Matematičke funkcije, primeri i rešenja.

1. Matematika
• Matematičke funkcije
• Primeri
• Rešenja
• Zadaci za rešavanje

2. a
b
c
1
2
3
FUNKCIJE
Data su dva skupa A i B. Elementima skupa A na neki način
dodeljujemo elemente skupa B. To je preslikavanje.
A B

3. Ako svakom elementu skupa A odgovara tačno jedan element
skupa B onda takvo preslikavanje nazivamo funkcijom.
Koje od ova tri preslikavanja je funkcija?
a
b
c
1
2
3
A B
f
a
b
c
1
2
3
A B
g
a
b
c
1
2
3
A B
h

4. Funkciju možemo zapisati na razne načine.







1
4
3
3
4
2
2
1
fili
ili f(x)=x2+3
DEF: Funkcija f skupa A u skup B u oznaci f:A→B je podskup
dekartovog proizvoda AxB koje ima osobinu da svakom
elementu skupa A odgovara tačno jedan element skupa B.
1
4
1
2
3
A B
f
4
2
3

5. Ako je f(x)=x2+3 koliko je f(5)?
Ako je f(x)=x2+3 koliko je f(a)?
Ako je f(x)=x2+3 koliko je f(a-1)?
Ako je f(x)=2x+3 koliko je f(x+1)?
Ako je f(x)=2x+3 koliko je f(2x-3)?
x
x
xf
2
2
)(

Ako je koliko je f(2x-3)?

6. 1
4
1
2
3
A B
f
4
2
3
1
2
3
4
g
C
DEF: Neka su f:A→B i g:B→C funkcije. Tada gof označava
proizvod (kompoziciju) praslikavanja f i g i definiše se uslovom.
g(f(x))f)(x)A)((gx(  
4.g(2)g(f(1))f)(1)(g 
f:A→B i g:B→C, gof: A→C
?f)(3)(g:jeKoliko 
Koliko je (gof)(1)?

7. g)?(ffc)
f,gb)
g,fa)
jekoliko
1
4
2
3
4
2
3
1
gi
1
4
3
3
4
2
2
1
fjeAko
















g)?(ffc)
f,gb)
g,fa)
jekoliko
2
1g(x)i
3
1
f(x)jeAko



xx




8. 1
4 1
2
3
f
42
3
DEF: Za praslikavanje f:A→B kaže se da je:
1) "jedan-jedan" ako važi:
"jedan-jedan" i "na" preslikavanje
))f(x)f(xxA)(xx,x( 212121 
2) "na" ako važi:
3) bijekcija ako je "jedan-jedan" i "na"
1
4
1
h
42
3
2
1
4 1
2
g
42
3
3

9. 






1
4
3
3
4
2
2
1
fAko je koliko je f-1
?
Inverzno ili f -1 preslikavanje
DEF: Ako je f:A→B bijektivno preslikavanje skupa A u skup B,
onda f -1
:B→A preslikavanje skupa B u skup A nazivamo
inverznim ako važi: x)(f(x))A)(fx( -1

1
4
1
2
3
A B
f
4
2
3
f
-1

10. g)?(ffc)
f,gb)
(x),fa)
:jekoliko
2
1g(x)i
3
1
f(x)jeAko
1-
1-


xx



g)?(hfc)
h,f)(gb)
(x),fa)
:jekoliko
6
x-1
h(x)i
3
2
g(x),
2
12
f(x)jeAko
1-
1-
1-





x
x
x