Sommen van toevalsvariabelen en de Centrale Limietstelling

1. Deel II : Kansrekenen
en toevalsvariabelen
Hoofdstuk 3 : Sommen van
onafhankelijke toevalsvariabelen

2. Inhoud
1. Onafhankelijkheid en correlatie
2. Verwachtingswaarde en variantie
3. Verdeling van sommen van onafhankelijke
toevalsvariabelen (Centrale Limietstelling)

3. Inhoud
1. Onafhankelijkheid en correlatie
2. Verwachtingswaarde en variantie
3. Verdeling van sommen van onafhankelijke
toevalsvariabelen (Centrale Limietstelling)

4. Onafhankelijke t.v.
• Herinner dat de gebeurtenissen A en B
onafhankelijk zijn als en slechts als
P(A en B) = P(A) ∙ P(B)
• Twee toevalsvariabelen X en Y zijn onafhankelijk,
als elke gebeurtenis waarbij alleen X betrokken is
onafhankelijk is van elke gebeurtenis waarbij
alleen Y betrokken is.

5. Paarsgewijs onafhankelijk
• De toevalsvariabelen X1, X2, …, Xn zijn
paarsgewijs (of onderling) onafhankelijk als en
slechts als elk paar toevalsvariabelen Xi en Xj (i≠j)
onafhankelijk is.

6. Correlatie : definitie
• Correlatie tussen twee toevalsvariabelen
X en Y = r = maat voor de richting en de
sterkte van de lineaire samenhang tussen
X en Y
 X   X   Y  Y  
r  E 


   Y 
  X

7. Correlatie : eigenschappen (1)
• ─1 ≤ r ≤ 1
• De correlatie is dimensieloos
• Het teken van de correlatie geeft aan of X en Y
positief (in dezelfde zin) of negatief (in
tegengestelde zin) met elkaar verbonden zijn.
• De grootte van de correlatie geeft de sterkte van
de lineaire samenhang.

8. Correlatie : eigenschappen (2)
• Als r = 0, dan is er totaal geen lineair verband
tussen X en Y (X en Y zijn ongecorreleerd)
• Als r = 1 (resp. ─1) dan is er een perfecte
positieve (resp. negatieve) lineaire samenhang
tussen X en Y :
Y = a + b X met b > 0 (resp. < 0)
• Hoe dichter r bij 1 ligt, hoe sterker de lineaire
samenhang. Hoe dichter bij 0, hoe zwakker.

9. Ongecorreleerd versus onafhankelijk
• Als X en Y onafhankelijk zijn, dan zijn ze ook
ongecorreleerd.
• Het omgekeerde is niet waar!!
Onafhankelijk
Ongecorreleerd

10. Inhoud
1. Onafhankelijkheid en correlatie
2. Verwachtingswaarde en variantie
a)
b)
Verwachtingswaarde en variantie van een lineaire
combinatie
Verwachtingswaarde en variantie van een
steekproefgemiddelde (en een som)
3. Verdeling van sommen van onafhankelijke
toevalsvariabelen (Centrale Limietstelling)

11. Lineaire combinaties
• Voorbeeld: we gooien 3 keer met een dobbelsteen
en noteren met X het aantal keer dat je 6 gegooid
hebt bij die 3 worpen en met Y het aantal keer dat
je geen 6 gegooid hebt bij diezelfde 3 worpen.
Dan zal X = 0.5 , Y = 2.5 en X² = Y² = 5/12.
• Wat is X+Y ? ²X+Y ?

12. Algemeen
• Er geldt steeds dat X+Y = X + Y
• Er geldt echter niet steeds dat
²X+Y = ²X + ²Y !

13. Algemeen : lineaire combinaties
 X Y   X   Y

2
X Y


2
X
2
Y
 2 r  XY
Uitbreiding:
 aX  bY  a  X  b  Y

2
aX  bY
 a 
2
2
X
b 
2
2
Y
 2a b r  XY

14. Speciaal geval: onafhankelijke
toevalsvariabelen
 X Y   X   Y
 X Y   X   Y
2
2
2
Uitbreiding:
 aX  bY  a  X  b  Y

2
aX  bY
 a 
2
2
X
b 
2
2
Y

15. Voorbeeld : verschil
• Neem a = 1 en b = -1:
 X Y   X   Y

2
X Y

2
X

2
Y
 2 r  XY
• Voor onafhankelijke toevalsvariabelen:

2
X Y

2
X

2
Y

16. Oefening 1
Meneer Goedhart verkoopt kaarsen en wenskaarten voor
Amnesty International. Een set kaarsen kost 7 € en een
pakje wenskaarten kost 10 €. Op basis van voorgaande
jaren weet meneer Goedhart dat er gemiddeld per week
100 sets kaarsen en 150 pakjes wenskaarten verkocht
worden, met een standaardafwijking van respectievelijk 20
en 25. Het aantal verkochte kaarsen per week is
onafhankelijk van het aantal verkochte wenskaarten. Wat
zijn de verwachte totale inkomsten per week? En met
welke standaardafwijking?

17. Oefening 2
Veronderstel dat X (resp. Y) de maandelijkse return is voor
het aandeel Dell (resp. Apple). Op basis van maandelijkse
returns tussen 1990 en 2008, weten we dat X = 2.02%, X
= 16.59%, Y = 1.75%, Y = 15.09%. De correlatie tussen
X en Y bedraagt r = 0.379. Sandra heeft in haar
portefeuille 60% aandelen Dell en 40% aandelen Apple,
dus de maandelijkse return voor haar portefeuille is de
toevalsvariabele
R = 0.6 X + 0.4 Y.
Wat is de verwachte return en de standaardafwijking van
Sandra’s portefeuille.

18. Inhoud
1. Onafhankelijkheid en correlatie
2. Verwachtingswaarde en variantie
a)
b)
Verwachtingswaarde en variantie van een lineaire
combinatie
Verwachtingswaarde en variantie van een
steekproefgemiddelde (en een som)
3. Verdeling van sommen van onafhankelijke
toevalsvariabelen (Centrale Limietstelling)

19. Populatie versus steekproef
 Populatie = ALLE HUBstudenten
  = gemiddeld IQ van
ALLE HUB-studenten
= populatiegemiddelde
 Constante
Schatting voor 

20. Steekproefgemiddelde : inleiding

21. Steekproefgemiddelde : inleiding

22. Steekproefgemiddelde : inleiding

23. Steekproefgemiddelde : algemeen
• We wensen de verwachting  van een t.v. X te
schatten.
• We nemen een steekproef van omvang n uit X, dit
betekent :
o X1, X2,…, Xn onderling onafhankelijk
o X1, X2,…, Xn allen verdeeld zoals X
• Steekproefgemiddelde:
X 
1
n
X
n
i 1
i

1
n
X 1 
X2   Xn

24. Som versus steekproefgemiddelde
X 
1
n
X
n
i 1
i

1
n
X 1 
X2   Xn

25. Verwachte waarde
• Som
E(Sn) = E(X1 + X2 + … + Xn)
= E(X1) + E(X2) + … + E(Xn)
Alle Xi
verdeeld
=++…+
zoals X
=n
• Steekproefgemiddelde
E(X )  E(
Sn
n
)
1
n
E (Sn ) 
1
n
n  

26. Verwachte waarde : conclusie
E (Sn )  n
E(X )  

27. X1, …, Xn
onderling
onafhankelijk
Variantie
Alle Xi verdeeld
zoals X
• Som
Var(Sn) = Var(X1 + X2 + … + Xn)
= Var(X1) + Var(X2) + … + Var(Xn)
= ² + ² + … + ²
= n ²
• Steekproefgemiddelde
Var ( X )  Var (
Sn
n
)
1
n
2
Var ( S n ) 
1
n
2
n
2


2
n

28. Variantie : conclusie
V ar ( S n )  n 
2
Var ( X ) 

2
n
S 
n
n
X 

n

29. Inhoud
1. Onafhankelijkheid en correlatie
2. Verwachtingswaarde en variantie
3. Verdeling van sommen van onafhankelijke
toevalsvariabelen (Centrale Limietstelling)

30. Verdeling
S n ~ N (n  , n  )
X ~ N ( ,

n
)

31. Verdeling
• Het vorige is in feite een speciaal geval van de
volgende eigenschap:
• Als X en Y normaal verdeeld zijn en onafhankelijk,
dan is elke lineaire combinatie
aX+bY
ook normaal verdeeld.

32. Verdeling
S n  N (n  , n  )
X  N ( ,

n
)

33. Toepassing : Normale benadering
van de binomiale verdeling
• X ~ Be(p)
X = p, ²X = p (1−p)
• Steekproef X1, X2, …, Xn
• Sn = X1 + X2 + … + Xn = aantal successen
• Dan geldt
Sn ~ Bi(n, p)
• En wegens de Centrale Limietstelling
S n  N (n p ,
n p (1  p ) )

34. Stelling van de Moivre-Laplace
X ~ Bi  n , p



Y ~ N n p , n p 1  p


35. Oefening
Je gooit 20 keer met een zuiver muntstuk. Bereken
zowel exact via de Binomiale verdeling als met
de Normale benadering:
a) Kans op minstens 12 keer kop?
b) Kans op minstens 5 en hoogstens 11 keer kop?
c) Kans op juist 7 keer kop?
d) Kans op minder dan 9 keer kop?

36. X ~ B i(2 0 ,0 .5 )
0 ,2
0 ,1 8
0 ,1 6
0 ,1 4
p (x )
0 ,1 2
0 ,1
0 ,0 8
P(X≥12)
0 ,0 6
0 ,0 4
0 ,0 2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

37. X ~ B i(2 0 ,0 .5 ) b e n a d e rd d o o r Y ~ N (1 0 , v (5 ))
0 ,2
0 ,1 8
0 ,1 6
0 ,1 4
p (x )
0 ,1 2
0 ,1
0 ,0 8
P(X≥12)
0 ,0 6
0 ,0 4
0 ,0 2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

38. X ~ B i(2 0 ,0 .5 ) b e n a d e rd d o o r Y ~ N (1 0 , v (5 ))
0 ,2
0 ,1 8
0 ,1 6
0 ,1 4
p (x )
0 ,1 2
0 ,1
0 ,0 8
P(Y≥12)
0 ,0 6
0 ,0 4
0 ,0 2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

39. X ~ B i(2 0 ,0 .5 ) b e n a d e rd d o o r Y ~ N (1 0 , v (5 ))
0 ,2
0 ,1 8
0 ,1 6
0 ,1 4
p (x )
0 ,1 2
0 ,1
0 ,0 8
P(Y≥11,5)
0 ,0 6
0 ,0 4
0 ,0 2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

40. Oefeningen
• Zie apart opgaveblad op Hubwise.