OpenGLとDirectXの透視変換行列も載せてあります。

1. 透視変換の実践
Yasuhiro Todoroki

2. 透視変換とは
手前の物が大きく、奥に行くほど小さく見える様に施す変換
臨場感を出すための効果。
変換前
変換後

3. 透視変換とは
• 手前の物は大きく、奥の物は小さく投影
面に映す。
• 計算は意外と Simple で、小学校の時の知
識があれば、算出可能
•手前の物は大きく
•奥の物は小さく投影面に映す。
距離が近ければ大きく映せば良い

4. 注意点
本によって様々なとらえ方
原点をどこにするかで式が異なる
通常はこちらで考える
Type2
Type1
z
z
ここが基準
d
d
E
ここが基準
E

5. Type1
P
R （ xs,ys,zs ）
点 P をスクリーン上に投影したい
d
z

6. Type1
P
スクリーン上の点を求めるには
相似比を用いる
今 R が（ xs,ys,zs ）
であるとするならば、
R （ xs,ys ）
d
z

7. Type1
(x,y,z)
P
R が（ xs,ys,d ）
P が (x,y,z)
であるとするなら
ば、
xs : d = x : z
ys : d = y : z
zs : d = z : z
R （ xs,ys,d ）
故に
xs=xd/z ..y,z
ys=yd/z ..y,z
d
z
これを Matrix 形式
で！

8. Type2
P
R （ xs,ys ）
点 P をスクリーン上に投影したい
d
z

9. Type2
P
スクリーン上の点を求めるには
相似比を用いる
今 R が（ xs,ys ）
であるとするならば、
R （ xs,ys ）
d
z

10. Type2
(x,y,z)
P
R が（ xs,ys ）
P が (x,y,z)
であるとするなら
ば、
xs : d = x : (d+z)
ys : d = y : (d+z)
zs : d = z : (d+z)
R （ xs,ys,zs ）
故に
xs/d=x/(d+z) ..y,z
xs=x*d/(d+z) ..yz
d
z
これを Matrix 形式
で！

11. 注意事項
スクリーンはどこにおいても良いことに注意
モデリング座標のデータを、
Rotation,Moving し、
ワールド座標系設置する。
その後に視野変換を施し、
スクリーンの投影位置を決める。
d

12. Type1 のマトリックス
単純に考えた形
0
0
d / z
 0
d/z
0

 0
0
d/z

0
0
 0
d 0
0 d

0 0

0 0
0  x 
0  y 
 
0  z 
 
1  1 
0 0  x  1 0 0
0 0   y  0 1 0
  = 
d 0   z  0 0 1
  
1 0   1  0 0 1 / d
d 0
0 d

0 0

0 0
0
0
1
1
0  x  1
0   y  0
  = 
0   z  0
  
0   1  0
0 0
1 0
0 1/ d
0 1/ d
0  x 
0  y 
 
0  z 
 
0  1 
0  x 
0  y 
 
0  z 
 
0  1 
同次座標系の特性をうまく利用した例
上記の方法では Z 座標のデータがすべてすっ飛んでしまう。
これにより、 Z 情報は保存される。

13. OpenGL と DirectX の透視変換行列
openGL
[2/(right-left) 0
0
(-right-left)/(right-left)]
[0
2/(top-bottom) 0
(-top-bottom)/(top-bottom)]
[0
0
-2/(far-near) (-far-near)/(far-near)]
[0
0
0
1]
DirectX
http://www.codeguru.com/cpp/misc/misc/math/article.php/c10123__3/