Paradoks Banach Tarski membahas tentang kemungkinan memecahkan sebuah bola padat menjadi beberapa kepingan lalu menyusun kembali kepingan tersebut menjadi dua buah bola yang sama ukurannya dengan bola semula. Teori ini dikemukakan oleh Stefan Banach dan Alfred Tarski, dimana Stefan Banach adalah matematikawan Polandia yang berpengaruh pada abad ke-20 sedangkan Alfred Tarski lahir di Warsawa dan menghabiskan kar

1. PARADOKS BANACH TARSKI
Untuk memenuhi salah satu tugas matakuliah Teori Bilangan
Dosen Pembimbing Eko Yulianto, M.Pd.
Oleh,
Risma Nurmalasari
142151227
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SILIWANGI
2015

2. Matematika merupakan bagian dari imajinasi. Perkembangan matematika
dengan imajinasi tersebut memberikan perkembangan dalam kehidupan nyata.
Tetapi apakah imajinasi dan kenyataan akan sama? Hal ini akan di ulas dalam
paradoks bancah tarski. Secara garis besar paradoks banach tarski membahas
mengenai perbandingan ukuran pada kenyataan dan imajinasi secara matematis.
Paradoks adalah situasi yang berkebalikan dari pandangan umum,
pernyataan yang seolah-olah bertentangan dengan pendapat mayoritas, akan tetapi
kenyataannya mengandung kebenaran. Teori ini berkaitan dengan salah satu objek
dalam R3.
Teori ini dike-
mukakan oleh Stefan
Banach dan Alfred
Tarski, sehingga para-
doks ini disebut Para-
doks Banach Tarski.
Stefan Banach adalah
seorang ahli matemati-
kawan Polandia. Dia
telah dianggap menjadi salah satu yang paling penting dan berpengaruh di
matematika pada abad ke-20. Banach adalah salah satu anggota dari Lwów
Sekolah Matematika. Stefan Banach lahir pada tanggal 30 Maret 1892 di Kraków.
Banach mulai bersekolah pada usia sepuluh tahun dan selalu terlihat sedang
mengerjakan soal-soal matematika pada saat jam istirahat oleh teman temannya.
Banach meniti karir melalui sekolah teknik di Universitas Teknik Lvov dari tahun
1910. Banach telah menerbitkan beberapa makalahnya, sehingga dia menawarkan
menjadi asisten di Lvov Technical University pada tahun 1920. Dia diberi gelar
doktor oleh Universitas Lvov pada tahun 1922, Banach mulai terikat seumur
hidup dengan Universitas. Pada tahun 1929 banach mendirikan sekolah
matematika dan menerbitkan sendiri jurnal matematika baru yang penting, Studia
Mathematica.
Gambar 1. Stefan Banach Gambar 2. Alfred Tarski

3. Sedangkan Alfred Tarski lahir di Warsawa pada 14 Januari 1902. Karya
tulis pertama Tarski pertama kali di publikasikan ketika dia berusia 19 tahun
berupa sekumpulan teori, hal yang ternyata mampu merubah hidupnya. Dia
mengajar di Polandia Pedagogical Institute 1922 – 1925, dan pada tahun 1924 dia
menerima gelar doktor pada bidang matematika di Universitas Warsawa. Dia juga
membantu mendirikan Institut Penelitian Dasar Ilmu di Berkeley tahun 1958-
1960. Tarski menghabiskan sisa karir akademisnya di Universitas California,
Berkeley dan menjabat sebagai profesor 1946-1968, dan diberi nama Profesor
Emeritus pada tahun 1968. Dia menerima Alfred Jurzykowski Yayasan Award
pada 1966, dan gelar doktor kehormatan dari Universitas Katolik Chile,
Universitas Marseille, dan University of Calgary. Tarski telah berkontribusi pada
matematika di tahun 1924, dia bergabung dengan stefan banach dan membangun
teori dekomposisi bola. Dia dan Banach membuktikan bahwa, jika seseorang
menerima Aksioma of Choice, bola dapat dipotong mejadi beberapa kepingan, dan
kemudian disusun kembali menjadi bola yang lebih besar, atau dapat disusun
kembali menjadi dua bola yang ukurannya masing masing sama dari yang
sebelumnya. Hal ini sekarang disebut Paradoks Banach Tarski.
Pada Paradoks Banach-Tarski kita dapat memecahkan bola padat
menjadi kepingan- kepingan berhingga kemudian menyusun ulang kepingan-
kepingan tersebut dengan menggunakan rotasi, dan translasi menjadi 2 buah bola
yang identik dengan sebelumnya. Perlu dipahami bahwa bola padat yang
dimaksudkan disini adalah bola padat menurut pemahaman matematika yaitu
himpunan titik-titik tak hingga yang didefinisikan sebagai 𝑠 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥2
+
𝑦2
+ 𝑧2
≤ 𝑟2
dengan r jari jari bola. Nah sekarang ada berapa banyak titik-titik di
S? Tak-hingga banyaknya. Inilah yang membedakan bola di dunia matematika
dengan bola di dunia nyata. Di dunia nyata bola mempunyai titik-titik (atom-
atom) yang berhingga. Teori yang ditemukan oleh Stefan Banach dan Alfred
Tarski ini melibatkan beberapa teori sebelumnya yaitu Translasi, rotasi, isometri,
kongruen dan aksioma pilihan.
Paradox Banach-Tarski (PBT) dijelaskan dalam dua versi yaitu versi
lemah dan versi kuat. Kedua versi ini memperlihatkan keanehan, dan keajaiban

4. yang berbeda. Versi Lemah Proses PBT yang dijelaskan dalam versi ini
mempertahankan: Bentuk, Ukuran, Kepadatan, dan Volume.
 Bentuk, artinya setelah proses PBT berlangsung bola padat yang
dihasilkan sama seperti bola padat sebelumnya, tidak menjadi lonjong,
gepeng atau setengah bola.
 Ukuran, artinya jika bola padat yang dipecah berjari-jari r, maka hasil PBT
akan tetap berjari-jari r juga.
 Kepadatan, artinya untuk mendapatkan dua atau lebih bola padat yang
memiliki ukuran dan bentuk yang sama dari susunan pecahan sebuah bola
padat, tidak dilakukan peregangan, sehingga kepadatannya tetap.
 Volume, artinya tidak dilakukan penambahan material kepingan dari luar
kepingan sebuah bola padat sebelumnya.
Hal ini di analogikan pada sebuah apel yang di potong menjadi beberapa
bagian yang kemudian bisa di susun kembali menjadi dua buah apel yang identik
sama.
Secara formal, PBT Versi Lemah ini mengatakan,
Untuk sebarang bola padat 𝐵 ⊆ 𝑅3
dapat dipecahkan menjadi kepingan-
kepingan berhingga 𝑃1 … 𝑃𝑛 , 𝑄1 … 𝑄 𝑚 dan isometri 𝜑1 … 𝜑 𝑛 , 𝜓1 … 𝜓 𝑚
R3 sedemikian sehingga
Kepingan yang sehingga terjadi PBT, bukan sembarang kepingan, untuk
terciptanya PBT, bola padat harus dipecah menjadi kepingan-kepingan yang non-
measurable, secara sederhana itu artinya kepingan-kepingan tersebut mempunyai
bentuk atau struktur yang teramat rumit sehingga ukuran, atau volume menjadi
tidak jelas, bahasa matematisnya Not well defined. Dan bagaimana
mengkontruksikan kepingan-kepingan yang non-measurable? Kita tidak tahu.
PBT melibatkan aksioma pilihan (Axiom of Choice). Jika kita punya bola padat
𝐴 dan 𝐶(𝐴) adalah himpunan semua kepingan yang mungkin maka aksioma
pilihan akan memililih kepingan-kepingan yang non-measurable tanpa pernah kita
ketahui cara memilihnya
Sedangkan versi kuat Disini PBT hanya mempertahankan: Bentuk,dan
Kepadatan. Untuk volume dan ukuran tidak dipertahankan, namun bukan berarti

5. versi ini tidak lebih aneh dari versi lemah. Untuk penjelasan mempertahankan
bentuk dan kepadatan sama dengan di atas. Hal ini di analogikan pada bola padat
seukuran kelereng menjadi kepingan-kepengan berhingga lalu kita bisa menyusun
ulang kepingan-kepingan tersebut menjadi bola padat seukuran matahari. Sangat
mustahil bukan? Percaya atau tidak, didunia matematika itu sangat mungkin
dengan menggunakan PBT versi ini.
Versi kuat PBT mengatakan,
Untuk sembarang dua bola padat A dan B dengan 𝐴 , 𝐵 ⊆ 𝑅3
maka dapat
dipecah menjadi kepingan-kepingan berhingga 𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … 𝐴 𝑛 dan 𝐵 =
𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ … 𝐵 𝑛 sedemikian sehingga untuk setiap i dari 1 sampai n,Ai kongruen
dengan Bi. Perlu diketahui bahwa PBT ini tidak berlaku di R dan R2. Dan
beberapa literatur mengatakan bahwa PBT akan dapat terjadi jika banyak
kepingan tidak kurang dari 4 kepingan.
Secara rasional, ukuran benda yang telah dibagi tidak dapat kembali
menjadi seperti semula. Misalkan sebuah apel yang dipotong-potong, disusun
kembali menjadi dua bagian yang identik sama dengan apel sebelumnya terlebih
kelereng yang dibagi menjadi kepingan-kepingan berhingga lalu kita bisa
menyusun ulang kepingan-kepingan tersebut menjadi bola padat seukuran
matahari. Dalam kenyataan itu tidak mungkin. Hal ini berarti imajinasi
matematika akan berbeda dengan kenyataan.
Adapaun menurut analisis sumber yang saya baca, saya cenderung ke PBT
versi lemah karena dalam PBT versi lemah hanyadi analogikan dengan sebuah
apel yang di potong menjadi beberapa bagian yang kemudian bisa di susun
kembali menjadi dua buah apel yang identik sama, hal itu memang mustahil tapi
jika di bandingkan dengan versi kuat, versi kuat lebih mustahil lagi yang
dianalogikan dengan sebuah kelereng yang dibagi menjadi kepingan-kepingan
berhingga lalu kita bisa menyusun ulang kepingan-kepingan tersebut menjadi bola
padat seukuran matahari. Jadi saya lebih cenderung ke PBT versi lemah karena
masih bisa diterima logika dan hampir mendekati tetapi mustahil kenyataannya
dan dari versi lemah ini juga dapat diambil pelajaran hidup bahwa kasih sayang
yang dibagi rata tidak semuanya sama, contohnya kasih sayang seorang guru yang

6. menyayangi anak didiknya meskipun dapat dibilang mereka menyayangi semua
anak didiknya sama rata namun sebenarnya terdapat beberapa anak didik yan
mereka lebih sayangi.
Manfaat dari essay ini kita bisa lebih mengetahui fenomena-fenomena di
matematika yang aneh, dan tidak selamanya apa yang bisa dibuktikan di dunia
matematika, bisa juga dibuktikan di kehidupan nyata seperti halnya Paradoks
Banach Tarski ini. Dan sesuatu yang bertolak belakang dengan kenyataan dapat
memberikan kemajuan yang teramat pesat dalam bidang pengetahuan dan
teknologi. Ini lah matematika. Bukan berarti ketidakmungkinan dengan kenyataan
akan menjadi sesuatu yang tidak berarti, justru ketidakmungkinan ini akan
menjadi mungkin apabila dilakukan dengan penuh keyakinan dan tekad yang
kuat, sebagaimana para matematikawan dengan segenap perjuangannya menjadi
peradaban seperti sekarang.

7. DAFTAR PUSTAKA
Anonim (2010). Alfred Tarski. Tersedia Online : http://biography.yourdictionary
.com/alfred-tarski. Diakses pada tanggal 23 Juni 2015.
Ariaturns (2010). Paradoks bancah tarski. Tersedia Online : https://ariaturns.word
press.com/2010/11/25/paradoks-banach-tarski/. Diakses pada tanggal 10
Juni 2015
Anonim (2010). Paradoks banach tarski. Tersedia Online : http://himatikareal.blo
gpot.com/2012/04/paradoks-banach-tarski.html. Diakses pada tanggal 10
juni 2015
Anonim (2015). Stefan Banach. Tersedia Online : http://www.britannica.com/bio
graphy/Stefan-Banach. Diakses pada tanggal 23 Juni 2015