PFC Eq Parte CeCiO

1. Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Il problema Phase Field Crystal bidimensionale Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Cesare Molinari 782407 Andrea Alessandro Ruggiu 782766 Politecnico di Milano 16/01/2014 Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 1 / 20

2. Sommario Problema PFC 2D Molinari Ruggiu 1 Discretizzazione e Linearizzazione 2 Risultati Numerici 3 Ulteriori Approcci 4 Sviluppi Futuri Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 2 / 20

3. Formulazione Debole: Metodo di Splitting Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Obiettivo: utilizzare Elementi Finiti P1 in spazio Metodo: Splitting di Equazione in Sistema equivalente  ∂ρ  ∂t = ∆σ  σ = ϕ (ρ) + 2Dk 2 ω + D∆ω   ω = ∆ρ Formulazione Debole: dato ρ0 ∈ L2 (Ω) vogliamo trovare 1 1 ρ, σ, ω ∈ L2 0, T ; Hp (Ω) t.c. ∀u, v , z ∈ Hp (Ω)   ∂ρ , u + ( σ, u) = 0,  ∂t 0  0 2 (σ, v )0 − 2Dk ω, v 0 + (D ω, v )0 − (ϕ (ρ) , v )0 = 0,  (ω, z) + ( ρ, z) = 0, 0 0 con ρ (t = 0) = ρ0 Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 3 / 20

9. Spazi di Semidiscretizzazione Elementi Finiti Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Considerando una Triangolazione Th = su Ω, deﬁniamo Vh = vh ∈ C 0 Ω : vh |Kj ∈ P1 , Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Nh j=1 Kj di Nh elementi ∀Kj ∈ Th e Vh = vh ∈ Vh : vh (x, y ) periodica di periodo Ω Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 4 / 20

10. Spazi di Semidiscretizzazione Elementi Finiti Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Considerando una Triangolazione Th = su Ω, deﬁniamo Vh = vh ∈ C 0 Ω : vh |Kj ∈ P1 , Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Nh j=1 Kj di Nh elementi ∀Kj ∈ Th e Vh = vh ∈ Vh : vh (x, y ) periodica di periodo Ω Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 4 / 20

11. Semidiscretizzazione in Spazio Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Dato ρh0 ∈ Vh , ∀t > 0 ﬁssato trovare ρh (t) , σh (t) , ωh (t) ∈ Vh t.c. ∀uh , vh , zh ∈ Vh   ∂ρh , uh + ( σh , uh ) = 0  ∂t 0  0 2 (σh , vh )0 − 2Dk ωh , vh 0 + (D ωh , vh )0 − (ϕ (ρh ) , vh )0 = 0  (ω , z ) + ( ρ , z ) = 0 h h 0 h h 0 con ρh (t = 0) = ρh0 Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 5 / 20

14. Discretizzazione Completa con Eulero all’Indietro in Tempo Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Dato ρh0 ∈ Vh , ∀n = 0, 1, . . . ﬁssato trovare n+1 n+1 ρn+1 , σh , ωh ∈ Vh t.c. ∀uh , vh , zh ∈ Vh h  ρn+1 −ρn  h ∆t h , uh + ( σh , uh )0 = 0  n  0   (σh , vh )0 − 2Dk 2 ωh , vh 0 + (D ωh ,   − ϕ ρn+1 , vh 0 = 0  h   (ωh , zh )0 + ρn+1 , zh 0 = 0 h vh )0 + con ρ0 = ρh0 h Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 6 / 20

17. Linearizzazione: Algoritmo Iterativo di Newton Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Inizializzazione: ρn,0 = ρn−1 h h Problema linearizzato: per n = 0, 1, . . . ﬁssata, ∀k = 0, 1, . . . n,k+1 n,k+1 trovare ρn,k+1 , σh , ωh ∈ Vh t.c. ∀uh , vh , zh ∈ Vh h  n,k+1 n,0  ρh −ρh , u  + ( σh , uh )0 = 0  h ∆tn   0    (σh , vh )0 − 2Dk 2 ωh , vh 0 + (D ωh , vh )0 − ϕ ρn,k , vh h 0  n,k+1 n,k n,k n,k  , vh + ϕ ρh ρh , vh = 0 − ϕ ρh ρh    0 0   (ωh , zh ) + ρn,k+1 , zh = 0 0 h 0 con ρ0 = ρh0 h Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 7 / 20

21. Test di Arresto Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione k In < toll (nelle Simulazioni, toll = 10−3 ) k dove In è l’Incremento, deﬁnito da Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri k In = k dn ρh 2 H 1 (Ω) k + dn σh 2 H 1 (Ω) k + dn ωh |Ω| 2 H 1 (Ω) . con k dn (·) = (·)n,k+1 − (·)n,k Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 8 / 20

22. Test di Arresto Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione k In < toll (nelle Simulazioni, toll = 10−3 ) k dove In è l’Incremento, deﬁnito da Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri k In = k dn ρh 2 H 1 (Ω) k + dn σh 2 H 1 (Ω) k + dn ωh |Ω| 2 H 1 (Ω) . con k dn (·) = (·)n,k+1 − (·)n,k Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 8 / 20

23. Diagramma di Fase Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Obiettivo: riproduzione del Diagramma di Fase (ricavato empiricamente in [EKHG]) Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 9 / 20

24. Validazione Numerica del Diagramma di Fase Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Metodo: fissato il valore di ρ = 0.07, Simulazioni per differenti ε; ¯ fissato il valore di ε = 0.15, Simulazioni per differenti ρ ¯ con Domino Ω = [0, 370]2 e Dato Iniziale:  √ √ ρ + C cos (qX ) cos qY − 1 cos 2qY ¯ 2 3 3    se (X , Y ) ∈ [220, 250] × [−70, −20] , ρ0 =      ρ ¯ altrimenti dove C = 0.446, q = 0.66 e (X , Y ) è un sistema di coordinate ruotato di − π 3 Griglia e Timestep: griglia non strutturata con 170 nodi per lato; passo temporale ∆t = 4 Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 10 / 20

29. Diagramma di Fase per ε = 0.15 ﬁssato al variare di ρ ¯ Problema PFC 2D ρ = 0.3: Regime a Stato Stazionario Costante (Fase Liquida) ¯ Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci C:/Andrea/Tabella030.jpg Sviluppi Futuri VIDEO Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 11 / 20

30. Diagramma di Fase per ε = 0.15 ﬁssato al variare di ρ ¯ Problema PFC 2D Molinari Ruggiu ρ = 0.15: Regime a Stato Stazionario Esagonale (Fase Solida ¯ Cristallina) Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci C:/Andrea/Tabella015.jpg Sviluppi Futuri VIDEO Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 12 / 20

31. Diagramma di Fase per ε = 0.15 ﬁssato al variare di ρ ¯ Problema PFC 2D ρ = 0.03: Regime a Stato Stazionario a Striscie ¯ Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci C:/Andrea/Tabella003.jpg Sviluppi Futuri VIDEO Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 13 / 20

32. Crescita di Cristalli diﬀerentemente orientati Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Valori delle Costanti: ρ = 0.285 e ε = 0.25 (Regime ¯ Esagonale) Dato iniziale:  qy ρ + C cos (qx) cos √ − 1 cos 2qy √ ¯  2 3 3     se (x, y ) ∈ [140, 170] × [220, 260]           ρ + C cos (qX1 ) cos qY1 − 1 cos 2qY1 √ √  ¯  2 3 3 ρ0 = se (X1 , Y1 ) ∈ [160, 180] × [−30, 20]          ρ + C cos (qX2 ) cos qY2 − 1 cos 2qY2 √ √  ¯ 2  3 3     se (X2 , Y2 ) ∈ [70, 100] × [280, 310]    ρ ¯ altrimenti Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 14 / 20

33. Crescita di Cristalli diﬀerentemente orientati Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Valori delle Costanti: ρ = 0.285 e ε = 0.25 (Regime ¯ Esagonale) Dato iniziale:  qy ρ + C cos (qx) cos √ − 1 cos 2qy √ ¯  2 3 3     se (x, y ) ∈ [140, 170] × [220, 260]           ρ + C cos (qX1 ) cos qY1 − 1 cos 2qY1 √ √  ¯  2 3 3 ρ0 = se (X1 , Y1 ) ∈ [160, 180] × [−30, 20]          ρ + C cos (qX2 ) cos qY2 − 1 cos 2qY2 √ √  ¯ 2  3 3     se (X2 , Y2 ) ∈ [70, 100] × [280, 310]    ρ ¯ altrimenti Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 14 / 20

34. Crescita di Cristalli diﬀerentemente orientati Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci VIDEO In Regime Stazionario, evidenza di Lacune (ovvero zone di conﬁne in cui avviene brusco il cambio di struttura cristallina) Sviluppi Futuri Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 15 / 20

35. Crescita di Cristalli diﬀerentemente orientati Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci VIDEO In Regime Stazionario, evidenza di Lacune (ovvero zone di conﬁne in cui avviene brusco il cambio di struttura cristallina) Sviluppi Futuri Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 15 / 20

36. Test di Convergenza in Tempo Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Settings: Dominio: Ω = [0, 370]2 Dato Iniziale: come in Esperimento di Validazione Diagramma di Fase Valori Costanti: D = k = 1, ε = 0.14 e ρ = 0.07 ¯ Griglia: non strutturata di 170 nodi per lato Errore Relativo in H 1 di ciascuna Soluzione ρh,∆t rispetto a quella con il passo di tempo più ﬁne ρ∗ al Tempo Finale h T = 128 per diversi Passi di Tempo ∆t: err (∆t) = Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) 1 |Ω| Problema PFC 2D ρh,∆t − ρ∗ h H 1 (Ω) 16/01/2014 16 / 20

37. Test di Convergenza in Tempo Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Settings: Dominio: Ω = [0, 370]2 Dato Iniziale: come in Esperimento di Validazione Diagramma di Fase Valori Costanti: D = k = 1, ε = 0.14 e ρ = 0.07 ¯ Griglia: non strutturata di 170 nodi per lato Errore Relativo in H 1 di ciascuna Soluzione ρh,∆t rispetto a quella con il passo di tempo più ﬁne ρ∗ al Tempo Finale h T = 128 per diversi Passi di Tempo ∆t: err (∆t) = Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) 1 |Ω| Problema PFC 2D ρh,∆t − ρ∗ h H 1 (Ω) 16/01/2014 16 / 20

38. Test di Convergenza in Tempo Problema PFC 2D Molinari Ruggiu 0.25 Discretizzazione e Linearizzazione 0.2 0.15 Risultati Numerici Ulteriori Approcci 0.1 C:/Andrea/Tabel.jpg 0.05 Sviluppi Futuri 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Decrescita Lineare dell’Errore Relativo: è prova di Convergenza in Tempo Lineare Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 17 / 20

39. Test di Convergenza in Tempo Problema PFC 2D Molinari Ruggiu 0.25 Discretizzazione e Linearizzazione 0.2 0.15 Risultati Numerici Ulteriori Approcci 0.1 C:/Andrea/Tabel.jpg 0.05 Sviluppi Futuri 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Decrescita Lineare dell’Errore Relativo: è prova di Convergenza in Tempo Lineare Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 17 / 20

40. Approcci della Decomposizione dell’Energia Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Problema: il Funzionale Energia Libera non è Convesso; Possibile approccio (proposto in [WWL] e seguito poi in [EW]): Decomposizione di Funzionale Energia Libera come diﬀerenza di due Funzionali Convessi Infatti, per Ec [ρ] = Ee [ρ] = si ha che Ω Ω| 1 2 |∆ρ|2 + 1−ε 2 2 ρ + 1 ρ4 dx; 4 ρ|2 dx, E = Ec − Ee Risultato Teorico: Stabilità della Discretizzazione in Tempo Semi-Implicita che deriva da ρn+1 − ρn =∆ ∆t Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) δEc ρn+1 δρ Problema PFC 2D −∆ δEe (ρn ) δρ . 16/01/2014 18 / 20

45. Approcci della Decomposizione dell’Energia Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Accenno all’approccio in [EW]: aggiungere e togliere un termine a entrambe le Componenti dell’Energia senza modiﬁcarne la Convessità e in modo tale da ricondurre la Non-Linearità tutta nella Componente calcolata in esplicito all’istante temporale precedente Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 19 / 20

46. Sviluppi Futuri Problema PFC 2D Molinari Ruggiu Discretizzazione e Linearizzazione Risultati Numerici Ulteriori Approcci Sviluppi Futuri Visto che i Lavori riguardo alla Decomposizione dell’Energia sono tutti in Diﬀerenze Finite, si potrebbe implementare questa idea in Schemi a Elementi Finiti; Splitting a due equazioni tramite Spazi a Elementi Finiti NURBS (globalmente C 1 ), che permettono il calcolo dell’Energia Libera; Simulazioni Numeriche dell’Equazione PFC in Tre Dimensioni; Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 20 / 20

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