1. A dilated LMI approach to
robust performance analysis
of linear time-invariant
uncertain system
Yoshio Ebihara, Tomomichi Hagiwara
Paper Review
知能アーキテクチャ講座
田中潤也
Editor's Notes 補題1はこの考え方を一般化しており、拡大されたLMI（2）は行列C、Dと変数Pの間の乗算関係をうまく解消することがわかります。さらに、拡張LMI（2） このような場合、不確かなパラメータを含む行列の逆行列を扱う必要があるため、LTIシステムのロバスト安定性/性能解析の問題を攻撃する上で非常に魅力的です。 定理1と2の証明で見てきたように、補題1の簡単な応用は、行列関数Mと行列P、A、B、C、Dを適切に選択することによって拡張されたLMIにつながる。さらに、両方の証明において、行列DはI-ΔφD2に対応し、したがって、結果として得られる拡張LMIは、I-ΔφD2の逆数を首尾よく除去する。この性質のおかげで、合理的なパラメータ依存の場合でも、ロバストな安定性/性能分析のための数値的に扱いやすい条件を導くことができます（次のサブセクションを参照）。たLMIにつながる。 システム（6）のロバスト安定解析問題に注意を集中させ、提案された拡張LMIの利点を説明する。定理1から、我々はAβ：= A + B2（I-ΣD2）-1βC2は、 ∈？ （8）が成り立つようにP（θ）> 0かつFj（θ）（j = 1,2）が存在する場合には、P（θ） 保持する。
明らかに対照的に、提案された拡張LMI（8）は、不確実なパラメータへの依存の形態にかかわらず、マルチパラフィンパラメータ依存リアプノフ変数を介したロバスト安定性を評価することを可能にする。 この結果は正式に以下のように述べることができる。
したがって、D-LMI（12）は常にQS（11）よりも控えめな結果を提供しないという意味で、QS（11）に対するD-LMI（12）の利点を厳密に保証することができる。
定理3では、補助変数をパラメータに依存しないように制限することによって（12）を導く。 しかし、それほど控えめな解析条件を得るために、パラメータ依存の解析条件を採用することが有望である。 事実、多元性制約（Gahinet et al。、1996; Iwasaki＆Shibata、2001）を考慮することにより、不確かなパラメータAに親切に依存する補助変数を用いることができる。 特に、C2がフルカラムランクでない場合、D-LMI（12）はPDS（23）よりも厳密に優れたマージンを提供することがわかります。これらの特定の例では、D-LMIは、より少ない計算量でD-LMI-MCとまったく同じマージンを達成することにも留意すべきである。他方、問題2では、D-LMI-MCは、より多くの計算時間を有する他の方法より良いマージンを提供する。再び、D-LMIはD-LMIMCと同じマージンを達成します。この特定の数値例から、DLMIとD-LMI-MCはLFT-VSよりも厳密にあまり保守的ではないことがわかります。ただし、前述のように、LFT-VSのLyapunov変数のクラスがD-LMIおよびD-LMIのクラスと異なるため、D-LMIおよびD-LMI-MCは他の問題ではLFT-VSよりも保守的である可能性があります-MC 本論文では、状態空間行列が不確実なパラメータに合理的に依存するLTIシステムのロバストな性能解析問題を検討した。 最近の結果を拡張LMIまたは拡張LMIで拡張することにより、合理的なパラメータ依存（補題1）の場合でも数値的に検証可能な拡張LMI条件を得る統一的な方法を示した。 ロバスト安定性分析（定理3と4）のための2つの拡張LMI条件を得て、いくつかの既存の結果をこれらの条件の特定のケースとみなすことができることを証明した（定理5〜7）。 第5章の数値実験は、提案された条件が実際にはより控えめな分析結果を達成するために有望であることを示しているが、提案された条件は特に不確実なパラメータを多数扱う際に数値的に要求される可能性がある。
