Profielwerkstuk Arianne

1 | P a g i n a
DELTION SPRINT COLLEGE ZWOLLE
Shinpeki Sanpō
“Heilige Wiskunde”
ProfielwerkstukVWO
Arianne van de Griend
Jaargang 2010-2011

3 | P a g i n a
Inhoudsopgave
1. Inleiding ...............................................................................................................................4
2. De Edo Periode .................................................................................................................6
3. Rekenhulpmiddelen.........................................................................................................8
3.1 Het Japanse getallenstelsel.....................................................................................8
3.2 De Sangi ........................................................................................................................9
3.3 De Soroban ................................................................................................................11
3.3.1 Soroban oefeningen ........................................................................................16
4. Wasan ................................................................................................................................18
4.1 Chinese wiskunde.....................................................................................................18
4.2 De ontwikkeling van Japanse wiskunde............................................................19
4.3 Japanse wiskundigen..............................................................................................20
5. Tempels en Heiligdommen ..........................................................................................22
5.1 Shintoïsme...................................................................................................................22
5.2 Boeddhisme ...............................................................................................................24
6. Sangaku.............................................................................................................................25
6.1 Het woord Sangaku.................................................................................................25
6.2 De oorsprong van Sangaku ..................................................................................25
6.3 Het oplossen van een Sangaku ...........................................................................27
6.4 Een makkelijke Sangaku.........................................................................................27
6.5 Een moeilijk Sangaku...............................................................................................29
6.6 Sangaku en het dagelijks leven ...........................................................................33
7. Wasan versus yosan .......................................................................................................35
8. Conclusie...........................................................................................................................36
9. Bronnenlijst ........................................................................................................................38
10. Logboek ..........................................................................................................................40

4 | P a g i n a
1.Inleiding
Shinpeki Sanpō, 'Heilige Wiskunde', daar gaat dit profielwerkstuk over.
Wiskundige problemen, gemaakt en opgelost door normale mensen en
vervolgens opgeschreven op grote houten tabletten. En tenslotte geöfferd
aan de Goden. Of ineen woord uitgedrukt: Sangaku.
In de 17de tot en met de 19de eeuw werden in Japan veel van deze sangaku
gemaakt en opgehangen in verschillende tempels over heel Japan.
Nu is ligt het erg voor de hand om te zeggen: 'Die Japanners weer met hun
vreemde dingen.' Maar in die tijd was het heel normaal om wiskundige kennis
aan de Goden te offeren. Net als dat het Afrikanen heel vreemd lijkt dat de
katholieken met water een kruis maken op hun voorhoofd als ze de kerk
binnen gaan, wat bij ons als normaal wordt gezien.
Maar wat houdt zo'n Sangaku nu eigenlijk in?
Sangaku leek een erg leuk onderwerp, omdat ik Japan een leuk land vind en
wiskunde een leuk vak; een perfecte combinatie voor het profielwerkstuk.
Helemaal omdat er veel over het onderwerp te vertellen is en de wiskunde
niet te moeilijk wordt. Je moet alleen op een nieuwe manier leren kijken.
Verder is het een erg origineel onderwerp en dat maakt daarmee ook dit
profielwerkstuk origineel. Originaliteit is een belangrijke eigenschap, helemaal
als veel anderen een soortgelijk product maken, in dit geval het
profielwerkstuk.
In dit profielwerkstuk gaat het over de vraag: “Wat is een sangaku en wat
was de rol daarvan in Japan?” Deze vraag zal ik in 6 hoofdstukken
beantwoorden.
Als eerste zullen we stil staan bij de periode waarin de sangaku werden
gemaakt, de Edo Periode, want deze periode is kenmerkend voor de
ontwikkelingen binnen de wiskunde.
Zonder getallen en rekenhulpmiddelen kan je niet rekenen, dus hier zullen we
daarna bij stil staan. Eerst een paragraaf over het Japanse getallenstelsel,
wat erg makkelijk in elkaar zit. Hierin laat ik ook het verschil zien tussen de
Japanse cijfers van vroeger en nu en ook een interessant verschil tussen de
Nederlandse en de Japanse cijfers.
Vervolgens gaan we het hebben over de ontwikkelingen in de Japanse
wiskunde, wat zijn oorsprong vindt in de Chinese wiskunde, en kijken we naar
de ontdekkingen van een stel Japanse wiskundigen.
Omdat de sangaku worden opgehangen in de tempels zullen we ook stil
staan bij de twee grootste religies in Japan, het Shintoïsme en het
boeddhisme.
Het hoofdstuk daarna gaat over de Sangaku zelf. In de eerste paragraaf
wordt uitgelegd wat het woord Sangaku betekend. Daarna vertel ik wat over
de oorsprong van de sangaku. Vervolgens kijken we kort naar hoe je een
sangaku oplost met in de twee volgende paragrafen voorbeelden van

5 | P a g i n a
sangaku problemen. En als laatste paragraaf kijken we naar de rol van de
sangaku in het dagelijks leven.
In hoofdstuk 7 gaan we het hebben over de verschillen tussen de Westerse
wiskunde (yosan) en de Japanse wiskunde (wasan).
Ten slotte krijgen we een samenvatting van de hoofdstukken in de conclusie
en beantwoorden we ook de hoofdvraag.

6 | P a g i n a
2.DeEdoPeriode
Dit hoofdstuk gaat over de periode waarin de Japanse wiskunde tot bloei
kwam. In deze periode werden ook de Sangaku voor het eerst gemaakt. Dit
hoofdstuk is erg belangrijk voor het onderwerp, omdat in de Edo periode
Japan was afgesloten voor de buitenwereld, net zoals Noord-Korea nu is
afgesloten. En waardoor de wiskunde zich op een totaal andere manier heeft
ontwikkeld dan in het Westen.
De Edo periode staat in Japan ook wel bekend als de 'Grote Vrede', omdat
er in die tijd geen oorlog was met andere landen.
De Edo periode begon in 1603 toen Tokugawa Ieyasu shogun werd van
Japan. De shogun is de machtigste samurai van Japan, hij is zelfs machtiger
dan de keizer. Tokugawa besloot om vanuit het stadje Edo te gaan regeren,
tegenwoordig kennen we die stad als Tokyo. De Tokugawa familie heeft in
Japan geregeerd tot 1868.
Halverwege de 16e eeuw kwamen veel Westerse schepen naar Japan om
handel te drijven. Maar met deze handelsschepen kwamen ook vaak
missionarissen die de Japanners wilden bekeren tot 'het ware geloof', het
christendom. Doordat de leiders van het land
vonden dat het christendom zorgde voor een
instabiel land, het christendom was namelijk in
strijd met de oorspronkelijke religies, werd er
besloten om geen handel meer te drijven met
het buitenland in 1635. Alleen met China, Korea
en Nederland werd er nog handel gedreven,
omdat zij geen missionarissen stuurden om de
Japanners te bekeren. Nederland mocht echter
alleen op een klein eilandje in het zuiden van Japan, Nagasaki, aanmeren.
Hierdoor ontstond het zogeheten sakoku, gesloten land. Er was nog weinig
contact met andere landen. Dit is vergelijkbaar met Noord-Korea, dat land
heeft op dit moment weinig contact met het buitenland, alleen in bijzondere
gevallen mogen buitenlanders het land binnen.
Aan het begin van de Edo periode waren er in Japan zelf
veel gevechten tussen de dorpen onderling. Samurai,
mannen van militair adel, vochten, voor een dorp, tegen
elkaar. Hiermee werden conflicten 'opgelost'.
Maar later in de Edo periode waren er weinig conflicten
tussen dorpen en hadden de samurai geen werk meer.
Daarom gingen ze werken voor 'de staat' als een soort
accountant. Ze berekende de belastingen aan de hand
van Chinese wiskunde boeken en ze maten stukken grond
van boeren. Sommige samurai besloten een schooltje op
te richten, een juku. Hier werd geleerd hoe je moet
Afbeelding 1: Nederlandse schepen
aan de kust vanJapan.
Afbeelding 2: Een
shogun

7 | P a g i n a
rekenen, schrijven en lezen.
Door deze ontwikkeling bleven samurai langer op een plek. Daardoor
kwamen de samurai niet meer langs bij de boeren om hun land op te meten
en te berekenen hoeveel graan ze nodig hadden om te zaaien en dergelijke.
Daardoor besloten de boeren ook naar de juku te gaan om te leren hoe ze
die berekeningen kunnen uitvoeren. Zo ontstonden er erg vroeg openbare
scholen in Japan en konden in de Edo periode al veel mensen lezen,
schrijven en rekenen.

8 | P a g i n a
3.Rekenhulpmiddelen
Wiskunde zonder rekenhulpmiddelen is erg moeilijk, alleen pen en papier is al
een hele hulp bij het maken van berekeningen. Als je alles uitrekent in je
hoofd, dan maak je snel fouten en heb je geen overzicht over wat je aan het
doen ben. En omdat er vroeger nog geen rekenmachine was, heb ik
besloten om een hoofdstuk aan de rekenhulpmiddelen in Japan in die tijd te
besteden.
Eerst gaan we het hebben over het Japanse getallenstelsel, daarna over de
sangi en tenslotte over de Japanse abacus, de soroban. Om een indruk te
krijgen van de problemen die werden opgelost met de soroban is er aan het
eind een paragraaf met oefeningen voor de soroban.
3.1HetJapansegetallenstelsel
Zoals in elke taal worden de getallen anders genoemd. En aangezien het
getallenstelsel het begin is van de wiskunde, ben ik hier mee begonnen.
Verder zijn getallen zelf eigenlijk ook een rekenhulpmiddel, zonder getallen
kan je niet rekenen.
Ik heb een tabel1 gemaakt met verschillende cijfers, hun oude benaming en
hun nieuwe benaming erbij geschreven. Dit zijn alleen de hoofdtelwoorden,
de rangtelwoorden zijn weer anders, maar die zullen we niet nodig hebben.
Cijfer Oud Nieuw Cijfer Oud Nieuw
1 Hito Ichi 100 Momo Hyaku
2 Futa Ni 1 000 Chi Sen
3 Mi San 10 000 Yorozu Man
4 Yo Shi 100 000 So yorozu Jiu man
5 Itsu Go 1 000 000 Momo yorozu Hyaku man
6 Mu Roku 10 000 000 Chi yorozu Sen man
7 Nana Shichi 100 000 000 Yorozu yorozu Oku
8 Ya Hachi 1 000 000 000 So yorozu yorozu Jiu oku
9 Koko Ku
10 Tō Jiu
Tabel1 : Japans getallenstelsel vroeger ennu
1
Eugene, D. en Yoshio, M. (2004). A history of Japanese mathematics.
Mineola: Dover Publications. (Page 4).

9 | P a g i n a
Wat opvallend is aan het Japanse getallen stelsel, is de naamgeving van de
machten van 10. In Nederland, en in eigenlijk alle bekende talen, tellen we
met machten van tien alsvolgt: tien, honderd, duizend, tienduizend,
honderdduizend, miljoen etc. In Japan wordt anders geteld, namelijk tien,
honderd, duizend, tienduizend, tien tienduizend, honderd tienduizend
duizend tienduizend et cetera. In het oude Japans ging het zelfs verder met
tienduizend tienduizend, tien tienduizend tienduizend enzovoort.
3.2DeSangi
Sangi, of 'tel staven', is een rekenhulpmiddel dat in Japan werd gebruikt
voordat de abacus daar bekend was. Sangi is bedoeld voor het
vereenvoudigen van kwadratische en derde graads vergelijkingen. In deze
paragraaf gaan we in op de werking van zo'n sangi.
Een sangi werkt behoorlijk makkelijk, als je begrijpt wat je moet doen, net als
met de grafische rekenmachine moet je eerst leren om ermee om te gaan
en ook eerst alle functies leren.
Afbeelding 3: Positie en kleur van de stokjes
Afbeelding 4: Voorbeeld van een berekening in stappen

10 | P a g i n a
Een sangi bestaat uit twee delen; een groot vel met daarop een tabel en
een stel stokjes in twee verschillende kleuren. De manier waarop je de stokjes
neerlegt en de kleur van de stokjes bepalen het getal waar de stokjes voor
staan, zoals in het figuur hierboven te zien is. De tabel heeft ook een speciale
vorm. In de bovenste rij staan de veelvouden van de getallen die daaronder
komen te staan. In de rechter kolom staan de machten van de x; Gu
betekent x3, ren betekent x2, ho betekent x, jitsu betekent x0 (=1) en sho is de
wortel van x.
Voordat ik ga uitleggen hoe je een sangi moet gebruiken geef ik eerst een
voorbeeld2 om een beeld te maken van hoe dat er dan uit ziet. In het plaatje
hiernaast is een ingevulde tabel te zien met daaronder tabellen met de
uitwerking.
In de bovenste tabel staat de vergelijking x3+2x2+3x-9=0.
Door 1 in sho te doen krijgen we de volgende stappen en figuur 2.
sho1*gu1 + ren2 = 3 (wat wordt gebuikt bij ren)
sho1*ren3 + ho3 = 6 (wat wordt gebuikt bij ho)
sho1*ho6 + jistu(-9)= (-3) (wat wordt gebuikt bij jitsu)
Door daarna weer 1 in sho te doen krijgen we de volgende stappen en figuur
3.
sho1*gu1 + ren3 = 4 (wat is gebuikt bij ren
sho1*ren4 + ho6 = 10 (wat is gebuikt bij ho)
En door weer 1 in sho te doen krijgen we de volgende stappen en figuur 4.
sho1*gu1 + ren4 = 5 (wat wordt gebuikt bij ren )
Door de vorige stappen hebben we de volgende formule gekregen:
-3 + 10y + 5y^2 + y^3 = 0, na het transformeren van x = y + 1 in -9 + 3x + 2x^2
+ x^3 = 0.
Dus wat je moet als je een vergelijking wilt oplossen met behulp van een
sangi is: Je neemt 1 sho, je doet dat keer het aantal gu en je telt het op bij
het aantal ren. Daarna neem je 1 sho keer het aantal ren en tel je dat op bij
het aantal ho. Vervolgens neem je 1 sho keer het aantal ho en dat tel je op
bij het aantal jitsu. Dan heb je verschillende aantal ren, ho en jitsu. Met deze
verschillende waarden herhaal je stap 1 en 2. Dan krijg je verschillende
waarden voor ren en ho en met die waarden herhaal je stap 1. Hierdoor krijg
je een nieuwe vergelijking. De variabele in de nieuwe vergelijking is niet x
maar y geworden. Wat we nu hebben gedaan is x=y+1 transformeren in de
vergelijking.
2
Van http://www.wasan.jp/english/sangi.html

11 | P a g i n a
3.3DeSoroban
De soroban staat hier in Nederland beter bekend als de abacus. Ook in
Japan werd dit rekenhulpmiddel vroeger veel gebruikt en zelfs nu gebeurt
dat nog.
De soroban is vermoedelijk vanuit China naar Japan gekomen, net als veel
andere wiskundige kennis.
Afbeelding 5: Soroban
De soroban (算盤 of tel blad) bestaat uit een oneven aantal kolommen of
stokjes. Om elk stokje zitten kralen, 4 kralen met een waarde van 1 en 1 kraal
met een waarde van 5. De kralen met een verschillende waarde worden
gescheiden door een plankje dwars door alle staafjes, zoals op de afbeelding
hierboven te zien is. De soroban ziet er dus iets anders uit dan zoals wij
gewend zijn. Maar verder werkt hij wel ongeveer hetzelfde.
De soroban werkt alsvolgt: de kraaltjes in de meest rechter kolom zijn het
aantal enkelen, de kolom links daarvan geeft het aantal tientallen aan, de
kolom daarnaast geeft de honderd tallen aan etc. Het aantal kralen tegen
het plankje geeft aan hoeveel enkelen, tientallen of honderdtallen etc. in het
getal zitten. Waarbij de losse kraal een waarde van 5 heeft en de andere
kraal een waarde van 1. In de soroban van afbeelding 3 wordt dus het getal
444.444.444.444.444 aangegeven.
Rekenen met de Soroban is erg makkelijk. Vooral optellen en aftrekken zal
weinig problemen geven. Hierbij geef ik een stel voorbeelden3 om te laten
zien hoe het rekenen werkt.
3
http://webhome.idirect.com/~totton/abacus/pages.htm

12 | P a g i n a
We gaan eerst optellen. Als voorbeeld nemen we de som 135+321=456.
Stap 1: Neem stokje H als het stokje met de kralen die tellen als enkelen, zo
kun je op stokje I het aantal tienden uitzetten. En zet op de soroban het getal
135. Zoals te zien is in het figuur hieronder.
A B C D E F G H I
. . .
0 0 0 0 0 1 3 5 0
Stap 2: Tel 3 op bij stokje F voor de honderdtallen.
Stap 3: Tel 2 op bij stokje G voor de tientallen.
Stap 4: Tel 4 op bij het stokje H voor de enkelen, dit geeft het antwoord 456
op de stokjes FGH. Dit is te zien in het figuur hieronder.
A B C D E F G H I
. . .
0 0 0 0 0 1 3 5 0
+ 3 Stap 2
0 0 0 0 0 4 3 5 0
+ 2 Stap 3
0 0 0 0 0 4 5 5 0
+ 1 Stap 4
0 0 0 0 0 4 5 6 0
Dus optellen doe je door op elk stokje het aantal kraaltjes erbij te doen, dit
spreekt redelijk voor zich. Het wordt echter moeilijker als de uitkomst groter is
dan 10, want dan moet je 1 optellen bij het volgende staafje, aan de linker
kant.
Nu gaan we aftrekken met de soroban. Als voorbeeld nemen we 4321-
3456=865.
Stap 1: Neem het stokje H weer als het stokje voor het aantal enkelen en zet
op de soroban het getal 4321 uit.
Stap 2: Haal 3 van het stokje E, voor de duizendtallen, af.
Stap 3: Haal 4 af van het stokje F, maar er zijn niet genoeg kralen aanwezig.
Dan gebruiken we een complement. Haal eerst 1 af van het stokje E en tel
het complement 6 op bij stokje F. Dit zorgt voor het getal 921 op de stokjes
EFG.
Stap 4: Haal 5 af van het stokje G voor de tienden, maar weer hebben we
niet genoeg, dus gebruiken we de complement. Haal eerst 1 af van stokje F
en tel vervolgens 5 op bij stokje G, nu staat er het getal 871.
Stap 5: Haal 6 van het stokje H af. Weer zijn er niet genoeg kralen aan het
stokje, dus we halen 1 af van het stokje G en we tellen 4 op aan stokje H. Dit
geeft het antwoord 865.

13 | P a g i n a
Hieronder zijn de stappen in het figuur te zien.
A B C D E F G H I
. . .
0 0 0 0 4 3 2 1 0
- 3 Stap 2
0 0 0 0 1 3 2 1 0
- 1 Stap 3
0 0 0 0 0 3 2 1 0
+ 6
0 0 0 0 0 9 2 1 0
- 1 Stap 4
0 0 0 0 0 8 2 1 0
+ 5
0 0 0 0 0 8 7 1 0
- 1 Stap 5
0 0 0 0 0 8 6 1 0
+ 4
0 0 0 0 0 8 6 5 0
Dus het aftrekken met een soroban is ook niet erg moeilijk. Je haalt gewoon
van elk staafje het aantal kralen af, dat je eraf moet halen. Maar ook hier
wordt het weer moeilijk, nu als er niet genoeg kralen op het staafje zitten om
eraf te halen. Dan haal je bij het staafje aan de linker kant een kraal af, wat
gelijk is aan het afhalen van 10 kraaltjes aan het eerste staafje, en daarna tel
je de overige kralen er bij op. Dus als je ergens X vanaf wil halen, maar er zijn
niet genoeg kraaltjes aan het stokje, dan haal je een kraaltje van het linker
stokje en dan tel je 10-X kraaltjes op bij het stokje waarvan je X kraaltjes wilde
halen.
Nu gaan we vermenigvuldigen met behulp van de soroban. Bij deze techniek
werden vroeger in Japan vermenigvuldigings tabellen gebruikt om de
uitkomsten van de vermenigvuldigingen op te zoeken. Als voorbeeld nemen
we hier de som 2,3*17=39,1.
Stap 1: Zet het getal 23 uit op de stokjes F en G en zet het getal 17 uit op de
stokjes B en C.
Stap 2: Vermenigvuldig de getallen 3 op G en 1 op B en tel het antwoord, 03,
op bij de stokjes H en I. Bij vermenigvuldigen en delen is het verstandig alle
getallen te zien alsof ze bestaan uit twee of meer cijfers.
Stap 3: Vermenigvuldig de getallen 3 op G en 7 op C en tel het antwoord, 21,
op bij de stokjes I en J.
Stap 4: Haal de 3 van het getal dat je wilde vermenigvuldigen af van stokje
G, want daarmee heb je nu vermenigvuldigt.
Stap 5: Vermenigvuldig de 2 op F en de 1 op B en tel het antwoord, 02, op bij
de stokjes G en H.

14 | P a g i n a
Stap 6: Vermenigvuldig de 2 op F en de 7 op C en tel het antwoord, 14, op bij
de stokjes H en I.
Stap 7: Haal de 2 van het getal dat je wilde vermenigvuldigen af van stokje F.
Dit geeft het antwoord 39,1 op de soroban. In het figuur hieronder zijn de
stappen te zien.
A B C D E F G H I J K
. . .
0 1 7 0 0 2 3 0 0 0 0
+ 0 3 Stap 2
0 1 7 0 0 2 3 0 3 0 0
+ 2 1 Stap 3
0 1 7 0 0 2 3 0 5 1 0
(-3) Stap 4
0 1 7 0 0 2 0 0 5 1 0
+ 0 2 Step 5
0 1 7 0 0 2 0 2 5 1 0
+ 1 4 Step 6
0 1 7 0 0 2 0 3 9 1 0
(-2) Step 7
0 1 7 0 0 0 0 3 9 1 0
Vermenigvuldigen op de soroban is wel wat moeilijker. Gelukkig hadden ze
tabellen voor de producten van alle getallen tussen 0 en 10, zoals eerder
gezegd. Deze tabellen zijn gelijk aan de tafels die je in groep 4 hebt moeten
leren op de basis school.
Wat je doet met de soroban is eigenlijk het zelfde als de manier van
vermenigvuldigen die je hebt geleerd op de basisschool, toen je nog geen
rekenmachine mocht gebruiken, nu had je alleen een soroban om de optel
sommen mee te maken.
Om het geheugen even op te frissen geef ik de som van het voorbeeld op de
basisschool manier.
0,3 x 7 = 2,1
2 x 7 = 14
0,3 x 10 = 3
2 x 10 = 20
2,3
17 x
2,1
14
3
20 +
39,1
Dus op de soroban vermenigvuldig je elk cijfer van het ene getal met elk cijfer
van het andere getal en de antwoorden tel je bij elkaar op. Hierbij moet je
natuurlijk wel opletten op de locatie van de antwoorden.
Ten slotte gaan we delen met de soroban. Bij het delen zijn er verschillende
belangrijke termen: de deler, dat is het getal waardoor je deelt, het deeltal,
dat is het getal dat wordt gedeeld en het quotiënt dat is het “antwoord”.

15 | P a g i n a
Ook zijn twee regels van belang over de plek waar je het antwoord opschrijft.
1) Als de deler kleiner is of gelijk aan het “eerste cijfer” van het deeltal zet
je het quotiënt twee stokjes links van het deeltal.
2) Als de deler groter dan het “eerste cijfer” van het deeltal zet je het
quotiënt niet twee maar één stokje links van het deeltal. ?
Als voorbeeld nemen we de som: 951 : 3 = 317.
Stap 1: Zet het deeltal, 951, op de staafjes FGH en de deler, 3, op stokje A.
Stap 2: Het getal 3 is kleiner dan 9, dus we gebruiken regel 1. 3 x 3 = 9, dus de
quotiënt van de eerste berekening is 3. Deze zet je volgens regel 1 op stokje D
en haal 9 van stokje F. Je hebt nu nog 51 op de stokjes GH over.
Stap 3: Het getal 3 is kleiner dan 5, dus we gebruiken weer regel 1. 1 x 3 = 3,
dus het quotiënt van de tweede berekening is 1. Deze zet je volgens regel 1
op stokje E en je haalt 3 van stokje G. Je hebt nu 21 over op de stokjes GH.
Stap 4: Het getal 3 is groter dan 2, dus we gebruiken regel 2. 7 x 3 = 21, dus de
quotiënt van de derde berekening is 7. Deze zet je volgens regel 2 op stokje F
en je haalt 21 van de stokjes GH. Nu heb je het antwoord 317 op je soroban
staan.
Deze stappen zijn ook te zien in het figuur hieronder.
A B C D E F G H I J K
. . .
3 0 0 0 0 9 5 1 0 0 0 stap 1
(3) Stap 2
- 9
3 0 0 3 0 0 5 1 0 0 0
(1) Stap 3
-3
3 0 0 3 1 0 2 1 0 0 0
(7) Stap 4
-2 1
3 0 0 3 1 7 0 0 0 0 0
Het delen met een soroban is wat ingewikkelder, maar niet te moeilijk. Deze
manier van rekenen werd in Nederland ook veel gebruikt. Alleen hier ziet het
er anders uit, en heet het ook anders, namelijk staartdelingen. Hieronder staat
de voorbeeldsom als een staartdeling opgeschreven. En natuurlijk kan het
ook op de manier waarop je op de basisschool hebt leren delen.
300 x 3 = 900
10 x 3 = 30
7 x 3 = 21
3/951
900 - 300
51
30 – 10
21
21 – 7 +
0 317
3/951317

16 | P a g i n a
Voor de mensen die de voorbeeldsom niet hebben begrepen zal ik uitleggen
wat ik heb gedaan. De opdracht is om 951 te delen door 3. Als eerst zoek je
de grootste veelvoud van 3 dat kleiner is of gelijk is aan dan het deeltal. In dit
geval 900<951 en 300x3=900. Dat getal haal je af van het deeltal. Je houdt nu
51 over. Hiermee doe je hetzelfde; 30<51 en 10x3=30, je haalt 30 van 51 en je
houdt 21 over. Dan doe je weer hetzelfde; 21=21en 7x3=21. Nu tel de
gevonden veelvouden, 300, 10 en 7, bij elkaar op en krijg je het antwoord.
Het is ook mogelijk om met de soroban berekeningen uit te voeren met
negatieve getallen. Hiervoor gebruiken ze een “leensysteem”. Bijvoorbeeld: 3-
7=-4. 3<7 dus het antwoord wordt negatief. Met de soroban is het niet
mogelijk dit uit te rekenen, maar het is wel mogelijk om 13-7=6 uit te rekenen.
Je “leent” dan als het ware 10, daar blijft in dit geval 6 van over, je komt dus
10-6=4 tekort. Het antwoord is dus -4.
Met behulp van een soroban kan je vraagstukken oplossen, zelfs als het
antwoord negatief is. Daarom werd de soroban veel gebruikt in Japan. Zelfs
nu worden de methoden op de soroban op de Japanse scholen geleerd.
Maar niet alleen in Japan maar op de hele wereld is de abacus een
makkelijk en veel gebruikt rekenhulpmiddel geweest.
We hebben nu twee verschillende rekenhulpmiddelen uit Japan besproken,
de Sangi en de Soroban. De soroban kwam later in Japan dan de sangi.
Maar dat betekend niet dat, toen de Japanners een soroban hadden, ze de
sangi niet meer gebruikten. De sangi blijft erg makkelijk voor het oplossen van
vergelijkingen. Daarom werden de soroban en de sangi vaak samen
gebruikt, de sangi voor het vereenvoudigen van vergelijkingen en de soroban
om de vereenvoudigde vergelijkingen vervolgens op te lossen.
3.3.1Sorobanoefeningen
In deze paragraaf geef ik een stel voorbeelden van oefeningen voor het
gebruik van de soroban. In de geschiedenis van de Japanse wiskunde zijn er
veel wiskundigen geweest die dit soort oefeningen publiceerden in hun
boeken. Mensen waren geïnteresseerd en gingen die oefeningen ook doen,
dit is erg belangrijk geweest voor de ontwikkeling van de wiskunde in Japan.
Oefening 1:
Dit probleem, Nusubito San, of “Dieven Rekenen”, komt uit het boek Sun-Tsu
Suanjing.
Op een avond stalen een stel dieven een lange rol zijde stof uit een schuurtje.
De dieven waren de stof aan het verdelen onder een brug, toen er ee n
voorbijganger langs kwam en hun gesprek hoorde: “Als elk van ons 7 tan4
4 Een tan is een eenheid voor het meten van een rol stof van ongeveer 34 cm breed. Een
tan van dat soort stof is ongeveer 10 meter lang.

17 | P a g i n a
krijgt, dan is er 8 tan over, maar als iedereen 8 tan krijgt, dan komen we 7 tan
tekort.” Hoeveel dieven waren er en hoelang was de stof?
Antwoord:
Stel N is het aantal dieven en L is de lengte van de stof, dan gelden er twee
formules: 7N = L – 8 en L = 8N – 7. Als je de eerste formule in de tweede
formule invult en de vergelijking oplost, krijg je het antwoord; N=15 dieven en
L= 113 tan.
Oefening 2:
Dit probleem komt uit het Chinese boek Jiu zhang Suanshu.
Er is een veld in de vorm van een donut. De buitenste
omtrek is 120 ken5 en de binnenste omtrek is 84 ken. In het
midden van het veld staat een huis, dus we kunnen de
diameter niet meten, maar de afstand tussen de twee
cirkels van het veld is 6 ken. Vind het oppervlakte van het
veld zonder gebruik te maken van π.
Het orginele antwoord:
Oppervlakte = (120+84)/ 2 x 6 = 612 tubo.
Oefening 3:
In de Edo periode werd colza olie gebruikt voor het verlichten van de huizen.
Vandaar dit abura wake of “olie verdelings” probleem:
Een colza olie handelaar verkoopt olie. Op een avond op zijn terug weg
vraagt een klant hem om 5 shō6 olie. Maar de olie handelaar heeft alleen
nog 10 shō olie over in zijn grote kruik. De enige manier om de olie af te
meten is met behulp van een lege 3 shō kruik en een lege 7 shō kruik. Hoe
meet de olie handelaar 5 shō af voor zijn klant?
Noem de grote kruik A, de 3 shō kruik B en de 7 shō kruik C. Als eerst vult de
handelaar 3 kruik B drie keer vanuit kruik A en vult daarmee kruik C zover
mogelijk. Dan zit er dus 1 shō olie in kruik A, 2 shō in kruik B en 7 shō in kruik C.
Daarna gooit de handelaar alles uit kruik C terug uit A. En hij doet de
hoeveelheid olie uit kruik B in kruik C. Zo zit er in kruik A 8 shō, in kruik C 2 shō
en kruik B is helemaal leeg. Vervolgens vult de handelaar kruik B met 3 shō uit
kruik A en doet dit in kruik C. Zodat er in kruik A en kruik C 5 shō olie zit en kruik
B leeg is. Dit kan de handelaar nu aan de zijn klant geven.
5 Een ken is een lengte van 1,8m. Een vierkante ken is: 1 ken x 1 ken = 1 tubo.
6 Een shō is een volume maat. 1 shō = 1,8 liter. Ook in China bestaat de shō, maar deze
maat is anders.
Afbeelding 6: Een
soroban oefening

18 | P a g i n a
4.Wasan
Dit hoofdstuk gaat over de Japanse wiskunde, in het Japans “wasan”. Als
eerst beginnen we met de oorsprong van wasan, wat de Chinese wiskunde is.
We gaan het hebben over gebeurtenissen, Chinese boeken en wiskundigen
die een belangrijke rol hebben gespeeld in de oorsprong van de wiskunde.
Daarna krijgen we een paragraaf over de ontwikkeling van de Japanse
wiskunde, hoe de wiskunde verder in Japan is opgebloeid en waar de
mensen zich vooral mee bezig hielden.
Ten slotte staan we stil bij een paar Japanse wiskundigen die een belangrijke
rol hebben gespeeld in de wiskunde door hun ontdekkingen.
4.1Chinesewiskunde
De Chinese wiskunde ontstond, zonder de kennis van andere landen te
gebruiken, in de 11de eeuw voor christus. De ontwikkeling van de Chinese
wiskunde is opgedeeld in verschillende periodes; vroege Chinese wiskunde,
Qin wiskunde, Han wiskunde, wiskunde in de periode van verdeeldheid in het
land, Tang wiskunde en Song en Yuan wiskunde.
De vroege Chinese wiskunde duurde vanaf het begin van de wiskunde tot
het jaar 221 voor christus. In deze periode werden in China decimale getallen
gebruikt. Ook waren algebra, vergelijkingen en negatieve getallen al
bekend, hiermee waren de Chinezen de eerste. Maar ondanks hun
gevorderde wiskundige kennis, werd dit alleen gebruikt voor astronomie en
het maken van kalenders.
In deze periode was wiskunde een onderdeel van je ontwikkeling. Als je een
perfecte man wilde zijn, moest je onder andere de wiskunde beheersen.
Er bestonden ook al boeken over wiskunde. Het oudste bekende werk is Yi
Jīng, ook wel bekend als het “boek van de veranderingen” en het oudste
nog bestaande boek over geometrie in China is Mo Jing, hierin wordt veel
gefilosofeerd over veelvlakken.
De Qin wiskunde duurde niet erg lang, van ongeveer 221 tot 206 voor
Christus. Over deze periode is niet veel bekend. Het is echter wel bekend dat
er in deze periode een standaard systeem voor gewichten ontstaat.
De keizer in die tijd was Qin Shihuang en hij liet veel standbeelden van zichzelf
maken, hierdoor lag de nadruk in de wiskunde op de bouwkunde.
De Han wiskunde duurde van ongeveer het jaar 206 voor Christus tot het jaar
220 na christus. In deze periode ontwikkelden de getallen tot een positiestelsel
met decimalen. Een positiestelsel is een getallenstelsel waarbij de locatie van
het getal een andere waarde geeft aan het getal. Wij gebruiken ook een

19 | P a g i n a
positiestelsel; was je het getal 123 betekend de 2 eigenlijk 20, maar als we het
getal 245654 hebben, dan betekend het getal 2 200000. In China werden de
getallen geschreven met behulp van “tel stokjes”, het principe werkt
hetzelfde als de stokjes van de sangi, de positie en locatie van de stokjes
bepalen het getal dat het moet uitbeelden.
Uit deze periode stamt ook het boek Jiu zhuang Suanshu, of de negen
hoofdstukken over de kunst van de wiskunde. Dit boek is erg belangrijk
geweest bij de ontwikkeling van wiskunde in Japan. Het bestaat uit negen
hoofdstukken; Fangtian, Sumi, Cuifen, Shaoguang, Shanggong, Junshu,
Yingbuzu, Fangcheng en Gougu. Fangtian gaat over rechthoekige velden,
en de oppervlakten daarvan. Sumi gaat over het prijzen van producten in de
verkoop. Het hoofdstuk Cuifen gaat over de verdeling van geld en goederen
onder de mensen en de proporties daarin. Shaoguang en Shanggong gaan
over de volumes van verschillende vormen. Het hoofdstuk Junshu gaat over
belastingen. In de hoofdstukken 7 en 8, Yingbuzu en Fangcheng, worden
verschillende lineaire problemen opgelost. Ten slotte word in het laatste
hoofdstuk, Gougu, problemen opgelost met behulp van de stelling van
Pythagoras.
Tussen 220 en 618 na christus was China verdeeld in verschillende regio’s met
verschillende leiders. In deze periode leefde de eerste Chinees die π = 3,1416
uitrekende, Haidao Suanjing, die verder veel andere wiskundige mijlpalen in
China heeft gezet.
Verder leefde een eeuw later, in de 4de eeuw na christus, een wiskundige
genaamd Zu Chongzhi. Hij berekende de waarde van pi tot 7 decimalen
nauwkeurig, deze waarde was de meest accurate waarde voor de komende
negen eeuwen.
De Tang periode in de Chinese wiskunde duurde van 618 tot 907 na christus.
In deze periode was het vak wiskunde normaal op de grote scholen. Wang
Xiaotong was een wiskundige uit die tijd. Hij schreef het boek Jigu Suanjing,
waarin voor het eerst kwadratische formules voorkwamen.
De Song en Yuan wiskunde duurde van 960 tot 1368. In deze periode waren
veel veranderingen in de wiskunde. Zo kwam er in die periode een symbool
voor het getal 0.
De wiskundige Yang Hui was de eerste die “de driehoek van Pascal”
ontdekte en bewees. Daarnaast schreef hij het boek Suanfa, methoden van
de wiskunde, dat ook een belangrijk boek was voor de ontwikkeling van
wasan.
Ook kwam in deze tijd de abacus voor het eerst voor in China.
4.2DeontwikkelingvanJapansewiskunde
De ontwikkeling van de Japanse wiskunde, wasan, begon toen verschillende
boeken vanuit China na Japan werden gebracht. De twee belangrijkste

20 | P a g i n a
boeken waren, zoals genoemd in paragraaf 4.1, Suanfa (methoden van de
wiskunde) en Jiu zhuang Suanshu (negen hoofdstukken over de kunst van de
wiskunde). Oorspronkelijk werden deze boeken alleen gebruikt als hulp bij het
berekenen van de belastingen. Aan het begin van de Edo periode was er
zelfs een wet die zei dat je niet meer wiskunde mocht weten dan wat er in
“de negen hoofdstukken” staat.
Later werd deze wet geschrapt en leerden de Japanners meer over
wiskunde. Door de Juku, kleine openbare scholen, gingen mensen elkaar ook
uitdagen elkaars problemen op te lossen, hierdoor werd de wiskundige kennis
vergroot.
Daarnaast gingen de wiskundigen boeken schrijven over hun ontdekkingen
en handboeken over hoe je met de sangi of soroban om moet gaan, zodat
de mensen beter leerden rekenen.
Aan het eind van de Edo periode kwamen langzaam westerse invloeden in
de wiskunde, door de handel met China en Nederland. Dusdanig dat er
manuscripten bestaan uit halverwege de 19de eeuw waarin niet alleen de
Japanse notatie staat, maar ook de westerse.
Maar wasan hield stand in Japan, totdat de familie Tokugawa zijn macht
verloor in 1868. De nieuwe regering, Meiji, besloot om Japan te moderniseren,
zodat Japan in ontwikkeling gelijk werd aan de westerse wereld. Er werden
scholen opgericht vanuit de regering en de leiders van Japan besloten in
1872 om wasan niet meer in de scholen aan te leren. In plaats daarvan werd
op de scholen yosan aangeleerd; westerse wiskunde.
4.3Japansewiskundigen
In deze paragraaf besteden we wat aandacht aan verschillende belangrijke
Japanse wiskundigen. De meeste wiskundigen zijn bekend geworden om hun
accurate berekening van pi of door het schrijven van een boek dat later erg
belangrijk werd.
We gaan het hebben over de wiskundigen: Yoshida Mitsuyoshi, Muramatus
Shigekiyo, Takebe Katahiro, Matsunaga Yoshisuke, Ajima Naonobu en fujita
Sadasuke.
Als eerst gaan we het hebben over Yoshida Mitsuyoshi. Hij schreef een
belangrijk boek voor de Japanse wiskunde, Jinkō-ki. Er is niet veel bekend
over Mitsuyoshi. Hij is geboren in Kyoto in 1598 en stierf 75 jaar later. Zijn vader
was een belangrijk handelaar en daardoor had hij makkelijk toegang tot
Chinese wiskundige boeken. In Jinkō-ki staan veel oefeningen voor de
soroban. Veel komen uit het dagelijks leven of het zakenleven.
Muramatsu Shigekiyo leefde van 1608 tot 1695. Hij was de eerste Japanner
die een betere waarde van pi berekende dan de 3,16 die toen werd
gebruikt. Hij gebruikte hiervoor de formule P(n)=2n*sin(180/2n), hij kon helaas
alleen tot n=15 uitrekenen en kwam hiermee op het antwoord π=3,141592648.

21 | P a g i n a
Dit is tot aan 8 decimalen correct. Maar omdat er in heel Japan π=3,16 werd
gebruikt, vertelde Shigekiyo alleen dat π=3,14, zoals in China werd gebruikt,
wat hij ook als extra ondersteuning gebruikte.
Takebe Katahiro leefde van 1664 tot 1739. In 1719 kreeg hij de opdracht een
kaart te maken van Japan, die kwam bekend te staan om zijn details, helaas
bestaat deze kaart niet meer. Takebe berekende de waarde van pi tot in 40
decimalen nauwkeurig. Hiervoor gebruikte hij een erg gecompliceerde
methode, dat gebruik maakte van oneindige rijen. Deze methode had hij zelf
bedacht en zo kwam hij op de waarde π=5419351/1725033, wat maar een
klein beetje groter is dan de echte waarde van pi.
Matsunaga Yoshisuke leefde van ongeveer 1692 tot 1744. Er is niet veel over
hem bekend, maar ook hij berekende de waarde van pi. Hij schreef 42
boeken, maar geen van deze zijn afgemaakt. In een van zijn boeken
berekende hij het getal pi correct tot de 52ste decimaal. Dit is de meest
accurate waarde van pi in de geschiedenis van de Japanse wiskunde.
Ajima Naonobu leefde van 1732 tot 1798. Hij werd bekend door het proberen
oplossen van het zogenaamde Gion heiligdom probleem. In dit heiligdom
hangt een sangaku met daarop een probleem dat uiteindelijk een
vergelijking wordt van de 1024ste graad. Naonobu is erin geslaagd om deze
vergelijking te vereenvoudigen tot de 10de graad. Daarnaast heeft hij ook
veel wiskundige boeken geschreven.
Fujita Sadasuke leefde van 1734 tot 1807. Hij werd in 1762 astronoom van de
staat, maar doordat hij problemen had met zijn ogen stopte hij 5 jaar later.
Samen met zijn zoon, Fujita Kagen, maakte hij een collectie van Sangaku,
genaamd Shinpeki Sanpō, of zoals het voorblad zegt: “Heilige wiskunde”. Na
de dood van zijn vader schreef Kagen een vervolg op dit boek, Zoku Shinpeki
Sanpō.

22 | P a g i n a
5.TempelsenHeiligdommen
Omdat Sangaku werden opgehangen in de tempels, wil ik graag dit
hoofdstuk wijden aan het godsdienstig aspect van de Sangaku.
Eerst gaan we het hebben over de oorspronkelijke Japanse religie; het
Shintoïsme.
Daarna gaat het over een religie dat wat meer bekend is, maar pas later
naar Japan is overgekomen; het Boeddhisme.
5.1Shintoïsme
In deze paragraaf gaat het over het Shintoïsme, of Shinto. Het Japanse
woord voor Shinto is 神道 en dat
betekent “de weg van de Goden”.
In deze religie aanbeden de
Japanners zogeheten kami. Kami
zijn ruim vertaald “natuurgeesten”
en ze zijn volgens de Japanners
overal. Het Shintoïsme is, ook nu, in
Japan een veel voorkomende
godsdienst. Dit is vooral te zien in de
gewoonte om op de deur te
kloppen voordat je een leeg huis of een lege kamer binnen gaat. Zo weten
de kami dat je eraan komt.
Het Shintoïsme heeft veel verschillende uitingen.
Zo zijn er verschillende soorten Shinto, zoals wij in
Nederland verschillende soorten kerken hebben;
hervormd, gereformeerd, evangelisch. Ook zijn
er veel rituelen voor het offeren, het bezoeken
van een heiligdom of het reinigen van je
lichaam en geest. Hier gaan we niet bij stil staan,
omdat dit niet erg relevant is voor het
onderwerp.
Om het Shintoïsme in stand te houden worden veel wezens uit
andere religies als kami beschouwd, zodat nieuwe
godsdiensten niet in conflict kunnen raken met het
oorspronkelijke Japanse geloof. Zo zijn de christelijke engelen en
demonen of de Boeddha’s uit het boeddhisme volgens het
Shintoïsme ook kami. Hierdoor worden veel religieuze oorlogen
verhoed.
Afbeelding 7: Japanse tekening vankami
Afbeelding 8: Shinto tempel
Afbeelding 9:
Japanse monniken
van het Shintoïsme

24 | P a g i n a
5.2Boeddhisme
Het Boeddhisme was in de Edo periode duidelijk aanwezig in Japan, er waren
al veel tempels en er zijn ook sangaku in de Boeddhistische tempels
opgehangen. Maar de meeste sangaku werden opgehangen in de Shinto
heiligdommen. Ook is het Boeddhisme veel bekender hier in Nederland dan
het Shintoïsme, daarom zal ik niet zo veel aandacht besteden aan dit
onderwerp.
Het Boeddhisme is een geloof zonder goden. Boeddha is namelijk geen god,
zoals veel mensen denken, maar Boeddha is een normaal mens dat “de
verlichting heeft bereikt”. Het Boeddhisme heeft vier edele wijsheden die
leiden tot de verlichting. De vier edele wijsheden zijn:
1. Al het leven is lijden.
2. De oorzaak van het lijden is verlangen.
3. Om niet te lijden moet je je losmaken van aardse verlangens.
4. Dit kan alleen door het volgen van het achtvoudige pad.
Het achtvoudige pad bestaat uit acht
handelingen; juist begrijpen, juiste intenties,
juist spreken, juiste handelingen, juist
levensonderhoud (beroep), juiste aandacht,
juiste inspanning en juiste mentale absorptie.
Dit wordt ook wel omschreven als moraliteit,
meditatie en wijsheid.
In de Boeddhistische tempels worden
verschillende Boeddha’s vereerd, omdat zij
zich wel konden losmaken van verlangens.
Ter ere van deze Boeddha’s werden in de
tempels sangaku opgehangen.
Afbeelding 10: Boeddhistische Tempel
in Japan

25 | P a g i n a
6.Sangaku
Nu zijn we eindelijk aangekomen bij het hoofdstuk over Sangaku, deze
tabletten hebben mij tot het kiezen van dit onderwerp gebracht.
Allereerst vertel ik wat over het woord Sangaku, en de betekenis hiervan.
Daarna gaan we het hebben over de oorsprong van de Sangaku.
Vervolgens krijgen we een paragraaf over het oplossen van een Sangaku.
En tenslotte geef ik twee voorbeelden in de laatste twee paragrafen, een
makkelijke en een moeilijke Sangaku.
6.1HetwoordSangaku
Het woord sangaku komt, net als de puzzels
zelf, uit het Japans. Zoals vele weten,
schrijven Japanners niet alleen met het
“normale” alfabet, maar ook met karakters.
Ook sangaku kan in karakters worden
geschreven, dat ziet er als volgt uit: 算額. Het
karakter 算 betekent opsommen en het
karakter 額 betekent hoeveelheid of lijst. Dus
je kunt er ook iets als “het opsommen van een
hoeveelheid” of “een opsomming in een lijst”
van maken. De tweede vertaling lijkt erg veel op de letterlijke vertaling;
wiskunde tablet. Een lijst, of een tablet, met daarop een opsomming,
wiskunde, een wiskunde tablet dus.
6.2DeoorsprongvanSangaku
Maar hoe kwamen de Japanners op het idee om
tabletten op te hangen in een heiligdom? Vroeger
geloofden de shintoïsten dat kami van paarden hielden.
Maar paarden zijn erg duur en veel mensen konden
geen paard betalen om te offeren aan de kami.
Daarom maakten de mensen die geen paard konden
veroorloven een tekening van een paard op een tablet
en hingen ze die in de tempel als offer voor de kami.
Later toen de wiskunde opbloeide wilden de
wiskundigen hun kennis terug geven aan de kami of iemand bedanken om
de kennis die hij aan hun had gegeven en maakten ze een tablet met
daarop een puzzel. En zo zijn de Sangaku in de tempels gekomen.
Afbeelding 11: Een Sangaku
Afbeelding 12: Een
sangaku in een tempel

27 | P a g i n a
6.3HetoplossenvaneenSangaku
Het oplossen van een sangaku verschilt per probleem. Veel sangaku zijn
meetkundige problemen en moeten daarom met behulp van meetkundige
stellingen en regels opgelost worden. Hierdoor krijg je vaak veel vergelijkingen
die moeten worden opgelost met algebra en analyse.
Analyse is een tak binnen de wiskunde die
zich bezig houdt met de veranderingen
binnen functies. Hierbij wordt dan gekeken
naar de helling en de oppervlakten van
functies, maar ook naar hoe een functie
verloopt als je oneindig grote of oneindig
kleine waarden invult. In Japan wordt dit
Enri genoemd, over de originele Japanse
methoden is erg weinig bekend. Wel is
bekend dat de Japanners al vroeg
konden differentiëren en integreren, de
wiskundigen hebben echter helaas niet opgeschreven hoe ze aan hun
antwoorden kwamen; alleen de begin- en eindstappen zijn opgeschreven.
6.4EenmakkelijkeSangaku
In deze paragraaf geef ik twee voorbeelden van een makkelijke sangaku7.
Deze zouden middelbare scholieren ook kunnen oplossen
In de afbeelding hiernaast staan 3
cirkels getekend van drie
verschillende grootten. Alle cirkels
liggen op één rechte lijn. De kleinste
cirkel ligt in het midden en raakt
beide cirkels en de grootste cirkel
raakt naast de kleinste cirkel ook de
andere cirkel. De grootste cirkel heeft
de straal r1, de kleinere cirkel heeft de
straatl r2 en de kleinste cirkel heeft de
straal r3. De afstand tussen het
raakpunt van de grootste cirkel en
het raakpunt van de kleinste cirkel heet d1 en de afstand tussen de
raakpunten van de twee kleinste cirkels heet d2.
Bewijs dat
1
√ 𝑟3
=
1
√ 𝑟1
+
1
√ 𝑟2
.
7
http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/artikel_printversie.php?deze_art_online_i
d=203
Afbeelding 13: Een andere sangaku

28 | P a g i n a
In het plaatje hier rechts staan twee cirkels. Deze
situatie is gelijk aan de situatie van cirkel r1 en r2 en
cirkel r1 en r3, daarnaast is het ook de situatie van
r2 en r3, maar dan in spiegelbeeld. Uit deze
afbeelding gaan we een afleiding maken dat ons
gaat helpen bij het bewijzen van de stelling.
d2 =PQ2-PT2 (stelling van Pythagoras)
Daarnaast geldt er in r=PR en s=QS en dus geldt er ook: PT=r-s en PQ=r+s. Als
je dit invult in de stelling van pythagoras krijg je:
d2=(r+s)2-(r-s)2=(r2+2rs+s2)-(r2-2rs+s2)=4rs
𝑑 = √4𝑟𝑠 = 2√ 𝑟𝑠
Als we dit toepassen op de drie cirkels krijgen we het volgenden:
𝑑1 = 2√ 𝑟1 ∙ 𝑟3
𝑑2 = 2√ 𝑟2 ∙ 𝑟3
𝑑1 + 𝑑2 = 2√ 𝑟1 ∙ 𝑟2
Dus 2√ 𝑟1 ∙ 𝑟2 = 2√ 𝑟1 ∙ 𝑟3 + 2√ 𝑟2 ∙ 𝑟3 √ 𝑟1 ∙ 𝑟2 = √ 𝑟1 ∙ 𝑟3 + √ 𝑟2 ∙ 𝑟3
Als je nu beide kanten deelt door √ 𝑟1 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑟3 krijg je:
√ 𝑟1∙𝑟2
√ 𝑟1∙𝑟2∙𝑟3
=
√ 𝑟1∙𝑟3
√ 𝑟1∙𝑟2∙𝑟3
+
√ 𝑟2∙𝑟3
√ 𝑟1∙𝑟2∙𝑟3

1
√ 𝑟3
=
1
√ 𝑟1
+
1
√ 𝑟2
De andere sangaku is wat moeilijker, maar wel
gemakkelijk uit te beelden met bijvoorbeeld een
stukje origami papier.
Gegeven is de tekening hier rechts afgebeeld.
Waarin vierhoek ABCD een vierkant is. Als je
vierkant ABCD ziet als een stukje papier dat je dus
danig vouwt dat punt B op zijde CD komt te liggen,
ontstaan er de punten A’ en B’ als de nieuwe
locatie van A en B, de lengte van AB is dus gelijk
aan de lengte van A’B’. Daarnaast is punt F het
punt waarom zijde AD wordt gevouwen en punt E het punt waar A’B’ de zijde
AD snijdt. De zijden EA’ noemen we x, de zijde FA’ y en de zijde FE is z.
Na het vouwen ontstaan er twee driehoeken: B’DE en FA’E. Van deze twee
driehoeken wordt de ingeschreven cirkel getekend. De straal van de
ingeschreven cirkel van driehoek B’DE heet r en de straal van de
ingeschreven cirkel van driehoek FA’E heet s.
Doordat hoek FA’E is ontstaan uit hoek BAD is deze hoek een rechte hoek.
Ook hoek B’DE is recht, want dit is de hoek van een vierkant. Daarnaast zijn
de hoeken A’EF en DEB’ overstaande hoeken en dus ook gelijk. Daaruit volgt
dus dat de driehoeken B’DE en FA’E gelijkvormig zijn.
Verder is gegeven dat in een rechthoekige driehoek geldt: 𝑟 =
𝑎+𝑏−𝑐
2
met c als
de hypotenusa.
Bewijs dat r=x.

29 | P a g i n a
Door de gelijkvormigeheid (hh) verhouden de zijden van de driehoeken B’DE
en FA’E en de stralen r en s zich tot elkaar:
𝑟
𝐷𝐸
=
𝑠
𝐴′𝐸
𝑒𝑛
𝑟
𝐵′𝐸
=
𝑠
𝐸𝐹
En dus geldt er ook: r(EF-A’E)=s(B’E-DE)
Ook was gegeven dat EF=z, A’E=x en A’F=y. We noemen nu voor het gemak
de zijden van vierkant ABCD a. Dus B’E=a-x en DE=a-y-z, want AF=A’F.
Als we dit invullen krijgen we het volgende:
r(z-x)=s((a-x)-(a-y-z))=s(y-x+z)
Ook is verteld dat 𝑠 =
𝑥+𝑦−𝑧
2
=
1
2
(𝑥 + 𝑦 − 𝑧).
Als we dat invullen in de vorige vergelijking krijgen we:
𝑟( 𝑧 − 𝑥) =
1
2
( 𝑦 + 𝑥 − 𝑧)( 𝑦 − 𝑥 + 𝑧)
𝑟( 𝑧 − 𝑥) =
1
2
( 𝑦 − ( 𝑥 − 𝑧)2)
𝑟( 𝑧 − 𝑥) =
1
2
(𝑦2
− 𝑥2
− 𝑧2
+ 2𝑥𝑧)
Uit de stelling van Pythagoras kunnen we het volgende halen: x2+y2=z2.
In de vergelijking stond y2-x2-z2, als we de stelling van Pythagoras veranderen
krijgen we het volgende: -x2=y2-z2. Dus y2-x2-z2=-x2-x2=-2x2.
Als we dit ook invullen krijgen we:
𝑟( 𝑧 − 𝑥) =
1
2
(2𝑥𝑧 − 2𝑥2) = 𝑥( 𝑧 − 𝑥)  𝑟 = 𝑥
6.5EenmoeilijkSangaku
In deze paragraaf geef ik een voorbeeld van een moeilijke Sangaku8. Deze
Sangaku is oorspronkelijk gemaakt door Sangita Naotake in 1835 en
opgehangen in het Izanagi heiligdom in Mie.
In de afbeelding hiernaast is een
willekeurige scherphoekige driehoek
ABC getekend. Hierin zitten de lijnen
AE, BF en CG die elkaar snijden in het
willekeurige punt P. Punt E ligt op zijde
BC, punt F ligt op zijde AC en punt G
βγ geven
is de
oppervlakte van ∆ AFP, β is de
oppervlakte van ∆ FCP en γ is de
oppervlakte van ∆ CEP. De
oppervlakte S is de ∆ ABC.
Geef de oppervlakte S van ∆ ABC in
8 Uit Sacred Mathematics blz 193, 210, 211 en 212

30 | P a g i n a
Deze vraag is op meerdere manieren op te lossen. Eerst geef ik het orginele
antwoord uit het manuscript Solutions to Kakki Sanpō van Furuya Michio,
daarna geef ik een wat moderne oplossing van
deze vraag.
Als eerst roteren we het figuur en we voegen een
paar hulplijnen toe. Hierdoor onstaat de afbeelding
hiernaast.
Voor de duidelijkheid geef ik de verdere namen van
de lijnen. l2=CH2, l3=CH3, t1=FH1, t2=FH2, b=AC, b1=AF,
b2=CF. Daarnaast zijn er ook een aar hoogtelijnen
getekend. h1 is de hoogtelijn van ∆ ACP vanuit punt
P, h2 is de hoogtelijn van ∆ ABC vanuit punt B en h3 is
de hoogtelijn van ∆ACE vanuit punt E.
Daarna gebruiken we de fomule voor de
oppervlakte van een driehoek: O=
1
2
bh. Hierdoor
onstaan de volgende formules:
𝑆 =
1
2
𝑏ℎ2 (1)
𝛼 =
1
2
𝑏1ℎ1 (2)
𝛽 =
1
2
𝑏2 ℎ1 (3)
𝛼 + 𝛽 =
1
2
𝑏ℎ1 (4)
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 =
1
2
𝑏ℎ3 (5)
Verder zijn er ook gelijke driehoeken, hieruit volgen de volgende
vergelijkingen (ik snap niet waarom):
𝑙3 =
ℎ3 𝑙2
ℎ2
(6)
𝑡1 =
ℎ1 𝑡2
ℎ2
(7)
ℎ3
ℎ1
=
𝑏 − 𝑙3
𝑏1 + 𝑡1
(8)
De laatste vergelijking kan herschreven worden als: ℎ3( 𝑏1 + 𝑡1) − ℎ1( 𝑏 − 𝑙3) = 0.
Als je hier de vergelijkingen (6) en (7) in gevuld worden krijgen we:
ℎ3 (𝑏1 +
ℎ1 𝑡2
ℎ2
) − ℎ1 (𝑏 −
ℎ3 𝑙2
ℎ2
) = 0

31 | P a g i n a
Ook valt er uit het figuur te af te lezen dat t2=b2 – l2. Als je dit invult in de
vergelijking krijgen we:
ℎ3 (𝑏1 +
ℎ1 𝑏2
ℎ2
−
ℎ1 𝑙2
ℎ2
)− ℎ1 (𝑏 −
ℎ3 𝑙2
ℎ2
) = 0
ℎ3 𝑏1 +
ℎ3ℎ1 𝑏2
ℎ2
−
ℎ1ℎ3 𝑙2
ℎ2
− ℎ1 𝑏 +
ℎ1ℎ3 𝑙2
ℎ2
= 0
𝑏1ℎ3 +
ℎ1ℎ3 𝑏2
ℎ2
− 𝑏ℎ1 = 0
Nu halen we alle h’s uit de vergelijking door de vergelijkingen 1 t/m 5 in te
vullen in de termen en daarna in de vergelijking zelf.
𝑏1ℎ3 =
2 ∗
1
2
𝑏1ℎ1 ∗
1
2
𝑏ℎ3
1
2
𝑏ℎ1
=
2𝛼(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛼 + 𝛽
ℎ1ℎ3 𝑏2
ℎ2
=
2 ∗
1
2
𝑏2ℎ1 ∗
1
2
𝑏ℎ3
1
2
𝑏ℎ2
=
2𝛽(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝑆
𝑏ℎ1 = 2 ∗
1
2
𝑏ℎ1=2α+β
2𝛼(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛼 + 𝛽
+
2𝛽(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝑆
− (2𝛼 + 𝛽) = 0
𝛼(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛼 + 𝛽
+
𝛽(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝑆
− ( 𝛼 + 𝛽) = 0
Als je de vergelijking veranderd tot de vorm S= krijgen we:
𝛽(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝑆
= 𝛼 + 𝛽 −
𝛼(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛼 + 𝛽
𝑆 =
𝛽(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛼 + 𝛽 −
𝛼(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛼 + 𝛽
=
𝛽( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾) ∗ (𝛼 + 𝛽)
(𝛼 + 𝛽)2 − 𝛼(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
Om deze uitkomst en de volgende uitkomst te kunnen vergelijken haal ik de
haakje uit de teller en de noemer van het antwoord:
𝑆 =
( 𝛼𝛽 + 𝛽2
+ 𝛾𝛽)( 𝛼 + 𝛽)
𝛼2 + 2𝛼𝛽 + 𝛽2 − 𝛼2 − 𝛼𝛽 − 𝛼𝛾
=
𝛼2
𝛽 + 𝛼𝛽2
+ 𝛼𝛽𝛾 + 𝛼𝛽2
+ 𝛽3
+ 𝛾𝛽2
𝛼𝛽 + 𝛽2 − 𝛼𝛾
𝑆 =
𝛼2
𝛽 + 2𝛼𝛽2
+ 𝛼𝛽𝛾 + 𝛽3
+ 𝛾𝛽2
Het moderne antwoord:
Bij deze methode gebruiken we een andere
afbeelding om de opdracht overzichtelijk te
maken. Hiernaast zie je de afbeelding. De
de opdracht. is de oppervlakte van ∆ AFP, β is de
oppervlakte van ∆ FCP en γ is de oppervlakte van
∆ CEP. De oppervlakte S is de ∆ ABC. Daarnaast zijn
de oppervlakten X, Y en Z toegevoegd. X is de
oppervlakte van ∆BEP, Y is de oppervlakte van
∆BGP en Z is de oppervlakte van ∆AGP.

32 | P a g i n a
Uit het figuur kunnen we het volgende halen: S = X
Op basis van
de formule voor de oppervlakten van de driehoek kunnen we stellen dat de
oppervlakte van twee driehoeken tot de zelfde verhouding behoren als de
basis van die twee driehoeken.
𝐶𝐸
𝐵𝐸
=
𝛾
𝑋
=
𝛼 + 𝛽 + 𝛾
𝑋 + 𝑌 + 𝑍
En
𝐴𝐹
𝐹𝐶
=
𝛼
𝛽
=
𝛼 + 𝑌 + 𝑍
𝛽 + 𝑋 + 𝛾
=
𝑌 + 𝑍
𝑋 + 𝛾
De laatste vergelijking onstaat omdat als
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
dan geldt er
𝑎
𝑏
=
𝑎±𝑐
𝑏±𝑑
.
Want
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
→ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 ook als je kruislingsvermenigvuldigt met de andere
formule dan krijg je:
𝑎( 𝑏 ± 𝑑) = 𝑏( 𝑎 ± 𝑐)
𝑎𝑏 ± 𝑎𝑑 = 𝑎𝑏 ± 𝑏𝑐
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
Er komt hetzelfde uit, dus als
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
geldt dan geldt ook
𝑎
𝑏
=
𝑎±𝑐
𝑏±𝑑
Door kruislings te vermenigvuldigen komen we op twee nieuwe
vergelijkingen:
𝑋( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾) = 𝛾( 𝑋 + 𝑌 + 𝑍) → 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 =
( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛾
𝑋
𝛽( 𝑌 + 𝑍) = 𝛼( 𝑋 + 𝛾) → 𝑌 + 𝑍 =
𝛼(𝑋 + 𝛾)
𝛽
Als we deze formules in elkaar invullen krijgen we:
𝑋 +
𝛼(𝑋 + 𝛾)
𝛽
=
𝑋( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛾
𝑋 =
𝑋( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛾
−
𝛼( 𝑋 + 𝛾)
𝛽
𝑋 =
𝛽𝑋( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛾𝛽
−
𝛼𝛾( 𝑋 + 𝛾)
𝛽𝛾
=
𝛽𝑋( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾) − 𝛼𝛾( 𝑋 + 𝛾)
𝛾𝛽
𝑋 =
𝑋𝛼𝛽 + 𝑋𝛽2
+ 𝑋𝛽𝛾 − 𝑋𝛼𝛾 − 𝛼𝛾2
𝛾𝛽
𝑋𝛾𝛽 = 𝑋𝛼𝛽 + 𝑋𝛽2
+ 𝑋𝛽𝛾 − 𝑋𝛼𝛾 − 𝛼𝛾2
𝛾𝛽 = 𝛼𝛽 + 𝛽2
+ 𝛾𝛽 − 𝛼𝛾 −
𝛼𝛾2
𝑋
𝛼𝛾2
𝑋
= 𝛼𝛽 + 𝛽2
− 𝛼𝛾
𝑋 =
𝛼𝛾2
=
𝛼𝛾2
𝛽( 𝛼 + 𝛽) − 𝛼𝛾

33 | P a g i n a
Dit kunnen we invullen in de formule voor X+Y+Z die we eerder al hadden
gekregen.
𝑋 + 𝑌 + 𝑍 =
( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛾
𝑋
𝑋 + 𝑌 + 𝑍 =
( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛾
∗
𝛼𝛾2
𝛽( 𝛼 + 𝛽) − 𝛼𝛾
𝑋 + 𝑌 + 𝑍 =
𝛼𝛾2 ( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛾( 𝛽( 𝛼 + 𝛽) − 𝛼𝛾)
=
𝛼𝛾( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛽( 𝛼 + 𝛽) − 𝛼𝛾
En dan geldt voor de hele oppervlakte S:
𝑆 = 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 + 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 =
𝛼𝛾( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛽( 𝛼 + 𝛽) − 𝛼𝛾
+ 𝛼 + 𝛽 + 𝛾
𝑆 =
𝛼𝛾( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾)
𝛽( 𝛼 + 𝛽) − 𝛼𝛾
+
( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾)( 𝛽( 𝛼 + 𝛽) − 𝛼𝛾)
𝛽( 𝛼 + 𝛽) − 𝛼𝛾
𝑆 =
𝛼𝛾( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾) + ( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾)(𝛼𝛽 + 𝛽2
− 𝛼𝛾)
𝛽( 𝛼 + 𝛽) − 𝛼𝛾
𝑆 =
𝛼2
𝛾 + 𝛼𝛽𝛾 + 𝛼𝛾2
+ 𝛼2
𝛽 + 𝛼𝛽2
− 𝛼2
𝛾 + 𝛼𝛽2
+ 𝛽3
− 𝛼𝛽𝛾 + 𝛼𝛽𝛾 + 𝛾𝛽2
− 𝛼𝛾2
𝛽( 𝛼 + 𝛽) − 𝛼𝛾
𝑆 =
𝛼𝛽𝛾 + 𝛼2
𝛽 + 2𝛼𝛽2
+ 𝛽3
+ 𝛾𝛽2
𝛽( 𝛼 + 𝛽) − 𝛼𝛾
Om de antwoorden beter te kunenn vergelijken halen we de haakjes uit de
noemer.
𝑆 =
𝛼2
𝛽 + 2𝛼𝛽2
+ 𝛼𝛽𝛾 + 𝛽3
+ 𝛾𝛽2
Dit is hetzelfde antwoord als bij het orginele antwoord, dus de methode
maakt eigenlijk niet uit.
6.6Sangakuenhetdagelijksleven
In deze paragraaf gaat het over de rol van de sangaku in het dagelijks leven.
Het regelmatig maken en oplossen van wiskundige problemen zorgt voor veel
veranderingen in het dagelijks leven. Eerst ga ik vertellen over de kleine
veranderingen en daarna vertel ik over de sangaku pelgrimstocht en die
werden gemaakt.
Als je regelmatig wiskundige problemen oplost, ga je op
een andere manier denken; je gaat nadenken met meer
logica en oorzaak en gevolg. Door de trend om sangaku
te maken, begon wiskunde een steeds belangrijkere rol te
spelen in het dagelijks leven. Veel ouders stuurden hun
kinderen naar school, terwijl deze het eerst belangrijker
vonden voor de kinderen om op het land te werken en
geld te verdienen.
Afbeelding 14: Een
sangaku

34 | P a g i n a
Verder trokken wiskundigen het land rond om sangaku uit het hele land te
verzamelen. Zo ontstonden de sangaku
pelgrimstochten. De wiskundigen sliepen dan bij
vrienden en hielpen mensen uit de dorpen met hun
wiskundige problemen. Een ander doel van de
pelgrimstochten was om nieuwe kennis te verzamelen.
Een van de wiskundigen die zo’n pelgrimstocht heeft
gemaakt was Yamaguchi Kanzan. Hij hield bij wat hij
had beleefd in een dagboek en schreef ook
verschillende sangaku over uit verschillende tempels. Dit dagboek werd
uiteindelijk een boek genaamd: Syuyuu Sanpō, “reis wiskunde”.
Afbeelding 15: Sangaku
hangend in een tempel

35 | P a g i n a
7.Wasanversusyosan
In dit hoofdstuk gaan we het hebben over de verschillen in de Japanse
wiskunde (wasan)en de westerse wiskunde (yosan).
Japan liep behoorlijk voor op de westerse wiskunde. Zo word met de Sangi,
zoals verteld in hoofdstuk 3, een principe gebruikt dat wij kennen als het
Hornerschema. Dit is een algoritme dat is vernoemd naar William George
Horner, die het pas in 1819 beschreef. Terwijl het twee eeuwen eerder al door
je Japanners en nog eerder door de Chinezen in de sangi werd gebruikt.
Wat erg opvallend is voor het Japanse getallenstelsel is dat er al heel vroeg
werd gerekend met negatieve getallen, ook al staan ze niet in de tabel van
paragraaf 3.1. Voor veel wiskundigen uit het vroegere Westen waren
negatieve getallen taboe, hoe kan iemand nu een negatieve hoeveelheid
aan goederen hebben, of een negatieve lengte. Dat was voor hun
onvoorstelbaar. Verder is het vooral erg opmerkelijk, omdat de Japanse
wiskunde vooral ging over meetkunde en een negatieve lengte is erg
vreemd.
Ook konden de Japanners al erg vroeg differentiëren. Helaas is niet bekend
hoe ze dat deden, omdat alleen de eerste en de laatste stap werden
opgeschreven. Wat wel bekend is dat de manier waarop totaal anders is. Wij
gebruiken tegenwoordig voor differentiëren de volgende formule:
𝑓′( 𝑥) =
𝑓( 𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓( 𝑥)
∆𝑥
Maar in Japan werd deze formule niet als basis gebruikt. Voor welke methode
wel werd gebruikt zijn alleen aannames gemaakt op basis van de twee
opgeschreven stappen.
Naast differnetiëren konden de Japanners natuurlijk ook intergreren. Het
berekenen van oppervlaktes was één van de hoofdonderwerpen in de
Japanse wiskunde. Helaas valt hier verder heel weinig informatie over te
vinden. Dus de Japanse intergreer methode is mij onbekend.

36 | P a g i n a
8.Conclusie
In dit hoofdstuk geef ik de antwoorden op de hoofd- en deelvragen die in dit
profielwerkstuk zijn gegeven en beantwoord. Dit gebeurd in volgorde van de
thema’s van de hoofdstukken en een kleine samenvatting daarbij.
Sangaku werden vooral gemaakt in de Edo Periode, dit is de periode waarin
de familie Edo aan de macht was. Tijdens dit bewind werd Japan afgesloten
voor de buiten wereld en ontstond er een nieuwe vorm van het uitoefenen
van de wiskunde, de sangaku.
In die periode was er in Japan een getallenstelsel met negative getallen
ontwikkeld de naamgevind in dit stelsel is anders dan de hedendaagse
getallen. De Japanners gebruikten twee verschillende rekenhulpmiddelen bij
het oplossen van de problemen op de sangaku: de sangi en de soroban. De
sangi werd gebruikt om meerdergraads vergelijkingen mee te
vereenvoudigen en de soroban, hier bekend als de abacus, werd gebruikt
voor het oplossen van deze vergelijkingen. Voor de soroban werden veel
vraagstukken geschreven, zodat mensen de soroban leerden te gebruiken.
De Japanse wiskunde vindt zijn oorsprong in de Chinese wiskunde. Door
overlevering van Chinese wiskundige boeken werd de wiskunde ook in Japan
bekend. Eerst werd de wiskunde gebruikt voor het berekenen van de
belastingen, maar later ook voor de sangaku. Veel Japanse wiskundigen en
hun boeken hebben meegewerkt aan de ontwikkeling van de wiskunde.
In de Edo Periode had Japa twee hoofdreligies, het Shintoïsme, dat de
oorspronkelijke Japanse godsdienst is, en het Boeddhisme. De shintoïsten
geloofden in kami, vaak vertaald als Goden of natuurgeesten en de
Boeddhisten geloven in Boeddha, een verlicht man.
Sangaku is oud Japans voor ‘wiskunde tablet’.
De sangaku zijn ontstaan doordat mensen hun wiskundige problemen als het
ware offerden aan de kami en de Boeddha’s, als een teken van eerbetoon
of een vraag om hulp bij het oplossen.
De problemen die staan op de sangaku zijn op te lossen met geometrie. De
moeilijkheidsgraad van het probleem bepaald ook hoeveel je van de
meetkunde moet weten.
Om sangaku te verzamelen en mensen te helpen met hun wiksundige
problemen hielden wiskundigen vaak een pelgrimstocht langs verschillende
tempels waarin sangaku hingen en noteerden die, onderweg sliepen ze bij
vrienden en collega’s en hielpen de wiskundigen mensen die vast zaten in
hun berekeningen.

37 | P a g i n a
De ontwikkeling van de wiskunde, zoals het in Japan ging, heeft ervoor
gezorgd dat er in Japan al vroeg openbare scholen, juku, waren. Hierdoor
was in heel Japan het algemene wiskunde niveau hoger dan in de rest van
de wereld.
Al met al kunnen we concluderen dat de sangaku een buitengewone,
nieuwe ontwikkeling was in de geschiedenis van de wiskunde. Wiskunde dat
aan de Goden werd geofferd, dat deden zelfs de Grieken en de Romeinen
niet.
Verder zijn de sangaku erg belangrijk geweest voor de verdere ontwikkeling
van Japan. Doordat de Japanners heel veel interesse hadden in de
wiskunde, heeft dit zich ook sneller ontwikkeld dan in de rest van de wereld.
De Japanse ontdekkingen werden ongeveer tegelijk met de Westerse
ontdekkingen gedaan, maar de Japanse wiskunde bestond veel minder lang
dan de Westerse. Dit is daarom een behoorlijke prestatie geweest voor de
Japanners. En nog steeds zijn ze ons vaak op technologisch gebied een
beetje voor, met dank aan hun goede wiskundige achtergrond.

38 | P a g i n a
9.Bronnenlijst
1. Fukagawa, H en Rothman, T. (2008). Sacred Mathematics: Japanese
Temple Geometry. New Jersey: Princeton Univerity Press.
2. Eugene, D. en Yoshio, M. (2004). A history of Japanese mathematics.
Mineola: Dover Publications. (Page 4) 22 november 2010 (online versie)
3. http://www.kennislink.nl/upload/258486_962_1228484277625-
116561_962_1093258458636-japan-5.jpg 11 oktober 2010(plaatje
voorkant)
4. http://translation.babylon.com/japanese/to-english/%E9%A1%8D/ 22
november 2010
5. http://translation.babylon.com/japanese/to-english/%E7%AE%97/ 22
november 2010
6. http://en.wikipedia.org/wiki/Edo_period 8 december 2010
7. http://en.wikipedia.org/wiki/Sangaku (research)
8. http://www.wasan.jp/english/sangi.html 8 december 2010
9. http://en.wikipedia.org/wiki/Soroban 8 december 2010
10.http://en.wikipedia.org/wiki/Shinto 9 december 2010
11.http://nl.wikipedia.org/wiki/Shinto%C3%AFsme 9 december 2010
12.http://webhome.idirect.com/~totton/abacus/pages.htm 8 december
2010
13.http://nl.wikipedia.org/wiki/Boeddhisme 28 december 2010
14.http://nl.wikipedia.org/wiki/Analyse_(wiskunde) 30 december
2010(research)
15.http://en.wikipedia.org/wiki/The_Nine_Chapters_on_the_Mathematical
_Art 30 december 2010
16.http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_mathematics 30 december 2010
17.http://www.google.nl/imgres?imgurl=http://www.tads.nl/wordpress/wp
-content/uploads/2009/08/history2-
380x229.jpg&imgrefurl=http://www.tads.nl/&usg=__s7bJe-
PyhpFD3rqjXkZ3PN2YE10=&h=229&w=380&sz=30&hl=nl&start=6&zoom=1
&tbnid=vmWZk07jnMz02M:&tbnh=137&tbnw=211&ei=3FZ-
TdWHLIqUOqvtuZYH&prev=/images%3Fq%3Dthe%2Bisland%2Bof%2Bdes
hima%26hl%3Dnl%26biw%3D853%26bih%3D447%26gbv%3D2%26tbs%3Di
sch:10%2C332&itbs=1&iact=hc&vpx=525&vpy=118&dur=5076&hovh=17
4&hovw=289&tx=206&ty=120&oei=AFZ-
Tc3nLdDLsgbQzJj1Bg&page=2&ndsp=6&ved=1t:429,r:2,s:6&biw=853&bi
h=447 14 maart 2011 (Afbeelding 1)
18.http://www.nickhelsloot.nl/Judo%20site/images/Samurai.jpg 14 maart
2011 (Afbeelding 2)
19.http://www.wasan.jp/english/sangi.html 14 maart 2011 (Afbeelding 3)
20.http://www.wasan.jp/english/sangi.html 14 maart 2011 (Afbeelding 4)
21.http://www.cs.nott.ac.uk/~ef/ComputerXHistory/EarlyHistory/1956-
Soroban1171.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 5)

39 | P a g i n a
22.http://de.academic.ru/pictures/dewiki/121/yoshida_soroban.jpg 14
maart 2011 (Afbeelding 6)
23.http://img300.imageshack.us/img300/7374/okami.png 14 maart 2011
(Afbeelding 7)
24.http://laicite-aujourdhui.fr/IMG/jpg/temple_Kiyomizu2.jpg
14 maart 2011 (Afbeelding 8)
25.http://www.reizennaarjapan.nl/beelden/achtergronden/Shinto-
OyamaMatsuri.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 9)
26.http://i438.photobucket.com/albums/qq109/ypma/Japan%202009/P92
62630.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 10)
27.http://www.pythagoras.nu/mmmcms/images/article/202/sangaku.jpeg
14 maart 2011 (Afbeelding 11)
28.http://www.sangaku.info/images/ichiNoSekiHachiman/Sangaku_Hachi
man_ichinoseki_2368_small.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 12)
29.http://3.bp.blogspot.com/_V-
St_0oqpAw/SSHuiHbPF2I/AAAAAAAAAXM/j0GeknPF8hU/s320/sangaku_
Uchiko.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 13)
30.http://www.sangaku.info/images/ichiNoSekiMuseum/Sangaku_Museu
m_2310_small.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 14)
31.http://www.sangaku.info/images/fukushima/Sangaku_Fukushima_2583_
small.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 15)
32.http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/artikel_printversie.php?de
ze_art_online_id=23 28 februari 2011

40 | P a g i n a
10.Logboek
Datum Tijdsduur Activiteit
13-10-10 60 minuten Begin maken aan de Inleiding
14-10-10 tot
22-11-10
~ 80 uur Het boek 'Sacred Mathematics' lezen en sommige
problemen, die daarin staan, oplossen.
22-11-10 30 minuten De Indeling afmaken.
22-11-10 15 minuten Paragraaf 3.1 schrijven.
25-11-10 60 minuten Inleidingen schrijven voor elk hoofdstuk.
08-12-10 30 minuten Hoofdstuk 2 schrijven.
08-12-10 30 minuten Paragraaf 3.3 schrijven tot en met het
vermenigvuldigen.
15-12-10 30 minuten Paragraaf 3.3 verder schrijven tot de
staartdelingen.
27-12-10 45 minuten Paragraaf 3.3 afmaken.
21-02-11 15 minuten Verbeteren van spelling- en taalfouten.
21-02-11 45 minuten Het schrijven van Paragraaf 3.3.1.
28-02-11 15 minuten Hoofstuk 7 afmaken.
28-02-11 60 minuten Paragraaf 6.4 schrijven
28-02-11 120 minuten Schrijven van het orginele antwoord in paragraaf
6.5
01-03-11 60 minuten Begin gemaakt aan het schrijven van het
morderne antwoord in paragraaf 6.5
10-03-11 20 minuten Inleiding afmaken
14-03-11 45 minuten Het moderne antwoord in paragraaf 6.5 afmaken.
14-03-11 45 minuten Conclusie schrijven.
14-03-11 30 minuten Plaatjes toevoegen.
16-03-11 15 minuten Bronnenlijst in orde maken.
Totale tijd: 6165 minuten ≈ 103 uur

Profielwerkstuk Arianne

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Profielwerkstuk Arianne