matdfsdfgggggggggjsdfgsjdgjdgjdshgkshdfkajshdfjagsfhdsgfhsdg

МАТЕМАТИК
нээлттэй
даалгавар /5-р хэсэг/

БОДЛОГО-1
Бодолт
𝑓 (𝑥 )=(𝑥 +1)2
=𝑥
2
+2 𝑥+1
𝑓 ′
(𝑥 )= 2 𝑥 +2
𝑘= 𝑓 ′
(1)=2∙ 1+2=4
𝑘=4

БОДЛОГО-2
Бодолт
𝑓 (𝑥 )=𝑥2
−2 𝑥+5
𝑓 ′( 𝑥 )=2 𝑥 −2
𝑘= 𝑓 ′
(2)=2∙ 2 −2=2
𝑘=2

БОДЛОГО-3
Бодолт 𝑥2
𝑃 (1,4) 𝑄 (1+ h ,(1+ h)3
+3 )
𝑦 2
𝑥1 ,𝑦1
𝑘=
𝑦 2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
¿
(1+h)3
+3−4
1+h−1
¿
(1+h)3
−1
h

БОДЛОГО-4
Бодолт
√3+𝑎 −√3
𝑎
∙
(√3+𝑎+√3)
(√3+𝑎+√3)
¿
(√3+𝑎)
2
− (√3)
2
√3+𝑎+√3
¿
3 +𝑎 − 3
√3+ 𝑎+ √3
¿
𝑎
√ 3+ 𝑎+ √3

БОДЛОГО-5
Бодолт
𝑦 =𝑥+
1
𝑥
¿ 𝑥+ 𝑥−1
𝑦
′
=1− 𝑥
− 2
=1 −
1
𝑥
2
𝑘= 𝑦
′
(− 1)=1 −
1
(−1)2
=0
𝑦 =𝑥+
1
𝑥
𝑦 0=(− 1)+
1
(− 1)
=−2
𝑦 − 𝑦0=𝑘(𝑥− 𝑥0)
𝑦 −(−2)=0(𝑥 −(−1))
𝑦 + 2= 0
𝑦 =− 2

БОДЛОГО-6
Бодолт
𝑓 (𝑥 )=𝑥3
− 𝑥+ 4
𝑓 ′
( 𝑥)=3 𝑥2
− 1
𝑘2= 𝑓 ′
(𝑥0 )=3 𝑥0
2
−1
𝑦 =3 𝑥 +
𝑘1=3
Хоёр шулуун параллел байх нөхцөл
𝑘1=𝑘2
3 𝑥0
2
− 1=3
3 𝑥0
2
− 4=0
𝑥0=
± √3
2

БОДЛОГО-7
Бодолт
𝑓 (𝑥 )=𝑥3
−3 𝑥2
− 9 𝑥 +10
𝑓 ′
(𝑥)=3 𝑥2
−6 𝑥 − 9
3 𝑥2
− 6 𝑥 −9=0
𝑥2
−2 𝑥 − 3=0
( 𝑥 −3 ) (𝑥 +1)=0
𝑥1 =3 𝑥2 =−1

БОДЛОГО-8
Бодолт
10 𝑥−2 𝑦−9=0
−2 𝑦=−10𝑥+9
𝑦 =5 𝑥 −
9
2
𝑘1=5
𝑦 ′=(4 𝑥2
−11 𝑥 −2 )′
𝑦 ′
=8 𝑥 −11
𝑘2=8 𝑥0 −11
Хоёр шулуун параллел байх нөхцөл
𝑘1=𝑘2
8 𝑥0 − 11=5
8 𝑥0=16
𝑥0=2
𝑦 =(4 𝑥
2
− 11𝑥 −2)
𝑦 0=(4 ∙2
2
−11∙ 2 −2)=− 8 (2;− 8)

БОДЛОГО-9
Бодолт 𝑓 (𝑥 )=
1
𝑥 − 2
=( 𝑥 −2 )−1
𝑓
′
( 𝑥 )=− ( 𝑥 −2)− 2
=−
1
( 𝑥 − 2)2
𝑘= 𝑓
′
(1)=−
1
(1 −2 )2
=−1
𝑦 0= 𝑓 (1)=
1
𝑥 − 2
=
1
− 1− 2
=−
1
3
𝑦 − 𝑦0 =−
1
𝑘
( 𝑥 − 𝑥0 )
𝑦 −
1
3
=−
1
−1
( 𝑥 −1)
𝑦 −
1
3
=(𝑥 − 1
𝑦 =( 𝑥 −1 )+
𝑦 = 𝑥 −
2
3

БОДЛОГО-10
Бодолт 𝑓 (𝑥)=𝑥3
−6 𝑥2
+9 𝑥+1
𝑓 ′
( 𝑥 )= 3 𝑥 2
− 12 𝑥 +9
3 𝑥2
−12 𝑥+ 9<0
𝑥2
− 4 𝑥 +3< 0
( 𝑥 −1) ( 𝑥 −3 )<0
𝑥1 =1 𝑥2= 3
𝑥𝜖 ¿1;3¿

БОДЛОГО-11
Бодолт 𝑓 (𝑥 )=𝑥3
−3 𝑥2
+2
𝑓 ′
( 𝑥 )=3 𝑥2
− 6 𝑥
𝑓 ′ ′
( 𝑥 )=6 𝑥 − 6
6 𝑥− 6=0
𝑥=1

БОДЛОГО-12
− 4 𝑥3
−18 𝑥2
𝑓 ′
( 𝑥)=4 𝑥3
− 12 𝑥2
− 36 𝑥
𝑓 ′ ′
( 𝑥 )=12 𝑥2
−24 𝑥 − 36
𝑓 ′ ′
( 𝑥 )< 0
Гүдгэр байх засвсар
12 𝑥2
−24 𝑥 − 36<0
𝑥2
−2 𝑥 − 3<0
( 𝑥+ 1)( 𝑥 − 3)<0
𝑥1 =−1 𝑥2 =3
𝑥𝜖 ¿−1;3¿

БОДЛОГО-13
Бодолт 𝑓 (𝑥 )=
− 𝑥 −1
2 𝑥 − 1
𝑓 ′ ( 𝑥)=
(− 𝑥 −1)′
(2 𝑥 − 1)− (− 𝑥 −1) (2 𝑥 −1) ′
(2 𝑥 −1)
2
𝑓 ′ ( 𝑥)=
(−1) (2 𝑥 − 1)− (− 𝑥−1) 2
(2 𝑥−1)2
¿
3
(2 𝑥 −1)2
𝑓 ′ ′
(𝑥 )=( 3 (2 𝑥 −1)−2
) ′
𝑓
′ ′
( 𝑥 )=− 6 (2 𝑥 − 1)−1
(2 𝑥 − 1)′
¿ −
12
( 2 𝑥 − 1 )2

𝑓 ′ ′
(𝑥 )>0
Хотгор байх засвсар
𝑓
′ ′
( 𝑥 )=−
12
( 2 𝑥 − 1)2
−
12
(2 𝑥 −1)2
>0
−12(2 𝑥 − 1)>0
(2 𝑥 −1)< 0
𝑥 <
1
2

БОДЛОГО-14
−6 𝑥2
𝑓 ′
( 𝑥 )= 3 𝑥2
− 12 𝑥
3 𝑥 2
− 12 𝑥 =0
3 𝑥 ( 𝑥 − 4 )=0
𝑥1 =0 𝑥2=4
𝑓 (0)=03
− 6 ∙ 02
=0
𝑓 (4 )=43
−6 ∙ 42
=−32
𝑓 (𝑥 )=𝑥3
−6 𝑥2
max

БОДЛОГО-15
Бодолт 𝑓 (𝑥)=ln ¿ 𝑥+2∨¿¿
𝑓 ′ ( 𝑥 )=
1
𝑥 +2
𝑓
′
(− 1)=
1
− 1+2
=1

БОДЛОГО-17
Бодолт 𝑓 (𝑥)=sin 𝑥∙cos 𝑥
𝑓 ′ ( 𝑥 ) =¿
𝑓 ′
(𝑥)=cos 𝑥 cos 𝑥 +sin 𝑥 (−sin 𝑥 )
𝑓 ′
( 𝑥 )= cos2
𝑥 − sin 2
𝑥
𝑓 ′
( 𝑥 )= cos 2 𝑥
𝑓
′
( 𝜋
6 )= cos(2∙
𝜋
6 )=¿ ¿
cos(𝜋
3 )=¿¿
1
2

БОДЛОГО-18
Бодолт 𝑓 ( 𝑥 ) =
𝑒 𝑥
𝑥
2
𝑓 ′ ( 𝑥)=
(𝑒
𝑥
)′
𝑥
2
−𝑒
𝑥
( 𝑥
2
) ′
( 𝑥
2
)2
¿
𝑒𝑥
𝑥2
− 2 𝑥 ∙ 𝑒𝑥
𝑥
4

БОДЛОГО-19
Бодолт
𝑓 (𝑥 )=sin(3 𝑥2
)
𝑓 ′ ( 𝑥)=cos (3 𝑥
2
) (3 𝑥
2
)′
𝑓 ′ ( 𝑥)=6 𝑥 cos( 3 𝑥2
)

БОДЛОГО-20
Бодолт 𝑓 (𝑥)=ln(√𝑥2
+1)
𝑓 ′ ( 𝑥)=
1
√𝑥
2
+1
(√𝑥
2
+1)
′
(√𝑓 ( 𝑥))′ =
𝑓 ′ (𝑥
2 √ 𝑓 ( 𝑥
𝑓 ′ ( 𝑥)=
1
√𝑥2
+1
∙
2 𝑥
2√𝑥2
+1
¿
𝑥
𝑥
2
+1
𝑓 ′ ( 𝑥)=
𝑥
𝑥
2
+1
𝑓 ′ (3 )=
3
3
2
+1
¿
3
10

БОДЛОГО-21
Бодолт
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=¿
𝑑𝑦
𝑑𝑡
∙
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑(2 𝑡3
−𝑡2
)
𝑑𝑡
¿6 𝑡2
− 2𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑥
=
1
𝑑𝑥
𝑑𝑡
¿
1
𝑑 (𝑡
2
+1 )
𝑑𝑡
¿
1
2 𝑡
¿ (6 𝑡 2
− 2 𝑡 ) ∙
1
2 𝑡
¿ 3 𝑡 − 1
БОДЛОГО-21
Бодолт
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=¿
𝑑𝑦
𝑑𝑡
∙
𝑑𝑡
𝑑𝑥

БОДЛОГО-22
Бодолт
3 𝑥𝑦 + 𝑦4
=5
(3 𝑥𝑦 + 𝑦
4
) ′ =(5) ′
(3 𝑥 )′
𝑦+3𝑥 ( 𝑦 )′
+(𝑦
4
)′=(5)′
3 𝑦 +3 𝑥 ( 𝑦 )′
+4 𝑦
3
( 𝑦)′=0
3 𝑦 + 𝑦
′
(3 𝑥+ 4 𝑦
3
)=0
𝑦 ′
(3 𝑥 +4 𝑦3
)=− 3 𝑦
𝑦
′
=−
3 𝑦
3 𝑥+ 4 𝑦

БОДЛОГО-23
Бодолт
𝑥2
+ 𝑦2
= 16
𝑦 2
=16 − 𝑥 2
𝑦
′
=
−2 𝑥
2 √16 − 𝑥2
𝑦 =√16 − 𝑥
2
𝑦 ′ =( √16 − 𝑥
2
) ′
¿
− 𝑥
√16 − 𝑥
2
(√𝑓 ( 𝑥))′ =
𝑓 ′ (𝑥
2 √ 𝑓 ( 𝑥
2 √3
¿
−2√3
√16−(2√3)
2
¿
−2 √3
2
=− √3

БОДЛОГО-24
Бодолт
𝑓 ( 𝑥 ) =sin2
𝑥
𝑓
′
(𝑥 )=2sin
2 −1
𝑥 (sin 𝑥 )′
𝑓 ′
(𝑥 )= 2sin 𝑥 ∙ cos 𝑥

БОДЛОГО-26
Бодолт
𝑓 ( 𝑥 ) =𝑒3 𝑥
𝑓 ′
( 𝑥 )= 𝑒3 𝑥
(3 𝑥)′
¿ 3 𝑒3 𝑥

БОДЛОГО-27
Бодолт
𝑆 (𝑡 )=3 𝑡 2
− 2𝑡 +5
𝑣 ( 𝑡 ) =𝑆 ′ ( 𝑡 )=¿
6 𝑡 − 2
𝑣 ( 𝑡 ) =6 𝑡 − 2

БОДЛОГО-27
Бодолт
𝑆 (𝑡 )=𝑡 3
+ 4 𝑡 −2
𝑣 ( 𝑡 ) =𝑆 ′ ( 𝑡 )=¿
3 𝑡 2
+ 4
𝑎 (𝑡 )= 𝑣 ′ (𝑡 )= ¿
6 𝑡
𝑎 (𝑡 )= 6 𝑡

БОДЛОГО-28
Бодолт
𝑆 (𝑡 )=𝑡3
− 2𝑡2
+3 𝑡+10
𝑣 ( 𝑡 ) =𝑆 ′ ( 𝑡 )=¿
3 𝑡2
− 4𝑡 +3
𝑎 (𝑡 )= 𝑣 ′ (𝑡 )= ¿
6 𝑡 − 4
6 𝑡 − 4 >0
𝑡 >
2
3
𝑡 𝜖 ¿
2
3
;+∞¿

БОДЛОГО-29
Бодолт
𝑥2
+ 𝑦2
=25
𝑦 =√25 − 𝑥
2
𝑦 2
=25 − 𝑥2
𝑦 ′=(√25 − 𝑥
2
)′
𝑦 ′ =
− 2 𝑥
2 √25 − 𝑥2
𝑘= 𝑦 ′(4)=
− 2 𝑥
2 √25 − 𝑥
2
¿
− 2 ∙ 4
2 √25 − 4
2
=
− 4
3
𝑦 − 𝑦0=𝑘(𝑥− 𝑥0)
𝑦 − 4=−
4
3
(𝑥− 3)
𝑦 =0 үед
− 4=−
4
3
𝑥 + 4
−
4
3
𝑥=− 8
𝑥 =6

БОДЛОГО-31
Бодолт
𝐸 (𝑡 )=0.5 (10+𝑡 𝑒
−
𝑡
20
)
𝐸 ′ (𝑥)=0.5(0+(𝑡 )
′
∙ 𝑒
−
𝑡
20
+𝑡 ∙ (𝑒
−
𝑡
20 )
′
)
𝐸 ′ (𝑥)=0.5(0+1 ∙ 𝑒
−
𝑡
20
+𝑡 ∙(−
1
20 )𝑒
−
𝑡
20
)
𝐸 ′ ( 𝑥)= 0.5(𝑒
−
𝑡
20
+(−
𝑡
20 )𝑒
−
𝑡
20
)
0=0.5(𝑒
−
𝑡
20
+(−
𝑡
20 )𝑒
−
𝑡
20
)

0=0.5(𝑒
−
𝑡
20
+(−
𝑡
20 )𝑒
−
𝑡
20
)
(𝑒
−
𝑡
20
+(−
𝑡
20 )𝑒
−
𝑡
20
)=0
(𝑒
−
𝑡
20
−
𝑡
20
𝑒
−
𝑡
20
)=0
𝑒
−
𝑡
20
=
𝑡
20
𝑒
−
𝑡
20
𝑡
20
=1
𝑡 =20

БОДЛОГО-31
Бодолт
𝑓 (𝑥)=𝑎 𝑥2
+𝑏𝑥+𝑐
𝑓 ′
(𝑥)=2 𝑎𝑥+𝑏
𝑓 ′
(2)=2 𝑎∙ 2+𝑏=3
4𝑎+𝑏=3
( 𝑥 −1) (2 𝑎 𝑥 +𝑏)=2 (𝑎 𝑥2
+𝑏𝑥 +𝑐 )+ 𝑥 − 3
𝑥=1
(1 −1) (2 𝑎 𝑥+ 𝑏)=2 ( 𝑎∙ 1
2
+ 𝑏 ∙1+ 𝑐)+ 1− 3
2 (𝑎 +𝑏+𝑐 ) −2=0
(𝑎+𝑏+𝑐)=1

( 𝑥 −1) (2 𝑎 𝑥 +𝑏)=2 (𝑎 𝑥
2
+𝑏𝑥 +𝑐 )+ 𝑥 − 3
2𝑎 𝑥2
+𝑏𝑥− 2𝑎𝑥 −𝑏=2𝑎 𝑥2
+2𝑏𝑥+2𝑐+𝑥− 3
𝑥(𝑏−2𝑎) −𝑏=𝑥(2𝑏+1)+2𝑐 −3
(𝑏−2 𝑎)=(2 𝑏+1) −𝑏=+2𝑐 −3
2𝑏+2𝑎 −𝑏+1=0
𝑏+ 2 𝑎+1=0
4𝑎+𝑏=3
𝑏+ 2 𝑎=−1
4𝑎+𝑏=3
−
2 𝑎=4
𝑎=2
4𝑎+𝑏=3
4 ∙ 2+𝑏=3
𝑏=−5
−𝑏=+2𝑐 −
−(−5)=+2𝑐− 3
2𝑐−3=5
2 𝑐=8
𝑐= 4
𝑓 (𝑥)=𝑎 𝑥2
+𝑏𝑥+𝑐
𝑓 (𝑥)=2𝑥2
− 5𝑥+4

БОДЛОГО-32
Бодолт
𝑃 (𝑥)=−2𝑥2
+100 𝑥−500
𝑃′
( 𝑥)=−4 𝑥+100
𝑎=4
−4 𝑥+100=0
𝑥 =25
𝑐𝑑=25
𝑏=1
𝑃′
( 𝑥)=−4 𝑥+100
𝑃′ ′
(𝑥 )=− 4
𝑒𝑓 =− 4
𝑔= 0

БОДЛОГО-39
𝑎
𝑎
𝑎√2
𝑟 =
𝑎√2
2
=
√2
2
𝑎
𝑎=2
Бодолт

𝑎 𝑎
𝑎√2
20
h
h2
+(𝑎 √2)
2
=202
h2
+ 2 𝑎2
=400
h2
=400 −2 𝑎2
h=√400 −2 𝑎
2
𝑏=4
𝑉 =𝑆𝑐 h
𝑆𝑐=𝑎2
𝑉 =𝑎2
√400−2𝑎2

𝑉 =𝑎
2
√400 − 2𝑎
2
𝑉
′
=(𝑎
2
)′ √400 −2𝑎
2
+𝑎
2
(√400− 2𝑎
2
)
′
𝑉
′
=2 𝑎 √400 −2 𝑎
2
+𝑎
2
( − 4 𝑎
2 √400 − 2𝑎
2 )
(√𝑓 ( 𝑥))
′
=
𝑓 ′(𝑥 )
2 √𝑓 ( 𝑥
2 𝑎 √400 −2 𝑎2
−
( 4 𝑎
3
2 √400 − 2 𝑎
2 )=0
𝑐=2
𝑑𝑒=−4
2 𝑎 √400 −2 𝑎
2
=
( 4 𝑎
3
2 √400 −2 𝑎
2 )
4 𝑎(400 −2 𝑎2
)=4 𝑎3

4𝑎 (400− 2𝑎
2
)− 4 𝑎
3
=0
4𝑎(400 −2𝑎2
− 𝑎2
)=0
4 𝑎(400 −3 𝑎2
)=0
𝑎1=0
400 −3 𝑎2
= 0
(20−√3𝑎)(20+√3𝑎)=0
𝑎2=
20
√3
𝑎3=−
20
√3
𝑎=±
20
√3
𝑓 =2
𝑔=3
𝑉 =𝑎2
√400− 2𝑎2
𝑎=
20
√3
𝑉 =
(20
√3)
2
√400−2
(20
√3 )
2
𝑉 =
400
3 √400−2∙
400
3
𝑉=
400
3 √400
3
¿
400
3
∙
20
√3
¿
800
3 √
¿
8000
√3
3
𝑔=3

БОДЛОГО-34
Бодолт
𝑟 (𝑡)=2 t2
+3
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
𝑑𝐴
𝑑𝑟
∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
¿
𝑑(𝜋 𝑟 2
)
𝑑𝑟
∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
¿ 2 𝜋 𝑟 ∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑎=2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑 ( 2𝑡 2
+3 )
𝑑𝑡
=4 𝑡
𝑏=4
𝑡 =2
𝑟 (𝑡)=2 t2
+3
𝑟 (2)=2∙ 22
+
𝑟 ( 2) =1
𝑐𝑑=11
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=2 𝜋 𝑟 ∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
¿2 𝜋 ∙11∙4∙2
¿ 2 𝜋 ∙ 11∙ 8
𝑒=8
¿ 176 𝜋
¿2 𝜋 ∙11∙4 𝑡
𝐴=𝜋 𝑟2

БОДЛОГО-35
Бодолт
𝑆 (𝑡 )=2 t3
−3 t2
+2 t+1
𝑣 (𝑡)=S′
(t )=6 𝑡2
−6 𝑡 +2
𝑎= 6
𝑏=6
𝑐= 2
𝑣 (1)=6 ∙12
−6 ∙ 1+2
𝑣 (1)=2 𝑑=2
𝑎 (𝑡 )=𝑣′
(t )=(6𝑡2
− 6 𝑡+2)′
𝑎 (𝑡 )=12 𝑡 − 6
𝑒𝑓 =12
𝑎 (1 )=12 ∙1 − 6
𝑎 (1 )=6
𝑔=6

БОДЛОГО-36
Бодолт
𝑇 ( 𝑥)=− 100√𝑥+20000
𝑇 (100)=−100 √100+20000
𝑇 (100)=−1000+20000=19000
𝑎𝑏=19
𝑇 ′ (𝑥 )=(−100 (𝑥
1
2 )+20000 )
′
𝑇 ′ (𝑥 )=−100 ∙
1
2
𝑥
−
1
2
¿ −
5
√
𝑑𝑒=50
𝑇
′
(100)=−
50
√100
=
𝑓𝑔=−5

БОДЛОГО-37
Бодолт
𝑆 (𝑡 )=𝑡
2
−
1
6
𝑡
3 𝑣 (𝑡)=𝑆
′
(𝑡)=2𝑡 −
1
6
∙ 3 𝑡
2
=2 𝑡 −
1
2
𝑡
𝑎=2 𝑏=1
𝑐=2

𝑣 (𝑡)=1.5 км ¿
2𝑡 −
1
2
𝑡
2
=1.5
¿ ¿
4 𝑡 −𝑡2
=3
−𝑡2
+4 𝑡 −3=0
𝑡2
− 4 𝑡+ 3=0
(𝑡 −3 ) (𝑡 − 1)=0
𝑡1 =3
𝑡 2=1
𝑣 (𝑡)=2𝑡 −
1
2
𝑡
2
𝑣 ′ (𝑡)=2 −
1
2
∙ 2𝑡
¿ 2 −𝑡
2 −𝑡=0
𝑡 =2
𝑓 =2
𝑑=2
𝑣 (𝑡)=2𝑡 −
1
2
𝑡
2
𝑣 (2)=2∙ 2 −
1
2
∙(2)
2
¿ 2𝑔=2

БОДЛОГО-38
Бодолт 𝐿2
+𝐼2
𝐿=12
( 𝐿
2
+ 𝐼
2
𝐿)′
=(12)
′
(𝐿
2
)′ +( 𝐼
2
)′
(𝐿)+(𝐼
2
)(𝐿)′=(12 )
′
2 𝐿
𝑑𝐿
𝑑𝐼
+2 𝐼 ∙ ( 𝐿)+(𝐼
2
)
𝑑𝐿
𝑑𝐼
=0
𝑎=2

БОДЛОГО-38
2 𝐿
𝑑𝐿
𝑑𝐼
+2 𝐼 ∙ ( 𝐿)+(𝐼
2
)
𝑑𝐿
𝑑𝐼
=0
(2 𝐿+ 𝐼
2
)
𝑑𝐿
𝑑𝐼
+2 𝐼 ∙ ( 𝐿)=0
(2 𝐿+ 𝐼
2
) 𝑑𝐿
𝑑𝐼
=−2 𝐼 ∙ ( 𝐿)
𝑑𝐿
𝑑𝐼
=
−2 𝐼 ∙ ( 𝐿)
( 2 𝐿+ 𝐼 2
)
𝐼=2
𝐿2
+22
𝐿=12
𝐿2
+4 𝐿−12=0
( 𝐿+6 )( 𝐿− 2)=0
𝑐𝑑=12
𝐿1=− 6 𝐿2 =2
𝑒=2
𝑑𝐿
𝑑𝐼
=
−2 𝐼 ∙ ( 𝐿)
( 2 𝐿+ 𝐼
2
) ¿ −
3
2
¿
− 2∙ 2 ∙ 6
(2 ∙ 6+22
)
𝑓 =3
𝑔=2

БОДЛОГО-40
Бодолт
𝐹(𝑥)=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=¿¿
𝑓 ( 𝑥 ) =2 𝑥2
∫(2𝑥2
)𝑑𝑥=¿¿
2 𝑥3
3
+ 𝐶

БОДЛОГО-41
Бодолт
𝑓 ( 𝑥 ) =
3
𝑥
2
∫(3
𝑥
2 )𝑑𝑥=¿¿
∫(3𝑥
−2
)𝑑𝑥=¿¿
3 𝑥− 2+1
−2+1
+𝐶
¿
3 𝑥− 1
−1
+𝐶
¿ −
3
𝑥
+𝐶

БОДЛОГО-42
Бодолт
𝑓 (𝑥 )=1+ 𝑥 −
1
𝑥
2
∫(1+𝑥−
1
𝑥
2 )𝑑𝑥=¿¿
∫(1+𝑥−𝑥−2
)𝑑𝑥
¿ 𝑥+𝑥
2
−
𝑥−1
−1
+𝐶
¿ 𝑥+ 𝑥
2
+
1
𝑥
+𝐶

БОДЛОГО-43
Бодолт
𝑓 (𝑥 )=sin 𝑥
∫sin𝑥𝑑𝑥=¿¿− cos 𝑥+𝐶

БОДЛОГО-44
Бодолт
∫4(2𝑥+3)𝑑𝑥=¿¿
4(2 𝑥2
2
+3 𝑥)+𝐶
¿ 4 ( 𝑥
2
+3 𝑥) +𝐶
¿ 4 𝑥2
+12 𝑥+𝐶

БОДЛОГО-45
Бодолт
∫(3
√𝑥)𝑑𝑥=¿¿
∫𝑥
1
3
𝑑𝑥=¿¿
𝑥
1
3
+1
1+
1
3
+𝐶
¿
𝑥
4
3
4
3
+ 𝐶
¿
3 𝑥
4
3
4
+ 𝐶
¿
3
3
√𝑥
4
4
+𝐶
¿
3 𝑥 3
√ 𝑥
4
+𝐶

БОДЛОГО-46
Бодолт
∫(1
𝑥
3
+2 𝑥−3
)𝑑𝑥=¿¿
∫(𝑥−3
+2𝑥−3)𝑑𝑥=¿¿
𝑥− 2
−2
+
2 𝑥2
2
−3 𝑥 +𝐶
¿ −
1
2 𝑥
2
+𝑥
2
−3 𝑥 +𝐶

БОДЛОГО-47
БОДОЛТ
∫ln(3𝑥)𝑑𝑥=¿¿
∫𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣−∫𝑣𝑑𝑢
𝑢=ln (3 𝑥)
𝑑𝑥=𝑑𝑣
𝑑𝑢=
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑥=𝑣
¿𝑥 ln(3 𝑥)−∫𝑥∙
1
𝑥
𝑑𝑥
¿ 𝑥 ln (3 𝑥 ) − 𝑥+𝐶
𝑢=ln (3 𝑥)
( 𝑢) ′ 𝑑𝑢=¿
𝑑𝑢=
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥=𝑑𝑣
∫. ∫.
𝑥=𝑣

БОДЛОГО-49
Бодолт
∫sin2𝑥𝑑𝑥=¿¿−
1
2
cos2𝑥+𝐶
БОДЛОГО-48
Бодолт∫
1
2𝑥+3
𝑑𝑥=¿¿ −
1
2
ln|2 𝑥 +3|+𝐶

БОДЛОГО-50
БОДОЛТ
∫(cos𝑥+2sin𝑥)𝑑𝑥=¿¿ sin𝑥−2cos𝑥+𝐶

БОДЛОГО-51
БОДОЛТ
∫
𝑥−1
(𝑥+1)4
𝑑𝑥=¿¿
𝑥+ 1=𝑡
𝑥 −1=𝑡 −2
∫
𝑡−2
(𝑡)4
𝑑𝑡=¿¿
∫(𝑡
𝑡
4
−
2
𝑡
4 )𝑑𝑡=¿¿
∫(𝑡−3
−2𝑡−4
)𝑑𝑡=¿¿
( 𝑥+1)′
𝑑𝑥=(𝑡)′
𝑑
1𝑑𝑥=1𝑑𝑡
𝑡− 2
−2
−
𝑡− 3
− 3
+𝐶=¿
−
1
2 𝑡
2
+
1
3 𝑡
3
+𝐶=¿
−
1
2(𝑥 +1)
2
+
1
3(𝑥 +1)
3
+𝐶

БОДЛОГО-52
БОДОЛТ
∫
𝑥−1
𝑥
2
+3𝑥+2
𝑑𝑥=¿¿ ∫
𝑥−1
(𝑥+2)(𝑥+1)
𝑑𝑥=¿¿ ∫
3
𝑥+2
−
2
𝑥+1
𝑑𝑥
¿3 ln 𝑥+2∨−2ln|𝑥+1|+𝐶

БОДЛОГО-53
БОДОЛТ
∫
0
3
𝑥√𝑥
2
+1𝑑𝑥 ¿∫
0
3
1
2
(𝑥
2
+1)′√𝑥
2
+1 𝑑𝑥
¿∫
0
3
1
2
√𝑥
2
+1𝑑(𝑥
2
+1
𝑡 𝑡
¿∫
0
3
1
2
√𝑡 𝑑𝑡
¿
1
2
∫
0
3
𝑡
1
2
𝑑𝑡
¿
1
2
[𝑡
1
2
+ 1
1
2
+1 ]0
3
¿
1
2
[(𝑥2
+1)
1
2
+ 1
1
2
+1 ]0
3
¿
1
2
[(𝑥2
+1)
3
2
3
2
]0
3
¿ [( 𝑥2
+1)
3
2
3 ]0
3
¿
( 3
2
+1)
3
2
3
−
( 0
2
+1)
3
2
3
¿
10
3
2
3
−
1
3
¿
√10
3
−1
3
=
10 √10 −
3

БОДЛОГО-54
БОДОЛТ
∫
0
2
¿1−2𝑥∨¿
1−2 𝑥=0
𝑥 =
1
2
0 1
2
2
+¿ −
∫
0
1
2
(1−2 𝑥)𝑑𝑥
+∫
1
2
2
(2 𝑥−1) 𝑑𝑥
¿[𝑥 −
2𝑥2
2 ]0
1
2
+[2𝑥2
2
−𝑥]1
2
2
¿ [ 𝑥 − 𝑥
2
]0
1
2
+[ 𝑥
2
− 𝑥 ]1
2
2
¿
[1
2
−(1
2 )
2
]+[2
2
− 2]−
[(1
2 )
2
−
1
2 ]
¿ 2+1 −
1
2
=
5
2

БОДЛОГО-55
БОДОЛТ
∫
𝑒
𝑒
2
2
𝑥
𝑑𝑥=¿¿
[ 2 ln 𝑥 ]𝑒
𝑒
2
¿ 2(ln 𝑒2
− ln 𝑒)
¿ 2 (2 −1)=2

БОДЛОГО-56
БОДОЛТ
∫𝑥𝑒𝑥
𝑑𝑥=¿¿
𝑢=𝑥
𝑒𝑥
𝑑𝑥=𝑑𝑣
𝑑𝑢=𝑑𝑥
𝑒𝑥
= 𝑣
¿𝑥𝑒𝑥
−∫𝑒𝑥
𝑑𝑥
¿ 𝑥 𝑒𝑥
−𝑒𝑥
+ 𝐶
𝑢=𝑥
(𝑢) ′ 𝑑𝑢=¿
𝑑𝑢=𝑑𝑥
𝑒𝑥
𝑑𝑥=𝑑𝑣
∫. ∫.
𝑒𝑥
= 𝑣

БОДЛОГО-57
БОДОЛТ
∫𝑥2
ln𝑥𝑑𝑥=¿¿
𝑢=ln 𝑥
𝑥2
𝑑𝑥=𝑑𝑣
𝑑𝑢=
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑥3
3
= 𝑣
¿
𝑥3
3
ln 𝑥−∫
𝑥3
3
∙
1
𝑥
𝑑𝑥
¿
𝑥3
3
ln 𝑥−∫
𝑥2
3
𝑑𝑥
¿
𝑥3
3
ln 𝑥 −
𝑥3
9
+𝐶
𝑢=ln 𝑥
(𝑢) ′ 𝑑𝑢=¿
𝑑𝑢=
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑥2
𝑑𝑥=𝑑𝑣
∫. ∫.
𝑥3
3
= 𝑣

БОДЛОГО-58
БОДОЛТ
𝑓 (𝑥)=∫
−1
3
𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥=¿
∫
−1
1
(3 𝑥−2)𝑑𝑥+∫
1
3
𝑥2
𝑑𝑥=¿
[3𝑥2
2
−2 𝑥]1−
1
+[𝑥3
3 ]1
3
[(3 ∙ 12
2
−2 ∙ 1)−(3 ∙ (−1)2
2
−2 ∙ (−1))]
+[(3
3
3 )−(1
3
3 )]
¿
[(−
1
2 )− ( 7
2 )]
+
[(27
3 )−( 1
3 )]
¿ − 4 +
26
3
¿
14
3
=4
2
3

БОДЛОГО-59
БОДОЛТ
𝑓 (𝑥)=∫2𝑥𝑑𝑥=¿
2 𝑥2
+𝐶
𝑓 (𝑥 )=2 𝑥2
+𝐶
(1,3)
3=2 ∙12
+ 𝐶
𝐶 =1
𝑓 (𝑥 )=2 𝑥2
+1

БОДЛОГО-60
БОДОЛТ
𝑓 (𝑥)=∫(√𝑥+
1
√𝑥)𝑑𝑥=¿
∫(𝑥
1
2
+𝑥
−
1
2)𝑑𝑥=¿
𝑥
1
2
+1
1
2
+1
+
𝑥
−
1
2
+1
−
1
2
+1
+𝐶
¿
𝑥
3
2
3
2
+
𝑥
1
2
1
2
+ 𝐶
¿
2 𝑥
3
2
3
+ 2 𝑥
1
2
+𝐶
𝑓 (𝑥)=
2 𝑥
3
2
3
+2 𝑥
1
2
+𝐶
𝑓 (0)=4
4=
2∙ 0
3
2
3
+2 ∙ 0
1
2
+ 𝐶
4=𝐶
𝑓 (𝑥)=
2 𝑥
3
2
3
+2 𝑥
1
2
+ 4
𝑓 (16)=
2∙ (16)
3
2
3
+ 2∙(16)
1
2
+
𝑓 (16)=
2∙ (42
)
3
2
3
+2 ∙( 4
2
)
1
2
+ 4
¿
164
3
=54
2
3

БОДЛОГО-61
БОДОЛТ
𝑃=∫12𝑡2
−52𝑡=¿
12𝑡3
3
−
52𝑡2
2
+𝐶
¿ 4 𝑡3
− 26 𝑡2
+𝐶
𝑃 (0)=1000
𝑃=4𝑡3
−26𝑡2
+𝐶
1000=4 ∙ 03
−26 ∙ 02
+𝐶
𝐶=1000
𝑃=4𝑡3
−26𝑡2
+1000
𝑃 (6)=4 ∙ 63
−26 ∙62
+1000
𝑃 (6 )=928

БОДЛОГО-62
БОДОЛТ
𝑆1
𝑆2
𝑆1=∫
−1
0
𝑥
2
¿ [ 𝑥 3
3 ]− 1
0
¿ (0 −
(−1 )3
3 )=
1
3
𝑆2=∫
0
2
𝑥
2
¿ [ 𝑥
3
3 ]0
2
¿ (( 2)3
3 )=
8
3
𝑆=𝑆1 +𝑆2=¿
1
3
+
8
3
=
9
3
= 3

БОДЛОГО-63
БОДОЛТ
𝑆=∫
4
9
((2 𝑥
2
−1)− 0) 𝑑 𝑥 ¿[2 𝑥3
3
− 𝑥]4
9
=¿
¿ [2 ∙ 9
3
3
− 9]−[2∙ 4
3
3
− 4]
¿∫
4
9
(2𝑥
2
−1)𝑑 𝑥
¿
2 ∙93
3
− 9+
2∙ 43
3
−4
¿
2
3
(9
3
− 4
3
) −5=¿
1315
3
= 438
1
3

БОДЛОГО-64
БОДОЛТ
𝑆=∫
0
5
(−0.5 𝑡
2
+2 𝑡) 𝑑𝑡
¿ [−
0.5 𝑡
3
3
+
2𝑡
2
2 ]0
5
=¿
[−
𝑡3
6
+𝑡
2
]0
5
¿ [−
5
3
6
+ 5
2
]=
25
6

БОДЛОГО-65
БОДОЛТ
3 − 𝑥2
=1 − 𝑥
𝑥2
− 𝑥 − 2=0
( 𝑥 −2 )( 𝑥+1)=0
𝑥1 =2 𝑥2=−1
𝑆=∫
− 1
2
((3−𝑥
2
)− (1−𝑥))𝑑𝑥
𝑆=∫
− 1
2
(− 𝑥
2
+𝑥+2 )𝑑𝑥
¿[−
𝑥3
3
+
𝑥2
2
+2𝑥]−1
2
¿
[−
2
3
3
+
2
2
2
+2 ∙ 2
]−[−
(− 1)3
3
+
(−1 )2
2
+2 ∙(−1)]
¿
10
3
−(−
7
6 )=
9
2

БОДЛОГО-66
БОДОЛТ 𝑉 =𝜋∫
𝑎
𝑏
𝑓
2
(𝑥)𝑑𝑥
𝑉 =𝜋∫
0
4
𝑥
2
𝑑𝑥
¿ 𝜋 [𝑥
3
3 ]0
4
=¿
𝜋 [4
3
3 ]=¿
64 𝜋
3
Эргэлтийн биеийн
эзэлхүүнийг олох
томьёо
𝑓 (𝑥 )=𝑥

БОДЛОГО-67
БОДОЛТ
∫
0
100
(50−0.2𝑥)𝑑𝑥=¿ ¿
[50 𝑥−
0.2𝑥2
2 ]0
100
=¿
[50 ∙ 100 −0.1 ∙ (100)2
]
[5000 −1000 ]=4000

БОДЛОГО-68
БОДОЛТ
∫
1
2
(−6𝑡
2
+12𝑡+90)𝑑𝑡=¿¿
[−
6𝑡3
3
+
12𝑡2
2
+90𝑡]1
2
=¿
¿ [− 2 ∙(2 )3
+ 6 ∙ (2)2
+90 ∙(2)]−[−2 ∙ (1 )3
+ 6 ∙ (1)2
+ 90 ∙(1)]
[−2 𝑡
3
+6 𝑡
2
+ 90
¿188−94=94

БОДЛОГО-69
БОДОЛТ
∆ 𝑥=
9 − 4
5
=1
𝑎=5
𝑏=1 𝑥1 =5
𝑥2=6
𝑥3=7
𝑥4=8
𝑥0=4 𝑥5 =9
𝑐=5 𝑑=7 𝑒=8
𝑓 (𝑥¿¿0)=2∙(4)2
−1=31¿
𝑓 (𝑥¿¿1)=2∙(5)2
−1=49¿
𝑓 (𝑥¿¿2)=2∙(6)2
−1=71¿
𝑓 (𝑥¿¿3)=2∙(7)2
−1=97 ¿
𝑓 (𝑥¿¿ 4)=2∙(8)2
−1=127¿
𝑓 (𝑥¿¿5)=2∙(9)2
−1=161¿
𝐴 ≈
1
2
[31+2∙ 49+2 ∙71+2∙ 97 +2 ∙127 +161]=¿
440
𝑓𝑔=44

БОДЛОГО-70
БОДОЛТ
∆ 𝑥=
𝜋 − 0
4
=
𝜋
4
𝑎=4
𝑥1 =
𝜋
4
𝑥2=
𝜋
2
𝑥3=
3 𝜋
4
𝑥4= 𝜋
𝑥0=0
𝜋
2
𝜋 3 𝜋
𝑏=2
𝑐=3
sin(𝑥0)=sin0°
=¿0¿
sin(𝑥1)=sin(𝜋
4)=
√2
2

𝑥1 =
𝜋
4
𝑥2=
𝜋
2
𝑥3=
3 𝜋
4
𝑥4= 𝜋
𝑥0=0
sin(𝑥0)=sin0°
=¿0¿
sin(𝑥1)=sin(𝜋
4)=
√2
2
sin(𝑥2)=sin(𝜋
2)=1
sin(𝑥3)=sin(3𝜋
4 )=
√2
2
sin(𝑥4)=sin(𝜋)=0
𝐴 ≈
∆ 𝑥
2
¿
𝐴 ≈
𝜋
4
2 [0+
√2
2
+ 1+
√2
2
+ 0]
≈
𝜋
8
[1+1 √2 ]
𝑑=8
𝑒=1
𝑔=2
𝑓 =1

БОДЛОГО-71
БОДОЛТ 2 𝑥2
+𝑥 − 3=(2 𝑥+3)(𝑥 −1)
𝑎=2 𝑏=3𝑐=1
𝑥 − 6
(2 𝑥+3)(𝑥 −1)
=
𝐴
2 𝑥 +3
+
𝐵
𝑥 −1
¿
¿
¿
𝐴𝑥 − 𝐴+2 𝐵𝑥+3 𝐵
(2𝑥+3)(𝑥−1)
¿
( 𝐴+2 𝐵)𝑥+(3 𝐵− 𝐴)
(2𝑥+3)(𝑥−1)
1 −6
{ 𝐴+2 𝐵=1
3 𝐵 − 𝐴=− 6
+¿
5 𝐵=−5
𝐵=−1
𝑒𝑓 =− 1
𝐴+2 ∙(− 1)=1
𝐴 − 2=
𝐴=3
𝑑=3

∫( 3
2 𝑥 +3
+
(−1)
𝑥 −1 )𝑑𝑥=¿ ¿
𝑥 − 6
(2 𝑥+3)(𝑥 −1)
=
3
2 𝑥 +3
+
(−1)
𝑥 −1
3
2
ln|2 𝑥 +3|−ln|𝑥 −1|+ 𝐶
𝑔=3

БОДЛОГО-72
БОДОЛТ
𝑑𝑣=cos2 𝑥 𝑑𝑥
∫. ∫.
𝑣 =
1
2
sin 2 𝑥
¿
sin 2 𝑥
2
𝑎=2
∫
sin(2𝑥)
2
𝑑𝑥=¿¿
−cos (2 𝑥 )
2 ∙2
¿
−cos (2 𝑥 )
4
𝑏=−
𝑐=4
cos(2𝑥)𝑑𝑥=¿¿
sin 2 𝑥
2
𝑑=2
𝑒=2
𝑐=4

∫(𝑥+1)cos(2𝑥)𝑑𝑥=¿¿
∫𝑥cos(2𝑥)𝑑𝑥+∫cos¿¿¿
𝑥 sin(2𝑥)
2
+
cos(2 𝑥)
4
+sin 2 𝑥
2
+𝐶
¿
(𝑥 +1)sin 2 𝑥
2
+
cos(2 𝑥)
4
+𝐶
𝑓 =1
𝑔=2

БОДЛОГО-73
БОДОЛТ
𝑢= 𝑥2
+1
(𝑢)′
=( 𝑥
2
+ 1) ′
𝑑𝑢=2𝑥𝑑𝑥
𝑎=2
∫𝑥3
√𝑥2
+1𝑑𝑥
¿∫𝑥∙𝑥2
√𝑥2
+1𝑑𝑥
𝑥2
=𝑢 − 1
¿∫
2
2
𝑥∙(𝑢−1)√𝑢𝑑𝑥
¿∫
1
2
∙(𝑢−1)√𝑢𝑑𝑢 ¿∫(𝑢−1)√𝑢
𝑑𝑢
2
¿
1
2
∫(𝑢
3
2
−𝑢
1
2 )𝑑𝑢
𝑏=2
¿
1
2
∫(𝑢−1)𝑢
1
2
𝑑𝑢
𝑐=3

1
2
∫(𝑢
3
2
− 𝑢
1
2)𝑑𝑢
¿
1
2
(𝑢
3
2
+1
3
2
+1
−
𝑢
1
2
+1
1
2
+1 )+ 𝐶
¿
1
2 (2𝑢
5
2
5
−
2𝑢
3
2
3 )+𝐶
𝑑=5
𝑒=5
𝑓 =3
𝑔=3
¿
𝑢
5
2
5
−
𝑢
3
2
3
+𝐶
¿
(𝑥
2
+1)
5
2
5
−
(𝑥
2
+ 1)
3
2
3
+𝐶
¿
1
2
(𝑢
5
2
5
2
−
𝑢
3
2
3
2
)+ 𝐶

𝑦=∫
1
3
√𝑥+1
𝑑𝑥
¿∫
1
( 𝑥+1)
1
3
𝑑𝑥
¿∫( 𝑥+1)
−
1
3
𝑑𝑥
𝑎=3
¿∫(𝑥+1)
−
1
3
𝑑(𝑥+
𝑏=1
¿
( 𝑥 +1)
−
1
3
+1
−
1
3
+1
+𝐶
¿
3
2
(𝑥 +1)
2
3
+𝐶
𝑑=2
𝑐=1
𝑦 =
3
2
(𝑥 +1)
2
3
+𝐶
7=
3
2
(7 +1)
2
3
+𝐶
7=
3
2
( 2
3
)
2
3
+ 𝐶
𝑥=7
𝑦 =7
7=6 +𝐶
6
𝐶=1
𝑓 =7𝑒=6
𝑔=1
𝑦 =
3
2
(𝑥 +1)
2
3
+1

𝑦=∫
1
3
√𝑥+1
𝑑𝑥
¿∫
1
( 𝑥+1)
1
3
𝑑𝑥
¿∫(𝑥+1)
−
1
3
𝑑(𝑥+
¿∫( 𝑥+1)
−
1
3
𝑑𝑥
¿
( 𝑥+1)
−
1
3
+1
−
1
3
+1
+𝐶
¿
3
2
(𝑥 +1)
2
3
+𝐶

БОДЛОГО-75
𝑦 =0
БОДОЛТ
𝑎=0
𝑏=3
[4 𝑥 −
𝑥
3
3 ]0
2
=4 ∙ 2−
2
3
3
=
16
3
𝑐=6

h=
2− 0
4
=
1
2
1
2
13
2
𝑥1 =0 𝑥2=
1
2
𝑥3=
3
2
𝑥4 =4
𝑑=2
𝑓 (𝑥 )=4 − 𝑥2
𝑓 (0)=4 −02
=4
𝑓 (1
2)=4−(1
2)
2
=
15
4

𝑓 (𝑥 )=4 − 𝑥2
𝑓 (0)=4 −02
=4
𝑓 (1
2)=4−(1
2)
2
=
15
4
𝑓 (1)=4 − (1 )2
=3
𝑓 (3
2 )=4 −(3
2 )
2
=
7
4
𝑓 (2)=4 − (2)2
=0
𝑆 ≈ h( 𝑓 (𝑥1 )+ 𝑓 (𝑥2 )+ 𝑓 (𝑥3 )+ 𝑓 (𝑥
𝑆 ≈
1
2 (4+
15
4
+3 +
7
4
+0)
𝑆 ≈
1
2 (4+
15
4
+3 +
7
4
+0)
𝑆 ≈
25
4
𝑒𝑓 =25

БОДЛОГО-76
√ 𝑥=𝑥
БОДОЛТ
𝑥=𝑥2
𝑥2
− 𝑥=0
𝑥 (𝑥 −1)=0
𝑥1 =0 𝑥2=1
𝑎=0 𝑏=1
𝑉=𝜋∫
0
1
((√𝑥)
2
−𝑥
2
)𝑑𝑥
¿ 𝜋∫
0
1
(𝑥 − 𝑥
2
)𝑑𝑥
¿ 𝜋 [𝑥2
2
−
𝑥3
3 ]0
1
¿ 𝜋 [12
2
−
13
3 ]0
1
¿
𝜋
6
𝑑=0

БОДЛОГО-76
√ 𝑥=𝑥
БОДОЛТ
𝑥=𝑥2
𝑥2
− 𝑥=0
𝑥 (𝑥 −1)=0
𝑥1 =0 𝑥2=1
𝑎=0 𝑏=1
𝑉=𝜋∫
0
1
((√𝑥)
2
−𝑥
2
)𝑑𝑥
𝑐=2
¿ 𝜋∫
0
1
(𝑥 − 𝑥
2
)𝑑𝑥
¿ 𝜋 [𝑥2
2
−
𝑥3
3 ]0
1
𝑑=2
𝑒=2
𝑓 =3
¿ 𝜋 [1
2
2
−
1
3
3 ]0
1
¿
𝜋
6
𝑔=6

БОДЛОГО-77
БОДОЛТ
¿∫
1
∞
1
𝑥
3
+
1
𝑥
2
𝑑𝑥
∫
1
∞
1+ 𝑥
𝑥
3
𝑑𝑥
𝑎=1𝑏=1
¿∫
1
∞
1
𝑥
3
𝑑𝑥 +∫
1
∞
1
𝑥
2
𝑑𝑥

∫
1
∞
1
𝑥
3
𝑑𝑥 =lim
𝑡 → ∞
∫
1
𝑡
𝑥
− 3
𝑑𝑥
¿ [𝑥−2
− 2 ]1
𝑡
𝑐=2
¿
𝑡 −2
−2
−
1
− 2
¿ −
1
2 𝑡
2
+
1
2
𝑑=2
∫
1
∞
1
𝑥
3
𝑑𝑥 =
1
2
0
∫
1
∞
1
𝑥
2
𝑑𝑥 =lim
𝑡 → ∞
∫
1
𝑡
𝑥
−2
𝑑𝑥
¿ [𝑥−1
− 1 ]1
𝑡
𝑒=1
¿
𝑡 −1
−1
−
1
−1
¿ −
1
𝑡
+1
𝑓 =1
0
∫
1
∞
1
𝑥
2
𝑑𝑥 =1
∫
1
∞
1+𝑥
𝑥
3
𝑑𝑥 =
1
2
+1=
3
2
𝑔=3

БОДЛОГО-79
БОДОЛТ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=𝑘
Тогтмол хурдаар ихэсэх тул байна.

БОДЛОГО-79
БОДОЛТ
𝑑𝑇
𝑑𝑡
=− 𝑘(𝑇 −𝑇 0)
Хөрөх хурд тул байна.

БОДЛОГО-80
БОДОЛТ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=𝑥+2
𝑑𝑦=(𝑥 +2)𝑑𝑥
∫. ∫.
𝑦 =
𝑥2
2
+2 𝑥 +C

БОДЛОГО-81
БОДОЛТ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=𝑦 +1
𝑑𝑦
𝑦 +1
=1 𝑑𝑥
∫. ∫.
ln ¿ 𝑦+1∨¿=𝑥+𝐶¿
log𝑒(𝑦+1)=𝑥+𝐶
log𝑒 𝑎=𝑏
𝑎=𝑒𝑏
𝑦 + 1=𝑒 𝑥+𝐶
𝑦 =𝑒𝑥 +𝐶
− 1

БОДЛОГО-82
БОДОЛТ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=𝑦 cos 𝑥
𝑑𝑦
𝑦
=cos 𝑥 𝑑𝑥
∫. ∫.
ln 𝑦=sin 𝑥 +𝐶
log𝑒 𝑦=sin 𝑥+𝐶
log𝑒 𝑎=𝑏
𝑎=𝑒𝑏
𝑦 =𝑒sin 𝑥+ 𝐶

БОДЛОГО-83
БОДОЛТ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥 +2
𝑦
𝑦𝑑𝑦=( 𝑥 +2) 𝑑𝑥
∫. ∫.
𝑦2
2
=
𝑥2
2
+2 𝑥+𝐶
𝑦 2
=𝑥2
+4 𝑥 +2𝐶
𝑦 =± √𝑥2
+4 𝑥 +2 𝐶

БОДЛОГО-84
БОДОЛТ
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=𝑘𝑃
𝑑𝑃
𝑃
=𝑘𝑑𝑡
∫. ∫.
ln 𝑃=¿𝑘𝑡+𝐶¿
𝑃 (0)=200000 𝑡 =0
ln200000=¿ 𝑘∙0+𝐶¿
𝐶 =ln 200000
log𝑒 𝑃 =𝑘𝑡+𝐶
log𝑒 𝑎=𝑏
𝑎=𝑒𝑏
𝑃=𝑒𝑘𝑡 +𝐶
𝑃=𝑒𝑘𝑡 + ln 200000
𝑃=𝑒ln 200000
∙𝑒𝑘𝑡
𝑃=200000 ∙𝑒𝑘𝑡
𝑃 (𝑡)=200000 ∙ 𝑒𝑘𝑡

БОДЛОГО-85
БОДОЛТ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=𝑦 + 3
𝑑𝑦
𝑦 +3
=𝑑𝑥
∫. ∫.
ln¿ 𝑦+3∨¿=𝑥+𝐶 ¿
log𝑒 (𝑦+3)=𝑥+𝐶
log𝑒 𝑎=𝑏
𝑎=𝑒𝑏
𝑦 + 3=𝑒𝑥+ 𝐶
− 3
𝑥=0 𝑦=1
ln¿ 𝑦+3∨¿=𝑥+𝐶 ¿
ln¿1+3∨¿=0+𝐶¿
𝐶 =ln 4
− 3
𝑦 =𝑒𝑥 +ln 4
− 3
𝑦 =𝑒𝑥
𝑒ln 4
−3
4
𝑦 =4 𝑒𝑥
−3

БОДЛОГО-86
БОДОЛТ
𝑑𝐶
𝑑𝑡
=− 𝑘𝐶
𝑑𝐶
𝐶
=− 𝑘𝑑𝑡
∫. ∫.
ln 𝐶=−𝑘𝑡+ 𝐴
log𝑒 𝑎=𝑏
𝑎=𝑒𝑏
log𝑒 𝐶=−𝑘𝑡+ 𝐴
𝐶=𝑒−𝑘𝑡 + 𝐴
ln 500=− 0.2∙ 0 + 𝐴
𝐴=ln 500
𝐶 =𝑒−0.2 ∙5 +ln 500
𝐶=𝑒ln 500− 1
¿
𝑒ln 500
𝑒
1
¿
500
𝑒
𝑡=5 ц
𝐶 =
500
𝑒

БОДЛОГО-87
БОДОЛТ
a.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=3см {c¿
2
𝑙=2 𝜋 𝑟
𝑣 =
𝑑𝑙
𝑑𝑡
¿
𝑑(2 𝜋 𝑟 )
𝑑𝑡
¿
2 𝜋 𝑑𝑟
𝑑𝑡
¿ 2 𝜋
𝑑𝑟
𝑑𝑡
3см {c¿2
¿6 𝜋 см{c ¿2
б. 𝑆=𝜋 𝑟2
=81𝜋 с м2
𝑟 =9 см
𝑣 =
𝑑𝑆
𝑑𝑡
¿
𝑑 𝜋 𝑟2
𝑑𝑡
¿
𝑟 𝜋 𝑑𝑟
𝑑𝑡
¿ 𝑟 𝜋
𝑑𝑟
𝑑𝑡
¿ 9 𝜋
𝑑𝑟
𝑑𝑡
9 см
¿ 27 𝜋
¿
𝑑 𝜋 𝑟 ∙𝑟
𝑑𝑡

БОДЛОГО-88
БОДОЛТ
𝑑𝑣
𝑣
=−0.2𝑑𝑡
ln¿ 𝑣∨¿=−0.2𝑡+𝐶¿
∫. ∫.
𝑎=2 log𝑒 𝑎=𝑏
𝑎=𝑒𝑏
log𝑒 𝑣=−0.2𝑡+𝐶
𝑣 =𝑒− 0.2 𝑡 +𝐶
𝑣 =𝑒𝐶
𝑒−0.2𝑡
𝐶
𝑣 =𝐶 𝑒− 0.2 𝑡
𝑡 =¿

𝑣 =𝐶 𝑒− 0.2 𝑡
𝑣(0)=20 м{c¿2
20=𝐶 𝑒−0.2∙ 0
1
𝐶 =20
𝑏=2
𝑐=0
𝑣 =20 𝑒−0.2𝑡
𝑆=∫𝑣𝑑𝑡
𝑡 =0
¿∫20𝑒−0.2𝑡
𝑑𝑡¿
20
−0.2
𝑒
− 0.2 𝑡
+ 𝐷
¿ −100 𝑒− 0.2𝑡
+𝐷
𝑑=1
𝑆 ( 0)=0
−100𝑒− 0.2∙ 0
+𝐷=0
1
−100 +𝐷=0
𝐷=100
𝑒=1
𝑆=− 100𝑒− 0.2𝑡
+100
𝑆=100 − 100 𝑒− 0.2𝑡
𝑆=100 (1− 𝑒−0.2𝑡
)
𝑓 =0
0
𝑆=100 м

БОДЛОГО-89
БОДОЛТ
𝑑𝐶
𝑑𝑡
=− 𝑘𝐶
𝑑𝐶
𝐶
=− 𝑘𝑑𝑡
∫. ∫.
ln 𝐶=−𝑘𝑡+ 𝐵
log𝑒 𝐶=−𝑘𝑡+ 𝐵
log𝑒 𝑎=𝑏
𝑎=𝑒𝑏
𝐶=𝑒−𝑘𝑡 +𝐵
𝐶=𝑒𝐵
𝑒−𝑘𝑡
𝐴
𝐶= 𝐴𝑒−𝑘𝑡
𝐶 =100
𝑡 =0
100= 𝐴𝑒− 𝑘∙ 0
1 00= 𝐴
1
𝑎=1
𝐶=100𝑒− 𝑘𝑡
𝐶 =0

𝐶 =50
𝑡 =10
𝐶 (10)=100𝑒− 10 𝑘
=50
𝑏=1
𝑐=5
𝑒
−10 𝑘
=
50
100
=
1
2
𝑒
−10 𝑘
=
1
2
−10 𝑘=ln(1
2 )
𝑘=−
1
10
ln (2
−1
)
𝑘=
1
10
ln 2
¿
ln 2
10
𝐶=100 𝑒
−
ln 2
10
𝑡
𝑑=2
𝑡 =20
𝐶(20)=100 𝑒
−
ln 2
10
∙ 20
𝑒=2
𝐶(20)=100 𝑒−2 ln 2
𝐶(20)=100(𝑒
ln 2
)−
𝐶 (20)=100 (2)−
𝐶 ( 20)=100
𝐶 ( 20)=
𝑓 =2
𝑔=5

БОДЛОГО-90
БОДОЛТ
h
𝑑
𝑑𝑡
=−3 √h
h
𝑑
√h
=−3 𝑑𝑡
∫h
−
1
2
h
𝑑 =∫−3𝑑𝑡
∫. ∫.
h
−
1
2
+1
−
1
2
+1
=−3 𝑡 + 𝐶
𝑎=3
h
1
2
1
2
=− 3 𝑡 +
2 h
1
2
=−3 𝑡+𝐶
𝑏=2𝑐=1 𝑑=2

2 h
1
2
=−3 𝑡+𝐶
h
1
2
=−
3
2
𝑡 +
𝐶
2
(h
1
2 )
2
=(−
3
2
𝑡+
𝐶
2 )
2
h=(−
3
2
𝑡 +
𝐶
2 )
2
100=(−
3
2
∙ 0+
𝐶
2 )
2
¿
𝐶2
4
h=100
𝑡 =0
𝑒=4
𝑐2
=400
𝑐=20
𝑓 =2
h=(−
3
2
𝑡 +
𝐶
2 )
2
¿ (−
3
2
𝑡+
20
2 )
2
h=(−
3
2
𝑡 +10)
2
¿(−
3
2
∙6 +1 0)
2
¿ 1
𝑔=1

БОДЛОГО-91
БОДОЛТ
𝐶 =
𝑐0
2
𝑎=2
𝑑𝐶
𝑑𝑡
=− 𝑘𝐶
𝑑𝐶
𝐶
=− 𝑘𝑑𝑡
∫. ∫.
log𝑒 𝐶=−𝑘𝑡+ 𝐴
𝐶 =𝑒𝐴
𝑒− 𝑘𝑡
𝐶0
𝐶 =𝐶0 𝑒− 𝑘𝑡
𝑡=0
𝐶(0)=𝐶0 𝑒−𝑘 ∙ 0
𝑏=0
1
¿ 𝐶0

𝐶 =𝐶0 𝑒− 𝑘𝑡
𝐶 =
𝐶0
2
𝐶0
2
=𝐶0 𝑒
−𝑘𝑡
1
2
=𝑒
−3 𝑘
𝑡=3
𝑑=−
e= 3
𝑐=2
1
2
=𝑒
−3 𝑘
ln
1
2
=ln 𝑒− 3𝑘
ln
1
2
=− 3 𝑘
k =−
1
3
ln
1
2
k=
1
3
ln(1
2 )
−1
k =
1
3
ln 2
𝑘=
ln 2
3
𝑓 =2
𝑔=3

БОДЛОГО-92
𝑑𝑇
𝑑𝑡
=− 𝑘(𝑇 − 20)

БОДЛОГО-92
𝑑𝑇
𝑑𝑡
=− 𝑘(𝑇 − 20)
БОДОЛТ
𝑑𝑇
(𝑇 −20 )
=−𝑘𝑑𝑡
∫. ∫.
ln (𝑇 − 20)=−𝑘𝑡+ 𝐴
𝑇 − 20=𝑒− 𝑘𝑡 + 𝐴
𝑇 − 20=𝑒𝐴
𝑒− 𝑘𝑡
𝐶
𝑡 =0
𝑇 − 20=𝐶 𝑒− 𝑘𝑡
𝑇 =100°
𝐶
1
100−20=𝐶𝑒−𝑘∙ 0
80=𝐶
0 80
𝑎𝑏
=𝑐
log𝑎𝑐=𝑏
log𝑒𝑐=𝑏
𝑒𝑏
=𝑐
ln 𝑐

𝑇 − 20=𝐶𝑒−𝑘𝑡
𝑇 =80 𝑒− 𝑘𝑡
+20
80=𝐶
𝑡 =10
𝑇 =80°
𝐶
80=80𝑒− 10𝑘
+20
80 𝑒−10 𝑘
=60
𝑒
−10 𝑘
=
60
80
¿
3
4
3
4
𝑑=3
e= 4
𝑒
−10 𝑘
=
3
4
−10 𝑘=ln
3
4
𝑘=− 0.1 ln
3
4
𝑇 =80 𝑒− 𝑘𝑡
+
𝑇 =80 𝑒
−(− 0.1 ln
3
4
𝑇 =80(𝑒
ln
3
4 )
0.1𝑡
+20
𝑇 =80(3
4 )
0.1𝑡
+20
𝑡 =20
𝑇 =80(3
4 )
0.1∙20
+20
¿ 80 (3
4 )
2
+
¿ 65
𝑓 =6
𝑔=5

matdfsdfgggggggggjsdfgsjdgjdgjdshgkshdfkajshdfjagsfhdsgfhsdg

More Related Content

Recently uploaded

Featured

matdfsdfgggggggggjsdfgsjdgjdgjdshgkshdfkajshdfjagsfhdsgfhsdg