Movimiento De Una Partícula Cargada En Un Campo Eléctrico Y En Un Campo Magnético

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Movimiento De Una Partícula Cargada En Un
Campo Eléctrico Y En Un Campo Magnético
Mónica Juipa, 20191557J, Jean Alcántara, 20202200E, Gregory Zuñiga, 20204174A, Facultad de Ingeniería de
Petróleo, Gas Natural y Petroquímica; Universidad Nacional de Ingeniería, Física I, BF101A
mjuipan@fip.uni.edu.pe, jalcantarap@fip.uni.edu.pe, gzunigaa@fip.uni.edu.pe
Resumen—En el presente informe vamos a estudiar el
movimiento de una partícula de masa 𝒎, y carga 𝒒, sometida a
la acción simultánea de un campo eléctrico E, y de un campo
magnético B apoyándonos de un modelo matemático para la
solución de este problema. Supondremos que el campo en que
se encuentra la partícula cargada tiene una intensidad muy
grande comparada con el campo de la propia partícula. Es
decir, la partícula cuyo movimiento nos interesa se considera
como partícula de prueba que no deforma el campo externo
dado vamos a practicar con las fuerzas que ejercen un campo
magnético y un campo eléctrico sobre partículas cargadas en
movimiento.
Los principales objetivos son estudiar el movimiento de una
partícula cargada en un campo eléctrico uniforme, estudiar el
movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
uniforme y estudiar el movimiento de una partícula cargada
cuando un campo magnético y eléctrico están presentes de
manera simultánea, al intervenir en cada estudio de las tablas.
Palabras Clave—Movimiento, campo eléctrico, campo mag-
nético, modelo matemático, partículas cargadas.
I. INTRODUCCIÓN Y MARCO TEÓRICO
ENTRE los capítulos de la electrodinámica que son im-
portantes desde el punto de vista práctico figura la teoría
del movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y
magnéticos, teoría del movimiento de tales partículas en cam-
pos electromagnéticos es el fundamento de toda la electrónica,
de la técnica de aceleradores, de la microscopia con electrones
y protones, de la espectrografía de masas, de los estudios de las
reacciones en un plasma y de las instalaciones experimentales
para la investigación de las reacciones termonucleares.
En el siguiente informe de movimiento de una partícula
cargada en un campo eléctrico y en un campo magnético se
estudiará los movimientos que forma una partícula bajo las
limitaciones que tiene al estar en diferentes situaciones de un
campo, por lo tanto se proyectó virtualmente para la muestra
de tres casos: campo eléctrico uniforme, campo magnético
uniforme y por último la combinación de ambos campos
presentes, se tomaron los datos y se realizó sus respectivas
gráficas para la muestra del movimiento de la partícula,
las direcciones de los campos nombrados anteriormente son
perpendiculares entre sí. El caso particular más importante
es el selector de velocidades, se compensan las fuerzas que
ejercen el campo eléctrico y el campo magnético sobre una
partícula cargada que se mueve con velocidad v. La partícula
sigue una trayectoria rectilínea.
Para realizar el modelado matemático que describa el
movimiento de una partícula cargada sobre un campo eléctrico,
magnético o ambos; se van a presentar la respectiva teoría
sobre la carga eléctrica, el campo eléctrico y la interacción de
una partícula en un campo magnético.
A. Carga eléctrica
La propiedad fundamental de la carga eléctrica es su exis-
tencia en sus variedades, tanto positiva como negativa [1, p. 3].
Así mismo, sabemos que todas las partículas cargadas pueden
dividirse en dos clases tales que los miembros de una misma
clase se repelen entre, mientras que atraen a los de distinta
clase. En otras palabras, dos cargas positivas se repelen entre
sí, al igual que dos cargas negativas, en cambio, una carga
positiva y una negativa se atraen [1, p. 3] [2, p. 684].
Otros dos principios importantes son el de la conservación
de la carga y sobre la naturaleza de la carga; los dos principios
son:
• la suma algebraica de todas las cargas eléctricas en
cualquier sistema cerrado es constante,
• la magnitud de la carga del electrón o del protón es la
unidad natural de la carga [2, pp. 686-687].
B. Ley de Coulomb
La interacción entre cargas eléctricas en reposo se explica
por la ley de Coulomb: La magnitud de una fuerza eléctrica
entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al pro-
ducto de las cargas, e inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia que las separa, o 𝐹 = 𝑘 𝑞1𝑞2
𝑟2 , donde 𝑘 es una
constante de proporcionalidad [2, p. 690] [3, Ch. 12, p. 11].
La constante, dentro de la fórmula, depende de en que
unidades se miden la fuerza, distancia y la carga. En el Sistema
Internacional la constante es ecrita como 1
4𝜋𝜖0
y tiene un valor
de
𝜖0 = 8.854 × 10−12
F/m
y
1
4𝜋𝜖0
= 8.99 × 109
Nm2
/C2
,
en donde 𝜖0 es la permeabilidad del vacío [3, Ch. 12, pp.
11-12] [4].
De esta manera, la fuerza para las cargas estáticas es
F12 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞1𝑞2
𝑑2
u𝑑 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞1𝑞2
𝑟3
12
r12, (1)
donde u𝑑 es el vector unitario de la carga 1 a la carga 2 y r12
es el vector de separación entre las cargas; además, se cumple
que la fuerza es Newtoniana y por ende F12 = −F21 [1, pp.
7-8] [3, Ch. 12, p. 12] [4].

2
r
u
−F F
Fig. 1: Representación de la ley de Coulomb a partir de la
ecuación (1).
C. Campo Eléctrico
Una partícula cargada genera un campo eléctrico sobre un
sector alrededor de sí misma, esta al interactuar con otra
partícula cargada, genera o causa la fuerza expresada en la
ley de Coulomb. En ese sentido, se define el campo eléctrico
E en un punto, como la fuerza eléctrica F0 que experimenta
una carga 𝑞0, en otras palabras, el campo eléctrico en cierto
punto es igual a la fuerza eléctrica por unidad de carga:
E =
F0
𝑞0
, (2)
el cual está medido en el SI en newtons por coulombs (N/C);
y la expresión para E es
E =
1
4𝜋𝜖0
𝑞1
𝑟3
0
r0 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞1
𝑑2
u0; (3)
además, en general para una distribución de cargas que gen-
eran una una fuerza sobre una carga 𝑞0 las ecuaciones son
E =
1
4𝜋𝜖0
𝑛
Õ
𝑗=1
𝑞𝑗r0𝑗
𝑟3
0𝑗
=
1
4𝜋𝜖0
𝑛
Õ
𝑗=1
𝑞𝑗u0 𝑗
𝑑2
𝑗
(4)
F0 =
𝑞0
4𝜋𝜖0
𝑛
Õ
𝑗=1
𝑞𝑗r0𝑗
𝑟3
0𝑗
=
𝑞0
4𝜋𝜖0
𝑛
Õ
𝑗=1
𝑞𝑗u0 𝑗
𝑑2
𝑗
, (5)
las cargas 𝑞1, 𝑞2, . . . , 𝑞𝑁 se llaman manantiales del campo [1,
p. 16] [2, pp. 695-697] [3, Ch. 12, pp. 12-13].
D. Interacción Magnética
La interacción magnética es una interacción natural que
ocurre en las partículas cargadas, el cual es un efecto de la
propiedad llamada carga eléctrica; y en general, el magnetismo
es un efecto del movimiento de las cargas eléctricas, y además
combinando los dos efectos que surgen de la carga eléctrica
se dan bajo la designación de interacción electromagnética [5,
pp. 512-513].
En ese sentido, podemos definir un campo B que es de-
pendiente de la velocidad de cierta partícula cargada, la cual
genera sobre una carga 𝑞 la fuerza magnética definida como
F = 𝑞v × B, (6)
la totalidad de la fuerza electromagnética ejercida sobre una
carga puede ser escrita como
F = 𝑞(E + v × B) =
𝑑
𝑑𝑡

𝑚v
(1 − 𝑣2/𝑐2)1/2

, (7)
la cual es conocida como la fuerza de Lorentz1 y las unidades
de medida para son el tesla (T) y el gauss (G) con la relación
de 𝐺 = 10−4𝑇 o también weber por metro cuadrado (Wb/m2)
[1, p. 202] [2, pp. 883-885] [5, pp. 513-515] [6, Ch. 1, pp.
1-3].
1Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), físico neerlandés que ganó el
Premio Nobel de Física del año 1902.
II. MODELO MATEMÁTICO
A. Movimiento en un Campo Eléctrico
El movimiento en un campo eléctrico una partícula cargada
que está en una región donde se sitúa un campo eléctrico, tal
partícula experimenta una fuerza igual al producto de su carga
por la intensidad del campo eléctrico,
F𝑒 = 𝑞 · E. (8)
Se tiene en cuenta lo siguiente: si la carga es positiva,
experimenta una fuerza en el sentido del campo; si la carga
es negativa, experimenta una fuerza en sentido contrario al
campo. Si el campo es uniforme la fuerza es constante y
también lo es la aceleración. Aplicando las ecuaciones del
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, se obtiene la
velocidad de la partícula en cualquier instante o después de
haberse desplazado una determinada distancia,
a =
𝑞
𝑚
· E, (9)
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, (10)
𝑣 = 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡. (11)
𝑥
0 𝑥
𝑉 0-𝑉
E
F
−𝑞
F
+𝑞
Fig. 2: Representación gráfica del movimiento de la partícula
cargada en el campo eléctrico uniforme.
De forma alterna se aplica los principios de la conservación
de la energía, ya que el campo eléctrico es conservativo. La
energía potencial 𝑄(𝑉0 −𝑉) se transforma en energía cinética
siendo (𝑉0 −𝑉) la diferencial de potencial existente entre dos
puntos distantes 𝑥 en un campo uniforme eléctrico (𝑉0 −𝑉) =
𝐸𝑥
𝑄(𝑉0
− 𝑉) =
1
2
𝑚𝑣2
−
1
2
𝑚𝑣2
0 (12)
El generador de Van de Graaff2 se emplea para acelerar
partículas. En el terminal esférico del generador se producen
iones positivos que son acelerados a lo largo de un tubo en
el que se ha hecho el vacío, por la diferencia de potencial
existente entre la esfera cargada y tierra.
B. Movimiento en un Campo Magnético
Una partícula que se mueve en un campo magnético exper-
imenta una fuerza como la de la ecuación (6).
El resultado de un producto vectorial es un vector de
módulo igual al producto de los módulos por el seno del
ángulo comprendido 𝑞(𝑣𝐵 sin 𝜃), dirección perpendicular al
2Robert Jemison Van de Graaff (1901-1967), físico estadounidense, cono-
cido por crear el Generador de Van de Graaff.

3
𝑉 𝑉 = 0
𝑞
E
Fig. 3: Representación gráfica de un generador de Van de
Graaff.
plano formado por los vectores velocidad v y campo B, y el
sentido se obtiene por la denominada regla de la mano derecha.
Una partícula cargada describe una trayectoria circular en
un campo magnético uniforme. El radio se obtiene a partir de
la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme:
fuerza igual a masa por aceleración normal,
𝐹 = 𝑚
𝑣2
𝑟
(13)
𝑞𝑣𝐵 = 𝑚
𝑣2
𝑟
(14)
𝑟 =
𝑚𝑣
𝑞𝐵
. (15)
B
v
F
(a)
B
v
F
(b)
Fig. 4: Fuerza generada entre el campo magnético B y la
velocidad V por la partícula.
C. Movimiento en un Campo Magnético y Eléctrico
Considerando una partícula de masa 𝑚 y carga 𝑞, el cual
estará sujeto a un campo eléctrico de magnitud
E = 𝐸𝑥 ˆ
𝚤 + 𝐸𝑦 ˆ
𝚥 + 𝐸𝑧
ˆ
𝒌
y un campo magnético
B = 𝐵 ˆ
𝒌.
Adicionalmente, la posición inicial y la velocidad inicial
son:
r0 = 𝑥0ˆ
𝚤 + 𝑦0 ˆ
𝚥 + 𝑧0
ˆ
𝒌 v0 = 𝑣𝑥0ˆ
𝚤 + 𝑣𝑦0 ˆ
𝚥 + 𝑣𝑧0
ˆ
𝒌
De [7], la solución analítica del problema parte de analizar
la fuerza resultante F, que viene dada por la fuerza de Lorentz:
F = 𝑞(E + v × B).
Además, el vector posición a lo largo del tiempo es
r = 𝑥ˆ
𝚤 + 𝑦 ˆ
𝚥 + 𝑧 ˆ
𝒌;
el vector velocidad es
v = 𝑣𝑥 ˆ
𝚤 + 𝑣𝑦 ˆ
𝚥 + 𝑣𝑧
ˆ
𝒌 = ¤
r = ¤
𝑥ˆ
𝚤 + ¤
𝑦 ˆ
𝚥 + ¤
𝑧 ˆ
𝒌;
y por último, la aceleración es
a = 𝑎𝑥 ˆ
𝚤 + 𝑎𝑦 ˆ
𝚥 + 𝑎𝑧
ˆ
𝒌 = ¤
v = ¤
𝑣𝑥 ˆ
𝚤 + ¤
𝑣𝑦 ˆ
𝚥 + ¤
𝑣𝑧
ˆ
𝒌 = ¥
r = ¥
𝑥ˆ
𝚤 + ¥
𝑦 ˆ
𝚥 + ¥
𝑧 ˆ
𝒌.
Para este caso, por la segunda ley de Newton, la fuerza de
Lorentz puede ser escrita como
𝑞(E + ¤
r × B) = 𝑚¥
r. (16)
Sustituyendo los vectores, se obtiene
𝑞(𝐸𝑥 ˆ
𝚤 + 𝐸𝑦 ˆ
𝚥 + 𝐸𝑧
ˆ
𝒌) + 𝑞( ¤
𝑥ˆ
𝚤 + ¤
𝑦 ˆ
𝚥 + ¤
𝑧 ˆ
𝒌) × 𝐵 ˆ
𝒌 = 𝑚(¥
𝑥ˆ
𝚤 + ¥
𝑦 ˆ
𝚥 + ¥
𝑧 ˆ
𝒌).
Después de hacer el producto cruz y reordenar los términos,
se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de
segundo orden:
𝑚¥
𝑥 = 𝑞𝐸𝑥 + 𝑞𝐵 ¤
𝑦, (17)
𝑚 ¥
𝑦 = 𝑞𝐸𝑦 − 𝑞𝐵¤
𝑥, (18)
𝑚¥
𝑧 = 𝑞𝐸𝑧. (19)
En tal sistema, si 𝐵 = 0, las tres ecuaciones presentarán las
mismas soluciones con aceleración constante. Si 𝑞 = 0, las
soluciones tendrían velocidad constante. Por ende, teniendo
en cuenta que 𝑚, 𝑞, 𝐸𝑥, 𝐸𝑦, 𝐸𝑧 y 𝐵 son distintos de cero, la
ecuación en la dirección 𝑧 es la más simple de resolver, ya
que solo hay constantes. Al reordenar, obtenemos
¥
𝑧(𝑡) =
𝑞𝐸𝑧
𝑚
,
lo que significa que
¤
𝑧 =
𝑞𝐸𝑧
𝑚
𝑡 + 𝑣𝑧0,
y además que
𝑧(𝑡) =
𝑞𝐸𝑧
𝑚
𝑡2
2
+ 𝑣𝑧0𝑡 + 𝑧0. (20)
Las otras dos ecuaciones constituyen un sistema y por ende,
deben resolverse juntas y además, hace falta un método más
complicado.
Sin embargo, es posible resolver este sistema multiplicando
la ecuación que describe el movimiento en la dirección 𝑦 por
la unidad imaginaria 𝑖 y luego sumarla a la ecuación de la
dirección 𝑥. Al hacerlo, resulta lo siguiente:
𝑚[¥
𝑥(𝑡) + 𝑖 ¥
𝑦(𝑡)] = 𝑞(𝐸𝑥 + 𝑖𝐸𝑦) − 𝑖𝑞𝐵[ ¤
𝑥(𝑡) − 𝑖 ¤
𝑦(𝑡)].
Luego, al dividir tal ecuación entre 𝑚 y si se considera
𝑢(𝑡) := 𝑥(𝑡)+𝑖𝑦(𝑡) y 𝜔 = 𝑞𝐵
𝑚 , es posible reescribir tal ecuación
como
¥
𝑢(𝑡) + 𝑖𝜔 ¤
𝑢(𝑡) =
𝑞
𝑚
(𝐸𝑥 + 𝑖𝐸𝑦),
la cual es una ecuación diferencial de primer orden para ¤
𝑢(𝑡).
Si se utiliza el método del factor integrante, su respectiva
solución sería
¤
𝑢(𝑡) = −
𝑖
𝐵
(𝐸𝑥 + 𝑖𝐸𝑦) + 𝑐1𝑒−𝑖𝜔𝑡
,

4
donde 𝑐1 es una constante arbitraria, la cual puede ser deter-
minada al analizar la condición inicial ¤
𝑢(0) = ¤
𝑥(0) + 𝑖 ¤
𝑦(0) =
𝑣𝑥0 + 𝑖𝑣𝑦0. De hecho, la constante tomaría el valor de
𝑐1 = 𝑣𝑥0 −
𝐸𝑦
𝐵
+ 𝑖

𝑣𝑦0 +
𝐸𝑥
𝐵

,
entonces, la solución vendría a ser
¤
𝑢(𝑡) =

𝑣𝑥0 −
𝐸𝑦
𝐵
+ 𝑖

𝑣𝑦0 +
𝐸𝑥
𝐵

𝑒−𝑖𝜔𝑡
−
𝑖
𝐵
(𝐸𝑥 +𝑖𝐸𝑦). (21)
Es posible desacoplar la ecuación en las direcciones 𝑥 y 𝑦
al introducir la constante 𝛼 que, dado que 𝑐1 es un número
obedece
cos 𝛼 = 𝑣𝑥0 −
𝐸𝑦
𝐵
y sin 𝛼 = 𝑣𝑦0 +
𝐸𝑥
𝐵
.
Esto hace que (21) tome la siguiente forma:
¤
𝑢(𝑡) = (cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼)𝑒−𝑖𝜔𝑡
−
𝑖
𝐵
(𝐸𝑥 + 𝑖𝐸𝑦),
y, al usar la relación 𝑒±𝑖𝜃 = cos 𝜃 ± 𝑖 sin 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎,
¤
𝑢(𝑡) = 𝑒−𝑖(𝜔𝑡−𝛼)
−
𝑖
𝐵
(𝐸𝑥 + 𝑖𝐸𝑦);
y entonces se tiene
¤
𝑥(𝑡) + 𝑖 ¤
𝑦(𝑡) = cos (𝜔𝑡 − 𝛼) − 𝑖 sin (𝜔𝑡 − 𝛼) − 𝑖
𝐸𝑥
𝐵
+
𝐸𝑦
𝐵
.
Para dividir la ecuación anterior, se va a tomar la parte
imaginaria y la parte real:
[ ¤
𝑢(𝑡)] = ¤
𝑥(𝑡) = cos (𝜔𝑡 − 𝛼) +
𝐸𝑦
𝐵
,
=[ ¤
𝑢(𝑡)] = ¤
𝑦(𝑡) = − sin (𝜔𝑡 − 𝛼) −
𝐸𝑥
𝐵
.
Estas ecuaciones pueden ser resueltas por integración di-
recta, lo cual conduce a
𝑥(𝑡) =
sin (𝜔𝑡 − 𝛼)
𝜔
+
𝐸𝑦
𝐵
𝑡 + 𝑐2,
𝑦(𝑡) =
cos (𝜔𝑡 − 𝛼)
𝜔
−
𝐸𝑥
𝐵
𝑡 + 𝑐3,
donde 𝑐2 y 𝑐3 son constantes arbitrarias. Se hallan tales
constantes al analizar las condiciones iniciales 𝑥(0) = 𝑥0 y
𝑦(𝑥) = 𝑦0, y por ende
𝑐2 = 𝑥0 +
sin 𝛼
𝜔
= 𝑥0 +
1
𝜔

𝑣𝑦0 +
𝐸𝑥
𝐵

,
𝑐3 = 𝑦0 −
cos 𝛼
𝜔
= 𝑦0 −
1
𝜔

𝑣𝑥0 −
𝐸𝑦
𝐵

.
Al reemplazar tales constantes en las ecuaciones halladas
y además reemplazando 𝜔 = 𝑞𝐵
𝑚 , se obtienen las soluciones
finales
𝑥(𝑡) =
𝑚
𝑞𝐵
sin

𝑞𝐵
𝑚

𝑡 − 𝛼

+
𝐸𝑦
𝐵
𝑡 + 𝑥0 +
𝑚𝑣𝑦0
𝑞𝐵
+
𝑚𝐸𝑥
𝑞𝐵2
,
(22)
𝑦(𝑡) =
𝑚
𝑞𝐵
cos

𝑞𝐵
𝑚

𝑡 − 𝛼

−
𝐸𝑥
𝐵
𝑡 + 𝑦0 −
𝑚𝑣𝑥0
𝑞𝐵
+
𝑚𝐸𝑦
𝑞𝐵2
,
(23)
contando con la ecuación (20)
𝑧(𝑡) =
𝑞𝐸𝑧
𝑚
𝑡2
2
+ 𝑣𝑧0𝑡 + 𝑧0,
se tienen las ecuaciones que resuelven el problema analítica-
mente en coordenadas cartesianas en tres dimensiones.
También podemos expresar tales ecuaciones como:
𝑥(𝑡) =
𝐸𝑦
𝐵
𝑡 +𝑥0 +
𝑚𝑣𝑦0
𝑞𝐵
+
𝑚𝐸𝑥
𝑞𝐵2
+

𝑚𝑣𝑥0
𝑞𝐵
−
𝑚𝐸𝑦
𝑞𝐵2

sin

𝑞𝐵
𝑚
𝑡

−

𝑚𝑣𝑦0
𝑞𝐵
+
𝑚𝐸𝑥
𝑞𝐵2

cos

𝑞𝐵
𝑚
𝑡

,
𝑦(𝑡) = −
𝐸𝑥
𝐵
𝑡+𝑦0−
𝑚𝑣𝑥0
𝑞𝐵
+
𝑚𝐸𝑦
𝑞𝐵2
+

𝑚𝑣𝑥0
𝑞𝐵
−
𝑚𝐸𝑦
𝑞𝐵2

cos

𝑞𝐵
𝑚
𝑡

+

𝑚𝑣𝑦0
𝑞𝐵
+
𝑚𝐸𝑥
𝑞𝐵2

sin

𝑞𝐵
𝑚
𝑡

.
1) Primer Caso Particular: Si dadas las mismas condi-
ciones iniciales, a excepción de que 𝐸𝑥 = 𝐸𝑧 = 0, y por
ende los campos magnéticos son
E = 𝐸 ˆ
𝚥 B = 𝐵 ˆ
𝒌.
Entonces, de [8, pp. 190-193] y [9], las ecuaciones (20),
(22) y (23), quedan como:
𝑥(𝑡) =
𝑚
𝑞𝐵
sin

𝑞𝐵
𝑚

𝑡 − 𝛼

+
𝐸
𝐵
𝑡 + 𝑥0 +
𝑚𝑣𝑦0
𝑞𝐵
, (24)
𝑦(𝑡) =
𝑚
𝑞𝐵
cos

𝑞𝐵
𝑚

𝑡 − 𝛼

+ 𝑦0 −
𝑚𝑣𝑥0
𝑞𝐵
+
𝑚𝐸
𝑞𝐵2
, (25)
𝑧(𝑡) = 𝑣𝑧0𝑡 + 𝑧0. (26)
Si se introduce nuevamente el concepto de frecuencia del
ciclotrón como 𝜔 = 𝑞𝐵
𝑚 y la velocidad de deriva como 𝑣𝑑 = 𝐸
𝐵 ,
las ecuaciones (24) y (25) pueden ser expresadas como:
𝑥(𝑡) = 𝑣𝑑𝑡 +
1
𝜔
(𝑣𝑥0 − 𝑣𝑑) sin 𝜔𝑡 +
𝑣𝑦0
𝜔
(1 − cos 𝜔𝑡) + 𝑥0,
𝑦(𝑡) =
1
𝜔
(𝑣𝑥0 − 𝑣𝑑)(cos 𝜔𝑡 − 1) +
𝑣𝑦0
𝜔
(sin 𝜔𝑡) + 𝑦0.
Es más, tales ecuaciones se pueden escribir como sigue
𝑥 − 𝑥0 −
𝑣𝑦0
𝜔
− 𝑣𝑑𝑡 =
1
𝜔

(𝑣𝑥0 − 𝑣𝑑) sin 𝜔𝑡 − 𝑣𝑦0 cos 𝜔𝑡

,
𝑦 − 𝑦0 −
1
𝜔
(𝑣𝑥0 − 𝑣𝑑) =
1
𝜔

(𝑣𝑥0 − 𝑣𝑑) cos 𝜔𝑡 + 𝑣𝑦0 sin 𝜔𝑡

.
Con esto, se podrá dar la forma de una ecuación de
circunferencia. Si se elevan al cuadrado ambas ecuaciones y
luego se suman, se tendrá

𝑥 − 𝑥0 −
𝑣𝑦0
𝜔
− 𝑣𝑑𝑡
2
+

𝑦 − 𝑦0 −
1
𝜔
(𝑣𝑥0 − 𝑣𝑑)
2
=
1
𝜔
h
(𝑣𝑥0 − 𝑣𝑑)2
+ 𝑣2
𝑦0
i
,

5
en donde en la ecuación de la forma (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2
𝑐
tienen lugar:
𝑎 = 𝑥0 +
𝑣𝑦0
𝜔
+ 𝑣𝑑𝑡,
𝑏 = 𝑦0 +
1
𝜔
(𝑣𝑥0 − 𝑣𝑑),
𝑅𝑐 =
1
𝜔
q
(𝑣𝑥0 − 𝑣𝑑)2 + 𝑣2
𝑦0.
Todo esto significa que la proyección del movimiento en el
plano 𝑥𝑦 es un círculo con una velocidad constante 𝑣𝑑 ˆ
𝚤 = 𝐸
𝐵 ˆ
𝚤
superpuesta en ello.
𝑣𝑑
𝜔
𝑅𝑐
𝑅𝑐
(𝑥0, 𝑦0) = (0, 0) 𝑞 0
(a) Movimiento para una partícula con carga positiva.
(𝑥0, 𝑦0) = (0, 0) 𝑞 0
(b) Movimiento para una partícula con carga negativa.
Fig. 5: Movimiento de la partícula para el primer caso partic-
ular. El movimiento inicia desde el origen.
2) Segundo caso particular: Si la partícula presentase una
velocidad inicial nula, v0 = 0, y su posición inicial fuese el
origen, las ecuaciones (24), (25) y (26) se volverían
𝑥(𝑡) =
𝑣𝑑
𝜔
(𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡), 𝑦(𝑡) =
𝑣𝑑
𝜔
(1 − cos 𝜔𝑡), 𝑧(𝑡) = 0,
lo cual representa un cicloide en el plano 𝑥𝑦:
2𝜋𝑅 4𝜋𝑅 6𝜋𝑅
2𝑅
-2𝑅
E B 𝑅 = 𝑣𝑑/𝜔; v0 = 0 𝑞 0
𝑞 0
Fig. 6: Movimiento de la partícula cargada en el plano 𝑥𝑦
cuando la velocidad inicial es nula e iniciando en el origen.
D. Movimiento en un Campo Magnético no Uniforme
Para una partícula de carga 𝑞 y masa 𝑚, de [8, pp. 201-
206][10] se van a presentar las ecuaciones que describen el
movimiento de la partícula sobre el campo magnético no
uniforme
B = −𝛼𝑦𝐵 ˆ
𝚥 + (1 + 𝛼𝑧)𝐵 ˆ
𝒌,
donde 𝛼 y 𝐵 son constantes positivas.
Del campo magnético descrito y la ecuación del movimiento
𝑚¥
r = 𝑞¤
r × B, sus componentes son:
¥
𝑥 = 𝜔

¤
𝑦 + 𝛼
𝑑
𝑑𝑡
(𝑦𝑧)

(27)
¥
𝑦 = −𝜔(1 + 𝛼𝑧) ¤
𝑥 (28)
¥
𝑧 = −𝜔𝛼𝑦 ¤
𝑥, (29)
donde 𝜔 = 𝑞𝐵
𝑚 , para el campo magnético uniforme B0 = 𝐵 ˆ
𝒌
correspondiente a 𝛼 = 0. Al integrar la ecuación (27) se
obtiene
¤
𝑥 = 𝜔(1 + 𝛼𝑧)𝑦 + 𝐶, (30)
donde 𝐶 es una constante de integración que se puede determi-
nar a través de las condiciones iniciales. Luego, si se sustituye
(30) en las ecuaciones (28) y (29), se obtendrá una pareja de
ecuaciones acopladas con variables 𝑦 y 𝑧:
¥
𝑦 = −𝜔2
(1 + 𝛼𝑧)2
𝑦 − 𝜔𝐶(1 + 𝛼𝑧) (31)
¥
𝑧 = −𝜔2
(1 + 𝛼𝑧)𝑦2
− 𝜔𝐶𝛼𝑦. (32)
Si se multiplica a (30) por 𝛼
𝜔 y a (31) y (32) por 𝛼
𝜔2 y se
utilizan las constantes y tiempo:
(𝑋,𝑌, 𝑍) = (𝛼𝑥, 𝛼𝑦, 𝛼𝑧), 𝜏 =
𝑞𝐵
𝑚
𝑡 = 𝜔𝑡 y 𝐷 =
𝛼𝐶
𝜔
;
se obtendrán las siguientes ecuaciones diferenciales:
𝑑𝑋
𝑑𝜏
− (1 + 𝑍)𝑌 = 𝐷 (33)
𝑑2𝑌
𝑑𝜏2
+ (1 + 𝑍)2
𝑌 + 𝐷(1 + 𝑍) = 0 (34)
𝑑2𝑍
𝑑𝜏
+ (1 + 𝑍)𝑌2
+ 𝐷𝑌 = 0 (35)
III. SIMULACIÓN
A. Primera simulación
1) Primer Caso: Para la simulación de las ecuaciones (20),
(22) y (23); dado que son soluciones analíticas, se va a utilizar
el paquete TikZ junto al paquete pgfplots provenientes de
L
A
TEX.
Las condiciones iniciales para la simulación son:
r0 = 0, v0 = 3ˆ
𝚤 + 3 ˆ
𝚥 + 1 ˆ
𝒌;
además, tal partícula de masa igual a 5 kg y carga igual a 1
C, estará sometido a los campos magnético y eléctrico:
E = 2ˆ
𝚤 + 2 ˆ
𝚥 + 2 ˆ
𝒌, B = 5 ˆ
𝒌.
Por ende, las ecuaciones del movimiento quedan como:
𝑥(𝑡) = 0.4𝑡 + 2.6 sin 𝑡 + 3.4(1 − cos 𝑡),
𝑦(𝑡) = −0.4𝑡 + 2.6(cos 𝑡 − 1) + 3.4 sin 𝑡,
𝑧(𝑡) = 0.2𝑡2
+ 𝑡.
De esta manera, la simulación nos dará una función
paramétrica de tres variables:

6
20
40
−15 −10 −5 5
10
20
30
𝑥
𝑦
𝑧
Fig. 7: Movimiento de la partícula cargada sometida a un
campo electromagnético en la primera simulación.
Como se puede observar, el movimiento sobre el eje 𝑧
depende únicamente de las condiciones iniciales y el campo
eléctrico, que a su vez tiene que tener una magnitud en la
dirección ˆ
𝒌 para influir en el movimiento a lo largo de este
eje.
2) Segundo Caso: Si tomamos ahora, las condiciones ini-
ciales para la partícula con carga 2 C y masa 5 kg,
r0 = 0, v0 = 5ˆ
𝚤 + 5 ˆ
𝚥 + 1 ˆ
𝒌;
y sometido a los campos
E = 1ˆ
𝚤 + 5 ˆ
𝚥 + 1 ˆ
𝒌, B = 5 ˆ
𝒌.
Las ecuaciones del movimiento son ahora:
𝑥(𝑡) = 𝑡 + 2 sin 2𝑡 + 2.6(1 − cos 2𝑡),
𝑦(𝑡) = −0.2𝑡 + 2(cos 2𝑡 − 1) + 2.6 sin 2𝑡,
𝑧(𝑡) = 0.2𝑡2
+ 𝑡.
20
40
−10 −5 5
10
20
30
𝑥
𝑦
𝑧
campo electromagnético en la segunda simulación.
Se puede observar, que debido al aumento de la carga, la
partícula realiza más giros, lo cual se debe a que esta influye
en la denominada frecuencia del ciclotrón 𝜔.
3) Tercer caso: Por último, simularemos el movimiento de
una partícula de carga negativa, -1 C, y de masa 5 kg. Las
condiciones iniciales son:
r0 = 0, v0 = 5ˆ
𝚤 + 5 ˆ
𝚥 − 1 ˆ
𝒌;
y sometido a los campos
E = 1ˆ
𝚤 + 1 ˆ
𝚥 + 4 ˆ
𝒌, B = 5 ˆ
𝒌.
Por ende, las ecuaciones que describen su movimiento
serían:
𝑥(𝑡) = 𝑡 + 2 sin 2𝑡 + 2.6(1 − cos 2𝑡),
𝑦(𝑡) = −0.2𝑡 + 2(cos 2𝑡 − 1) + 2.6 sin 2𝑡,
𝑧(𝑡) = −0.4𝑡2
− 𝑡.
−10
10
−5
5 10
15
−40
−20
𝑥
𝑦
𝑧
campo electromagnético en la tercera simulación.
Como se puede observar, el cambio de la naturaleza de la
partícula en su carga (de positiva hacia negativa), modificó
su movimiento a lo largo del eje 𝑧, invirtiéndolo, y de igual
manera, en los ejes 𝑥 y 𝑦.
B. Segunda Simulación
Para las soluciones de las ecuaciones (33), (34) y (35) en la
sección II-D, se va a utilizar MATLAB. Además, se resolverá
este sistema de ecuaciones diferenciales con las siguientes
condiciones iniciales: En el instante 𝜏 = 0, la posición inicial
es 𝑋 = 0, 𝑌 = 𝑌0, 𝑋 = 0; la velocidad inicial es 𝑑𝑋/𝑑𝜏 = 𝑈𝑥,
𝑑𝑌/𝑑𝜏 = 0, 𝑑𝑍/𝑑𝜏 = 𝑈𝑧.
La constante de integración 𝐷 que aparece en (33), se
determina a partir de las condiciones iniciales, en el instante
𝜏 = 0, 𝑈𝑥 = 𝑌0 + 𝐷.
Sea 𝑌0 = 0.66, 𝑈𝑥 = 0.02, 𝑈𝑧 = 0.08. Se resolverá el sistema
de ecuaciones diferenciales hasta el tiempo 𝜏 = 140.
En las siguientes imágenes, se observará a cada eje en
función del tiempo, el movimiento sobre los tres ejes, y sobre
dos ejes.
Es importante observar cada uno de estos casos, porque
no se cuenta con la solución analítica que pueda predecir la
posición asignada a cada instante de tiempo, sin embargo,
MATLAB puede graficar y dar la solución numérica corre-
spondiente en cada caso.

7
0 20 40 60 80 100 120 140
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
X
X en función de
Fig. 10: Primera simulación.
0 20 40 60 80 100 120 140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Y
Y en función de
Fig. 11: Segunda simulación.
0 20 40 60 80 100 120 140
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Z
Z en función de
Fig. 12: Tercera simulación.
Como se puede observar, en las figuras 10, 11 y 12, la
constante 𝜔, determina la frecuencia de oscilación en los ejes
𝑋 y 𝑌.
-0.5
0.6
0
-0.05
0.5
Trayectoria X,Y,Z
1
0.5
Z
1.5
Y
0
2
0.4
X
2.5
0.3
0.05
0.2
0.1
Fig. 13: Cuarta simulación.
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Z
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Y
Trayectoria Z,Y
Fig. 14: Quinta simulación.
-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08
X
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Y
Trayectoria X,Y
Fig. 15: Sexta simulación.
La trayectoria que se describe en la figura 13 muestra
la frecuencia del ciclotrón en cada vuelta descrita, pero sin

8
embargo, debido a que es un campo magnético no uniforme,
el movimiento no es constante y varía debido a esta naturaleza.
IV. DISCUSIONES
La propiedad fundamental de la carga eléctrica es su ex-
istencia en sus variedades, tanto positiva como negativa. Así
mismo, sabemos que todas las partículas cargadas pusimos
darnos cuenta de que pueden dividirse en dos clases tales que
los miembros de una misma clase se repelen entre, mientras
que atraen a los de distinta clase, En este informe vemos
que siempre hay una dependencia de un campo magnético
y eléctrico En este informe al final podemos darnos cuenta de
que siempre hay una dependencia de un campo magnético y
eléctrico
Una carga eléctrica se mueve con velocidad 𝑣0 desconocida
a lo largo del eje horizontal 𝑥. Buscaremos las intensidades y
los sentidos de los campos eléctrico y magnético que hacen
que la partícula se mueva a lo largo del eje 𝑥 sin desviarse.
• El campo eléctrico ejerce una fuerza F = 𝑞E.
• El campo magnético ejerce una fuerza F = 𝑞v × B.
De esto podemos darnos cuenta de que las partículas no se
desvían si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario.
Así mismo, sabemos que todas las partículas cargadas
pusimos darnos cuenta de que pueden dividirse en dos clases
tales que los miembros de una misma clase se repelen entre,
mientras que atraen a los de distinta clase, En este informe al
final vemos que siempre hay una dependencia de un campo
magnético y eléctrico.
V. CONCLUSIONES
Cuando una partícula ingresa en una región donde hay
un campo eléctrico, la trayectoria que esta describirá será
consecuencia de la fuerza que ejerce el campo sobre la
partícula.
Si una partícula entra en un campo magnético ocasiona que
la partícula describa una trayectoria circular uniforme con una
fuerza constante donde la velocidad cambia de dirección, pero
su módulo es constante.
APÉNDICE
A. Código de la Figura 7
begin{tikzpicture}
begin{axis}[view={70}{10},
axis lines=center,axis on top,
xlabel=$x$,ylabel=$y$,zlabel=$z$,
xlabel style={right}, ylabel style={
right}, zlabel style={above},
xmin=0,xmax=50,ymin=-15,ymax=5,zmin=0,
zmax=31,
enlargelimits={upper=0.1}]
addplot3[red,line width = 1,samples=500,y
domain=0:0,domain=0:10,variable=t] ({.4*t+2.6*
sin(t r)+3.4*(1-cos(t r))},{-.4*t+2.6*(cos(t
r)-1)+3.4*sin(t r)},{.2*(t^2)+t});
end{axis}
end{tikzpicture}
B. Código de la Figura 8
begin{tikzpicture}
begin{axis}[view={70}{10},
xmin=0,xmax=50,ymin=-10,ymax=5,zmin=0,
zmax=31,
domain=0:0,domain=0:10,variable=t] ({t+2*sin
(2*t r)+2.6*(1-cos(2*t r))},{-.2*t+2*(cos(2*
t r)-1)+2.6*sin(2*t r)},{.2*(t^2)+t});
end{axis}
end{tikzpicture}
C. Código de la Figura 9
begin{tikzpicture}
begin{axis}[view={50}{-20},
xmin=-15,xmax=10,ymin=-5,ymax=15,zmin
=-55,zmax=0,
domain=0:0,domain=0:10,variable=t] ({.2*t-4.8*
sin(-t r)-5.2*(1-cos(-t r))},{-.2*t-4.8*(cos
(-t r)-1)-5.2*sin(-t r)},{-.4*(t^2)-t});
end{axis}
end{tikzpicture}
D. Código de la Figura 10
1 %X=x(1), Y=x(2), dY/dt=x(3), Z=x(4), dZ/dt=x(5)
2 x0=[0, 0.66, 0, 0, 0.08]; %condiciones iniciales
3 tf=140; %tiempo final
4 D=0.02-x0(2); %constante de integracion
5 fg=@(t,x)[(1+x(4))*x(2)+D; x(3); -(1+x(4))^2*x(2)-D
*(1+x(4));
6 x(5); -(1+x(4))*x(2)^2-D*x(2)];
7 [t,x]=ode45(fg,[0,tf],x0);
8 plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,4))
9 grid on
10 xlabel(’X’)
11 ylabel(’Y’);
12 zlabel(’Z’)
13 title(’Trayectoria X,Y,Z’)
14 view(40,20)
E. Código de la Figura 11
5 fg=@(t,x)[(1+x(4))*x(2)+D; x(3); -(1+x(4))^2*x(2)-D
*(1+x(4));
6 x(5); -(1+x(4))*x(2)^2-D*x(2)];
7 [t,x]=ode45(fg,[0,tf],x0);
8 plot(t,x(:,2))
9 grid on
10 xlabel(’tau’)
11 ylabel(’Y’);
12 title(’Y en funcion de tau’)

9
F. Código de la Figura 12
5 fg=@(t,x)[(1+x(4))*x(2)+D; x(3); -(1+x(4))^2*x(2)-D
*(1+x(4));
6 x(5); -(1+x(4))*x(2)^2-D*x(2)];
7 [t,x]=ode45(fg,[0,tf],x0);
8 plot(t,x(:,4))
9 grid on
10 xlabel(’tau’)
11 ylabel(’Z’);
12 title(’Z en funcion de tau’)
G. Código de la Figura 13
5 fg=@(t,x)[(1+x(4))*x(2)+D; x(3); -(1+x(4))^2*x(2)-D
*(1+x(4));
6 x(5); -(1+x(4))*x(2)^2-D*x(2)];
7 [t,x]=ode45(fg,[0,tf],x0);
8 plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,4))
9 grid on
10 xlabel(’X’)
11 ylabel(’Y’);
12 zlabel(’Z’)
13 title(’Trayectoria X,Y,Z’)
14 view(40,20)
H. Código de la Figura 14
5 fg=@(t,x)[(1+x(4))*x(2)+D; x(3); -(1+x(4))^2*x(2)-D
*(1+x(4));
6 x(5); -(1+x(4))*x(2)^2-D*x(2)];
7 [t,x]=ode45(fg,[0,tf],x0);
8 plot(x(:,4),x(:,2))
9 %plot(x(:,1),x(:,2))
10 grid on
11 xlabel(’Z’)
12 ylabel(’Y’);
13 title(’Trayectoria Z,Y’)
I. Código de la Figura 15
5 fg=@(t,x)[(1+x(4))*x(2)+D; x(3); -(1+x(4))^2*x(2)-D
*(1+x(4));
6 x(5); -(1+x(4))*x(2)^2-D*x(2)];
7 [t,x]=ode45(fg,[0,tf],x0);
8 plot(x(:,1),x(:,2))
9 grid on
10 xlabel(’X’)
11 ylabel(’Y’);
12 title(’Trayectoria X,Y’)
REFERENCIAS
[1] E. M. Purcell, Electricidad y Magnetismo, ser. Berkeley Physics Course.
Spain, Barcelona: Editorial Reverté, S. A., 1988.
[2] H. D. Young and R. A. Freedman, Física universitaria con física
Moderna 2, 14th ed. Mexico City, México: Pearson Educación, 2018.
[3] R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures
on Physics, Vol. I: The New Millennium Edition: Mainly Mechanics,
Radiation, ser. The Feynman Lectures on Physics. New York, NY,
USA: California Institute of Technology, 2010, vol. 1.
[4] Wikipedia, “Ley de coulomb,” 2021, [accesed July 1, 2021].
[Online]. Available: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ley_de_
Coulomboldid=136705836
[5] M. Alonso and E. J. Finn, Física Volumen II: Campos y ondas.
Massachusetts, MA, USA: Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1970,
vol. 2.
[6] R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on
Physics, Vol. II: The New Millennium Edition: Mainly Electromagnetism
and Matter, ser. The Feynman Lectures on Physics. New York, NY,
USA: California Institute of Technology, 2010, vol. 2.
[7] D. W. Pastana, V. B. Neves, M. E. Rodrigues, and
L. J. Quaresma, “Charged particle subjected to lorentz
force: Analytical solution,” Wolfram Demonstrations Project,
April 2020. [Online]. Available: http://demonstrations.wolfram.com/
ChargedParticleSubjectedToLorentzForceAnalyticalSolution/
[8] J. P. Owen L. de Lange, Solved Problems in Classical Mechanics:
Analytical and Numerical Solutions with Comments. New York, NY,
USA: Oxford University Press, 2010.
[9] Ángel Franco García, “Movimiento en campos eléctrico y magnético
cruzados.” [Online]. Available: https://didactica.fisica.uson.mx/cursos/
fisord/elecmagnet/movimiento/cicloide/cicloide.htm
[10] ——, “Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
no uniforme.” [Online]. Available: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/
magnetico/nouniforme/nouniforme.html

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