102 אותו צמד הצליח לחשב 01 טריליון ספרות מעבר‬ ‫לנקודה.‬
  • 6. ‫כלים לחישוב 5 טריליון הספרות הראשונות‬ ‫• התוכנה לחישוב נבנתה ע"י ‪.Yee‬‬ ‫• המחשב בו הם השתמשו נבנה ע"י ‪.Kondo‬‬ ‫מדובר במחשב המוגדר כ"מחשב אישי",‬ ‫אולם נתוניו גבוהים בהרבה מהמחשב‬ ‫הביתי הממוצע.‬ ‫• לתוכנה לקח 09 ימים לחשב את 5 טריליון‬ ‫הספרות מעבר לנקודה.‬ ‫כמו כן, נדרשו לה מעל ל-06 שעות לוודא‬ ‫את התוצאה.‬
  • 7. ‫משמעות הגילוי העדכני ביותר עבור‬ ‫הערך "פאי"‬ ‫• מבחינה יישומית, יש לגילוי חשיבות פחותה יותר,‬ ‫משום שלצורך זה ניתן להסתפק בדיוק של כמה‬ ‫עשרות ספרות מעבר לנקודה.‬ ‫• מנגד, מהבחינה התיאורטית, גילוי זה מהווה אתגר‬ ‫גדול, וכן לתוצאה זו חשיבות רבה בהפגנת‬ ‫מהירותם של מחשבים ושל אלגוריתמים.‬
  • 8. ‫כיצד חישבו את 5 טריליון הספרות הראשונות‬ ‫של פאי‬ ‫האלגוריתם לחישוב פותח ע"י ‪ Yee‬עצמו, שבעברו‬ ‫•‬ ‫פיתח אלגוריתמים ששברו שיאי חישוב עבור‬ ‫קבועים נוספים, כגון קבוע ‪ e‬ויחס הזהב.‬ ‫פאי חושב ע"י סכומים אינסופיים המתכנסים אל‬ ‫•‬ ‫תוך עצמם.‬ ‫האלגוריתם נובע מסדרה מתכנסת* הידועה בשם‬ ‫•‬ ‫‪. Chudnovsky formula‬‬ ‫בהמשך ‪ Yee‬השתמש בשתי סדרות נוספות‬ ‫•‬ ‫לווידוא התוצאה.‬ ‫*סדרה מתכנסת- היא סדרה שיש לה גבול. וגבול של סדרה הוא מספר, שאליו‬ ‫הולכים ומתקרבים איברי הסדרה עד אינסוף.‬
  • 9. ‫הסדרה עליה‬ ‫התבסס‬ ‫החישוב‬ ‫הסדרות בהן‬ ‫השתמשו‬ ‫לווידוא התוצאה‬
  • 10. ‫פעילות – המחשת המספר ‪π‬‬ ‫כל תלמיד ישרטט על דף מעגל ובתוכו קוטר.‬ ‫•‬ ‫כל תלמיד ימדוד בעזרת סרגל את אורך‬ ‫•‬ ‫הקוטר.‬ ‫כל תלמיד יקבל חוט, יניח את החוט‬ ‫•‬ ‫מסביב למעגל, ימדוד את אורך החוט‬ ‫שהקיף את המעגל בעזרת סרגל,‬ ‫וכך ימצא למעשה את היקף המעגל.‬ ‫התלמיד יחשב את היחס בין קוטר‬ ‫•‬ ‫המעגל לבין היקפו.‬ ‫מה התוצאה שהתקבלה? השוו עם חברכם.‬ ‫•‬
  • 11. ‫ביבליוגרפיה‬ • http://plus.maths.org/content/computer- geeks-break-pi-record • http://www.numberworld.org/misc_runs/pi- 5t/details.html