Fisika Kuantum, Potensial Gandenshtein IV, PD Hypergeometry

1. 1
Penyelesaian Potensial Gendenshtein IV
dengan PD Hypergeometry
Oleh :
ISMAIL (S911408001)
PROGRAM STUDI ILMU FISIKA

2. 2
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
2015
Penyelesaian Potensial Gendenshtein IV dengan PD Hypergeometry
Persamaan potensial Gendenshtein IV dinyatakan dengan :
 






















x
xab
x
aab
m
Veff 22
22
cos
sin
2
1
2
cos
1
2

(1)
Persamaan Schrodinger untuk potensial Gendenshtein IV dapat dinyatakan sebagai :
  

E
x
xab
mx
aab
mdx
d
m






















 2
2
2
22
2
22
cos
sin
2
1
2
2cos
1
22

(2)
dimisalkan
 
   zz
zzx
dx
dz
dzxdx
zdxd
zx






1
2
12
2
cos
2cos
21sin
21sin
 
 
 
   zzzzx
zzx
zzx
zzx
zx
xx
xx







1214cos
14cos
44cos
4411cos
211cos
sin1cos
1cossin
2
22
22
22
22
22

3. 3
    
      
          
    
     
    
  
dz
d
z
dz
d
zz
dx
d
dz
d
zz
dz
d
z
dx
d
dz
d
zz
dz
d
zz
z
zz
dx
d
dz
d
zz
dz
d
zzzzz
dx
d
dz
d
zz
dz
d
zz
dx
d
dz
d
zz
dz
d
zz
dx
d
dz
d
dx
dz
dz
d
dx
dz
dx
d





























2
1
1
121
2
1
1
1
21
2
1
1
1211
2
1
1
11
11
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
Dengan substitusi persamaan (3) dan (4) ke persamaan (2) diperoleh hasil :
     

E
x
xab
mx
aab
mdz
d
z
dz
d
zz
m



































 2
2
2
22
2
22
cos
sin
2
1
2
2cos
1
22
1
1
2

dengan mengalikan semua suku dengan 2
2

m
 diperoleh hasil :
     

E
m
x
xab
x
aab
dz
d
z
dz
d
zz 222
2
2
2
2
cos
sin
2
1
2
cos
1
2
1
1






























    
 
 
 


E
m
zz
zab
zz
aab
dz
d
z
dz
d
zz 2
2
2
2
2
14
21
2
1
2
14
1
2
1
1
































Dengan memisalkan 2
2
2
kE
m


diperoleh hasil :
    
 
 
 

 2
)(
2
2
2
14
21
2
1
2
14
1
2
1
1 k
zz
zab
zz
aab
dz
d
z
dz
d
zz
I































  
Persamaan (I) dapat diubah menjadi

4. 4
 
 
 
 zz
zab
zz
aab











14
21
2
1
2
14
12
 
   
 
     
 
     
   
     z
ab
z
ab
z
ab
z
aab
z
aab
z
ab
zz
ab
zz
aab
zz
azb
zz
ab
zz
aab
zz
azab
zz
aab

































































































14
2
1
4
14
2
1
2
4
2
1
2
14
1
4
1
14
2
1
4
14
2
1
2
14
1
14
2
1
22
14
2
1
2
14
1
14
2
1
2
2
1
2
14
1
22
2
2
2
   
     
   
 
 
 z
abab
z
abab
z
abab
z
abab
z
abaab
z
abaab
z
ab
z
ab
z
aab
z
ab
z
aab




























































































































14
4
1
2
1
2
2
1
4
4
1
2
1
2
2
1
14
2
1
2
4
1
2
1
4
2
1
2
4
1
2
1
14
2
1
21
4
2
1
21
14
2
1
4
14
2
1
2
14
1
4
2
1
2
4
1
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
Catatan Penting
  zzzz 

 1
11
1
1
Catatan Penting
22
2
22
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1


















































ababab
ababab

5. 5
 z
ab
z
ab





























14
4
1
2
1
4
4
1
2
1
22
Sehingga persamaan (6) menjadi
  
 
  
 
  
 
0
14
4
1
2
1
4
4
1
2
1
2
1
1
0
14
4
1
2
1
4
4
1
2
1
2
1
1
14
4
1
2
1
4
4
1
2
1
2
1
1
22
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2





























































































































































z
ab
z
ab
k
dz
d
z
dz
d
zz
k
z
ab
z
ab
dz
d
z
dz
d
zz
k
z
ab
z
ab
dz
d
z
dz
d
zz
Persamaan (7) merupakan persamaan differensial orde dua homogeny yang mempunyai titik
regular singular di titik z = 0 atau z = 1
Untuk titik z = 0
Suku 2
k dan
 z
ab














14
4
1
2
1
2
diabaikan terhadap suku
z
ab
4
4
1
2
1
2













, sehingga
persamaan (7) menjadi :
   0
4
4
1
2
1
2
1
1
2
2
2




















 

z
ab
dz
d
z
dz
d
zz
Sedangkan untuk z = 1
Suku 2
k dan
z
ab
4
4
1
2
1
2













diabaikan terhadap suku
 z
ab














14
4
1
2
1
2
sehingga
persamaan (7) menjadi :
  
 
0
14
4
1
2
1
2
1
1
2
2
2





















 

zz
ab
dz
d
z
dz
d
zz

6. 6
Fungsi Baru
   
           
                 
                 
   
                  
       
 
              
     
     
 
     
 
 
 
   









































zfzf
z
zf
z
zf
z
zf
zz
zf
z
zz
zfzfz
zfzzfzzfzzzfz
zz
zfzzzfzz
zfzzzfzzzfzzzfzz
zfzz
zfzzzfzzzfzzzfzz
zfzzzfzzzfzzzfzz
dz
d
zfzzzfzzzfzz
dz
d
zfzz
a
a
"'
12
'
1112
"'1
2'1112
"'1
2'1112
"
'1'1'12
11'1112
2
2
'11
1
2
1
12
1
21
1
12
112121
1
112
11121211
1
11111
11111
111
1




















Dari persamaan fungsi baru di atas, persamaan (7) menjadi :

7. 7
       
 
     
 
 
 
   
            
 
    
       
 
     
 
 
 
   
           
 
    
     
 
     
 
 
 
   
        
 
 
             
 
       
 
 
   
 
  0
14
4
1
2
1
4
4
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
12
1
12
212
11
0
14
4
1
2
1
4
4
1
2
1
1
2
1
1
2
1
12
1
21
1
01
14
4
1
2
1
4
4
1
2
1
11
2
1
1
2
1
12
1
21
11
01
14
4
1
2
1
4
4
1
2
1
111
2
1
1
2
1
12
1
21
11
2
22
'
"'
2
'
2
22
'11
"'
12
'
2
2
22
'11
"'
12
'
1112
2
22
'11
"'
12
'
1112










































































































































































































































































































zfk
z
ab
z
ab
zfzzf
z
z
zf
z
z
zfzzzzfzf
z
zfzzfzf
z
z
zfk
z
ab
z
ab
zfzfzzfzz
zfzf
z
zf
z
zf
z
zf
zz
zf
z
zz
zfzzk
z
ab
z
ab
zfzfzzfzzzz
zfzf
z
zf
z
zf
z
zf
zz
zf
z
zzzz
zfzzk
z
ab
z
ab
zfzzzfzzzfzzz
zfzf
z
zf
z
zf
z
zf
zz
zf
z
zzzz


















8. 8
             
 
       
 
 
   
 
  0
14
4
1
2
1
4
4
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
12
1
1
212
11
2
22
'
)()(
"'
)(
'
)(











































































zfk
z
ab
z
ab
zfzzf
z
z
zf
z
z
zfzzzzfzf
z
z
zfzzfzf
z
z
dc
ba

  





Persamaan (a)
           
           1
11111
111111


















zz
z
zz
z
z
z
z
z
z
z
Persamaan (b)
 
 
     
 
  
 
 
 
  
 
 
 
   
 z
zz
z
zz
z
z
z
z
z




















1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
11
1
111
1
1




Persamaan (c)

















z
z
zz
z
22
12
1
Persamaan (d)
 
 
 z
z
z
z
z
z
z
z
zz
z











































12
2
1
1
12
1
1
12
1
2
1
2
1
12
1
11
2
1





9. 9
Sehingga persamaannya menjadi :
               
 
 
 
 
         
 
 
       
   
 
 
        01
2
1
221
14
4
1
2
1
4
4
1
2
1
1221
1
121
1
0
14
4
1
2
1
4
4
1
2
1
12
2
1
122
1
1
12121
1
"'
22
2
2
22
"''
'

































































































































































zfzzzfzzz
zf
z
ab
z
ab
k
zzzz
zfk
z
ab
z
ab
zfzzzzfzfzzf
z
zf
z
zf
z
zfzzfzf
z













Pengubahan parameter
 122
4
1
2
1
2












 ab
 122
4
1
2
1
2












 ab
Untuk
       
   
   
 
 
   
 
   
 
 
        zfkzfk
zf
zz
k
zz
zf
zz
k
zzzz
22222
222
2
2
14
122
4
122
2
14
122
4
122
14
122
4
122
1221
1
121
1






































































10. 10
Untuk
       
 
   zfz
zfzzz
zfzzzfzzz
'
'
"'
122
2
1
2
2
1
222
1
2
1
221

























Disubtitusikan kembali ke persamaan diperoleh :
            
       0122
2
1
21
0122
2
1
21
22
2
2
22'"
















fk
dz
df
z
dz
fd
zz
zfkzfzzfzz


Persamaan di atas identik dengan PD orde dua Fungsi Hypergeometry
     011 2
2
 

ab
dz
d
zbac
dz
d
zz
dimana
  
     
 
 kb
ka
kkkab
kab
ba









22
22
Penentuan nilai α dan β
 
 
 
  



24
122
4
1
4
1
2
122
4
1
2
1
2
1
2
122
4
1
2
1
22
22
2
2
2




























baba
aababb
aabb
ab
 
 
2
4
4
2
2
22
ba
ba
ba








2
2
2
ba
ba
ba










11. 11
 
 
 
  



24
122
4
1
4
1
2
122
4
1
2
1
2
1
2
122
4
1
2
1
22
22
2
2
2




























baba
aababb
aabb
ab
 
 
2
4
4
2
2
22
ba
ba
ba








2
2
2
ba
ba
ba









Menentukanspectrum energy
dengan memilih a = - n
 
 
 
 
 
 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
na
m
E
naE
m
naE
m
naE
m
nak
nak
nka
nk
a
nk
baba
nk
n
n
n
n



















12. 12
Menentukanfungsi gelombang tingkatdasar
   
 
   
 
bbabba
baba
ba
ba
baba
baba
b
b
abbaa
babababa
babababa
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
xxxxx
xxxxxx
xxxx
zfzz









 







































































































































 














 


















 





 




















 





 





 





 





 





 





 






 





 





 





 





 





 






 





 





 





 


2
sin1
2
cos
sin1
2
2
cos
2
cos
sin1
2
2
cos
2
cos
2
2
sin1
cos
2
cos
sin1
cos
2
cos
sin1
cos
2
cos
sin1
cos
4
cos
sin1
sin1
sin1
sin1
4
sin1
sin1
sin1
4
sin1
sin1
2
2
sin1
4
sin1
2
sin1
2
sin1
4
sin1
2
sin1
2
sin1
2
sin1
2
sin1
2
sin1
2
sin1
2
sin1
2
sin1
2
sin1
2
sin1
2
sin1
2
2
2
sin1
2
sin1
1
2
sin1
1
2222
2
2
222222
222222
2
2
222222
222222
2222

