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最終成果発表
セキュリティキャンプ2020 L-1ゼミ 佐々木智大 129
セキュリティキャンプでやったこと
ElGamal暗号の実装
一般ElGamal暗号の実装
楕円ElGamal暗号の実装
SECCON2020 this_is_rsa の解読
ポーリッヒヘルマンのアルゴリズムの実装
Baby-step Giant-step アルゴリズムの実装
ElGamal暗号の実装
ElGamal暗号 keygen
1. 素数𝑝と𝑍/𝑝𝑍の原子元𝑔をランダムに生成(1 < 𝑔 < 𝑝)
2. 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑝 − 2となる整数𝑥をランダムに選ぶ
3. 𝑦 = 𝑔 𝑥
(𝑚𝑜𝑑 𝑝) を計算し、公開鍵を(𝑝, 𝑔, 𝑦)として秘密鍵
を𝑥とする
一般に十分大きな素数𝑝に対して、 𝑦 = 𝑔 𝑥
𝑚𝑜𝑑 𝑝 を𝑥につい
て解くのはのは困難であり、これを離散対数問題という。
ElGamal暗号 encrypto
1. 整数𝑟をランダムに選ぶ (0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑝 − 2)
2. 𝑐1 = 𝑔 𝑟
𝑚𝑜𝑑 𝑝 , 𝑐2 = 𝑚𝑦 𝑟
(𝑚𝑜𝑑 𝑝)を計算し、暗号
文として(𝑐1, 𝑐2)を出力
𝑚が数列の場合は𝑐2のみリストとなる
ElGamal暗号 decrypto
1. 𝑚′
= 𝑐2 𝑐1
𝑝−1−𝑥
(𝑚𝑜𝑑 𝑝)を計算し、出力
ElGamal暗号の問題点
位数𝑝 − 1が合成数であり、この離散対数問題は、ポー
リッヒヘルマンのアルゴリズムにより、𝜙 𝑝 = 𝑝 − 1
の最も大きな素因数を𝑞として𝑂( 𝑞)で解ける
𝑝 = 2𝑞 + 1 (𝑞は十分大きな素数)の形の𝑝を採用すると
よい
ElGamal暗号の拡張
ElGamal暗号の拡張
位数が素数の巡回群を構築し、その上で離散対数問題
を考えれば先ほどのような問題は発生しない
離散対数問題を一般化すると、位数が𝑞(十分大きな素
数)の巡回群𝐺 = {1, 𝑔1
, 𝑔2
, … , 𝑔 𝑞−1
}に対して、𝑦 = 𝑔 𝑥
を
𝑥について解くというふうになる
→ では、どのように位数𝑞の巡回群を構成するか?
位数𝑞の巡回群の構成
𝑝 = 2𝑞 + 1の形の素数として𝑔を𝑍/𝑝𝑍の原始元として
𝛼 = 𝑔
𝑝−1
𝑞 = 𝑔2
(𝑚𝑜𝑑 𝑝)とすると、これは位数が𝑞の巡
回群の生成元となっている
(証明) 以下、𝑚𝑜𝑑 𝑝で、
𝛼 𝑞
= 𝑔
𝑝−1
𝑞
𝑞
= 𝑔 𝑝−1
= 1
一般ElGamal暗号 keygen
1. 𝑝 = 2𝑞 + 1 (𝑞は素数)となる素数𝑝をランダムに生成し、
𝑍/𝑝𝑍の原始元を𝑔とする
2. 𝛼 = 𝑔2
を計算する
3. 整数𝑥 (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑞 − 1)をランダムに選ぶ
4. 𝑦 = 𝑔 𝑥
(𝑚𝑜𝑑 𝑞)を計算する
5. 公開鍵として(𝐺 =< 𝛼 >, 𝑞, 𝑔)、秘密鍵として𝑥を出力
ElGamal暗号 encrypto
1. 整数𝑟をランダムに選ぶ (0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑞 − 2)
2. 𝑐1 = 𝑔 𝑟
𝑚𝑜𝑑 𝑞 , 𝑐2 = 𝑚𝑦 𝑟
(𝑚𝑜𝑑 𝑞)を計算し、暗号
文として(𝑐1, 𝑐2)を出力
𝑚が数列の場合は𝑐2のみリストとなる
ElGamal暗号 decrypto
1. 𝑚′
= 𝑐2 𝑐1
−𝑥
(𝑚𝑜𝑑 𝑞)を計算し、出力
楕円曲線暗号の実装
楕円曲線暗号とは?
楕円曲線(𝑦2
= 𝑥3
+ 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)の(𝑥, 𝑦)をプロットした
もの)上に*ある加算演算*を定義すると、𝑚𝑜𝑑のように楕円
曲線上の点とその加算演算の組は巡回群となる
その加算演算を用いて楕円曲線上の一点を𝑃 = (𝑥, 𝑦)とし、
𝑌 = 𝑃 + 𝑃 + ⋯ 𝑃(𝑑回加算) = 𝑑 ∗ 𝑃となるような𝑑を求める
ようなことを楕円曲線上の離散対数問題といい、これを
使った暗号を楕円曲線暗号(楕円ElGamal暗号)という
楕円曲線上の加算(1)
楕円曲線𝐶上の二点を𝑃 𝑥1, 𝑦1 , 𝑄(𝑥2, 𝑦2)とし𝑃 + 𝑄を定
義する
(𝑖)𝑥1≠ 𝑥2のとき、直線𝑃𝑄と𝐶との𝑃, 𝑄以外の交点を𝑅
とし、𝑅と𝑥軸対称の位置にある点を𝑅′として、𝑃 +
𝑄 = 𝑅′と定義する
(𝑖𝑖)𝑥1= 𝑥2かつ𝑦1 ≠ 𝑦2のとき、直線𝑃𝑄は𝐶と交わらな
いので、無限遠点を𝑂とし、𝑃 + 𝑄 = 𝑂と定義する
楕円曲線上の加算(2)
(𝑖𝑖𝑖)𝑃と 𝑄 が一致する場合、 𝑃 を接点とする接線を引き、
𝐶と交わる𝑃以外の点を𝑅とし、それと𝑥軸対称の位置
にある点を𝑅′として、𝑃 + 𝑃 = 𝑅′と定義する
(𝑖𝑣)𝑃が無限遠点または𝑄が無限遠点の場合、𝑃 + 𝑂 =
𝑃と定義する
加算のイメージ
P
𝑄
𝑅
𝑅′
𝑃
𝑄
𝑂
𝑃, 𝑄
𝑅
𝑅′
(i)のとき (ii)のとき (iii)のとき
楕円ElGamal暗号 keygen
1. 素数𝑝 = 2𝑞 + 1をランダムに生成
2. 楕円曲線の係数𝑎, 𝑏 (1 ≤ 𝑎, 𝑏 ≤ 𝑝 − 1)をランダムに選ぶ(𝐷 =
4𝑎3
+ 27𝑏2
≠ 0を満たす)
3. 楕円曲線上の点を列挙する
4. 基準点𝑃をランダムに選び、その位数𝑞2を求める
5. 整数𝑥 (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑞2 − 2)をランダムに選び、𝑌 = 𝑥 ∗ 𝑃を計算す
る
6. 公開鍵として(𝑝, 𝑎, 𝑏, 𝑃, 𝑌)、秘密鍵として𝑥を出力
ElGamal暗号 encrypto
1. 整数𝑟をランダムに選ぶ (0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑞2 − 2)
2. 平文𝑚に楕円曲線上の点𝑀を割り当てる
3. 𝑐1 = 𝑟 ∗ 𝑃, 𝑐2 = 𝑀 + 𝑟 ∗ 𝑌を計算し、暗号文として
(𝑐1, 𝑐2)を出力
ElGamal暗号 decrypto
1. 𝑀′
= 𝑐2 − 𝑥𝑐1を計算し、出力
ElGamal暗号に対する
攻撃手法の実装
ポーリッヒヘルマンのアルゴリズム
• 離散対数問題𝑦 = 𝑔 𝑥
(𝑚𝑜𝑑 𝑝)を𝑂 𝑟 (𝑟は𝜙(𝑝)
の一番大きい素因数)でとけるアルゴリズム
1. 𝜙 𝑝 = 𝑝1 ⋅ 𝑝2 ⋅ … ⋅ 𝑝 𝑘と素因数分解できたとすると、𝑥 =
𝑎𝑖 𝑝𝑖 + 𝑏𝑖とすれば𝑦
𝜙 𝑝
𝑝 𝑖 = 𝑔 𝑥
𝜙 𝑝
𝑝 𝑖 = 𝑔 𝑎 𝑖 𝑝 𝑖+𝑏 𝑖
𝜙 𝑝
𝑝 𝑖 =
𝑔 𝜙 𝑝 𝑎𝑖
𝑔
𝜙 𝑝
𝑝 𝑖
𝑏 𝑖
= 𝑔
𝜙 𝑝
𝑝 𝑖
𝑏 𝑖
となり、この𝑏𝑖を求める(元
の離散対数問題より規模が小さい)
2. 各𝑖に対して𝑏𝑖を求めたら、𝑥 = 𝑏1 𝑚𝑜𝑑 𝑝1 , 𝑥 =
𝑏2 𝑚𝑜𝑑 𝑝2 , … 𝑥 = 𝑏 𝑘 (𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝑘)という連立方程式ができ、
中国剰余定理を用いれば𝑥が求まる
Baby-step Giant-step アルゴリズム
ポーリッヒヘルマンのアルゴリズムのステップ1の𝑏𝑖を
求めるところを高速化するアルゴリズム
𝑦 = 𝑔 𝑥
(𝑚𝑜𝑑 𝑝)において、𝑥 = 𝑖𝑚 + 𝑗 (𝑚 = ⌈ 𝑝⌉)
とすると 、 gim+j
= 𝑦 ⇔ 𝑔 𝑗
= 𝑦 𝑔−𝑚 𝑖
(𝑚𝑜𝑑 𝑝) となり、
総当たりで𝑖, 𝑗を求める
楕円ElGamal暗号に対しても同様にできる
ElGamal暗号の解読
HelloWorld!!という文字列をElGamal暗号で暗号
化し、その公開鍵からsolve.pyで秘密鍵を求めて
いる様子
ElGamal暗号の解読
HelloWorld!!という文字列を楕円ElGamal暗号で
暗号化し、その公開鍵からsolve2.pyで秘密鍵を
求めている様子
これからやりたいこと
楕円曲線暗号の解読を位数も未知の状態でやる
Schoof法の理解、実装
楕円曲線暗号の点への写像の部分の理解を深める
ポーリッヒヘルマンで楕円エルガマル暗号の解読
CryptoHackの問題を解く
CTFにどんどん出る
@ntaso_2051
今回作成したコード
• https://github.com/ntaso2051/seccamp2020L1/
参考文献
[1] 暗号技術のすべて (著:IPUSIRON)
[2] http://sonickun.hatenablog.com/entry/2016/11/20/192743
[3] https://ja.wikipedia.org/wiki/ポラード・ロー離散対数アルゴリズム
[4] https://qiita.com/drken/items/ae02240cd1f8edfc86fd

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