Poftim lumne

1. Permutări - exerciții și probleme de sinteză
1. Fie permutările 








3421
1234
 și 








4132
1234
 .
a) Calculați .
2012
2012

  b) Rezolvați ecuația 

 
2013
2014

 x .
c) Demonstrați că ecuația 

20
x nu are soluții în 4
S . (Variante Bacalaureat, 2012)
2. Se consideră 6
245361
123456
S










 .
a) Determinați 1

 . b) Arătați că  și 1

 au același număr de inversiuni. (Variante Bacalaureat, 2009)
3. Să se determine (i, j) astfel încât permutarea  să fie pară, respectiv, impară, în cazurile:
.
4. Să se determine numărul de inversiuni ale permutării  , în cazurile:
5. Să se determine mulțimea S =  
*
| N
n
n

 , știind că
.
6. Să se determine 5
S
X  , știind că X
X 
  , unde
.
7. Să se descompună în produs de transpoziții permutarea
.
8. Determinați numerele naturale n, nenule, pentru care produsul tuturor permutărilor de grad n să fie o
permutare impară. ( Concursul ,,Mircea Ganga’’, 2011)

2. 9. Se dau permutările:
.
a) Calculați 
  și 1
1 


 ; b) Calculați 2011
 ; c) Rezolvați ecuația 
 
 x ;
d) Rezolvați ecuația 

2
x ; e) Scrieți permutarea  sub formă de produs de transpoziții și determinați
paritatea sa.
10. Se dau permutările:
.
a) Determinați n
 și n
 , pentru nN; b) Calculați 33
77

  ; c) Determinați numărul de inversiuni
și semnul permutărilor date; d) Descompuneți în produs de transpoziții permutarea  ; e) Rezolvați
ecuația 6
5
6
5



 


 X .
11. Se consideră următoarele permutări de gradul patru:
.
a) Arătați că e

 2
2

 , 
 
1
, 
 
1
și 


 

 ; b) Determinați o permutare 4
S

 ,
astfel încât 
 
1
. (Variante Bacalaureat, 2007)
12. Fie permutările 4
, S


 ,
.
Rezolvați sistemul







X
Y
Y
X


, unde 4
,
,
, S
Y
X 

 . (Gazeta Matematică nr.10/2000)
Profesor, Cosma Teodora