self-organizing neural network kohnen learning

1. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 1
‫ذاتية‬ ‫العصبية‬ ‫الشبكات‬‫التنظيم‬(2)
self-organizing neural network
‫إعداد‬:‫د‬.‫صالح‬ ‫العابدين‬ ‫ين‬‫ز‬ ‫جعفر‬
‫وتقانة‬ ‫الحاسوب‬ ‫علوم‬ ‫كلية‬ ‫النيلين‬ ‫جامعة‬
‫املعلومات‬

2. ‫التنافسي‬ ‫التعلم‬competitive
learning
‫النوع‬‫الشائع‬‫األخر‬‫للتعلم‬‫دون‬‫إشراف‬‫هو‬‫التعلم‬
‫التنافسي‬،‫حيث‬‫تتنافس‬‫العصبونات‬‫مع‬‫بعض‬‫ها‬‫البعض‬
‫علي‬‫التنشيط‬.‫وأثناء‬‫التعلم‬‫الهيبياني‬،‫يمك‬‫ن‬‫تنشيط‬‫عدد‬
‫من‬‫العصبونات‬‫المخرجات‬‫في‬‫نفس‬‫الوقت‬،‫وفي‬‫التعلم‬
‫التنافسي‬‫يحدث‬‫تنشيط‬‫لعصبون‬‫واحد‬‫فقط‬‫ف‬‫ي‬‫نفس‬
‫الوقت‬.‫ويسمي‬‫عصبون‬‫المخرجات‬‫الذي‬‫يكسب‬
‫المنافسة‬‫بعصبون‬‫الكاسب‬‫الذي‬‫يأخذ‬‫الكل‬
(winner-takes-all)
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 2

3. ‫وظهرت‬‫الفكرة‬‫األساسية‬‫للتعلم‬‫التنافسي‬‫في‬‫ب‬‫داية‬
‫السبعينات‬‫من‬‫القرن‬‫العشرين‬‫الميالدي‬(‫جروسب‬‫رج‬
1975‫وفون‬1973،‫وفوكوشيما‬1975)،‫إال‬‫أن‬‫التعلم‬
‫التنافسي‬‫لم‬‫يشهد‬‫اهتماما‬‫كبيرا‬‫حتى‬‫نهاية‬
‫الثمانينات‬‫من‬‫القرن‬‫العشرين‬‫الميالدي‬‫عندما‬‫ق‬‫دم‬
‫تفو‬‫كوهنين‬teuvo kohnen‫طبقة‬‫خاصة‬‫من‬
‫الشبكات‬‫العصبية‬‫تسمي‬‫محوالت‬‫سمة‬‫التنظيم‬
‫الذاتي‬self-organizing feature map(SOM)
‫كوهنين‬1989.‫وبنيت‬‫هذه‬‫الخرائط‬‫علي‬‫التعلم‬
‫التنافسي‬.
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 3

4. ‫تعلم‬‫كوهنين‬
KOHNEN learning
self-organizing map
(SOM)
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 4
‫إعداد‬:‫د‬.‫صالح‬ ‫العابدين‬ ‫ين‬‫ز‬ ‫جعفر‬
‫املعلومات‬ ‫وتقانة‬ ‫الحاسوب‬ ‫علوم‬ ‫كلية‬ ‫النيلين‬ ‫جامعة‬

5. The Applications of Kohonen
Network
 1. Visualization aids
 2. Dimension reduction of large, high
 dimensional data sets
 3. Classification purposes
 4. Speech recognition
 5. Surface reconstruction in Computer
 Graphics
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 5

6. ‫؟‬ ‫الذاتي‬ ‫التنظيم‬ ‫محول‬ ‫تمثيل‬ ‫يمكن‬ ‫هل‬
‫عمل‬‫كوهنين‬‫صياغة‬‫لقاعدة‬‫تشكيل‬‫المحول‬
‫الطبوغرافي‬principle of topographic map
formation(‫كوهنين‬1990).‫تذكر‬‫هذه‬‫القاعدة‬‫أن‬
‫الموقع‬‫المكاني‬spatial location‫لعصبون‬
‫المخرجات‬‫الطوبوغرافي‬‫يناظر‬‫سمة‬‫معينة‬‫لنمط‬
‫المدخالت‬.‫كما‬‫اقترح‬‫كوهنين‬‫أيضا‬‫نموذج‬‫تحويل‬
‫السمة‬‫المبين‬‫في‬‫الشكل‬‫التالي‬.‫يستخلص‬‫هذ‬‫ا‬
‫النموذج‬‫السمات‬‫الرئيسية‬‫لمحوالت‬‫التنظيم‬‫الذ‬‫اتي‬
‫في‬‫المخ‬،‫ويمكن‬‫تمثيلها‬‫بعد‬‫ذلك‬‫في‬‫الحاسب‬
‫بسهولة‬.
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 6

7. Feature-mapping Kohonen model
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 7
Input layer
Kohonen layer
(a)
Input layer
Kohonen layer
1 1
(b)
00

8. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 8

9. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 9

10. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 10

11. ‫يوفر‬‫نموذج‬‫كوهنين‬‫محوال‬‫طبوغرافيا‬.‫ويضع‬‫رق‬‫ما‬
‫ثابتا‬‫ألنماط‬‫المدخالت‬‫من‬‫طبقة‬‫المدخالت‬‫في‬‫مخرجا‬‫ت‬
‫أبعاد‬‫اعلي‬،‫أو‬‫طبقة‬‫كوهنين‬.‫وفي‬‫الشكل‬‫السابق‬‫ت‬‫تكون‬
‫طبقة‬‫كوهنين‬‫من‬‫شبكية‬LATTICE‫في‬‫بعدين‬‫مكونة‬‫من‬4
‫في‬4‫عصبون‬,‫ولكل‬‫عصبون‬‫اثنان‬‫من‬‫المدخالت‬.
‫ويبين‬‫العصبون‬‫الفائز‬‫باللون‬‫األسود‬،‫وجيرانه‬‫بالون‬
‫الرمادي‬،‫وهنا‬‫جيران‬‫الفائز‬‫عبارة‬‫عن‬‫عصبونات‬‫قر‬‫يبه‬
‫قربا‬‫طبيعيا‬‫من‬‫الفائز‬
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011)
11

12. ‫قرب‬ ‫مدي‬ ‫ما‬”‫الطبيعي‬ ‫القرب‬“‫؟‬
‫يتحدد‬‫مدي‬‫القرب‬‫الطبيعي‬‫بواسطة‬‫مصمم‬
‫الشبكة‬‫ويمكن‬‫أن‬‫يشمل‬‫جيران‬‫الفائز‬
‫عصبونات‬‫لها‬‫موقع‬‫واحد‬،‫أو‬‫موقعين‬،‫أو‬‫حتي‬
‫ثالثة‬‫مواقع‬‫علي‬‫كل‬‫جانب‬.‫مثال‬‫ذلك‬‫يمثل‬
‫شكل‬‫السابق‬‫جيران‬‫الفائز‬‫من‬‫الحجم‬‫واحد‬.
‫وبصفة‬‫عامة‬،‫يبدأ‬‫التدريب‬‫في‬‫شبكة‬‫كوه‬‫نين‬
‫بجيران‬‫الفائز‬‫من‬‫الحجم‬‫الكبير‬.‫وبعد‬‫ذلك‬
‫يستمر‬‫التدريب‬‫مع‬‫انخفاض‬‫حجم‬‫الجيران‬
‫تدريجيا‬“
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 12

13. ‫تتكون‬‫شبكة‬‫كوهنين‬‫من‬‫طبقة‬‫واحدة‬‫من‬‫عصبونات‬
‫الحسابات‬،‫ويكون‬‫لها‬‫نوعان‬‫مختلفان‬‫من‬‫االرتباطات‬،
‫فهناك‬‫ارتباطات‬‫لألمام‬(forward connection)‫من‬
‫العصبونات‬‫في‬‫طبقة‬‫المدخالت‬‫إلي‬‫العصبونات‬‫في‬‫ط‬‫بقة‬
‫المخرجات‬‫وكذلك‬‫جانبية‬(lateral connection)‫بين‬
‫العصبونات‬‫في‬‫طبقة‬‫المخرجات‬
‫وتستخدم‬‫االرتباطات‬‫الجانبية‬‫في‬‫إنتاج‬‫تنافس‬‫بي‬‫ن‬
‫العصبونات‬.‫ويصبح‬‫العصبون‬‫الذي‬‫له‬‫اكبر‬‫مستوي‬‫ت‬‫نشيط‬
‫عبر‬‫كل‬‫العصبونات‬‫في‬‫طبقة‬‫المخرجات‬‫هو‬‫الفائز‬(‫عص‬‫بون‬
‫الفائز‬‫يأخذ‬‫الكل‬winner-taked-all-neuron)‫ويكون‬
‫هذا‬‫العصبون‬‫الوحيد‬‫الذي‬‫ينتج‬‫إشارة‬‫مخرجات‬.‫ويلغي‬
‫كل‬‫نشاط‬‫العصبونات‬‫االخري‬‫في‬‫المنافسة‬
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 13

14. ‫وعند‬‫تقديم‬‫نمط‬‫مدخالت‬‫الشبكة‬،‫يستقبل‬‫كل‬
‫عصبون‬‫في‬‫طبقة‬‫كوهنين‬‫نسخة‬‫كاملة‬‫من‬‫نمط‬
‫المدخالت‬،‫وتتعدل‬‫بواسطة‬‫مسارها‬‫خالل‬‫أوزان‬
‫ارتباطات‬‫نقاط‬‫االشتباك‬‫بين‬‫طبقات‬‫المدخالت‬،
‫وطبقة‬‫كوهنين‬،‫وتنتج‬‫ارتباطات‬‫التغذية‬‫المرتج‬‫عة‬
‫الجانية‬‫التأثير‬‫مثيرة‬‫أو‬‫مانعة‬‫اعتمادا‬‫علي‬‫المسا‬‫فة‬
‫من‬‫العصبون‬‫الفائز‬.‫ويتحقق‬‫هذا‬‫عن‬‫طريق‬‫استخ‬‫دام‬
‫دالة‬‫القبعة‬‫المكسيكية‬
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 14

15. Mexican hat function
‫المكسيكية‬ ‫القبعة‬ ‫دالة‬
‫تمثل‬‫هذه‬‫الدالة‬‫العالقة‬‫بين‬‫المسافة‬‫بين‬‫عصب‬‫ون‬
‫الفائز‬‫يأخذ‬‫الكل‬‫وقوة‬‫االرتباطات‬‫في‬‫طبقة‬‫كوهني‬‫ن‬.
‫وطبقا‬“‫لهذه‬‫الدالة‬،‫يكون‬‫ألقرب‬‫الجيران‬(‫منقطة‬‫إث‬‫ارة‬
‫جانبية‬‫قصيرة‬‫ألمدي‬)‫تأثير‬‫إثارة‬‫قوي‬،‫ويكون‬‫ل‬‫لجار‬
‫البعيد‬(‫شبه‬‫الظل‬‫المانع‬an inhibitory)‫تاثير‬‫مانع‬
‫معتدل‬
‫ويكون‬‫للجار‬‫البعيد‬‫جدا‬“(‫المنطقة‬‫المحيطة‬‫بشب‬‫ة‬
‫الظل‬‫المانع‬)‫تأثير‬‫إثارة‬‫ضعيف‬،‫والذي‬‫ما‬‫يهمل‬‫عا‬‫دة‬.
‫انظر‬‫الشكل‬‫التالي‬
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 15

16. ‫املكسيكية‬ ‫القبعة‬ ‫دالة‬
The Mexican hat function of lateral connection
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 16
Connection
strength
Distance
Excitatory
effect
Inhibitory
effect
Inhibitory
effect
0
1

17. ‫وفي‬‫شبكة‬‫كوهنين‬،‫ويتعلم‬‫العصبون‬‫عن‬‫طريق‬‫ترح‬‫يل‬
‫أوزانه‬‫من‬‫ارتباطات‬‫غير‬‫نشطة‬‫إلي‬‫ارتباطات‬‫نشطة‬.
‫ويسمح‬‫للعصبون‬‫الفائز‬،‫وجيرانه‬‫فقط‬‫للتعلم‬.‫فإ‬‫ذا‬‫لم‬
‫يستجيب‬‫العصبون‬‫لنمط‬‫مدخالت‬‫معين‬‫فعند‬‫ذلك‬‫ال‬‫ي‬‫مكن‬
‫أن‬‫يحدث‬‫التعلم‬‫في‬‫هذا‬‫العصبون‬‫المحدد‬.
‫وتوضع‬‫إشارة‬‫المخرجات‬yj‫لعصبون‬‫الفائز‬‫يأخذ‬‫الكل‬j
‫تساوي‬1،‫وتوضع‬‫إشارة‬‫مخرجات‬‫العصبونات‬‫االخري‬
(‫التي‬‫خسرت‬‫المنافسة‬)‫تساوي‬0.
‫وتعرف‬‫قاعدة‬‫التعلم‬‫التنافسي‬‫النمطي‬standard
competitive learning rule(‫هايكين‬1994)‫التغير‬
‫في‬‫الوزن‬‫الذي‬‫يطبق‬‫علي‬‫وزن‬‫نقاط‬‫االشتباك‬...‫كما‬
‫يلي‬:
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 17

18. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 18
‫حيث‬xi‫إشارة‬‫المدخالت‬،‫و‬α‫معلمة‬‫معدل‬‫التعلم‬‫وتقع‬‫بين‬0‫إلي‬
1
‫ويقع‬‫التأثير‬‫الشامل‬‫للتعلم‬‫التنافسي‬‫في‬‫انتقال‬‫متجه‬‫وزن‬‫االشتباك‬
wj‫للعصبون‬‫الفائز‬j‫تجاه‬‫نمط‬‫المدخالت‬x.‫ويكون‬‫معيار‬
‫االتفاق‬‫مكافئا‬‫ألقل‬‫مسافة‬‫اقليدية‬Euclidean distance‫بين‬
‫المتجهين‬


 

ncompetitiothelosesneuronif,0
ncompetitiothewinsneuronif),(
j
jwx
w
iji
ij


19. ‫االقليدية‬ ‫المسافة‬ ‫ما‬
‫تعرف‬‫المسافة‬‫االقليدية‬‫بين‬‫زوج‬‫من‬‫متجهات‬x‫و‬wi
(1‫في‬n)‫بالعالقة‬
‫حيث‬xi‫و‬wij‫هما‬‫العنصران‬‫من‬‫المتجهين‬x‫و‬wj
‫علي‬‫التوالي‬
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 19
2
1
1
2
)( 





 
n
i
iji wxwjxd

20. ‫ويتحدد‬‫التشابه‬‫بين‬‫المتجهين‬x،wj‫بأنه‬‫تبادلي‬
‫للمسافة‬‫االقليدية‬d،‫وتمثل‬‫المسافة‬‫االقليدية‬‫بي‬‫ن‬
‫المتجهين‬x‫و‬wj‫في‬‫شكل‬‫التالي‬‫بطول‬‫الخط‬‫الذي‬
‫يصل‬‫مقدمة‬‫المتجهين‬،‫ويتضح‬‫من‬‫الشكل‬‫تماما‬‫ا‬‫نه‬
‫كلما‬‫صغرت‬‫المسافة‬‫االقليدية‬‫كلما‬‫ذاد‬‫التشابه‬‫بين‬
‫المتجهين‬x،wj
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 20

21. ‫الفائز‬ ‫العصبون‬ ‫هو‬ ‫من‬
‫للتعرف‬‫عل‬‫العصبون‬‫الفائز‬jx‫ذلك‬‫الذي‬‫يكون‬‫له‬
‫أفضل‬‫اتفاق‬‫مع‬‫متجه‬‫المدخالت‬x‫يمكننا‬‫تطبيق‬
‫الشرط‬‫التالي‬(‫هايكين‬1994):
‫حيث‬m‫عدد‬‫العصبونات‬‫في‬‫طبقة‬‫كوهنين‬

Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 21
mjwjxjx ,...,2,1,min  

22. ‫مثال‬:
‫بعدين‬ ‫في‬ ‫المدخالت‬ ‫متجه‬ ‫تقديم‬ ‫تم‬ ‫انه‬ ‫افرض‬x
‫عصبونات‬ ‫ثالثة‬ ‫بها‬ ‫كوهنين‬ ‫لشبكة‬:
‫يلي‬ ‫كما‬ ‫االبتدائية‬ ‫الوزن‬ ‫متجهات‬ ‫تعطي‬:
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 22







12.0
52.0
x



















21.0
43.0
,
70.0
42.0
,
81.0
27.0
321 www 

23. ‫الفائز‬ ‫العصبون‬ ‫ونجد‬jx(‫اتفاق‬ ‫أفضل‬ ‫صاحب‬)
‫اقليدية‬ ‫مسافة‬ ‫اقل‬ ‫معيار‬ ‫باستخدام‬:
‫لذلك‬‫فان‬‫العصبون‬3‫يكون‬‫الفائز‬،‫ويتجدد‬‫متجه‬‫وزنه‬
w3‫طبقا‬‫لقاعدة‬‫التعلم‬‫التنافسي‬‫الموصوفة‬‫بال‬‫معادلة‬
‫التالية‬.‫وبافتراض‬‫أن‬‫معلمة‬‫معدل‬‫التعلم‬α=0.1
‫فإننا‬‫نحصل‬‫علي‬‫ما‬‫يلي‬:
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 23
13.0)21.012.0()43.052.0()()(
59.0)70.012.0()42.052.0()()(
73.0)81.012.0()27.052.0()()(
222
232
2
1313
222
222
2
1212
222
212
2
1111



wxwxd
wxwxd
wxwxd

24. ‫مايلي‬ ‫علي‬ ‫نحصل‬:
‫المجدد‬ ‫الوزن‬ ‫متجه‬ ‫ويتحدد‬w3‫التكرار‬ ‫عند‬p+1‫يلي‬ ‫كما‬:
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 24
01.0)21.012.0(1.0)(
01.0)43.052.0(1.0)(
23223
13113


wxw
wxw






















20.0
44.0
01.0
01.0
21.0
43.0
)()()1( 333 pwpwpw

25. ‫التنافسي‬ ‫التعلم‬ ‫خوارزمية‬
‫االبتدائية‬ ‫القيم‬‫وضع‬
‫التشابه‬‫وتوفيق‬ ‫التنشيط‬:
‫الفائز‬ ‫ن‬‫العصبو‬ ‫إيجاد‬
‫التعلم‬:
‫ان‬‫ز‬‫األو‬ ‫تجدد‬
‫ار‬‫ر‬‫التك‬
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 25

26. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 26

27. ‫التنافسي‬ ‫التعلم‬ ‫خوارزمية‬
‫االبتدائية‬ ‫القيم‬‫وضع‬
‫أوزان‬‫نقاط‬‫االشتباك‬‫بقيم‬‫عشوائية‬‫بين‬0‫إلي‬1
‫قيمة‬‫موجبه‬‫صغيرة‬‫لمعلمة‬‫معدل‬‫التعلم‬α

Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 27

28. ‫التشابه‬‫وتوفيق‬ ‫التنشيط‬:‫الفائز‬ ‫ن‬‫العصبو‬‫إيجاد‬
‫تنشيط‬‫شبكة‬‫كوهنين‬‫عن‬‫طريق‬‫تطبيق‬‫متجه‬‫المدخالت‬X‫وإيجاد‬‫العصبون‬JX
‫الفائز‬‫يأخذ‬‫الكل‬(WINNER TAKE ALL)‫الذي‬‫له‬‫أفضل‬‫اتفاق‬‫عند‬
‫التكرار‬P‫باستخدام‬‫معيار‬‫اقل‬‫مسافة‬‫اقليدية‬
‫حيث‬n، ‫المدخالت‬ ‫عصبونات‬ ‫عدد‬m‫المخرجات‬ ‫طبقة‬ ‫في‬ ‫العصبونات‬ ‫عدد‬‫او‬
‫طبقة‬‫كوهونين‬
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 28
mjwjxjx ,...,2,1,min  
2
1
1
2
)( 





 
n
i
iji wxwjxd

29. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 29

30. ‫التعلم‬:‫تجديد‬‫ان‬‫ز‬‫االو‬
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 30
 )()),((
)(,0)(
pjpwX
pjij
jiji
j
pw



)()()1( pwpwpw ijijij 
‫التنافسي‬ ‫التعلم‬ ‫قاعدة‬ ‫بواسطة‬ ‫الوزن‬ ‫تصحيح‬ ‫ويتحدد‬
‫حيث‬α، ‫التعلم‬ ‫معدل‬ ‫معلمة‬Λj(p)‫حول‬ ‫المتمركزة‬ ‫الجيرة‬ ‫دالة‬
‫العصبون‬jx‫التكرار‬ ‫عند‬ ‫الفائز‬p
‫ثابت‬ ‫ارتفاع‬ ‫الجيرة‬ ‫لدالة‬ ‫يكون‬ ‫وعادة‬.‫العصب‬ ‫كل‬ ‫أن‬ ‫وتشمل‬‫ونات‬
‫واحد‬ ‫وقت‬ ‫في‬ ‫تنشط‬ ‫الطبوغرافية‬ ‫الجيرة‬ ‫داخل‬ ‫الواقعة‬.‫وهناك‬‫عد‬
‫األشكال‬ ‫من‬

31. ‫يلي‬ ‫كما‬‫ن‬‫العصبو‬ ‫مخرجات‬ ‫تعريف‬ ‫ويمكن‬:
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 31
 )(,1
)(,0
Pj
Pjj
j
j
y



32. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 32

33. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 33

34. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 34

35. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 35

36. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 36

37. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 37

38. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 38

39. ‫التكرار‬
‫أضف‬1‫إلي‬‫التكرار‬p‫وارجع‬‫إلي‬‫الخطوة‬‫الثانية‬،
‫واستمر‬‫حتى‬‫يتحقق‬‫معيار‬‫اقل‬‫مسافة‬‫اقليدية‬،‫أو‬‫ال‬
‫أو‬‫ال‬‫تحدث‬‫تغيرات‬‫ملحوظة‬‫في‬‫تحويل‬‫السمة‬
Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 39

40. Initial random weights
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
W(2,j)
W(1,j)

41. Network after 100 iterations
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
W(2,j)
W(1,j)

42. Network after 1000 iterations
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
W(2,j)
W(1,j)

43. Network after 10,000 iterations
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
W(2,j)
W(1,j)

44. Dr gafar zen alabdeen salh
(2011) 44
The end