1. www.mathjazz.com
Να διαβάσετε πάρα πολύ καλά τα πάντα. Είναι γεγονός ότι στους μιγαδικούς οι μαθητές έχουν πρόβλημα, ίσως
γιατί το διδάσκονται πρώτα και μετά μεσολαβεί πολύς χρόνος μέχρι τη πρώτη επανάληψη.
Όσα αναφέρονται στη μεθόδευση του μαθήματος, φτάνουν για να κατανοήσετε πλήρως το κεφάλαιο των
μιγαδικών!
Πρόσεξε τώρα κάτι σημαντικό: Οι λυμένες ασκήσεις είναι όλες ασκήσεις που περιέχονται στο σχολικό βιβλίο,
οπότε είναι αυτονόητο τι πρέπει να κάνεις.
Καλή αρχή και καλό κουράγιο.
ΠΕΡΙ ΕΧΟ ΜΕΝΑ
Μεθόδευση για τη μελέτη του μαθήματος
1. Κεφάλαιο 1: Το σύνολο των μιγαδικών και οι ιδιότητές τους
α Θεωρία • Οι μιγάδες
• Πραγματικό και Φανταστικό μέρος
• Καθαρός μιγαδικός
• Η ισότητα στους μιγάδες
• Η διάταξη στους μιγάδες (δεν ισχύει)
• Γεωμετρική παράσταση μιγαδικού
• Οι πράξεις
• Διανυσματική ακτίνα αθροίσματος
• Διανυσματική ακτίνα διαφοράς
• Δύναμη μιγαδικού και δυνάμεις του i
• Ο συζυγής
• Ιδιότητες συζυγών
• z + z και z − z
• Αν z = z ⇒ z ∈ R και αν z = − z ⇒ z ∈ I
• Επίλυση της α z 2 + β z + γ = 0
• Τύποι του Vietta
• Εφαρμογές 1 και 2
β Μεθοδολογίες και λυμένα • Διάβασέ τα όλα πολύ καλά
Να προσεχθούν ιδιαίτερα οι λυμένες ασκήσεις:
• Λ.Α7
• Λ.Α 8
• Λ.Α 9
• Λ.Α 10
• Λ.Α 11
• Λ.Α 14
• Λ.Α 16
• Λ.Α 17
• Λ.Α 18
• Λ.Α 19
• Λ.Α 20
• Λ.Α 21
• Λ.Α 22
γ Έλεγχος γνώσεων • Ερωτήσεις αντιστοίχισης
• Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»
Ασκήσεις προς λύση • Επιλεγμένα θέματα
•
www.mathjazz.com Σελίδα 1

2. www.mathjazz.com
2. Κεφάλαιο 2: Μέτρο μιγαδικού
α Θεωρία • Ορισμός του μέτρου
• Τι εκφράζει το μέτρο
• Αν z1 = z2 ⇒ z1 = z 2
• Αν z1 = z2 δεν συνεπάγεται ότι z1 = z2
• Η εξίσωση z = ρ , με ρ > 0
• Οι ιδιότητες του μέτρου
• Τριγωνική ανισότητα
• Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών
• Η εξίσωση: z − z0 = ρ , ρ > 0
• Η εξίσωση της μορφής λz − z0 = κ , κ > 0 και
λ≠0
• Η εξίσωση z − z1 = z − z2
• Η εξίσωση της μορφής λ z − z1 = λ z − z 2 και λ ≠ 0
• Η εξίσωση λ z − z1 = κ z − z 2 με κ , λ ≠ 0 και κ ≠ λ
2
• Η ιδιότητα z = z ⋅ z
• Όταν ένας μιγάδας έχει μέτρο z = κ , με κ > 0
• Πρόσεξε! μην κάνεις το λάθος
= z 2 τότε … αν z 2 = − z 2 τότε…
2
• Πρόσεξε! αν z
β Μεθοδολογίες και λυμένα • Διάβασέ τα όλα πολύ καλά
Να προσεχθούν ιδιαίτερα οι λυμένες ασκήσεις:
• Λ.Α 2
• Λ.Α 3
• Λ.Α 4
• Λ.Α 5
• Λ.Α 6
• Λ.Α 8
• Λ.Α 9
• Λ.Α 10
• Λ.Α 11
• Λ.Α 12, Λ.Α 13, Λ.Α 14, Λ.Α 15
• Λ.Α 16
• Λ.Α 17, Λ.Α 18, Λ.Α 19
• Λ.Α 20
• Λ.Α 22
• Λ.Α 23
• Λ.Α 24
γ Έλεγχος γνώσεων • Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»
• Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής
• Ερωτήσεις αντιστοίχισης
• Βασικά θέματα (6 Θέματα με τις λύσεις τους)
• Υποδειγματικό μάθημα
3. Ασκήσεις προς λύση • Επιλεγμένα θέματα
www.mathjazz.com Σελίδα 2

3. www.mathjazz.com
Μάθημα 1 ον
ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ¬ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
Η εξίσωση x 2 = −1 δεν έχει λύση στο σύνολο — των πραγματικών αριθμών,
αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός.
Για να ξεπεράσουμε την «αδυναμία» αυτή, διευρύνουμε το σύνολο — σε ένα
σύνολο ¬, το οποίο θα έχει τις ίδιες πράξεις αλλά και τις ίδιες ιδιότητες των
πράξεων αυτών με το —, και στο οποίο θα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της
εξίσωσης x 2 = −1 , δηλαδή ένα στοιχείο i , τέτοιο, ώστε i 2 = −1 .
Στο σύνολο ¬, δεχόμαστε ότι η εξίσωση x 2 = −1 επιλύεται ως εξής:
⎧x = i ⎫
⎪ ⎪
x = −1 ⇔ ⎨
2
ή ⎬
⎪x = − i ⎪
⎩ ⎭
Σύμφωνα με τις παραδοχές αυτές το διευρυμένο σύνολο ¬ θα έχει ως στοιχεία:
• Όλους τους πραγματικούς αριθμούς
• Όλα τα στοιχεία της μορφής βi , δηλαδή όλους τους αριθμούς που είναι που
είναι γινόμενα των στοιχείων β του — με το i και τα οποία καλούνται
φανταστικοί αριθμοί. Το σύνολο των φανταστικών αριθμών συμβολίζεται με
» , δηλαδή » ={βi, όπου β ∈ — και i 2 = −1 }.
• Όλα τα αθροίσματα της μορφής α + βi , με α και β πραγματικούς αριθμούς.
Τα στοιχεία του ¬ λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το ¬ σύνολο των
μιγαδικών αριθμών . Επομένως:
Το σύνολο ¬ των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του
συνόλου — των πραγματικών αριθμών, στο οποίο:
• Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού
έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο — , με το μηδέν (0)
να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα (1) το
ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού,
• Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 2 = −1 ,
• Κάθε στοιχείο z του ¬ γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή
z = α + β i , όπου α,β ∈ — .
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 3

4. www.mathjazz.com
Μάθε καλά τα επόμενα
Κάθε μιγάδας έχει την μορφή α + βi με α, β ∈ — . Είναι λοιπόν αλγεβρικό
άθροισμα δυο αριθμών, του πραγματικού α και του φανταστικού αριθμού βi .
Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώνεται Re(z) .
Ο β λέγεται φανταστικό μέρος του z και σημειώνεται Im(z) .
Στο σύνολο στο ¬ , κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α + 0i ,
ενώ κάθε φανταστικός αριθμός βi εκφράζεται ως 0 + β i .
Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός z = α + βi , εννοούμε ότι οι α και β
είναι πραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα.
Καθαρός μιγαδικός λέγεται ο z = α + βi , όταν α ≠ 0 και β ≠ 0 . Το σύνολο
των καθαρών μιγαδικών το συμβολίζουμε με ¬ - — .
Ισότητα Μιγαδικών Αριθμών
Επειδή κάθε μιγαδικός αριθμός z γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή
α + β i , δύο μιγαδικοί αριθμοί α + βi και γ + δi είναι ίσοι, αν και μόνο αν
α = γ και β = δ .
Δηλαδή ισχύει:
α + βi = γ + δi ⇔ α = γ και β = δ .
Επειδή 0 = 0 + 0i , έχουμε
α + β i = 0 ⇔ α = 0 και β = 0 .
Μετά τον ορισμό της ισότητας μιγαδικών αριθμών δημιουργείται το
ερώτημα αν διατάσσονται οι μιγαδικοί αριθμοί.
Γνωρίζουμε ότι, κατά την επέκταση από το Õ στο Ÿ , οι πράξεις, η διάταξη
και οι ιδιότητες αυτών οι οποίες ισχύουν στο Õ , μεταφέρονται και στο Ÿ . Τα
ίδια συμβαίνουν και για τις επεκτάσεις από το Ÿ στο – και από το – στο — .
Στην επέκταση, όμως, από το — στο ¬ , ενώ οι πράξεις και οι ιδιότητες αυτών
που ισχύουν στο — εξακολουθούν να ισχύουν και στο ¬ , εν τούτοις η διάταξη
και οι ιδιότητές της δεν μεταφέρονται , δηλαδή οι έννοιες >, ≥, <, ≤ μεταξύ
δυο μιγαδικών ή δυο φανταστικών, ή μεταξύ ενός μιγαδικού και ενός
φανταστικού δεν έχουν νόημα.
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 4

5. www.mathjazz.com
Πρόσεξε λοιπόν ότι αν ισχύει η σχέση α + βi ≥ γ + δi , αυτό θα
σημαίνει ότι βρίσκεσαι στους πραγματικούς αριθμούς, οπότε:
β = δ = 0 και α ≥ γ .
Αντίστοιχα συμπεράσματα έχουμε και στις σχέσεις α + βi > γ + δi ,
α + βi ≤ γ + δi , α + βi < γ + δi .
Επίσης δεν υπάρχουν θετικοί ή αρνητικοί μιγαδικοί ή φανταστικοί αριθμοί.
Πρόσεξε λοιπόν ότι αν ισχύει η σχέση α + β i ≥ 0 , αυτό θα σημαίνει
ότι βρίσκεσαι στους πραγματικούς αριθμούς, οπότε:
β = 0 και α ≥ 0
Αντίστοιχα συμπεράσματα έχουμε και στις σχέσεις α + βi > 0 ,
α + βi ≤ 0 , α + βi < 0
Γεωμετρική Παράσταση Μιγαδικών
Kάθε μιγαδικό αριθμό α + βi μπορούμε να y
τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο M (α, β)
ενός καρτεσιανού επιπέδου και αντίστροφα, M(α,β) ή Μ(z)
β
κάθε σημείο M (α, β) του καρτεσιανού αυτού
επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε
στο μιγαδικό α + βi . Το σημείο M λέγεται
εικόνα του μιγαδικού α + β i . Aν θέσουμε Ο a x
z = α + βi , τότε το σημείο M (α, β) μπορούμε
να το συμβολίζουμε και με M(z) .
Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών
αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο . Ο άξονας x ′x λέγεται
πραγματικός άξονας , αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M (α,0) που είναι
εικόνες των πραγματικών αριθμών α = α + 0i , ενώ ο άξονας y ′y λέγεται
φανταστικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M(0, β) που είναι
εικόνες των φανταστικών β i = 0 + β i .
Ένας μιγαδικός z = α + βi παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική
ακτίνα, OM , του σημείου M (α, β) .
Οι πράξεις στο σύνολο σύνολο ¬ των μιγαδικών αριθμών
Σύμφωνα με τον ορισμό του ¬ , η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο
μιγαδικών αριθμών γίνονται όπως ακριβώς και οι αντίστοιχες πράξεις με
διώνυμα α + βx στο — , όπου βέβαια αντί για x έχουμε το i . Έτσι:
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 5

6. www.mathjazz.com
• Για την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών α + βi και γ + δi έχουμε:
(α + βi) + ( γ + δi) = (α + γ ) + (β + δ)i .
Για παράδειγμα, (3 + 4i) + (5 − 6i) = (3 + 5) + (4 − 6)i = 8 − 2i .
Για την πρόσθεση ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες:
1. Αντιμεταθετική, δηλαδή z1 + z 2 = z 2 + z1 , για κάθε z1 , z 2 ∈ ¬ .
2. Προσεταιριστική, δηλαδή z 1 + ( z 2 + z 3 ) = ( z1 + z 2 ) + z 3 , για κάθε
z1 , z 2 , z 3 ∈ ¬ .
3. Έχει ουδέτερο στοιχείο το 0, δηλαδή z + 0 = 0 + z = z , για κάθε z ∈ ¬ .
4. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός z′
τέτοιος ώστε να ισχύει: z + z′ = z′ + z = 0 . Ο z′ καλείται αντίθετος του
z και συμβολίζεται με − z . Ισχύει λοιπόν ότι z + (−z) = (−z) + z = 0.
Αν z = α + βi , τότε − z = −α − β i , δηλαδή Re(−z) = − Re(z) και
Im(−z) = − Im(z) .
• Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ + δi από τον α + βi , επειδή ο
αντίθετος του μιγαδικού γ + δi είναι ο μιγαδικός − γ − δi , έχουμε:
(α + βi) − ( γ + δi) = (α + βi) + (− γ − δi) = (α − γ ) + (β − δ)i .
Δηλαδή (α + βi) − ( γ + δi) = (α − γ ) + (β − δ)i .
Για παράδειγμα (3 + 4i) − (5 − 6i) = (3 − 5) + (4 + 6)i = −2 + 10i .
Αν M 1 (α, β) και M 2 ( γ , δ) είναι οι εικόνες
των α + βi και γ + δi αντιστοίχως στο y
μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα M(α+γ, β+δ)
(α + βi) + ( γ + δi) = (α + γ ) + (β + δ)i M2(γ,δ)
παριστάνεται με το σημείο M(α + γ, β + δ) .
M1(α,β)
Επομένως, OM = OM1 + OM 2 , δηλαδή: Ο x
“ Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α + βi και γ + δi
είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους”.
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 6

7. www.mathjazz.com
y
Μ2(γ,δ)
Επίσης, η διαφορά
(α + βi) − ( γ + δi) = (α − γ ) + (β − δ)i Μ1(α,β)
παριστάνεται με το σημείο N(α − γ,β − δ) . Ο x
Ν(α − γ,β − δ)
Επομένως, ON = OM1 − OM 2 , δηλαδή:
Μ3(− γ, − δ)
“ Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς
των μιγαδικών α + βi και γ + δi είναι η διαφορά των διανυσματικών
ακτίνων τους”.
• Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών α + βi και γ + δi έχουμε:
(α + β i)( γ + δi) = α( γ + δi) + βi( γ + δi) = αγ + αδi + βγi + (βi)(δi) =
= αγ + αδi + βγi + βδi 2 = αγ + αδi + βγi − βδ = (αγ − βδ ) + (αδ + βγ )i .
Δηλαδή, (α + βi)(γ + δi) = (αγ − βδ) + (αδ + βγ )i .
Για παράδειγμα,
(3 + 4i) ⋅ (5 − 6i) = 15 − 18i + 20i − 24i 2 = (15 + 24) + (20 − 18)i = 39 + 2i .
α + βi
• Τέλος, για να εκφράσουμε το πηλίκο , όπου γ + δi ≠ 0 , στη μορφή
γ + δi
κ + λi , πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του
παρονομαστή και έχουμε:
α + βi (α + β i)( γ − δi) (αγ + βδ ) + (βγ − αδ)i αγ + βδ βγ − αδ
= = = 2 + i.
γ + δi ( γ + δi)( γ − δi) γ 2 + δ2 γ + δ2 γ 2 + δ2
α + βi αγ + βδ βγ − αδ
Δηλαδή, = + i.
γ + δi γ 2 + δ 2 γ 2 + δ 2
2 + i (2 + i)(1 + 3i) 2 + 6i + i + 3i 2 − 1 + 7i 1 7
Για παράδειγμα: = = = = − + i.
1 − 3i (1 − 3i)(1 + 3i) 1+ 9 10 10 10
Δύναμη Μιγαδικού
Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού z με εκθέτη ακέραιο ορίζονται ακριβώς
όπως και στους πραγματικούς, δηλαδή ορίζουμε:
z1 = z , z 2 = z ⋅ z,..., και γενικά z ν = z ν −1 ⋅ z ,
για κάθε θετικό ακέραιο ν , με ν > 1 . Επίσης, αν z ≠ 0 , ορίζουμε
1
z 0 = 1, z −ν = ν για κάθε θετικό ακέραιο ν .
z
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 7

8. www.mathjazz.com
Για τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που
ισχύουν και για τις δυνάμεις των πραγματικών αριθμών. Ιδιαίτερα για τις
δυνάμεις του i έχουμε:
i 0 = 1, i1 = i, i 2 = −1, i 3 = i 2 ⋅ i = −i .
Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι είναι:
i 4 = i 2 i 2 = 1, i 5 = i 4 i = 1 ⋅ i = i, i 6 = i 4 i 2 = 1 ⋅ i 2 = −1, i 7 = i 4 i 3 = 1 ⋅ i 3 = −i ,
δηλαδή, μετά το i 4 οι τιμές του i ν επαναλαμβάνονται. Άρα, για να
υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του i , γράφουμε τον εκθέτη ν στη
μορφή ν = 4ρ + υ , όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας
διαίρεσης του ν με το 4, οπότε έχουμε:
⎧ 1 , αν υ = 0
⎪ i , αν υ = 1
ν 4 ρ+ υ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ ⎪
i =i = i i = (i ) i = 1 i = i = ⎨
⎪ - 1 , αν υ = 2
⎪− i , αν υ = 3
⎩
Για παράδειγμα: i14 = i 3⋅4+ 2 = i 2 = −1 , i19 = i 4⋅4+3 = i 3 = −i
i16 = i 4⋅4+0 = i 0 = 1 , i 21 = i 4⋅5+1 = i1 = i .
Ο συζυγής ενός μιγάδα
Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = α + βi . Τον μιγαδικό με το ίδιο πραγματικό
μέρος και αντίθετο φανταστικό, δηλαδή τον α − βi τον λέμε συζυγή του
α + βi και τον συμβολίζουμε z = α + βi = α + βi .
Ιδιότητες Συζυγών
Επειδή οι συζυγείς μιγαδικοί, όπως θα δούμε στις επόμενες παραγράφους, μας
διευκολύνουν στη μελέτη των μιγαδικών αριθμών, θα αναφερθούμε
ιδιαιτέρως σε αυτούς.
Ειδικότερα, έχουμε: (α + βi)(α − β i) = α 2 + β 2 , δηλαδή z ⋅ z = α 2 + β 2 .
Επειδή είναι και α − βi = α + βi , οι α + βi , α − βi λέγονται συζυγείς μιγαδικοί .
Πρόσεξε ότι ισχύει η σχέση z ⋅ z = α 2 + β 2 , z = α + βi και z = α − βi .
Επίσης ισχύει z = z
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 8

9. www.mathjazz.com
y
M(z)
• Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M(α, β) και
M ′(α,−β) δύο συζυγών μιγαδικών z = α + βi
και z = α − βi είναι σημεία συμμετρικά ως προς
τον πραγματικό άξονα. Ο x
• Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς z = α + βi M ′(z )
και z = α − βi μπορούμε εύκολα, με εκτέλεση των
πράξεων, να διαπιστώσουμε ότι:
z + z = 2α = 2Re(z) και z − z = 2βi = 2Im(z) .
• Αν z1 = α + βi και z 2 = γ + δi είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε:
1. z 1 + z 2 = z1 + z 2
2. z 1 − z 2 = z1 − z 2
3. z 1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2
⎛ z 1 ⎞ z1
4. ⎜ ⎟=
⎜z ⎟ z .
⎝ 2⎠ 2
Οι ιδιότητες αυτές μπορούν να αποδειχτούν με εκτέλεση των πράξεων. Για
παράδειγμα έχουμε: z 1 + z 2 = (α + β i) + ( γ + δi) = (α + γ ) + (β + δ)i =
= (α + γ ) − (β + δ)i = (α − βi) + ( γ − δi) = z1 + z 2 .
Οι παραπάνω ιδιότητες 1 και 3 ισχύουν και για περισσότερους από δυο
μιγαδικούς αριθμούς. Είναι δηλαδή:
z1 + z 2 + + z ν = z1 + z 2 + + z ν και z1 ⋅ z 2 ⋅ ... ⋅ z ν = z1 ⋅ z 2 ⋅ ... ⋅ z ν .
Αν είναι z 1 = z 2 = ... = z ν = z , τότε η τελευταία ισότητα γίνεται: ( z ν ) = ( z ) ν
3
⎡⎛ 2 − 3i ⎞ 3 ⎤ ⎡⎛ 2 − 3i ⎞⎤ ⎛ 2 + 3i ⎞
3
Για παράδειγμα, ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎜ ⎟⎥ = ⎜ ⎟ .
⎢⎝ 4 + 5i ⎠ ⎥ ⎢⎝ 4 + 5i ⎠⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ 4 − 5i ⎠
Μέθοδος
Να ξέρεις ότι αν z = z τότε z ∈ — και αντίστροφα.
Να ξέρεις ότι αν z = − z τότε z ∈ » και αντίστροφα
Απόδειξη
Έστω z = α + βi , οπότε z = α − βi .
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 9

10. www.mathjazz.com
Αν z = z ⇔ α + β i = α − βi ⇔ 2β i = 0 ⇔ β = 0 ⇔ z ∈ — .
Αν z = − z ⇔ α + β i = −(α − β i) ⇔ α + β i = −α + β i ⇔ 2α = 0 ⇔ α = 0 ⇔ z ∈ » .
Επίλυση της Εξίσωσης αz 2 +βz+γ=0 με α,β ∈— και α ≠ 0
Επειδή i 2 = −1 και (−i) 2 = i 2 = −1 , η εξίσωση x 2 = −1 έχει στο σύνολο ¬ των
μιγαδικών αριθμών δύο λύσεις, τις x 1 = i και x 2 = −i . Ομοίως, η εξίσωση
x 2 = −4 έχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δύο λύσεις, τις x 1 = 2i και
x 2 = −2i , αφού z 2 = −4 ⇔ z 2 = i 2 ⋅ 4 ⇔ z 2 = (2i) 2 ⇔ z = 2i ή z = −2i .
Εύκολα, όμως, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερου
βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο C .
Πράγματι, έστω η εξίσωση αz 2 + β z + γ =0 , με α, β, γ∈— και α≠0 .
Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο — και τη μετασχημα-
τίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή:
2
⎛ β ⎞ Δ
⎜z + ⎟ = , όπου Δ = β 2 − 4αγ η διακρίνουσα της εξίσωσης.
⎝ 2α ⎠ 4α 2
Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
−β± Δ
• Δ > 0 . Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: z1, 2 =
2α
−β
• Δ = 0 . Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: z =
2α
2
Δ (−1)(− Δ) i 2 ( − Δ ) 2 ⎛ i − Δ ⎞
• Δ < 0. Tότε, επειδή = = =⎜ ⎟
⎜ 2α ⎟ , η εξίσωση
4α 2 4α 2 (2α) 2 ⎝ ⎠
2
⎛ β ⎞
2
⎛i −Δ ⎞
γράφεται: ⎜ z+ ⎟ =⎜ ⎟
⎜ 2α ⎟ . Άρα οι λύσεις της είναι:
⎝ 2α ⎠ ⎝ ⎠
−β±i − Δ
z1, 2 = , οι οποίες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.
2α
Για παράδειγμα, η εξίσωση z 2 − 5z + 6 = 0 έχει Δ = 25 − 24 = 1 > 0 και οι λύσεις
5 +1 5 −1
της είναι: z 1 = = 3, z2 = = 2 . Όμως, η εξίσωση z 2 − 2z + 2 = 0 έχει
2 2
Δ = 4 − 8 = −4 < 0 και οι λύσεις της είναι οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί:
2+i 4 2−i 4
z1 = = 1+ i , z2 = = 1− i .
2 2
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις: (Τύποι του Vietta)
−β γ
z1 + z 2 = και z1 z 2 = .
α α
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 10

11. www.mathjazz.com
ΕΦΑΡΜΟΓH 1.
Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν να υπολογιστεί το
άθροισμα S = i + i 2 + i 3 + + i ν .
ΛΥΣΗ
Οι προσθετέοι του αθροίσματος έχουν πλήθος ν και είναι διαδοχικοί όροι
γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο i και λόγο επίσης i . Επομένως,
iν −1
S=i , οπότε, λόγω της ισότητας ν = 4ρ + υ της ευκλείδειας διαίρεσης του
i −1
ν με το 4, έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
1−1
• υ = 0 . Τότε ν = 4ρ , οπότε S=i =0
i −1
i −1
• υ =1. Τότε ν = 4ρ + 1 , οπότε S=i =i
i −1
− i − 1 − 2i − 2i(i + 1)
• υ = 2 . Τότε ν = 4ρ + 2 , οπότε S = i = = = i −1
i −1 i −1 −2
− i −1 1− i
• υ = 3 . Τότε ν = 4ρ + 3 , οπότε S = i = = −1 .
i −1 i −1
ΕΦΑΡΜΟΓH 2.
Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z στις περιπτώσεις κατά
z −1
τις οποίες ο αριθμός είναι α) φανταστικός β) πραγματικός.
z − 2i
ΛΥΣΗ
z − 1 ( x − 1) + yi ( x 2 − x + y 2 − 2 y) + i(2x + y − 2)
Αν z = x + yi , τότε: = =
z − 2i x + ( y − 2)i x 2 + ( y − 2) 2
x 2 − x + y 2 − 2y 2x + y − 2
= + 2 i.
x + ( y − 2)
2 2
x + ( y − 2) 2
Επομένως:
z −1 x 2 − x + y 2 − 2y
α) Ο αριθμός είναι φανταστικός, αν και μόνο αν = 0,
z − 2i x 2 + ( y − 2) 2
δηλαδή, αν και μόνο αν x 2 − x + y 2 − 2 y = 0 και x 2 + ( y − 2) 2 ≠ 0 ή, ισοδύναμα,
2
⎛ 1⎞ 5
⎜ x − ⎟ + ( y − 1) =
2
και ( x, y) ≠ (0,2) .
⎝ 2⎠ 4
Άρα, το σύνολο των εικόνων του z είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο
⎛1 ⎞ 5
K = ⎜ ,1⎟ και ακτίνα , με εξαίρεση το σημείο (0,2) .
⎝2 ⎠ 2
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 11

12. www.mathjazz.com
z −1 2x + y − 2
β) Ο αριθμός είναι πραγματικός, αν και μόνο αν 2 =0,
z − 2i x + ( y − 2) 2
δηλαδή, αν και μόνο αν 2 x + y − 2 = 0 και x 2 + ( y − 2) 2 ≠ 0 .
Άρα, το σύνολο των εικόνων του z είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση
2 x + y − 2 = 0 , με εξαίρεση το σημείο (0,2) .
2 ος Τρόπος
Για να ορίζεται το κλάσμα αρκεί z − 2i ≠ 0 ⇔ z ≠ 2i ⇔ x + yi ≠ 0 + 2i . Για να
ισχύει αυτό αρκεί να μην ισχύει ταυτόχρονα ότι x = 0 και y = 2 .
z −1
α) Για να είναι ο αριθμός φανταστικός αρκεί και πρέπει
z − 2i
z −1 ⎛ z −1 ⎞ z −1 ⎛ z−1 ⎞ z −1 ⎛ z−1 ⎞
= −⎜ ⎟⇔
⎜ z − 2i ⎟ = −⎜⎜ z − 2i ⎟ ⇔ z − 2i = −⎜ z − 2i ⎟ ⇔
⎟ ⎜ ⎟
z − 2i ⎝ ⎠ z − 2i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
z −1 ⎛ z −1 ⎞ z −1 − z +1
= −⎜ ⎟⇔ = ⇔ (z − 1)( z + 2i) = (z − 2i)(− z + 1) ⇔
z − 2i ⎝ z + 2i ⎠ z − 2i z + 2i
zz + 2zi − z − 2i = − zz + z + 2 zi − 2i ⇔ 2zz − z − z + 2zi − 2 zi = 0 ⇔
2zz − (z + z ) + 2i(z − z ) = 0 (1).
Ξέρουμε ότι αν z = x + yi τότε zz = x 2 + y 2 , z + z = 2x και z − z = 2 yi , οπότε
αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε:
2( x 2 + y 2 ) − 2x + 2i 2 yi = 0 ⇔ 2x 2 + 2 y 2 − 2 x − 4 y = 0 και διαιρώντας και τα δυο
μέλη δια του 2, έχουμε x 2 + y 2 − x − 2 y = 0 που είναι εξίσωση του κύκλου
2
⎛ 1⎞
2
⎛ 5⎞
⎜ x − ⎟ + ( y − 1) = ⎜ ⎟
2
⎝ 2⎠ ⎜ 2 ⎟ . Όμως το σημείο (0,2) επαληθεύει την εξίσωσή του
⎝ ⎠
2
5 ⎛ 5⎞
2
⎛ 1⎞ 1
διότι ⎜ 0 − ⎟ + (2 − 1) 2 = + 1 = = ⎜ ⎟ , οπότε πρέπει να το εξαιρέσουμε.
⎝ 2⎠ 4 4 ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
z −1
β) Για να είναι ο αριθμός πραγματικός αρκεί και πρέπει
z − 2i
z −1 ⎛ z −1 ⎞ z −1 ⎛ z − 1 ⎞ z −1 ⎛ z − 1 ⎞ z −1 ⎛ z −1 ⎞
=⎜ ⎟
⎜ z − 2i ⎟ ⇔ z − 2i = ⎜ z − 2i ⎟ ⇔ z − 2i = ⎜ z − 2i ⎟ ⇔ z − 2i = ⎜ z + 2i ⎟ ⇔
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
z − 2i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
z −1 z −1
= ⇔ (z − 1)( z + 2i) = (z − 2i)( z − 1) ⇔
z − 2i z + 2i
zz + 2zi − z − 2i = zz − z − 2 zi + 2i ⇔ z − z + 2zi + 2 zi − 4i = 0 ⇔
(z − z ) + 2i(z + z ) − 4i = 0 (2).
Ξέρουμε ότι αν z = x + yi τότε zz = x 2 + y 2 , z + z = 2x και z − z = 2 yi , οπότε
αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε: 2 yi + 2i 2 x − 4i = 0 ⇔ 2i( y + 2x − 2) = 0 ⇔
2x + y − 2 = 0 . Όμως το σημείο (0,2) επαληθεύει την εξίσωση γιατί 2.0 + 2 − 2 = 0 ,
οπότε πρέπει να το εξαιρέσουμε.
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 12

13. www.mathjazz.com
Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις
Άλυτες Ασκήσεις
ΛΑ1. Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ R , ώστε ο z = (λ + 3i)(2 − i) να είναι:
α) πραγματικός αριθμός β) φανταστικός αριθμός.
Λύση
Υπόδειξη
Θα φέρουμε τον μιγαδικό αριθμό στην μορφή z = α + βi , οπότε:
για να είναι πραγματικός αρκεί β = 0 και για να είναι φανταστικός αρκεί α = 0 .
Έχουμε z = 2λ − λi + 6i − 3i 2 = 2λ + 6i − λi + 3 = (2λ + 3) + (6 − λ)i , οπότε:
α) πραγματικός αν και μόνο αν 6 − λ = 0 , δηλαδή λ = 6
3
β) φανταστικός αν και μόνο αν 2λ + 3 = 0 , δηλαδή λ = − .
2
ΛΑ2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y για τους οποίους ισχύει:
α) ( x + y) + ( x − y)i = 3 − i
β) 3x 2 + x − 6 + ( x 2 − 3)i = 2 + i
γ) 9 − 27i = (3x + 2 y) − yi .
Λύση
Υπόδειξη
Οι μιγαδικοί z1 = α + βi και z 2 = γ + δi είναι ίσοι τότε και μόνον τότε όταν α=γ
και β=δ, οπότε θα εξισώσουμε τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέρη και
θα επιλύσουμε το σύστημα που θα προκύψει.
Πρόσεξε ότι η ισότητα δυο μιγαδικών αριθμών καταλήγει πάντα σε δυο
ισότητες πραγματικών!
⎧x + y = 3
α) Είναι: ( x + y) + ( x − y)i = 3 − i ⇔ ⎨ ⇔ ( x, y) = (1,2)
⎩x − y = −1
⎧ 3x 2 + x − 6 ≥ 0 (1)
⎪
β) Είναι: 3x 2 + x − 6 + ( x 2 − 3)i = 2 + i ⇔ ⎨ 3x 2 + x − 6 = 2 (2)
⎪ x2 − 3 =1 (3)
⎩
Όμως η (3) ⇔ x 2 − 3 = 1 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = 2 ή x = −2 .
Άρα x = −2 , αφού μόνο αυτή επαληθεύει τις (1) και (2).
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 13

14. www.mathjazz.com
⎧ 9 − 2y ⎛ 9 − 54
⎧3x + 2 y = 9 ⎪x = ⎜x =
γ) Είναι: 9 − 27i = (3x + 2 y) − yi ⇔ ⎨ ⇔⎨ 3 ⇔⎜ 3
⎩27 = y ⎪ y = 27 ⎜ y = 27
⎩ ⎝
⎧ − 45
⎪x = = −15
⇔⎨ 3 ⇔ ( x , y) = (−15,27)
⎪ y = 27
⎩
Aσκήσεις προς λύση
1. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες:
α) x - 2 + 2yi = - 2i + 2 - yi β) y + 2i = 3 - (2 + i) x
γ) 4y - 3yi - 2x = 2 - 5xi + 9i δ) (x2 + 1) i + 2x = x2 - 2xi - 3
2. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = x2 - x - 9i και w = 2 - y2i, x, y ∈ R.
α) Να βρείτε τους x, y ώστε z = w, β) Να βρείτε τον z.
3. Δίνεται ο μιγαδικός z = 6i - (3 - 4i) x - 3yi - (3i - 2) x + (4 - 2yi), x, y ∈ R.
α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi.
β) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) Re (z) = 0 ii) Im (z) = 0
iii) Re (z) = Im (z) iv) z = 0
4. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = (2 + i) x + (y - 1) i - 5, x, y ∈ R.
α) Να τον γράψετε στη μορφή α + βi.
β) Να γράψετε τον z συναρτήσει του x, αν Im (z) = 0.
γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re (z) = Im (z).
5. Η ισότητα x + (y - 1) i = 3 + 4i ισχύει αν και μόνο αν
Α. x = 3 ή y = 5 Β. x = 3 και y = 4
Γ. x = 3 ή y = 4 Δ. x = 3 και y = 5 Ε. x + y = 7
6. Αν η εικόνα του μιγαδικού w = (x + 1) + (y - 1) i, x, y ∈ R, στο μιγαδικό επίπεδο
είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο z = x + yi ισούται με
Α. 1 - i Β. 1 + i Γ. - 1 - i Δ. - 1 + i E. 2 + 2i
ΛΑ3. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z
που ικανοποιούν τις σχέσεις:
α) Το πραγματικό μέρος του z είναι ίσο με μηδέν.
β) Το φανταστικό μέρος του z είναι ίσο με μηδέν.
γ) Το πραγματικό μέρος του z είναι ίσο με το φανταστικό του μέρος.
Λύση
Υπόδειξη
Μάθε τους πρώτους απλούς γεωμετρικούς τόπους!
Κάνε επανάληψη και μάθε τις εξισώσεις: ευθείας, κύκλου, έλλειψης,
παραβολής, υπερβολής γιατί θα σου χρειασθούν στη συνέχεια!
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 14

15. www.mathjazz.com
α) Αν z = x + yi , τότε x = 0 . Άρα, οι εικόνες του z είναι τα σημεία της ευθείας με
εξίσωση x = 0 , δηλαδή τα σημεία M (0, y) , οπότε το σύνολο των εικόνων των
μιγαδικών αριθμών z με πραγματικό μέρος ίσο με το μηδέν είναι τα σημεία του άξονα
y′y .
β) Αν z = x + yi , τότε y = 0 . Άρα, οι εικόνες του z είναι τα σημεία της ευθείας με
εξίσωση y = 0 , δηλαδή τα σημεία M( x,0) , οπότε το σύνολο των εικόνων των
μιγαδικών αριθμών z με φανταστικό μέρος ίσο με το μηδέν είναι τα σημεία του άξονα
x΄΄ .
Είναι z = x + 0i . Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία M( x,0) , δηλαδή τα σημεία του
άξονα x ′x .
γ) Αν z = x + yi , τότε x = y . Άρα, οι εικόνες του z είναι τα σημεία της ευθείας με
εξίσωση y = x , δηλαδή τα σημεία M( x, x ) , οπότε το σύνολο των εικόνων των
μιγαδικών αριθμών z με πραγματικό μέρος ίσο με το φανταστικό είναι τα σημεία της
ευθείας που είναι διχοτόμος της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.
Aσκήσεις προς λύση
1. Η εικόνα κάθε φανταστικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται πάνω στην
ευθεία με εξίσωση
Α. y = x Β. y = - x Γ. y = 0
Δ. x = 0 Ε. σε καμία από τις προηγούμενες.
2. Οι εικόνες των μιγαδικών 2 + 3i και 3 + 2i στο μιγαδικό επίπεδο έχουν άξονα
συμμετρίας την ευθεία
Α. x = 2 Β. y = 3 Γ. y = x Δ. y = - x Ε. x = 0
3. Αν η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού αριθμού z στο μιγαδικό επίπεδο έχει
φορέα τη διχοτόμο της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου,
τότε ο z μπορεί να είναι ο
Α. 2 + i Β. - 2 + 2i Γ. 2 + 2i Δ. - 2 - 2i Ε. - 2 - i
4. Αν η εικόνα του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημείο της ευθείας 2x +
3y - 1 = 0, τότε ο z δεν μπορεί να είναι ο
1 1 1
Α. Β. 1 - i Γ. 5 - 3i Δ. i Ε. 1 + 2i
2 3 3
ΛΑ4. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να εκτελέσετε τις πράξεις που
σημειώνονται και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή α + βi
α) (−4 + 6i) + (7 − 2i) β) (3 − 2i) − (6 + 4i)
γ) (3 + 4i) + (−8 − 7i) + (5 + 3i) δ) (3 + 2i)(4 + 5i)
ε) 3i(6 + i) στ) (4 + 3i)(4 − 3i)
ζ) i(3 + i)(2 − i) .
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 15

16. www.mathjazz.com
Λύση
Υπόδειξη
Ας μάθουμε να κάνουμε απλές πράξεις με μιγαδικούς!
α) (−4 + 6i) + (7 − 2i) = (−4 + 7) + (6 − 2)i = 3 + 4i
β) (3 − 2i) − (6 + 4i) = (3 − 6) + (−2 − 4)i = −3 − 6i
γ) (3 + 4i) + (−8 − 7i) + (5 + 3i) = (3 − 8 + 5) + (4 − 7 + 3)i = 0 + 0i = 0
δ) (3 + 2i)(4 + 5i) = 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5i + 4 ⋅ 2i + 2 ⋅ 5i 2 = 12 − 10 + 15i + 8i = 2 + 23i
ε) 3i(6 + i) = 3 ⋅ 6i + 3i 2 = −3 + 18i
στ) (4 + 3i)(4 − 3i) = 4 2 − (3i) 2 = 16 − 9 ⋅ i 2 = 16 − 9(−1) = 16 + 9 = 25
ζ) i(3 + i)(2 − i) = i(6 − 3i + 2i − i 2 ) = i(6 + 1 − i) = 7i − i 2 = 1 + 7i .
ΛΑ5. Να γράψετε τους παρακάτω μιγαδικούς στη μορφή α + βi :
1 3+i 6−i 2
α) β) i 6 γ) (i + 1) 2 δ) (1 + i 3 ) 2 ε) στ) .
1− i 2−i 1+ i 2
Λύση
Υπόδειξη
Ας κάνουμε και άλλες πράξεις!
1 1(1 + i) 1+ i 1+ i 1 1
α) = = = = + i
1 − i (1 − i)(1 + i) 1 − i 2 1 + 1 2 2
β) i 6 = i 4 ⋅ i 2 = 1(−1) = −1 = −1 + 0i
γ) (i + 1) 2 = i 2 + 2i + 1 = −1 + 2i + 1 = 0 + 2i
δ) (1 + i 3 ) 2 = 1 + 2i 3 + i 2 ⋅ 3 = 1 − 3 + 2 3i = −2 + 2 3i
3 + i (3 + i) ⋅ (2 + i) 6 + i 2 + 5i 5 + 5i 5(1 + i)
ε) = = 2 2 = = = 1+ i
2 − i (2 − i)(2 + i) 2 −i 4 +1 5
6−i 2 (6 − i 2 ) ⋅ (1 − i 2 ) 6 + 2i 2 − 7 2i 6 − 2 − 7 2i 4 7
στ) = = = = − 2i .
1+ i 2 (1 + i 2 ) ⋅ (1 − i 2 ) 1 − 2i 2 1+ 2 3 3
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 16

17. www.mathjazz.com
1− i 3 1
ΛΑ6.Αν z = , να βρείτε την τιμή της παράστασης 2 .
2 z −z
Λύση
Υπόδειξη
Και άλλες πράξεις!
1 + 3 − 2 3i 2 − i 3
Έχουμε z 2 = = , οπότε:
4 2
2 − i 3 1− i 3 2 − i 3 −1+ i 3 1 1 1
z2 − z = − = = . Άρα: 2 = = 2.
2 2 2 2 z −z 1
2
ΛΑ7.Να αποδείξετε ότι (α + βi) + (β − αi) = 0 , όπου α, β ∈ R .
10 10
Λύση
Υπόδειξη
Ας κάνουμε κάτι πιο δύσκολο!
Πρέπει να ξέρεις ότι:
• β − αi = −(−1)β − αi = −i 2β − αi = −i(α + βi)
Είναι β − αi = −i(α + β i) . Επομένως:
(α + β i)10 + (β − αi)10 = (α + β i)10 + i10 (α + βi)10 = (α + βi)10 − (α + βi)10 = 0 .
Aσκήσεις προς λύση
1. Δίνονται οι μιγαδικοί
1 1 1 1
z1 = 1 + i, z2 = + i, z3 = + i,
2 3 4 9
1 1 1 1
z4 = + i, z5 = + i, + …
8 27 16 54
Να βρείτε το άθροισμα των απείρων όρων w = z1 + z2 + z3 + z4 + z5 + …
2. Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς:
5 - 2i i -1 2
α) z1 = β) z2 = -
1 - 2i i (1 - i) 2
3. Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς:
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 17

18. www.mathjazz.com
3
α) 3i (- 5i) β) (2 + i) (- i + 3) γ)
4i
1 1- i (2 + 3i) (- i + 1)
δ) ε) ζ)
1- i - i +1 1 - 2i
4. Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς:
2
1 - 2i 2i + 1 ⎛1 2 ⎞
α) (2 - 3i) (4 - 5i) + 7i - 1 β) ⋅ γ) ⎜ + ⎟
⎜ 2 2 i⎟
i + 3 3i + 1 ⎝ ⎠
3 +i
δ) ε) (1 - i)-3
3 - 2i
ΛΑ8. Να βρείτε τους x, y ∈ R , για τους οποίους ισχύει:
2
⎛1+ i ⎞ 1
α) (3 − 2i) − ( x + iy) = x − yi , β) ⎜ ⎟ + = 1+ i
2
⎝1− i ⎠ x + iy
γ) (3 − 2i)(2x − iy) = 2(2x − iy) + 2i − 1 .
Λύση
Υπόδειξη
Οι μιγαδικοί z1 = α + βi και z 2 = γ + δi είναι ίσοι τότε και μόνον τότε όταν α=γ
και β=δ, οπότε θα εξισώσουμε τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέρη και
θα επιλύσουμε το σύστημα που θα προκύψει.
Πρόσεξε ότι η ισότητα δυο μιγαδικών αριθμών καταλήγει πάντα σε δυο
ισότητες πραγματικών!
α) Είναι: (3 − 2i) 2 − ( x + iy) = x − yi ⇔ 9 − 12i + 4i 2 − x − yi = x − yi
⇔ 9 − 4 − x − 12i = x ⇔ (5 − 2x ) − 12i = 0 .
Αυτή όμως είναι αδύνατη, αφού το − 12 ≠ 0 .
2
⎛1+ i ⎞ 1 − 1 + 2i
β) Είναι: ⎜ ⎟ = = −1 . Άρα η σχέση γράφεται:
⎝1− i ⎠ 1 − 1 − 2i
1 1 1 2−i 2
−1+ = 1+ i ⇔ = 2 + i ⇔ x + yi = ⇔ x + yi = ⇔ x = και
x + iy x + iy 2+i 5 5
−1
y= .
5
γ) Είναι: (3 − 2i)(2x − iy) = 2(2x − iy) + 2i − 1 ⇔
⇔ (3 − 2i)(2x − iy) − 2(2x − iy) = −1 + 2i ⇔ (1 − 2i)(2x − iy) = −(1 − 2i)
1
⇔ 2x − iy = −1 ⇔ x = − και y = 0 .
2
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 18

19. www.mathjazz.com
Ασκήσεις προς λύση
1. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε οι μιγαδικοί
12 + 8i 52 + 13i
z1 = α + βi και z2 = + να είναι ίσοι.
2 - 3i 13i
12 + 5i
2. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε να ισχύει: (α + βi)2 = .
i
1 + xi
3. Να υπολογιστεί το x ∈ R ώστε να ισχύει: 1 + 2 2 i = 3 .
1 - xi
ΛΑ9. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
1 1 1 1
α) i 6 + i16 + i 26 + i 36 + i 46 + i 56 β) 11
− 41 + 75 − 1023 .
i i i i
Λύση
Υπόδειξη
Ας θυμηθούμε τις δυνάμεις του i .
i0 = 1 i4 = 1
i1 = i i 5 = i
,
i2 = −1 i6 = − 1
i3 = − i i7 = − i
και γενικά i n = i υ , όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης του φυσικού αριθμού n
δια του 4, οπότε υ = 0,1,2,3 .
1 1 1
Επίσης i −1 = = −i , και γενικά i −n = n = υ .
i i i
α) i 6 + i16 + i 26 + i 36 + i 46 + i 56 = i 2 + i 0 + i 2 + i 0 + i 2 + i 0 = 0 .
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
β) − 41 + 75 − 1023 = 3 − 1 + 3 − 3 = − = = 2i .
i 11
i i i i i i i −i i −i
ΛΑ10.Να βρείτε την τιμή της παράστασης (1 + i) 20 − (1 − i) 20 .
Λύση
Υπόδειξη
Πρέπει να ξέρεις ότι:
• (1 + i) 2 = 2i , διότι (1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = 1 + 2i − 1 = 2i .
• (1 − i) 2 = −2i , διότι (1 − i) 2 = 1 − 2i + i 2 = 1 − 2i − 1 = −2i .
Είναι (
(1 + i) 20 = (1 + i) 2 )
10
= (2i)10 = 210 i10 = 210 i 2 = −210 ,
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 19

20. www.mathjazz.com
(
(1 − i) 20 = (1 − i) 2 )
10
= (−2i)10 = (−2)10 i10 = 210 i 2 = −210 .
Άρα (1 + i) 20 − (1 − i) 20 = −210 − (−210 ) = −210 + 210 = 0 .
ΛΑ11.Πόσες διαφορετικές τιμές μπορεί να πάρει η παράσταση i ν + i − ν ;
Λύση
Υπόδειξη
Θα διακρίνουμε σε τέτοιες ασκήσεις 4 περιπτώσεις για το φυσικό ν.
• 1η περίπτωση να είναι της μορφής ν = 4 κ + 0 , οπότε i ν = i 0 = 1 .
• 2η περίπτωση να είναι της μορφής ν = 4 κ + 1 , οπότε i ν = i1 = i .
• 3η περίπτωση να είναι της μορφής ν = 4 κ + 2 , οπότε i ν = i 2 = −1 .
• 4η περίπτωση να είναι της μορφής ν = 4 κ + 3 , οπότε i ν = i 3 = −i .
1
Έχουμε A = i ν + i −ν = i ν + . Επομένως:
iν
• Αν ν = 4 κ , τότε i ν = 1 , οπότε A = 1 + 1 = 2
1
• Αν ν = 4 κ + 1 , τότε i ν = i , οπότε A = i + = i − i = 0
i
• Αν ν = 4 κ + 2 , τότε i ν = −1 , οπότε A = −1 − 1 = −2
1
• Αν ν = 4 κ + 3 , τότε i ν = −i , οπότε A = −i + = −i + i = 0 .
−i
Aσκήσεις προς λύση
1. Αν i2 = - 1 και (i 2 ) 3 [ ]
κ
= 1, τότε η μικρότερη τιμή του θετικού ακεραίου κ είναι
Α. 1 Β. 3 Γ. 6 Δ. 2 Ε. 5
2. Αν ν ∈ Ν, από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι σωστή η
Α. i4ν = 1 Β. i4ν+1 = - i Γ. i4ν+2 = - 1 Δ. iν+4 = iν Ε. i4ν+3 = - i
3. Για τις διάφορες τιμές του ν ∈ Ν να βρεθεί η τιμή της παράστασης
1 − i ν +1
f (ν) = .
1− i
4. Να αποδείξετε ότι για κάθε ν ∈ Ν ισχύει (1 + i)20ν = (1 - i)20ν.
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 20

21. www.mathjazz.com
ΛΑ12. Ποιος είναι ο z , όταν:
α) z = −5 + 7i , β) z = −4 − 9i ,
γ) z = 4i , δ) z = 11 ,
ε) z = −i , στ) z = 0 .
Λύση
Υπόδειξη
Ας θυμηθούμε ότι
• Ο συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi είναι ο z = α − βi .
• z=z .
• Αν z ∈ — τότε z = z και αντίστροφα.
• Αν z ∈ » τότε z = −z και αντίστροφα.
• Οι εικόνες δυο συζυγών μιγάδων στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία
συμμετρικά ως προς τον άξονα των x΄΄ .
α) Για z = −5 + 7i είναι z = −5 − 7i , β) Για z = −4 − 9i είναι z = −4 + 9i
γ) Για z = 4i είναι z = −4i , δ) Για z = 11 είναι z = 11
ε) Για z = −i είναι z = i , στ) Για z = 0 είναι z = 0 .
ΛΑ13.Με ποιες συμμετρίες μπορούν να προκύψουν από την εικόνα του μιγαδικού
z = x + yi οι εικόνες των μιγαδικών z, − z και − z ;
Λύση
Υπόδειξη
Μάθε τις συμμετρίες που έχουν οι εικόνες των z, − z, z, − z .
Αν M ( x , y) είναι η εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο του μιγαδικού z = x + yi , τότε η
εικόνα του z = x − yi είναι το σημείο M 1 ( x ,− y) , του − z = − x − yi είναι το σημείο
M 2 (− x ,− y) και, τέλος, του − z = − x + yi
y
είναι το σημείο M 3 (− x, y) . Έτσι, μπορούμε
M3(-x,y) M(x,y)
να πούμε ότι: −z z
Ο z προκύπτει από τον z με συμμετρία ως
προς τον άξονα x ′x . x΄ x
Ο − z προκύπτει από τον z με συμμετρία −z z
ως προς κέντρο το O(0,0) και τέλος: M2(-x,-y) M1(x,-y)
y΄
Ο − z προκύπτει από τον z με συμμετρία
ως προς τον άξονα y′y .
5 − 9i 5 + 9i
ΛΑ14.Αν z1 = και z 2 = , να δείξετε ότι ο z1 + z 2 είναι πραγματικός
7 + 4i 7 − 4i
αριθμός, ενώ ο z1 − z 2 φανταστικός αριθμός.
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 21

22. www.mathjazz.com
Λύση
Υπόδειξη
Ας θυμηθούμε ότι
• Αν z = z τότε z ∈ —.
• Αν z = −z τότε z ∈ ».
5 + 9i 5 − 9i
Είναι z1 + z 2 = + = z 2 + z1 , άρα z1 + z 2 είναι πραγματικός αριθμός .
7 − 4i 7 + 4i
5 + 9i 5 − 9i
Ομοίως z1 − z 2 = − = z 2 − z1 = −(z1 − z 2 ) , άρα ο z1 − z 2 είναι
7 − 4i 7 + 4i
φανταστικός.
ΛΑ15.Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών
z που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις:
α) z − z = 6i β) z 2 = z 2 γ) z 2 = −z 2 δ) z = 2 − z
Λύση
Υπόδειξη
Να ξέρουμε ότι στους απλούς γεωμετρικούς τόπους θέτουμε z = x + yi και
αναζητούμε τη σχέση (συνήθως σχέση ισότητας) που συνδέει το x με το y.
Αν z = x + yi τότε:
α) z − z = 6i ⇔ x + yi − x + yi = 6i ⇔ 2 yi = 6i ⇔ yi = 3i ⇔ y = 3 .
Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία της οριζόντιας ευθείας με εξίσωση
y = 3.
β) z 2 = z 2 ⇔ ( x + yi) 2 = ( x − yi) 2 ⇔ ( x + yi) 2 − ( x − yi) 2 = 0
⇔ ( x + yi + x − yi)( x + yi − x + yi) = 0 ⇔ 2x ⋅ 2 yi = 0 ⇔ x = 0 ή y = 0 .
Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία των δύο αξόνων y′y και x ′x .
γ) z 2 = −z 2 ⇔ ( x − yi) 2 = −( x + yi) 2 ⇔ x 2 + ( yi) 2 − 2 xyi = −( x 2 + y 2 i 2 + 2xyi)
⇔ x 2 − y 2 − 2xyi = − x 2 + y 2 − 2xyi ⇔ 2( x 2 − y 2 ) = 0 ⇔ y = ± x .
Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία των διχοτόμων των τεσσάρων
τεταρτημορίων.
⎧x = 2 − x
δ) z = 2 − z ⇔ x + yi = 2 − ( x − yi) ⇔ x + yi = (2 − x ) + yi ⇔ ⎨
⎩y = y
⇔ x = 1, y ∈ R ⇔ z = 1 + yi .
Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία της κατακόρυφης ευθείας x = 1 .
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 22

23. www.mathjazz.com
ΛΑ16.Αν α, β, γ και δ είναι πραγματικοί αριθμοί, να εξετάσετε πότε το πηλίκο
α + βi
είναι πραγματικός αριθμός.
γ + δi
Λύση
Υπόδειξη
Ας θυμηθούμε ότι
• Αν z ∈ — τότε z = z .
α + βi
Αφού θέλουμε το να είναι πραγματικός αριθμός θα είναι και
γ + δi
α + βi ⎛ α + βi ⎞ α + βi α − βi
=⎜
⎜ γ + δi ⎟ ⇔ γ + δi = γ − δi ⇔ αγ − αδi + βγi − βδi = αγ + αδi − βγi − βδi ⇔
⎟
2 2
γ + δi ⎝ ⎠
2βγi = 2αδi ⇔ βγ = αδ
2ος Τρόπος
α + βi (α + βi)( γ − δi) (αγ + βδ ) + (βγ − αδ)i
Έχουμε: z = = = .
γ + δi ( γ + δi)( γ − δi) γ 2 + δ2
Άρα: z ∈ R ⇔ βγ − αδ = 0 ⇔ αδ = βγ .
z z
ΛΑ17.Έστω ο μιγαδικός z με z ≠ 0 . Να δείξετε ότι ο + είναι πραγματικός και
z z
z z
ότι − 2 ≤ + ≤ 2.
z z
Λύση
Υπόδειξη
Ας θυμηθούμε ότι αν z = z τότε z ∈ — και αντίστροφα.
⎛z z⎞ z z z z z z z z
⎜ + ⎟ = + = + = + , οπότε ο + είναι πραγματικός αφού ισούται με
⎝z z⎠ z z z z z z z z
τον συζυγή του.
z z z2 + z2
Στη συνέχεια θέλουμε να δείξουμε ότι − 2 ≤ + ≤ 2 ⇔ −2 ≤ ≤ 2.
z z zz
Αν z = x + yi , τότε θέλουμε να δείξουμε ότι
x 2 + ( yi) 2 + 2 xyi + x 2 + ( yi) 2 − 2 xyi 2( x 2 − y 2 )
−2≤ ≤2⇔2≤ ≤2⇔.
x 2 + y2 x 2 + y2
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 23

24. www.mathjazz.com
x 2 − y2
−1 ≤ ≤ 1 ⇔ −( x 2 + y 2 ) ≤ x 2 − y 2 ≤ x 2 + y 2 ⇔
x +y
2 2
⎧− x − y 2 ≤ x 2 − y 2
2
⎧0 ≤ 2 x 2
⎨ 2 ⇔⎨ που ισχύουν και οι δύο. Άρα ισχύει και η αρχική
⎩ x −y ≤x +y ⎩0 ≤ 2 y
2 2 2 2
διπλή ανισότητα.
1 1
ΛΑ18.Αν z1 = και z 2 = και z1 ⋅ z 2 ≠ −1 , να αποδείξετε ότι ο αριθμός
z1 z2
z1 + z 2 z − z2
u= είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός v = 1 είναι φανταστικός.
1 + z1 z 2 1 + z1 z 2
Λύση
Υπόδειξη
Ας θυμηθούμε για μια ακόμη φορά ότι αν z = z τότε z ∈ — και αντίστροφα.
1 1
Αρκεί να δείξουμε ότι u = u και v = − v . Επειδή z1 = και z2 = θα
z1 z2
είναι:
1 1 z 2 + z1
+
z + z2 z z2 z1z 2 z + z2
• u= 1 = 1 = = 1 =u.
1 + z1 z 2 1 1 z1z 2 + 1 1 + z1 z 2
1+
z1 z 2 z1z 2
1 1 z 2 − z1
−
z − z2 z z2 z1z 2 − (z 1 − z 2 )
• v= 1 = 1 = = = −v .
1 + z1 z 2 1 1 z1z 2 + 1 1 + z1z 2
1+
z1 z 2 z1z 2
Aσκήσεις προς λύση
1. Αν z = α + βi με αβ ≠ 0 και z ο συζυγής του ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν
είναι σωστή;
Α. z + z πραγματικός αριθμός Β. z - z φανταστικός αριθμός
Γ. z ⋅ z φανταστικός αριθμός Δ. - z ⋅ z πραγματικός αριθμός
Ε. z + z πραγματικός αριθμός
2. Στο μιγαδικό επίπεδο, οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι σημεία
συμμετρικά
Α. ως προς τον άξονα y΄y Β. ως προς τον άξονα x΄x
Γ. ως προς την ευθεία y = x Δ. ως προς την ευθεία y = - x
Ε. ως προς την αρχή των αξόνων
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 24

25. www.mathjazz.com
3. Να βρεθούν τα x, y ∈ R ώστε οι μιγαδικοί:
z1 = x + 2y - i και z2 = 11 - (4x - y) i να είναι συζυγείς.
z3 - i
4. Αν z φανταστικός αριθμός με z≠-i δείξτε ότι ο αριθμός ω = είναι αρνητικός
z+i
πραγματικός αριθμός.
5. Αν οι εικόνες δύο μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών z1 και z2 στο μιγαδικό επίπεδο
είναι στο ίδιο τεταρτημόριο, ποια από τις παρακάτω σχέσεις μπορεί να ισχύει;
Α. z1 = - z2 B. z1 = z 2 Γ. z1 = - z 2
Δ. Ιm (z1) + Im (z2) = 0 E. κανένα από τα παραπάνω
z
6. Να δείξετε ότι αν ω = και ω ∈ R τότε ο z είναι φανταστικός αριθμός.
z+i
ΛΑ19. Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών τις εξισώσεις:
1
α) x 2 − 3x + 2 = 0 β) x 2 − 2x + 3 = 0 γ) x + = 1.
x
Λύση
Υπόδειξη
Να ξέρουμε ότι τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές τις
λύνουμε κατά τον γνωστό τρόπο.
Αν αυτή έχει ρίζες μιγαδικές τότε οι ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικοί.
Υπενθυμίζουμε ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού υπάρχει στο ¬.
Για παράδειγμα − 16 = i 2 16 = (4i) 2 = ±4i .
3 ± 9 − 8 3 ±1
α) x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = = ⇔ x = 2 ή x =1.
2 2
2 ± 4 − 12 2 ± − 8 2 ± i 2 4.2 2 ± 2i 2
β) x 2 − 2 x + 3 = 0 ⇔ x = = = = =
2 2 2 2
2(1 ± i 2 )
= 1± i 2 .
2
γ) Είναι x ≠ 0 και έχουμε:
1 1± 1− 4 1± − 3 1± i 3
x+ = 1 ⇔ x 2 +1 = x ⇔ x 2 − x +1 = 0 ⇔ x = = = .
x 2 2 2
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 25

26. www.mathjazz.com
ΛΑ20.Αν μια ρίζα της εξίσωσης 2x 2 + βx + γ = 0 , όπου β, γ ∈ R , είναι 3 + 2i , να
βρείτε τις τιμές των β και γ.
Λύση
Υπόδειξη
Να ξέρουμε ότι για τις ρίζες ρ1 , ρ 2 μιας δευτεροβάθμιες εξίσωσης
αx 2 + βx + γ = 0 με α ≠ 0 , ισχύουν οι τύποι του Vietta:
β γ
ρ1 + ρ 2 = − και ρ1ρ 2 = .
α α
Αφού οι συντελεστές της εξίσωσης 2x 2 + βx + γ = 0 είναι πραγματικοί αριθμοί και
μία ρίζα της είναι η 3 + 2i , η άλλη θα είναι η 3 − 2i , οπότε θα ισχύει:
⎧ β ⎧ β
⎪x 1 + x 2 = − 2
⎪ ⎪6 = − 2
⎪ ⎧β = −12
⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ .
⎪x x = γ ⎪13 = γ ⎩γ = 26
⎪ 1 2 2
⎩ ⎪
⎩ 2
Aσκήσεις προς λύση
1. Η εξίσωση z2 - 6z + λ = 0, λ ∈ R, μπορεί να έχει ρίζα τον αριθμό
Α. i Β. 1 - i Γ. 1 + i Δ. 2 - i Ε. 3 + i
2. Η εξίσωση x2 + αx + 5 = 0, α ∈ R μπορεί να έχει ρίζα τον
Α. - 3 + i Β. 2 - i Γ. 1 - i Δ. 3 - i Ε. - 3 - i
3. Αν η εξίσωση z2 - κz + λ = 0, κ, λ ∈ Ζ έχει ρίζα τον 2 + i τότε ισχύει
Α. κ = 6 και λ = 5 Β. κ = 4 και λ = 1 Γ. κ = 3 και λ = 4
Δ. κ = 4 και λ = 5 Ε. κ = 5 και λ = 4
4. Η εξίσωση z2 + αz + β =0, α, β ∈ R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό 2 - i.
α) Να βρείτε την άλλη ρίζα. β) Να βρείτε τα α και β.
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 26

27. www.mathjazz.com
ΛΑ21.Να λύσετε τις εξισώσεις
α) z = z 2 , β) z = z 3 .
Λύση
Υπόδειξη
Πρέπει να ξέρεις ότι τις απλές εξισώσεις και ανισώσεις τις λύνουμε θέτοντας
z = x + yi , οπότε καταλήγουμε σε σύστημα 2 εξισώσεων με δυο αγνώστους
τους x, y το οποίο αφού το επιλύσουμε βρίσκουμε τα x, y, άρα τον z.
α) Αν z = x + yi τότε έχουμε:
z = z 2 ⇔ x − yi = ( x + yi) 2 ⇔ x − yi = x 2 + ( yi) 2 + 2xyi
⇔ x − yi = x 2 − y 2 + 2xyi
⎧(2 x + 1) y = 0 ⎧2 x + 1 = 0 ή y = 0 (1)
⇔ ( x 2 − y 2 − x ) + (2 x + 1) yi = 0 ⇔ ⎨ 2 ⇔⎨ 2
⎩x − y − x = 0 ⎩x − y − x = 0
2 2
(2)
1
• Αν 2 x + 1 = 0 , δηλαδή αν x = − , τότε η (2) γράφεται:
2
1 1 3 3 1 3 1 3
− y2 + = 0 ⇔ y2 = ⇔ y = ± . Άρα: z = − + i ή z=− − i.
4 2 4 2 2 2 2 2
• Αν y = 0 , τότε η (2) γράφεται: x 2 − x = 0 ⇔ x ( x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ή x = 1 .
Άρα: z = 0 ή z = 1.
β) Αν z = x + yi , έχουμε: z = z 3 ⇔ x − yi = ( x + yi) 3 ⇔
x − yi = x 3 + 3x 2 yi + 3x ( yi) 2 + ( yi) 3 ⇔ x − yi = x 3 + 3x 2 yi − 3xy 2 − y 3 i
⇔ x − yi = ( x 3 − 3xy 2 ) + (3x 2 − y 2 ) yi
⎧ 3
⎪x − 3xy = x
2
⎧
⎪x ( x − 3y − 1) = 0
2 2
⇔⎨ 2 ⇔ ⎨
⎪(3x − y 2 ) y = − y
⎩ ⎪ y(3x 2 − y 2 + 1) = 0
⎩
⎧x = 0
⎪ ή x 2 − 3y 2 − 1 = 0 (1)
⇔⎨
⎪ y(3x 2 − y 2 + 1) = 0
⎩ (2)
• Αν x = 0 , τότε η (2) γράφεται: y(1 − y 2 ) = 0 ⇔ y = 0 ή y = ±1 .
Άρα: z = 0 ή z = i ή z = −i .
• Αν x 2 = 3y 2 + 1 , τότε η (2) γράφεται:
y[3(3y 2 + 1) − y 2 + 1] ⇔ y(8y 2 + 4) = 0 ⇔ y = 0 . Άρα x 2 = 1 ,
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 27

28. www.mathjazz.com
οπότε x = 1 ή x = −1 και επομένως z = 1 ή z = −1 .
Aσκήσεις προς λύση
1. α) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα
z z + (z - z ) = 3 + 2i.
β) Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την ισότητα z = -z2.
2. Να βρείτε τους μιγαδικούς z = x + yi, x, y ∈ R, για τους οποίους ισχύει:
z2 + 2 z + 1 = 0.
ΛΑ22.Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
οποίους ισχύει: α) Re⎜ z + ⎟ = 5 Re(z) β) Im⎜ z + ⎟ = −3 Im(z) .
⎝ z⎠ ⎝ z⎠
Λύση
Υπόδειξη
• Να ξέρουμε ότι στους απλούς γεωμετρικούς τόπους θέτουμε z = x + yi και
αναζητούμε τη σχέση (συνήθως σχέση ισότητας) που συνδέει το x με το y.
• Κάνε ακόμα μια φορά επανάληψη και μάθε τις εξισώσεις: ευθείας, κύκλου,
έλλειψης, παραβολής, υπερβολής γιατί θα σου χρειασθούν στη συνέχεια!
1 x y
α) Έστω z = x + yi . Τότε = 2 − 2 i . Επομένως:
z x +y 2
x + y2
⎛ 1⎞ x ⎛ 1 ⎞
Re⎜ z + ⎟ = 5 Re(z) ⇔ x + 2 = 5x ⇔ x ⎜ 2
⎜ x + y2 − 4⎟ = 0 ⇔ x = 0
⎟ ή
⎝ z⎠ x +y 2
⎝ ⎠
2
1 ⎛1⎞
=4 ⇔x=0 ή x +y =⎜ ⎟ .
2 2
x + y2
2
⎝2⎠
Άρα, ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας y′y με εξαίρεση το σημείο O(0,0) ή ο
1
κύκλος με κέντρο O(0,0) και ακτίνα ρ = .
2
⎛ 1⎞ y y
β) Έχουμε: Im⎜ z + ⎟ = −3 Im(z) ⇔ y − 2 = −3y ⇔ 4 y − 2 =0
⎝ z⎠ x +y 2
x + y2
2
⎛ 1 ⎞ 1 ⎛1⎞
⇔ y⎜ 4 − 2
⎜ ⎟=0 ⇔ y=0 ή 2
2 ⎟
= 4 ⇔ y = 0 ή x 2 + y2 = ⎜ ⎟ .
⎝ x +y ⎠ x +y 2
⎝2⎠
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 28

29. www.mathjazz.com
Άρα, ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας x ′x με εξαίρεση το σημείο O(0,0) ή
1
κύκλος με κέντρο O(0,0) και ακτίνα ρ = .
2
Ασκήσεις προς λύση
1. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = x + yi, x, y ∈ R.
z + 8i
α) Να γράψετε στη μορφή α + βi τον μιγαδικό w = .
z+6
β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Im (w) = 0.
γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re (w) = 0.
δ) Να δείξετε ότι η προηγούμενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να βρείτε το
κέντρο του και την ακτίνα του.
ε) Να δείξετε ότι ο προηγούμενος κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
2. Η εξίσωση z2 + αz + β =0, α, β ∈ R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό 2 - i.
α) Να βρείτε την άλλη ρίζα.
β) Να βρείτε τα α και β.
3. Αν η εικόνα του μιγαδικού z = λ + (λ - 1) i στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην
ευθεία y = 4x + 1, να βρεθεί ο λ ∈ R.
4. Να συμπληρώσετε το διπλανό σχήμα
με το σημείο Μ1 (2z). Μετά να βρεί-
τε τα σημεία Μ2 (2 z ),
Μ3(-2z) και Μ4 (-2 z ).
Να βρείτε το εμβαδόν του
τετραπλεύρου Μ1Μ2Μ3Μ4.
5. Ο μιγαδικός z = 2 + i να αναλυθεί σε άθροισμα δύο μιγαδικών z1, z2 που οι εικόνες
τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες y = x - 2 και y = 2x - 1.
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 29

30. www.mathjazz.com
Επιλεγμένα Θέματα
1. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί z ώστε να ισχύουν:
z+i
α) ∈ —.
z−i
z+i
β) ∈ ».
z −i
2. Αν z1 , z 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί να βρεθούν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες
z1 − z 1 z 2
ώστε ο αριθμός z = να είναι πραγματικός.
1− z2
1
3. Αν x + yi = , όπου x , y, θ ∈ —, να βρεθούν τα x , y συναρτήσει
2 + συνθ + iημθ
του θ και να δειχθεί ότι (3x − 2) 2 + 9 y 2 = 1 .
z z
1. Αν z, w ∈ ¬ και w ≠ 0 , να δειχθεί ότι ο αριθμός + ∈ —.
w w
2. Να λυθεί η εξίσωση z 3 + iz 2 + iz − 2i − 1 = 0 , αν γνωρίζουμε ότι έχει μια ρίζα
πραγματική.
3 2
⎛ z+i⎞ ⎛z+i⎞ ⎛ z+i⎞
3. Να λυθεί στο ¬ η εξίσωση: ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +1 = 0 .
⎝ z −i ⎠ ⎝ z −i ⎠ ⎝ z −i ⎠
7. Να δειχθεί ότι αν οι συζυγείς μιγαδικοί w = x + yi και w = x − yi είναι ρίζες της
εξίσωσης z 2 + αz + β = 0 , τότε α, β ∈ —.
8. Να δειχθεί ότι ο αριθμός z = (1 + i) ν − (1 − i) ν , είναι πραγματικός για κάθε ν ∈ Õ.
9. Αν α 2 + β 2 + γ 2 + (αβ + βγ + γα)i = δ + δi , όπου α, β, γ, δ ∈ —, να δειχθεί ότι
α=β= γ.
α
10. Αν x + yi = , με α, β, x, y ∈ —* και θ ∈ —, να δειχθεί ότι
β + συνθ + iημθ
(β 2 − 1)( x 2 + y 2 ) + α 2 = 2αβ x .
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 30

31. www.mathjazz.com
Ερωτήσεις αντιστοίχισης
1. Αν z = α + βi, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε παράσταση της
στήλης Α να αντιστοιχεί στην ίση της που βρίσκεται στη στήλη Β.
Στήλη Α Στήλη Β
Α. z
1. 2α
Β. z + z
2. α2 + β2
Γ. z - z
3. α + βi
Δ. z z
4. α - βi
5. 2βi
6. 2α + i
Α Β Γ Δ
2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχέση της στήλης Α να
αντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z που βρίσκεται στη στήλη Β.
Στήλη Α Στήλη Β
γεωμετρική περιγραφή
σχέση που ικανοποιεί
των εικόνων του z
ο μιγαδικός αριθμός z
στο μιγαδικό επίπεδο
Α. το πραγματικό μέρος του z
είναι 2 1. ο άξονας x΄x
Β. το πραγματικό μέρος του z
είναι ίσο με το φανταστικό 2. η ευθεία y = x
μέρος του
Γ. το πραγματικό μέρος του z 3. η ευθεία y = - x
είναι αντίθετο του
φανταστικού μέρους του
4. η ευθεία x = 2
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 31

32. www.mathjazz.com
5. η ευθεία y = - 2
Α Β Γ
1
3. Αν το σημείο Μ ( , 1) είναι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z στο μιγαδικό
2
επίπεδο, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε μιγαδικός αριθμός
της στήλης Α να αντιστοιχεί στην εικόνα του που βρίσκεται στη στήλη Β.
Στήλη Α Στήλη Β
μιγαδικός αριθμός σημείο στο μιγαδικό επίπεδο
1 1
Α. 1. (- , 1)
z 2
Β. - z 2 4
2. ( , - )
5 5
Γ. iz
1 4
3. ( , )
2 5
1
4. (- 1, )
2
2 4
5. ( , )
5 5
Α Β Γ
4. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε δύναμη του i που υπάρχει στη στήλη
Α να αντιστοιχεί στην τιμή της που βρίσκεται στη στήλη Β.
Στήλη Α Στήλη Β
δύναμη του i
Α. i13 1. - i
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 32

33. www.mathjazz.com
Β. i14 2. i
Γ. i15 3. - 1
Δ. i0 4. 0
5. 1
6. 2i
Α Β Γ Δ
5. Αν z = x + yi, x, y ≠ 0 και c σταθερός πραγματικός αριθμός, διάφορος του
μηδενός, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε παράσταση της
στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z που βρίσκεται
στη στήλη Β.
Στήλη Α Στήλη Β
σχέση που ικανοποιεί γεωμετρικός τόπος του z
ο μιγαδικός αριθμός z στο μιγαδικό επίπεδο
Α. Re (z) = c
1. y = x + c
Β. Im (z) = c c
2. y =
x
Γ. Re (z) ⋅ Im (z) = c 3. y = c
4. c⋅x + y = 0
5. x = c
Α Β Γ
www.mathjazz.com ­ Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα 33