Quantum computing and quantum information 1.2, 1.3

양자계산과 양자정보
March 7, 2024
양자계산과 양자정보 March 7, 2024 1 / 23

1장 소개와 개요 1.2 양자비트
• qubit(quantum bit) : 고전컴퓨터에서의 비트와 대응되는 양자컴퓨팅 및
양자정보의 개념
• qubit 은 |0⟩, |1⟩ 과 같이 표기하면 |⟩ 를 Dirac notation 이라고 한다.
• qubit 은 고전컴퓨터의 bit 와 달리 중첩(superposition)이 가능하다.
따라서 일반적인 single qubit |ψ⟩는 다음과 같이 표현이 가능하다:
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩
where α, β ∈ C. 또한 |α|2 와 |β|2는 각각 측정시 |0⟩ 와 |1⟩ 가 나올 확률을
나타낸다. 따라서 |α|2 + |β|2 = 1 이다.
• 예를 들어, |+⟩ = 1
√
2
|0⟩ + 1
√
2
|1⟩ 는 관측시 |0⟩이 나올 확률과 |1⟩이 나올
확률이 각각 1/2 이다.
• |0⟩, |1⟩ 를 계산기저상태(computational basis state)라고 부르는데
선형대수학에서의 basis 가 {|0⟩, |1⟩, } 인것과 동일하다. 여기서 span 하는
방식은 위에서 |ψ⟩을 만들때처럼, linear combination α|0⟩ + β|1⟩ 이다.

• 임의의 복소수 ω = |ω|eiθ 로 표현 가능하므로, 임의의 qubit |ψ⟩ 에 대해
다음과 같이 표현 가능하다.
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩
= |α|eiφα
|0⟩ + |β|eiφβ
|1⟩
= eiφα

|α||0⟩ + |β|ei(φβ−φα)
|1⟩

• 2장에서 eiϕα 효과를 무시해도 된다는것을 확인할 예정이다. 또한,
|α|2 + |β|2 = 1 이므로 α = cos θ
2, β = sin θ
2 으로 치환하면 |ψ⟩ 는 다음과
같이 표현 가능하다.
|ψ⟩ = cos
θ
2
|0⟩ + eiφ
sin
θ
2
|1⟩

|ψ⟩ = cos θ
2|0⟩ + eiφ sin θ
2|1⟩ 는 Bloch sphere 에서 아라와 같이 표현이
가능하다.

1.2.1 다수 큐비트
• 2개의 qubit 가 있다고 하자. 그러면 single qubit 인 경우의
computational basis state 를 확장하여 |00, |01⟩, |10⟩, |11⟩ 이라는
computational basis state 를 갖는다는것을 알 수 있다. 즉, 한 쌍의 qubit
|ψ⟩ 는 다음과 같이 표현 가능하다.
|ψ⟩ = α00|00⟩ + α01|01⟩ + α10|10⟩ + α11|11⟩
여기서
P
x∈{0,1} |αx|2 = 1이다.
• 만약 첫 번째 qubit 만 측정한다면 |α00|2 + |α01|2 의 확률로 0 이
나오므로(왜냐하면 basis {00, 01, 10, 11} 에서 첫 번째 qubit 이 첫 번째
표기되므로), 측정 후의 상태는 다시 확률을 normalization 하면 다음과
같다.
|ψ′
⟩ =
α00|00⟩ + α01|01⟩
p
|α00|2 + |α01|2
• |00⟩+|11⟩
√
2
: Bell state(or EPR state)

1장 소개와 개요 1.3 양자계산
1.3.1 Single qubit gate
• X =

0 1
1 0

: quantum NOT gate
왜냐하면 임의의 single qubit |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 에 대해 다음의 얻을 수
있다.
X

α
β

=

β
α

• 뒤에서 보이겠지만, 여러 가정 중 우리가 사용하는 모든 gate 는 unitary
matrix 로 표현된다. matrix U 가 unitary 라는것은 U†U = I 가 될 때를
의미한다. 여기서 U† 는 U를transpose 한 다음, complex conjugate 를 한
matrix이다. X 도 unitaty 임을 쉽게 확인 가능하다.

• Z =

1 0
0 −1

: Z gate
• H = 1
√
2

1 1
1 −1

: Hadamard gate
α|0⟩ + β|1⟩
H
−
→
α
2
(|0⟩ + |1⟩) +
β
2
(|0⟩ − |1⟩)
=
(α + β)
√
2
|0⟩ +
(α − β)
√
2
|1⟩
• Hadamrd gate 는 y축을 중심으로 90도, x축을 중심으로 180도 회전하면
얻을 수 있다.

박스 1.1 : 단일 큐비트 연산의 분해
4.2절에서 임의의 2 × 2 unitary matrix 를 다음과 같이 분해
가능하다는것을 증명할 것이다.
U = eiα

e−iβ/2 0
0 eiβ/2

cosγ
2 sinγ
2
sinγ
2 −cosγ
2

e−i/2 0
0 eiδ/2


1.3.2 다수 큐비트 게이트
• Controlled NOT gate(CNOT gate) : 2개의 input qubit 를 가지며, 첫
번째 qubit 는 제어에만 사용된다. 정확하게는 첫 번째 qubit 가 0 이면 두
번째 qubit 는 동일하게 유지되며, 첫 번째 qubit 이 1 이면 두 번째 qubit 는
반대로(0이면 1, 1이면 0)으로 변환시키는 gate이다. 즉
|00⟩ → |00⟩, |01⟩ → |01⟩, |10⟩ → |11⟩, |11⟩ → |10⟩
• CNOT gate 는 |A, B⟩ → |A, B ⊕ A⟩ 로도 해석이 가능하다. 여기서 ⊕ 는
mod 2 sum +2 를 의미한다. 회로로 표현하는 기호는 아래와 같다.
|A⟩ • |A⟩
|B⟩ |B ⊕ A⟩

• CNOT gate 를 matrix 로 다음과 같이 표기할 수 있다.
UCN =




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0



 , UCN




α00
α01
α10
α11



 =




α00
α01
α11
α10




α00|00⟩ + α01|01⟩ + α10|10⟩ + α11|11⟩
UCN
−
−
−
→ α00|00⟩ + α01|01⟩ + α11|10⟩ + α01|11⟩

1.3.3 계산기저 이외의 기저에서의 측정
• 만약 |0⟩, |1⟩ 이 아닌 |+⟩ = |0⟩+|1⟩
2 , |−⟩ = |0⟩−|1⟩
2 을 basis 로 선택한다면,
|0⟩ = |+⟩+|−⟩
√
2
, |1⟩ = |+⟩−|−⟩
√
2
이므로, 임의의 single qubit |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩
는 다음과 같이 표현이 가능하다.
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩
= α

|+⟩ + |−⟩
√
2

+ β

|+⟩ − |−⟩
√
2

=
α + β
√
2
|+⟩ +
α − β
√
2
|−⟩ (1)
[질문] 그런데 내가 어떤 basis 를 사용하고 있는지 모르는데 측정을 하면
지금 사용중인 basis 중 하나의 값을 알려준다는거지? 예를 들면 내가
{|0⟩, |1⟩}를 basis 로 사용중일 수 있고, {|+⟩, |−}을 basis 로 사용중일수도
있는데, 측정을 하면 |0⟩ 또는 |1⟩ 이 측정 가능할 수도 있고, |+⟩ 또는 |−⟩이
측정 가능할 수도 있다는게 이해가 안됨..

양자회로와 고전회로의 차이점
• 양자회로에서는 loop 를 허용하지 않음(비순환적, acyclic)
• 고전회로에서는 입력된 bit를 모두 OR하여 모든 도선을 하나로 모을 수
있는데(FANIN) 양자회로에서는 불가능한다. 양자회로는 무조건 가격적
(inversible)이어야 함
• bit 의 여러 복사본을 생성하는 역연산(inverse operation) 즉, FANOUT
도 불가함

• U가 n개의 qubit 에 작용하는 unitary matrix 라고 할 때, 제어형 U gate
를 다음과 같이 정의할 수 있다.
•
H
• X gate 에 의해 CNOT 게이트를 표현 가능하다.
•
X
• 측정이라는 연산은 아래 처럼 ’미터기’기호로 나타내며, single qubit 상태
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 를 고전비트 M으로 변환하는데, |0⟩ 가 나올 확률이 |α|2
이고 |1⟩가 나올 확률이 |β|2이다.
|ψ⟩ M

1.3.5 큐비트 복사 회로
• 왼쪽의 회로는 고전회로에서 bit 를 ’복사’한다. CNOT gate 가 복사가
되는지 확인해보자.
CNOTgate : (a|0⟩ + b|1⟩)|0⟩ = a|00⟩ + b|10⟩

만약 CNOT gate 를 통해 ’복사’가 된다면, 임의의 single qubit
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 에 대해 다음을 얻을 수 있다.
|ψ⟩|ψ⟩ = (a|0⟩ + b|1⟩)(a|0⟩ + b|1⟩)
= a2
|00⟩ + ab|10⟩ + ab|01⟩ + b2
|11⟩
만약 CNOT gate 의 결과가 ’복사’라면, (고전회로의 결과를 인용하여)
위에서 얻은 a|00⟩ + b|10⟩ 와 a2|00⟩ + ab|10⟩ + ab|01⟩ + b2|11⟩가 동일해야
하는데, 일반적으로는 ab = 0 이 아니라면 두 값이 같지 않다. 따라서
CNOT gate 는 복사 gate 가 아니다. 이것을 복제불가정리(no-cloning
theorem)이라고 한다.

1.3.6 벨 상태(Bell State)
• 아래의 양자회로를 U라고 하자.
x H •
y
• 2 qubit computational basis state |00, |01⟩, |10⟩, |11⟩ 의 U image 를
Bell state(벨 상태)라고 한다. 즉, Bell state 는 다음과 같다.
U|00⟩ =
1
√
2
|00⟩ +
1
√
2
|11⟩ =: |β00⟩
U|01⟩ =
1
√
2
|01⟩ +
1
√
2
|10⟩ =: |β01⟩
U|10⟩ =
1
√
2
|00⟩ −
1
√
2
|11⟩ =: |β10⟩
U|11⟩ =
1
√
2
|00⟩ −
1
√
2
|10⟩ =: |β11⟩
(2)

• 여기서 |β00⟩, |β01⟩, |β10⟩, |β11⟩ 을 Bell states, EPR state 또는 EPR
pairs 라고 한다.
• Bell states 는 아래의 식으로 한번에 표현도 가능하다.
|βxy⟩ =
|0, y⟩ + (−1)x|1, ȳ⟩
√
2
여기서 ȳ 는 y 의 부정(negation) 이다. 즉, 0̄ = 1, 1̄ = 0.

1.3.7 Quantum teleportation
• 임의의 상태 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 에 대해 회로에 입력할 상태 |ψ0⟩ 는
아래와 같다.
|ψ0⟩ = |ψ⟩|β00⟩ (1.28)
= (α|0⟩ + β|1⟩)
1
√
2
(|00⟩ + |11⟩)
=
1
√
2
[α|0⟩(|00⟩ + |11⟩) + β|1⟩(|00⟩ + |11⟩)] (1.29)

• 여기서 위에 두 개의 qubit 은 앨리스의 것이고, 세 번째 qubit 는 밥의
것이라고 가정한다.
• |ψ1⟩ 은 |ψ0⟩ 의 첫 두 qubit 을 CNOT gate 로 보내고, 세 번째 gate 는
그대로 통과시키므로 아래와 같이 표현할 수 있다.
|ψ1⟩ = (UCN × I)|ψ0⟩
= (UCN × I)
1
√
2
[α|0⟩(|00⟩ + |11⟩) + β|1⟩(|00⟩ + |11⟩)]
=
1
√
2
[α|0⟩(|00⟩ + |11⟩) + β|1⟩(|10⟩ + |01⟩)] (1.30)
여기서 두 번째 식에서 UCN 의 정의에 의해 0에 의해 두 번째 qubit 은
그대로 유지되고, 1에 의해 두 번째 qubit 은 부정된다.

• |ψ2⟩ 은 첫 번째 qubit 는 Hadamard gate 로 보내고, 나머지 qubit 는
그대로 통과시킨다.
|ψ2⟩ = (H × I2
)|ψ1⟩
= (H × I2
)
1
√
2
[α|0⟩(|00⟩ + |11⟩) + β|1⟩(|10⟩ + |01⟩)]
=
1
√
2
[αH(|0⟩)(|00⟩ + |11⟩) + βH(|1⟩)(|10⟩ + |01⟩)]
=
α
√
2
·
√
0 +
√
1
√
2
(|00⟩ + |11⟩) +
β
√
2
·
√
0 −
√
1
√
2
(|10⟩ + |01⟩)
=
1
2
[α(|0⟩ + |1⟩)(|00⟩ + |11⟩) + β(|0⟩ − |1⟩)(|10⟩ + |01⟩)] (1.31)
=
1
2
[|00⟩(α|0⟩ + β|1⟩) + |01⟩(α|1⟩| + β|0⟩)
+ |10⟩(α|0⟩| − β|1⟩) + |11⟩(α|1⟩| − β|0⟩)] (1.32)

• (1.32)에서의 첫 번째 항 |00⟩(α|0⟩ + β|1⟩) 의 해석 : 처음 두 qubit |00⟩ 은
앨리스가 |00⟩ 상태에 있을 때, 밥은 세 번째 qubit 인 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩
임을 확인 할 수 있다.
마찬가지로 앨리스가 측정을 하여 |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ 중 하나를 얻으면
앨리스는 다음과 같이 세 번째 qubit 의 측정 후 상태를 알 수 있다.
00 7−→ |ψ3(00)⟩ ≡ α|0⟩ + β|1⟩ (1.33)
01 7−→ |ψ3(01)⟩ ≡ α|1⟩ + β|0⟩ (1.34)
10 7−→ |ψ3(10)⟩ ≡ α|0⟩ − β|1⟩ (1.35)
11 7−→ |ψ3(11)⟩ ≡ α|1⟩ − β|0⟩ (1.36)

• 측정 결과를 밥이 알게되면 양자 게이트를 적용해서 |ψ⟩ 를 복원 할 수
있다.
예를 들어, 앨리스의 측정값이 00 이면, (1.32)에 의해
|ψ3(00)⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ = |ψ⟩ 밥은 변경을 할 필요가 없다.
만약, 앨리스의 측정값이 01 이면, (1.32)에 의해 |ψ3(01)⟩ = α|1⟩ + β|0⟩
이고, X gate 에 의해 X(α|1⟩ + β|0⟩) = β|1⟩ + α|0⟩ = |ψ⟩ 를 얻을 수 있다.
만약, 앨리스의 측정값이 10 이면, Z gate 에 의해 |ψ⟩ 를 얻을 수 있고,
측정값이 11이면 X gate 와 Z gate 를 순서대로 적용하면 |ψ⟩ 를 얻을 수
있다.

Quantum computing and quantum information 1.2, 1.3

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