本文档介绍了微分方程式的数值求解方法，尤其是欧拉法，通过迭代计算生成不同初始值下的解。使用 Python 中的 pylab 库对微分方程式进行图形化展示，并强调了起始条件的重要性和计算精度的影响。最后，通过具体代码示例演示了如何实现该方法。

1. 微分方程式
數值求解
158
簡要 python 學習講義

2. 微分方程式數值求解 (一)
159國立中央大學數學系

3. 微分方程式數值求解 (二)
160國立中央大學數學系
為微分方程式解析解 的估算值 ，
如此逐步迭代產生以下計算步驟：
1. 設定計算區間在 [a,b] ，起始條件 y(a) = c
2. 執行 n 步，計算 h = (b-a)/n
3. 設定 = a 與 = c 與
4. 依次計算 i ∈ [0,n)

4. 微分方程式數值求解 (三)
161國立中央大學數學系
 此公式需設定起始條件才能求解，若讓 = c，c 要一開始就給定，
整個數值求解才能開始。以上的數值求解法稱為 Euler method，這
是最簡單的數值法用來計算起始值問題(initial value problem)
，缺點為計算精度偏低，若要得到較好的結果，h 要越小越好。
 本程式利用 c 迴圈來設定起始值，c 分別為 0、5、10，對相同微分
方程式，三個不同起始值代表三個不同的微分方程式，可產生三個數值
解。一般來說，所有起始值微分方程的數值方法，離起始點越遠，誤差
越大。

5. 微分方程式數值求解 (四)
162國立中央大學數學系

6. 微分方程式數值求解 (五)
163國立中央大學數學系
import pylab
#----------------------------------------
# y’ = x**(1/3) sin(x) + 0.2
#
# i.c. y(0) = val val = range(0,11,5)
#----------------------------------------
def fn(x) :
return x**(1/3) * pylab.sin(x) + 0.2
# 設定周邊空白為白色
pylab.figure(facecolor=’white’)
# 設定 [a,b] 與執行次數 n
a , b , n = 0 , 20*pylab.pi , 500
dx = (b-a)/n
# 設定 xs , ys
xs = [ a + i*dx for i in range(n+1) ]
ys = [None] * (n+1)
# c ：起始值，在此分別為 0 5 10 三數
# 以下計算相同微分方程式但不同起始值的解答
for c in range(0,11,5) :

7. 微分方程式數值求解 (六)
164國立中央大學數學系
ys[0] = c
for i in range(n) :
ys[i+1] = ys[i] + dx * fn(xs[i])
sym = ’y(0) = ’ + str(ys[0])
pylab.plot(xs,ys,label=sym)
# 設定圖形標頭文字
pylab.title(r”$y’ = sqrt[3]{x}, sin(x) + 0.2$",fontsize=20)
# 設定 X 軸與 Y 軸文字
pylab.xlabel(’X’)
pylab.ylabel(’Y’)
# 設定各線條圖例位置
pylab.legend(loc=’upper left’)
pylab.show()